高三数学第一轮复习课件--排列组合
高三数学精品课件：排列与组合
[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
小题诊断
法一：可分两种情况：第一种情况，只有 1 位女生入选，不 5同．的(2选01法8·高有考C全21C国24＝卷1Ⅰ2(种)从)；2 第位二女种生情，况4 位，男有生2中位选女3生人入参选加， 科不技同比的赛选法，有且 至C22少C14有＝41(种位)．女 生 入 选 ， 则 不 同 的 选 法 共 有 _根__据1_6_分__类_种加．法(计用数数原字理填知写答 ，至案少) 有 1 位女生入选的不同的选 法有 16 种． 法二：从 6 人中任选 3 人，不同的选法有 C36＝20(种)，从 6 人中任选 3 人都是男生，不同的选法有 C34＝4(种)，所以至少 有 1 位女生入选的不同的选法有 20－4＝16(种)．
生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，
则男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为( )
A．85
B．86
C．91
D．90
思路分析：可采用直接法求解，也可用间接法求解，注意题目
中“至少”的含义．
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素 是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
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考点二 组合应用题 (核心考点——合作探究)
解析：法一：(直接法)由题意，可分 3 类情况： 第 1 类，若男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为 C31C24＋ C32C14＋C33＝31； 第 2 类，若男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为 C41C23＋ C42C13＋C34＝34； 第 3 类，若男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为 C23＋C14C13 ＋C24＝21. 所以男生甲与女生乙至少有 1 人入选的方法种数为 31＋34＋21 ＝86.
高三数学一轮复习 第十四章 第1讲 排列与组合课件 理 新人教A版
(6)直接法：有两种情况：甲、乙两人都不当选和甲、乙只有 一人当选，则 C35＋C12C52＝30.
间接法：甲乙至多有一人当选的对立事件为甲乙都当选，则 C37－C15＝30.
对于有条件的组合问题，可能遇到含有某个(mǒu ɡè)(些) 元素与不含某个(mǒu ɡè)(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等 组合问题的计算，此类问题要注意分类处理或间接计算，切记不
3．(2011 年广东惠州调研)从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人
参加(cānjiā)迎新座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，不同的选
法共有( D )
A．40 种
B．120 种
C．35 种
D．34 种
4．从 5 名男同学，3 名女同学中选 3 名参加(cānjiā)公益活动，则选
45
要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．
第二十页，共24页。
【互动(hù dònɡ)探究】
3．某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人
到来会自，3 家其余不同4(b家ù 企tón业ɡ)各企有业的1 可人能到情会况，的会种上数有为3( 人B发言) ，则这 3 人
A．14
B．16
C解．析20：由间接法得 C63－C41＝20－4＝16(种)，故选 B.
第十五页，共24页。
排列组合中的一些基本方法：①特殊元素优先(yōuxiān)考 虑；②对于相邻问题，采用“捆绑”法；③对于不相邻问题采用 “插空”法．④对于定序问题，可以先不考虑顺序限制，排列后 再除以定序元素的全排列．
第十六页，共24页。
【互动探究】
2．(2010 年四川)由 1,2,3,4,5 组成没有(méi yǒu)重复数字且 1,2 都不 5 相邻(xiānɡ lín)的五位数的个数是A( )
排列组合课件-高三数学一轮复习
源于探索外太空的渴望，航天事业在 21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件， 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负 责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也 不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有
√ A.18种 B.36种 C.72种 D.108种
先排甲、乙，有 A24种排法，再排丙，有 A14种排法，其余 5 人有 A55种排 法，故不同的排法共有 A24A14A55＝5 760(种).
题型二 组合问题
从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的 有 A.如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B.如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法
如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的 8 人中再选 2 人即 可，有 C28＝28(种)，故 C 正确；
在 10 人中任选 4 人，有 C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有 C48 ＝70(种)， 故 男 生 中 的 甲 和 女 生 中 的 乙 至 少 要 有 1 人 在 内 的 选 法 有 210 － 70 ＝ 140(种)，故D正确.
第一步，先从 4 名学生中任取两人组成一组，与剩下 2 人分成三组， 有 C24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三 地，则有 A33＝6(种)不同的方法.故共有 6×6＝36(种)不同的安排方案.
题型一 排列问题
中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活 动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有_1__6_8_0_ 种.(用数字作答)
11.2排列组合-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共36张PPT)
题型二 组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿 者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两 个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共 有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏 解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间 接法求解.
