上海市华师大二附中2018届高三数学综合练习试题3苏教版
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题(含解析)
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题1.，若集合【解析】【分析】，再求.【详解】由题得={···，-3,-2,2,3,4,5,···}【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.【解析】【分析】.【详解】∵，设所以..故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.【答案】13【解析】【分析】故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.【答案】1【解析】【分析】z的值，再求|z|的大小得解.故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.）的反函数【解析】【分析】（,（,因为.因为x≥0，所以，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.【答案】2【解析】【分析】.经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4, 二项展开式的通项为令.所以常数项为故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】.8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.________【答案】36【解析】【分析】.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，即令为______（结果用最简分数表示）．【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3. 【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转cosθθθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθθ，sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x 轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθθθ）到原点的距离的平方为=，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.、时，函数取得最小值；③函数3；④【答案】-17【解析】【分析】【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】，，所以S＜0再利用充要条件的定义判断得解.S＜0，所以”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.）B.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.，则函数）图像的交点不可能（）A. B. 上 C. 多于三个 D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.4的奇函数，时，，则方程）B. 036162C. 3053234D. 3055252 【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为【详解】结合图像对称性，可知，在（2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（2+2=4，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（6+4=10，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.、均为直角，（1（2.【答案】【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.（1（2.【答案】【解析】【分析】（1.(2)的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2增.∴；，，明显符合，所以此时.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆（10.01米）；（2）若要求0.01平方米）.【答案】【解析】【分析】（1.(2) 连接BD,显然出.②，.（2）连接BD,显然,，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.、（，（1（2（3.【答案】【解析】【分析】（1，所以，再求出抛物线的准线方程和到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得再求出，求得，解方程得【详解】（1与准线为准线的距离（2，消去得，，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∴联立得由第（2）问结论，，，消去a得，据此，，解得【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.满足：对所有，，数列.（1的值；（2），证明：但对任意，列；（3，都存在.【答案】见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），两种情况讨论得到，即满足，且当，所以是数列，，所以不数列；再证明当以列，所以不是列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在当m为偶数，在有解，存在再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意都存在.【详解】（1，，不符；综上所述，.（2，，…，既不是，，…，只需即满足，且当，，∴不是数列；，…，只需即满足，，∴是，∴不是数列；综上，存在数列，但对任意，都不是数列.（3，……，当m为奇数，，当m为偶数，在有解，存在结合函数映射性质可知，当时，，是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]
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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[3]一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡}，那么M N = ． 2．在ABC ∆中，“3A π=”是“sin A =”的 条件．3．若函数xy a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ． 4．设函数2211()()log 221x x x f x x x--=++++的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ．5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32nn S t =-⋅，那么t = ．6．若sin()242x ππ+=，(2,2)x ∈-，则x = ． 7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ．8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ．9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =，()sin()2g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，则||MN 的最大值是 ． 12．已知函数131()log (31)2xf x abx =++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++= ．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（ ）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）． （1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列． （Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金； （2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ． 【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ． 【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ． 【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ． 故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]． 故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ． 【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*） 【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（ ） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ； 取a n = 1n .排除B ； 取a n =b n =n.排除D ． 故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（ ） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2． 故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（ ） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180； 当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0； 当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）； 当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）． 由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题
华东师大二附中2018-2019学年第二学期高三年级质量调研数学试卷一、填空题1.行列式5189的值为________.2.设集合{}{}，，，，，，，2024321-==B A 则=B A ________.3.已知向量()()，，，，，512751=-==_______. 4.如果复数z 满足，0222=+-z z 那么=z ______.5.椭圆1222=+y x 的焦距是______.6.掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).7.若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.8.从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________.9.若两直线42:2:21+-=++=x y l c kx y l ，的交点在第一象限,则正整数=k ______.10.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-231的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______.11.已知()R b a bay xx ∈++=+，122既是奇函数,又是减函数,则=+b a _______. 12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线称l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中:，；④；③；②①xx y x y x y x y 111arcsin 23-=+=== 没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号).13.已知数列{}n a 的极限是A,如果数列{}n b 满足，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧≤=66103102n a n a b n n n 那么数列{}n b 的极限是A.A 3B.A 2C.AD.不存在 14.已知，，R y x ∈则“11＞或＞y x ”是“2＞y x +”的 A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111D C B A ABCD -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A.12B.24C.48D.5816.函数()()，＞，0m R x x f y ∈=若存在实数，M m ≤使得对所有，D x ∈都有()，M x f m ≤≤则称()()D x x f y ∈=“有界”，设()()R x x f y ∈=1是增函数， ()()R x x f y ∈=2是周期函数，且对所有()()，＞，＞，0021x f x f R x ∈已知 ()()()，x f x f x h 21=下列命题中真命题是A.若()x h 是周期函数,则()x f 1“有界”B.若()x h 是周期函数,则()x f 2“有界”C.若()x f 1“有界”,则()x h 不是周期函数D.若()x f 2“有界”,则()x h 不是周期函数17.如图,正三棱柱111C B A ABC -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3. (1)求正三棱柱111C B A ABC -的体积； (2)求异面直线C A 1与AB 所成角的大小.18.已知函数().sin cos sin 2x x x x f -=(1)求()x f 的最小正周期；(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 的对边长，2,角B 的对边长，3若()，0=A f 求△ABC 的面积.19.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()14878.445020006554.0++=-t e t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()t P t ，0=P)的单位是干人，设()t P 的反函数为()，x T 求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.20.设常数，2≥m 在平面直角坐标系xOy 中,已知点()，，20F 直线，m y l =:曲线 ()l m y y x ，：≤≤-=Γ0121与y 轴交于点A 、与Γ交于点B,P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用m 表示点B 到点F 的距离；(2)若0=⋅FQ AP 且，FQ FP FA =+求m 的值；(3)设，22=m 且存在点P 、Q,使得△FPQ 是等边三角形,求△FPQ 的边长。
上海市华师大二附中高三数学综合练习试题6苏教版
上海市华师大二附中高三综合练习高三年级数学[6]一、填空题 (本大题满分48分)1、已知集合A={x|y=lg(x –3)}，B={x|y=x -5}，则A ∩B= 。
2、定义在R 上的函数f(x)是奇函数，则f(0)的值为 。
3、设函数f(x)=lgx ，则它的反函数f –1(x)= 。
4、函数y=sinxcosx 的最小正周期T= 。
5、若复数z1＝3–i ，z2＝7+2i ，(i 为虚数单位)，则|z2–z1|＝ 。
6、ΔABC 中，若∠B=30o ，AB=23，AC=3，则BC= 。
7、无穷等比数列{an}满足：a1=2，并且∞→n lim(a1+a2+…+an)=38，则公比q= 。
8、关于x 的方程2x=a a -+21只有正实数的解，则a 的取值范围是 。
9、如果直线y = x+a 与圆x2+y2=1有公共点，则实数a 的取值范围是 。
10、袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6个涂红色，从袋内任取2只球，则取出的2球恰好是一白一红的概率是 。
11、函数)(n f=n a n +2(n∈N*)为增函数，则a 的范围为 。
12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____ ______。
（用()()a ,b H H 表示）；二、选择题 (本大题满分16分)13．已知数列{an}的通项公式是an=2n –49 (n ∈N)，那么数列{an}的前n 项和Sn 达到最小值时的n 的值是 ( )(A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 2614．在△ABC 中，若C cB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是( )(A) 直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰直角三角形15．设x=sin α，且α∈]656[ππ-，，则arccosx 的取值范围是 ( )(A) [0, π] (B) [3π,32π] (C) [0,32π] (D) [32π,π]16．设非零实常数a 、b 、c 满足a 、b 同号，b 、c 异号，则关于x 的方程a .4x+b.2x+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根三．解答题（本大题满分86分） 17．(本题满分12分) 某中学，由于不断深化教育改革，办学质量逐年提高。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解.【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A．只有B．在直线上C．多于三个D．在第二象限【答案】C【解析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解.【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.4．已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A．B．036162 C．3053234 D．3055252【答案】D【解析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.二、解答题5．如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.6．设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.7．如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9．设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列. （3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、填空题10．设全集，若集合，，则______【答案】【解析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．计算：______【答案】【解析】设，求出，即得解. 【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.12．已知向量，，则________【答案】13【解析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.13．如果复数满足，那么________【答案】1【解析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解.【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．（）的反函数________【答案】（）【解析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.15．方程的解为________【答案】2【解析】由题得，即，解方程再检验即得解. 【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解. 【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.17．已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距. 【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】由题得，，再求其轴截面的面积. 【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.19．胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.20．已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
精品解析：【全国百强校】上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B. 036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2018届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考试数学试题(解析版)
第三个交点的横坐标为 2，所以在（0,2 上的三个解的和为 2+2=4，
在（2,4 上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为 2×3=6，第三个交点的横坐标
为 4，所以在（2,4 上的三个解的和为 6+4=10，
所以结合图像对称性，可知，在
均有三个解， ，且均有对称性，
∴在区间
上所有解的和为
，
故选：D
2018 届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期开学考 试数学试题
一、单选题
1．已知无穷等比数列 的各项的和为 ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充要条件 C．必要非充分条件 【答案】A
B．充分非必要条件 D．既非充分也非必要条件
【解析】先根据已知得
，
再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】
，所以
，因为 S＜0，所以 0.
8．已知抛物线
，直线
、
（
）， 与
恰有一个公共点 ， 与 恰有一个公共点 ， 与 交于点 .
