《用公式法求解一元二次方程第二课时》[1]
2.3用公式法求解一元二次方程第2课时教案
一、教学内容
本节课为“2.3用公式法求解一元二次方程”第2课时教案，依据人教版数学八年级上册教材，教学内容主要包括以下三个方面：
1.掌握一元二次方程的求根公式，即：
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
2.学会运用求根公式解决实际问题，特别是当判别式\(b^2 - 4ac\)大于、等于或小于0时的情况讨论。
此外，小组讨论环节中，我发现有的学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是在小组中缺乏足够的发言机会。针对这个问题，我计划在组织小组讨论时，更多地关注每个学生的参与情况，鼓励那些比较内向或不确定的学生发表自己的观点，让每个人都有机会表达自己的想法。
最后，从学生的提问和作业完成情况来看，我感到他们在计算过程中仍存在一些粗心大意的现象。为了提高学生的计算准确性，我打算在接下来的课程中，增加一些针对性的计算训练，并教导学生如何进行自我检查和同伴互评，以提高解题的正确率。
其次，判别式的概念及其与方程解的关系是本节课的一个重点和难点。我发现有些学生在判断判别式符号时容易出错，这说明对这个概念的理解还不够深入。在以后的教学中，我可以通过更多的实例和练习，让学生反复练习判别式的判断，同时强调其在解题过程中的重要性。
在实践活动中，学生们的讨论和实验操作都比较积极，但我也观察到有些小组在解决问题时思路不够清晰。这提示我在未来的活动中，应该更加注重引导学生如何有效地进行问题分析和解决。我可以通过提问和指导，帮助学生理清思路，提高他们解决问题的能力。
3.能够熟练运用求根公式求解一元二次方程，并对方程的解进行验证。
本节课将通过具体例题的讲解和练习，使学生更好地理解和掌握一元二次方程的公式法解法，提高解题能力。
2.3用公式法求解一元二次方程课时训练含答案
第二章 一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程 班级：__________ 姓名：__________ 一、填空题1.配方法解一元二次方程的基本思路是：（1）先将方程配方；（2）如果方程左右两边均为非负数，则两边同时开平方，化为两个__________；（3）再解这两个_________。
2.用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)时：∵a ≠0,方程两边同时除以a 得__________________，移项得__________，配方得_________，即（x +__________）2=__________，当__________时，原方程化为两个一元一次方程__________和__________， ∴x 1=__________,x 2=____________3.利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________，求得方程的解.4.方程3x 2－8=7x 化为一般形式是_______，a =__________,b =__________,c =__________,方程的根x 1=__________,x 2=__________.二、选择题1.用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是A.x 1、2=24312122⨯-± B.x 1、2=24312122⨯-±- C.x 1、2=24312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯---±-- 2.方程x 2+3x =14的解是A.x =2653± B.x =2653±- C.x =2233± D.x =2233±- 3.下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ①1+5 ②1－5 ③1 ④－5A.0个B.1个C.2个D.3个 4.方程x 2+(23+)x +6=0的解是A.x 1=1,x 2=6B.x 1=－1,x 2=－6C.x 1=2,x 2=3D.x 1=－2,x 2=－3三、用公式法解下列各方程1. 5x 2+2x －1=02. 6y 2+13y +6=03. x 2+6x +9=7四、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？参考答案一、1.一元一次方程 一元一次方程2.x 2+0=+a c x a b x 2+ac x a b -= 222222222442 04 44 2 4)2(a ac b a b x ac b a ac b a b a b a c a b x a b x -=+≥--+-=++ a ac b b a ac b b a ac b a b x 24 24 4422222----+---=+ 3.一般形式 二次项系数、一次项系数、常数项 b 2－4ac ≥0 aac b b 242-±- 4.3x 2－7x －8=0 3 －7 －861457 61457-+ 二、1.D 2.B 3.B 4.D三、1.解：a =5,b =2,c =－1∴Δ=b 2－4ac =4+4×5×1=24＞0∴x 1·2=56110242±-=±-∴x 1=561,5612--=+-x 2.解：a =6,b =13,c =6∴Δ=b 2－4ac =169－4×6×6=25＞0 ∴x 1·2=12513122513±-=±- ∴x 1=－23,x 2=－32 3.解：整理，得：x 2+6x +2=0∴a =1,b =6,c =2∴Δ=b 2－4ac =36－4×1×2=28＞0 ∴x 1·2=2286±-=－3±7 ∴x 1=－3+7,x 2=－3－7四、解：若A =13，即4x 2+2x －1=3x 2－2 整理，得x 2+2x +1=0∴(x +1)2=0,∴x 1=x 2=－1∴当x =－1时，A =13.。
用公式法解一元二次方程(第2课时利用根的判别式确定一元二次方程根的情况)
4y2-12y+9=0
这里，a=4，b=-12，c=9.
