(完整版)一块简支正交各向异性板的振动模态分析

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正交各向异性矩形板的自由振动特性分析

正交各向异性矩形板的自由振动特性分析曾军才;王久法;姚望;于涛【摘要】An improved Fourier series method was proposed to develop the transverse vibration model of orthotropic rectangular plates and derive the matrix equation which is equivalent to governing differential equations.An analytical solution for vibration of plates with general elastic boundary conditions was provided.The vibration displacement was solved as the linear combination of a double Fourier cosine series and an auxiliary series.The use of these supplementary series is to solve the discontinuity problem encountered in the partial differentials of displacement function along the edges. The vibration mode characteristics were obtained by solving the eigen values of the matrix.Several numerical examples were given and the comparison of the results with those of the available literature validates the convergence and correctness of the method.%采用改进 Fourier 级数方法，建立了正交各向异性矩形薄板的弯曲振动模型，推导出与振动控制方程等价的矩阵方程，得到控制方程在任意边界条件下的解析解。

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课程设计（论文）任务书院系（教研室）年月日学生姓名: 学号: 专业:1 设计（论文）题目及专题：一块简支正交各向异性板的振动模态分析2 学生设计（论文）时间：自月日开始至月日止3 设计（论文）所用资源和参考资料： 1、弹性力学下册2、ANSYS软件3、有限元法4 设计（论文）完成的主要内容：1）利用有限元法，用ANSYS编程计算一块简支正交各向异性板的振动模态 2）应用板壳理论知识得到板的解析解，并对两种方法所得结果进行比较5 提交设计（论文）形式（设计说明与图纸或论文等）及要求：提交课程设计论文一本6 发题时间：年月日指导教师：（签名）学生：（签名）用ansys解法如下：模态分析步骤第1步：指定分析标题并设置分析范畴选取菜单途径Main Menu>Preference ,单击Structure,单击OK 第2步：定义单元类型Main Menu>Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete,出现Element Types对话框, 单击Add出现Library of Element Types 对话框,选择Structural shell再右滚动栏选择Elastic 4node 63,然后单击OK，单击Element Types对话框中的Close按钮就完成这项设置了。

第3步：指定材料性能选取菜单途径Main Menu>Preprocessor>Material Props>MaterialModels。

出现Define Material Model Behavior对话框,在右侧Structural>Linear>Elastic>orthotropic,指定材料的弹性模量和泊松系数，Structural>Density指定材料的密度，完成后退出即可。

第4步：划分网格选取菜单途径Main Menu>Preprocessor>Meshing>MeshTool,出现MeshTool对话框，一般采用只能划分网格，点击SmartSize,下面可选择网格的相对大小（太小的计算比较复杂，不一定能产生好的效果，一般做两三组进行比较），保留其他选项，单击Mesh出现Mesh V olumes对话框，其他保持不变单击Pick All，完成网格划分。

