高等数学(同济第六版)课件第三章 7曲率解析

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《高等数学曲率》课件

曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹、河流的流向、植物的生长方式等都与曲率密切相关。通过研究这些生物形态的曲率特点，可以更好地理解自然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿生学领域。通过模仿自然界中生物的形态和运动方式，可以创造出更加高效、环保和可持续的交通工具、建筑材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小。

高等数学课件--D3_7曲率

第七节平面曲线的曲率
曲线的弯与切线的转角有关曲程度与曲线的弧长有关主要内容: 一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径
2012-10-12 同济高等数学课件
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第三章
M
M
M

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结束
一、弧微分
设
s x
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
2
处的曲率.
y
l 2R
0
2 Rl 1 y x Rl
R B
K y
1 Rl
O
x
l
y 1 6 Rl x
3
x
显然
2012-10-12
K
x 0
0;
K
x l

1 R
目录
同济高等数学课件
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例3. 求椭圆解: x a sin t ;
y b cos t ;
, y
1 x
3 2
解: y
(1 y )
2
3 2
,
则
(1

2
R
) 4
3
O

2 1 (x 2
1
x
y
显然 R

1 x
3 2
) 2

2
x x 1

2 为最小值 .
同济高等数学课件
利用 a 2 b 2 2 ab
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2012-10-12
作业
2012-10-12
1 ( y)
2
同济高等数学课件
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高等数学同济大学第六版1-01-函数课件

x cos y
y arccos x
反正弦函数 y arcsin x
证明 x 1,1 , arcsin x arccos x
y arcsin x

2
记 arcsin x [ ， ], 2 2 arccos x [0, ]，
x [1,1], y arcsin x [
0, x a H ( x) 1, x a
1
o a x
Heaviside 是一位英国的电子工程师，他用 Heaviside 函数来描述事物由量变到质变的一个过程与状态。
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
例如,
Байду номын сангаас
2 x 1, f ( x) 2 x 1,

, ] cos 2 2
1 sin 2 1 x 2 ,
sin 1 cos 2 1 x 2 , x 2 1 x 2 1,
反余弦函数 y arccos x
sin( ) sin cos cos sin
函数
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的变化情况。
微积分研究的是客观世界的数量反映
——函数的性质、取值规律和函数值的变化情况。微积分的研究是以极限的思想为基本思想，以极限的方法为基本方法—— 极限是基本工具。但根本上，微积分这一学说的诞生的基础是——笛卡儿的解析几何。
2 2
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
函数的几何特性
1．函数的有界性:

同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式

o
x0
x
LL LL
假设
0
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) k = 1,2,L, n

a = f ( x ),
1 ⋅ a = f ′( x ),
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L , n!⋅a n = f ( n ) ( x 0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) ( k = 0,1,2,L , n ) k!
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
(0 < θ < 1) f ( n + 1) (θx ) n + 1 x 则余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
四、简单的应用
即 Rn ( x ) = o[( x − x0 )n ].
M ≤ ( x − x0 )n+1 (n + 1)!
皮亚诺形式的余项
∴ f ( x) = ∑
k =0
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] k!
注意:
1. 当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
(n + 1) !
(1 + θ x)α −n−1 x n+1 (0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1) k −1 ( k − 1) ! (k ) (k = 1, 2 ,L) 已知 f ( x) = (−1) k (1 + x) 类似可得 x 2 x3 xn n −1 ln(1 + x) = x − − L + (−1) + + Rn (x) 2 3 n

同济第六版高数第3章课件1

同济第六版高数第3章课件1
•证：
•例1 证明方程
•一个小于1 的正实根 •证
•有且仅有
•即为方程的小于1的正实根.
•矛盾,
•注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, •其结论可能不成立。
•y=f(x)
•y=f(x )
•y=f(x )
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
•拉格朗日定理 •若函数 f (x) 满足
•Rolle •定理
•Lagrange •中值定理
•Cauchy •中值定理
•A •B
•几何解释：一条连续曲线AB ，若除端点外，处处有不垂直于x 轴切线，则该曲线上至少有一点的切线平行于端点连线AB。
•证
•精品课件
！
•精品课件
！
•(几何解释)
•拉格朗日中值公式
•推论 •若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上连续,• 在(a,b)内
•恒有
ห้องสมุดไป่ตู้
•则函数 f(x) 在[a,b]上是一个常数.
•∵ f(x) 在[x1,x2]连续，在(x1,x2)可导，
•故 f(x) 是一个常数
•例2 •证
•例3 •证: •∵ f(t) 在[0,x]连续，在(0,x)可导，
•由上式得
三、柯西(Cauchy)中值定理
•柯西定理 •如果函数 f (x)、F(x)满足
•（1）在闭区间[a, b]上连续, •（2）在开区间(a, b)内可导,
•且在(a, b)内每一点处 •均不为零，
•则在(a, b)内至少有一点 ,
•使等式
成立
•分析:
•证设
•注：
•四：小结
•罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；

