第二讲 函数的三要素
1.2.2 函数的三要素
函数的三要素定义域A值域 { f(x)|x∈A}对应关系f函数的“三要素”（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R 函数定义域25y x x =+-x R ∈（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合25y x =-5x ≠（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合5y x =-50x -≥（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子＞0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合2log (5)y x =-50x -＞（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合（5）如果f(x) 由几个数学式子构成时，那么函数的定义域为使各部分式子都有意义的实数集合。
235y x x =+--53x x ≠≥且256()2x x f x x -+=-求函数的定义域解：依题有256020x x x -+≥-≠解得:23<≥x x 或:265)(2的定义域是-+-=∴x x x x f }23{<≥x x x 或例322()11f x x x =-+-求函数的定义域()[1,1]()(,1][1,)()[0,1](){1,1}A B C D --∞-+∞- 例4221010x x -≥-≥2111x x x ===-或函数定义域（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x) 的定义域方法：令z=g(x)，且 f(x)=f(z)（函数与自变量的字母无关）（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域()[1,3],(21)f x f x-若的定义域是求的定义域例5解：令z=2x-1，且f(x)=f(z)因为f(z)的定义域是[1,3]，所以1≤z≤3因z=2x-1，所以1≤2x-1≤3，所以因此12x≤≤(21){12}f x x x-≤≤的定义域是（二）复合函数的定义域 求法（2）已知 f [g(x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域(21)[1,5],()f x f x --若的定义域是求的定义域例6解：令 z=2x-1，且 f(x)=f(z)因为f(2x-1)的定义域是[-1,5]，所以-1≤x≤5，即 -3≤ 2x-1 ≤9因z=2x-1，所以-3≤ z ≤9因此，即(){39}f z z z -≤≤的定义域是(){39}f x x x -≤≤的定义域是()[3,5],(21)f x f x +若的定义域是求的定义域练习12()[1,3],()f x f x -若的定义域是求的定义域练习2答案：[1,2]答案：[0,9]（三）已知函数的定义域，求含参数的取值范围的定义域是一切实数函数为何值时当例347,:2+++=kx kx kx y k 430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当304k £< (1)当K =0时, 3≠0成立函数定义域综上所述：函数表达式例7 已知二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 ,求f(x) .解：令z=x+1，f(z)=f(x)则x=z-1，代入二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 得到f(z)=4(z-1)2-6(z-1)+5=4z2-14z+15所以 f(x)=4x2-14x+15练习3 已知，求函数f(x) 的解析式.函数值域例8 已知 ,求 f(x)的值域 . 解：230由右图可以看出f(x)的值域是(-∞,3)∪(3,+∞)数形结合函数值域函数值域：min ≤ f(x) ≤ max（x1 ≤ x ≤ x2 ）求函数的值域，即求函数在定义域的最大值和最小值.x1x2。
函数的三要素精讲
函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1： 求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。
5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
函数的三要素
第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。
高一函数三要素的知识点
高一函数三要素的知识点函数是数学中的重要概念，是描述两个变量之间关系的工具。
在高一数学中，函数的学习是一个重要的内容，其中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则。
本文将深入探讨这些要素的含义和相关的知识点。
1. 定义域定义域是函数中自变量的取值范围。
在一个函数中，自变量的取值不能超出定义域的范围。
例如，对于一个以年龄为自变量，身高为因变量的函数，定义域可能是年龄范围在0至100岁之间的实数集合。
在某些情况下，定义域可能受到一些限制。
比如，对于一个以分母为自变量，分数值为因变量的函数，定义域就不能包含分母为零的情况，因为分母为零时函数无法定义。
因此，理解函数的定义域是非常重要的，它有助于我们确定函数的有效取值范围。
2. 值域值域是函数中因变量的取值范围。
它表示函数在定义域内所有可能的因变量取值。
例如，对于一个以时间为自变量，距离为因变量的函数，值域可能是非负实数集合，因为距离不可能为负数。
值域的分析有助于我们理解函数的变化趋势和范围。
通过确定值域，我们可以确定函数的最大值、最小值等特征。
同时，对于一些特殊函数，比如二次函数，我们还可以通过分析值域来确定函数的开口方向和是否有最值的情况。
3. 对应法则对应法则是函数中自变量与因变量之间的关系。
它描述了自变量和因变量之间的映射规律。
例如，对于一个以温度为自变量，压强为因变量的函数，对应法则可能是温度每上升1摄氏度，压强上升0.1帕斯卡。
对应法则是函数中最核心的部分，它决定了函数的性质和变化规律。
理解对应法则有助于我们分析函数的特点，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。
在实际问题中，研究对应法则可以帮助我们建立数学模型，并通过函数来解决实际问题。
除了以上三个要素，高一数学中还涉及了函数的图像、反函数、复合函数等内容。
通过对这些内容的学习，我们可以更全面地了解函数的性质和应用。
总结起来，高一函数三要素的知识点包括定义域、值域和对应法则。
这些要素是函数研究的基础，对于解决实际问题和深入理解数学知识都起到了重要的作用。
函数的概念,三要素的求法（整理版）
函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
2020高考100篇之003函数的三要素
2020高考100篇之003函数的三要素展开全文师说：函数的三要素分别为：定义域，值域和对应法则。
这三个要素在高考中鲜有单独的设问，偶尔在双空的填空题里面出现。
定义域的考察无处不在，不注意这个知识点，要么题目犯错，要么题目根本没法做。
对于学生我提到了这样几句话：集合注意空集，函数注意定义域，向量注意零向量，直线注意斜率，有参数找定点。
这些都是易错的点，也是看到相应类型问题必须要做的下意识动作。
此外，对于一些实力较弱的同学而言，最后导数大题，求导之前，工工整整写上一行字“定义域为R“抑或其他定义域，在某些时候还能捡到珍贵的分数。
值域其实不能说不考，而是处处都在考，恒成立问题里面有值域，向量问题的取值范围里面有值域，基本不等式更加有值域包含在里面。
纵观每一份试卷，其实和值域相关的题目总分占比很高。
同学们要练习好的很熟练的值域问题①含参二次式值域问题②二次分式的值域问题，方法有判别式法，基本不等式法，单调性法，导数法等，尤以基本不等式居多。
对应法则中解析式这一条，复习时会复习三种方法，分别为①知道类型的待定系数法②单f的换元法③双f的方程组法。
另外就是在分段函数里面根据自变量范围选择相应的对应法则进行正向或者逆向计算。