正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理

中国科学G辑物理学力学天文学 2005, 35(1): 79~86 79正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理*罗建辉①**龙驭球②刘光栋①(①湖南大学土木工程学院, 长沙 410082; ②清华大学土木系, 北京 100084)摘要利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 将弹性力学新正交关系中构造对偶向量的思路推广到正交各向异性薄板弹性弯曲问题. 由混合变量求解法直接得到对偶微分方程. 所导出的对偶微分矩阵具有主对角子矩阵为零矩阵的特点. 发现了2个独立的、对称的正交关系. 利用正交各向异性薄板弹性弯曲理论的积分形式证明了这种正交关系. 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论. 利用积分形式导出了与微分形式对应的变分原理并提出了一个完整的泛函表达式.关键词弹性力学薄板理论对偶向量正交关系正交各向异性变分原理将Hamilton体系导入弹性力学求解, 钟万勰建立了弹性力学求解辛体系并提出了辛正交关系[1,2]. 对于二维弹性力学问题, 罗建辉等将原来的对偶向量[1]进行重新排序后, 提出了一种新的对偶向量和对偶微分矩阵[3]. 对于各向同性材料, 发现辛正交关系可以分解为2个独立的、对称的子正交关系, 新的正交关系包含辛正交关系[3]. 罗建辉等将新正交关系推广到各向同性三维弹性力学[4]和有一个方向材料正交的各向异性三维弹性力学[5]. 在弹性力学的求解体系中, 薄板和厚板弯曲理论的求解体系的研究也一直受到关注. 姚伟岸等研究了Reissner板弯曲的辛求解体系并提出了辛正交关系[6]. 罗建辉等采用与文献[6]排序不同的对偶变量, 导出了厚板弯曲的对偶求解体系[7]. 新正交关系被推广到厚板弯曲理论, 并从厚板势能原理出发, 采用换元乘子法导出了厚板Hamilton变分原理的能量泛2004-07-01收稿, 2004-12-20收修改稿*国家自然科学基金(批准号: 10272063)、教育部高等学校博士点基金(批准号: 20020003044)、清华大学基础研究基金(批准号: JC2002003)、高等学校全国优秀博士论文作者专项基金(批准号: 200242)资助项目** E-mali: luojianhui@80 中国科学 G 辑物理学力学天文学第35卷函.按照一般的思路, 厚板理论的子正交关系退化到薄板理论, 可以导出薄板理论的新正交关系. 但经过我们的研究发现, 直接退化的薄板理论正交关系并不成立. 产生这个结论的原因是显而易见的. 因为当厚板理论的对偶向量退化到薄板理论后, 对偶向量中的横向剪力不是独立的变量. 所以有必要对薄板理论对偶向量的选择和正交关系等问题进行研究. 钟万勰等提出了弯矩函数的概念, 建立了平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 构造了与传统对偶变量不同的对偶向量, 研究了各向同性薄板弯曲的求解辛体系并提出了辛正交关系[8]. 岑松等采用与文献[8]不同的对偶变量, 避免了相似性原理, 建立了薄板弯曲的对偶微分方程以及相应的变分原理泛函表达式[9]. 姚伟岸等基于相似性原理, 研究了正交各向异性薄板弯曲求解辛体系并提出了辛正交关系[10]. 但文献[10]建立的泛函表达式不完整, 没有包含与边界条件有关的项. 利用平面弹性问题与板弯曲问题的相似性理论, 罗建辉等将弹性力学的新正交关系推广到各向同性薄板弹性弯曲理论[11], 薄板弯曲的辛正交关系[8]分解为2个独立的、对称的子正交关系.本文将文献[3]构造对偶向量的思路应用于正交各向异性薄板弹性弯曲问题, 对文献[8]提出的对偶向量重新排序后, 提出了新的对偶向量, 建立了对应的对偶微分方程. 对偶微分矩阵的主对角子矩阵是零矩阵. 由于对偶微分矩阵的这一特点, 发现了辛正交关系[10]可以分解为2个独立的、对称的子正交关系. 文中从弹性力学求解体系的积分形式[12]出发, 证明了新正交关系的成立. 利用一种建立变分原理的新方法[12], 基于对偶微分方程和边界条件, 推导了对应的变分原理, 提出了一个包含边界条件的完整泛函表达式. 本文的研究表明, 在恰当选择对偶向量后, 弹性力学的新正交关系可以推广到正交各向异性薄板弹性弯曲理论.1 对偶向量和对偶微分方程矩形薄板的坐标如图1所示. 为了便于与文献[10]进行对比, 下文中有关的符号定义见文献[10, 13].曲率——挠度的关系是22222, ,.x y xy w w w x y x y∂∂∂===−∂∂∂∂κκκ (1)平衡微分方程为2222220xy y x M M M q x yxy∂∂∂−++=∂∂∂∂. (2)横向荷载q 的作用可以通过特解得到处理. 所以这里只考虑当q = 0时图1 矩形薄板第1期罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 81(2)式的齐次方程.正交各向异性板的物理方程为1112122266,,2y y x x y x xy xy M D D M D D M D =+=+=κκκκκ.(3)引用弯矩函数[10] ψx 和ψy , 弯矩与弯矩函数的关系为,,2y yx x y x xy M M M x y y x∂∂∂∂===+∂∂∂∂ψψψψ. (4) 容易看出(2)式的齐次方程已被满足. 若以对偶变量[10]T []x y y xy =νψψκκ (5)为基本变量, 则要由(1)式消去w 得变形协调方程为0,0y xy xy xxyxy∂∂∂∂+=+=∂∂∂∂κκκκ. (6) 将(4)代入(3)式可得 2121211662222,y y x x y xy D D D D x D y D x y∂∂⎛⎞∂∂=+−+=⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠ψψψψκκ, (7)1222221y x y D D y D ∂=−∂ψκκ. (8)按文献[3]选取对偶向量的原则, 令新的对偶向量为 TT T[],b d =ννν (9)T T [],[].b x xy d y y ==ψκκψνν (10)由(6), (7)式得对偶微分方程为,=v Lv (11)式中,x⎡⎤∂==⎢⎥∂⎣⎦0B νL νD 0&, (12)2121211222221266222220,1D D D D D y y D D y D yD y ⎡⎤∂∂⎡⎤−−⎢⎥⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥==⎢⎥∂⎢⎥∂∂−⎢⎥−⎢⎥∂∂⎣⎦∂⎢⎥⎣⎦B D . (13) 其他变量可由(1), (4)和(8)式得到. v b , v b 的分量以混合形式出现. 与文献[10]的H 矩阵比较, 由新对偶向量导出的L 矩阵的特点是其主对角子矩阵为零矩阵. 利用L 矩阵的这一特点, (11)式可以表示为,b d d b ==&&v Bv vDv . (14) 采用分离变量法求解, 设82 中国科学 G 辑物理学力学天文学第35卷()exp()y x =λv ψ, (15)式中λ是特征值, ψ是特征函数向量. 对应于新对偶向量, T T T[]b d =ψψψ. 由(14)式得,d b b d ==λλB ψψD ψψ. (16)2 一种新的正交关系定义11001⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦J . (17) 对于任意的对偶变量v 和v *, 可以验证(18)~(21)式为恒等式.T1()*y***x d byxy xy y x x x∂∂∂=+−∂∂∂ψψκκκψv J v &, (18)2T1212111112222221+ 1 (),*y y ***d dy y y y *y y *x y D D D D D D y y D y y y⎛⎞∂∂⎛⎞⎜⎟=−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂−+∂∂∂ψψκκκκψψκψv J Bv(19)T 1()*y ***xb dy xy y x x x x∂∂∂=−−+∂∂∂ψψκκκψv J v &, (20)T166()*****xx b bxyxy xy xy xy x D y y y∂∂∂=+−−∂∂∂ψψκκκκκψv J Dv . (21) 考虑图1所示矩形薄板, 在边界y = 0和y = b 处, 满足下列边界条件0x =κ或0y =ψ, (22)=0xy κ或0x =ψ. (23)由(19)和(21)式得T T 11()()****d d d d x y x y y y ∂∂−=−∂∂κψκψv J Bv v J Bv , (24)T T 11()+()****b b b b xy x xy x y y∂∂−=−∂∂κψκψv J Dv v J Dv . (25) 对(24)和(25)式积分得T T 110()()()bb b****d d d d x y x y dy −=−∫κψκψv J Bv v J Bv , (26)T T 11000()()()bb b****b b b b xy x xy x dy −=−∫κψκψv J Dv v J Dv . (27)第1期罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 83利用(14)和(22), (23)式, 由(26), (27)式分别得T T 11,,,,**d b d b 〈〉=〈〉v J v v J v &&, (28)T T 11,,,,**b d b d 〈〉=〈〉v J v v J v &&. (29)其中定义了运算110,,d by 〈〉=∫v J u vJ u . (30)由(15)式得,b b d d ==λλ&&vv vv , (31)******,b b d d ==λλ&&v v v v .