《高等数学》(同济六版)教学课件★第3章.微分中值定理与导数的应用(2)

第六节
第三章
函数图形的描绘
一、曲线的渐近线二、函数图形的描绘
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一、曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
1)
y
(
x
2 1)3
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6）绘图
x (,1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无定义
0
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O1 2 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
x0
1 1
e e
x2 x2
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2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
(
1 2
,
1 2
)
,
凸区间是
( ,
1 2
)
及
(
1 2
,
)
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2ex2 (1 2 x2 )
y
1
(
1
,1
e
1 2
)
2
O
(

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积、体积等。
积分在经济中有广泛的应用，例如计算总成本、总收益、总利润等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广，表示一个三元函数在某个区域上的累积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

高等数学导数应用(三)曲率PPT课件

高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等性质，这些性质在研究函数的形态、单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的量，与函数在该点的导数密切相关。曲率等于函数在该点的导数的绝对值。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的切线斜率，而曲率表示该点附近曲线的弯曲程度。因此，导数和曲率共同决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。

同济大学第六版高等数学第上册三章第七节曲率

连续求导两次，将上述条件代入得
( x0 a )2 [ f ( x0 ) b]2 2
( x0 a ) [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
1 [ f ( x0 )]2 [ f ( x0 ) b] f ( x0 ) 0
解得
( x0 )]2 1[ f a x 0 f ( x 0 ) f ( x0 ) 1 [ f ( x0 )]2 b f ( x0 ) f ( x0 )
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
曲率圆y=y(x)与曲线y=f(x)的关系 ①过同一点 y( x0 ) f ( x0 ) ②有公切线 y( x0 ) f ( x0 ) ③圆弧与曲线在该点处曲率相等，且弯曲方向相同
故在终端A的曲率为
o
1 R 3 l2 2 (1 ) 2 4R
x
kA
y (1 y )
3 x x0 2 2
l 1, R
l2 略去二次项 2 , 4R
1 得 kA . R
三、曲率圆与曲率半径
定义设曲线 y f ( x ) 在点
M ( x , y ) 处的曲率为 k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点 D , 使 DM
l 冲段OA 在始端 O 的曲率为零, 并且当很小 R l 1 ( 1) 时，在终端A 的曲率近似为 . R R
证如图
x的负半轴表示直道，
y
R
OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.

同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式

Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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结束
例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !

同济高等数学第六版上册第三章

若 M = m , 则 f (x) M , x [a , b] ,
因此 (a , b), f ( ) 0 .
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 M f (a) , 则至少存在一点 (a,b), 使
f ( ) M , 则由费马引理得 f ( ) 0. y
y
y f (x)
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
O a
bx
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
证:因 f (x) 在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m .
令x=0,得 Cπ.
又
f (1) π ,
2 故所证等式在定义域 [1, 1]上成立.
2
经验: 欲证 x I 时 f (x) C0, 只需证在 I 上 f (x) 0,
y f (x)
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定 O a
bx
成立. 例如,
f
(x)

x
,
0,
0 x 1 x 1
y
f (x) x x [1,1]
y
f (x) x x [0,1]
y
O 1x
在[0,1]不连续
1 O 1 x
在(0,1)不可导
O 1x
f (0) f (1)
例2.
证明等式
arcsin
x

arccos
x

π 2

3-7曲率3-8方程的近似解

第七节曲率
主要内容: 一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径
第三章
1
一.弧长函数及其微分
1.光滑曲线：若 f ( x) 在(a, b) 内具有一阶连续导数（连续
转动的切线），则称曲线 y f为( x光) 滑曲线 .
2.弧长函数
（1）光滑曲线上有向弧 M0 M 的值s规定如下y ：
y
K
(1
y
2
)
3 2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
14
了解：我国铁路常用立方抛物线
y
1 6Rl
x3
作缓和曲线,
6
2.定义：
(1)平均曲率：单位弧段上切线转角 y
C
的大小. 即
M.
弧段MM的平均曲率为 K . s
M
S
0
(2)曲线 y f ( x)在点M处的曲率： o
M.
)
S
x
当s 0时，平均曲率的极限叫做该曲线在点M处的曲率.
即K lim , s0 s
若 lim d 存在，则 K d .
则y
R2 y3
,
x y
,
R2
y
K
3
(1 y2 )2
y3 R3
1. R
y3
注意: 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径
越小曲率越大.
12
解法二
x
若圆方程为
y
R cos ，( R sin
为参) 数
y dy R cosd cot， dy csc2 d dx R sin d

