珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测(理数参考答案)

珠海市2016届第一学期期末高三学生学业质量监测数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数z 满足32z iz i+=+,则z 的虚部为( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2=( ) A ．1- BC ．1 D3．设命题p :若23xx>,则0x <,其逆否命题为( )A ．若0x ≥,则23xx≤ B ．若0x >,则 23xx< C ．若23xx>,则0x ≥ D ．若23xx≤,则0x > 4．现有1000件产品,甲产品有10件,乙产品有20件,丙产品有970件,现随机不放回抽取3件产品,恰好甲乙丙各一件的概率是( )A ．311131020970331000()A C C C CB ．311131020970131000()AC C C C C ．31113102097031000A C C C CD ．31113102097031000A C C C A 5．如图是函数()cos()f x A x ωϕ=+的一段图像，则函数()f x 图像上的最高点坐标为( ) A ．(2)2k k Z π∈，， B ．(2)k k Z π∈，， C ．(22)6k k Z ππ-∈，， D ．(2)12k k Z ππ-∈，，6．已知一正三棱台上底边长为3，下底边长为6，高为3，则此三棱台体积为( )ABCD7．如图是一平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)1111ABCD A B C D -，E 为BC 延长线上一点，2BC CE = ,则1D E =( )A ．1AB AD AA ++B ．112AB AD AA +- C ．1AB AD AA +-D ．113AB AD AA +- 8．227(3)x y y +-展开式中，122x y 项系数为( )A ．7B ．7-C ．42D ．42-A 1B 1C 1AC DD 1BE（第7题图）（第5题图）2-23π6π9．执行右图的程序框图，若输入100k =，则输出的n =( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．910．点00()P x y ，为双曲线22:149x y C -=上一点,12B B 、为C 的虚轴顶 点，128PB PB ⋅<u u u r u u u r，则0x 的范围是( )A．(2][2-U B．(2)(2-U C．(2][2--U D．(2)(2--U11．如左上图，是圆锥一部分和四分之一球组成的组合体的三视图，则此几何体的体积为( )A ．83π B ．163π C ．143π D ．23π 12．函数21()(1)1ln (0)2f x x a x x a =-+++>，若存在唯一一个整数0x 使0()0f x <成立，则a 的范围是( ) A ．(01)，B ．(01]，C ．(022ln 2)+，D ．111(ln 2)222+， CCAD DABB BCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数11)(-++=ax x x f 是偶函数，则a = ．114．圆C 的圆心C 在x 轴上，圆C 经过抛物线2:16D y x =的焦点且与D 相切，则C 的半径是 ．2或1615．变量x y ，满足3202304120x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则22(3)(3)x y -+-的范围是 ．9[9]17， 16．如右下图，四边形ABCD 中，0135BAD ∠=，0120ADC ∠=，045BCD ∠=，（第9题图）DA（第11题图）俯视图左视图正视图324060ABC ∠=，2BC =，则线段AC 长度的取值范围是 ．2)三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2364n n n a a S +=+（1）求{}n a 的通项公式（2）设2n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：(1)由2364n n n a a S +=+…………①知2111364n n n a a S ++++=+…………②由②－①得22111133666n n n n n n n a a a a S S a ++++-+-=-=…………………………………1分即11()(3)0n n n n a a a a +++--= 0n a > ∴10n n a a ++>∴130n n a a +--=即13n n a a +-=…………………………………………………………………………………3分又2111136464a a S a +=+=+即2111134(4)(1)0a a a a --=-+= 0n a >∴14a =∴{}n a 是4为首项，3为公差的等差数列……………………………………………………5分 ∴43(1)31n a n n =+-=+……………………………………………………………………6分(2) 2(31)2n n n n b a n ==+⋅故1234272102(31)2n n T n =⋅+⋅+⋅+++⋅234124272102(31)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅∴1231242323232(31)2n n n n n T T T n +-=-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅ ………………8分123123(2222)(31)2n n n +=+++++-+⋅112(21)23(31)221n n n +-=+⋅-+⋅-1(32)24n n +=--⋅-∴1(32)24n n T n +=-⋅+………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造成了巨大 的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]2000,0，(]4000,2000，(]6000,4000，(]8000,6000，(]10000,8000五组，并作出如下频率分布直 方图（图1）：（1）台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表格，在图2 表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损 失是否到4000元有关？（图1）（图2）（2）将上述调查所得到的频率视为概率。

