实变函数复习题46336.docx
(完整版)实变函数试题库1及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设nE ⊂¡是可数集，则*m E 07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈¡，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是 ，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是 函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅I B ()\A B A =∅IC ()\A B B A =UD ()\B A A B =U2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ B ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰ D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ）A E 是不可数集B E 是闭集C E 中没有内点D 1mE =2．设nE ⊂¡是无限集，则（ ）A E 可以和自身的某个真子集对等B E a ≥（a 为自然数集的基数）C E '≠∅D *0mE >3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）A 函数()f x 在E 上可测B ()f x 在E 的可测子集上可测C ()f x 是有界的D ()f x 是简单函数的极限4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ）A ()f x 在[],a b 上可测B ()f x 在[],a b 上L 可积C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数四、判断题1. 可数个闭集的并是闭集. （ ）2. 可数个可测集的并是可测集. （ ）3. 相等的集合是对等的. （ ）4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合.2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系.3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？六、计算题1. 设()[]230,1\xx E f x xx E⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，其中E 为[]0,1中有理数集，求()[]0,1f x dx ⎰.2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈⎧⎪=⎨∈⎪⎩L L ，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.七、证明题1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE =3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()0nE n f x dx →∞=⎰实变函数试题库及参考答案（1） 本科一、填空题1.=2.≤3.闭集4.开集5.≤6.=7.可测集8.可测9.()()f x g x + 10.可积 二、单选题 ABB三、多选题ACD AB ABD ABC 四、判断题 × √√√ 五、定义题1.答：因为任何无限集均含有可数集，所以可数集是无限集中基数最小的，但无限集没有基数最大的，这是由于任何集合A ，A 的幂集2A 的基数大于A 的基数.2.答: 内点一定是聚点，边界点不一定是聚点，点集的边界点或为孤立点或为聚点.3.答：连续函数一定是可测函数；简单函数一定是可测函数；简单函数可表示成简单函数或连续函数的极限4.答：单调函数是有界变差函数，有界变差函数可表示成两个单调增函数之差.六、解答题1.解：因为0mE =，所以()3,.f x x a e =于[]0,1，于是()[][]30,10,1f x dx x dx =⎰⎰，而3x 在[]0,1上连续，从而黎曼可积，故由黎曼积分与勒贝格积分的关系，[]()41331000,11|44x x dx R x dx ===⎰⎰ 因此()[]0,114f x dx =⎰.2.解：显然()n f x 在[]0,1上可测，另外由()n f x 定义知，()0,.n f x a e =于[]0,1()1n ≥ 所以()[][]0,10,100nf x dx dx ==⎰⎰因此()[]0,1lim0nn f x dx →∞=⎰七、证明题 1.证明(\)()c A B B A B B =U I U ()()()c c A B A B B A B B B A B ===I U I U I U U U2.证明 设F 是[0,1]中的有理数集，则F 是可数集，从而*0m F =，因此F 是可测集，从而c F 可测，又[0,1]\[0,1]cE F F ==I ，故E 是可测集.由于E F =∅I ，所以1[0,1]()0m m E F mE mF mF ===+=+U ，故1mF =3.证明 设{}n r 为全体有理数所成之集，则()11[|()()][|()()][|()][|()]n n n n n E x f x g x E x f x r g x E x f x r E x g x r ∞∞==>=≥>=≥<I U U因为(),()f x g x 是E 上的可测函数，所以[|()]n E x f x r ≥，[|()]n E x g x r <是可测集，1,2,n =L ，于是由可测集性质知[|()()]E x f x g x >是可测集4.证明 因为()f x 在E 上可测，所以|()|f x 在E 上非负可测，由非负可测函数积分性质，[|()|][|()|]|()||()|E x f x a E x f x a Eadx f x dx f x dx ≥≥≤≤⎰⎰⎰而[|()|][|()|]E x f x a adx a mE x f x a ≥=⋅≥⎰，所以1[|()|]|()|E mE x f x a f x dx a≥≤⎰5.证明 因为lim 0n n mE →∞=，所以0,1N δ∀>∃≥，当n N ≥时，n mE δ<，又()f x 在E 上L -可积，所以由积分的绝对连续性，0,0,εδ∀>∃>当,e E me δ⊂<时|()|ef x dx ε<⎰于是当n N ≥时，n mE δ<，因此|()|nE f x dx ε<⎰，即lim ()0nE n f x dx →∞=⎰。
实变函数本科试题及答案
实变函数本科试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 实变函数论主要研究的是：A. 数学分析B. 复变函数C. 函数的实值性D. 函数的连续性答案：C2. 以下哪个命题是实变函数论中的基本定理？A. 中值定理B. 泰勒公式C. 勒贝格控制收敛定理D. 柯西-施瓦茨不等式答案：C3. 勒贝格积分与黎曼积分的主要区别在于：A. 定义方式B. 积分值C. 积分对象D. 积分方法答案：A4. 若函数f在区间[a,b]上连续，则以下哪个命题一定成立？A. f在[a,b]上可积B. f在[a,b]上可微C. f在[a,b]上单调D. f在[a,b]上一致连续答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f在区间[a,b]上处处有定义，则f在[a,b]上是______的。
答案：有界2. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的勒贝格积分值为______。
答案：1/33. 勒贝格积分的一个重要性质是______。
答案：可加性4. 若函数f在区间[a,b]上单调增加，则f在[a,b]上是______的。
答案：可积三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述实变函数论与复变函数论的主要区别。
答案：实变函数论主要研究实数域上的函数，关注的是函数的实值性质，如连续性、可积性等。
而复变函数论研究的是复数域上的函数，关注的是函数的解析性质，如解析延拓、复积分等。
2. 描述勒贝格积分的定义过程。
答案：勒贝格积分的定义过程首先将积分区间划分为若干子区间，然后选择每个子区间上的样本点，计算函数在这些样本点上的值与子区间长度的乘积之和，最后取这个和的极限，当这个极限存在时，就定义为函数的勒贝格积分。
3. 举例说明实变函数论在数学分析中的应用。
答案：实变函数论在数学分析中的应用非常广泛，例如在研究函数的极限性质、连续性、可微性和可积性等方面都有重要应用。
一个具体的例子是勒贝格控制收敛定理，它在处理函数序列的极限问题时非常有用，特别是在概率论和统计学中，勒贝格积分被用来定义随机变量的期望值。
实变函数复习题
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
实变函数复习题.docx
《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
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集。
0, 开集 G E,使 m* (G E)
，则 E 是可测
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3. （6 分）在 a, b 上的任一有界变差函数 f ( x) 都可以表示为 两个增函数之差。
5. （8 分）设 f ( x) 在 E a,b 上可积，则对任何 0 ，必存
b
在 E 上的连续函数 ( x) ，使 | f ( x) (x) | dx . a
E
四、解答题 （8 分× 2=16 分） .
