2015年高考一轮复习微专题训练24 带电粒子在磁场中运动的极值和临界问题
高三物理暑期微训练《带电粒子在磁场中运动的极值和临界问题》
带电粒子在磁场中运动的极值和临界问题1．如图1所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与N 板的夹角为θ＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求：图1(1)两板间电压的最大值U m .(2)CD 板上可能被粒子打中区域的长度s . (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m .解析 (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示，CH ＝QC ＝L故半径r 1＝L ，又因为qv 1B ＝m v 21r 1且qU m ＝12mv 21，所以U m ＝qB 2L22m.(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD 板相切于K 点，此轨迹的半径为r 2，设圆心为A ，在△AKC 中：sin 45°＝r 2L －r 2，解得r 2＝(2－1)L ，即KC ＝r 2＝(2－1)L 所以CD 板上可能被粒子打中的区域的长度s ＝HK ，即s ＝r 1－r 2＝(2－2)L .(3)打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以t m ＝T 2＝πmBq .答案 (1)qB 2L 22m (2)(2－2)L (3)πmBq2．如图2所示，在真空区域内，有宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，MN 、PQ 为磁场的边界．质量为m 、带电荷量为－q 的粒子，先后两次沿着与MN 夹角为θ(0°<θ<90°)的方向垂直于磁感线射入匀强磁场中，第一次粒子是经电压U 1加速后射入磁场的，粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场；第二次粒子是经电压U 2加速后射入磁场的，粒子刚好能垂直于PQ 射出磁场．(不计粒子重力，粒子加速前的速度认为是零，U 1、U 2未知)图2(1)加速电压U 1、U 2的比值U 1/U 2为多少？(2)为使粒子经电压U 2加速射入磁场后沿直线射出PQ 边界，可在磁场区域加一个匀强电场，求该电场的场强．解析 (1)如图所示，第一次粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场，表明粒子在磁场中的轨迹刚好与PQ 相切，如图中的轨迹1.设轨迹半径为r 1，由几何关系得到：r 1＋r 1cos θ＝L ，解得r 1＝L1＋cos θ第二次粒子刚好能垂直PQ 边界射出磁场，粒子在磁场中的轨迹圆心为图中的O 2点，运行轨迹为轨迹2，设轨迹半径为r 2，由几何关系得到：r 2＝Lcos θ根据轨迹半径公式r ＝2mqUBq，可得r 1r 2＝ U 1U 2，所以U 1U 2＝cos 2θ＋cos θ2.(2)若加入一个匀强电场后使电场力恰好能平衡洛伦兹力，则粒子将沿直线射出PQ 边界，场强方向为垂直速度方向斜向下，设场强大小为E ，则Eq ＝Bqv 2，解得E ＝Bv 2① 由于粒子的轨迹半径r 2＝L cos θ＝mv 2Bq ，可得v 2＝BqLm cos θ②①②联立可得E ＝B 2qLm cos θ，方向与水平方向成θ角斜向右下方． 答案 (1)cos 2θ＋cos θ2(2)B 2qLm cos θ，方向与水平方向成θ角斜向右下方3．如图3所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．图3(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3又qv 1B ＝m v 21R 1得v 1＝3Bqr 3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r－R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又qv 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m. 答案 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m4．如图4所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E ＝1.0×103V/m ，方向未知，磁感应强度B ＝1.0 T ，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B ′(图中未画出)．一质量m ＝1×10－14kg 、电荷量q ＝1×10－10C 的带正电粒子以某一速度v 沿与x 轴负方向成60°角的方向从A 点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B 点进入磁场B ′区域．一段时间后，粒子经过x 轴上的C 点并与x 轴负方向成60°角飞出．已知A 点坐标为(10,0)，C 点坐标为(－30,0)，不计粒子重力．图4(1)判断匀强电场E 的方向并求出粒子的速度v ；(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B ′； (3)求第二象限磁场B ′区域的最小面积．解析 (1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与x 轴正向成30°角斜向右上方．由平衡条件有Eq ＝Bqv得v ＝E B ＝1.0×1031.0m/s ＝103m/s(2)粒子从B 点进入第二象限的磁场B ′中，轨迹如图 粒子做圆周运动的半径为R ，由几何关系可知R ＝10cos 30° cm ＝203cm由qvB ′＝m v 2R ，解得B ′＝mv 2qvR ＝mv qR ，代入数据解得B ′＝32T.(3)由图可知，B 、D 点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，磁场B ′的最小区域应该分布在以BD 为直径的圆内．由几何关系得BD ＝20 cm ，即磁场圆的最小半径r ＝10 cm ，所以，所求磁场的最小面积为S ＝πr 2＝3.14×10－2m 2答案 (1)与x 轴正向成30°角斜向右上方 103m/s (2)运动轨迹见解析图 32T (3)3.14×10－2m 2。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题和多解问题
第八章 第4节
高考调研
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受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能 带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场 中运动的轨迹不同，形成多解．
如图所示，带电粒子以速率 v 垂直进入匀强磁场， 如果带正电，其轨迹为 a；如果带负电，其轨迹为 b.
