专题04一次方程(组)及应用(教师版)
中考数学一轮复习《一次方程组 及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
第一节 一次方程(组)及其应用
一 次 方 程 (组)
等 式 的
如如果果aa＝＝bb，，那那么么aa±c＝c＝②①___b__c_b__±_，_c_ac_＝③___bc_____(c≠0)
性 如果a＝b，那么b＝a
Байду номын сангаас
及 质 如果a＝b，b＝c，那么a＝④__c__
其 应
马，则可列方程为 A．150(12＋x)＝240x
B．240(12＋x)＝150x
(A )
C．150(x－12)＝240x
D．240(x－12)＝150x
2．已知xy＝＝31， 是方程 ax＋y＝2 的解，则 a 的值为__－__1__．
3x－y＝－4， 3．解方程组：x－2y＝－3.
解：
3x－y＝－4…①， x－2y＝－3…②.
5．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消 毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53 元．
(1)这两种消毒液的单价分别是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少 于 A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
等式两边都除以x－m，得x＋m＝m.④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是___④__．
2．方程3x＝2x＋7的解是 A．x＝4 C．x＝7
( C) B．x＝－4 D．x＝－7
3．对于二元一次方程组
y＝x－1…①， x＋2y＝7…②，
由①式，得 y＝3x＋4，代入②式，得 x
－2(3x＋4)＝－5x－8＝－3，解得 x＝－1.将 x＝－1 代入②式，得－1－
课时 一次方程(组)及其应用ppt课件
题
3.解方程
步 骤
4.检验，作答
常见类型及等 量关系式
打折销售问题：利润＝售价-本钱价，售价＝原价×折扣〔打几折，
折扣就是百分之几十〕利润率＝ ×100％
工程问题：任务量＝任务效率×⑩_______
行程问题
利润
分配类问题
进价
任务时间
路程＝速度×时间
相遇问题：
甲、乙分别以A、B为起点，同时相向而行，经过一段时间在C处
〔3〕该物流公司4月承接的A种货物和B种货物的分量与3月份一样，3月份共 收取运费19000元，4月份共收取运费26000元，求该物流公司4月份运输A、B 两种货物各多少吨？ 自主作答：
设该物流公司4月运输A货物x吨，运输B货物y吨，根据题意得：
解得 x=100 y=150，
100x+60y=19000 140x+80y=26000,
设3月份B货物的运费单价为m元/吨，根据题意得： 2m-20=100, 解得m=60. 答：3月份B货物的运费单价是60元/吨；
〔2〕4月份由于工人工资上涨，A、B货物运费单价上调的百分率分别为x％和 1.25x％，且共上调了70元/吨，求4月份A、B货物的运费单价； 自主作答：
根据题意得：100·x％+60×1.25x％＝70， 解得x=40，那么1.25x=50. 100×〔1+40％〕＝140， 60×〔1+50％〕＝90， 答：4月份A货物的运费单价为140元/吨，B货物的运费单价为90元/吨.
2.等式两边乘以同一个数〔或除以同一个不为0的数〕，结果仍是等式，即假
等
设a=b,那么ac=bc, (c≠0)
式
的 3.假设a=b,那么b=a〔对称性〕
中考数学复习第6课时《一次方程组及其应用》教案
中考数学复习第6课时《一次方程组及其应用》教案一. 教材分析《一次方程组及其应用》是中考数学复习的第6课时，主要内容是让学生掌握一次方程组的解法和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解一次方程组的概念，掌握解一次方程组的方法，并能运用一次方程组解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整数、分数、小数的基本运算，并学习了一次函数的知识。
但是，部分学生对于解一次方程组的方法还不够熟练，对于如何将实际问题转化为方程组解决问题还有一定的困难。
三. 教学目标1.让学生掌握一次方程组的概念和解法。
2.培养学生将实际问题转化为方程组解决问题的能力。
3.提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次方程组的概念和解法。
2.将实际问题转化为方程组解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的学习兴趣和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备多媒体教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次方程组的概念，激发学生的学习兴趣。
问题：小明和妈妈去超市购物，小明购买了一支铅笔和一块巧克力，妈妈购买了一袋大米和一瓶饮料。
已知铅笔的价格是3元，巧克力的价格是8元，大米的价格是20元，饮料的价格是5元。
问：小明和妈妈一共花了多少钱？2.呈现（10分钟）呈现一次方程组的概念和解法，引导学生理解并掌握一次方程组的解法。
一次方程组的概念：含有两个未知数的一次方程叫做一次方程组。
一次方程组的解法：代入法、消元法。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些关于一次方程组的问题，巩固所学知识。
问题1：小明和妈妈一共花了多少钱？问题2：一个正方形的边长是多少？问题3：一个人在跑步过程中的速度和时间的关系。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些关于一次方程组的问题，巩固所学知识。
问题1：小明和妈妈一共花了多少钱？问题2：一个正方形的边长是多少？问题3：一个人在跑步过程中的速度和时间的关系。
第一讲 一次方程(组)及其应用
模块二 方程（组）与不等式（组）第一讲 一次方程（组）及其应用知识梳理 夯实基础知识点1：方程的相关概念及等式的性质1、方程的相关概念含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边的值相等的 的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程;只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的 。
2、等式的基本性质（注意:等式的基本性质是解方程的依据）基本性质1：等式两边同时加上(或减去)同一个数(或式子),所得结果仍是等式.基本性质2：等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为零的数),所得结果仍是等式.性质3：如果a b =，那么b a =（对称性）性质4：如果a b =，b c =，那么a c =（传递性）知识点2：一元一次方程及其解法1、一元一次方程:只含有 个未知数(元)，并且未知数的次数都是 ，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
任何一个一元一次方程都可以化成ax+b=0（a ，b 是常数，且a ≠0）的形式。
温馨提示形如0ax b +=(其中a ，b 为常数，且0a ≠)的方程为一元一次方程，判断时应抓住以下两点：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一个未知数，且未知数的次数为1。
2、解一元一次方程的一般步骤例： 141123x x --=-解：去分母： ()()312416x x -=--去括号： 33826x x -=--移项：83263x x --=---合并同类项： 1111x -=-系数化为1： 1x =知识点3：二元一次方程（组）及其解法去分母若未知数的系数有分母，则要去分母。
注意要在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。
去括号若方程含有括号，则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
若去括号时括号前是负号，去掉括号后，括号内的各项均要 。
移项把含有未知数的项移到等式的一边，其他项移到另一边。
一般把含 的项移到等式左边。
移项要改变符号。
合并同类项把方程化成 ax b =（0a ≠）的形式。
第20章 专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组(教师版
编者小k 君小注：本专辑专为2022年初中沪教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 数形结合之一次函数与二元一次方程组（教师版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．如图所示，一次函数3y kx =-（k 是常数，0k ≠）与一次函数y x b =-+（b 是常数）的图象相交于点()2,1A ，下列判断错误的是（ ）A ．关于x 的方程3kx x b -=-+的解是2x =B ．关于x 的不等式3x b kx -+>-的解集是2x >C ．当0x <时，函数3y kx =-的值比函数y x b =-+的值小D ．关于x ，y 的方程组3kx y x y b -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩【标准答案】B【思路指引】根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解详析】解：∵一次函数3y kx =-（k 是常数，0k ≠）与一次函数y x b =-+（b 是常数）的图象相交于点()2,1A ，∵关于x 的方程3kx x b -=-+的解是2x =，选项A 判断正确，不符合题意；∵由图可知，直线y x b =-+在直线3y kx =-上方时，都在点()2,1A 的左侧，∵关于x 的不等式3x b kx -+>-的解集是2x <，选项B 判断错误，符合题意；∵当x ＜0时，直线y x b =-+在直线3y kx =-上方，∵当x ＜0时，函数3y kx =-的值比函数y x b =-+的值小，选项C 判断正确，不符合题意；∵一次函数3y kx =-（k 是常数，0k ≠）与一次函数y x b =-+（b 是常数）的图象相交于点()2,1A ，∵关于x ，y 的方程组3kx y x y b -=⎧⎨+=⎩的解是21x y =⎧⎨=⎩，选项D 判断正确，不符合题意； 故选：B ．【名师指路】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．2．对于实数a ，b ，我们定义符号max {a ，b }的意义为：当a ≥b 时，max {a ，b }＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b }＝b ；如：max {4，﹣2}＝4，max {3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max （2x ﹣1，﹣x +2}，则该函数的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【标准答案】B【思路指引】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max {a ，b }的意义即可得出函数的最小值．【详解详析】 解：联立两函数解析式成方程组，得：212y x y x =-⎧⎨=-+⎩， 解得：11x y =⎧⎨=⎩． ∵当x ＜1时，y ＝max （2x ﹣1，﹣x +2}=-x +2＞1；当x ≥1时，y ＝max （2x ﹣1，﹣x +2}=2x -1≥1． ∵函数y ＝max （2x ﹣1，﹣x +2}最小值为1．故选B ．【名师指路】本题考查了一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴和y 轴上，2OB OA=，AOB ∠的角平分线与OA 的垂直平分线交于点C ，与AB 交于点D ，反比例函数k y x=的图象过点C ，当ACD △面积为1时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【标准答案】C【思路指引】 根据2OB OA= ，得到OB =2OA ，设OA =a ，则OB =2a ，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，利用待定系数法求出直线AB 的解析式是y =﹣2x +2a ，根据题意可得OD 的解析式是y =x ，由此求出D 的坐标，再根据ACD AOD AOC S S S =-△△△求解即可．【详解详析】解：∵2OB OA= ， ∵OB =2OA ，设OA =a ，则OB =2a ，设直线AB 的解析式是y =kx +b ，根据题意得：02ak b b a+=⎧⎨=⎩ ， 解得：22k b a =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 的解析式是y =﹣2x +2a ，∵∵AOB =90°，OC 平分∵AOB ，∵∵BOC =∵AOC =45°，CE =OE =11=22OA a ， ∵OD 的解析式是y =x ，根据题意得：22y x y x a=⎧⎨=-+⎩ ，23y a ⎪=⎪⎩则D 的坐标是（23a ，23a ）， ∵CE =OE =12OA ， ∵C 的坐标是（12a ，12a ）， ∵22111244AOC S AO CE OA a ===△，2121233AOD S AO a a ==△ ∵22211113412ACD AOD AOC S S S a a a =-=-==△△△， ∵212a =，∵21113224k a a a ===， 故选C ．【名师指路】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线的交点，反比例函数比例系数的几何意义，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．若直线y x m =-+与直线24y x =+的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ）．A ．4m ≥B ．1m ≥-C ．4m >D ．1m >-【标准答案】C【思路指引】联立两直线解析式求出交点坐标，再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可．【详解详析】 解：根据题意，联立方程组24y x m y x =-+⎧⎨=+⎩，243m y +⎪=⎪⎩则两直线交点坐标为4(3m -，24)3m +， 两直线交点在第一象限， ∴4032403m m -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩， 解得：4m >,故选：C ．【名师指路】本题考查了两直线相交的问题，解二元一次方程组和一元一次不等式组，联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法．5．已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（ ）A ．60k -<<B ．30k -<<C ．3k <-D ．6k <-【标准答案】A【思路指引】先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．【详解详析】解：由题意得， 36y kx k y x =+⎧⎨=-⎩， 解得6393k x k k y k --⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， ∵两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限， ∵603903k k k k --⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪-⎩， ∵-6＜k ＜0；故选：A ．【名师指路】本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内点的坐标特点是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，点()()()()1,5,4,1,,,3,4A B C m m D m m ---+，当四边形 ABCD 的周长最小时，则 m 的值为（ ）．AB ．32C ．2D ．3【标准答案】B【思路指引】 首先证明四边形ABCD 是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解详析】解：∵A （1，5），B （4，1），C （m ，-m ），D （m -3，-m+4），∵5AB ==，22[(3)][(4)()]5CDm m m m ，∵AB=CD ，∵点B 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A ，点C 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D ，∵AB∵CD ，AB=CD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵BC=CD ，故四边形ABCD 的周长为2(AB+BC)，而AB=5,故只要BC 最短，则周长最短，∵C 点的横坐标与纵坐标互为相反数，∵点C 在直线y=-x 上运动，∵由点到直线的距离垂线段最短可知， BC∵直线y=-x 时，BC 的值最小，如下图所示：易求得直线BC 的解析式为：y=x -3C 点所在的直线为：y=-x ，联立两个一次函数解析式：3y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故32m =， 故选：B ．【名师指路】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．如图，等腰Rt△ABC 中，BC＝以边AC 为斜边向右做等腰Rt△ACD ，点E 是线段CD 的中点，连接 AE ．作线段CE 关于直线AC 的对称线段CF ，连接BF ，并延长BF 交线段AE 于点G ，则线段BG 长为（ ）A．B．C．D．【标准答案】B【思路指引】 建立如下图所示坐标系，使BC 与x 轴重合，AC 与y 轴重合，可将各点坐标求出，并通过两点式分别求出直线BF 、直线AE 的解析式，直线BF 与AE 相交于点G ，即可求出BG 的长度．【详解详析】解：建立如图所示坐标系，使BC 与x 轴重合，AC 与y 轴重合，∵ABC 和ACD 都是等腰直角三角形，且BC=∵AC=BC=AB=AD=CD=可将各点坐标表示出来，A(0，-，B(-0)，C(0,0)，D(-∵点E 为CD 中点，故E 的坐标为(-又∵CF 为CE 关于AC 的对称线段，故F 的坐标为(--设直线BF 的解析式为：y=kx+b ，将B 点、F 点坐标代入，⎧-⎪⎨--⎪⎩1k=3b=⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩∵直线BF的解析式为：1y=3- 设直线AE 的解析式为：y=mx+n ，将A 点、E 点坐标代入，n=⎧-⎪⎨-⎪⎩m=3n=⎧⎪⎨-⎪⎩ ∵直线BF的解析式为：直线BF 与AE 相交于点G ，1y=3⎧-⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩)， 线段BG的长度为： 故选：B ．【名师指路】本题主要考察了直角坐标系与几何图形的结合、求一次函数解析式、两直线交点、用勾股定理求坐标系中两点距离，解题的关键在于求出各点的坐标．8．已知直线l 1：y ＝kx+b 与直线l 2：y ＝﹣12x+m 都经过C （﹣65，85），直线l 1交y 轴于点B （0，4），交x 轴于点A ，直线l 2交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：△方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；△△BCD 为直角三角形；△S △ABD ＝6；△当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（0，1）．