1、（8分）设 f (x)
x2, x为无理数 ，则 f ( x) 在 0,1 上是否 R
1, x为有理数
可积，是否 L 可积，若可积，求出积分值。
五、证明题 （6 分× 4+10=34 分） . 1、（6 分）证明 0,1 上的全体无理数作成的集其势为 c
可测集；
二. 填空题 (3 分× 5=15 分)
1、设 An
11 [ , 2 ], n 1,2,
，则 lim An
_________。
nn
n
2、设 P 为 Cantor 集，则 P
o
，mP _____，P =________。
3、设 Si 是一列可测集，则 m i 1 Si ______ mSi i1 4、鲁津定理：
4.（8 分）设函数列 fn (x) ( n 1,2, ) 在有界集 E 上“基本上” 一致收敛于 f ( x) ，证明： fn (x) a.e.收敛于 f ( x) 。
2． x
E , 则存在 E中的互异点列
{
xn },
使 lim n
xn
x ……… .2
分
xn E, f ( xn ) a ………………… .3 分
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2页，共19页） 3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数 4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx 四、解答题（8分×2=16分）. 1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数 ，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。 2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn 五、证明题（6分×4+10=34分）. 1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c
6页，共19页） 又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的 可测函数……………………..10分 《实变函数》试卷二 一.单项选择题（3分×5=15分） 1．设,MN是两集合，则 ()MMN=（ ） (A) M (B) N (C) MN (D) 2. 下列说法不正确的是( ) (A) 0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点 (B) 0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点 (C) 存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言( )是正确的。 （A）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。 （A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集； （C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()fx是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积； (B) (),|()|,fxabRfxabR在可积在可积 (C) (),|()|,fxabLfxabR在可积在可积; (D) (),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积 二. 填空题(3分×5=15分) 1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。 2、设P为Cantor集，则 P ，mP_____，oP=________。 3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS 4、鲁津定理：__________________________________________ 5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果_________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。 三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分) 1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
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《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
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《实变函数试卷一一、单项选择题(3分X5=15分)1、下列各式正确的是( )_________ oo oo oo oo(A) limA = u n A ; (B) lim A = n u A ;n—H=1k=n，?一z?=l k=n00 00 00 00(C) limA" = n u ; (D) lim= A k ;打一＞oo z:=l k=n z?=l k=n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A) ~P= c (B) mP = 0 (C) P = P (D) P=P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设以(4是£上的E有限的可测函数列，则下而不成立的是( )(A)若又(x)=>/(x),则又(x) + /(x) (B)sup{/…Cr)}是可测函数(O inf{//%)}是可测函数；(D)若/T H又⑺=>/U)，则/(X)可测5、设f(X)是上有界变差函数，则卜*面不成立的是()(A) /(X)在［6Z，/7］上有界(B) /(X)在［6/，刎上儿乎处处存在导数c b(C) / (X)在上L 可积(D) J a f\x)cbc=f(b)-f(a)二.填空题(3分X 5=15分)1、(C s AuC v5)n(A-(A-B))= ________________2、设£是［0，1］上有理点全体，则E - ______ , E- ________ , E- _______ .3、设£是/?。
中点集，如果对任一点集r都,贝1J称£是£可测的4、/⑶可测的________ 条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设/(x)为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_____________________________________ ，则称/(x)为［6Z，/7］上的有界变差函数。
实变函数积分理论部分复习题(附答案版)
实变函数积分理论部分复习题（附答案版）2022级实变函数积分理论复习题一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例）1、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可积函数。
（某）2、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则f(某)可测函数。
（√）3、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则fn1n(某)是[0,1]上的Lebeguefn1n(某)是[0,1]上的Lebegue[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（某）4、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。
