算术—几何平均不等式的一个改进
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
【免费下载】算术 几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
.可见
历史上的证明
的情况，设:
。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
一个不等式的改进和应用
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４ ２
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 １月
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收 稿 日期 ：０ ８０ —２ 修 改 日期 ：０ １１—０ ２ ０—８２ ； ２ １ —２１
版 社 ， ０ ４： ９３ ． ２ ０ ２ —１
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州： 河南教育出版社，９４３８ ２ １９ ：１— ０ ３
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均值不等式等号成立的常见错误及解决途径
均值不等式等号成立的常见错误及解决途径第一篇：均值不等式等号成立的常见错误及解决途径均值不等式等号成立的常见错误及解决途径湖北省郭松不等式的应用是高中数学的重难点，众所周知在均值不等式的应用中应该注意等号成立的条件。
由于对公式的理解不够透彻，会造成一些错误。
一、常见错误１.不能正确判断公式中的a,b例1：已知x∈(0,值？错解：y=x(1-2x)=当x=1-2x即x=1),求函数y=x(1-2x)的最大值，并判断当x为何值时函数取最大2112x+1-2x212x(1-2x)≤()= 22281时等号成立31时等号成4以上解答错误地判断了均值不等式中的a,b。
解答应为当2x=1-2x,当x=立2.错误理解a=b时等号成立例2：已知函数y=x+1(x∈R)求函数的值域错解：y=x+1≥2x,当x=1时等号成立，故y≥2显然解答错误，但许多同学对错误原因不了解。
首先y=x+1≥2x,当x=1时等号成立是正确的。
但并不代表函数的最小值为2，例如x=1时 y=2=2x,x=2222+15时y=>1=2x。
如右图，我们可以 24发现y=x+1≥2x，当x=1时等号成立。
但正确解答为y>1二、解决途径1.利用单调性例3：已知函数y=sinx+解：Θ函数y=x+24,求函数的值域sin2x42在x∈(0,2)函数单调递减，且044∴函数y=sin2x+2≥1+=5 1sinx∴ y∈[5,+∞)因为以上题型是高中常见题，所以我们不妨记一下。
函数y=x+a(a为正常x数,x>0)。
x∈（0，a函数单调递减，x∈]a,+∞函数单调递增。
利用函数的单调性证)明不等式是证明不等式的一种通法。
理论上说不等式都能用函数单调性解答。
2.通过配系数同例3：方法2：(略解)sinx+44222=4 sinx+-3 sinx8-3sinx≥5 ≥22sinxsinx413322方法3：（略解）sinx+= sinx++ 2+≥≥5 sin2xsin2xsin2xsin2x2充分利用，理解不等式等号成立的条件是配系数的关键3.利用换元法例4：已知a+b=1,m+n=9.求am+bn的最大值错解：10= a+b+m+n≥2（am+bn）得：am+bn≤5显然等号不能成立正解：设：a=sinα,b=cosα,m=3sinβ,n=3cosβ得am+bn=3cos(α-β)≤34.构造向量利用向量的性质z1z2≥z1z2同例4：设z1=(a,b),z2=(m,n)得z1z2=am+bn≤z1z2=a2+b222222222m2+n2=3 加强多种方法的解答，注意各部分知识的联系。
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
算术几何平均间不等式的证明
算术几何平均间不等式的证明在数学中，算术平均和几何平均是两个常用的概念。
算术平均是一组数的总和除以数的个数，而几何平均是一组数的乘积的n次方根。
算术几何平均间不等式是一种基本的不等式，它提供了一种关于算术平均和几何平均之间的关系。
本文将对算术几何平均间不等式进行证明。
设有正数x₁,x₂,x₃,...,xₙ,它们的算术平均为A，几何平均为G。
那么我们可以得到以下关系：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ n√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（1）首先，我们通过归纳法证明这个不等式对于n=2时成立。
当n=2时，不等式可以变为：x₁+x₂ ≥ 2√(x₁·x₂) ——（2）我们可以将不等式（2）两边平方，得到：x₁²+x₂²+2x₁x₂ ≥ 4x₁x₂接着，我们可以重写上式为：(x₁-x₂)² ≥ 0这是显然成立的，所以当n=2时，算术几何平均间不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，不等式成立。
即对于k个正数的情况下，算术几何平均间不等式成立。
我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立。
对于k+1个正数的情况，我们可以将这些数分成两组：前k个数和最后一个数。
我们假设前k个数的算术平均为A，几何平均为G₁；最后一个数的值为xₙ₊₁。
根据归纳法的假设，我们知道不等式对于前k个数成立：x₁+x₂+x₃+...+xₙ ≥ k√(x₁·x₂·x₃·...·xₙ) ——（3）现在，我们考虑最后一个数与前k个数的几何平均的关系。
