三视图体积表面积练习题.docx
三视图与表面积体积练习题(一)
三视图与表面积体积练习题（一）1.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a =__________2.（2009天津二模） 如下左图，直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为（ ）A ．2a 2B ．a 2C ．23a D ．243a3．（浙江省温州市啸秋中学2011学年第一学期高三会考模拟试卷）如上右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．π3B ．π2C ．π23D ．π4 4.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）5. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）201010EFDIA H G BC EF DABC侧视 图1图2 BEA ．BEB ．BEC ．B ED ．aaa主视图俯视图左视图Ａ．34000cm 3 Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm 6.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）A ．361aB ．321aC ．332aD ．365a 7.如右图，是某几何体的三视图，其中正视图是正方形．侧视 图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是 A 、16＋12 B 、24C 、16+4D 、128．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。
则该几何体的俯视图可以是（ ）9．(吉林省实验中学2011届高三文）如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为 （ ） A ．π)3412(+B ．20πC ．π)3420(+D ．28π20正视图20侧视图20俯视图。
高考专题13 三视图与体积表面积精准培优专练
培优点十三 三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．【答案】33π【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积21143182S =⋅π⋅=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π⋅⋅=π，∴表面积为1233S S S =+=π．2．由三视图求体积例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．4B ．22C ．42D ．8【答案】D【解析】由于长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=，∴22416V =⋅=长方体，∴182V V ==长方体，故选D ．一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =⨯⋅+⨯⋅-π⋅+π⋅=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ）对点增分集训A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意可知：过点B 、E 、1D 的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图， 则几何体的左视图为D ，故选D ．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．236B ．72C ．76D ．4【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的三棱柱11ABB DCC -挖去一个三棱锥E FCG -，故所求几何体的体积为()111232221112326⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选A ．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．()251++πB ．5212⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭C ．51222⎛⎫++π ⎪ ⎪⎝⎭D ．5122⎛⎫+π ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =， 圆锥的高2h =，其母线长22125l =+=，则该几何体的表面积为：21115111522222222S ⎛⎫=⨯π⨯+⨯π⨯⨯+⨯⨯=++π ⎪ ⎪⎝⎭，本题选择C 选项． 5．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥．．．．．．的外接球的表面积等于（ ）A ．34πB ．32πC ．17πD ．172π 【答案】A【解析】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形， 高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3的棱锥， 如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径52圆心设为M 半径为r ，球心到底面距离为32，设球心为O ， 由勾股定理得到2222253342224h R r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2434S R =π=π，故选A ．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．36πD ．72π【答案】C【解析】还原几何体如图所示三棱锥由1B BCD -（如下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱111B C D BCD -（如上右图），在直三棱柱111B C D BCD -中取1BC B C 、的中点12O O 、，取12O O 中点O ，()()()22222523R O A OO =+=+=，2244336S R =π=⨯=π表，故答案为C ．7．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．642+B ．842+C ．643+D ．843+【答案】B【解析】根据三视图，画出原空间结构图如下图所示：∴表面积为111111111111DA D DA B DB C DC D A B C D S S S S S S =++++11112222222222228422222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=+，∴故选B ． 8．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）A ．174π B ．214π C ．4π D ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2，a ，b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为222222422a b a b R ++++==， ∴三棱锥外接球表面积为()()222222421445124a b a b a ⎛⎫++ππ=π++=π-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214π．故选B ． 9．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15【答案】B【解析】由三视图知，剩余部分的几何体是四棱锥P ABCD -被平面QBD 截去三棱锥Q BCD -（Q 为PC 中点）后的部分，连接AC 交BD 于O ，连楼OQ ，则OQ PA ∥，且12OQ PA =，设PA AB a ==，则313P ABCD V a -=，23111132212Q BCD V a a a -=⨯⨯=， 剩余部分的体积为：3311312a a -，则所求的体积比值为：3331112113312aa a =-．本题选择B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．15B ．16C ．503D ．533【答案】C【解析】由题得几何体原图是下图中的四棱锥A BCDE -，底面四边形BCDE 的面积为114442221022⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∴四棱锥的体积为15010533⨯⨯=，故答案为C ．11．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．