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2020年高一数学暑假补习题 (38)-0710(解析版)

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2020年高一数学暑假补习题 (21)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (21)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (21)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.sin60°的值等于()A. 0.5B. −0.5C. √32D. −√322.直线的倾斜角为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是()A. B. C. D.4.已知，，，则点的坐标是()A. B. C. D.5.已知f(3x)=log2√9x+12，则f(1)的值为()A. 1B. 2C. −1D. 126.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=2,|b⃗ |=√2，且，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为()A. 1B. −1C. √2D. −√27.将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，所得函数图象关于y轴对称，则m的最小值为()A. 5π12B. π3C. π12D. 7π128.下列说法正确的是()A. 单位向量都相等B. 模长相等的两个平行向量是相等向量C. 若a→ =b→ ，则|a→ |=|b→ |D. 若a→ //b→ ,b→ //c→ 则a→ //c→ 9.若对于任意实数，都有，且在(−∞,0]上是增函数，则()A. B. C. D.10.若，则不等式等价于()A. 或B.C.或D.或二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 判断符号，填“>”或“<”：sin3⋅cos4⋅tan5__________0． 12. 已知，，若与垂直，则x 的值为__________．13. 代数式__________，__________．14. 已知向量，，若向量与垂直，则m =__________．15. 如图所示，四边形ABCD 和BCEF 都是平行四边形．①写出与相等的向量：__________；②写出与共线的向量__________.16. 若不等式在时恒成立，则实数的最大值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知函数f(x)=sin2x +√3cos2x +m(1)求的最小正周期；(2)当时，的最小值为5，求的值．18. (Ⅰ)如图1，A ，B ，C 是平面内的三个点，且A 与B 不重合，P 是平面内任意一点，若点C 在直线AB 上，试证明：存在实数λ，使得：PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(Ⅱ)如图2，设G 为△ABC 的重心，PQ 过G 点且与AB 、AC(或其延长线)分别交于P ，Q 点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，试探究：1m +1n 的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由．19.已知角．(1)求sinα的值；(2)求tan(α+2β)的值．20.已知函数．(1)求的最小正周期；(2)求的对称中心及单调增区间．21.已知圆M:(x−1)2+(y−1)2=4，直线l:x+y−6=0，A为直线l上的一点．(1)判断直线l与圆M的位置关系；(2)过点A作圆M的切线，切点分别为P，Q，求切线长AP的最小值；(3)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC=60°，求点A的纵坐标的取值范围．22.已知函数f(x)=|x−1|−2|x+1|的最大值为t．(1)求实数t的值；(2)若g(x)=f(x)+2|x+1|，设m>0，n>0，且满足1m +12n=t，求证：g(m+2)+g(2n)≥2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数，属于基础题． 直接利用特殊角的三角函数值解答即可． 【解答】解：sin60°=√32．故选C ． 2.答案：C解析：【分析】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，属于容易题． 【解答】 解：因为直线的斜率为√3， 又因为， 所以倾斜角为60∘． 故选C ． 3.答案：A解析：【分析】本题主要考查向量的线性运算． 【解答】 解：，将向量按逆时针旋转后，得向量=(−7√2,−√2)． 故选A ． 4.答案：B解析：【分析】本题考查向量的坐标运算，难度一般． 【解答】解：设D (x,y )，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,−3)，C(−1,3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +1,y −3)，因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以(x +1,y −3)=2(5,−3)，解得{x +1=10y −3=−6，解得x =9,y =−3，故D (9,−3)．故选B ． 5.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复合函数【解答】解：令t=3x所以f(t)=log2√3t+12所以f(1)=12故选D．6.答案：B解析：【分析】本题考查向量的投影，向量的数量积．由向量垂直求出a⃗·b⃗ =−2，再由a⃗ ·b⃗|a⃗ |求得b⃗ 在a⃗方向上的投影．【解答】解：，∴a⃗·(a⃗⃗⃗⃗ +2b⃗ )=0，∴a⃗2+2a⃗·b⃗ =0，∵|a⃗|=2，∴a⃗·b⃗ =−2，∴则b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ·b⃗|a⃗ |=−22=−1．故选B．7.答案：A解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质及函数图象的平移变换，根据条件得到平移后的图象利用图象关于y轴对称即可求出m的值，属基础题．【解答】故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，属于基础题．根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故A错误；模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B错误；由向量的定义可知C 正确；b → =0→ 时，a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不一定平行，D 错误； 故选C ．9.答案：D解析：由可知，函数在(−∞,0]上是增函数，．10.答案：D解析：【分析】本题考查了分式不等式的解法，是基础题．由原不等式可转化为−b <1x <a ⇔{1x +b >01x−a <0，分别解每一个不等式，取交集即可．【解答】解：因为a >0,b >0，所以−b <1x <a ⇔{1x +b >01x−a <0⇔{1+bxx >01−axx<0⇔{x (bx +1)>0x (1−ax )<0⇔{x >0或x <−1b x >1a或x <0,得到x <−1b 或x >1a . 故选D ．11.答案：>解析：【分析】本题考查三角函数值的范围，属于基础题． 【解答】 解：∵π2<3<π,π<4<3π2,3π2<5<2π,∴sin3>0,cos4<0,tan5<0,∴sin3cos4tan5>0． 故答案为：>．12.答案：−5解析：∵，，且与垂直∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅a ⃗ =0，即4+x +1=0∴x =−5故答案为−513.答案：解析：sin600(−cos300)=√32×(−√32)=−34，−sin300(−cos600)=−12×(−12)=14． 14.答案：2解析：由题意，结合向量垂直的充要条件和向量数量积的坐标运算法则可得：．15.答案：FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗解析： 相等向量要求不仅大小相等，而且方向相同，而共线向量只需方向相同或相反即可．与相等的向量：FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;与共线的向量：FE⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 16.答案：解析：，设，可知为定义域内的减函数，设，又因为，所以，，可知当时，有最小值，所以有最小值，所以最大值为．17.答案：解：(1)由题意知：，所以f(x)的最小正周期为．(2)由(1)知：， 当时，．所以当时，f(x)的最小值为−√3+m ．又∵f(x)的最小值为5，∴−√3+m =5，即m =5+√3．解析：本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期，考查三角函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力． (1)由题意得 ，所以f(x)的最小正周期为π． (2)由时，所以当时，f(x)的最小值为−√3+m ，即−√3+m =5，即m =5+√3．18.答案：(Ⅰ)证明：由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ使得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即PC⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(PA⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 化简为PC⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗结论得证．(Ⅱ)解：连结AG ，因为G 为△ABC 的重心，所以：AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23⋅12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AC⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13m AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +13nAQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 由(Ⅰ)知：13m +13n =1所以1m +1n =3为定值．解析：本题考查向量知识的运用，考查向量的共线，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)由于A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ使得：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形，可得结论； (Ⅱ)连结AG ，利用G 为△ABC 的重心，结合(I)的结论即可得到结论．19.答案：解：(1)因为α∈(0,π2)，所以α−π4∈(−π4,π4)，故．所以．(2)因为α∈(0,π2)，由(1)知，，所以，因为tanβ=12所以．故．解析：本题主要考查了同角间的基本关系式，两角和差的公式，二倍角公式，属于中档题．(1)考查同角三角函数的基本关系式以及两角和差的公式．(2)利用两角和的正切公式求解即可．20.答案：解：，则函数的周期T=2π2=π；(2)令2x−π3=kπ，k∈Z，则2x=kπ+π3，即x=12kπ+π6，k∈Z，∴对称中心(12kπ+π6,0),k∈Z，令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，即−π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z，即函数的增区间为[−π12+kπ,5π12+kπ],k∈Z．解析：本题考查三角函数图象和性质，属基础题，难度不大．(1)先由两角差的余弦公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，得到，再由求得f(x)的最小正周期；(2)令2x−π3=kπ，求得f(x)的对称中心，令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得单调增区间．21.答案：解：(1)如图(1)，圆M:(x−1)2+(y−1)2=4的圆心为M(1,1)，半径r=2．圆心M到直线l的距离d=|1+1−6|√2=2√2>2，∴直线l与圆M相离．(2)如图(1)，连接MP，MA，则MP⊥PA，在Rt△MPA中，|PA|2=|MA|2−r2=|MA|2−4.要使|AP|最小，则|MA|必须最小，而|MA|的最小值为点M到直线l的距离d=2√2，∴|PA|2的最小值为8−4=4，∴|AP|的最小值为2．(3)如图(2)，过点A作圆M的切线AD，AE，切点分别为D，E．由题意知，∠DAE≥60°，．连接MD，MA，则MD⊥AD，在Rt△MAD中，∠DAM≥30°，，∴|MA|≤4．设A(6−a,a)，∴|MA|2=(5−a) 2+(a−1)2≤16，即a2−6a+5≤0，∴1≤a≤5，即点A的纵坐标的取值范围是[1,5]．解析：本题考查直线与圆的位置关系及与圆有关的最值问题．(1)通过圆心M到直线l的距离d=√2=2√2>2，故可得答案．(2)连接MP，MA，则MP⊥PA，在Rt△MPA中，要使|AP|最小，则|MA|必须最小，而|MA|的最小值为点M到直线l的距离d=2√2，故可得AP的最小值．(3)从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠PAQ为60∘时，∠PMQ为120∘，所以MA的长度为4，故可确定点A的横坐标x0的取值范围．22.答案：解：(1)由f(x)=|x−1|−2|x+1|={−x−3,x≥1−3x−1,−1<x<1 x+3,x≤−1，∴f(x)max=f(−1)=2，即t=2，证明：(2)g(x)=|x−1|，由1m +12n=2，知g(m+2)+g(2n)=|m+1|+|2n−1|≥|m+1+2n−1|=|m+2n|=|12(m+2n)⋅(1m+1 2n )|=12|2nm+m2n+2|≥12|2+2|=2，当且仅当2nm =m2n，即m2=4n2时取等号，∴g(m+2)+g(2n)≥2．解析：(1)通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的性质，即可求出t的值，(2)根据三角不等式和基本不等式的性质求出g(m+2)+g(2n)≥2．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，是一道常规题．。

2020年高一暑假数学补习题 (29)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (29)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2(m−1)x−3y+1=0与直线mx+(m+1)y−3=0平行，则m=()A. 12B. −2 C. −12或3 D. 12或−22.在△ABC中，∠A=60°，a=√6，b=4，满足条件的△ABC()A. 无解B. 有解C. 有两解D. 不能确定3.若点A(−1,3)关于直线x−y=0的对称点为B，则点B到直线l：3x+y−3=0的距离为()A. 3√1010B. √52C. √102D. √54.已知b<2a，3d<c，则下列不等式一定成立的是()A. 2a−c>b−3dB. 2ac>3bdC. 2a+c>b+3dD. 2a+3d>b+c5.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x−2y的最大值是()A. 2B. 1C. 5D. 76.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=a2+10a1，a5=9，则a1=()A. 2B. 73C. 19D. 37.球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是()A. 1：1B. 2：1C. 3：2D. 4：38.等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a3+a9=()A. 8B. 16C. 24D. 329.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD−A1B1C1D1(底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD)中，点P是正方形A1B1C1D1内一点，则三棱锥P−BCD的正视图与俯视图的面积之和的最小值为()A. 32B. 1C. 2D. 5410.若不等式ax2−2ax+6>0的解集为{x|−1<x<3}，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 12D. −1211.若正实数x，y满足1x +4y=1，且x+y4≥a2−3a恒成立，则实数a的取值范围为()A. [−1,4]B. (−1,4)C. [−4,1]D. (−4,1)12.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，E、F分别是BC1、BD的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF平行的截面个数为()A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}满足S n=2n2+n−1，则通项a n=______ ．=________。

2020年高一数学暑假补习题 (12)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (12)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在△ABC 中，若，且，则△ABC 是( )A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,1),(x >0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 2π3B. π6 C. π4D. π3 3. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且B =C,2b =√3a ，则cosA =( )A. √32B. 13C. √22D. 124. 在空间四边形OABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AC⃗⃗⃗⃗⃗ 5. 如图所示，在△ABC 中，CE 是边AB 的中线，O 是CE 的中点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ ， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗等于( )A. 12a ⃗ +12b ⃗ B. 14a ⃗ +12b ⃗ C. 14a ⃗ +14b ⃗ D. 12a⃗ +14b ⃗6. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7 D. 107. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为，且|a ⃗ |=3,|b ⃗ |=4，则a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )等于( ) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 设i 是虚数单位，复数1+i i=( )A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i9. 若复数z 满足(i −1)z =4−2i(i 为虚数单位)，则z −=( ) A. −3+i B. 3+i C. −3−i D. 3−i10. 已知复数z =2−i ，则z ⋅z −的值为( )A. 5B. √5C. 3D. √3 11. 如图是水平放置的△ABC 按“斜二测画法”得到的直观图，其中B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，那么△ABC 的面积是( )A. √2B. √3C. 3√22D. 3√212. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形中与O′C′对应的线段OC 的长度是( ) A. 1 B. √2 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分） 13. 将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为______． 14. 已知|z|=1，则|z −2−3i|的最大值为________． 15. 计算：(1−i)(2+i)= ______ ．16. 向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，若(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数λ等于______ ．17. 如图，在▱ABCD 中，∠DAB =60°，AB =2，E 是DC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，则AD = ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 18. 计算：(1)(2−i)(2i +4)(2)1+ii(3)i 1−i (4)(1−i)219. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ⃗⃗⃗ =(a −b,c),n ⃗ =(a −c,a +b)，且m⃗⃗⃗ 与n ⃗ 共线，求2sin(π+B)−4cos(−B)的值．20.△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2−c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为21.已知复平面内点A、B对应的复数分别是z1=2a+6i，z2=−1+i，其中，设ABz．(1)求复数z；x上，求a的值．(2)若复数z对应的点P在直线y=1222.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，截去的圆锥的母线长是，求圆台O′O的母线长．23.如图所示的ΔA′B′C′是用斜二测画法画水平放置的ΔABC的所得的直观图，已知OA′=B′C′=3cm，OB′=2cm，画出原三角形的图形，并求其面积．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查的是正弦定理及其应用，考查两角和的正弦函数公式，属于基础题． 结合正弦定理和两角和的正弦函数公式对条件进行转化，即可得到A =B ，，即可得出结论．【解答】 解：由，及正弦定理得，即tanA =tanB ，又A ，B 为三角形的内角，则A =B ， 又， 由正弦定理得，即，即， 又sinC ≠0， 所以sinC =1， 由C 为三角形内角，得，所以△ABC 是等腰直角三角形， 故选D ．2.答案：C解析：解：因BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x, 1)，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1−x)2+1=5， 即x 2−2x −3=0，即(x −3)(x +1)=0，解得x =3或x =−1(舍)，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， cosθ=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=√22， ∴θ=π4故选C ．根据向量的坐标运算和向量的模求出x 的值，再根据向量的夹角公式计算即可． 本题考查了向量的模和向量的夹角公式，属于基础题．3.答案：B解析：解：在△ABC 中，∵B =C,2b =√3a ，∴c =b ， 则cosA =b 2+c 2−a 22bc=b 2+b 2−(√3b)22b 2=13．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4.答案：C解析：解析：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案为C5.答案：B解析：【分析】本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档题．由平面向量基本定理及线性运算可得：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解． 【解答】解：由题意可得：AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由图可知：A0⃗⃗⃗⃗⃗ =12AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12×12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以A0⃗⃗⃗⃗⃗ =14a ⃗ +12b ⃗ ， 故选B ． 6.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9． 故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 7.答案：B解析：【分析】本题考查向量夹角，向量的模及数量积，属于基础题． 直接代入公式求解即可． 【解答】 解：因为a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ ·a ⃗ +a ⃗ ·b ⃗=9+3×4×12=15，8.答案：D解析：【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解答】解：1+ii=(1+i)·(−i)=1−i．故选D.9.答案：C解析：解：由(i−1)z=4−2i得z=4−2ii−1=(4−2i)(i+1)(i−1)(i+1)=6−2i−2=−3+i，则z−=−3−i，故选：C．根据复数的运算法则先求出z，然后根据共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查复数的运算，结合复数的运算法则和共轭复数的定义是解决本题的关键．10.答案：A解析：【分析】由z求出z−，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．【解答】解：由z=2−i，得z⋅z−=(2−i)(2+i)=4−i2=5．故选：A．11.答案：C解析：【分析】本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基础题．B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，直接计算△ABC即可．【解答】解：因为B′O′=C′O′=√6，A′O′=√34，所以△ABC的面积为12×2√6×√32=3√22．故选C．12.答案：D解析：【分析】本题考查直观图和原图形之间的关系，斜二测画法的规则，属于基础题．由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，在y轴上，其长度变为原来的2倍．【解答】解：作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′//x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，则OB=2√2，所以OC=3．故选D．13.答案：√3π解析：【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，由√3−ℎ√3=r2，解得ℎ=√3−√32r可得S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，则√3−ℎ3=r2，解得ℎ=√3−√32r故S侧=2πrℎ=2πr(√3−√32r)=√3π(2−r)≤√3π(r+2−r2)2=√3π，当r=1时，S侧的最大值为√3π.故答案为：√3π．14.答案：√13+1解析：【分析】本题考查复数的模，利用复数模的运算性质|z−2−3i|=|z−(2+3i)|≤|z|+|2+3i|即可得到答案．【解答】解：∵|z|=1，∴|z −2−3i|=|z −(2+3i)|≤|z|+|2+3i|=1+√13， ∴|z −2−3i|的最大值为√13+1． 故答案为√13+1．15.答案：3−i解析：解：(1−i)(2+i)=1×2−2i +i −i 2=3−i ， 故答案为：3−i直接按多项式乘法运算法则展开，化简即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 16.答案：5解析：解：∵a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,0)，∴a ⃗ +λb ⃗ =(1,2)+λ(−1,0)=(1−λ,2)．∵(a ⃗ +λb ⃗ )⊥a ⃗ ， ∴1−λ+4=0， 解得λ=5． 故答案为：5．利用向量的垂直与数量积的关系即可得出．本题考查了向量的垂直与数量积的关系，属于基础题． 17.答案：1解析：解：设|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴32=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 化为2x 2−x −1=0， ∵x >0，解得x =1． 故答案为：1．设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x >0.由向量的三角形法则可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =32，利用数量积的运算性质展开即可得出． 本题考查了向量的三角形法则、数量积的运算性质，属于基础题．18.答案：解：(1)(2−i)(2i +4)=4i +8+2−4i =10； (2)1+i i =(1+i)(−i)−i 2=1−i ；(3)i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ； (4)(1−i)2=1−2i +i 2=−2i ．解析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个式子的值．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．19.答案：解：∵m⃗⃗⃗ 与n⃗共线，∴c(a−c)−(a−b)(a+b)=0，化为a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac =12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．∴2sin(π+B)−4cos(−B)=−2sinB−4cosB=−2×√32−4×12=−2−√3．解析：利用向量共线定理、余弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可得：b=4(b2+c2−a2)2bc×c，化为b2=2(b2+c2−a2)，∵a2−c2=2b，∴b2=2(b2−2b)，化为b2−4b=0，∵b>0，解得b=4．解析：由sinB=4cosAsinC，利用正弦定理和余弦定理可化为b2=2(b2+c2−a2)，把a2−c2=2b 代入即可得出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．21.答案：解：(1)∵z1=2a+6i，z2=−1+i，∴z=z2−z1=−1−2a−5i；(2)∵复数z对应的点P在直线y=12x上，∴−5=12(−1−2a)，∴a=4.5．解析：(1)利用复数的减法，求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y=12x上，可得−5=12(−1−2a)，即可求a的值．本题考查复数的运算及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．22.答案：解析：设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面的面积之比为1:16，可设截得的圆台上、下底面半径分别为r，4r.如图所示，过轴SO作截面，则ΔSO′A′∼ΔSOA，∵SA′=3cm,SA′SA =O′A′OA，∴33+l=r4r=14，解得l=9.即圆台的母线长为．23.答案：解析：本题考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属基础题．关键是画法规则以及原图形与直观图面积间的关系．第11页，共11页。

2020年高一暑假数学训练题 (53)-0711(解析版)

2020年高一暑假数学训练题 (53)-0711(解析版)

