高考数学集合与函数专项训练

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2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数专题训练

专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。

高三数学集合练习题

高三数学集合练习题1. 设集合A={1,2,3,4,5}，集合B={3,4,5,6,7}，求：a) A∪Bb) A∩Bc) A-Bd) B-A2. 已知集合A={x | x是三位数}，集合B={y | y是偶数}，求：a) A∩Bb) A-Bc) A∪B3. 集合A={x | x是正整数，且x ≤ 10}，集合B={y | y是奇数}，求：a) A∩Bb) A-Bc) A∪B4. 设全集为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A={x | x是正整数，且x < 6}，集合B={y | y是奇数}，求：a) A∩Bb) A∪Bc) A-B5. 设全集为U={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}，集合A={x | x是整数，-2 ≤ x ≤ 2}，集合B={y | y是奇数}，求：a) A∩Bb) A∪Bc) A-B6. 设全集为U={a,b,c,d,e,f,g,h}，集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，集合C={b,c,f,g}，求：a) (A∩B)∪Cb) (A-B)∩C7. 设全集为U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={x | x是偶数}，集合B={x | x是奇数}，集合C={x | x能被3整除}，求：a) A∩Bb) A∪Bc) (A∪B)-C8. 设全集为U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n}，集合A={a,b,c,d,e}，集合B={d,e,f,g,h}，集合C={a,d,g,j,m}，求：a) (A∩B)∪Cb) (A-B)∩Cc) (A∩B)-C9. 设全集为U={x | x是大写英文字母}，集合A={x | x是元音字母}，集合B={x | x是辅音字母}，求：a) A∩Bb) A∪Bc) (A∪B)-U10. 设全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，求：a) (A-B)∩(B-A)以上是高三数学集合练习题的内容，请按照题目要求计算并得出答案。

高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题

高中数学高考总复习-集合与函数概念知识点及习题第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：文字语言符号语言属于 ∈不属于∉4.常见集合的符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号N *N 或+NZQR C集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同BA⊆且A⊆B⇔BA=子集A中任意一元素均为B中的元素BA⊆或AB⊇真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素A B空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A⊆φ，φB（φ≠B）三：集合的基本运算①两个集合的交集:A BI= {}x x A x B∈∈且;②两个集合的并集: A BU={}x x A x B∈∈或;③设全集是U,集合A U⊆,则UC A={}x x U x A∈∉且交并补I U{|,}A B x x A x B=∈∈I且{|,}A B x x A x B=∈∈U或UC A={}x x U x A∈∉且方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点：1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；2．集合的表示法（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，{})(x fyx=如、{})(x fyy=、{})(),(xfyyx=等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：已知集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=（） A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

高考数学一轮复习函数系列之集合与函数测试题试题

集合与函数测试题〔本套试卷一共11个小题，满分是100分，测试时间是100分钟〕一、填空题〔本大题一一共5个小题，每一小题5分，一共25分〕1.集合M={}Z k k x x ∈-=,23，P={}Z l l y y ∈+=,13，S={}Z m m z z ∈+=,16，那么 M P S.2.设集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--++41)12(412a ax x x ，那么card 〔M 〕= . 3.集合A={}01)2(2=+++x m x x ，B={}0≥x x ，假设∅=⋂B A ，那么m 的取值范围为 . 人. 5. 函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，那么m 的取值范围是 .二、解答题〔本大题一一共5个小题，一共57分〕 1.求以下函数值域.〔12分=4×3〕〔1〕135-+-=x x y 〔2〕x x y 21-+= 〔3〕()12+-+=x x x f()x f y =的值域是,3,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡求函数()()()11++=x f x f x F 的值域.〔此题满分是9分〕22)(2+-=x x x f 〔[]2,+∈t t x ，R t ∈〕的最小值为)(t g ，求其解析式.〔此题满分是11分〕4.定义在R 上的函数(),(0)0y f x f =≠且，当0x >时，()1f x >，且对任意,a b R ∈，()()()f a b f a f b +=.〔此题满分是12分〕⑴求(0)f⑵求证：对任意,()0x R f x ∈>有 ⑶求证：()f x 在R 上是增函数⑷假设2()(2)1f x f x x ->，求x 的取值范围 5. 探究函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 的最大值，并确定获得最大值时x 的值.列表如下：请观察表中y 值随x 值变化的特点，完成以下的问题.函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 在区间)0,2(-上递减；〔1〕函数)0,(,4)(-∞∈+=x xx x f 在区间上递增.当=x 时，=最大)(x f .〔2〕证明：函数x x x f 4)(+=在区间)0,2(-递减. 〔3〕考虑：函数)0(4)(>+=x xx x f 有最大值或者最小值吗？如有，是多少？此时x 为何值？并说明理由.( 第〔1〕问每空2分，第〔2〕问3分，第3问4分 )三、附加题〔此题满分是18分〕a a x f x 3)(+=〔0>a ，1≠a 〕的反函数是)(1x fy -=，而且函数)(x g y =的图象与函数)(1x fy -=的图象关于点)0,(a 对称．〔1〕求函数)(x g y =的解析式；〔2〕假设函数)()()(1x g x fx F --=-在]3,2[++∈a a x 上有意义，求a 的取值范围．四季寄语情感寄语在纷繁的人群中/牵手走过岁月/就像走过夏季/拥挤的海滩在我居住的江南/已是春暖花开季节/采几片云彩/轻捧一掬清泉/飘送几片绿叶/用我的心/盛着寄给/北国的你不要想摆脱冬季/看/冰雪覆盖的世界/美好的这样完整/如我对你的祝福/完整地这样美好挡也挡不住的春意/像挡也挡不住的/想你的心情/它总在杨柳枝头/泄露我的秘密往事的怀念/爬上琴弦/化作绵绵秋雨/零零落落我诚挚的情怀/如夏日老树下的绿荫/斑斑驳驳虽只是一个小小的祝福/却化做了/夏季夜空/万点星辰中的一颗对你的思念/温暖了/我这些个漫长的/冬日从春到夏,从秋到冬......只要你的帘轻动,就是我的思念在你窗上走过.在那个无花果成熟的季节,我才真正领悟了你不能表达的缄默.我又错过了一个花期/只要你知道无花也是春天/我是你三月芳草地燕子声声里,相思又一年朋友,愿你心中,没有秋寒.一到冬天,就想起/那年我们一起去吃的糖葫芦/那味道又酸又甜/就像......爱情.谢谢你/在我孤独时刻/拜访我这冬日陋室只要有个窗子/就拥有了四季/拥有了世界愿你:俏丽如三春之桃,清素若九秋之菊没有你在身边,我的生活永远是冬天!让我们穿越秋天/一起去领略那收获的喜悦!在冬天里,心中要装着春天;而在春天,却不能忘记冬天的寒冷.落红不是无情物,化作春泥更护花.愿是只燕,衔着春光,翩翩向你窗.请紧紧把握现在/让我们把一种期翼/或者是一种愿望/种进大地/明春/它就会萌生绿色的叶片.此刻又是久违的秋季/又是你钟爱的季节/于是/秋风秋雨秋云秋月/都化作你的笑颜身影/在我的心底落落起起.此刻已是秋季/你可体验到/收获怀念的感觉/和秋雨一样真实动人.一条柳枝/愿是你生活的主题/常绿常新/在每一个春季雨声蝉鸣叶落风啸/又一个匆匆四季/在这冬末春初/向遥远的你/问安!又是夏季/时常有暴雨雷鸣/此刻/你可以把我当作大雨伞/直至雨过天晴/留给你一个/彩虹的夏季!。

高考数学考前刷题大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数(文)(含解析)-人教版高三全册数学试题

大卷练4 集合、常用逻辑用语、函数与导数大卷练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.[2019·东北三省四市模拟]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，B ＝{x |－2≤x ≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤3或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤3} 答案：D解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 2．[2017·卷，6]设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n ＜0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m |·|n |<0，故充分性成立．由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立．故选A.3．[2019·某某马某某第一次教学质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝( )A ．44B ．45C ．1 009D ．2 018 答案：A解析：由442＝1 936,452＝2 025可得1，2，3，…， 2 018中的有理数共有44个，其余均为无理数，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f ( 2 018)＝44.4．[2019·某某模拟]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (2 015)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2 答案：D解析：由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2，故选D.5．[2019·某某某某五校联考]下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝2x －2－xB ．f (x )＝x 2－1 C ．f (x )＝log 12|x | D ．f (x )＝x sin x答案：B解析：f (x )＝2x－2－x是奇函数，故不满足条件；f (x )＝x 2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足条件；f (x )＝log 12|x |是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；f (x )＝x sin x 是偶函数，但是在(0，＋∞)上不单调．故选B.6．[2019·某某第一中学一诊模拟]设a ＝213，b ＝log 43，c ＝log 85，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a 答案：A解析：由指数函数的性质知a >1，由对数函数的性质得0<b <1,0<c <1.c 可化为log 235；b 可化为log 23，∵(35)6<(3)6，∴b >c ，∴a >b >c ，故选A.7．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋2的定义域为[1，t ]，f (x )的最大值与最小值之和为－3，则实数t 的取值X 围是( )A ．(1,3]B ．[2,3]C ．(1,2]D ．(2,3) 答案：B解析：f (x )＝x 2－4x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝2，f (1)＝－1，f (2)＝－2.当1<t <2时，f (x )max ＝f (1)＝－1，f (x )min >f (2)＝－2，则f (x )max ＋f (x )min >－3，不符合题意；当t ≥2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，则f (x )max ＝－3－f (2)＝－1，令f (x )＝－1，则x 2－4x ＋2＝－1，解得x ＝1或x ＝3，∴2≤t ≤3.故选B.8．[2019·某某某某第一次大联考]若函数f (x )＝a x－k ·a －x(a >0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g (x )＝log a (x ＋k )的大致图象是( )答案：B解析：由题意得f (0)＝0，得k ＝1，a >1，所以g (x )＝log a (x ＋1)为(－1，＋∞)上的单调递增函数，且g (0)＝0，故选B.9．[2019·某某大卷练]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11) 答案：C解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.10．[2019·某某某某郊联体模拟]如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3) 答案：C解析：由函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象得0<b <1，f (1)＝0，即有a ＝－1－b ，从而－2<a <－1.而g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a <0，g (1)＝ln1＋2＋a ＝2＋a >0，∴函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C. 11．[2019·某某某某第一中学模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3，满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤113，6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫203，263C.⎝⎛⎦⎥⎤203，263 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6答案：D解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6，x ≥0，3x ＋4，x <0的图象如图，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 2，x 3关于直线x ＝3对称，故x 2＋x 3＝6，且x 1满足－73<x 1<0，则－73＋6<x 1＋x 2＋x 3<0＋6，即x 1＋x 2＋x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫113，6.故选D. 12．[2019·某某某某一中质检]已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax .若g (x )＝1ex ，且对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)成立，则实数a 的取值X 围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e e －8 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e e －8，＋∞ C ．[2，e) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－33，e 2 答案：A解析：对任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，存在x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使f ′(x 1)≤g (x 2)，∴[f ′(x )]max ≤[g (x )]max . 又f ′(x )＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，∴[f ′(x )]max ＝f ′(2)＝8＋a .而g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则[g (x )]max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e e ，∴8＋a ≤e e ，则a ≤ee－8.故选A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．log 327－log 33＋(5－1)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫9412＋cos 4π3＝________.答案：0解析：原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.14．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值X 围是__________．答案：{a |a ≤－2或a ＝1}解析：由x 2－a ≥0，得a ≤x 2，因为x ∈[1,2]，所以a ≤1.要使q 成立，则有Δ＝4a2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≥1或a ≤－2.因为命题p 且q 是真命题，所以p ，q同时为真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ≥1或a ≤－2，故a ≤－2或a ＝1.15．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋1，x <1，3－5x ，x ≥1，则f (f (0))＝________.答案：－2解析：因为f (0)＝1，所以f (f (0))＝f (1)＝－2.16．[2019·某某八校联考]曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 为原点)是以∠A 为顶角的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为________．答案：60°解析：解法一因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.易知线段OB 的垂直平分线方程为y －x 302＝－1x 20x －x 02，根据线段OB 的垂直平分线过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0可得－x 302＝－1x 20⎝⎛⎭⎪⎫23x 0－x 02，解得x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°.解法二因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2.设点B (x 0，x 30)(x 0≠0)，则k l ＝3x 20，所以切线l 的方程为y －x 3＝3x 20(x －x 0)．取y ＝0，则x ＝23x 0，所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 0，0.由|OA |＝|AB |，得4x 209＝x 209＋x 60，又x 0≠0，所以x 20＝33，所以k l ＝3x 20＝3，故切线l 的倾斜角为60°. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．解析：由y ＝f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，即()3y －m ·x 2－8x ＋3y－n ＝0∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y＋mn －16≤0 由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.18．(本小题满分12分)[2019·某某调研测试(二诊)]已知曲线f (x )＝ln 2x ＋a ln x ＋ax在点(e ，f (e))处的切线与直线2x ＋e 2y ＝0平行，a ∈R .(1)求a 的值； (2)求证：f x x >aex . 解析：(1)f ′(x )＝－ln 2x ＋2－a ln xx2，由f ′(e)＝－1＋2－a e 2＝－2e 2，解得a ＝3.(2)证明：f (x )＝ln 2x ＋3ln x ＋3x，f ′(x )＝－ln x ln x ＋1x 2.由f ′(x )>0，得1e<x <1，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 和(1，＋∞)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上单调递增． ①当x ∈(0,1)时，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e.∵⎝ ⎛⎭⎪⎫3x e x ′＝31－x e x，∴3xex 在(0,1)上单调递增， ∴3x e x <3e <e ，∴f (x )>3x e x ，即f x x >3ex . ②当x ∈[1，＋∞)时，ln 2x ＋3ln x ＋3≥0＋0＋3＝3. 令g (x )＝3x 2ex ，则g ′(x )＝32x －x 2ex .∴g (x )在[1,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， ∴g (x )≤g (2)＝12e2<3，∴ln 2x ＋3ln x ＋3>3x 2e x ，即f x x >3ex .综上，对任意x >0，均有f x x >3ex . 19．(本小题满分12分)定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)． (1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，某某数m 的取值X 围．解析：(1)k ＝0时，f (x )为R 上的奇函数，证明如下：令a ＝x ，b ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为R 上的奇函数．(2)k ＝－1时，令a ＝b ＝2，则f (4)＝2f (2)－1，f (2)＝3 ∴f (mx 2－2mx ＋3)>f (2)恒成立，又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2恒成立即mx 2－2mx ＋1>0m ＝0时，3>2恒成立m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0得0<m <1综上m 的取值X 围为[0,1)． 20．(本小题满分12分)[2019·某某馆陶县一中月考]设函数f (x )＝ln x －(a ＋1)x ，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当函数f (x )有最大值且最大值大于3a －1时，求a 的取值X 围．解析：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－(a ＋1)＝1－a ＋1xx.①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ＋1>0，即a >－1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1a ＋1， (ⅰ)当0<x <1a ＋1时，f ′(x )>0，函数单调递增； (ⅱ)当x >1a ＋1时，f ′(x )<0，函数单调递减．综上所述，当a ≤－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >－1时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a ＋1上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1，＋∞上单调递减．(2)由(1)得，若f (x )有最大值，则a >－1，且f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＝ln 1a ＋1－1.∵函数f (x )的最大值大于3a －1. ∴ln1a ＋1－1>3a －1，即ln(a ＋1)＋3a <0(a >－1)．令g (a )＝ln(a ＋1)＋3a (a >－1)，∵g (0)＝0且g (a )在(－1，＋∞)上单调递增， ∴－1<a <0.故a 的取值X 围为(－1,0)．21.(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2＋bx －1(b ∈R )．(1)当b ＝1时证明：函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内存在唯一零点； (2)若当x ∈[1,2]，不等式f (x )<1有解．某某数b 的取值X 围．解析：(1)由b ＝1，得f (x )＝x 2＋x －1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12－1＝－14<0，f (1)＝12＋1－1＝1>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f (1)<0，所以函数f (x )在区间(12，1)内存在零点．又由二次函数的图象，可知f (x )＝x 2＋x －1在(12，1)上单调递增，从而函数f (x )在区间(12，1)内存在唯一零点．(2)方法1：由题意可知x 2＋bx －1<1在区间[1,2]上有解，所以b <2－x 2x ＝2x－x 在区间[1,2]上有解．令g (x )＝2x－x ，可得g (x )在区间[1,2]上递减，所以b <g (x )max ＝g (1)＝2－1＝1 ，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1)．方法2：由题意可知x 2＋bx －2<0在区间[1,2]上有解．令g (x )＝x 2＋bx －2，则等价于g (x )在区间[1,2]上的最小值小于0. 当－b2≥2即b ≤－4时，g (x )在[1,2]上递减，∴g (x )min ＝g (2)＝2b ＋2<0，即b <－1，所以b ≤－4；当1<－b 2<2即－4<b <－2时，g (x )在[1，－b2]上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b2，2上递增，∴g (x )min ＝g (－b 2)＝(b2)2－b 22－2＝－b 24－2<0恒成立．所以－4<b <－2；当－b2≤1即b ≥－2时，g (x )在[1,2]上递增，∴g (x )min ＝g (1)＝b －1<0 即b <1，所以－2≤b <1. 综上可得b ≤－4或－4<b <－2或－2≤b <1，所以b <1，从而实数b 的取值X 围为(－∞，1) 22．(本小题满分12分)[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝e x －ax 2. (1)若a ＝1，证明：当x ≥0时，f (x )≥1； (2)若f (x )在(0，＋∞)只有一个零点，求a .解析：(1)证明：当a ＝1时，f (x )≥1等价于(x 2＋1)e －x－1≤0.设函数g (x )＝(x 2＋1)e －x－1，则g ′(x )＝－(x 2－2x ＋1)·e －x＝－(x －1)2e －x. 当x ≠1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，＋∞)单调递减．而g (0)＝0，故当x ≥0时，g (x )≤0，即f (x )≥1. (2)设函数h (x )＝1－ax 2e －x.f (x )在(0，＋∞)只有一个零点等价于h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．(i)当a ≤0时，h (x )>0，h (x )没有零点； (ii)当a >0时，h ′(x )＝ax (x －2)e －x.当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0; 当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0. 所以h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增．故h (2)＝1－4ae 2是h (x )在(0，＋∞)的最小值．①若h (2)>0，即a <e24，h (x )在(0，＋∞)没有零点．②若h (2)＝0，即a ＝e24，h (x )在(0，＋∞)只有一个零点．③若h (2)<0，即a >e24，因为h (0)＝1，所以h (x )在(0,2)有一个零点；由(1)知，当x >0时，e x>x 2，所以h (4a )＝1－16a 3e 4a ＝1－16a3e2a2>1－16a32a4＝1－1a>0，故h (x )在(2,4a )有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)有两个零点．综上，当f (x )在(0，＋∞)只有一个零点时，a ＝e24.。