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第八章 第4节
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(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大 小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所 受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用 圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中 即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方 向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样 大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋 转(作图)中，也容易发现“临界点”．
(1)若使电子源发射的电子能到达挡板，则发射 速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为第(1)问中的2 倍，则挡扳上被电子击中的区域范围有多大？
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【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中 的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．
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4．运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、 部分是磁场空间运动时，往往运动具有⑦__周_期__性___，因 而形成多解.
第八章 第4节
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(超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
第八章 第4节 第八页，编辑于星期四：十四点 三十三分。
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2．要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可 突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观．
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第八章 第4节 第五页，编辑于星期四：十四点 三十三分。
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4．运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、 部分是磁场空间运动时，往往运动具有⑦__周_期__性___，因 而形成多解.
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
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二、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的多解问题 规律方法 1．带电粒子电性不确定形成多解
第八章 第4节 第二十五页，编辑于星期四：十四点 三十三分。
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受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能 带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场 中运动的轨迹不同，形成多解．
值,常用结论如下:
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边
高中物理带电粒子在有界磁场中运动临界问题极值问题和多解问题
(1)综合③④结论知，所有从 ab 上射出的粒子的入射 速度 v0 的范围应为q3Bml<v0<qmBl.
临界状态（轨迹与边界相切）
d
c
临界Байду номын сангаас态
B
θv
（轨迹与边界相切）
a
b
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
①速度较小时粒子做部分圆周运动后从原边界飞出；
②速度在某一范围内从上侧面边界飞；
③速度较大时粒子做部分圆周运动从右侧面边界飞出；
④速度更大时粒子做部分圆周运动从下侧面边界飞出。
例1 如图所示，S为一个电子源，它可以在纸面 内360°范围内发射速率相同的质量为m、电量为e的 电子，MN是一块足够大的挡板，与S的距离OS＝L， 挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度为B，问：
PQ
v
S
圆心在过入射点跟跟速度方向垂直的直线上 ①速度较小时，作圆弧运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨 迹与另一边界相切； ③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
二、带电粒子在矩形边界磁场中的运动
vB
o
圆心在磁场原边界上 ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ②速度在某一范围内时从侧面边界飞出； ③速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。
(1)若使电子源发射的电子能到达 挡板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度 为第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子 击中的区域范围有多大？
【解析】 (1)电子射出方向不同，其在匀强磁场中 的轨迹不同，每个电子的圆轨道的圆心都位于以射出点 S 为圆心、半径 r＝mBev的圆弧上，如图所示．欲使电子有 可能击中挡板，电子的轨道半径至少为L2，如图所示．
带电粒子在磁场中的临界极值问题
带电粒子在磁场运动的临界与极值问题【考点解读】解决此类问题的关键是：找准临界点.找临界点的方法是：以题目中的“恰好” “最大”“最高”“至少”等词语为突破□，借助半径和速度讽或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.(2)当速度。
一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长・(3)当速率。
变化时，圆周角越大，运动时间越长.【典例剖析】1 •磁感应强度的极值问题例1如图所示，一带正电的质子以速度％从0点垂直射入，两个板间存在垂直纸而向里的匀强磁场.已知两板之间距离为d,板长为厶o点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为◎质量为加).2.偏角的极值问题例2在真空中，半径r=3X10-2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B=0・2T, —个带正电的粒子以初速度％= 1X1O6 ni/s从磁场边界上直径ah的一端“射入磁场，已知该粒子的比荷^=ixio«c/kg,不计粒子重力.XXX(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径：(2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时％与肪的夹角&及粒子的最大偏转角.3・时间的极值问题例3如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值•静止的带电粒子带电荷量为+山质量为加(不计重力),从点P经电场加速后，从小孔0进入N板右侧的匀强磁场区域.磁感应强度大小为方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为0=45。