即：G₂ = (x₁·x₂·x₃·...·xₙ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))我们可以将G₂重写为：G₂ = (G₁^k ·xₙ₊₁)^(1/(k+1))根据虚根定理，不等式√G₁^k·xₙ₊₁ ≥ (G₁+xₙ₊₁)/2 成立。
三个正数的算术-几何平均不等式
的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )
用均值不等式最值的方法和技巧
用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。
它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。
下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。
1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。
这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。
2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。
对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。
使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。
3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。
对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。
4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。
对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。
利用平均值不等式求解问题的练习
利用平均值不等式求解问题的练习平均值不等式是数学中常用的一种不等式关系，它可以用于解决各种问题。
本文将通过几个例子来展示如何利用平均值不等式求解问题。
例一：证明算术平均数大于等于几何平均数考虑一组正实数：a1, a2, ..., an，它们的算术平均数为A，几何平均数为G。
我们要证明A≥G。
根据平均值不等式，有A≥G。
具体证明如下：设数列x1, x2, ..., xn满足xi=A/a1, xi=A/a2, ..., xi=A/an，则有：G = ∛(x1 * x2 * ... * xn)根据算术-几何平均值不等式，有：A/n ≥ ∛(x1 * x2 * ... * xn)带入上述等式，得到：A/n ≥ G将两边乘以n，得：A ≥ nG因此，算术平均数A大于等于几何平均数G。
证毕。
例二：求解最小值问题现在考虑一个简单的求解最小值问题，给定两个正实数a和b，求a^4+b^4的最小值。
根据平均值不等式，我们可以得到以下结论：(a^4+b^4)/2 ≥ ((a^2)^2 + (b^2)^2)/2 ≥ ((a^2+b^2)/2)^2这里我们首先使用平均值不等式得到了(a^2)^2和(b^2)^2的不等式关系，然后再次使用平均值不等式得到了最终的结果。
根据平均值不等式的性质，等号成立的条件是等号连续成立。
因此，当a^2=b^2时，等号成立，即a=b。
所以，当a=b时，(a^4+b^4)/2的最小值为a^4。
示例三：求解几何问题现在考虑一个几何问题，给定一个平面三角形ABC，点D为BC边上的一个点。
求证AB + AC ≥ 2AD。
根据平均值不等式，我们可以得到以下结论：(AB + AC)/2 ≥ √(AB * AC)我们通过使用平均值不等式得到了AB和AC的不等式关系。
根据三角形不等式，有AB + AC > BC。
而由于BC = BD + DC，所以有BC = AD + (AC - AD) > AD + 0 = AD。
E~n中两个几何不等式的改进
∑ 口 ≤ ｎ １２ ； ＋） Ｒ
利用［ ］ ７ 中不等式
≤丽
引理 ３ 对 中 维单形 ， 有
‘
（
便得 不 等式 （ ） 易知 （ ）中等 号成 立 当且仅 当 为 正则单 形 。 ５ ， ５
（＋ ） ｎ １
耳ａ （ ［ ｉ ≥
等号成立当且仅当 为正则单形 。
ｌ ≤ 《ｃ
（） ２ ４
由（４ 式和（４ 式 ， ２） １ ） 可得定理 ２ 证明过程中的等号成立当且仅 当 ｎ ， 维单形 为正则单形。 由于 ≥ １所以本文的结论实质上推广 了 维 Ｅ ｌ 不等式 ， ， ｕｅ ｒ 同时本文 的两个定 理也 改进 了文
ｌｒ ｔ
［０ １ ］中的两个 结果 。 参考 文献 ：
Ｆ ｎｌｒ—Ｈａ ｗ ｇ ｒ 等式 ： ｉｓ ｅ ｄ ｉｅ 不 ａ ＋ｂ ＋ｃ ≥ ４ ＋（ 口一６ ＋（ ） ｂ—ｃ ＋（ ） ｃ一口 ）
当且仅 当三角形 Ａ Ｃ为正三角形时等号成立。 Ｂ
由于 ≥ １所 以本 文 的定理 １ ｎ维 欧 氏空 间 中 Ｆｎ１ｒ—Ｈ ｄ ｉｅ 不 等式 进行 了加 强 。 ， 对 ｉｓｅ ａｗｇｒ ｈｉ ＂
ＶＯＩ１ ． ． ７ ＮＯ ３
第 ｌ 第 ３期 ７卷
中两 个 几 何 不 等 式 的改 进
陈 士龙
（ 安徽广播影视职业技术学 院 基础教学部 ， 安徽 合肥 ２ ０ １ ） ３０ １
摘
要 ：应用几何不 等式理论和解析 的方法， 研究 了 维 欧 氏空 间中 ｎ维单形 的 Ｆｎ ｌｒ—Ｈ ｄ ｉｅ 不 等式和 维 ｉｓ ｅ ａ ｗｇ ｒ
本文约定 中 ｎ 维单形 的顶点集为 ｒ＝ ｛ ． ：…， ｝ Ａ， ， Ａ （ Ａ ＝１２ …， ，， ｎ＋１ ， ） 它的体积为 Ｉ ， ，
三个正数的算术—几何平均不等式
[变式训练] 已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证： 1a＋1b＋1c≥9.
