湖南省岳阳市第一中学2019届高三数学上学期第四次月考试题文(扫描版)
湖南岳阳一中2019高三上第一次抽考试题-数学(文)(解析版)
湖南岳阳一中2019高三上第一次抽考试题-数学（文）（解析版）本试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两部分。
全卷总分值150分，考试时间120分钟。
第I卷〔选择题共50分〕【一】选择题。
〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、设集合{|1},{|22},A x xB x x A B=>-=-<<则=〔〕A、{|2}x x>-B、{|1}x x>-C、{|21}x x-<<-D、{|12}x x-<<【答案】A【解析】解：因为{|1},{|22},则A x xB x x=>-=-<<由数轴标根法能够得到：{|2}A B x x=>-，应选A2、i是虚数单位，(1)i i+=〔〕A、1+iB、-1-iC、1-iD、-1+i【答案】D【解析】解：由2i=-1，∴2(1)1i i i i i+=+=-，故答案选择D3、椭圆22413x y+=的离心率为〔〕AB、34CD、23【答案】A【解析】解：原式化为标准式可得：2222213391,13,,1313444x ya b ccea+=∴===∴===故答案为A4、设,,OB xOA yOC x y R =+∈且A 、B 、C 三点共线〔该直线只是点O 〕，那么x+y=〔 〕A 、-1B 、1C 、0D 、2【答案】B【解析】解：由于A,B,C 三点共线，因此,()(1)11又AB ACAB OB OA AC OC OAOB OA OC OA OB OC OA OB y OC xOA y x y xλλλλλλ→→→→→→→→→→→→→→→→→→==-=-∴-=-∴=+-=+=⎧∴∴+=⎨-=⎩故答案为B 5、函数22cos ()14y x π=--是〔 〕 A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为π的偶函数C 、最小正周期为2π的奇函数D 、最小正周期为2π的偶函数【答案】A【解析】解：因为22cos ()11cos(2)1cos(2)422sin 2y x x x xπππ=--=+--=-=因此函数的最小正周期为22,sin(2)sin 22且T y x xw πππ====-=- 故函数是周期为π的奇函数，答案为A6、假设圆22240x y z y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，那么a 的值为〔 〕A 、-2或2B 、2132或 C 、20或D 、-2或0【答案】C 【解析】解：222405d|1|120222的标准方程为（x-1）（y-2）所以圆心（1,2|1-2+a|或x y x ya a a+--=+===∴-=∴==故答案为C7、实数x，y满足不等式组0220yx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，那么11ywx-=+的取值范围是〔〕A、1[1,]3-B、11[,]23-C、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D、1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】解：先依照约束条件画出可行域，如上图11ywx-=+表示区域内的点P〔x，y〕与点Q〔-1，1〕连线的斜率，当P在点A〔2，2〕时，w最大，是13，当P在点O〔0，0〕时，w最小是-1，应选A、①假设直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于那个平面；②假设直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于那个平面；③互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必定是互相平行的两条直线；④过点P有且仅有一条直线与异面直线,l m都垂直。
湖南省岳阳一中近年届高三数学第一次质量检测(开学考试)试题理(扫描(2021年整理)
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【全国名校】2019届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第二次质检数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省岳阳市第一中学 高三上学期第二次质检数学（文）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．没集合 ， ，则下图中阴影部分所表示的集合为A ．B ．C ．D ．2．若命题 ：函数 在 单调递增，命题 ：在定义域上是增函数，则A ． 是真命题B ． 是假命题C ． 是假命题D ． 是假命题 3．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 A ． B ． C ． D ．4．已知向量 ， ，，且 ∥ ，则向量的夹角为 A ． B ． C ． D ．5．若函数，且 ， ， 的最小值是，则的单调递增区间是A ．B ．C ．D ．6．函数 定义域为 ，且对任意 ，都有 ，若在区间 上，则 A ． B ． C ． D ．7． 内角 的对边分别为 ，若 ，则 A ．B ．C ．D ．8．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时， ()f x 为减函数，且()11f -=，若()21f x -≥-，则x 的取值范围是A ．(],3-∞B ．(],1-∞C ．[)3,+∞D ．[)1,+∞9．已知函数()[]()lg f x x x =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则关于函数()f x 的性质表述正确的是A ．定义域为()(),00,-∞⋃+∞B ．偶函数C ．周期函数D ．在定义域内为减函数 10．函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．11．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．64B ．65C ．71D ．7212，若方程()0f x kx -=有3个不同的实根，则实数k 的取值范围为ABCD二、填空题13．________.14．已知函数 则函数 的单调递减区间为__________.15．已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S =_______． 16．已知 （ 为自然对数的成数）， ，直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为________.三、解答题17．在 中，角 所对的边分别是 ，且 . （1）求 的大小；（2）若 ，求 的面积.18．在正项等差数列 中，其前 项和为 . （1）求 ；（2）证明：.19，其中0,0A ω≠>.函数()·f x a b =图象的相邻两对称轴之间的距离是(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()0f x t +>对任意恒成立，求t 的取值范围. 20．如图，在 中， ，，点 在线段 上．(Ⅰ) 若，求 的长；（Ⅱ） 若 ， 的面积为 ，求的值． 21．设函数 .（Ⅰ）当 ， 时， 恒成立，求 的范围； （Ⅱ）若 在 处的切线为 ，且方程恰有两解，求实数 的取值范围.22．已知定义域为()1,+∞的函数()ln f x a x x =+存在两个零点. （1）求实数a 的取值范围； （22019届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第二次质检数学（文）试题数学答案参考答案1．B【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为或,即故答案选2．C【解析】【分析】先判断出命题的真假，进而可得正确的结论．【详解】对于命题，由于，所以函数在区间上单调递增，命题为真命题．对于命题，函数的定义域为，函数在区间和上都为增函数，但在定义域内无单调性，所以命题为假命题．由上分析可得是假命题，是真命题，是假命题，是真命题．故选C．【点睛】本题考查命题真假的判定，解题的关键是先判断出命题的真假，考查判断能力和分析问题的能力，属于基础题．3．A【解析】【分析】由，得到，然后根据等差数列的求和公式并结合下标和的性质可得的值．【详解】∵，∴．∴．故选A．【点睛】本题的解题关键是将等差数列性质：若，则与前n项和公式结合在一起，采用整体思想可简化解题过程，提高解题效率．4．B【解析】【分析】先由∥求出的值，然后再根据向量的数量积求出夹角．【详解】∵，，∥，∴，∴，∴．设向量的夹角为，则，又，∴．故选B．【点睛】利用向量的数量积可解决夹角问题，求解时可先求出夹角的余弦值，然后再求出夹角的值，体现了向量的工具性的作用，解答此类问题时容易忽视标明夹角的范围，属于基础题．5．A【解析】【分析】将解析式化为，然后根据题意得到函数的周期为，从而得到，故．最后根据正弦函数的单调区间可得所求的增区间．【详解】由题意得．∵，且的最小值是，∴，∴，∴，∴．由，得，∴函数的单调递增区间为．故选A．【点睛】（1）解答本题的关键是正确理解“，且的最小值是”的含义，即该函数相邻的最值点与零点间的距离为，也为四分之一周期．（2）解决函数的问题时，可把看作一个整体，然后结合正弦函数的相应性质求解即可，解题时注意的符号对结果的影响．6．C【解析】【分析】根据函数的周期性可推导出，再根据可求出，进而可得所求结果．【详解】∵，∴函数的周期为2，∴．又当时，，∴，即，∴，∴．故选C．【点睛】本题考查函数值的计算，解题的关键是和根据函数的周期性进行求解，解题时注意对的灵活应用．7．D【解析】【分析】根据余弦定理及可得，然后再根据余弦定力的推论可得．【详解】由及余弦定理得，整理得，由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．【点睛】本题考查余弦定理的应用，利用余弦定理进行边角间的转化是解题的关键，同时也考查计算和变形能力，属于基础题．8．A【解析】函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x≥时，()f x为减函数，，故函数()f x在R上单调递减，又()11f-=，因此()21f x-≥-()()21213f x f x x⇔-≥⇔-≤⇔≤.故选A.点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x∈>且时，有12x x>，事实上，若12x x≤,则()()12f x f x≤，这与()()12f x f x>矛盾，类似地，若()f x在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.9．C【解析】由于[]x 表示不超过x 的最大整数，如1x =， []11=，则[]110x x -=-=，所以定义域为()(),00,-∞⋃+∞错误；当 2.1x =-时， []2.13-=-， ()()2.1lg 2.13lg0.9f -=-+=，()()2.1lg 2.12lg0.1f =-=， ()()2.1 2.1f f -≠， ()f x 是偶函数错误，由于x Z ∉，所以函数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，其周期为1，例如任取()0,1x ∈，则()11,2x +∈， [][]0,11x x =+=，则[][]11x x x x -=+-+ ，则()()1f x f x += ，选C.10．A 【解析】为奇函数，排除B ；；排除D ； ），，排除C.故选A. 11．D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，即2017为底1009个奇数. 按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有(1i i ++=,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D.点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12．A【解析】由()0f x kx -=得()f x kx =。
湖南省岳阳县一中2019届高三第四次阶段考试数学(文)试题
湖南省岳阳县一中2019届高三第四次阶段考试数学（文）试题一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|A x x ππ=-≤≤，集合{}|2sin 10,B x x x A =-=∈，则集合B =( )A ．6π⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．2,33ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ． 55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 2.下列命题中的假命题是（ ）A ．,ln 0x R x ∃∈=B ．,tan 1x R x ∃∈=C ．,0x x R e ∀∈>D ．3,0x R x ∀∈>3.已知直线m ⊂平面α,则“l m ⊥”是“l α⊥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0),||2a b ==，则|2|a b +=( ) A ．7 BC ．13D ． 35.曲线sin xx y e =在0x =处的切线的斜率是 （ ） A.1 B. 12C.0 D ．1- 6.设0,0a b >>,若1是a 与b 的等比中项,则11a b+的最小值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．27.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积．．．是（ ）A．6+．5+C．8+．7+ 8.定义域为R 的奇函数()f x ，当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<恒成立，若3(3)a f =，(1)b f =--，2(2)c f =--，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.a c b >>B.c b a >>C.c a b >>D.a b c >>9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知310061006(1)2013(1)1a a -+-=，212310081008(1)2013(1)1a a -+-=-，则（ ）A ．2013100810062013,S a a =>B ．2013100810062013,S a a =<C ．2013100810062013,S a a =->D ．