94B ．823C ．12D ．83【答案】D【解析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为()11118221222132323D PABE A BCD V V --+=⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯=，故选D ．12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．203B ．7C ．223D ．233【答案】B【解析】如图所示，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为32111121212273232V =-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=；故选B ．二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，∴()12422122V Sh ==+⨯⨯=． 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_______与_______．【答案】404+π，4163π+ 【解析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为2的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为2的正方形，高为4，则该几何体的表面积224122424404S =π⨯+⨯+⨯⨯=+π， 几何体的体积：32441241633V =π⨯+⨯=+π． 15．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为_________．【答案】1【解析】根据题中所给的三视图，还原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，根据图中所给的数据，结合椎体的体积公式， 可得其体积11212132V +=⨯⨯⨯=，故答案是1． 16．已知某几何体的三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【解析】由三视图知，该几何体由正方体沿面11AB D 与面11CB D 截去两个角所得，其体积为33112121233-⨯⨯⨯=，故答案为23．。
高一数学表面积体积三视图期末复习练习题
高一数学表面积体积三视图期末复习练习题 班级： 学号 姓名一、填空题；（每题7分，共70分）1、在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线。
这个判断（填对或错）．2、如图是某几何体的平面展开图，则该几何体是 ．3、一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形'''A B O 如图，若''1O B =，那么原∆ABO 的面积是DCD BA C D P O'B'A'（2图） （3图）4、已知△ABC 在一投影面内的平行投影是△A ’B ’C ’，则△ABC 的重心M 在投影面内的平行投影M ’是△A ’B ’C ’的 心．5、一棱台上、下底面积之比为1：4，则以棱台中截面为底面，以棱台的侧棱延长线的交点为顶点的棱锥与该棱台的体积之比为 .6、棱长为a 的正方体内切一球，该球的表面积为 .外接球的体积为 .7、下面是一多面体的展开图，每个面内都给了字母，请根据要求回答问题：①如果A 在多面体的底面，那么哪一面会在上面 ；②如果面F 在前面，从左边看是面B ，那么哪一个面会在上面 ；③如果从左面看是面C ，面D 在后面，那么哪一个面会在上面 .8、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=3，AA 1=5，则一只小虫从A 点沿长方体的表面爬到C 1点的最短路径长度是 ．9、一个正四面体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为π3,则正四面体的边长_______。
10、球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 二、解答题：（每题15分，共30分）11、（1）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的数据，可得这个几何体的体积是多少？（2）如图是将正方体沿着共点的三条棱的中点A、B、C截去一个三棱锥后剩下的几何体。
画出该几何体的三视图（带阴影的面是正面）20俯视图左视图主视图101020202012、如图2-①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②），则图2-①中的水面高度为多少？图22-①2-②高一数学表面积体积三视图期末复习练习题 参考答案1、错2、四棱锥3、重心5、27：566、2a π、32a 7、F 、C 、B 8、 9、3 10、3 11、（1）80003（2） 12、a俯视图左视图主视图。
最新高考数学专题十三：三视图与体积表面积练习题
培优点十三
三视图与体积、表面积
1．由三视图求面积例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________．
【答案】33
【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成，
其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为
3，∴半球的面积21
143182S ，圆锥的底面半径为3，母线长为5，∴圆锥的侧面积为23515S rl ，∴表面积为1233S S S ．
2．由三视图求体积
例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）
A ．4
B ．22
C ．42
D ．8
【答案】D 【解析】由于长方体被平面所截，
∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，。
立体几何三视图练习题
8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习题（1）1．(2014·福建，2，)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．四面体D ．三棱柱2．(2013·四川)一个几何体的三视图如下图，则该几何体的直观图能够是( )3．(2016·课标Ⅰ，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π4．(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如下图，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π5．(2016·课标Ⅱ，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．(2016·课标Ⅲ，9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A ．18＋36 5B ．54＋185C ．90D ．817．(2015·浙江)某几何体的三视图如下图(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3C.323 cm 3D.403 cm 3 8．(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如下图，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．189．(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如下左图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．510．(2016·北京房山区一模，5)某四棱锥的三视图如上右图所示，则最长的一条侧棱的长度为( )A. 2B. 3C. 5D.611．(2016·课标Ⅲ，10)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A．4π B.9π2C．6π D.32π312．(2015·课标Ⅱ，9)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A．36πB．64πC．144πD．256π8.1空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积练习题（2）1．(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．2．