椭圆中焦点三角形的拓展结论
椭圆焦点三角形(解析版)
微专题：椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论. 二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF ∆中， （1）. c F F a PF PF 2||,2||||2121==+. （2）. 焦点三角形的周长为.22c a L +=①已知F 1，F 2是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，△ABF 2的周长是________．②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，△F AB的周长的最大值是a 4如图所示，设椭圆右焦点为F 1，AB 与x 轴交于点H ，则|AF |＝2a －|AF 1|，△ABF 的周长为2|AF |＋2|AH |＝2(2a －|AF 1|＋|AH |)，∵△AF 1H 为直角三角形，∴|AF 1|＞|AH |，当且仅当|AF 1|＝|AH |，即F 1与H 重合时，△AFB 的周长最大，即最大周长为2(|AF |＋|AF 1|)＝4a ，（3）.21221cos 12||||PF F b PF PF ∠+=. （4）. 焦点三角形的面积为：2tan sin ||||212122121PF F b PF F PF PF S ∠=∠=. ①设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）. 假设焦点21F PF ∆的内切圆半径为r ，则r c a S )(+=.（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF +=，02||ex a PF -=，推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ++=，由于)0(,1220220>>=+b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF -++=，整理化简即可得01||ex a PF +=. 同理可证得02||ex a PF -=.①[]22222,a b x e a ∈-=②焦半径的取值范围：ca PF c a +≤≤-1.③ 特别地：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为a b 22，ab PF 2=(7)设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF +-=⋅→→，由于],0[220a x ∈,故我们有2022221x e c b PF PF +-=⋅→→[]222,b c b -∈（8）若约定椭圆12222=+by a x )0(>>b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限；γβαβα=∠>=∠=∠212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率βαβαβαγsin sin )sin(sin sin sin 22++=+===a c a c e（9）.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点。
椭圆焦点三角形圆周角最大问题
椭圆焦点三角形圆周角最大的证明已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>两焦点()()12,0,,0F c F c -,同时点P 椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上一动点。
通常我们把以12,,P F F 为顶点的三角形称为焦点三角形（如右图）若我们记12F PF θ∠=,则θ何时最大呢？法一：不妨设12,PF m PF n ==，于是2222221212124cos 22PF PF F F m n c PF PF mnθ+-+-==⋅我们知道：当,0a b >)2a b a b +≤≤=当且仅当时取等号，故而当,0a b >时，有()22222a b a bab a b ++⎛⎫≤≤= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号 故()222222222222424244222cos 122222m n m n m n c c c m n c mn mn mn m n θ++⎛⎫⎛⎫+⋅-⋅-⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==≥≥+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭我们我们注意到2m n a +=（为定值），所以()222222224242cos 12222m n c a c c a a m n θ+⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭≥==- ⎪⎝⎭+⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭为定值 我们注意到()1式，有二次使用不等式，但这两次取等的条件都是m n =（即点P 在短轴的端点()12,B B 处取等），故()2mincos 12c a θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()0,θπ∈，且函数cos y x =在()0,π上为减函数。
故cos θ最小时，θ恰有最大值。
故点P 在短轴的端点()12,B B 处，θ最大。
法二：我们仍然设12,PF m PF n ==，于是2m n a += 于是()()2222421a m n m n mn=+=++又据余弦定理得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-即()22242cos 2c m n mn θ=+-由()()12-得出()()22421cos a c mn θ-=+，故()221cos b mn θ=+，故221cos b mn θ=+于是122222(2sin cos )1sin 22sin tan 21cos 212cos 12PF F b b S mn b θθθθθθθ∆⋅====+⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 因为()0,θπ∈，0,22θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，我们易得122tan 2PF F S b θ∆=是θ的增函数。
椭圆焦点三角形的结论
椭圆焦点三角形的重要结论 已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C ，P 为椭圆上一点，θ=∠21PF F . 结论1：21PF F ∆的周长为c a 22+
结论2：P PF F y c b PF PF S ===∆2tan sin 2122121θθ
结论3：当点P 位于短轴端点时，（1）顶角21PF F ∠最大；（2）21PF F S ∆也取得最大值bc
结论4：θ
cos 122
21+=⋅b PF PF 结论5：21PF PF ⋅的取值范围：
（1）因为22
21212a PF PF PF PF =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤⋅（当且仅当a PF PF ==21，即点P 位于短轴端点时等号成立.）所以21PF PF ⋅的最大值为2a . （2）因为22
21cos 12b b PF PF ≥+=⋅θ
（当且仅当 0=θ，1cos =θ，即点P 位于长轴端点时等号成立）.所以21PF PF ⋅的最小值为2b .