，孔0到板的下端C的距离为乙当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂宜打在CD板上，求:(1)两板间电压的最大值卩曲(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度A；(3)粒子在磁场中运动的最长时间仏4.面积的极值问题例4如图12所示，一带电质点，质虽:为加电量为6以平行于&轴的速度y从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。
磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
一带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题临界状态是指物体从一种运动状态（或物理现象）转变为另一种运动状态(或物理现象）的转折状态,它既具有前一种运动状态（或物理现象）的特点，又具有后一种运动状态（或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式：(1)找出临界状态及临界条件;（2)总结临界点的规律;（3）解出临界量;（4）分析临界量列出公式．2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种:一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论;二是借助于几何图形进行直观分析．例题1．平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面（纸面）如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0）．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（)A.mv2qB B．错误!C。
错误! D.错误!解析：选D.如图所示,粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝错误!.设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R。
由几何图形知，AP＝错误!R，则AO＝错误!AP＝3R，所以OB＝4R＝错误!。
故选项D正确．例题2．(多选）如图所示,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ＝30°,孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上,则( )A．两板间电压的最大值U m＝错误!B．CD板上可能被粒子打中区域的长度x＝错误!LC．粒子在磁场中运动的最长时间t m＝错误!D．能打在N板上的粒子的最大动能为错误!解析：选BCD.M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CH＝QC＝L,故半径R1＝L,又因Bqv1＝m错误!，qU m＝错误!mv错误!，可得U m＝错误!，所以A错误．设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中sin 30°＝错误!＝错误!,可得R2＝错误!，CK长为错误!R2＝错误!L,则CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x＝HK＝L－CK＝错误!L，故B正确．打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T＝错误!，所以t m＝错误!，C正确．能打到N板上的粒子的临界条件是轨迹与CD 相切，由B选项知，r m＝R2＝错误!，可得v m＝错误!，动能E km＝错误!,故D正确．例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场,粒子重力不计．求：（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度;（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？（3）若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场,则粒子能打到CD边界的距离大小？解析：(1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R1，运动速度为v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R1＋R1cos 30°＝d又qv0B＝错误!解得v0＝错误!＝错误!所以粒子能从左边界射出时的最大速度为v m＝v0＝错误!（2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示．由几何关系知R2＝错误!由洛伦兹力提供向心力得Bqv2＝m错误!由动能定理得－qU＝0－错误!mv错误!解得U＝错误!＝错误!所加电压满足的条件U≥错误!。
高考物理复习 (超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
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一、带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题 规律方法 1．解决此类问题关键是找准临界点，审题应抓住题 目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语作为 突破口，挖掘隐含条件，分析可能的情况，如有必要则 画出几个不同半径相应的轨迹图，从而分析出临界条 件．寻找临界点的两种有效方法：
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3．临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可 能转过 180°从入射界面这边反向飞出，如图所示，于是 形成了多解．
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4．运动的往复性形成多解 (1)带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动 时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图所示．
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(2)带电粒子在磁场中运动时，由于磁场方向突然反 向等，使得运动具有往复性而形成多解．
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例 2 如图所示，在 x<0 与 x>0 的区域中，存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直 于纸面向里，且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
可能
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3．临界状态⑥_不__同_____形成多解：带电粒子在洛伦 兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动速度不同， 因此，它可能穿过去了，可能转过 180°从入射界面这边 反向飞出，如图所示，于是形成多解．
(超全)带电粒子在有界磁场中运动的临界问题、极值问题和多解问题
(1)若要粒子从ab边上射出，则 入射速度v0的范围是多少？
(2)粒子在磁场中运动的最长
时间为多少？
第19页，共42页。
第八章 第4节
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【解析】 ①带电粒子在 O 点所受洛伦兹力方向垂 直于 v0，即图中 OO1 方向，所有粒子的轨道圆心均应在 直线 OO1 上．
第20页，共42页。
借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分
析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,
常用结论如下:
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边
界相切.