2013100810062013,S a a =-<二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卡相应位置）10. 已知平面向量(1,2)a =， (2,)b m =-， 且a //b ，则m = .11.若tan()2πα-=，则sin 2α= .12.已知数列{}n a 的前n 项和为(1)n n S n =-⋅，则8a = .13.函数()2cos f x x x =-的零点个数是 .14.已知,x y 满足条件002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最小值为 .15.记数列12,,,n a a a 为A ，其中{}0,1i a ∈，1,2,3,,i n =. 定义变换f ，f 将A 中的1变为1,0；0变为0,1.设11(),(),k k A f A A f A k N *+==∈；例如:0,1A ，则1():0,1,1,0A f A =.（1）若3n =，则k A 中的项数为 ；（2）设A 为1,0,1，记k A 中相邻两项都是0的数对个数为k b ，则k b 关于k 的表达式为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分） 已知函数x x x x f cos sin 32cos 2)(2+=.(1)求函数)(x f 的单调递增区间；(2)求函数)(x f 在]3,6[ππ-上的值域.17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2(2,cos21),(sin ,1)2A B m C n +=-= 且m n ⊥.（1）求角C 的大小；（2）若c ABC ∆的面积S =a b +的值.F P D C B E A 已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，2,1AB PA AD ===，,E F 分别是,AB PD 的中点.（1）求证：AF ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥B PEC -的体积.19.（本小题满分13分）为了保护环境，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把一种可导致雾霾的烟尘转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且每处理一吨烟尘得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？若获利，求出最大利润；若不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2121()2n n a a a n N n*+++=-∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22n nn n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n S .若对一切n N *∈，都有n S M <成立（M 为正整数），求M 的最小值.已知函数()x f x e ax =-，其中e 为自然对数的底，a 为常数.（1）若函数()f x 存在极小值，且极小值为0，求a 的值；（2）若对任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()(1sin )x f x e x ≥-恒成立，求a 的取值范围.岳阳县一中2019届高三第四次阶段考试数学试卷(文)答案一、选择题：1-9 B D B C A ， D C A B二、填空题：10. 4- 11. 45- 12. 15 13. 1 14. 2 15.（1） 32k ⋅ （2）12k k b -=三、解答题：16.（1）1)62sin(22sin 32cos 1cos sin 32cos 2)(2++=++=+=πx x x x x x x f函数)(x f 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦……………… 6分 （2） 36ππ≤≤-x πππ65626≤+≤-∴x ……………… 8分 当266x ππ+=-时()f x 的最小值为0；当262x ππ+=时()f x 的最大值为3所以()f x 在区间]3,6[ππ-上的值域为]3,0[ ……………… 12分 17.（1）∵m n ⊥ 22sin cos210cos2cos 02A B C C C ++-=⇒+= ∴22cos cos 10C C +-= ∴1cos 2C =即3C π= ……………… 6分（2）S =2ab = ……………… 8分由余弦定理222c a b ab =+-知22()3c a b ab =+- 知3a b +=. ……………… 12分18.（1）先证CD ⊥面PAD ……………… 6分（2）12BEC S ∆=,16B PEC P BEC V V --== ……………… 12分19.烟尘的每吨平均处理成本为1800002002y x x x=+- ……………………3分 200y x≥当400x =时，才能使每吨的处理成本最低，最低成本为200元. （2）设该单位每月获利为S 元 则2211100100(20080000)(300)3500022S x y x x x x =-=--+=---…………………… 8分 又400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-，故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损. ……………………13分20.（1）∵21212n n a a a n +++=- ∴112121(2)21n n a a a n n --+++=-≥-两式相减可得 12n n a n -=⋅(2)n ≥……………3分 又11211a =-= 故数列{}n a 的通项公式12n n a n -=⋅ ……………5分（2）212212n n n n n n b a ---== ……………6分 由错位相减可知12362n n n S -+=- ……………11分 123662n n n S -+=-<，所以6M ≥，即M 的最小值为6 ……………13分 21.（1）()x f x e a '=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 不存在极值，舍去；当0a <时，()f x 在(,ln )a -∞上是减函数，在(ln ,)a +∞上是增函数，ln x a =为函数的极小值点， 又(ln )0f a =，所以1a =……………………4分（2）()(1sin )x f x e x ≥-即sin 0x e x ax -≥ …………………5分设()sin x g x e x ax =-，()(sin cos )x g x e x x a '=+-，所以()2cos x g x e x ''=…………………7分0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ''≥，所以min ()(0)1g x g a ''==-. Ⅰ.当10a -≥，即1a ≤时，()0g x '≥，则()s i n x g x e x a x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()(0)0g x g ≥=恒成立； …………………9分Ⅱ. .当10a -<，即1a >时，则存在00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使0()0g x '<，从而当0(0,)x x ∈时，()0g x '< ()g x 在[]00,x 上是减函数，()0g x <不合题意. …………………12分综上可知，a 的取值范围是(],1-∞. …………………13分。
湖南省岳阳一中高三数学上学期第四次月考试卷理(含解
2015-2016学年湖南省岳阳一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∀x∈R，cosx≥1C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞13．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）4．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．5．设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=（）A．3 B．1 C．±1D．±36．函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+17．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．2 B．9 C．10 D．199．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[，1]10．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．211．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．14．某简单组合体的三视图如图，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组合体的体积是cm3（结果保留π）．15．设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是．16．下列说法：①已知是单位向量，|+|=|﹣2|，则在方向上的投影为；②关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜2；③函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象⑤在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；其中正确的命题序号是（填出所有正确命题的序号）．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1（1）若，求边c的大小；（2）若a=2c，求△ABC的面积．18．已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，则满足T n＞的最小正整数n是多少？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．20．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．21．已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2015-2016学年湖南省岳阳一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．2．已知命题：p：∀x∈R，c osx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∀x∈R，cosx≥1C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞1 【考点】命题的否定；全称命题．【专题】阅读型．【分析】直接依据依据特称命题的否定写出其否定．【解答】解：命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为∃x∈R，cosx＞1故选C【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题3．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B【点评】本题主要考查函数图象的对称性的应用，利用函数的单调性比较及各式子的大小，属于中档题．4．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题．【分析】由正△ABC的边长为a，知正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故△A′B′C′的高为=，由此能求出△A′B′C′的面积．【解答】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为=，∴△A′B′C′的面积S==．故选D．【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=（）A．3 B．1 C．±1D．±3【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：向量=（3，3），=（1，﹣1），∴+λ=（3+λ，3﹣λ），﹣λ=（3﹣λ，3+λ），∵（+λ）⊥（﹣λ），∴（+λ）•（﹣λ）=0，∴（3+λ）（3﹣λ）+（3+λ）（3﹣λ）=0，∴λ2=9，∴λ=±3，故选：D．【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．6．函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由图观察可知周期T=2×（）=π，从而有周期公式可求ω的值，又A==，k=1，x=时，y=，可求Φ的值，从而可求得解析式．【解答】解：由图观察可知：周期T=2×（）=π，∴=π，∴ω=2，又A==，k=1，∴y=sin（2x+φ）+1，∵x=时，y=，∴sin（2×+Φ）=1，Φ=+2kπ（k∈Z），又∵|Φ|＜，∴Φ=，∴y=sin（2x+）+1．故选：A．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．7．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．2 B．9 C．10 D．19【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得m的方程，解方程可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a m﹣1+a m+1=2a m，又∵a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0，解得a m=0或a m=2，又S2m﹣1===（2m﹣1）a m=38，∴a m=0应舍去，∴a m=2，∴2（2m﹣1）=38，解得m=10故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．此时z=2．当直线y=﹣2x+z和圆在第三象限相切时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．圆心到直线2x+y﹣z=0距离d=，即|z|=2，解得z=2（舍）或z=﹣2，即﹣2≤z≤2，目标函数z=2x+y的取值范围是[﹣2，2]故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：曲线 y=sin x，y=cos x 的一个交点的横坐标为：，由曲线 y=sin x，y=cos x 与直线 x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是s=∫（cosx﹣sinx）dx+∫（sinx﹣cosx）dx=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|=﹣1+﹣1=2．