（某，比如fn(某)为单调递增时，由Levi定理，这样的子列一定不存在。
）5、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在fn(某)的一个子列fnk(某)，使得，[0,1]klimfnk(某)d某limk[0,1]fnk(某)d某。
（某，比如课本上法都引理取严格不等号的例子。
）6、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（√）7、设fn(某)是[0,1]上的一列非负可测函数，则[0,1]nlimfn(某)d某limn[0,1]fn(某)d某。
（某）8、设f(某)是[0,1]上的黎曼可积函数，则f(某)必为[0,1]上的可测函数。
（√，Lebegue积分与正常黎曼积分的关系）9、设f(某)是[0,)的上黎曼反常积分存在，则f(某)必为[0,)上的可测函数。
（√，注意到黎曼反常积分的定义的前提条件，对任意自然数n>0，f(某)在[0,n]上黎曼可积，从而f(某)是[0,n]上的可测函数，进而f(某)是[0,)n1[0,n]上的可测函数）10、设fn(某)是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，G([0,1],fn)表示fn(某)在[0,1]上的下方图形，f(某)=limfn(某)，则G([0,1],fn)单调递增，且nnlimG([0,1],fn)=UG([0,1],fn=1￥n)=G([0,1],f)，mG([0,1],f)=nlimmG([0,1],fn)。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分) 1、下列各式正确的就是( )(A)1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; (B)1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;(C)1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; (D)1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集,则下列各式不成立的就是( ) (A)=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的就是( )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集与闭集都就是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 就是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的就是( )(A)若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 就是可测函数(C){}inf ()n nf x 就是可测函数;(D)若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)就是],[b a 上有界变差函数,则下面不成立的就是( )(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数(C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二、 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 就是[]0,1上有理点全体,则'E =______,oE =______,E =______、 3、设E 就是n R 中点集,如果对任一点集T 都_________________________________,则称E 就是L 可测的4、)(x f 可测的________条件就是它可以表成一列简单函数的极限函数、(填“充分”,“必要”,“充要”)5、设()f x 为[],a b 上的有限函数,如果对于[],a b 的一切分划,使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
(完整版)实变函数期末复习
实变函数期末复习选择题1．设,...,],)(,[21121=-+=n nA nn 则 （ ） A.],[lim 10=∞→n n A B.],(lim 10=∞→n n A C.],(lim 30=∞→n n A D.),(lim 30=∞→n n A2.设N i i x i x A i ∈+≤≤=},:{23，则=∞=I 1i i A （ ） A.（-1,1） B.[0,1] C.∅ D.{0}3.集合E 的全体聚点所组成的集合称为E 的 （ ）A.开集B.边界C.导集D.闭包4.若}{n A 是一闭集列，则Y ∞=1n n A是 （ ）A.开集B.闭集C.既非开集又非闭集D.无法判断5若)(x f 可测，则它必是 （ ）A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限 6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 （ ）A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ ）A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E 是可测集，则下列结论中正确的是 （ ）A.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB.若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a.e 收敛于)(x fC.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fD.若)}({x f n 在E 上a.e 收敛于一个a.e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x f9设)(x f 是可测集E 上可积，则在E 上 （ ）A.）（x f +与)(x f - 只有一个可积B.）（x f +与)(x f - 皆可积C.）（x f +与)(x f - 一定不可积D.）（x f +与)(x f - 至少有一个可积 10.)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为 （ ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数11设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=10)()(dx x D L （ ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在 12设}{nE 是一列可测集，ΛΛ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有 （ ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1; （D ）以上都不对 13设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim( ) A 、Φ B 、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)14设)1,0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0, n1) C 、{0} D 、Φ、 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B =2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B =3、若c A =, c B =, 则=⋃B A4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A5、若c A =, n B =, 则=⋃B A6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m _______。
