初中奥数讲义_分解方法的延拓附答案

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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答含答案共30讲改好278页

初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足的整数n 有个。

思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。

【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。

【例3】解关于的方程。

思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。

初中奥数讲义分解方法的延拓附答案

分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．( “五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)(上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2(a 一b)；(2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组：(2)按次数分组；(3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学力训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (重庆市中考题)4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．5．将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）．A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x(北京中考题)6．下列5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③b d c c b d y d c b x 222)()(-+-----+；④)(6)(3m n n n m m -+- ；⑤x x 4)2(2+-其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A ．①、②、③B ．②、③ 、④C ．①③ 、④、⑤D ．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (“希望杯”邀请赛试题)8．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )．A ．92B ．32C ．54D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9．分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． (“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：12)5)(3)(1(2+++-x x x = ．11．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．12．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．（ “五羊杯”竞赛题） 13．在1~100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有个． (北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x15．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定(第 “希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++；(2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (湖北省黄冈市竞赛题) (3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题) (4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+ (天津市竞赛题)。

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲因式分解的常用方法和技巧(含答案)

第一讲因式分解的常用方法和技巧趣题引路】你知道如何分解因式^-+X9+/+/+1吗？试作一代换：若令疋= )，,贝IJ原式=h + )，3+y2 + y+l,指数为连续整数,可考虑用公式/-l = (^-l)(/ + / + / + y+l),则原式=V4 + V3 + V2 + V + 1 = —(y5 -1))‘一1x-l x2 + X + 1= (x4 + x3 +x2 +x+ l)(x8 -x7 +x5 +x3 -x + 1)一个代换，把一个复杂的问题转化为一个较简单的问题，这是数学方法之美.多项式的因式分解是数学中恒等变形的一种重要方法，它在初等数学乃至高等数学中都有广泛的应用，因式分解的方法很多，技巧性强，认真学好因式分解，不仅为以后学习分式的运算及化简、解方程和解不等式等奠定良好的基础，而且有利于思维能力的发展.知识拓展】因式分解与整式乘法的区别是：前者是把一个多项式变成几个整式的积，后者是把几个整式的积变成一个多项式，因式分解初中可在有理数域或实数域中进行，高中还可在复数域中进行.因式分解后每个因式应在指定数域中不能再分.“例如X4-A在有理数域内可分解为(X+2)(/-2),其中每个因式就不能再分，不然分解式的系数会超过有理数的范围；在实数域中，它的分解式是(X2+2)(X+>/2)(X->/2):在复数域中，它的分解式是因式分解的方法很多，除了数学教材中的提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法以外, 还有换元法、待定系数法、拆项添项法和因数定理法等.本讲在中学数学教材的基础上，对因式分解的方法、技巧作进一步的介绍.一、用换元法分解因式换元法是指将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来进行运算，从而使运算过程简单明了.换元法是中学数学中常用的方法之一.例1 (1999年希望杯题)分解因式(X2-1)(X +3)(X+5)+12.解析若全部展开，过于复杂，考虑局部重新组合.注意到在(x + l)(x + 3) = X + 4x + 3和(X-1)(X+5)= X2+4X-5中出现了相同部分X2+4X ,可考虑引入辅助元y = x2+4x分解(也可设y = F+4x + 3,y = x'+4x-l 等).解原式=[(x + l)(x + 3)][(A-1)(X + 5)] +12=(x2 +4x+ 3)(x2 + 4x-5)+12设y = x2 +4x f贝!I原式= (y+3)(y-5)+12= r-2y-3= (y-3)(y + l)=(x2+4x+ 3)(x2 +4x-l)点评换元法体现了数学中的整体代换思想，它是化繁为简的重要手段这里y取(x2 +4X + 3)和(x2 + 4X-1)的平均值时分解过程最为简便例2 (2001年天津初二题)分解因式(弓-1)= + (x+_ 2)(x+ > - 2xy).解析题中巧和卄y多次出现启发我们换元分解：设xy=d, x+y=b.解设xy=a, x+y=b,则，原式=(a -1)： + (b - 2)(b - 2a)=cr -2a + l+br -2b-2cib+4a=a2 +b2 +l+2a-2ab-2b=(a-b+[)2注：这里用到公式a，+b2 +c2 + 2ab + 2bc + lac = (a + b +c)2.点评换元必须考虑多项式的结构特征：当代数式中出现相同、相近或相关联(如：互为相反数，互为倒数)的部分时都可以考虑换元.二、用待定系数法分解因式待定系数法是初中数学中的又一重要方法，其应用很广泛.在因式分解时，只要假定一个多项式能分解成某几个因式的乘积，而这些因式中某些系数未定，可用一些字母来表示待定的系数•根据两个多项式恒等的性质，即两边对应项的系数必相等，可列出关于待定系数的方程或方程组，解此方程(组)即可求出待定系数.这种因式分解的方法叫做待定系数法.例3 (第9届五羊杯初二题)设x3 + 3x2-2xy + kx-4y可分解为一次与二次因式之积，则k= ______________________ .解析首先确定两个因式的结构：因多项式中疋的系数是1，常数项是0,以及没有护项，所以分解所得因式可设为x+a 和x2+bx + cy,其中e b, c为待定系数.解设x3 + 3x2 - 2xy + kx-4y可分解为(x+a)(x2 +bx+cy),贝ijx3 + 3x2 -2xy + kx-4y = x3 +(a + b)x2 + cxy + abx + acy比较系数，得a+b=3 ,a +b = 3消去c,得\ab = -k ,消去a,b,解得k=-2.ab = -ka = 2ac = -4 i点评用待定系数法分解因式，关健在于确定因式分解的最终形式.三、用公式法分解因式初中教材中出现的公式有平方差公式，完全平方公式，在因式分解中还常用到下列公式：立方和公式：a3 +b3 = (a + b)(a2 -ab + b2)立方差公式：a3 -b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)和的立方公式：(a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3差的立方公式：(a - b)3 =a3 - 3crb + 3ab2 -b3三数和的平方公式：(tz + b + c)' =a2 +b2 +c2 + 2ab 4- lac + 2bc两数n 次方差公式：a” -b n =(a-b)(a n~l + a n~2b + • • • + ab"~2 + b n~l)三数立方和公式：a3 +b3+c‘ = (a + b +c)3 -3(a + b)(b + c)(a + c)在具体问题中要根据代数式的结构特征来选用适当的公式.例4 分解因式x l5+x l4+x l3+-+x2+x+l.解析对于指数成连续整数的多项式我们可以考虑公式a" - b n =(a- + a"~2b + ab"~2 + b n~l),令b=l,得a" = + a n~2 + …+ a + l).为化繁为简，及能用公式，给原式乘以x-1解原it= (x15 +x14 +X13 + - -X2 +X+1) -_ =- ---------------------- --x-l x-l=(土 + 1)(疋 + 1)(F + l)(x + 1)(— 1)=(x8 + l)(x4 + l)(x2 + l)(x + 1)点评这里原式乘以吕很必要，这种先乘以再除以(或先加上再减去)同一个式子的变形技能经常用到.例5 (昆明市初中数学竞赛题)分解因式(c-a)2-4(b-c)(a-b).解析把拾号展开后重新组合.解原式=c? 一 2ac十/ 一 4ab + 4ac — 4bc + 4b‘=c2 + lac + a2 - Aab一4bc + 4b2=(c2 + 2ac + a2)-4b(a + c) + (2b)2= (a + c- 2b)2点评欲进先退，这是为了更清楚地认识代数式的结构特征.例6 分解因式(x+2y_77)，+ (3x_4y + 6zF_(4x_2y_z)B解析本题与三个数的立方和有关.联想到公式a3 + + c5 = (a + b + c)(«2 + b2 +c2 -ab-be- ca)+ 3abc , 而(x + 2y- 7z)+(3x - 4y + 6乙)+ (- 4x + 2y+ z)= 0.故原式可分解为3(x + 2y - 7z)(3x - 4y + 6乙)(-4x + 2y + z) ■四、用拆项添项法分解因式在对某些多项式分解因式时，需要对某些项作适当的变形，使其能分组分解，添项和拆项是两种重要的技巧例7分解因式：x3-9x+8.解析多项式有三项，若考虑拆项，有三种选择.注意只有让分解能继续的拆法才是可取的.若考虑添项，式中无二次项，可添加-F + F.解法1将常数项拆成一1+9,原式=/3_9大_] + 9 =疋_1_9(尤_1) = (—1)(疋+尤_8)解法2 将一次项-9兀拆成-x-3x ,原式=X3-X-3X +3=(X3-X)- 8(x-l)=x(x + l)(x-1)-8(x-1) = (x - l)(x: +x-8)解法3 将三次项/拆成9疋-8疋，原式=9X3-8X3-9X +8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x + l)(x-1)-8(x - l)(x2 + x + l)=(X-1)(X2+ X-8)解法4添加-x2+x2,原式=x3 -x2 +x2 -9x+8= X2(X-1)+(X-8)(X-1)= (x-l)(x2 +x-8)点评一题四种解法，可谓“横看成岭侧成峰，左添右拆都成功”.拆项、添项是因式分解中技巧性最强的一种例8己知x2 + x+l = O ,试求X8 + x4 +1的值.解析设法使疋+疋+1变成含x2+x+l的式子，因x8 = (x4)2,可考虑完全平方公式，将十拆成2x4-%4.解原式=^8+2X4+1-X4=(X4+1)-(x2)2 =(x2+x + IX%2 -x + 1)因为疋+"1 = 0,所以原式的值为0.五、利用因式定理分解因式因式定理的内容：如果x=a时，多项式的值为零，即f(a) = 0 ,则/'(x)能被x-a整除，即/(兀)一定有因式x-d・运用因式定理和综合除法可以解决一些较复杂的多项式分解问题.例9 分解因式X4+2?-9X:-2X+8.解析设f(x) = x4 + 2x3-9x2-2x + 3,可知/(1) = 0, /(-1) = 0,因此/⑴有因式(x+l)(x-l),用综合除法可求另外因式.解依题意知y(l) = /(-l) = 0,故/'(x)有因式x-1, x+1,作综合除法：12-9-2811 3 -6 -813-6-80—]—1 — 2 812-80因此f(x) = (x- l)(x + l)(x2 + 2x- 8),则原式=(x- 1)(A-+l)(x一2)(A-+4) •好题妙解】佳题新题品味例1 (2001年呼和浩特市中考题)要使二次三项式x^rnx-6能在整数范围内分解因式，则加可取的整数为.解析该式可用十字相乘法分解.那么m等于一6的两个整因数之和.而—6=lx ( —6) = ( — 1) x6=2x ( —3) = ( —2) x3,因而m 可能的值为一5, 5, —1, 1. 点评本题训练逆向思维及枚举法.例2 (2003年江苏初中竞赛)若a, b, c为三角形三边，则下列关系式中正确的是()A. a2-b2-c2-2bc>QB. a2-b2-c2-2bc = QC. a2-b2-c2-2bc<0D. a2 -b2-c2-2bc<0解析因a' -b1 -c2 -2bc = a2 -(b2 +c2 + 2bc) = a2 -(b + c)1 =(a + b + c)(a-b-c)而在三角形中，a<b+c ,即a~b—c<Q,故选C.点评注意隐含条件：三角形中两边之和大于第三边中考真题欣赏例1 (武汉中考题)分解因式a2-l+b2-2ab= _________________________ .解析将a2 +b2 -2ab作一组恰为(«-b)2与1构成平方差，应填(a—b+1) (a—b—1).例2 (北京朝阳区)分解因式m3-2m2-4m+8.解析第一、二项作一组可提公因式沪，后两项作一组可提公因数4,于是m3 -2nr一4m+3 = m2(m-2)-4(m-2) = (m2一4)(m-2) = (m—2):(m+2).点评分解因式一定分解到不能再分解为止.例3 (1999年北京中考题)多项式x2 + axy + by1 -5x+ y + 6的一个因式是x+y-2,试求d+b的值.解析利用待定系数法，设原式=（x+y-2）（x+^y-3）展开比较系数得号; 解得 a=~l, b=~2,因此 a+b=—3.竞赛样题展示例1 （江苏省第十七届初中数学竞赛）如果是ax 3+bx 2+l 的一个因式，则b 的值为（）A.-2B.-lC.OD.2解析运用待定系数法，依题可设另一因式为ax-1,比较系数可得b=—2,选A.(23 -1)(33 ~1)(43 -1) - (1003 -1)(23 +1](33 +1J43 +1)---(1003 +1)a 3 -1 _(a ~ 1)3 + a + l) _ fl-1 (a +1)3 +1 (a + 2)(a 2 4-ti + l) a + 2故呼式=(2-1X3-1)…(99-山00，-1) 収玖 (23 +1)(3 +1X4+ 1)-(100-1)1X 2X 3X (1OO 3-1) 3367 小― (23 +1)x99x100x1015050例3设多项式与多项式F+x-a 有非常数公因式，贝仏= ______________________________ . 解析 0或6.因为（兀3-X-d ） - （F+x-d ） = x （x+l ）（x-2）,所以，X’-X-d 与 F +兀-4 的公因式必为 X 、兀+1、X-2中的一个.当公因式为x 或x+1时，£7=0；当公因式为X —2时，a = 6.例4 （2003年太原市初中数学竞赛）已知直角三角形的各边长为正整数，它的周长为80.则三边长分别是 •解析涉及直角三角形问题勾股定理举足轻重！解 30、 16、 34.设直角三角形的三边长分别为4、b 、c.由题设得a 2+b 2^c 2且a+b+c=80.将 c=SQ-a~b 代入a 2+b 2=c 2,整理得 6400—80a — 80b+ab=3200,即（80—。