故选D．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．11．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出，，这样便可以求出，这样根据，并进行向量的数乘运算便得到，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．【解答】解：根据条件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故选：A．【点评】考查向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得 m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．【解答】解：设切点为（x0，y0），则∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=•x0=1，∴x0=e，∴k==．故答案为：．【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．14．某简单组合体的三视图如图，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组合体的体积是1+cm3（结果保留π）．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是下部为四棱柱，上部为圆锥的几何体，根据三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是下部为四棱柱，上部为圆锥的几何体，四棱锥是正方体棱长为1，上部圆锥的底面直径为2，高为1，所以组合体的体积为V=V柱+V锥=1+=1+．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．15．设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m﹣1恒成立，由0＜θ＜可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．16．下列说法：①已知是单位向量，|+|=|﹣2|，则在方向上的投影为；②关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜2；③函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象⑤在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；其中正确的命题序号是①⑤（填出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】把已知的向量等式两边平方，求出在方向上的投影为；利用对勾函数的单调性求出sin2x+的最小值判断②；举例说明③错误；利用函数的图象平移判断④；由已知结合正弦定理判断⑤．【解答】解：①是单位向量，由|+|=|﹣2|，两边平方得，，整理得，则在方向上的投影为，故①正确；②∵sin2x∈（0，1]，∴sin2x+的最小值为3，则关于x的不等式a＜sin2x+恒成立时，a的取值范围是a＜3，故②错误；③当a=1，b=﹣1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错误；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，故④错误；⑤在△ABC中，由正弦定理知，若A＜B，则有a＜b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＜sinB成立，故⑤正确．故答案为：①⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量在向量方向上的投影，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了三角函数的图象平移，是中档题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1（1）若，求边c的大小；（2）若a=2c，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）将已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，变形后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据特殊角的三角函数值求出B的度数，再由A的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数，由sinB，sinC及b 的值，利用正弦定理即可求出c的值；（2）由B的度数，求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b=1，a=2c及cosB的值代入求出c的值，进而求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵2cos2=sinB，∴1+cosB=sinB，∴2（sinB﹣cosB）=1，即2sin（B﹣）=1，∴B﹣=或（舍），解得：B=，又A=，则C=，由正弦定理=，得c==；（2）∵B=，∴sinB=，cosB=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，将b=1，a=2c，cosB=代入，解得：c=，则a=，则S△ABC=acsinB=××sin=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，则满足T n＞的最小正整数n是多少？【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由f（1）=a=，解得a=，可得f（x）=．a1=f（1）﹣c=﹣c，当n≥2时，a n=[f（n）﹣c]﹣[f（n﹣1）﹣c]，可得a2，a3，利用等比数列的性质可得：，解得c=1．可得an．由于S n﹣S n﹣1==+（n≥2），可得﹣=1，利用等差数列的通项公式可得：S n，利用递推公式可得b n．（2）=，利用“裂项求和”可得T n，即可得出．【解答】解：（1）∵f（1）=a=，解得a=，∴f（x）=．a1=f（1）﹣c=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣，又数列{a n}成等比数列，∴，∴=﹣×，解得c=1．又公比=，∴a n=﹣=﹣2×（n∈N*）．∵Sn﹣S n﹣1==+（n≥2）．又b n＞0，＞0，∴﹣=1．，∴数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n2，当n=1，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，上式也成立．∴b n=2n=1（n∈N*）．（2）==，∴T n=+…+==．由T n=＞，可得=66+，因此满足T n＞的最小正整数为67．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）可以通过证明面面平行来证明线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或其补角．【解答】解：（1）∵F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，∴CD∥AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1．（2）过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F（，1，0），B（，3，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），∴=（0，2，0），=（﹣，﹣1，2），=（，3，0）．由FB=CB=CD=DF，∴四边形BCEF是菱形，∴DB⊥FC．又CC1⊥平面ABCD，∴为平面FCC1的一个法向量．设平面BFC1的一个法向量为=（x，y，z），则得，可得y=0，令x=2，则z=，∴．∴===．故所求二面角的余弦值为．【点评】熟练掌握利用面面平行来证明线面平行、利用两个平面的法向量的夹角求两平面的二面角是解题的关键..20．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【点评】本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．21．已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，先求导数：p′（x），因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；（II）先根据题意得出当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，分类讨论：（ⅰ）当x1＞0时，（ⅱ）当x1＜0时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出k值．【解答】解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，p′（x）=3x2+2（k﹣1）x+（k+5），因p（x）在区间（0，3）上不单调，所以p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由p′（x）=0得k（2x+1）=﹣（3x2﹣2x+5），∴，令t=2x+1，有t∈（1，7），记，则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，所以有h（t）∈[6，10），于是，得k∈（﹣5，﹣2]，而当k=﹣2时有p′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈（﹣5，﹣2）；（II）当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5；当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A=（k，+∞），B=（5，+∞）（ⅰ）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A⊆B，因此有k≥5，（ⅱ）当x1＜0时，q′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A⊆B，因此k≤5，综合（ⅰ）（ⅱ）k=5；当k=5时A=B，则∀x1＜0，q′（x1）∈B=A，即∃x2＞0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，∀x1＜0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5满足题意．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•D C，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x，＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得 x＞3或x＜﹣1．故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组：或．即a≤x≤，或x≤﹣，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解．。
2019届湖南省岳阳市第一中学高三第二次模拟数学(文)试题(解析版)
2019届湖南省岳阳市第一中学高三第二次模拟数学（文）试题一、单选题1．设集合{|11}A x x =-<<，2{|0}B x x x =-≤，则A B I =（ ） .A ．{|10}x x -<≤B ．{|10x x -<≤或1}x =C ．{|01}x x ≤<D ．{|01}x x ≤≤【答案】A【解析】由20x x -≤得()210x x x x -=-≥,解得0x ≤,或1x ≥,故(]1,0A B =-I ,故选A. 2．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3【答案】D 【解析】因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 3．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为8:00~8:40，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在9:10~10:00之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ） A ．15B ．310C ．25D ．45【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为8:509:30~ ，该学生到达教室的时间总长度为50 分钟，其中在9:109:20~ 进入教室时，听第二节的时间不少于10分钟，其时间长度为10分钟，故所求的概率101505= ，故选A. 4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，11a =，且248,,a a a 成等比数列，设{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =A ．(1)2n n +B ．212n (+)C ．212n +D ．(3)4n n + 【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ．∵248,,a a a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，∴2(13)(1)(17)d d d +=+⋅+， 解得1d =． ∴(1)(1)22n n n n n S n -+=+=．选A ． 5．已知()sin(2)3f x x π=+，()cos(2)3g x x π=+，则下列说法中，正确的是（ ）A ．x R ∀∈，()()2f xg x π=- B ．x R ∀∈，()()4f xg x π=+ C ．x R ∀∈，()()2g x f x π=-D ．x R ∀∈，()()4g x f x π=+【答案】D【解析】直接利用三角函数的关系式的变换的应用和诱导公式的应用求出结果． 