(完整版)实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案证明题：60分1、证明 1lim =n m n n m nA A ∞∞→∞==。
证明：设lim n n x A →∞∈，则N ∃，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞+=∈1n m mAx ∞=∞=⊂1n nm m A ,则可知n n A ∞→lim ∞=∞=⊂1n nm m A 。
设 ∞=∞=∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞=∈nm m A x ，所以n n A x lim ∞→∈。
因此，n n A lim ∞→= ∞=∞=1n nm m A 。
2、若n R E ⊂，对0>∀ε，存在开集G , 使得G E ⊂且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。
证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ⊃，使得()1*m G E n-<。
令 ∞==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n-≤-<， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。
由)(E G G E --=知E 可测。
证毕。
3、设在E 上()()n f x f x ⇒，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立， ,3,2,1=n , 则有{()}n f x a.e.收敛于)(x f 。
证明 因为()()n f x f x ⇒，则存在{}{}i n n f f ⊂，使()i n f x 在E 上a.e.收敛到()f x 。
设0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。
1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。
因此0()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑。
在1n n E E ∞=-上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。
因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。
实变函数复习题
一、计算或证明下面各题1、设n A 就是如下一点集: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+1212,012m A m ,，，...2,1,0=m ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=m A m 211,02,，，...2,1=m 试确定{}n A 的上极限与下极限。
2、证明:m n m n n A ∞=∞=∞→= 1lim 与m nm n n A ∞=∞=∞→= 1lim 。
3、证明:单调集列就是收敛的,若{}n A 增加,则n n n n A A ∞=∞→=1lim ;若{}n A 减少, 则n n n n A A ∞=∞→=1lim 。
4、设{}n A 就是一列集合,作11B A =,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ννB A B n n n 1 ,1>n 。
证明:{}n B 就是一 列互不相交的集,而且ννννA B ∞=∞==11 ,∞≤≤n 1。
5、设1F 、2F 就是1R 中两个互不相交的闭集。
证明:存在两个互不相交的开集1G 、2G ,使11F G ⊃、22F G ⊃。
6、证明:设1S 、2S 都可测,则21S S 也可则,并且当∅=j i S S 时,对于任意集合T 总有()[]()()2121S T m S T m S S T m ***+=。
7、证明:设{}i S 就是一列互不相交的可测集,则i i S ∞=1也就是可测集,且 ∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11i i i i mS S m 。
8、证明:设E 就是任一可测集,则一定存在δG 型集G ,使E G ⊃,且()0=-E G m 。
9、设n S S S ,...,,21,就是一些互不相交的可测集合,n i S E i i ,...,3,2,1,=⊂。
求证:()n n E m E m E m E E E m ****+++=......2121 。
10、设A,B P R ⊂且+∞<B m *,若A 就是可测集,证明:）（B A m B m mA B A m **)(*-+=。
实变函数(复习资料,带答案)
《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分X 5=15分)1、下列各式正确的是( )(A)limA n A k；(B) lim 代A；n nlkn n nlkn(C)limA n ik A k；( D) l imA n 人；n nikn n nikn2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( )(A)P c (B) mP 0 (C) P' P (D) P P3、下列说法不正确的是( )(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测4、设f n(x)是E上的ae•有限的可测函数列,则下面不成立的是()(A)若f n(x) f(x),则f n(x) f (x) (B)sup f n(x)是可测函数(C) inf f n(x)是可测函数；(D)若nnf n(x) f(x),则f(x)可测5、设f(x)是［a,b］上有界变差函数，则下面不成立的是( )(A) f(x)在［a,b］上有界(B) f(x)在［a,b］上几乎处处存在导数b (C) f'(x)在［a, b］上L 可积(D) f'(x)dx f(b) f(a)a二.填空题(3分X 5=15分)E f(x)1、 ___________________________________ (C s A C s B) (A (A B))2、设E是0,1上有理点全体，则' o—E = _____ , E = _____ , E = _____3、设E是R n中点集，如果对任一点集T都___________________________________ 则称E是L可测的4、f(x)可测的_________ 件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”，“必要”，“充要”)5、设f (x)为a,b上的有限函数，如果对于a, b的一切分划，使 _______________________________________ 则称f (x)为a,b上的有界变差函数。
实变函数复习题
邢台学院数学系《实变函数》复习手册前言本课程是数学专业的一门重要的基础课程，在数学教学中具有承上启下的作用。
通过本课程的学习，希望学生能够掌握集合之间的一些基本运算，点集的一些性质，测度、可测函数及L积分的定义及性质；熟悉并会运用积分序列的极限定理。
为以后学习其他课程打下良好的基础。
第一章集合本章讨论了集合的基本性质及运算，主要讨论了可数集及不可数集的性质及基数的定义。
为以后引入L积分打下了基础。
§1 集合的概念理解集合的性质、集合与元素的关系、集合与集合的关系。
§2 集合的运算深刻理解并集或合集、交集或积集、差集、余集、集合列的上下极限的定义，并且会求。