其中正确的说法是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【标准答案】B【思路指引】 根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；根据两直线的系数的积为-1，可知两直线互相垂直；求得BD 和AO 的长，根据三角形面积计算公式，即可得到∵ABD 的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（0，1）．【详解详析】解：∵∵直线l 1：y ＝kx+b 与直线l 2：y ＝﹣12x+m 都经过C （﹣65，85）， ∵方程组12y kx b y x m =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解为6585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故∵正确，符合题意；∵把B （0，4），C （﹣65，85）代入直线l 1：y ＝kx+b ，可得48655b k b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩， ∵直线l 1：y ＝2x+4，又∵直线l 2：y ＝﹣12x+m ，∵直线l 1与直线l 2互相垂直，即∵BCD ＝90°，∵∵BCD 为直角三角形，故∵正确，符合题意；∵把C （﹣65，85）代入直线l 2：y ＝﹣12x+m ，可得m ＝1， y ＝﹣12x+1中，令x ＝0，则y ＝1，∵D （0，1），∵BD ＝4﹣1＝3，在直线l 1：y ＝2x+4中，令y ＝0，则x ＝﹣2，∵A （﹣2，0），∵AO ＝2，∵S ∵ABD ＝12×3×2＝3，故∵错误，不符合题意∵点A 关于y 轴对称的点为A'（2，0），由点C 、A′的坐标得，直线CA′的表达式为：y ＝﹣12x+1，令x ＝0，则y ＝1，∵当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为（0，1），故∵正确，符合题意；故选：B ．【名师指路】本题为一次函数综合题，考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9．在平面直角坐标系中，将函数3y x =的图象向上平移m 个单位长度，使其与36y x =-+的交点在位于第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．6m <B ．6m >C ．2m <D ．2m > 【标准答案】B【思路指引】先求出平移后的函数解析式，再联立它与另一个函数解析式求出它们的交点坐标，根据第二象限的坐标特点为(),-+，得到关于m 的不等式组，解这个不等式组即可得出m 的取值范围．【详解详析】解：将函数3y x =的图像向上平移m 个单位长度后的图像的解析式为3y x m =+，联立后可以得到：336y x m y x =+⎧⎨=-+⎩， 解得1632m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 因为它们的交点在第二象限，00x y <⎧∴⎨>⎩即106302m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩， 解得66m m >⎧⎨>-⎩， 6m ∴>，故选：B ．【名师指路】本题主要考查了一次函数图像的平移以及求图像的交点的问题，解决本题需要建立关于x 和y 的二元一次方程组和关于m 的不等式组，要求学生能熟练运用平移的规则得到平移后的函数解析式，同时能联立这两个解析式求交点坐标，最后还需要根据交点坐标的特征建立不等式组求出其中的字母参数的取值范围，整个过程对学生的计算能力有较高的要求．10．已知函数222y kx k =++（k 为常数，0k >）的图象经过点(),a b ，且实数a ，b ，k 满足等式：()2224212a k b b bk +++=+，则一次函数()2220y kx k k =++>与y 轴的交点坐标为（ ）A ．()0,2B．()1 C．(0,6- D ．()0,4【标准答案】C【思路指引】将点(),a b 代入函数222y kx k =++中，得到关于a ，b ，k 的关系式，将k 看作常数，再联立满足的等式组成二元一次方程组，将a ，b 用含k 的式子表示出来，此时再回代入函数222y kx k =++中，求解出k 的值，最后在一次函数中令x=0，求解出y 的值，最终表示出交点坐标即可．【详解详析】解：将点(),a b 代入函数222y kx k =++中，得：2b 2a 2k k =++，又∵()2224212a k b b bk +++=+，化简可得：()()2222222242+42+4k 4bk+=02+2k-b 0a k b b bka b b a b +++=+--+-=此时联立方程组可得：()22222220b ka k a b k b ⎧=++⎪⎨++-+-=⎪⎩①②， 解得：2a k b k =-⎧⎨=⎩， ∵点(),a b 的坐标可表示为（-k ，2k ），将（-k ，2k ）代入222y kx k =++得：222k 22k k =-++，解得1k=-∵k 为常数且0k >，∵1k=-，此时一次函数(((2222=2+2=+6y kx k x x =++--+-- 令x=0，解得：6y=-∵交点坐标为(0,6-．故选：C ．【名师指路】本题考查了一次函数与二元一次方程组，联立二元一次方程组并正确求解是解题的关键．二、填空题 11．如图，根据函数图象回答问题：方程组3y kx y ax b=+⎧⎨=+⎩的解为_________．【标准答案】12x y =-⎧⎨=⎩【思路指引】首先观察函数的图象y =kx +3经过点（-3，0），然后求得k 值确定函数的解析式，最后求得两图象的交点求方程组的解即可；【详解详析】解：根据图象知：y =kx +3经过点（-3，0），所以-3k +3=0， 解得：k =1，所以解析式为y =x +3，当x =-1时，y =2，所以两个函数图象均经过（-1，2），所以方程组3y kx y ax b =+⎧⎨=+⎩ 的解为12x y =-⎧⎨=⎩， 故答案为：12x y =-⎧⎨=⎩． 【名师指路】本题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．12．如图，点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，作AC △x 轴与C ，交一次函数4y x =-+的图象于B ． 设点A 的横坐标为m ，当m =____________时，AB =1．【标准答案】43或23 【思路指引】分别用m 表示出点A 和点B 的纵坐标，用点A 的纵坐标减去点B 的纵坐标或用点B 的纵坐标减去点A 的纵坐标得到以m 为未知数的方程，求解即可．【详解详析】解：∵点A 是一次函数21y x =+图象上的动点，且点A 的横坐标为m ，∵(,21)A m m +∵AC ∵x 轴与C ，∵(,0)C m∵(,4)B m m -+∵1AB =∵|21(4)|1m m +--+= 解得，43m =或23故答案为43或23 【名师指路】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A 点横坐标和点的坐标特征求得A 、B 点纵坐标是解题的关键．13．在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +1与直线y ＝﹣2x 交于点A ，点B （m ，0）是x 轴上的一个动点，过点B 作y 轴的平行线分别交直线y ＝﹣x +1、直线y ＝﹣2x 于C 、D 两点，若5ACD S =，则m 的值为____________．1或1【思路指引】分别求出A 、C 、D 三点坐标，根据=2C D A ACD y y m x S --△，利用坐标列式计算即可． 【详解详析】∵由直线y ＝﹣x +1与直线y ＝﹣2x 交于点A ，∵点A 坐标（－1，2），∵过点B （m ，0）作y 轴的平行线分别交直线y ＝﹣x +1、直线y ＝﹣2x 于C 、D 两点，∵点C 坐标（m ，1－m ），点D 坐标（m ，－2m ）． ∵()2121111==52222C D AACD y y m x m m m m m m S ---+++++===△，解得121,1m m =1或1．【名师指路】本题考查了求两直线交点坐标，用未知数表示动点坐标等知识点，利用代数式表示动点坐标是解决本题的关键．14．若函数y ＝2x +b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b ＝_______．【标准答案】±4【思路指引】利用一次函数y ＝2x +b 的图象与x 轴交点和与y 轴交点的特点求出坐标，以及图象与坐标轴所围成的三角形是直角三角形求解．【详解详析】解：∵当y ＝0时，0＝2x +b ， ∵2b x =-； 当x ＝0时，y ＝b ，∵一次函数y ＝2x +b 的图象与坐标轴所围成的三角形面积：1422b b ⨯-⨯=， 解得4b =±，故答案为：4±．【名师指路】此题考查了一次函数的图像与性质，涉及了三角形面积的求解，解题的关键是根据函数解析式求得与坐标轴的交点．15．如图，已知一次函数y ＝－53x ＋6的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A 、B ，与一次函数y ＝13x 的图像相交于点C ，若点Q 在直线AB 上，且△OCQ 的面积等于12，则点Q 的坐标为__________________．【标准答案】（－1，233）（7，－173） 【思路指引】 根据题意联立两个一次函数可确定点C 的坐标，然后确定点A 、点B 的坐标，分两种情况讨论：∵当点Q位于线段BC 上时，设5,63Q a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，求得912BOC S =<，由此可得点Q 必在点B 左侧，即0a <，可得+12==OCQ BOC BOQ S S S ，代入求解即可得点Q 的坐标；∵当点Q 位于C 点右侧时，设5,63Q b b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，根据图形可得12=+=OCQ AOC AOQ S S S ，代入求解即可得点Q 的坐标．【详解详析】解：根据题意分两种情况进行讨论，56313y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：31x y =⎧⎨=⎩， ∵()3,1C ，令0y =代入563y x =-+得：18,05A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 令0x =代入563y x =-+得：()0,6B ，∵当点Q 位于线段BC 上时，如图即点Q 的位置，设5,63Q a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 1639122BOC S =⨯⨯=<， ∵点Q 必在点B 左侧，即0a <，+12==OCQ BOC BOQ S S S ，11+1222⨯⨯⨯⨯=C Q BO x BO x ， 1163+61222⨯⨯⨯⨯=a ， 解得：1=a ，∵1a =-， 则523633a -+=， ∵231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ∵当点Q 位于C 点右侧时，如图即点Q 的位置，设5,63Q b b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 12=+=OCQ AOC AOQ S S S ，111222C Q AO y AO y ⨯⨯+⨯⨯=，1181185161225253b ⨯⨯+⨯⨯-+=， 解得：7b =， 则517633b -+=-， ∵177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 综上可得：231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：231,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭或177,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【名师指路】题目主要考查一次函数的性质及与二元一次方程组的联系，三角形动点问题，理解题意，作出相应图形结合一次函数性质是解题关键．16．已知平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 坐标为（0，8），点B 坐标为（4，0），点E 是直线y=x+4上的一个动点，若△EAB=△ABO ，则点E 的坐标为_____________．【标准答案】(－12，－8)；(4,8)【思路指引】分两种情况：当点E 在y 轴右侧时，由条件可判定AE∵BO ，容易求得E 点坐标；当点E 在y 轴左侧时，可设E 点坐标为（a ，a+4），过AE 作直线交x 轴于点C ，可表示出直线AE 的解析式，可表示出C 点坐标，再根据勾股定理可表示出AC 的长，由条件可得到AC=BC ，可得到关于a 的方程，可求得E 点坐标．【详解详析】(1)当点E 在y 轴右侧时，如图1，连接AE ，∵∵EAB=∵ABO ，∵AE∵OB，∵A（0，8），∵E点纵坐标为8，又E点在直线y=x+4上，把y=8代入可求得x=4，∵E点坐标为（4，8）；(2)当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设C（m，0），∵∵EAB=∵ABO，∵AC=BC，∵（4-m）2=m2+82，解得m=-6，∵C（6,0）∵直线AC的解析式为483y x=+，∵E是直线AC与y=x+4的交点∵联立4834y xy x⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得128xy=-⎧⎨=-⎩∵E（-12，-8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（-12，-8）．故答案为：（4，8）或（-12，-8）．【名师指路】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想等知识点．确定出E点的位置，由条件得到AE∵OB或AC=BC是解题的关键．本题难度未大，注意考虑全面即可．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C．点G，H是线段CD上的两个动点，且△GOH＝45°，过点G作GA△x轴于A，过点H作HB△y轴于B，延长AG，BH交于点E，则过点E的反比例函数y＝kx的解析式为_____．【标准答案】y＝2 x【思路指引】过点G作GP∵GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN∵AE，交AE延长线于N，设点A（-a，0）则AO＝a，DO＝2，AD＝2-a，由“AAS”可证∵GAO∵∵PNG，可得NP＝AG＝2-a，AO＝GN＝a，可求点P坐标，求出一次函数解析式，可求点H的纵坐标，即可求解．【详解详析】解：如图，过点G作GP∵GO，交OH的延长线于点P，过点P作PN∵AE，交AE延长线于N，设点A（-a，0）∵AO＝a，∵直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点D，C，∵点D（﹣2，0），∵ADC＝45°，∵DO＝2，AD＝2﹣a，∵AE∵OD，∵∵ADG＝∵AGD＝45°，∵AD＝AG＝2﹣a，∵GP∵GO，∵GOH＝45°，∵∵GPO＝∵GOP＝45°，∵GP＝GO，∵∵AGO+∵AOG＝90°，∵AGO+∵NGP＝90°，∵∵AOG ＝∵NGP ，又∵∵GNP ＝∵GAO ＝90°，GO ＝GP ，∵∵GAO∵∵PNG （AAS ），∵NP ＝AG ＝2﹣a ，AO ＝GN ＝a ，∵AN ＝2，∵点P （2﹣2a ，﹣2），∵直线OP 解析式为：y ＝11a - x ， 联立方程组112y x a y x ⎧=⎪-⎨⎪=--⎩ ∵()212a x a y a ⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点H 的纵坐标为2a-， ∵点E （a -，2a-） ∵反比例函数y ＝k x的图象过点E ， ∵k ＝a -×（2a-）＝2， ∵反比例函数解析式为：y ＝2x ， 故答案为：y ＝2x． 【名师指路】 本题考查了反比例函数k 的几何意义，全等三角形的判定和性质，二元一次方程组的解法，利用参数解决问题是本题的关键．18．已知直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为()2,3-，则直线11y k x b =-与直线22y k x b =-的交点坐标为____________．【标准答案】（-2,3）．【思路指引】由1122y k x b y k x b =-⎧⎨=-⎩，得到1212x b b k k -=-，根据直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为()2,3-，得到21122b b k k -=-，进而得到x 2=-，将x 2=-代入11y k x b =-中，即可求解．【详解详析】解：∵1122y k x b y k x b =-⎧⎨=-⎩ ∵1122k x b k x b -=-1212x b b k k -=- ∵直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的交点坐标为()2,3-∵11223232k b k b -=+⎧⎨-=+⎩得()12212k k b b -=- ∵21122b b k k -=- ∵x 2=-将x 2=-代入11y k x b =-中得112=3y k b =--∵交点坐标为（-2,3）故答案为：（-2,3）．【名师指路】此题主要考查直线的交点问题，解题的关键是正确理解一次函数图象交点与二元一次方程组之间的关系．19．对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a≥b 时，max{a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max{a ，b]＝b ；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x 的函数为y ＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是_____．【标准答案】2【思路指引】联立两函数解析式成方程组，通过解方程组找出交点坐标，再根据max{a ，b}的意义即可得出函数的最小值．【详解详析】解：联立两函数解析式成方程组，得：31y x y x =+⎧⎨=-+⎩， 解得：12x y =-⎧⎨=⎩．∵当x ＜﹣1时，y ＝max{x+3，﹣x+1}＝﹣x+1＞2；当x≥﹣1时，y ＝max{x+3，﹣x+1}＝x+3≥2． ∵函数y ＝max{x+3，﹣x+1}最小值为2．故答案为：2．【名师指路】本题考查一次函数，解题的关键是掌握分段函数的解析式和函数最值的求解方法．20．若直线112y x =-与直线31y kx k =++交于点(,)P m n ，且函数31y kx k =++的值随x 值的增大而减小，则m 的取值范围是______．【标准答案】34-<<m【思路指引】 根据一次函数与二元一次方程组的关系可得11312m mk k -=++，求得426m k m -=+，再由一次函数的性质可得4026m m -+＜，则可得出关于m 的一元一次不等式组，求解后即可得出结果． 【详解详析】解：∵直线112y x =-与直线31y kx k =++交于点(,)P m n ， ∵11231n m n mk k ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩ ， ∵11312m mk k -=++， ∵426m k m -=+， ∵函数31y kx k =++的值随x 值的增大而减小，∵0k ＜， 即4026m m -+＜， ∵40260m m -⎧⎨+⎩＞＜或40260m m -⎧⎨+⎩＜＞， 当40260m m -⎧⎨+⎩＞＜时，4m ＞，3m -＜，此不等式组无解； 当40260m m -⎧⎨+⎩＜＞时，4m ＜，3m -＞，不等式组的解集为34-<<m ． ∵m 的取值范围是34-<<m ．