高考数学《集合》多选题冲刺训练(含答案解析)

高考数学《集合》多选题冲刺训练（含答案解析）1．（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【解析】【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB2．（2021·广东·普宁市普师高级中学高三阶段练习）设集合{}1,4,A x =，{}21,B x =，且{}1,4,A B x ⋃=，则满足条件的实数x 的值是（）A ．-2B ．2C ．1D ．0 【答案】ABD【解析】【分析】根据集合中元素的互异性，可知1x ≠±且4x ≠，再由{}1,4,A B x ⋃=，可知24x =或2x x =，从而可求出足条件的实数x 的值.【详解】解：已知{}1,4,A x =，{}21,B x=，可知1x ≠±且4x ≠，由于{}1,4,A B x ⋃=，可知24x =或2x x =，若24,2x x =∴=±，当2x =−时，满足题意；当2x =时满足题意，若2,0x x x =∴=或1x =，当0x =时，满足题意；当1x =不满足题意，综上得，满足条件的实数x 的值是：-2，0，2.故选：ABD.3．已知全集{}{}(){}2log 3,1,2,3,1,2,4,5,6,7∣U U x N x A A B =∈<=⋂=ð，则集合B 可能为（） A ．{}2,3,4 B ．{}3,4,5C ．{}4,5,6D ．{}3,5,6【答案】BD【解析】【分析】先由给定条件求出全集U ，再求出A B 可得集合B 中必含元素，然后经验证即可判断得解.【详解】由2log 3x <得302x <<，即08x <<，于是得全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，因(){}1,2,4,5,6,7U A B ⋂=ð，则有{3}A B ⋂=，3B ∈，C 不正确；对于A 选项：若{}2,3,4B =，则{3,4}A B =，(){}1,2,5,6,7U A B ⋂=ð，矛盾，A 不正确；对于B 选项：若{}3,4,5B =，则{3}A B ⋂=，(){}1,2,4,5,6,7U A B ⋂=ð，B 正确；对于D 选项：若{}3,5,6B =，则{3}A B ⋂=，(){}1,2,4,5,6,7U A B ⋂=ð，D 正确. 故选：BD4．（2022·全国·高三专题练习）设全集U =R ，集合{}260A x x x =−++>，{}2230B x x x =+−<，则（）A ．{}21AB x x ⋂=−≤<B ．{}33A B x x ⋃=−<<C ．(){}13R A B x x ⋂=<<ðD ．(){3R A B x x ⋃=≤−ð或}2x >−【答案】BD【解析】【分析】先通过一元二次不等式的计算可得{}23x x =−<<，{}31B x x =−<<，再根据集合的运算逐项计算即可得解.【详解】由题知{}23A x x =−<<，{}31B x x =−<<，{3R B x x =≤−ð或}1x ≥，所以{}21A B x x ⋂=−<<，故A 错误；{}33A B x x ⋃=−<<，故B 正确；(){}13R A B x x ⋂=≤<ð，故C 错误；(){3R A B x x ⋃=≤−ð或}2x >−，故D 正确.故选：BD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2|log 1A x x =<，{}|430B x x =−>，则（）A ．4|03AB x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ B ．{}|2A B x x =<C ．A B φ⋂=D ．()4{|3R A B x x =<ð或2}x > 【答案】AB【解析】化简集合A,B ，即得解.【详解】{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}4|430|3B x x x x ⎧⎫=−>=<⎨⎬⎩⎭，所以4|03A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{}|2A B x x =<，()4{|3R A B x x =<ð或2}x ≥，故选:AB【点睛】易错点睛：化简集合A 时，容易漏掉函数的定义域，导致得到{}|2A x x =<，导致后面运算出错，所以函数的问题必须要注意定义域优先的原则.6．（2022·全国·高三专题练习）已知集合2{|log 0}A x x =≤，集合1{|0}1y B y y +=≥−，集合1{|3}9z D z =≥，则（）A ．A D R ⋃=B ．A B =∅C ．()R A B ⋃ð DD ．R D ð B 【答案】BCD【解析】【分析】先求出集A ，B ，D ，再逐个分析判断即可【详解】由2log 0x ≤，得01x <≤，所以{}01A x x =<≤，由101y y +≥−，得(1)(1)0y y +−≥且10y −≠，得1y ≤−或1y >，所以{1B y y =≤−或}1y >，由21339z −≥=，得2z ≥−，所以{}2D z z =≥−，对于A ，{}2A D x x R ⋃=≥−≠，所以A 错误，对于B ，A B =∅，所以B 正确，对于C ，因为{1A B x x ⋃=≤−或}0x >，所以{}()10R A B x x ⋃=−<≤ð，所以()R A B ⋃ð D ，所以C 正确，对于D ，因为{}2D z z =≥−，所以{}2R D z z =<−ð，因为{1B y y =≤−或}1y >，所以R D ð B ，所以D 正确，故选：BCD7．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}{}220,21x A x x x B x =−<=>，则（）A ．U AB φ=ðB ．A B A ⋃=C ．A B ⊆D ．B A ∈【答案】AC【解析】【分析】化简集合A,B ，利用集合的基本运算即可知正确选项.【详解】{}220(0,2)A x x x =−<=，{}21(0,)x B x =>=+∞， U A B ∴=∅ð，A B B ⋃=,A B ⊆，故AC 正确，B 错误，又集合之间的关系为包含与不包含，所以D 错误.故选：AC8．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =R ，集合1|02x A x x −⎧⎫=<⎨⎬−⎩⎭，则关于U A ð的表达方式正确的有（）A ．][(),12,−∞⋃+∞B ．()(){}210x x x −−≥∣C ．102x x x −⎧⎫≥⎨⎬−⎩⎭∣D ．()(),12,−∞+∞【答案】AB【解析】【分析】根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.【详解】由题意得，()(){}()1|0|2101,22x A x x x x x −⎧⎫=<=−−<=⎨⎬−⎩⎭，所以][()()(){},12,|210U A x x x ∞∞=−⋃+=−−≥ð，故AB 正确，CD 错误，故选：AB.9．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}2320M x x x =−+≤，{}1N x x =>−，则（）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．M N ≠∅D ．R M N R ⋃=ð【答案】BC【解析】【分析】先化简集合M ，再结合集合关系包含与集合运算法则知识对各选项逐一分析即可.【详解】因为{}2320M x x x =−+≤，解不等式得{}12M x x =≤≤，又因为{}1N x x =>−.对于A ，由题意得M N ⊆，故A 错误；对于B ，由上已证可知B 正确；对于C ，{}12M N x x =≤≤≠∅，故C 正确；对于D ，因为{}1R N x x =≤−ð，所以(][],11,2R M N R ⋃=−∞−⋃≠ð，故D 错误；故选:BC10．（2022·全国·高三专题练习）已知集合{}220,A xax x a a R =++=∈∣，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值有（）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】BCD【解析】【分析】根据条件可知集合A 中仅有一个元素，由此分析方程220ax x a ++=为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出a 的值.【详解】因为集合A 仅有2个子集，所以集合A 中仅有一个元素，当0a =时，20x =，所以0x =，所以{}0A =，满足要求；当0a ≠时，因为集合A 中仅有一个元素，所以2440a ∆=−=，所以1a =±，此时{}1A =或{}1A =−，满足要求，故选：BCD.11．（2021·福建·上杭一中高三阶段练习）设集合{}2|8150,{|10}A x x x B x ax =−+==−=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．15B ．0C ．3D ．13【答案】ABD【解析】【分析】先求出集A ，B ，再由A B B =得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可【详解】解：{3,5},{|1}===A B x ax ，∵A B B =，∴B A ⊆，∴①B =∅时，0a =；②B ≠∅时，13a =或15a =，∴13a =或15. 综上0a =，或13a =，或15a = 故选：ABD.12．（2021·全国·高三专题练习）设{}2|8150A x x x =−+=，{}|10B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A ．15− B ．0 C ．3 D ．13− 【答案】ABD【解析】【分析】根据A B B =，得到B A ⊆，然后分0a =， 0a ≠讨论求解.【详解】A B B = ，B A ∴⊆，{}{}2|81503,5A x x x =−+== ，当0a =时，B =∅，符合题意；当0a ≠时，1B a ⎧⎫=−⎨⎬⎩⎭，要使B A ⊆，则13a −=或15a−=，解得13a =−或15a =−．综上，0a =或13a =−或15a =−．故选：ABD ．13．（2022·全国·高三专题练习）已知集合为213x A x Z x ⎧⎫−=∈≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}1B x ax ==，且A B B =，则a 的值可能为（）A ．0B ．12− C ．-1 D ．2−【答案】ABC【解析】解分式不等式求出集合A ，再由A B B =，可得B A ⊆，根据集合的包含关系即可求解.【详解】22211100333xxx A x Z x Z x Z x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫−−+=∈≥=∈−≥=∈≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭{()()2130x Z x x =∈++≤且}{}13032,12x x Z x ⎧⎫+≠=∈−<≤−=−−⎨⎬⎩⎭，因为{}1B x ax ==，A B B =，则B A ⊆，当B =∅时，则1ax =无解，即0a =，当{}2B =−时，则12a =−，当{}1B =−时，则1a =−，故a 的值为10,,12−−，故选：ABC14．（2021·全国·模拟预测）已知集合A ，B 是两个非空整数集，若Z A B ⊆ð，则下列结论正确的是（）A ．B A ⊆ B ．Z A B =C ．Z B A ⊆ðD ．A B =∅【答案】BC【解析】【分析】根据题意,作出V enn 图，结合图形即可得答案.【详解】依题意，作出Venn 图如图所示，由图知，B A ⊄，Z A B ⋃=，Z B A ⊆ð，A B ⋂≠∅.故选：BC.15．（2022·福建泉州·模拟预测）已知集合A ，B 均为R 的子集，若A B =∅，则（）A ．R AB ⊆ðB ．R A B ⊆ðC ．A B R =D ．()()R R A B R ⋃=痧【答案】AD【解析】【分析】根据集合图逐一判断即可得到答案【详解】如图所示根据图像可得R A B ⊆ð,故A 正确；由于R B A ⊆ð ，故B 错误；A B R ⊆ ,故C 错误()()()R R R A B A B R ⋃=⋂=痧?故选：AD16．（2021·全国·高三专题练习）已知全集U 的两个非空真子集A ，B 满足()U A B B =ð，则下列关系一定正确的是（）A ．AB =∅B ．A B B =C ．A B U ⋃=D ．()U B A A =ð【答案】CD【解析】采用特值法，可设{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，根据集合之间的基本关系，对选项,,,A B C D 逐项进行检验，即可得到结果.【详解】令{}1,2,3,4U =，{}2,3,4A =，{}1,2B =，满足()U A B B =ð，但A B ⋂≠∅，A B B ≠I ，故A ，B 均不正确；由()U A B B =ð，知U A B ⊆ð，∴()()U U A A A B =⊆ð，∴A B U ⋃=，由U A B ⊆ð，知U B A ⊆ð，∴()U B A A =ð，故C ，D 均正确.故选：CD. 17．（2022·全国·高三专题练习）已知M ､N 均为实数集R 的子集，且R N C M ⋂=∅，则下列结论中正确的是（）A ．R M C N ⋂=∅B ．R MC N R ⋃= C ．R R R C M C N C M ⋃=D ．R R R C M C N C M ⋂= 【答案】BD【解析】【分析】由题可知N M ⊆，利用包含关系即可判断.【详解】∵R N C M ⋂=∅∴N M ⊆，若N 是M 的真子集，则R M C N ⋂≠∅，故A 错误；由N M ⊆可得R M C N R ⋃=，故B 正确；由N M ⊆可得R R C N C M ⊇，故C 错误，D 正确.故选：BD.18．（2022·全国·高三专题练习）已知全集U =Z ，集合{}210,A x x x =+≥∈Z ，{}1,0,1,2B =−，则（） A ．{}0,1,2A B =B ．{}0A B x x ⋃=≥C ．(){}1U A B =−ðD ．A B 的真子集个数是7【答案】ACD【解析】【分析】求出集合A ，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.{}1210,,2A x x x x x x ⎧⎫=+≥∈=≥−∈⎨⎬⎩⎭Z Z ，{}1,0,1,2B =−， {}0,1,2A B =，故A 正确；{}1,A B x x x Z ⋃=≥−∈，故B 错误；1,2U A x x x Z ⎧⎫=<−∈⎨⎬⎩⎭ð，所以(){}1U A B =−ð，故C 正确；由{}0,1,2A B =，则A B 的真子集个数是3217−=，故D 正确.故选：ACD19．（2021·福建福州·高三期中）已知全集{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，集合{}|5A x N x =∈<，{}1,3,5,7B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ． {}0,2,4B ． {}2,4C ． ()U A B ðD ． ()()U U A B 痧【答案】AC【解析】【分析】根据图可知阴影部分所表示的集合为()U A B ð，再利用交集补集定义可求出. 【详解】由图可知阴影部分所表示的集合为()U A B ð，故C 正确；因为{}{}|50,1,2,3,4A x N x =∈<=，所以{}0,2,4,6U B =ð，所以(){}0,2,4UAB =ð，故A 正确. 故选：AC. 20．（2022·全国·高三专题练习）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A ．()ABC ⋂⋃B ．()A B CC ．()U A B C ⋂⋂ðD ．()()A B A C ⋂⋃⋂【答案】AD【解析】【分析】由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，从而可得答案【详解】解：由图可知，阴影部分是集合B 与集合C 的并集，再由集合A 求交集，或是集A 与B 的交集并上集合A 与C 的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为()A B C ⋂⋃或()()A B A C ⋂⋃⋂，故选：AD21．（2021·湖北武汉·高三阶段练习）图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则阴影部分可以表示为（）A ．()U AB ⋂ðB ．()B A B ðC ．()()U U A B ⋂痧D ．A B A ⋃ð【答案】ABD【分析】根据V en 图，分U 为全集，B 为全集，A B 为全集时，讨论求解.【详解】由图知：当U 为全集时，表示集合A 的补集与集合B 的交集，当B 为全集时，表示A B 的补集，当A B 为全集时，表示A 的补集，故选：ABD22．（2021·山东潍坊·高三期末）设全集为U ，如图所示的阴影部分用集合可表示为（）A ．AB B ．()U A B ⋂ðC ．()()U A B B ⋂⋂ðD ．()U A B ð【答案】BC【解析】【分析】.【详解】如图，可以将图中的位置分成四个区域，分别标记为1,2,3,4四个区域对于A 选项，显然A B 表示区域3，故不正确；对于B 选项，()U A B ⋂ð表示区域1和4与4的公共部分，故满足条件；对于C 选项，()()U A B B ⋂⋂ð表示区域1,2,4与区域4的公共部分，故满足；对于D 选项，()U A B ð表示区域1和4与区域4的并集，故不正确；23．（2022·全国·高三专题练习）设[]x 表示不大于x 的最大整数，已知集合[]{}22M x x =−<<，{}250N x x x =−<，则（） A ．[]lg 2002=B ．{}02M N x x ⋂=<<C ．[]lg 2lg3lg51−+=D ．{}15M N x x ⋃=−≤<【答案】ABD【解析】【分析】由对数运算可知2lg 2003<<，()lg 2lg3lg51lg30,1−+=−∈，由[]x 的定义可知AC 正误；解不等式求得集合,M N ，由交集和并集定义可知BD 正误.【详解】对于A ，1002001000<<，2lg 2003∴<<，[]lg 2002∴=，A 正确；对于C ，()()lg 2lg3lg5lg 2lg5lg31lg30,1−+=+−=−∈，[]lg 2lg3lg50∴−+=，C 错误；对于BD ，[]{}{}2212M x x x x =−<<=−≤<，{}05N x x =<<，{}02M N x x ∴⋂=<<，{}15M N x x ⋃=−≤<，BD 正确.故选：ABD.24．（2021·河北省博野中学高三阶段练习）我们知道，如果集合A S ⊆，那么S 的子集A 的补集为 {S A x x S =∈ð，且}x A ∉A ，B ，我们把集合{x x A ∈，且}x B ∉叫作集合A 与B 的差集，记作A B −．据此，下列说法中正确的是（）A ．若AB ⊆，则A B −=∅B ．若B A ⊆，则A B A −=C ．若A B =∅，则A B A −=D ．若A B C =，则A B A C −=−【答案】ACD【解析】利用集合的新定义逐一判断即可.【详解】由差集的定义可知，对于选项A ，若A B ⊆，则A 中的元素均在B 中，则A B −=∅，故选项A 正确；对于选项B ，若B A ⊆，则B 中的元素均在A 中，则A A B B A −=≠ð，故选项B 错误；对于选项C ，若A B =∅，则A 、B 无公共元素，则A B A −=，故选项C 正确；对于选项D ，若A B C =，则A A B C A C −==−ð，故选项D 正确；故选：ACD ．25．（2022·全国·高三专题练习）对任意A ，B R ⊆，记{|}A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂，，则称A B ⊕为集合A ，B 的对称差．例如，若{}123A =，，，{}234B =，，，则{}14A B ⊕=，，下列命题中，为真命题的是（） A ．若A ，B R ⊆且A B B ⊕=，则A =∅B ．若A ，B R ⊆且A B ⊕=∅，则A B =C ．若A ，B R ⊆且A B A ⊕⊆，则A B ⊆D ．存在A ，B R ⊆，使得R R A B A B ⊕=⊕痧【答案】ABD【解析】【分析】根据新定义及交、并、补集运算，逐一判断即可．【详解】解：对于A 选项，因为A B B ⊕=，所以{|}B x x A B x A B =∈⋃∉⋂，，所以A B ⊆，且B 中的元素不能出现在A B 中，因此A =∅，即选项A 正确；对于B 选项，因为A B ⊕=∅，所以{|}x x A B x A B ∅=∈⋃∉⋂，，即A B 与A B 是相同的，所以A B =，即选项B 正确；对于C 选项，因为A B A ⊕⊆，所以{|}x x A B x A B A ∈⋃∉⋂⊆，，所以B A ⊆，即选项C 错误；对于D 选项，A B =时，A B ⊕=∅，()()R R A B A B ⊕=∅=⊕痧，D 正确；故选：ABD ．。