(32)将(31), (32)式代入(28), (29)式得 T T11, , , , 0***d b d b 〈〉−〈〉=λλv J v v J v , (33)T T 11, , , , 0***d b d b −〈〉+〈〉=λλv J v v J v . (34)对于特征根λ和λ*, 若λ2−λ∗2 ⎯0, 由(33)和(34)式得T T11, , 0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=v J v v J v . (35)以(15)代入(35)式得()T()T11e , ,0,e , ,0**x*x*d b d b λλλλ++〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (36)由()e 0*x+≠λλ得新的正交关系TT11, ,0,, , 0**d b d b 〈〉=〈〉=ψJ ψψJ ψ. (37)由(37)式可得辛正交关系[10]T T11, , , , **d b d b J J 〈〉=〈〉ψψψψ. (38)对于正交各向异性薄板弯曲问题, 新的正交关系(37)式包含辛正交关系(38)式.3 混合变分原理对于对偶微分方程(14), 建立相应的变分原理是必要的. 下面将从微分形式出发, 利用积分形式[12]导出了与微分形式对应的变分原理.对于一般的曲线边界S , 边界条件为=0, 0s s n n −−=ψψψψ(在边界S ψ上), (39)=0, 0ns ns s s −−=κκκκ(在边界S κ上).(40)设对偶变量v *为任意对偶变量, 若对偶变量v 满足对偶微分方程(14)和边界条件(39), (40), 则()0*F ,=v v , (41)84 中国科学 G 辑物理学力学天文学第35卷T T11()[()()]d d [()()]d [()()]d .***d b d b d b A**n n s s s ns S **s ns ns n s s S F ,x y s s =−−−−−+−−−+−∫∫∫∫ψκψψκψψκψκκψκκv v v J v Bv v J v Dv &&(42)将(18)~(21)式代入(42)式得211121122122222()[ 1(+)21 +2**y y *****x xy y xy xy y y y y A***y yy y y y*y yD D F ,x x x x D D D D y y D y y y y ψψψψκκκκκκκκψψψψψψκκ∂∂⎛⎞∂∂=+++−−⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟⎜⎟−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠∫∫v v66()2()()]d d [()()]d [()()]d .****x xxy xy xy xy xy xy ****xy y y x x y xy x **n n ss s ns S **s ns ns n s s S D y y x yx y ss ψκψψκκκκκκκψκψκψκψψψκψψκψκκψκκ∂∂−+++∂∂∂∂−+−+∂∂−−+−−−+−∫∫ (43)为简单起见, 限定边界为直线段. 利用Green 公式, 得()+()d d [()()]d()d .****xy y y x x y xy x A ****xy y y x x y xy x S**n s s ns Sx y x y l m ss κψκψκψκψκψκψκψκψψκψκ⎡⎤∂∂++⎢⎥∂∂⎣⎦=+++=+∫∫∫∫(44)利用(44), (43)式化为12222661112112222()[+1(+)()221]2***y y y y ****x x y y xy xy y yA ****y y y y xy xy xy xy ***y y y y *x xxy xy D F ,x x x x D y y D D D D D D y yy y y y ψψψψψψκκκκκκκκκκκκκκψψψψψψκκ⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟=+++−⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞−−−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂∂⎜⎟++++⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠∫∫v v d d [()()]d ******n s n s n s s ns s ns s ns S x y s ψψκψκψκψκψκψκ−+−++−∫第1期罗建辉等: 正交各向异性薄板理论的新正交关系及其变分原理 85()d .**s ns n s S s κψκψκ−+∫(45) 因为v 也包含在v *之中, 由(41)式得()0.F ,=v v (46)引入变分δ v = v *−v , 由(41)减(46)式得()()0*F ,F ,−=v v v v ,即21112121122226622 1(+)+21 ()22y y x x y y xy xy A y y y y y y y y y y y yxy xy xy xy x x x x D D D D D D y y D D y yy y ψδψψδψδκκδκκψδψδκκκδκδκκδψψψδψδκκκδκ∂∂∂∂⎡+++⎢∂∂∂∂⎣∂∂⎛⎞⎛⎞−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠∂∂∂∂⎛⎞++−+⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠∫∫d d ()d [()()]d 0.x x xyxys ns n s Sn s n s n s s ns s ns s ns S x y s y y s κψψδψδκκδψκδψκδψκψδκψδκδψκψδκψδκ∂∂⎤++−+⎥∂∂⎦−+−++−=∫∫(47)对(47)式进行变分的逆运算, 得混合变分原理的变分表达式为0,=δΠ (48)22111211222266122222121 d d 22 ()d [()()]d ,y x xy y y Ay y x y xy xy s ns n s s n n ns s s S S D D D D D D x yD y D y y s s κψΠκψκψκψψψκκκψκψκκψψκψψ⎛⎞⎡=+−−⎜⎟⎣⎜⎟⎝⎠∂⎛⎞∂⎤−+−+⎜⎟⎥∂∂∂⎦⎝⎠−+−−+−∫∫∫∫&&(49)式中Π 的表达式包含文献[8, 10]的泛函表达式. 文献[8]对于各向同性薄板提出了一个完整的泛函表达式. 文献[10]的泛函表达式未包含有关边界条件的项. 本文提出了正交各向异性薄板完整的泛函表达式. 本文建立变分原理的方法是一种理性方法. 对(49)式进行变分, 可以推导出对偶微分方程(14)和边界条件(39)，(40).4 结论对于基于新对偶变量的正交各向异性薄板求解体系, 本文得出了3点结果:(ⅰ) 建立了正交各向异性薄板对偶微分方程; (ⅱ) 导出了相应的薄板能量泛函;86 中国科学 G 辑物理学力学天文学第35卷(ⅲ) 提出了薄板两个子正交关系, 弹性力学的新正交关系已推广到正交各向异性薄板的弯曲问题.新的正交关系不但包含辛正交关系, 而且比其简洁. 新的正交关系成立的条件是220*−≠λλ. 这个条件的物理意义是对偶微分方程的基本解系关于x 坐标对称性. 对于一般的各向异性材料, 这一对称性将不成立, 所以新正交关系也不成立. 可以推测, 辛正交关系对于最一般的各向异性材料仍成立. 薄板求解体系的研究成果将为研究薄板的解析解和有限元解提供新的有效工具. 希望本文的工作对正交各向异性薄板弯曲问题特征函数展开直接解法的研究有所帮助.参考文献1 钟万勰. 弹性力学求解新体系. 大连: 大连理工大学出版社, 19952 钟万勰. 互等定理与共轭辛正交关系. 力学学报, 1992, 24(4): 432~4373 罗建辉, 刘光栋. 各向同性平面弹性力学求解新体系正交关系的研究. 计算力学学报, 2003, 20(2): 199~2034 罗建辉, 刘光栋, 尚守平. 各向同性弹性力学求解新体系正交关系的研究. 固体力学学报, 2004, 25(1): 98~1005 罗建辉, 刘光栋. 弹性力学的一种正交关系. 力学学报, 2003, 35(4): 489~4936 姚伟岸, 隋永枫. Reissner 板弯曲的辛求解体系. 应用数学和力学, 2004, 25(2): 159~1657 罗建辉, 岑松, 龙志飞, 等. 厚板Hamilton 求解体系及其变分原理与正交关系. 工程力学, 2004, 31(2): 34~398 钟万勰, 姚伟岸. 板弯曲求解新体系及其应用. 力学学报, 1999, 31(2): 173~1849 岑松, 龙志飞, 罗建辉, 等. 薄板Hamilton 求解体系及其变分原理. 工程力学, 2004, 21(3): 1~6 10 姚伟岸, 苏滨, 钟万勰. 基于相似性原理的正交各向异性板弯曲 Hamilton 体系. 中国科学, E 辑, 2001, 31(4): 342~34711 罗建辉, 龙驭球, 刘光栋. 薄板理论的正交关系及其变分原理. 力学学报, 2004, 36(5): 527~532 12 Luo J H, Liu G D, Shang S P. Research on a systematic methodology for theory of elasticity. Applied Mathematics and Mechanics, 2003, 24(7): 853~86213姚伟岸, 钟万勰. 辛弹性力学. 北京: 高等教育出版社, 2002。