初一奥数讲座因式分解(1)答案

初一奥数讲座因式分解（1）答案例1．分解因式（提公因式法）（1）4a2 + 6ab + 2a解：原式= 2a(2a + 3b + 1)（2）2a m + 1 + 4a m– 2a m– 1解：原式= 2a m– 1(a2 + 2a– 1)（3）(m–n) – (n–m)2解：原式= (m–n)2 – (m–n)2= (m–n)[1 – (m–n)]= (m–n)(1 –m + n)（4）2a2b(b + c)(x + y)2 – 6a3b2(b + c)2(x + y)解：原式= 2a2b(b + c)(x + y)[(x + y) – 3ab(b + c)]= 2a2b(b + c)(x + y)(x + y– 3ab2– 3abc)例2．分解因式（运用公式法）（1）x2– 81解：原式= x2– 92= (x + 9)(x– 9)（2）4(x + y)2 – 9(x–y)2解：原式= [2(x + y) + 3(x–y)][2(x + y) – 3(x–y)]= (5x–y)(–x + 5y)= – (5x–y)(x– 5y)（3）x2 + 8xy + 16y2解：原式= x2 + 2·x·4y + (4y)2= (x + 4y)2（4）(x2– 2x)2 + 2(x2– 2x) + 1解：原式= (x2– 2x)2 + 2(x2– 2x)·1 + 12= (x2– 2x + 1)2= [(x– 1)2]2= (x– 1)4例3．分解因式（运用公式法）（1）125a3b6 + 8解：原式= (5ab2)3 + 23= (5ab2 + 2)[(5ab2)2– 2×5ab2 + 22]= (5ab2 + 2)(25a2b4– 10ab2 + 4)（2）512x9– 1解：原式= (8x3)3– 13= (8x3– 1)[(8x3)2 + 8x3 + 1]= (2x– 1)(4x2 + 2x + 1)(64x6 + 8x3 + 1)（3）1 – 12x2y2 + 48x4y4– 64x6y6解：原式= 1 – 3×4x2y2 + 3×(4x2y2)2– (4x2y2)3= (1 – 4x2y2)3= (1 + 2xy)3(1 – 2xy)3（4）x3 + 3xy + y3– 1解：原式= x3 + y3 + (– 1)3– 3·x·y(– 1)= (x + y– 1)(x2 + y2 + 1 –xy + y + x)（5）x2 + 9y2 + 4z2– 6xy + 4xz– 12yz解：原式= x2 + (– 3y)2 + (– 2z)2 + 2·x·(– 3y) + 2·x·2z + 2·(– 3y)·(2z) = (x– 3y + 2z)2例4．分解因式（1）12x2–xy +12y2解：原式= 12(x2– 2xy + y2)= 12(x–y)2（2）100 – 25x2解：原式= 25(4 –x2)= 25(2 + x)(2 –x) （3）x4– 2x2y2 + y4解：原式= (x2)2– 2x2y2 + (y2)2= (x2–y2)2= (x + y)2(x–y)2（4）2a6–12a3 +132解：原式= 2(a6–14a3 +164)= 2[(a3)2– 2×18·a3 + (18)2]= 2(a3–18 )2= 2(a–12)2(a2 +12a +14)例5．分解因式（1）– 2x5n– 1y n + 4x3n– 1y n + 2– 2x n– 1y n + 4解：原式= – 2x n– 1y n(x4n– 2x2n y2 + y4)= – 2x n– 1y n[(x2n)2– 2x2n y2 + (y2)2]= – 2x n– 1y n(x2n–y2)2= – 2x n– 1y n(x n + y)(x n–y)（2）(a2 + ab + b2)2 – 4ab(a2 + b2)解：原式= [(a2 + b2) + ab]2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2 + 2ab(a2 + b2) + a2b2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2– 2ab(a2 + b2) + a2b2= (a2b2–ab)2（3）(x2–x) – 4(x– 2)(x + 1) – 4解：原式= (x2–x)2– 4(x2–x– 2) – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 8 – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 4= (x2–x– 2)2= (x– 2)2(x + 1)2（4）a7–a5b2 + a2b5–b7解：原式= (a7–a5b2) + (a2b5–b7)= a5(a2–b2) + b5(a2–b2)= (a2–b2)(a5 + b5)= (a + b)(a–b)(a + b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)= (a + b)2(a–b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)例6．分解因式（1）a3 + b3 + c3– 3abc解：原式= (a + b)3– 3ab(a + b) + c3– 3abc= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2– (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2–ab–bc–ca)（2）(x + y)3 + (z–x)3 – (y + z)3解：原式= [(x + y) + (z–x)][(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2] – (y + z)3 = (y + z)[(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2–(y + z)2]= (y + z)(3x2 + 3xy– 3yz– 3xz)= 3(y + z)[x(x + y) –z(x + y)]= 3(y + z)(x + y)(x–z)（3）x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1解：因为x16– 1 = (x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1)∴原式= ()()15142111x x x x xx-+++++-=1611xx--=()()()()()842111111x x x x xx++++--= (x8 + 1)(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)例7．分解因式（分组分解法）（1）a2–b2– 2a– 2b解：原式= (a + b)(a–b) – 2(a + b)= (a + b)(a–b– 2)（2）25a4–x2– 2x– 1解：原式= (5a2)2– (x2 + 2x + 1)= (5a2)2– (x + 1)2= (5a2 + x + 1)(5a2–x– 1)（3）4a2–b2– 2a +1 4解：原式= 4a2– 2a +14–b2= (2a–12)2–b2= (2a–12+ b)( 2a–12–b)（4）(1 –a2)(1 –b2) – 4ab解：原式= 1 –a2–b2 + a2b2– 4ab= a2b2– 2ab + 1 –a2– 2ab–b2= (ab– 1)2– (a + b)2= (ab– 1 + a + b)(ab– 1 –a–b)（5）a4 + a2b2 + b4解：原式= a4 + 2a2b2 + b4–a2b2= (a2 + b2)2–a2b2= (a2 + b2 + ab)( a2 + b2–ab)练习1．证明：817– 279– 913能被45整除证明：∵817– 279– 913 = 328– 327– 326 = 326(32– 3 – 1) = 326×5 = 324×32×5 = 324×45 ∴817– 279– 913能被45整除2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数证明：设这四个连续自然数分别为n，n + 1，n + 2，n + 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 1) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1= (n2 + 3n + 1)2∴n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1一定是一个完全平方数。