(2013·课标Ⅰ，6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，假如不计容器的厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3cm3 C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm33．(2016·四川，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如上右图所示，则该三棱锥的体积是________．4．(2016·天津，11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如下左图图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.5．(2014·课标Ⅰ，12)如上右图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A．6 2 B．4 2 C．6 D．46．一个四面体的三视图如下图，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3 C．1＋2 2 D．227．(2014·课标Ⅱ)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥AB1DC1的体积为()A ．3 B.32 C ．1 D.328．(2015·河北石家庄调研，8)已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若O 点到该截面的距离是球半径的一半，且AB ＝BC ＝2，∠B ＝120°，则球O 的表面积为( )A.64π3B.8π3 C ．4π D.16π99．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π410．(2015·山东淄博模拟，4)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD 的正(主)视图与俯视图如下图，则其侧(左)视图的面积为( )A.22B.12C.24D.1411．一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为( )A.163B.203C.152D.13212．(2016·江西南昌，6)一个几何体的三视图及尺寸如下图，则该几何体的外接球半径为( )A.12B.316C.174D.174由三视图还原直观图的方法(1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体．(2)注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线．(3)想象原形，并画出草图后实行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体．根据几何体的三视图判断几何体的结构特征(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．求解空间几何体表面积的方法(1)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合局部的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．(4)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．求体积的常用方法(1)分割求和法：把不规则图形分割成规则图形，然后实行体积计算．(2)补形法：把不规则几何体补成规则几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．(3)等积法：选择适当的底面图形求几何体的体积，常用于三棱锥的体积.。
2019版高考数学(理科)总复习5.1三视图与几何体的体积、表面积练习.docx
2019 版高考数学（理科）总复习5.1三视图与几何体的体积、表面积命题角度 1 空间几何体三视图的识别与画法高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·3)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼 ,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体 ,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案 A解析根据三视图原则,从上往下看 ,看不见的线画虚线,则 A 正确 .2.(2018全国Ⅰ·7)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从 M 到 N的路径中 ,最短路径的长度为()A .2 B.2 C.3 D.2答案 B解析如图所示 ,易知N 为的中点 ,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开 ,展平为矩形MCC'M' ,易知CN=CC'= 4,MC= 2,从 M 到 N 的路程中最短路径为MN.2019 版高考数学（理科）总复习在Rt△MCN 中 ,MN== 2.3.(2017北京·7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3B.2C.2D.2答案 B解析由题意可知 ,直观图为四棱锥A-BCDE (如图所示 ),最长的棱为正方体的体对角线AE== 2.故选 B .4.(2014全国Ⅰ·12)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4答案 B解析如图所示的正方体ABCD-A 1B1C1D1的棱长为 4.取 B1B 的中点 G,即三棱锥 G-CC 1D 1为满足要2019 版高考数学（理科）总复习求的几何体 ,其中最长棱为D1G,D1G== 6.5.(2013全国Ⅰ·7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ()答案 A解析如图所示 ,该四面体在空间直角坐标系O-xyz 的图象为下图 :则它在平面zOx 上的投影即正视图为,故选 A .新题演练提能·刷高分1.(2018河北衡水调研)某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为()答案 B解析由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧视图为矩形内有一条虚线 ,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项 B 符合题意 ,故选 B .2.(2018 河南濮阳一模 )如图 ,O1,O2为棱长为 a 的正方体的上、下底面中心,若正方体以 O1O2为轴顺时针旋转 ,则该正方体的所有正视图中最大面积是()2019 版高考数学（理科）总复习22A. aB. aC.a2D.2a2答案 B解析所有正视图中面积最大的是长为a,宽为 a 的矩形 ,面积为 a2,故选 B.3.(2018河北保定模拟)已知一几何体的正视图、侧视图如图所示 ,则该几何体的俯视图不可能是()答案 D解析由图可知 ,选项 D 对应的几何体为长方体与三棱柱的组合,其侧视图中间的线不可视,应为虚线 ,故选 D.4.(2018江西赣州十四县(市 )期中 )某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各面中最大面的面积为 ()A.2B.2C.3D.2答案 B解析由三视图可得 ,该几何体为如图所示的三棱锥A1-BCD.结合三视图中的数据可得2S△BCD=×2 = 2,×2×2= 2,×2= 2,故此几何体的各面中最大面的面积为 2.选 B.5.(2018安徽合肥第二次质检)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的所有棱中,最短的棱长为 ()A.2B.C.1D.2答案 C解析由三视图可知原几何体是图中的三棱锥P-ABC ,其中 C 为棱的中点 .从图中可以看出棱AC 最短 ,因为 AC= 1,所以最短的棱长为1,故选 C.6.(2018安徽合肥第二次质检)在正方体ABCD-A 1B1C1D1中 ,E 是棱 A1B1的中点 ,用过点A,C,E 的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图为 ()答案 A解析如图所示 ,取 B1C1的中点 F,则 EF∥AC ,即平面 ACFE 亦即平面ACE 截正方体所得的截面,据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左 )视图如选项 A 所示 .7.(2018河南濮阳二模)已知三棱柱HIG-EFD 的底面为等边三角形,且侧棱垂直于底面,该三棱柱截去三个角 (如图①所示 ,A,B,C 分别是△GHI 三边的中点 )后得到的几何体如图②,则该几何体的侧视图为 ()答案 A解析因为平面DEHG ⊥平面EFD ,所以几何体的侧视图为直角梯形,且直角腰在侧视图的左侧,故选 A .