【doc】正交各向异性材料弹性本构关系分析

正交各向异性材料弹性本构关系分析一1997拒航空发动机第1期正交各向异性材料弹性本构关系分析张晓霞(沈阳建西孬,11OO15)32}3周柏卓(沈阳航空发罚罚面,110015)要:首先给出了正穸各向异性对科在材科主轱坐标最中弹性萃构关系.并由此导出了材科不同方向的弹性毫教之间的关系关键词0匪銮鱼里星嗡讨料三堕笪黾材料单晶材料..查塑苎量壁堡曼泊橙比剪切模量II1引言符号表正应力分量剪应力分量正应变分量剪应变分量方向弹性模量坐标轴问的剪切模量i:Y向作用拉(压)应力引起j方向缩(伸)的泊松比对于各向同性材料,正应力只产生正应变:剪应力分量只产生相应的剪应变分量.与各向同性材料不同,各向异性材料的正应力不仅产生正应变,而且也产生剪应变;同样,剪应力除了产生剪应变外,还要产生正应变;剪应力分量除了产生与之对应的剪应变分量外,还要产生其它的剪应变分量.这种耦合效应是由各向异性材料的物理特性所决定的. 完全各向异性材料的物理特性需要由21个独立的弹性常数来描述.在航空发动机上,用于制造涡轮叶片等高温构件的定向结品材料和单晶材料是正交各向异性的.正交各向异性材料是指通过这种材料的任意一点都存在三个相互垂直的对称面,垂直_丁对称面的方向称为弹性主方向. 在弹性主方向上,材料的弹性特性是相同的. 平行于弹性主方向的坐标轴为弹性主轴或材料主轴,用l_2和3表示这三个材料主轴.2弹性本构方程在正交各向异性材料的材料主轴坐标系中表示应力分量和应变分量或它们的增量. 应力分量与应变分量是不耦合的,其弹性应力应变关系由广义虎克定律确定".=【Cl{…………………?(1))=【c1扣}=【D】{￡) (2)其中:㈦【"￡,,;}=【l_O-"r"f2r"r;lDL=lc_L..;收稿日期:1996—06—27一/,n,=三EG1997征航空发动机第1期一(3)其中由于弹性矩阵的对称性有:￡.u】I=u¨.E2n:￡】",ElI,=￡",因此,(3)式12个常数中只有9个是独立的求(3)式的逆矩阵.即可得到(2)式中的弹性系数与工程常数之间的关系为=:等鳇鲁每=G,d,^=G11d=G.……(4)其中:逝嚣3应力和应变坐标变换由弹性力学可知,一点的应力状态可由该点的三个相互垂直方向的3个正应力分量和6个剪应力分量表示.由剪应力互等定理可知,这6个剪应力分量中只有3个是独立的这9-t"应力分量组成一个二阶对称的应力张量: 同理,一点的9个应变分量组成一个二阶对称的应变张量,用矩阵分别记为fO-fr][]=l,flrJ通常.总体坐标系与材辩坐标系并不重合在总体坐标系中,正应力分量和剪应力分量之问,剪应力分量和剪应力分量之阅相互耦台.其应力应变关系可通过材料坐标系下应力应变关系的旋转变换得到设[fm,n,].[Zmn]和[Z:mss]分别为总体坐标轴x.Y和Z在材料坐标系中的方向余弦.则坐标变换矩阵H]为『,,用]【'mlL,3m】",J若材料坐标系中的应力张量和应变张量分别记为[]和[￡].则应力张量和应变张量的转轴公式分别为【]=】[L【】 (5)]=【【州【棚 (6)[0]:】L】………………………?-(7)【.】=【[】【】…….展开(5)式,并写成矩阵的形式变换矩阵.则{}=【丁1,{}……………….同理展开(6).(7)和(8)式,得:{}=[{}……………{0}:[{…………………{0}:[,{…………………一其中变换矩阵………(8)令[列为….(9)…(IO)…fl1)…(12)2I22■,222'2'2rain,2^^'+'mn''+'+ram2^+''州+(J,It1nJ,+n,/. …………………………(131211,●●●●●●●●●j ,,Z,l一"r●_11l00000上o000上0..0.一0.E一E上B...一.一一...上'一一.00,...—.........—.........—,................,. .一晶～""f+●l～1997年航空发动机第1期I2lf,2¨2222n,n~22_'+''+''',l|^+,l|'''+月'c+rd.分别将(1)式和(10)式代人(11)式,(2)式和(12)式代人(9)式得总体坐标系下正交各向异性材料的应力应变关系矩阵为:【c1=【【c]【…………………-(15)【D]=[.【D】_[ (16)4定向结晶材料弹性常数定向结晶材料具有横观各向同性性质即如果取结晶轴为材料坐标轴3,则在与3轴垂直的平面内材料性能相同.这种材料的独立的弹性系数降为5个.若用工程常数表示. 井考虑到弹性模量E=E..泊松比==s,=a,,剪切模量G=G,则应应变关系矩阵(3)式变为:一000一—,all000占0000}00【J_200一0【J"000士"(3a)=.=:=i1d=Gld=d=G..J在(3a)式中,剪切模量G是不独立的,可用1—2平面内的弹性模量E和泊松比.表示.通过绕结晶轴旋转变换得:G.:!"2(1)剪切摸量G.的直接测量较困难,通常测量与结晶轴成45.夹角方向的拉伸弹性模量E 并由此导出剪切摸量G使总体坐标轴x与材料坐标轴1重合,z轴与3轴成45.夹角,则z轴方向的弹性模量即为E将其方向余弦代人总体坐标系的应力应变关系(15)式中得:1G=毒E一击E一亡E+E……J】"J^J6单晶材料弹性常数在单晶材料的三个材料主轴方向上.材料的弹性特性分别相等,令三个方向的弹性模量E=E=E.=E泊松比.===2=u==.剪切摸量,G=G=G=G,则在材料主轴坐标系中,单晶材料的应力应变关系矩阵(3)式变为:一穹耋堂爹晶材料的弹性系数与[Cl:工程常数之间的关系为: ..=:=ii:;;.(1一.)E.E,d'—(I-,u,~)E—,-2,un2E.锋(4a)一坐一一u000￡￡￡一兰一一u000￡￡￡一一一1000.EEE,1000_l_00l.....l.o.o.石1(3b)由(4)式可得单晶树科的弹性系数为^吼f,●ir●●l一.一E一'0o.一一上一一￡.....一一r●●●●●●●●Jr.●●●11997拒航空发动机第1期.==:1=:=G(45)在总体坐标系中,单晶材料的弹性常数是总体坐标系方向的函数,用表示坐标轴3与轴z的夹角;表示轴1与轴x,z平面的夹角.则坐标变换矩阵[]为:lCOStZCOcosasinfl—sinal【—s|nCO0f (I9)IsiNa~osinasinflc0I将(19)式代人总体坐标系下的应力应变关系矩阵(15)式可得到总体坐标系下的弹性系数:Ez,.G盯,Grz和Gzx.:一f三一(COS~a+SEE\EGJ. ……………………………….……………"(20)u一(2+2一￡G)sinco(1一sinos所i面…………………………………………………? (2I)u一(2+2一E/G)s~nasia肛os卢.一I-(2+2,u-E'G)sin=a(cos~a+sin=asin:flcos2f1) ….…………….-….…..….…一…………? (22,:¨l_+4f一n,pco~p…(23)GG.EG,一_L:+4f等一1sin2asc…(24)G,G￡G…+4f一1.n~acoc0).G—G\￡G,'单晶材料有三个独立的弹性常数.这三个常数可由材料主轴方向的弹性模量E.泊松比"和剪切模量G组成.对单品材料,通常给出在[100],[110]和[111]方向的弹性模量E, E.和E,而不直接测量剪切模量G.将=45.,=O代人(20)式得剪切模量与[110]方向的弹性模量之间的关系为:j42—2一GElj,,一—i (26)将=54.7356..F=45.代人(2O)式得剪切模量与[111]方向的弹性模量之闸妁关系为l31—2"一Gi一彳 (27)由(26)种(27)式可得单品材料[100].[110]和[111]方向的弹性模量之间的关系为:141.一3E一………'(.)用(28)式预测了俄罗斯某单晶材料和美国单晶材料PW A1480[110]方向的弹性模量.其结果见表1和表2由表1可见.俄罗斯的这种单晶材料对f28)式符合得很好,其最大误差只有一2.07%;而单晶材料PW A1480对(28)式符合得较差,当温度较低时.误差是负的.当温度较高时.误差是正的.其虽大误差达到19.6.袁1某单晶材料弹性横■E(GPa)温度I:℃)实测值硬测值误差()20226.2225.1—0.48800184.2182.7—086900174.5174.3—0.1210001653161.9—2.07图1表示单晶材料PW A1480在=90..54.7356.和45.时.弹性模量E随转角的变化规律当=45.时,E达到最大值.图2表示在=54.7356.时.弹性模量E.E和E随转角的变化规律.图3表示单品材料PW A1480在一90.,54.7356.和45.时,泊松比随转角的变化规律.当fl=45.时,达到最小值图4表示在一90.时,泊松比和随1997伍航空发动机第l期最2单晶材料PW A]480弹性模量(GPa) 温度(_f)宴制填预测值误差() 42722131876—1524760174.416O.9—77587l149615644.58 9821331147310701093917109.7l960-.ff一,～,卜』./I\L:}_015如456D75舶'^咄.fReqd~,c')图1弹性横量EJ--a=90'一口=54.7'\l—a=45.O如朽种7j^'kRoI-师')转角的变化规律.当:45.时,zx选到晶大值,达到最小值从罔4可以看出.泊松比柏最小值小于零.这表示在z方向单向拉伸时,在Y方向不是收缩,而是膨胀;此时zx达到最大值,值达到0.8左右.+表示横截面积的收缩情况.图5表示单品材料PW A1480在一90.,54.7356.和45.时,剪切模量G随转角口的变化规律当一45.时,G达到最小值网6表示在a=54.7356.时,剪切模量GG和G随转角的变化规律._I/\},,/i\—.,/,7.,r,}一/1]a=54l:备广O巧舯.j鲫^ⅡgkRotlfl~川'】图2弹性模量E,EriEz}}}一.._一Lvj,【lL———J0I530印75钟AagtcorR~Jiaa'I图3泊松=r?国4泊松比村和20}一言0^昌na鲁.,廿0_,∞;一暑u呈∞言t¨¨0o名2善吣¨00目H.q口01997拄航空发动机第1期小结号:宅=i三^ⅡeRJttati~.图5剪切模置G1)E,和G是单晶材料最基本的3个独立的弹性常数,如果用(26)式和(27)式决定G,可能得到不同的结果.2)单品材料只有两个方向的弹性模量是独立的,任何第三个方向的弹性模量都可由这两个方向的弹性模量表示.[100]方向的弹性模量和泊松比以及与这个轴不平行也不垂直方向的弹性模量构成单品材料三个独立的弹性常数.3)单品材料PwA148O对(28)式符合得较In7.1'j,.-l/～-i!--GxY/GI一0l5舯'5∞90^n山.fRoI-衄'J母6剪切模置GG和GⅡ差.最大误差达到19.6%.4)单品材料的剪切模量对方向很敏感如果方向偏差10.,剪切模量的偏差可达20%.参考文献1张允真一曹富新弹性力学及其有限元法中国铁道山版社,19832GA.Swanson.I.LiaskD.M.NissleyLife PredictionandConstitutiveModelsF0tEngine HotSectionAnisortoplcMaterialsPrpgram,NASA——CR——1749521{'.虏暑_。

西工大课程设计论文_机翼的模态分析与颤振分析

目录一、软件介绍 (1)1.1 MSC.Patran介绍 (1)1.2 MSC.Nastran (1)二、翼板的模态分析 (3)2.1 建立几何模型的文件名 (3)2.2 创建几何模型 (3)2.3 划分有限元网格 (4)2.4 设置边界条件 (4)2.5定义材料属性 (5)2.6 定义单元属性 (5)2.7 进行分析 (6)2.8 查看分析结果 (6)2.8.1显示模态云图 (7)2.8.2显示模态变形图 (7)2.8.3同时显示模态云图及变形图 (8)三、平板颤振分析 (8)3.1结构建模 (9)3.2气动建模 (10)3.2.1设定气动参考坐标系 (10)3.2.2气动建模－网格划分 (10)3.3参数设置 (10)3.3.1参考弦长等参数设定 (10)3.3.2减缩频率等参数设定 (11)3.4耦合分析 (11)3.4.1生成样条 (11)3.4.2应用样条 (11)3.4.3设定工况、分析 (12)3.5结果分析 (12)四、总结 (13)五、参考文献 (14)一、软件介绍1.1 MSC.Patran介绍MSC.Patran(后称Patran)是一个集成的并行框架式有限元前后处理及分析仿真系统。