（1）当
时，求点 到 准线的距离；
（2）当 与 不垂直时，求 的取值范围；
（3）设 是平面上一点，满足
且
，求 和 的夹角大小.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】（1）
，
，因为 与 恰有一个公共
点 ，，所以
，再求出抛物线的准线方程和点 到 准线的距离.（2）由 可得
，否则，令
，则
的概率为______（结果用最简分数表示）．
【答案】 【解析】胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得 的概率. 【详解】
，分两种情况讨论，再利用古典概型求
胡涂涂同学掷了 3 轮，要使得
，有两种情况，① 一轮点数为 1，二轮点数为 1、
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三下学期开学考试数学试题(解析版)
华二附中高三年级第二学期开学考数学试卷2018.03一.填空题1.设全集，若集合，，则______【答案】【解析】【分析】先求出，再求得解.【详解】由题得={···，-3,-2,,2,3,4,5,···}，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.计算：______【答案】【解析】【分析】设，求出，即得解.【详解】∵，设.所以所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量，，则________【答案】13【解析】【分析】由题得，即得.【详解】由题得，∴.故答案为：13【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.如果复数满足，那么________【答案】1【解析】【分析】由题得，所以方程没有实数根，由求根公式求出z的值，再求|z|的大小得解. 【详解】∵，所以，所以方程没有实数根，故答案为：1【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.（）的反函数________【答案】（）【解析】【分析】设（）,求出，再求出原函数的值域即得反函数.【详解】设（）,所以，因为x≥0，所以，所以.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数，.故答案为：，【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.6.方程的解为________【答案】2【解析】【分析】由题得，即，解方程再检验即得解.【详解】经检验，当x=10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________【答案】8【解析】【分析】由题得，所以n=4,再利用二项式展开式的通项求常数项得解.【详解】由题得，所以n=4,二项展开式的通项为，令.所以常数项为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________【答案】8【解析】【分析】，且，解方程组即得，，即得双曲线的焦距.【详解】，且，∴，，所以该双曲线的焦距为8.故答案为：8【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为________【答案】36【解析】【分析】由题得，，再求其轴截面的面积.【详解】由题得，，所以.故答案为：36【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列，首先，他令，当时，他投一次骰子，若所得点数大于，即令，否则，令，则的概率为______（结果用最简分数表示）．【答案】【解析】【分析】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，分两种情况讨论，再利用古典概型求的概率.【详解】胡涂涂同学掷了3轮，要使得，有两种情况，① 一轮点数为1，二轮点数为1、2、3、4、5、6，三轮点数为1；② 一轮点数为2、3、4、5、6，二轮点数为1、2，三轮点数为1；∴由古典概型得所求的概率为.故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.11.已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为_______【答案】【解析】【分析】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，先求出单位圆直观图的方程(x-y)²+8y²=1. 画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆x²+y²=1，即圆上的点P（cosθ，sinθ），第一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），第二步变换，绕着投影点顺时针旋转45°，即（cosθ+sinθ，sinθ），所以据此得到单位圆的直观图的参数方程为，x=cosθ+sinθ，y=sinθ，θ为参数，消去参数可得方程为，(x-y)²+8y²=1.得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a，OD即为椭圆的b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为b，我们可以求出a和b，从而推导出离心率.椭圆上的点（cosθ+sinθ，sinθ）到原点的距离的平方为=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设，、R，关于函数（）的下列结论：①是的零点；②时，函数取得最小值；③函数的最小值是3；④中有且仅有一个是错误的，则________【答案】-17【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，且，解方程组得.【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果ac＜0，则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，c＜0，则函数在定义域内也没有最小值.）且，且，解方程组得，.故答案为：-17【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二.选择题13.已知无穷等比数列的各项的和为，则“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据已知得，，所以，因为S＜0，所以0.再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得，，∴，因为S＜0，所以0.∴“”是“”的是充要条件.故答案为：A【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前n项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，则函数（R）与（R）图像的交点不可能（）A. 只有B. 在直线上C. 多于三个D. 在第二象限【答案】C【解析】【分析】结合函数（R）与（R）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的最多个数得解. 【详解】结合函数（R）与（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有2个交点，在第二象限，最多有1个交点，在第三、第四象限，因为函数（R）在第三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点.故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知是周期为4的奇函数，且当时，，方程在区间内有唯一解，则方程在区间上所有解的和为（）A. B.036162 C. 3053234 D. 3055252【答案】D【解析】【分析】在同一个坐标系下作出函数y=的图像，分析得到在均有三个解，，且均有对称性，所以在区间上所有解的和为，【详解】结合图像对称性，可知，在（0,2上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×1=2，第三个交点的横坐标为2，所以在（0,2上的三个解的和为2+2=4，在（2,4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2×3=6，第三个交点的横坐标为4，所以在（2,4上的三个解的和为6+4=10，所以结合图像对称性，可知，在均有三个解，，且均有对称性，∴在区间上所有解的和为，故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.三.解答题17.如图，三棱锥中，、、、均为直角，，.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得AB⊥平面BCD,先求出，再求出三棱锥的体积.(2) 以点B为坐标原点，以BD 所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线与所成角的大小.【详解】（1）由题得AB⊥平面BCD,AD=,BD=，所以,所以三棱锥的体积.（2）如图所示，以点B为坐标原点，以BD所在的直线为y轴，以BA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,0,1),,所以,所以异面直线与所成角的余弦，∴异面直线与所成角为.【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.18.设R，函数.（1）若，解不等式；（2）求所有的，使得在区间上单调递增.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）由题得再解不等式得解.(2)分类讨论，和，数形结合分析得到使得在区间上单调递增的a的取值范围.【详解】（1）由题得.（2）若，即，二次函数y=，在区间上单调递增.∴；若，即或，当，；当，，明显符合，所以此时综上，.【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.19.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为150°的两面墙，另两边是长度均为8米的篱笆、.（1）若，平方米，求的长（结果精确到0.01米）；（2）若要求，求花坛面积的最大值（结果精确到0.01平方米）.【答案】(1)10.05 (2) 平方米【解析】【分析】（1）设，由正弦定理得，即①，因为所以②，解①②即得解.(2) 连接BD,显然，再利用余弦定理和基本不等式求出，再求花坛面积的最大值.【详解】（1）设，由正弦定理得，∴，因为所以②，解①②得.所以由正弦定理得.（2）连接BD,显然,,由余弦定理得∴，即最大值为平方米.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知抛物线，直线、（），与恰有一个公共点，与恰有一个公共点，与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；（3）设是平面上一点，满足且，求和的夹角大小.【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1），，因为与恰有一个公共点，，所以，再求出抛物线的准线方程和点到准线的距离.（2）由可得，所以.(3) 由题得，联立与得，联立与得，再求出，根据，求得，解方程得，所以，即得和的夹角为.【详解】（1），，∵与恰有一个公共点，，∴，因为抛物线准线为，所以点到准线的距离.（2）由可得，，消去得，整理得，∴（3）由题得，联立与得，联立与得，∵，∴，与联立得，由第（2）问结论，，，消去a得，∴，∵，据此，∴，解得，，∴和的夹角为.【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设，若数列满足：对所有，，且当时，，则称为“数列”，设R，函数，数列满足，（）.（1）若，而是数列，求的值；（2）设，证明：存在，使得是数列，但对任意，都不是数列；（3）设，证明：对任意，都存在，使得是数列.【答案】(1) (2)见证明；(3)见证明【解析】【分析】（1），，分两种情况讨论得到.(2) 先证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列；再证明当，只需，即满足，且当，，所以是数列，，所以不是数列.(3)通过归纳得到：当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在.再结合函数映射性质可知，当时，，所以对任意，都存在，使得是数列.【详解】（1），，当，，；当，，，不符；综上所述，.（2）当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；当，，，，，，…，只需，即满足，且当，，∴是数列，，∴不是数列；综上，存在，使得是数列，但对任意，都不是数列.（3），当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；，当，有解，存在；……，当m为奇数，在，有解，存在；当m为偶数，在，有解，存在；结合函数映射性质可知，当时，，∴对任意，都存在，使得是数列.【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题
绝密★启用前2018年上海市华东师范大学第二附属中学高三三模数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知平面直角坐标系中不垂直于x 轴的直线l ，则“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件D ．既非充分又不必要条件2．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）3．方程ln3ln4ln5x x x +=正实数解的个数为（ ）. A ．0个B ．1个C ．3个D ．多于3个4．某作图软件的工作原理如下：给定()0,0.01δ∈，对于函数()y f x =，用直线段链接各点()()55,,n f n n n Z δδδδ⎛⎫-≤≤∈ ⎪⎝⎭，所得图形作为()y f x =的图象.因而，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合.若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则ω不可能等于（ ）A ．1999B ．1001C ．999D ．101第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明5．设x ∈R ，则不等式103x x +<-的解集为______. 6．()31x f x x+=的反函数为()1f x -=______. 7．已知向量(7,1,5)a =-r，(3,4,7)b =-r，则||a b +=________8．已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是3，首项12a =，则其公比q =______.9．如果双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，焦距为8，则实数m =________10．方程()()515log 1log 31x x +--=的解为x =______.11．在62x ⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项等于______.12．已知圆锥的高与底面直径均与球的直径相等，则圆锥与球的体积之比为______. 13．已知a 、b C ∈，集合{}{}2,,1a b a b =+，则⋅=a b ______.14．沙沙从写有数字05的6枚卡片中不放回地抽取3张并进行如下操作：若3张卡片中不含写0的那张，则记录这3张卡片上数字的平均值；若3张卡片中含有写0的那张，则记录这3张卡片上数字之和，那么他在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为______（结果用最简分数表示）.15．已知ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，P 是ABC ∆内一点，使得530PA PB PC ++=.设PD 垂直BC 于D ，PE 垂直CA 于E ，则PD PE ⋅=______.16．若函数4y a x a x=-+-在区间[]1,4上的最小值是4，实数a 的取值范围是______. 三、解答题17．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =，M 是11C A 的中点.装…………○……线…………○……_姓名：___________班级：装…………○……线…………○……（1）求四面体1MA AB 的体积；（2）求异面直线MB 与1AA 所成角的大小. 18．设a 、0b >，函数()xxf x a b =+.（1）若()f x 是偶函数，求ab 的值；（2）若2b =，求()()1f x f x +>时x 的取值范围（用a 表示）.19．如图，某校机器人社团需要制作一种四边零件ABCD ，要求90A ∠=，30BDC ∠=o ，AD 长10厘米，DC 长20厘米.（1）若65ADB ∠=，求BC 的长（结果精确到0.01厘米）； （2）若要求C ADC ∠=∠，求CBD ∠的大小（结果精确到1）. 20．