初中奥数讲义分式方程(组)附答案

初中奥数讲义分式方程（组）附答案初中奥数讲义-分式方程（组）附答案分数阶方程本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母中含有未知量的方程称为分数阶方程。

解分数阶方程的基本思想是将它们转化为积分方程。

通常有两种方法：一种是去除分母；第二种是替代。

解分数阶方程时必须检验根解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．解决分数阶方程应用问题的关键是找到等价关系并列出方程。

如果方程包含以字母表示的已知数，则需要根据问题的变换条件实现变换。

在不求解的情况下设置未知数是常见的技能之一例题求解一、分数阶方程（组）解的例子1。

拆分项目并重新组织以解分数方程[示例1]以解方程x?5x?2x?3x?4．x?7x?4x?5x?6解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如11x?52，这样可降低计算难度．经检验x?为原方程的解．?1?2x?7x?7注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2.用元素交换法求解分数阶方程[例2]1x?11x?82?1x?2x?82?1x?13x?82?0．如果在解析时考虑去除分母，则计算量过大；分裂是不够的，但每个分母都是一个二次三项式。

试试替代法。

解为x+2x-8=y，原始方程可转化为2111 0岁？9xyy？15x解关于y的分数方程，得到y=9x或y=-5x。

因此，当y=9x，x+2x-8=9x时，解得到X1=8，X2=-1。

当y=-5x，x+2x-8=-5x时，解得到X3=-8，X4=1。

经检验，上述四种解均为原方程的解注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如x?形如x?11?a?结构的分式方程的解法xa22111? A.分数阶方程的解是：X1？a、 x2？。

七年级数学竞赛讲座：因式分解(含答案详解)

初中数学竞赛辅导资料因式分解甲内容提要和例题我们学过因式分解的四种基本方法：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，分组分解法。

下面再介紹两种方法1．添项拆项。

是.为了分组后,能运用公式（包括配方）或提公因式例1因式分解：①x4+x2+1②a3+b3+c3－3abc①分析：x4+1若添上2x2可配成完全平方公式解：x4+x2+1＝x4+2x2+1－x2=(x2+1)2－x2=(x2+1+x)(x2+1－x)②分析：a3+b3要配成（a+b）3应添上两项3a2b+3ab2解：a3+b3+c3－3abc＝a3+3a2b+3ab2＋b3+c3－3abc－3a2b－3ab2＝（a+b）3+c3－3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2－(a+b)c+c2］－3 ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc)例2因式分解：①x3－11x+20②a5+a+1①分析：把中项－11x拆成－16x+5x 分别与x5,20组成两组，则有公因式可提。

（注意这里16是完全平方数）②解：x3－11x+20＝x3－16x+5x+20＝x（x2－16）+5(x+4)=x(x+4)(x－4)+5(x+4) =(x+4)(x2－4x+5)③分析：添上－a2和a2两项，分别与a5和a+1组成两组，正好可以用立方差公式解：a5+a+1＝a5－a2+a2+a+1=a2(a3－1)+ a2+a+1=a2(a－1)( a2+a+1)+ a2+a+1= (a2+a+1)(a3－a2+1)2．运用因式定理和待定系数法定理：⑴若x=a时，f(x)=0, ［即f(a)=0］，则多项式f(x)有一次因式x－a⑵若两个多项式相等，则它们同类项的系数相等。

例3因式分解：①x 3－5x 2+9x －6 ②2x 3－13x 2+3①分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。

八年级数学竞赛讲座因式分解的应用附答案

第三讲因式分解的应用在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础．因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高．因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一．例题求解【例1】若142=++y xy x 282=++x xy y ，则y x +的值为．(全国初中数学联赛题)思路点拨恰当处理两个等式，分解关于y x +的二次三项式．注：在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、商业、生活等领域中，信息的保密工作显得格外重要．现代保密技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用．代数式求值的常用方法是：(1)代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值；(3)整体代入求值．【例2】已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负(大原市竞赛题)思路点拨从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果，注意几何定理的约束．【例3】计算下列各题：（1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ；（2）20012000200019982000220002323-+-⨯-思路点拨观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律．【例4】已知 n 是正整数，且n 4—16n 2+100是质数，求n 的值．( “希望杯’邀请赛试题)思路点拔从因数分解的角度看，质数只能分解成l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路．【例5】(1)求方程07946=--+y x xy 的整数解；(上海市竞赛题)(2)设x 、y 为正整数，且096422=-++y y x ，求xy 的值．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拔观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口．链接解题思路的获得，一般要经历三个步骤：(1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等；(2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等；(3)将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构．不定方程(组)的基本解法有：(1)枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法．运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识．学力训练1．已知x+y ＝3，422=-+xy y x ，那么3344xy y x y x +++的值为．2．方程01552=-+--y x xy x 的整数解是． ( “希望杯”邀请赛试题)3．已知a 、b 、c 、d 为非负整数，且ac+bd+ad+bc=1997，则a+b+c+d ＝．4．对一切大于2的正整数n ，数n 5一5n 3+4n 的量大公约数是．(四川省竞赛题)5．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，476，已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则xy y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 7．a 、b 、c 是正整数，a>b ，且a 2-ac+bc=7，则a —c 等于( )A ．一2B ．一1C ．0D ． 2(江苏省竞赛题)8．如果133=-x x ，那么200173129234+--+x x x x 的值等于( )A ．1999B ．2001C ．2003D ．2005（武汉市选拔赛试题）9．(1)求证：8l 7一279—913能被45整除；(2)证明：当n 为自然数时，2(2n+1)形式的数不能表示为两个整数的平方差；（3）计算：)419)(417)(415)(413)(411()4110)(418)(416)(414)(412(4444444444++++++++++ 10．若a 是自然数，则a 4－3a+9是质数还是合数?给出你的证明．(“五城市”联赛题)11．已知a 、b 、c 满足a+b ＝5，c 2＝ab+b －9，则c ＝． (江苏省竞赛题)12．已知正数a 、b 、c 满足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c ，则(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市竞赛题)13．整数a 、b 满足6ab ＝9a —l0b+303，则a+b= ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)14．已知01445=--+--b a a b a a ，且132=-b a ，则33b a +的值等于．( “希望杯”邀请赛试题)15．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )A ．x<y<zB ． y<z<xC ．z <x<yD ．不能确定16．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )A ．0B ．－1C ．1D ． 3( “希望杯”邀请赛试题)17．已知两个不同的质数p 、q 满足下列关系：020012=+-m p p ，020012=+-m q q ，m 是适当的整数，那么22q p +的数值是( )A ．4004006B ．3996005C ．3996003D ．400400418．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )A ．5814B ．5841C ．8415D ．845l (陕西省竞赛题)19．求证：存在无穷多个自然数k ，使得n 4+k 不是质数．20．某校在向“希望工程”捐救活动中，甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n 个女生的捐款总数相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数． (全国初中教学联赛题)21．已知b、c是整数，二次三项式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一个因式，也是x3+4x2+28x+5的一个因式，求x＝1时，x2+bx＋c的值．(美国中学生数学竞赛题)22．按下面规则扩充新数：已有两数a、b，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，在a、b、c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4，(1)求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2)能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由． (重庆市竞赛题)。

分解因式方法的延拓—换元法

(a b) 2 2(a b) 1 (a b 1) 2 ( x y xy 1) 2 [(x 1)(1 y)]2 ( x 1) 2 ( y 1) 2
例5 分解因式 (2x 3 y)
3
(3x 2 y) 125( x y)
3
3
分析：这个代数式有前两项与第三项有密切的联系，即2x-3y 与3x-2y的和是5(x-y)。可引入两个新字母，分别表示2x-3y与 3x-2y。解：设2x-3y=a，3x-2y=b，则5(x-y)=a+b
所以原式
a b (a b) 3 3 3 2 2 3 a b (a 3a b 3ab b ) 3a 2 b 3ab2 3ab(a b) 3(2 x 3 y)(3 x 2 y) 5( x y)
解：原式
[(x 1)(x 6)][(x 2)(x 3)] x 2 ( x 2 7 x 6)(x 2 5x 6) x 2 设 x 2 5 x 6 y ，则 x 2 7 x 6 y 2 x 则原式 ( y 2 x) y x 2 y 2 2 xy x 2 ( y x) 2 ( x 2 5x 6 x) 2 ( x 2 6x 6) 2
y 2 7 y 10
( y 2)( y 5)
( x 4 x 2 4 2)(x 4 x 2 4 5) ( x 4 x 2 2)(x 4 x 2 1)