高中数学必修一第一章集合与函数概念1-1集合课时提升作业及解析

综上可知 k=0 或 1. 【误区警示】解答本题时易不考虑二次项系数 k 是否为 0 而直接利用根与系数的关系求解致错. 6.某研究性学习小组共有 8 位同学,记他们的学号分别为 1,2,3,„,8.现指导老师决定派某些同学去市图书馆查询有关数据,分派的原则为:若 x 号同学去,则 8-x 号同学也去.请你根据老师的要求回答下列问题: (1)若只有一个名额,请问应该派谁去? (2)若有两个名额,则有多少种分派方法? 【解析】本题实质是考查集合中元素的特性,只有一个名额等价于 x=8-x,有两个名额则为 x 和 8-x. 分派去图书馆查数据的所有同学组成一个集合,记作 M,则有 x∈M,8-x∈M. (1)若只有一个名额,即 M 中只有一个元素,必须满足 x=8-x,故 x=4,所以应该派学号为 4 的同学去. (2)若有两个名额,即 M 中有且仅有两个不同的元素 x 和 8-x,从而全部含有两个元素的集合 M 含有元素的情况为:1,7 或 2,6 或 3,5,也就是有两个名额的分派方法有 3 种.
高中数学必修一 1-1 集合课时提升作业(一) 集合
的含义
(25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.下列指定的对象,不能组成集合的是 ( ) A.一年中有 31 天的月份 B.平面上到点 O 距离是 1 的点 C.满足方程 x2-2x-3=0 的 x D.某校高一(1)班性格开朗的女生【解析】选 D.因为 A,B,C 所给的对象都是确定的,从而可以组成集合,而 D 中所给的对象没有具体的标准来衡量一名女生怎样才能算性格开朗,故不能组成集合. 【补偿训练】(2015·昆明高一检测)下列对象能组成集合的是 ( ) A.中国大的城市 B.方程 x2-9=0 在实数范围内的解 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D. 的近似值的全体【解析】选 B.A 中的城市大到什么程度不明确,所以不能组成集合;B 能组成集合;C 中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能组成集合;D 中“ 的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能组成集合. 2.(2015·黄山高一检测)若 a 是 R 中的元素,但不是 Q 中的元素,则 a 可以

2022年数学高考集合专题知识点专项练习含答案

专题1 集合（原卷）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）B)=1.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A； ②A∪B=A; ③A∩(∁I ⌀; ④A∩B=I⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.已知非空集合A，B满足以下两个条件：(1)A∪B={1,2，3，4}3，A∩B=⌀；(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.则有序集合对(A,B)的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 43.已知集合M，P满足M∪P=M，则下列关系中：①M=P；②M⫌P；③M∩P=P；④P⊆M.一定正确的是()A. ①②B. ③④C. ③D. ④4.有下列命题：①mx2+2x−1=0是一元二次方程；②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.对于任意两个数x，y(x,y∈N∗)，定义某种运算“◎”如下：①当或，时，x◎y=x+y；②当，时，x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A. 214个B. 213个C. 211个D. 27个6.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀，则实数m的取值范围为()A. {m|m<3}B. {m|m⩾−11}C. {m|−11⩽m⩽3}D. {m|−11<m<3}7.已知集合A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为()A. m⩾3B. 2⩽m⩽3C. m⩾2D. m⩽38.设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T②对任意x,y∈T，若x≠y，则x−y∈S，下列说法正确的是()A. 若S有2个元素，则S∪T有4个元素B. 若S有2个元素，则S∪T有3个元素C. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素9.已知集合A={x∈R|12x+1≤1}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，若(∁R A)∩B=⌀，则实数a 的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)10.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1}，则()A. M⊊NB. N⊊MC. M=ND. M∪N=R11.若集合A={x|x−3x+1≥0}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A. [−13,1) B. (−13,1]C. (−∞,−1)⋃[0,+∞)D. [−13,0)⋃(0,1)12.设集合S={−20,21，5，−11，−15，30，a}，我们用f(S)表示集合S的所有元素之和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如：若A={2}，则f(A)=g(A)=2；若B={2,3}，则f(B)=2+3，g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A. 若a=0，对S的所有非空子集A i，f(A i)的和为320B. 若a=0，对S的所有非空子集B i，f(B i)的和为−640C. 若a=−1，对S的所有非空子集C i，g(C i)的和为−1D. 若a=−1，对S的所有非空子集D i，g(D i)的和为0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知集合A={x|x2−6x+8=0}，B={x|mx−4=0}，且B∩A=B，则实数m所取到的值构成的集合C=，则A∪C=．14.设集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，若A∩B={3}，则集合A∪B的子集的个数为．15.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：①M={(x,y)|y=1x}；②M={(x,y)|y=e x−2}；③M={(x,y)|y=cosx}；④M={(x,y)|y=lnx}.其中为“好集合”的序号是______．16.已知集合{a,b，c}={0，1，2}，有下列三个关系①a≠2；②b=2；③c≠0，若三个关系中有且只有一个正确的，则a+2b+3c=____________．专题1 集合一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）17. 若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A ∩B =A ； ②A ∪B =A; ③A ∩(∁I B)=⌀; ④A ∩B =I⑤x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件.其中与命题A ⊆B 等价的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：由A ⊆B 得Venn 图，①A ∩B =A ⇔A ⊆B;②A ∪B =A ⇔B ⊆A;③A ∩(∁I B )=⌀⇔A ⊆B;④{A ∩B =IA ⊆IB ⊆I ⇔A =B =I ⇒A ⊆B,但A ⊆B 不一定能得出A =B =I ，故A ∩B =I 与A ⊆B 不等价;⑤x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，则A ⊆B ，但A ⊆B 不一定能得x ∈B 是x ∈A 的必要不充分条件，所以不等价．故和命题A ⊆B 等价的有①③，故选B ．18. 已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：(1)A ∪B ={1,2，3，4}3，A ∩B =⌀；(2)A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素.则有序集合对(A,B )的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有3个元素，则1∉A ，3∉B ，即3∈A ，1∈B ，此时有1对;同理，若集合B只有1个元素，则集合A中有3个元素，有1对;若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，2∉A，2∉B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A,B)的个数为1+1=2，故选B．19.已知集合M，P满足M∪P=M，则下列关系中：①M=P；②M⫌P；③M∩P=P；④P⊆M.一定正确的是()A. ①②B. ③④C. ③D. ④【答案】B已知集合M，P满足M∪P=M，则P⊆M，故④正确，①错误，②错误；由P⊆M可得M∩P=P，故③正确，故选B20.有下列命题：①mx2+2x−1=0是一元二次方程；②二次函数y=ax2+2x−1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．真命题有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】①当m=0时，方程是一元一次方程，错误；②方程ax2+2x−1=0(a≠0)的判别式Δ=4+ 4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定，错误；③正确；④空集不是空集的真子集，错误.故选A．21.对于任意两个数x，y(x,y∈N∗)，定义某种运算“◎”如下：①当或，时，x◎y=x+y；②当，时，x◎y=xy则集合A= {(x,y)|x◎y=10}的子集个数是()A. 214个B. 213个C. 211个D. 27个【答案】C【解析】按照题意，将集合A中元素逐一列举出来如下：A={(10,1),(2,5),(1,9),(9,1),(2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4),(5,5)}，故集合A中共有11个元素，所以集合A的子集个数为211．故选C．22.已知集合A={x|−2<x<3}，B={x|m<x<m+9}.若A∩B≠⌀，则实数m的取值范围为()A. {m|m<3}B. {m|m⩾−11}C. {m|−11⩽m⩽3}D. {m|−11<m<3}【答案】D【解析】若A∩B=⌀，利用下图的数轴可得m+9⩽−2或m⩾3，∴m⩽−11或m⩾3.∴满足A∩B≠⌀的实数m的取值范围为{m|−11<m<3}．故选D．23.已知集合A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为()A. m⩾3B. 2⩽m⩽3C. m⩾2D. m⩽3【答案】D【解析】A={x|−2⩽x⩽5}，B={x|m+1⩽x⩽2m−1}，而B⊆A，(1)当B=⌀时，满足B⊆A，此时m+1>2m−1，解得m<2；(2)当B≠⌀时，B⊆A，则计算得出2≤m≤3．综上，m≤3．故选D．24.设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x,y∈S，若x≠y，则x+y∈T②对任意x,y∈T，若x≠y，则x−y∈S，下列说法正确的是()A. 若S有2个元素，则S∪T有4个元素B. 若S有2个元素，则S∪T有3个元素C. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素D. 存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素【答案】B【解析】若S有2个元素，不妨设S={a,b}，由 ②知集合S中的两个元素必为相反数，故可设S={a,−a};由 ①得0∈T，由于集合T中至少有两个元素，故至少还有另外一个元素m∈T，当集合T有2个元素时，由 ②得：−m∈S，则m=±a，T={0,−a}或T={0,a}，当集合T有多于2个元素时，不妨设T={0,m，n}，由 ②得：m，n，−m，−n，m−n，n−m∈S，由于m，n≠0，所以m≠m−n，n≠n−m，又m≠n，故集合S中至少有3个元素，矛盾，综上，S∪T={0,a，−a}，故B正确；若S有3个元素，不妨设S={a,b，c}，其中a<b<c，则{a+b,b+c,c+a}⊆T，所以c−a，c−b，b−a，a−c，b−c，a−b∈S，集合S中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S中至少有4个元素，矛盾，排除C，D．故选B．25.已知集合A={x∈R|12x+1≤1}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，若(∁R A)∩B=⌀，则实数a 的取值范围是()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】B【解析】∵集合A={x∈R|12x+1≤1}={x|−2x2x+1≤0}={x|x<−12或x≥0}，B={x∈R|(x−2a)(x−a2−1)<0}，∵2a≤a2+1，∴当2a=a2+1时，a=1，B=⌀，满足题意；当2a<a2+1时，a≠1，B={x|2a<x<a2+1}，∁R A={x|−12≤x<0}，∴a2+1≤−12或2a≥0，a≠1，解得a≥0，且a≠1，综上，a≥0，即实数a的取值范围是[0,+∞)．故选：B．26.设集合M={x|x2−x>0}.N={x|1x<1}，则()A. M⊊NB. N⊊MC. M=ND. M∪N=R 【答案】C【解析】解：解x2−x>0得，x<0或x>1；解1x<1得，x>1，或x<0；∴M=N．故选：C．27.若集合A={x|x−3x+1≥0}，B={x|ax+1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A. [−13,1) B. (−13,1]C. (−∞,−1)⋃[0,+∞)D. [−13,0)⋃(0,1)【答案】A【解析】因为x−3x+1≥0，所以{x+1≠0(x−3)(x+1)≥0，所以x<−1或x≥3，所以A={x|x<−1或x≥3}，当a=0时，1≤0不成立，所以B=⌀，所以B⊆A满足，当a>0时，因为ax+1≤0，所以x≤−1a，又因为B⊆A，所以−1a<−1，所以0<a<1，当a<0时，因为ax+1≤0，所以x≥−1a，又因为B⊆A，所以−1a ≥3，所以−13≤a<0综上可知：a∈[−13,1)．故选：A28.设集合S={−20,21，5，−11，−15，30，a}，我们用f(S)表示集合S的所有元素之和，用g(S)表示集合S的所有元素之积，例如：若A={2}，则f(A)=g(A)=2；若B={2,3}，则f(B)=2+3，g(B)= 2×3.那么下列说法正确的是()A. 若a=0，对S的所有非空子集A i，f(A i)的和为320B. 若a=0，对S的所有非空子集B i，f(B i)的和为−640C. 若a=−1，对S的所有非空子集C i，g(C i)的和为−1D. 若a=−1，对S的所有非空子集D i，g(D i)的和为0【答案】C【解析】由于S={−20,21，5，−11，−15，30，a}中的所有元素的和为a，则在S的所有非空子集中，对任意x∈S，含有x的非空子集的个数为26，从而∑fA⊂S (A)=26⋅∑xA⊂S=a⋅26．从而当a=0时，∑fA⊂S(A)=0，故选项A，B均错误．当a=−1时，S={−20,21，5，−11，−15，30，−1}，对于S中的任意子集A，若−1∈A，则将元素−1从集合A中删除得集合B=A={−1}，则g(A)=−g(B);若−1∉A，则将元素−1添加到集合A中得集合B=A∪{−1}，则g(A)=−g(B).由此∑gA⊂S(A)=g({−1))=−1,因此C选项正确．故选C．二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）29.已知集合A={x|x2−6x+8=0}，B={x|mx−4=0}，且B∩A=B，则实数m所取到的值构成的集合C=，则A∪C=．【答案】{0,1，2}；{0,1，2，4}．【解析】A={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∵B∩A=B，∴B⊆A，当m=0时，B=⌀，满足条件，B⊆A，当m≠0时，B={4m}，若满足条件，B⊆A，则4m =2或4m=4，即m=2或m=1，综上实数m的值构成的集合C={0,1，2}；∵A={2,4}，C={0,1，2}，则A∪C={0,1，2，4}．故答案为：{0,1，2}；{0,1，2，4}．30.设集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，若A∩B={3}，则集合A∪B的子集的个数为．【答案】8【解析】因为集合A={0,3}，B={m+2,m2+2}，且A∩B={3}，所以3∈B，所以m+2=3或m2+2=3，解得m=1或m=−1，当m=1时，此时B={3,3}，不满足集合中元素的互异性，故舍之，当m=−1时，B={1,3}，满足题意，此时A∪B={0,1,3}，所以集合A∪B的子集的个数为23=8．故答案为8．31.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合是“好集合”，给出下列4个集合：}；②M={(x,y)|y=e x−2}；③M={(x,y)|y=cosx}；④M={(x,y)|y=lnx}.①M={(x,y)|y=1x其中为“好集合”的序号是______．【答案】②③=0无实数解，因此①不是“好集合”；【解析】对于①，注意到x1x2+1x1x2对于②，如下左图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=e x−2相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=e x−2相交，因此②是“好集合”；对于③，如下中图，注意到过原点任意作一条直线与曲线y=cosx相交，过原点与该直线垂直的直线必与曲线y=cosx相交，因此③是“好集合”；对于④，如下右图，注意到对于点(1,0)，不存在(x2,y2)∈M，使得1×x2+0×lnx2=0，因为x2=0与真数的限制条件x2>0矛盾，因此④不是“好集合”．故答案为：②③32.已知集合{a,b，c}={0，1，2}，有下列三个关系①a≠2；②b=2；③c≠0，若三个关系中有且只有一个正确的，则a+2b+3c=____________．【答案】5【解析】由已知，若a≠2正确，则a=0或a=1，即a=0，b=1，c=2或a=0，b=2，c=1或a=1，b=0，c=2或a=1，b=2，c=0，均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若b=2正确，则a≠2正确，不符合题意；所以，只有c≠0正确，a=2，b=0，c=1，故a+2b+3c=5.故答案为：5．。