（3）],[2221a b PF PF ∈⋅（焦点三角形中],(2221a b PF PF ∈⋅） 结论6：椭圆的离心率β
αβαsin sin )sin(222121++=+===PF PF F F a c a c e 结论6：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PF F ，则离心率2cos 122θ
-≥e ，即)1,2[sin θ
∈e
另外：如果椭圆上存在点P 使得θ=∠21PA A ，则离心率2cot 122θ
-≥e ，即
)1,2cot 1[2
θ-∈e。
(完整版)椭圆经典结论
极速秒杀法-------椭圆经典结论[结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +V V周长周长； [例题]：（1）椭圆22131x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ∆的周长。
解：2AB F V 周长（2）过椭圆221259x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。
解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴V 周长。
[结论2]：焦点三角形离心率：121222F F c e a PF PF ==+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2e αβαβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22221x y a b+=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=o ，求离心率。
解：121222F F c e a PF PF ====+ 。
（2）过椭圆22112mx y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ∆为正三角形，求椭圆方程。
解：3090cos cos 22=83090cos cos 22e m αβαβ++==--o oo o 。
（3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。
解：1212212F F c e a PF PF ====+ 。
（4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。
解：21221225523593283F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。
（5）设222221F x y a b+=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e.解：1212212F F c e a PF PF ====+。
[结论3]：焦点三角形之夹角：122PF F 12S =b tan ,sin 1=FPF 22e θθθ⎡⎫∈∠⎪⎢⎣⎭，，； [例题]：已知椭圆22221x y a b+=的两焦点，P 为椭圆上点且12120F PF ∠=o ，求离心率取值范围。
椭圆焦点三角形的几个性质
学科纵横幸福生活指南223幸福生活指南椭圆焦点三角形的几个性质张春梅招远第一中学 山东 招远 265400椭圆的两个焦点与椭圆上任一点(非长轴端点)所构成的三角形，我们称之为椭圆的焦点三角形。
焦点三角形是椭圆中的一个基本图形，在它当中很好的体现了椭圆中的一些基本量之间的关系，也很好的体现了解决椭圆问题常用到的方法，下面我们就通过几个例题来研究一下椭圆的焦点三角形的几条性质：在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，12,F F 是它的两个焦点，Ｐ是椭圆上非长轴端点的任一点。
性质一：若椭圆的长轴为2a ，焦距为2c ，则△12F PF 的周长为2a+2c.证明：由椭圆的定义得到1||PF + 2||PF =2a ，又|F 1F 2|=2c ，进而得出焦点三角形的周长=1||PF +2||PF +|F 1F 2|=2a+2c性质二：当Ｐ点位在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大，且1||PF •2||PF 最大，最大值等于a 2证明：设1||PF ＝1r ，2||PF ＝2r ，则1r ＋2r ＝2a 。
在△12F PF 中，由余弦定理可得cos ∠12F PF =222121242r r c r r +−=22121212()422r r c r r r r +−−=2212124422a c r r r r −−=212412b r r −22221244112()2b b r r a ≥−=−+。
当且仅当1r =2r 时取得等号。
即1||PF =2||PF 时∠12F PF 最大，所以当Ｐ点在椭圆的短轴端点处时，∠12F PF 最大。
由椭圆定义得和式1||PF +2||PF =2a(定值)，结合基本不等式得到积式1||PF 2||PF 有最大值，当且仅当1||PF =2||PF 时取等号。
即P 位于短轴端点时，1||PF 2||PF 取得最大值a2。
点评：在该性质的证明过程中，用到了椭圆的定义和基本不等式的有关知识，要灵活应用。
课题1焦点三角形性质总结
课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。
得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。
椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
椭圆中焦点三角形的性质及应用探究
作者：任双宝
来源：《中学生数理化·学研版》2015年第04期
定义：如图1，设F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点，P是椭圆上的任意一点（异于长轴的端点），则称△F1PF2为椭圆的焦点三角形。
