甘肃省兰州市联片办学2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

2019—2020学年第一学期联片办学期末考试高二年级理科数学试卷一、选择题1.命题“若21x ≤，则11x -≤≤”的逆否命题是（ ） A. 若21x ≥，则1x ≥，或1x ≤- B. 若11x -<<，则21x < C. 若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ D. 若1x >或1x <-，则21x >【答案】D 【解析】 【分析】根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题．【详解】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为： 若1x >或1x <-，则21x >, 故选：D ．【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法，属于基础题． 2.“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席1935年10月所写的一首词《清平乐·六盘山》，反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分条件 D. 必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：设p ⌝为不到长城，q ⌝为非好汉，即p q ⌝⇒⌝， 则q p ⇒，即好汉⇒到长城， 故“到长城”是“好汉”的必要条件， 故选：D ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题． 3.下列说法中，正确的是（ ） A. “0x >”是“1x >”充分的条件；B. “1x >”是“2x >”成立的充分不必要条件；C. 命题“已知x ，y 是实数，若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”为真命题；D. 命题“若x ，y 都是正数，则x y +也是正数”的逆否命题是“若x y +不是正数，则x ，y 都不是正数”.【答案】C 【解析】 【分析】A ．根据充分条件的定义加以判断．B ．根据充分必要条件的定义加以判断．C ．写出原命题的逆否命题，根据互为逆否命题同真假加以判断；D ．写出原命题的逆命题，然后加以判断；【详解】解：对于A ：由0x >得不到1x >，故“0x >”是“1x >”的不充分的条件，故错误；对于B ：由1x >推不出2x >，但是由2x >能够得到1x >，故“1x >”是“2x >”成立的必要不充分条件，故错误；对于C ：命题“已知x ，y 是实数，若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠”的逆否命题为“已知x ，y 是实数，若1x =且1y =，则2x y +=”，显然是真命题，根据互为逆否命题同真假可知原命题是真的，故正确；对于D ：命题“若x ，y 都是正数，则x y +也是正数”的逆否命题是“若x y +不是正数，则x ，y 不都是正数”，故错误； 故选：C【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及真假，充分必要条件，属于基础题． 4.已知命题“设a 、b 、R c ∈，若22ac bc >，则a b >”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，命题“设a 、b 、R c ∈，若22ac bc >，则a b >”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设a 、b 、R c ∈，若a b >，则22ac bc >”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B ． 考点：四种命题的真假的判定．5.当双曲线M ：()22212024x y m m m -=-<<+的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =±D. 12y x =±【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得22224(1)3c m m m =++=++，可得1m =-取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．【详解】解：由题意可得22224(1)3c m m m =++=++， 可得当1m =-时，焦距2c 取得最小值，双曲线的方程为2212y x -=，即有渐近线方程为y =． 故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．6.若方程22148sin x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是（ ）A. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得关于α的三角不等式，根据正弦函数的性质解答.【详解】解：因为方程22148sin x y α+=表示焦点在y 轴上的椭圆所以8sin 4α>即1sin 2α>，由正弦函数的性质可得52266k k πππαπ+<<+，k Z ∈ 又α为锐角62ππα∴<<即,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭ 故选：C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，以及正弦函数的性质，属于基础题.7.已知()1,1是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的斜率是（ ）A. 12-B.12C. 14-D.14【答案】C 【解析】 【分析】设直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段AB ，1(A x ，1)y ，2((B x ，2)y 利用点差法可求直线的斜率.【详解】解：设直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段AB ，1(A x ，1)y ，2((B x ，2)y因为线段AB 中点为(1,1)，122x x ∴+=，122y y +=22111369x y +=，22221369x y += 12121212()()()()0369x x x x y y y y -+-+∴+=，12121212()()1()()4y y y y x x x x -+∴=--+ 121214y y x x -∴=--， 121214AB y y k x x -∴==--，即直线l 的斜率是14-． 故选：C ．【点睛】本题考查了中点弦问题，点差法是最好的方法，属于基础题． 8.若抛物线21:4C y x =上的点()3,2P m n -+到其焦点的距离为5，则实数n =（ ） A.52 B. 2C.32D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求出结果. 【详解】因为抛物线21:4C y x =的准线方程为1y =-， 又抛物线上的点()3,2P m n -+到其焦点的距离为5， 所以215n ++=，因此2n =. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义，灵活运用抛物线的定义即可求出结果，属于基础题型.9.抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形面积等于（ ）A.B. C. 2【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线212y x =的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线方程是解决本题的关键，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积．