已知()()2,0P t tt >是抛物线2y x=上一点，过原点O 作直线OP 的垂线l ，设点A 的坐标为()0,a ，其中(]0,1a ∈，直线PA 交l 于点Q .（1）当1t =时，求原点O 到直线PA 的距离（用a 表示）； （2）若当P 在抛物线上运动时，Q 点的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值. 21．设*m N ∈，若无穷数列{}n x 满足：对所有整数121d m ≤≤-，都成立2m d d x x -=，则称{}n x “m -折叠数列”.*n（2）给定常数*P N ∈，是否存在数列{}n x ，使得对所有*m N ∈，{}n x 都是pm -折叠数列，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的值？证明你的结论； （3）设递增数列{}i a 满足()**i a Ni N ∈∈.已知如果对所有*m N ∈，{}n x 都是ma-折叠数列，则{}n x 的各项中至多只有k 个不同的值，证明：()1211m m a k -≤-+.参考答案1．C 【解析】 【分析】由反正切函数的值域以及充分必要条件的判定可得出正确选项. 【详解】当0k ≥时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k . 当k 0<时，由直线l 的斜率为k ，可得出直线l 的倾斜角为arctan k π+. 反之，若直线l 的倾斜角为arctan k ，则直线l 的斜率为()tan arctan k k =. 因此，“l 的斜率等于k ”是“l 的倾斜角等于arctan k ”的必要非充分条件. 故选：C. 【点睛】本题考查直线斜率与倾斜角的关系，考查了反正切函数的应用，同时也考查了必要不充分条件的判断，在判断时要熟悉直线倾斜角的取值范围以及反正切函数的值域，考查推理能力，属于中等题. 2．B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系 3．B 【解析】 【分析】利用对数的运算性质先证明出log log b b caac=，可将原方程变形为ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再利用复合函数的单调性、指数函数与对数函数的单调性，即可得出原方程解的个数. 【详解】先证明log log b b c a a c =，设log b c a m =，log b a c n =，两个等式两边同时都取以b 为底数的对数得log log log b b b m c a =⋅，log log log b b b n c a =⋅，则log log b b m n =，m n =∴，即log log b b c a a c =.由ln3ln 4ln5x x x +=，可得ln ln ln 345x x x +=，0x >，等式两边同时除以ln 5x 得，ln ln 34155xx⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于函数ln 35xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln 45xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上单调递减，则函数ln ln 3455xxy ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0,∞+上单调递减，当ln 2x =时，即当2x e =时，有2234155⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，原方程的解只有一个. 故选：B. 【点睛】本题考查方程解的个数的判断，注意利用对数的运算性质和换元法、复合函数的单调性来判断解的唯一性，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 4．D 【解析】 【分析】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，可得出()20,0.01k πδω=∈，可得出ω所满足的不等式，即可得出ω的取值范围，进而得出正确选项. 【详解】由题意可知，该软件所绘()sin 2001y x =与sin y x =的图象完全重合，说明给定的δ恰好为函数()sin 2001y x =最小正周期的()k k N*∈倍，若其所绘()cos y x ω=与cos y x =的图象也重合，则δ也为函数()cos y x ω=最小正周期的()k k N*∈倍，则()20,0.01k πδω=∈，即20.01k πω<，200628k ωπ∴>>. 因此，ω不可能的取值为101. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数中参数的求解，解题的关键就是得出δ与正余弦型函数最小正周期之间的关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 5．()1,3- 【解析】 【分析】 解不等式103x x +<-即可得出该不等式的解集. 【详解】 解不等式103x x +<-得13x -<<，因此，不等式103x x +<-的解集为()1,3-. 故答案为：()1,3-. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 6．()133x x ≠- 【解析】 【分析】 由31x y x+=，解出x ，可得出函数()1y f x -=的解析式，并求出该函数的定义域. 【详解】 由31x y x+=得31xy x =+，即()31x y -=，得13x y =-. 因此，()()1133fx x x -=≠-. 故答案为：()133x x ≠-.本题考查反函数解析式的求解，解题时还应求出反函数的定义域，考查运算求解能力，属于基础题. 7．13 【解析】 【分析】先求出向量a b +=（4，3，12），由此能求出|a b +|． 【详解】∵向量()715a =-，，，()347b =-，，， ∴a b +=（4，3，12），∴|a b +|==13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查向量的模的求法，考查向量的坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．13【解析】 【分析】利用无穷等比数列各项和公式可求出q 的值. 【详解】由题意可知，无穷等比数列{}n a 的各项的和为12311a q q ==--，解得13q =. 故答案为：13. 【点睛】本题考查等比数列公比的计算，利用无穷等比数列各项和公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 9．4- 【解析】先化为标准式，再由焦距为8，列出m 方程，即可得到结论． 【详解】由题意，双曲线2213x y m m-=的焦点在y 轴上，则223y x m m ---=1，半焦距为4，则﹣m ﹣3m ＝16， ∴m ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质，属于基础题． 10．4 【解析】 【分析】利用对数的运算性质得出()()5log 131x x ⎡⎤+-=⎣⎦，然后将对数式化为指数式，结合真数大于零可解出x 的值. 【详解】()()()()()()515555log 1log 3log 1log 3log 131x x x x x x +--=++-=+-=⎡⎤⎣⎦，所以，()()1030135x x x x ⎧+>⎪->⎨⎪+-=⎩，解得4x =.因此，方程()()515log 1log 31x x +--=的解为4x =.故答案为：4. 【点睛】本题考查对数方程的解，解题时要充分利用对数的运算性质，还应注意真数大于零，考查运算求解能力，属于中等题. 11．154【解析】 【分析】求出二项展开式通项，利用x 的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得出所求常数项.62x⎛⎝展开式通项为6136666226662=22kkk kk k k k k kxC C x x C x------⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎝⎭.令3602k-=，解得4k=，因此，62x⎛⎝的二项展开式中常数项为42611521544C-⋅=⨯=.故答案为：154.【点睛】本题考查利用二项展开式通项求常数项，考查运算求解能力，属于中等题.12．12【解析】【分析】设球的半径为r，可得出圆锥的高和底面半径，然后计算出圆锥的体积和球的体积，即可得出圆锥与球的体积之比.【详解】设球的半径为r，则圆锥的高为2r，底面半径为r，则圆锥的体积为3212233rr rππ⨯=，球的体积为343rπ，因此，圆锥与球的体积之比为33241:332r rππ=.故答案为：12.【点睛】本题考查圆锥与球体体积的计算，要明确各几何量之间的等量关系，考查计算能力，属于基础题.13．1-【解析】【分析】根据题意得出21a b b a =+⎧⎨=⎩，解此方程组，即可计算出⋅a b 的值. 【详解】1b b ≠+，且21a b b a =+⎧⎨=⎩，解得1212a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1212a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.当12a =+，12b =-时，1112222a b i i ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；当122a =-，122b i =--时，1112222a b ⎛⎫⎛⎫⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 综上所述，1a b ⋅=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查利用集合相等求参数，同时也考查了实系数方程虚根的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14．320【解析】 【分析】列举出事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件，并计算出所有的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由题意知，事件“沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3”所包含的基本事件有：()1,3,5、()2,3,4、()0,1,2，共3个，所有的基本事件个数为3620C =.因此，沙沙在抽取一次之后，记录的数等于3的概率为320. 故答案为：320. 【点睛】本题考查利用古典概型概率的计算，解题关键就是求出所求事件所包含的基本事件数，一般利用列举法或者计数原理来得出，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．17596-【解析】 【分析】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，求出点A 、B 的坐标，结合530PA PB PC ++=求出点P 的坐标，再由0PE CA ⋅=求出点E 的坐标，由此可计算出PD PE ⋅的值. 【详解】以点C 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如下图：在ABC ∆中，5BC =，6CA =，4AB =，得2536163cos 2564BCA +-∠==⨯⨯，则sin BCA ∠=，9,22A ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，()5,0B ，()0,0C ， 设点()P m n ,，则4515755,522PA m n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()3153,3PB m n =--，(),PC m n =--.由题意得45515302530m m m n n n ⎧-+--=⎪⎪---=，解得256m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩256P ⎛ ⎝⎭.设92CE CA λλ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，则92526PE CE CP λ⎛=-=-- ⎝⎭.由92590262PE CA λ⎛⎫⋅=-⨯+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5572λ=. 3548PE ⎛∴=- ⎝⎭，0,PD ⎛= ⎝⎭，因此，5717596PD PE ⎛⋅==- ⎝⎭.故答案为：17596-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，建立坐标系求出相应点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于难题.16．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意得出函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -，利用双勾函数的单调性得出函数4y x x=+在区间[]1,4上的最大值为5，最小值为4，然后对a 分4a ≤、5a ≥、45a <<三种情况分类讨论，结合函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -求出实数a 的取值范围. 【详解】由于函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4，构造函数()4f x x a x=+-， 则函数()4f x x a x=+-在区间[]1,4上的最大值为4a -， 由双勾函数的单调性可知，函数4y x x=+在区间[)1,2上单调递减，在区间(]2,4上单调递增，min 4y ∴=，max 5y =.①当4a ≤时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，则()()m a x154f x f a a ==-≠-，不合乎题意；②当5a ≥时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()max 24f x f a ==-，合乎题意；③当45a <<时，对任意的[]1,4x ∈，()4f x x a x=+-，如下图所示：则()()(){}{}max95,42max 1,2max 5,494,52a a f x f f a a a a ⎧-<<⎪⎪==--=⎨⎪-≤<⎪⎩.综上所述，当92a ≥时，函数4y a x a x =-+-在区间[]1,4上的最小值是4.因此，实数a 的取值范围是9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为: 9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查绝对值函数的最值问题，同时也考查了双勾函数单调性的应用，解题时应充分利用绝对值变换，利用数形结合思想求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．（1；（2）arctan . 【解析】 【分析】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，可得BG ⊥平面11ACC A ，然后以BG 为高计算四面体1MA AB 的体积；（2）连接MG ，则有1//AA MC ，可知异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，然后在Rt BMG ∆中，利用锐角三角函数的定义可求出tan BMG ∠，由此可得出异面直线MB 与1AA 所成角的大小.【详解】（1）取AC 的中点G ，连接BG ，在正三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等边三角形，点G 为AC 的中点，则BG AC ⊥，1AA ⊥底面ABC ，BG ⊂平面ABC ，1BG AA ∴⊥， 1AA AC A =，BG ∴⊥平面11AAC C .1AA M ∆的面积为1111114222AA M S A M AA ∆=⋅=⨯⨯=，BG ==因此，四面体1MAA B 的体积为11112333B AA M AA M V S BG -∆=⋅=⨯=； （2）连接MG ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC ，四边形11AAC C 为平行四边形，则11//A C AC . M 、G 分别为11A C 、AC 的中点，则1//A M AG ，∴四边形1AA MG 为平行四边形， 1//MG AA ∴，则异面直线MB 与1AA 所成的角为BMG ∠，在Rt BMG ∆中，BG =14MG AA ==，tan BG BMG MG ∴∠==，BMG ∴∠=MB 与1AA所成的角为【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，同时也考查了异面直线所成角的计算，考查计算能力，属于中等题.18．（1）1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义()()f x f x -=，利用作差法并利用因式分解法可求出ab 的值；（2）将2b =代入函数()y f x =的解析式，由()()1f x f x +>可得出21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，然后分10a -≤和10a ->两种情况讨论，利用指数函数的单调性可得出不等式的解. 