命题角度 2 空间几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2015 全国Ⅰ·6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角 ,下周八尺 ,高五尺 .问 : 积及为米几何 ?”其意思为 :“在屋内墙角处堆放米 (如图 ,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧长为 8 尺 ,米堆的高为 5 尺 ,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺 ,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A .14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛答案 B解析设底面圆半径为R,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8 尺 ,∴·2πR= 8,∴R=.2∴体积 V= ·πR h=×π××5.∴堆放的米约为≈22(斛).2.(2015山东·7)在梯形ABCD中,∠ABC= ,AD∥BC,BC= 2AD= 2AB= 2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C. D.2π答案 C解析由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.22V 圆柱 = π×1 ×2= 2π,V 圆锥 =×π×1 ×1=.∴V 几何体 =V 圆柱 -V 圆锥 = 2π-.2019 版高考数学（理科）总复习3.(2018全国Ⅱ·16)已知圆锥的顶点为S,母线 SA,SB 所成角的余弦值为,SA 与圆锥底面所成角为 45° .若△SAB 的面积为 5.则该圆锥的侧面积为.答案 40π解析设 O 为底面圆圆心 ,∵c os∠ ASB=,∴s in∠ ASB=.∴S△ASB=× |AS|·|BS|·= 5.2∴S A=4.∵SA 与圆锥底面所成的角为45° ,∠ SOA= 90° .∴S O=OA=SA= 2.∴S 圆锥侧 = πrl= 4×2×π= 40π.新题演练提能·刷高分1.(2018云南保山第二次统测)我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题: “有个金球里面空 ,球高尺二厚三分,一寸自方十六两,试问金球几许金?”意思是 : 有一个空心金球,它的直径 12 寸 ,球壁厚 0.3 寸 ,1 立方寸金重 1 斤 ,试问金球重是多少斤?(注π≈3)()A.125 .77B.864C.123.23D.369.69答案 C解析由题意知 ,大球半径R=6,空心金球的半径 r= 6-0.3= 5.7,则其体积 V= π(63-5.73)≈123.23(立方寸 ).因为 1 立方寸金重 1 斤 ,所以金球重 123.23 斤 ,故选 C.2.(2018福建宁德期末)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有筑城 ,上广二丈 ,下广五丈四尺 ,高三丈八尺 ,长五千五百五十尺 ,秋程人功三百尺.问 :须工几何 ?”意思是 : “现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为 2 丈、下底为 5.4 丈、高为3.8 丈 ,直棱柱的侧棱长为 5 550 尺 .如果一个秋天工期的单个人可以筑出300 立方尺 ,问 :一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注: 一丈等于十尺 )()A.24 642B.26011C.52 022D.78 033答案 B解析根据棱柱的体积公式 ,可得城墙所需土方为×38×5 550= 7 803 300( 立方尺 ),一个秋天工期所需人数为 = 26 011,故选 B .3.(2018山西太原一模)三棱锥D-ABC中 ,CD ⊥底面ABC ,△ABC 为正三角形,若 AE ∥CD,AB=CD=AE=2,则三棱锥 D-ABC与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体的体积为()A. B. C. D.答案 B解析根据题意画出如图所示的几何体:2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 D-ABC 与三棱锥E-ABC 的公共部分构成的几何体为三棱锥F-ABC.∵△ABC 为正三角形 ,AB= 2,∴S△ABC=×2×2×.∵CD⊥底面 ABC,AE∥ CD ,CD=AE= 2,∴四边形 AEDC 为矩形 ,则 F 为 EC 与 AD 的中点 ,∴三棱锥 F-ABC 的高为 CD= 1, ∴三棱锥 F-ABC 的体积为 V=× 1=. 故选 B .4.(2018四川雅安模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的五面体,如图所示 ,四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB ,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,则这个几何体的体积是 ()A. B. +2C. D.答案 C解析过点 E 作 EG⊥平面 ABCD ,垂足为点G,过点 F 作 FH ⊥平面 ABCD,垂足为点H,过点 G 作 PQ∥ AD ,交 AB 于点 Q,交 CD 于点 P,过点 H 作 MN ∥BC ,交 AB 于点 N,交 CD 于点 M,如图所示 :∵四边形 ABCD 是矩形 ,棱 EF∥ AB,AB= 4,EF= 2,△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形 ,∴四边形 PMNQ 是边长为 2 的正方形 ,EG= ,∴这个几何体的体积为V=V E-AQPD +V EPQ-FMN +V F-NBCM =×1×2××2+×2××2=+ 2.故选 C.5.(2018上海虹口期末质量监控)已知M,N 是三棱锥P-ABC 的棱AB,PC 的中点 ,记三棱锥P-ABC 的体积为V1,三棱锥 N-MBC 的体积为V2,则等于.答案解析如图 ,设三棱锥P-ABC 的底面积为S,高为 h.∵M 是 AB 的中点 ,∴S△BMC=S.∵N 是 PC 的中点 ,2019 版高考数学（理科）总复习∴三棱锥 N-MBC 的高为 h,则V1=Sh,V2=S× h=Sh,∴.故填 .6.(2018河北唐山二模)在四棱锥 S-ABCD 中 ,SD⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形 ,SD=AD= 2,三棱柱 MNP-M 1N1 P1的顶点都位于四棱锥S-ABCD 的棱上 ,已知 M,N,P 分别是棱 AB,AD,AS 的中点 ,则三棱柱 MNP-M 1N1P1的体积为.答案 1解析由题得 M1是 BC 中点 ,N1是 DC 中点 ,P1是 SC 中点 ,PN= 1,MN= ,且 PN⊥MN ,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的底面积为×1×.由题得正方形的对角线长2,三棱柱 MNP-M 1N1P1的高为×2,所以三棱柱MNP-M 1N1P1的体积为 = 1,故填 1.命题角度 3 三视图还原与几何体的体积、表面积高考真题体验·对方向1.(2017全国Ⅰ·7)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 ,正方形的边长为 2,俯视图为等腰直角三角形 ,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A .10 B.12 C.14 D.16答案 B解析由三视图可还原出几何体的直观图如图所示.该五面体中有两个侧面是全等的直角梯形,且该直角梯形的上底长为2,下底长为4,高为 2,则 S 梯= (2+ 4)×2÷2= 6,所以这些梯形的面积之和为12.2.(2017全国Ⅱ·4)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()2019 版高考数学（理科）总复习A .90π B.63π C.42π D.36π答案 B解析由题意 ,可知该几何体由两部分组成,这两部分分别是高为 6 的圆柱截去一半后的图形和高为 4 的圆柱 ,且这两个圆柱的底面圆半径都为3,故其体积为 V=× π×32×6+ π×32×4=63π,故选B.3.(2016全国Ⅰ·6)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是 ()A.17 πB.18πC.20πD.28 π答案 A解析由三视图可知该几何体是球截去后所得几何体3,则×R= ,解得 R=2,所以它的表面积为×4πR2+×πR2= 14π+ 3π= 17π.4.