遍寻浙江近些年的高考题，很是失望，真的找不到太多直接考察三要素的题目。
拉出几个来凑个数，大家看看，有兴趣的动笔算算。
END☆数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.☆数学核心素养的基本特征可以归结为综合性、阶段性和持久性三方面.☆对于数学核心素养的具体理解，可以说是指在学习数学之后渐渐形成的一种综合性的运用知识解决问题的能力，它是数学教学过程中需要特别注意的一种素养，具体来说指的并非某些知识或者技巧。
更不是平常意义上的数学能力，而是一种反应了数学思想的、基于数学知识却高于知识的综合、持久和阶段的能力。
1.2函数三要素
1.2 函数的三要素1.2.1 函数的定义域1．对函数定义域的理解：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，是研究函数的重要内容.在给定函数的同时应该给定函数的定义域.如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的x 的取值范围或使实际问题有意义的x 的取值范围.2．确定函数定义域的方法：（1）如果()x f 是整式，那么函数的定义域是实数集R ;（2）如果()x f 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;（3）如果()x f 是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合; （4）如果()x f 是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各集合的交集;（5）实际问题中，定义域要满足实际问题有意义. 例1求下列函数的定义域：（1）373122+++-=x x y ；（2）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=.解：（1）要使函数有意义，必须⎩⎨⎧≠+≥+-.073,022x x 解得R ∈x ，且37-≠x . 所以，函数的定义域为.37,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠∈x x x 且R（2）要使函数有意义，必须⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-.023,112,012,022x x x x x 解得221≤<x 且23,1≠≠x x .所以，函数的定义域为]2,23()23,1()1,21( .例2 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图1.2-1），若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数式，并求它的定义域.解：设x AB 2=，则CD 弧长为x π，于是22xx l AD π--=. ∴221222x x x l x y ππ+--⋅=lx x ++-=224π.由题意知⎪⎩⎪⎨⎧>-->,022,02x x l x π π+<<∴20l x . 所以，所求函数式为lx x y ++-=224π,其定义域为（π+2,0l）. 例3 已知函数54322++-=kx kx x y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.分析：本题已知函数的定义域为R ，说明函数恒有意义，也就是分母恒不为0. 解：由题意知0542≠++kx kx 的解集为R .当0=k 时，函数53254322-=++-=x kx kx x y 的定义域为R . 当0≠k 时，由()02042<-=∆k k ，解得450<<k .所以，所求k 的取值范围是.45,0⎪⎭⎫⎢⎣⎡说明：给定定义域求参数的取值范围，要注意对二次项系数k 的讨论. 3．复合函数的定义域：（1）已知()f x 的定义域，求[()]f g x 的定义域：若()f x 的定义域为[],a b ，则函数[]()f g x 的定义域是使()a g x b ≤≤有意义的x 的集合，也就是不等式()b x g a ≤≤的解集.（2）已知[()]f g x 的定义域，求()f x 的定义域：若[()]f g x 的定义域为[],a b ，则函数()x g 在[]b a x ,∈上的取范围就是()f x 的定义域.例4 （1）已知函数()x f 的定义域为[]4,0，求函数()2xf 的定义域；（2）已知函数()12+x f 的定义域为[]3,1-，求函数()x f 的定义域； （3）已知函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，求函数)2(x f 的定义域.解：（1） ()x f 的定义域为[]4,0，C图1.2-1402≤≤∴x .解得22≤≤-x .所以，函数)(2x f 的定义域为[]2,2-.（2） ()12+x f 的定义域为[]3,1-，31≤≤-∴x ，7121≤+≤-∴x .所以，函数)(x f 的定义域为[]7,1-. （3） 函数()22-x f 的定义域为[)+∞,1，12≥∴x ，122-≥-∴x ，即函数()x f 的定义域为),1[+∞-.12-≥∴x，即2-≥x . 所以，函数⎪⎭⎫ ⎝⎛2x f 的定义域[)+∞-,2.方法提炼：由()x f y =的定义域，求复合函数()()x g f y =的定义域，实质上是已知中间变量()x g u =的值域，求自变量x 的取值范围.练习1： 1.函数()x x x y +-=1的定义域为(C)A ．{x |x ≥0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数()()12-=x x f x g 的定义域是(B) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4] D ．(0,1) 3.函数x xy lg 21+-=的定义域为__________.答案：[)2,11.2.2 函数的解析式求函数解析式的常用方法有：（1）由实际问题建立函数关系式；（2）对函数特征已明确的函数，一般可用待定系数法；（3）对“已知()()x h x g f =][，求()x f 的解析式”的问题，一般用换元法； （4）若给出函数方程，一般可用构造方程组解出函数法； （5）复合函数，一般可用代入法.例5 （1）已知()x f 是一次函数，且有()[]89+=x x f f ，求()x f ； （2）已知()x f 是二次函数，且()()()11,00++=+=x x f x f f ，求()x f . 解：（1）设()b ax x f +=.由题意，有()[]()()b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2.由已知，得892+=++x b ab x a .⎩⎨⎧=+=∴.8,92b ab a 解得⎩⎨⎧==,2,3b a 或⎩⎨⎧-=-=.4,3b a()23+=∴x x f 或()23--=x x f .（2）设()()02≠++=a c bx ax x f .由()00=f ，得0=c .∴()()02≠+=a bx ax x f .又由()()11++=+x x f x f ，得()()1122+++=+++x bx ax x b x a ，即()()11222+++=++++x b ax b a x b a ax .⎩⎨⎧=++=+∴.1,12b a b b a 解得.21==b a ().21212x x x f +=∴ 方法提炼：本题给出的函数是模型函数（如一次函数、二次函数等），求函数的解析式一般用待定系数法.例6 已知()x x x f21+=+，求()x f .解：方法一 (换元法) 令1+=x t ()1≥t ，则()21-=t x .()()()112122-=-+-=∴t t t t f .()()112≥-=∴x x x f .方法二（配凑法） 由题意，有()x x x f21+=+()112-+=x .所以()12-=x x f . 又11≥+x ，()()112≥-=∴x x x f .方法提炼：形如()()()x h x g f =求()x f 一般使用换元法时，换元时一定要注意所换元的取值范围. 