2020年高一暑假数学训练题 (53)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin15°+cos165°的值为()A. √22B. −√22C. √62D. −√622.已知等差数列{a n}中，a1=3，a6=13，则{a n}的公差为()A. 53B. 2C. 10D. 133.已知sinx=14，x为第二象限角，则sin2x=()A. −316B. −√158C. ±√158D. √1584.已知a，b∈R，且ab>0，则下列不等式不正确的是()A. |a+b|>a−bB. |a+b|<|a|+|b|C. 2√ab≤|a+b|D. ba +ab≥25.在△ABC中，a=10，B=75°，C=45°，则c等于()A. B. C. D.6.已知在等差数列{a n}中，a3=5，a11=21，则S15的值为()A. 225B. 196C. 256D. 1697.设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2−8a5=0，则S8S4的值为()A. 12B. 1716C. 2D. 178.cos39°cos(−9°)−sin39°sin(−9°)等于()A. 12B. √32C. −12D. −√329.已知A，B都是锐角，且A+B≠π2，(1+tanA)(1+tanB)=2，则A+B=()A. π6B. π4C. π3D. 5π610.已知等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a2=2,S6−S4=6a4，则a5=()A. 4B. 10C. 16D. 3211.已知正实数a，b，c满足a2−2ab+9b2−c=0，则当abc 取得最大值时，3a+1b−12c的最大值为()A. 3B. 94C. 1D. 012.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，若0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1，则f(1)+f(5)的取值范围是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线√3x−y+6=0的斜率为______；倾斜角为______．14.若tan(α−π4)=16，则tanα=________．15.不等式√x2+1−x≤2的解集是______ ．16.已知正数a，b满足3a+2b=1，则2a +3b的最小值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a∈R，a>1，解不等式(a−1)x2−ax+1>0．18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2b−c =cosAcosC．(1)求角A的值；(2)求2sinB−sinC的取值范围．19.已知等比数列{a n}的公比q≠1，其前n项和为S n，T n=1a1+1a2+1a3+⋯+1a n.若−3S1T1，S3T3，S5T5成等差数列．(1)求q的值；(2)若数列{a n}单调递增，且首项为|q|，求数列{2n−1a2n}的前n项和H n．)(ω>0)的最小正周期是π．20.已知函数f(x)=4sinωxcos(ωx+π3(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的对称中心和对称轴．21.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)证明：a1，a5，a41成等比数列；(2)求数列{a n⋅3n}的前n项和T n．22.设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S1=2，S n+1=3S n+2．(Ⅰ)求通项公式a n；(Ⅱ)设b n=a n，求证：b1+b2+⋯+b n<1．S n2-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：sin15°+cos165°=sin15°−cos15°=sin(45°−30°)−cos(45°−30°) =sin45°cos30°−cos45°sin30°−cos45°cos30°−sin45°sin30°=√22×√32−√22×12−√22×√32−√22×12=−√22，故选：B．利用诱导公式，把要求的式子化为sin15°−cos15°=sin(45°−30°)−cos(45°−30°)，再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果．本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，以及诱导公式的应用，属于中档题．2.答案：B解析：解：设{a n}的公差为d，∵a1=3，a6=13，∴3+5d=13，解得d=2．故选：B．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：∵sinx=14，x为第二象限角，∴cosx=−√1−sin2x=−√154，∴sin2x=2sinxcosx=2×14×(−√154)=−√158．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos x，利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.答案：B解析：解：当a>0，b>0时，|a+b|=|a|+|b|，故B选项中的不等式不正确．故选B当a>0，b>0时，|a+b|=|a|+|b|进而判定B选项中的不等式不一定成立．本题主要考查了基本不等式．属基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查正弦定理的运用，属于基础题．先利用三角形内角和定理求出A，再利用正弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC 中，a =10，B =75°，C =45°， 则A =180°−75°−45°=60°， 故由正弦定理可得asinA =csinC ,c =asinC sinA=10×√22√32=10√63． 故选D ． 6.答案：A解析：【分析】本题考查的是等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于容易题． 由题意建立方程组，即可得到a 1和d ，即可得到S 15． 【解答】解：设公差为d ，由题意，{a 3=a 1+2d =5a 11=a 1+10d =21，得{a 1=1d =2, 所以S 15=15×1+15×142×2=225，故选A ．7.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2−8a 5=0，∴a 2(1−8q 3)=0，解得q =12．则S8S 4=a 1(1−128)1−12a 1(1−124)1−12=1+124=1716．故选：B ． 8.答案：B解析：解：原式=cos39°cos9°+sin39°sin9°=cos(39°−9°)=cos30°=√32，故选B ．先利用诱导公式对原式化简，进而根据两角和公式进一步化简即可． 本题主要考查了两角和与差的余弦函数的应用，属基础题． 9.答案：B解析：【分析】本题考查给值求角问题以及综合法的运用，属于基础题． 【解答】解：因为(1+tanA )(1+tanB )=2，展开得1+tanA +tanB +tanAtanB =2， 即， 所以tan (A +B )=tanA+tanB1−tanAtanB =tanA+tanBtanA+tanB =1， 又已知A ，B 都是锐角， 所以A +B =π4． 故答案选B ． 10.答案：C解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式．根据等比数列的通项公式解得首项和公比即可得结果． 【解答】解：等比数列{a n }的各项均为正数，设公比为q ， a 2=2,S 6−S 4=6a 4， 所以{a 1q =2a 5+a 6=6a 4， 则q 2+q −6=0，解得q =2， 所以a 1=1， 则a 5=24=16． 故选C ．11.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题． 由已知条件得出c =a 2−2ab +9b 2，代入abc ，并在分式分子分母中同时除以ab ，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a =3b ，并得出c =12b 2，代入3a +1b −12c并利用配方可求出该代数式的最大值． 【解答】解：由a 2−2ab +9b 2−c =0，可得c =a 2−2ab +9b 2， ∴ab c =ab a 2−2ab+9b 2=1a 2+9b 2−2abab=1ab +9b a−2≤2√a b ⋅9b a−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．12.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数与方程的综合应用，构造函数解题的方法，整体代换的数学思想等知识，属于较难题．由题意构造新函数xf(x)−t=a(x−2)(x−3)(x−4)(x−m)，利用赋值法得到f(1)、f(5)与t、m、a之间的关系，即可化简得到f(1)+f(5)的取值范围即可．【解答】解：根据0<2f(2)=3f(3)=4f(4)<1，设t=2f(2)=3f(3)=4f(4)，0<t<1故令xf(x)−t=a(x−2)(x−3)(x−4)(x−m)，取x=0可得−t=24ma.①取x=1可得f(1)−t=−6(1−m)a.②取x=5可得5f(5)−t=6(5−m)a.③由②③可得：5[f(1)+f(5)]−6t=−30(1−m)a+6(5−m)a，④将①代入④可得：f(1)+f(5)=t∈(0,1)．故选A．13.答案：√3，π3解析：【分析】本题考查了直线的方程、斜率与倾斜角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设直线√3x−y+6=0的斜率为k；倾斜角为θ，θ∈[0,π).由直线√3x−y+6=0化为：y=√3x+6.即可得出斜率与倾斜角．【解答】解：设直线√3x−y+6=0的斜率为k；倾斜角为θ，θ∈[0,π)．由直线√3x−y+6=0化为：y=√3x+6．∴k=√3=tanθ；倾斜角θ=π3．故答案为：√3，π3．14.答案：75解析：【分析】本题考查三角函数化简求值，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用即可求解．【解答】解：tanα=tan(α−π4+π4)=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=16+11−16×1=75．15.答案：[−34,+∞)解析：解：由不等式√x 2+1−x ≤2得，√x 2+1≤2+x ， ∴{2+x ≥0x 2+1≤(2+x)2，解得：x ≥−34， 故不等式的解集为[−34,+∞)， 故答案为：[−34,+∞)．不等式√x 2+1≤2+x ，即{2+x ≥0x 2+1≤(2+x)2，由此求得不等式的解集．本题主要考查根式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 16.答案：24解析：【分析】根据题意2a +3b =(2a +3b )(3a +2b)=6+6+4b a+9a b，由基本不等式分析可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式应用的条件． 【解答】解：正数a ，b 满足3a +2b =1， 则2a+3b=(2a+3b)(3a +2b)=6+6+4b a+9a b≥12+2√4b a⋅9a b=12+12=24，当且仅当4b a =9ab，即a =16，b =14时，等号成立． 故2a +3b 的最小值为24，故选：24．17.答案：解：原不等式可化为(x −1)[(a −1)x −1]>0， ∵a >1，∴a −1>0，不等式(x −1)(x −1a−1)>0对应方程的两个实数根为1和1a−1，令1a−1=1，解得a =2，不等式为(x −1)2>0，解集为{x|x ∈R 且x ≠1}; 当1<a <2时，1a−1>1，不等式的解集为{x |x <1或x >1a−1}；当a >2时，1a−1<1，不等式的解集为{x |x <1a−1或x >1}．解析：本题考查一元二次不等式的解集，考查计算能力，属于中档题． 利用分类讨论的思想解不等式即可．18.答案：解：(1)在△ABC 中，由a 2b−c =cosAcosC ，结合正弦定理可得：sinA2sinB−sinC =cosAcosC ， 即sinAcosC =2cosAsinB −cosAsinC ，整理得：sinAcosC +cosAsinC =2cosAsinB ， 即sin(A +C)=2cosAsinB ， 即：sinB =2cosAsinB ． 因为B ∈(0,π)， 故sinB >0， 所以：cosA =12． 又A ∈(0,π)， 所以A =π3．(2)2sinB −sinC =2sin(2π3−C)−sinC =2(√32cosC +12sinC)−sinC =√3cosC ， 因为C ∈(0,2π3)，所以cosC ∈(−12,1)， 故√3cosC ∈(−√32,√3).所以2sinB −sinC 的取值范围是(−√32,√3).解析：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想和运算求解能力，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinB >0，可求cos A ，根据范围A ∈(0,π)，可求A 的值．(2)利用三角函数恒等变换的应用可得2sinB −sinC =√3cosC ，根据范围C ∈(0,2π3)，可得cos C 的范围，得解．19.答案：解：(1)由条件易得T n =1a 1(1−1qn )1−1q=1−q n a1q (1−q)，S n =a 1(1−q n )1−q，所以Sn T n=a 12q n−1.所以−3S 1T 1=−3a 12，S3T 3=a 12q 2，S5T 5=a 12q 4，所以q 4−2q 2−3=0，解得q =±√3. (2)由题意可知a 2n =√3×(√3)2n−1=3n .H n =1×13+3×(13)2+5×(13)3+⋯+(2n −1)⋅(13)n ， 13H n =1×(13)2+3×(13)3+5×(13)4+⋯+(2n −1)⋅(13)n+1，所以23H n =13+2×(13)2+2×(13)3+2×(13)4+⋯+2×(13)n −(2n −1)⋅(13)n+1 =13+2×(13)2−2×(13)n ×131−13−(2n −1)⋅(13)n+1=13+13−3×(13)n+1−(2n −1)⋅(13)n+1 =23−(2n +2)⋅(13)n+1，故H n =1−(n +1)⋅(13)n ．解析：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力． (1)根据等差数列和等比数列的性质求解即可； (2)利用错位相减法求和即可．20.答案：解：(1)f(x)=4sinωxcos(ωx +π3)=4sinωx(12cosωx −√32sinωx)=2sinωxcosωx −2√3sin 2ωx =2sin(2ωx +π3)， T =2πω=π，∴ω=1∴f(x)=2sin(2x +π3)−√3． (2)令2x +π3=π2+kπ,k ∈z ⇒x =π12+kπ2,k ∈z ，令2x +π3=kπ,k ∈z ⇒x =−π6+kπ2,k ∈z∴f(x)的对称轴为x =π12+kπ2,k ∈z ，对称中心为(−π6+kπ2,−√3),k ∈Z ．解析：(1)利用两角和公式对函数解析式进行化简整理，根据最小周期求得ω，进而求得函数解析式．(2)利用三角函数的图象和性质，利用换元法求得函数的对称轴和对称中心．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生基础知识的掌握． 21.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 17=33，S 7=49， 则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a1=1，d=2，所以：a n=2n−1．则：a1=1，a5=9，a41=81，即：a52=a1⋅a41．所以：a1，a5，a41成等比数列．(2)解：由(1)得：a n⋅3n=(2n−1)⋅3n，则：T n=1⋅31+3⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n①，则：3T n=1⋅32+3⋅33+⋯+(2n−1)⋅3n+1②①−②得：−2T n=3+2(32−3n+11−3)−(2n−1)⋅3n+1，整理得：T n=(n−1)⋅3n+1+3．故数列的前n项和为：T n=(n−1)⋅3n+1+3解析：(1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a1，a5，a41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n⋅3n=(2n−1)⋅3n，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用．22.答案：(Ⅰ)解：∵S n+1=3S n+2，∴S n+1+1=3(S n+1)．又∵S1+1=3，∴{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，∴S n=3n−1,n∈N∗．n=1时，a1=S1=2，n>1时，a n=S n−S n−1=(3n−1)−(3n−1−1)=3n−1(3−1)=2×3n−1．故a n=2×3n−1,n∈N∗．(Ⅱ)证明：∵b n=2×3n−1(3n−1)2<2×3n−1(3n−1−1)(3n−1)=13n−1−1−13n−1,(n>1)∴b1+b2+⋯+b n<12+(131−1−132−1)+(132−1−133−1)+⋯+(13n−1−1−13n−1)=12+12−13n−1<1．解析：(Ⅰ)利用S n+1=3S n+2，推出{S n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，求出通项公式，然后求解a1，n>1时，利用a n=S n−S n−1，即可求通项公式a n；(Ⅱ)化简b n=a nS n2，通过裂项法求和，得到b1+b2+⋯+b n与1的大小即可．本题考查数列的求和，裂项法的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．第11页，共11页。

2020部编版高一年级下学期数学暑假作业答案大全

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2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案11.设集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B等于()A.{x|x≥3}B.{x|x≥2}C.{x|2≤x<3}D.{x|x≥4}2.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}3.已知集合A={x|x>0}，B={x|-1≤x≤2}，则A∪B=()A.{x|x≥-1}B.{x|x≤2}C.{x|04.满⾜M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是()A.1B.2C.3D.45.集合A={0,2，a}，B={1，a2}.若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为()A.0B.1C.2D.46.设S={x|2x+1>0}，T={x|3x-5A.?B.{x|x}D.{x|-7.50名学⽣参加甲、⼄两项体育活动，每⼈⾄少参加了⼀项，参加甲项的学⽣有30名，参加⼄项的学⽣有25名，则仅参加了⼀项活动的学⽣⼈数为________.8.满⾜{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是________.9.已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是________.10.已知集合A={-4,2a-1，a2}，B={a-5,1-a,9}，若A∩B={9}，求a的值.11.已知集合A={1,3,5}，B={1,2，x2-1}，若A∪B={1,2,3,5}，求x及A∩B.12.已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x5}，若A∩B=?，求a的取值范围.13.(10分)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究⼩组，每名同学⾄多参加两个⼩组.已知参加数学、物理、化学⼩组的⼈数分别为26,15,13，同时参加数学和物理⼩组的有6⼈，同时参加物理和化学⼩组的有4⼈，则同时参加数学和化学⼩组的有多少⼈?(集合解析及答案)1.【解析】B={x|x≥3}.画数轴(如下图所⽰)可知选B【答案】B2.【解析】A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，A和B中有相同的元素3,9，∴A∩B={3,9}.故选D.【答案】D3.【解析】集合A、B⽤数轴表⽰如图，A∪B={x|x≥-1}.故选A.【答案】A4.【解析】集合M必须含有元素a1，a2，并且不能含有元素a3，故M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}.故选B.【答案】B5.【解析】∵A∪B={0,1,2，a，a2}，⼜A∪B={0,1,2,4,16}，∴{a，a2}={4,16}，∴a=4，故选D.【答案】D13136.【解析】S={x|2x+1>0}={x|x>-2，T={x|3x-5【答案】D7.【解析】设两项都参加的有x⼈，则只参加甲项的有(30-x)⼈，只参加⼄项的有(25-x)⼈.(30-x)+x+(25-x)=50，∴x=5.∴只参加甲项的有25⼈，只参加⼄项的有20⼈，∴仅参加⼀项的有45⼈.【答案】458.【解析】由于{1,3}∪A={1,3,5}，则A?{1,3,5}，且A中⾄少有⼀个元素为5，从⽽A中其余元素可以是集合{1,3}的⼦集的元素，⽽{1,3}有4个⼦集，因此满⾜条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.【答案】49.【解析】A=(-∞，1]，B=[a，+∞)，要使A∪B=R，只需a≤1.【答案】a≤110.【解析】∵A∩B={9}，∴9∈A，∴2a-1=9或a2=9，∴a=5或a=±3.当a=5时，A={-4,9,25}，B={0，-4,9}.此时A∩B={-4,9}≠{9}.故a=5舍去.当a=3时，B={-2，-2,9}，不符合要求，舍去.经检验可知a=-3符合题意.11.【解析】由A∪B={1,2,3,5}，B={1,2，x2-1}得x2-1=3或x2-1=5.若x2-1=3则x=±2;若x2-1=5，则x=±;综上，x=±2或±当x=±2时，B={1,2,3}，此时A∩B={1,3};当x=±B={1,2,5}，此时A∩B={1,5}.12.【解析】由A∩B=?，(1)若A=?，有2a>a+3，∴a>3.(2)若A≠?，解得-≤a≤2.21综上所述，a的取值范围是{a|-或a>3}.2113.【解析】设单独参加数学的同学为x⼈，参加数学化学的为y⼈，单独参加化学的为z⼈.依题意x+y+6=26，y+4+z=13，x+y+z=21，解得x=12，y=8，z=1.∴同时参加数学化学的同学有8⼈，答：同时参加数学和化学⼩组的有8⼈2020部编版⾼⼀年级下学期数学暑假作业答案2⼀、选择题(在每⼩题给出的四个选项中只有⼀项是符合题⽬要求的)1.已知集合，，则()A.B.C.D.2.已知集合M={则M中元素的个数是()A.10B.9C.8D.73.已知集合，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.4.下列各组两个集合和表⽰同⼀集合的是()A.B.C.D.5.设全集U=R,集合，则图中阴影部分表⽰的集合为()A.{B.{UABC.{D.{6.设集合则下列关系中成⽴的是()A.PQB.QPC.P=QD.PQ()A.B.C.D.8.设S是⾄少含有两个元素的集合，在S上定义了⼀个⼆元运算“_”(即对任意的，对于有序元素对(a，b)，在S中有确定的元素a_b与之对应).若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成⽴的是()A.B.C.D.⼆、填空题9.已知集合则实数的取值范围是10.若全集，则集合的真⼦集共有个11.已知集合，，若，则实数的取值范围为12.设P是⼀个数集，且⾄少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P(除数b≠0),则称P 是⼀个数域.例如有理数集Q是数域;数集F={a+b|a,b∈Q}也是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集QM,则数集M必为数域;③数域必为⽆限集;④存在⽆穷多个数域.其中正确的命题的序号是?三、解答题(应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)13.含有三个实数的集合可表⽰为{a,，也可表⽰为{求的值.14.已知x∈R，集合A={｝，B={｝，若A∩B=B，求实数m的取值范围.15.设全集，已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.(1)求;(2)若且,求实数的取值范围.(1)当时，求(RB)A;(2)若,求实数的取值范围。