Patran最早由美国宇航局（NASA）倡导开发，是工业领域最著名的并行框架式有限元前后处理及分析系统，其开放式、多功能的体系结构可将工程设计、工程分析、结果评估、用户化设计和交互图形界面集于一身，构成一个完整的CAE集成环境。

使用Patran，可以帮助产品开发用户实现从设计到制造全过程的产品性能仿真。

Patran拥有良好的用户界面，既容易使用又方便记忆。

Patran作为一个优秀的前后处理器，具有高度的集成能力和良好的适用性，具体表现在：1.模型处理智能化。

为了节约宝贵的时间，减少重复建模，消除由此带来的不必要的错误，Patran应用直接几何访问技术（DGA），能够使用户直接从一些世界先导的CAD/CAM系统中获取几何模型，甚至参数和特征。

正交各向异性单层板

正交各向异性单层板对于复合材料，由于复合材料是由基体和增强纤维组成的多相非均质材料，因此复合材料具有明显的各向异性性质。

一般来说，确定复合材料力学性能有两种方法：物理机理的力学分析方法和唯象理论方法。

物理机理的力学分析方法是通过细观或微观力学理论建立描述复合材料物理力学性能的各参数之间关系表达的方法，唯象理论方法是将非均质多相复合材料作为均ABC电子质连续介质(以非均质多相复合材料与均质连续介质单相材料建立宏观上物理力学性能的等效模型)，在实验的基础上建立复合材料以总体宏观强度性能为特征的破坏准则(强度条件)。

两种方法的主要区别在于；物理机理的力学分析方法通过分折复合材料破坏过程的物理机理，从而给出复合材料物理力学性能的各参数之间关系表达式；唯象理论方法则是通过实验，以实验为基础，从而给出复合材料以总体宏观强度性能为特征的破坏准则(强度条件)。

显然，唯象理论方法虽然能够在各种载荷条件下给出复合材料的破坏准则强度条件，但其所给出的复合材料的破坏准则(强度条件)不能解释复合材料破坏过程的物理机理。

尽管唯象理论方法不能解释复合材料何时从何处开始破坏，以及从局部开始破坏到最终整体破坏的复杂过程，但唯象理论方法能够提供各种载荷(各种复杂应力状态)下的强度破坏指标，且该指标正是工程设计个保证所设计构件(或罗部件)安全的基本指标。

因此，基于唯象理论方法的破坏准则研究仍然是复合材料强度理论研究的一个重要方向。

本章关于复合材料强度理论的分析属于唯象理论方法范畴。

正夹各庙异性单层扳强魔理论的路本IC现货商概念各向同性线弹性体的一个显著特点是：各向同性线弹性体内同一点各个方向强度等同，且强度与方向无关。

如所示各向同性(均质)线弹性体，在各向同性(均质)线弹性体内两个不同方向取和舶试件进行试验。

实验结果表明和两试件所呈现的力学性能在宏观统计学意义上完全相同，即各向同性(均质)线弹性体内任意点、任意方向上具有完全相同的力学性能(包括完全相同的强度)。

(完整版)ANSYS模态分析实例和详细过程

均匀直杆的子空间法模态分析1.模态分析的定义及其应用模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性(固有频率和振型)，即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。

同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。

ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。

前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。

ANSYS提供的模态提取方法有:子空间法(subspace)、分块法(block lancets),缩减法(reduced/householder)、动态提取法(power dynamics)、非对称法(unsymmetric),阻尼法(damped), QR阻尼法(QR damped)等，大多数分析都可使用子空间法、分块法、缩减法。

ANSYS的模态分析是线形分析，任何非线性特性，例如塑性、接触单元等，即使被定义了也将被忽略。

2.模态分析操作过程一个典型的模态分析过程主要包括建模、模态求解、扩展模态以及观察结果四个步骤。

(1).建模模态分析的建模过程与其他分析类型的建模过程是类似的，主要包括定义单元类型、单元实常数、材料性质、建立几何模型以及划分有限元网格等基本步骤。

(2).施加载荷和求解包括指定分析类型、指定分析选项、施加约束、设置载荷选项，并进行固有频率的求解等。

指定分析类型，Main Menu- Solution-Analysis Type-New Analysis,选择Modal。

指定分析选项，Main Menu-Solution-Analysis Type-Analysis Options，选择MODOPT(模态提取方法〕，设置模态提取数量MXPAND.定义主自由度，仅缩减法使用。

(完整版)ANSYS模态分析实例和详细过程

ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。

前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。

ANSYS提供的模态提取方法有:子空间法(subspace)、分块法(block lancets),缩减法(reduced/householder)、动态提取法(power dynamics)、非对称法(unsymmetric),阻尼法(damped),QR阻尼法(QR damped)等，大多数分析都可使用子空间法、分块法、缩减法。