【详解】 （1）函数()xxf x a b =+是偶函数，则()()()()xxxx f x f x a bab ----=+-+()()()()()1111x x xxx x x xx xx x a b a b a b a b a b ab ab ⎡⎤+⎛⎫=+-+=+-=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()10xxx xab ab ab ⎡⎤+-⎣⎦==对任意的x ∈R 恒成立， 则()10xab -=对任意的x ∈R 恒成立，因此，1ab =； （2）2b =Q ，()2xxf x a ∴=+，则()1112x x f x a+++=+，由()()1f x f x +>，得1122x x x x a a +++>+，可得出222x x x x a a a ⋅+⋅>+，即()21xxa a >-⋅，不等式两边同时除以x a 得21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭. ①当10a -≤时，即当1a ≥时，原不等式恒成立；当10a ->时，即当01a <<时，则22a >，指数函数2xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭为增函数， 由21xa a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭可得()2log 1a x a >-.因此，当1a ≥时，x 的取值范围是R ；当01a <<时，x 的取值范围是()2log 1,a a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性的定义求参数，同时也考查了指数函数的单调性解不等式，解题时注意底数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 19．（1）11.84厘米；（2）53. 【解析】 【分析】（1）在R t A B D ∆中，利用锐角三角函数的定义求出BD ，然后在BDC ∆中利用余弦定理求出BC ；（2）设CBD x ∠=，利用x 表示图中各角，在ABD ∆中，利用锐角三角函数的定义得出()10sin 30BD x =-，然后在BCD ∆中，利用正弦定理得出关于角x 的三角方程，解出sin x的值，即可得出角x 的值. 【详解】（1）在Rt ABD ∆中，10AD =，65ADB ∠=，90A ∠=，10=23.66cos65cos65AD BD ∴=≈.在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos30BC BD CD BD CD =+-⋅⋅2223.6620223.6620140.21322=+-⨯⨯⨯≈，因此，11.84BC ≈（厘米）； （2）设CBD x ∠=，由三角形的内角和定理得150ADC C x ∠=∠=-，120ADB ADC BDC x ∠=∠-∠=-，9030ABD ADB x ∴∠=-∠=-，由题意知012090x <-<，得30120x <<. 在Rt ABD ∆中，由锐角三角函数的定义得()()10sin 30sin 30AD BD x x ==--，在BCD ∆中， 由正弦定理()20sin sin 150BD x x =-，即()20sin 150sin x BD x-=，即()()20sin 15010sin sin 30x xx -=-，化简可得24sin 2sin 10x x --=，解得sin 0.809x =≈，可得53x ≈，因此，CBD ∠的大小约为53. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，解题时要结合三角形已知元素的类型合理选择正弦、余弦定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．（1；（2）23. 【解析】 【分析】（1）求出直线PA 的方程，然后利用点到直线的距离公式可求出原点O 到直线PA 的距离； （2）求出直线l 的方程与直线PA 的方程，联立两直线的方程求出点Q 的坐标，然后将点⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入点Q 的坐标，即可求出实数a 的值. 【详解】（1）当1t =时，()1,1P ，()0,A a ，则直线PA 的斜率为1a -， 所以，直线PA 的方程为()1y a x a =-+，即()10a x y a -+-=， 因此，原点O 到直线PA=；（2）直线OP 的斜率为t ，则直线l 的方程为x y t =-，则直线PA 的方程为2t ay x a t-=+，联立两直线方程2x y t t a y x at ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得2211at x t a a y t a ⎧=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩.由于点Q 的轨迹经过点⎛⎫⎪⎝⎭，可得223111at t a a t a ⎧-=-⎪⎪-+⎨⎪=⎪-+⎩，解得233a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，23a =. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、直线的交点，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.21．（1）0或±1；（2）存在，证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义，列方程讨论q 的取值可得出结果；（2）只需列举出例子即可证明，结合定义，数列{}n x 的图象有无数条对称轴，可联想三角函数；（3）结合（2）的结论利用数学归纳法即可证明. 【详解】（1）要使通项公式为()nn x qn N *=∈的数列{}nx 是“3-折叠数列”，只需6dd qq -=.①当0q =时，0n x =，显然成立； ②当0q ≠时，上式可化为621dq -=，则()231d q -=，{}1,2,3,4,5d ∈，1q ∴=±.综上所述，0q =或±1；（2）对于给定的p ，{}n x 都是“pm -折叠数列”，故数列{}n x 的图象有多条对称轴，其中n pm =都是数列{}n x 的图象的对称轴， 设cosn nx pπ=，由()nm m Npππ*=∈，得对称轴为n pm =，且数列{}nx 的周期为2p ，满足给定常数p N *∈，使得对所有的m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，{}n x ∴是周期数列，且周期为2p ，在(]1,2p 这个周期内，n p =为对称轴，故(]1,2n x p ∈对应的项的个数与[],2n x p p ∈对应的项的个数相等，[],2n x p p ∈，[],2n x pπππ∈，n x ∴在[],2p p 上单调递增，p N *∈，故{}n x 各项中共有1p +个不同的取值.综上所述，给定常数p N *∈，存在数列{}n x ，使得对所有m N *∈，{}n x 都是“pm -折叠数列”，且{}n x 的各项中恰有1p +个不同的取值； （3）由（2）知，(),m a pm p N m N **=∈∈且1k p +=，即1k p =-.故要证原不等式成立，只需证121m pm p -≤+，只需证112m m p-≤+. ①当1m =时，不等式112m m p -≤+显然成立； ②假设当m k =时，有112k k p-≤+成立， 则当1m k =+时，()11111111121222k k k k k p p p+----+≤++<++=+， 故当1m k =+时，不等式成立. 综上所述，()1211m m a k -≤-+.【点睛】本题主要考查了数列、三角函数、不等式证明等知识，考查了分类讨论思想、函数思想，解题时还应注意对新定义的理解与迁移，属于难题.。
上海市华东师范大学第二附属中学2017-2018学年高三11月模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、填空题1.集合{}{}2,0,1,6,0,,A B x x a x R A B ==+>∈⊆，则实数a 的取值范围是______． 【答案】0a > 【解析】考点：集合包含关系【方法点睛】集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 2.直线:3450l x y +-=的单位法向量是______．【答案】34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：法向量()3,4=n ，单位法向量()1343,4,555⎛⎫== ⎪⎝⎭n n ，同理还有34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 考点：直线法向量3.复数14z i =+（i 为虚数单位），则2z z +=______． 【答案】5【解析】试题分析：234z z i +=+，∴25z z +=． 考点：复数的模【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi4.满足sin 0cos x x =的实数x 的取值范围是______． 【答案】,3x k k Z ππ=+∈【解析】试题分析：sin 0x x =，即2sin 03x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴,3x k k Z ππ=+∈． 考点：行列式5.函数()sin ,,22f x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的反函数是______． 【答案】()[]1arcsin ,1,1f x x x π-=-∈-【解析】6.若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______． 【答案】3π【解析】试题分析：设底面半径为r ，高为h S S rh π==侧截，∴2rh ππ=，解得r =，即母线与轴的夹角为3π． 考点：圆锥轴截面7.在()111x -的展开式中系数最大的是第______项． 【答案】7 【解析】试题分析：第1r +项系数为()111,6rrC r -=时最大，即第7项．考点：二项式定理【方法点睛】1.二项式系数最大项的确定方法①如果n 是偶数，则中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项的二项式系数最大； ②如果n 是奇数，则中间两项第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大.2.二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1，A r ≥A r ＋1，从而解出r 来，即得.8.奇函数()f x 的定义域为R ，满足()3log ,0f x x x =>，则()0f x ≥的解集是______． 【答案】[][)1,01,-+∞ 【解析】【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.9.已知棱长为1的立方体1111ABCD A BC D -，则从顶点A 经过立方体表面到达正方形11CDD C 的心M 的最短路线有______条．【答案】2 【解析】试题分析：沿边1DD 或DC 展开将正方形11CDD C 与正方形11ADD A 或正方形ABCD 共面，所以经过边1DD 或DC 时，路线最短，有2条． 考点：正方体展开图10.各项为正的等比数列{}n a 中，若1231,2,3a a a ≥≤≥，则4a 的取值范围是______．【答案】9,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】考点：不等式性质11.n abc =表示一个三位数，记()()()f n a b c a b b c a c a b c =+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯，如()()()12312312132312323f =+++⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，则满足()f n n =的三位数共有______个． 【答案】9 【解析】试题分析：因为10010a b c ab bc ac abc a b c ++++++=++，所以()()()11010110ab a b c a b c +++=+⇒+=，10ab a b a b ++=+⇒9b =，a 取1到9，共9个．考点：新定义，因式分解12.已知椭圆2214y x +=，A 、B 是椭圆的左右顶点，P 是椭圆上不与A 、B 重合的一点，PA 、PB 的倾斜角分别为α、β，则()()cos cos αβαβ-=+______．【答案】35- 【解析】试题分析：设()cos ,2sin P θθ，∴222sin 2sin 4sin tan ,tan tan tan 4cos 1cos 1cos 1θθθαβαβθθθ==⇒==-+--，()()cos 1tan tan 143cos 1tan tan 145αβαβαβαβ-+-===-+-+．考点：椭圆性质13.若对任意()2,1m ∈--，()()25f x mx m n x n =-++在()3,5x ∈上存在零点，则实数n的取值范围是______． 【答案】03n <≤ 【解析】考点：二次函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．14.已知：“平面内OA 与OB是一组不平行向量，且1,OA OB OA OB ==⊥ ，则任一非零向量OP ，()1212,OP OA OB R λλλλ=+∈，若点P 在过点O （不与OA 重合）的直线l 上，则12k λλ=（定值），反之也成立，我们称直线l 为以OA 与OB 为基底的等商线，其中定值k 为直线l 的等商比．”为真，则下列结论中成立的是______（填上所有真的序号）． ①当1k =时，直线l 经过线段AB 中点； ②当1k <-时，直线l 与AB 的延长线相交； ③当1k =-时，直线l 与AB 平行；④12l l ⊥时，对应的等商比满足121k k ⋅=-； ⑤直线1l 与2l 的夹角记为2πθθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭对应的等商比为1k 、2k ，则1212tan 1k k k k θ-=+；【答案】①③④⑤ 【解析】试题分析：等商比的意义为该直线斜率的倒数，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由此可知:1,(1,0),(0,1)AB y x A B =-+，①直线l y x =：经过线段AB 中点11(,)22；②当1k <-时，直线l 与BA 的延长线相交;③当1k =-时，直线l y x =-：与AB 平行；④12l l ⊥时，对应的等商比满足121k k ⋅=-；⑤由直线夹角公式得1212121211tan 1111k k k k k k k k θ--==++．考点：新定义 二、选择题15.明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ） A ．2盏B ．3盏C ．4盏D ．7盏【答案】B 【解析】考点：等比数列应用16.某校某班级有42人，该班委会决定每月第一周的周一抽签决定座位，该班级座位排成6列7行，同学先在写有1、2、3、4、5、6的卡片中任取一张，确定所在列，再在写有1、2、3、4、5、6、7的卡片中任取一张确定所在行，如先后抽到卡片为2、5，则此同学座位为第2列第5行，在一学期的5次抽签中，该班班长5次位置均不相同的概率是（ ）A ．5142B ．4142C ．542542PD ．442542P【答案】C 【解析】试题分析：每次抽签共有42种不同方法，5次抽签共有542种不同方法，该班班长5次位置均不相同，即从42种中抽出5种的方法数542P ，因此所求概率为542542P ，选C.考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.17.直线a 、b 是空间一组异面直线，长度确定的线段AB 在直线a 上滑动，长度确定的线段CD 在直线b 上滑动，ACD ∆的面积记为S ，四面体ABCD 的体积记为V ，则（ ）A ．S 为常数，V 不确定B ．S 不确定，V 为常数C ．S 、V 均为常数D ．S 、V 均不确定【答案】B 【解析】考点：四面体体积 18.下列四个图象，只有一个符合()112233123123,,0y k x b k x b k x b k k k R b b b +=+++-+∈≠的图象，则根据你所判断的图象，1k 、2k 、3k 之间一定满足的关系是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：四个图都有平行于x 轴的部分，∴至少在某个区间斜率为0，即123k k k +=，选A ． 考点：函数图像【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 三、解答题19.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，14AB BB ==． （1）求直线1AB 与11AC 所成角； （2）求点B 到平面1ABC 的距离．【答案】（1）arccos 4（2）7【解析】试题解析：解：（1）114AB CB AC ===，∴1cos 4CAB ∠=，所成角为arccos 4．