∵△=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）5(t2+1)-6t=0
这里，a=5，b=-6，c=5.
∵△=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64<0，
∴原方程没有实数根.
随堂训练
1. 关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则
∆= 0
两个相等实数根
∆< 0
没有实数根
∆≥ 0
两个实数根
注意
（1）应用根的判别式时必须先将一元二次方程化成
一般形式，然后确定a,b,c的值；
（2）此判别式只适用于一元二次方程，当无法判断
方程是不是一元二次方程时，应对方程进行分类讨论；
（3）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，
不能说成方程有一个实数根
4 4 k 1 0.
∴ k＜5且k≠1，
故选B.
例3 利用根的判别式，判断下列方程的根的情况.
（1）2x2+x-4=0
解：这里，a=2，b=1，c=-4.
∵△=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33>0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
（2）4y2+9=12y
解：原方程可整理得：
后，
可以看出只有当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，这样b2－4ac的值
2
就决定着一元二次方程根的情况.
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，
通常用希腊字母“ ∆”表示它，即 ∆=b2-4ac.
用公式法解一元二次方程教案
用公式法解一元二次方程教案教案标题：用公式法解一元二次方程教案目标：1. 学生能够理解一元二次方程的定义和性质。
2. 学生能够运用公式法解一元二次方程。
3. 学生能够应用所学知识解决实际问题。
教学时长：2个课时教学步骤：第一课时：1. 导入（5分钟）：- 引入一元二次方程的概念，让学生回顾一元一次方程的解法。
- 提问：一元二次方程与一元一次方程有什么区别？2. 理论讲解（15分钟）：- 介绍一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
- 解释方程中各项的含义，并强调a ≠ 0。
- 解释一元二次方程的解的概念。
3. 公式法解一元二次方程（25分钟）：- 推导一元二次方程的解公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
- 通过示例演示如何运用公式解一元二次方程。
- 强调解方程时需注意判别式（b^2 - 4ac）的正负。
4. 练习（10分钟）：- 分发练习题，让学生独立解决一元二次方程。
- 鼓励学生提问并解答他们的问题。
第二课时：1. 复习（5分钟）：- 回顾上节课所学的内容，让学生回答一些相关问题。
2. 实际问题应用（20分钟）：- 提供一些实际问题，例如：求解抛物线的焦点、求解物体自由落体的时间等。
- 引导学生将实际问题转化为一元二次方程，并运用公式法解决。
3. 拓展（10分钟）：- 提出一些拓展问题，例如：如何解决a = 0的情况、如何解决无理数解的情况等。
- 鼓励学生思考并给予适当的提示。
4. 总结（10分钟）：- 归纳一元二次方程的解法，重点强调公式法的应用。
- 总结学生在本节课学到的知识和技能。
教学资源：1. 教材：包含一元二次方程的教材章节。
2. 练习题：包含一元二次方程的练习题，涵盖不同难度和应用场景。
评估方法：1. 课堂练习：通过学生在课堂上解决练习题的表现来评估他们对公式法解一元二次方程的掌握程度。
2. 实际问题应用：通过学生在解决实际问题时的表现来评估他们将所学知识应用于实际情境的能力。
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
－1 且 k≠0，综上，k 的取值范围为 k≥－1.
7. 已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2 ＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值(要求先化简再求值)．
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0， 解得；x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300 平方米
故当矩形温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，蔬菜种 植区域的面积是 288 m2.
◎拓展提升
6. (2017·齐齐哈尔)若关于 x 的方程 kx2－3x－94 ＝ 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＝0
B．k≥－1 且 k≠0
C．k≥－1
D．k＞－1
【解析】当 k＝0 时，方程为－3x－49＝0，解得 x＝
老师提示:在检验时,方 程的根一定要符合问题 的实际意义.否则,舍去.
12m
探究2 我—小亮,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都 相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?