【详解】已知()sin(2)3f x x π=+，()cos(2)3g x x π=+， 则对于选项A ：()sin(2)3f x x π=+，()cos(2)23g x x ππ-=--，则()()2f xg x π≠-，对于选项B ：()sin(2)3f x x π=+，()sin(2)43g x x ππ+=-+， 则()()4f xg x π≠+，对于选项C ：()cos(2)3g x x π=+，()sin(2)23f x x ππ-=-， 则()()2g x f x π≠-，对于选项D ：()cos(2)3g x x π=+，()cos(2)43f x x ππ+=+， 则()()4g x f x π=+.故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．6．《九章算术》卷第七——盈不足中有如下问题：“今有垣高九尺.瓜生其上，蔓日长七寸. 瓠生其下，蔓日长一尺.问几何日相逢.”翻译为“今有墙高9尺.瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸.葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺.问需要多少日两蔓相遇.”其中1尺=10寸.为了解决这一问题，设计程序框图如下所示，则输出的k 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a,n,S 的值，当S=-1.2时满足条件S 0£ 退出循环输出n 的值从而得解【详解】运行该程序，第一次，9 1.77.3S =-=，2k =；第二次，7.3 1.7 5.6S =-=，3k =；第三次， 5.6 1.7 3.9S =-=，4k =；第四次， 3.9 1.7 2.2S =-=，5k =；第五次，2.2 1.70.5S =-=，6k =；第六次，0.5 1.7 1.2S =-=-，此时输出的k 的值为6故选：C 【点睛】本题考查数学文化、算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归与转化思想.7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．函数()xx12f x sinx 12⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用奇偶性排除选项,B C ；利用0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <排除选项D ，从而可得结果. 【详解】因为()()()122112sin sin sin 122112x x x x x x f x x x x f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=⋅-=-⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项,B C ； 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以可排除选项D ，故选A. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．3236π B ．836πC ．2s g Lπ D ．16833π+【答案】B【解析】还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果. 【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：2211123622V r h πππ==⨯⨯= 四棱锥体积为：21143238333V Sh ==⨯⨯⨯=原几何体体积为：12836V V V π=+=+ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.10．已知函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭部分图象如图所示.则0x 的值为（ ）A ．3π B ．56π C ．76π D ．43π 【答案】C【解析】根据函数的部分图象得出最小正周期T 以及x 0的值. 【详解】∵函数()()2sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期为22T ππ==， 因为点（0，1）在()()2sin 2f x x ϕ=+的图象上， 所以()2sin 201ϕ⨯+=，又因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 令262x ππ+=，解得6x π=，所以0766x πππ=+=. 故选：C. 【点睛】本题考查了根据正弦函数的部分图象求函数解析式的应用问题，是基础题目． 11．已知A ，B 是函数的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，，由题意得，根据去掉绝对值得到，最后由基本不定式可得，即得到所求范围．【详解】 设，，则，∵，∴， ∴， 由基本不等式得，（等号不成立），∴， ∴，∴， ∴． 故选B ． 【点睛】（1）解答本题的关键是正确理解题意，并由条件得到定值，然后再用基本不等式求解；（2）运用基本不等式时要注意不等式的使用条件，特别是等号成立的条件．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>> 的右焦点为F 2，若C 的左支上存在点M ，使得直线bx ﹣ay ＝0是线段MF 2的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）A ．B ．2C D ．5【答案】C【解析】设P 为直线bx ay 0-=与2MF 的交点，则OP 为12MF F V 的中位线，求得2F 到渐近线的距离为b ，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值． 【详解】212P bx ay 0MF OP MFF -=V 设为直线与的交点，则为的中位线，()2F c,0，直线bx ay 0-=是线段2MF 的垂直平分线，可得2F 到渐近线的距离为2F P b ==，且OP a ==，1 MF 2OP 2a ==，2MF 2b =，可得21MF MF 2a -=， 即为2b 2a 2a -=，即b 2a =，可得c e a ==== 故选C ． 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题13．已知向量()2,1a =r ，(),1b x =r ，若a b +r r 与a b -r r共线，则实数x 的值是______.【答案】2【解析】利用向量共线定理即可得出． 【详解】(2,2)a b x +=+r r ,(2,0)a b x -=-r r,a b +r r Q 与a b -r r ，2(2)0∴-=，xx=.解得2故答案为：2.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知变量，满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由约束条件作出可行域，利用是可行域内的动点与定点连线的斜率，结合两点连线的斜率公式可得结果.【详解】由约束条件作出可行域如图，联立,解得,联立，解得，的几何意义是可行域内的动点与定点连线的斜率，，的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二找、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移或旋转变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是__________． 【答案】丁【解析】假设冠军分别是甲、乙、丙、丁、戊，分别判断孩子、妈妈、爸爸的判断是否正确，即可得结果. 【详解】若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不合题意； 若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不合题意； 若冠军是丙，三个人判断都不正确，不合题意； 若冠军是丁，只有爸爸判断正确，合题意，故答案为丁. 【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.16．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2xa e x >恒成立（其中 2.71828e =…是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是______. 【答案】e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭,【解析】两边取对数，分离常数a ，利用导函数研究单调性即可求解． 【详解】由2xa e x >可得：2ln x x a >，即12ln xax>恒成立， 令2ln ()x f x x =，则22(1ln )()0x f x x -'=>． 令()0f x '>得0x e <<，∴()f x 在1[,]x e e∈是递增函数，在2[,]e e 是递减函数，max 2()()f x f e e ∴==，则12a e>， ∴02ea <<. 故答案为：(0,)2e． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用导数求出函数的最值是解决本题的关键．三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若223cos cos 222C A a c b +=. （1）若4a c +=，求b 边长；（2）若60B ∠=︒，5b =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）2；（2【解析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理得a +c =2b ，即可求解b 的值；（2）由余弦定理得2()325a c ac +-=，又由（1）知a +c =2b ，解得ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】 （1）221cos 1cos 3coscos 22222C A C A a c a c b +++=⋅+⋅= 即()()1cos 1cos 3a C c A b +++=. 由正弦定理得：sin sin cos sin cos sin 3sin A A C C A C B +++=.即()sin sin sin 3sin A C A C B +++=，sin sin 2sin A C B ∴+=.由正弦定理得，2a c b +=，所以2b = （2）由60B ∠=︒，5b =及余弦定理得：22252cos60a c ac =+-︒， ()2325a c ac ∴+-=，又由（1）知2a c b +=，代入上式得24325b ac -=，解得25ac =，ABC ∴V 的面积1125sin sin 603224S ac B ac ==︒=. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是等腰直角三角形，且90APD ∠=︒，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，228AB CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是PC 的三等分点（靠近C 点处）.（1）求证：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求三棱锥D MAB -的体积. 【答案】（1）见解析（2）29. 【解析】（1）利用平面与平面垂直判定法则，证明BD ⊥面PAD ，即可得出答案．（2）计算出该三棱锥的底面积和高，结合体积计算公式13V S h =⋅，即可得出答案． 【详解】（1）由题知，42BD AD ==8AB =.222AB AD BD =+，∴BD AD ⊥ ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，交线是AD ，BD ⊂平面ABCD ，BD AD ⊥， ∴BD ⊥面PAD ，又∵BD ⊂平面MBD ∴平面MBD ⊥平面PAD . （2）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ，∴PO ⊥平面BAD ，∴22P DAB d -=D MAB M DABV V --== 13DAB M DAB S d ∆-= (211142322P DAB d -⨯⨯⨯(21114222323=⨯⨯⨯⨯29=. 【点睛】本道题目考查了平面与平面垂直判定定理和三棱锥体积计算公式，注意计算体积的时候不要忘记乘以13．19．为了调查某大学学生的某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表表2：女生上网时间与频数分布表（1）用分层抽样在[)30,40选取6人，再随机抽取2人，求抽取的2人都是女生的概率；（2）完成下面的22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）25；（2）详见解析.【解析】（1）用分层抽样法求出抽取的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）填写列联表，计算K 2，对照临界值得出结论． 【详解】（1）用分层抽样在[30，40）选取6人，男生有2人记为A 、B ，女生有4人，记为c 、d 、e 、f ；再从这6人中随机抽取2人，基本事件为AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Af 、Bc 、Bd 、Be 、Bf 、cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共15种； 抽取的2人都是女生的事件为cd 、ce 、cf 、de 、df 、ef 共6种， 故所求的概率为62155P == ； （2）填写2×2列联表如下，()22200180028002002.201001001307091K ⨯-==≈⨯⨯⨯，2 2.20 2.706K ≈<Q .∴没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的问题，是基础题．20．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，122F F =，P 是C 上的点，12PF F ∆直线l 与C 交于AB 两点，且OA OB ⊥（O为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：O 到直线l 的距离为定值，并求其定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）见解析，7【解析】（1）由题意可得2221122c c b a b c=⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，解得a 、b 、c ，进而得椭圆的方程.