例7 （1）已知()()232+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式； （2）已知()x xf x f 3)1(2=+，求()x f 的解析式. 解：（1）（取反消元法）()()232+=-+x x f x f ， ① ∴()()232+-=+-x x f x f . ②由①,②，解之得().323+=x x f （2）（取倒消元法）()x xf x f 3)1(2=+， ①∴xx f x f 3)(2)1(=+. ②由①,②，消去)1(x f ，得().22xx x f -=方法提炼：“()()232+=-+x x f x f ”和“()x xf x f 3)1(2=+”是以函数为未知元的等式，叫做函数方程.一般可考虑构造方程组解出函数解析式.例8 设()x f 是R 上的函数，且满足()10=f ，并且对任意实数y x ,有()()()12+--=-y x y x f y x f ，求()x f 的解析式.解：取y x =,则()()()120+--=x x x x f f . 而()10=f ,∴().12++=x x x f方法提炼：本题给出的是抽象函数,求函数的解析式一般用赋值法.练习2：1.已知2211)11(xx x x f +-=+-，则f (x )的解析式为(C) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 2.已知幂函数)(x f 的图象过点)3,3(，则)(x f 的解析式为 ．答案：21x y =3.已知二次函数()x f y =的最小值为4，且()()620==f f ，求()x f 的解析式. 答案：().6422+-=x x x f1.2.3 函数的值域与最值1．函数值域的理解：函数的值域是全体函数值所组成的集合.是函数的三要素之一，它由定义域和对应法则确定.2．确定函数值域的方法：（1）当函数()x f y =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；（2）当函数()x f y =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所对应的实数y 的集合； （3）当函数()x f y =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及对应法则唯一确定； （4）当函数()x f y =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定. 3．常见函数的值域：（1）一次函数()0≠+=k b kx y 的值域为R .（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y ：当0>a 时，值域为),44[2+∞-ab ac 当0<a 时，值域为]44,(2ab ac --∞.（3）反比例函数()0≠=k xky 的值域为{}0,≠∈y y y R . 4．函数的最值：最大值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最大值.最小值：一般地，设函数()x f y =)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有()M x f ≥；②存在I x ∈0，使得()M x f =0.那么，称M 是函数()x f y =的最小值.注意：（1）函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在I x ∈0，使得()M x f =0；（2）函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的I x ∈，都有()M x f ≤（或()M x f ≤）.例9 求下列函数的值域:(1)xy 1=； (2)x y -=3. 解：（1）∵0x ≠，∴01≠x.所以，函数的值域是()()+∞∞-,00, . （2）∵0x ≥，3x 3,0x ≤-≤-∴. 所以，函数的值域是(]3,∞-.方法提炼：对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察法得到.如利用01≠x，0≥x 等. 例10 （1）求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域；（2）求函数2211xx x y +++=的值域. 解：（1）将函数配方，得()412+-=x y ..∵[]2,1-∈x ，由二次函数的性质可知： 当x=1时，4min =y ，当1x -=时，8max =y . 所以，函数的值域是[4，8].（2）原函数可化为()()0112=-+-x y x y .当1≠y 时，R ∈x .由()()()011412≥----=∆y y ，解得2321≤≤y . 当1=y 时，解得0=x ，此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211. 所以，函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21.方法提炼：（1）配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；（2）“二次型分式函数”可以转化为一元二次方程后用判别式法求值域.例11 求下列函数的值域：（1）1-+=x x y ；（2）82++-=x x y 的值域.解：（1）方法一：令t x =-1()0≥t ,则12+=t x .∴4321122+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=t t t y .又0t ≥，由二次函数的性质可知当0=t 时，1min =y ,当+∞→t 时，+∞→y . 所以，函数的值域为[)+∞,1.方法二：易知函数在定义域),1[+∞上单调递增.()11min ==∴f y .所以函数的值域为[)+∞,1.（2）方法一：82++-=x x y 可以看成数轴上的点()x P 到定点()2A ，()8-B 间的距离之和，如图1.2-2所示.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，1082==++-=AB x x y . 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，1082=>++-=AB x x y . 所以，函数的值域为[)+∞,10. 方法二：原函数可化为()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤--=.262),28(10,862x x x x x y当8-≤x 时，1062≥--x ，即10≥y ； 当28<<-x 时，10=y ；当2≥x 时，1062≥+x ，即10≥y .图1.2-3 A B P图1.2-2图1.2-4所以，函数的值域为[)+∞,10.方法提炼：第（1）题方法一采用的换元法把一个函数变为简单函数后再求值域，对应二次函数的图象如图1.2-2所示；第（2）题函数解析式具有明显的几何意义，方法一采用的是数形结合法求值域；方法二采用的转化成分段函数后求值域，其对应分段函数的图象如图1.2-4所示.例12 已知函数()()R ∈++-=x a ax x x f 6242.（1）求函数的值域为),0[+∞时a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数()32+-=a a a f 的值域. 解：(1）∵函数的值域为),0[+∞,∴()0624162=+-=∆a a ，即0322=--a a 0.∴1-=a 或23=a . （2）对一切x ∈R ，函数值均非负, ∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0，即-1≤a≤23,∴a+3＞0. ∴()]23,1[,417)23()3(22-∈++=+-=a a a a a f . ∵二次函数()a f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴()419)23(min -==f a f ，()4)1(max =-=f a f . ∴()a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419. 