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦点的弦）最短，通径为2b2a。
例1设椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦长等于F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。
解：过F1且垂直于x轴的弦长就是椭圆的“通径”长，所以长度为2b2a。
又F1到l1的距离为a2c-c=b2c，所以2b2a=b2c，即a=2c，所以离心率为12。
作者单位：湖南省衡阳县职业中专。
椭圆中焦点三角形的性质及应用
椭圆中焦点三角形的性质及应用
又，故满足：故为直角三角形、说明：考查定义、利用已知、发挥联想，从而解题成功、性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设,由焦半径公式可知：，在中， = 性质三：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则证明：设则在中，由余弦定理得：
命题得证。
（2000年高考题）已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,于是得到的取值范围是性质五：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。
由正弦定理得：由等比定理得：而，∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120，求tanF1PF2．解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝∴椭圆的方程为＝1．(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60－θ椭圆的离心率则，整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用
2020年第12期中学数学教学参考（下旬)学研堂w w 关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用师吉芹（山东省章丘中学）摘要：对于与椭圆焦点三角形的内心相关的定值问题，值得我们深入学习，探究拓展，总结归纳，以便解 题时直接应用。
关键词：概圆；焦点三角形；内心；定义；离心率文章编号：1002-2171 (2020) 12-0068-02椭圆的焦点三角形一般是指以椭圆的两个焦点巧，^和椭圆上与焦点同轴的两个顶点外的任意一点P为顶点所构成的三角形。
关于椭圆焦点三角形的 考查，在各类考试中特别是高考中屡见不鲜，而一些涉及 椭圆焦点三角形内心的定值问题值得我们深人学习，探 究拓展。
1有关定值问题1.1椭圆焦点三角形内心的比值问题结论1:已知P为椭圆C:<十菩=l(a>6>0)a b上的任意一点，F,,F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为/，直线交1轴于点M，则有^|=+(其中e为椭圆C的离心率）。
证明：由于a p f,f2的内切圆的圆心为/，直线 交X轴于点M，则由内切圆的性质及角平分线定a 151 #\^r\=m^\'m ffl® 〇r%I P F, |+I P F2I|F,M|+|M F2|2a|P F2|_|M F2|*B|J|P F J所以有=又由内切圆的性质及角價幻爾觀=黑，龍#瑞=I p f2I _a. 1|M F2| 一C 一？反思：随着点P在椭圆C上运动，相应线段长度的比值恒为定值。
在证明过程中，充分利用角平分线定理、比例性质及内切圆的性质等平面几何知识，与解析几何知识充分融合，达到知识间的和谐与统一。
1.2補圆焦点三角形内心的面积问题结论2:已知P为椭圆C:4+#=1U>6>0)a b上的任意一点，^^，巧分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为则有q Sa^^2=e。
■^A P/F j~r^>AP/F2(其中S表示对应三角形的面积<为椭圆C的离心率）证明：设A P F,F2内切圆的半径为r,根据椭圆的定义可得I F F, |+ |P F2 |=2a,而^2|=2〇那么，•S厶f■X2c X?•S a P/F.+Si■X2a X i反思：随着点P在椭圆C上运动，相应三角形面 积的比值__)恒为定值。
椭圆中与焦点三角形有关的问题
椭圆中与焦点三角形有关的问题性质一：当点P 从右至左运动时，21PF F ∠由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y 轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P 与短轴端点重合时，21PF F ∠达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？（面对cos 21PF F ∠=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF ⋅-+ 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。
能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是2221||||PF PF +，分母变化的部分是||||221PF PF ⋅，二者的关系是 ()||||24||||2||||||||212212212221PF PF a PF PF PF PF PF PF ⋅-=⋅++=+ ，于是目标式可分成两部分1||||2212-⋅PF PF b ，最后对||||21PF PF ⋅ 利用均值不等式，即可大功告成。
问题5：由上面的分析，你能得出cos 21PF F ∠与离心率e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F ________.21cos 2e -≥θ_______________（当且仅当动点为短轴端点时取等号）设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！题2：已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