故答案为：34-<<m ．【名师指路】此题考查了一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数的性质及一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点并能准确运用其求解是解题的关键．三、解答题21．如图1，直线AB 的解析式为6y kx =+，D 点坐标为()8,0，O 点关于直线AB 的对称点C 点在直线AD 上．（1）求直线AD 、AB 的解析式；（2）如图2，若OC 交AB 于点E ，在线段AD 上是否存在一点F ，使ABC ∆与AEF ∆的面积相等，若存在求出F 点坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图3，过点D 的直线:l y mx b =+.当它与直线AB 夹角等于45︒时，求出相应m 的值．【标准答案】（1）364y x =-+，26y x =-+；（2）存在，36,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）3m =或13-． 【思路指引】（1）先用待定系数法求出直线AD 的表达式，再根据勾股定理求出()3,0B ，再用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）由（1）得，BC =OB =3，CD =4，BD =5，用面积法求出点C 的纵坐标，代入直线AD 的表达式中，得出点C 的坐标，求出直线OC 的解析式，根据BEC ECF S S ∆∆=得到//BF OC ，用待定系数法求出直线BF 的解析式，最后求出直线BF 与直线AD 的交点即可；（3）若直线DE 、DF 与直线AB 夹角等于45︒，DEF ∆为等腰直角三角形，作EM DM ⊥于M ，FN DN ⊥于N ，证明出DEM FDN ∆∆≌，根据全等的性质与直线l 过点D ，设直线l 的解析式为8y mx m =-，令E 坐标为(),26t t -+，则8EM DN t ==-，26DM FN t ==-+，得到()2,2E ，()6,6F -，再进行分类讨论即可．【详解详析】解：（1）6y kx =+，()0,6A ∴，即6OA =，又()8,0D ，8OD ∴=，设直线AD 的解析式为6y nx =+，将点()8,0D 代入得，直线AD 的解析式为364y x =-+.在Rt ABD ∆中，10AD =，点O 、点C 关于直线AB 对称，∴设OB BC a ==，6OA AC ==，4CD =，8BD a ∴=-，在Rt BCD ∆中，()22248a a +=-，3a ∴=（面积法亦可） ()3,0B ∴，∴直线AB 的解析式为26y x =-+.（2）由（1）得，BC =OB =3，CD =4，BD =5，则1134522c y ⨯⨯=⨯⨯， 解得：125c y =， 将125c y =代入364y x =-+中，求得：245c x = 则2412,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AD 的解析式为：364y x =-+， ∴直线OC 的解析式为：12y x =. ABC AEF S S ∆∆=，BEC ECF S S ∆∆∴=，//BF OC ∴，设直线BF 的解析式为：12y x n =+， ()3,0B 在直线BF 上，1302b ∴⨯+=， 32b ∴=-， 直线BF 的解析式为：1322y x =-， 联立得：1322364y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：632x y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故存在，36,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （3）如图，设若直线DE 、DF 与直线AB 夹角等于45︒，即DEF ∆为等腰直角三角形，作EM DM ⊥于M ，FN DN ⊥于N ，则DEM FDN ∆∆≌，EM DN ∴=，DM FN =，直线l 过()8,0D ，即08m b =+，解得：8b m =-，∴直线l 的解析式为：8y mx m =-，设E 坐标为(),26t t -+，则8EM DN t ==-，26DM FN t ==-+，F ∴点坐标为()22,8t t +-，F 点在直线AB 上，()82226t t ∴-=-++，解得：2t =，()2,2E ∴，()6,6F -.当直线l 过E 点时，282m m -=，解得：13m =-， 当直线l 过F 点时，686m m -=-，解得：3m =.所以3m =或13-. 【名师指路】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及勾股定理、二元一次方程组等知识点，根据函数图象之间的关系进行求解是本题解题的关键．22．定义：图象与x 轴有两个交点的函数y ＝24(),24()x x m x x m -+≥⎧⎨+<⎩．叫做关于m 的对称函数，它与x 轴负半轴交点记为A ，与x 轴正半轴交点记为B ，（1）关于l 的对称函数y ＝24(1),24(1)x x x x -+≥⎧⎨+<⎩．与直线x ＝1交于点C ，如图． △直接写出点的坐标：A （ ，0）；B （ ，0）；C （1， ）；△P 为关于l 的对称函数图象上一点（点P 不与点C 重合），当=ABC ABP S S 时，求点P 的坐标； （2）当直线y ＝x 与关于m 的对称函数有两个交点时，求m 的取值范围．【标准答案】（1）∵﹣2，2，2；∵点P 坐标为(1,2)-或(3,2)-或(3,2)--；（2）423m -<≤． 【思路指引】（1）∵把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标；∵先根据三角形面积公式求得4ABC S =，再根据=ABC ABP S S 得到142P AB y ⋅⋅=，解得2P y =或2P y =-，再根据解析式求出点P 的横坐标即可；（2）先根据关于m 的对称函数的解析式()2424()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩， 确定m 的取值范围为22m -<≤，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线y =x 与关于m 的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m 的取值范围．【详解详析】解：（1）∵当1x <时，令0y =，即240x +=，解得2x =-，此时满足题意，故(2,0)A -．当1≥x 时，令0y =，即240x -+=，解得2x =，此时满足题意，故(2,0)B ．当1x =时，242142y x =-+=-⨯+=，故(1,2)C ．故答案为：2-，2，2．∵∵(2,0)A -，(2,0)B ，(1,2)C ，∵AB =4，2C y =． ∵1142422ABC C S AB y =⋅⋅=⨯⨯=△． ∵=ABC ABP S S ， ∵114422ABP P P S AB y y =⋅⋅=⋅⋅=△． ∵2P y =．∵2P y =或2P y =-．当2P y =，且1P x ≥时，令2y =，即242x -+=，解得1x =，此时(1,2)P 与点C 重合，故舍去． 当2P y =，且1P x <时，令2y =，即242x +=，解得1x =-，此时符合题意，故(1,2)P -．当2P y =-，且1P x ≥时，令2y =-，即242x -+=-，解得3x =，此时符合题意，故(3,2)P -． 当2P y =-，且1P x <时，令2y =-，即242x +=-，解得3x =-，此时符合题意，故(3,2)P --． 故点P 坐标为(1,2)-或(3,2)-或(3,2)--．（2）∵关于m 的对称函数的解析式为()24,24()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩， ∵该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象．∵一次函数图象与x 轴最多只有一个交点，且关于m 的对称函数()24,24()x x m y x x m ⎧-+≥=⎨+<⎩，与x 轴有两个交点， ∵组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x 轴有交点．∵对于24()y x x m =-+≥，令y =0，即024x =-+，解得x =2，∵x =2必须在x m ≥的范围之内．∵2m ≤．∵对于24()y x x m =+<，令y =0，即024x =+，解得2x =-，∵2x =-必须在x m <的范围之内．∵2m >-．∵22m -<≤．∵直线y ＝x 与关于m 的对称函数有两个交点，∵直线y =x 分别与直线24()y x x m =-+≥和24()y x x m =+<各有一个交点．对于直线y =x 与直线24()y x x m =+<，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=+⎩解得4,4x y =-⎧⎨=-⎩， ∵直线y =x 与直线24()y x x m =+<必有一交点(4,4)--．对于直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥，联立可得,24,y x y x =⎧⎨=-+⎩解得4,343x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵22m -<≤， ∵43x =必须在x m ≥的范围之内才能保证直线y =x 与直线24()y x x m =-+≥有交点． ∵43m ≤． ∵423m -<≤． ∵m 的取值范围是423m -<≤． 【名师指路】本题考查求一次函数自变量的值或函数值，坐标与图形关系，三角形面积公式，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．23．如图1，直线11:32l y x =-+与坐标轴分别交于点A 、B ，与直线2:l y x =交于点C ．（1）求A 、C 两点的坐标；（2）如图2，若有一条垂直于x 轴的直线l 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线1l 、2l 及x 轴于点M 、N 和Q ．设运动时间为()s t ，连接CQ ．△当2OA MN =时，求t 的值．△若四边形CMEN 为平行四边形，试求出E 点的坐标；（3）试探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直．接写出．．．t 的值；若不存在，请说明理由．【标准答案】（1）A （6，0），C （2，2）；（2）∵ t =2或6；∵（102t -，142t ）；（3）6t =+或6t =-或4t =或2t =【思路指引】（1）根据A 是一次函数132y x =-+与x 轴的交点令y =0得到x =6，联立一次函数和正比例函数的解析式，从而可得A 、C 点的坐标；（2）∵根据绝对值方程即可解决问题；∵四边形CMEN 是平行四边形则CM ∵EN ，CN ∵ME ，即可得到1EM CN k k ==，12EN CM k k ==-，设直线ME 的解析式为1y x b =+，直线EN 的解析式为212y x b =-+，求出1b ，2b ，然后联立1y x b =+和212y x b =-+即可求解； （3）根据菱形的性质，分OC 为菱形的边和对角线进行讨论求解即可得到答案.【详解详析】 解：（1）对于直线132y x =-+，令x =0得到y =3，令y =0，得到x =6， ∵A （6，0），B （0，3）．联立132y x y x⎧-+⎪⎨⎪⎩＝＝，解得22x y ＝＝⎧⎨⎩，∵C （2，2），（2）∵设M （6-t ，-12（6-t ）+3），N （6-t ，6-t ）， ∵MN =|-12（6-t ）+3-（6-t ）|=|32t -6|， ∵OA =2MN ， ∵6=2|32t -6|， 解得t =2或6；∵∵四边形CMEN 是平行四边形∵CM ∵EN ，CN ∵ME ，∵1EM CN k k ==，12EN CM k k ==-， 设直线ME 的解析式为1y x b =+，直线EN 的解析式为212y x b =-+ 把M （6-t ，-12（6-t ）+3）代入1y x b =+中()116362t t b --+=-+， ∵1362b t =-， 把N （6-t ，6-t ）代入212y x b =-+中()21662t t b -=--+， ∵2392b t =- ∵直线ME 的解析式为362y x t =+-，直线EN 的解析式为13922y x t =--+ 36213922y x t y x t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得：102142x t y t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩∵E 的坐标为（102t -，142t ）； （3）∵C （2，2），∵OC ==当OC 为菱形的边时，可得1Q （-0），2Q （0），4Q （4，0），当OC 为菱形的对角线时，可得3Q （2，0），∵6t =+6t =-4t =或2t =时以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形构成菱形.【名师指路】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．24．在平面直角坐标系中，点A 坐标为(0,)n ， 点B 坐标为(,0)m -，点C 坐标为(,0)m ，且m 、n 满足方程组32120m n m n +=⎧⎨-=⎩． （1）如图1，直接写出点A 和点B 的坐标；（2）如图2，在线段AB 上有一点D （点D 不与A 、B 重合），过点D 作AB 的垂线，分别交y 轴和线段AC 于点E 和点F ，连接DO ，若2AFD AOD ∠=∠，求BDO ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DF 交x 轴于点G ，若EO CG =，连接BF 交AO 于点K ，求点K 的坐标．【标准答案】（1）A （0,6），B （-3,0）；（2）45︒；（3）K （0，65） 【思路指引】（1）利用代入法解方程组求出m 、n 的值即可得到点A 和点B 的坐标；（2）根据点B 、C 的坐标及DF ∵AB ，求得2920DAO AOD ∠∠+=︒，化简得45AOD DAO ∠∠+=︒，再利用外角的性质求出结果；（3）连接BE ，设E （0，n ），先求出直线AB 的解析式，设直线EG 的解析式为12y x n =-+，求出n =3，由此得到OE=OB=3，求出直线EG 的解析式，直线AC 的解析式，连立方程组求出点F 的坐标，求出直线BF 的解析式，即可得到答案．【详解详析】290DAF AFD DAO AFD ∠+∠=∠+∠=︒25．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点．△ABO 的顶点A 在y 轴的正半轴上，且OA =16，顶点B 在x 轴正半轴上，且B （12，0），BE 是△ABO 的角平分线，且AB =20．（1）直接写出E 点坐标；（2）点D 是射线BO 上的一个动点（点D 不与点B 、点O 重合），连接DE ，设D 点的横坐标为t ，△BDE 的面积为S ，求S 与t 的关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，如图3，当点D 在线段OB 上，连接AD ，AD 、BE 相交于点F ，过点F 作FM △AD 交AB 于点M ，FN △BE 交AB 于点N ，当S =20时，求线段MN 的长度．【标准答案】（1）(0,6)；（2）363S t =-（t <12且t ≠0）；（3）2【思路指引】（1）过点E 作EC AB ⊥于点C ，设点(0,)E e ，根据角平分线的性质，可得EC OE =,进而根据等面积法求得e 的值，进而求得E 的坐标；（2）根据点D 的位置，分别计算BD 的长，根据三角形面积公式以及点到坐标的距离求得解析式； （3）过点F 作FG OB ⊥于点G ，过点E 作EC AB ⊥于点C ，连接EN ，根据题意，求得D 的坐标，进而求得直线AD 和直线BE 的解析式，即可求得F 的坐标，根据角平分线的性质，可得FG FM =，设MN x =，根据等面积法和勾股定理分别求得FN ，列方程解得x 的值，即求得MN 的长【详解详析】（1）过点E 作EC AB ⊥于点C ，如图1，。
一次函数的应用(教师版)_20201113234202
题型1费用比较型1．某社区的游泳馆按照顾客游泳的次数收取费用，每次的全票价为40元．在盛夏即将来临时，为吸引更多的顾客再次光顾，推出了以下两种收费方式．方式一：先交250元会员费，每次游泳按照全票价的7.5折收取费用；方式二：第一次收全票价，以后每次按照全票价的9.5折收取费用．（1）技照方式一的总费用为y1，按照方式二的总费用为y2，请直接写出y1，y2与游泳次数x的函数关系式；（2）去该游泳馆的次数等于31次时，两种方式收取总费用一样．【解答】解：（1）根据题意，可得：y1＝250+40×0.75x＝30x+250；y2＝40+40×0.95（x ﹣1）＝38x+2．（2）令y1＝y2，可得：30x+250＝38x+2，解方程，得x＝31，故答案为31．2．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种．收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收费费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：＝0.08x+20，乙种收费方式的函数关系（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是y甲＝0.12x；（直接写出答案，不写过程）式是y乙（2）根据函数图象，请直接写出如何根据每次印刷份数选择省钱的收费方式．（3）填空：该校八年级每次需印刷800份学案，选择甲种印刷方式较合算？（填“甲”“乙”，直接写出答案，不写过程）【解答】解：（1）甲种收费方式每份的费用为：（60﹣20）÷500＝0.08（元），∴y甲＝0.08x+20，乙种收费方式每份的费用为：60÷500＝0.12（元），∴y乙＝0.12x；故答案为：y甲＝0.08x+20；y乙＝0.12x；（2）由图象可知，当印刷份数小于500份时，选择乙种方式省钱；当印刷份数等于500份时，两种方式一样；当印刷份数大于500份时，选择甲种方式省钱．（3）∵800＞500，∴选择甲种印刷方式较合算．故答案为：甲．3．2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．根据以上信息，解答下列问题：（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．【解答】解：（1）根据题意知，当0≤x≤50时，y1＝40．当x＞50时，y1＝40+（x﹣50）×0.1＝35+0.1x．综上所述，y1＝．y2＝0.2x（x≥0）；（2）当0≤x≤50时，y1＝40＞y2，选择方案二合算；当x＞50时：①y1＞y2，即0.1x+35＞0.2x，解得x＜350，选择方案二合算；②y1＝y2，即0.1x+35＝0.2x，解得x＝350，选择两种方案一样合算；③y1＜y2，即0.1x+35＜0.2x，解得x＞350，选择方案一合算．综上所述，当通话时间小于350分钟，选择方案二合算；当通话时间为350分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于350分钟，选择方案一合算；（3）由于500＞350，所以小明的爸爸选用通讯收费方案一合算．题型2.分段计费4．某市电力公司采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.55元计算费用，每月用电超过100度时，超过部分按每度0.60元计算．