§3 对等与基数1、掌握有限集、无限集、一一映射、对等的定义；会建立常见集合间的对等关系；了解对等的性质。
2、了解基数概念，会比较两个集的基数大小。
§4 可数集合与自然数集合N对等的集合称为可数集合。
1、任何无限集包含一个可数子集。
2、若A是一个可数集合，B是一个有限集合，则是可数集合。
3、有限个或可数个可数集合的并集是可数集合。
4、有理数全体是一可数集，代数数全体是一可数集。
§5 不可数集合1、实数集全体R不是可数集。
其基数记为c，称与R对等的集合具有连续基数。
2、任何区间具有连续基数，可数个c集的并是c集，实数列全体的基数是c。
3、不存在基数最大的集合，也不存在最大基数。
练习题一、选择题：1、下列对象不能构成集合的是（）A、全体自然数B、0,1之间的实数全体C、上的实函数全体 D、全体大个子2、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、{全体小个子}D、3、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、D、{全体胖子}4、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体整数}C、D、{全体瘦子}5、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体小孩子}B、{全体整数}C、D、{全体实数}6、下列对象不能构成集合的是（）A、{全体实数}B、{全体大人}C、D、{全体整数}7、设，为全体实数，则（）A、B、C、D、8、设，，则（）A、B、C、D、9、设，，则（）A、B、C、D、10、设，，则（）A、B、C、D、11、设，，（）A、B、C、D、12、设，，（）A、B、C、D、13、设，则（）A、B、C、D、14、设，则（）A、B、C、D、15、设，则（）A、B、C、D、16、设，则（）A、B、C、D、17、设，则（）A、B、C、D、18、设，则（）A、B、C、D、19、设A、B、C是三个集合，则（）A、BB、AC、D、20、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、21、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、22、设A、B、S是三个集合，且，则（）A、B、C、D、23、设A、B、S是三个集合，（）A、B、C、D、24、设A、B、C是三个集合，则（）A、B、C、D、二、选择题1、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若，则2、设A为一集合，B是A的所有子集构成的集合，若A是一可数集，则3、若，则4、若，B是一可数集，则5、若，则6、若是一集合列，且，7、若是任意集族，其中I是指标集，则8、若是任意集族，其中I是指标集，则9、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则10、若是任意集族，其中I是指标集，S是一集合，则11、若是任意一个集合列，则12、若是任意一个集合列，则三、判断题（）1、。
实变函数总复习题.docx
实变函数总复习题.docx总复习题1.证明:limE n =[x:{n:xe E n } infinite}, lim￡.T = {x: {n :x E n } finite}. (P. 3)______ CO 00Proof. Let x e limE, TU E then for any n there exists a k >n such that x E E k , n=l k=nthus {n:x E E fl } cannot be finite, conversely, if {n:x E E n } is infinite then for any nco oc cothere exists a k >n such that x e E k , thus x e[^E k and x e Q [J , showing the k=n n=l k=n00 CO 00first formula. Again let x e limE.t = [J Q then there exists a n such that x e Q ,n=l k=n k=nthus for any k>n,xeE k , thereby {n : x "G E n } is finite, conversely ifE n } is finite, then let m = 1 + max{n : x "e }, for any k>m.00 00 00 k > max{/i: x "e }, so xe E k ,xe PIE and 兀 wUPl?，k=m ?i=l k=nshowing the second formula.2-证明：力吨=皿￡,,，力砥二丽检?(R11)Proof. ^Iini￡ (x) = 1 o x w limE 打 o {〃：兀 W E n } is finite limz f (x) = 1.(x) = 1 <=> x e limE <=> {n : x G E } is infinite limE w 3. 证明Cantor 集是可测的，并且其测度为0.Proof. By the construction of Cantor^ set C, first step take away one open interval/( | of length —, second step take away two open intervals /2I and /22 of length 丄， 3 39 1 third step take away 2^ open intervals and /322 of length —,, n -th steptake away 2n_l open intervals I ni J ll2，? -?，/ of length 丄,we see C = [0,1] 一jn-lU U I nj is measurable and"J=100 r 1 1 00 Q 1 1“(c )= l -工刍= = 1 = 0?w=l 3 0 心 0j _ _lim^￡ (x) = 1.(P. 66)4.(1)设G是R中的开集，E是零测集.证明：G = G-E一 1 2 1(提不：Let x n T x, then since “((/(x”，一)) = —, there exists a y n e U(x z?,—)n n nsuch that 儿g E, thus I y n一x n l< — and y n—> x) ?n ?(2)写出Caratheodory 条件.(“ * (A) = “ * (A c E) + “ * (A -E))(3)Let “ * be an outer measure generated by the measure “ of ring R spanned by the left closed and right open inte rvals on straight line R ? Show for any A u R and /? w R, “ * (A + /?) = “ * (A).(4)设“是直线上的Lebusgue测度，证明对任意厶可测集E, /? G R,有“(￡ + /?) = //(￡). (P. 67)(1)Proof Obviously, G - E u G ? Let x eG then there exists a {x n} u G making1 2 1lim x n = x.Since “(t/, —)) = — ^ 0,U(x n,—)(Z E and for any n there exists a28 n n ny n G(/(%…,-) and 儿E. Thus eG-E,\x n-y n l<- and x ft--<="" p="">Since lim(x zi ±—) = lim = x 9 lim = x and xeG-E, showing G =G-E./?