（2）当速度v一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在
有界磁场中运动的时间越长.
第八章 第4节
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例 2 如图所示，在 x<0 与 x>0 的区域中，存在磁感 应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直 于纸面向里，且 B1>B2.一个带负电荷的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间 后又经过 O 点，B1 与 B2 的比值应满足什么条件？
第18页，共42页。
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跟踪训练 1 如图所示，一足够长的矩形区域 abcd 内有磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现 从 ad 边的中点 O 处，以垂直磁场且跟 ad 边成 30°角的速 度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为 m，带电荷量 为 q，ad 边长为 l，不计粒子重力．求：
第22页，共42页。
第八章 第4节
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高考物理大一轮总复习 第八章 第3课时 带电粒子在磁场中运动的特例知能达标训练
第3课时带电粒子在磁场中运动的特例(临界、极值及多解问题)知识点题号1.带电粒子在磁场中的匀速圆周运动3、5、6、102.带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题1、4、7、8、9、113.带电粒子在磁场中运动的周期性变化的问题 2一、单项选择题1.(2013四川泸州一模)如图所示,长方形abcd的长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以e为圆心eb为半径的圆弧和以O为圆心Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)磁感应强度B=0.25 T.一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场方向射入磁场区域,则下列判断正确的是( D )A.从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子,出射点分布在ab边D.从ad边射入的粒子,出射点全部通过b点解析:带正电粒子做匀速圆周运动的半径r==0.3 m,从Od边射入的粒子,轨迹都与bc相切,出射点都平行bc过b点,故选项A、C错误;从aO射入的粒子,由于圆的半径与磁场半径相同,通过做垂线找圆心,发现圆的半径与磁场半径组成菱形,带正电粒子经过b点射出磁场,故选项B错误,D正确.2.空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场,其方向随时间做周期性变化,磁感应强度B随时间t 变化的图象如图所示.规定B>0时,磁场的方向穿出纸面.一电荷量q=5π×10-7 C、质量m=5×10-10 kg的带电粒子,位于点O处,在t=0时以初速度v0=π m/s沿某方向开始运动.不计重力的作用,不计磁场的变化可能产生的一切其他影响.则在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内带电粒子的平均速度的大小等于( C )A.π m/sB. m/sC.2 m/sD.2 m/s解析:带电粒子在磁场中的运动半径为r==0.01 m,周期为T==0.02 s,作出粒子的轨迹示意图如图所示,所以在磁场变化N个(N为整数)周期的时间内,由平均速度的定义式=== m/s=2 m/s,即选项C正确.3.一电子以与磁场垂直的速度v从P处沿PQ方向进入长为d、宽为h的匀强磁场区域,从N 点射出,如图所示,若电子质量为m,电荷量为e,磁感应强度为B,则( C )A.h=dB.电子在磁场中运动的时间为C.电子在磁场中运动的时间为D.洛伦兹力对电子做的功为Bevh解析:过P点和N点作速度的垂线,两垂线的交点即为电子在磁场中做匀速圆周运动时的圆心O,由勾股定理可得(R-h)2+d2=R2,整理知d=,而R=,故d=,所以选项A错误.由带电粒子在有界磁场中做匀速圆周运动,得t=,故选项B错误,选项C正确.又由于洛伦兹力方向和粒子运动的速度方向总垂直,对粒子永远也不做功,故选项D错误.4.(2013安徽省安师大附中一模)如图所示,在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B.在xOy平面内,从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0<θ<π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计).