（2）等体积法11B AB C B ABC V V --=． 考点：等体积法求点到平面距离，线面角20.某公司经过测算投资x 百万元，投资项目A 与产生的经济效益y 之间满足：()212124y f x x x ==-++，投资项目B 产生的经济效益y 之间满足：()21413y h x x x ==-++．（1）现公司共有1千万资金可供投资，应如何分配资金使得投资收益总额最大？ （2）投资边际效应函数()()()1F x f x f x =+-，当边际值小于0时，不建议投资，则应如何分配投资？【答案】（1）投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，（2）投资A 项目350万元，投资B 项目550万元． 【解析】试题分析：（1）根据题意，建立收益函数关系式：投资A 项目x 百万，投资B 项目10-x 百万，则()()()271042912y f x h x x =+-=--+，根据二次函数最值求法得投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，收益总额最大．（2）由题意得不等式：()()()()1121204F x f x f x x =+-=-++≥，解得72x ≤，因此投资A 项目350万元，投资B 项目550万元．试题解析：解：（1）()()()271042912y f x h x x =+-=--+，即投资A 项目4百万，投资B 项目6百万，收益总额最大．（2）()()()()1121204F x f x f x x =+-=-++≥，解得72x ≤，投资A 项目350万元，同理可得，应投资B 项目550万元． 考点：函数实际应用21.已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，O 为抛物线的顶点，准线与x 轴的交点为M ，点N 在抛物线上．（1）求直线MN 的斜率的取值范围，记MN NFλ=，求λ的取值范围；（2）过点N 的抛物线的切线交x 轴于点P ，则N P x x +是否为定值？【答案】（1）λ⎡∈⎣（2）0【解析】切线方程为()N N y y k x x -=-，联立22y px =，由0∆≥，解得N ky p =，从而22N N NP N N N N y y px x x x x x k p p=-=-=-=-，即0N P x x +=试题解析：解：（1）直线:2p M N y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立22y p x =得，()22222204p k k x k p p x +-+=0∆≥，解得[]1,1,k λ∈-=，∴λ⎡∈⎣．考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22.已知(),f x x R ∈是有界函数，即存在0M >使得()f x M ≤恒成立．（1）()()()1F x f x f x =+-是有界函数，则(),f x x R ∈是否是有界函数？说明理由； （2）判断()()1224,92323x x xf x f x x x ==-⋅-+是否是有界函数？ （3）有界函数(),f x x R ∈满足()()117,,4312f x f x f x f x f x x R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否是周期函数，请说明理由．【答案】（1）否，（2）()1f x ，有界，()2f x 无界．（3）是 【解析】试题分析：（1）由及时定义，需确定函数值域，值域有上下确界时为有界函数，肯定就需证明，否定只需找个反例：举一个一次函数就行（2）()()()111440,0;0,0,3322x f x x f x x f x x x xx==>=∈<=∈-+-+所以()1f x ∈，有界；()()222923(31)11||0x x x f x f x =-⋅=--≥-⇒≥，无界．（3）由()117,4312f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()473121212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()4()12h x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()3()12h x h x +=，因此()(1)h x h x +=，即()()16411212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()()16421212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()()()()121f x f x f x f x +-=+-+，又(),f x x R ∈是有界函数，所以必有()()1f x f x =+∴()()()()()1f x n f x n f x f x +=++-，∵()f x 有界，∴()()1f x f x =+，是周期函数．考点：及时定义23.数列{}n a 满足2111,2n n n a a a a +=-+=． （1）比较n a 与2n a +的大小；（2）证明：()122*12122,n n n a n n N -+<-<≥∈； （3）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，求lim n n S →∞． 【答案】（1）2n n a a +>（2）详见解析（3）1【解析】试题解析：解：（1）()221211n n n n n a a a a a +-=-+=-，∵12a =，∴1n n a a +>，∴2n n a a +>． （2）数学归纳法，2n =时，243212a <-<成立，当n k =时，假设1221212k kk a -+<-<成立，当1n k =+时， ()()()1112222222111111121221222321k k k k k k k k k k a a a a a ---+++++=-+=-+≥+++=+⋅+>+ ()()1122222221111111221122121k k k k k k k k k k a a a a a +++++++=-+=-+≤-+=-+<+ ∴1222212k k k a ++<-<，综上，∴1221212n n n a -+<-< （3）()111n n n a a a +-=-，∴111111n n n a a a +=---，裂项法，1111n n S a +=-- 根据第（2）问，1221111122n n n a -+<<-，∴lim 1n n S →∞=． 考点：数学归纳法，裂项相消法求和，两边夹定理求极限【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的。
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题含解析
上海市华东师范大学第二附属中学2018届高三数学下学期开学考试试题（含解析）一.填空题，则，设全集1.，若集合______【答案】【解析】【分析】.先求出得解，再求【详解】由题得，所以···}.-3,-2,2,3,4,5,={···，故答案为：【点睛】本题主要考查集合补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.计算：2.______【答案】【解析】【分析】. ，即得解，求出设.，设【详解】∵.所以所以.所以故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的计算，考查同角的三角函数的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3.已知向量________，则，13 【答案】【解析】【分析】- 1 -.由题得，即得.【详解】由题得，∴13故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知. 识的理解掌握水平和分析推理计算能力________4.，那么如果复数满足1 【答案】【解析】【分析】的值，再求，所以方程没有实数根，由求根公式求出z由题得. |z|的大小得解，所以，所以方程没有实数根，【详解】∵1故答案为：【点睛】本题主要考查复数方程的解法和复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌. 握水平和分析推理计算能力________5.）的反函数（【答案】（）【解析】【分析】. ,再求出原函数的值域即得反函数求出）（，设）所以,，【详解】设（.因x≥0，所，所以y≥0，所以反函数因为x≥0，所以，.，故答案为：【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的. 理解掌握水平和分析推理计算能力________方程6.的解为- 2 -【答案】2【解析】【分析】，即，解方程再检验即得解由题得.【详解】. 经检验，当x=-10时，原方程没有意义，x=2是原方程的解2故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的运算和对数方程的解法，考查对数函数的定义域，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力________81的二项展开式中，所有项的系数之和为在7.，则常数项为8 【答案】【解析】【分析】.由题得再利用二项式展开式的通项求常数项得解，所以n=4,得】由为式二n=4, ，所以项展开的通项题【详解，令..所以常数项为8故答案为：【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数和问题，考查二项式展开式特定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.8.已知离心率为2的双曲线的焦点到最近准线的距离等于3，则该双曲线的焦距为________ 【答案】8【解析】【分析】，，且，即得双曲线的焦距，解方程组即得.- 3 -8.，∴，【详解】，所以该双曲线的焦距为，且8故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和.分析推理计算能力________9.已知一个圆柱的表面积和体积都等于，则其轴截面的面积为36 【答案】【解析】【分析】. ，，再求其轴截面的面积由题得.，【详解】由题得，所以36故答案为：【点睛】本题主要考查圆柱的表面积和体积的计算，考查圆柱轴截面的面积的计算，意在考. 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力时，他投，首先，他令胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列10.，当的概率，否则，令，即令一次骰子，若所得点数大于，则 ______（结果用最简分数表示）．为【答案】【解析】【分析】.的概率轮，要使得胡涂涂同学掷了3，分两种情况讨论，再利用古典概型求、11，胡涂涂同学掷了3轮，二轮点数为有两种情况，要使得，①一轮点数为【详解】，三轮点数26，二轮点数为1、、、，三轮点数为5、61；②一轮点数为23、45、、、、234 为1；.∴由古典概型得所求的概率故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型，意在考查学生对这些知识的理解掌.握水平和分析推理计算能力已知用“斜二测”画图法画一个水平放置的圆时，所得图形是椭圆，则该椭圆的离心率为11.- 4 -_______【答案】【解析】【分析】=1. 22，先求出单位圆直观图的方程(x-y)+8y为了简化问题，我们可以设单位圆x2+y2=1，a画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，椭圆经过了适当旋转，OC 即为椭圆的，ba和，我们可以求出b，根据椭圆上的点到原点的距离最大为a，最小为bOD即为椭圆的.从而推导出离心率，第（cosθ，sinθ），即圆上的点P2+y2=1x【详解】为了简化问题，我们可以设单位圆，第二步变换，绕着一步变换，到它在x轴的投影的距离缩短一半，即（cosθ，0.5sinθ），所以据此得到单位圆的直观图（cosθ+45°，即投影点顺时针旋转sinθ，sinθ）sinθ，θ为参数，消去参数可得方，sinθ程y=方程参的数为，x=cosθ+为，=1.2(x-y)+8y2得到单位圆的直观图后，和上面一样，我们画出圆的外切正方形，和椭圆的外切平行四边形，当然就相当完美了！A、B处均与椭圆相切，并且可以轻易发现，椭圆的长轴其实已经不在x轴上了- 5 -，根据椭圆上的点到原点的距离b，OD即为椭圆的该椭圆经过了适当旋转，OC即为椭圆的a. ，从而推导出离心率a和b最大为a，最小为b，我们可以求出sinθ）到原点的距离的平方为椭圆上的点（cosθ+sinθ，=，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直观图的画法，考查圆的直观图的方程的求法，考查三角恒等变换和三角函数的最值，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析. 推理能力是（）的下列结论：①，关于函数的，12.设R、取得最小值；③函数；④的最小值是零点；②3中有且时，函数- 6 -________仅有一个是错误的，则-17 【答案】【解析】【分析】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，所以，且，.，解方程组得且，0ac【详解】根据假设法推理可知，①错误，②③④正确，由②得，（因为如果＜）且.c＜0，则函数在定义域内也没有最小值则函数在定义域内没有最小值，如果a＜0，，.且，解方程组得，-17故答案为：【点睛】本题主要考查分析推理，考查函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解. 掌握水平和分析推理能力二.选择题”的（13.的各项的和为已知无穷等比数列，则“）”是“ B. 充分非必要条件A. 充要条件既非充分也非必要条件D. 必要非充分条件C.A 【答案】【解析】【分析】再利用充要条件的先根据已知得＜，因为，所以S0，所以0.，. 定义判断得解0.【详解】由题得0，所以＜S，因为，，∴.”的是充要条件∴“”是“A故答案为：项和，考查充要条件的判断，意在考查学生对这n【点睛】本题主要考查无穷等比数列的前.些知识的理解掌握水平和分析推理能力- 7 -、、）无解，则必有（ 14.的方程组：）已知关于（其中D.C.A. B.B 【答案】【解析】【分析】，其中不同时为1、.所以当ab=1,且a,b由方程组得x+b(1-ax)=1,所以（1-ab）x=1-b无解，再利用基本不等式分析得解.【详解】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.、1，，其中所以当ab=1,且a,b不同时为.∴，即:B故选【点睛】本题主要考查基本不等式，考查解方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 和分析推理能力已知（R）图像的交点不可能（，则函数15.）与）（R在直线 C. 多于三个A. 只有D. 在第二象上 B.限C 【答案】【解析】【分析】）图像与单调性，分四个象限讨论每一个象限交点的（RR）与结合函数（最多个数得解.（【详解】结合函数）与R（R）图像与单调性可知，在第一象限，最多有个交点，在第三、第四象限，因为函数R）在第2个交点，在第二象限，最多有1（三、四象限没有图像，所以它们的图像在第三、四象限没有交点，∴最多只有3个交点. 故选:C【点睛】本题主要考查幂函数和指数函数的图像和性质，考查函数的图像的交点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.方程416.已知是周期为的奇函数，且当，时，在- 8 -，则方程区间）内有唯一解在区间上所有解的和为（ C. 3053234D. 3055252B. 036162A.D 【答案】【解析】【分析】均有三个解，的图像，分析得到在在同一个坐标系下作出函数y=为解的在区和上间所有称，且均有对性，所以，】解【详2×1=2，第0,2结合图像对称性，可知，在（上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为，所以在（2+2=4，0,2上的三个解的和为三个交点的横坐标为2，4上有三个交点，左边两个交点的横坐标的和为2,4 在（2×3=6，第三个交点的横坐标为，2,4上的三个解的和为所以在（6+4=10均有三个解，，且均有对称性，所以结合图像对称性，可知，在上所有解的和为∴在区间，D故选：【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，考查函数的零点问题，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合.分析推理能力解答题三..、17.如图，三棱锥中，、、均为直角，，- 9 -1）求三棱锥的体积；（.）求异面直线所成角的大小（2与 (2)(1) 【答案】【解析】【分析】为坐以点B.(2) BCD,（1）由题得AB⊥平面，再求出三棱锥的体积先求出轴建立空间直角坐标系，利用向量法所在直线为z所在的直线为y轴，以BA标原点，以BD.求异面直线所成角的大小与BCD,AD=AB⊥平面1）由题得【详解】 ,BD=，（所以三棱锥.的体积,所以）2（轴建立空间直zBAyBDB如图所示，以点为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在直线为- 10 -B(0,0,0),A(0,0,1),角坐标系，则,,所以所以异面直线，与所成角的余弦.