( x 1)(x 1)(x 2 2)(x 2 x 1)(x 2 x 1)
例4 分解因式
( x y 2xy)(x y 2) ( xy 1) 2

1、分解方法的延拓-培优数学张老师

11、分解方法的延拓因式分解(factorization)是针对多项式的一种恒等变形，提公因式(common factor)法、公式法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题，常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．【例l 】分解因式：=+++-+10)3)(4(2424x x x x(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24x x +为一个整体，用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2/222222-⋅++-+-因式分解后的结果是( )．))()(..(z x y x z y A -+- ))()(.(z x y x z y B +-- ))()(.(z x y x z y C +-+ ))()(.(z x y x z y D -++(上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992—1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y 一2xy)(x+y 一2)+(xy--1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x 一3y)3+(3x--2y)3—125(x--y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+Y ，xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：);()()()1(222b a c a c b c b a -+-+- .672)2(22-+--+y x y xy x思路点拨 (1)式字母多、次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy 2+dx+ey+ f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数x 和y ，下式的值都不会等于33．.1241553.54322345y xy y x y x y x x ++--+(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．1．分解因式：=+-2232ab b a a(2005年陕西省中考题)2．分解因式：=-+-9222y xy x(2004年北京市中考题)3．分解因式：=-++++12)2)(1(22x x x x 4．已知a 、b 、C 满足a+b=5，,92-+=b ab c 则C=5．将多项式3224--xx 分解因式，结果正确的是( )． )1)(3.(22-+x x A )3)(1.(22-+x x B )1)(1)(3.(2-++x x x C 3)(3)(1.(2-++x x x D6．多项式22b a bc ac -+-分解因式的结果是( )．))(.(c b a b a A ++- ))(.(c b a b a B -+- ))(.(c b a b a C -++ ))(.(c b a b a D +-+(2005年四川省中考题)7．要使二次三项式P x x +-52在整数范围内能进行因式分解，那么整数P 的取值可以有( )．A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个(2004年杭州市中考题)8．若,13,51=+-=+b a b a 则53912322+++b ab a 的值为( )． 92.A 32.B 54.C D.0 (大连市“育英杯”竞赛题)9．分解因式：;2)84(3)84)(1(2222x x x x x x ++++++ ;13322)132)(2(222-+-+-x x x x;200120002001)3(21+++x x x ;)1)(13)(12)(16)(4(2x x x x x +---- ;1)()()5(22++-+b a b a ab(第16届“希望杯”邀请赛试题).6136)6(22-++-+y x y xy x(“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：=+++-12)5)(3)(1(2x x x(河南省竞赛题)11．分解因式：=++++22635y y x xy x 12．分解因式：=-----333)()2()2(y x y x(第12届“五羊杯”竞赛题)13．在1～100之间若存在整数n ，使n x x -+2能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n 有个．(北京市竞赛题)14．613223+-+x x x 的因式是( )．A ．2x-lB ．x+2C ．x 一3 1.2+x D 12.+x E(美国犹他州竞赛题)15．已知a>b>C ，,,222222ca bc ab N a C c b b a M ++=++=则M 与N 的大小关系是 ( )． A ．M<N B ．M>N C ．M=N D ．不能确定(第13届“希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：;12)16)(1)(1(222a a a a a ++-++ ;91)72)(9)(52)(2(2---+a a a(湖北省黄冈市竞赛题);)()())(3(42224y x y x y x -+-++(第16届“五羊杯”竞赛题);10)13)(14)(4(42424x x x x x ++++-(第13届“五羊杯”竞赛题).3469)5(22-+--y y x x(2004年河南省竞赛题)17．对方程,20042222=++b a b a 求出至少一组整数解．(2005年莫斯科市竞赛题)18．已知在△ABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：a+C = 2b ．(天津市竞赛题)。