16m
12m xm
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直
②当 b2－4ac____<_0________时，一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
届九年级数学上册 23 用公式法求解一元二次方程第二课时教学设计 新版北师大版
用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。
这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。
学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。
二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。
画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。
三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。
第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。
第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。
第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。
你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。
北师大版九年级数学2.3用公式法求解一元二次方程(2)课后练习
用公式法求解一元二次方程（第2课时）
1.用公式法解方程243x x =+时，24b ac ∆=-的值是（ ）
A.4
B.28
C.20 D .－4
2.若点P 的横、纵坐标恰好是方程22240x x --=的两根，则点P 在（ ）
A. 第二象限
B. 第四象限
C.第一象限 D 第二或第四象限
3.方程2269x x -=的根为
4.已知三角形的两边长为分别为3cm 和4cm ，第三边长是方程2650x x -+=的根，则该三角形的周长为 ，形状为 ，面积为
5.如图，某小区规划在一个长30 m 、宽20 m
的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其
中两条与AB 平行，另外两条与AD 平行，
其余部分种花草，要使每一块花草的面积
都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？
设通道宽为x m ，则由题意列的方程
为_____________________.
6. 某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m. 养鸡场的面积能达到180 m2 吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
7.要对一块长为60m ，宽为40m 的矩形荒地ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P ，Q 为两块绿地，其余为硬化路面。
P ，Q 两块绿地周围的硬化路面宽度都相等，并且两块绿地的面积和矩形ABCD 面积的
14，求P ，Q 两块绿地周围硬化路面的宽。
Q P D C B A。
九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程第2课时课件新版北师大版
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
第二课时
一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就 变成正方形,则原菜地的长是 12 m.
12345
1.把一个小球以20 m/s的速度竖直向上抛出,它在空中的高度h(m)
与运动时间t(s)满足关系式h=20t-5t2,当h=20时,小球的运动时间为
()
A.20 s
B.2 s
解:设垂直于墙的一边长为x m,得 x(58-2x)=200. 解得x1=25,x2=4. 则平行于墙的另一边长为8 m或50 m. 答:矩形的长为25 m,宽为8 m或矩形的长为50 m,宽为4 m.
关闭
答案
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
新北师大版数学九年级上册课件：用公式法求解一元二次方程(第2课时)
3.如图175，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m 长的篱笆围一个矩 形场地．
图175
(1)怎样围才能使矩形场地的面积为750 m2? (2)能否使所围矩形场地的面积为810 m2，为什么？
【解析】 围成的矩形场地只有三面篱笆，设长为x， 1 则宽为 (80－x)，然后根据面积公式列方程即可． 2
① 图172
②
同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳方案是否符合条件有不同意 见，你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由．
解：不符合． 设小路宽度均为x m，根据题意，得 1 (16－2x)(12－2x)＝ ×16×12， 2 解这个方程，得x1＝2，x2＝12. 但x2＝12不符合题意，应舍去，∴x＝2. ∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度均为2 m.
(2)如答图，作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J.
例题答图
∵AB∥CD，∠1＝60° ， ∴∠ADI＝60° ， ∵BC∥AD， ∴四边形ADCB为平行四边形． ∴BC＝AD. 由(1)得x＝2， ∴BC＝HE＝2＝AD， 在Rt△ADI中，AI＝ 3.
∵∠HEJ＝60° ，∴HJ＝ 3. ∴小颖的设计方案中四块绿地的总面积＝52×48－52×2－48×2＋( 3 )2＝2 299 m2.
1．在一块正方形钢板上截去3 cm宽的矩形钢条，剩下的面积是54 cm2，则原 来这块钢板的面积是 81 cm2.
随堂练 习
【解析】 设正方形钢板边长为x cm，依题意得 x(x－3)＝54，解这个方 程，并舍去负值得x＝9，故原来这块钢板面积为92＝81 cm2.
2．在宽为15 m，长为25 m的矩形地面上铺540 m2的草坪，并留出如图1所示 的宽度相同的通道，设通道宽为x m，列方程得 (25－x)(15－x)＝540 .