则下列说法中正确的是( A )A.若v一定,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短B.若v一定,θ越大,则粒子在离开磁场的位置距O点越远C.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的角速度越大D.若θ一定,v越大,则粒子在磁场中运动的时间越短解析:粒子运动周期T=,当v一定时,粒子在磁场中运动的时间t=T=T,θ越大,则粒子在磁场中运动的时间越短,故选项A对;当v一定时,由r=知,r一定;当θ从0变至的过程中,θ越大,粒子离开磁场的位置距O点越远;当θ大于时,θ越大,粒子离开磁场的位置距O点越近,故选项B错;当θ一定时,粒子在磁场中运动时间t=T=T,ω=.由于t、ω均与v无关,故选项C、D错.解答此类问题时,一定要先明确,哪些物理量是定值,哪些是变量,从而正确地选择公式进行分析.5.如图所示,在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场,粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角,若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a,则该粒子的比荷和所带电荷的正负是( C )A.,正电荷B.,正电荷C.,负电荷D.,负电荷解析:从“粒子穿过y轴正半轴后…”可知粒子向右侧偏转,洛伦兹力指向运动方向的右侧,由左手定则可判定粒子带负电,作出粒子运动轨迹示意图如图,根据几何关系有r+rsin 30°=a,再结合半径表达式r=可得=,故选项C正确.6.垂直纸面的匀强磁场区域里,一离子从原点O沿纸面向x轴正方向飞出,其运动轨迹可能是图中的( BC )解析:利用左手定则可以判断离子做圆周运动的圆心应在y轴上,选项B、C正确.7. 如图所示,在x>0,y>0的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向里,大小为B.现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子,由x轴上的P点以不同初速度平行于y轴射入此磁场,其出射方向如图所示,不计重力影响,则( AD )A.初速度最大的粒子是沿①方向射出的粒子B.初速度最大的粒子是沿②方向射出的粒子C.在磁场中运动时间最长的是沿③方向射出的粒子D.在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子解析:显然图中四条圆弧中①对应的半径最大,由半径公式r=可知,质量和电荷量相同的带电粒子在同一个磁场中做匀速圆周运动的速度越大,半径越大,A对B错;根据周期公式T=知,当圆弧对应的圆心角为θ时,带电粒子在磁场中运动的时间为t=,圆心角越大则运动时间越长,圆心均在x轴上,由半径大小关系可知④的圆心角为π,且最大,故在磁场中运动时间最长的是沿④方向射出的粒子,D对C错.二、不定项选择题8.如图所示,在等腰三角形abc区域内有垂直纸面向外的匀强磁场,d是ac上任意一点,e是bc上任意一点.大量相同的带电粒子从a点以相同方向进入磁场,由于速度大小不同,粒子从ac和bc上不同点离开磁场.不计粒子重力.从c点离开的粒子在三角形abc磁场区域内经过的弧长和运动时间,与从d点和e点离开的粒子相比较( AD )A.经过的弧长一定大于从d点离开的粒子经过的弧长B.经过的弧长一定小于从e点离开的粒子经过的弧长C.运动时间一定大于从d点离开的粒子的运动时间D.运动时间一定大于从e点离开的粒子的运动时间解析: 如图所示,随着速度的增大,其半径r=增大,粒子依次从ac上、c点、cb上射出,由图可知,选项A正确;粒子运动的周期T=相同,与速度大小无关,由图知, θ1=θ2>θ3,运动时间t∝θ,选项D正确.9.如图所示,宽d=2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大,磁感应强度的方向垂直纸面向里.现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向射入磁场.若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm,不计粒子的重力,则( AD )A.右边界:-4 cm≤y<4 cm内有粒子射出B.右边界:y>4 cm和y<-4 cm内有粒子射出C.左边界:y>8 cm内有粒子射出D.左边界:0<y≤8 cm内有粒子射出解析:作出如图所示的示意图,由几何关系可得:右边界临界点距x轴的间距y==4 cm,左边界临界点距x轴的间距y'=2y=8 cm.三、非选择题10.一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的左边界ad长为L,现从ad中点O垂直于磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v0的带正电粒子,如图所示.