2023年新教材高考数学全程考评特训卷滚动过关检测一集合常用逻辑用语不等式函数含解析

滚动过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式、函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2022·湖南湘潭模拟]已知集合A ＝{－1,0,1,2,3}，B ＝{x |2x>2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3} C ．{2,3}D ．{－1,0,1}2．[2022·湖南武冈二中月考]已知a >b >0，下列不等式中正确的是( ) A.c a >c b B.1a －1<1b －1C ．－a 2>－ab D ．ab >b 23．设f (x )为定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝－f (x ＋2)，f (1)＝1，则f (－1)＋f (8)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．14．已知定义在R 上的函数f (x )满足，①f (x ＋2)＝f (x )，②f (x －2)为奇函数，③当x ∈[0,1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0(x 1≠x 2)恒成立．则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152、f (4)、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112>f (4)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152B ．f (4)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152>f (4)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112>f (4) 5．[2022·西南大学附中月考]给定函数f (x )＝x2，g (x )＝－x 2＋x ，x ∈R .用m (x )表示f (x )，g (x )中的较小者，记为m (x )＝min {}f x ，g x，则m (x )的最大值为()A.14B ．1C ．0D ．2 6．[2022·福建福州模拟]已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程e |x －2|＝x 有两个不同的解x 1，x 2(x 1<x 2)，则( )A ．x 1<1，x 2>3B ．x 1>1，x 2<3C ．x 1>1，x 2>3D ．x 1<1，x 2<37．[2022·湖北宜昌模拟]若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式4x ＋1＋1y <m 2＋32m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．m <－3或m >32B ．－3<m <32C ．m ≤－3或m ≥32D ．－3≤m ≤328．[2022·重庆南开中学月考]函数f (x )＝x1＋|x |，则下列结论中错误的是( )A ．y ＝f (x )的图象关于点(－1,1)对称B ．f (x )在其定义域上单调递增C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．函数g (x )＝f (x )－x 有且只有一个零点二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列命题中，错误的命题有( ) A ．函数f (x )＝x 与g (x )＝(x )2是同一个函数B ．命题“∃x ∈[0,1]，x 2＋x ≥1”的否定为“∀x ∈[0,1]，x 2＋x <1” C ．函数y ＝sin x ＋4sin x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2的最小值为4D ．设函数f (x )＝{ 2x ＋2，x <02x，x ≥0，则f (x )在R 上单调递增10．[2022·河北保定模拟]下列条件中，其中p 是q 的充分不必要条件的是( ) A ．p ：a ≥1，b ≥1；q ：a ＋b ≥2 B ．p ：tan α＝1；q ：α＝k π＋π4(k ∈Z )C ．p ：x >1；q ：ln(e x＋1)>1D ．p ：a 2<1；q ：函数f (x )＝x 2＋(2－a )x －2a 在(0,1)上有零点 11．[2022·湖北恩施模拟]若a >b >1>c >0，则有( ) A ．log c a >log c b B ．a c>b cC ．a (b ＋c )>b (a ＋c ) D.a b <b c12．[2022·山东潍坊月考]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0x 3－6x 2＋9x ＋1，x >0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在(－1,1)上单调递减B ．f (log 23)>f (log 25)C ．当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域为[1,5]，则1≤a ≤4D ．当1<t <5时，函数g (x )＝[f (x )]2－(t ＋5)f (x )＋5t 恰有7个不同的零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．函数y ＝4－x2ln x ＋1的定义域为________．14．若函数f (x )＝2＋ae x －1为奇函数．则a ＝________.15．[2022·天津河西区月考]已知x >0，y >0，x ＋y 2＝4，则log 2x ＋2log 2y 的最大值为________．16．[2022·北京育才中学月考]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，－x 2＋x ＋14，x ＞0，则f [f (0)]＝________；若方程f (x )＝b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b 的取值范围是________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知命题p ：“∀x ∈R ，关于x 的方程x 2＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的负实根”是假命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)在(1)的条件下，设不等式(x －a )(x －2)<0的解集为N ，其中a ≠2.若x ∈N 是x ∈M 的充分条件，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ax －a －1(a ∈R )． (1)若f (x )在[1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式f (x )≤0.19．(12分)已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数．(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围．20．(12分)某厂家拟在2022年举行产品促销活动．经测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t 万元(t ≥0)满足x ＝3－kt ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大，并求出最大利润．21．(12分)[2022·广东佛山一中月考]已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且当0＜x ＜1时，f (x )＝9x9x ＋3，(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式和值域； (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52022＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20212022的值．22．(12分)[2022·重庆南开中学月考]设函数f (x )＝a 2x －t －1a x(a >0，且a ≠1)是定义域为R 的奇函数，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求t 和a 的值；(2)若∀x ∈R ，f (kx －x 2)＋f (x －1)<0，求实数k 的取值范围； (3)是否存在实数m ，使函数g (x )＝22x＋2－2x－mf (x )在区间[1，log 23]上的最大值为1.若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．滚动过关检测一集合、常用逻辑用语、不等式、函数1．答案：C解析：因为B ＝{x |2x>2}＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{2,3}． 2．答案：D解析：由a >b >0，∴1a <1b ，而c ≥0时，c a ≤cb，因此A 不正确；a －1，b －1与0的大小关系不确定，因此B 不正确；由a >b >0，∴－a 2<－ab ，因此C 不正确；由a >b >0，∴ab >b 2，因此D 正确． 3．答案：B解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )＝－f (x ＋2)，则f (x ＋2)＝－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，即函数的周期T ＝4，∴f (8)＝f (4)＝f (0)＝0，又f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (－1)＋f (8)＝－1.4．答案：C解析：由f (x ＋2)＝f (x )可得f (x )的周期为2，因为f (x －2)为奇函数，所以f (x )为奇函数，因为x ∈[0,1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2>0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，因为f (x )为奇函数，所以f (x )在(－1,0)上单调递增，所以f (x )在(－1,1)上单调递增，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋2×4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝⎛⎭⎪⎫112－2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152>f (4)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112. 5．答案：A解析：令x 2<－x 2＋x 得0<x <12，所以m (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12－x 2＋x ，x ∈－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，m (x )max <m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，当x ∈(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞时，m (x )max ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，综上所述，m (x )max ＝14.6．答案：C 解析：令f (x )＝e|x －2|－x ，则函数f (x )的图象在R 上连续，∵f (1)＝e －1>0，f (2)＝1－2＝－1<0，f (3)＝e －3<0，f (4)＝e 2－4>0，∴f (1)f (2)<0，f (3)f (4)<0，∴函数f (x )在区间(1,2)，(3,4)上各有一个零点，即1<x 1<2,3<x 2<4.7．答案：A解析：若不等式4x ＋1＋1y <m 2＋32m 有解，则m 2＋32m >⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋1y min ，4x ＋1＋1y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋1＋x ＋1y ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋24y x ＋1·x ＋1y ＝12(5＋2×2)＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4y x ＋1＝x ＋1y x ＋y ＝1即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13y ＝23时，4x ＋1＋1y 最小值为92，所以m 2＋32m >92，即2m 2＋3m －9>0，所以(2m －3)(m ＋3)>0，解得：m <－3或m >32.8．答案：A解析：f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，因为f (－x )＝－x 1＋|－x |＝－x1＋|x |＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，在f (x )的图象上取点(0,0)，它关于(－1,1)对称的点(－2,2)不在f (x )的图象上，故A 不正确；当x >0时，f (x )＝x1＋x ＝11x＋1为增函数，又f (x )为奇函数，且f (0)＝0，所以f (x )在其定义域上单调递增，故B 正确；当x >0时，f (x )＝x1＋x ＝11x＋1∈(0,1)，又f (x )为奇函数，所以当x <0时，f (x )∈(－1,0)，又f (0)＝0，所以f (x )的值域为(－1,1)，故C 正确；令g (x )＝f (x )－x ＝0，得x1＋|x |＝x ，得x ＝0，所以函数g (x )＝f (x )－x 有且只有一个零点，故D 正确．9．答案：ACD解析：函数f (x )＝x 定义域为R ，函数g (x )＝(x )2的定义域为[0，＋∞)，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“∃x ∈[0,1]，x2＋x ≥1”的否定为“∀x ∈[0,1]，x 2＋x <1”，满足命题的否定形式，所以B 正确；函数y ＝sin x ＋4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <π2，因为0<x <π2，所以0<sin x <1，可知y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x ＝4，所以函数没有最小值，所以C 不正确；设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x <0，2x，x ≥0，两段函数都是增函数，并且x <0时，x →0，f (x )→2，x ≥0时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确．10．答案：AC解析：对于A ，由a ≥1，b ≥1，显然可得a ＋b ≥2，反之不成立，故正确；对于B ，显然是充要条件，不正确；对于C ，∵x >1，∴e x >e ，e x ＋1>e ，ln(e x＋1)>1，反之不成立，正确；对于D ，当a 2<1即－1<a <1时，f (x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x －a )(x ＋2)在(0,1)上不一定有零点，D 不正确．11．答案：BC解析：A.因为y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，所以log c a <log c b ，故错误；B.因为y ＝x c在(0，＋∞)上单调递增，所以a c>b c，故正确；C.因为a (b ＋c )－b (a ＋c )＝(a －b )c >0，所以a (b ＋c )>b (a ＋c )，故正确；D.因为a b －b c ＝ac －b 2bc，且ac －b 2无法确定正负，故错误．12．答案：BCD解析：当x >0时，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，∴x ∈(0,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，又1<log 23<log 25<3，∴f (log 23)>f (log 25)，故A 错误，B 正确；由解析式可得，f (x )图象如图：对于C ，由f (1)＝f (4)＝5，所以当1≤a ≤4时，x ∈(－1，a ]上函数值域为[1,5]，故C 正确；对于D ，由[f (x )]2－(t ＋5)f (x )＋5t ＝0，即[f (x )－5][f (x )－t ]＝0，得f (x )＝5或f (x )＝t ，∵y ＝f (x )与y ＝5有3个公共点，当1<t <5时，y ＝f (x )与y ＝t 有4个公共点，此时共有7个公共点，故D 正确．13．答案：(－1,0)∪(0,2] 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0ln x ＋1≠0x ＋1>0解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠0x >－1，所以定义域为：(－1,0)∪(0,2]．14．答案：4解析：由题意，f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，故2＋ae x －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a e －x －1，即2＋a e x －1＝－2－a e x 1－e x ，整理得4＋a －a e xe x－1＝4－a ＝0，解得a ＝4.15．答案：2解析：因为x >0，y >0，x ＋y 2＝4，由基本不等式得4＝x ＋y 2≥2xy 2，化为xy 2≤4，当且仅当x ＝2，y ＝2时取等号．则log 2x ＋2log 2y ＝log 2(xy 2)≤log 24＝2.因此log 2x ＋2log 2y 的最大值是2.16．答案：14⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0－x 2＋x ＋14，x ＞0，则f [f (0)]＝f (e 0)＝f (1)＝14.x ≤0时，f (x )≤1，x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ＋14，对称轴为：x ＝12，开口向下，函数的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14＋12＋14＝12，x →0时，f (0)→14，方程f (x )＝b 有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.17．解析：(1)根据题意，若∀x ∈R ，关于x 的方程x 2＋mx ＋m ＋3＝0有两个不相等的负实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4m ＋3>0x 1＋x 2＝－m2<0x 1x 2＝m ＋3>0，解得m >6，故M ＝{m |m ≤6}．(2)由(x －a )(x －2)<0且a ≠2，得当a <2时，N ＝{x |a <x <2}，当a >2时，N ＝{x |2<x <a }．因x ∈N 是x ∈M 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤6a ≤6a ≠2，解得a <2或2<a ≤6.18．解析：(1)f (x )的对称轴为x ＝－a 2，因为f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以－a2≤1，解得a ≥－2.(2)因为f (x )＝(x ＋a ＋1)(x －1)，当a ＋1<－1，即a <－2时，解集为{x |1≤x ≤－a －1}；当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，解集为{x |x ＝1}；当a ＋1>－1，即a >－2时，解集为{x |－a －1≤x ≤1}．19．解析：(1)因为函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋axx －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，所以a ＝1，f (x )＝log 21＋x x －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}． (2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1]．20．解析：(1)由已知，当t ＝0时，x ＝1(万件)，所以1＝3－k ，解得k ＝2，所以x ＝3－2t ＋1. 由已知，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，所以2022年的利润y ＝1.5x ·8＋16x x －8－16x －t ＝28－16t ＋1－t (t ≥0)(2)因为y ＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋1＋16t ＋1，所以(t ＋1)＋16t ＋1≥216＝8，当且仅当t ＋1＝16t ＋1即t ＝3时取等号．所以y ≤29－8＝21，即y max ＝21(万元)．答：该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． 21．解析：(1)当－1＜x ＜0时，0＜－x ＜1，f (－x )＝9－x9－x ＋3＝11＋3·9x ，因为f (x )是(－1,1)上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－11＋3·9x ，当x ＝0时，f (0)＝0，所以，f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－11＋3·9x ，－1＜x ＜00，x ＝09x 9x＋3，0＜x ＜1；当－1＜x ＜0时，9x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1，1＋3·9x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4，－11＋3·9x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14，当0＜x ＜1时，9x∈(1,9)，1＋－39x ＋3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，所以，f (x )在(－1,1)上的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－14∪{0}∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34； (2)当0＜x ＜1时，f (x )＝9x9x ＋3，f (x )＋f (1－x )＝9x9x ＋3＋91－x91－x ＋3＝9x9x ＋3＋99＋3·9x ＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20212022＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20192022＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20172022＝ (1)故f ⎝⎛⎭⎪⎫12022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32022＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52022＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20212022＝10112.22．解析：(1)∵f (x )是定义域为R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0，∴f (0)＝1－t －11＝0，∴t ＝2，经检验知符合题意，f (x )＝a x －a －x，∵函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴a －a －1＝32，得2a 2－3a －2＝0，解得：a ＝2或a ＝－12，因为a >0且a ≠1，∴a ＝2.(2)由(1)得f (x )＝2x －2－x，由f (kx －x 2)＋f (x －1)<0，得f (kx －x 2)<－f (x －1)， ∵f (x )为奇函数，∴f (kx －x 2)<f (1－x )， ∵2>1，∴f (x )＝2x －2－x为R 上的增函数，∴kx －x 2<1－x 对一切x ∈R 恒成立，即x 2－(k ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，故Δ＝(k ＋1)2－4<0，解得－3<k <1. (3)g (x )＝22x＋2－2x －m (2x －2－x)，设t ＝2x －2－x ，则(2x －2－x )2－m (2x －2－x )＋2＝t 2－mt ＋2，∵x ∈[1，log 23]，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，83，记h (t )＝t 2－mt ＋2，∴函数h (t )＝t 2－mt ＋2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，83有最大值为1，①若对称轴t ＝m 2>2512，∴h (t )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝174－32m ＝1⇒m ＝136，不合题意．②若对称轴t ＝m 2≤2512，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤2512h tmax＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤256m ＝7324⇒m ＝7324，综上所述：故存在实数m ＝7324，使函数g (x )在[]1，log 23上的最大值为1.。