所成角为与∴异面直线【点睛】本题主要考查三棱锥体积的计算，考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间观察想象分析推理能力.，函数18..R设）若，解不等式；（1，使得上单调递增. （2）求所有的在区间(1) 【答案】 (2)【解析】【分析】）由题得1再解不等式得解.(2)（在区间分类讨论，，数形结合分析得到使得和上单调递增. 的a的取值范围】（1解）由题得【详.，即，二次函数）若（2在区间y=，上单调递增.∴；，，；当，当，，明显符合，所以此时. 综上，【点睛】本题主要考查对数函数的图像和性质，考查对数函数不等式的解法，考查函数的单- 11 -调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.如图，某小区要建四边形的花坛，两邻边用夹角为19.150°的两面墙，另两边是长度均.为8米的篱笆、平方米，求的长（结果精确到）若0.01米），；（1面积的最大值（结果精确到）若要求0.01平方米），求花坛（2.(1)10.05 (2) 平方米【答案】【解析】【分析】①，因为，由正弦定理得（1，即所以）设显然BD,，再利用余弦定理和基本不等式求②，解①②即得解.(2) 连接.，再求花坛出面积的最大值，由正弦定理得）设，，∴（【详解】1②，因为所以.解①②得.所以由正弦定理得,,显然2（）连接BD,由余弦定理得平方米. ，即最大值为∴【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算和最值，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.已知抛物线，直线、（），与20.恰有一，与恰有一个公共点，个公共点与交于点.（1）当时，求点到准线的距离；（2）当与不垂直时，求的取值范围；- 12 -和且）设的夹角大小. （3是平面上一点，满足，求(3)(1) (2) 【答案】【解析】【分析】恰有一个公共点，，因为），，所以（1与点和方程出抛物线的准准线的距离.（2）线得由可，再求到以.(3) 由题得，所得得，再立与求与出，联，联立，求得，根据，和，即得得解方程，所以的夹角为.，（1，）【详解】，恰有一个公共点∵，与，∴准线的距离到准线为，所以点因为抛物线.得，可得）由（2，消去，，∴整理得得与，联立，联立得3（与）由题得，联立得，∵，与，∴a得）问结论，，，，消去由第（2，据此，，∵∴的夹角为和，解得∴，，∴.- 13 -【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查平面向量的运算和直线夹角的计算，考查基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.时，，，若数列，且当设满足：对所有，21.满足为“，函数则称，数列数列”，设R，（）.数列，求的值；，而是）若（1存在但对任意，证明：都不是使得（2），设数是数列，，列；是（，证明：对任意）设，使得数列，都存在.3(1) (2)见证明；(3)【答案】见证明【解析】【分析】先证明当分，）.(2) ，，（1两种情况讨论得到，即满足，所以是只需数列，，且当，所以不，，且当，所，即满足，只需，数列；再证明当是m为奇数，在归纳，得到：以当是不所，以数是列.(3)通过数列有解，存在；，m有解，存在为偶数，在当，.，所以对任意都存在再结合函数映射性质可知，，当时，，.是数列使得，），1；，，当（【详解】.当，不符；综上所述，，，- 14 -数列，也不是，，…，既不是，数列；（2，）当，数列，也不是，，数列；当，…，既不是，，数列；当，，，，，…，既不是数列，也不是，，，，，，…，只需当，，∴不是，且当，数列；即满足，∴是数列，，当，，，，，…，只需，，∴不是，数列，即满足，∴是，且当数列；都不是数列，使得，是综上，存在数列，但对任意.，，当）有解，存在；3（；，，当有解，存在；，当，有解，存在有解，存在，当；，……，m存在当为奇数，有解，，在；m有解，存在为偶数，在；，当时，，结合函数映射性质可知，当.，都存在是，使得数列∴对任意【点睛】本题主要考查对新定义的理解掌握，考查利用新定义解决问题的能力，考查数列性质的运用和证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.- 15 -。
!华师大二附中高三数学综合练习试卷(共十套)
上海市华师大二附中高三综合练习试卷（共十套）上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点 。
2．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=。
3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 。
4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1。
5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = 。
6．（文）若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 。
（理）若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 项。
7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 。
8．某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 。
（结果用分数表示） 9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 。
xxx-xxx学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟(三模)数学试题(解析版)
xxx-xxx学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟（三模）数学试题（解析版）xxx-xxx学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟（三模）数学试题一、单选题 1．若集合则“”是“”的( ) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简A，B，根据，列出不等式，解得，然后根据充要条件的定义判断即可【详解】，，要使，，解得，，，所以“”是“”的充分不必要条件，故选C 【点睛】本题考查充要条件的判定，正确把握充要条件的判定是解题的关键，属于基础题 2．实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（） A.可能是等差数列，也可能是等比数列 B.可能是等差数列，但不可能是等比数列 C.不可能是等差数列，但可能是等比数列 D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B 【解析】由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．【详解】（1）若a＞b＞0 则有a＞＞＞b 若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=，得，解得a=b （舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有若能构成等差数列，则，得2=3a-b 于是b＜3a 4ab=9a2-6ab+b2 得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B 【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键． 3．已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于、两点，为坐标原点，若，△的面积为，则（） A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【解析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解【详解】由，即渐近线为，与抛物线的准线交于，所以的面积为，解得故选：C 【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型 4．若函数f（x）满足：f（|x|）＝|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，则{y|y＝f（x），x∈D}⊆{y|y≥0}；在上述命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3 【答案】B 【解析】由对等函数的定义可判断①②，举反例说明③错误【详解】①定义域为R的“对等函数”，可令x＝0，即f（0）＝|f（0）|，解得f（0）＝0，或f（0）＝1，故①错误；②两个定义域相同的“对等函数”，设y＝f（x）和y＝g（x）均为“对等函数”，可得f （|x|）＝|f（x）|，g（|x|）＝|g（x）|，设F（x）＝f （x）g（x），即有F（|x|）＝f（|x|）g（|x|）＝|f（x）g （x）|＝|F（x）|，则乘积一定是“对等函数，故②正确”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，可取f（x）＝x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．故选：B．【点睛】本题考查函数的新定义问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题 5．若复数z满足1+2i，则z 等于_____．【答案】1+i 【解析】由题得iz+i＝﹣1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】∵iz+i ∴iz+i＝﹣1+2i ∴z＝1+i 故答案为：1+i．【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题 6．计算：_____ 【答案】【解析】由二项式定理得，再求极限即可【详解】；∴．故答案为：．【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题 7．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 . 【答案】【解析】【详解】因为这组数据的平均数为10，方差为2，所以x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，解得则x2+y2＝208，故答案为：208． 8．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若Dx＝5，则实数m＝_____．【答案】-2 【解析】由题意，Dx5，即可求出m的值．【详解】由题意，Dx5，∴m＝-2，故答案为-2．【点睛】本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础． 9．已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是_____ 【答案】【解析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴AP的斜率k 又OB的斜率k＝1 ∴w1．则的取值范围是：．故答案为：．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 10．在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_____项．【答案】4 【解析】先写出展开式的通项：由0≤r≤10及5为负整数，可求r的值，即可求解【详解】展开式的通项为其中r＝0，1，2…10 要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10 故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值 11．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_____．【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为2×2π=4π，圆柱的体积为，则球的表面积为4π，故球的半径为1；球的体积为，∴这个圆柱的体积与这个球的体积之比为，故填【考点】本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手 12．连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_____．【答案】【解析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴（m，n）与（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，] •0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1 ∴概率P．故答案为：【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键 13．已知集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B ＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为_____．【答案】[﹣1，3] 【解析】先分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．【详解】分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B （a﹣1，1），欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得：﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 14．在中，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，两点在直线的两侧），当变化时，线段长的最大值为__________．【答案】3 【解析】【详解】设，，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC 中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则，所以，线段长的最大值为3. 15．如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且．有以下结论：①当x＝0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为_____．【答案】②③④ 【解析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y 判断出②对,利用三点共线解得④对【详解】对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当P是线段CE的中点时，故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对对④，，令，则，当共线，则，当平移到过B时，x﹣y的最大值为﹣1，故④对故答案为②③④ 【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题 16．对任意和，恒有，则实数的取值范围是________. 【答案】或【解析】利用的形式进行放缩，最终化简为或，利用函数单调性，基本不等式即可求得最值【详解】先给出公式：，证明如下，即则原式可变形为即，或，①，由①得②或③ 当且仅当时取等号，所以的最小值为，，显然当为减函数（由对勾函数性质可得），，由此可得，即综上所述：或【点睛】本题考查函数恒成立问题，恒成立问题转化为最值问题是常规处理方式，本题解题关键在于通过对不等式的等价变形去掉，变形为关于的恒等式进行处理三、解答题 17．在中，角对应的三边长分别为，若，．（1）求的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积的运算，化简，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及的值代入计算即可求出的值；（2）由基本不等式求出的范围，根据，得出，进而利用余弦函数的性质求出角的范围，再化简，即可求出的值域．试题解析：（1）因为，所以，由余弦定理得．因为，所以．（2）因为，所以，所以，因为，所以，因为，由于，所以．所以的值域为．【考点】正弦定理；余弦定理． 18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】（ 1）由题设条件，易证得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由线面垂直的判定定理证得AB⊥平面PCB；（2）由图形知，取AP的中点O，连接CO、DO，可证得∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角，在△CDO 中求∠COD即可．【详解】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB．（2）取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC＝AC＝2，∴CO⊥PA，CO，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BC PB，CD ∴ cos∠COD．