用公式法求解一元二次方程ppt课件
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7；
破
（2）∵ 方程有两个相等的实数根，
∴Δ=（2 ）2+4k=0，∴k=-7，代入方程，
得x2+2 x+7=0，即（x+ ）2=0，解得 x1=x2=- ．
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2，则 x=______．
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
［解析］ 根据题意，得（18-2x）（15-x）=144
解得 x=21（不合题意，舍去）或 x=3，
∴ 道路的宽为 3 m．
［答案］ 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图，在宽为 20 m，长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x）cm，宽为（40-2x）cm，根据题意得（1 000混 2×100-4x）（40-2x）=15200， 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ，解得 x1=210，x2=10.因为当 x=210 时，1000-2×1004x＜0，40-2x＜0，即画心的长与宽为负值，不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围
读 成，篱笆总长为 24 m．若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形，且围成的花圃面积为50 m2，问能否成功围
成花圃？
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图，世纪广场有一块矩形绿地，AB=18 m，
21.2.2公式法解一元二次方程(两课时)
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算; 5.定根:写出原方 程的根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
2、求出 = b 4ac 的值，
2
特别注意:当
=
b 4ac 0
2
2a
2a
此时，方程有两个相等的实数根 b x1 x2 2a
即 因为a≠0,所以4 a >0
2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
2
2
式子 b 4ac的值有以下三种情况：
2 2
b 而x取任何实数都不可能使 ( x ) 2a
因此方程无实数根
4ac b (3) b 4ac 0, 这时 0 4a
9 ∴m＞ 8 9 2 （2）若方程有两个相等的实数根，则b -4ac=0即8m+9=0 ∴m= 8
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
2
0
，
一般地，式子b 4 ac 叫做方程
2
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
ax bx c 0
2
△＝ b 4ac
2
心动
2
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
当 b 4ac 0时, 它的根是 :
2.3.2 用公式法求解一元二次方程(第二课时)
新知探究
小明的设计方案如图1所示，其中花园四周小路的宽度都 相等. 通过解方程，他得到小路的宽为 2 m 或 12 m.
小亮的设计方案如图2所示，其中花园每个角上的扇形都 相同.
图1
图2
路的宽不可能为 12 m，因而它不是实
际问题的解，应舍去. 而小路宽 2 m 符合这个实际问题，所以 小路的宽是 2 m . （2）你能帮小亮求出图2中的 x 吗？
第二章 一元二次方程
3. 用公式法求解一元二次方程（第2课时）
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.（重点）
情境引入
在一块长为 16 m，宽为 12 m 的矩形荒地上，要建造一 个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半. 你能给出设计 方案吗？
的两条道路,余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为540㎡,求道
路的宽为多少？
x
解：设道路的宽为 x 米
20
(32-x)(20-x)=540
x
整理，得x2-52x+100=0
解得 x1=2,x2=50
32
当x=50时，32-x=-18,不合题意，舍去.
∴取x=2
答：道路的宽为2米.
如图：要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的
4 个扇形的面积之和恰好为一个圆的面积，且半径为 x m，
根据题意，得πx2 1 1216 . 解得 x 2
96 π
5.5
.
所以图
中的 x约为 5.5.
（3）你还有其他设计方案吗？与同伴交流.（答案不唯一）
随堂练习
对于本课花园设计问题，小颖的设计方案如图3 所示，你能帮她求出图中的 x 吗？
初中数学北师大版九年级上册《用公式法解一元二次方程第二课时》课件
2.3
一元二次方程
（第二课时）
问题1：解一元二次方程我们学过哪几种方法？
直接开平方法 ,配方法,公式法 .
问题2：请某小区计划在一个长30m、宽20m的长方形土地上
修建三条等宽的通道，使其中两条与AB平行，另外两条与AD
平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78m2，
例2：如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相 等,水渠把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？
分析：设水渠宽为xm，将所有耕地的 面积拼在一起，变成一个新的矩形， 长为 (92 – 2x )m, 宽(60 - x)m. 解：设水渠的宽应挖 x m .
问题：你能帮小颖计算一下图中x吗？ 16m
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
xm
12m
即
x2 - 28x + 96 = 0.
xm
解方程得 x1 = 4 , x2 = 24,
将x =24 代入方程中不符合题意舍去
答：小路的宽为4m.
例1 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21cm正中央是一 个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占 面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
16m
12m
看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？
小明设计：
如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.