题型三 排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包 只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共 有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进 行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他 元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写 答案)
答案：16 解析： 解法一 按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)． 解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在 三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共 有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.
《高三排列组合复习》课件
应用
计算在n个不同元素中取出m个 元素进行组合的不同方式的数目
。
示例
在5个不同元素中取出3个元素进 行组合的不同方式的数目为 $C_{5}^{3} = frac{5 times 4
times 3}{1 times 2 times 3} = 10$。
排列组合的逆序数计算
逆序数的定义
排列与组合的差异
排列考虑顺序，组合不考虑顺 序；
排列数的计算需要考虑取出的 元素顺序，而组合数的计算则 不需要考虑取出的元素顺序；
在实际应用中，排列和组合各 有其适用场景，需要根据具体 问题选择使用。
02
排列组合基本公式的应用
排列数公式的应用
排列数公式
$A_{n}^{m} = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
06
复习总结与展望
本章重点回顾
排列组合的基本概念
排列组合的解题思路
排列和组合的定义、排列数和组合数 的计算公式等。
如何根据问题类型选择合适的解题方 法，如分步乘法计数原理、分类加法 计数原理等。
排列组合的常见问题类型
如分组、分配、排列、组合等问题。
学习心得体会
通过本次复习，我更加深入地理解了 排列组合的基本概念和计算方法，对 于常见问题类型也有了更清晰的认识 。
定序问题
总结词
解决定序问题需要使用定序法，根据题意确定元素的顺序。
详细描述
在排列组合问题中，有时需要特别注意元素的顺序。例如，有5个不同的书和4 个不同的笔，要求书和笔的顺序为“书-笔-书-笔-书”，则只要使用分组法，将元素分成若干组进行排列。
详细描述
求函数 y = x^2 - 4x + 4 在区间 [0,4] 的最值点
2020年高考一轮复习数学(理)教学课件第十章 计数原理与概率、随机变量及其分布第二节 排列与组合
＝6(种)
分法，再将3组对应3个学校，有A33＝6(种)情况，则共有6×6
＝36(种)不同的保送方案.
考法(三) 不等分问题
[例3] 若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2
名，一所3名，则有___3_6_0___种不同的分法.
[解析] 将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；
本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与
搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近
处.那么不同的搜寻方案有
( B)
A.10种
B.40种
C.70种
D.80种
解析：若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意
挑出1位陪同，有C
1 5
种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位
搜寻远处，有C
解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40
人中任选两人的排列数，所以全班共写了A240＝40×39＝
1 560(条)毕业留言.
5.已知C1m5 －C1m6 ＝107Cm7 ，则m＝____2____.
解析：由已知得，m的取值范围为
m|0≤m≤5，m∈Z
，原等
式可化为
毕业生平均分到3所学校，共有C26CA2433C22·A33＝90(种)分派方法.
考法(二) 部分均分问题
[例2] 有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、
乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案
共有___3_6____种.
[解析]
先把4名学生分为2,1,1共3组，有
C24C12C11 A22
＝48(个)，故选C.
3.将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不
高考数学一轮总复习课件：排列与组合
其余 6 人有 A66种方法，故共有 5×A66＝3 600(种)．
方法二：排头与排尾为特殊位置．排头与排尾从非甲的 6 个 人中选 2 个排列，有 A26种方法，中间 5 个位置由余下 4 人和甲进 行全排列，有 A55种方法，共有 A26×A55＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生在一起进行全 排列，有 A44种方法，再将 4 名女生进行全排列，也有 A44种方法， 故共有 A44×A44＝576(种)．
再除以定序元素的全排列 正难则反，等价转化的方法
思考题 1 (1)(2019·上海春季高考题)某校组队参加辩 论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、二、三、四辩，若其 中学生甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 ___1_8_0___(结果用数值表示)．
【解析】 先安排甲，有 3 种情况，再从剩下的 5 名学生中选 3 人排列，有 A35种情况，
∴共有 3A35＝180 种方法．
(2)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，
其中程序 A 只能出现在第一或最后一步，程序 B 和 C 在实施时
必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( C )
A．34 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
【解析】 程序 A 有 A12＝2(种)，将程序 B 和 C 看作一个整体 与除 A 外的元素排列，有 A22A44＝48(种)，所以由分步乘法计数原理， 实验顺序的编排方法共有 2×48＝96(种)．故选 C.