(2016全国Ⅱ·6)下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.20 πB.24πC.28πD.32 π答案 C解析由题意可知 , 该几何体由同底面的一个圆柱和一个圆锥构成 , 圆柱的侧面积为S1= 2π×2×4= 16π,圆锥的侧面积为S2=×2π×2×=8π,圆柱的底面面积为S3= π×22= 4π,故该几何体的表面积为S=S1 +S2+S 3= 28π,故选 C.5.(2016 全国Ⅲ·9)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为()A.18 +36B.54 + 18C.90D.81答案 B解析由三视图知该几何体是平行六面体 ,且底面是边长为 3 的正方形 ,侧棱长为 3,所以该几何体的表面积为 S= 2×3×6+ 2×3×3+ 2×3×3= 54+ 18,故选 B.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)如下图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则其表面积为()A.2 πB.5πC.8 πD.10 π答案 C解析由题得几何体原图是球被切割后剩下的, 所以它的表面积由三个部分组成,所以S=×4π×22+×π×22+×π×22= 8π.故选 C.2.(2018山西太原二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.答案 D解析三视图还原是四棱锥,如图所示 .AC⊥ AD ,PD ⊥底面 ABCD ,PD=AD=BC=AC= 1,所以体积 V=× (1×1)×1= ,故选 D .3.(2018河北石家庄一模)如图 ,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A.8 + 3πB.8+ 4πC.8+5πD.8+ 6π答案 D解析由题图可知 ,几何体为半圆柱挖去半球体,几何体的表面积为2×+4π+ 2×4-π+= 8+ 6π,故选D.4.(2018东北三省三校二模)如图所示 ,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,则该三棱锥的体积为 ()A.3B.4C.6D.8答案 B解析如图所示 ,在长、宽、高分别为4,2,3 的长方体中 ,三棱锥 P-ABC 对应几何体的三视图即题中的三视图 ,据此可得该几何体的体积:V=×S× PC=× ×2×4×3= 4.故选B.△ABC5.(2018福建福州3月质检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图 ,则该几何体的体积为()A. π+ 6B. +6C.+ 6D.+ 2答案 C解析由三视图可知,该几何体为组合体:上方为半个圆锥,下方为放倒的直四棱柱,∴该几何体的体积为×π×2+×(1+ 2)×2×2=+ 6,故选 C.6.(2018江西教学质量监测)若一个空间几何体的三视图如图所示,且已知该几何体的体积为π,则其表面积为 ()A.6 π+4B.6πC.π+ 2D.π+答案 A解析该几何体是半个圆锥 ,则 V=× πr2× r=π,解得 r= 2,母线长为 l= 2r ,所以其表面积为S=πrl+ πr2+×2r × r= r 2=6π+ 4,故选 A .7.(2018湖南、江西十四校第一次联考)已知一个棱长为 2 的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图 (单位 :cm) 如图所示 ,则该几何体的体积是 ()A. cm 3B.4 cm 3C. cm3D. cm32019 版高考数学（理科）总复习答案 D解析由三视图得原几何体如图所示 ,在正方体 ABCD-A 1B1C1D 1中 ,由平面 AB1D1 ,平面 CB1D 1截得的几何体 ,它的体积为一个正方体的体积减去两个底面为等腰直角三角形的三棱锥的体积,即 V= 23-2×× S× 8h=-2××2= (cm 3).故选 D.8.(2018安徽江南十校 3 月联考 )某几何体的三视图如图所示,其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成 ,侧视图由半圆和等腰直角三角形组成,俯视图的实线部分为正方形,则该几何体的表面积为 ()A.3 π+4B.4( π++ 1)C.4(π+ )D.4( π+ 1)答案 A解析由三视图知几何体的上半部分是半圆柱, 圆柱底面半径为1,高为2,其表面积为S1= π×2×1×+π×12= 3π,下半部分为正四棱锥 ,底面棱长为 2,斜高为 ,其表面积 S2= 4× ×2× = 4,所以该几何体的表面积为S=S1+S 2= 3π+ 4.故选 A .9.(2018山东济南一模)某几何体的三视图如图所示,其中正视图的轮廓是底边为2,高为 1 的等腰三角形 ,俯视图的轮廓为菱形 ,侧视图是个半圆.则该几何体的体积为.答案π解析由三视图可知 ,该几何体是一个组合体 ,它由两个底面重合的半圆锥组成 ,圆锥的底面半径为 1,高为 ,所以组合体的体积为 2××π×12×π,故答案为π.命题角度 4 球与几何体的切、2019 版高考数学（理科）总复习接问题高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·10)设A,B,C,D是同一个半径为 4 的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为 9,则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为()A .12 B.18 C.24 D.54答案 B解析由△ABC 为等边三角形且面积为9,设△ABC 边长为 a,则 S=a·a= 9.∴a= 6,则△ABC 的外接圆半径 r=a= 2<4.设球的半径为R,如图 ,OO 1== 2.当D 在 O 的正上方时 ,V D-ABC =S△ABC·(R+|OO 1|)=×9×6= 18,最大 .故选 B.2.(2017全国Ⅲ·8)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A. πB.C.D.答案 B解析由题意可知球心即为圆柱体的中心,画出圆柱的轴截面如图所示,则AC= 1,AB= ,底面圆的半径r=BC= ,所以圆柱的体积是3.(2016全国Ⅲ·10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1 BC,AB= 6,BC= 8,AA1= 3,则 V 的最大值是 ()2V= πr h= π××1= ,故选 B.内有一个体积为V 的球 . 若AB ⊥A.4 πB.C.6 πD.答案 B解析由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切 .设球的半径为R,易得△ABC 的内切球的半径为=2,则 R≤ 2.因为 2R≤ 3,即 R≤ ,所以 V max= ,故选 B .4.(2015全国Ⅱ·9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB= 90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ()A.36 πB.64πC.144πD.256π答案 C解析由△AOB 面积确定 ,若三棱锥 O-ABC 的底面 OAB 的高最大 ,则其体积才最大 .因为高最大为半径 R,所以 V O-ABC =R2× R=36,解得 R=6,故 S 球 = 4πR2= 144π.新题演练提能·刷高分1.(2018河南六市一模)在三棱锥S-ABC 中 ,SB⊥ BC,SA⊥ AC,SB=BC,SA=AC ,AB=SC ,且三棱锥。
利用三视图求表面积和体积
练习 长对正 高平齐 宽相等
若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则此几何体 的体积是
若某空间几何体的
三视图如图所示，
2
2
则该几何体的体积是
1
1.如图所示，三棱锥P ABC的侧棱的长度 均为1，且侧棱间的夹角均为40o , 动点M在棱 PB上移动，动点N在棱PC上移动，求 AM MN NA的最小值.
D' G
F
E D
A
6
C' 2
B'
4
2 2
C
4
B
正视图
侧视图
长对正 高平齐 宽相等
正视图
侧视图
俯视图
（２）所求多面体的体积
V
V长方体
V三棱锥
446
1 3
1 2
2
2
2
284 3
cm3
长对正 高平齐 宽相等
练习
一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列 几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左） 视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为：
2.如图，圆柱OO1的地面半径为2，高为4，点
P为母线B
B1的中点，A
OB
2
，试问一只
蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到P点的最小距离.