2020年高一数学暑假补习题 (29)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (29)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (29)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，则m等于()A. −3B. 3C. 163D. ±32.若，则()A. B. C. D.3.若，则角的终边落在直线()上A. B. C. D.4.将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)，则g(x)在[0,2π3]上取值范围是()A. [−2,2]B. [3,4]C. [0,3]D. [0,4]5.函数y=ax2+bx与在同一直角坐标系中的图象可能是()A. B.C. D.6.函数f(x)=xx2+a的图像可能是()A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)7.函数的大致图象是()A.B.C.D.8. 在中，已知60°，45°，则AC =( )A. √2B. √6C. 2√2D. 2√3 9. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)10. 已知，，则( )A.B.C.D.11. 函数f (x )=e x −e −xx 2的图象大致为( )A.B.C.D.12. 已知0<a <b ，a +b =1，则12，b ，a 2+b 2的大小关系是( )A. 12<a 2+b 2<bB. 12<b <a 2+b2C. a 2+b 2<b <12 D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 13. 已知角的终边过点(sin2π3,cos 2π3)，则=__________．14. 已知，，则____________________．15.在△ABC中，当a2+c2−b2=√3ac时，角B=_______．16.已知函数在上有意义，则的取值范围是__________17.若函数f(x)=(3−m)xx2+m的图像如所示，则m的取值范围是___________．18.已知实数满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤.其中可能关系式是__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）19.已知，且、().(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的值．20.已知函数在[0,π3]上单调递增，且满足f(x)=f(2π3−x)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0+π6)的值．21.如图，在△ABC中，∠B=45∘,AC=√10，cos∠C=2√55，点D是AB的中点，求：(1)边AB的长；(2)cosA的值和中线CD的长．22.(1)求函数y=x+9x−2(其中x>2)的最小值；(2)求函数y=x+9x−2(其中x≥6)的最小值．23.如图，△ABC中，sin∠ABC2=√33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√33.(Ⅰ)求：BC的长；(Ⅱ)求△DBC的面积．24.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，其中点P在边DE上(包括端点).求矩形BNPM面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，基本知识的考查．利用任意角的三角函数的定义，求解即可．【解答】解：角θ的终边经过点P(4,m)，且sinθ=35，可得√16+m2=35>0，(m>0)解得m=3或m=−3(舍)．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查的是三角函数值的符号，属于基础题．根据tanα>0得出α是第一或第三象限角，讨论α是第一、第三象限角时，sin2α的符号即可．【解答】解：∵tanα>0，∴角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α=2sinαcosα>0；当α是第三象限角时，sinα<0，cosα<0，sin2α=2sinαcosα>0；综上，sin2α>0．故选C．3.答案：B解析：试题分析：有已知可得，即直线的斜率考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式点评：本题涉及到的基本公式有4.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g(x)在[0,2π3]上的取值范围．【解答】解：将函数f(x)=2sin(2x−π6)+2向左平移π6个单位后得函数g(x)=2sin(2x+π3−π6)+2=2sin(2x+π6)+2，则在[0,2π3]上，2x+π6∈[π6,3π2]，∴sin(2x+π6)∈[−1,1]，g(x)∈[0,4]，故选：D．5.答案：D解析：由题意知a,b同号，故二次函数的对称轴在y轴左边，排除A，B，图C中由二次函数图象知ba>1，而对数函数中ba<1，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，属于基础题．因为是选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果．【解答】解：若a=0，则f(x)=xx2=1x，图(4)符合，若a≠0，则当x=0时，f(x)=0，图象过原点，排除(1)；a=1时，(2)符合，a=−4时，(3)符合，综上可知：图象(2)(3)(4)符合．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的性质求解即可得结果．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C和D，当x>0时，，f′(x)=1+lnx，当x>1e 时,f′(x)>0，所以f(x)在(1e,+∞)上是增函数，故排除B．故选A．8.答案：B解析：【分析】本题考查正弦定理的应用，属于基础题，直接利用正弦定理化简求解即可．【解答】解：在△ABC中，60°，45°，则AC=AB·sinBsinC =2×√32√22=√6．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查复合函数的单调性，根据复合函数单调性的判断方法：同增异减即可判断，求解时要将函数y=log2(6−x−x2)分解成两个基本函数：t=6−x−x2和y=log2t，易错点是不求函数的定义域．【解答】解：由6−x−x2>0得−3<x<2，所以函数y=log2(6−x−x2)的定义域为(−3,2)，令t=6−x−x2，则y=log2t，因为t=6−x−x2在(−3,−12)上单调递增，在[−12,2)上单调递减，又y=log2t单调递增，所以y=log2(6−x−x2)在[−12,2)上单调递减．故选D．10.答案：D解析：【分析】本题考查两角和差的正切公式的应用，属于较易题．【解答】解：，故选D．11.答案：B解析：【分析】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的图象及性质，为中档题．解答本题可用排除法．【解答】解：函数f(x)=e x−e−xx2，定义域为{x|x≠0}，f(−x)=e−x−e−(−x)(−x)2=−f(x)，故f(x)为奇函数，排除A；当x=1时，f(x)=e−e−1>0，排除D；当x→+∞时，f(x)→+∞，排除C．故选B．12.答案：A解析：因为0<a<b，a+b=1，<b，所以，a<12;由于(a+b)2=1所以1−(a2+b2)=2ab<a2+b2，所以a2+b2>12由于2b>1，所以2ab>a，所以2ab+b>a+b，所以a+b−2ab<b，由于1−2ab=a2+b2，<a2+b2<b．所以a2+b2<b，因此12故选A．13.答案：解析：【分析】本题考查的是三角函数的定义.由角α终边上的点的坐标求出tanα，再根据角α的范围求出角α即可．【解答】解：根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则tanα=，结合角的范围可知，的值为．故答案为.14.答案：3√1010解析：【分析】本题考查两角的差角公式，解决问题的关键是根据所给条件展开代入计算即可．【解答】解：由题，故答案为3√1010．15.答案：π6解析：【分析】本题考查余弦定理，根据题意利用余弦定理可得cosB=a2+c2−b22ac =√32，进而即可求得结果．【解答】解：∵a2+c2−b2=√3ac，∴cosB=a2+c2−b22ac =√32，∴B=π6．故答案为π6．16.答案：解析：函数在上有意义，等价于在上恒成立，即恒成立，记，即等价于.因为在上是增函数，因此的最大值为.所以，于是的取值范围是，故应填．17.答案：(0,3)解析：【分析】本题考查了函数图像和识别，是基础题.根据图像得出函数的定义域为R是解题的关键．【解答】解：∵函数f(x)的定义域为R，所以x2+m恒不等于0，所以m>0，当x>0时，f(x)>0，所以3−m>0，解得0<m<3．故答案为(0,3)18.答案：②④⑤解析：设，则；当时，在上为减函数，则；当时，在上为增函数，则；当时，则；故选②④⑤．19.答案：(Ⅰ)证：依题意，，则所以(Ⅱ)解：取A=B=58π，由(Ⅰ)得，所以，因为π2<58π<π,所以．解析：本题本题正切两角和差公式，属于中档题．(Ⅰ)根据，运用两角和差公式，得到，再将展开计算，即可得到答案;(Ⅱ)取A=B=58π，由(Ⅰ)得，结合角π2<58π<π,解得．20.答案：解：(Ⅰ)由函数满足满足f(x)=f(2π3−x)．得知函数f(x)关于x=π3对称，又函数f(x)在[0,π3]上单调递增，所以f(x)在x=π3取得最大值．又f(x)=sin(x+φ)+√3cos(x+φ)，=2sin(x+φ+π3)，所以f(π3)=2sin(φ+2π3)=2，故φ+2π3=2kπ+π2(k∈Z)，由于0<|φ|<π，所以：φ=−π6．(Ⅱ)由f(x0)=1，知sin(x0+π6)=12，所以：sin(2x 0−π6)， =sin[2(x 0+π6)−π2]， =−cos2(x 0+π6)，=2sin 2(x 0+π6)−1， =−12．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换， 正弦型函数的性质的应用及函数的求值．(Ⅰ)直接利用三角函数关系式的恒等变换求出函数的关系式． (Ⅱ)利用函数的关系式的变换和函数的性质求出结果．21.答案：解：(1)由cosC =2√55>0可知，∠C 是锐角，∴sinC =√1−cos 2C =(2√55)=√55， 由正弦定理ACsinB =ABsinC 得：AB =ACsinC sinB=√10×√55√22=2；(2)∵∠B =45°，∴A =180°−45°−C ， ∴cosA =cos(180°−45°−C)=cos(135°−C)=√22(−cosC +sinC)=√22×(−2√55+√55)=−√1010， 由AD =12AB =1，根据余弦定理得：CD 2=AD 2+AC 2−2AD ⋅ACcosA =1+10−2×1×√10×(−√1010)=13，则CD =√13．解析：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．(1)由cos C 的值大于0，得到C 为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C 的值，再由AC ，sin C ，以及sin B 的值，利用正弦定理即可求出AB 的长；(2)由B 的度数，利用内角和定理表示出A 的度数，求出cos A 的值，再由AC ，AD ，cos A 的值，利用余弦定理即可求出CD 的长． 22.答案：(1)8(2)334解析：【分析】本题考察了函数的最值的求法.当x >2时，运用基本不等式即可得到最小值，当x ⩾6时，由导数的符号即可得单调性，可得最小值． 【解答】解：(1)y =x +9x−2(x >2)=x −2+9x−2+2⩾2√(x −2)×9x−2+2=8． 当且仅当x =5时，取得最小值8．(2)当x ⩾6时，x −2⩾4，即有y =x +9x−2的导数为y′=1−9(x−2)2>0， 即有函数在x ⩾6递增，且有x =6时，最小值为6+96−2=334．故答案为(1)8，(2)334．23.答案：解：(Ⅰ)因为sin ∠ABC 2=√33，所以cos∠ABC =1−2sin 2∠ABC 2=1−2×13=13.(2分)在△ABC 中，设BC =a ，AC =3b ，由余弦定理可得：9b 2=a 2+4−43a①(5分) 在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得： cos∠ADB =4b 2+163−416√33b ，cos∠BDC =b 2+163−a 28√33b (7分) 因为cos∠ADB =−cos∠BDC ，所以有4b 2+163−416√33b =b 2+163−a 28√33b ，所以3b 2−a 2=−6 ②由①②可得a =3，b =1，即BC =3.(9分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知cos∠ABC =13，则sin∠ABC =√1−(13)2=2√23，又AB =2，BC =3，则△ABC 的面积为12AB ⋅BCsin∠ABC =12×2×3×2√23=2√2， 又因为AD =2DC ，所以△DBC 的面积为13×2√2=2√23.(12分)解析：(Ⅰ)由sin ∠ABC 2的值，利用二倍角的余弦函数公式即可求出cos∠ABC 的值，设BC =a ，AC =3b ，由AD =2DC 得到AD =2b ，DC =b ，在三角形ABC 中，利用余弦定理得到关于a 与b 的关系式，记作①，在三角形ABD 和三角形DBC 中，利用余弦定理分别表示出cos∠ADB 和cos∠BDC ，由于两角互补，得到cos∠ADB 等于−cos∠BDC ，两个关系式互为相反数，得到a 与b 的另一个关系式，记作②，①②联立即可求出a 与b 的值，即可得到BC 的值；(Ⅱ)由角ABC 的范围和cos∠ABC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin∠ABC 的值，由AB 和BC 的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC 的面积，由AD =2DC ，且三角形ABD 和三角形BDC 的高相等，得到三角形BDC 的面积等于三角形ABC 面积的13，进而求出三角形BDC 的面积．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．24.答案：解：设MP =x,PN =y ，作PQ ⊥AF 于Q ， 所以PQ =8−y ，EQ =x −4， ∵在ΔEDF 中，EQPQ =EFFD ，∴x−48−y =42，∴y=−12x+10，其中x∈[4,8]，设矩形BNPM的面积为S，则：S=xy=x(10−12x)=−12(x−10)2+50，∴S(x)是关于x的二次函数，且其开口向下，对称轴为x=10，∴当x∈[4,8]，S(x)单调递增．∴当x=8米时，矩形BNPM面积取得最大值48平方米．解析：本题考查二次函数的实际应用，属于难题.，设MP=x，将面积表示成x的函数，利用二次函数的性质求最大值即可．。

2020年高一数学暑假补习题 (28)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (28)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (28)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知角α的终边过点P (−4m,3m )(m ≠0)，则2sin α+cos α的值是( )A. 1或−1B. 25或−25C. 1或−25 D. −1或25 2. sin4⋅tan7的值( )A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 不大于03. 若，则角的终边落在直线( )上 A.B.C.D.4. 若把函数的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于y 轴对称，则正实数m 的最小值为( )A.B.C.D.5. 函数y =ax 2+bx 与在同一直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.6. 函数f (x )=xx 2+a 的图像可能是( )A. (1)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)(4)7. 函数的大致图象是( )A.B.C.D.8. 的内角的对边分别为，若，则边等于( )A.B.C.D. 29. 函数y =log 2(6−x −x 2)的单调递减区间为( )A. (−∞,−12]B. [−12,+∞)C. (−3,−12]D. [−12,2)10. 已知，，则( )A. B.C.D.11. 已知函数y =f(1−x)的图象如图所示，则y =f(1+x)的图象为( )A.B.C.D.12. 若，则不等式等价于( )A. 或B.C.或D.或二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.已知角的终边过点(sin2π3,cos2π3)，则=__________．14.已知则=________．15.在中，，，且的面积为，则边的长为_________．16.已知，若恒成立，则实数的最大值是__________17.若函数f(x)=(3−m)xx2+m的图像如所示，则m的取值范围是___________．18.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）19.已知，且、().(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的值．20.已知函数在[0,π3]上单调递增，且满足f(x)=f(2π3−x)．(Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)若f(x0)=1，求sin(2x0+π6)的值．21.如图，在▵ABC中，∠ABC=90∘，AB=4,BC=3，点D在边AC上，且AD=4DC，(1)求BD的长；(2)求sin∠CBD的值．22.(1)求函数y=x+9x−2(其中x>2)的最小值；(2)求函数y=x+9x−2(其中x≥6)的最小值．23.如图，△ABC中，sin∠ABC2=√33，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=4√33.(Ⅰ)求：BC的长；(Ⅱ)求△DBC的面积．24.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中AE=4米，CD=6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，其中点P在边DE上(包括端点).求矩形BNPM面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，计算能力，属于基础题．求出OP的距离r，对m>0，m<0，分别按照题意和角的三角函数的定义，求出sinα和cosα的值，然后再求2sinα+cosα的值，可得结果．【解答】解：r=√(−4m)2+(3m)2=5|m|，当m>0时，r=5m，sinα=3m5m =35，cosα=−4m5m=−45，2sinα+cosα=65−45=25；当m<0时，r=−5m，sinα=3m−5m =−35，cosα=−4m−5m=45，2sinα+cosα=−65+45=−25．故选B．2.答案：B解析：∵π<4<3π2，∴sin4<0.∵2π<7<5π2，∴tan7>0，∴sin4⋅tan7<0，故选B．3.答案：B解析：试题分析：有已知可得，即直线的斜率考点：同角间的三角函数关系及二倍角公式点评：本题涉及到的基本公式有4.答案：B解析：【分析】本题考查三角函数的图象和性质，属于基础题．先根据平移得出解析式，再根据对称轴为y轴可得出答案．【解答】解：把函数的图象向左平移m(m>0)个单位后，得到，因为所得图象关于y轴对称，所以，令k=1，则正实数m的最小值为．故选B．5.答案：D解析：由题意知a,b同号，故二次函数的对称轴在y轴左边，排除A，B，图C中由二次函数图象知ba>1，而对数函数中ba<1，故选D．6.答案：C解析：【分析】本题考查了函数图象的应用，属于基础题．因为是选择题，故适宜用特殊值法，将特殊值代入分析各选项，结合图象中特殊点坐标加以验证，可得结果．【解答】解：若a=0，则f(x)=xx2=1x，图(4)符合，若a≠0，则当x=0时，f(x)=0，图象过原点，排除(1)；a=1时，(2)符合，a=−4时，(3)符合，综上可知：图象(2)(3)(4)符合．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的图象和性质，属于中档题．利用函数的性质求解即可得结果．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除C和D，当x>0时，，f′(x)=1+lnx，当x>1e 时,f′(x)>0，所以f(x)在(1e,+∞)上是增函数，故排除B．故选A．8.答案：C解析：试题分析：根据题意中给定了两边以及一边的对角可知那么结合余弦定理可知故答案为C．考点：解三角形点评：主要是考查了余弦定理的运用，求解边，属于基础题。

2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)-0721(含答案解析)

2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)-0721(含答案解析)

2020年暑假高一新生数学补习训练题 (3)一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 设S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A. SB. TC. ∅D. S ∩T2. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( )A. y 1=(x+3)(x−5)x+3，y 2=x −5B. y 1=√x +1√x −1，y 2=√(x +1)(x −1)C. f 1(x)=(√2x −5)2，f 2(x)=2x −5D. f(x)=3x 4−x 3，F(x)=x3x −13. 若不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，则a +b 的值为( )A. 3B. 1C. −3D. −14. 已知函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]，则f(2x)x 的定义域为( ) A. { x |0<x ≤4 } B. { x |0≤x ≤4 } C. { x |0≤x ≤1 } D. { x |0<x ≤1 }5. 下列图象是函数图象的是( ) A. B.C. D.6. 已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项一定正确的是( )A. ca 2>ac 2B. ac >bcC. ab 2>cb 2D. ab >ac7. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)8. 函数f(x)=√x 2+x −6的单调增区间是( )A. (−∞,−3)B. [2,+∞)C. [0,2)D. [−3,2]9. 已知函数f(x)=x 2+x +a(a >0)，若f(m)<0，则f(m +1)的值是( )A. 正数B. 负数C. 零D. 与符号与a 有关10. 已知函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，则实数a 的 取值范围为( )A. (2,4]B. [1,2]C. (−∞,2]D. (2,+∞)11.已知f(x−1)=3x−1，则f(x)等于()A. 3x−2B. 3x+2C. 2x−3D. 2x+312.已知函数f(x)=√−x2+mx−6的定义域为[2,3]，则实数m的值为()A. 5B. −5C. 10D. −10二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为______ ．14.已知函数则f(f(−3))=____，f(x)的最小值为_____．15.已知A={x|x≤1或x>3}，B={x|x>2}，则(∁U A)∪B=________．16.若函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4)上是增函数，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.已知函数f(x)=√x−3的定义域为集合A，集合B={x|2<x<9}，设全集为R．√6−x(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知C={x|a<x<a+1}，若C∪B=B，求实数a的取值范围．18.判断并证明函数f(x)=−1+1在(0,+∞)上的单调性．x19.已知函数f(x)=ax2−(a2+1)x+a．(1)若当a>0时f(x)<0在x∈(1,2)上恒成立，求a范围;(2)解不等式f(x)>0．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：因为S,T 是两个非空集合，且它们互不包含，所以(S ∩T )⊆S ，所以S ∪(S ∩T )=S ． 2.答案：D解析：解：A 中，y 1=(x+3)(x−5)x+3=x −5，(x ≠−3)与y 2=x −5的定义域不同，故不表示同一函数；B 中，y 1=√x +1√x −1=√(x +1)(x −1)，(x ≥1)与y 2=√(x +1)(x −1)(x ≤−1或x ≥1)的定义域不同，故不表示同一函数；C 中，f 1(x)=(√2x −5)2=2x −5，(x ≥52)与f 2(x)=2x −5，(x ∈R)的定义域不同，故不表示同一函数；D 中，f(x)=3x 4−x 3=x3x −1与F(x)=x3x −1定义域，解析式均相同，故表示同一函数； 故选D当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同，分别判断四个答案中函数的定义域和解析式是否一致即可得到答案．本题考查两函数表示同一个函数的条件，当两个函数表示同一个函数时，要求函数的三要素(定义域、值域、对应法则)都相同．要求会求函数的定义域和值域，并会化简函数解析式．属简单题 3.答案：A解析：解：∵不等式(x −a)(x −b)<0的解集为{x|1<x <2}，∴1和2为方程(x −a)(x −b)=0的两个根，则有{a =1b =2或{a =2b =1， ∴a +b =1+2=3，即a +b 的值为3．故选：A ．4.答案：D解析：【分析】本题考查函数的定义域，属于基础题．【解答】∵函数f(x)的定义域为[ 0,2 ]∴f(2x)x 的定义域满足{0≤2x ≤2x ≠0,∴0<x ≤1,∴f(2x)x 的定义域为{x |0<x ≤1}．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的定义及其应用，属于基础题．由题意结合函数的定义确定所给图象是否是函数图象即可．【解答】解：由函数的定义可知，函数的每一个自变量对应唯一的函数值，选项A ，B 中，当x =0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，选项C 中，当x >0时，一个自变量对应两个函数值，不合题意，只有选项D 符合题意．故选D ．6.答案：D解析：【分析】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题．由题意可得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0，再结合不等式的性质、作差法比较大小，依次判断可得答案．【解答】解：由c <b <a ，ac <0，得c <0，a >0，b −c >0，a −b >0．ca 2<0，ac 2>0，则ca 2<ac 2，A 不正确；ac −bc =(a −b)c <0，则ac <bc ，B 不正确；若b =0，则ab 2=cb 2，C 不正确；ab −ac =a(b −c)>0，则ab >ac ，D 正确，故选：D ．7.答案：C解析：解：B ={x|x ≤−3，或x ≥3}；∴∁R B ={x|−3<x <3}；∴A ∩(∁R B)=[1,3)．故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．注意先求函数的定义域．利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f(x)=√x 2+x −6=√(x +12)2−254， 令t =x 2+x −6≥0，解得x ≥2或x ≤−3，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−3]∪[2,+∞)， 又t =x 2+x −6=(x +12)2−254，在[−12,+∞)上递增，所以根据复合函数“同增异减”的单调性判断原则可得，函数f(x)的单调递增区间为[2,+∞) ， 故选B ．9.答案：A解析：设g(x)=x 2+x ，则有零点−1, 0，由f(m)<0得g(m)<−a(a >0)，所以g(m)<0，所以−1<m <0，0<m +1<1，所以g(m +1)>0，g(m +1)+a >0，从而f(m +1)>0，选(A)． 10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．根据f(x)=f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a,x >1在(−∞,+∞)上单调递增，可得{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a+1 1+a，由此求得实数a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f (x )={(a −2)x −1,x ≤1ax+1x+a ,x >1={(a −2)x −1,x ≤1a +1−a 2x+a,x >1， ∴{a −2>0 1−a 2<0 a −2−1≤ a +1 1+a求得2<a ≤4，故选A ．11.答案：B解析：∵f(x −1)=3x −1=3(x −1)+2，∴f(x)=3x +2.故选B ．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了数学转化思想方法，是基础题．把函数f(x)=2+mx −6的定义域为[2,3]，转化为方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3，然后由根与系数关系得答案．【解答】解：∵函数f(x)=√−x 2+mx −6的定义域为[2,3]，即不等式−x 2+mx −6≥0的解集为[2,3]，也就是方程x 2−mx +6=0的两个根为2，3．由根与系数关系得m =2+3=5．∴实数m 的值为5．故选：A ．13.答案：4解析：分析：利用并集定义直接求解．本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．解：∵{1,2}∪B={1,2，3}，∴满足条件的集合B可能为：{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2，3}，∴满足{1,2}∪B={1,2，3}的集合B的个数为4．故答案为：4．14.答案：2；−1解析：【分析】本题主要考查分段函数的最值，属于基础题．根据x的范围代入即可求得f(f(−3))的值，分别求两段函数的值域即可求得f(x)的最小值．【解答】解：因为f(−3)=(−3)2+2×(−3)=3，所以．当x≤0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，由二次函数性质可知：当x=−1时，函数f(x)取得最小值为−1；当x>0时，为增函数，所以f(x)>f(0)=0，综上所述：f(x)的最小值为−1．故答案为2;−1．15.答案：(1,+∞)解析：【分析】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求出C U A是解题的关键．利用集合的补集定义求出C U A，再利用两个集合的并集的定义求出(C U A)∪B.【解答】解：U=R，∵集合A={x|x≤1或x>3}，∴C U A={x|1<x≤3}，∴(C U A)∪B={x|1<x≤3}∪{x|x>2}=(1,+∞)．故答案为(1,+∞)．16.答案：[5,+∞)解析：【分析】本题考查了二次函数的性质，结合二次函数的性质，求出对称轴，列出不等式求解即可．【解答】解：因为函数f(x)=−x2+2(a−1)x+2在(−∞,4]上是增函数，二次函数的开口向下， ≥4，即a≥5，所以2(a−1) 2故答案为：[5,+∞)．17.答案：解：(1)解{x −3≥06−x >0得，3≤x <6； ∴A ={x|3≤x <6}；∴A ∩B ={x|3≤x <6}，∁R B ={x|x ≤2，或x ≥9}，(∁R B)∪A ={x|x ≤2，或3≤x <6，或x ≥9}；(2)∵C ∪B =B ；∴C ⊆B ；∴{a ≥2a +1≤9； ∴2≤a ≤8；∴实数a 的取值范围为[2,8]．解析：(1)可求出集合A ，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据C ∪B =B 即可得出C ⊆B ，从而得出{a ≥2a +1≤9，解出a 的范围即可． 考查函数定义域的概念及求法，描述法的定义，交集、并集和补集的运算，子集的定义． 18.答案：解：函数f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(−1x 1+1)−(−1x 2+1)=x 1−x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0,+∞)，得x 1x 2>0，又由x 1<x 2，得x 1−x 2<0，于是f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)=−1x +1在(0,+∞)上是增函数．解析：本题主要考查函数单调性与单调区间，属于较易题．利用单调性的定义，设x 1，x 2是(0,+∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，，由作差比较法比较f(x 1)与f(x 2)的大小，再由单调性定义得到单调性．19.答案：解：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0， 即{a −(a 2+1)+a ≤04a −2(a 2+1)+a ≤0， 解得a ∈(0,12]∪[2,+∞)(2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，当a =0时，得到x <0，当a >0时，化为(x −1a )(x −a)>0，当a >1时，得到x <1a 或x >a ，当a =1时，得到x ≠1，当0<a <1时，得到x <a 或x >1a ，当a <0时，化为(x −1a )(x −a)<0，当−1<a <0时，得到1a <x <a当a =−1时，得到x ∈ϕ，当a <−1时，得到a <x <1a ，综上所述，a <−1时，原不等式的解集为：(a,1a )a =−1时，原不等式的解集为：⌀，−1<a <0时，原不等式的解集为：(1a ,a)，a =0时，原不等式的解集为：(−∞,0)0<a <1时，原不等式的解集为：(−∞,a)∪(1a ,+∞)，a >1原不等式的解集为：(−∞,1a )∪(a,+∞)．解析：(1)当a >0时，函数f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a 的图象开口方向朝上，若f(x)<0在x ∈(1,2)上恒成立，只需{f(1)≤0f(2)≤0，解得a 的范围； (2)f(x)=ax 2−(a 2+1)x +a >0⇔(ax −1)(x −a)>0，对a 值进行分类讨论，可得不同情况下，不等式的解集．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．。