已知粒子电荷量为q,质量为m(重力不计):(1)若要求粒子能从ab边射出磁场,v0应满足什么条件?(2)若要求粒子在磁场中运动的时间最长,粒子应从哪一条边界处射出,出射点位于该边界上何处?最长时间是多少?解析:(1)当粒子轨迹恰好与cd边相切时,是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最大的情况,设此半径为R1,如图(甲)所示.则有R1cos60°+=R1可得R1=L当粒子轨迹恰好与ab相切时是粒子能从ab边射出磁场区域时轨迹圆半径最小的情况,设此半径为R2,如图(乙)所示则有:R2sin30°+R2=得:R2=故粒子从ab边射出的条件为R2<R≤R1即<R≤L根据qv0B=m,得v0=所以<v0≤.(2)因为t=T=所以粒子运动所经过的圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长,从(1)中图可以看出,如果粒子从cd边射出,则圆心角最大为60°,若粒子从ab边射出,则圆心角最大为240°,粒子从ad边射出,圆心角最大为360°-60°=300°,由于磁场无右边界,故粒子不可能从右侧射出.为使粒子在磁场中运动的时间最长,粒子应从ad边射出,如(1)中图(乙)所示,从图中可以看出,P点是离O距离最大的出射点PO=,即出射点到O的距离不超过最长时间为t max=T==.答案:见解析解答有界磁场的临界问题时,画图分析是关键,要充分考虑各种可能性,与边界相切往往是解题的突破点.11. (2013宁波市期末)如图所示,在矩形区域内有垂直于纸平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B=5.0×10-2T,矩形区域长为 m,宽为0.2 m,在AD边中点O处有一放射源,某时刻,放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射出速率均为v=2×106 m/s的某种带正电粒子,带电粒子质量m=1.6×10-27kg.电荷量为q=3.2×10-19C(不计粒子重力),求:(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为多大?(2)从BC边界射出的粒子中,在磁场中运动的最短时间为多少?(3)若放射源向磁场内共辐射出了N个粒子,从CD边界射出的粒子有多少个?解析:(1)qvB=m,解得:R==0.2 m.(2)因为所有粒子的轨迹半径相同,所以弦最短的圆弧所对应圆心角最小,运动时间最短.作EO⊥AD,EO弦最短.因为EO=0.2 m,且R=0.2 m,所以对应的圆心角为θ=π/3.因为qvB=mR()2,所以T=.最短时间为t==,代入数据得:t=×10-7s.(3)判断从O点哪些方向射入磁场的粒子将会从CD边射出,如图为两个边界.当速度方向满足一定条件时,粒子将从D点射出磁场.因为OD=m,且R=0.2 m,所以∠OO2D=2π/3.此时射入磁场的粒子速度方向与OD夹角为π/3.当轨迹圆与BC边相切时,因为CD=0.2 m,且R=0.2 m,所以圆心O1在AD边上.因为OO1<OD,所以带电粒子不可能通过C点.与BC边相切的即为从CD边射出磁场的最上边缘的粒子.该粒子进入磁场的速度方向垂直AD向上,与OD之间的夹角为π/2.所以从CD边射出磁场的粒子,射入磁场时速度方向应与OD边夹角在π/3到π/2之间,Δθ=π/6的范围内.因为放射源沿纸面向磁场中各方向均匀地辐射粒子,所以能够从CD边射出的粒子数目为:n=N,即n=N/6.答案:(1)0.2 m (2)×10-7 s (3)。
高考物理带电粒子在磁场中的运动习题一轮复习及答案
高考物理带电粒子在磁场中的运动习题一轮复习及答案一、带电粒子在磁场中的运动压轴题1．在如图所示的平面直角坐标系中，存在一个半径R ＝0.2m 的圆形匀强磁场区域，磁感应强度B ＝1.0T ，方向垂直纸面向外，该磁场区域的右边缘与y 坐标轴相切于原点O 点。
y 轴右侧存在一个匀强电场，方向沿y 轴正方向，电场区域宽度l ＝0.1m 。
现从坐标为（﹣0.2m ，﹣0.2m ）的P 点发射出质量m ＝2.0×10﹣9kg 、带电荷量q ＝5.0×10﹣5C 的带正电粒子，沿y 轴正方向射入匀强磁场，速度大小v 0＝5.0×103m/s （粒子重力不计）。
（1）带电粒子从坐标为（0.1m ，0.05m ）的点射出电场，求该电场强度；（2）为了使该带电粒子能从坐标为（0.1m ，﹣0.05m ）的点回到电场，可在紧邻电场的右侧区域内加匀强磁场，试求所加匀强磁场的磁感应强度大小和方向。
【答案】（1）1.0×104N/C （2）4T ，方向垂直纸面向外 【解析】 【详解】解：（1）带正电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力有：200v qv B m r=可得：r =0.20m =R根据几何关系可以知道，带电粒子恰从O 点沿x 轴进入电场，带电粒子做类平抛运动，设粒子到达电场边缘时，竖直方向的位移为y 根据类平抛规律可得：2012l v t y at ==， 根据牛顿第二定律可得：Eq ma = 联立可得：41.010E =⨯N/C（2）粒子飞离电场时，沿电场方向速度：305.010y qE lv at m v ===⨯m/s=0v 粒子射出电场时速度：02v v根据几何关系可知，粒子在B '区域磁场中做圆周运动半径：2r '=根据洛伦兹力提供向心力可得： 2v qvB m r '='联立可得所加匀强磁场的磁感应强度大小：4mvB qr'=='T 根据左手定则可知所加磁场方向垂直纸面向外。