函数的最值与值域的关系：(1)函数的最大值和最小值统称为函数的最值；(2)函数y=f(x)的最值是函数图象最高点与最低点的纵坐标；(3)一个函数一定存在值域,但不一定存在最值(当值域是开区间时),最值是值域为闭区间时的端点值.练习3：1.函数xa x f =)(（0>a ，且1≠a ）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a 的值为 ． 答案：2321或2.设函数21)(2++=x x x f 的定义域是]1,[+n n （n 是正整数），那么在)(x f 的值域中共有 个整 数．答案：22+n3.求函数y ＝3xx 2＋4的值域．答案：⎣⎡⎦⎤－34，34.习题1.2一、选择题1．（2008，全国）函数x x y +-=1的定义域为（D ）A ．{}1≤x xB ．{}0≥x xC ．{}01≤≥x x x 或D ．{}10≤≤x x 2．函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为（ A ）A ．{}3,0,1-B ．{}3,2,1,0C ．{}31≤≤-y yD ．{}30≤≤y y3．已知函数()12-x f 的定义域为]3,3[-，则()x f 的定义域为（ C ）A ．[]2,2-B ．[]2,0C ．[]2,1-D ．]3,3[- 4．（2010，山东）函数()()2log 31x f x =+的值域为（ A ） A.()0,+∞ B.)0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D.)1,+∞⎡⎣5．函数()log (1)[0,1]xa f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( B )A .41 B. 21C. 2D. 4 6． 函数()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈+=1,0,423,0,1,622x x x x x f 的最大值为（ B ）A ．11B ．6C ．4D ．2117．用{}b a ,m in 表示b a ,两个数中的最小值，设(){}x x x f ,2m in 2-=,则()x f 的最大值为( C )A ．-2 B.-1 C.1 D.28．函数()x f 的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)．函数()()x f x x g ⋅=，那么函数g (x )的值域为(B)A ．[0,2]B ．[0，94]C ．[0，32] D ．[0,4]二、填空题9.已知二次函数()x f 的图象经过A(-1,3),B(0,1),C(2,3)三点,则()x f 的解析式为 .答案：()x f =x 2-x+110.已知()x f 是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1对x R 恒成立，则()x f =__________. 答案：1()33f x x =+. 11.函数962++-=x x y 在区间[]()3,<<b a b a 上有最大值9，最小值7-，则=a _______，（第8题）=b __________.答案：2-；012.（2011上海文14）设()x g 是定义在R 上，以1为周期的函数.若函数()()x g x x f +=在区间[]1,0上的值域为[]5,2-，则()x f 在区间[]3,0上的值域为________.答案：[]7,2-三、解答题13．求下述函数的定义域：（1）()()021122lg -+-+-=x x x x y ； (2)()()024534lg -++=x x x y . 解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-,01,012,022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<.1,43,2x x x所以-3＜x ＜2且x≠1. 所以，函数的定义域为（-3，1）∪(1,2). （2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->.54,21,43x x x 所以，函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 14.已知函数()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求函数()()x f x f y 21-+=的值域. 解:令()x f u 21-=,则0≥u ,()()2121u x f -=. ()11212+--=∴u y . ()x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83, ()94121832≤-≤∴u , 解得2131≤≤u . ()11212+--=u y 当2131≤≤u 时是关于u 的增函数,又31=u 时,97=y ; 21=u 时,87=y . ∴()()x f x f y 21-+=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97. 15.（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足()()x x f x f 32=-+，求()f x . 解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）.（2）令21t x +=（1t >），则21x t =-， ∴2()lg 1f t t =-，2()lg (1)1f x x x =>-. （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-5217ax b a x =++=+， ∴2a =，7b =.∴()27f x x =+.（4）()()x x f x f 32=-+ ①把①中的x 换成x -,得()()x x f x f 32-=+- ②①2⨯-②，得()x x f 93=,()x x f 3=∴.16.求下列函数的值域：（1）y =； （2）312x y x +=-；（3）y x =+ （4）|1||4|y x x =-++； （5）22221x x y x x -+=++；解：（1）设265x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y =.又∵2265(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤[0,2]，∴y =的值域为[0,2].（2）313(2)773222x x y x x x +-+===+---. ∵702x ≠-，∴7332x +≠-. ∴函数312x y x +=-的值域为{}3≠∈y y R . （3）设0t =≥，则21x t =-.∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤. ∴原函数值域为(,5]-∞. （4）23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩， ∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞.（5）∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R . 由22221x x y x x -+=++,得2(2)(1)20y x y x y -+++-=. （*） ①当20y -=，即2y =时，（*）即为300x +=.∴∈=0x R .②当20y -≠，即2y ≠时，∵R ∈x 时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴△22(1)4(2)0y y =+-⨯-≥.∴15y ≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[1,5].。
函数三要素
知识脉络梳理●函数三要素
【求函数定义域】
具体函数（有解析式的）
0)x ≥；1(0)x x
≠；log (0)a x x >等.