2020年高一暑假数学补习题 (1)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (1)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (1)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos160°sin10°−sin20°cos10°=( )A. −√32B. √32C. −12 D. 122. 下列不等式中，正确的是( )A. 若a >b,c >d ，则a +c >b +dB. 若a >b ，则a +c <b +cC. 若a >b,c >d ，则ac >bdD. 若a >b,c >d ，则ac >bd3. 若一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集为(−12,13)，则a +b 的值是( )A. 10B. −10C. −14D. 144. 下列判断正确的是( )A. 若a//α，b//β，α//β，则a//bB. a ⊥α，b ⊥β，α⊥β，则a ⊥bC. 若a ⊂α，b ⊂β，a//b ，则α//βD. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α 5.A. 12B. √22C. 2D. √326. 已知圆锥的底面直径为2√3π3π且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的表面积为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是( ) A. 定 B. 有 C. 收 D. 获 8. 三棱锥A −BCD ，顶点A 在平面BCD 内的射影为O ，若AB =AC =AD ，则点O 为△BCD 的( )A. 内心B. 外心C. 中心D. 垂心9. 展开式为ad −bc 的行列式是( )A. ∣∣∣a b dc∣∣∣B. ∣∣acb d ∣∣C. ∣∣∣a d bc∣∣∣D. ∣∣∣b a dc∣∣∣10. 在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若点(a,b )在直线x (sinA +sinB )+ysinB =csinC 上，则角C 的值为( )A. π6B. 56πC. π3D. 23π11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为()A. √2−1B. √2C. 3√55−1D. 3√5512.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A=3π4，a=2，c=√2，则sin C=____.14.已知m，n为正实数，则当nm =______时9mm+2n+2nm取得最小值．15.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AB=2，CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE=________．16.在等腰三角形ABC中，∠A=2π，AB=2√3，将它沿BC边上的高AD翻折，使△BCD为正三角3形，则四面体ABCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知f(x)=cos4x+2√3sinxcosx−sin4x．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；]，求f(x)的最大值和最小值．(3)若x∈[0,π218.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6，高为3，下面是正六棱柱，其底面边长为4，高为2，现从中间挖去一个直径为2的圆柱，求此几何体的体积。

2019-2020年高一暑假补习作业(数学)

2019-2020年高一暑假补习作业(数学)

2019-2020年高一暑假补习作业（数学）第一天作业 家长签字：C 级1、一次函数y=6-x 的图象上有一点A （5，K ），K 的值为 ．【答案：1】2、已知k ＞0 ，那么函数y=kx的图象大致是【答案：A 】3、 函数6y x =-与函数()40y x x=>的图象交于A 、B 两点，设点A 的坐标为()11,x y ，则边长分别为1x 、1y 的矩形面积和周长分别为（ ）【答案：A 】A. 4，12B. 4，6C. 8，12D. 8，6 4、函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 【答案；3≠x 】B 级1、 首先完成C 级第3题2、 如右图，直线y=kx+b 分别交x 轴和y 轴于点A 、B ，则关于x 的不等式kx+b ＞0的解集为： 【答案：x3、分解因式3244y y y -+= 【答案：)2(-y y4、在同一直角坐标系中，函数y=kx+k ，与y=xk-（k 0≠）的图像大致为（ ）【答案：B 】A 级1、首先完成C 级第3题和B 级第2、4题 2、在同一直角坐标系中，函数(0)ky k x=≠与(0)y kx k k =+≠的图象大致是（ ）【答案：C 】3、小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l 1、l 2，如图5所示，他解的这个方程组是（ ）A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ B ． 22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ D ． 22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩ 4、关于x 的不等式22≤+-a x 的解集如图所示，那么a 的值是………………（ ）【答案：C 】Ａ．－4Ｂ．－2Ｃ．0Ｄ．２ＡＢＣＤB第二天作业 家长签字：C 级1、 如图，在⊙O 中，若已知∠BOC =100º,则∠BAC =_________ 【答案：50º】2、如图，︒=∠601，︒=∠20A ，则=∠C 度. 【答案：40º】3、已知圆锥的底面直径为4cm ，其母线长为3cm ， 则它的侧面积为 πcm 2．【答案：6】4、已知⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，圆心距O 1O 2 为3cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是……………………………………………………（ ） 【答案：A 】 A. 相交B. 外离C. 外切D. 内切5、已知一个梯形的面积为442cm ，高为2 cm ，则该梯形的中位线的长等于________cm 【答案：22】B 级1、先完成C 组2、5题2、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，AB=3，1BC =，那么sin ∠BDC 的值是 ．【答案：313、若圆的一条弦长为8 cm ，其弦心距等于3 cm ，则该圆的半径等于________ cm 【答案：5】4、在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒， AC =3㎝，BC =4㎝，以BC 边所在的直线为轴，将ABC ∆ 旋转一周，则所得到的几何体的侧面积是2cm 【答案：15】ABCDME5、（本题满分10分）如图6，BD 为⊙O 的直径，点A 是BC 的中点，AD 交BC 于点E ，AE=2，ED=4. （1）求证：△ABE ∽△ADB （2）求AB 的长及∠BDC 的度数.【答案：提示：ADABAB AE =】A 级1、先完成B 级第4、5题2、如图，依次连结一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连结第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去， 则第六个正方形的面积是 ．【答案：321】3、(本小题满分9分) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠，请你自己补一个条件使得AB=MC 。

2020年暑假高一数学补习题 (19)-0712(解析版)

2020年暑假高一数学补习题 (19)-0712(解析版)

2020年暑假高一数学补习题 (19)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|3−2x<1}，B={x|4x−3x2≥0}，则A∩B=()A. (1,2]B. (1,43] C. [0,1) D. (1,+∞)2.已知p：∀x∈R，x2+2x+a>0；q：2a<8.若“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A. (1,+∞)B. (−∞,3)C. (1,3)D. (−∞,1)∪(3,+∞)3.要得到函数y=sin(6x−φ)(−3π<φ<−π)的图象，只需将函数y=sin6x的图象向右平移π12个单位，则φ的值是()A. −5π4B. −2π C. −5π2D. −3π24.函数f(2x)=x+1，则f(4)=()A. 5B. 4C. 3D. 95.已知a，b是两条不同的直线，且b⊂平面α，则“a⊥b”是“a⊥α”的()A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.以连续两次掷一枚骰子得到向上的点数作为点M的坐标，则点M落在圆x2+y2=16外的概率为()A. 19B. 29C. 49D. 797.已知a⃗⊥b⃗ ，|a⃗|=2，|b⃗ |=3，且3a⃗+2b⃗ 与λa⃗−b⃗ 垂直，则λ等于()A. 32B. −32C. ±32D. 18.一组具有线性相关关系的变量(x,y)分别为(2,3)，(4,4)，(5,6)，(6,5)，(8,7)，且这组数据的回归直线方程为y∧=0.65x+a，则a等于()A. 0.75B. 1.25C. 1.75D. 3.759.在△ABC中，A=π4，b2sin C=4√2sin B，则△ABC的面积为()A. 1B. 3C. 2D. 410.已知函数，则)A. 0B. −3C. 3D. 611.已知三棱锥A−BCD内接于球O，且BC=BD=CD=2√3，若三棱锥A−BCD体积的最大值为4√3，则球O的表面积为()A. 16πB. 25πC. 36πD. 64π12.函数f(x)=x−√2sinx在区间[0,π]上的最大、最小值分别为()A. π，0B. π2−√2 ,0 C. π ,π4−1 D. 0 , π4−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知一组数据x1，x2，…，x10的平均数是x，则数据x1+1，x2+2，…，x10+10的平均数是_______.14.函数y=x+3x−2(x>2)的最小值是______．15.已知x∈(0,π2)时，sinx<x<tanx，若p=√32sinπ18−12cosπ18、q=2tan10∘1+tan210∘，r=√3−tan20∘1+√3tan20∘，那么p、q、r的大小关系为____________．16.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，若点M，N分别是AA1和BB1的中点，则直线CM与D1N所成角的余弦值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=2sin (2x−π6)+m的最小值为1．(1)求m的值及取此最小值时所有的x值；(2)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间．18.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且4sinBsinC=1+2cos(B−C)．(1)求A；(2)若b=2，点D是AC中点，BD=√7，求a．19.研究发现，北京PM2.5的重要来源有土壤尘、燃煤、生物质燃烧、汽车尾气与垃圾焚烧、工业污染和二次无机气溶胶，其中燃煤的平均贡献占比约为18%.为实现“节能减排”，还人民“碧水蓝天”，北京市推行“煤改电”工程，采用空气源热泵作为冬天供暖，进入冬季以来，该市居民用电量逐渐增加，为保证居民取暖，市供电部门对该市100户居民冬季(按120天计算)取暖用电量(单位：度)进行统计分析，得到居民冬季取暖用电量的频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)从这100户居民中随机抽取1户进行深度调查，求这户居民冬季取暖用电量在[3300,3400]的概率；(3)在用电量为[3200,3250)，[3250,3300)，[3300,3350)，[3350,3400]的四组居民中，用分层抽样的方法抽取34户居民进行调查，则应从用电量在[3200,3250)的居民中抽取多少户？20.如图，在三棱锥P−ABC中，PA=PB=AB=BC，∠PBC=90°，D为AC的中点，AB⊥PD．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面ABC(Ⅱ)如果三棱锥P−BCD的体积为3，求PA．21.求函数f(x)=x3−x2−x−2的零点．22.已知定义域为R的函数f(x)=b−2x是奇函数．2x+a(1)求a，b的值；(2)用定义证明f(x)在(−∞,∞)上为减函数；(3)解不等式f(t−2)+f(t+1)<0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集及其运算，考查不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题．解不等式分别求出集合A，B，根据交集的定义即可求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|3−2x<1}={x|x>1}，B={x|4x−3x2≥0}={x|0≤x≤43}，∴A∩B={x|1<x≤4 3 }.故选B．2.答案：C解析：【分析】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键，属基础题．根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题“p∧q”是真命题与p，q的关系进行求解即可．【解答】解：若∀x∈R，x2+2x+a>0，则判别式Δ=4−4a<0，得a>1，即p：a>1；由2a<8得a<3，即q：a<3，若“p∧q”是真命题，则p，q都是真命题，则{a>1a<3，即1<a<3，即实数a的取值范围是(1,3)，故选：C．3.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的平移变换，掌握平移变换规律是解题的关键，属于中档题．【解答】解：函数y=sin6x的图象向右平移π12个单位得到y=sin(6x−φ)，所以6(x−π12)=6x−φ，所以φ=π2+2kπ，由于−3π<φ<−π，故k=−1φ=−3π2故选D．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，是基础题．利用令2x=4，解得x的值代入f(x)可得答案．【解答】解：因为f(2x)=x+1，故令4=2x，解得x=2，故f(4)=2+1=3，故选C5.答案：B解析：解：若a⊥b，则a不一定垂直于α，不是充分条件，若a⊥α，则a⊥b，是必要条件，故选B．本题考查了充分必要条件，考查了直线和平面的判定定理，是一道基础题，根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可．6.答案：D解析：【分析】本题考查古典概型的计算，先计算出基本事件总数，再计算出点M落在圆x2+y2=16外包含的基本事件数即可求解，属简单题．【解答】解：由题知连续两次掷一枚骰子得到向上的点数作为点M的坐标基本事件有6×6=36种，点M落在圆x2+y2=16外包含的基本事件有(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共28种，=∴连续两次掷一枚骰子得到向上的点数作为点M的坐标，则点M落在圆x2+y2=16外的概率为28367．9故选D．7.答案：A解析：【分析】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．因为向量3a⃗+2b⃗ 与λa⃗−b⃗ 垂直，所以两个向量的数量积等于0，代入计算即可得到λ的值．【解答】解：因为3a⃗+2b⃗ 与λa⃗−b⃗ 垂直，所以(3a⃗+2b⃗ )·(λa⃗−b⃗ )=0，即3λ|a⃗|2+(2λ−3)a⃗·b⃗ −2|b⃗ |2=0，因为a⃗⊥b⃗ ,|a⃗|=2,|b⃗ |=3,所以a⃗·b⃗ =0,|a⃗|2=4,|b⃗ |2=9，所以12λ−18=0，即λ=32．故选A．8.答案：C解析：【分析】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵x=5，y=5∴这组数据的样本中心点是(5,5)把样本中心点代入回归直线方程y∧=0.65x+a∴5=0.65×5+a，∴a=1.75故选：C．9.答案：C解析：解：在△ABC中，A=π4，b2sinC=4√2sin B，可得bc=4√2，所以三角形的面积为：12bcsinA=12×4√2×√22=2．故选：C．利用正弦定理求出bc的值，然后利用三角形的面积公式求解即可．本题考查正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．10.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的奇偶性，求函数的值．【解答】解：为定义域上的奇函数，．故选D．11.答案：B解析：【分析】本题考查球的半径，考查球的表面积的计算，确定A到平面BCD的最大距离为4是关键．确定S△BCD=3√3，利用三棱锥A−BCD体积的最大值为4√3，可得A到平面BCD的最大距离为4，再利用勾股定理，即可求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：∵BC=BD=CD=2√3，∴S△BCD=3√3，设△BCD的外接圆的半径为r，则△BCD的外接圆的半径r=√33×2√3=2，∵三棱锥A−BCD体积的最大值为4√3，∴A到平面BCD的最大距离为4，设球的半径为R，则r2+(4−R)2=R2，∴R=52，∴球O的表面积为4πR2=25π．故选B．12.答案：C解析：解：函数f(x)=x−√2sinx，∴f′(x)=1−√2cosx；令f′(x)=0，解得cosx=√22，又x∈[0,π]，∴x=π4；∴x∈[0,π4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈(π4,π]时，f′(x)>0，f(x)单调递增；∴f(x)min=f(π4)=π4−√2sinπ4=π4−1，f(0)=0，f(π)=π；∴函数f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值分别为π和π4−1．故选C．对函数f(x)求导数，利用导数判断f(x)的单调性，并求f(x)在区间[0,π]上的最大、最小值．本题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是中档题．13.答案：x+5.5解析：【分析】本题考查数据的平均数性质，原数据的平均数为x，则新数据的平均数为x+1+2+...+1010，属基础题．【解答】解：根据平均数性质知：原数据的平均数为x+1+2+...+1010=x+5.5．故答案为x+5.5．14.答案：2+2√3解析：【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．变形，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x>2，∴x−2>0．∴函数y=x+3x−2=(x−2)+3x−2+2≥2√(x−2)⋅3x−2+2=2√3+2，当且仅当x=√3+2时取等号．∴函数y=x+3x−2(x>2)的最小值是2+2√3．故答案为：2+2√3．15.答案：p<q<r解析：解：∵p=√32sinπ18−12cosπ18=sin(π18−π6)=−sinπ9<0，q=2tan10∘1+tan210∘=2sin10∘cos10∘sin210∘+cos210∘=sin20°>0，r=√3−tan20∘1+√3tan20∘=tan60∘−tan20∘1+tan60∘tan20∘=tan40°，又x∈(0,π2)时，sinx<x<tanx，∴sin20°<tan20°，又tan20°<tan40°，∴0<q<r；∴p<q<r；故答案为：p<q<r．16.答案：19解析：【分析】本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键，属于中档题．取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．【解答】解：取C1C的中点P，连接A1P，∵A1M//CP，且A1M=CP，∴四边形A1MCP是平行四边形，∴A1P//MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，∵正方体的棱长为1，∴A1P=MC=√AC2+AM2=√2+14=√94=32，D1O=A1O=34，cos∠A 1OD 1=(34)2+(34)2−12×34×34=19， 即直线CM 与D 1N 所成角的余弦值是19． 故答案为19．17.答案：解：(1)由f(x)min =−2+m =1得，m =3，此时2x −π6=−π2+2kπ(k ∈Z)， 解得x =−π6+kπ(k ∈Z)． (2)f(x)最小正周期，由−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ，(k ∈Z) 解得−π6+kπ≤x ≤π3+kπ，(k ∈Z)，所以f(x)单调递增区间[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)．解析：本题主要考查三角函数的最值、周期、单调性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属基础题．(1)由题意首先求得m 的值，然后确定x 的值即可；(2)由三角函数的性质确定函数的最小正周期和单调递增区间即可． 18.答案：解：(1)因为4sinBsinC =1+2cos(B −C)， 所以2(cosBcosC +sinBsinC)−4sinBsinC =−1， 即，因为0<B +C <π，所以B +C =2π3⇒A =π3．(2)在△ABD 中，由余弦定理得7=1+c 2−c ，所以c =3，在△ABC中，由余弦定理得a2=4+9−6=7，所以a=√7．解析：本题考查两角和与差的三角函数公式及余弦定理的应用，考查运算化简的能力，属于基础题．(1)由两角和与差的三角函数公式对4sinBsinC=1+2cos(B−C)进行化简变形，可得，从而求得A；(2)先在△ABD中，由余弦定理求得c=3，再在△ABC中，由余弦定理求得a=√7．19.答案：解：(1)由频率分布直方图的性质得：(0.0006+0.0012+0.0024×2+0.0048+0.0052+a)×50=1．∴0.0166+a=0.02，∴a=0.0034．(2)这100户居民中冬季取暖用电量在[3300,3400)的有：(0.0024+0.0012)×50×100=18(户)，∴这户居民冬季取暖用电量在[3300,3400]的概率为：18100=0.18．(3)由频率分布直方图可知，四组居民共有：(0.0052+0.0048+0.0024+0.0012)×50×100=68(户)，其中用电量在[3200,3250)的居民有：0.0052×50×100=26(户)，∴用分层抽样的方法抽取34户居民进行调查，应从用电量在[3200,3250)的居民中抽取34×2668=13(户)．解析：本题考查频率、频数的求法，考查频率分布直方图、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)由频率分布直方图的性质列方程能求出a．(2)求出这100户居民中冬季取暖用电量在[3300,3400)的有18户，由此能求出这户居民冬季取暖用电量在[3300,3400]的概率．(3)由频率分布直方图可知，四组居民共有68户，其中用电量在[3200,3250)的居民有26户，用分层抽样的方法抽取34户居民进行调查，能求出应从用电量在[3200,3250)的居民中抽取的户数．20.答案：解：(Ⅰ)取AB中点为O，连结OD，OP．因为PA=PB，所以AB⊥OP．又AB⊥PD，OP∩PD=P，所以AB⊥平面POD，因为OD⊂平面POD，所以AB⊥OD.…(3分)由已知，BC⊥PB，又OD//BC，所以OD⊥PB，因为AB∩PB=B，所以OD⊥平面PAB．又OD⊂平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC.…(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OP⊥平面ABC．设PA=a，因为D为AC的中点，所以V P−BCD=12V P−ABC=12×13×12a2×√32a=√324a3，…(10分)由√324a3=3解得a=2√3，即PA=2√3.…(12分)解析：(Ⅰ)利用面面垂直的判定，证明OD ⊥平面PAB ，从而平面PAB ⊥平面ABC ；(Ⅱ)利用三棱锥的体积公式，得到PA 长度的方程，求解即可．本题以考查面面垂直、三棱锥体积计算，考查空间想象能力和计算能力．21.答案：解：f(x)=x 3−x 2−x −2=(x 3−1)−(x 2+x +1)=[(x −1)−1](x 2+x +1)=(x −2)(x 2+x +1)．∵Δ=1−4<0，∴x 2+x +1≠0，∴x =2，函数f(x)只有一个零点x =2．解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系，根据判别式可求解，属于基础题．22.答案：解：(1)函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0，即f(0)=b−202+a =b−11+a =0，得b =1， f(x)=1−2xa+2x ，则f(1)=1−22+a =−12+a ，f(−1)=1−12a+12=12a+1， 则f(−1)=−f(1)， 即12a+1=12+a ，即2a +1=2+a ，得a =1;(2)∵a =1，b =1，∴f(x)=1−2x 1+2x =2−(1+2x )1+2x =21+2x −1， 设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=21+2x 1−21+2x 2=2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)，∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，则f(x 1)>f(x 2)，即f(x)在(−∞,∞)上为减函数;(3)由f(t −2)+f(t +1)<0得f(t −2)<−f(t +1)，∵f(x)是奇函数，且在(−∞,+∞)上是减函数，∴不等式等价为f(t −2)<f(−t −1)，即t −2>−t −1．得t >12.即实数t 的取值范围是(12,+∞)．解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，结合性质进行转化是解决本题的关键，本题属于中档题．(1)根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解即可(2)根据函数单调性的定义进行证明(3)根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可。

