运筹学04-对偶问题

≥
王老板的资源出租模型： y1、 y2单位木、漆工出租价格。 W是资源出租租金总收入。 min W =120y1 + 50y2 s.t. 4y1+2y2 ≥ 50 3y1+ y2 ≥ 30 y1 ， y2
≥
0
0
原始线性规划问题，记为（P）
对偶线性规划问题，记为（D）
两个原则
1. 所得不得低于生产的获利 2. 要使对方能够接受
若 X 和 Y 分别为 P 和 D 的可行解，则 X、Y 为最优解的
对偶问题 Min W Yb YA Ys c s .t Y ,Ys 0 YA Ys C Ys YA C
YAX YX s Yb
YAX Ys X CX
YX s Ys X 0
第四章 线性规划的对偶理论
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
2014-2-8
对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶问题的解 影子价格 对偶单纯形法
1
4.1 对偶问题
(1) 对偶问题的提出
对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？
10
解：由原问题的结构可知为对称型对偶问题
Min s .t
2014-2-8
例3：求线性规划问 题的对偶规划
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。
s .t
s .t
为其对偶问题，其中yi (i=1,2,…,m) 称为对偶变量。 上述对偶问题称为对称型对偶问题。 原问题简记为(P)，对偶问题简记为(D)
2014-2-8 8
原始问题 Max Z=CX s.t. AX≤b X ≥0
Max C
对偶问题 Min W=Yb s.t. YAT≥C Y ≥0
C 0 C B B
C B B 1 0
A
I C C B B 1 A C B B 1 0 C B B 1 0 令 Y C B B 1 0 C Y A 0 YA C


C C B B 1 A 0
所以Y*是对偶问题的可行解， 1 W Y b C B b B 对偶问题的目标函数值为 X*是原问题的最优解，原 问题的目标函数值为
则上式化为
令
y1 y1 y1
Min s .t
Z 7 y1 9 y 2 3 y1 4 y 2 5 2 y1 y 2 6 y 无限制, y 0 2 1
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
2014-2-8
19
定理5 互补松弛定理
Y b AX 0 充分必要条件是 同时成立。 YA C X 0
证: (必要性） 原问题 Max Z CX AX X s b s .t X , Xs 0 AX X s b X s b AX
2014-2-8
4
王老板按（D）的解 y1 、y2出租其拥有的木、漆工资源， 既保证了自己不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生 产时的销售收入），又使得出租价格对李老板有极大的吸引 力（李老板所付出的总租金W最少）。
按时下最流行的一个词，叫什么来着————
2014-2-8
5
例1
目标函数
Max Z= 40x1 +50x2 x1 + 2x2 30
Min s .t
Z CX 对偶的定义 - AX -b X 0
Max s .t
W Yb - YA C Y 0
2014-2-8
15
定理2 弱对偶定理 ˆ 和Y ˆ 分别为原问题 P 及其对偶问题 D 的任意可行解， 若X 则有 ˆ Y ˆb CX 成立。
价格嘛…… 好商量， 好商量。只 是…... 王 老 板
2014-2-8
Hi：王老板，听 说近来家具生意 好惨了，也帮帮 兄弟我哦! 李 老 板
3
王老板的家具生产模型： x1 、 x2是桌、椅生产量。 Z是家具销售总收入（总利润）。 max Z = 50x1 + 30x2 s.t. 4x1+3x2 ≤ 120（木工） 2x1+ x2 ≤ 50 （油漆工） x1， x2
Min
bT
AT m ≥ CT
m
A n
≤ b
n
2014-2-8
9
例2：求线性规划问 题的对偶规划
Max s .t
z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0 w 7 y1 9 y 2 3 y1 4 y 2 5 2 y1 y 2 6 y1 , y 2 0
12
2014-2-8
上式已为对称型对偶问题，故可写出它的对偶规划
Min s .t
7 y1 9 y 2 Z 7 y1 3 y1 4 y 2 5 3 y1 2 y1 y 2 6 2 y1 , y1 , y 2 0 y1
2014-2-8 17
(2) 当X*为原问题的一个最优解，B为相应的最优基,通 过引入松弛变量Xs,将问题(P)转化为标准型
Max s .t
Z CX 0 X s AX IX s b X ,Xs 0
1
令
* X * ˆ X X s
16
定理4(主对偶定理) 若一对对偶问题(P)和(D)都有可行解，则它们都 有最优解，且目标函数的最优值必相等。
证明： (1) 当X*和Y*为原问题和对偶问题的一个可行解 有
AX b YAX Yb
YA C
YAX CX
对偶问题目标函数值
原问题目标函数值
CX YAX Yb
所以原问题的目标函数值有上界，即可找到有限 最优解；对偶问题有下界，也存在有限最优解。
无限制
约束
＝
对偶问题变量类型
的对应关系
约束
＝
0 变量 0
无限制
2014-2-8
14
4.2 对偶问题的基本性质
定理1 对偶问题D 的对偶就是原问题P 。
Max s .t Z CX AX b X 0
对偶的定义
Min W Yb YA C s .t Y 0
2014-2-8 6
通过使用所有资源对外加工所获得的收益
W = 30y1 + 60 y2 + 24y3
根据原则2 ，对方能够接受的价格显然是越低越好，因此 此问题可归结为以下数学模型：
目标函数 Min W = 30y1 + 60 y2 + 24y3 y1 + 3y2 约束条件 s.t y1 , y 2 , y3 0 原线性规划问题称为原问题，此问题为对偶问题， y1 , y2 , y3为对偶变量，也称为影子价格
则称下列线性规划问题
Min W b1 y1 b2 y 2 bm ym a11 y1 a 21 y 2 a m 1 ym c1 a12 y1 a 22 y 2 a m 2 ym c 2 a y a y a y c 2n 2 mn m n 1n 1 yi 0 i 1 ,2 , , m
2014-2-8
11
例4：求线性规划问 题的对偶规划
Max s .t
Z 5 x1 6 x 2 3 x1 2 x 2 7 4 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
解：由原问题的结构可知不是对称型对偶问题， 可先化为对称型，再求其对偶规划。
Max
s .t

2014-2-8
2
引例——俩家具制造商间的对话：
家具生意还真赚钱， 但是现在的手机生 意这么好，不如干 脆把我的木工和油 漆工租给他，又能 收租金又可做生意。 唉!我想租您的木工和 油漆工一用。咋样？价 格嘛……好说，肯定不 会让您兄弟吃亏。 王老板做家 具赚了大钱， 可惜我老李 有高科技产 品，却苦于 没有足够的 木工和油漆 工咋办？只 有租咯。
2014-2-8 7
40
2y1 + 2 y2 + 2y3 50
(2) 对偶问题的形式
定义 设原线性规划问题为
Max Z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a11 x1 a12 x 2 a1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x j 0 j 1 ,2 , , n
推论1：若原问题 P 和对偶问题 D 都有可行解，则必都有 最优解。 推论2：若原问题 P 有可行解，但无有限最 优解，则对偶 问题 D 无可行解。
定理3
P 及其对偶问题 D 的一对可行解， 若 X * 和 Y * 分别为原问题
且有
2014-2-8
CX * Y * b
成立，则 X * 和 Y * 为 P 及 D 的最优解。
y1
y2 y3
约束条件
s.t
3x1 + 2x2 60