现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每次抽取1 户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为ξ。

若每次抽取的结果 是相互独立的，求ξ的分布列，期望()E ξ和方差()D ξ.附：临界值表随机量变22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下…………………………2分22100(60101020) 4.7680207030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯因为4.762 3.841>，( 3.841)0.05p k ≥=所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关． ……………………………………………………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率. 由题意知ξ的取值可能有0,1,2,3，………………………………………………5分3~(3,)10B ξ，003337343(0)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………6分 112337441(1)()()1010100p C ξ==⨯=， ……………………………………7分 221337189(2)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………8分 33033727(3)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………9分 从而ξ的分布列为 (10)3()30.910E np ξ==⨯=，……………………………………………11分 37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=………………………………12分19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 中，060BAD ∠=，边长2AB =，GE ⊥平面ABCD ，HF ⊥ABCD E F 、分别是边AB CD 、中点，AC 与BD 交于O ,2EG FH ==， （1）求证：AB BH ⊥；（2）求二面角C OH F --的正弦值.(1)证明：连接BF , HF ⊥面ABCD ,∴ CD FH ⊥菱形ABCD 中，060BAD ∠=，F 分别是边CD 中点，∴BCD ∆是等边三角形,故CD BF ⊥∴CD ⊥平面BFH∴CD BH ⊥∴菱形ABCD 中，AB CDN OMHGFED CBA∴AB BH ⊥………………4分(2)解：在平面ABCD 中，过C 作CM EF ⊥的延长线于M ，在COH ∆中，过过C 作CN OH ⊥于N ，连接MNCM FH ⊥,∴CM ⊥平面EFHG∴OH CM ⊥，又CN OH ⊥,∴OH ⊥平面CMN ∴MN OH ⊥,∴CNM∠就是二面角C OH F --的平面角………………………………8分菱形ABCD 中，060BAD ∠=，边长2AB =，EFHG 是正方形，边长为2∴OC =030COM ∠=,∴CO =HO HC ==∴2CM =，10CN =∴CM sin CNM CN ∠===∴二面角C OH F --………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点3(1,)2M ，且一个焦点为1(1,0)F -，直线l 与椭圆C 交于1122(,),(,)P x y Q x y 两不同点，O 为坐标原点， （1）求椭圆C 的方程；（2）若OPQ ∆2212x x +和2212y y +均为定值； （3）在（2）的条件下，设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值. 解：椭圆C 的另一焦点为2F ，由已知得：2(1,0)F1224a MF MF =+== 2a ∴=b ∴= 故椭圆C ：22143x y +=…………………………………………………………………2分 （2）证明：当直线l x ⊥轴时，22111,43x y +=11122OPQ S x y ∆=⋅=，解得112x y ==，故222212124,3x x y y +=+= 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,0y kx m m =+≠代入椭圆C 的方程得：()2223484120k x kmx m +++-=其中()()222264163430k m km∆=-+->即()2234k m +>*又21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++ …………………………………………………4分12PQ x =- ，点O 到直线l的距离为d =121122OPQS PQ d m x x ∆∴=⋅=⋅-=21234m k⋅=+…………………6分 化简，得：()22224222344(34)4(342)0km k m k m +-++=+-=22342k m ∴+=且符合()*式∴()()22222121212228382()3434m km x x x x x x k k -+=+-=--++=()()22222284931234k m m k k +-++ =4，进而有()222212123634y y x x +=-+=…………………………8分 （3）解法一：①当直线l 的斜率不存在时，由（2）知11|||||2||OM x PQ y ====因此||||OM PQ ⋅=…………………………9分②当直线l 的斜率存在时，由（2）知122,2x x k m +=-2221212223(),222y y x x k k m k m m m m m++-+=+=-+== 22222121222224983381||()()(),224443x x y y k m OM m m m m++-=+=+==-22222222248(43)3(21)1||(1)3(2),(34)k m m PQ k k m m +-+=+==++………10分所以22229811||||()(2)43OM PQ m m⋅=⨯-⨯+22281129493().424m m -++≤= 所以7||||2OM PQ ⋅≤，当且仅当228112,3m m m-=+=即.