八年级数学竞赛培训分解方法的延拓

新课标八年级数学竞赛培训第02讲：分解方法的延拓2一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3=_________．2．（4分）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a=_________．3．（4分）一个二次三项式的完全平方式是x4﹣6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是_________．4．（4分）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则（x﹣y﹣z）2002=_________．5．（4分）已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是_________．6．（4分）（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=[x2+2px+（_________）]+（_________）=（x+_________）2+（_________）（2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3的结果是_________．7．（4分）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，则k=_________．8．（4分）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，则a=_________．9．（4分）已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么的值是_________．二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）10．（4分）已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（）A．3B．C．﹣3 D．11．（4分）如果x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．212．（4分）a4+4分解因式的结果是（）A．（a2+2a﹣2）（a2﹣2a+2）B．（a2+2a﹣2）（a2﹣2a﹣2）C．（a2+2a+2）（a2﹣2a﹣2）D．（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）13．（4分）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A．7B．8C．15 D．2l14．（4分）设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则（m，n）=（）A．（2，2）或（﹣2，﹣2）B．（2，2）或（2，﹣2）C．（2，﹣2）或（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）或（﹣2，2）15．（4分）将x5+x4+1因式分解得（）A．（x2+x+1）（x3+x+1）B．（x2﹣x+1）（x3+x+1）C．（x2﹣x+1）（x3﹣x+1） D．（x2+x+1）（x3﹣x+1）16．（4分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A．若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB．若a2+b2+c2=3abc，则a=b=cC．若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD．若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d三、解答题（共9小题，满分86分）17．（10分）把下列各式分解因式：（1）a4+64b4；（2）x4+x2y2+y4；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2；（4）（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）；（5）x3﹣9x+8；（6）x3+2x2﹣5x﹣618．（10分）把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1．19．（10分）把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．20．（8分）已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值．21．（8分）k为何值时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积？22．（10分）如果多项式x2﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？23．（10分）已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值．24．（10分）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）225．（10分）一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．新课标八年级数学竞赛培训第02讲：分解方法的延拓2参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）4x2﹣4x﹣y2+4y﹣3=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．分析：首先把﹣3变为1﹣4，多项式变为（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4），然后利用公式法分解因式，接着利用提取公因式法分解因式即可求解．解答：解：原式=（4x2﹣4x+1）﹣（y2﹣4y+4）=（2x﹣1）2﹣（y﹣2）2=（2x﹣1+y﹣2）（2x﹣1﹣y+2）=（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．故答案为：（2x+y﹣3）（2x﹣y+1）．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，其中直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．2．（4分）已知x2+x﹣6是多项式2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1的因式，则a=16．分析：设2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A，当多项式等于0时，得到两个x的根，代入式子2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，可求出a的值．解答：解：令2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1=（x2+x﹣6）•A=（x+3）（x﹣2）•A．取x=﹣3，x=2分别代入上式，当x=﹣3时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，=2×81﹣27﹣9a﹣3b+a+b﹣1，=134﹣8a﹣2b，=0．当x=2时，2x4+x3﹣ax2+bx+a+b﹣1，=2×16+8﹣4a+2b+a+b﹣1，=39﹣3a+3b，=0．根据，可得a=16，b=3．点评：本题考查了因式分解的应用和等式的应用，根据x的根，从而得出a，b的值．3．（4分）一个二次三项式的完全平方式是x4﹣6x3+7x2+ax+b，那么这个二次三项式是x2﹣3x﹣1．分析：先令x4﹣6x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2，把（x2+mx+n）2展开后根据次数相等的项系数相等解出m，n的值即可．解答：解：令x4﹣6x3+7x2+ax+b=（x2+mx+n）2=x4+2mx3+（m2+2n）x2+2mnx+n2，∴2m=﹣6，解得m=﹣3，m2+2n=7，解得：n=﹣1，故所求二次三项式是x2﹣3x﹣1，故答案为：x2﹣3x﹣1．点评：本题考查了完全平方公式，难度适中，关键是根据次数相等的项系数相等解出m，n的值．4．（4分）已知x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，则（x﹣y﹣z）2002=0．考点：因式分解的应用．分析：可以把14拆成1+4+9，然后运用完全平方公式，把左边写成非负数的平方和，再根据“几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”进行计算．解答：解：∵x2+y2+z2﹣2x+4y﹣6z+14=0，∴x2﹣2x+1+y2+4y+4+z2﹣6z+9=0，（x﹣1）2+（y+2）2+（z﹣3）2=0，∴x﹣1=0，y+2=0，z﹣3=0，解得x=1，y=﹣2，z=3，∴（x﹣y﹣z）2002=0．点评：此题要能够运用完全平方公式把等式的左边变形为几个非负数的和，再根据非负数的性质进行求解．5．（4分）已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，则n的一个值是1003或3988．考点：完全平方数．分析：本题分两种情况讨论n的取值．把47+4n+41998化简为完全平方式的形式，根据化简后的式子得出n．解答：解：（1）47+4n+41998=（27）2+2•27•22n﹣8+（21998）2∵47+4n+41998是一个完全平方数．∴22n﹣8=21998即2n﹣8=1998．∴当n=1003时，47+4n+41998是完全平方数；（2）47+4n+41998=47+41998+4n，=（27）2+2•27•23988+（2n）2，∵47+4n+41998是一个完全平方数．∴23988=2n，∴n=3988．综上得n=1003或n=3988．点评：本题考查了完全平方数的概念，如果一个数是一个完全平方数，那么一定可以表示为一个数的平方．6．（4分）（1）完成下列配方问题：x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（1﹣p2）（2）分解因式：a2﹣b2+4a+2b+3的结果是（a+b+1）（a﹣b+3）．考点：配方法的应用．分析：（1）由于二次项系数为1，那么组成完全平方式的第三项应是第二项系数的一半，最后的结果应和原来的代数式相等；（2）题中有4a，2b，应为完全平方式的第二项，整理为两个完全平方式的差的形式，进而用平方差公式展开即可．解答：解：（1）x2+2px+1=[x2+2px+（p2）]+（1﹣p2）=（x+p）2+（1﹣p2）；故答案为p2；1﹣p2；p；1﹣p2；（2）a2﹣b2+4a+2b+3，=（a2+4a+4）﹣（b2﹣2b+1），=（a+2）2﹣（b﹣1）2，=（a+2+b﹣1）（a+2﹣b+1），=（a+b+1）（a﹣b+3）．故答案为：（a+b+1）（a﹣b+3）．点评：本题考查了配方法的应用，把所给代数式整理为有完全平方式子的形式是解决问题的突破点；用到的知识点为a2±2ab+b2=（a±b）2．7．（4分）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，则k=﹣5．考点：因式分解-提公因式法．专题：方程思想；转化思想．分析：本题可令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A的形式，当x=﹣1时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值．解答：解：令x3+3x2﹣3x+k=（x+1）A，当x=﹣1时，﹣1+3+3+k=0，解得k=﹣5．故答案为：﹣5．点评：本题考查了因式分解﹣提公因式法，令x+1=0，则x=﹣1，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键．8．（4分）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，则a=±10．分析：先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．解答：解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．故答案为：±10．点评：本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．9．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么的值是﹣．分析：由题意多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2x ﹣y+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解．解答：解：∵多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，∴（x+2y+m）（2x﹣y+n）=2x2+3xy﹣2y2+（2m+n）x+（2n﹣m）y=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6=2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6，∴2m+n=﹣1，2n﹣m=8，mn=﹣6，解得m=﹣2，n=3，∴==﹣，故答案为：﹣．点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．二、选择题（共7小题，每小题4分，满分28分）10．（4分）已知a2+b2+4a﹣2b+5=0，则的值为（）A．3B．C．﹣3 D．考点：非负数的性质：偶次方．专题：配方法．分析：先把原式化为完全平方式的形式，再根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后代入代数式计算即可．解答：解：原式可化为a2+4a+4+b2﹣2b+1=0，即（a+2）2+（b﹣1）2=0，解得，a=﹣2，b=1．故==．故选B．点评：本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．11．（4分）如果x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．0D．2分析：由题意x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，可得ax3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）将右边展开，然后根据系数相等，求出b值．解答：解：∵x2﹣x﹣1是ax3+bx2+1的一个因式，∴ax3+bx2+1=（x2﹣x﹣1）（x+c）=x3+（c﹣1）x2﹣（c+1）x﹣c∴a=1，c﹣1=b，c+1=0，﹣c=1，∴b=﹣2，故选A．点评：此题主要考查因式分解的意义，要注意因式分解的一般步骤：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．12．（4分）a4+4分解因式的结果是（）A．（a2+2a﹣2）（a2﹣2a+2）B．（a2+2a﹣2）（a2﹣2a﹣2）C．（a2+2a+2）（a2﹣2a﹣2）D．（a2+2a+2）（a2﹣2a+2）考点：因式分解-十字相乘法等．分析：先将a4+4变为a4+4+4a2﹣4a2，再将a4+4+4a2看为一个整体，用完全平方公式分解，原式=（a2+2）2﹣4a2，再利用平方差公式分解．解答：解：a4+4=a4+4+4a2﹣4a2=（a2+2）2﹣4a2=（a2﹣2a+2）（a2+2a+2）故选D点评：为能够运用平方差公式、完全平方公式，因而可以通过减去一项或再加上相同的项来解决．13．（4分）如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，则a+b=（）A．7B．8C．15 D．2l分析：由题意原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．解答：解：设x3+ax2+bx+8=（x+1）（x+2）（x+c）=x3+（3+c）x2+（2+3c）x+2c，∴c=4，从而a=7，b=14，∴a+b=21，故选D．