（1）设每月用电x度时，应交电费y元，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）小王家一月份用了115度电，应交电费多少元？（3）小王家三月份交纳电费49.5元，求小王家三月份用了多少度电？【解答】解：（1）由题意可得，当0＜x≤100时，y＝0.55x，当x＞100时，y＝0.55×100+（x﹣100）×0.6＝0.6x﹣5，由上可得，y与x之间的函数关系式是y＝；（2）当x＝115时，y＝0.6×115﹣5＝64（元），答：小王家一月份用了115度电，应交电费64元；（3）∵100×0.55＝55＞49.5，∴小王家三月份用电在100度以内，当y＝49.5时，49.5＝0.55x，解得，x＝90，答：小王家三月份用了90度电．5．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费；每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度0.6元计费．收费标准如下表：超过280度的部分用电量不超过180度超过180度不超过280度的部分收费标准（元/度）0.50.60.8（1）若小陈家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为：当0≤x≤180时，y＝0.5x；当180＜x≤280时，y＝0.6x﹣18；当x＞280时，y＝0.8x﹣74．（2）小陈家第三季度交电费132元，求小陈家第三季度用电多少度？【解答】解：（1）根据题意得：当0≤x≤180时，y＝0.5x，当180＜x≤280时，y＝0.5×180+0.6×（x﹣180）＝90+0.6x﹣108＝0.6x﹣18，当x＞280时，y＝0.5×180+0.6×（280﹣180）+0.8×（x﹣280）＝0.8x﹣74，故答案为：0.5x；0.6x﹣18；0.8x﹣74；（2）由y＝132代入y＝0.6x﹣18，可得x＝250．小陈家第三季度用电250度．6．某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．【解答】解：（1）情况①：y＝（1.92+1.53）x，即y＝3.45x（0＜x≤220），情况②：y＝220×（1.92+1.53）+（x﹣220）（3.30+1.53），即所求的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（x＞220）；（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，则4.83x﹣303.6＝1000.5，解得x＝270．答：该户一个月的用水量为270立方米．10．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累进计算：全月应税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%………（纳税款＝应纳税所得额×对应税率）（1）设某甲的月工资、薪金所得为x元（1300＜x＜2800），需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式；（2）若某乙一月份应缴所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？【解答】解：（1）∵甲得到的月工资、薪金所得为1300～2800元，则对应的纳税范围为：1300﹣800＝500；2800﹣800＝2000，即对应的纳税款区间为：超过500元至2000元的部分，∴y＝500×5%+（x﹣1300）×10%＝0.1x﹣105．故y与x的函数关系式为：y＝0.1x﹣105．（2）某乙一月份应缴所得税款95元，由（1）关系式可知，令y＝95，得95＝0.1x﹣105，解得x＝2000，满足所对应的纳税区间．即他一月份的工资、薪金是2000元．11．《中华人民共和国个人所得税法》中规定，公民月工薪所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．即全月应纳税所得额＝当月工资﹣3500元．个人所得税款按下表累进计算．全月应纳税金额税率（%）不超过1500元3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%……（例如：某人月工资为5500元，需交个人所得税为（5500﹣3500﹣1500）×10%+1500×3%＝95元）（1）求月工资为4200元应交的个人所得税款；（2）设小明的月工资为x 元（5000＜x ＜8000），应交的个人所得税为y 元，求y 与x 之间的函数关系式；（3）若王教授的月工资不超过10000元，他每月的纳税金额超过月工资的吗？若能，请给出王教授的工资范围；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得（4200﹣3500）×3%＝21（元）．答：月工资为4200元应交个人所得税款是21元；（2）∵5000＜x ＜8000，∴150＜x ﹣3500＜4500，∴y ＝（x ﹣35000﹣1500）•10%+1500×3%，即y ＝0.1x﹣455（5000＜x ＜8000）；（3）能．设月工资是y 元．∵3000×10%+1500×3%＜×8000．∴当0＜y ≤8000时，纳税金额不能超过月工资的．当8000＜y ≤10000时，3000×10%+1500×3%+（y ﹣8000）×20%＞，解得：y ＞9412.5．故王教授的月工资范围是9412.5＜y ≤10000．12．我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税，如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160﹣800）×5%＝18（元）．①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？【解答】解：（1）∵当月收入大于800元而又小于1300元，∴应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为；y＝（x﹣800）×5%＝0.05x﹣40；（2）根据题意得：（960﹣800）×5%＝8（元），答：他应缴所得税8元．（3）此人本月工资薪金是x元，根据题意得：（x﹣800）×5%＝19.2，解得：x＝1184，则此人本月工资薪金是1184元．题型3资源分配8．A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C，D两乡肥料费用分别为20元/t和25元/t；从B城运往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设A城运往C乡xt，请解答下列问题：（1）根据题意，填写下列表格：城、乡/吨数A BC x①240﹣xD②200﹣x③60+x（2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求怎么调运可使总运费最少？最少为多少元？【解答】解：（1）根据题意，填写下表如下：故答案为：①200﹣x；②240﹣x；③60+x．（2）A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映W与x之间的函数关系为W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x），化简得W＝4x+10040（0≤x≤200）；（3）由解析式可看出：当x＝0时，y有最小值10040．因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．题型4.行程工程3．某水果店以每千克9元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：（1）降价前苹果的销售单价是16元/千克；（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？【解答】解：（1）由图象可得，降价前苹果的销售单价是640÷40＝16（元/千克），故答案为：16；（2）降价后销售的苹果质量为（760﹣640）÷（16﹣4）＝120÷12＝10（千克），设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式时y＝kx+b，∵降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数图象过点（40，640），（50，760），∴，解得，即降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝12x+160（40＜x ≤50）；（3）760﹣50×9＝760﹣450＝310（元），答：该水果店这次销售苹果盈利了310元．9．纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，且每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产产品x件，每月获得纯利润y元．（纯利润＝总收入﹣总支出）．（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）若厂家有盈利，则每月至少要生产多少件产品？（3）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产产品的件数．【解答】解：（1）依题意得：y＝80x﹣60x﹣0.5x•2﹣8000，化简得：y＝19x﹣8000．∴所求的函数关系式为y＝19x﹣8000（x＞0且x是整数）；（2）当19x﹣8000＞0时，即x＞421，∵x为正整数，∴若厂家有盈利，则每月至少要生产422件产品；（3）当y＝106000时，代入得：106000＝19x﹣8000，解得x＝6000．∴这个月该厂生产产品6000件．13．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：（1）客车的速度是60千米/小时，出租车的速度是100千米小时；（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（3）求两车相遇的时间．（4）x为何值时，两车相距100千米．【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，所以，客车速度＝600÷10＝60（km/h），出租车速度＝600÷6＝100（km/h），故答案为：60，100；（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，解得k1＝60，所以，y1＝60x（0≤x≤10），设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，则，解得，所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6），故答案为：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，解得x＝．所以两车相遇的时间为小时；（4）由题意可得：|﹣100x+600﹣60x|＝100，∴x＝或，答：x为或时，两车相距100千米．14．某市端午节期间，甲、乙两队举行了赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：（1）这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？（2）求甲与乙相遇时甲、乙的速度．【解答】解：（1）由函数图象可得，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；（2）由图象可得，甲与乙相遇时，甲的速度是1000÷4＝250（米/分钟），乙的速度是：（1000﹣400）÷（3.8﹣2.2）＝600÷1.6＝375（米/分钟），即甲与乙相遇时甲、乙的速度分别为250米/分钟、375米/分钟．15．甲、乙两人在同一平直的道路上同时、同起点、同方向出发，他们分别以不同的速度匀速跑步2400米（甲的速度大于乙的速度），当甲第一次超出乙600米时，甲停下来等候乙．甲、乙两人会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在整个跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系图象如图所示，根据图象中提供的信息回答问题：（1）A点表示的是甲在600秒时，第一次超出乙600米；（2）乙出发1600s时到达终点，a＝1000，b＝1360；（3）甲乙出发150或900或1150或1500s相距150米．【解答】解：（1）点A表示甲在600秒时，第一次超出乙600米，故答案为：甲在600秒时，第一次超出乙600米；（2）由图形可得乙出发1600s时到达终点，∴乙的速度＝＝1.5米/秒，∴甲的速度＝+1.5＝2.5秒，∴a＝＝1000，∴b＝﹣600+1000＝1360，故答案为：1600，1000，1360；（2）刚出发时，＝150s，甲在A地时，＝900s，从A地出发后，1000+150＝1150s，甲到终点后，＝1500s，综上所述：甲乙出发150s或900s或1150s或1500s时，相距150米．故答案为：150或900或1150或1500．16．李老师周末骑自行车去郊游，如图是他离家的距离y（千米）与时间t（时）之间关系的函数图象，李老师9时离开家，15时到家，根据这个函数图象，请你回答下列问题：（1）到达离家最远的地方是12时，离家多远30千米．（2）他12时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了 1.5小时．（3）他从离家最远的地方回家用了多长时间？速度是多少？【解答】解：（1）由图象可得，到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米，故答案为：12，30；（2）由图象可得，他12时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了（11﹣10.5）+（13﹣12）＝1.5（小时），故答案为：12，1.5；（3）由图象可得，他从离家最远的地方回家用了15﹣13＝2（小时），速度是30÷2＝15（千米/小时），即他从离家最远的地方回家用了2小时，速度是15千米/小时．17．某小区美化工程中，在一段柏油路两侧铺设彩色方砖，施工队分成甲，乙两组分别在道路两侧施工，乙组比甲组晚施工一段时间．如图是甲，乙两组各自铺设的长度y（米）与甲组施工时间x（小时）之间的函数图象．根据图中信息，解答下列问题：（1）点C的坐标为（1，0）；（2）求线段AB的解析式，并写出自变量x的取值范围，（3）当乙组铺设完成时，甲组还剩下多少米未铺完．【解答】解：（1）由图象可得，乙组的速度为：（200﹣50）÷（5﹣2）＝50（米/小时），则乙组施工200米用的时间为：200÷50＝4（小时），∴点C的横坐标为：5﹣4＝1，∴点C的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（2）∵点C的坐标为（1，0），∴点A的坐标为（1，50），设线段AB的解析式为y＝kx+b，∵线段AB过点A（1，50），点B（5.5，200），∴，解得，，即线段AB的解析式为y＝x+（1≤x≤5.5）；（3）当x＝5时，y＝×5+＝，200﹣＝（米），即当乙组铺设完成时，甲组还剩下米未铺完．18．已知甲、乙两车分别以各自的速度匀速从A地驶向B地，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求图中m的值及A、B两地的距离；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）小明说：乙车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式为y＝80x﹣160（2≤x ≤5.25）．问：①小明的说法对吗？简要说明理由；②当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？【解答】解：（1）由题意得：m＝1.5﹣0.5＝1，A、B两地的距离为260km；（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k1x，由题意可得：40＝k1，∴y＝40x，当1＜x≤1.5时，y＝40；当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，由题意，得，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7），∴y＝；（3）①小明的说法是对的，理由如下：设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，由题意，得，解得，∴y＝80x﹣160（2≤x≤5.25），②当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝，当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝，当乙车行驶或小时时，两车恰好相距50km．题型5函数综合19．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，＝×6×4＝12；∴S△OAC（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝1，∴点M的横坐标为1或﹣1；当M的横坐标是：1，在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．当M的横坐标是：﹣1，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）．综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．20．如图，将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2，直线l2经过点P （1，2），与x轴、y轴分别相交于点A、B．（1）求直线l2的函数表达式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2为：y＝﹣2x+b，∵直线l2经过点P（1，2），∴2＝﹣2+b，解得b＝4，∴直线l2为：y＝﹣2x+4；（2）令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），令Y＝0，则x＝2，∴A（2，0），＝＝4．∴S△AOB21．平面直角坐标系xOy内，一次函数y＝2x﹣2经过点A（﹣1，m）和B（n，2）．（1）求m，n的值；（2）求该直线与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣2＝﹣4，∴m＝﹣4；当y＝2时，2x﹣2＝2，解得：x＝2，∴n＝2．（2）当y＝0时，2x﹣2＝0，解得：x＝1，∴该直线与x轴的交点坐标为（1，0）．22．已知一次函数y＝﹣2x+4．（1）在如图所示平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）若一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标；（3）求△AOB的面积；（4）利用图象直接写出：当y≤0时，x的取值范围．【解答】解：（1）画出函数图象，如图所示；（2）当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0）；＝OA•OB＝×2×4＝4；（3）S△AOB（4）观察函数图象，可知：当y≤0时，x≥2．23．已知正比例函数y＝kx图象经过点（4，﹣8）．①求这个函数的解析式：②图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，比较y1，y2的大小，【解答】解：①把（4，﹣8）代入y＝kx得4k＝﹣8，解得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x；②因为k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，所以当x1＜x2时，y1＞y2．