证明：因为 a，b，c∈R＋，a＋b＋c≥33 abc.
又
a＋b＋c＝1，所以3
abc≤13，所以3
1 ≥3， abc
所以1a＋1b＋1c≥3 3 a1bc≥9. 故原不等式成立． 当且仅当 a＝b＝c＝13时，“＝”成立．
c
c
(2)求函数 y＝ax＋bx2的最小值，其中 ax＞0，bx2＞
0.
则
y
＝
ax
＋
c bx2
＝
ax 2
＋
ax 2
＋
c bx2
≥
3
3
ax ax c 3 2 · 2 ·bx2＝2
3 2ab2c.当且仅当a2x＝bcx2，即 x＝ 3 a2bc时，等号成立．
2．拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法，但要注意拼凑的合理性．在三个 正数的算术—几何平均不等式中，也要满足“一正、二定、 三相等”的条件，缺一不可．
(2)基本不等式：a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an(n∈N*， ai∈R＋，1≤i≤n)．当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时等号成立．
语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数．
温馨提示 两个定理的使用前提都是“正数”．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
[典例 1] 已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
解：因为 y＝x(1－x2)，
所以
y2
＝
x2(1
－
x2)2
＝
1 2
×
2x2(1
简述新课程中数列、不等式的定位、要求、变化及其缘由。
简述新课程中数列、不等式的定位、要求、变化及其缘由数列变化:对数列的概念由理解变了解,提出了数列是一种特殊的函数,增加了等差数列与一次函数的关系,等比数列与指数函数的关系.数列是高中数学知识体系中的重要内容,更是高考的重要考点之一。
数列知识是解决大多实际问题的有用模型,数列问题是数学思想方法的良好载体。
同时作为新课程的重要组成部分,数列对学生思维能力、运算能力、实践能力、创新意识的培养具有极其重要的价值,尤其对于“观察、猜测、抽象、概括、论证”这样一种发现问题和解决问题的途径的训练具有不可替代的作用。
1数列在现实生活中的作用引导学生学会从生活中发现问题,利用所学的知识加以解决是新课标的一项目标。
数列在实际问题中有着广泛的应用,如增长率、银行信贷、浓度配制、养老保险、污水净化、环境绿化等问题都和数列有着密切的联系.在掌握数列的基本知识的基础上,如何把实际问题和数列联系起来是解决问题的关键。
2数列对于培养思维能力的作用数列在培养学生的思维能力方面也具有不可替代的价值。
“观察、猜测、抽象、概括、论证”这种发现问题和研究问题的方法在数列学习中体现的淋漓尽致。
很多数列问题都蕴涵了这种思维模式。
此外,数列问题中渗透递归的思想、极限思想,这些都是初等数学与高等数学重要的衔接点,在教学中适当的渗透对培养学生思维能力、做好初等数学与高等数学的衔接有积极意义。
3数列是深化函数思想的载体数列是定义在正整数集或其子集的一种函数.基于这一点,数列问题中表现出很多函数知识的特征,解决数列问题常常要用到函数思想方法,灵活运用函数思想对于优化思维方法,简化解题过程有重要的作用。
其次,数列性质体现函数的特点。
数列是函数,所以在性质上具有共同或相似的性质,但又因为数列是一种“特殊的”函数,这种特殊性也决定了他们性质上不同的部分。
再次,特殊数列与特殊函数的对应关系。
在数列学习中,对等差与等比数列的研究是这一章的主体内容,这些特殊数列与函数的关系也值得我们思考和研究。
算术——几何平均值不等式的几则数学归纳法证明
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几何平均值小于算术平均值的证明
几何平均值小于算术平均值的证明几何平均值与算术平均值是数学中常用的两个概念。
在某些情况下，几何平均值会小于算术平均值。
本文将详细介绍几何平均值小于算术平均值的证明，并解释其背后的含义和指导意义。
首先，我们来了解一下什么是几何平均值和算术平均值。
在一个有限的数列中，几何平均值是这些数的乘积开n次方根，其中n是数列中元素的个数；而算术平均值则是这些数的总和除以n。
简单来说，几何平均值是数的乘积开根号，算术平均值是数的总和除以个数。
为了证明几何平均值小于算术平均值，我们先考虑一个简单的情况：两个正数a和b。
我们可以用严格的数学推导来证明几何平均值小于算术平均值。
假设a和b是两个正数。
根据几何平均值的定义，我们有（a * b）的平方根小于等于a加b除以2。
用数学表示就是√(a * b) ≤ (a + b) / 2。