点评：此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义；要注意因式分解的一般步骤：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；14．（4分）设m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，则（m，n）=（）A．（2，2）或（﹣2，﹣2）B．（2，2）或（2，﹣2）C．（2，﹣2）或（﹣2，2）D．（﹣2，﹣2）或（﹣2，2）考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方．分析：根据m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，把其变形为完全平方的形式，根据两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0，即可得出答案．解答：解：由m、n满足m2n2+m2+n2+10mn+16=0，∴（mn+4）2+（m+n）2=0，∴mn+4=0，且m+n=0，解得：m=2，n=﹣2或m=﹣2，n=2．故选C．点评：本题考查了完全平方公式及非负数的性质，难度适中，关键是掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0．15．（4分）将x5+x4+1因式分解得（）A．（x2+x+1）（x3+x+1）B．（x2﹣x+1）（x3+x+1）C．（x2﹣x+1）（x3﹣x+1） D．（x2+x+1）（x3﹣x+1）考点：因式分解-十字相乘法等．分析：先添加一项x3，然后提取公因式得到x3（x2+x+1）﹣（x3﹣1），然后再进行因式分解，分解后发现有公因式，提取，得到最后的结果．解答：解：原式=x3（x2+x+1）﹣（x3﹣1）=x3（x2+x+1）﹣（x﹣1）（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x+1）故选D．点评：本题考查了因式分解的十字相乘法，有时候我们应学会添加合适的项，使运算更方便．16．（4分）若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是（）A．若a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a=b=cB．若a2+b2+c2=3abc，则a=b=cC．若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2），则a=b=c=dD．若a4+b4+c4+d4=4abcd，则a=b=c=d分析：由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，由a2+b2+c2=0，得（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）=0，由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0．解答：解：由a2+b2+c2=ab+bc+ac，得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2=0，则a=b=c，故A正确；由a2+b2+c2=3abc，得a=b=c，故B正确；由a2+b2+c2+d2=4abcd，得（a2﹣b2）2+（c2﹣d2）2+2（ab﹣cd）2=0，则a=b=c=d，故D正确；故选C．点评：本题考查了命题与证明，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．三、解答题（共9小题，满分86分）17．（10分）把下列各式分解因式：（1）a4+64b4；（2）x4+x2y2+y4；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2；（4）（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）；（5）x3﹣9x+8；（6）x3+2x2﹣5x﹣6考点：提公因式法与公式法的综合运用；因式分解-分组分解法；因式分解-十字相乘法等．分析：（1）先对所给多项式进行变形，a4+64b4=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2，前三项是完全平方式，然后先套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行变形，再套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），进一步分解因式．（2）先对所给多项式进行变形，x4+x2y2+y4=x4+2x2y2+y4﹣x2y2，然后先套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行变形，再套用公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），进一步分解因式．（3）先对所给多项式进行变形，x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2，将x+x2看作一个整体，套用公式a2±2ab+b2=（a±b）2进行进一步因式分解即可．（4）设b﹣c=x，a﹣b=y，则c﹣a=﹣（x+y），则原式变为：（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）=[﹣（x+y）]2﹣4xy，再进一步变形分解因式即可．（5）应用拆项法，将原式变形为：x3﹣9x+8=x3﹣x﹣8x+8，然后分组分解．（6）先将原式变形，x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6，然后分组分解．解答：解：（1）a4+64b4=a4+64b4+16a2b2﹣16a2b2=（a2+8b2）2﹣（4ab）2=（a2+8b2﹣4ab）（a2+8b2+4ab）；（2）x4+x2y2+y4；=x4+2x2y2+y4﹣x2y2=（x2+y2）2﹣（xy）2=（x2+y2﹣xy）（x2+y2+xy）；（3）x2+（1+x）2+（x+x2）2=1+2（x+x2）+（x+x2）2=（1+x+x2）2；（4）设b﹣c=x，a﹣b=y，则c﹣a=﹣（x+y），则（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）=[﹣（x+y）]2﹣4xy，=（x﹣y）2，所以（c﹣a）2﹣4（b﹣c）（a﹣b）=（b﹣c﹣a+b）2=（2b﹣a﹣c）2；（5）x3﹣9x+8；=x3﹣x﹣8x+8=（x3﹣x）﹣（8x﹣8）=x（x2﹣1）﹣8（x﹣1）=x（x+1）（x﹣1）﹣8（x﹣1）=（x﹣1）（x2+x﹣8）；（6）x3+2x2﹣5x﹣6=x3+x2+x2+x﹣6x﹣6，=（x3+x2）+（x2+x）﹣（6x+6）=x2（x+1）+x（x+1）﹣6（x+1）=（x+1）（x2﹣x﹣6）=（x+1）（x+3）（x﹣2）．点评：本题综合考查了因式分解的方法，解题的关键是适当添项、拆项，然后运用公式进行进一步分解因式，注意分解要彻底．18．（10分）把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2 （4）x4+2x3+3x2+2x+1．分析：（1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可求解；（3）首先把﹣2x2（1﹣y2）变为﹣2x2（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2+x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．解答：解：（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=（x2+1）﹣（x﹣a）2=（x2+1+x﹣a）（x2+1﹣x+a）；（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+[x2（1﹣y）]2=[（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2+x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2．点评：此题主要考查了利用分组分解法分解因式，解题关键是根据所给多项式，有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．19．（10分）把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-运用公式法；因式分解-分组分解法．分析：（1）需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解；（2）把2a2b2拆项成4a2b2﹣2a2b2，再按公式法因式分解；（3）把x5+x+1添项为x5﹣x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把x3+5x2+3x﹣9拆项成（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．解答：解：（1）4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x2+x﹣15）=（2x ﹣1）（2x﹣5）（x+3）；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2）=（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2=（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）=（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）；（3）x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2（x3﹣1）+（x2+x+1）=x2（x﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x2+1）；（4）x3+5x2+3x﹣9=（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9）=x2（x﹣1）+6x（x﹣1）+9（x﹣1）=（x﹣1）（x+3）2；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3（2a﹣1）﹣（2a﹣1）（3a+2）=（2a﹣1）（a3﹣3a﹣2）=（2a﹣1）（a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2）=（2a﹣1）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣1）（a+1）（a2﹣a﹣2）=（a+1）2（a﹣2）（2a﹣1）．点评：此题考查因式分解，涉及到用公式法、分组分解、十字相乘法、提取公因式法，同时都利用了“拆项”“添项”，所以难度较大．20．（8分）已知x2+2x+5是x4+ax2+b的一个因式，求a+b的值．考点：因式分解的应用；因式分解的意义．专题：待定系数法．分析：假设x4+ax2+b分解后的因式为（x2+2x+5）（x2+mx+n），将该式展开与x4+ax2+b关于x的各次项系数对应相等，列出等式组即可解得m、n、a、b的值，那么a+b最终得解．解答：解：设x4+ax2+b=（x2+2x+5）（x2+mx+n）=x4+（2+m）x3+（2m+n+5）x2+（5m+2n）x+5n 比较对应项系数得解得m=﹣2、n=5、a=6、b=25∴a+b=31．点评：本题考查因式分解的应用、因式分解的意义．解决本题的关键是采用待定系数法，假设分解后的因式，比较x的对应项系数，即可求解．21．（8分）k为何值时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积？考点：余式定理．分析：首先由x2+3x+2=（x+1）（x+2），可设多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），然后根据多项式乘以多项式的运算法则求得（x+my+1）（x+ny+2）的值，又由多项式相等时对应项的系数相等，可得方程组，解此方程组即可求得k的值．解答：解：∵x2+3x+2=（x+1）（x+2），故可令x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），即x2+（m+n）xy+mny2+3x+（2m+n）y+2=x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2，∴，由①③可得：，∴k=mn=﹣3．∴当k=﹣3时，多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2能分解成两个一次因式的积．点评：此题考查了多项式因式分解的知识，多项式的乘法以及三元一次方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是设多项式x2﹣2xy+ky2+3x﹣5y+2=（x+my+1）（x+ny+2），再由多项式的性质求解．22．（10分）如果多项式x2﹣（a+5）x+5a﹣1能分解成两个一次因式（x+b）（x+c）的乘积，b、c为整数，则a的值是多少？考点：多项式乘多项式．分析：本题将（x+b）（x+c）展开后，与x2﹣（a+5）x+5a﹣1类比，再由b、c为整数这一条件即可分别就得a、b、c的值．解答：解：由已知条件得：x2﹣（a+5）x+5a﹣1=（x+b）（x+c）=x2+（b+c）x+bc所以，⇒∵b、c为整数∴，代入上式得c=﹣6把b=﹣4，c=﹣6代入5a﹣1=bc，得a=5．答：a的值是5．点评：本题主要考查多项式乘以多项式的法则，还要注意类比法的运用．23．（10分）已知关于x、y的二次式x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24可分解为两个一次因式的乘积，求a的值．分析：本题比较难理解，认真体会原式可分解为两个一次因式的乘积，可设出这两个因式，然后利用多项式相等的知识进行解题．解答：解：∵x2﹣5x﹣24=（x﹣8）（x+3），∴设原式=（x﹣8+my）（x+3+ny），即x2+7xy+ay2﹣5x﹣45y﹣24=x2+（m+n）xy+mny2﹣5x﹣5my﹣24，∴﹣5m=﹣45，m+n=7，∴m=9，n=﹣2，a=mn=﹣2×9=﹣18．答：a的值为﹣18．点评：本题考查了因式分解的应用；由x2﹣5x﹣24=（x﹣8）（x+3）想到设原式=（x﹣8+my）（x+3+ny）是正确解答本题的关键，解题方法独特，要学习掌握．24．（10分）证明恒等式：a4+b4+（a+b）4=2（a2+ab+b2）2分析：先将左边先后运用完全平方式展开及配方的知识进行变形，然后可得出和右边相等的式子，即证明了等式的成立．解答：解：左边=（a2+b2）2﹣2a2b2+（a2+2ab+b2）2，=（a2+b2）2﹣2a2b2+（a2+b2）2+4ab（a2+b2）+4a2b2，=2（a2+b2）2+4ab（a2+b2）+2a2b2，=2[（a2+b2）2+2ab（a2+b2）+a2b2]，=2（a2+ab+b2）2=右边．故等式成立．点评：本题考查分式的等式证明，难度不算太大，关键是熟练运用完全平方公式及配方的知识．25．（10分）一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数．如64=82，64就是一个完全平方数；若a=29922+29922×29932+29932．求证：a是一个完全平方数．分析：考虑到29922、29932都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2992，则百度文库- 让每个人平等地提升自我1111 2993=2992+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．解答：证明：令2992=m，则2293=m+1，于是a=m2+m2•（m+1）2+（m+1）2，=m4+2m3+3m2+2m+1，=m4+2m3+2m2+m2+2m+1，=（m2）2+2•m2•（m+1）+（m+1）2，=（m2+m+1）2，所以是a一个完全平方数．点评：本题考查了完全平方式，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．。