—>oc jq“TOO>00n(3) Proof. Firstly we know R =心["勺)} the set of the disjoint union of finite left/=inclosed and right open intervals. Let E = U[e，Q)theni=\“(E + /2)= “([ja +h,h i +/?)) = ￡[$ + /? - (a i +/?)] = ￡($_%) = “(E)?/=1 r=l /=1Obviously, //(/?) = P(R). Let a + h e A + h where a e A then there exists a nksuch that a e E n = \<)[a i,b i), thus a G [a^b^ for some i,a + h e [a. +h,b. + /?),a + h e E n + /?/=!and d + *U(& + /?), showing A + /z u [J (E“ + h). For any A u R , “* (A)=infe |JE/;,e R}, since +〃)= “*(E“),“*(A + /?) S “*(A), thereby“ * (A) = “ * (A + /? + (-/:)) S “ * (A + h), showing “ * (A + /?) = “* (A).(4) Proof. Obviously, for a e A and /? e B, tz + /?=/? + /? G (A + /?) n (B + /?) <=>a =b e A B <^> a + h = b + h e (A B) + h, a + h e A + h - (B + h) a e A,a ~e B <=>a + h e (A- B) + h. Since for any A e H(R) =P(R),“*(A) = “*(A —力)=“* ((A-h) c E) + //*((A-/?)-E) = “* ((A - h + /?) n (￡ 4- h)) + // * (A - /i + A - (￡ 4- /?))=“ * (A c (E + /?)) + “ * (4 一(E + /i)). So E + h is L-measurable and “(E + /?) = “ * (E + /?)= “*(E) = “(E)?5.设人仁-Jg,证明f = g (a.e). (P. 82)Proof. We might assume as well f n— f in X - H and /“ T g in X - Kwhere “(H) = “(K) = 0? In X -(H 匕K) we have f = g .Since “(HuK)5“(H) + “(K) = 0, “(HuK) = 0 and f = g a.e.1, 0< x<="" x="">6.设f n (x) = < -1, 0< x<="" is="" p="" x="">0, x > n.讨论：(1)九是否儿乎处处收敛？(2)九是一致收敛？(3)九是否依测度收敛？(P?82)*1, if x is rational,Solution. (1) Let /(%) = < -l,if x irrational, then in [0,+oo], lim f tl (x) = f(x)."TOO0, if x = +oo,(2) If f n (x) is uniformly convergent to g(x) then naturally it^salso convergent tog(x) and so /(x) = g(x) by (1). For ￡ =— and any n, let x be a rational numbergreater than n then I f n (x) 一 f (x) 1= I /(x) 1=1, a contradiction. So f n (x) is not uniformly convergent in [0,+oo] ?(3) If f n— g then there exists a sequence {/^ : k e N} making九 a.ea.c(4)Since 九T 仁g = f and 九ae > f . But for any> 0, E(\f tlk -f\>a) = {x:x>n k} =(心,oo) T 0,“(E(l f Hk - / l> o-)) = oo , “(E(l 九- g A er)) = “(E(l 九- / I")) = oo,contrary to f n—g .7.设/在(0,oo)上厶可积并且一致连续，证明lim/(x) = 0.(P. 103)X—>00Proof. Since f is L-measurable on (0,oo), also is I f?if lim/O)"，x—>00 then there exists a > 0 such that for any n there exists a x” > nJ f(x n) l> ^0.Selecting x“ we might assume x ll+l > x n + \. Let 8 then there exists a 5,*>5>0such that as long so \x-x n k d> J /(x)一f(x n) \< ￡.Then -s<\f(x)\-\ f(x n) l< ￡?, I /(x) l>l f(x fl) I -^ > y and > (+oo).^-2^ =+oo, a contradiction.&设.f在E上可积.对任意E上的有界函数g,有］ygd// = O,1, if/(x)>0, then g is bounded and [l/(x)lt//z-1,讦/(x) <0 比[fgdy = 0. It follows that I / 1= 0 a.eand f =0 a.e.9.设几g在E上可测,g e < g(a.e)，问f是否一定可积? (P. 103).Answe匚Maybe not. For example, for f = _1 S 0 = g , g is obviously integrable on (-oo,0)but f is not measurable on (-oo,0). Also let /(x) = —e (-1,0) then /(x) < 0, xobviously, |0 = | Odx = 0 but4-1,0)丄 1证明/ =0 (a.e)(提示：Define g(x)=1, if f(x)>0 fg=\f\\(P. 103) -l,if/(x)<0 76Proof. Let g证明：(1) /(x,y)的两个累次积分存在且相等.(2) /(兀,y)在E 上不是Lebusgue 可积.Proof. Since f x and f y are both continuous, they are Riemann integrable andnaturally Lebesgue integrable. Since their integrand are both odd, their value can only But /(x, y) is not Lebesgue integrable in E, if not, by integrability of f in E, we see f also be integrable in [0,1] x [0,1], therefore there would exists the integral ff —f dx f —r of second order. But it's invalid, since for JJ ()」]x[O ?l](兀2 + y2)2 J) J)(兀2 *『2)2 n f x )Qy - x f _ x f+F du x"H '」)(/+).，2)2 2 (x 2 + y 2)2 2 兰(丄_亠)=—「and for Q 沦1, f 〉丄f 亠〒2 F 1 +兀2 2x(1 + /) J) 2x(1+ x 2) 4 ￡??(] +兀2) L 严宀w n = In -In 丄二一ln 〃T-oo for "―>oo.1 n~ n 10.