【详解】解：抛物线212y x =的准线为3x =-，双曲线22193x y -=的两条渐近线方程分别为：33y x =，33y x =-，如图这三条直线构成边长为23的等边三角形，因此，所求三角形面积等于12323sin 60332⨯⨯⨯︒=．故选：A ．【点睛】本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．10.方程(x 2＋y 2－4)1x y ++)＝0的曲线形状是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】 由(2240x y +-=可得：224010x y x y ⎧+-=⎨++≥⎩ 或10x y ++= 它表示直线10x y ++=和圆224x y +=在直线10x y ++=右上方的部分故选C11.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A. 2sin40°B. 2cos40°C.1sin50︒D.1cos50︒【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线定义可得tan130,tan 50b b a a -=︒∴=︒，再利用c e a ==线的离心率． 【详解】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒， 1cos50c e a ∴======︒，故选D ．【点睛】对于双曲线：()222210,0x y a b a b -=>>，有c e a ==()222210x y a b a b +=>>，有c e a == 12.设12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 在双曲线上，若120PF PF ⋅=u u u r u u u u r 且(122PF PF ac c ⋅==u u u v u u u u v ，则双曲线的离心率为（ ）A. 2 【答案】C 【解析】分析：由勾股定理得 （2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2+212||PF PF u u u v u u u u v ，得到 e 2﹣e ﹣1=0，解出e ．详解：由题意得，△PF 1F 2是直角三角形，由勾股定理得 （2c ）2=|PF 1|2+|PF 2|2=|PF 1﹣PF 2|2+212||PF PF u u u v u u u u v =4a 2+4ac ，∴c 2﹣ac ﹣a 2=0，e 2﹣e ﹣1=0 且e ＞1，解方程得e=12+， 故答案：C点睛：（1）本题主要考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用.(2)利用勾股定理及双曲线的定义建立a 、c 的关系是解题的关键． 二、填空题13.命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是__________.【答案】2000,3210x R x x ∃∈-+≤【解析】 【分析】利用全称命题的否定可得出答案．【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210x R x x ∀∈-+>”的否定是“0x R ∃∈，20032x x -10+≤”，故答案为“0x R ∃∈，203210x x -+≤”. 【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题．14.双曲线221916x y -=上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，那么点P 到另一个焦点的距离等于________. 【答案】3或15 【解析】 【分析】通过双曲线方程求出a ，再由已知条件，利用双曲线的定义能求出结果．【详解】解：Q 双曲线的标准方程是221916x y-=，3a ∴=，5c =设点P 到另一个焦点的距离为x ，Q 双曲线上一点P 到它的一个焦点的距离等于9，∴由双曲线定义知：|9|6x -=，解得15x =，或3x =． 32c a >-=Q∴点P 到另一个焦点的距离是15或3．故答案为：3或15．【点睛】本题考查双曲线上一点到焦点距离的求法，解题时要熟练掌握双曲线性质，属于基础题．15.一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】2213627x y +=【解析】 【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可． 【详解】圆x 2+y 2+6x +5＝0的圆心为A （﹣3，0），半径为2； 圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0的圆心为B （3，0），半径为10； 设动圆圆心为M （x ，y ），半径为x ； 则MA ＝2+r ，MB ＝10﹣r ； 于是MA +MB ＝12＞AB ＝6所以，动圆圆心M 的轨迹是以A （﹣3，0），B （3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2﹣c 2＝27；所以M 的轨迹方程为2213627x y +=故答案为2213627x y +=【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．16.已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N =____________．【答案】6 【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，作MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则2,4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线'32AN FF BM +==，由抛物线的定义有：3MF MB ==，结合题意，有3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 三、解答题17.设命题p ：实数x 满足22320x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足2760x x ++<.（1）当1a =-时，若p q ∧为真，求x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1) (2,1)-- (2) 31a --剟【解析】 【分析】（1）将1a =-代入22320x ax a -+<，由p q ∧为真可判断p 真且q 真，分别求解出命题对应的实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先将p ⌝是q ⌝的必要不充分条件转化为q 是p 的必要不充分条件，再结合端点值建立不等关系求解即可【详解】（1）当1a =-时，p 真，则2320x x ++<，解得21x -<<-；q 真，则解得61x -<<-.∵p q ∧为真，则p 真且q 真， 故x 的取值范围为(2,1)--.（2）p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件， ∵p 真，有2a x a <<， ∴1,26,a a -⎧⎨-⎩„…故31a --剟. 【点睛】本题考查由命题的真假进一步确定取值范围问题，根据包含关系求解参数取值范围，属于基础题18.（1）求过点()2,2-且与双曲线2212x y -=有公共渐近线的双曲线的方程；（2）求双曲线22145x y -=的焦点到其渐近线的距离.【答案】（1）22124y x -=；（2【解析】【分析】（1）设共渐近线的双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，代点计算可得.（2）根据双曲线方程求出焦点坐标以及渐近线方程，再根据点到线的距离公式计算可得.