初中奥数讲义_图形的折叠、剪拼与分割附答案

图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键．注有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力．近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图．【例6】如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1．将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到条折痕，如果对折n 次，可以得到条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。

因式分解拓展题及解答(必考题型)

因式分解拓展题解板块一：换元法例1分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x++++++【解析】将248x x u++=看成一个字母，可利用十字相乘得原式2232()(2)u xu x u x u x=++=++22(48)(482)x x x x x x=++++++22(58)(68)x x x x=++++2(2)(4)(58)x x x x=++++例2分解因式：22(52)(53)12x x x x++++-【解析】方法1：将25x x+看作一个整体，设25x x t+=，那么原式=22(2)(3)1256(1)(6)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x++-=+-=-+=+++-方法2：将252x x++看作一个整体，设252x x t++=，那么原式=22(1)1212(3)(4)(2)(3)(51)t t t t t t x x x x+-=+-=-+=+++-方法3：将253x x++看作一个整体，过程略.如果学生的能力到一定的程度，甚至连换元都不用，直接把25x x+看作一个整体，将原式展开，分组分解即可，那么原式22222(5)5(5)6(51)(56)(2)(3)x x x x x x x x x x=+++-=+-++=++2(51)x x+-.【巩固】分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x+++++【解析】2(2)(6)(810)x x x x++++【巩固】分解因式：22(1)(2)12x x x x++++-【解析】2(1)(2)(5)x x x x-+++例3证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【解析】设这四个连续整数为：1x+、2x+、3x+、4x+(1)(2)(3)(4)1x x x x+++++[(1)(4)][(2)(3)]1x x x x=+++++22(54)(56)1x x x x=+++++246 52u x x +=++原式22[(55)1][(55)1]1x x x x=++-++++22(55)11x x=++-+22(55)x x=++【巩固】假设x，y是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y+++++是一个完全平方数. 【解析】()()()()4234x y x y x y x y y+++++()()()()4423x y x y x y x y y=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224(54)(56)x xy y x xy y y=+++++令2254x xy y u++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y++=+=++即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y+++++=++例4分解因式2(25)(9)(27)91a a a+---【解析】原式22[(25)(3)][(3)(27)]91(215)(221)91a a a a a a a a=+-+--=-----设2215a a x --=，原式2(6)91691(13)(7)x x x x x x =--=--=-+22(228)(28)a a a a =----2(4)(27)(28)a a a a =-+--【巩固】分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【解析】原式22(1)(2)(21)(23)90(253)(252)90x x x x x x x x =++++-=++++-225y x x =+原式22(3)(2)90584(12)(7)(2512)(27)(1)y y y y y y x x x x =++-=+-=+-=+++-例5分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-【解析】咋一看，很不好下手，仔细观察发现：222(31)(23)44x x x x x x --++-=+-，故可设2231,23x x A x x B --=+-=，那么244x x A B +-=+.故原式=24()AB A B -+2A =-222()B AB A B -+=--22222(31)(23)(232)x x x x x x ⎡⎤=----+-=--+⎣⎦. 【巩固】分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【解析】由于题中以整体形式出现的式子有两个，共4个地方，故采取换元法后会大大简化计算过程，不妨设,a b x ab y +==，【解析】那么原式=222(2)(2)(1)222x y x y x xy y y x --+-=-++-222221()2()1(1)(1)(1)(1)x y x y x y a b ab a b +=---+=--=+--=--例6分解因式：272)3()1(44-+++x x【解析】设1322x x y x +++==+，那么原式=4442(1)(1)2722(61)272y y y y -++-=++- 422222(6135)2(9)(15)2(3)(3)(15)y y y y y y y =+-=-+=+-+22(5)(1)(419)x x x x =+-++【巩固】分解因式：4444(4)a a ++-【解析】为方便运算，更加对称起见，我们令2x a =-4444(4)a a ++-444(2)(2)4x x =++-+22224(44)(44)4x x x x =+++-++422(2416)256x x =+++422(24144)x x =++222(12)x =+222[(2)12]a =-+222(416)a a =-+ 板块二：因式定理因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式.有理根：有理根p c q=的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---【巩固】 02a =-的因数是1±，2±，2n a =的因数是1±，2±．因此，原式的有理根只可能是1±，2±(分母为1)，12±．因为(1)21526f =---=-，(1)21520f -=--+-=，于是1-是()f x 的一个根，从而1x +是()f x 的因式，这里我们可以利用竖式除法，此时一般将被除式按未知数的降幂排列，没有的补0：可得原式2(232)(1)x x x =--+(2)(21)(1)x x x =-++点评：观察，如果多项式()f x 的奇数次项与偶数次项的系数和互为相反数，那么说明(1)0f =； 2323222232125222 35 33 22 22 0x x x x x x x x x x x x x x --+---+--------如果多项式的奇数次项与偶数次项的系数和相等，那么说明(1)0f-=.【巩固】分解因式：65432234321x x x x x x ++++++解析：此题有理根只可能为1±.1+当然不可能为根(因为多项式的系数全是正的)，经检验1-是根，所以原式有因式1x +，原式5432(1)(221)x x x x x x =++++++容易验证1-也是5432221x x x x x +++++的根，5432221x x x x x +++++42(1)(21)x x x =+++22(1)(1)x x =++，所以65432234321x x x x x x ++++++222(1)(1)x x =++【巩固】分解因式：322392624x x y xy y -+-解析：322392624x x y xy y -+-(2)(3)(4)x y x y x y =---例8分解因式：32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【解析】常数项abc -的因数为a ±，b ±，c ±，ab ±，bc ±，ca ±，abc ±把x a =代入原式，得32()()a a b c a ab bc ca a abc -+++++-332222a a ba ca a b abc a c abc =---+++-0=所以a 是原式的根，x a -是原式的因式，并且32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-322()[()()]()x ax b c x a b c x bcx abc =--+-++-2()[()]x a x b c x bc =--++()()().x a x b x c =---【巩固】分解因式：32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+【解析】如果多项式的系数的和等于0，那么1一定是它的根；如果多项式的偶次项系数的和减去奇次项系数的和等于0，那么1-一定是它的根．现在正是这样：()(32)(23)2()0l n l m n l m n m n -+++-----+=所以1x +是原式的因式，并且32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+322[()()][(2)(2)][2()2()]l m x l m x l m n x l m n x m n x m n =+++++-++--+++2(1)[()(2)2()]x l m x l m n x m n =++++--+(1)(2)()x x lx mx m n =+++--板块三：待定系数法如果两个多项式恒等，那么左右两边同类项的系数相等.即，如果 12112112101210n n n n n n n n n n n n a x a x a x a x a b x b x b x b x b --------+++++=+++++那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =.例9用待定系数法分解因式：51x x ++【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或52321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-523254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故010101a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得110a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以52321(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.【巩固】421x x -+是否能分解成两个整系数的二次因式的乘积? 解析：我们知道42221(1)(1)x x x x x x ++=++-+.421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的乘积．如果421x x -+能够分解，那么一定分解为22(1)(1)x ax x bx ++++或22(1)(1)x ax x bx +-+-比拟3x 与2x 的系数可得:021a b ab += ⎧⎨±=-⎩(1)(2) 由(1)得b a =-，代入(2)得221a =±+，即23a =或21a =-，没有整数a 能满足这两个方程．所以，421x x -+不能分解成两个整系数的二次因式的积(从而也不能分解成两个有理系数的二次因式的积)．【巩固】631x x +-能否分解为两个整系数的三次因式的积? 解析：设6332321(1)(1)x x x ax bx x cx dx +-=+++++-，比拟5x ，3x 及x 的系数，得010a c ad bc b d +=⎧⎪+=+⎨⎪-=⎩由第一个方程与第三个方程可得c a =-，d b =,再把它们代入第二个方程中，得1ab ab -=矛盾!所以，631x x +-不可能分解为两个整系数的三次因式的积．例10分解因式：43223x x x x ++-+【解析】原式的有理根只可能为1±，3±，但是这四个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．我们设想43223x x x x ++-+可以分为两个整系数的二次因式的乘积．由于原式是首1的(首项系数为1)，两个二次因式也应当是首1的．于是，设43223x x x x ++-+22()()x ax b x cx d =++++ ⑴其中整系数a b c d 、、、有待我们去确定．比拟⑴式两边3x ，2x ，x 的系数及常数项，得1213a c b d ac bc ad bd += ⎧⎪++= ⎪⎨+=- ⎪⎪=⎩ (2)(3)(4)(5) 这样的方程组，一般说来是不容易解的．不过，别忘了b d 、是整数!根据这一点，从(5)可以得出13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩，当然也可能是31b d =⎧⎨=⎩或31b d =-⎧⎨=-⎩ 在这个例子中由于因式的次序无关紧要，我们可以认为只有13b d =⎧⎨=⎩或13b d =-⎧⎨=-⎩这两种情况．将1b =，3d =，代入(4)，得31c a +=- ⑹将⑹与⑵相减得22a =-，于是1a =-，再由⑵得2c =这一组数(1a =-，1b =，2c =，3d =)不仅适合⑵、⑷、⑸，而且适合⑶．因此43223x x x x ++-+22(1)(23)x x x x =-+++ ⑺将1b =-，3d =-，代人⑷，得31c a --=- ⑻将⑻与 ⑵相加得20a -=.于是0a =，再由 ⑵得1c =.这一组数(0a =，1b =-，1c =，3d =-)，虽然适合⑵、⑷、⑸，却不适合⑶，因而4322223(1)(3)x x x x x x x ++-+=-+-/.事实上，分解式是惟一的，找出一组满足方程组的数，就可以写出分解式⑺，考虑有没有其他的解纯属多余，毫无必要．板块四：轮换式与对称式对称式：x y 、的多项式x y +，xy ，22x y +，33x y +，22x y xy +，…在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x y 、的对称式．类似地，关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222222x y x z y z y x z x z y +++++，xyz ，…在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、的对称式．轮换式：关于x y z 、、的多项式x y z ++，222x y z ++，xy yz zx ++，333x y z ++，222x y y z z x ++，222xy yz zx ++，xyz …在将字母x y z 、、轮换(即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x )时，保持不变．这样的多项式称为x y z 、、的轮换式．显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式．但是，关于x y 、，z 的轮换式不一定是对称式．例如，222x y y z z x ++就不是对称式．次数低于3的轮换式同时也是对称式．两个轮换式(对称式)的和、差、积、商(假定被除式能被除式整除)仍然是轮换式(对称式)．例11：分解因式：222()()()x y z y z x z x y -+-+-解析：222()()()x y z y z x z x y -+-+-是关于x y z 、、的轮换式．如果把222()()()x y z y z x z x y -+-+-看作关于x 的多项式，那么在x y =时，它的值为222()()()0y y z y z y z y y -+-+-=.因此，x y -是222()()()x y z y z x z x y -+-+-的因式．由于222()()()x y z y z x z x y -+-+-是x y z 、、的轮换式，可知y z -与z x -也是它的因式．从而它们的积()()()x y y z z x --- ⑴是222()()()x y z y z x z x y -+-+- ⑵的因式．由于⑴ 、⑵都是x y z 、、的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有222()(.)()()()()x y z y z x z x y k x y y z z x -+-+-=--- ⑶现在我们来确定常数k 的值．为此，比拟⑶的两边2x y 的系数：左边系数为1，右边系数为k -．因此，1k =-．于是222()()()x y z y z x z x y -+-+-()()()x y y z z x =----思路2：利用y －z ＝(y －x)－(z －x).例12分解因式：222222()()()xy x y yz y z zx z x -+-+-【解析】此式是关于x ，y ，z 的四次齐次轮换式，注意到x y =时，原式0=，故x y -是原式的一个因式.同理，y z -，z x -均是原式的因式，而()()()x y y z z x ---是三次轮换式，故还应有一个一次轮换式，设其为()k x y z ++，故原式()()()()k x y z x y y z z x =++---，展开并比拟系数可知，1k =-，故原式()()()()x y z x y y z z x =-++---.思路2：利用x 2－y 2＝(x 2－z 2)+(z 2－y 2).家庭作业练习 1．分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-原式2224(1760)(1660)3x x x x x =++++-2224(1660)(1660)3x x x x x x ⎡⎤=+++++-⎣⎦22224(1660)4(1660)3x x x x x x =+++++-22[2(1660)][2(1660)3]x x x x x x =++-+++22(231120)(235120)x x x x =++++2(215)(8)(235120)x x x x =++++练习 2．要使()()()()1348x x x x m -+--+为完全平方式，那么常数m 的值为________【解析】 ()()()()1348x x x x m-+--+22222(54)(524)(5)20(5)96x x x x m x x x x m =-+--+=----+，那么196m =练习 3．分解因式：22(68)(1448)12x x x x +++++【解析】原式22(2)(4)(6)(8)12(1016)(1024)12x x x x x x x x =+++++=+++++设21016t x x =++，那么原式(8)12(2)(6)t t t t =++=++22(1018)(1022)x x x x =++++练习 4．分解因式：22222()4()x xy y xy x y ++-+【解析】设22x y a +=，xy b =，那么原式22222()4()()a b ab a b x y xy =+-=-=+-.练习 5．分解因式：32252x x x ---【解析】 32252(2)(21)(1)x x x x x x ---=-++练习 6．分解因式：326116x x x +++【解析】 3226116(1)(56)(1)(2)(3)x x x x x x x x x +++=+++=+++练习 7．用待定系数法分解：541x x ++【解析】原式的有理根只可能为1±，但是这2个数都不能使原式的值为0，所以原式没有有理根，因而也没有(有理系数的)一次因式．故542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+++++或542321(1)(1)x x x ax x bx cx ++=+-++-5423254321(1)(1)()(1)(1)()1x x x ax x bx cx x a b x ab c x ac b x a c x ++=+++++=+++++++++++故110100a b c ab ac b a c +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩，解得101a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以54231(1)(1)x x x x x x ++=++-+事实上，分解式是惟一的，所以不用再考虑其它情况.练习 8．分解因式：333()()()a b c b c a c a b -+-+-【巩固】 333()()()a b c b c a c a b -+-+-是关于a b c 、、的轮换式．它有三次因式()()()a b b c c a ---．由于原式是a b c 、、的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a b c 、、的四次齐次式，所以这个一次因式也是a b c 、、的一次齐次式，即它的常数项是0(否那么，它的常数项与三次式()()()a b b c c a ---相乘得到一个三次式)．这个一次齐次式是a b c 、、的轮换式，形状应当是()k a b c ++k 是常数．即有333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()k a b c a b b c c a =++--- ⑴比拟两边3a b 的系数，得1k =-于是333()()()a b c b c a c a b -+-+-()()()()a b c a b b c c a =-++---上面求k 的方法是比拟系数，也可以改用另一种方法，即适中选一组使()()()()0a b c a b b c c a ++---=/的数代替a b c 、、从而定出k ，例如，令2a =,1b =,0c =,把它代入⑴，得8203(2)k -+=⋅⋅-,即1k =-,以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．补充题【备选1】分解因式：(1)(2)(3)(4)24a a a a -----【解析】2(5)(510)a a a a --+ 【备选2】分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+- 【解析】设xy u =，x y v +=,原式＝(u+v+1)(u －v+1)＝(x+1)(y+1)(x －1)(y －1).【备选3】分解因式：43265332x x x x ++--【解析】原式的有理数根只可能为：1±，2±，12±，13±，23±，16± 经检验12-是一个根，所以21x +是原式的因式，进而可得： 43232265332(21)(32)(21)(32)(1)x x x x x x x x x x x x ++--=+++-=+-++本文档局部内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。

初二第12次辅导材料-因式分解方法的延拓

分解方法的延拓1.换元法2.主元法3.待定系数法4.配方法【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．思路点拨视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．配套练习：1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8 2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－123.将多项式3224--x x 分解因式，结果正确的是（）．A ．)1)(3(22-+x xB ．)3)(1(22-+x xC ．)1)(1)(3(2+-+x x xD ．)3)(3)(1(2+-+x x x4. 因式分解：（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)22212)16)(1(a a a a a ++-++【例2】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (2)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；思路点拨换元法.配套练习：分解因式12)5)(3)(1(2+++-x x x【例3】多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例4】分解因式：a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)；思路点拨主元法.配套练习：1.已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定2.已知：a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)=0，求证：a,b,c 至少有两数相等.【例5】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )．A ．7B ．8C ．15D ．2l思路点拨原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．配套练习：1.已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．2.若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝．3.k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积?思路点拨因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为)2)(1(++++ny x my x 的形式．【例6】把下列各式分解因式：(1)44+x （2）1724+-x x思路点拨所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．配套练习：因式分解：(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++；。