设Ifn G N\u U, .f 是可积函数，证明:若』九-Proof. For any cr > 0, let //(E(l f n - f \>. Since lim fl f n -/ Id// = 0,lim ox n = 0 and limx n = — \imox n = —0 = 0. “->8 J w —>oo nfg (y /i —>oc 川一＞8 n-?oc 11?设￡ = [-l,l]x[-14；/,y 都取为 Lebusgue 测度，作f(^y) = ](x 2 + y 2)0, x = y = 0.equal to zero, thereby two successive integrations f dy f xydx1 +兀2x 2u 2 2u—(In ------ 一 In ---- ) = —In ------- ——> +oo if m T oo, which is not Lebesgue 4 1 + AT 1 + W 4 1 + zr integrable in IO,1J.12. 设“(X) voo,/证明：liml/ll = f .(P. 113) p->8 卩丄Proof. Let M =11 / ll x ,, since II f(x) ll /?< M(//(x))p , if lim||/||^ ||/||^ then there existsthe limit lim II f(x) II < M where lim p n = +oo. Then there exists an ￡ > 0 and Nn-?oo P" such that M - e >\\ f(x) \\f) for n>N. For “(x) = 0 JI / 11^= 0 =11 f \\p and the ￡conclusion is obvious. For “(x) > 0 Jet E = {x:\ /(x) l> M ——}2_i_ then for //(￡) -6* >11 /(x) II /; > (M - —)(//(￡)) Pm - s> M and —>s. 2 2 2ga contradiction, so “(E) = 0 and M =11 f ll x < M - —, a contradiction, completing the verification.13. Let “(G) = 1 J and g are nonnegative measurable and fg >1.ShowProof. l = (Jd//)2 <(J7^d Z z )2 5(J (77)2d“)J (7T )2d“ = (]/d“)Jgd“?14. Let {f n :neN}^L\feL !\\\f n -f\\p ^O and 九 t g (a.e). Showf =g (a.e).丄Proof. By Fatou's theorem, II g-f\\p =\\ hm f n -f\\p =\\ lim(/n-/) II 厂(Jl lim(/“ -/) I")"=1111(JlimlA-/r )^ =(JlimlA-/l /?)/，<(limJlA-/l^)/? = lim(fl/… - / r = lim II A-/H p = lim II f n - f ll z , = 0, showing \\ g - f 11/?=0 and g = f a.e.15. Let f be integrable in E and E n = E(f > n). Show lim /d(E n ) = 0. ? “(E) showing i E 册;=扌EG -n 1 m 2 l+T m Proof. Since n 2。
实变函数期末复习资料试卷
）
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∞ （C） m⎛ ∩ En ⎞ ⎜n ⎟ < lim mEn ;（D）以上都不对 ⎝ =1 ⎠ n → ∞
5、设 f(x)是 [ a, b] 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ (A) f (x) 在 [ a, b] 上的一致连续函数 （C） f ( x ) 在 [ a, b] 上 L 可积 得 分 二. 填空题(3 分×5=15 分) 1、设集合 N ⊂ M ，则 M − ( M − N) = 2、设 P 为 Cantor 集，则 P = 3 、 设 E 是 _________
∞ ⎞ ______ ∞ mS 3、设 {Si } 是一列可测集，则 m ⎛ ∪ S ⎜ i =1 i ⎟ ∑ i ⎝ ⎠ i =1
o
4、 ______________________________________________________ 鲁津定理： _______________________________________________________________ 5、 设 F ( x) 为 [ a , b ] 上的有限函数， 如果_________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________则称 F ( x) 为 [ a , b ] 上的绝对连续函数。
考 生
安庆师范学院
第
实变函数复习题
实变函数复习题2013-2014-2实变函数复习题一、选择题1、()()\\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（）A 、AB ? B 、B A ?C 、A C ?D 、C A ? 2、设M 是任意一个集合，N 是M 的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是( )A 、M <n< p="">B 、M =NC 、M >ND 、不能判定3、设{F n }是一列闭集，1n n F F ∞==,则F 一定是( )A 、开集B 、闭集C 、开集，也是闭集D 、不能确定4、关于Cantor 集P ，下述哪个说法不．成立？（） A 、 P 无内点B 、P 的测度为0C 、 P 由可数个闭区间组成D 、P 是完备集5．设P 是Cantor 集，则（） A ．P 与R n对等，且P 的测度为0 B ．P 与R n对等，且P 的测度为1 C ．P 与R n 不对等，且P 的测度为0 D ．P 与R n 不对等，P 的测度为16.关于Cantor 集P ，下述哪个说法不成立？（）A.P 无内点B.P 中的点都为孤立点C.P 中的点都为聚点D.P 是闭集 7．有限个可数集的并集是（）A.有限集B.可数集C.不可数集D.无法确定 8. 任意个闭集的交集是( )A. 开集B.C. 既是开集，又是闭集D. 既不是开集，也不是闭集9、设E 是闭区间[0,1]中的无理点集，则（）A 、1mE =B 、0mE =C 、E 是不可测集D 、E 是闭集10．设Q 是R 中有理数的全体，则在R 中Q 的闭包Q 是( ) A.Q B.φ C.RD.R ＼Q11、设E 是R 中无理数全体，则mE （）A.0B.1C.＋∞D.-∞12、设f(x)在E 上可测，则[;()]E x f x =-∞是( )A. 可测集B. 不可测集C. 空集D. 无法判定 13、设()f x 与()g x 在E 上可测，则[;()()]E x f x g x >是( )。
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2013-2014-2实变函数复习题
一、选择题
1、 （A\B ）\C = A\（B\C ）成立的充分必要条件是（）
A 、A u
B
C 、AuC
D 、CuA
2、 设必是任意一个集合，艸是〃的所有了集构成的集合，贝U 它们的基数之间的关系是（） A 、万<万
B 、M=N C. M>7V
D 、不能判定
00
3、设｛用是一列闭集，F 代，则尸一定是（）
n=l
A 、开集
B 、闭集
C 、开集，也是闭集
D 、不能确定
4、关于Cantor 集P,下述哪个说法不成立？（
）
■ 6.
关于Cantor 集只 下述哪个说法不成立？（
）
A 、 P 无内点
C 、 P 由可数个闭区间组成 5.