2020年高一数学暑假补习题 (19)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (19)-0710(解析版)

2020年高一数学暑假补习题 (19)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 如图，点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗B. OA⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ C. BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 在ΔABC 中，a =1，b =√3，A =30∘，则B =( )A.B.或C.D.或3. 若为实数，则下列命题正确的是( ) A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则4. 在△ABC 中，已知a =6，b =4，C =120°，则c 的值为( )A. 76B. 2√19C. 28D. 2√7 5. 已知数列{a n }为等差数列，且a 7−2a 4=−1，a 3=0，则公差d =( )A. −2B. −12C. 12D. 26. 已知平面向量a =(1,1),b =(1,−1)，则向量12a −32b =( )A. (−2,−1)B. (−2,1)C. (−1,2)D. (1,2)7. 已知x ，2x +2，3x +3是一个等比数列的前三项，则x 的值为( )A. −4或−1B. −4C. −1D. 4或18. 设公比为q(q >0)的等比数列{a n }的前n 项和S n .若S 2=3a 2+2，S 4=3a 4+2，则q =( )A. 32B. 12C. 2D. 39. 若不等式ax 2+ax −4<0的解集为R ，则实数a 的取值范围是( )A. −16≤a <0B. a >−16C. −16<a ≤0D. a <0 10. 函数y =ax 2+bx 与在同一直角坐标系中的图象可能是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =，，若△ABC 的面积为，则= ．12. 已知a ⃗ ,b ⃗ 为单位向量，其夹角为60∘，则(2a →−b →)⋅b →= ．13. 若函数在区间(−∞,4]上是减函数，则实数a 的取值范围是14. 现有如下结论：(1)在△ABC 中，如果a >b ，则A >B ； (2)在△ABC 中，有acosB =bcosA ； (3)在△ABC 中，有asinB =bsinA ；(4)若数列{a n }是等差数列，则它的前n 项和可以表示为S n =An 2+Bn ； (5)三个数a ，b ，c 若满足ac =b 2，则三个数a ，b ，c 成等比数列． 则上述结论中正确的结论序号为______ .(把所有你认为正确的都填上) 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 设平面内的向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,3)，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，点P 在直线OM 上，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−16． (1)求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标；(2)求的余弦值； (3)设t ∈R ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．16. 在锐角△ABC 中，=(1)求角A ；(2)若a=，求bc的取值范围．17.已知A(m−1,2),B(1,1),C(3,m2−m−1)(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值(2)若AB⊥BC，求实数m的值18.如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距√3km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．(n∈N∗).19.设数列{a n}满足a1+3a2+32a3+⋯+a n=n3(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．a n20.已知数列{a n}满足a2=6，且其前n项和S n=pn2+12n．(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查了平面向量的加法、减法运算，属于基础题．根据平面向量的加减运算的平行四边形和三角形法则即可得出． 【解答】解：∵点O 是平行四边形ABCD 两条对角线的交点， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选C ． 2.答案：B解析：【分析】本题主要考查正弦定理，是基础题.利用正弦定理先求sin B ，再求角即可． 【解答】 解：由正弦定理得，得，由于b >a ，所以B >A ， 所以B =60°或120°， 故选B ． 3.答案：B解析：试题分析：选项A :当时，(舍)；选项B :，，即B 正确；选项C :在上为减函数，且，(舍)；选项D :，，所以，即(舍)；故选B ．考点：不等式的性质． 4.答案：B解析：【分析】本题考查余弦定理，属于基础题． 运用余弦定理，即可得到答案． 【解答】解：由余弦定理得：=36+16+24=76， 所以c =2√19．故选B．5.答案：B解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式的运用，属于基础题.根据等差数列的通项公式直接计算即可．【解答】解：根据题意得a7−2a4=a1+6d−2(a1+3d)=−1，所以a1=1，又因为a3=a1+2d=0，所以d=−12．故选B．6.答案：C解析：【分析】根据平面向量的坐标运算即可算出结果．【解答】因为a=(1,1),b=(1,−1)，所以12a−32b=12(1,1)−32(1,−1)=(−1,2)．故选：C．7.答案：B解析：【分析】本题考查等比中项的性质的应用，解题时要认真审题．由x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，利用等比中项的性质能求出x的值．【解答】解：∵x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，∴(2x+2)2=x(3x+3)，整理，得x2+5x+4=0，解得x=−1，或x=−4．当x=−1时，x，2x+2，3x+3分别为−1，0，0，构不成一个等比数列，∴x≠−1；当x=−4时，x，2x+2，3x+3分别为−4，−6，−9，能构成一个等比数列，∴x=−4．故选B．8.答案：A解析：【分析】：S2=3a2+2，S4=3a4+2，两式相减可得：2q2−q−3=0，解出即可．本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】：解：S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴a1+a1q=3a1q+2，a1(1+q+q2+q3)=3a1q3+2，两式相减可得：2q2−q−3=0，q >0，解得q =32． 故选：A ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查恒成立问题，考查推理能力和计算能力，属于基础题．设y =ax 2+ax −4，x ∈R ，分a =0和a ≠0两种情况讨论即可求解． 【解答】解：设y =ax 2+ax −4，x ∈R ， 则由题意可知y <0恒成立．当a =0时，y =−4<0满足题意；当a ≠0时，需满足{a <0,Δ<0,即{a <0,a 2+16a <0,解得−16<a <0．故−16<a ≤0． 故选C ． 10.答案：D解析：由题意知a,b 同号，故二次函数的对称轴在y 轴左边，排除A ，B ，图C 中由二次函数图象知ba >1，而对数函数中ba <1，故选D ．11.答案：解析：试题分析：根据题意，由于△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C =，，若△ABC 的面积为，则可知S =，故答案为考点：解三角形点评：解决的关键是根据三角形面积公式得到a 的值，然后借助于余弦定理得到c 的值，属于基础题。

2020年暑假高一数学练习题 (3)-0707(解析版)

2020年暑假高一数学练习题 (3)-0707(解析版)

2020年暑假高一数学练习题 (3)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.某几何体的三视图如图所示，则它的直观图是A. 圆柱B. 圆锥C. 圆台D. 球2.直线的倾斜角为A. B. C. D.3.已知一个圆柱的底面积为S，其侧面展开图为正方形，那么圆柱的侧面积为A. B. C. D.4.直线的斜率和在y轴上的截距分别是A. ，6B. 5，C. ，D. 5，65.若直线与垂直，则a的值为A. 4B.C. 1D.6.直线：，：平行，则实数m的值为A. B. C. 或 D. 1或77.经过点且在两坐标轴上截距和为2的直线方程是A. B. C. D.8.在长方体中，，，，则异面直线BD与所成的角为A. B.C. D. 不能确定，与h有关9.已知m，n是空间内两条不同的直线，，是空间内两个不同的平面，下列说法正确的是A. 若，，则B. 若，，，则C. 若，，则D. 若，，，则10.已知过点和点的直线为，：，：若，，则实数的值为A. B. C. 0 D. 811.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系是A. 相交B. 内切C. 内含D. 外切12.如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上异于点A，，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：平面PAC；平面MOB；平面PAC；平面平面PBC．其中正确的命题的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.点到直线的距离为_______________．14.当a为任意实数时，直线恒过定点______ ．15.圆心为，且经过点的圆的标准方程为______．16.如图，在三棱台中，与平面ABC的位置关系是________，与平面的位置关系是________，AC与平面的位置关系是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.画出图中两个几何体的三视图．18.如图，在三棱柱中，E，F分别是，的中点求证：平面ABC．19.在中，，，若点B与点A关于直线对称，Ⅰ试求直线BC的方程；Ⅱ试求线段BC的垂直平分线方程．20.已知圆C：，求过圆上的点且与该圆相切的直线方程．21.已知圆：与圆：．求两圆公共弦所在直线的方程；求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程．22.如图，四棱锥的底面ABCD为直角梯形，，，，，．证明：平面平面PBC；求四棱锥的体积．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查的知识点是由三视图还原实物图，如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥值由另外一个视图的边数确定；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱值由另外一个视图的边数确定；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱值由另外一个视图的边数确定；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．根据已知的三视图，结合三视图中有两个三角形即为锥体，有两个矩形即为柱体，有两个梯形即为台体，将几何体分解为简单的几何体分析后，即可得到答案．【解答】解：该几何体的正视图和侧视图都是长方形，俯视图是圆，该几何体的直观图是圆柱．故选A．2.答案：B解析：解：设直线的倾斜角为，由题意直线的斜率为，即，．故选：B．设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．3.答案：A解析：解：圆柱的底面积为S，底面半径为：，底面周长为：；又侧面展开图为一个正方形，所以圆柱的高为：，所以圆柱的侧面积为：故选：A．通过圆柱的底面积，求出底面半径，进而求出圆柱的高，然后求圆柱的侧面积．本题考查圆柱的侧面积，考查计算能力，正确认识圆柱的侧面展开图与几何体的关系，是解题的突破口，本题是基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查了直线的斜截式、斜率、截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．将直线化为斜截式：，即可得出斜率和在y轴上的截距．【解答】解：直线化为：．其斜率和在y轴上的截距分别是，6．故选：A．5.答案：A解析：【分析】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：两条直线与垂直，，解得．故选A．6.答案：C解析：解：直线：，：平行，，解得，或．故选：C．利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：D解析：【分析】利用在两坐标轴上截距和为2，设出直线的截距式方程，通过点的坐标求出直线方程即可．本题考查直线的截距式方程的应用，直线方程的应用，注意截距和为2的直线方程的设法，考查计算能力．【解答】解：经过点且在两坐标轴上截距和为2的直线方程设为，代入直线方程可得：，解得，所求直线方程为：．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题考查异面直线所成的角的大小的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．由，知是异面直线BD与所成的角或所成的角的平面角，由此能求出异面直线BD与所成的角为．【解答】解：，是异面直线BD与所成的角或所成的角的平面角，长方体中，，，，，异面直线BD与所成的角为．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查空间线线、线面平行及垂直的性质与判定的应用，属于基础题．由空间中直线与直线、直线与平面、面与面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：若，，则或，故A不正确；B.若，，，，则，故B不正确；C.若，，则或异面，故C不正确；D.若，，，则，故D正确．故选D．10.答案：A解析：解：，，解得．又，，解得．．故选：A．利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出．本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：圆的圆心为，半径等于2，圆的圆心为，半径等于1，它们的圆心距等于，因为，故两个圆相交，故选：A．先求出两个圆的圆心和半径，再根据它们的圆心距与半径之和、差的关系，可得两圆的位置关系．本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于中档题．12.答案：B解析：【分析】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的判定的应用，属于中档题．对于平面PAC，由可证，平面MOB，平面PAC，利用OC 不垂直AC，排除，平面平面PBC，利用平面PAC可证．【解答】解：因为O为AB的中点，点M是线段PB的中点，所以，又因为OM不在平面PAC内，平面PAC，所以平面PAC，故正确；因为平面MOB，故错误；因为OC不垂直AC，所以平面PAC错误；因为，，所以平面PAC，平面PBC，平面平面故正确．故正确的命题的序号．故选B．13.答案：解析：【分析】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：利用点到直线的距离可得，故答案为．14.答案：解析：【分析】本题考查了直线恒过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．当a为任意实数时，直线即，令，解出即可得出．【解答】解：当a为任意实数时，直线即，令，解得，，恒过定点．故答案为：．15.答案：解析：解：设圆的标准方程为，由圆经过点得，从而所求方程为，故答案为：．设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．16.答案：平行；相交；线在平面内解析：【分析】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，根据直线与平面的性质，逐一判断位置关系即可．【解答】解：三棱台，平面平面，平面ABC，，又，四边形为梯形，即与不平行，与平面的位置关系是相交，由题意得，AC在平面内，故答案为平行；相交；线在平面内．17.答案：解：如图如图解析：利用三视图的画法，直接画出几何体的三视图．本题考查三视图的画法，考查作图能力，是基础题．18.答案：证明：如图，连结，因为三棱柱中，四边形是平行四边形，所以点F在上，且为的中点．在中，因为E，F分别是A B，A C的中点，所以．因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC．解析：本题考查线面平行的判定，空间中直线与直线的位置关系．连结，因为三棱柱中，四边形是平行四边形，所以点F在上，且为的中点在中，可得．19.答案：解：，点B与点A关于直线对称，，又两点，由两点式得BC的方程为，即．设BC中点D的坐标为，则，．的斜率，则BC的垂直平分线DE的斜率，由点斜式得直线DE的方程为，即．解析：利用B和C的坐标，根据直线方程的两点式直接求出直线方程即可；根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为求出BC垂直平分线的斜率，由D的坐标，写出线段BC的垂直平分线的方程即可．考查学生会根据一点和斜率或两点坐标写出直线的方程，掌握两直线垂直时斜率的关系．会利用中点坐标公式求线段的中点坐标．20.答案：解：因为所求直线l是圆的切线，，所以，所以，所以直线l的方程为．解析：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，依题意，得，从而求得结果．21.答案：解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即，即．设所求圆的方程为：，则圆心坐标为，圆心在直线上，，解得，故所求圆的方程为：．解析：本题考查求圆的方程与两圆的公共弦所在的直线方程，属于中档题．两圆方程作差得出两圆的公共弦所在的直线方程即可；设所求圆的方程为：，得到圆心，带入直线方程即可．22.答案：解：证明：在中，由，，得，因为，，，所以，即；因为，所以，又，所以平面PAB，又平面PBC，所以平面平面PBC；在平面PAB内，过点P作，交BA的延长线于点E，如图所示；由知平面PAB，因为平面ABCD，所以平面平面，又，所以平面ABCD，因为在中，，，所以；因为底面ABCD是直角梯形，所以四棱锥的体积为．解析：由余弦定理求得PB的值，再根据证得，由得出，即可证明平面PAB，平面平面PBC；过点P作，交BA的延长线于点E，证明平面ABCD，在中求出PE 的值，再计算四棱锥的体积．本题考查了空间中垂直关系的应用问题，也考查了四棱锥体积的计算问题，是中档题．。