2022届高考数学集合专项训练(含解析)

2022届高考数学集合专项训练（含解析）一、单选题1．（2022·宝鸡模拟）集合M={x|x2−x−2=0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=（）A．{−1,2}B．{−2,1}C．{-2}D．{2} 2．（2022·吕梁模拟）已知集合A={x|x2−5x−6<0}，B={−2,1,4,8}，则A∩B=（）A．{−2,1}B．{1,8}C．{1,4}D．{4,8}3．已知集合A={x|2x>1}，B={x|x2+5x−6<0}，则A∩B=（）A．(−1,0)B．(0,6)C．(0,1)D．(−6,1) 4．（2022·济南模拟）若集合M={0,1,2},N={x|x=2a,a∈M}，则M∩N=() A．{0}B．{0,1}C．{1,2}D．{0,2} 5．（2022·沈阳模拟）集合A={x|−2<x≤2}，B={−2,−1,0,1}，则A∩B=（）A．{−1,1,2}B．{−2,−1,0,1}C．{−1,0,1}D．{−2,−1,0,1,2}6．（2022·岳阳模拟）已知集合A={x|−2<x<1}，集合B={x|1−x2≥0}，则A∩B=（）A．(−2,−1]B．(−2,1]C．[−1,1)D．[−1,1] 7．（2022·永州模拟）已知全集U={−2,−1,1,4}，集合A={−2,1}，B={1,4}，则A∪(∁U B)=（）A．{−2}B．{−2,−1}C．{−2,−1,1}D．{−1,1,4}8．（2021·邵阳模拟）已知全集U=R，集合A={x|1<x<3},B={x|2x>4}，则(∁U B)∩A等于（）A．(1,2)B．(1,2]C．(1,3)D．(−∞,2] 9．（2022·郑州模拟）已知集合P={x∈N∣1<x⩽4}，集合Q={x∣x2−x−6⩽0}，则P∩Q=（）A．(1,3]B．{2，3}C．{1，2，3}D．(1,4] 10．（2022·河南模拟）已知集合M={x|2x2+x−3<0}，N={x|x<−1}，则M∩(∁R N)=（）A．{x|−32<x<−1}B．{x|−1<x<3 2}C．{x|−1≤x<32}D．{x|−1≤x<1} 11．若集合M={x|1<x2<2}，N={x|x>0}，则M∩N=（）A．(0,1)B．(1,√2)C．(0,√2)D．(1,+∞) 12．（2022·玉林模拟）设集合A={x|x2−4x<0},B={x∈Z|x≥1}，则A∩B=（）A．{x|1≤x<4}B．{x|0<x<4}C．{1,2,3}D．{1,2,3,4}13．（2022·桂林模拟）设A={x|x2+2x−3>0}，B={−1,0,1,2,3,4,5,6}，则A∩B=（）．A．{2,3,4,5,6}B．{3,4,5,6}C．{6}D．2，3，4，5，614．（2022·广西模拟）已知集合A={x|x2−5x+4<0},B={x|1<x≤5}，则∁B A=（）A．{x|1<x<4}B．{x|1<x<5}C．{x|4<x<5}D．{x|4≤x≤5}15．（2022·茂名模拟）已知集合A={x|-1≤3}，B={-1,0,2,3}，则A∩B=（）A．{−1,0,2,3}B．{0,3}C．{0,2}D．{0,2,3}16．（2022·广东模拟）已知集合A={0,2,3}，B={2,m}，若A∩B中元素之和与A∪B中元素之和相等，则m的所有可能取值构成的集合为（）．A．{−3,1}B．{−3,3}C．{−3,0,1}D．{−3,0,3} 17．（2022·广东模拟）已知集合A={x|0<x≤3}，B={x||2x−1|<3}，则A∪B=（）A．[−1,3]B．(−1,3]C．(0,2)D．[−1,3) 18．（2022·莆田模拟）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2,3,4},N={3,4,5}，则∁U(M∩N)=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,5} 19．（2022·马鞍山模拟）已知集合A={1，2，3}，B={3，4}，C={x∈R|1≤x≤4}，则(A∪B)∩C等于（）A．{2}B．{2，3}C．{1，2，3，4}D．{x∈R|1≤x≤4}20．（2022·黄山模拟）设集合A={x|x+1x−4≤0}，B={x|−1<x<3}，则A∩(∁R B)=（）A．{x|3≤x≤4或x=−1}B．{x|3≤x≤4}C．{x|3≤x<4或x=−1}D．{x|3≤x<4}21．（2022·淮南模拟）已知集合A={x|x>2或x<−4}，B={x|x<a}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）A．[−4,+∞)B．(−4,+∞)C．[2,+∞)D．(2,+∞) 22．（2022·淮北模拟）已知集合A={x|y=lg(1−x)}，B={−1,0,1}，则A∩B=（）A．{−1,0}B．{0,1}C．(0,1]D．(−∞,1) 23．（2021·新高考Ⅱ卷）设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3} 24．（2021·北京）已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．(−1,2)B．(−1,2]C．[0,1)D．[0,1] 25．（2021·浙江）设集合A={x|x≥1}，B={x|−1<x<2}，则A∩B=（）A．{x|x>−1}B．{x|x≥1}C．{x|−1<x<1}D．{x|1≤x<2}26．（2021·全国乙卷）已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2},N={3,4},则C u（MUN）=（）A．{5}B．{1,2}C．{3,4}D．{1,2,3,4} 27．（2021·全国甲卷）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x∣2x>7}，则M∩N＝() A．{7，9}B．{5，7，9}C．{3，5，7，9}D．{1，3，5，7，9}28．（2021·全国甲卷）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| 13≤x≤5｝，则M∩N=（）A．｛x|0＜x≤ 13｝B．｛x| 13≤x＜4｝C．｛x|4≤x＜5｝D．｛x|0＜x≤5｝29．（2021·全国乙卷）已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z 30．（2021·天津）设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5},C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=（）A．{0}B．{0,1,3,5}C．{0,1,2,4}D．{0,2,3,4} 31．（2021·新高考Ⅱ）设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A．{2}B．{2,3}C．{3,4,}D．{2,3,4} 32．（2020·新课标Ⅱ·文）已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．533．（2020·新课标Ⅱ·理）已知集合 A ={(x,y)|x,y ∈N ∗,y ≥x} ， B ={(x,y)|x +y =8} ，则 A ∩B中元素的个数为（） A ．2B ．3C ．4D ．634．（2020·新课标Ⅱ·文）已知集合A={x||x|<3，x∈Z}，B={x||x|>1，x∈Z}，则A∩B=（）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}35．（2022·静安模拟）设集合A ={y|y =(12)x ,x ∈R}，集合B ={y|y =x 12,x ≥0}，则A ∩B = ．36．（2022·上海）已知 A =(−1,2) ， B =(1,3) ，则 A ∩B =答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解方程x2−x−2=0得：x1=−1，x2=2，则M={−1,2}，而集合N={−2,−1,0,1,2}，所以M∩N={−1,2}。

高考数学三轮冲刺集合与函数课时提升训练(5)

集合与函数（5）3、已知函数f（x）=x2－2（－1）k1nx（k∈N*）存在极值，则k的取值集合是A．{2,4,6,8,…} B．{o,2,4,6,8,…}C．{l,3,5,7,…} D．N*4、已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且，则A．2 B．3 C．4 D．05、定义在R上的函数具有下列性质：①；②；③上为增函数.对于下述命题，正确命题的个数为①为周期函数且最小正周期为4②的图象关于y轴对称且对称轴只有一条③在上为减函数A.0B.1C.2D. 38、的值域为A．[2，+） B．（—，] C．（0，] D．[0，] 15、已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（）A．0 B． C．1 D．16、已知函数上的偶函数，当时，的零点个数为( )A．4 B．6 C．8 D．1020、函数是单调函数时，的取值范围（）A． B． C ． D．24、已知函数,若关于的不等式的解集为，则的取值范围是．25、已知函数的定义域为，则实数的取值范为▲ .26、将正偶数集合…从小到大按第组有个偶数进行分组如下：第一组第二组第三组…………则位于第_______组。

27、已知函数f(x)=，x∈，则满足f(x0)＞f()的x0的取值范围为．30、已知，且，则的最小值是________．31、已知函数y=f（x+1）是R上的偶函数，且时恒成立，又的解集是 .34、函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②若为单函数，且则；③若f：A B为单函数，则对于任意b B，它至多有一个原象；④函数在某区间上具有单调性，则一定是该区间上的单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）35、已知函数是定义在（–1，1）上的奇函数，且. （1）求函数f(x)的解析式；(2)求：f(x+1)36、若f(x)= ax2+bx+a是定义在 [a-1，2a]的偶函数，则a+b=38、设（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若存在实数满足，试求实数的取值范围.3、A4、【答案】A【解析】因为，所以令x=0得：，因为的图象关于直线对称，所以，所以…………①令x=-2,得…………②①②联立解得，所以，所以函数的周期为4，所以，因此选A。