24．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B （﹣2，﹣5）两点，∴，解得，即该一次函数的表达式是y＝2x﹣1；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝2x﹣1的图象上，∴﹣a＝2（a﹣3）﹣1，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝2x﹣1向下平移3个单位后可得：y＝2x﹣1﹣3＝2x﹣4，图象如图：25．如图，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求b的值．＝4，求点C坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△AOC【解答】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0解得b＝﹣4；＝4，点A（2，0），（2）∵S△AOC∴OA＝2，∴•OA•y C＝4，解得y C＝4，把y＝4代入y＝2x﹣4得2x﹣4＝4，解得x＝4，∴C（4，4）．26．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得2（m﹣4）+12﹣4m＝0，解得，m＝2；（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，∴12﹣4m＜0，∴m＞3，∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），∴M1M2＝4（m2﹣m1），∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：S＝，∵3＜m1＜m2＜4，∴0＜m2﹣m1＜1，∴0＜S＜8，∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y 轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，一次函数y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，这两个函数图象交于点P．（1）求P点坐标；（2）求△PBC的面积；（3）设点E在x轴上，且与C，D构成等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．【解答】解：（1）由得：，∴点P的坐标为（1，4）；（2）∵一次函数y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，∴点A（﹣1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵一次函数y＝﹣x+5与x轴交于点C，∴点C（5，0），∴OC＝5，∴AC＝6，＝S△P AC﹣S△ABC＝﹣＝6；∴S△PBC（3）∵一次函数y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，∴C（5，0），D（0，5），∴CD＝＝5，当DE＝CE时，E（0，0）；当DE＝DC时，E（﹣5，0）；当DC＝CE时，E（5+5，0）或（5﹣5，0），∴符合条件的点E的坐标为：（0，0）或（﹣5，0）或（5+5，0）或（5﹣5，0）．28．如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过A（1，1），B（3，﹣3），C（﹣2，m）三点．（1）求m的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OCD的面积．【解答】解：（1）设直线的解析式为y＝kx+b，把A（1，1），B（3，﹣3）代入，可得：，解得：，所以直线解析式为：y＝﹣2x+3，把C（﹣2，m）代入y＝﹣2x+3中，得：m＝7；（2）令x＝0，则y＝3，所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），由（1）得点C的坐标为（﹣2，7），所以△OCD的面积＝＝3．。
七年级数学一次方程组的应用人教版知识精讲
七年级数学一次方程组的应用人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容一次方程组的应用二. 教学目标和要求1. 能说出列一次方程组解应用题的步骤2. 能列出一次方程组解简单的应用题三. 教学重、难点根据应用题的题意列出一次方程组四. 知识要点1. 列方程组解应用题的一般步骤（1）审题：反复阅读题目，弄清题意，明确问题中哪些量是已知量，哪些是未知量，弄清题目中的相等关系。
（2）找未知数，列出代数式：选择两个或三个未知数，用字母表示，用含有未知数的代数式表示其他的未知数。
（3）列方程组：根据题目中能表示题目全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组。
（4）解方程组：求出未知数的值（5）检验并作答：检验所得的未知数的值是否合理，然后作出答案。
2. 题型归类（1）和、差、倍、分问题（2）行程问题（3）调配问题（4）余缺问题（5）百分数与数字问题（6）经济问题和其他【典型例题】[例1] 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数。
解：设这个二位数的十位数字为x ，个位数字为y 。
根据题意得⎩⎨⎧+=++=+)2(104510)1(7x y y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==61y x 答：这个二位数是16。
[例2] 李红用甲、乙两种形式共储蓄了1万元人民币，其中甲种储蓄的年利率为7%，乙种储蓄的年利率为6%，一年后，李红得到本息共10680元，李红两种形式各储蓄多少钱？解：设李红甲种形式储蓄x 元，乙种形式储蓄y 元。
根据题意得⎩⎨⎧=+=+)2(680%6%7)1(10000y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==20008000y x 答：李红甲种形式储蓄了8000元，乙种形式储蓄了2000元。
[例3] 某汽车制造厂，接受了在预定期限内生产一批汽车的任务，如果每天生产35辆，则差10辆才能完成任务；如果每天生产40辆，则可超额生产20辆，预定期限是多少天？计划生产多少辆汽车？解：设预定期限为x 天，需要制造的汽车总数为y 辆。
专题04 一次方程(组)及其应用-备战2022年中考数学题源解密(解析版)
专题04 一次方程（组）及其应用考向1 一次方程（组）及其解法【母题来源】（2021·浙江温州）【母题题文】解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（）A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，去括号得：﹣4x﹣2＝x，故选：D．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案为：2．【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】已知二元一次方程x+3y＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y看做已知数求出x，确定出整数解即可．【解答】解：x+3y＝14，x＝14﹣3y，当y＝1时，x＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【解答】解：，把①代入②得：2y﹣y＝6，解得：y＝6，把y＝6代入①得：x＝12，则方程组的解为．【母题来源】（2021·浙江台州）【母题题文】解方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝3，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，则方程组的解为．【试题分析】以上中考真题主要考察了一元一次方程与二元一次方程组的解法步骤以及二元一次方程的多解问题；【命题意图】一次方程（组）的解法是对等式基本性质的熟悉程度的检验，也是后续方程求解的基础，准确掌握一元一次方程以及二元一次方程组的解法，是考生拿到此考点分值的重点；【命题方向】一次方程（组）的解法在浙江中考中占比不大，分值在0~6分，个别城市几乎不会单独出题，出题也基本在选择或者填空题的前半部分，属于难度较小的一类题。
九年级数学复习教案： 一次方程(组)及其应用
1、了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质．2、掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．3、会列方程(组)解决实际问题．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法．会列方程(组)解决实际问题．考点二、二元一次方程组的有关概念例2、已知y ＝1x ＝2，是二元一次方程组nx －my ＝1mx ＋ny ＝8，的解，则2m －n 的算术平方根为( )A ． 4B ． 2C ．D ． ±2触类旁通：已知3x ＝2，是关于x ，y 的二元一次方程x ＝y ＋a 的解，求(a ＋1)(a －1)＋7的值．考点三、二元一次方程组的解法 例3、解方程组5x ＋2y ＝23.3x －y ＝5，②①触类旁通：解方程组：2x ＋y ＝13.②4x －3y ＝11，①考点四、列方程(组)解决实际问题例4、食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A ，B 两种饮料均需加入同种添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A ，B 两种饮料共100瓶，问A ，B 两种饮料各生产了多少瓶？分析：可考虑列一元一次方程或二元一次方程组来解决当堂检测1、关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．52、关于x ，y 的方程组x ＋my ＝n 3x －y ＝m ，的解是y ＝1，x ＝1，则|m －n|的值是()A ．5B ．3C ．2D ．13、已知关于x ，y 的方程组x －y ＝3a ，x ＋3y ＝4－a ，其中－3≤a≤1.给出下列结论：①y ＝－1x ＝5，是方程组的解；②当a ＝－2时，x ，y 的值互为相反数；③当a ＝1时，方程组的解也是方程x ＋y ＝4－a 的解；④若x≤1，则1≤y≤4.其中正确的是() A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④4、兰州市某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x 米，则可列方程为()A ．x(x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．2x ＋2(x ＋10)＝200D ．x(x ＋10)＝2005、请写出一个二元一次方程组__________，使它的解是y ＝－1.x ＝2，。
一次方程组的应用(4)_模板
一次方程组的应用（4）_模板教师王命勇学科数学年段初一年课题一次方程组的应用（4）时间年月日教学目标使学生会掌握待定系数法，并能运用解题教学重点待定系数法教学难点解方程组教学步骤（体现教学内容、教学问题设计、时间安排、板书设计、作业布置和预习等）教学方法教学手段学法指导一、复习1、什么是方程？2、什么是方程的解？二、新课学习（一）启发指导1、y=ax2+bx+c是不是方程，如是，它是怎样的方程？什么是未知数？什么是系数？2、对于这个方程，如果当x=－1时，y=3，它是什么意思？3、对于系数a、b、c能不能求出，若能求出要几个条件？（二）学生思考、讨论（三）小结、归纳学生的意见1、可以明确y=ax2+bx+c是一个二元二次方程，未知数是x、y；系数是a、b、c；2、当x ＝-1,y=3时，也就是x=-1y=3要满足这个等式（方程）即：3＝a-b+c3、从2式可以看出此时的系数a、b、c都是未知即2式是一个三元一次方程，我们可知三个未知数，需要一个三元一次方程组才可解出，即还需两组x与y的值；教学步骤教学方法教学手段4、现在再加上两条件：x=2,y=3；x=5,y=60，同学们思考下，现在能否求出a、b、c，如能怎么求？现在我们来看一下完整的解题过程在以往的作业中，我们做的都是解方程，即先给出一已知的方程（当然此时的系数是已知的）去求未知数的值，而这道题目，却是相反过来，给出一方程系数是未知的，而是给出x、y的值，要我们通过方程的解（结果）来求系数，这种方法，我们称之为待定系数法，它在数学上是一个很重要也是很常用的一种解题方法，而且在今后大家在理、化的学习上也是很常用的。
练习：P36 2小结：本节课我们学习了待定系数法，它的特征是对于一个方程，它的系数是未知的是待求的，而它的解却是已知的，此时，只要把已知的一组（个）值代回原等式，即可。
作业：P39 17、18、19 教学随笔两圆的位置关系课题: 两圆的位置关系教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；教学重点：两圆的五种位置的判定．教学难点：知识的综合运用．教学过程：一,复习引入：请说出直线和圆的位置关系有哪几种？研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，直线和圆的位置关系相离相切相交直线和圆的公共点个数12d与r的关系d>rd=rd二.讲解: 圆和圆位置关系.⑴两圆的公共点个数；⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．两圆的位置关系外离外切相交内切内含两圆的交点个数121d与R、r的关系d>R+rd=R+rR-rd=R-rd定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则⑴d>R+rÛ两圆外离；⑵d=R+r Û两圆外切；⑶R-r⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；⑸dr)Û两圆内含．三.巩固：⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定⒊已知：⊙O1 和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1 和⊙2的位置关系．⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1 和⊙O2重合；四作业:P137 2.3.4.5两圆的位置关系课题: 两圆的位置关系教学目的：掌握两圆的五种位置关系及判定方法；；教学重点：两圆的五种位置的判定．教学难点：知识的综合运用．教学过程：一,复习引入：请说出直线和圆的位置关系有哪几种？研究直线和圆的位置关系时，从两个角度来研究这种位置关系的，⑴直线和圆的公共点个数；⑵圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，直线和圆的位置关系相离相切相交直线和圆的公共点个数12d与r的关系d>rd=rd二.讲解: 圆和圆位置关系.⑴两圆的公共点个数；⑵圆心距d与两圆半径R、r的大小关系．两圆的位置关系外离外切相交内切内含两圆的交点个数121d与R、r的关系d>R+rd=R+rR-rd=R-rd定理设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则⑴d>R+rÛ两圆外离；⑵d=R+r Û两圆外切；⑶R-r⑷d=R-r（R>r）Û两圆内切；⑸dr)Û两圆内含．三.巩固：⒈若两圆没有公共点，则两圆的位置关系是（）（A）外离（B）相切（C）内含（D）相离⒉若两圆只有一个交点，则两圆的位置关系是（）（A）外切（B）内切（C）外切或内切（D）不确定⒊已知：⊙O1 和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，根据下列条件判断⊙O1 和⊙2的位置关系．⑴O1O2=8cm；⑵O1O2=7cm；⑶O1O2=5cm；⑷O1O2=1cm；⑸O1O2=0.5cm；⑹O1O2=0，即⊙O1 和⊙O2重合；四作业:P137 2.3.4.5初中数学活动课教案一函数图象的性质活动目标：1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究函数图象的性质。
一次方程(组)复习教案
一次方程(组)复习教案教学目标：1. 掌握一次方程的概念和解法。
2. 学会解一次方程组的方法和技巧。
3. 能够应用一次方程(组)解决实际问题。
教学内容：1. 一次方程的定义和解法。
2. 一次方程组的定义和解法。
3. 一次方程(组)的解的判定。
4. 一次方程(组)的应用。
教学步骤：一、导入：1. 复习一次方程的概念和解法。
2. 引入一次方程组的定义和解法。
二、新课内容：1. 讲解一次方程的解法，包括解的定义、解的判定、解的求法。
2. 讲解一次方程组的解法，包括解的定义、解的判定、解的求法。
三、实例解析：1. 提供几个一次方程的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
2. 提供几个一次方程组的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
四、练习：1. 让学生做一些一次方程的练习题，巩固解法。
2. 让学生做一些一次方程组的练习题，巩固解法。
五、应用拓展：1. 提供一些实际问题，让学生应用一次方程(组)解决。
2. 讨论一次方程(组)在实际问题中的应用和意义。
教学评价：1. 课后作业：布置一些一次方程(组)的练习题，检验学生掌握情况。
2. 课堂问答：提问学生一次方程(组)的概念和解法，检验学生理解情况。
教学资源：1. 教案、PPT、练习题。
2. 教材、辅导书。
教学时间：1. 课时：45分钟。
2. 备课时间：1小时。
一次方程(组)复习教案教学目标：1. 掌握一次方程的概念和解法。
2. 学会解一次方程组的方法和技巧。
3. 能够应用一次方程(组)解决实际问题。
教学内容：1. 一次方程的定义和解法。
2. 一次方程组的定义和解法。
3. 一次方程(组)的解的判定。
4. 一次方程(组)的应用。
教学步骤：六、巩固练习：1. 提供几个一次方程的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
2. 提供几个一次方程组的实例，让学生独立求解，并判断解的正确性。
七、拓展提升：1. 提供一些一次方程(组)的综合性实例，让学生独立求解。
2. 引导学生探讨一次方程(组)在不同情境下的应用。
初中数学一次方程(组)及应用