高一数学暑假复习参考答案

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高一数学暑假复习参考答案1． 101x +； 2． )25,1[； 3．0=x ； 4．2； 5． 2-； 6． 4=x ； 7．8．23； 9． 8-； 10．257-； 11． ︒50； 12． 23C π=；13． 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，； 14． -10≤≤a ； 15．23π；16． {}2,x x k k Z π=∈； 17． 4； 18． [,2]2π；19．等腰三角形； 20．1(,2)221． (2)(3) ； 22． C ； 23．B ； 24．B ； 25． A ； 26．C ； 27． C ； 28．解：)(,12)(1R x x fx ∈-=-；由已知7412-=-⇒x x0)22)(32(=+-⇒x x 3log 0322=⇒=-⇒x x29．解：(1)因为幂函数过点(2,)2，2a ∴=12a ∴=-12()(0)y f x xx -∴==>(2)(())y f g x ==R240mx mx ∴-+>恒成立 当0m =时，满足当0m ≠时，20160m m m >⎧⎨∆=-<⎩ 016m ⇒<<综上，016m ≤<30．解：(1)()y f x =的定义域为R 关于原点中心对称若()y f x =为奇函数，则(0)0f = 1a ∴=， 此时，2()121x f x =-+ 2222()111()211221x xx x f x f x -⋅∴-=-=-=-+=-+++ 1a ≠当时，2(1)3f a =-，4(1)3f a -=-，(1)(1)f f ∴-≠1a ∴=当时，(x)f 是奇函数；1a ∴≠当时，(x)f 是非奇非偶函数；(2)任取12,x x R ∈，且12x x <，则12()()f x f x -12222121x x a a =--+-- 121212222(22)2121(21)(21)x x x x x x -=-+=++++12x x <12022x x ∴<<，12()()0f x f x ∴-<所以函数()f x 在R 上单调递增 ． 31．(1)解 因为3sin 5α=，2παπ<<，所以，4cos 5α=-，3tan 4α=-所以，22322tan 244tan 271tan 314ααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)解 因为3sin 5α=，2παπ<<，所以，4cos 5α=-，42ππα<<．所以，tan32α=32．解：(1)由已知23421sin 2132⨯⨯⨯==b A bc ，得2=b ． 由余弦定理得1221422164cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ， ∴32=a ．(2)由正弦定理得B B R A A R cos sin 2cos sin 2=，B A 2sin 2sin =∴， ∴B A 22=或︒=+18022B A ，∴B A =或︒=+90B A ，∴ABC ∆为直角三角形或等腰三角形．33．解：(1)如图，在∆ABC 中，AB=12，AC=2×10=20，∠BAC=120° 由余弦定理得：222222cos 12012212202784BC AC AB AB AC BAC=+-⨯⨯⨯∠⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭=∴28BC =(2)又在∆ABC 中，由正弦定理得：sin sin AC BCB A=故sin sin AC A B BC ==∴38.21B≈5038.2111.7911.8-=≈答：缉私艇航行了28海里追上走私艇，航行方向为北偏西约11.8 34．解：(1)由已知1(,4)2M =，所以21log 2x -<<222231()log log (log )2424x x f x x ==-- 所以，函数f (x )在1(,2单调递减，在4)单调递增(2)因为11()6,,(4)024f f f ==-=所以，函数f (x )的值域为1[,6)4-35．解：(1) 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫⎝⎛-=--=B C B A (2)由正弦定理知：sin410c π=710=c ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=36．(1)：sin 0()x x k k Z π≠⇔≠∈得：函数()f x 的定义域为{,}x x k k Z π≠∈ (sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x xf x x x x x-==-⨯sin 2(1cos 2))14x x x π=-+=--得：)(x f 的最小正周期为22T ππ== (2)函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()22k k k Z ππππ-+∈ 则322224288k x k k x k πππππππππ-≤-≤+⇔-≤≤+得：)(x f 的单调递增区间为3[,),(,]()88k k k k k Z ππππππ-+∈37．解：(1)02sin 22sin 2112sin )(2=--=--x ax x a x f02sin =∴x 或a x -=2sin因为原方程在)2,0(π内有两个相异的实数根，sin 20x ≠，sin 2a x =-所以10<-<a (1,0)a ∴∈-(2)02sin 22sin 211)(2≥+-=x ax x f 即022sin 2sin 2≤--x a x 设x t 2sin =则上述不等式可化为022≤--at t 在]1,1[-∈t 恒成立设2)(2--=at t t g则42)2(2)(222a a t at t t g ---=--=当0≥a 时，10,1,01)1()]([max ≤≤∴≤∴≤-=-=a a a g t g当0<a 时，01,1,01)1()]([max <≤-∴-≥∴≤--==a a a g t g 综上，实数a 的取值范围是]1,1[-．38.解：由已知及正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ 又()A B C π=-+，故sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin sin cos sin sin B C B C B C C B +=+则sin cos ,tan 1,4B B B B π===得则（2）11sin 2224ABC S ac B ac ac ∆==⨯=又由余弦定理得：2242cos,24,4a c ac ac π=+-≤则ac a c ≤=等号时成立)，故1ABC ∆+39.,0 1.1BP t t CP t =≤≤=-解:（1）设则145,tan(45),1tDAQ DQ tθθ︒︒-∠=-=-=+ - 121.11t tCQ t t-=-=++ 222221(1)()11t t PQ CP CQ t t t+∴=+=-+=++2-211 2.11t t l CP PQ QC t t t +=++=-++=++2=定值-11(2)1221ABP ADQ ABCD t tS S S S t∆∆-=--=--⋅+正方形 当 122(1)2221t t =-++≤-+当且仅当t=2-1时取等号.22-探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 至少()为平方百米 3sin()2A C +=, 即3sin 2B =, 13sin 3.24ABC S ac B ∆== 3.ac ∴= 由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=,得22()22cos ,b a c ac ac B =+--若1cos 2B =,则217()23(1).2a c =+-⋅+4a c ∴+=, 若1cos 2B =-,则217()23(1).2a c =+-⋅-10a c ∴+=,经检验,不成立(舍)故4a c +=41.(1)由题意可得2=A π22=T 即π4=T ,21=ω )21cos(2)(ϕ+=x x f ,1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ,得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f(2)由于1cos 3θ=且θ为锐角,所以322sin =θ DP45θ)2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=42.(1)在POC ∆中,32π=∠OCP ,1,2==OC OP 由32cos2222πPC OC PC OC OP ⋅-+= 得032=-+PC PC ,解得2131+-=PC . (2)∵CP ∥OB ,∴θπ-=∠=∠3POB CPO ,在△POC 中,由正弦定理得θsin sin CPPCO OP =∠,即θπsin 32sin 2CP = ∴θsin 34=CP ,又32sin )3sin(πθπCP OC =-)3sin(34θπ-=∴OC . 解法一:记△POC 的面积为)(θS ,则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=, 23)3sin(34sin 3421⨯-⋅⋅=θπθ)3sin(sin 34θπθ-⋅= )sin 21cos 23(sin 34θθθ-=θθθ2sin 32cos sin 2-= 332cos 332sin -+=θθ33)62(sin 332-+=πθ∴6πθ=时,)(θS 取得最大值为33. 解法二:212432cos 22-=⋅-+=PC OC PC OC π即422=⋅++PC OC PC OC ,又PC OC PC OC PC OC ⋅≥⋅++322即43≤⋅PC OC当且仅当PC OC =时等号成立, 所以3323342132sin 21=⨯⨯≤⋅=πOC CP SPC OC = ∴6πθ=时,)(θS 取得最大值为33.。

高一数学暑假补充练习习题

高一数学暑假补充练习习题

高一数学暑假补充练习习题18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，已知矩形的长为2，宽为1，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合(如图所示)。

将矩形折叠，使点落在线段上.(1)若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程;(2)当时，求折痕长的最大值;(3)当时，折痕为线段，设，试求的最大值.19.(本小题满分16分)若定义在R上的函数对任意的，都有成立，且当时， .(1)求的值;(2)求证：是R上的增函数;(3) 若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.20.(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{an}的公差d不等于0，设a1、a3、ak是公比为q的等比数列{bn}的前三项.(1) 若k=7，a1=2.① 求数列{anbn}的前n项和Tn;② 将数列{an}与{bn}中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{cn}，设其前n项和为Sn，求-22n-1+32n-1的值;(2)若存在mk，mN*使得a1、a3、ak、am成等比数列，求证：k为奇数.十一参考答案一、填空题：1.答案：2 解析：或，.2.答案：-3 解析：f(-x)+ f(x)=2，f(-1)+ f(1)=2，f(1)=-3.3.答案：1，3 解析：ax2-bx+2=0两根为1、2即得.4.答案：4 解析：由得=11，由斜率公式得.5.答案：y=sin(2x-)+1解析：略.6.答案：160 解析：公差d = a1，4a1 +=1，a1= 0.1 a4= 0.4 最大的一组的频数为0.4400=160.7.答案：-a 解析：.8.答案：①②③ 解析：算法的功能是每循环一次，实现a、b的一次互换，并最终输出c的绝对值.9.答案：解析：在AB上取点D，使ACD =30，可设AC=a，则AB=，由正弦定理求得AD=，由几何概型可得.10.答案：解析：(当且仅当时等号成立).11.答案：解析：.12.答案：解析：由题意A、B两点在直线的异侧，则，画出其区域，原点到直线的距离的平方为的最小值.13.答案：解析：原式即，为公差是1的等差数列，14.答案：解析：画出的简图，由题意可知，二、解答题：15.解：(1)易得集合，集合，由得所以m=5.(2)由(1)得，因为，所以，解得.16.解：(1)由得，，又B=(A+C)，得cos(AC)cos(A+C)=，即cosAcosC+sinAsinC(cosAcosCsinAsinC)=，所以sinAsinC=;(2)由b2=ac及正弦定理得，故.于是，所以或.因为cosB =cos(AC)0，所以，故.由余弦定理得，即，又b2=ac，所以得a=c.因为，所以三角形ABC为等边三角形.17.解：(1).因为，所以，故函数的值域为.(2)由得，令，因为，所以，所以对一切的恒成立.当时，;当时，恒成立，即，因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.综上，.18.解：(1) ①当时,此时点与点重合, 折痕所在的直线方程②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标(线段的中点)为折痕所在的直线方程，即由①②得折痕所在的直线方程为：(2)当时，折痕的长为2;当时，折痕直线交于点，交轴于折痕长度的最大值为.而 ,故折痕长度的最大值为(3)当时，折痕直线交于，交轴于∵ (当且仅当时取=号)当时，取最大值，的最大值是.19.解：(1)定义在R上的函数对任意的，都有成立令(2)任取，且，则是R上的增函数(3)∵，且，由不等式得由(2)知：是R上的增函数，令则，故只需 .当即时,当即时,当即时,综上所述, 实数的取值范围 .20.解：(1)因为k=7，所以a1、a3、a7成等比数列.又{an}是公差d0的等差数列，所以(a1+2d)2=a1(a1+6d)，整理得a1=2d.又a1=2，所以d=1.b1=a1=2，q====2，所以an=a1+(n-1)d=n+1，bn=b1qn-1=2n .① 用错位相减法可求得{anbn}的前n项和为Tn=n② 因为新的数列{cn}的前2n-n-1项和为数列{an}的前2n-1项的和减去数列{bn}前n项的和，所以=-=(2n-1)(2n-1-1).所以-22n-1+32n-1=1.(2)证明：由(a1+2d)2=a1[a1+(k-1)]d，整理得4d2=a1d(k-5).因为d0，所以d=，所以q===.因为存在mk，mN*使得a1、a3、ak、am成等比数列，所以am=a1q3=a13又在正项等差数列{an}中，am=a1+(m-1)d=a1+，所以a1+=a13，又a10，所以有2[4+(m-1)(k-5)]=(k-3)3，因为2[4+(m-1)(k-5)]是偶数，所以(k-3)3也是偶数，即k-3为偶数，所以k为奇数.。

2020年高一暑假数学补习题 (35)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (35)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (35)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若cos(π4−α)=35，则sin2α=( )A. 725B. 15C. −15D. −7252. 若1a <1b <0，则下列结论正确的是( )A. |a|>|b|B. ba <1C. ab <b 2D. ab >b 23. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2015=S 2015=2015，则首项a 1=( )A. 2015B. −2015C. 2013D. −2013 4. 当θ∈(0,π)时，若cos(5π6−θ)=−35，则tan(θ+π6)的值为( )A. 43B. −43C. 34D. −345. 实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≤0,2x +y ≥0,y (y −m )≤0,若z =3x +y 的最大值为5，则正数m 的值为( )A. 2B. 12C. 10D. 1106. 在△ABC 中，A ，B 、C 为其三内角，满足tan A ，tan B 、tan C 都是整数，且A >B >C ，则下列结论中错误的是( )A. A >2π5B. B >π3C. A <4π9D. B <5π12 7. 在△ABC 中，有a 2+b 2−c 2=ab ，则角C 为( )A. 60°B. 120°C. 30°D. 45°或135°8. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0则S5S 2=( )A. −11B. −8C. 5D. 119. 已知tanθ=12，则tan(π4−2θ)=( )A. 7B. −7C. 17D. −1710. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n−1，令c n =log 3a 2n ，b n =1cn ⋅c n+2，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N ∗，λ<T n 恒成立，则实数λ的取值范围为 ( )A.B.C.D.11. 若2cos2α=sin(π4−α)，则sin2α的值为( )A. −√158B. √158C. 1或−78D. 7812.数列{a n}中，若S n=3a n−1−1(n≥2,n∈N∗)，a1=1，则a2=()A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.化简3sin2x+√3cos2x=______ ．14.若不等式x2−2x+3≤a2−2a−1在R上的解集是⌀，则实数a的取值范围是____________．15.数列b n=a n cos nπ3的前n项和为S n，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{a n}为等差数列，则S2019=______．16.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=π3，cos∠ADB=17，则△BCD的面积______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=λn2−16n+m．(1)当λ=2时，求通项公式a n；(2)设{a n}的各项为正，当m=15时，求λ的取值范围．18.已知f(x)=ax−1x2−1(Ⅰ)解关于a的不等式ax−1x2−1>0的解集是{a|a>13}，求x的值；(Ⅱ)解关于x的不等式：ax−1x2−1>0(a≤0)19.已知函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+12．(1)求f(π4)的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x∈[π4,5π12]时，求f(x)的值域．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC+cosAcosB=2cosAsinB．(1)求tan B；(2)若b=2√5，AB边上的中线CD=√17，求△ABC的面积．21.在数列{a n}中，a1=1，并且对于任意n∈N∗，都有．a n+1=a n2a n+1(1)证明数列{1a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n a n+1}的前n项和T n．22.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=8−a3，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项、公差及前n项和．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sinαcosα的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【解答】 解：，即，平方可得，∴sinαcosα=−750，则sin2α=2sinαcosα=−725． 故选D ． 2.答案：C解析：解：根据题意，若1a <1b <0，则有b <a <0，据此依次分析选项可得： 对于A 、b <a <0⇒|a|<|b|，故A 错误； 对于B 、由于b <a <0，则ba =|b||a|>1，故B 错误； 对于C 、b <a <0，同乘b 可得，b 2>ab ；故C 正确； 对于D 、由C 分析可得，D 错误； 故选：C ．根据题意，由1a <1b <0分析可得b <a <0，据此依次分析选项可得，即可得答案． 本题考查不等式的性质，关键是利用1a <1b <0分析出a 、b 的关系．3.答案：D解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意可得a 2015=a 1+2014d =2015， S 2015=2015a 1+2015×20142d =2015联立解得a 1=−2013，d =2， 故选：D设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得a 1和d 的方程组，解方程组可得．本题主要考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查学生的计算能力． 4.答案：A解析：解：∵cos(5π6−θ)=−35，∴cos(θ+π6)=cos[π−(5π6−θ)]=−cos(5π6−θ)=35，∵θ∈(0,π)，∴θ+π6∈(π6,7π6)，∴sin(θ+π6)=√1−cos 2(θ+π6)=45， 则tan(θ+π6)=sin(θ+π6)cos(θ+π6)=43．故选：A ．由已知求得cos(θ+π6)，再由同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 5.答案：A解析：【分析】本题考查了简单线性规划，属于中档题．由题意作出其平面区域，将z =3x +y 化为y =−3x +z ，z 相当于直线y =−3x +z 的纵截距，由此联立{3x +y =52x −y =0找到最优解，从而可求出m 即可．【解答】解：由题意作出实数x ，y 满足不等式组{2x −y ≤02x +y ≥0y(y −m)≤0的平面区域，将z =3x +y 化为y =−3x +z ，z 相当于直线y =−3x +z 的纵截距， 故结合图象可得{3x +y =52x −y =0, 解得x =1，y =2．故直线y =−3x +z 经过点(1,2)时取得最大值， 由图得m =2． 故选：A ． 6.答案：A解析：解：△ABC 中，由于A >B >C ， 所以B ，C 都是锐角，由于tan B ，tan C 都是整数，由A+B+C=π，得tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC =tanB+tanCtanBtanC−1>0，可得A也为锐角，这时，tanC≥1，tanB≥2，tanA≥3，可得：tanA+tanBtanAtanB−1=tanC≥1，即(tanA−1)(tanB−1)≤2，由于：tanA−1≥2，tanB−1≥1，比较可知只可能tanA=3，tanB=2，tanC=1，由于：tanB>√3，可知B>π3，故B正确；由于：tan5π12=2+√3>tanA，可知A<5π12，又5π12<4π9，故选项C正确；又由于5π12>A>B，可得选项D正确；故选：A．由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tanA=tanB+tanCtanBtanC−1>0，可得A也为锐角，由tanC≥1，tanB≥2，tanA≥3，可得(tanA−1)(tanB−1)≤2，结合tanA−1≥2，tanB−1≥1，比较可知只可能tanA=3，tanB=2，tanC=1，逐项分析即可得解．本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．7.答案：A解析：解：△ABC中，∵a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，故C=60°，故选：A．由条件利用余弦定理求得cos C的值，即可求得C的值．本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．8.答案：A解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属于基础题．先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．【解答】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0，解得q=−2，所以S5S2=1−q51−q2=−11．故选A．9.答案：D解析：解：由tanθ=12得，tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×121−14=43，所以tan(π4−2θ)=tanπ4−tan2θ1+tanπ4tan2θ=1−4 31+43=−17，故选：D．由题意和二倍角的正切公式求出tan2θ的值，由两角差的正切公式求出tan(π4−2θ)的值．本题考查了两角差的正切公式，以及二倍角的正切公式，属于基础题．10.答案：D解析：【分析】本题考查了数列的函数特征和裂项相消法，属于较难题．b n=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，由裂项相消得T n=13−14(12n+1+12n+3)，由于T n随着n的增大而增大，则T n的最小值为T1=15，即可得出结果．【解答】解：∵a n=3n−1，c n=log3a2n，∴c n=2n−1，∴c n+2=2n+3，则b n=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，∴T n=14(1−15+13−17+15−19+⋯+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3)=14(1+13−12n+1−12n+3)=13−14(12n+1+12n+3)，由于T n随着n的增大而增大，∴T n的最小值为T1=15，∴λ的取值范围为λ<15，故选D．11.答案：C解析：解：若2cos2α=sin(π4−α)，即2(cos2α−sin2α)=√22cosα−√22sinα，显然，cosα=sinα时，满足条件，此时，tanα=1，sin2α=1．cosα≠sinα，则2(cosα+sinα)=√22，即cosα+sinα=√24，∴1+2sinαcosα=18，即sin2α=2sinαcosα=−78．综上可得，sin2α=1或−78，故选：C ．利用二倍角的余弦公式求得cosα+sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，求得sin2α的值．本题主要考查二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12.答案：D解析：【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，是基本知识的考查． 直接利用数列的递推关系式，通过n =2，求解即可． 【解答】解：数列{a n }中，若S n =3a n−1−1(n ≥2,n ∈N ∗)，a 1=1， 可得a 1+a 2=S 2=3a 1−1=2，所以a 2=1， 故选：D ．13.答案：2√3sin(2x +π6)解析：解：3sin2x +√3cos2x =2√3(√32sin2x +12cos2x)=2√3sin(2x +π6)，故答案为：2√3sin(2x +π6).先提取公因式2√3进而利用两角和与差的正弦函数公式求得答案．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用．属基础题． 14.答案：{a|−1<a <3}解析：【分析】本题考查学生掌握二次函数与x 轴有无交点的判断方法，考查了一元二次不等式的解法，是一道综合题．把不等式的右边移项到左边合并后，设不等式的坐标为一个开口向上的抛物线，由不等式的解集为空集，得到此二次函数与x 轴没有交点即根的判别式小于0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围．【解答】解：由x 2−2x +3≤a 2−2a −1移项得：x 2−2x +3−a 2+2a +1≤0，因为不等式的解集为⌀， 所以△=4−4(3−a 2+2a +1)<0，即a 2−2a −3<0，分解因式得：(a −3)(a +1)<0， 解得：−1<a <3，故答案为{a|−1<a <3}．15.答案：666解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式与数列求和，三角函数求值，属于较难题．求得数列{b n }的连续6项之和，再由S 2017=5710，S 2018=4030，表示数列{a n }的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和． 【解答】解：设数列{a n }为公差d 的等差数列，+a 6k+4cos4π3+a 6k+5cos5π3+a 6k+6cos2π=12(a 6k+1−a 6k+2)+12(a 6k+5−a 6k+4) −a 6k+3+a 6k+6 =−a 6k+3+a 6k+6，， 由S 2017=5710，S 2018=4030，可得5710=−(a 3+a 9+⋯+a 2013)+ (a 6+a 12 +⋯+a 2010+a 2016)+12a 2017， 4030=−(a 3+a 9+⋯+a 2013)+ (a 6+a 12+⋯ +a 2010+a 2016)+12a 2017−12a 2018， 两式相减可得a 2018=3360，由5710=1008d +12(3360−d)，解得d =4， 则a 2019=a 2018+d =3364，可得S 2019=4030−a 2019=4030−3364=666． 故答案为：666．16.答案：15√34解析：解：△ABD 中，因为cos∠ADB =17，∠ADB ∈(0,π)， 所以sin∠ADB =√1−(17)2=4√37， 根据正弦定理得，BDsin∠A =ABsin∠ADB ， 代入AB =8，∠A =π3，解得BD =7； 在△BCD 中，根据余弦定理得 cos∠C =BC 2+CD 2−BD 22BC⋅CD=32+52−722×3×5=−12，又∠C ∈(0,π)，所以∠C =2π3；所以△BCD 的面积为S △BCD =12BC ⋅CD ⋅sin∠C =12×3×5×sin2π3=15√34．由已知可求sin∠ADB 的值，根据正弦定理即可解得BD 的值，利用余弦定理求得∠C 的值，再计算△BCD 的面积．本题主要考查了正弦、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用问题，是中档题．17.答案：解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =λn 2−16n +m ．当λ=2时，S n =2n 2−16n +m①．所以：S n−1=2(n −1)2−16(n −1)+m②，①−②得：a n =S n −S n−1，=4n −18故：a n ={−14+m (n =1)4n −18(n ≥2)． (2)由m =15时，当n =1时，a 1=S 1=λ−1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2λn −λ−16，所以：由于数列的各项为正数，故：{λ−1>02λ>02λ⋅2−λ−16>0， 解得：λ>163故λ的取值范围是：{λ|λ>163}.解析：(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用数列的各项为正数，建立不等式，进一步求出参数λ的取值范围．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.答案：解：(Ⅰ)由于关于a 的不等式ax−1x 2−1>0的解集是{a|a >13}，可得13x−1x 2−1=0，求得x =3． (Ⅱ)关于x 的不等式：ax−1x 2−1>0(a ≤0)，即(ax −1)(x 2−1)>0，即(−ax +1)(x 2−1)<0．当−1<a <0时，1a <−1，求得它的解集为{x|x <1a ，或−1<x <1}．a =−1时，不等式即−(x+1)(x+1)(x−1)>0，可得它的解集为{x|x <1，且x ≠−1}，a <−1时，0>1a >−1，求得它的解集为{x|x <−1，或1a <x <1}．解析：(Ⅰ)由题意可得13x−1x 2−1=0，求得x =3．(Ⅱ)关于x 的不等式：ax−1x 2−1>0(a ≤0)，即(ax −1)(x 2−1)>0，即(−ax +1)(x 2−1)<0，分类讨论a 的范围，求得它的解集．本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 19.答案：解：(1)∵f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12，∴f(π4)=√3sin π4cos π4−cos 2π4+12，=√32−12+12=√32． (2)由f(x)=√3sinxcosx −cos 2x +12，=√32sin2x −12(cos2x +1)+12，=sin(2x −π6)， 令：2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，(k ∈Z)，解得：kπ−π6≤x ≤kπ+π3，(k ∈Z)所以函数的单调增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈z)(3)∵x ∈[π4,5π12]， ∴π3≤2x −π6≤2π3， ∴√32≤sin(2x −π6)≤1，故函数的值域为[√32,1]．解析：(1)直接利用函数的关系式求出函数的值．(2)利用三角函数的关系式的恒等变换求出函数的关系式为正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间．(3)利用函数的关系式，根据函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，利用函数的定义域求函数的值域，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.答案：解：(1)由cosC +cosAcosB =2cosAsinB ，得cos[π−(A +B)]+cosAcosB =2cosAsinB ，即−cosAcosB +sinAsinB +cosAcosB =2cosAsinB ，∴sinAsinB =2cosAsinB ，∵sinA ≠0，∴sinA =2cosA ，则tanA =2．(2)由(1)得，cosA =√55，sinA =2√55， 在△ACD 中，CD 2=b 2+(c 2)2−2⋅b ⋅c 2⋅cosA ，代入条件得c 2−8c +12=0，解得c =2或6，当c =2时，S △ABC =12bcsinA =4；当c=6时，S△ABC=12bcsinA=12．解析：本题考查三角形的解法，考查余弦定理的应用，是基础题．(1)将C=π−(A+B)代入化简求值即可；(2)在△ACD中，由余弦定理解得c=2或6，利用面积公式求解即可．21.答案：(1)证明：∵在数列{a n}中，a1=1，并且对于任意n∈N∗，都有．a n+1=a n2a n+1，∴1a1=1，1a n+1=2a n+1a n=1a n+2，∴{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴1a n=1+(n−1)⋅2=2n−1，∴a n=12n−1．(2)解：∵a n a n+1=12n−1⋅12n+1=12(12n−1−12n+1)，∴T n=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n2n+1．解析：(1)由已知条件得1a1=1，1a n+1=2a n+1a n=1a n+2，由此能证明{1a n}是首项为1，公差为2的等差数列，从而得到a n=12n−1．(2)由a n a n+1=12n−1⋅12n+1=12(12n−1−12n+1)，利用裂项求和法能求出数列{a n a n+1}的前n项和T n．本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．22.答案：解：设该数列公差为d(d≠0)，前n项和为S n．由已知，可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).(4分)所以a1+d=4，d(d−3a1)=0，解得，a1=1，d=3，(8分)即数列{a n}的首项为1，公差为3.(10分)所以数列的前n项和S n=3n2−n2(12分)解析：利用a1=8−a3，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，求出首项为1，公差为3，即可求出数列的前n项和．基本量法是解决数列问题的首选方法．。

