圆的方程(教师版)

4．1圆的方程4．1.1 圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为点A (－2,3)，半径为2； (2)经过点A (5,1)，圆心为点C (8，－3)．【思路探究】 只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程． 【自主解答】 (1)圆的标准方程为：(x ＋2)2＋(y －3)2＝2.(2)法一 圆的半径为|AC |＝(5－8)2＋(1＋3)2＝5，圆心为(8，－3)． ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25. 法二 设圆的方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝r 2， ∵点A (5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r 2，∴r 2＝25， ∴圆的标准方程为(x －8)2＋(y ＋3)2＝25.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2012·福建六校联考)以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100 C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25 【解析】 ∵点A (－3，－1)和B (5,5)的中点坐标为(1,2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1,2)， 半径r ＝12(5＋3)2＋(5＋1)2＝5.∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝25. 【答案】 D已知一个圆的圆心在点C (－3，－4)，且经过原点． (1)求该圆的标准方程；(2)判断点P 1(－1,0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系． 【思路探究】直接法求圆的标准方程――→分析点与圆心的距离同半径的关系―→下结论【自主解答】(1)∵圆心是C(－3，－4)，且经过原点，∴圆的半径r＝(－3－0)2＋(－4－0)2＝5，∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.(2)∵(－1＋3)2＋(0＋4)2＝4＋16＝25＜5，∴P1(－1,0)在圆内；∵(1＋3)2＋(－1＋4)2＝5，∴P2(1，－1)在圆上；∵(3＋3)2＋(－4＋4)2＝6＞5，∴P3(3，－4)在圆外．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定【解析】把点P(m2,5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外．【答案】 A求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．【思路探究】思路一：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，利用A，B及圆心所在位置求参数a，b，r.思路二：设圆的圆心坐标C(a,2－a)，利用|AC|＝|BC|求a及圆的半径．思路三：利用圆的几何性质：弦AB的中垂线与直线x＋y－2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程．【自主解答】法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法二 设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a,2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.∴(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2， 解得a ＝1.∴圆心坐标为C (1,1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 法三 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0,0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，∴弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1， ∴AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)， 即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1,1)， 圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法： (1)用待定系数法，其一般步骤如下：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ②根据已知条件，建立关于a ，b ，r 的方程组； ③解方程组，求出a ，b ，r 的值；④将a ，b ，r 的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题．【解】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圆的半径r＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.求圆的标准方程时以“形”代“数”致误已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【错解】如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|OA|2＝52－42＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．【正解】由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3，如图所示．∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.1．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝3的圆心坐标是( ) A ．(2,1) B ．(2，－1) C ．(－2,1) D ．(－2，－1)【解析】 结合圆的标准形式可知，圆C 的圆心坐标为(2，－1)． 【答案】 B2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝4C ．(x －2)2＋(y －2)2＝8D ．x 2＋y 2＝ 2【解析】 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x 2＋y 2＝4. 【答案】 B3．点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，则圆的方程是________．【解析】 因为点(1,1)在圆(x ＋2)2＋y 2＝m 上，故(1＋2)2＋1＝m ，∴m ＝10.即圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝10.【答案】 (x ＋2)2＋y 2＝104．已知两点P (－5,6)和Q (5，－4)，求以P ，Q 为直径端点的圆的标准方程，并判断点A (2,2)，B (1,8)，C (6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解】 由已知条件及圆的性质可知，圆心M 在直径PQ 的中点处， ∴圆心M 的坐标为(0,1)，半径r ＝12|PQ |＝12×(－5－5)2＋(6＋4)2＝5 2.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝50. ∵|AM |＝(2－0)2＋(2－1)2＝5<r ， ∴点A 在圆内．∵|BM |＝(1－0)2＋(8－1)2＝50＝r ， ∴点B 在圆上．∵|CM |＝(6－0)2＋(5－1)2＝52>r ， ∴点C在圆外.一、选择题1．下面各点在圆(x －1)2＋(y －1)2＝2上的是( ) A ．(1,1) B ．(2,1) C ．(0,0) D ．(2，2)【解析】 经验证点(0,0)满足圆的方程(x －1)2＋(y －1)2＝2. 【答案】 C2．(2013·周口高一检测)圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9 B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3 C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝9【解析】 由题意可知，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，故选D. 【答案】 D3．(2013·洛阳高一检测)圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －4)2＝25 B ．x 2＋(y ＋4)2＝25 C ．(x －4)2＋y 2＝25 D ．(x ＋4)2＋y 2＝25【解析】 由题意，圆的半径r ＝(0－3)2＋(4－0)2＝5，则圆的方程为x 2＋(y －4)2＝25. 【答案】 A4．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝100【解析】 圆心为AB 的中点(－1,1)，半径为12|AB |＝12(3＋5)2＋(－2－4)2＝5，∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝25.【答案】 B5．(2013·绍兴高一检测)已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52【解析】 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝(2－0)2＋(－3－0)2＝13.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.【答案】 B 二、填空题6．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同心且过点P (－1,1)的圆的方程是________．【解析】 圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2，由点P (－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r 2，解得r 2＝25.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25. 【答案】 (x －2)2＋(y ＋3)2＝257．点P (1，－1)在圆x 2＋y 2＝r 的外部，则实数r 的取值范围是________． 【解析】 由题意得12＋(－1)2>r ，即r <2，又r >0，故r 的取值范围是(0,2)． 【答案】 (0,2)8．(2013·浏阳高一检测)经过圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________．