综合（1）（2）得||||OM PQ ⋅的最大值为7.2……………………………12分解法二：因为222222*********||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+- ()()22221212214x x yy ⎡⎤=+++=⎣⎦所以224||||142||||7.22OM PQ OM PQ +⋅≤==即7||||,2OM PQ ⋅≤当且仅当2||||OM PQ ==. 因此||||OM PQ ⋅的最大值为7.221．（本小题满分12分） 已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=.（1）求函数的单调区间； （2）若方程2)(=x f 存在两个不同的实数解1x 、2x ，求证：a x x 221>+. 解：（1）函数)(x f 的定义域为：),0(+∞…………1分 221)(xax x a x x f -=-='…………3分 当0≤a 时，0)(>'x f ，)(x f 的单调递增区间为),0(+∞……4分当0>a 时，当a x >时，0)(>'x f ，)(x f 的单调递增区间为),(+∞a ；……5分 当),0(a x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 的单调递减区间为),0(a ；……6分 当a x =时，0)(='x f ，)(a f 为)(x f 的极小值 （2）方程2)(=x f 存在两个不同的实数解1x 、2x ， 因此)(x f 必能不为单调函数， 所以0>a ，……7分令2)()(-=x f x F ，则)(x F 的的单调递减区间为),0(a ,单调递增区间为),(+∞a ,最小值0)(<a F ∴210x a x <<<, 令)()2()(x F x a F x g --=，)2,[a a x ∈，∵ )()2()()2()(x f x a f x F x a F x g '--'='--'='0)2()(4222>⋅--=x x a a x a ……8分∴)(x g 在)2,[a a 上单调递增，且0)(=a g ，∴当)2,(a a x ∈时，0)(>x g∵ )2,(21a a x a ∈-，∴0)2(1>-x a g ，0)2()()2()()2(11111>--=--=-x a f x f x a F x F x a g ……10分 ∵2)()(21==x f x f , ∴)2()(12x a f x f ->……11分 ∵ )(x f 的单调递增区间为),(+∞a ，2x 、),(21+∞∈-a x a ∴122x a x ->, ∴a x x 221>+……12分请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，正方形ABCD 边长为2，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连结CF 并延长交AB 于点E .（1）求证：点E 为AB 的中点； （2）求EF 的值.解：（1）由以D 为圆心DA 为半径作圆，而ABCD 为正方形，∴EA 为圆D 的切线 依据切割线定理得2EA EF EC =⋅……………………………2分另外圆O 以BC 为直径，∴EB 是圆O 的切线，同样依据切割线定理得2EB EF EC =⋅……2分故AE EB =……………………………………………………5分 所以点E 为AB 的中点（2）连结BF ，∵BC 为圆O 的直径，∴BF EC ⊥ 又在Rt BCE ∆中，由射影定理得2BE EF EC=⋅所以2BE EF EC ===10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l 过点()3,4M ，其倾斜角为45o ，圆C 的参数方程为2cos ()2+2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数. 再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy 有相同的长度单位. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，求MA MB ⋅的值.解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=………………………………2分 由极坐标与直角坐标互化公式得()22(cos )sin 24ρθρθ+-=化简得4sin ρθ=……………4分（2）直线l 的参数方程3cos45()4sin 45oox t t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数……………………………………………6分即3()4x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入圆方程得：290t ++= 设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=，129t t =………………………8分 于是MA MB ⋅=12t t ⋅129t t =⋅=.………………………………………10分 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知0>a ，0>b ，且221=+ba . （1）求ab 的最小值；（2）求b a 2+的最小值，并求出a 、b 相应的取值 解：（1）由0>a ，0>b ，221=+b a得：122a b≤+=， ……………………2分 即：2ab ≥； ……………………3分等号成立的充要条件是12212a ba b⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且0>a ，0>b ，即：1,2a b ==； ∴ ab 的最小值为2； ……………………5分 （2）112122192(2)()(5)(52222b a a b a b a b a b +=++=++≥+=；……………………7分 等号成立的充要条件是12222a bb a a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且0>a ，0>b ，即：32a b ==；…………9分∴ 2a b +的最小值为92；此时32a b ==. …………………10分注：如有不同解答，请参考以上标准计分。