1
A.8
B.8 2
3
3 2
C.12
D.12 2
3
2 主视图
侧视图
2
俯视图
练习
如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何
空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习
空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习 （宋）1、若一个几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且体积为12,则该几何体的俯视图是( )2.3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形， 主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 A ．8B ．12C ．4(13)+D ．434. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．14+πB ．134+πC ．834+πD ．84+π5. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为A ．24B ．8C ．12D ．46. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是( ) A.423 B.433C.36D.83222主视图俯视图左视图27.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与158.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为 A.12 B.32C.23 D.610. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ）11.(2008年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 512.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C 对面的字母分别为 ( )(A) D ,E ,F ( B) F ,D ,E ( C) E, F ,D ( D) E, D,F13.一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）.A. 2，23B. 22，2C. 4，2D. 2，4 14如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. （不考虑接触点）主视图O t h h t O h t O O t h 正视图侧视图俯视图A B C D俯视图232左视图正视图俯视图侧视图CAA. 6+3+πB. 18+3+4πC. 18+23+πD. 32+π15.下列图形不能够成正方体的展开图的是( )A16.正方体ABCD-A’B’C’D中，E、F分别为AA’,C’D’的中点，G为正方形BCC’B’中心，则四边形AEFG在该正方体各个面的投影可能是( ) (本题为多选题)17.已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是．18.设某几何体的三视图如下左边所示（尺寸的长度单位为m）。
初中数学精品试题：根据物体的三视图计算其表面积和体积(含答案)
专训2根据物体的三视图计算其表面积和体积名师点金：在实际问题中，常常要求根据物体的三视图和尺寸计算物体的表面积或体积．解决此类题型的方法是先由三视图想象出几何体的形状，再根据图中的尺寸利用相应的公式进行计算．利用三视图求几何体的表面积1．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长．该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是()A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S2＞S3＞S1D．S1＞S3＞S22．(1)如图①是一个组合体，如图②是它的两种视图，请在横线上填写出两种视图的名称；(2)根据两种视图中的尺寸(单位：cm)，计算这个组合体的表面积．(π取3.14)利用三视图求几何体的体积3．某糖果厂想要为儿童设计一种新型的装糖果的不倒翁，请你根据包装厂设计好的三视图(如图)的尺寸计算其容积.⎝⎛⎭⎫球的体积公式：V ＝43πr 34．一透明的敞口正方体容器ABCD -A ′B ′C ′D ′内装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α (∠CBE ＝α)．如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB ′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三种视图及尺寸如图②.解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ；(2)求液体的体积．参考答案1．D2．解：(1)主；俯 (2)表面积＝2×(11×7＋11×2＋7×2)＋4×π×6≈301.36(cm 2)．3．解：圆锥的高为132－52＝12(cm )，则不倒翁的容积为13π×52×12＋12×43π×53＝100π＋250π3＝550π3(cm 3)． 4．解：(1)CQ ∥BE ；3(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3)．。
空间几何体的三视图、表面积与体积 真题训练
空间几何体的三视图、表面积与体积[练真题·考什么]1．(优质试题全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()解析：两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A.故选A.答案：A2．(优质试题全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N 的路径中，最短路径的长度为()A．217 B．2 5C．3 D．2解析：由圆柱的三视图及已知条件可知点M与点N的位置如图1所示，设ME与FN为圆柱的两条母线，沿FN将圆柱的侧面展开，如图2所示，连接MN，MN即为从M到N的最短路径，由题意知，ME＝2，EN＝4，∴MN＝42＋22＝2 5.故选B.答案：B3．(优质试题全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为()A．10 B．12C．14 D．16解析：由多面体的三视图还原直观图如图：该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1构成，其中面CC1A1A和面BB1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×(2＋4)×22＝12.故选B. 答案：B4．(优质试题全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π解析：由三视图可知，该几何体是一个球被截去18后剩下的部分，设球的半径为R ，则该几何体的体积为78×43πR 3，即283π＝78×43πR 3，解得R ＝2.故其表面积为78×4π×22＋3×14×π×22＝17π.故选A.答案：A5．(优质试题全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V ＝12×32×π×14＝63π.故选B.答案：B6．(优质试题全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．3π4 C.π2D ．π4解析：设圆柱的底面半径为r ，则r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，解得r ＝32，∴V 圆柱＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝34π，故选B. 答案：B[析命题·学什么]●考点一 空间几何体的三视图【例1】 (1)(优质试题兰州模拟)如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD 的正视图、侧视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤(2)(优质试题西安模拟)把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22 C.24D ．14(3)(优质试题太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A ．3 3B ．2 6 C.21D ．2 5[解析] (1)正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.(2)由三棱锥C －ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C －ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C －ABD 的侧视图的面积为14，故选D.