ANSYS的模态分析是线形分析，任何非线性特性，例如塑性、接触单元等，即使被定义了也将被忽略。

2.模态分析操作过程一个典型的模态分析过程主要包括建模、模态求解、扩展模态以及观察结果四个步骤。

(2).施加载荷和求解包括指定分析类型、指定分析选项、施加约束、设置载荷选项，并进行固有频率的求解等。

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正交各向异性叠层板的非线性主共振分析

第7卷第1期2009年3月167226553/2009/07⑴/03524动力学与控制学报JOURNAL OF DY NAM I CS AND C ONTROLVol .7No .1Mar .20092008207228收到第1稿,2008212210收到修改稿.正交各向异性叠层板的非线性主共振分析吕书锋　胡宇达(燕山大学建筑工程与力学学院,秦皇岛　066004)摘要　研究了在四边简支的边界条件下,正交各向异性矩形叠层板在横向简谐激励作用下的非线性主共振及其稳定性问题.在给出了正交各向异性叠层板的振动微分方程的基础上,利用伽辽金法导出了相应的达芬型非线性强迫振动方程.应用平均法对主共振问题进行求解,得到了系统在稳态运动下的幅频响应方程.基于李雅普诺夫稳定性理论,得到了解的稳定性判定条件.作为算例,分别给出了不同条件下,系统运动的幅频响应曲线图、振幅2激励幅值响应曲线图和动相平面图,并对解的稳定性进行了分析,讨论了各参数对系统非线性振动特性的影响.关键词　正交各向异性,　叠层板,　主共振,　稳定性,　平均法引言各向异性板的优势是具有较高的比强度、比刚度[1],还可以通过调整材料铺层数、材料的几何参数来适应不同的应用条件,已经成为一类重要的工程结构元件.此外,由于叠层材料常由几种不同的材料构成,且常被做成薄壁结构,呈现几何非线性,从而存在很多复杂的非线性动力学特性.因此,对复合材料叠层板进行非线性动力学分析十分必要.近年来,对于复合材料叠层板的非线性振动研究已经取得了一些成果.Chia [2]系统的研究了复合材料叠层板的非线性弯曲、后屈曲等问题;杨桂通等[3]讨论了复合材料叠层板的非线性动力稳定性问题,得到了不同铺设方法叠层板的突变失稳模型及其屈曲临界条件;叶敏等[4,5]对复合材料板参数共振的分岔问题进行了研究;王列东、周承倜等[6]研究了复合材料叠层板的初始缺陷和拉伸2弯曲耦合对于其振动、屈曲、和非线性动力稳定性的影响,Udar Ratnakar S .等[7]研究了承受非均匀谐波边界载荷叠层板的组合共振特性;Y .S .Shih 等[8]研究了任意弹性基础上简支和固支叠层薄板的非线性振动;卿光辉等[9]研究了压电热弹性体混合层合板的响应分析;张伟等[10]对夹层板的非线性动力学特性进行了分析;李银山等[11]研究了正交各向异性圆板非线性振动的亚谐分岔.本文选取正交各向异性矩形叠层板作为研究对象,对其在横向简谐激励作用下的非线性主共振问题进行分析.1　基本方程考虑等厚度、同材质的正交各向异性矩形叠层板(材料主向与板轴一致),略去纵向和转动惯性力项,根据Kirchhoff 假设,应用虚功原理,得到板的非线性运动方程为:9N x 9x +9N xy9y =0(1a )9N y 9y +9N xy9x=0(1b )92M x 9x 2+92M y 9y 2+292M xy 9x 9y +99x (N x 9w 9x +N xy 9w9y )+　99y (N x 9w 9y +N xy 9w 9x )+p z =ρh 92w 9t2+δ9w9t (1c )式中N x 、N y 、N xy 为相应的中面内力,M x 、M y 、M xy 为内力矩分量,p z =p 0sinωt 为横向简谐激励载荷,p 0为激励幅值,ω为激励频率,δ为阻尼系数.考虑四边简支的正交各向异性矩形叠层板,边长为a ×b,厚度为h .其内力2应变的关系式为:N x N y N xy=A 11　A 12　0A 12　A 22　00　0　A 669u 9x +12(9w 9x )29v 9y +12(9w 9y )29u 9x +9v 9y +9w 9x 9w 9y(2a )动　力　学　与　控　制　学　报2009年第7卷Mx M y M xy=D 11　D 12　0D 12　D 22　00　0　D 66-92w9x 2-92w 9y 2-292w 9x 9y(2b )式中,A ij 、D ij 分别为拉伸和弯曲刚度.取满足四边简支边界条件的位移函数为:w =f (t )sinπxasinπyb(3)这样,将式(2)、(3)代入(1)中,并采用伽辽金法进行积分,可得到矩形板无量纲化的达芬型非线性振动微分方程:¨g +g =-η1 g -η2g 3+η3sinΩτ(4)式中,η1=δ/(m ω0),η2=γh 2/ω20,η3=kp 0/(h ω20),τ=ω0t,m =ρh,α=a b,ω2=π4m a4[D 11+α4D 22+2α2(D 12+2D 66)],γ=π416m a 4[3(A 11+A 22α4)2+(3A 12-2A 66)α2],Ω=ω/ω0, g 、¨g 分别表示g 对τ的一阶和二阶导数.2　求解主共振问题系统在振动过程中,当激励频率接近固有频率(ω≈ω0)时,将发生主共振,并伴随较为复杂的非线性动力学现象.下面对叠层板在横向简谐载荷作用下的主共振问题进行求解分析.引入小参数ε,则方程(4)可进一步化为:¨g +g =εf(5)式中,f =-η′1 g-η′2g3+η′3sin Ωτ.用平均法[12]进行一阶近似求解,令Ω=1+εσ(σ为调谐参数),并取:g =a cos (Ωτ-θ)=a cos <(6a ) g =-a sin (Ωτ-θ)=a sin <(6b )其中,<=Ωτ-θ.分别对(6a )(6b )进行微分,代入(5)式,得:a =-εf sin <(7a )θ・=εσ+εaf cos <(7b )其中, a 、θ・分别表示a 、θ对时间τ的一阶导数.得到的平均化方程为: a =-ε2(a η′1-η′3sin θ)(8a )θ・=ε2a (2εσ-34a 2η2+η′3cos θ)(8b )对于系统的稳态运动,有 a =θ・=0,从而消去θ,得到幅频方程为:[η21+(2εσ-34a 2η2)2]a 2=η23(9)3　稳定性分析根据李雅普诺夫稳定性理论,研究系统稳态运动中解的稳定性.引入扰动变量ξ1=a 2a s ,ξ2=θ2θs ,列出方程组(8)在奇点(a s ,θs )附近的近似系统:ξ・1=-ε2[η′1ξ1-(η′3cos θs )ξ2](10a )ξ・2=ε2{1a s [(2σ-94η′2a 2s )-1a 2s(2σa s -34q 2s η′2+　η′3cos θs )]ξ1-(η′3sin θs )ξ2}(10b )则此线性扰动方程组的本征方程为:λ2+a 1λ+a 2=0(11)式中,a 1=εη′1,a 2=a s η′21+(2σ-94a 2s η′2)(2σa s -34a 3s η′2)依据Routh 2Hur witz 判据,可得情形下系统稳态解稳定的充要条件为:a s η21+(2σε-94a 2s η2)(2σεa s -34a 3s η2)>0(12)4　算例分析对于横向简谐激励作用下的正交各向异性叠层薄板,选取复合材料石墨环氧[2]作为研究对象,通过得到的幅频响应方程和稳态解的判定条件,编程计算,得到一系列反映主共振特性的图形.图1给出了正交各向异性叠层板在不同条件下的幅频曲线图,选取的叠层板材料为三层的石墨环氧.实线代表稳定部分,虚线代表不稳定部分.由图可见,当激励频率接近固有频率时系统的幅值急剧增大,呈现出硬特性,而且存在多值和跳跃现象.随着激励幅值的增大(图1a )和板厚度的减小(图1b ),共振区域将逐渐变宽,而对应相同的频率,且共振都被激发的条件下,稳定解的数值随激励幅值的增大或板厚度的减小而有明显的增加.随着线性阻尼系数的增大(图1c ),共振区域逐渐变窄,而对应相同的频率,且共振都被激发的条件下,稳定解63第1期吕书锋等:正交各向异性叠层板的非线性主共振分析的数值随阻尼系数的增大有所下降.图1d 给出了叠层板的层数对系统共振幅值的影响,由图可见,在板的总厚度值固定的情况下,随着层数的增加,系统的共振幅值曲线出现交叉现象.图1　幅频曲线图Fig .1　Amp litude 2detuning para meter curves与图1对应,图2绘制了动相平面的相轨迹图,选取的叠层板材料为三层的石墨环氧.图2(a )描述的是其它条件相同的情况下,通过改变初始位置而得到的相轨迹,对应图1(a )中p 0=200N /m 2,εσ=0.025的情况,S 1(a =0.08)和S 3(a =0.21)为稳定焦点,S 2(a =0.18)为鞍点.图2(b )对应于图1(b )的情况,它反映了当其它条件不变而改变板厚度的时候,系统稳定位置的改变情况,初始位置为a =0.1、γ=1.5.由图2(b )可以看出,S 1(a =0.048)、S 2(a =0.08)和S 3(a =0.26)均为稳定的焦点,分析可知,即使从相同的初始位置出发,系统将伴随着某一参数的改变而处于不同的稳定状态.两幅图形都能与幅频曲线很好的吻合,同时都能够体现出过鞍点的分隔线为边界所划分的奇点S 1和S 3的吸引域(图2a ).图2　动相平面相轨迹图Fig .2　Phase traject ories in moving phase p lane图3选取的材料为石墨环氧.分别表示不同条件下的振幅随激励幅值变化的曲线图,从中可以看出当激励幅值为零时,振幅亦为零,符合基本规律.随着激励幅值的增大,振幅呈逐渐增大趋势,由于非线性项的作用,将伴有多值或跳跃现象的发生,并且反映出在共振被激发区域内,振幅将随着板厚度(图3a )的增大或者阻尼(图3d )的增大而逐渐衰减的特性.而随着层数(图3b )或频率(图3c )的变化,幅值的变化较为复杂,曲线有相交的现象.图3　振幅2激励幅值响应曲线Fig .3　Amp litude 2excitati on a mp litude curves5　结论研究了横向简谐激励作用下的正交各向异性叠层板的非线性主共振问题,得到了稳态运动下的幅频响应,绘制了不同参数影响下振幅随不同参数的变化规律曲线图及相轨迹图.结果表明,板厚度、阻尼系数以及激励力等参数均会对共振幅值产生不同程度的影响,系统表现为较复杂的运动行为.参　考　文　献1　蒋咏秋,陆逢升,顾志建.复合材料力学.西安:西安交通大学出版社,1990(J iang Yongqiu,Lu Fengsheng,Gu Zhi 2jian .Mechanics of Composite Materials .Xi ’an:Xi ’an J iao 2T ong University Press,1990(in Chinese ))2　Chia CY .Nonlinear Analysis of Plates .Ne w York:McGraw 2H ill,19803　W ei De m in,Yang Guit ong .Nonlinear dyna m ic stability ofcomposite la m inated p lates .A pplied M athe m atics and M e 2chanics,2004,25(11):1215～12194　M in Ye,J ing Lu,W ei Zhang,Q ian D ing .Local and gl obalnonlinear dyna m ics of a parametrically excited rectangular73动　力　学　与　控　制　学　报2009年第7卷sy mmetric cr oss 2p ly la m inated composite p late .Chaos,Soli 2tons and Fractals,2005,26(1):195～2135　M in Ye,Yanhong Sun,W ei Zhang,Xuep ing Zhan,Q ian D ing .Nonlinear oscillati ons and chaotic dyna m ics an anti 2sy mmetric cr oss 2p ly la m inated composite rectangular thin p late under para metric excitati on .Journal of Sound and V i 2bration,2005,287(425):723～7586　王列东,刘正宁,周承倜.初始缺陷和拉伸-弯曲耦合对于叠层板的振动、屈曲、和非线性动力稳定性的影响.应用数学和力学.1999,20(5),477～485(W ang L iedong,Zhou Chengti .I nfluence of initial i m perfecti on and coup ling bet w een bending and extensi on on vibrati on,bucking and nonlinear dyna m ic stability of la m inated p lates .A pplied M athe m atics and M echanics,1999,20(5):477～485(inChinese ))7　Udar Ratnakar S,Datta PK .Combinati on res onance charac 2teristics of la m inated composite p lates subjected t o non 2uni 2for m har monic edge l oading .A ircraft Engineering and A ero 2space Technology,2006,78(2):107～1198　Shih YS,B l oter PT .Nonlinear vibrati on analysis of arbitrari 2ly la m inated thin rectangular p lates on the elastic founda 2ti on .Journal of Sound and V ibration,1993,167(3):433～4599　贾立斌,卿光辉,刘艳红,杜洪增.压电热弹性体混合层合板的响应分析.动力学与控制学报,2007,5(3):260～266(J ia L ibin,Q ing Guanghui,L iu Yanhong,Du Hongzeng .Res onance analysis of hybrid la m inated p iezother moelastic p late .Journal of D ynam ics and Control,2007,5(3):260～266(in Chinese ))10　孙佳,张伟,陈丽华,姚明辉.蜂窝夹层板的非线性动力学研究.动力学与控制学报,2008,6(2):150～155(SunJ ia,Zhang W ei,Chen L ihua,Yao M inghui .Nonlinear dy 2nam ics of the honeycomb sand wich p lates .Journal of D y 2nam ics and Control,2008,6(2):150～155(in Chinese ))11　李银山,陈予恕,吴志强.正交各向异性圆板非线性振动的亚谐分析.机械强度,2001,23(2):148～151(L iYinshan,Chen Yushu,W u Zhiqiang .Subhar monic bifurca 2ti on of the nonlinear f orced flexural vibrati on of elastic cir 2cular p lates exhibiting rectilinear orthotr opy .Journal of M e 2chanical S trength,2001,23(2):148～151(in Chinese ))12　刘延柱,陈立群编著.非线性振动.北京:高等教育出版社,2001(L iu Yanzhu,Chen L iqun .Nonlinear V ibrati ons .Beijing:H igher Educati on Press,2001(in Chinese ))Received 28July 2008,revised 10Dece mber 2008.NO N L I NEAR PR I NC I PAL RES O NANCE O F O RTHO TR O P I C LAM I NATED PLATESLu Shufeng Hu Yuda(School of C ivil Engineering and M echanics,Yanshan U niversity,Q inhuangdao 066004,China )Abstract The stability and nonlinear p rinci pal res onance of rectangular orthotr op ic thin p late excited by a har 2monic force were studied in this paper,under the conditi on of f our sides si m p ly supported .Based on the vibrati on differential equati on of orthotr op ic la m inated p lates,the nondi m ensi onal Duffing nonlinear f orced vibrati on equa 2ti on was deduced by using Galerkin method .The a mp litude frequency res ponse equati on of syste m steady moti on under p rinci pal res onance was obtained by means of averaging method .Based on Lyapunov stable theory,the critical conditi ons of steady 2state s oluti ons ’stability were got .By s ome exa mp les,the a mp litude 2frequency curves,a mp litude 2excitati on a mp litude curves and phase traject ories in moving phase p lane were derived under different situati ons .The stability of s oluti on and the influence of different para meters on nonlinear res onance p r operties of syste m were analyzed .Key words orthotr op ic,　la m inated p late,　p rinci pal res onance,　stability,　averaged method83。