1由椭圆定义，有212a PF PF =+|||| 平方后得42228212221212221222a PF PF PF PF PF PF F F c =++⋅≤+==||||||||(||||)||得c a2212≥ 所以有，）e ∈[221 2⇒22≤e ＜1 变式1：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围。
椭圆中心三角形结论
椭圆中心三角形结论1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：引言椭圆中心三角形是指以椭圆的中心点为顶点，以椭圆上的三个点为另外三个顶点所构成的三角形。
在研究椭圆性质的过程中，人们发现了一些与椭圆中心三角形相关的有趣结论，这些结论不仅具有几何意义，而且对于解决一些数学问题也有一定的帮助。
本文旨在探索并总结椭圆中心三角形的结论，通过具体的证明与实例来阐述其内涵与应用。
首先，我们将简要介绍本文的结构，并阐明研究椭圆中心三角形的目的。
文章结构本文共分为引言、正文与结论三个部分。
引言部分对椭圆中心三角形的研究进行了概述，并阐明了本文的目的。
正文部分将详细讨论椭圆中心三角形的两个要点，并给出相应的证明过程。
最后，结论部分将对本文进行总结，并概括其中的核心要点。
目的本文的目的是通过研究椭圆中心三角形的性质，探索与之相关的结论，并加深对椭圆的理解。
同时，本文也旨在向读者展示数学研究的思维方式与证明方法，培养读者的数学思维能力与解决问题的能力。
通过详细的论证过程和实例分析，希望读者能够加深对椭圆中心三角形及其应用的理解，并在实际问题中能够灵活运用相关的结论。
通过本文的阅读，读者不仅能够了解椭圆中心三角形的基本性质，还能够理解椭圆的一些重要特点，并将其运用到更广泛的数学问题中。
通过此次论述，相信读者对于椭圆以及相关的变换与性质有更深入的认识，并且能够应用于更高级的数学研究与解决实际问题的能力。
1.2文章结构文章结构部分是对整篇文章的组织和内容进行介绍和概述。
在这一部分，我将向读者解释整篇文章的结构以及每个部分的主要内容。
文章结构如下：引言部分（Introduction）：在这一部分，我将对椭圆中心三角形这个主题进行简要的介绍和概述。
我将解释椭圆的定义和特点，并介绍椭圆中心三角形的基本概念和性质。
正文部分（Main Body）：文章的正文将包括两个要点。
在第一个要点中，我将详细介绍椭圆中心三角形的构造方法以及一些基本性质。
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(原卷版)
椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法焦点三角形的定义与常用性质1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立12+AF AF ，2212+AF AF ，12AF AF 之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题（设12∠F AF 为 ）2、常用性质性质1：122+=AF AF a ，122+=BF BF a （两个定义）拓展：12∆AF F 的周长为121222++=+AF AF F F a c1∆ABF 的周长为12124+++=AF AF BF BF a性质2：222212121242cos ==+-c F F AF AF AF AF θ（余弦定理）性质3：当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大推导：由性质2得，()222221212121212244c cos 22+--+-==AFAF AF AF c AF AF AF AF AF AF θ()222121212224221--==-a AF AF cb AF AF AF AF .∵212212+=22⎛⎫≤ ⎪⎝⎭AF AF AF AF a ，当且仅当12=AF AF 时，即点A 是短轴端点时取等号，∴2221222cos 11=-≥-b b AF AF aθ.又∵cos =y θ在()0,π上单调递减，∴当A 为短轴的端点时，12∠F AF 最大。
性质4：122121sin tan 22∆===AF F A S AF AF b c y θθ当=A y b ，即A 为短轴的端点时，12∆AF F 的面积最大，最大值为bc推导：由性质3的推导过程得2122cos 1=-b AF AF θ∴21221cos =+b AF AF θ，∴122221222sincos 11222sin sin tan 221cos 22cos 2∆==⋅⋅=⋅=+AF F b S AF AF b b θθθθθθθ题型一椭圆中焦点三角形的周长问题【例1】已知∆ABC 的顶点B ，C 在椭圆2211216x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则∆ABC的周长是（）A．23B．3C．8D．16【变式1-1】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2∆ABF 的周长为16，则=a （）A．2B．4C．6D．8【变式1-2】椭圆C ：2221(0)x y a a+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上异于左右顶点的任意一点，1PF 、2PF 的中点分别为M 、N ，O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为4，则12∆PF F 的周长是_____．【变式1-3】已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF 的周长的最小值为______．