抽象函数（无解析式的） ①函数的定义域仅指x 的取值范围；
②同一法则下，所有f 后“（ ）”里的式子的取值范围相同.
【求函数解析式】
介绍4中方法如下：
1、配方法， 如：已知22
11()f x x x x +=+
，求()f x 的解析式 2、换元法， 如：已知1()31x f x x -=+，求()f x 的解析式 3、待定系数法， 如：已知()f x 为一次函数，且[()]49f f x x =+，求()f x 的解析式
4、函数方程法， 如：已知2()2()f x f x x +-=，求()f x 的解析式
【求函数值域】
1、一次函数类型
如：求函数13y x =-，[1,5]x ∈的值域
2、二次函数类型（关键：求对称轴）
如：求函数245y x x =-+，[1,7]x ∈的值域
求其它可转化为二次函数的函数的值域（换元）
如：①求函数y x =-
②求函数4321x x y =-•+，[0,2]x ∈的值域
③求函数1
124(log )(log )24
x x y =•的值域 3、cx d y ax b
+=+型（图象可由反比例函数图象平移得到） 一般可用2种方法求解：①常数分离法 ②反解法
4、双钩函数类型
如：求函数1y x x
=+的值域。
2、函数三要素(串讲)
函数三要素一、求定义域1.函数()()12log 12---=x x x f 的定义域 2.已知函数()2x f 的定义域为()21，，求()12-x f 的定义域3.已知函数()x f 2的定义域为[]2,1，求()x f 2log 的定义域4.函数()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 5.若函数()()1lg 2+-=ax ax x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 二、求解析式1.若()x f 为一次函数，且满足()()14-=x x f f ，则()=x f2.已知221111x x x x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则()=x f 3.已知3311xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 的解析式 4.已知()x f 满足()x x f x f 312=⎪⎭⎫⎝⎛+，求()x f 的解析式5.已知()()123+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式6.已知()()88222++--=x x x f x f ，求()x f 的解析式 三、求值域 1.函数232-+=x x y ，[]8,3∈x 的值域为 2.函数11-+=x x e e y 的值域是 3.函数2cos 2cos -+=x x y 的值域是 4.函数2cos 2sin -+=x x y 的值域是 5.求()x x x f 82+-=在区间[]1,+t t 上的值域 6.求函数x x y -++=112的值域7.求函数x x y cos sin 2+=的值域8.求函数x x y 2cos sin +=的值域9.求函数x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域10.求函数()()1cos 1sin ++=x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1212-π，πx 的值域 11.求函数124++=x x y 的值域12.已知()x x f 3log =，[]9,1∈x ，则函数()()x f x f y 22+=的值域是13.求函数()56231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x f 的值域函数三要素参考答案13.(]81,0。
函数的三要素
函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。
第二讲函数的定义与三要素
第二讲 函数的定义与三要素【知识梳理】1、对映射定义的理解：（1）非空集合A 和B 不加约束，可以是数集，可以是点集，也可以是其它元素形成的集合；（2）对应法则f 具有方向性；（3）“任一(元素)对应唯一(元素)”,即A 中任一元素在B 中都有唯一的象.在这里,A 中元素不可剩,允许B 中有剩余；不可“一对多”,允许“多对一”.因此,根据B 中元素有无剩余的情况,映射又可分为“满射”和“非满射”两类.2、函数概念中强调：（1）非空数集之间的对应；（2）函数三要素中有一个不同，则两个函数不同。
题型一 映射与函数例1： 已知映射f:A ,其中B={1，2，3，4}，集合B 是A 中元素在映射f 的作用下象B →组成的集合，且对于任意的a ,在B 中和它对应的元素是|a|，则这样的A 的个数为A ∈16 个。
练习：1、已知A={1，2，3，4}，B={5，6}，取适当的对应法则，问：（1）从A 到B 可以建立起多少个不同的映射？16（2）以A 为定义域，B 为值域的函数有多少个？在（2）的条件下，满足f(1)的函数有多少个？3(2)(3)(4)f f f ≤≤≤2、已知：A= B=映射f ：A →B 满足f(a)+f(b)=f(c)，求满足的映射的个{}c b a ,,{}2,0,2-数。
7题型二：函数定义域知识点：求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：()f x [()]f g x [()]f g x ()f x ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出。
()f x [],a b []()f g x ()a g x b ≤≤例1：求下述函数的定义域：（1）；02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=（2）).lg()lg()(22a x ka x x f -+-=解：（1），解得函数定义域为.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ]2,23()23,1()1,21( （2） ，（先对a 进行分类讨论，然后对k 进行分类讨论），⎩⎨⎧>>22ax kax ①当a =0时，函数定义域为；)(R k ∈),0(+∞②当时，得，0>a ⎩⎨⎧>-<>ax a x kax 或1）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧≥>10k a ),(+∞ka 2）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧<≤->110k a ),(+∞a 3）当时，函数定义域为；⎩⎨⎧-<>10k a ),(),(+∞-a a ka ③当时，得，0<a ⎩⎨⎧-><>a x a x kax 或1）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧-≤<10k a ),(+∞ka 2）当时，函数定义域为，⎩⎨⎧≤<-<110k a ),(+∞-a 3）当时，函数定义域为。