(5)分三步进行： 第一步：选 1 男 1 女分别担任两个职务为 C17C15种； 第二步：选 2 男 1 女补足 5 人有 C26C14种； 第三步：为这 3 人安排工作有 A33种． 由分步乘法计数原理共有 C17C15C26C14A33＝12 600 种选法． 【答案】 (1)120 (2)252 (3)672 (4)596 (5)12 600
高考数学一轮复习 10-2 排列与组合课件 理 新人教A版
(4)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有
A33A44＝144(种)．
(5) 插 空 法 ． 先 排 女 生 ， 然 后 在 空 位 中 插 入 男 生 ， 共 有
A
4 4
A
3 5
＝
1
440(种)．
(6)定序排列．第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数
为 N；第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为 7 个人的全排列，因此
答案：B
排列应用题(师生共研)
例1 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方 法总数：
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置； (2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边； (3)全体排成一行，其中男生必须排在一起； (4)全体排成一行，男、女各不相邻； (5)全体排成一行，男生不能排在一起； (6)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变； (7)排成前后两排，前排3人，后排4人； (8)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．
解析 (1)利用元素分析法(特殊元素优先安排)，甲为特殊元素，故 先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有 A13种，其余 6 人全排 列，有 A66种．
由分步乘法计数原理得 A13A66＝2 160(种)． (2)位置分析法(特殊位置优先安排)，先排最左边，除去甲外，有 A16种， 余下的 6 个位置全排有 A66种，但应剔除乙在最右边的排法数 A15A55种． 则符合条件的排法共有 A16A66－A51A55＝3 720(种)． (3)捆绑法．将男生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行 全排列，共有 A33A55＝720(种)．
定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以
高三数学一轮复习 第十章 第二节 排列与组合课件 理 新人教A版
1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分 析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优
先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，
对于分类过多的问题可以采用间接法． 2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方 法．
然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个 数字全排列． ∴排成的三位奇数有C2A1A2＝12个． 3 2 2 2 1 ∴由加法计数原理，共有A 3 ＋A 2 ·A 2 ＝18个三位奇 3 数． 1 2 (2)法一 将4人平均分成两组有 C 4 种方法，将此两组 2 分配到6个班级中的2个班有A 2 种，所以不同的安排方法有 6 1 2 2 C A 种． 2 4 6 法二 先从6个班级中选2个班级有C 2 种不同方法，然 6 1 2 2 2 2 2 2 后安排学生有C4C2种，故有C6C4＝ A6C4种． 2
)
【解析】 满足题设的取法可分为三类：一是四个奇 数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意 取4个，有C 4 ＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶 5 数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取 2 2 2个，有C 5 ·C 4 ＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶 数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60 ＋1＝66(种)．
解．第(2)问根据有无女队长分类求解．
【尝试解答】 (1)法一 至少有1名女运动员包括以 下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分类加法计数原理可得总选法数为 2 2 4 C1C4＋C4C3＋C3C6＋C4C1＝246(种)． 4 6 6 4 6 法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动 员”可用间接法求解． 从10人中任选5人有C 5 种选法，其中全是男运动员的 10 5 选法有C6种．
高考数学一轮总复习第九章9_1计数原理与排列组合课件理新人教A版
等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3
B．4
C．6
D．8
(2)(2017·高考天津卷)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
个．(用数字作答)
(3)(2018·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使
种选法；再从余下的5本中选2本，有C
2 5
种选法；最后余下3本全
选，有C33种选法．
故共有C16C25C33＝60(种)．
②有序不均匀分组问题．
由于甲、乙、丙是不同的三人，在①的基础上，还应考虑再分配，共有C