正交各向异性功能梯度微板的自由振动行为

第51卷第5期2020年5月中南大学学报(自然科学版)Journal of Central South University(Science and Technology)V ol.51No.5May2020正交各向异性功能梯度微板的自由振动行为康泽天，张岩，周博，薛世峰(中国石油大学(华东)储运与建筑工程学院，山东青岛，266580)摘要：基于新修正偶应力理论，利用哈密顿原理推导正交各向异性功能梯度Kirchhoff微板的控制微分方程和边界条件，建立微板动力学模型，并利用纳维解法对其进行求解。

利用建立的模型，对正交各向异性功能梯度四边简支微板的自由振动和受双向正弦分布横向载荷作用下的弯曲行为进行研究，分析材料各向异性，尺度参数与板厚比以及功能梯度参数对微板挠度、偶应力和前三阶固有频率尺度效应的影响。

研究结果表明：应用本文模型求解的微板挠度比经典弹性板理论解的小，而其固有频率比经典弹性板理论解的大；板厚与材料尺度参数比越小，微板挠度、偶应力和固有频率的尺度效应越明显；功能梯度参数对微板挠度、偶应力和固有频率的尺度效应有一定影响；沿2个正交方向的材料尺度参数对微板挠度、偶应力和固有频率的尺度效应影响程度不同。

关键词：正交各向异性；功能梯度；尺度效应；能量法；偶应力理论中图分类号：TB34文献标志码：A开放科学(资源服务)标识码(OSID)文章编号：1672-7207（2020）05-1200-11Free vibration behaviors of orthotropic functionally gradedmicroplatesKANG Zetian,ZHANG Yan,ZHOU Bo,XUE Shifeng(College of Pipeline and Civil Engineering,China University of Petroleum(East China),Qingdao266580,China)Abstract:Based on the new modified couple stress theory,the kinetic model,which includes the governing differential equations and boundary conditions of the Kirchhoff microplate was derived utilizing the Hamilton's principle.The dynamic differential equation was solved by the Navier method.According to the presented model, the free vibration of a four-sided simply supported microplate and its bending behavior under bidirectional sinusoidal distributed loads were studied.The effects of material anisotropy,the ratio of length scale parameters to the plate thickness and functionally graded parameters on the size effects of deflection,couple stress and the first three orders of natural frequency were analyzed.The results show that the solution of the deflection of the microplates are always smaller than the classical elastic plate solution,but the solution of the natural frequencyies are always larger than the classical elastic plate solutions.The smaller the ratio of plate thickness to material length scale parameters is,the more obvious the size effects of the deflection,couple stress and natural frequency are.The DOI:10.11817/j.issn.1672-7207.2020.05.004收稿日期：2019−11−11；修回日期：2020−01−09基金项目(Foundation item)：国家重点研发计划项目(2017YFC0307604)(Project(2017YFC0307604)supported by the National Key Research and Development Program of China)通信作者：周博，教授，博士生导师，从事智能材料与结构力学、微尺度材料力学、油气井工程力学等研究；E-mail:**************.cn第5期康泽天，等：正交各向异性功能梯度微板的自由振动行为functionally graded parameter has specific impacts on the size effects of deflection,couple stress and natural frequency of the microplate.The length scale parameters in the two orthogonal directions have different effects on the scale effects of deflection,couple stress and natural frequency of the microplate.Key words:orthotropic;functionally gradient;size effect;energy method;couple stress theory功能梯度材料是材料组分或几何尺寸沿结构特定方向成连续梯度变化的一种新型功能材料，它具有消除应力集中、减小残余应力、增强连接强度、减小裂纹驱动力等许多普通均质材料不具备的优异性能[1−3]。