高中数学函数入门——三要素：定义域、值域、对应关系的求法
高中数学函数入门——函数的三要素及其求法函数的定义：设B A 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数)(function记作 A x x f y ∈=),(其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的值域，显然值域是集合B 的子集.一、定义域求法（1）具体函数（函数给定解析式）１、)(x f 是整式：R ；２、)(x f 是分式：使分母不为0的数集；３、)(x f 是二次（偶次）根式：根号内式子≥0；４、幂式0x ：0≠x ；5、对数：真数大于0；6、以上几部分组合：各式都有意义的数集。
【总结反思】求具体函数定义域——看“x ”在哪里【例1】 求下列函数的定义域。
).4(log 123)()3(;23||2)()2(;213)()1(220x x x x f x xx x f x x x f -+-=-+-=+++=).2,21()(,221,04012),4(log 123)()3(]3,()(3,03||02023||2)()2(),2()2,3[)(,23,0203213)()1(2220的定义域为即解得的定义域为，即解得的定义域为即且解得，【解析】x f x x x x x xx f x f x x x x x x x x f x f x x x x x x x f <<⎩⎨⎧>->-∴-+-=--∞-≤⎪⎩⎪⎨⎧≥->-≠∴-+-=+∞-⋃---≠-≥⎩⎨⎧≠+≥+∴+++=（2）抽象函数（没有给定解析式）【例2】 (1)若函数y=f(x)的定义域是[0,2020],则函数g(x)=f(x+1)x−1的定义域是()A.[0,1)∪(1,2020]B.[-1,1)∪(1,2020]C.[0,1)∪(1,2019]D.[-1,1)∪(1,2019](2)已知函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),则f(2x -1)的定义域为( )A.(-1,0)B.-12,12C.(0,1)D.-12,0【解析】(1)由函数y=f(x)的定义域是[0,2020]可知要使f(x+1)有意义,需满足0≤x+1≤2020,解得-1≤x ≤2019,所以要使g(x)=f(x+1)x−1有意义,需满足{-1≤x ≤2019,x −1≠0,解得-1≤x<1或1<x ≤2019.故选D.(2)∵函数f(x+1)的定义域为(-4,-2),∴-4<x<-2,∴-3<x+1<-1,则f(x)的定义域为(-3,-1),由-3<2x -1<-1,得-1<x<0,∴f(2x -1)的定义域为(-1,0).故选A【总结反思】求抽象函数定义域——抓住定义域的定义：x 的取值范围二、求解析式的方法①换元法：已知复合函数f[g(x)]的解析式，注意新元范围.②配凑法：已知f[g(x)]=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，再以x 代替g(x)得到f(x)的解析式.③待定系数法：已知函数类型，如一次函数、二次函数等基本初等函数.④解方程组法：已知f(x)与f(-x)、f(x 1)的等量关系，再以-x 代替x 、x1代替x 构造一个等式.⑤“求谁设谁”（对称法）：已知f(x)的奇偶性及某一区间上解析式，求对称区间上的解析式.【例3】 (1)已知函数f(√x +1)=x-4,则f(x)= .(2)已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .(3)已知函数f(x)对一切不为0的实数x 均满足f(x)+2f 2020x =2020x +2,则f(x)= . (4)已知函数f(x)为R 上的奇函数，当x>0,f(x)=-2x 2+3x+1,求f(x)的解析式.【解析】(1)方法一(换元法):令t=√x +1≥1,则x=(t-1)2,故f(t)=(t-1)2-4=t 2-2t-3(t ≥1),故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).方法二(配凑法):由题可知√x +1≥1,f(√x +1)=x-4=(√x +1)2-2(√x +1)-3,故f(x)=x 2-2x-3(x ≥1).(2)(待定系数法)∵f(x)为二次函数,∴设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∵f(0)=3,∴c=3.由f(x+2)-f(x)=4x+2,得a(x+2)2+b(x+2)+3-ax 2-bx-3=4x+2,解得a=1,b=-1,∴f(x)=x 2-x+3.(3)(解方程组法)f(x)+2f2020x =2020x +2,① 将①中的x 换成2020x ,得f2020x +2f(x)=x+2, ② 将①②联立并消去f 2020x ,得f(x)=23x-20203x +23(x ≠0).(4) (求谁设谁)设x<0,则-x>0,f(-x)=-2x 2-3x+1,∵f(x)为R 上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)=2x 2+3x-1∴x<0时f(x)=2x 2+3x-1，f(0)=0⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=∴0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f三、求值域的方法(1)原则:依据函数的定义域求值域,即先确定定义域再求值域.(2)常用方法.①观察法:对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到;②配方法:此法是求“二次函数类”值域的基本方法,即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法;③分离常数法:此方法主要是针对有理分式,即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式,便于求值域;④换元法:即运用新元代换,将所给函数化成值域易确定的函数,从而求得原函数的值域.注意新元的范围.【例4】 求下列函数的值域12)4(3)3(]5,1[,64)2(1)1(2-+=-=∈+-=+=x x y x x y x x x y x y),21[210,00,)1(212121,0,12)4(}1|{1,03333133)3(3)3(]11,2[115,222]5,1[,2)2()2().,1[111,0,0)1(2222+∞∴==≥∴≥+=++=∴+=≥-=≠∴≠∴≠--+=-+-=-=∴====∴=∈+-=+∞+=∴≥+∴≥∴≥函数的值域为处取得最小值即在上单调递增函数在设函数值域为函数值域为取最大值在取最小值在，在给定区间对称轴为配方得的值域为解：x u u u u u u y u x u x u y y y x x x x x x y y x y x x x x y x y x x x 【总结反思】定义域、值域是集合，要用集合或区间表示．。