题型二椭圆中焦点三角形的面积问题【例2】椭圆C ：2214924x y +=的焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若18PF =，则12PF F △的面积为（）A．48B．40C．28D．24【变式2-1】设12,F F 是椭圆2211224x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且1213cos F PF ∠=.则12PF F △的面积为（）A．6B．C．8D．【变式2-2】已知1F 、2F 为椭圆22:14x y Γ+=的左、右焦点，M 为Γ上的点，则12MF F △面积的最大值为（）B．2C．D．4【变式2-3】已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）B．155题型三椭圆中焦点三角形的个数问题【例3】已知点1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF π∠=的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定【变式3-1】设椭圆22:184x y Γ+=的左、右两焦点分别为1F ，2F ，P 是Γ上的点，则使得12PF F △是直角三角形的点P 的个数为_________.【变式3-2】已知1F 、2F 为椭圆22143x y+=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F △的内切圆的周长等于π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．0D．不确定【变式3-3】若1F 、2F 分别是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且12MF F △的内切圆的周长为3π，则满足条件的点M 的个数为（）A．2B．4C．6D．不确定题型四椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题【例4】已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=︒60，则P 到x 轴的距离为（）A.2B.2【变式4-1】已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，若12PF F △为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为（）或94B．3D．94【变式4-2】椭圆22194x y +=的焦点F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（）A．B．）C．（﹣5，5）D．（﹣5，5）【变式4-3】椭圆22:14x C y +=的左右焦点分别为12,F F ，点M 为其上的动点，当12F MF ∠为钝角时，点M 的纵坐标的取值范围是____________.题型五椭圆中焦点三角形的中位线问题【例5】设1F ，2F 为椭圆22194x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A．513B．45C．27D．49【变式5-1】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）B．D．【变式5-2】已知椭圆22:194x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为,A B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN BN +的值为（）A．6B．12C．18D．24【变式5-3】如图，若P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，()F -为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与PF 相切于中点，则椭圆C 的方程为___________.题型六椭圆中焦点三角形的角平分线问题【例6】已知1F ，2F 是椭圆C ：22214x y b+=的左、右焦点，离心率为12，点A 的坐标为3(1,)2，则12F AF ∠的平分线所在直线的斜率为（）A．2B．1【变式6-1】已知12F F ，是椭圆221369x y+=的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为（）A．5B．4C．3D．2【变式6-2】已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，2MF 是角21PF F ∠的外角平分线，则1MPF 与2MPF 的面积之和为()A．1B．32C．2D．3【变式6-3】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点，P 是椭圆上任一点，从2F 引12F PF ∠外角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．圆B．两个圆C．椭圆D．两个椭圆。
椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形关键信息项：1、椭圆的方程及相关参数2、焦点三角形的定义及构成要素3、焦点三角形的边长关系4、焦点三角形的面积计算公式5、与焦点三角形相关的几何性质及应用6、涉及焦点三角形的常见题型及解题方法1、椭圆的基本概念11 椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）焦点在 y 轴上：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1$（＄a ＞ b ＞ 0$）其中，＄a$为椭圆的长半轴，＄b$为椭圆的短半轴，＄c$为半焦距，满足$c^2 ＝ a^2 b^2$。
12 椭圆的焦点焦点在 x 轴上时，焦点坐标为$（＼pm c, 0)＄焦点在 y 轴上时，焦点坐标为$（0, ＼pm c)＄2、焦点三角形的定义21 焦点三角形是指以椭圆的两个焦点$F_1$，＄F_2$和椭圆上任意一点$P$（不与焦点重合）为顶点所构成的三角形，记为$＼triangleF_1PF_2$。