2024数学高考前冲刺题《新定义综合(数列新定义、函数新定义、集合新定义)》含答案

黄金冲刺大题07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）1．（2024·辽宁·二模）已知数列{}n a 的各项是奇数，且n a 是正整数n 的最大奇因数，34212n n S a a a a a =+++++L .(1)求620,a a 的值；(2)求123,,S S S 的值；(3)求数列{}n S 的通项公式.【答案】(1)63a =，205a =(2)12S =，26S =，322S =(3)423n n S +=【分析】（1）根据所给定义直接计算可得；（2）根据所给定义列出()1,2,3,,8i i a = ，即可得解；（3）当n 为奇数时2121n k a a k -==-()N *k ∈，即可求出13521n a a a a -++++ ，当n 为偶数时2n k ka a a ==()N *k ∈，从而得到246812nn a a a a a S -+++++= ，即可推导出114n n n S S ---=()2n ≥，再利用累加法计算可得.【详解】（1）因为6123=⨯⨯，所以63a =，又20145=⨯⨯，所以205a =；（2）依题意可得121a a ==，33a =，41a =，55a =，63a =，77a =，81a =，所以1122S a a =+=，2341211316a S a a a =+++=+++=，3123567481131537122S a a a a a a a a =++++++++=++++++=.（3）因为n a 是正整数n 的最大奇因数，当n 为奇数，即21n k =-()N *k ∈时2121n k a a k -==-，所以()()111352112113521242n n nn n a a a a ---+-++++=++++-=⨯= ，当n 为偶数，即2n k =()N *k ∈时2n k k a a a ==，所以当2n ≥时1246812223242222n n a a a a a a a a a a -⨯⨯⨯⨯⨯+++++=+++++ 1123412n n a a a a a S --=+++++= ，所以34212nn S a a a a a =+++++L ()()1352468212n n a a a a a a a a a -=++++++++++ 114n n S --=+，所以114n n n S S ---=()2n ≥且12S =，所以()()()()11221321n n n n n S S S S S S S S S S ---=-+-++-+-+ 12244442n n --=+++++ ()1414422143n n --+=+=-，当1n =时12S =也满足423n n S +=，所以数列{}n S 的通项公式为423n n S +=.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解定义，第三问关键是推导出114n n n S S ---=()2n ≥且12S =，最后利用累加法求出n S .2．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知数列12:,,,(3)N A a a a N ≥ 的各项均为正整数，设集合{j i T x x a a ==-∣，1}i j N ≤<≤，记T 的元素个数为()P T .(1)若数列A :1，3，5，7，求集合T ，并写出()P T 的值;(2)若A 是递减数列，求证:“()1P T N =-”的充要条件是“A 为等差数列”;(3)已知数列2:2,2,,2N A ，求证:(1)()2N N P T -=.【答案】(1){2,4,6},()3T P T ==.(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；（2）若A 为等差数列，且A 是递减数列，得到0d <，结合()i j a a j i d -=-，证得充分性成立；再由A 是递减数列，得到{}2131411,,,,N T a a a a a a a a =----L ，结合互不相等，得到21321N N a a a a a a --=-==- ，得到必要性成立，即可得证；（3）根据题意，得到(1)()2N N P T -≤，得出22ij j i a a --=，得到()()111222221221i j i i j i ---=-，不妨设12i i >，则()12112222121i i j i j i ----=-，推得2221j i --为奇数，矛盾，进而得证.【详解】（1）解：由题意，数列:1,3,5,7A ，可得312,514,716,532,734-=-=-=-=-=752-=，所以集合{2,4,6}T =，所以()3P T =.（2）证明：充分性：若A 为等差数列，且A 是递减数列，则A 的公差为(0)d d <，当1i j N ≤<≤时，()i j a a j i d -=-，所以{,2,3,,(1)}T d d d N d =- ，则()1P T N =-，故充分性成立.必要性:若A 是递减数列，()1P T N =-，则A 为等差数列，因为A 是递减数列，所以2131411N a a a a a a a a ->->->>- ，所以2131411,,,,N a a a a a a a a T ----∈L ，且互不相等，所以{}2131411,,,,N T a a a a a a a a =----L ，又因为324221N N a a a a a a a a ->->>->- ，所以232421,,,,N N a a a a a a a a T ----∈ 且互不相等，所以322142312,,,N a a a a a a a a a a -=--=-- 11N a a -=-，所以21321N N a a a a a a --=-==- ，所以A 为等差数列，必要性成立.所以若A 是递减数列，“()1P T N =-”的充要条件是“A 为等差数列”.（3）证明：由题意集合{}|,1j i T x x a a i j N ==-≤<≤中的元素个数最多为(1)2N N -个，即(1)()2N N P T -≤，对于数列2:2,2,2N A ，此时22ij j i a a --=，若存在1122j i j i a a a a --=，则11222222j i j i -=-，其中1122,j i j i >>，故()()111222221221i j i i j i---=-，若12i i ≠，不妨设12i i >，则()12112222121i i j i j i ----=-，而1122,j i j i >>，故()1211221i i j i ---为偶数，2221j i --为奇数，矛盾，故12i i =，故12j j =，故由2:2,2,2N A 得到的j i a a -彼此相异，所以(1)()2N N P T -=.3．（2024·广西·二模）已知函数()ln f x x =，若存在()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”．(1)如果函数()ln tg x x x=-为()f x 的一个“下界函数”，求实数t 的取值范围；(2)设函数()()12e e x F xf x x=-+，试问函数()F x 是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2(,e-∞-(2)函数F(x)是否存在零点，理由见解答【分析】（1）把恒成立问题转换为求2ln x x 的最小值问题，利用导数求出最小值即可；（2）把函数整理成()1111211ln e e e e e e e x x xxF x x x x x x ⎛⎫=-+≥--+=- ⎪⎝⎭，要判断是否有零点，只需看()F x 的正负问题，令1()e ex xG x =-，利用导数分析()G x 即可.【详解】（1）由()()g x f x ≤恒成立，可得ln ln tx x x -≤恒成立，所以2ln t x x ≤恒成立,令()2ln h x x x =，所以()21ln h x x '=+（），当1(0,)e x ∈时, ()0h x '<，()h x 在1(0,)e单调递减；当1()e x ∈+∞时, ()0h x '>，()h x 在1()e+∞，单调递增；所以()h x 的最小值为12()e e h =-，所以2e t ≤-，实数t 的取值范围2(,e]-∞-；（2）由（1）可知22ln e x x ≥-，所以22ln e x x ≥-，所以1ln e x x≥-，①又()()12e e x F xf x x =-+，所以1211211()ln (e e e e e e e x x xx F x x x x x x =-+≥--+=-，令1()e e x xG x =-，所以1()ex x G x -'=，当(0,1)x ∈时, ()0'<G x ，()G x 在(0,1)单调递减；当(1)x ∈+∞，时, ()0G x '>，()G x 在()1,∞+单调递增；所以()(1)0G x G ≥=，②所以1211211()ln ()0e e e e e e exx x xF x x x x x x =-+≥--+=-≥，又①②中取等号的条件不同，所以()0F x >所以函数没有零点.4．（2024·湖南长沙·模拟预测）设n 次多项式()121210()0n n n n n n P t a t a t a t a t a a --=+++++≠ ，若其满足(cos )cos n P x nx =，则称这些多项式()n P t 为切比雪夫多项式.例如：由cos cos θθ=可得切比雪夫多项式1()P x x =，由2cos 22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式22()21P x x =-.(1)若切比雪夫多项式323()P x ax bx cx d =+++，求实数a ，b ，c ，d 的值；(2)对于正整数3n …时，是否有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立？(3)已知函数3()861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点，分别记为123,,x x x ，证明：1230x x x ++=.【答案】(1)4,0,3a b d c ====-(2)()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用()()3cos cos3cos 2P θθθθ==+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,,,a b d c ；（2）要证原等式成立，只需证明()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，结合（1）可是1cos32θ=，可得123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，计算可得结论.【详解】（1）依题意，()()()223cos cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos P θθθθθθθθθθθθ==+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-，因此()3343P x x x =-，即32343ax bx cx d x x +++=-，则4,0,3a b d c ====-，（2）()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式()()cos 1cos 12cos cos n n n θθθθ++-=⋅.首先有如下两个式子：()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ+=+=-，()()1cos cos cos cos sin sin n P n n n θθθθθθθ-=-=+，两式相加得，()()()11cos cos 2cos cos 2cos cos n n n P P n P θθθθθθ-++==，将cos θ替换为x ，所以()()()112n n n P x x P x P x +-=⋅-.所以对于正整数3n ≥时，有()()()122n n n P x x P x P x --=⋅-成立.（3）函数()3861f x x x =--在区间()1,1-上有3个不同的零点123,,x x x ，即方程31432x x -=在区间()1,1-上有3个不同的实根，令()cos ,0,πx θθ=∈，由()1知1cos32θ=，而()30,3πθ∈，则π33θ=或5π33θ=或7π33θ=，于是123π5π7πcos ,cos ,cos 999x x x ===，则123π5π7ππ4π2πcos cos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππππcoscos cos cos 2cos cos cos 999999399⎛⎫⎛⎫+=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1230x x x ++=.5．（2024·浙江·模拟预测）已知实数0q ≠，定义数列{}n a 如下：如果{}2012222,0,1k k i n x x x x x =++++∈ ，0,1,2,,i k = ，则2012k n k a x x q x q x q =++++ ．(1)求7a 和8a （用q 表示）；(2)令12n n b a -=，证明：211n ni i b a -==∑；(3)若12q <<，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．【答案】(1)23781,a q q a q=++=(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2）112n n n b a q --==，分别计算1ni i b =∑和21n a -可证明结论；（3）先根据112n n a q --=无上界说明存在正整数m ，使得n m a a <，分1m -是偶数和1m -是奇数分别说明.【详解】（1）因为27122=++，所以271a q q =++；因为382=，所以38a q =；（2）由数列{}n a 定义得：112n n n b a q --==；所以2111nn i i b q q q -==++++∑ ．而21211222n n --=++++ ，所以121211n nn i i a q q qb --==++++=∑ ；（3）当12q <<，由（2）可知，112n n a q --=无上界，故对任意n a ，存在m a ，使得m n a a >．设m 是满足m n a a >的最小正整数．下面证明1m n a a ≤+．①若1m -是偶数，设{}2121222,0,1,1,2,,kk i m x x x x i k -=+++∈= ，则2121222kk m x x x =++++ ，于是212111k m k m a x q x q x q a -=++++=+ ．因为1n m a a -≥，所以111m m n a a a -=+≤+．②若1m -是奇数，设2221122222l l kl k m x x ++-=+++++++ ，则()()()()12221111111l l l l m m a a qq q q q q q q q q q +--=-++++=-++++-+++++< ．所以111m m n a a a -<+≤+．综上所述，对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得1n m n a a a <≤+．6．（2024·辽宁·三模）若实数列{}n a 满足*n ∀∈N ，有212n n n a a a +++≥，称数列{}n a 为“T 数列”.(1)判断2,ln n n a n b n ==是否为“T 数列”，并说明理由；(2)若数列{}n a 为“T 数列”，证明：对于任意正整数,,k m n ，且k m n <<，都有n m m ka a a a n m m k--≥--(3)已知数列{}n a 为“T 数列”，且202410i i a ==∑.令{}12024max ,M a a =，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者.证明：{}1,2,3,,2024k ∀∈ ，都有20252023k M a M -≤≤.【答案】(1)数列{}n a 是“T 数列”，数列{}n b 不是“T 数列”；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据“T 数列”的定义判断可得出结论；（2）由()1122,3,k k k a a a k -++≥= 可得出11k k k k a a a a +--≥-，利用累加法结合不等式的基本性质可得1m m m n a a a a n m +-≥--，以及1m km m a a a a m k--≤--，再结合11m m m m a a a a +--≥-可证得结论成立；（3）首先当1k =或2024时的情况，再考虑{2,3,,2023}k ∈ 时，结合（2）中结论考虑用累加法可证得结论.【详解】（1）因为()()22221222120n n n a a a n n n +++-=++-+=>，所以数列{}n a 是“T 数列”，因为()()22212ln ln(2)2ln(1)ln 2ln 210n n n b b b n n n n n n n +++-=++-+=+-++<，所以数列{}n b 不是“T 数列”；（2）令1n n n c a a +=-，因为数列{}n a 为“T 数列”，所以212n n n a a a +++≥从而211n n n n a a a a +++-≥-，所以1n n c c +≥因为1k m n ≤<<，所以()()()1121n n n n m m n m a a a a a a a a n m n m ---+-+-++--=-- 12()n n m m m c c c n m c c n m n m--+++-=≥=-- ，()()()1121m m m m k k m k a a a a a a a a m k m k ---+-+-++--=-- 1211()m m k m m c c c m k c c m k m k ----+++-=≤=-- 因为1m m c c -≥，所以n m m ka a a a n m m k--≥--.（3）当1k =或2024时，k k k a a a -≤≤，从而20252023k k k M M a a a M -≤-≤-≤≤≤，当{2,3,,2023}k ∈ 时，因为12024k <<，由第(2)问的结论得2024120241k k a a a a k k --≥--，可推得120242024120232023k k k a a a --≤+，从而1202412024202412024120241202320232023202320232023k k k k k k k a a a a a M M M ------≤+≤+≤+=对于1i k ∀<<，由第(2)问的结论得11k i i a a a a k i i --≥--，从而[]1111(1)(),1111i k k i k i a a a i a k i a i k k k --≤+=-+-=---也成立，从而11111111111(2)(1)(1)(2)(1)()112222k k k i k k k i i i k k k k k k a i a k i a a a a a k k ---===----⎡⎤⎡⎤≤-+-=+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦∑∑∑对于2024k i ∀<<，由第(2)问的结论得20242024i i ka a a a i i k--≥--，从而[]2024202420241()(2024),202420242024i k k i k i a a a i k a i a k k k--≤+=-+----2024i =也成立，从而20242024202420241111()(2024)2024i k i k i k i k a i k a i a k =+=+=+⎡⎤≤-+-⎢⎥-⎣⎦∑∑∑20241(2025)(2024)(2023)(2024)202422k k k k k a a k----⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦2024(2005)(2023)22kk k a a --=+所以202420241(2005)(2023)22iki k k k aa a =+--≤+∑由条件20241202412024111(2)(2005)(2023)02222k i i k i k k ki i i k k k k k a a a a a a a a a -===+---==++≤++++∑∑∑1202420232025222k k ka a a -=++可得1202420252025202520232023202320232023k k k kk a a a M M M --⎛⎫⎛⎫≥-+≥-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20252023k M a M -≤≤.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中的新定义，结合已知结论进行推导、求解；本题中，根据“T 数列”的定义“212n n n a a a +++≥”结合作差法、不等式的性质进行推理、证明不等式成立，并在推导时，充分利用已有的结论进行推导，属于难题.7．（2024·广东梅州·二模）已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n M ，即{}12max ,,,n n M a a a =⋅⋅⋅；前n 项的最小值记为n m ，即{}12min ,,,n n m a a a =⋅⋅⋅，令n n n p M m =-（1,2,3,n =⋅⋅⋅），并将数列{}n p 称为{}n a 的“生成数列”．(1)若3nn a =，求其生成数列{}n p 的前n 项和；(2)设数列{}n p 的“生成数列”为{}n q ，求证：n n p q =；(3)若{}n p 是等差数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +，⋅⋅⋅是等差数列．【答案】(1)()33213nn --(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用指数函数的性质判断数列的单调性，从而得出{p n }的通项，由分组求和法及等比数列的前n 项和公式进行求解即可；（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义进行证明即可；（3）根据等差数列的定义分类讨论进行证明即可．【详解】（1）因为3n n a =关于n 单调递增，所以{}12max ,,,3nn n n M a a a a =⋅⋅⋅==，{}121min ,,,3n n m a a a a =⋅⋅⋅==，于是33nn n n p M m =-=-，{}n p 的前n 项和()()()()()1231333333333313132n n nn P n n -=-+-++-=-=--- ．（2）由题意可知1n n M M +≥，1n n m m +≤，所以11n n n n M m M m ++-≥-，因此1n n p p +≥，即{}n p 是单调递增数列，且1110p M m ==-，由“生成数列”的定义可得n n q p =．（3）若{}n p 是等差数列，证明：存在正整数0n ，当0n n ≥时，12n n n a a a ++⋯,,,是等差数列．当{}n p 是一个常数列，则其公差d 必等于0，10n p p ==，则n n M m =，因此{}n a 是常数列，也即为等差数列；当{}n p 是一个非常数的等差数列，则其公差d 必大于0，1n n p p +>，所以要么11n n n M a M ++>=，要么11n n n m a m ++=<，又因为{}n a 是由正整数组成的数列，所以{}n a 不可能一直递减，记2min ,{}n n a a a a = ,,,，则当0n n >时，有n n M m =，于是当0n n >时，0n n n n n p M m a a =-=-，故当0n n >时，0n n n a p a =+，…，因此存在正整数0n ，当0n n ≥时，12n n n a a a ++,,，…是等差数列．综上，命题得证．【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.8．（2024·浙江绍兴·二模）已知*k ∈N ，集合{0101222,0,k i i ik k X x x i i i ==++⋅⋅⋅+≤<<< 其中}01,,,k i i i ⋅⋅⋅∈N .(1)求2X 中最小的元素；(2)设13122a X =+∈，1b X ∈，且1a b X +∈，求b 的值；(3)记(12,2k n k nk k Y X +-+⎤=⋂⎦，*n ∈N ，若集合k Y 中的元素个数为n b ，求1112k mm m b +-=∑.【答案】(1)7(2)24b =或10(3)2k【分析】（1）根据集合新定义，确定2X 中最小的元素即可；（2）根据集合1X 中的元素可得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j ≤<∈N ，分别讨论当3j ≤时，当4j =时，当5j ≥时，b 的取值情况，即可得结论；（3）设k x Y ∈，则01222k i i i x =++⋅⋅⋅+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -≤<<⋅⋅⋅<<+-，所以1C kn k n b +-=，根据组合数的运算性质确定1k S +与k S 的关系，即可求得1112k mm m b +-=∑的值.【详解】（1）2X 中的最小元素为0122227++=.（2）由题得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j ≤<∈N .①当3j ≤时，322212b =+=或312210b =+=或30229b =+=或21226b =+=或20225b =+=或10223b =+=.经检验，当10b =时，422022a b +==+，符合题意，所以10b =.②当4j =时，432224b =+=或422220b =+=或412218b =+=或402217b =+=.经检验，当24b =时，513422a b +==+，符合题意，所以24b =.③当5j ≥时，不符合题意.因此，24b =或10.（3）设k x Y ∈，则01222k i i i x =++⋅⋅⋅+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -≤<<⋅⋅⋅<<+-，所以1C kn k n b +-=，设1112k m k m m b S +-==∑，则1222111C C C C 222k k k kkk k k k k S ++=+++⋅⋅⋅+.因为1111C C C k k k n n n ++--=+，所以1111111232122211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k S ++++++++++++=+++⋅⋅⋅++()()()()11111122222121211111C C C C C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++=+++++⋅⋅⋅++++12221211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭111112*********C C C C 2222k k k k k k k k k k +++++++++++⋅⋅⋅++1122211111C C 222k k k k k k k k S S +++++⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()()()()()()()()1212221!22!21!21!11C C 02!1!21!1!!1!k k k k k k k k k k k k k k ++++++-+-=-⋅==++++，所以1112k k k S S S ++=+，所以12k k S S +=，又因为11211C 22S =+=，所以2kk S =.