高等数学第六版上下册同济大学出版社

y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.

高等数学曲率 PPT课件

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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
)2
曲率中心
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线 xy 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
y
1
R
y
从而 K 取最大值 .
2 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
1 y 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
y 求此缓和曲线在其两个端点
或有的地方磨不到的问题. 设 M 为曲线 C 上任一点 ,

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解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A
弧 AM 的值 s dd
x x0时 x x0时
o
x0
x
x
弧 AM 的值s为x的函数：s = s(x) 单调增函数
x0 x
x x x
故 ds 1 y2dx.
弧微分公式
弧微分的几何解释
y
ds 1 y2dx
ds (dx)2 (dy)2
o
N
ds
M
dx
T dy
R
x x dx x
二、曲率及其计算公式 1. 曲率的定义如何描述曲线的弯曲程度?
转角越大弯曲越大
1
M2
M1
2
M3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
弧段越短
M
S1
M
弯曲越大
S2 N
tan y, arctan y,
y d 1 y2 dx,
ds 1 y2dx.
y d 1 y2 dx ds 1 y2dx
y
3
(1 y2 )2
y
k
3.
(1 y2 )2
设
x (t),
y
(t
),
其中 (t) ，(t )二阶可导，且2(t)2(t) 0
则
k
(t )(t ) (t )(t ) 3.
o
M
x
k
D —曲率中心，
以D为圆心，为半径作圆，
—曲率半径，
称此圆为曲线在点M处的曲率圆。
注: 1.曲线上一点的曲率半径与曲线在该点的曲率互为倒数. 即 1 ,k 1 . k 2.曲线上一点的曲率半径越大, 曲线在该点的曲率越小(曲线越平坦); 曲率半径越小, 曲率越大(曲线越弯曲).
df ( x) d[ f ( x) k], d[u( x) v( x)] du( x) dv( x)
d[u( x)v( x)] v( x)du( x) u( x)dv( x)
微分表
(1)
1 dx d ln x,( x 0) x
(2)
1 dx 2d x
x,
(3)
1 x2
dx
d
1 x
,
(4) xdx 1 dx1 1
(13) sec xtan xdx d sec x
(14) csc xcot xdx d csc x.
凑微分 1
(1)(2x 3)2 dx
(2) 1 sin xdx x
(3)xcos x2dx
(4) 1 dx (1 x) x
x3
(5) 1
x
4
dx
(6)
cos sin 2
x x
dx
设N ( x x, y y), s s( x x) s( x) MN
( s )2 x
( MN )2 x
MN MN
2
MN x
2
y
N
MN MN
2
(x)2 (y)2 (x)2
AM
T R
lim x0
s x
2
lim[1
x0
( y )2] x
(s)2 1 ( y)2
o
小结
1. 弧微分： ds (dx)2 (dy)2 1 y2dx
2.
曲率：（1）平均曲率：
K
s
（2）曲线上一点的曲率： K d
3. 曲率的计算：k
y 3.
ds
(1 y2 )2
4. 曲率圆、曲率中心、曲率半径。
练习
1
1. 曲线 y=lnx上点(1,0)点的曲率为_2___2_
2.设
[2(t ) 2(t )]2
注: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数.
K lim s0 s
(1) y=c, 则 0
K lim 0 s0 s
(2) 半径为a的圆, 则
K lim lim 1 s0 s s0 a a
例1 曲线 y ax2 bx c上哪一点的曲率最大？
x y
(t ) ,
(t )
其中 (t) ，(t)导数连续，
则弧微分 ds ___________dt
3.凑微分
(1)
4
1 x
2
dx
(2) tan xsec2 xdx (3) tan xsec3 xdx
微分公式 f ( x)dx df ( x) 无论x是自变量还是中间变量均成立。对任意常数k，有： kdf ( x) d[kf ( x)],