（2）利用分类讨论，当直线l 斜率存在时，设其方程，代入椭圆方程，将OA OB ⊥转化为OA OB ⊥u u u r u u u r ，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r，再根据韦达定理及向量数量积的坐标运算，得出关于根据点到直线的距离公式得出 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可知，当P 为椭圆C 的上顶点或下顶点时，12PF F ∆所以2221122c c b a b c =⎧⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎩，所以2a =，b =故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得：222()4384120k x kmx m +++-=， 由>0∆，整理得：22430k m -+> 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：122212284341243km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， OA OB ⊥Q OA OB ∴⊥u u u r u u u r ，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r， 12121212()()0x x y y x x kx m kx m ∴+=+++=，整理得222224128(1)()04343m km k km m k k -+⋅+⋅-+=++，化简得：2212(1)7m k =+ ，满足>0∆， ∴点O 到直线l 的距离为212221771m d k ===+， 当直线斜率不存在时，由对称性可求得直线方程为2217x =±，也满足题意. 故O 到直线l 的距离为定值，其值为2217. 【点睛】本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，定点问题，点到直线的距离公式，以及韦达定理和向量数量积坐标公式的综合，其中将条件OA OB ⊥转化为OA OB ⊥u u u r u u u r ，进而表示为0OA OB ⋅=u u u r u u u r是关键.本题属于中档题. 21．已知函数.（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上的最小值为3，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1），由在区间上是增函数，知恒成立，所以只需要在区间恒成立，即解得；（2）本题只需求出函数的最小值，建立方程求解，因为，分情况分析，①当时，在恒成立，在区间为增函数，得不符合题意舍；②当时，在成立，在区间为增函数， （舍）；③当时，在恒成立，在区间为减函数，． 试题解析：（1），∵在区间上是增函数，∵，∴在区间恒成立，即解得；（2），①当时，在恒成立，∴在区间为增函数，∴得不符合题意舍；②当时，在成立，∴在区间为减函数，在成立，∴在区间为增函数，∴（舍）； ③当时，在恒成立，∴在区间为减函数，∴．点睛：本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0a π≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （Ⅰ）若4πα=，求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求sin α的取值范围.【答案】（Ⅰ）普通方程为y x =.直角坐标方程为222x y x +=;（Ⅱ）40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）根据参普互化的公式，以及极坐标和直角坐标互化的公式得到结果；（Ⅱ）通过分析临界情况，即直线和圆的相切的情况，进而得到满足有2个交点是直线的倾斜角的范围. 【详解】（Ⅰ）当4πα=时，直线的l 参数方程为212212x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩. 所以其普通方程为y x =.对于曲线C ，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以其直角坐标方程为222x y x +=.（Ⅱ）由题意得，直线l 过定点()1,1P --，α为其倾斜角，曲线C ：()2211x y -+=，表示以()1,0C 为圆心，以1为半径的圆. 当2πα=时，直线l 为1x =-，此时直线l 与圆C 不相交.当2πα≠时，设tan k α=表示直线的斜率，则l ：10kx y k -+-=.设圆心C 到直线l的距离为d =当直线l 与圆C 相切时，令1d =，解得0k =或43k =. 则当直线l 与圆C 有两个不同的交点时，403k <<. 因为()0,απ∈，由40tan 3α<<，可得40sin 5α<<， 即sin α的取值范围为40,5⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】这个题目考查了极坐标和直角坐标的互化，以及参数方程和直角坐标的互化，涉及直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.23．设函数()12f x x ax =-++ （1）若1a =，解不等式()5f x <；（2）若()f x 有最小值，且关于x 的方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，求a的取值范围.【答案】（1）2x <；（2）[)1,0-.【解析】（1）将1a =代入，分1x ≤及1x >解不等式即可； （2）由()f x 有最小值，可得11a -≤≤，再把方程转化为21,[1,)21123,(,0)(0,1)x x x x x a x x x x -∈+∞⎧-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，构造新函数，通过数形结合即可求得实数a 的取值范围.（1）当1a =时，()12f x x x =-++， 当1x ≤时，()5f x <即为125x x -++<， 即35<恒成立；当1x >时，()5f x <即为125x x -++<， 即24x <，解得2x <，此时12x <<； 综上，不等式的解集为(,2)-∞；（2）(1)1,1()(1)3,1a x x f x a x x ++≥⎧=⎨-+<⎩，要使()f x 有最小值， 则1010a a +≥⎧⎨-≤⎩，解得11a -≤≤，方程2()21f x x x =-++即为21221x ax x x -++=-++，显然0x =不是方程的根，故21,[1,)21123,(,0)(0,1)x x x x x a x x x x -∈+∞⎧-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩， 令 1,[1,)()23,(,0)(0,1)x x g x x x x -∈+∞⎧⎪=⎨--+∈-∞⋃⎪⎩， 当0x <时，223()32230x x x x--+=-++≥+>- 作出()g x 的图象如下，结合11a -≤≤及函数图象可知，要使方程()221f x x x =-++有两个不等实数根，则[1,0)a ∈-．本题考查绝对值不等式的解法以及函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．。
湖南省岳阳一中高三数学上学期第四次月考试卷 理(含解析)
2015-2016学年湖南省岳阳一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∀x∈R，cosx≥1C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞13．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）4．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．5．设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=（）A．3 B．1 C．±1D．±36．函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+17．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．2 B．9 C．10 D．199．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[，1]10．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．211．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．14．某简单组合体的三视图如图，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组合体的体积是cm3（结果保留π ）．15．设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是．16．下列说法：①已知是单位向量，|+|=|﹣2|，则在方向上的投影为；②关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜2；③函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象⑤在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；其中正确的命题序号是（填出所有正确命题的序号）．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1（1）若，求边c的大小；（2）若a=2c，求△ABC的面积．18．已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，则满足T n＞的最小正整数n是多少？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．20．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．21．已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2015-2016学年湖南省岳阳一中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】首先解出两个不等式，再比较x的范围，范围小的可以推出范围大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故选B．【点评】正确解出不等式，理解必要条件，充分条件的判断．2．已知命题：p：∀x∈R，c osx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，cosx≥1B．∀x∈R，cosx≥1C．∃x∈R，cosx＞1 D．∀x∈R，cosx＞1 【考点】命题的否定；全称命题．【专题】阅读型．【分析】直接依据依据特称命题的否定写出其否定．【解答】解：命题：p：∀x∈R，cosx≤1，则￢p为∃x∈R，cosx＞1故选C【点评】本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题3．设函数f（x）定义在实数集上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x ﹣1，则有（）A．f（）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（）D．f（）＜f（）＜f（）【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，离直线x=1越近的点，函数值越小，由此判断答案．【解答】解：由题意可得，函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，再根据函数的图象关于直线x=1对称，可得函数在（﹣∞，1]上是减函数．故离直线x=1越近的点，函数值越小．|﹣1|=，|﹣1|=，|﹣1|=，∴f（）＜f（）＜f（），故选：B【点评】本题主要考查函数图象的对称性的应用，利用函数的单调性比较及各式子的大小，属于中档题．4．已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（）A．B．C．D．【考点】平面图形的直观图．【专题】计算题．【分析】由正△ABC的边长为a，知正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，故△A′B′C′的高为=，由此能求出△A′B′C′的面积．【解答】解：∵正△ABC的边长为a，∴正△ABC的高为，画到平面直观图△A′B′C′后，“高”变成原来的一半，且与底面夹角45度，∴△A′B′C′的高为=，∴△A′B′C′的面积S==．故选D．【点评】本题考查平面图形的直观图的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．5．设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=（）A．3 B．1 C．±1D．±3【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：向量=（3，3），=（1，﹣1），∴+λ=（3+λ，3﹣λ），﹣λ=（3﹣λ，3+λ），∵（+λ）⊥（﹣λ），∴（+λ）•（﹣λ）=0，∴（3+λ）（3﹣λ）+（3+λ）（3﹣λ）=0，∴λ2=9，∴λ=±3，故选：D．【点评】本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．6．函数y=Asin（ωx+Φ）+k（A＞0，ω＞0，|Φ|＜）的图象如图所示，则y的表达式是（）A．y=sin（2x+）+1 B．y=sin（2x﹣）+1C．y=sin（2x+）﹣1 D．y=sin（2x+）+1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】由图观察可知周期T=2×（）=π，从而有周期公式可求ω的值，又A==，k=1，x=时，y=，可求Φ的值，从而可求得解析式．【解答】解：由图观察可知：周期T=2×（）=π，∴=π，∴ω=2，又A==，k=1，∴y=sin（2x+φ）+1，∵x=时，y=，∴sin（2×+Φ）=1，Φ=+2kπ（k∈Z），又∵|Φ|＜，∴Φ=，∴y=sin（2x+）+1．故选：A．【点评】本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．7．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m=（）A．2 B．9 C．10 D．