【详解】解：（1）因为所求双曲线与双曲线2212x y -=有公共渐近线，所以可设所求双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠．因为所求双曲线过点()2,2-，所以()22222λ--=，得2λ=-，所以所求双曲线的方程为22124y x -=．（2）因为双曲线的方程为22145x y -=，所以双曲线的一条渐近线方程为2y x =，20y -=．因为双曲线的左、右焦点到渐近线的距离相等， 且()3,0为双曲线的一个焦点，所以双曲线22145x y -=的焦点到其渐近线的距离为d ===．【点睛】本题考查共渐近线的双曲线方程的计算问题，以及点到线的距离公式，属于基础题.19.如图所示，12F F 、分别为椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右两个焦点，A 、B 为两个顶点．已知椭圆C 上的点3(1,)2到12F F 、两点的距离之和为4．（1）求椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C 的焦点2F 作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点，求弦PQ 的长．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)(1,0)-及；（2）72 【解析】【详解】（1）由椭圆定义2a =，又点3(1,)2在椭圆上，221914a b∴+= 2293344b b ∴=∴=∴椭圆方程为22143x y +=，焦点为(1,0)(1,0)-及 （2）33AB PQ k k PQ =∴=∴Q 方程为31)y x =-．代入椭圆方程 2234120x y +-=得22230x x --=，设1122(,),(,)P x y Q x y 则1212312x x x x +==-2212127(1)()42PQ k x x x x ⎡⎤∴=++-=⎣⎦ 20.已知双曲线C 以12(2,0)(2,0)F F -、为焦点，且过点(7,12)P （1）求双曲线C 与其渐近线方程（2）若斜率为1的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，且OA OB --→--→⊥（O 为坐标原点），求直线l 的方程【答案】（1）双曲线C 的方程为2213y x -=； 渐近线方程为3y x =±．（2）l 方程为3y x =．【解析】 【分析】（1）设出双曲线C 方程，利用已知条件求出c ，a ，解得b ，即可求出双曲线方程与渐近线的方程；（2）设直线l 的方程为y ＝x +t ，将其代入方程2213y x -=，通过△＞0，求出t 的范围，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用韦达定理，通过x 1x 2+y 1y 2＝0，求解t 即可得到直线方程．【详解】（1）设双曲线C 的方程为()2222100x y a b a b-=＞，＞，半焦距为c ，则c ＝2，1222a PF PF =-=，a ＝1，所以b 2＝c 2﹣a 2＝3，故双曲线C 的方程为2213y x -=．双曲线C 的渐近线方程为y =．（2）设直线l 的方程为y ＝x +t ，将其代入方程2213y x -=，可得2x 2﹣2tx ﹣t 2﹣3＝0（*）△＝4t 2+8（t 2+3）＝12t 2+24＞0，若设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程（*）的两个根，所以2121232t x x t x x ++==-，，又由OA OB ⊥u u u r u u u r，可知x 1x 2+y 1y 2＝0，即x 1x 2+（x 1+t ）（x 2+t ）＝0，可得()2121220x x t x x t +++=，故﹣（t 2+3）+t 2+t 2＝0，解得t =，所以直线l 方程为y x =．【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查计算能力．21.已知点M 到点()1,0F 的距离与点M 到直线10x +=的距离相等. （1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Q ，过点F 且斜率为1的直线与曲线Q 相交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积.【答案】（1）24y x =；（2）【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可知点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点的抛物线，即可求解. （2）由点斜式求出直线方程，联立直线与抛物线方程，消元，利用韦达定理即可求得三角形的面积.【详解】解：（1）设(),M x y ，∵动点M 到点()1,0F 的距离与(),M x y 到定直线10x +=的距离相等， ∴点M 到点()1,0F 的距离等于(),M x y 到直线1x =-的距离，由抛物线定义得：点(),M x y 的轨迹是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线. 设抛物线方程为()220y px p =>，可得：12p=，2p =. ∴抛物线的方程为24y x =，即为点M 的轨迹方程. （2）由直线的斜率为1，可得直线的方程为()11y x =⨯-，即1y x =-. 与24y x =联立，消去x ，整理得2440y y --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y +=，124y y =-，∴12y y -===因此ABO ∆的面积:1212S OF y y =⋅- 112=⨯⨯=【点睛】本题考查抛物线的定义，以及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ． （1）已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程； （2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x =-上，求椭圆的离心率e 的值．【答案】（1）22186x y +=（2）2e =【解析】 【分析】（1）利用椭圆的离心率以及已知条件转化求解a ，b 即可得到椭圆方程． （2）A （a ，0），F （﹣c ，0），求出线段AF 的中垂线方程为：2a c x -=．推出22a c a c C --⎛⎫- ⎪⎝⎭，，求出线段AB 的中垂线方程，推出b ＝c ，然后求解椭圆的离心率即可．【详解】（1）因为椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为12，所以12c a =，则2a c =． 因为线段AF 2， 所以22a c -=． 所以2c =28a =，2226b a c =-=．所以椭圆的标准方程为22186x y +=．（2）因为()()00A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx -=． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x =-上，所以22a c a c C --⎛⎫-⎪⎝⎭，．因为()()00A a B b ，，，， 所以线段AB 的中垂线方程为：22b a a y x b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． 由C 在线段AB 的中垂线上，得2222a c b a a c a b --⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 整理得，()2b ac b ac -+=，即()()0b c a b -+=． 因为0a b +>，所以b c =．所以椭圆的离心率2c e a ===．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率以及椭圆方程的求法，考查计算能力．。