2．分步乘法计数原理的用法及要求 (1)用法：应用分步乘法计数原理时，需要根据要完成事件的发生过程进行“分步” 计算． (2)要求：每个步骤相互依存，其中的任何一步都不能单独完成这件事，只有当各 个步骤都完成，才算完成这件事． 3．使用这两个原理时，分清是应用“加法”原理，还是“乘法”原理或是两者同时都 用．
答案：B
(3)在奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须 在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有
种．
答案：2 880
考点二|排列问题 (方法突破)
【例2】 (1)室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他
法三
(等机会法)：9个人全排列有A
9 9
种，甲排在每一个位置的机会都是均等的，
依题意得，甲不在中间及两端的排法总数是A99×69＝241 920(种)．
法四 (间接法)：A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)．
高考数学一轮复习讲义排列与组合课件
排列问题
例 1 有 4 名男生、5 名女生，全体排成一行，问下列情形各 有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．
这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元 素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起．对于相邻问题，常 用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素 后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法” 或“排除法”(特殊元素先考虑)．
方法四 (间接法) A99－3·A88＝6A88＝241 920(种)． (2)先排甲、乙，再排其余 7 人， 共有 A22·A77＝10 080(种)排法． (3)(插空法) 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法， 故共有 A44·A55＝2 880(种)排法．
方法二 由于每个车队的车辆均多于 4 辆，只需将 10 个份额 分成 7 份．可将 10 个小球排成一排，在相互之间的 9 个空当 中插入 6 个隔板，即可将小球分成 7 份．按顺序分别对应车队 应抽调车辆数．故共有 C96＝84(种)抽调方法．
答题模板
分组与分配问题
(14 分)按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配 方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本．
审题视角
(1)这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序 有关．(2)对于平均分组问题，要注意顺序．(3)避免计数的 重复或遗漏．
届高三理科数学第一轮复习 排列与组合.ppt
(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C62C42C22种方法， 但是这里出现了重复．不妨记 6 本书为 A、B、C、D、E、F， 若第一步取了 AB，第二步取了 CD，第三步取了 EF，记该种 分法为(AB，CD，EF)，则 C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、 (CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB， CD)，共 A33种情况，而这 A33种情况仅是 AB、CD、EF 的顺序 不同，因此只能作为一种分法．故分配方式有C26AC2433C22＝15(种)．
中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有( )
A．36种
B．30种
2 5
种排法，再排其
余位置有A44种排法，共有A25·A44＝480种排法． [答案] C
[题后悟道] 解决排列组合问题最基本的方法是位 置分析法和元素分析法，若以位置为主，需首先满足特 殊位置的要求，再处理其他位置；若以元素为主，需先 满足特殊元素的要求，再处理其他元素．
2．捆绑法、插空法
[典例2] (2012·绥化一模)有5盆各不相同的菊花，其
[答案] B [题后悟道] 插空法一般是先排没有限制条件的 元素，再按要求将不相邻的元素插入排好的元素之间； 对于捆绑法，一般是将必须相邻的元素看作一个“大元 素”，然后再与其余“普通元素”全排列，但不要忘记对 “大元素”内的元素进行排列．
3．正难则反排除法
[典例3] (2012·北京崇文一模)从6名男生和2名女生
2．(2012·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的
开闭方式有
()
A．11种 C．21种
B．20种 D．12种
解析：当第一组开关有一个接通时，电路接通为C
高三一轮复习排列组合ppt课件
A. 7 5
B. 5 7
A C
5 7
D.
C5 7
分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列， 将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客人”，每 个“客人”有7种住宿法，由乘法原理得 5 种。
7 5 注：对此类问题，常有疑惑，为什么不是 7 呢？
.
7
考向3 涂色问题
【例1】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？ 180 解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件事
需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4种 方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还可 以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有5×4×3×3 ＝180种涂色方法．
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
.