[专题]第二讲分解方法的延拓(含答案)-.doc

第二讲分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动屮，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法.把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配匕某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式.对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：1. 根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；2. 利川恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；3. 解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解.例题求解【例1】分解因式：4”-牡-护+4）,-3二 __________________ .（2002年重庆市竞赛题）思路点拨肓接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成儿个数的代数和，以便凑配.注：拆项即把代数式屮的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分纟H.分解发分解.配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用.【例2】如果”+俶2+加+ 8有两个因式x+1和x+2,则a+b = （）.A. 7 B・ 8 C. 15 D・ 21（2001年武汉市选拔赛试题）思路点拨原多项式的第三个因式必是形如x+c的一次两项式，故町考虑用待定系数法解.【例3】把下列各式分解因式：（1） x4 -7x2 +1 ；（“祖冲Z杯”邀请赛试题）（2）x4 +x2 +2ax + \-a2；（哈尔滨市竞赛题）（3）（1 +刃2 -2x2（l + y2） + x4（l-刃$ ；（扬州市竞赛题）⑷x4 + 2.? +3x2+2x + l （2002年河南省竞赛题）思路点拨所给多项式，或冇两项的平方和，或冇两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解.【例4】£为何值时，多项式X2-2A7+^V2+3X-5V +2能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛题)思路点拨【天"为二次项系数，故不宜从二次项入手，而X2+3X +2=(X +1)(X +2),可得多项式必为(x + my + l)(x + ny + 2)的形式•【例5】如果多项式x2-(a + 5)x + 5a-l能分解成两个一次因式(x + b) > (x + c)的乘积(b、c为整数)，则a的值应为多少？(第17届江苏省竞赛题)思路点拨由待定系数法得到关于b、c、a的方程组，通过消元、分解因式解不定方程, 求出b、c> a的值.学历训练1.⑴完成下列配方问题：x2 + 2px + { = \x2+2px + ( ) ]+( ) = (x+ 尸+()(2003年江西省中考题)(2)分解I大I式：a2-b2+4a + 2b + 3的结果是_____________ .(郑州市竞赛题)2.若x3+3x2-3x + k冇一个因式是x+1,贝1"= _________ ・3.若兀2 +2xy + y2 -a(x+ y) +25是完全平方式，则a = _____ .(2003年青岛市中考题)4.已知多项式2x2+3^-2y2-x + 8y-6可以i分解为(x + 2y+ /w)(2x-y+ /?)的形式，那么兰二的值是 __________ .(第11届“希望杯”邀请赛试题)/?2-15.LL^n«24-/?2+4«-2/? + 5 = 0,则凹•的值为( )a-bA. 3B. —C. —3D.—3 36.如果a、b是整数，且x2-x-\是川+加2+i的因式.那么b的值为()A. ~2B. -1C. 0D. 2(第15届江苏省竞赛题)7.(2002年北京市竞赛题)/+4d分解因式的结果是( )A. (d $ + 2d —2)((i $ — 2d + 2) ；B. (</*"+ 2d — 2)(°〜—2a — 2)C • (a 2 + 2a + 2)(a 2 —2a — 2)；D • (a 厶 + 2a + 2)(a ? —2a + 2)8.把下列各式分解因式:(l)a4+16b4；(2)x4+x2y2 +y4；⑶x2+(l + x)2+(x + x2)2；(4) (c-a)2-4(b-c)(a-b)；(昆明市竞赛题)（5）x3-9x4-8 : （“祖冲Z杯”邀请赛试题）（6） " +2X2-5X-6（重庆市竞赛题）9.已知.F+2X +5是兀4+处的一个因式，求a + b的值.（第15届“希望杯”邀请赛试题）10.已知F+x-6是多项式2x4 +x3-ax2 +bx + a-^b-｝的因式，贝吒= ___________ .（第15届江苏省竟赛题）11 . 一个二次三项式的完全平方式是x4-6x3+lx2+ax + b ,那么这个二次三项式是. _（重庆市竞赛题）12.___________________________________________________ 已知F+）,2 + z2_2x + 4y_6z + 14 = 0,贝IJ（x-y-z）2002= ______________________________ .（2002牛北京市竞赛题）13.___________________________________________________________ 已知〃为正整数，且4?+4”+4】映是一个完全平方数，贝山的值为_________________________14.设m、n 满足〃?知彳+〃/+川2 十］°刖？+ 16 = 0 ,贝＞J (m,n)=( )A. (2, 2)或(一2, -2);B. (2, 2)或(2, -2)C. (2, 一2)或(一2, 2);D. (-2, 一2)或(一2, 2)15.将F+J+1因式分解得()A. (Jr? +x 十1)(/ + X + 1)B. (X? —_Y +1)(X‘ + X +1)C•(x? —+1)(兀'—兀 + l) D. (x'+x+IXx'—x + l)16.若a、b、c、d都是正数，则在以下命题中，错误的是()A.a2 +b2 +c2 =ab-vbc + ca ,贝- b = c\B.a~ +b2 +c2 = 3abc ,贝lj a = b = c\C.若/+,+/+" =2@2沪+。

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分解方法的延拓 ——配方法与待定系数法
在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法．
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式．
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是：
1．根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2．利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；
3．解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解．例题求解
【例1】分解因式：344422-+--y y x x = ．
(2002年重庆市竞赛题)
思路点拨直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成几个数的代数和，以便凑配．
注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解．
配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用．
【例2】如果823+++bx ax x 有两个因式x+1和x+2，则a+b ＝( )． A ．7 B ．8 C ．15 D ．2l (2001年武汉市选拔赛试题)
思路点拨原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解．【例3】把下列各式分解因式：
(1)1724+-x x ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) （2）22412a ax x x -+++； (哈尔滨市竞赛题) (3)24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+； (扬州市竞赛题) (4)1232234++++x x x x (河南省竞赛题)
思路点拨所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的2倍，只需配上缺项，就能用配方法恰当分解．
【例4】k 为何值时，多项式253222+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)
思路点拨因k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而)2)(1(232++=++x x x x ，可得多项式必为
)2)(1(++++ny x my x 的形式．
【例5】如果多项式15)5(2-++-a x a x 能分解成两个一次因式)(b x +、)(c x +的乘积(b 、c 为整数)，则a 的值应为多少? (江苏省竞赛题)
思路点拨由待定系数法得到关于b 、c 、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程，求出b 、c 、a 的值．
学历训练
1．(1)完成下列配方问题：[
])()()(
)
(212222++=+++=++x px x px x
（江西省中考题）
（2）分解因式：32422+++-b a b a 的结果是．(郑州市竞赛题) 2．若k x x x +-+3323有一个因式是x+1，则k ＝． 3．若25)(222++-++y x a y xy x 是完全平方式，则a = ． (2003年青岛市中考题)
4．已知多项式682322
2
-+--+y x y xy x 可以i 分解为)2)(2(n y x m y x +-++的形式，那么1
12
3-+n m 的值
是． ( “希望杯”邀请赛试题) 5．已知052422=+-++b a b a ，则b
a b
a -+的值为( ) A ．3 B ．
31 C ．3- D ．3
1- 6．如果 a 、b 是整数，且12--x x 是123++bx ax 的因式．那么b 的值为( ) A ．－2 B ．－l C ．0 D ．2 (江苏省竞赛题)
7．44+a d 分解因式的结果是（）
A ．)22)(22(22+--+a a a a
B ．)22)(22(22---+a a a a
C ．)22)(22(22--++a a a a
D ．)22)(22(22+-++a a a a (北京市竞赛题) 8．把下列各式分解因式：
(1)4416b a +； (2)4224y y x x ++； (3)2222)()1(x x x x ++++；
（4）))((4)(2b a c b a c ----； (昆明市竞赛题) (5)893+-x x ；（“祖冲之杯”邀请赛试题）（6）65223--+x x x (重庆市竞赛题)
9．已知522++x x 是b ax x ++24的一个因式，求b a +的值．（第15届“希望杯”邀请赛试题）
10．已知62-+x x 是多项式12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则a ＝． (第15届江苏省竞赛题)
11．一个二次三项式的完全平方式是b ax x x x +++-23476，那么这个二次三项式是． (重庆市竞赛题)
12．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则2002)(z y x --= ． (北京市竞赛题)
13．已知n 为正整数，且19987444++n 是一个完全平方数，则n 的值为． 14．设m 、n 满足016102222=++++mn n m n m ，则),(n m =( ) A ．(2，2)或(－2，－2) B ．(2，2)或(2，－2) C ．(2，－2)或(－2，2) D ．(－2，－2)或(－2，2) 15．将145++x x 因式分解得( )
A ．)1)(1(32++++x x x x
B ．)1)(1(32+++-x x x x
C ．)1)(1(32+-+-x x x x
D ．)1)(1(32+-++x x x x
16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( ) A ．若ca bc ab c b a ++=++222，则c b a == B ．若abc c b a 3222=++，则c b a ==
C ．若)(222224444d c b a d c b a +=+++，则d c b a ===
D ．若abcd d c b a 44444=+++，则d c b a ===
17．把下列各式分解因式：
(1)153143+-x x ； (2)444222222222c b a c b c a b a ---++； (3)15++x x ； (4)93523-++x x x ； (5)262234+---a a a a (2003年河南省竞赛题)
18．已知关于x 、y 的二次式24435722-+-++y x my xy x 可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值． (大原市竞赛题)
19．证明恒等式：222444)(2)(b ab a b a b a ++=+++ (北京市竞赛题)
20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82
，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012
+20012
× 20022
十20022
，求证：a 是一个完全平方数．(希望杯题)。