【解析】 圆心C 的坐标为(－1,2)，又直线的斜率为1， 故所求直线的方程为：y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0. 【答案】 x －y ＋3＝0 三、解答题9．(2012·长春高一检测)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 由A (－1,4)，B (3,2)可得直线AB 的斜率k AB ＝4－2－1－3＝－12，AB 的中点M (－1＋32，4＋22)， 即M (1,3)，∴直线AB 的垂直平分线的方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0，令x ＝0得y ＝1，即所求圆的圆心为C (0,1)．圆的半径为r ＝|AC |＝12＋(4－1)2＝10. 所以，所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.10．已知点A (1,2)和圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2，试分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)点A 在圆的内部； (2)点A 在圆上； (3)点A 在圆的外部． 【解】 (1)∵点A 在圆内部， ∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2，即2a ＋5<0，解得a <－52.故a 的取值范围是{a |a <－52}．(2)将点A (1,2)坐标代入圆的方程，得(1－a )2＋(2＋a )2＝2a 2，解得a ＝－52，故a 的值为－52. (3)∵点A 在圆的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2>2a 2， 即2a ＋5>0，解得a >－52.故a 的取值范围是{a |a >－52}．11．(思维拓展题)平面直角坐标系中有A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)，D (－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【解】 能．设过A (0,1)，B (2,1)，C (3,4)的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，r ＝ 5.∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.将D (－1,2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A，B，C，D四点在同一圆上.(教师用书独具)已知圆过两点A (3,1)，B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上，求此圆的方程． 【思路探究】 由已知条件可设出圆的标准方程，利用待定系数法或几何性质确定圆心坐标和半径．【自主解答】 法一 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )2＋(1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－6a －2b ＝r 2－10，a 2＋b 2＋2a －6b ＝r 2－10，3a －b －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4，r ＝10.∴所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法二 直线AB 的斜率k ＝3－1－1－3＝－12，可知AB 垂直平分线m 的斜率为2.AB 中点的横坐标和纵坐标分别为x ＝3－12＝1，y ＝1＋32＝2.因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.又圆心在直线3x －y －2＝0上，∴圆心在这两条直线的交点上．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，3x －y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.设圆心为C ，∴圆心坐标为(2,4)． 又半径r ＝|CA |＝10，则所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10.法三 设圆心为C ，∵圆心在直线3x －y －2＝0上， 故可设圆心C 的坐标为(a,3a －2)．又∵|CA |＝|CB |，故(a －3)2＋(3a －2－1)2＝(a ＋1)2＋(3a －2－3)2. 解得a ＝2，∴圆心为(2,4)，半径r ＝|CA |＝10. 故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.1．由于圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中含有三个参数a ，b ，r ，因此需要三个独立的条件才能确定一个圆的标准方程．2．求圆的标准方程常有以上三种方法，其中方法三最为简捷，方法二是几何法，巧用了圆的几何性质，方法一是通法，用方程的观点确定a ，b ，r 的值．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． 【解】 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |，∴(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2， 解得a ＝－2.∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二 设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10，故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三 线段AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝－3－(－5)2－(－2)＝12，所以弦AB 的垂直平分线的斜率k ＝－2，所以线段AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ， 即y ＝－2x －4.故圆心是直线y ＝－2x －4与直线x －2y －3＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －4，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，即圆心为(－1，－2)，圆的半径为r ＝(－1－2)2＋(－2＋3)2＝10， 所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.4．1.2 圆的一般方程(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径． (3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程． (4)能用坐标法求动点的轨迹方程．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．(教师用书独具)●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ 【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆． 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径． (1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.【答案】 (－∞，54)(2013·周口高一检测)求过三点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【思路探究】 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径【自主解答】 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.已知点A (4,0)，P 是圆x ＋y ＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程． 【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．【自主解答】 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )． ∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答案】x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 因为点A (a,2)在圆的外部， 所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0， 解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”． 【防范措施】 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.【正解】 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9【解析】 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝43．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．【解】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以圆C的方程为x 2＋y 2－x＋y＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上， 故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0， 即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0. (2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.∴圆M 过定点(0，－3).(教师用书独具)等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路探究】 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．【自主解答】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如图所示，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．【解】 ∵P 为BC 中点，O 为圆心，∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．① 当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).。