一次方程（组）及应用一．选择题（共14小题） 1．（2020•天津）方程组{2x +y =4，x −y =−1的解是（ ）A ．{x =1y =2B ．{x =−3y =−2C ．{x =2y =0D ．{x =3y =−1【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =4①x −y =−1②，①+②得：3x ＝3， 解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝2， 则方程组的解为{x =1y =2．故选：A ．2．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4，①2x −y =1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是（ ） A ．①×2﹣② B ．②×（﹣3）﹣① C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×3【分析】方程组利用加减消元法变形即可． 【解析】A 、①×2﹣②可以消元x ，不符合题意； B 、②×（﹣3）﹣①可以消元y ，不符合题意； C 、①×（﹣2）+②可以消元x ，不符合题意； D 、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D ．3．（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+5【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺， 依题意，得：12x ＝（x ﹣5）﹣5．故选：A ．4．（2020•重庆）解一元一次方程12（x +1）＝1−13x 时，去分母正确的是（ ）A ．3（x +1）＝1﹣2xB ．2（x +1）＝1﹣3xC ．2（x +1）＝6﹣3xD ．3（x +1）＝6﹣2x【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【解析】方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ， 故选：D ．5．（2020•绥化）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ） A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10【分析】根据“准备了49座和37座两种客车共10辆，且466人刚好坐满”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得：{x +y =1049x +37y =466．故选：A ．6．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是（ ）A ．3×2x +5＝2xB ．3×20x +5＝10x ×2C ．3×20+x +5＝20xD ．3×（20+x ）+5＝10x +2【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解析】设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3×（20+x ）+5＝10x +2． 故选：D ．7．（2020•齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案．【解析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10−23x ． ∵x ，y 均为正整数，∴{x =3y =8，{x =6y =6，{x =9y =4，{x =12y =2， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．8．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ）A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；12绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案．【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．9．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{2x +y =35x +4y =94D ．{x +4y =352x +y =94【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解析】设鸡有x 只，兔有y 只， 根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94，故选：A ．10．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】根据题意可得：{x+y=100x3+3y=100，故选：C．11．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（）A．{x3=y+2x2+9=yB．{x3=y−2x−92=yC．{x3=y+2 x−92=y D．{x3=y−2x2−9=y【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x3=y−2x−92=y．故选：B．12．（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C 种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（）A．12种B．15种C．16种D．14种【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数＝200；C种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．【解析】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个，当C种奖品个数为1个时，根据题意得10m +20n +30＝200， 整理得m +2n ＝17，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜17， ∴m ＝1，2，3，4，5，6，7，8； 当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得10m +20n +60＝200， 整理得m +2n ＝14，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜14， ∴m ＝1，2，3，4，5，6； ∴有8+6＝14种购买方案． 故选：D ．13．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为非负整数可求出解． 【解析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：15x +25y ＝200，化简整理得：3x +5y ＝40，得y ＝8−35x ， ∵x ，y 为非负整数， ∴{x =0y =8，{x =5y =5，{x =10y =2， ∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个； 方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个． 故选：B ．14．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可． 【解析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ． 故选：B ．二．填空题（共19小题）15．（2020•衢州）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ 1 ．【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2x ＝2， 系数化为1得， x ＝1． 故答案为：1．16．（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ 4 ． 【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程3x ﹣8＝x ， 移项，得3x ﹣x ＝8， 合并同类项，得2x ＝8． 解得x ＝4．故答案为：4．17．（2020•天水）已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为 1 ． 【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1． 【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②， ②﹣①得2a +2b ＝2， 解得a +b ＝1． 故答案为：1．18．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 {x +y =250x +10y =30 ．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x +y =250x +10y =30．故答案为：{x +y =250x +10y =30．19．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 200 元 暑假八折优惠，现价：160元【分析】设广告牌上的原价为x 元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设广告牌上的原价为x 元， 依题意，得：0.8x ＝160， 解得：x ＝200． 故答案为：200．20．（2020•牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 8 折． 【分析】设商店打x 折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解析】设商店打x 折， 依题意，得：180×x10−120＝120×20%，解得：x ＝8． 故答案为：8．21．（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解析】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．22．（2020•南充）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．【分析】首先设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．【解析】设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，由题意得： 7x +5y ＝100， ∵x 与y 为整数， ∴x 的最大值为10， 故答案为：10．23．（2020•绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2，A =0的解为{x =1，y =1，则多项式A 可以是 答案不唯一，如x ﹣y （写出一个即可）．【分析】根据方程组的解的定义，为{x =1y =1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为{x =1y =1列一组算式，然后用x ，y 代换即可．【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2A =0的解为{x =1y =1，而1﹣1＝0，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ． 故答案为：答案不唯一，如x ﹣y ．24．（2020•铜仁市）方程2x +10＝0的解是 x ＝﹣5 ． 【分析】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程2x +10＝0， 移项得：2x ＝﹣10， 解得：x ＝﹣5． 故答案为：x ＝﹣5．25．（2020•南京）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ．【分析】求出方程组的解，代入求解即可． 【解析】{x +3y =−1①2x +y =3②，①×2﹣②得：5y ＝﹣5， 解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10， 解得：x ＝2， 则x +y ＝2﹣1＝1， 故答案为1．26．（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．27．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a +12b ﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝ 6 ．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b ，再代入公式S ＝a +12b ﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解析】∵a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， ∴a ＝4，b ＝6，∴该五边形的面积S ＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6． 28．（2020•泰安）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 {x =12y =4 ．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可． 【解析】{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24，∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16， ∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4．故答案为：{x =12y =4．29．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名．【分析】设女生有x 名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解． 【解析】设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名． 故答案为：23．30．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意列出方程组，可求a ，b 的值，即可求解．【解析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为由题意可得：{7b −2a =2x20b −10a =5x ，解得：{a =x6b =x 3， ∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b ﹣5a ）：20b ＝1：8，故答案为：1：8．31．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．【分析】可设绳长为x 尺，井深为y 尺，根据等量关系：①绳长的13−井深＝4尺；②绳长的14−井深＝1尺；列出方程组求解即可．【解析】设绳长是x 尺，井深是y 尺，依题意有{13x −y =414x −y =1， 解得{x =36y =8．故井深是8尺． 故答案为：8．32．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意{x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．33．（2020•绍兴）有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 100或85 元．【分析】可设所购商品的标价是x 元，根据小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解．【解析】设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为：100或85． 三．解答题（共11小题） 34．（2020•台州）解方程组：{x −y =1，3x +y =7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则该方程组的解为{x =2y =1.35．（2020•连云港）解方程组{2x +4y =5，x =1−y ．【分析】把组中的方程②直接代入①，用代入法求解即可． 【解析】{2x +4y =5①x =1−y②把②代入①，得2（1﹣y ）+4y ＝5， 解得y =32．把y =32代入②，得x =−12． ∴原方程组的解为{x =−12y =32． 36．（2020•乐山）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1；法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1．37．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？ 【分析】设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解． 【解析】设这些学生共有x 人， 根据题意得x 6−x 8=2，解得x ＝48．答：这些学生共有48人． 38．（2020•凉山州）解方程：x −x−22=1+2x−13．【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x ﹣3（x ﹣2）＝6+2（2x ﹣1）， 去括号，得：6x ﹣3x +6＝6+4x ﹣2， 移项，得：6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x ＝﹣2， 系数化为1，得：x ＝2．39．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间 销售总额（元） 线上销售额（元） 线下销售额（元）2019年4月份 a x a ﹣x 2020年4月份1.1a1.43x1.04（a ﹣x ）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值（用含a的代数式表示），再将其代入1.43x1.1a中即可求出结论．【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a﹣x）元．故答案为：1.04（a﹣x）．（2）依题意，得：1.1a＝1.43x+1.04（a﹣x），解得：x=2 13，∴1.43x1.1a=1.43⋅213a1.1a=0.22a1.1a=0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．40．（2020•杭州）以下是圆圆解方程x+12−x−33=1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．移项，合并同类项，得x＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：去分母，得：3（x+1）﹣2（x﹣3）＝6．去括号，得3x+3﹣2x+6＝6．移项，合并同类项，得x＝﹣3．41．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元， 依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26，解得：{x =5y =3．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）． ∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 42．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x+y=7，x+2y=8，则x﹣y＝﹣1，x+y＝5；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝﹣11．【分析】（1）利用①﹣②可得出x﹣y的值，利用13（①+②）可得出x+y的值；（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m+n+p的值，再乘5即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a+b+c的值，即1*1的值．【解析】（1）{2x+y=7①x+2y=8②．由①﹣②可得：x﹣y＝﹣1，由13（①+②）可得：x+y＝5．故答案为：﹣1；5．（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，依题意，得：{20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，由2×①﹣②可得m+n+p＝6，∴5m+5n+5p＝5×6＝30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．（3）依题意，得：{3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，由3×①﹣2×②可得：a+b+c＝﹣11，即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11．43．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？【分析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆， 依题意，得：{x +y =3015x +8y =324，解得：{x =12y =18．答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．44．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a %．求a 的值．【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论．【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克； 根据题意得，{y −x =10010×2.4(x +y)=21600，解得：{x =400y =500， 答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a %）+2.4（1+a %）×500×10（1+2a %）＝21600（1+209a %）， 解得：a ＝10，答：a 的值为10．。