【点睛】本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角，是求角的关键． 19．某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）20千米/小时；（2）内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车. 【解析】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间，，根据，解不等式，即可求得结论．【详解】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得∴v≥20 ∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，∴ ∴ ∴ ∵x∈N+，∴x＝10 ∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟．【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间． 20．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，点到其准线的距离等于．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）如图，过抛物线的焦点的直线从左到右依次与抛物线及圆交于、、、四点，试证明为定值. （Ⅲ）过、分别作抛物的切线、，且、交于点，求与面积之和的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）设抛物线的方程为，根据已知条件得出的值，可得出抛物线的方程；（Ⅱ）解法一：求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值；解法二：设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并利用弦长公式并结合韦达定理证明是定值；（Ⅲ）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值. 【详解】（Ⅰ）设抛物线方程为，由题意得，得，所以抛物线的方程为；（Ⅱ）解法一：抛物线的焦点与的圆心重合，即为. 设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，，由韦达定理得，. 由抛物线的定义可知，，，. ，即为定值；解法二：设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，不妨设，. 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，，由韦达定理得，. ，，，即为定值；（Ⅲ），，所以切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为，联立两切线方程，解得，即点，所以点到直线的距离为．设，令，则，，所以在上是增函数，当时，即当时，，即和面积之和的最小值为. 【点睛】本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的方程就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错. 21．已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列. （1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项. 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）由等差等比数列的表达式an=2n，bn=2•qn-1，代入S3<a1003+5b2-2010直接求解即得到答案．（2）可以先假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2++bm+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项bk不存在；（3）由已知条件b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，结合等差等比数列的性质，可证数列中每一项是否都是数列中的项．【详解】 (1)由题意知，an=2n，bn=2•qn-1，∴由S3<a1003+5b2-2010，可得到b1+b2+b3<a1003+5b2-2010⇒b1-4b2+b3<2006-2010⇒q2-4q+3<0．解得1<q<3，又q为整数，∴q=2 (2)假设数列{bn}中存在一项bk，满足bk=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1，∵bn=2n，∴bk>bm+p-1⇒2k>2m+p-1⇒k>m+p-1⇒k≥m+p① 又 =2m+p-2m<2m+p，∴k<m+p，此与①式矛盾．∴这样的项bk不存在； (3)由b1=ar，得b2=b1q=arq=as=ar+(s-r)d，则又，从而，∵as≠ar⇒b1≠b2，∴q≠1，又ar≠0，故．又t>s>r，且(s-r)是(t-r)的约数，∵q是整数，且q≥2，对于数列中任一项bi(这里只要讨论i>3的情形)，有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1) =ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2) =ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2) =ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，由于(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1是正整数，∴bi一定是数列的项．故得证．【点睛】本题考查等差等比数列的性质的应用，反证法的应用，题目信息量大，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题。
上海市华东师范大学第二附属中学2021届高三三模数学试题
华二附中高三三模数学试卷2021.05一、填空题1．行列式1893的值为________．2．已知集合(,2)A =-∞，则A N =________．3．与2021︒终边相同的最小正角是________．4．直线23()1x tt y t =-⎧∈⎨=+⎩R 与x 轴交点的坐标为________．5．某次体检测得6位同学的身高分别为172、178、175、180、169、177（单位：厘米），则他们身高的中位数是________（厘米）6．已知ABC 中，2,30BC AB A ===︒，则AC =________．7．从3个函数：123,y x y x -==和y x =中任取2个，其积函数在区间(,0)-∞内单调递增的概率是________． 8．已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=________．9．若(2)na b +的二项展开式中前3项的系数成等差数列，则其各项系数之和为________．10．已知平面上到两直线y x =与y kx =的距离平方和为1的点的轨迹是一个圆，则实数k =________． 11．已知实数0a >，函数2(),()1xf xg x x a ax==++，若对任意1[2,2]x a a ∈-，总存在2[2,2]x a a ∈-，使得()()21f x g x ≤，则a 的最大值为________．12．已知边长为2的正方形ABCD 边上有两点P 、Q ，满足1PQ ≥，设O 是正方形的中心，则OP OQ ⋅的取值范围是________．二、选择题13．已知z ∈C ，则“22z z =-”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．若()23()x f x x =+∈R ，则1()y f x -=的定义域是（ ） A ．R B ．(5,)+∞ C ．(3,)+∞ D ．(0,)+∞ 15．若无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则2a 的取值范围是（ ） A ．(0,8) B ．(0,4)(4,8) C ．(8,0)(0,1)- D ．(8,0)(0,1]-16．设D 是(0,)+∞的一个子集，称函数()()y f x x D =∈为“机智”的，若存在奇函数()y g x =，使得(lg )()10g x f x =，有两个命题：①若对任意x D ∈，都成立1D x∈，11()f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()y f x =是“机智”的； ②若对任意1,x D x∈，都成立11()f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()y f x =是“机智”的； 则下列判断正确的是（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是假命题D ．①、②都是真命题三、解答题17．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，P ABCD -，2PA =，M 是PD 的中点．（1）证明：AM PC ⊥； （2）求点B 到平面AMC 的距离． 18．已知()212()log 610f x x x =-+．（1）解不等式：()1f x ≤-；（2）若()y f x =在区间[,1]a a +上的最小值为2-，求实数a 的值．19．某工厂承接制作各种弯管的业务，其中一类弯管由两节圆管组成，且两节圆管是形状、大小均相同的斜截圆柱，其尺寸如图1所示（单位：cm ），将其中一个斜截园柱的侧面沿1AA 剪开并摊平，可以证明由截口展开而成的曲线11A BCDA 是函数()cos()f x M x M x ππωωω⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图像，其中0M >，0ω>，如图2所示．（1）若5,13,45a b α===︒，求()y f x =的解析式；（2）已知函数()y f x =的图像与x 轴围成区域的面积可由公式2S M πω=计算，若制作该种该类弯管的一截圆管所用材料面积（即斜截圆柱的側面积）等于与之底面相同且高为cm a 的圆柱的面积，求α的值（结果精确到0.01︒）．20．设0k >，平面直角坐标系xOy 内的直线1:l y kx =，22:l y x k=，分别与曲线2:2(0)C y x y =>，交于相异的两点A 、B ．（1）若1k =，求直线AB 的斜率；（2）证明：直线AB 过定点M ，并求出M 的坐标； （3）是否存在k ，使得AB 在数值上等于OAB S的k ，否则，证明你的结论．21．已知λ∈R ，一个项数为N 的有穷实数列{}(3)k a N ≥称为“J λ数列”，若其满足下列三个条件：①121,N N a a a a -<>；②当11k N ≤≤-时，1k k a a +≠；③当11k N ≤≤-时，21111,,k k k k k k k k k a a a a a a a a a λλ+++-++<⎧=⎨->⎩． （1）若存在λ使得数列1、x 、2为“J λ数列”，求x 的值； （2）已知存在有穷等比数列为“J λ数列”，求实数λ的取值范围；（3）设{}k a 是各项均为正整数的1121+项数列，17a =，11219a +=，且当010k ≤≤时，以21k j j b a ⋅+=为通项的数列{}jb ()1102,kj j -≤≤∈N 都是“1J 数列”，求数列k a 最大项的值．参考答案一、填空题1．69- 2．{0,1} 3．221︒ 4．(5,0) 5．176 6．2或4 7．238．6 9．6561 10．1- 11．134-12．[2,1]- 6．【解析】2BC =，AB =，30A =︒，1sin 2sin 601204sin sin 2BC AB AB AC C orC AC A C BC⨯=⇒===⇒=︒=︒⇒=或2AC =． 7．【解析】23223p C == 8．【解析】121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⇒⨯=⎨=⎪⎩．9．【解析】011222123213(2),(2),(2)2n n n n n n a C a b a C a b a C a b a a a --===⇒=+，2211212222184n n n n n n C C C n n --+=⇒+=⇒=，令1a b ==则其各项系数之和为836561=12．【解析】1PQ ≤≤，当(1,1),(1,1)P Q ---时，min 2OP OQ ⋅=-， 当(1,1),(1,1)P Q ---时，min 2OP OQ ⋅=-， 当(1,1),(1,0)P Q 时，max 1OP OQ ⋅=．二、选择题13．B 14．C 15．D 16．D13．【解析】22z z z =-⇒为纯虚数，是错的，比如0z =，z 不是纯虚数；z 为纯虚数22z z ⇒=-，所以选B ．14．【解析】1()23(3,)()x f x y f x -=+∈+∞⇒=的定义域为(3,)+∞15．【解析】211211,0,4(1),4(1)4112a q q S a q a q q q q ⎛⎫<≠=⇒=-=-=--+ ⎪-⎝⎭2(8,0)(0,1]a ⇒∈-16．【解析】()y g x =为奇函数，()()g x g x -=-，1lg (lg )(lg )()()111()10,10101010()g g x g x g x x g x f x f x f x ⎛⎫⎪--⎝⎭⎛⎫======⎪⎝⎭，所以选D ． 三、解答题17．（1）底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，M 是PD 的中点， ∴AM PD ⊥，∵,PA CD CD AD ⊥⊥∴CD ⊥平面PAD ∴CD AM ⊥， ∴AM ⊥平面PCD ，∴AM PC ⊥．（2）∴AM ⊥平面PCD∴,AM MC MA MD MC ⊥===过11,1,22AMCMH AD H MH SAM MC ⊥===⨯⨯== 1122222ABCSAB BC =⨯⨯=⨯⨯=， 1133M ABCABC B AMC ANMCV S MH V S h --=⨯==⋅（设B 到面AMC 的距离为h ），∴ABCAMCS MHh S⨯==18．（1）()26102221122log 1log 6100,61024x x x x x x x -+≤-=⇒-+>-+≥⇒≥或2x ≤；（2）()y f x =在区间[,1]a a +上的最小值22(3)1t x -⇔=-+， 在[,1]x a a ∈+上的最大值为4，当3a >时，2(3)1t x =-+，2max (13)142t a a =+-+=⇒=；当13a +<即2a <时，2(3)1t x =-+，2max (3)143t a a =-+=⇒=-综上，2a =3-19．（1）()4cos 44xf x =+，44x ππ-≤≤；（2）45.00︒． 20．（1）12121,(2,2),,1,12322AB k A B k -⎛⎫=== ⎪⎝⎭-；（2）(1,0)-；（3）求得k =A 、B 重合，故不存在．21．（1）3x =；（2）0λ<；（3）7916,91625,162541,254166,+=+=+=+=⋯，以此类推，计算11次，得最大值1919．。
华师大二附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
华师大二附中2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3）C ．（，2）D ．（，0）2． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 3． 复数z=（﹣1+i ）2的虚部为（ ）A ．﹣2B ．﹣2iC ．2D ．0 4． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．4 2 B ．4 5 C ．2 2D ．2 55． 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为（ ） A ．120 B ．110C ．10D ．20 6． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 7． 拋物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点与双曲线C ：x 2－y 2＝2的焦点重合，C 的渐近线与拋物线E 交于非原点的P 点，则点P 到E 的准线的距离为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．108． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 定义运算，例如．若已知，则=（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）A ．16cmB ．C ．D ．26cm11．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[]12．已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变动 时，的取值范围是（ ）A ． ()0,1 B．⎝ C．()1,3⎫⎪⎪⎝⎭D ．(二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知函数f （x ）=，点O 为坐标原点，点An （n ，f （n ））（n∈N +），向量=（0，1），θn 是向量与i 的夹角，则++…+= ．14．已知函数5()sin (0)2f x x a x π=-≤≤的三个零点成等比数列，则2log a = . 15．定义在R 上的函数)(x f 满足：1)(')(>+x f x f ，4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为 .16．若log 2（2m ﹣3）=0，则e lnm ﹣1= ．三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市华师大二附中高三数学综合练习试题5苏教版