高考物理一轮总复习第11章带电粒子在磁场中运动的临界问题与多解问题提能训练(含答案)
高考物理一轮总复习提能训练：第十一章 专题强化十四基础过关练题组一 带电粒子在磁场中运动的临界极值问题1.如图所示，在直角三角形abc 区域(含边界)内存在垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，∠a ＝60°，∠b ＝90°，边长ab ＝L ，一个粒子源在b 点将质量为m 、电荷量为q 的带负电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场，在磁场中运动时间最长的粒子中，速度的最大值是(不计粒子重力及粒子间的相互作用)( D )A.qBL2mB ．qBL 3mC.3qBL2mD ．3qBL3m[解析] 由左手定则和题意知，沿ba 方向射出的粒子在三角形磁场区域内运动半个圆周时，运动时间最长，速度最大时的轨迹恰与ac 相切，轨迹如图所示，由几何关系可得最大半径r ＝L tan 30°＝33L ，由洛伦兹力提供向心力得qv m B ＝m v 2mr ，从而求得最大速度v m ＝3qBL 3m，选项A 、B 、C 错误，D正确。
2．一匀强磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab ︵为半圆，ac 、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。
一束质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。
不计粒子之间的相互作用。
在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( C )A.7πm6qB B ．5πm 4qBC.4πm3qBD ．3πm 2qB[解析] 带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力有qvB ＝m v 2r ，解得r ＝mv qB ，运动时间t ＝θr v ＝θmqB，θ为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。
采用放缩法，粒子垂直ac 射入磁场，则轨迹圆圆心必在直线ac 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大，当r ≤0.5R (R 为ab ︵的半径)和r ≥1.5R 时，粒子从ac 、bd 区域射出磁场，运动时间等于半个周期。
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微专题训练24 带电粒子在磁场中运动的极值和临界
问题
1．如图1所示，M 、N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各
种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q ，质量为m (不计重力)，从点P 经电场加速后，从小孔Q 进入
N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，CD 为磁场边界上的一绝缘板，
它与N 板的夹角为θ＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L ，当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，求：
图1
(1)两板间电压的最大值U m .
(2)CD 板上可能被粒子打中区域的长度s . (3)粒子在磁场中运动的最长时间t m .
解析 (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示，CH ＝
QC ＝L
故半径r 1＝L ，又因为qv 1B ＝m v 21
r 1
且qU m ＝12mv 21，所以U m ＝qB 2L
2
2m
.
(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与CD 板相切于K 点，此轨迹的半径为r 2，设圆心为A ，在△AKC 中：sin 45°＝
r 2
L －r 2
，解得r 2＝(2－1)L ，即KC ＝r 2＝(2－1)L
所以CD 板上可能被粒子打中的区域的长度s ＝HK ，即s ＝r 1－r 2＝(2－2)L .
(3)打在QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以t m ＝T 2＝πm
Bq .