3、焦点三角形的边长关系31 根据椭圆的定义，＄｜PF_1| ＋｜PF_2| ＝ 2a$32 在$＼triangle F_1PF_2$中，由余弦定理可得：＄｜F_1F_2|＾2 ＝｜PF_1|＾2 ＋｜PF_2|＾2 2|PF_1| ｜PF_2| ＼cos ＼theta$，其中$＼theta$为$＼angle F_1PF_2$。
4、焦点三角形的面积计算公式41 ＄S_{＼triangle F_1PF_2} ＝ b^2 ＼tan\frac{＼theta}｛2}＄42 也可以表示为$S_{＼triangle F_1PF_2} ＝＼frac{1}｛2} ｜PF_1| ｜PF_2| ＼sin ＼theta$5、与焦点三角形相关的几何性质及应用51 当点$P$为短轴端点时，＄＼angle F_1PF_2$最大。
52 焦点三角形的内切圆半径$r$与三角形面积和周长之间的关系。
椭圆焦点三角形中的几个结论及应用
椭圆焦点三角形中的几个结论及应用郭建华【期刊名称】《青苹果：高中版》【年(卷),期】2008(000)003【摘要】<正> 设 F<sub>1</sub>,F<sub>2</sub>是椭圆（x<sup>2</sup>/a<sup>2</sup>）+（y<sup>2</sup>/b<sup>2</sup>）=1（a>b>0）的焦点,过F<sub>1</sub>,F<sub>2</sub>的弦交椭圆于 P 点,称∠F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>为椭圆的弦焦角,△F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>为椭圆中的焦点三角形。
如图1所示,在△F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>中,P 与A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>不重合,设∠F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>=2α,则有下列三个结论。
一、|PF<sub>1</sub>|·|PF<sub>2</sub>|·cos<sup>2</sup>α=b<sup>2</su p>证明在△F<sub>1</sub>PF<sub>2</sub>中,设|PF<sub>1</sub>|=m,|PF<sub>2</sub>|=n,|F<sub>1</sub>F<sub>2</s ub>|=2c。
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专题：椭圆中焦点三角形的性质及应用
前言：焦点三角形，又称“魅力三角形”，其定义为：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
与焦点三角形的有关问题主要是：考查椭圆定义、三角形中的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等知识点.
性质一：(面积公式)已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,
,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan
2
21θ
b S PF F =∆.(由《名师》P35品味12引出)
专题训练：
1. 已知(3,4)P 为椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 上的一点, 12,F F 为焦点，若12F P PF ⊥,求
12F PF ∆的面积 .(20)
2. 若P 为椭圆22143x y +=上的一点，12,F F 为左右焦点，若123
F PF π∠=，求点P 到x 轴
的距离性质二：(顶角最大)已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 左右两焦点分别为
,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点.
1. 点P 在椭圆1422=+y x 上, 12,F F 为焦点，则12F PF ∠的取值范围 .( 20,3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦) 2. 若P 在椭圆
22
21(50)25x y b b
+=>>上的一点，12,F F 为左右焦点，若12F PF ∠的最大值为2
π
，则椭圆的方程为 . (
22212525x y +=) 拓展结论：已知P 是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上的一点, 12,F F 为椭圆的两焦点.
(1) 当c b >时，椭圆上存在4个点，使得1290F PF ︒
∠=1e <<；
(2) 当c b =时，椭圆上存在2个点，使得1290F PF ︒
∠=，且2
e =
；
(3) 当c b <时，椭圆上不存在点，使得1290F PF ︒
∠=，且02
e <<
. 专题训练：
1.P 为椭圆22
194
x y +=上一点, 12,F F 为焦点，满足1290F PF ︒∠=的点的个数为 .(4个) 2.已知12,F F 为椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=uuu r uuu u r
的点M 总在椭圆内，则椭圆的离心率
为 . (0,
2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
) 3. 椭圆
2
211
x y m +=+的左右焦点分别为12,F F ，且在椭圆上存在点P,使得12F P F P ⊥,则实数M 的取值范围为 .( 1m ≥)
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