设P 是Cantor 集，则（
）
A. P 与R"对等,且P 的测度为0 B 、P 的测度为0 D 、 P 是完备集
B ・P 与R"对等,且P 的测度为1
D ・P 与R 11不对等，P 的测度为A. P 无内点
C. P 中的点都为聚点
7. 冇限个可数集的并集是（ A.有限集 B.可数集 8. 任意个闭集的交集是（） A.开集
C.既是开集，乂是闭集 中的点都为孤立点
D. "是闭集
C.不可数集
D.无法确定
B. 闭集
D.既不是开集，也不是闭集
9、设E 是闭区间［0,1］中的无理点集，贝IJ （）
mE = \ B 、mE = 0 C 、E 是不可测集
10、 设0是斤中有理数的全体，则在斤中"的闭包0是（） A. Q
B.（|）
C. R
D. R\ Q
11、
设E 是R 中无理数全体，则mE （ ）
A. 0
B. 1 C ・+8 D.-8
D 、
E 是闭集
A.可测集
B.不「ij测集
C.空集
D.无法判定
13、设/(兀)与g(x)在E 上可测,则E[x;f(x)>g(x)]是( )。
14、设mE < 4-00 , ｛九（兀）｝是E 上儿乎处处有限的可测函数列，/（兀）是E 上儿乎处处有 限的可测函数,贝IJ ｛/,（%）｝几乎处处收敛于/⑴是｛/,（%）｝依测度收敛于/⑴的（） 人、必要条件 B 、充分条件 C 、充分必要条件 Q 、无关条件
15、
设｛./；,（%）｝ ｝是一列可测函数，贝'Jinf f n （x ）是（
）
n
A.可测函数
B.不可测函数
C.连续函数
D.可导函数
16. 设/（兀）在E 上有定义，D 与Q'是E 的两个分划，ZT 是D 的加细，％与％,分别表 示/（x ）在E 上关于D 与ZT 的小和数，则有（） A. s D < s D .
B. s D = s D . C ・ s D > s D .
D.不能确定
17、 设/（x ）是E 上的可测函数，则（） A 、/（兀）是E 上的连续函数 B 、/（x ）是E 上的勒贝格可积函数 C 、/（对是E 上的简单函数
D 、/（兀）可表示为一列简单函数的极限
18、 设于（兀）在闭集EuR”上/?可积，后（龙则有（） A 、B 、I\=h
C 、lx>h
D 、不能比较
00
19、 设&© = 1,2,3…）是一列递增集合，F = limA /t , G = \jA n ，则F 与G 的外测度满足
n=l
（）
A. mF < m G
B. mF = mG
C. in F > mG
D.不能比较 二、填空题
1、设集列｛A n ｝；=i 满足 A n =）A,l+1（n = 1,2,…）,则 lim A n = .
W->00
2.
设 G tt — (1—,1 —), /? = 1,2,3,…, n n
3、设E u R", x 0 e R n
,如果观的任何邻域中都含有E 的 _________ 点，则称兀。
是£的聚点。
4、设E u R“，若E 是有界 _____ 点集，则E 至少有一个聚点。
5.设F n =[-y l--]f M = 3,4,…,
n n
oo
则“G“
n=l
00
则u 化二—
n=3
7.设疋是［0, 1］中无理数全体，则mE= ___________ .
co co
&设4M=i,2,3,…)是一列集合，则nu 九=
____________ •
H =1 m=n
9、 设 S n — (n, oo) (n = 1,2,3, • • •)» 则 Hm mS n - _____ .
10、 ____________________________________________________________________ 设/(切是［0, 1］ ±的单调两数，E 是/(兀)的连续点全体，则加£二 ____________________ 11、 __________________________________________________________ 设/(兀)是E 上的可测函数，加1 = 0,则/(兀)是EUA±的 ____________________________ 函数。
00
「 1 ' 12、 ____________________________________________________ 设/⑴在 E 上可测，\/awR, UE %;/(%)> a+ — = _________________________________ .
心 ’ n
13. 函数/(x)在E 上儿乎处处冇界是指—除掉一个测度为零的了集以处在E 上处处冇界 14、 设在E 上，｛九(兀)｝依测度收敛于/⑴，则存在｛九(兀)｝的子列｛九(兀)｝，使
得在E
上，｛.九⑴｝ ----- 于/⑴。
15•设/(x)在E u R"上Lebesgue 可积,f +
(x), f~(x)分别表示/(兀)的正部与负部,且 人=jf +
(x)dx,/2 =[厂⑴d 兀,则 jf(x)dx = E E E
16.设f +
(x)与广(x)分别是/(兀)的正部与负部，贝IJ /(%)用r(x)与广(兀)表示为
co
19、设/(x)是可测集E 上可积函数，E = |Jd (E 小，记A = \f(x)dx ,
7=1
E
00
/2=X J f(x)dx ，贝陀们的大小关系是 ________ •
»=1
E, 三、解答题
1、 设A 是一无穷集合，证明必有A*uA,使A*〜A 且可数.
2、 设/⑴是丘上的实值连续两数，°是任意给定的实数，证明G = ［x\f(x)>a ｝ 是闭集。
17、 18、 设于(兀)在E±
Lebesgue 可积，则对任意可测子集AuE, Jim j/(x)dx=— A Jim. [ f n (x)d x. n —>oo
施
设｛九⑴｝是E 上的非负可测函数列,则［lim/…(x)dx
•fc n—>00
3、证明：只要E可测，£〉0,就有开集G = E，闭集FuE,使加(G — E)vw,
m{E-F) < £ •
4、设在可测集E 上,f n(x)=>f(x),且f n(x)<f n+l(x)a.e于E(〃= l,2, ............................. ),
试证明：lim f n (x) = f(x)a.e.于 E ・
n-»oo ' ，' ，
5、设.f⑴在E上可积，E cz E , /? = 1,2,3,…是E的一串收敛的可测子集，证明lim f f(x)dx
= f lim/(x)Jx
n->co JE n JE n—a
6、证明lim f— dx = O。
”TO) JO ] +〃「兀-。