答案 (1)qB 2L 22m (2)(2－2)L (3)πm
Bq
2．如图2所示，在真空区域内，有宽度为L 的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直纸面向里，MN 、
PQ 为磁场的边界．质量为m 、带电荷量为－q 的粒子，先后两次沿着与MN 夹角为θ(0°<θ<90°)的
方向垂直于磁感线射入匀强磁场中，第一次粒子是经电压U 1加速后射入磁场的，粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场；第二次粒子是经电压U 2加速后射入磁场的，粒子刚好能垂直于PQ 射出磁场．(不计粒
子重力，粒子加速前的速度认为是零，U 1、U 2未知)
图2
(1)加速电压U 1、U 2的比值U 1/U 2为多少？
(2)为使粒子经电压U 2加速射入磁场后沿直线射出PQ 边界，可在磁场区域加一个匀强电场，求该电场的场强．
解析 (1)如图所示，第一次粒子刚好没能从PQ 边界射出磁场，表明粒子在磁场中的轨迹刚好与PQ 相切，如图中的轨迹1.设轨迹半径为r 1，由几何关系得到：r 1＋r 1cos θ＝L ，解得r 1＝L
1＋cos θ
第二次粒子刚好能垂直PQ 边界射出磁场，粒子在磁场中的轨迹圆心为图中的O 2点，运行轨迹为轨迹2，设轨迹半径为r 2，由几何关系得到：r 2＝L
cos θ
根据轨迹半径公式r ＝
2mqU
Bq
，可得
r 1
r 2＝ U 1U 2，所以U 1U 2＝cos 2
θ
＋cos θ
2
.
(2)若加入一个匀强电场后使电场力恰好能平衡洛伦兹力，则粒子将沿直线射出PQ 边界，场强方向为垂直速度方向斜向下，设场强大小为E ，则Eq ＝Bqv 2，解得E ＝Bv 2① 由于粒子的轨迹半径r 2＝L cos θ＝mv 2Bq ，可得v 2＝BqL
m cos θ②
①②联立可得E ＝B 2qL
m cos θ
，方向与水平方向成θ角斜向右下方． 答案 (1)
cos 2
θ
＋cos θ
2
(2)
B 2qL
m cos θ
，方向与水平方向成θ角斜向右下方
3．如图3所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．
图3
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
解析 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得
R 1＝
3r 3
又qv 1B ＝m v 21
R 1得v 1＝3Bqr 3m
.
(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2
＝R 2
2＋
r 2
可得R 2＝3r 4，又qv 2B ＝m v 2
2R 2，可得v 2＝3Bqr
4m
故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr
4m
. 答案 (1)
3Bqr 3m (2)3Bqr
4m
4．如图4所示，在坐标系第一象限内有正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度E ＝1.0×103
V/m ，方向未
知，磁感应强度B ＝1.0 T ，方向垂直纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场B ′(图中未画出)．一质量m ＝1×10
－14
kg 、电荷量q ＝1×10
－10
C 的带正电粒子以某一速度v 沿与
x 轴负方向成60°角的方向从A 点进入第一象限，在第一象限内做直线运动，而后从B 点进入磁场B ′
区域．一段时间后，粒子经过x 轴上的C 点并与x 轴负方向成60°角飞出．已知A 点坐标为(10,0)，
C 点坐标为(－30,0)，不计粒子重力．
图4
(1)判断匀强电场E 的方向并求出粒子的速度v ；
(2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并求出磁感应强度B ′； (3)求第二象限磁场B ′区域的最小面积．
解析 (1)粒子在第一象限内做直线运动，速度的变化会引起洛伦兹力的变化，所以粒子必做匀速直线运动．这样，电场力和洛伦兹力大小相等，方向相反，电场E 的方向与微粒运动的方向垂直，即与x 轴正向成30°角斜向右上方．
由平衡条件有Eq ＝Bqv
得v ＝E B ＝1.0×1031.0
m/s ＝103 m/s
(2)粒子从B 点进入第二象限的磁场B ′中，轨迹如图 粒子做圆周运动的半径为R ，由几何关系可知
R ＝
10cos 30° cm ＝20
3
cm
由qvB ′＝m v 2R ，解得B ′＝mv 2qvR ＝mv qR ，代入数据解得B ′＝3
2
T.
(3)由图可知，B 、D 点应分别是粒子进入磁场和离开磁场的点，磁场B ′的最小区域应该分布在以BD 为直径的圆内．由几何关系得BD ＝20 cm ，即磁场圆的最小半径r ＝10 cm ，所以，所求磁场的最小面积为S ＝πr 2
＝3.14×10－2
m 2
答案 (1)与x 轴正向成30°角斜向右上方 103
m/s (2)运动轨迹见解析图 32
T (3)3.14×10－2
m 2。