(3)由三视图得，该几何体是四棱锥P －ABCD ，如图所示，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，平面P AD⊥平面ABCD，过点P作PE⊥AD，则PE＝4，DE＝2，所以CE＝22，所以最长的棱PC＝PE2＋CE2＝26，故选B.[答案](1)B(2)D(3)B规律方法1．由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认．二要熟悉常见几何体的三视图．2．由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面．(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．(3)确定几何体的直观图形状.「对点训练」1．(优质试题长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)()解析：正视图和俯视图中棱AD 和BD 均看不见，故为虚线，易知选A.答案：A2．某几何体的正视图与俯视图如图所示，若俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为( )A.152 B ．6＋ 3 C.32＋3 3D ．4 3解析：由题图可知该几何体的侧视图如图，则该几何体的侧视图的面积为3×2＋12×3×3＝152，故选A.答案：A3．(优质试题北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由三视图得几何体的直观图，如图．其中SD⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，SD＝AD＝CD＝2，AB ＝1，故△SDC，△SDA为直角三角形．∵AB⊥AD，AB⊥SD，AD∩SD＝D，∴AB⊥平面SDA，∴AB⊥SA，故△SAB是直角三角形，从而SB＝SD2＋AD2＋AB2＝3，易知BC＝22＋12＝5，SC ＝22＋22＝22，则SB2≠BC2＋SC2，故△SBC不是直角三角形，故选C.答案：C●考点二空间几何体的表面积与体积。
小题16 三视图、表面积与体积
小题16 三视图、表面积与体积一．选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（2017湖北新联考第四次联考5）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的体积为 （ ）A ．143πB ．103πC ．83πD ．53π 1.C 【解析】该几何体由一个半圆柱与一个半球体组合而成，其中半圆柱的底面半径为1，高为4，半球体的半径为1，所以，所求几何体的体积3214181142323V πππ=⨯⨯+⨯⨯=.故选C . 2.（2017湖北襄阳五中下学期第三次适应性考试8） 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是1025+，则图中x 的值为（ ）A ．3B ．2C .2D ．5题图 解答图2.D 【解析】如图，该几何体是四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PD 垂直于底面，PD x =，易知，该四棱锥的是两个侧面都是直角三角形，所以，表面积22112222222102522S x x =⨯+⨯⨯+⨯⨯+=+，解得5x =.故选D .3.（2017湖南衡阳三模9）如图所示，三棱锥V ABC -的底面是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，侧面VAC 与底面ABC 垂直，若以垂直于平面VAC 的方向作为正视图的方向，垂直于平面ABC 的方向为俯视图的方向，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积是（ ） A ．3 B ．3 C ．23 D ．3 3.B 【解析】由题意，作VD ⊥AC ，垂足为D ，则VAC ∆是正视图，如图所示，因为正视图的面积为23，所以1232AC VD ⨯⨯=， 所以43AC VD ⨯=，作BE ⊥AC ，垂足为E ，因为三棱锥V ABC-的底面是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以12BE AC =，所以侧视图的面积1113222S VD BE AC VD ===⋅⋅⋅⋅．故选B ． 4.（2017贵州适应性试卷9）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，则三棱锥P ﹣BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．24. A 【解析】：设棱长为1，则三棱锥P ﹣BCD 的正视图是底面边长为1，高为1的三角形，面积为12；三棱锥P ﹣BCD 的俯视图取最大面积时，P 在A 1处，俯视图面积为12； 故三棱锥P ﹣BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为1，故选A ．5.（2017河南郑州三模7）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是 （ ）A ．22π+B ．23π+C ．43π+ D ．42π+ 5.A 【解析】该几何体是由一个三棱柱和一个半圆柱组合而成，三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，半圆柱的底面圆的半径为1，高为1，所以，所求体积2211(2)21122V π=⨯⨯+⨯⨯=22π+.故选A . 6.（2017衡水中学5月第二次摸底10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的表面积为 （ ）A ．2843122++B ．3643122++C ．3642123++D ．44122+6.B 【解析】该几何体可以看作是由一个三棱柱割去一个三棱锥形成的. 气表面积为 111114422222226(2242)4444422222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+⨯⨯= 3643122++.故选B .题图 解答图7．（2017广州二模12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 （ ）题图 解答图A ．83B ．163C ．323D ．16 7. B 【解析】该三视图表示的三棱锥是正方体中的三棱锥D ABC -，其中C 、D 分别是所在棱的中点.由三视图知，正方体的棱长为4，所以，三棱锥D ABC -的体积1116244323V =⨯⨯⨯⨯=.故选B . 二.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）8.（2017天一大联考阶段性测试（四）15）《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺.问受栗几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面周长为五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=）8.2700【解析】圆柱的底面半径54549223r π===⨯，所以，体积221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺），即437427001.62V ==（斛）. 9.（2017合肥二模）几何体的三视图如图所示，其中俯视图为边长为1的等边三角形，则此几何体的体积为 .题 图 解答图9.3【解析】如图所示，该几何体是三棱柱111ABC A B C -截去四棱锥1A BCDB -后所得的几何体，依题意可知，截去的几何体的体积与剩下来的几何体的体积相等，而三棱柱111ABC A B C -的体积2331242V =⨯⨯=，所以剩下来的几何体的体积为34. 10.（2017广东东莞16）如图所示，三棱锥P ABC -中，ABC ∆为边长为3的等边三角形，D 是线段AB 的中点，DEPB E =，且DE AB ⊥，若120EDC ∠=︒，32PA =，33PB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ．10.13π【解析】易知PAB ∆为直角三角形，去ABC ∆的中心G ，过点G 作平面ABC 的垂线1l ，过点D 作平面APB 的垂线2l ，12l l O =，O 即为三棱锥P ABC -的外接球的球心，依题意，1209030ODG ∠=-=，13333DG =⨯⨯=，23333CG =⨯⨯=，故1tan 2OG DG ODG =∠=，故2211334OC OG CG R =+=+==，故所求外接球的表面积2413S R ππ==.。
三视图与体积表面积精准培优专练
培长处十三三视图与体积、表面积1．由三视图求面积例 1：一个几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积为_________．【答案】 33【分析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥构成，其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3，∴半球的面积 S1143218，圆锥的底面半径为 3，母线长为5，2∴圆锥的侧面积为S2rl35 15 ，∴表面积为 S S1 S233 ．2．由三视图求体积例 2：某个长方体被一个平面所截，获得的几何体的三视图以下图，则这个几何体的体积为（）A．4B．2 2C．42D．8【答案】 D【分析】因为长方体被平面所截，∴很难直接求出几何体的体积，能够考虑沿着截面再接上一个如出一辙的几何体，进而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完整同样的几何体拼成，∴所求体积为长方体体积的一半。