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合k X 中的元素性质；（2）确定集合k Y 中的元素个数为n b 时，结合组合数的运算性质确定1112k mk m m b S +-==∑与1k S +的关系.9．（2024·山东潍坊·二模）数列{}n a 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列{}1n n a a +-称为{}n a 的一阶差数列，记为(){}1n a ，依此类推，(){}1n a 的一阶差数列称为{}n a 的二阶差数列，记为(){}2n a ，…．如果一个数列{}n a 的p 阶差数列(){}pna 是等比数列，则称数列{}na 为p 阶等比数列()*p ∈N ．(1)已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+．（ⅰ）求()11a ，()12a ，()13a ；（ⅱ）证明：{}n a 是一阶等比数列；(2)已知数列{}n b 为二阶等比数列，其前5项分别为2037782151,,,,9999，求n b 及满足n b 为整数的所有n 值．【答案】(1)（ⅰ）()112a =，()124a =，()138a =；（ⅱ）证明见解析(2)当()91,N n k k =+∈时，n b 为整数.【分析】（1）（ⅰ）根据(){}1n a 的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造()112n n n n a a a a +--=-即可证明；（2）由题意{}n b 的二阶等差数列{}(2)nb 为等比数列，设公比为q ，可得(2)1243n nb-=⨯，结合()11119b =进而可得()124127n n b n -=⨯-+，从而分析n b 为整数当且仅当14127n --为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.【详解】（1）（ⅰ）由11a =，121n n a a +=+易得2343,7,15a a a ===，……由一阶等差数列的定义得：()21112a a a =-=，()31224a a a =-=，()41338a a a =-=.（ⅱ）因为121n n a a +=+，所以当2n ≥时有121n n a a --=，所以1122n n n n a a a a +--=-，即()112n n n n a a a a +--=-，即()()1112,2n n a a n -=≥，又因为11a =，故(){}1n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，即{}n a 是一阶等比数列.（2）由题意{}n b 的二阶等差数列{}(2)nb 为等比数列，设公比为q ，则(2)123b =，4q =，所以(2)1243n n b -=⨯.由题意()11119b =，所以()()()()()()1111211111111124199n n k k k k k n n b b b b b --+=-===-⨯+=++∑∑，所以()()()11111111214127n n k k k k k n n b b b n b b ---+==+-+===⨯-+∑∑，即()124127n n b n -=⨯-+.所以n b 为整数当且仅当14127n --为整数.由已知1n =时符合题意，2,3,4,5n =时不合题意，当6n ≥时，()111223311111141131C 3C 3C 3C 3n n n n n n n n ---------=+-=⨯+⨯+⨯++⨯ ，所以原题等价于12113C 9C 27n n --+为整数，因为()()()()121131113413C 9C 271829n n n n n n --⎡⎤-----+⎣⎦==⨯①，显然()311n --含质因子3，所以n 1-必为9的倍数，设()19,N n k k -=∈，则91n k =+，将91n k =+代入①式，当k 为奇数时，()311n --为偶数，①式为2的倍数；当k 为偶数时，n 为奇数，n 1-为偶数，①式为2的倍数，又因为2与9互质，所以①为整数.综上，当()91,N n k k =+∈时，n b 为整数.【点睛】方法点睛：（1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；（2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析.10．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在实数0x ，使得()00f x x =，我们就称该函数为“不动点”函数，实数0x 为该函数的不动点.(1)求函数()23x f x x =+-的不动点;(2)若函数()ln g x x b =-有两个不动点12,x x ，且12x x <，若212x x -≤，求实数b 的取值范围.【答案】(1)2log 3(2)2222ln 1e 1e 1b ⎛⎫-≤<- ⎪--⎝⎭【分析】（1）根据不动点定义求解即可；（2）根据题意问题转化为方程ln b x x =-有两个不等的实数根12,x x ，令()ln x x x ϕ=-，利用导数判断单调性极值，可得1b <-，且21x x -的值随着b 的值减小而增大，列式求出212x x -=时的b 值，得解.【详解】（1）设()f x 的不动点为0x ，则00023xx x +-=，解得02log 3x =，所以函数()f x 的不动点为2log 3.（2）函数()g x 有两个不动点12,x x ，即方程ln x b x -=，即ln b x x =-有两个不等的实数根12,x x ，令()ln x x x ϕ=-，则()111xx x xϕ-=-='，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ'<，所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，()()11x ϕϕ∴≤=-，且0x →时，()x ϕ∞→-，x →+∞时，()x ϕ∞→-，作出()x ϕ的大致图象如下：所以1b <-，且21x x -的值随着b 的值减小而增大，当212x x -=时，有1122ln ln b x x b x x =-⎧⎨=-⎩，两式相减得2211ln 2x x x x =-=，解得221e x x =，即221e x x =，代入212x x -=，解得122e 1x =-，所以此时2222ln e 1e 1b ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，所以满足题意的实数b 的取值范围为2222ln 1e 1e 1b ⎛⎫-≤<- ⎪--⎝⎭.11．（2024·河北沧州·一模）对于函数()y f x =，x I ∈，若存在0x I ∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的一阶不动点；若存在0x I ∈，使得()()00f f x x =，则称0x 为函数()f x 的二阶不动点；依此类推，可以定义函数()f x 的n 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A 和B ，即{}()A x f x x ==，{}(())B x f f x x ==．(1)若()ee (0)xf x x =>，证明：集合{}()A x f x x ==中有且仅有一个元素；(2)若()()212ln 1(1)exf x a x a x =+-+>-，讨论集合B 的子集的个数．【答案】(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）令e ()()e xg x f x x x =-=-，求导，可得函数()g x 的单调性，进而可得函数()g x 有唯一零点，可得结论；（2）由题意可知只需研究()f x 的不动点即可，令221()ln e F x x ax x=+-，求出其导数，判断其单调性，然后分类讨论a 的取值范围，判断()F x 的零点情况，即可判断()f x 的稳定点个数.，进而可得集合B的子集的个数.【详解】（1）令e()()e x g x f x x x =-=-，求导得e1()e 1ex g x '=-，令()0g x '=，可得e x =，当,e)x ∈-∞（，()0g x '<，当e,)x ∈+∞（，()0g x '>，所以min ()(e)0g x g ==，所以()g x 有唯一零点，所以集合{}|()A x f x x ==中有且仅有一个元素；（2）当1a >-时，由函数212ln ()(1)exf x a x x =+-+，可得导函数22121()(1)0e f x a x x'=+++⨯>，所以()f x 在0（，）+∞上单调递增，由反函数的知识，()f x 稳定点在原函数与反函数的交点上，即()f x 稳定点与()f x 的不动点等价，故只需研究212ln ()(1)exf x a x x =+-+的不动点即可；令221()()ln ,(0)e F x f x x x ax x x=-=+->，则22211()e F x a x x'=⨯++，则()F x '在0（，）+∞上单调递减，①当0a >时，()0F x '>恒成立，即()F x 在0（，）+∞上单调递增，当x 无限接近于0时，()F x 趋向于负无穷小，且2222221(e )ln e e 0e e F a =+⨯->，故存在唯一的20(0,e )x ∈，使得()0F x =，即()f x x =有唯一解，所以此时()f x 有唯一不动点；②当0a <时，即10a -<<时，22(1)10e F a '=++>，当1x 趋向无穷大时，2211211e x x ⨯+趋近于0，此时1()0F x '<，存在唯一1(0,)x ∈+∝，使得2211211()0e F x a x x '=⨯++=，此时()f x 在1(0,)x 上单调递增，在1()x +∞，上单调递减，故max 11112221121222()()ln ln e e eF x F x x ax x x x ==+-=--，当x 趋近于0时，()F x 趋向于负无穷大，当x 向正无穷大时，()F x 趋向负无穷大时，设22222()ln e eh x x x =--，则()h x 在0（，）+∞上单调递增，且22222222(e )ln e e e e h =--，又2211211e a x x =-⨯-在1(0,)x ∈+∞时单调递增，故（i ）当max 1221222()ln 0e eF x x x =--=时，即21e x =，此时43e a =-，方程()0F x =有一个解，即()f x 有唯一不动点，所以集合B 的子集有2个；（ii ）当max 1221222()ln 0e eF x x x =--<，即21e x <，此时431ea -<<-，方程()0F x =无解，即()f x 无不动点，所以集合B 的子集有1个；（iii ）当max 1221222()ln 0e e F x x x =-->时，即21e x >，此时430e a -<<，方程()0F x =有两个解，即()f x 有两个不动点，所以集合B 的子集有4个；综上，当0a ≥时或43e a =-时，集合B 的子集有2个；当431e a -<<-时，集合B 的子集有1个；当430e a -<<时，集合B 的子集有4个.【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根（或函数零点）的个数问题．注意分类讨论思想的应用．12．（2024·山东聊城·二模）对于函数()f x ，若存在实数0x ，使00()1)(f x f x λ+=，其中0λ≠，则称()f x 为“可移λ倒数函数”，0x 为“()f x 的可移λ倒数点”．已知()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>．(1)设2()()()x g x h x ϕ=为“()h x 的可移2-倒数点”，求函数()ϕx 的单调区间；(2)设(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩，若函数()x ω恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为(,3),(1,)-∞--+∞，递减区间为()3,1--；(2)()2,e .【分析】（1）根据给定的定义，列式求出a 值，再利用导数求出函数()ϕx 的单调区间.（2）利用定义转化为求方程()()11x x ωω+=恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.【详解】（1为“()h x 的可移2-倒数点”，得)21h h -=，即)21aa +=，整理()2210a a ++-=，即()()110a a +--=，解得1a =，由2()1)e (x x x ϕ=+的定义域为R ，求导得()()()()2e (1)2e 1e 13x x xx x x x x ϕ=+++=++'，当(),3x ∞∈--时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增；()3,1x ∈--时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减；()1,x ∞∈-+时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()x ϕ的单调递增区间为(,3),(1,)-∞--+∞，递减区间为()3,1--．（2）依题意，e ,0()1,0x x x x x aω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩，由()x ω恰有3个“可移1倒数点”，得方程()()11x x ωω+=恰有3个不等实数根，①当0x >时，10x +>，方程()()11x x ωω+=可化为21e 1x +=，解得12x =-，这与0x >不符，因此在()0,∞+内()()10x x ωω+=没有实数根；②当10x -<<时，10x +>，方程()()11x x ωω+=可化为1e 1x x a +=+，该方程又可化为1e x a x +=-．设()1ex k x x +=-，则()1e 1x k x +='-，因为当()1,0x ∈-时，()0k x '>，所以()k x 在()1,0-内单调递增，又因为()()12,0e k k -==，所以当()1,0x ∈-时，()()2,e k x ∈，因此，当()2,e a ∈时，方程()()11x x ωω+=在()1,0-内恰有一个实数根；当(][)0,2e,a ∞∈⋃+时，方程()()11x x ωω+=在()1,0-内没有实数根．③当=1x -时，()10,1x x ω+=+没有意义，所以=1x -不是()()11x x ωω+=的实数根．④当1x <-时，10x +<，方程()()11x x ωω+=可化为1111x a x a ⋅=+++，化为()222110x a x a a ++++-=，于是此方程在(),1∞--内恰有两个实数根，则有()()()22221410211212110a a a a a a a ⎧+-+->⎪⎪+-<-⎨⎪-+++->⎪⎩，解得a >，因此当a >时，方程()()11x x ωω+=在(),1∞--内恰有两个实数根，当0a <≤时，方程()()11x x ωω+=在(),1∞--内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为()()2,e )2,e ∞⋂+=．【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．13．（2024·湖南·二模）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数()f x 满足在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f a f b =，那么在区间(,)a b 内至少存在一点m ，使得()0'=f m ．(1)运用罗尔定理证明：若函数()f x 在区间[],a b 连续，在区间(,)a b 上可导，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-．(2)已知函数21()ln ,()12f x x xg x x bx ==-+，若对于区间(1,2)内任意两个不相等的实数12,x x ，都有1212|()()||()()|f x f x g x g x ->-成立，求实数b 的取值范围．(3)证明：当1,2p n >≥时，有111111[]1(1)p p p n p n n --<---．【答案】(1)证明见解析；(2)1ln 22b -≤≤；(3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，构造函数()()F x f x tx =-，利用导数结合罗尔定理推导即得.（2）求出函数(),()f x g x 的导数，利用（1）的结论建立恒成立的不等式，再利用导数求出函数的值域即得.（3）构造函数1(),[1,]p h x x x n n -=∈-，求出导数结合（1）的结论，借助不等式性质推理即得.【详解】（1）令()()f b f a t b a-=-，则()()f b bt f a at -=-，令函数()()F x f x tx =-，则()(),()()F a F b F x f x t ''==-，显然()F x 在[],a b 上连续，且在(,)a b 上可导，由罗尔定理，存在0(,)x a b ∈，使得0()0F x '=，即00)(f x t '-=，所以0()()()f b f a f x b a-'=-.（2）依题意，()ln 1,()f x x g x x b ''=+=-，不妨令12x x >，则12121212()()()()||||f x f x g x g x x x x x -->--恒成立，由（1）得|()||()|,(1,2)f x g x x ''>∈，于是ln 1||x x b +>-，即1ln ln 1x b x x --<-<+，因此ln 1ln 1x x b x x --<<++，令()ln 1(12)x x x x ϕ=--<<，求导得1()0x x xϕ-'=>，函数()ϕx 在(1,2)上单调递增，则0()1ln 2x ϕ<<-，而函数ln 1y x x =++在(1,2)上单调递增，其值域为(2,3ln 2)+，则1ln 22b -≤≤，所以实数b 的取值范围是1ln 22b -≤≤.（3）令函数1(),[1,]p h x x x n n -=∈-，显然函数()h x 在(1,)n n -上可导，由（1），存在(1,)c n n ∈-，使得(1)()()(1)h n h n h c n n--'=--，又()(1)p h x p x -'=-⋅，则1111()(1)(1)p p p h c p c n n---'-=-=--，因此111111[]1(1)p p p p n n c ---=--，而11,1n c n p ≤-<<>，则p p c n <，即11p p c n >，所以111111[]1(1)p p p n p n n --<---.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，构造函数，转化、抽象为相应的函数问题作答.14．（2024·安徽合肥·二模）在数学中，广义距离是泛函分析中最基本的概念之一．对平面直角坐标系中两个点()111,P x y 和()222,P x y ，记1212121212max ,11t x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭，称12t PP 为点1P 与点2P 之间的“t -距离”，其中{}max ,p q 表示,p q 中较大者．(1)计算点()1,2P 和点()2,4Q 之间的“t -距离”；(2)设()000,P x y 是平面中一定点，0r >．我们把平面上到点0P 的“t -距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心，以r 为半径的“t -圆”．求以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的面积；(3)证明：对任意点()()()111222333131223,,,,,,t t t P x y P x y P x y PP PP P P ≤+．【答案】(1)23；(2)4；(3)证明见解析.【分析】（1）根据所给定义直接计算即可；（2）依题意可得1max ,112xy x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，再分类讨论，从而确定“t -圆”的图形，即可求出其面积；（3）首先利用导数说明函数()()01tf t t t=≥+的单调性，结合绝对值三角不等式证明即可.【详解】（1）由定义知，1224122||max ,max ,112124233tPQ ⎧⎫--⎪⎪⎧⎫===⎨⎬⎨⎬+-+-⎩⎭⎪⎪⎩⎭；（2）设(),P x y 是以原点O 为圆心，以12为半径的t -圆上任一点，则1max ,112x y x y ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬++⎪⎪⎩⎭．若1112y x y x ≤=++，则11x y ⎧=⎪⎨≤⎪⎩；若1112x y xy≤=++，则有11y x ⎧=⎪⎨≤⎪⎩．由此可知，以原点O 为圆心，以12为半径的“t -圆”的图形如下所示：则“t -圆”的面积为224⨯=.（3）考虑函数()()01tf t t t=≥+．因为()210(1)f t t ='>+，所以()f t 在[)0,∞+上单调递增．又131223x x x x x x -≤-+-，于是1312231223131223122312231111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+---≤=++-+-+-+-+-+-+-1223122311x x x x x x x x --≤++-+-，同理，131223131223111y y y y y y y y y y y y ---≤++-+-+-．不妨设1313131311y y x x y y x x --≤+-+-，则13122313131223111t x x x x x x PP x x x x x x ---=≤++-+-+-1212232312122323max ,max ,1111x xy y x x y y x x y y x x y y ⎧⎫⎧⎫----⎪⎪⎪⎪≤+⎨⎬⎨⎬+-+-+-+-⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭1223t t PP P P =+.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解“t -距离”的定义，再结合不等式及导数的知识解答.15．（2024·广东深圳·二模）无穷数列1a ，2a ，…，n a ，…的定义如下：如果n 是偶数，就对n 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ﹔如果n 是奇数，就对31n +尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是n a ．(1)写出这个数列的前7项；(2)如果n a m =且m a n =，求m ，n 的值；(3)记()n a f n =，*n ∈N ，求一个正整数n ，满足()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<<个．【答案】(1)11a =，21a =，35a =，41a =，51a =，63a =，711a =；(2)1m n ==；(3)202521n k =-（答案不唯一，满足()*212025,,m n k m m k =-≥∈N 即可）【分析】（1）根据数列{}n a 的定义，逐一求解；（2）根据数列{}n a 的定义，分1n =和1n >分别求解；（3）根据数列{}n a 的定义，写出()f n 的值，即可求解.【详解】（1）根据题意，()1311221a =⨯+÷÷=，2221a =÷=，()333125a =⨯+÷=，44221a =÷÷=，()4535121a =⨯+÷=，6623a =÷=，()7371211a =⨯+÷=．（2）由已知，m ，n 均为奇数，不妨设m n ≤．当1n =时，因为11a =，所以1m =，故1m n ==；当1n >时，因为314n n m +<≤，而n 为奇数，n a m =，所以312n m +=．又m 为奇数，m a n =，所以存在*k ∈N ，使得312km n +=为奇数．所以()33195231122k n n n m ++=+=+=．而95462n n n +<<，所以426k n n n <<，即426k <<，*k ∈N ，无解．所以1m n ==．（3）显然，n 不能为偶数，否则()2nf n n ≤<，不满足()n f n <．所以，n 为正奇数．又()111f a ==，所以3n ≥．设41n k =+或41n k =-，*k ∈N ．当41n k =+时，()()341131414k f n k k n ++==+<+=，不满足()n f n <；当41n k =-时，()()341161412k f n k k n -+==->-=，即()n f n <．所以，取202521n k =-，*k ∈N 时，()()()()2025202420242202432113321132132122k k k f f n k -+⨯-+=⨯-<==⨯-()()()()20223202322023332113212k f f f n k ⨯-+<<==⨯- ()()()()2023220242024332113212k f f f n k ⨯-+<==⨯- 即()()()()()()2024fn f n f f n f f f n <<<< 个．【点睛】关键点点睛：第（3）问中，发现当41n k =-时，满足()n f n <，从而设202521n k =-，*k ∈N ，验证满足条件.16．（2024·湖南邵阳·模拟预测）对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条平行直线11:l y kx b =+和22:l y kx b =+，使得对任意的x D ∈都有12()kx b f x kx b +≤≤+，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道，1l 与2l 分别叫做函数()f x 的通道下界与通道上界．(1)若e 1()e 1x x f x -=+，请写出满足题意的一组()f x 通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若()sin cos g x x x x =++，证明：()g x 存在宽度为2的通道；(3)探究2ln 3(),[1,)x h x x x +=∈+∞的通道？并说明理由．【答案】(1)1y =-与1y =；(2)证明见解析；(3)不存在，理由见解析.【分析】（1）求出函数()f x 的值域，再利用给定定义求解即得.（2）利用辅助角公式求出sin cos x x +的值域，再利用不等式的性质可得()x g x x ≤≤推理即得.（3）利用导数求出函数()h x 的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式，构造函数1()(),x h x k x x ϕ=-≥，按0,0,0k k k =><探讨函数值情况即可得解.【详解】（1）函数e 1()e 1x x f x -=+的定义域为R ，2()1e 1x f x =-+在R 上单调递增，而e 11x +>，则202e 1x<<+，即2111e 1x -<-<+，因此1()1f x -<<，取120,1,1k b b ==-=，得通道下界1l 的直线方程：1y =-，通道上界2l 的直线方程：1y =，显然直线1y =-与1y =的距离为2，因此通道宽度不超过3，所以通道下界与通道上界的直线方程分别为1y =-与1y =.（2）函数()sin cos g x x x x =++的定义域为R ，而πsin cos )[4x x x +=+∈，即sin cos x x ≤+，则()x g x x ≤≤取121,k b b ===1l 的直线方程：y x =2l 的直线方程：y x =，。