上海市华师大二附中高三数学综合练习试题5苏教版上海市华师大二附中高三数学综合练习试题 5 苏教版一、填空 ( 本大分 48 分 ) 本大共有 12 ，只需求直接填写果，每个空格填得 4 分，否一律得零分。
1、已知会合A=x y lg(x 2),B=y y2x。
, A B=2、若 sin= -5, cos 2=。
53、方程lg2x - 2lgx - 3 0的解是。
4、已知函数 f(x)的象与函数y3x的象对于直y=x 称， f(9)= 。
5、复数z5的共复数z ＝。
34i6、在数列a n中 a 1 = -13,且 3a n =3a n1-2,目前 n 和 s n取最小 n 的是。
7．会合A2, 4, 6,8,10 ,B1,3, 5,7, 9，在 A 中任取一元素 m和在 B 中任取一元素n,所取两数 m>n的概率是 _。
8、在△ ABC中三之比 a:b:c=2:3:19, △ ABC中最大角 =。
9、（理）在(1ax )7的睁开式中，x3的系数是x2和x4的系数的等差中，若数 a 1 ，那么 a。
（文）某工程由以下工序成，工程数天。
10、在无等比数列1,1,1，⋯中找出一个无等比的子数列（由原数列中部分按原2 4 8来序次摆列的数列），使它全部的和1，此子数列的通公式。
7a211、在 R 上定运算△： x△y=x(1 -y)若不等式 (x-a) △(x+a)<1, 随意数x 恒建立，数 a 的取范是。
a4 12、已知数列a n，a n 2 ( 13 ) n，把数列a n的各排成三角形状，如 a 7 a 8所示． A (m, n) 表示第m行，第n列的， A (10,8) =。
．．．．．．a1a3a 5 a 6a 9a10．．．．．．．．二、 ( 本大分 16 分 ) 本大共有 4 ，每都出代号 A、 B、 C、 D 的四个，此中有且只有一个是正确的，必把正确的代号写在后的括号，得 4 分，不、或许出的代号超一个( 不能否都写在括号内) ，一律得零分。
上海市华师大二附中高三数学综合练习试题4苏教版
上海市华师大二附中2010届高三上学期综合练习[4]高三年级数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1. 复数=⎪⎭⎫⎝⎛-+=10011i i Z ___________.2. 函数x x y 2cos 2sin 3-=的最小正周期是____________.3. 函数1)1(log 2++=x y (x>0)的反函数是_____________.4. 某学校的某一专业从8名优秀毕业生中选派5名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概率是____________.5. 已知ax x f +=1)(的反函数)(1x f -图像的对称中心坐标是(0, 2), 则a 的值为__________.6. 不等式0>-b ax 解集为(1, +∞), 则不等式02>+-bax x 的解集为___________.7. 已知等差数列{a n }前n 项和为Sn. 若m>1, m ∈N 且0211=-++-m m m a a a 3812=-m S , 则m 等于____________.8. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排2名学生, 那么互不相同的分配方案共有________种.9. 函数)(x f 是定义在R 上以3为周期的奇函数, 若1)1(>f , 132)2(+-=a a f . 则实数a 的取值范围是________________.10. 已知等差数列{a n }公差不为0, 其前n 项和为S n , 等比数列{b n }前n 项和为B n , 公比为q, 且|q|>1, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n nn n b B na S lim =___________________. 11. 函数)1(-=x f y 的图象如图所示，它在R 上单调递减，现有如下结论： ⑴1)0(>f ；⑵1)21(<f ；⑶0)1(1=-f；⑷0)21(1>-f 。
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上海市华师大二附中高三综合练习高三年级数学综合练习[3]一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡},那么MN = ．2．在ABC ∆中,“3A π=”是“sin A =”的 条件．3．若函数xy a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3,则a = ．4．设函数2211()()log 221x x xf x x x --=++++的反函数为1()f x -,则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ． 5. 设数列{}n a 是等比数列,nS 是{}n a 的前n 项和,且32nn S t =-⋅,那么t = ．6．若sin()24x ππ+=,(2,2)x ∈-,则x = ．7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ． 8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮,让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌,每堆牌不少于两张,且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张,放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张,放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌,就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时,小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ． 9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2,则数列{}n a 的一个通项公式是n a =．10．已知函数()y f x =是偶函数,当0x >时,4()f x x x =+；当[3,1]x ∈--时,记()f x 的最大值为m ,最小值为n ,则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =,()sin()2g x x π=-,直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点,则||MN 的最大值是 ．12．已知函数131()log (31)2x f x abx =++为偶函数,()22x x a b g x +=+为奇函数,其中a 、b为常数,则2233100100()()()()a b a b a b a b++++++++=．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得4分,不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。
13．若集合acbaS}(,,{=、b、c∈R）中三个元素为边可构成一个三角形,那么该三角形一定不可能是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形14．函数)(xf对任意实数x都有)1()(+<xfxf,那么)(xf在实数集R上是（）A．增函数 B．没有单调减区间C．可能存在单调增区间,也可能不存在单调增区间D．没有单调增区间15．已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成．2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元,其他收入为1350元）,预计该地区自2004年起的5年内,农民的工资性收入将以6 %的年增长率增长,其他收入每年增加160元．根据以上数据,2008年该地区农民人均收入介于（）A．4200元～4400元 B．4400元～4600元C．4600元～4800元 D．4800元～5000元16．已知函数()y f x=的图象如右图,则函数()sin2y f x xπ=-⋅在[0,]π上的大致图象为( )三．解答题（本大题满分86分,共有6道大题,解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（本题满分12分）解关于x的不等式)2(log2])4(4[log-<-+xaxaa,其中(0,1)a∈.18．（本题满分12分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期2T π=．(Ⅰ) 求实数ω的值；(Ⅱ) 若x 是ABC ∆的最小内角,求函数()f x 的值域． 19．（本题满分14分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤100x ≤（单位：千米/小时）．假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油)3602(2x +升,司机的工资是每小时14元．（Ⅰ）求这次行车总费用y 关于x 的表达式；（Ⅱ）当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值．（精确小数点后两位）20．（本题满分14分） 集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的： (1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x =≥,及21()46()(0)2x f x x =-⋅≥是否属于集合A ？并简要说明理由．（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ,不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ,是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立,为什么？若成立,请证明你的结论． 21．（本题满分16分）已知：*x ∈N ,*y ∈N ,且 211n x y +=（*n ∈N ）． （Ⅰ）当3n =时,求x y +的最小值及此时的x 、y 的值；（Ⅱ）若n *∈N ,当x y +取最小值时,记n a x =,n b y =,求n a ,n b；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,设12n n S a a a =+++,12n n T b b b =+++,试求limnn n T n S →∞⋅的值． 注:22221123(1)(21)6n n n n ++++=++.22．（本题满分18分）已知二次函数2()f x ax x =+（a ∈R,a ≠0）．（Ⅰ）当０＜a ＜12时,(sin )f x （x ∈Ｒ）的最大值为54,求()f x 的最小值．（Ⅱ）如果x ∈[0,1]时,总有|()f x |1≤．试求a 的取值范围．（Ⅲ）令1=a ,当[,1]()x n n n *∈+∈N 时,()f x 的所有整数值的个数为()g n ,求数列(){}2ng n 的前n 项的和n T ．上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3] 参考答案1． {1,2} 2．充分不必要 3．12 4．(2,0)． 5. 3． 6．0,1． 7．(,1]-∞ 8．5． 9．11()2n -． 10．1． 1112．1-．13．D 14．C 15．B 16．A17．解：∵ )2(log 2])4(4[log -<-+x a x a a ∴ 24(4)0204(4)(2)x a x x a x +->⎧⎪->⎨⎪+->-⎩(10<<a ) ,∴ 442a x a x -⎧>⎪⎨⎪>⎩ ∴不等式的解集为}42{<<x x 。
18． 解: (Ⅰ) 因为1()sin 2(1cos 2)22f x x x ωω=-+1sin(2)62x πω=--,所以222T ππω==, 2ω∴=.(Ⅱ) 因为x 是ABC ∆的最小内角,所以(0,]3x π∈,又1()sin(4)62f x x π=--,所以1()[1,]2f x ∈-.19．解：（Ⅰ）设行车所用时间为)(130h x t = ,2130141302(2),[50.100].360x y x x x ⨯=⨯⨯++∈所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是130182130,[50.100].360y x x x ⨯⨯=+∈（或：]100.50[,18132340∈+=x x x y ）（Ⅱ）16.821026360130218130≈≥⨯+⨯=x x y ,仅当88.561018,360130218130≈=⨯=⨯x x x 即时,上述不等式中等号成立答：当x 约为56.88km/h 时,这次行车的总费用最低,最低费用的值约为82.16元. 20． 解：（1）函数2)(1-=x x f 不属于集合A. 因为1()f x 的值域是[2,)-+∞,所以函数2)(1-=x x f 不属于集合A.(或1490,(49)54x f =>=>当时,不满足条件.)xx f )21(64)(2⋅-=(0)x ≥在集合A 中, 因为: ① 函数2()f x 的定义域是[0,)+∞；② 函数2()f x 的值域是[2,4)-；③ 函数2()f x 在[0,)+∞上是增函数．（2）0)41()21(6)1(2)2()(<-⋅=+-++x x f x f x f , )1(2)2()(+<++∴x f x f x f 不等式对于任意的0≥x 总成立.（Ⅰ）199)()1016y xy x y x y ++=++≥,当且仅当9y xx y =,即412x y =⎧⎨=⎩时,取等号. 所以,当412x y =⎧⎨=⎩时, x y +的最小值为16. （Ⅱ）211n x y +=, 22221()()1(1)n y n x x y x y n n x y x y ∴+=++=+++≥+,当且仅当2y n xx y +,即1(1)x n y n n =+⎧⎨=+⎩时,取等号. 所以,1n a n =+, (1)n b n n =+. （Ⅲ）因为12n nS a a a =+++123(1)(3)2n n n =++++=+,12n n T b b b =+++2222(11)(22)(33)()n n =++++++++222(123)(12)n n =++++++++(1)1(1)(21)26n n n n n +=+++1(1)(2)3n n n =++ 所以2lim 3n n n T n S →∞=⋅. 22． 解：⑴ 由210<<a 知121-<-a 故当1sin =x 时()f x 取得最大值为45,即()()()12414141451122-+=+=∴=∴=+=x x x x f a a f ,所以()f x 的最小值为1-；⑵ 由()1≤x f 得,12≤+x ax 112≤+≤-x ax 对于任意[]1,0∈x 恒成立,当0=x 时,()0=x f 使()1≤x f 成立；当0≠x 时,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-≤412111141211112222x x x a x x x a 对于任意的(]1,0∈x 恒成立；(]111,0≥∴∈x x ,则0412112≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ,故要使①式成立,则有0≤a ,又00<∴≠a a ；又2412112-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ,则有2-≥a ,综上所述：02<≤-a ；⑶ 当1=a 时,()x ax x f +=2,则此二次函数的对称轴为21-=x ,开口向上,故()x f 在[]1,+n n 上为单调递增函数,且当1,+=n n x 时,()()1,+n f n f 均为整数,① ②故()()()()()()*∈+=+--+++=+-+=N n n n n n n n f n f n g 321111122,则数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n g 2的通项公式为()2322n n g n n +=,故n n n n n T 232212292725132+++++++=- ① 又143223221229272521++++++++=n nn n n T ②由①—②得11322722723221212122521+++-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n n n T .2772n n n T +∴=-。