第二章振动结构模态分析

x(t) Acos(t )
2.2 单自由度系统自由振动 ——有阻尼
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
mx cx kx 0
x Aet
m2 c k 0
2 2 2 0
1,2 2 1
2 k
m
c 2
m
2.2 单自由度系统自由振动——有阻尼
n
x(t) qi (t)i q(t) i1 T M q(t) T Cq(t) T Kq(t) T f (t)
miqi (t) ciqi (t) kiqi (t) iT f (t)
2.6 多自由度系统振动响应
频响函数：
Mx(t) Cx(t) K x(t) f (t)
x(t) Xeit
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
t
x(t) 0 f (t )h( )d
2.3 单自由度系统强迫振动——频响函数与单位脉冲函数
m x(t) c x(t) k x(t) f (t)
定义：
(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入相量之比。
(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。
表示体系可能存在的n个振型
对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率
对应的振型为第二阶振型。
2.5 多自由度无阻尼系统自由振动
振型分析：Mx(t) K x(t) 0
x(t) Xsin( t )
1
(K 2M)X 0 1.特征向量，或振型，
一般用i来表示；
(K i2M)Xi 0
/
2.3 单自由度系统强迫振动——简谐激励
x(t) 2 x(t) 2 x(t) F0 sin t
m
通解： xc (t) A1 cosdt A2 sin dtexp(t)

用Ansys正交各向异性材料特性和循环对称法对汽轮机整圈叶片振动分析

四
结论
从上述在叶片动频分析中可见，有效地利用了 Ansys 正交各向异性材料特性代替叶片间的非线性接触
特性模拟围带凸台间相对滑移的特点，以及循环对称方法计算汽轮机整圈叶片的振动模态。Ansys 软件的方便易用，合理地用于汽轮机末级整圈自锁长叶片的强度和振动模态分析，计算方法是非常有效。参考文献：
1
Analysis of steam turbine blade vibration with the whole circle of Ansys orthotropic material properties and cyclic symmetry method
Zhang Junhui Sun Yigang Ding Xudong Chen Jinquan Sui Yongfeng
图 3 料
凸台处添加正交各向异性材
而同样施加载荷、边界条件等到主副模型，并在主、副模
型的二侧边界施加下列方程的约束条件：
U A High cos k B U High sin k
式中： k —节径；
B
sin k U A Low B cos k U Low
1
图1
单只叶片三维模型
张军辉（1982- ），男，工程师，硕士，杭州汽轮动力集团有限公司 1
立的，则该材料为正交各向异性， GXY 与 EX 和 NUXY 是独立的。本文也正是利用 GXY 独立于 EX 和 NUXY 的特性（通过添加一小块具有此材料特性的虚拟实体，见图 2 和图 3）来替代叶片间非线性接触特性模拟围带凸台间相对滑移的特点，并且用接触算法计算强度的结果来指导修正这块添加的材料特性，相对合理准确。在 Ansys 里通过定义正交各向异性材料（orthotropic）如下： *SET,EL1,***** *SET,NL1,***** *SET,GL1,***** EX,1,EL1 EY,1,EL1 EZ,1,EL1

晶格振动-31简谐震动简正坐标

通过该模型，我们能够解释晶体中原子或分子的振动频率、耦合机制以及与热力学性质的关系。
该模型在材料科学、化学和物理学等领域具有广泛的应用前景，有助于深入理解材料的物理和化
学性质。
研究展望
01
02
03
04
进一步研究晶格振动-31简谐震动简正坐的适用范围和局限
性，以拓展其应用领域。
结合实验手段，验证该模型的预测结果，提高模型的可靠性
在化学物理中的应用
分子振动光谱分析
简正坐标在化学物理中常用于分析分子振动光谱，从而了解分子的结构和化学键信息。
计算分子热容
通过简正坐标，可以计算分子热容，从而了解分子在温度变化时的热学性质。
分子动力学模拟
简正坐标可以用于分子动力学模拟，通过模拟分子的振动行为，进一步理解化学反应的动力学过程。
质。
03 简谐振动的数学模型
简谐振动的定义
简谐振动
在物理学中，简谐振动是指物体在平衡位置附近做周期性往复运动的振动。
描述参数
简谐振动可以用振幅、频率、相位等参数来描述。
简谐振动的数学表达式
01
简谐振动的数学表达式通常为： x=A*sin(ωt+φ)，其中x表示位移， A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相角。
05 简正坐标的应用
在固体物理中的应用
1 2
描述晶体中原子或分子的振动
简正坐标是用来描述晶体中原子或分子的振动状态的，可以用来研究晶体的热容、热膨胀等现象。
计算晶格热容
通过简正坐标，可以计算晶格热容，从而了解晶体在温度变化时的热学性质。
3
研究声子谱
简正坐标可以用来研究晶格的声子谱，了解晶体的振动频率和模式，进一步理解晶体的物理性质。

混合支承边正交异性板的稳定与振动

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混合支承边正交异性板的稳定与振动
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赵廷仕
华中理工大学

《振型的正交性》课件

《振型的正交性》ppt课件
• 振型正交性的定义 • 振型正交性的性质 • 振型正交性的应用 • 振型正交性的证明方法 • 振型正交性的扩展知识
01
振型正交性的定义
什么是振型正交性
振型正交性是指两个或多个振动模态在空间上相互垂直，即它们的位移不发生耦合，各自独立振
动。
在物理上，振型正交性意味着不同模态的振动不会互相干扰，每
特性的贡献程度。
03
振型正交性的应用
在振动分析中的应用
01
振型正交性在振动分析中用于描述不同振动模式之间的独立性。
02
在线性系统中，各阶振型独立，互不干扰，通过正交性可以单
独分析每个振型。
振型正交性有助于确定系统的固有频率和模态，进而分析系统
03
的动态特性。
在波动分析中的应用
在波动分析中，振型正交性用于描述波动在不同方向上的独立传播。
振型正交性与能量守恒定律的关系
振型正交性与能量守恒定律之间存在密切关系。在振动过程中，各振型之间相互独立，互不干扰，即一个振型的能量不会转化为另一个振型的能量。
这是因为各振型具有不同的频率和周期，它们之间的相互作用受到约束。因此，在振动分析中，可以利用振型正交性来保证能量守恒定律的成立，从而保证计算结果的准确性和可靠性。
利用实例证明
实例
以一维弹簧振荡器为例，其模态为简谐振动。我们可以通过计算两个不同频率下的简谐振动的位移分布，来验证它们是否满足正交性。
证明
假设一维弹簧振荡器的两个不同频率分别为f1和f2，那么它们的位移分布可以表示为u_1(x,t)和u_2(x,t)。否满足正交性。如果内积为零，那么这两个函数是正交的，从而证明了振型的正交性。

切向均布随从力作用下的特殊正交各向异性矩形板振动特性

切向均布随从力作用下的特殊正交各向异性矩形板振动特性杨峰;王忠民;韩玉强
【期刊名称】《玻璃钢/复合材料》
【年(卷),期】2012(000)004
【摘要】对于不同边界条件下受切向均布随从力的特殊正交各向异性矩形板,通过改变边长比,板的失稳临界值发生变化.建立受切向均布随从力的矩形板的运动微分方程,利用微分求积法得到复特征方程.通过求解复特征方程,得出矩形板振动复频率与随从力的变化关系,以及边长比对板失稳形式的影响.计算结果表明,固支能提高板的固有频率;简支能降低板的固有频率;自由边介于二者之间.对于cccc、cfcf、cfff 以及csfs4种边界条件的特殊正交各向异性板,当边长比β=a/b超过一定临界值时,在均布随从力作用下,其失稳形式从发散转为颤振.对于ssss,scsc及cses3种边界条件,无论β=a/b如何变化,其失稳形式保持发散不变.
【总页数】6页(P3-8)
【作者】杨峰;王忠民;韩玉强
【作者单位】西安理工大学理学院,西安 710048;宝鸡文理学院机电工程系,宝鸡712007;西安理工大学理学院,西安 710048;宝鸡文理学院机电工程系,宝鸡712007
【正文语种】中文
【中图分类】TB332;O317
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