问题：你觉得他的结果对吗？你能将小明的解答过程重现吗？
解：设小路的宽为 xm, 根据题意得：
16m x
x
用公式法解一元二次方程第二课时
公式法的注意事项
01
判别式的判断
在使用公式法之前，需要先判断判别式Δ=b²-4ac的符号，以确定方程
的根的情况。
02 03
根的取值范围
根据判别式的符号和方程的系数a、b、c的值，可以确定根的取值范围。 例如，当a>0时，若Δ>0，则方程的两个根x₁和x₂均大于0；若Δ<0， 则方程没有实根。
复数根的处理
具体求解过程包括将方程转化为标准形式，计算判别式，并利用复数求解公式得到 解。
方程有重根的情况
当判别式等于0时，一元二次方 程有重根，此时也不能直接使用
求根公式。
重根情况下，需要对方程进行因 式分解或使用配方法来求解。
通过因式分解或配方法，可以将 方程化简为更简单的形式，从而
容易地找到重根。
方程无实数根的情况
用公式法解一元二次方程第二 课时
目录
CONTENTS
• 一元二次方程的公式法 • 特殊情况的处理 • 实际问题的应用 • 练习与巩固 • 总结与反思
01 一元二次方程的公式法
CHAPTER
公式法的推导
推导过程
一元二次方程的解可以通过公式法求解， 其推导过程基于一元二次方程的根的判别 式和Vieta定理。首先，计算判别式Δ=b²4ac，然后根据Δ的值判断方程的根的情况。 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当 Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0 时，方程没有实根。接着，利用Vieta定理， 根据a、b、c的值计算出方程的两个根x₁和 x₂。
VS
公式形式
一元二次方程ax²+bx+c=0的解为x₁,x₂=[b±√(b²-4ac)]/2a。
公式法的应用
应用范围
解一元二次方程 第2课时 公式法(1)
x2
b. 2a
③
b²-4ac＜0时，b2
4ac 4a2
＜0
，因此方程无实根.
11
探究学习
用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）.
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为 a 不等于0，所以4a²＞0，式子 b²-4ac 的值有以下3种情况：
① b²-4ac＞0时，x1 b
b2 2a
10
探究学习
用配方法解一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）.
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为 a 不等于0，所以4a²＞0，式子 b²-4ac 的值有以下3种情况：
① b²-4ac＞0时，x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac . 2a
②
b²-4ac=0时，x1
易错点
解得 m＜ 1，且 m 0.
4
17
课堂小结
公式法解一元二次方程的一般步骤：
1.把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值；
2.求出Δ的值； 若Δ≥0 3.代入求根公式；
4.写出方程的解.
x b b2 4ac 2a
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
因为 a 不等于0，所以4a²＞0，式子 b²-4ac 的值有以下3种情况：
① b²-4ac＞0时，x1 b
b2 2a
4ac
, x2
b
b2 4ac . 2a
②
b²-4ac=0时，(x
b )2 2a
0
，方程有两个相等的实数根，
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4ac ＜ 0时，它的根的情况是怎样的?与同伴交流。
结论：对于一元二次方程ax2＋bx＋c0(a≠0) ． 当b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程没有实数根．
议一议
由此可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 根的情况可由b2－4ac来判定． 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“⊿”来表示
答 : 三角形的三条边长分别为6,8,10.
A
C
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a解方程应注意的问题是什么？
3、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
忍耐之草是苦的，但最终会结出甘甜而柔 软的果实． ——辛姆洛克
x2 =
.
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2 4 2.x1 ; x2 . 3 3 3 3.x1 1; x2 . 2
3、不解方程判断下列方程根的情况: （1）2x2+5=7x (3)(x+1)(3x-5)=1 （2）4x（x-1)+3=0 (4)25x2+20x+4=0
2.3 用公式法求解一元二次方程
b b 2 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：
b b 2 4ac x 2a
当b2-4ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，
用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程： 4x2 1 4 x 【解析】化简为一般式得
4x 4 x 1 0
2
这里 a=4, b= -4 , c= 1. ∵b2 - 4ac=( 4 )2 - 4×4×1=0,
（ - - 4） 0 1 x , 24 2
3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
【解析】设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x 2 x 2 x 2 .
2 2
即x 2 8x 0. 解这个方程, 得 x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
B
x 2 6, x 2 10.
a、、 b c
的值
b2 4ac
的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式: x
b b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x1、 x2
议一议
观察例题1,2,3的结果对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ＞ 0时， b2-4ac =0时， b2-
（口答）填空：用公式法解方程3x2+5x-2=0 【解析】a= 3 ，b= 5 ，c = -2 . 用公式法解下列方程： b2-4ac= = 49 . x= = 52-4×3×(-2)
1、x2 +2x =5
（x1=-1+ （t1 = ，x2=-1） ）
2、 6t2 -5 =13t ，t2=-
即
x1= -2 ,
1 即：x1= x2= 2
【例2】解方程：（x-2)(1-3x)=6． 【解析】去括号：x-2-3x2+6x=6
化简为一般式：-3x2+7x-8=0
3x2-7x+8=0 这里 a=3, b=-7, c=8.
∵b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47<0, ∴原方程没有实数根.
【规律方法】用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 2、求出