3
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素 之间及两端的空隙之间插入即可。
例4 7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻， 分别有多少种站法？
分析：可先让其余4人站好，共有 A
2021年高考数学一轮复习 第53讲 排列与组合
第一节排列与组合[考纲传真] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.3.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.4.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝mn种不同的方法排列的定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合的定义合成一组排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！性质A n n＝n！，0！＝1C m n＝C n－mn，C m n＋C m－1n＝Cmn＋11．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(4)k C k n＝n C k－1n－1. ( )[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．(教材改编)图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有( ) A．12 B．16C．64 D．120B[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( ) A．8 B．24C．48 D．120C[末位只能从2,4中选一个，其余的三个数字任意排列，故这样的偶数共有A34C12＝4×3×2×2＝48个．故选C.]4．某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A．85 B．56C．49 D．28C[法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有C17C22种方法，甲、乙两人只有1人入选，有C12C27种方法，由分类加法计数原理，共有C22C17＋C12C27＝49种选法．法二(间接法)：从9人中选3人有C39种方法，其中甲、乙均不入选有C37种方法，∴满足条件的选排方法有C39－C37＝84－35＝49种．]5．将6名教师分到三所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．360 [将6名教师分组，分3步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60(种)取法．将这三组教师分配到三所中学，有A33＝6(种)分法，故共有60×6＝360(种)不同的分法．]两个计数原理的综合应用【例1】(1)从甲地到乙地每天有直达汽车4班，从甲到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )A．12种B．19种C．32种D．60种(2)如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A．400种B．460种C．480种D．496种(1)B(2)C[(1)分两类：一类是直接从甲到乙，有n1＝4种方法；另一类是从甲经丙再到乙，可分为两步，有n2＝5×3＝15种方法．由分类计数原理可得：从甲到乙的不同乘车方法n＝n1＋n2＝4＋15＝19.故选B.(2)完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色．当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6×5×4×3＝360种方法；当使用3种颜色时，A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有6×5×4＝120种方法．由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360＋120＝480(种)．][规律方法]与两个计数原理有关问题的解题策略1在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.2对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成________个无重复数字的四位偶数．(用数字作答)(1)4554(2)420[(1)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．图(1)(2)①当末位数字是0时，如图(1)所示，共有A 36个不同的四位偶数；图(2)②当末位数字是2或4或6时，如图(2)所示，共有A 15A 25C 13个不同的四位偶数；即共有A 36＋A 15A 25C 13＝120＋5×5×4×3＝420个无重复数字的四位偶数．] 排列问题【例2】 3(1)若女生全排在一起，有多少种排法？(2)若女生都不相邻，有多少种排法？(3)若女生不站两端，有多少种排法？(4)其中甲必须排在乙左边(可不邻)，有多少种排法？(5)其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？[解] (1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有A 66种排法，而其中每一种排法中，3名女生之间又有A 33种排法，因此共有A 66·A 33＝4 320种不同排法．(2)(插空法)先排5名男生，有A 55种排法，这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A 36种排法，因此共有A 55·A 36＝14 400种不同排法．(3)法一(位置分析法)：因为两端不排女生，只能从5名男生中选2人排，有A 25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A 66种排法，因此共有A 25·A 66＝14 400种不同排法．法二(元素分析法)：从中间6个位置选3个安排女生，有A 36种排法，其余位置无限制，有A 55种排法，因此共有A 36·A 55＝14 400种不同排法.(4)8名学生的所有排列共A 88种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占12，因此符合要求的排法种数为12A 88＝20 160. (5)甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一(特殊元素法)：甲在最右边时，其他的可全排，有A 77种不同排法；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A 16种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A 16种，其余人全排列，共有A 16·A 16·A 66种不同排法．由分类加法计数原理知，共有A77＋A16·A16·A66＝30 960种不同排法．法二(特殊位置法)：先排最左边，除去甲外，有A17种排法，余下7个位置全排，有A77种排法，但应剔除乙在最右边时的排法A16·A66种，因此共有A17·A77－A16·A66＝30 960种排法．法三(间接法)：8名学生全排列，共A88种，其中，不符合条件的有甲在最左边时，有A77种排法，乙在最右边时，有A77种排法，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A66种排法．因此共有A88－2A77＋A66＝30 960种排法．[规律方法]求解排列应用问题的六种常用方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法A．144 B．120C．72 D．24(2)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A．24 B．18C．16 D．10(1)D(2)D[(1)先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A34＝24(种)方法．故选D.(2)分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A33种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有C12·A22种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A33＋C12·A22＝10.故选D.]组合问题【例3】队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．[解](1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C15·C48＝350种．(2)两队长当选，共有C22·C311＝165种．(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825种．(或采用排除法：C513－C511＝825(种))．(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966种．[规律方法]组合问题的常见类型与处理方法1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.2“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.人值班1天．若6位员工中的甲不值9日，乙不值11日，则不同的安排方法共有( ) A．30种B．36种C．42种D．48种(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．484(1)C(2)C[(1)若甲在11日值班，则在除乙外的4人中任选1人在11日值班，有C14种选法，9日、10日有C24C22种安排方法，共有C14C24C22＝24(种)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有C14C13C22种安排方法，共有12种安排方法；若甲、乙都在10日值班，则共有C24C22＝6(种)安排方法．所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．(2)分两类：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法共有C14C212＝264(种)；第二类，不含有红色卡片，不同的取法共有C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知，不同的取法有264＋208＝472(种)．]1．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种C．24种D．36种D[由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C 13·C 24·A 22＝36(种)，或列式为C 13·C 24·C 12＝3×4×32×2＝36(种)． 故选D.]2．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．9B [从E 到G 需要分两步完成：先从E 到F ，再从F 到G .从F 到G 的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F 到G 的最短路径共有3条．如图，从E 到F 的最短路径有两类：先从E 到A ，再从A 到F ，或先从E 到B ，再从B 到F .因为从A 到F 或从B 到F 都与从F 到G 的路径形状相同，所以从A 到F ，从B 到F 最短路径的条数都是3，所以从E 到F 的最短路径有3＋3＝6(条)．所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.]3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)16 [法一：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C 12C 24＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C 22C 14＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．法二：从6人中任选3人，不同的选法有C 36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C 34＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)．]。
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误解分析
问题1：是排列还是组合? 假期中全班40名同学都分别给同学写一封信，则共 有多少封信? 开学时，同班同学见面分别握一次手， 共握手多少次?