2020年高一暑假数学补习题 (12)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (12)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (12)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. 0C. 2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2. sin5π3 的值是( )A. 12B. −12C. √32 D. −√323. 某学校从编号依次为001，002，…，180的180个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中一组的编号为23，相邻间距为15，则该样本中来自最后一组的学生的编号为( ) A. 008 B. 170 C. 180 D. 173 4. 函数f (x )=√22sin (2x +π4)+12的最小正周期为( )A. π2B. πC. 2πD. 4π5. 随机变量ξ的取值为0，1，2，若P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，则方差D(ξ)=( )A. 15B. f′(x)=0C. √55 D. 2√556. 已知sinθ=35，θ∈(π2,π)，则tan(θ+π4)=( )A. −7B. 7C. −17D. 177. 如图所示的程序框图，输出的结果是S =2017，则输入A 的值为( )A. 2018B. 2016C. 1009D. 10088. 一项射击实验的标靶为圆形．在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( )A. 50%B. 3πC. 0.2πD. 2π9. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，则a ⃗ 2−a ⃗ ·b⃗ =( ) A. 0 B. −1 C. 2或−2D. 1210. 将函数f(x)=sin(2x −π4)图象上的所有点向左平移π4个单位长度，则所得图象的函数解析式是( )A. y =sin(x −π4) B. y =cos(x +π4) C. y =sin(2x +π4)D. y =cos(2x −π4)11. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9 B. 8 C. 7D. 10 12. 函数y =sinxcosx +sinx +cosx 取最大值时x 的值为( )A. 2kπ+π2B. 2kπ−π2C. 2kπ+π4D. 2kπ−π4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(−2,1)，则|2a ⃗ −b ⃗ |= ______ ． 14. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则φ的值是________．15. 已知sin(π4−x 2)=35，x ∈(0,π2)，则tanx = ______ ．16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =2，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12,则CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =_____________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(−1,2)，若m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 共线，求m 的值．18.分数区间[50,70][70,90][90,110][110,130][130,150]人数28323820(2)现从成绩在[70,110)中按照分数段，采取分成抽样的方法随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．19.已知α，β都是锐角，sinα=4√37，cos(α+β)=−1114，求β的值．20.已知：a⃗=(2cosx,sinx)，b⃗ =(√3cosx,2cosx)，设函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −√3(x∈R)求：(1)f(x)的最小正周期；(2)f(x)的单调递增区间．21.已知函数f(x)=√32sinωx+32cosωx(ω>0)的周期为4．(1)求f(x)的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．22. 观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度(单位：毫米/月)与月平均气温的对比表如下：(斜率和截距均保留为三位有效数字)；(2)利用(1)中的线性回归方程，分析气温从−50C 至200C 时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是20C 时，预测这月大约能生长多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ^=∑(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2,a ^=y .−b ^x .．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加减法运算，考查了计算能力，属于基础题．根据向量加法的平行四边形法则即可得出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出正确选项． 【解答】解：∵ABCD 是平行四边形， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选A ． 2.答案：D解析：【分析】本题考查运用诱导公式化简求值，属于基础题，利用诱导公式sin(2π−α)=−sinα即可求得sin 5π3 的值． 【解答】解：∵sin 5π3=sin(2π− π3 )=−sin π3 =− √32．故选D ． 3.答案：D解析：【分析】本题考查系统抽样.因为相邻间距为15，所以样本容量为12，设最后一组的编号为23+15n ≤180，n ≤10，再通过计算即可得出最后一组的学生的编号． 【解答】解： 因为相邻间距为15，所以样本容量为12， 设最后一组的编号为23+15n ≤180，n ≤10， 所以最后一组的编号为23+15×10=173． 故答案选D ． 4.答案：B解析：【分析】本题考查了三角函数的性质，直接利用即可．解析：解：因为f(x)=√22sin (2x +π4)+12，所以周期T =2π2=π，选B ．5.答案：B解析：【分析】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算问题，是中档题．设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ，则由P(ξ=0)=15，E(ξ)=1，列出方程组，求出p =35，q =15，由此能求出D(ξ)． 【解答】解：设P(ξ=1)=p ，P(ξ=2)=q ， 则由已知得p +q +15=1①， E(ξ)=0×15+1×p +2×q =1②，由①②组成方程组，解得p =35，q =15；所以D(ξ)=(0−1)2×15+(1−1)2×35+(2−1)2×15=25． 故选B ．6.答案：D解析：解：∵sinθ=35，θ∈(π2,π)，∴cosθ=−√1−sin 2θ=−45，tanθ=sinθcosθ=−34， 则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=1474=17，故选：D ．利用同角三角的基本关系求得cosθ的值，可得tanθ的值，再利用两角和的正切公式求得tan(θ+π4)的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于基础题． 7.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S =2A +1的值， 由题意，可得：2017=2A +1，解得：A =1008． 故选：D ．根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案． 本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题． 8.答案：D解析：解：设圆的内接正方形的边长为a ，则圆的半径为√22a.∴在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是2π⋅(√22a)=2π．故选D ．求在子弹命中标靶的前提下，一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率，即以面积为测度，利用面积比可得结论．本题考查几何概型，考查图形面积的计算，属于基础题． 9.答案：A解析：【分析】本题考查了向量的坐标运算，向量的数量积，考查了考生的计算能力，属基础题．利用向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)，即可得求得a ⃗ 2−a ⃗ ·b ⃗ 的值．【解答】解：因为a⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,4)， 所以a ⃗ 2=|a ⃗ |2=1+4=5，a⃗ ⋅b ⃗ =−1×3+2×4=5， 所以a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =5−5=0． 故选A ． 10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题． 利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求所得图象的解析式． 【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移π4个单位， 所得图象的解析式是y =sin[2(x +π4)−π4]=sin(2x +π4)， 故选C ．11.答案：A解析：解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=9．故选：A ．直接利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查计算能力． 12.答案：C解析：【分析】设sinx +cosx =t ，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出t 的范围，表示出设sin x cosx ，表示出y 与t 的关系式，利用二次函数的性质求出y 最大值时t 的值，即可确定出此时x 的值．此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，辅助角公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 【解答】解：设sinx +cosx =t ，即√2sin(x +π4)=t ，则t ∈[−√2,√2]，sinxcosx =t2−12，∴y =t 2−12+t =12(t +1)2−1，易知当t =√2时，y 取得最大值， 即√2sin(x +π4)=√2，故x+π4=2kπ+π2(k∈Z)，∴x=2kπ+π4(k∈Z)．故选：C．13.答案：5解析：解：∵a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−2,1)，∴2a⃗−b⃗ =(4,−3)，∴|2a⃗−b⃗ |=√16+9=5，故答案为：5．由条件求得2a⃗−b⃗ 的坐标，从而求得|2a⃗−b⃗ |的值．本题主要考查两个向量坐标形式的运算，求向量的模，属于基础题．14.答案：−π3解析：【分析】本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据图形，求出正确与ω的值，再由函数y的图象经过点(5π12,2)，结合|φ|<π2，即可求出φ的值．【解答】解：根据图形知，函数的周期34T=5π12−(−π3)=34π，所以ω=2πT =2ππ=2；又y=2sin(2x+φ)的图象经过(5π12,2)，所以2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z；所以φ=2kπ−π3，k∈Z；又|φ|<π2，所以φ=−π3．故答案为−π3．15.答案：724．解析：解：∵sin(π4−x2)=sinπ4cos x2−cosπ4sin x2=35，∴cos x2−sin x2=3√25，∴两边平方可得：1−sinx=1825，∴可解得：sinx =725， ∵x ∈(0,π2)， ∴cosx =√1−sin 2x =2425，∴tanx =sinx cosx =7252425=724．故答案为：724．由和差角的公式化简可得cos x2−sin x2=3√25，两边平方可解得sinx =725，由x ∈(0,π2)，从而由同角三角函数关系式解得cos x ，tan x 的值．本题考查同角三角函数的基本关系，以及和差角的三角函数公式，属基础题．16.答案：−43解析：【分析】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量数量积运算，属中档题．建立直角坐标系，根据题意及向量数量积关系解出a ，从而得出向量CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，最后通过向量数量积关系运算求出CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系， 设A(0,a)，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,a 2)⋅(1,−a)=32−a 22=−12，解得a =2， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−43,43)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)， 所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43． 故答案为−43．17.答案：解：m a ⃗ +4b ⃗ =(2m,3m)+(−4,8)=(2m −4,3m +8)，a ⃗ −2b ⃗ =(2,3)−(−2,4)=(4,−1)，由题意得4×(3m +8)−(−1)×(2m −4)=0，解得m =−2． 故m =−2．解析：本题考查了向量的平行的坐标运算，分别得出m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ ，由向量平行的坐标运算得4(3m +8)−(−1)(2m −4)=0，解出即可．18.答案：解：(1)依题意，所求平均成绩为2×60+8×80+32×100+38×120+140×20100=113.2．(2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ， [90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，则抽取2人，所有情况为：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(C,D)，(C,a)，(D,a)，共10种， 其中满足条件的有：(A,a)，(B,a)，(C,a)，(D,a)，共4种， ∴恰有1人的成绩在[70,90)上的概率为p =410=25．解析：(1)利用得分情况统计表能求出唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩． (2)依题意，由分层抽样方法知[70,90)的抽取1人，记为a ，[90,110)抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，利用列举法能求出恰有1人的成绩在[70,90)上的概率．本题考查平均成绩的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.答案：解：∵α，β都是锐角，sinα=4√37，cos(α+β)=−1114， ∴cosα=17，sin(α+β)=5√314，∴cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(−1114)×17+5√314×4√37=12．∵β是锐角，∴β=π3．解析：利用角的范围求出相关的三角函数值，然后利用两角和与差的三角函数求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查角的变换技巧以及计算能力，是基础题． 20.答案：解：(1)函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −√3 =2cosx ⋅√3cosx +2sinxcosx =√3⋅2cos 2x +sin2x =√3(1+cos2x)+sin2x =2(12sin2x +√32cos2x)+√3=2sin(2x +π3)+√3．∴T =2π2=π． (2)由−π2+2kπ≤2x +π3≤π2+2kπ(k ∈Z)．解得−5π12+kπ≤x ≤kπ+π12(k ∈Z)．∴f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12](k ∈Z)．解析：(1)利用数量积和倍角公式即可化简f(x)，再利用周期公式T =2πω即可得出；(2)利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了数量积和倍角公式、三角函数的周期性、单调性等基础知识，属于基础题．21.答案：解：(1)f(x)=√32sinωx +32cosωx(ω>0)=√3(12sinωx +√32cosωx)=√3sin(ωx +π3)， 由于函数的周期为4=2πω，得ω=π2， 故f(x)=√3sin(π2x +π3).(2)将f(x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)=√3sin π2x.因为P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1,√3)、Q(3,−√3).所以OP =2，PQ =4，OQ =√12，cosθ=OQ 2+PQ 2−OP 22OQ⋅QP =√32， ∴θ=π6．解析：本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图象周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，属于中档题．(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)=√3sin(ωx +π3)，根据函数的周期为4=2πω，求得ω的值，可得f(x)的解析式．(2)由条件根据y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，可得函数g(x)=√3sin π2x ，求出P 、Q 的坐标，利用余弦定理求得cosθ的值，可得θ的值．22.答案：解：(1)由题可知，t .=17×(−5+0+6+8+12+15+20)=8 y .=17×(2+4+5+6+7+8+10)=6，∑t i 7i=1y i =−10+0+30+48+84+120+200=472，∑t i 27i=1=25+0+36+64+144+225+400=894，则b ^=∑t i 7i=1y i −7ty ∑t i 27i=1−7t 2=472−7×48894−7×64≈0.305， a ^=y .−b ^t .≈6−0.305×8=3.560， 于是生长速度y 关于温度t 的线性回归方程为：y ^=3.560+0.305t ；(2)利用(1)的线性回归方程可以发现，气温从月平均气温从−50C 至200C 时该植物生长速度逐渐增加， 如果某月的平均气温是20C 时，预测这月大约能生长3.56+0.305×2=4.17mm ．解析：(1)由题意计算t .、y .，求出回归系数，即可写出回归方程；(2)利用(1)的线性回归方程，作出概率分析和预测．本题考查了线性回归方程求法与应用问题，是基础题目．。

2020年暑假高一数学补习题 (1)-0712(解析版)

2020年暑假高一数学补习题 (1)-0712(解析版)