函数三要素
一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。
2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。
3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。
4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。
例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。
1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。
3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。
2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。
函数的概念三要素的求法
函数的概念三要素的求法函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数有许多不同的定义方式，但最常见和最基本的定义是：函数是一个集合，它把一个给定的输入（称为自变量）映射到一个特定的输出（称为因变量）。
函数在数学中有广泛的应用，在几乎所有的数学分支中都起着重要的作用。
一个函数通常用一个方程式或者一段描述来表示。
例如，y=f(x)表示了一个函数，其中y是x的函数，并且通过方程式y=f(x)可以计算出y的值。
这里的f表示函数的名称或者函数符号。
一个函数由三个要素组成，它们分别是定义域、值域和对应关系。
首先是定义域。
定义域是函数的自变量（一般用x表示）的所有可能取值的集合。
换句话说，定义域是使得函数有意义的自变量的值。
在实际问题中，定义域可以是各种各样的数集，例如实数集、整数集、有理数集等等。
有时候，由于特定的限制条件，定义域可能只是一个特定的子集，而不是整个数集。
需要注意的是，对于一些函数，定义域可能有一些特殊的限制，例如分母不能为零或者不能取负数等等。
其次是值域。
值域是函数的因变量（一般用y表示）的所有可能取值的集合。
换句话说，值域是函数所能达到的所有值的集合。
值域可以是实数集、整数集、有理数集等等，根据具体问题的要求而定。
需要注意的是，对于有些函数，值域可能有一些特殊的限制，例如函数值只能取正数或者只能取整数等等。
最后是对应关系。
对应关系指的是自变量和因变量之间的一一对应关系。
换句话说，对于定义域中的每一个自变量值，函数有唯一确定的因变量值与之对应。
这个对应关系可以用函数图像、函数表等方式表示，以形象直观地展示函数的特点。
需要注意的是，函数的对应关系是唯一的，不会有两个不同的自变量值对应同一个因变量值的情况发生。
在求解一个函数的三要素时，首先要确定函数的定义域。
根据具体的问题，分析自变量可能的取值范围，排除那些使得函数无意义的自变量值。
然后要确定函数的值域。
根据具体问题的要求，分析因变量可能的取值范围，找出函数所能达到的所有值。
c语言函数三要素
c语言函数三要素C语言函数三要素：函数名、参数列表和返回值类型C语言是一种广泛使用的编程语言，它的函数是程序中最基本的组成部分之一。
函数是一段可重复使用的代码，它可以接受输入参数并返回输出结果。
在C语言中，函数由三个要素组成：函数名、参数列表和返回值类型。
本文将详细介绍这三个要素的作用和使用方法。
一、函数名函数名是函数的标识符，它用于唯一地标识一个函数。
在C语言中，函数名必须是唯一的，不能与其他函数或变量重名。
函数名的命名规则与变量名相同，只能由字母、数字和下划线组成，且不能以数字开头。
函数名的作用是方便程序员调用函数。
在程序中，我们可以通过函数名来调用相应的函数，从而实现代码的重复利用。
例如，下面是一个简单的函数示例：```int add(int a, int b){return a + b;}```在上面的代码中，函数名为add，它接受两个整型参数a和b，并返回它们的和。
在程序中，我们可以通过调用add函数来计算两个数的和，例如：```int result = add(1, 2);```在上面的代码中，我们调用了add函数，并将其返回值赋值给result变量。
这样，我们就可以重复利用add函数来计算不同的数值。
二、参数列表参数列表是函数的输入参数，它用于向函数传递数据。
在C语言中，函数可以接受任意数量的参数，但是它们必须在函数定义中声明。
参数列表的声明方式与变量声明相同，由参数类型和参数名组成，多个参数之间用逗号分隔。
例如，下面是一个接受两个整型参数的函数示例：```int add(int a, int b){return a + b;}```在上面的代码中，函数add接受两个整型参数a和b。
在函数体内，我们可以使用这两个参数来进行计算，并返回计算结果。
在调用函数时，我们需要向函数传递相应的参数。
例如，我们可以通过下面的代码来调用add函数：```int result = add(1, 2);```在上面的代码中，我们向add函数传递了两个整型参数1和2。
函数三要素
函数定义域，值域，解析式一． 函数：（1） 定义：（任意，唯一）（2） 判断函数图象。
（3） 相等函数判断（4） 三要素：（定义域，值域，对应关系）（5） 定义域求法：1， 2， 3， 4。
（6） 抽象函数定义域二． 函数值域的求法：（1） 配方法： 例：22++-=x x y（2） 换元法： 例：x x y 21--=（3） 裂项法： 例：313-+=x x y （4） 不等式法：例：313-+=x x y ，)6,5(∈x （5） 图象法： 例：11-++=x x y ，3≥x . 752+--=x x y ,3≤x .三． 解析式的求法：（1） 代入法： 例：已知 52)(+=x x f ，求)14(-x f 解析式拼凑法（换元法）： 例：已知 13)1(-=-x x f ，求)(x f 解析式（2） 待定系数法：例：)(x f 为二次函数且2)0(=f ，1)()1(-=-+x x f x f ，求)(x f 解析式)(x f 为一次函数且14)]([-=x x f f ，求)(x f 解析式（3） 方程组法：例：3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 解析式x x f xf =+)()1(2，求)(x f 解析式四． 例题：1、下列各组函数中，表示相同函数的是（ ）()()()x x g x x f A ==,2(B)x y =与x x y 2= (C)2y =, y=x ()()()vv v g u u u f D -+=-+=11,11 2．函数422--=x x y 的定义域 。