为了证明这个不等式成立，我们可以对左侧进行变形，得到a * b 小于等于 ((a + b) / 2)的平方。
这是一个重要的步骤，因为我们想通过比较a * b和((a + b) / 2)的平方来得出结论。
接下来，我们可以对右侧进行变形。
通过将右侧展开，并用a和b 的平方展开，我们可以得到 ((a + b) / 2)的平方是 (a^2 + 2ab +b^2) / 4。
我们现在可以将这个结论带入到不等式中。
由于 ((a + b) / 2)的平方是 (a^2 + 2ab + b^2) / 4，我们得到a * b ≤ (a^2 + 2ab + b^2) / 4。
进一步化简这个不等式，我们发现a * b ≤ (a^2 + 2ab + b^2) / 4 可以变为4ab ≤ a^2 + 2ab + b^2。
继续进行变形，我们可以得到0 ≤ a^2 - 2ab + b^2。
这是一个平方的形式，我们可以将其分解为 (a - b)^2 ≥ 0。
根据二次方程的性质，我们可以得出结论 (a - b)^2 ≥ 0 总是成立。
算术几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。
根据二项式定理，于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。
基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
均值不等式的一个推广
均值不等式的一个推广
王志华
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2010(13)5
【摘要】给出几何-算术均值不等式的一个推广,实例展示其应用,说明与约束极值原理相关的一些问题也可以通过推广的几何-算术均值不等式加以解决.
【总页数】2页(P56-57)
【作者】王志华
【作者单位】南京师范大学泰州学院数学系,江苏泰州,225300
【正文语种】中文
【中图分类】O122.3
【相关文献】
1.一个包含均值及均值不等式的二元函数 [J], 张鸿图;殷建仁
2.离散型H(o)ldel不等式与加权均值不等式的推广 [J], 付雪豪;孙胜利
3.算术-幂平均值不等式一个加强的推广 [J], 吴新根
4.算术平均值-几何平均值不等式的一个应用 [J], 王冰
5.算术平均值与几何平均值不等式的推广 [J], 岳嵘
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关键词：算术平均值；几何平均值 ；不等 式 中图分类号： ７ Ｏ１ ８ 文献标识码 ： Ａ 文章编号： ６２５ ９ （０ ００ ．０ ７０ １７ —２ ８２ １ ）４０ ０ —２
Ａ ｎ Ｉ ｐｒ ｖ ｍ ｅ ｔ ｆｔ ｅＡ ｒｔ ｍ ｅ ｉ－ ｅ ｍ ｅｒｃ ｍ ｏ ｅ ｎ ｉｈ ｏ ｈ ｔｃ Ｇ ｏ ｔ ｉ
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算术一 几何 平均不等式 的一个 改进
孙 明保 ，谭秋 衡 ，唐
摘
卷 ，许
鹏
（ 湖南理工学院 数学学院， 湖南 岳阳 ４４ ０） １０ ６ 要：用 多元 函数 极值 方法 建立 了涉及算 术平均 与几 何平均值 的 一不等 式，它是著 名的算 术一 几何 平均 不等式
． 如果 Ｘ （， ， 么 ，记 ： ｉ ０— 那
相等 时，有著 名的 Ｋ ａ 等式（ ｙＦ ｎ不 见文 ［］ １）
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关于（） 的证 明、推广和改进，引起 了国内外许多数学工作者的关注， １ 式 有关的研究 已有丰富的文献
（ 见文 ［卜［］ １ ４） ．
第２ ３卷 第 ４期 ２１年 １月 ００ ２
湖南理工学院学报（ 自然科学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｎＩｓｉ ｔ ｆ ｃｅ ｃ ｎ ｅｈ ｏｏ ｙ （ ｔ ｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏｒ ａ Ｈｕ ａ ｔｕｅｏ Ｓ ｉｎ ｅａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ Ｎａｍ ｉｎ ｅ） ｏ ｎ ｔ Ｓ
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收稿 日期 ：０００．３ ２ １．８１
作者 简介 ： 孙明保 （９ ３ ，男 ， １６一） 湖南 岳 阳人，博士 ， 南理工 学 院数学 学 院教授 ． 湖 主要 研究 方 向： 何分 析 几
８
湖 南理 工学 院学报（ 自然 科学 版）
第 ２ 卷 ３
厂 ，２…，ｎ ＝ 一 一 ＋ ， （ ｘ， ｘ）