一次方程(组)复习教案
一次方程(组)复习教案第一章：一次方程的定义与解法1.1 方程的定义：解释方程的概念，方程是一个含有未知数的等式。
强调方程中的等号表示两边的值相等。
1.2 一次方程的定义：介绍一次方程的概念，一次方程是最高次数为1的方程。
举例说明一次方程的一般形式：ax + b = 0。
1.3 解一次方程的步骤：讲解解一次方程的步骤，包括：1. 将方程写成标准形式ax + b = 0。
2. 移项，将未知数移到方程的一边，常数移到另一边。
3. 化简方程，消去系数。
4. 求解未知数的值。
1.4 解一次方程的练习：提供一些练习题，让学生根据解一次方程的步骤求解。
引导学生运用加减法、乘除法等运算来化简方程。
第二章：二元一次方程的定义与解法2.1 二元一次方程的定义：介绍二元一次方程的概念，二元一次方程是含有两个未知数的一次方程。
举例说明二元一次方程的一般形式：ax + = c。
2.2 解二元一次方程的步骤：讲解解二元一次方程的步骤，包括：1. 将方程组写成标准形式，即两个方程分别写成ax + = c 的形式。
2. 利用代入法或消元法求解未知数的值。
3. 检验解的可行性，确保解满足原方程组的所有方程。
2.3 解二元一次方程组的练习：提供一些练习题，让学生根据解二元一次方程的步骤求解。
引导学生运用代入法、消元法等方法来求解方程组。
第三章：一次方程与一次不等式的关系3.1 一次方程与一次不等式的定义：介绍一次方程与一次不等式的概念，一次方程是等式，而一次不等式是不等号连接的两个表达式。
举例说明一次不等式的一般形式：ax + b > c 或ax + b ≤c。
3.2 一次方程与一次不等式的关系：解释一次方程的解集是一次不等式的解集的特殊情况。
讲解如何从一次方程的解集中找出满足一次不等式的解。
3.3 解一次不等式的步骤：讲解解一次不等式的步骤，包括：1. 将不等式写成标准形式，即ax + b ≤c 或ax + b > c。
初中中考一轮复习----第五讲 一次方程(组)及其应用课件(共22张PPT)
x 2 y 2 k
含k的代数式分别表示x，y.
2 + 3 = 6
(1)
ቊ
+ 2 = 2 + (2)
（2）×2 得：
(3) - (2) 得：
.
2x+4y=4+2k
(3)
y=2k-2
把 y=2k-2 代入 （2）得：
x+2(2k-2)=2+k
x=-3k+6
连续递推，豁然开朗
无数
个解．任何一个二元一次方程都有___________个解．
3．二元一次方程组的解法
代入消元
加减消元
(1)常用方法：___________法，___________法．
x＝a，
(2)二元一次方程组的解应写成
的形式．
y＝b
4.解一元一次方程的一般步骤：
(1)去分母：将方程的两边同乘各分母的_____________，注意不要漏乘．
ቊ
=2
7
=−
5
11
=−
5
.
.
12.在等式y＝ax2＋bx＋c 中，当x＝1时，y＝0；当x＝2时，y＝4；
当x＝3时，y＝10.求a、b、c的值
a＋b＋ c＝0，
a ＝1，
解：由题意，得 4 a ＋2 b ＋c＝4， 解得 b＝1，
9 a ＋3 b ＋c＝10，
c＝－2.
思维拓展，更上一层
3
1 1 1
− )+ (
5 2 5
(
1
1 1
− )+⋯+ (
7
2 2 019
+
1
15
中考数学精品课件：一次方程(组)及其应用
2016中考
3．(2015·济南)若代数式 4x－5 与2x－ 2 1的值相等，则 x 的值是( B )
2x＋3y＝15.5 2x＋3y＝35 A.5x＋6y＝35 B.5x＋6y＝15.5
3x＋2y＝15.5 2x＋3y＝15.5 C.5x＋6y＝35 D.6x＋5y＝35
2016中考
7．(2015·广元)一副三角板按如图方式摆放，且∠1 比∠2
大 50°.若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( D )
2016中考
【点评】 (1)先将待定系数看成已知数，解这个方程组，再将求 得的含待定系数的解代入方程中，便转化成一个关于k的一元一 次方程；(2)几个方程(组)同解，可选择两个含已知系数的组成二 元一次方程组求得未知数的解，然后将方程组的解代入含待定系 数的另外的方程(或方程组)，解方程即可．
2016中考
2016中考
【点评】 (1)去括号可用分配律，注意符号，勿漏乘；含有多 重括号的，按去括号法则逐层去括号；(2)去分母，方程两边同 乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项(特别是常数 项)，若分子是多项式，则要把它看成一个整体加上括号；(3)解 方程后要代回去检验解是否正确；(4)当遇到方程中反复出现相 同的部分时，可以将这个相同部分看作一个整体来进行运算， 从而使运算简便．
x＝4 的解为y＝－170
2016中考
已知方程(组)解的特征，求待定系数
(整理)初中数学七年级上册《一次方程组的应用》复习课教案
北师大版初中数学七年级上册《一次方程（组）的应用》复习课教案一、教学目标：1、通过对多种实际问题的回顾、分析，感受方程组作为刻画现实世界有效模型的意义；2、通过探究一次方程组在实际情境中的应用，进一步渗透方程建模的思想； 3、4、通过审题、设未知数、找数量关系、列方程组的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，为后面的复习埋下伏笔，起到承前启后的作用。
重点：通过对多种实际问题的分析，复习巩固运用一次方程组的解决实际问题的基本思想和基本方法； 难点：能正确的找到实际问题中的等量关系。
二、教学和活动过程：（一）、教学准备阶段：1、本节课需要教师会进行多媒体课件操作，需提前制作。
2、要对学生分组进行，前后桌四人一组，设组长一人，负责整个工作的协调调度，在自主交流、讨论验证期间，能充分发挥其能力，引领大家愉快高效地完成各项任务。
3、教师在上节课布置作业时已将导学案提前印发给学生【设计意图】通过有计划、有针对性地设计导学案，引导学生课前回顾、总结所学过的知识；充分调动学生的学习积极性，调动他们的主动参与意识。
使学生在课前就投入到对本节内容的复习中来，为本节课的教学开辟道路，为提高课堂效率奠定良好的基础。
（二）整个教学过程叙述: 第一板块 ：要点回顾1、从学生原有的认知结构提出问题：结合导学案和前几节课的复习，回顾课本上关于“一次方程（组）的应用”涉及教材相应的内容。
2、引导学生回顾，总结归纳：利用一次方程解应用题的一般步骤是什么？ (结合学生的回答，教师用课件依次呈现，并进行要点强调 。
)【设计意图】通过知识要点的回顾，使学生首先在理论上对所学过的内容概括、归纳，形成知识串，使知识进一步系统化；通过方法要点的回顾，培养学生清楚地表达自己的观点，不断丰富他们解决问题的策略，激发学生学习数学的兴趣和热情。
第二板块：方法再现【典型例题1】（八上课本P229页改编） “雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”解决此问题，设鸡有x 只，兔有y 只，则所列方程组正确的是（ ） A ． x+y=35 B ．x+y=35x+2y=94 2x+4y=100 C. x+y=35 D. x+y=35 4x+2y=35 2x+2y=94【巩固练习1】（<升学指导>P23页改编）初三（2）班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“春节”期间的销售情况，如图是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市去年“春节”期间的销售额。
一次方程(组)及应用(教师版)
巨人教育学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：学员编号：年级：课时：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题一次方程（组）及其应用授课日期及时段年月日上课时间段：教学目标1、会解一元一次方程，能利用一元一次方程，解决实际问题，并检验根的合理性2、会解二元一次方程，能利用二元一次方程，解决实际问题，并检验根的合理性重点、难点一次方程的解法及实际应用教学内容一、疑难讲解二、知识点梳理1、一元一次方程及其应用考点1 等式的概念与等式的性质概念表示相等关系的式子，叫做等式性质性质一：等式两边加(或减)同一个数或同一个整式所得的结果仍相等．如果a＝b，那么a＋c＝b＋c性质二：等式两边都乘(或除以)同一个数(除数不为0)所得的结果仍是等式．如果a＝b，那么ac＝bc，ac＝bc(c≠0)性质其他性质：传递性、对称性考点2 方程、方程的解、解方程（1）含有未知数的等式叫做方程；（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；（3）求方程解的过程叫做解方程。
考点3 一元一次方程的定义及解法定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程一般式：ax＋b＝0(a≠0)解一元一次方程的步骤：（1）去分母:在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意别漏乘（2）去括号:注意括号前的系数与符号（3）移项:把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边，注意移项要改变符号（4）合并同类项:把方程化成ax＝b(a≠0)的形式（5）系数化为1:方程两边同除以x的系数，得x＝ba的形式2、二元一次方程及其应用考点1 二元一次方程的定义（1）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
（2）二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
（3）二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。
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专题04一次方程（组）及应用（共44道）一．选择题（共14小题）1．（2020•天津）方程组{2x +y =4，x −y =−1的解是（ ） A ．{x =1y =2B ．{x =−3y =−2C ．{x =2y =0D ．{x =3y =−1【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =4①x −y =−1②，①+②得：3x ＝3， 解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：y ＝2， 则方程组的解为{x =1y =2．故选：A ．2．（2020•嘉兴）用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4，①2x −y =1ㅤ②时，下列方法中无法消元的是（ ）A ．①×2﹣②B ．②×（﹣3）﹣①C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×3【分析】方程组利用加减消元法变形即可． 【解析】A 、①×2﹣②可以消元x ，不符合题意； B 、②×（﹣3）﹣①可以消元y ，不符合题意； C 、①×（﹣2）+②可以消元x ，不符合题意； D 、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D ．3．（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+5【分析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺， 依题意，得：12x ＝（x ﹣5）﹣5．故选：A ．4．（2020•重庆）解一元一次方程12（x +1）＝1−13x 时，去分母正确的是（ ）A ．3（x +1）＝1﹣2xB ．2（x +1）＝1﹣3xC ．2（x +1）＝6﹣3xD ．3（x +1）＝6﹣2x【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案． 【解析】方程两边都乘以6，得：3（x +1）＝6﹣2x ， 故选：D ．5．（2020•绥化）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ） A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10【分析】根据“准备了49座和37座两种客车共10辆，且466人刚好坐满”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x +y =1049x +37y =466．故选：A ．6．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x ．则列出方程正确的是（ ）A ．3×2x +5＝2xB ．3×20x +5＝10x ×2C ．3×20+x +5＝20xD ．3×（20+x ）+5＝10x +2【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解析】设“□”内数字为x ，根据题意可得： 3×（20+x ）+5＝10x +2．故选：D ．7．（2020•齐齐哈尔）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种【分析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，结合x ，y 均为正整数即可得出小明有4种购买方案． 【解析】设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30， ∴y ＝10−23x ． ∵x ，y 均为正整数，∴{x =3y =8，{x =6y =6，{x =9y =4，{x =12y =2， ∴小明有4种购买方案． 故选：B ．8．（2020•宁波）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1B ．{y =x +4.5y =2x −1C ．{y =x −4.50.5y =x +1D ．{y =x −4.5y =2x −1【分析】直接利用“绳长＝木条+4.5；12绳子＝木条﹣1”分别得出等式求出答案． 【解析】设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为： {y =x +4.50.5y =x −1． 故选：A ．9．（2020•随州）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =352x +4y =94B ．{x +y =354x +2y =94C ．{2x +y =35x +4y =94D ．{x +4y =352x +y =94【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．【解析】设鸡有x 只，兔有y 只， 根据题意，可列方程组为{x +y =352x +4y =94，故选：A ．10．（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ） A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】根据题意可得：{x +y =100x 3+3y =100，故选：C ．11．（2020•临沂）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x 人，y 辆车，可列方程组为（ ）A ．{x3=y +2x 2+9=y B ．{x3=y −2x−92=yC ．{x3=y +2x−92=yD ．{x3=y −2x 2−9=y 【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】依题意，得：{x3=y −2x−92=y ．故选：B ．12．（2020•黑龙江）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）A ．12种B ．15种C ．16种D ．14种【分析】有两个等量关系：购买A 种奖品钱数+购买B 种奖品钱数+购买C 种奖品钱数＝200；C 种奖品个数为1或2个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【解析】设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得10m +20n +30＝200， 整理得m +2n ＝17，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜17， ∴m ＝1，2，3，4，5，6，7，8； 当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得10m +20n +60＝200， 整理得m +2n ＝14，∵m 、n 都是正整数，0＜2m ＜14， ∴m ＝1，2，3，4，5，6； ∴有8+6＝14种购买方案． 故选：D ．13．（2020•黑龙江）学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，A 种每个15元，B 种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【分析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个，根据学校计划用200元钱购买A 、B 两种奖品，其中A 种每个15元，B 种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x ，y 为非负整数可求出解． 【解析】设购买了A 种奖品x 个，B 种奖品y 个， 根据题意得：15x +25y ＝200，化简整理得：3x +5y ＝40，得y ＝8−35x ， ∵x ，y 为非负整数， ∴{x =0y =8，{x =5y =5，{x =10y =2， ∴有3种购买方案：方案1：购买了A 种奖品0个，B 种奖品8个； 方案2：购买了A 种奖品5个，B 种奖品5个；方案3：购买了A 种奖品10个，B 种奖品2个． 故选：B ．14．（2020•绍兴）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地（ ） A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB ＝xkm ，AC ＝ykm ，根据题意得： {2x +2y =210×2x −y +x =210， 解得：{x =140y =70．∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ． 故选：B ．二．填空题（共19小题）15．（2020•衢州）一元一次方程2x +1＝3的解是x ＝ 1 ．【分析】将方程移项，然后再将系数化为1即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2x ＝2， 系数化为1得， x ＝1． 故答案为：1．16．（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ 4 ． 【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程3x ﹣8＝x ， 移项，得3x ﹣x ＝8， 合并同类项，得2x ＝8．解得x ＝4． 故答案为：4．17．（2020•天水）已知a +2b =103，3a +4b =163，则a +b 的值为 1 ． 【分析】用方程3a +4b =163减去a +2b =103，即可得出2a +2b ＝2，进而得出a +b ＝1． 【解析】a +2b =103①，3a +4b =163②， ②﹣①得2a +2b ＝2， 解得a +b ＝1． 故答案为：1．18．（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 {x +y =250x +10y =30．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解． 【解析】依题意，得：{x +y =250x +10y =30．故答案为：{x +y =250x +10y =30．19．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．原价： 200 元 暑假八折优惠，现价：160元【分析】设广告牌上的原价为x 元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设广告牌上的原价为x 元， 依题意，得：0.8x ＝160， 解得：x ＝200． 故答案为：200．20．（2020•牡丹江）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 8 折．【分析】设商店打x 折，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设商店打x 折，依题意，得：180×x10−120＝120×20%， 解得：x ＝8． 故答案为：8．21．（2020•成都）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，则可列方程组为 {5x +2y =102x +5y =8．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．【解析】设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，{5x +2y =102x +5y =8，故答案为：{5x +2y =102x +5y =8．22．（2020•南充）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．【分析】首先设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．【解析】设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，由题意得： 7x +5y ＝100， ∵x 与y 为整数， ∴x 的最大值为10， 故答案为：10．23．（2020•绍兴）若关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2，A =0的解为{x =1，y =1，则多项式A 可以是 答案不唯一，如x ﹣y （写出一个即可）．【分析】根据方程组的解的定义，为{x =1y =1应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕为{x =1y =1列一组算式，然后用x ，y 代换即可．【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组{x +y =2A =0的解为{x =1y =1，而1﹣1＝0，∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ． 故答案为：答案不唯一，如x ﹣y ．24．（2020•铜仁市）方程2x +10＝0的解是 x ＝﹣5 ． 【分析】方程移项，把x 系数化为1，即可求出解． 【解析】方程2x +10＝0， 移项得：2x ＝﹣10， 解得：x ＝﹣5． 故答案为：x ＝﹣5．25．（2020•南京）已知x 、y 满足方程组{x +3y =−1，2x +y =3，，则x +y 的值为 1 ．【分析】求出方程组的解，代入求解即可． 【解析】{x +3y =−1①2x +y =3②，①×2﹣②得：5y ＝﹣5， 解得：y ＝﹣1，①﹣②×3得：﹣5x ＝﹣10， 解得：x ＝2， 则x +y ＝2﹣1＝1， 故答案为1．26．（2020•北京）方程组{x −y =13x +y =7的解为 {x =2y =1 ．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则方程组的解为{x =2y =1．故答案为：{x =2y =1．27．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S 可用公式S ＝a +12b ﹣1（a 是多边形内的格点数，b 是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick ）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S ＝ 6 ．【分析】分别统计出多边形内部的格点数a 和边界上的格点数b ，再代入公式S ＝a +12b ﹣1，即可得出格点多边形的面积．【解析】∵a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， ∴a ＝4，b ＝6，∴该五边形的面积S ＝4+12×6﹣1＝6， 故答案为：6．28．（2020•泰安）方程组{x +y =16，5x +3y =72的解是 {x =12y =4 ．【分析】用代入法或加减法求解二元一次方程组即可． 【解析】{x +y =16①5x +3y =72②②﹣3×①，得2x ＝24， ∴x ＝12．把x ＝12代入①，得12+y ＝16， ∴y ＝4．∴原方程组的解为{x =12y =4．故答案为：{x =12y =4．29．（2020•衡阳）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有 23 名． 【分析】设女生有x 名，根据某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，可以列出相应的方程，解方程即可求解．【解析】设女生有x 名，则男生人数有（2x ﹣17）名，依题意有 2x ﹣17+x ＝52， 解得x ＝23． 故女生有23名．故答案为：23．30．（2020•重庆）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的720，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是 1：8 ．【分析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ，由题意列出方程组，可求a ，b 的值，即可求解．【解析】设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为3a ，5a ，2a ，设7月份总的增加营业额为5x ，摆摊增加的营业额为2x ，7月份总营业额20b ，摆摊7月份的营业额为7b ，堂食7月份的营业额为8b ，外卖7月份的营业额为5b ， 由题意可得：{7b −2a =2x 20b −10a =5x ，解得：{a =x6b =x 3，∴7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比＝（5b ﹣5a ）：20b ＝1：8， 故答案为：1：8．31．（2020•无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是 8 尺．【分析】可设绳长为x 尺，井深为y 尺，根据等量关系：①绳长的13−井深＝4尺；②绳长的14−井深＝1尺；列出方程组求解即可．【解析】设绳长是x 尺，井深是y 尺，依题意有{13x −y =414x −y =1， 解得{x =36y =8．故井深是8尺． 故答案为：8．32．（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次． 【分析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： {x +y =1015−1×10+5y =35， 整理得：{x +y =105y =30，解得：{x =4y =6．故答案为：4．33．（2020•绍兴）有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是 100或85 元． 【分析】可设所购商品的标价是x 元，根据小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，分①所购商品的标价小于90元；②所购商品的标价大于90元；列出方程即可求解． 【解析】设所购商品的标价是x 元，则 ①所购商品的标价小于90元， x ﹣20+x ＝150， 解得x ＝85；②所购商品的标价大于90元， x ﹣20+x ﹣30＝150， 解得x ＝100．故所购商品的标价是100或85元． 故答案为：100或85． 三．解答题（共11小题）34．（2020•台州）解方程组：{x −y =1，3x +y =7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可． 【解析】{x −y =1①3x +y =7②，①+②得：4x ＝8， 解得：x ＝2，把x ＝2代入①得：y ＝1， 则该方程组的解为{x =2y =1.35．（2020•连云港）解方程组{2x +4y =5，x =1−y ．【分析】把组中的方程②直接代入①，用代入法求解即可． 【解析】{2x +4y =5①x =1−y②把②代入①，得2（1﹣y ）+4y ＝5， 解得y =32．把y =32代入②，得x =−12． ∴原方程组的解为{x =−12y =32． 36．（2020•乐山）解二元一次方程组：{2x +y =2，8x +3y =9．【分析】方程组利用加减消元法与代入消元法求出解即可． 【解析】{2x +y =2①8x +3y =9②，法1：②﹣①×3，得 2x ＝3， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1， ∴原方程组的解为{x =32y =−1；法2：由②得：2x +3（2x +y ）＝9， 把①代入上式， 解得：x =32，把x =32代入①，得 y ＝﹣1，∴原方程组的解为{x =32y =−1． 37．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？【分析】设这些学生共有x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少2组，根据此列方程求解．【解析】设这些学生共有x 人， 根据题意得x6−x 8=2，解得x ＝48．答：这些学生共有48人．38．（2020•凉山州）解方程：x −x−22=1+2x−13． 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x ﹣3（x ﹣2）＝6+2（2x ﹣1）， 去括号，得：6x ﹣3x +6＝6+4x ﹣2， 移项，得：6x ﹣3x ﹣4x ＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x ＝﹣2， 系数化为1，得：x ＝2．39．（2020•安徽）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间 销售总额（元）线上销售额（元）线下销售额（元）2019年4月份 a x a ﹣x 2020年4月份1.1a1.43x1.04（a ﹣x ）（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额； （2）根据2020年4月份的销售总额＝线上销售额+线下销售额，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值（用含a 的代数式表示），再将其代入1.43x 1.1a中即可求出结论．【解析】（1）∵与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04（a ﹣x ）元． 故答案为：1.04（a ﹣x ）．（2）依题意，得：1.1a ＝1.43x +1.04（a ﹣x ）， 解得：x =213， ∴1.43x 1.1a=1.43⋅213a 1.1a=0.22a 1.1a=0.2．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2． 40．（2020•杭州）以下是圆圆解方程x+12−x−33=1的解答过程．解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1． 去括号，得3x +1﹣2x +3＝1． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 【解析】圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下：去分母，得：3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6． 去括号，得3x +3﹣2x +6＝6． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．41．（2020•江西）放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元． （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 【分析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，根据“小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）先求两人带的总钱数，再求出两人合在一起买文具所需费用，由二者的差大于2个小工艺品所需钱数，可找出：他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 【解析】（1）设笔记本的单价为x 元，单独购买一支笔芯的价格为y 元，依题意，得：{2x +3y =19x +7y =26，解得：{x =5y =3．答：笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）小贤和小艺带的总钱数为19+2+26＝47（元）．两人合在一起购买所需费用为5×（2+1）+（3﹣0.5）×10＝40（元）． ∵47﹣40＝7（元），3×2＝6（元），7＞6，∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品． 42．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x +y =7，x +2y =8，则x ﹣y ＝ ﹣1 ，x +y ＝ 5 ；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x 、y ，定义新运算：x *y ＝ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ﹣11 ．【分析】（1）利用①﹣②可得出x ﹣y 的值，利用13（①+②）可得出x +y 的值；（2）设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于m ，n ，p 的三元一次方程组，由2×①﹣②可得除m +n +p 的值，再乘5即可求出结论；（3）根据新运算的定义可得出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，由3×①﹣2×②可得出a +b +c 的值，即1*1的值．【解析】（1）{2x +y =7①x +2y =8②．由①﹣②可得：x ﹣y ＝﹣1， 由13（①+②）可得：x +y ＝5．故答案为：﹣1；5．（2）设铅笔的单价为m 元，橡皮的单价为n 元，日记本的单价为p 元， 依题意，得：{20m +3n +2p =32①39m +5n +3p =58②，由2×①﹣②可得m +n +p ＝6， ∴5m +5n +5p ＝5×6＝30．答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元． （3）依题意，得：{3a +5b +c =15①4a +7b +c =28②，由3×①﹣2×②可得：a +b +c ＝﹣11， 即1*1＝﹣11． 故答案为：﹣11．43．（2020•淮安）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆．现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？ 【分析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆，根据“停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解析】设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆， 依题意，得：{x +y =3015x +8y =324，解得：{x =12y =18．答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆．44．（2020•重庆）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A ，B 两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A ，B 两个品种各种植了10亩．收获后A ，B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg ，A ，B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）请求出A ，B 两个品种去年平均亩产量分别是多少？（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A ，B 种植亩数不变的情况下，预计A ，B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价不变．A ，B 两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加209a %．求a 的值．【分析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克；根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列方程即可得到结论．【解析】（1）设A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是x 千克和y 千克； 根据题意得，{y −x =10010×2.4(x +y)=21600，解得：{x =400y =500，答：A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a %）+2.4（1+a %）×500×10（1+2a %）＝21600（1+209a %）， 解得：a ＝10， 答：a 的值为10．。