误解 都是C240
正解 前者讲次序，是排列问题，答案为A240，后者 不讲次序，是组合问题，答案为C240.
问题2：在100件产品中有次品3件，正品97件，从 中抽取4件，问至少抽得一件次品的方法数是多少?
市“资源”、“生态”、“环保”三个夏令营，要 求每个
夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加 一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是_1_8_0_.
5.不大于1 000的正整数中，不含数字3的正整数的
个数是( B )
（A）72
（B）648
（C）729
（D）728
【解题回顾】解法1先分类再分步，解法2分步结合 排除法.可见对同一问题有时既可按元素性质分类思 考，也可从事件过程分步思考.
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能力·思维·方法
1.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情 形各有多少种不同的排法? (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男、女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.
【解题回顾】本题集排列多种类型于一题，充分体 现了元素分析法(优先考虑特殊元素)，位置分析法 (优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、 捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.
2.由0，1，2，3，4，5这六个数字，
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?
(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?
(3)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少 个?
【解题回顾】①注意题中隐含条件零不能在首位； ②由零不能在首位的隐含条件导致(3)必须分类求解.
3. 从4名男生，3名女生中选出3名代表. (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同选法共有多少种?
第1课时 排列与组合(一)
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
1.
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2.
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1
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课前热身
1.
A1122 A1111 A1100
C 98 100
误解 从3件次品中抽取1件，再从余下来的2件次品 和97件正品(共99件)中任意抽取3件，即C13·C399.
正解 上述解法是一种正确的“操作”，但得到的是 错误的答案，因为抽法违背了分类、分步原则，因 而不符合计数原理，从而不能使用由计数原理推得 的组合数公式.正确的答案是：
C13C397+C23C297+C33C197. 这是将方法数分成3类：抽取1件、2件、3件次 品；然后每一类分两步：先抽次品，再抽正品得到 的.
6.央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单 位，分别在图中4个区域内坐定.有4种不同颜色的 服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装， 且相邻两个区域的颜色不同， 不相邻区域颜色相
同与否则不受限制，那么不同的着装方法共有多 少种?
【解题回顾】当某种元素的不同限制条件对其他 元素产生不同的影响时，应以此元素的不同限制 条件作为分类的标准进行讨论.
【解题回顾】选举问题是一种典型的组合问题，常
见的附加条件是分类选元.在解(2)、(3)时易犯的错 误是重复选，如解(2)为C13C26＝45种，解(3)为C13 C14C15＝60种.
4. 有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，4名 日语翻译员，另两名英、日语都精通， 从中找出8 人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英 文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问 这样的分配名单共可开出几张?
【解题回顾】首先注意分类方法，体会分类方法在 解组合问题中的作用.本题也可以先安排翻译英文 人员，后安排翻译日文人员进行分类求解，共有
C45C46+C35C12C45+C25C22C44＝185种.
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延伸·拓展
5. 从1到200的自然数中，求各个数位上都不含有 数字8的数的个数.
【解题回顾】注意此题没有要求各位上的数字不 重复.
11A22
136
C 38-n 3n
C
3n 21n
466
2.下图为一电路图，从A到B共有 ___8__条不同的线 路可通电.
3.语、数、外三科教师都布置了作业，在同一时刻4
名学生都做作业的可能情形有( B )
（A）43种
（B）34种
（C）A34种
（D）C34种
4.现从某校5名学生干部中选出4个人分别参加宿迁