19【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和求和公式可得m的方程，解方程可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a m﹣1+a m+1=2a m，又∵a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0，解得a m=0或a m=2，又S2m﹣1===（2m﹣1）a m=38，∴a m=0应舍去，∴a m=2，∴2（2m﹣1）=38，解得m=10故选：C【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．9．已知实数x、y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[，1]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（1，0）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．此时z=2．当直线y=﹣2x+z和圆在第三象限相切时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．圆心到直线2x+y﹣z=0距离d=，即|z|=2，解得z=2（舍）或z=﹣2，即﹣2≤z≤2，目标函数z=2x+y的取值范围是[﹣2，2]故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A．1 B．C．D．2【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．【解答】解：曲线 y=sin x，y=cos x 的一个交点的横坐标为：，由曲线 y=sin x，y=cos x 与直线 x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是s=∫（cosx﹣sinx）dx+∫（sinx﹣cosx）dx=（sinx+cosx）|+（﹣cosx﹣sinx）|=﹣1+﹣1=2．故选D．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．11．如图，在△ABC中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，若，则m、n对应的值为（）A．B．C．D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用．【分析】根据向量减法及数乘的几何意义可以得出，，这样便可以求出，这样根据，并进行向量的数乘运算便得到，由平面向量基本定理即可建立关于m，n的二元一次方程组，从而可以解出m，n．【解答】解：根据条件，=；==；∴，，；∵；∴；∴；解得．故选：A．【点评】考查向量的加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．12．设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即 x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得 m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k= ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】设切点，求出切线斜率，利用切点在直线上，代入方程，即可得到结论．【解答】解：设切点为（x0，y0），则∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=•x0=1，∴x0=e，∴k==．故答案为：．【点评】本题考查切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．14．某简单组合体的三视图如图，其中正视图与侧视图相同（尺寸如图，单位：cm），则该组合体的体积是1+cm3（结果保留π ）．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由题意可知三视图复原的几何体是下部为四棱柱，上部为圆锥的几何体，根据三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是下部为四棱柱，上部为圆锥的几何体，四棱锥是正方体棱长为1，上部圆锥的底面直径为2，高为1，所以组合体的体积为V=V柱+V锥=1+=1+．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．15．设函数f（x）=x3+x，x∈R，若0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立．则实数m的取值范围是（﹣∞，1] ．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m﹣1恒成立，由0＜θ＜可求得实数m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴函数f（x）=x3+x为奇函数；又f′（x）=3x2+1＞0，∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，∴msinθ＞m﹣1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1﹣sinθ）＜1恒成立，由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1﹣sinθ＜1，＞1由m＜恒成立知：m≤1．∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性，突出考查转化思想与恒成立问题，属于中档题．16．下列说法：①已知是单位向量，|+|=|﹣2|，则在方向上的投影为；②关于x的不等式a＜sin2x+恒成立，则a的取值范围是a＜2；③函数f（x）=alog2|x|+x+b为奇函数的充要条件是a+b=0；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin2x的图象⑤在△ABC中，若A＜B，则sinA＜sinB；其中正确的命题序号是①⑤（填出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】把已知的向量等式两边平方，求出在方向上的投影为；利用对勾函数的单调性求出sin2x+的最小值判断②；举例说明③错误；利用函数的图象平移判断④；由已知结合正弦定理判断⑤．【解答】解：①是单位向量，由|+|=|﹣2|，两边平方得，，整理得，则在方向上的投影为，故①正确；②∵sin2x∈（0，1]，∴sin2x+的最小值为3，则关于x的不等式a＜sin2x+恒成立时，a的取值范围是a＜3，故②错误；③当a=1，b=﹣1时，虽然有a+b=0，但f（x）不是奇函数，故③错误；④将函数y=sin（2x+）图象向右平移个单位，得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，故④错误；⑤在△ABC中，由正弦定理知，若A＜B，则有a＜b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＜sinB成立，故⑤正确．故答案为：①⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量在向量方向上的投影，训练了利用函数单调性求函数的最值，考查了三角函数的图象平移，是中档题．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且，b=1（1）若，求边c的大小；（2）若a=2c，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）将已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，变形后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据特殊角的三角函数值求出B的度数，再由A的度数，利用三角形的内角和定理即可求出C的度数，由sinB，sinC及b 的值，利用正弦定理即可求出c的值；（2）由B的度数，求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2﹣2accosB，将b=1，a=2c及cosB的值代入求出c的值，进而求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（1）∵2cos2=sinB，∴1+cosB=sinB，∴2（sinB﹣cosB）=1，即2sin（B﹣）=1，∴B﹣=或（舍），解得：B=，又A=，则C=，由正弦定理=，得c==；（2）∵B=，∴sinB=，cosB=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，将b=1，a=2c，cosB=代入，解得：c=，则a=，则S△ABC=acsinB=××sin=．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n﹣S n﹣1=+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，则满足T n＞的最小正整数n是多少？【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由f（1）=a=，解得a=，可得f（x）=．a1=f（1）﹣c=﹣c，当n≥2时，a n=[f（n）﹣c]﹣[f（n﹣1）﹣c]，可得a2，a3，利用等比数列的性质可得：，解得c=1．可得a n．由于S n﹣S n﹣1==+（n≥2），可得﹣=1，利用等差数列的通项公式可得：S n，利用递推公式可得b n．（2）=，利用“裂项求和”可得T n，即可得出．【解答】解：（1）∵f（1）=a=，解得a=，∴f（x）=．a1=f（1）﹣c=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣，又数列{a n}成等比数列，∴，∴=﹣×，解得c=1．又公比=，∴a n=﹣=﹣2×（n∈N*）．∵S n﹣S n﹣1==+（n≥2）．又b n＞0，＞0，∴﹣=1．，∴数列构成一个首项为1公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，∴S n=n2，当n=1，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时，上式也成立．∴b n=2n=1（n∈N*）．（2）==，∴T n=+…+==．由T n=＞，可得=66+，因此满足T n＞的最小正整数为67．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B﹣FC1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）可以通过证明面面平行来证明线面平行；（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或其补角．【解答】解：（1）∵F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，∴CD∥AF，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC．又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，∴平面ADD1A1∥平面FCC1，又EE1⊂平面ADD1A1，∴EE1∥平面FCC1．（2）过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．则F（，1，0），B（，3，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），∴=（0，2，0），=（﹣，﹣1，2），=（，3，0）．由FB=CB=CD=DF，∴四边形BCEF是菱形，∴DB⊥FC．又CC1⊥平面ABCD，∴为平面FCC1的一个法向量．设平面BFC1的一个法向量为=（x，y，z），则得，可得y=0，令x=2，则z=，∴．∴===．故所求二面角的余弦值为．【点评】熟练掌握利用面面平行来证明线面平行、利用两个平面的法向量的夹角求两平面的二面角是解题的关键..20．某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．（1）求g（10）；（2）求第x个月的当月利润率g（x）；（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）当1≤x≤20时，f（x）=1，易知f（1）=f（2）=f（3）=…=f（9）=f（10）=1，从而知（2）求第x个月的当月利润率，要考虑1≤x≤20，21≤x≤60时f（x）的值，代入即可．（3）求那个月的当月利润率最大时，由（2）得出的分段函数，利用函数的单调性，基本不等式可得，解答如下：【解答】解：（1）由题意得：f（1）=f（2）=f（3）=…═f（9）=f（10）=1g（x）===．（2）当1≤x≤20时，f（1）=f（2）═f（x﹣1）=f（x）=1∴g（x）====．当21≤x≤60时，g（x）=====∴当第x个月的当月利润率；（3）当1≤x≤20时，是减函数，此时g（x）的最大值为当21≤x≤60时，当且仅当时，即x=40时，，又∵，∴当x=40时，所以，该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为．【点评】本题是分段函数的应用题，借助分段函数考查反函数的单调性，基本不等式的应用，求分段函数的最值，综合性强，难度适中，值得学习．21．已知函数f（x）=x3﹣（k2﹣k+1）x2+5x﹣2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R．（Ⅰ）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；（Ⅱ）设函数是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，先求导数：p′（x），因p（x）在区间（0，3）上不单调，得到p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，再利用分离参数的方法得出，最后再利用导数求出此函数的值域即可；（II）先根据题意得出当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，分类讨论：（ⅰ）当x1＞0时，（ⅱ）当x1＜0时，最后综合（ⅰ）（ⅱ）即可得出k值．