3．函数0y =__________。
3． 已知)(x f 的定义域为（1，4]，求)23(+x f 定义域？4． 已知)14(-x f 的定义域为[3，7]，求)(x f 定义域？5． 已知)14(+x f 的定义域为[2，5]，求)31(x f -定义域？6．函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二讲 函数的三要素
【典型例题】
类型一：函数的定义域 例1．求下列函数的定义域
⑴12||=+-y x ⑵()0
22(54)lg 21-=+--x y x x ； ⑶ )13lg(13)(2++-=x x
x x f
举一反三：
⑴已知函数()f x =
R ，则实数a 的取值范围是
⑵已知函数(1)f x +的定义域为[]2,3-，则()21f x -的定义域是( )
.
A 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.B []1,4- .C []5,5- .D []3,7-
类型二：分段函数
例2.已知函数223(0)()3(10)4(1)⎧+>⎪
=-+-≤≤⎨⎪<-⎩
x x f x x x x x ，则[(2)]f f -=
举一反三：
⑴设2310
()0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，212()12
x x g x x ≤⎧-=⎨
>⎩，则[(3)]f g = ，1
[()]2
g f -= .
⑵函数2
1sin(),10,
(),0.
x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若()()21=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ）
.A 1 .
B .
C 1
，.D 1
⑶已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋4x ， x ≥0，
4x －x 2
， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
类型三：求函数解析式
例3.⑴已知f(x)为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式.
⑵已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为
⑶已知2
(1)lg f x x
+=，则函数)(x f 的解析式为
⑷已知()f x 满足12()()3f x f x x
+=，求()f x
⑸函数()f x 对一切实数x 、y 均有()()()21f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f =，
求(0)f ；② 求()f x ；③ 对任意的11(0,)2x ∈，21(0,)2
x ∈，都有12()2log a f x x +<成立时，求a 的取值范围．
类型四：求函数的值域 例4.求下列函数的值域：
⑴y = ⑵232y x x =-+； ⑶31
2
x y x +=
-；
⑷23y x =- ⑸532log x y -=+[]2,10x ∈；
⑹y x = ⑺|1||4|y x x =-++； ⑻2211
()212
x x y x x -+=
>-
⑼ 2222
1
x x y x x -+=++； ⑽1sin 2cos x y x -=-；
举一反三：
已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．
【巩固练习】
1.已知函数x y -=
2的定义域为M ，集合)}1lg(|{-==x y x N ，则)(
=N M
A.)2,0[
B.)2,0(
C.)2,1{
D.]2,1(
2.下列与函数y=x 是同一函数的是（ ）
A.2
x y = B.x
x y 2= C.x
a a y log = D.x a a y log =
3.函数1
sin 21
sin 2
x
y x +=-的定义域为
4. (2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2(x ≤－1)，
x 2
(－1<x <2)，
2x (x ≥2)，
若f (x )＝3，则x 的值是 ( )
A ．1
B ．1或32
C ．1，3
2
或±3
D. 3
5.函数y ＝
ln (x ＋1)
－x 2－3x ＋4
的定义域为 ( )
A ．(－4，－1)
B ．(－4,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,1]
6. 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f (x 2)
1＋lg (x ＋1)
的定义域是________
7. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3x ＋2，x <1，
x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.
8．已知1(0)()1(0)x f x x ≥⎧=⎨-<⎩
，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是
9.已知函数()f x =
的定义域为R ，则实数k 的范围是
10.函数221
x
x y =+的值域为
11.函数24813
6(1)
x x y x ++=+()1x >-的最小值是（ ）
.A 1 .B 3
2
.C 2 .D 3
12.求函数2234x x y +=-⋅()10x -≤≤的值域
13.已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.
（1）求函数f (x )的解析式；（2）设k>1，解关于x 的不等式；x
k
x k x f --+<2)1()(.
14.已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12. (Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）是否存在在自然数m ，使得方程37()0f x x
+
=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，说明理由.。