2020年暑假高一数学补习题 (1)一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线√2x +√6y +1=0的倾斜角是( )A. 5π6B. π6C. π3D. 2π3 2. 抛掷两颗骰子，两颗骰子的点数之和不小于9的概率是( )A. 12B. 29C. 14D. 112 3. (1)某学校为了了解2015年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本；(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会． (1)，(2)依次用到的抽样方法正确的是( )A. 分层抽样法，简单随机抽样法B. 简单随机抽样法，系统抽样法C. 系统抽样法，分层抽样法D. 分层抽样法，系统抽样法4. 从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是( )A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”5. 已知不同的两条直线m ，n 与不重合的两平面α，β，下列说法正确的是( )A. 若m//n ，m//α，则n//αB. 若m//α，α//β，则m//βC. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥αD. 若m ⊥n ，m ⊥α，则n ⊥α 6. 如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，方差为s 2，则2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的平均数和方差分别为( )A. x −和s 2B. 2x −−3和s 2C. 2x −−3和4s 2D. 2x −−3和4s 2−12s +97. 在△ABC 中，cosA =√55，cosB =3√1010，则△ABC 的形状是( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形8. 如图，在正四棱锥S −ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP//BD ；③EP//面SBD ；④EP ⊥面SAC ，其中恒成立的为( )A. ①③B. ③④C. ①②D. ②③④二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 圆心是C(−3,4)，半径长为5的圆的方程为__________．10.某中学高一年级有1400人，高二年级有1320人，高三年级有1280人，以每人被抽到的机会为0.02，从该中学学生中抽取一个容量为n的样本，则n=________．11.已知三条直线x−2y=1，2x+ky=3，3kx+4y=5相交于一点，则k的值为________．12.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，该圆锥的体积为83π，则该圆锥的侧面积等于______．13.函数f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)的最大值为______．14.已知直线l：kx−y−k+2=0与圆C：x2+y2−2y−7=0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.求过点(2,−1)且与直线3x−4y−2=0平行的直线方程．16.某社区有居民500人，为了迎接第十一个“全民健身日”的到来，居委会从中随机抽取了50名居民，统计了他们本月参加户外运动时间(单位：小时)的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)试估计该社区所有居民中，本月户外运动时间不小于16小时的人数；(Ⅱ)已知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20]，现从户外运动时间在[18,20]的样本对应的居民中随机抽取2人，求至少抽到1名女性的概率．17.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，其外接圆半径为6，b1−cosB =24，sinA+sinC=43(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.已知函数f(x)=2√3sinωxcosωx−cos2ωx+sin2ωx(ω>0)的最小正周期T=π．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若把f(x)图像向左平移π6个单位，得到g(x)的图像，当x∈[−π2,0]时，求函数g(x)的最大值和最小值及对应的x的值．19.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=√6，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，M，N分别为BC和PB的中点．．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PMA；(Ⅱ)求四面体M−AND的体积．20.已知圆C1与y轴相切于点(0,3)，圆心在经过点(2,1)与点(−2,−3)的直线l上．(Ⅰ)求圆C1的方程；(Ⅱ)圆C1与圆C2：x2+y2−2x+2y−9=0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：直线√2x+√6y+1=0的斜率k=−√33，∴直线√2x+√6y+1=0的倾斜角α=5π6．故选：A．先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线的斜率的灵活运用．2.答案：C解析：【分析】本题考查了古典概型的计算与运用，属于基础题．根据题意，得到抛掷两颗骰子有36种可能，再采用列举法求出颗骰子的点数之和不小于9的可能情况，带入概率公式计算即可求解．【解答】解：根据题意，抛掷两颗骰子有36种可能，其中两颗骰子点数之和不小于9的有9种可能，分别为：(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，∴两颗骰子的点数之和不小于9的概率P=936=14．故选C．3.答案：A解析：由于1200名学生各个学生层次之间存在明显差别，故(1)要采用分层抽样的方法，由于总体数目不多，而样本容量不大，故(2)要采用简单随机抽样．4.答案：B解析：【分析】本题考查了互斥事件、对立事件的概念以及它们之间的联系与区别，属于基础题．由题意知，基本事件为：2个红球，2个黄球，1红1黄，结合互斥事件和对立事件的概念，选出正确的答案．【解答】解：A.“至少一个红球”与“至少一个黄球”都包含1红1黄，所以不正确；B.“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，所以正确；C.“都是红球”与“都是黄球”是互斥事件但不对立，所以不正确；D.“至少一个红球”与“至多一个黄球”都包含1红1黄，所以不正确．故选B．5.答案：C解析：【分析】本题考查了线面平行、线面垂直的判断与性质定理的应用问题，也考查了符号语言的应用问题．利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，对四个选项分析判断即可 ．【解答】解：对于A ，若m//n ，m//α，可知n 有可能在面α内，故错误；对于B ，若m//α，α//β，可知m 有可能在面β内，故错误；对于C ，若m//n ，m ⊥α，由平行的传递性可知，只要与m 平行的线都与面α垂直，即n ⊥α，故正确；对于D ，若m ⊥n ，m ⊥α，则n 有可能在α内或与α平行，故错误；故选C ．6.答案：C解析：【分析】本题考查一组数据的平均数、方差的求法，是基础题．利用平均数、方差的定义直接求解．【解答】解：∵数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x −，方差为s 2，即1n (x 1+x 2+⋯+x n )=x ，1n [(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2]=s 2， ∴2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的平均数为：1n(2x 1−3+2x 2−3+⋯+2x n −3) =2[1(x 1+x 2+⋯+x n )]−3 =2x −−3，2x 1−3，2x 2−3，…，2x n −3的方差为：1n[(2x 1−3−(2x −3))2+(2x 2−3−(2x −3))2+ …+(2x n −3−(2x −3))2]=1n[(2(x 1−x))2+(2(x 2−x))2+⋯+(2(x n −x))2] =4×1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] =4s 2，故选：C ．7.答案：B解析：【分析】本题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和的余弦函数公式，属于基础题．由已知的cos A 和cos B ，根据A 和B 为三角形的内角，求出sin A 和sin B 的值，然后由诱导公式及两角和的余弦函数公式求出cos C 的值，从而判断三角形形状．【解答】解：由A 和B 都为三角形的内角，cosA =√55，cosB =3√1010，得到：sinA=√1−cos2A=2√55，sinB=√1−cos2B=√1010，则cosC=cos[180°−(A+B)]=−cos(A+B)=−cosAcosB+sinAsinB=−√55×3√1010+2√55×√1010=−√210<0，∴C∈(90°,180°)，即角C为钝角，则△ABC的形状是钝角三角形．故选：B．8.答案：A解析：【分析】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．在①中：由已知得SO⊥AC，AC⊥平面SBD，从而平面EMN//平面SBD，由此得到AC⊥EP；在②中：EM//BD，只有当P与M重合时，才有EP//BD，所以EP//BD不恒成立，因此不正确；在③中：由平面EMN//平面SBD，从而得到EP//平面SBD；在④中：由已知得EM⊥平面SAC，从而得到EP 与平面SAC不垂直．【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN．在①中：由正四棱锥S−ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，又，∴SO⊥AC．∵SO∩BD=O，，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM//BD，MN//SD，EM⊂平面EMN，BD⊄平面EMN，故BD//平面EMN，同理SD//平面EMN，BD∩SD=D ，，∴平面EMN//平面SBD，∴AC⊥平面EMN，，∴AC⊥EP.故①正确．在②中：EM//BD，只有当P与M重合时，才有EP//BD，所以EP//BD不恒成立，因此②不正确；在③中：由①可知平面EMN//平面SBD，，∴EP//平面SBD，因此③正确．在④中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP//EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P 与M 不重合时，EP 与平面SAC 不垂直．即④不正确．故选A ．9.答案：(x +3)2+(y −4)2=25解析：【分析】本题考查圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．利用圆的标准方程的概念求解即可．【解答】解：圆心为C(−3,4)，半径为5的圆的标准方程是：(x +3)2+(y −4)2=25.故答案为：(x +3)2+(y −4)2=25.10.答案：80解析：【分析】本题考查简单随机抽样的运用， 属于基础题．由每个人被抽到的概率等于样本容量与总体人数的比值求解即可.【解答】解：由n 1400+1320+1280=0.02，得n =80．故答案为80．11.答案：k =1或k =−163解析：【分析】本题主要考查直线的交点，属于基础题．先求出其中两条直线的交点，再代入第三条直线即可．【解答】解：解方程组{x −2y =12x +ky =3,得{x =6+k 4+k y =14+k ，将这个点代入第三个直线方程得： 3k 6+k 4+k +414+k =5,∴k =1或k =−163，经验证符合题意， 故答案为k =1或k =−163．12.答案：4√2π解析：【分析】本题考查了圆锥的几何特征与表面积、体积计算，属于基础题．根据体积求出圆锥的底面半径和母线长，代入公式得出侧面积．【解答】解：设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径为r=√2l2，高ℎ=r=√2l2，∴圆锥的体积V=13πr2·ℎ=√2l312π=8π3，∴l=2√2，r=2，∴圆锥的侧面积为S侧=πrl=4√2π．故答案为：4√2π．13.答案：√3解析：【分析】直接展开两角和与差的余弦即可求得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查了两角和与差的余弦，是基础题．【解答】解：f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)=cosxcos π−sinxsinπ+cosxcosπ+sinxsinπ=2cosxcosπ6=√3cosx，∴函数f(x)=cos(x+π6)+cos(x−π6)的最大值为√3．故答案为：√3．14.答案：2√6解析：解：根据题意，圆C：x2+y2−2y−7=0即x2+(y−1)2=8，圆心C的坐标为(0,1)，半径r=2√2，直线l：kx−y−k+2=0，即y−2=k(x−1)，恒过定点M(1,2)，又由圆C的方程为x2+(y−1)2=8，则点M(1,2)在圆内，分析可得：当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，此时|CM|=√(1−0)2+(2−1)2=√2，则|AB|的最小值为2√8−2=2√6；故答案为：2√6根据题意，分析圆C的圆心与半径，将直线l的方程变形为y−2=k(x−1)，恒过定点M(1,2)，分析可得M在圆C内部，分析可得：当直线L与CM垂直时，弦|AB|最小，求出此时|CM|的值，由勾股定理分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过定点，属于基础题．15.答案：解：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)．因为所求直线过点(2,−1)，所以3×2−4×(−1)+c=0，解得c=−10，所以所求直线的方程为3x−4y−10=0．解析：本题主要考查直线的一般式方程及与已知直线平行的直线系方程，是基础题．先设所求直线的方程为3x−4y+c=0(c≠−2)，根据其过点(2,−1)可求得c的值，进而可得所求直线的方程．16.答案：(本小题满分13分)解：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率为：(0.1+0.06)×2=0.32，∵0.32×500=160人，∴本月户外运动时间不小于16小时的人数为160人．……(3分) (II)[18,20]的样本内共有居民50×0.06×2=6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F………………(4分)则从6名居民中随机抽取2名的所有可能结果为：{A,B}，{A,C}，{A,D}，{A,E}，{A,F}{B,C}，{B,D}，{B,E}，{B,F}{C,D}，{C,E}，{C,F}{D,E}，{D,F}{E,F}共15种．………………(9分)(ii)设事件M为“抽取的2名居民至少有一名女性”，则M中所含的结果为：{A,E}，{A,F}，{B,E}，{B,F}，{C,E}，{C,F}，{D,E}，{D,F}，{E,F}共9种……………(12分)∴事件M发生的概率为P(M)=915=35.………………(13分)解析：(I)由频率分布直方图可知户外运动不小于16小时人数的频率，由此能求出本月户外运动时间不小于16小时的人数．(II)[18,20]的样本内共有居民6人，2名女性，4名男性，设四名男性分别表示为A，B，C，D，两名女性分别表示为E，F，利用列举法能求出事件M发生的概率．本题考查考查频率数和概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.答案：解：(1)b1−cosB =24⇒2×6sinB1−cosB=24∴2(1−cosB)=sinB∴4(1−cosB)2=sin2B=(1−cosB)(1+cosB)∵1−cosB≠0，∴4(1−cosB)=1+cosB，∴cosB=35，(2)∵sinA+sinC=43，∴a12+c12=43，即a+c=16．又∵cosB=35，∴sinB=45．∴S=12acsinB=25ac≤25⋅(a+c2)2=1285．当且仅当a=c=8时，S max=1285．解析：(1)利用正弦定理及条件b1−cosB =24⇒2×6sinB1−cosB=24，可得2(1−cosB)=sinB，再利用平方关系，从而可求得cos B；(2)利用正弦定理及条件sinA+sinC=43，可得a+c=16，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求△ABC的面积的最大值．本题以三角形为载体，考查正弦定理的运用，考查基本不等式，关键是边角之间的互化．18.答案：解：(1)因为f(x)=2√3sinωxcosωx−cos2ωx+sin2ωx=√3sin2ωx−cos2ωx=2sin(2ωx−π6)，由ω>0，T=2π2ω=π，得ω=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)．因为−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，所以f(x)的单调増区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．(2)若把f(x)图象向左平移个π6单位，得到g(x)=2sin(2x+π6)，因为x∈[−π2,0]，所以−5π6≤2x+π6≤π6，则有−1≤sin(2x+π6)≤12，当2x+π6=−π2，即x=−π3时，g(x)有最小值−2，当2x+π6=π6，即x=0时，g(x)有最大值1．解析：本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得f(x)的单调増区间．(2)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数x的范围，求得函数g(x)的最大值和最小值及对应的x的值．19.答案：(Ⅰ)证明：连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵M是BC中点，∴AM⊥BC，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，∴BC⊥平面PMA．∴平面PBC⊥平面PMA；(Ⅱ)解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=√6，∴V M−AND=V N−AMD=13S△AMD×12PA=13×12×2×ABsin60°×√62=√2．解析：(Ⅰ)连结AC ，由四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =60°，得△ABC 是等边三角形，再由M 是BC 中点，得AM ⊥BC ，由已知PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥BC ，在线面垂直的判定得BC ⊥平面PMA ，从而得到平面PBC ⊥平面PMA ；(Ⅱ)由已知直接利用等积法求得四面体M −AND 的体积．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)经过点(2,1)与点(−2,−3)的直线方程为y−1−3−1=x−2−2−2，即y =x −1．由题意可得，圆心在直线y =3上，联立{y =3y =x −1，解得圆心坐标为(4,3)， 故圆C 1的半径为4．则圆C 1的方程为(x −4)2+(y −3)2=16；(Ⅱ)∵圆C 1的方程为(x −4)2+(y −3)2=16，即x 2+y 2−8x −6y +9=0，圆C 2：x 2+y 2−2x +2y −9=0，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为3x +4y −9=0．圆C 1的圆心到直线3x +4y −9=0的距离d =√32+42=3．∴两圆的公共弦MN 的长为2√16−9=2√7．解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(Ⅰ)求出过两点(2,1)与(−2,−3)的直线方程，与直线y =3联立求得圆心坐标，再求得圆的半径，可得圆C 1的方程；(Ⅱ)求出两圆的公共弦所在直线方程，再由垂径定理求弦长．。

2020年高一暑假数学补习题 (22)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (22)-0709(解析版)

2020年高一暑假数学补习题 (22)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A. 一定平行B. 一定异面C. 相交或异面D. 一定相交2.若方程(2m2+m−3)x+(m2−m)y−4m+1=0表示一条直线，则实数m满足()A. m≠0B. m≠−32C. m≠1D. m≠1，m≠−32，m≠03.已知直线a，b都在平面α外，则下列推断错误的是()A. a//b，b//α⇒a//αB. a⊥b，b⊥α⇒a//αC. a//α，b//α⇒a//bD. a⊥α，b⊥α⇒a//b4.若球O的表面积值为4π，则它的体积V=()A. 4πB. 43π C. 163π D. 34π5.若三条直线l1:ax−y+1=0，l2:x+y=0，l3:x−y=1交于一点，则a=()A. 1B. −1C. 3D. −36.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 非钝角三角形7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱A1D1，A1B1，CD的中点，则平面MNP与正方形BCC1B1相交形成的线段的长度为()A. 1B. √2C. 2D. 2√28.在△ABC中，已知acosB=bcosA，那么△ABC一定是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形9.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，AA1=4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B所成的角为θ，则tanθ的最大值为()A. 43B. 53C. 2D. 25910.在△ABC中，A=π3，BC=3,AB=√6，则角C等于()A. π4或3π4B. 3π4C. π4D. π611.已知直线是圆C:x2+y2−4x−2y+1=0的对称轴，过点A(−4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=()．A. 2B. 4√2C. 6D. 2√1012.已知a,b,c是△ABC的三边，其面积为14(a2+b2−c2)，则角C=()A. 2π3B. π6C. π4D. π3二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知圆柱及其侧面展开图如图所示，则该圆柱的体积为__________。

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2020年高一数学暑假补习题 (38)一、选择题（本大题共10小题，共50.0分） 1. 若π4<α<π2,则( )A. sinα>cosα>tanαB. cosα>tanα>sinαC. sinα>tanα>cosαD. tanα>sinα>cosα2. 若点P 在−43π角的终边上，且P 的坐标为(−1,y)，则y 等于( )A. −√3B. √3C. −√33D. √333. 下列函数是周期函数的是( )A. y =x 0B.C.D. y ={1,x ∈Q0,x ∈∁RQ4. 已知函数y =log a (8−ax)(其中a >0,a ≠1)在区间[1,4]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,12)C. (12,1)D. (1,2)5. sin1，cos1，tan1的大小关系是( )A. sin1>cos1>tan1B. sin1>tan1>cos1C. tan1>sin1>cos1D. tan1>cos1>sin16. 要得到函数y =cos2x 的图象，只需要把函数的图象( )A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度7. 函数y =cos (2x +π3)图象的对称轴方程可能是( )．A. x =−π6B. x =−π12C. x =π6D. x =π128. 已知P (−8,6)是角终边上一点，则2sinα+cosα的值等于( )A.B. −C.D.9. 若不等式对于一切成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.10. 已知函数f(x)={ln (x −2),x >20,x =2ln (2−x),x <2,若f(x)≤|x −a|对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. [1,3] B. [2,4] C. [1,2] D. [−1,1]二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 11. 计算：cos 2150−sin 2150= ． 12. 已知，则的值为 ．13. 已知，，则____________________．14. 函数y =cos(π3−2x)−cos2x 的最小正周期为__________． 15. 下列函数图象中，正确的有________.(填序号)三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 16. (1)若为锐角，且满足，，求(2)计算：17. 已知函数f(x)=4cosϖx ⋅sin(ϖx +π4)(ϖ>0)的最小正周期为π．(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性．18.已知角．(1)求sinα的值；(2)求tan(α+2β)的值．19.已知函数.(Ⅰ)当时，求关于的不等式解集；(Ⅱ)当时，若恒成立，求实数的最大值．20.已知曲线上的最高点为(2,√2)，该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，(1)求函数解析式；(2)求函数在x∈[−6,0]上的值域．21.设函数f(x)=|x2−2x−8|．(Ⅰ)画出函数f(x)的图象．(Ⅱ)求不等式f(x)≥5的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：tanα>1,cosα<sinα<1，故tanα>sinα>cosα． 2.答案：B解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得y 的值． 【解答】解：∵点P 在−43π角的终边上，且P 的坐标为(−1,y)， ∴tan(−4π3)=−tan4π3=−tan π3=−√3=y−1，∴y =√3， 故选：B ． 3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了函数的周期性的应用，其中熟记函数的周期性的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用排除法，对周期函数的定义进行分析，进一步求出结果． 【解答】解：对于选项：A 中，函数：y =x 0(x ≠0)，故函数为常量函数，错误．对于选项：B 中，函数为偶函数，图象关于y 轴对称，由图象可知不是周期函数，错误． 对于选项：C 中，函数，由定义域不是R ，所以不是周期函数，错误， 以上选项都不满足f(x +A)=f(x)，对于选项：D ，函数为分段函数y ={1,x ∈Q0,x ∈∁R Q ，由函数的图象可判定是周期函数，故选：D ． 4.答案：D解析：解：函数y =log a (8−ax)(其中a >0，a ≠1)在区间[1,4]上单调递减，当a >1时，由函数t =8−ax 在区间[1,4]上单调递减且y >0，故8−4a >0，求得1<a <2． 当0<a <1时，由函数t =8−ax 在区间[1,4]上单调递减，可得函数y =log a (8−ax)在区间[1,4]上单调递增，这不符合条件．综上，实数a 的取值范围为(1,2)， 故选：D ．分类讨论a 的范围，根据真数的符号以及单调性，求出a 的范围．本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于中档题． 5.答案：C解析：【分析】本题主要任意角的知识，关键是知道正弦、余弦、正切的特点．【解答】解：作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP，余弦线OB，正切线AT，可得tan1>sin1>cos1，故选C．6.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，注意函数图象平移变换法则“左加右减”的应用，属于基础题．根据函数y=cos(−2x)=cos(2x−)，结合y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把函数=cos(−2x)=cos(2x−)的图象向左平移个单位长度，可得函数y=cos[2(x+)−]=cos2x的图象．故选C．7.答案：A解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了图象对称轴的求法，属于基础题．【解答】解：令2x+π3=kπ,k∈Z，则x=−π6+kπ2,k∈Z，当k=0时，函数的对称轴方程为x=−π6．故选A．8.答案：D解析：【分析】本题考查任意角三角函数的定义，属基础题．根据单间函数定义求出，带入计算即可．【解答】解：已知P (−8,6)是角终边上一点， 则r =√(−8)2+62=10， 则则2sinα+cosα=2×35+(−45)=25． 故选D ． 9.答案：C解析：由，得，又当时，，故．10.答案：A解析：【分析】本题考查分段函数与不等式恒成立，考查函数图象的应用，属于中档题．根据函数解析式作出函数图象，由不等式恒成立得出关系式求出a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f(x)={ln(x −2),x >20,x =2ln(2−x),x <2, 若f(x)≤|x −a|对任意的x ∈R 恒成立，则函数y =f(x)的图象在函数y =|x −a|图象的下方(最多一个交点)，如图：可得a ∈[1,3]． 故选A ．11.答案：解析：解：因为cos2x=cos2x−sin2x所以cos2150−sin2150=cos30°=．故答案为．本题考查二倍角公式，属于基础题.直接代入倍角公式即可得答案．12.答案：79解析：【分析】本题考查三角函数求值，解题关键是通过角的变换选用恰当的公式变形求解，本题可选用二倍角公式和诱导公式变形．解析：解：由题意cos(2α−π3)=1−2sin2(α−π6)=1−2×(13)2=79，∴sin(2α+π6)=sin[(2α−π3)+π2]=cos(2α−π3)=79．故答案为79．13.答案：3√1010解析：【分析】本题考查两角的差角公式，解决问题的关键是根据所给条件展开代入计算即可．【解答】解：由题，故答案为3√1010．14.答案：π解析：∵f(x)=cos(π3−2x)−cos2x=12cos2x+√32sin2x−cos2x=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)，∴T=π...15.答案：③解析：【分析】本题考查函数图象的应用．根据一次函数，幂函数，对数函数的图象逐一判断即可．【解答】解：对于①②，由y=x+a知a>1，可知①②图象不正确；对于③④，由y=x+a知0<a<1，∴y=ax和y=logax都为单调减函数，故④图象不正确，③图象正确．故答案为③．16.答案：解：(1)因α,β为锐角，，，故，故，(2)由，可得，即．解析：本题考查两角和的余正弦公式和两角和的正切公式，属于基础题．(1)根据两角差的正弦计算即可．(2)结合两角和的正切公式求解计算即可．17.答案：解：(I)∵f(x)=4cosϖx⋅sin(ϖx+π4)(ϖ>0)=2√2cosωx(sinωx+cosωx)=√2(sin2ωx+cos2ωx+1)=2sin(2ωx+π4)+√2，∴2π2ω=π,可得：ω=1．∴f(x)=2sin(2x+π4)+√2,ω=1．(Ⅱ)∵当x∈[0,π2]时,(2x+π4)∈[π4,π+π4],令2x+π4=π2解得x=π8；∴y=f(x)在[0,π8]上单调递增；在[π8,π2]上单调递减．解析：(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而利用三角函数周期公式即可计算得解．(Ⅱ)由角的范围，利用正弦函数的单调性即可得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的单调性的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：(1)因为α∈(0,π2)，所以α−π4∈(−π4,π4)，故．所以．(2)因为α∈(0,π2)，由(1)知，，所以，因为tanβ=12所以．故．解析：本题主要考查了同角间的基本关系式，两角和差的公式，二倍角公式，属于中档题．(1)考查同角三角函数的基本关系式以及两角和差的公式．(2)利用两角和的正切公式求解即可．19.答案：见解析解析：(I)∵，∴，①当时，，不等式的解集为②当时，不等式的解集为③当时，不等式的解集为(Ⅱ)∵，∴又∵∴有恒成立∵当且仅当时等号成立∴，的最大值是20.答案：解：(1)∵曲线f(x)上的最高点为(2,√2)，且该最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于一点(6,0)，∴A=√2,T4=4，∴T=16，，，由，又，，；(2)∵x∈[−6,0]，，，∴−√2≤y≤1，∴函数的值域为[−√2,1]．解析：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及y=Asin(ωx+φ)的性质．(1)由周期可得，由最值可得A=√2，由，结合，求得φ的值，即可求出结果；(2)由x的范围求出，结合三角函数的性质可得值域．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)=|x2−2x−8|=|(x−1)2−9|．函数f(x)的图象如图所示．(Ⅱ)f(x)=|x2−2x−8|=|(x−1)2−9|=5，∴x=1±√14或−1或3．∴不等式f(x)≥5的解集为(−∞,1−√14]∪[−1,3]∪[1+√14,+∞)．解析：(Ⅰ)利用图象变换，画出函数f(x)的图象．(Ⅱ)求出f(x)=|x2−2x−8|=|(x−1)2−9|=5时的x，即可求不等式f(x)≥5的解集．本题考查函数的图象与解不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．第11页，共11页。

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