【解答】解析：（I）因P（x）=f（x）+g（x）=x3+（k﹣1）x2+（k+5）x﹣1，p′（x）=3x2+2（k﹣1）x+（k+5），因p（x）在区间（0，3）上不单调，所以p′（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由p′（x）=0得k（2x+1）=﹣（3x2﹣2x+5），∴，令t=2x+1，有t∈（1，7），记，则h（t）在（1，3]上单调递减，在[3，7）上单调递增，所以有h（t）∈[6，10），于是，得k∈（﹣5，﹣2]，而当k=﹣2时有p′（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈（﹣5，﹣2）；（II）当x＜0时有q′（x）=f′（x）=3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5；当x＞0时有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因为当k=0时不合题意，因此k≠0，下面讨论k≠0的情形，记A=（k，+∞），B=（5，+∞）（ⅰ）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A⊆B，因此有k≥5，（ⅱ）当x1＜0时，q′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A⊆B，因此k≤5，综合（ⅰ）（ⅱ）k=5；当k=5时A=B，则∀x1＜0，q′（x1）∈B=A，即∃x2＞0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2的值是唯一的；同理，∀x1＜0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5满足题意．【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于中档题．请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，同按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【专题】选作题；立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得A D•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．24．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞3x+2的解集；（2）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）将f（x）＞3x+2化简，解绝对值不等式；（2）解不等式f（x）≤0用a表示，同一个不等式的解集相等，得到a．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+3x，＞3x+2，可化为|x﹣1|＞2．由此可得 x＞3或x＜﹣1．故不等式f（x）＞3x+2的解集为{x|x＞3或x＜﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得：|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组：或．即a≤x≤，或x≤﹣，因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x≤﹣}，由题设可得﹣=﹣1，故a=2【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及参数的求解．。
湖南省岳阳市市第一中学2019年高三数学文联考试卷含解析
湖南省岳阳市市第一中学2019年高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为： =；故选C．2. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），圆M：（x﹣a）2+y2=c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆心为（a，0），半径为c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==．【解答】解：由题意可知：椭圆C： +=1（a＞b＞0），焦点在x轴上，a2=b2+c2，双曲线以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，双曲线方程为：（a＞0，b＞0），渐近线方程为y=±x，圆M：（x﹣a）2+y2=c2，圆心为（a，0），半径为c，双曲线的两条渐近线都与圆M相切，则圆心到渐近线的距离d=c，即d==b，即b=c，a=c，椭圆C的离心率e==，故选A．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，属于中档题．3. 在公差不为零的等差数列中，依次成等比数列，前7项和为35,则数列的通项A． B． C． D．参考答案：B4. 已知是定义在上的奇函数，且恒成立，当时，则的值为( )A． B． C．D．参考答案：B5. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是（）A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．参考答案：B【考点】圆的标准方程．【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．故选B．6. 下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②x2﹣5x﹣6=0是x=﹣1的必要而不充分条件；③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）（）A．②③B．②C．①②③D．④参考答案：A【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】写出否命题判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用复合命题的真假判断③的正误；利用对数函数的单调性判断④的正误．【解答】解：对于①，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，故错对于②，若命题p：?x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，故正确对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题，故正确；对于④，若0＜a＜1，则a+1＜1+?log a（a+1）＞log a（1+），故错．故选：A．7. 已知：为单位向量，，且，则与的夹角是（）A． B. C． D.参考答案：D略8. 已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=( )A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．9. 在△ABC中，已知2sin A cos B＝sin C，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形参考答案：B10. 已知,那么（）A．B．C．D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=______参考答案：-1612. 设正项数列的前项和是，若和{}都是等差数列，且公差相等，则参考答案：略13. 如图，直线，垂足为O，已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=5，AB=6，AD=8.该长方体做符合以下条件的自由运动：（1）;（2）,则C1 、O两点间的最大距离为 .参考答案：14. 数列{a n}满足a n+1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为____________。
【精】湖南省岳阳县第一中学2019届高三上学期期中数学(文)试卷(含答案)
2018年下学期岳阳县一中高三第三次阶段考试试卷数学（文科）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|y=ln （x ﹣1）}，集合B={x|﹣1＜x ＜2}，则（R C A ）∩B= （ B ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，2）D ．（1，2）2．已知条件p ：2x x 0-<，条件q ：x 10x 1+≤-，则p 是q 成立的 （ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.0.4 1.90.4a 1.9,b log 1.9,c 0.4===已知，则 （ C ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b4．已知向量()()()a 3,1,b 0,1,c k,3==-=，若()a 2bc -⊥，则k 等于（ C ）A ．B ．2C ．﹣3D ．1※5．已知α为第二象限的角，且tan α=﹣34，则sin α+cos α= （ C ） A ．﹣75B ．﹣34 C ．﹣15D ．156．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π），函数的最大值是2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且f （x ）的图象关于直线x=6π对称，则下列判断正确的是 （ D ） A ．要得到函数f （x ）的图象，只需将y=2cos2x 的图象向左平移12π个单位 B ．x ∈[,66ππ-]时，函数f （x ）的最小值是﹣2 C ．函数f （x ）的图象关于直线x=﹣712π对称 D ．函数f （x ）在[23π，π]上单调递增 【分析】由题意可求A ，f （x ）的周期T ，利用周期公式可求ω，利用正弦函数的对称性可求φ，可得f （x ）的解析式，利用正弦函数的图象和性质逐一分析各个选项即可判断求解． 【解答】解：∵函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜），函数的最大值是2，∴A=2，∵其图象相邻两条对称轴之间的距离为，∴T==π，解得：ω=2，∵f （x ）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=k π+，k ∈Z ，解得：φ=k π+，k ∈Z ，又∵|φ|＜，解得：φ=．可得：f （x ）=2sin （2x+）．对于A ，将y=2cos2x 的图象向左平移个单位，可得：y=2cos[2（x+）]=2cos （2x+）的图象，故错误；对于B ，x ∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，可得f （x ）=2sin （2x+）∈[﹣1，2]，故错误；对于C ，由于2sin[2×（﹣）+]=﹣2sin π=0≠±2，故错误； 对于D ，由x ∈[，π]，可得：2x+∈[，]，由正弦函数的图象和性质可得函数f （x ）在[，π]上单调递增，故正确．故选：D ．7．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么最小的儿子分到的绵是 （ B ） A ．167斤 B ．184斤C ．191斤D ．201斤【分析】由题意可知，数列为等差数列，公差为d=17，n=8，S 8=996，以第1个儿子为首项，即可求出答案．【解答】解：由题意可知，数列为等差数列， 公差为d=17，n=8，S 8=996，以第最大的儿子为首项， ∴8a 1+×17=996，解得a 1=65，所以8a 184 故选：B ．8．执行如图程序框图，则输出结果为（ C ）A．20200 B．﹣5268.5 C．5050 D．﹣5151【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×1002的值，由于S=（﹣1）1×12+（﹣1）2×22+（﹣1）3×32+…+（﹣1）100×100=（22﹣12）+（42﹣32）+…（1002﹣992）=3+7+11+…+199==5050．故选：C．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ B ）A．B．C．D．8【分析】由三视图知该几何体是四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是四棱锥，且底面是边长为2和4的长方形，由侧视图是等腰直角三角形，直角边长为2，∴该几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．已知函数f （x ）=asinx+bcosx （x ∈R ），若x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，且tanx 0=2，则点（a ，b ）所在的直线为 （ A ） A ．x ﹣2y=0B ．x+2y=0C ．2x ﹣y=0D ．2x+y=0【解答】解：f （x ）=asinx+bcosx=（sinx+cosx ），令sin α=，则cos α=，即tan α=，则f （x ）=cos （x ﹣α），由x ﹣α=k π，得x=α+k π，k ∈Z ， 即函数的对称轴为x=α+k π，k ∈Z ， ∵x=x 0是函数f （x ）的一条对称轴，∴x 0=α+k π，则tanx 0=tan α==2，即a=2b ， 即a ﹣2b=0，则点（a ，b ）所在的直线为x ﹣2y=0， 故选：A ．11．若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零点的函数是 （ B ） A ．()xy f x e1-=-⋅-B ．()x y f x e 1=⋅+C ．()x y f x e 1=⋅-D ．()xy f x e 1=-⋅+【解析】由题意可得()00e 0x f x -=，所以()e 0x f x ---=的一个根为0x -，方程可变形为()e 10x f x --=，又因为()f x 为奇函数，所以()e 10x f x --=，即()e 10xf x +=有一个零点为0x -.选B.【点评】本题考查了等差数列的求和公式的应用．12．若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( B ) A.(－∞，0) B.(0，1) C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(0，＋∞)【解析】依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称. 可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )， 又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x，则km －1＝ln m ，k ＝1m，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1， 结合图象可知k ∈(0，1)时两函数图象有两个交点. 二．填空题（共4小题） 13．复数2iz 1i=+（i 为虚数单位）的虚部为 1 ． ※14．若x ，y 满足约束条件2x y 0x y 3x 0-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 2x y =+的最大值是 4 ．15．