高考数学(理)三轮冲刺课时训练：集合与函数(3)(含答案)

集合与函数（3）1、已知集合M=，集合N=，则A． B． C． D．2、对于数集A，B，定义A+B={x|x=a+b，a∈A，b∈B）， A÷B={x|x=，，若集合A={1，2}，则集合（A+A）÷A中所有元素之和为 A． B． C． D．3、已知函数f(x)=x2+bx+c,(b,c∈R),集合A = {x丨f(x)=0}, B = {x|f(f(x)))= 0},若存在x0∈B，x0A则实数b的取值范围是A B b<0或 C D10、．已知a>b，二次三项式对于一切实数x恒成立．又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．211、定义行列式运算，将函数的图象向左平移（）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．13、已知函数是定义在（－1，1）上的奇函数,且.(1)求a,b的值；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；(3)已知f(t)+f(t－1)<0,求t 的取值范围.16、已知函数满足,对于任意R都有,且,令.求函数的表达式；求函数的单调区间；（3）研究函数在区间上的零点个数。

21、已知函数，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．22、对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P数对”．设函数的定义域为，且．（1）若是的一个“P数对”，求；（2）若是的一个“P数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；（3）若是增函数，且是的一个“类P数对”，试比较下列各组中两个式子的大小，并说明理由．①与+2；②与．23、已知定义域为的函数同时满足：（1）对于任意，总有；（2）；（3）若，，，则有；（Ⅰ）证明在上为增函数；（Ⅱ）若对于任意，总有，求实数的取值范围；（Ⅲ）比较与1的大小，并给与证明；24、已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数. (Ⅰ) 当时，求函数的不动点；(Ⅱ) 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.28、已知函数在R上是偶函数，对任意都有当且时，，给出如下命题：①函数在上为增函数②直线x=-6是图象的一条对称轴③④函数在上有四个零点。

备战2023年高考数学滚动过关检测五集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数

滚动过关检测五集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |log 3(x －2)<0}，N ＝{x |x ≥－2}，集合M ∩N ＝( )A ．{x |－2≤x <2}B ．{x |－2≤x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |x <3}2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知z ＝2－i ，则z ()z －＋i ＝( )A ．6－2iB ．4－2iC ．6＋2iD ．4＋2i3．[2022·山东春考]已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝⎛⎭⎫cos π12，sin π12，那么a ·b 等于( ) A.12 B.32C ．1D ．04．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a－2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，CC ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 3＝8，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝( ) A ．8 B ．6C ．4D ．26．[2022·福建三明模拟]在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，点E 为线段AD 的中点，则向量CE →＝( ) A.13AB →＋16AC → B.16AB →＋13AC → C.16AB →－23AC → D.13AB →－56AC → 7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．135°C ．60°D ．120°8．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，且f (x )＝f (－x )e 2x ，当x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．e 5f (2)<f (－3)B ．f (2)<e 5f (－3)C ．e 2f (－2)<f (3)D ．f (－2)<e 5f (－3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z 满足z (1－2i)＝10，则( )A ．|z |＝25B ．z －2是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝5510．下列命题错误的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”B ．函数“f (x )＝cos ax －sin ax 的最小正周期为π”是“a ＝2”的必要不充分条件C ．x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]时有解⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[]1，2时成立D ．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈(0,3)时f (x )＝x 2－3x ，则以下结论正确的有( )A ．f (x )的周期为6B ．f (x )的图象关于⎝⎛⎭⎫32，0对称C ．f (2021)＝2D ．f (x )的图象关于x ＝32对称 12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1→|＝|OP 2→|B ．|AP 1→|＝|AP 2→|C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D. OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．[2022·天津静海一中月考]已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n 的值为________． 14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝15，则S 9＝________.15．[2022·江苏响水中学月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，已知A ，B 分别是最高点、最低点，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，则f (x )＝________.16．[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB →＋nAC →()m >0，n >0，则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a ，b 满足，||a ＝1，||b ＝2，且a 与b 不共线．(1)若向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，求实数k 的值；(2)若向量a 与b 的夹角为60°，求2a ＋b 与a －b 的夹角θ.18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m ＝(2sin x ，3)，n ＝(cos x ，cos 2x )，已知函数f (x )＝m ·n ，(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝⎛⎭⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求b ＋c 的值．19．(12分)设{a n }是公比大于0的等比数列，其前n 项和为S n ，{}b n 是公差为1的等差数列，已知a 2＝2，a 4＝a 3＋4，a 3＝b 3＋b 1.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }的前n 项和为T n ，求T n .20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(c －a ，sin B )，n ＝(b －a ，sin A ＋sin C )，满足m ∥n .(1)求C ；(2)若6c ＋3b ＝3a ，求sin A.21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)令b n ＝(－1)n a n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使得S n ≤－99的n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋x －e x .(1)若a ＝12，讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．。

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高考数学集合与函数专项训练（01）一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设集合{}{}3454567P Q ==，，，，，，，定义P ※Q ＝{}(,)|a b a P b Q ∈∈，，则P ※Q 中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．7D ．122．设A 、B 是两个集合，定义{|,}{||12}.|A B x x A x B M x x -=∈∉=+≤且若， {||sin |,}N x x R αα==∈，则M N -= （）A ．[－3，1]B ．[3,0)-C ．[0，1]D ．[－3，0]3．映射f A B →：，如果满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，则称为“满射”.已知集合A 中有4个元素，集合B 中有3个元素，那么从A 到B 的不同满射的个数为（） A ．24B ．6C ． 36D ．724．若的图象与则函数其中x x b x g a x f b a b a ==≠≠=+)()(),1,1(0lg lg （）A ．关于直线y x =对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于原点对称5．若任取12,[,]x x a b ∈，且x 1≠x 2，都有[]12121()()()22x x f f x f x +>+成立，则称()f x 是[,]a b 上的凸函数。

试问：在下列图像中，是凸函数图像的为（）6．若函数()2p pf x x x=-+在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[1,)+∞Ｃ． (,1]-∞-Ｄ．(,1]-∞7．设函数()f x x x bx c =++给出下列四个命题： ①0c =时，()y f x =是奇函数 ②0,0b c =>时，方程()0f x = 只有一个实根 ③()y f x =的图象关于(0,)c 对称④方程()0f x =至多两个实根其中正确的命题是（）A ．①、④B ．①、③C ．①、②、③D ．①、②、④8．函数1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞-的反函数是（）A ．)1,(,11ln -∞∈+-=x x x yB ．)1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C ．),1(,11ln +∞∈+-=x x x y D ．),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 9．如果命题P:{}∅∈∅, 命题Q:∅⊂{}∅,那么下列结论不正确的是（） A ．“P 或Q ”为真 B ．“P 且Q ”为假 C ．“非P ”为假 D ．“非Q ”为假10．函数2-2y x x =在区间[,]a b 上的值域是[－1,3],则点(,)a b 的轨迹是图中的（） A ．线段AB 和线段AD B ．线段AB 和线段CD C ．线段AD 和线段BC D ．线段AC 和线段BD 11．已知函数()f x 是定义在)3,3(-上的奇函数，当30<<x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0cos )(<x x f 的解集是A.)3,2()1,0()2,3(ππ-- B.)3,2()1,0()1,2(ππ--C.)3,1()1,0()1,3( --D.)3,1()1,0()2,3( π--12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，既可用来洗浴。

洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水。

当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（） A ．3人洗浴 B ．4人洗浴 C ．5人洗浴 D ．6人洗浴二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800 元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书，共纳税420元时，这个人应得稿费（扣税前）为元.14．已知函数20,0,()(())2,2cos ,0.x x f x f f x x x π≤==<<⎧⎨⎩若则0x = . 15．若对于任意[1,1]a ∈-, 函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是 .16．如果函数()f x 的定义域为R ,对于,,()()()6,(1)m n R f m n f m f n f ∈+=+--恒有且是不大于5的正整数，当1x >-时,()0f x >. 那么具有这种性质的函数()f x = .（注：填上你认为正确的一个函数即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）： 17．（本小题满分12分）二次函数()f x 满足(1)()2,f x f x x +-=且(0)1f =.(1) 求()f x 的解析式;(2) 在区间[]1,1-上,()y f x =的图象恒在2y x m =+的图象上方,试确定实数m 的范围.18．（本小题满分12分）已知集合{|(2)[(31)]0}A x x x a =--+<，22(1){|0}x a x a B x --+=<.（1）当2a =时，求A B ；（2）求使B A ⊆的实数a 的取值范围.19．（本小题满分12分）已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式2220,x ax a ++≤若命题""p q 或是假命题，求a 的取值范围.20．（本小题满分12分）设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数).（1）若0a <,用函数单调性定义证明:()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数;（2）若0a =,()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y x =对称,求函数()y g x =的解析式.21．（本小题满分12分）函数xax x f -=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；（3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值.22．（本小题满分14分）对于函数2()(1)2(0)f x ax b x b a =+++-≠，若存在实数0x ，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点.（1）当2,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对于任何实数b ，函数)(x f 恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上A 、B 两点的横坐标是函数()f x 的不动点，且直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围.参考答案（一）一、选择题（每小题5分，共60分）：(1).D (2).B (3).C (4).C (5).C (6).A (7).C (8).D (9).B (10).A (11). B (12).B 二、填空题（每小题4分，共16分）(13).3800； (14). 3;4π(15). (-∞‚1)∪(3,+∞) ；(16).6x +或26x +或36x +或46x +或56x +三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解： (1)设2()f x ax bx c =++，由(0)1f =得1c =，故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-=,∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=.即22ax a b x ++=,所以221,01a a ab b ==⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩,∴2()1f x x x =-+. ……………6分 (2)由题意得212x x x m -+>+在[-1,1]上恒成立.即2310x x m -+->在[-1,1]上恒成立.设2()31g x x x m =-+-,其图象的对称轴为直线32x =,所以()g x 在[-1,1]上递减.故只需(1)0g >,即213110m -⨯+->,解得1m <-. ……………12分 18. 解：（1）当2a =时，(2,7)A =，(4,5)B =∴ (4,5)A B = .………4分（2）∵ 2(2,1)B a a =+，当13a <时，(31,2)A a =+ ………………………………5分要使B ⊆A ，必须231212a a a ≥+⎧⎪⎨+≤⎪⎩，此时1a =-；………………………………………7分当13a =时，A ＝∅，使B A ⊆的a 不存在；……………………………………9分当13a >时，A ＝（2，3a ＋1）要使B⊆A ，必须222131a a a ≥⎧⎨+≤+⎩，此时1≤a ≤3.……………………………………11分综上可知，使B⊆A 的实数a 的取值范围为[1，3]∪{－1}……………………………12分19．22:20(2)(1)0a x ax ax ax +-=+-=解由，得， 210a x x ≠∴=-=显然或……4分 ∵]211,1,||1||1,||1x a a a ⎡∈-≤≤∴≥⎣故或……6分 22220.22x ax a y x ax a x ++≤=++“只有一个实数满足”即抛物线与轴只有一个交点, ∴2480.02,aa a ∆=-=∴=或……10分""||10"""p q a a P Q ∴≥= 命题或为真命题"时或命题或为假命题}{|1001a a a a ∴-<<<<的取值范围为或……12分 20．解： (1)设任意实数12<x x ,则112221(()(221)(221))--+⋅--+⋅--=x x x x f x f x a a=1212(22)(22)x x x x a ---+-=1212122(22)2x x x x x x a++--⋅……………4分121212,22,220;x x x x x x <∴<∴-< 120,20x x a a +<∴-> .又1220x x +>,∴()()012f x f x -<,所以()f x 是增函数. ……………7分(2)当0a =时,()21x y f x ==-,∴21x y =+, ∴2log (1)x y =+,y=g(x)= log 2(x+1). ………………………12分21．解：（1）显然函数()y f x =的值域为)+∞； ……………3分（2）若函数()y f x =在定义域上是减函数，则任取∈21,x x ]1.0(且21x x <都有)()(21x f x f > 成立，即0)2)((2121>+-x x a x x ,只要212x x a -<即可， …………………………5分由∈21,x x ]1.0(，故)0,2(221-∈-x x ，所以2-≤a ，故a 的取值范围是]2,(--∞； …………………………7分解法二：∵/2()2022af x a x x ==<⇒<-而22(2,0)x -∈-∴a ≤2-（3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调增，无最小值，当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调减，无最大值，当1=x 时取得最小值a -2；当02<<-a 时，函数)(x f y =在].0(22a -上单调减，在]1,[22a -上单调增，无最大值，当22a x -=时取得最小值a 22-. …………………………12分22．解2()(1)2(0),f x ax b x b a =+++-≠（1）当a =2，b=－2时， 2()2 4.f x x x =-- ……………………2分设x 为其不动点，即224.x x x --=则22240.x x --= 121, 2.()x x f x ∴=-=即的不动点是－1，2. …………4分（2）由()f x x =得：220ax bx b ++-=. 由已知，此方程有相异二实根，0x ∆>恒成立，即24(2)0.b a b -->即2480b ab a -+>对任意R b ∈恒成立.20.163200 2.b a a a ∴∆<∴-<∴<< ……………………8分（3）设1122(,),(,)A x x B x x ，直线2121y kx a =++是线段AB 的垂直平分线， ∴ 1k =- ……………10分记AB 的中点00(,).M x x 由（2）知0,2b x a =-2211,.212221b b M y kx a aaa =+∴-=+++ 在上 ……………………12分化简得：121212ab a a a a=-=-≥-++当时，等号成立）.即b …………………………………………14分。