数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈, 数列{b n }满足1n nb a = ，且b 1+b 2+…b 9=90，则b 4•b 6= 91． 【解析】数列{a n }满足()*113n n n n a a a a n N ++-=∈， 可得11n a +﹣1na =3，数列{b n }满足b n=1na ， 可得{b n }为公差为3的等差数列， 由b 1+b 2+…b 9=90，可得 9b 1+8*92×3=90， 解得b 1=﹣2，[来源:学#科#网]则b 4•b 6=（﹣2+3×3）×（﹣2+5×3）=91． 故答案为：91．16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a ，则该四面体体积的最大值为 a 3．【解答】解：如图所示，在四面体ABCD 中，若AB=BC=CD=AC=BD=a ，AD=x ，取AD 的中点P ，BC 的中点E ，连接BP ，EP ，CP ，易证AD ⊥平面BPC ，所以V A ﹣BCD =S △BPC ×AD=×x=×=×≤a 3，当且仅当，即x=时取等号．故答案为：a 3，三．解答题（本大题共6小题，满分70分）17．设f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0，a ≠1），且f （1）=2． （1）求a 的值及f （x ）的定义域． （2）求f （x ）在区间[0，]上的值域．【分析】（1）由f （1）=2求得a 的值，由对数的真数大于0求得f （x ）的定义域； （2）判定f （x ）在（﹣1，3）上的增减性，求出f （x ）在[0，]上的最值，即得值域．【解答】解：（1）∵f （x ）=log a （1+x ）+log a （3﹣x ）， ∴f （1）=log a 2+log a 2=log a 4=2，∴a=2； 又∵，∴x ∈（﹣1，3），∴f （x ）的定义域为（﹣1，3）．（2）∵f （x ）=log 2（1+x ）+log 2（3﹣x ）=log 2[（1+x ）（3﹣x ）]=log 2[﹣（x ﹣1）2+4]， ∴当x ∈（﹣1，1]时，f （x ）是增函数； 当x ∈（1，3）时，f （x ）是减函数，∴f （x ）在[0，]上的最大值是f （1）=log 24=2； 又∵f （0）=log 23，f （）=log 2=﹣2+log 215，∴f （0）＜f （）；∴f （x ）在[0，]上的最小值是f （0）=log 23； ∴f （x ）在区间[0，]上的值域是[log 23，2]．【点评】本题考查了求函数的定义域和值域的问题，利用对数函数的真数大于0可求得定义域，利用函数的单调性可求得值域．18．（本小题满分12分）如图，a ，b ，c 分别是锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，，sin 4BAC 5∠=． （1）求sinC 的值；（2）若点D 在边BC 上且BD=3CD ，△ABC 的面积为14，求AD 的长度． 【分析】（1）利用两角和与差的三角函数转化求出B 的大小，利用两角和的正弦函数求解C 的正弦函数值即可．（2）利用正弦定理求出BD ，然后利用余弦定理求解AD 即可． 【解答】解：（1）由题知，则，，因B 为锐角，所以……………………（3分），由，所以sinC=sin （∠B+∠BAC ）=sinBcos ∠BAC+cosBsin ∠BAC=……………………．（6分）（2）由正弦定理又，………………．（8分）解得……………………（9分）所以，由余弦定理，AD 2=AB 2+BD 2﹣2AB •BD •cosB ，解得AD=5…………………………（12分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2． 【解析】（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ． 因为E ，F 分别为PD ，PA 中点， 所以EF AD ∥且12EF AD =， 又因为BC AD ∥，12BC AD =， 所以EF BC ∥且EF BC =，即四边形BCEF 为平行四边形， 所以CE BF ∥， 因此CE ∥平面PAB ．PABCDEMH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，CE在△PBN 中，由PN =BN =1，PB QH =14，在Rt △MQH 中，QH=14，MQ所以sin ∠QMH ，所以直线CE 与平面PBC ． 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．本题（1）是就是利用方法①证明的． 20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量=（S n ，2），满足条件⊥（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据向量的数量积和可得S n =2n+1﹣2，再根据数列的递推公式即可求出， （2）根据错位相减法即可求出数列{c n }的前n 项和T n 【解答】解：（1）∵⊥，∴•=S n +2﹣2n+1=0， ∴S n =2n+1﹣2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n， 当n=1时，a 1=S 1=2满足上式， ∴a n =2n， （2）∵c n ==，∴，两边同乘，得，两式相减得：，∴．【点评】本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题 21．已知函数()211ln 22f x x x =+-． （Ⅰ）证明曲线()f x 上任意一点处的切线斜率不小于2；（Ⅱ）设k R ∈，若()()2g x f x kx =-有两个极值点12,x x ，且12x x <，证明： ()22g x <-． 【解析】试题分析：(Ⅰ)先求导函数()f x '，只需证明()2f x '≥成立即可；（Ⅱ）令()()2112ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->， ()12g x x k x+-'=，可知()120g x x k x =+-='两根为12,x x ，结合韦达定理可化简得()222223ln (1)22x g x x x =-->，研究函数()23ln (1)22x h x x x =-->的单调性，可证结论.当1k >时， ()21212x kx g x x k x x-+=+-='， 由()0g x '=得2210x kx -+=， ()2410k ∆=->，设两根为12,x x ，则12122,1x x k x x +==，其中1201x k x k <=<<=+ ()g x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增，从而()g x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，()()2222222212211ln 2ln 2222x x g x x kx x x x x =+--=+-+- 222222222113ln ln 2222x x x x x x x ⎛⎫=+-+-=-- ⎪⎝⎭， 即()222223ln (1)22x g x x x =-->， 构造函数()23ln (1)22x h x x x =-->， ()10h x x x-'=<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减， 且()12h =-．故()22g x <-．22．在平面直角坐标系xoy中，直线140C y +-=，曲线2:{(1x cos C y sin ϕϕϕ==+为参数），以以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. ()I 求12,C C 的极坐标方程；()II 若曲线3C 的极坐标方程为(0,0)2πθαρα=><<，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB OA 的最大值．【解析】()I cos ,sin x y ρθρθ==，1cos sin 40;C θρθ∴+-={ 1x cos y sin ϕϕ==+， ()2211x y ∴+-=， cos ,sin x y ρθρθ==， ()()22cos sin 11ρθρθ∴+-=， 22sin 0ρρθ∴-=， 2:2sin C ρθ∴=()II 曲线3C 为(0,0)2πθαρα=><<， 设()()12,,,A B ραρα，122sin ,ρρα==则)12112sin sin sin 21446OBOA ρπααααρ⎡⎤⎛⎫==⨯+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ,3πα∴= max 3.4OB OA = 【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查三角函数最值的求法，是中档题．23．已知函数f （x ）=|x+a|．（1）当a=﹣5时，解不等式f （x ）≤1+|1﹣2x|；（2）若f （x ）+f （﹣x ）＜4存在实数解，求实数a 取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值数据不等式的性质得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）|x ﹣5|﹣|2x ﹣1|≤1，当x ≤时，5﹣x ﹣1+2x ≤1，解得：x ≤﹣3，当＜x ＜5时，5﹣x ﹣2x+1≤1，解得：≤x ＜5，当x ≥5时，x ﹣5﹣2x+1≤1，解得：x ≥﹣5，故x ≥5，综上：不等式解集为{x|x ≤﹣3或x ≥}；（2）存在x 使得|x+a|+|x ﹣a|＜4 成立，∴（|x+a|+|x ﹣a|）min ＜4，∴2|a|＜4，解得：﹣2＜a ＜2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．欢迎访问“高中试卷网”——。
湖南省岳阳市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前湖南省岳阳市第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合A ={0，1，2}，A 的非空子集个数为（ ） A.5B.6C.7D.82．已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，(2a +i )(1+3i )=3+bi ，则a +b =（ ） A.22B.-16C.9D.-93．已知具有线性相关的变量x ，y ，设其样本点为A i (x i ，y i )(i =1，2.....，6)，回归直线方程为3xy b =+，若126...OA OA OA +++=(9，6)(O 为坐标原点)，则b =（ ） A.3B.43-C.12D.-124．已知平面向量a ，b 满足1a b ==r r，若37a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ）A.30°B.45°C.60°D.120°5．黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m =2cos 72°，若n = cos 36°cos 72°cos 144°，则mn =（ ） A.-1B.18C.-18D.16．已知{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若53S S =，则4a =（ ） A.-4B.-3C.-2D.-1○…………装……订…………○…………线※※请※※不※※要※※内※※答※※题※※○…………装……订…………○…………线7．在四面体SABC 中若三条侧棱SA ，SB ，SC 两两互相垂直，且SA =1，SB ，SC 则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A.8πB.6πC.4πD.2π8．函数2ln x y x x=+的图象大致为( )A. B. C. D.9．已知满足条件∠ABC=30°，AB =12，AC =x 的ΔABC 有两个，则x 的取值范围是（ ） A.x =6B.6<x <12C.x ≥12D.x ≥12或x =610．环境指数是“宜居城市”评比的重要指标.根据以下环境指数的数据，对名列前20名的“宜居城市”的环境指数进行分组统计，结果如表所示，现从环境指数在[4，5)和[7，8]内的“宜居城市”中随机抽取2个市进行调研，则至少有1个市的环境指数在[7，8]的概率为（ ）A.34B.35C.23D.91011．在数列{}n a 中，11a =，当n ≥2时，其前n 项和n S 满足2(1)n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足n T ≥5的最小正整数n 是（ ） A.10B.9C.8D.712．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，x ∈[0，433π]，若函数F (x )=f (x )-3的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋯，且123n x x x x ＜＜＜…＜，则1231+2+2+n n x x x x x -+=…+2（ ）A.11903πB.11923πC.398πD.11963π…………订……订※※线※※内※※答※…………订……第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数()f x=__________.14．若函数21()ln2xf x x x e=++，则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的方程为____.15．2015年北京庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.16．已知函数()f x满足1()1(1)f xf x+=+，当0≤x≤1时，f(x)=x，若方程f(x)-mx-m=0(x∈(-1，1])有两个不同实数根，则实数m的最大值是_______.三、解答题17．已知函数()221()cos sin cos()2f x x x x x x R=+-∈.(1)求()f x的单调递增区间.(2)在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=10，cosB=17，求ΔABC的中线AD的长.18．已知{}n a的前n项和243nS n n=-+，(1)求数列{}n a的通项公式；(2)求数列162nna+-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和nT.19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=3π，平面ACFE⊥平线…………○…线…………○…面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=AD ，点M 在线段EF 上。