从图上可得长方体的底面为正方形，且边长为 2，长方体的高为3 1 4，∴ V长方体2，∴1，应选 D．V8V2对点增分集训一、单项选择题1．某几何体的三视图以下图，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为（）A． 1B． 2C． 3D． 4【答案】 A【分析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ，∴该几何体的表面积S 2 2r2r42r r r 2 2 r 216，得 r1，应选A．2．正方体ABCD A1B1C1D1中，E为棱AA的中点（如图）用过点B E D1的平面截去该1、、正方体的上半部分，则节余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【答案】 D【分析】由题意可知：过点 B 、 E 、 D1的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，应选 D．3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．23B．7C．7D． 4 626【答案】 A【分析】由三视图可得，该几何体是以下图的三棱柱ABB1DCC1挖去一个三棱锥E FCG ，故所求几何体的体积为1 2 2 211 1 1123，应选 A．23264．一个几何体的三视图以下图，此中正视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的表面积为A． 251B． 251 2C． 251D．51 2222【答案】 C【分析】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为r，1圆锥的高 h 2 ，其母线长l1222 5 ，则该几何体的表面积为：S1121 1 512 2 251，此题选择 C 选项．222225．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图以下图，则所截去的三棱锥的外接．．．．．．球的表面积等于（）A．34B．32C．17D．172【答案】 A【分析】由三视图知几何体是底面为边长为3， 4， 5 的三角形，高为 5 的三棱柱被平面截得的，以下图，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4， 5 的直角三角形，高为 3 的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径5圆心设为 M 半径为r，2球心究竟面距离为3，设球心为 O ，2222由勾股定理获得 R2h r 25334，S 4 R234 ，应选 A．22246．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为（）A．32B．16C．36D．72【答案】 C【分析】复原几何体以下图三棱锥由B1 BCD （以下左图），将此三棱锥补形为直三棱柱B1C1D1BCD （如上右图），在直三棱柱B1C1D1BCD 中取 BC、B1C 的中点 O1、O2，取 O1O2中点 O ，225223，S表 4 R2 4 3236 ，故答案为 C．RO2AOO27．一个四棱锥的三视图以下图，则该几何体的表面积为（）A．642B．842C．643D．843【答案】 B【分析】依据三视图，画出原空间构造图以下列图所示：∴表面积为S S DA1D1S DA1B1S DB1C1S DC1D1S A1B1C1D11 2 21 2 22122212222842，∴应选B．22228．已知一个三棱锥的三视图以下图，此中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且2a5a0,b0，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）b2A．17B．21C．4D．5 44【答案】 B【分析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个极点位于长方体ABCD A1B1 C1 D1的四个极点，即为三棱锥 A CB1 D1，且长方体A BCD A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，a，b，∴此三棱锥的外接球即为长方体ABCD A1 B1C1 D1的外接球，且球半径为2 2 a 2b2 4 a 2b2，R224 a22221∴三棱锥外接球表面积为4 4 a 2b2 5 a 1，b224∴当且仅当 a1， b 121时，三棱锥外接球的表面积获得最小值为．应选 B．249．在四棱锥P ABCD 中， PA底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PA AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，节余部分的三视图如图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为（）A．1B．1C．1D．1 2345【答案】 B【分析】由三视图知，节余部分的几何体是四棱锥P ABCD 被平面QBD截去三棱锥Q BCD （ Q 为PC中点）后的部分，连结AC 交 BD 于 O ，连楼OQ，则OQ∥PA，且 OQ1PA ，设 PA ABa ，则 V P ABCD1a 3 ， V Q BCD1 1 a2 1 a 1 a3 ， 233 2 2 121 a 31a 3，则所求的体积比值为：1 a 3 1 ．节余部分的体积为：11213123333aa12此题选择 B 选项．10．如图，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为（）A ． 15B ． 16C ．50D ．5333【答案】 C【分析】 由题得几何体原图是下列图中的四棱锥A BCDE ，底面四边形 BCDE 的面积为 4414 212 2 10，22∴四棱锥的体积为110 550，故答案为C．3311．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为（）A．9B．8 2C． 12D．8 433【答案】 D【分析】几何体为如图多面体PABCDE ，∴体积为 V D PABE V A BCD121212 1 21 2 18，应选D．32323 12．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．20B． 7C．22D．23 333【答案】 B【分析】以下图，该几何体为正方体去掉两个倒置的三棱锥，∴该多面体的体积为 V 231112 21112 2 7；应选B．3232二、填空题13．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某个长方体挖去一个几何体获得的几何图形的三视图，则该被挖去的几何体的体积为__________．【答案】 12【分析】依据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为 4，高为2）高为 2 的直四棱柱，∴V Sh1242212．214．已知某几何体的三视图以下图，则该几何体的表面积和体积分别为_______与 _______．【答案】 40 4 ， 164 3【分析】由三视图可知，其对应的几何体是一个组合体，上半部分是一个直径为 2 的球，下半部分是一个直棱柱，棱柱的底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则该几何体的表面积S41222242440 4 ，几何体的体积： V413224164．3315．某四棱锥的三视图以下图，则该四棱锥的体积为_________．【答案】 1【分析】依据题中所给的三视图，复原几何体，可知其为有一条侧棱垂直于底面的一个四棱锥，该四棱锥的底面就是其俯视图中的直角梯形，依据图中所给的数据，联合椎体的体积公式，可得其体积 V 1121 2 1，故答案是1．3216．已知某几何体的三视图以下图，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的体积为__________．【答案】23【分析】由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1 D1与面 CB1 D1截去两个角所得，11其体积为 13211132，故答案为2．2 33312。
小题15 三视图、表面积与体积
小题14 三视图、表面积与体积一、选择题 1.（2018河北衡水压轴卷一）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别为11B C 、11C D 的中点，则四棱锥11A B EFD -的正视图与侧视图分别为 （ ）A .②，③B .④，②C .②，①D .②，④1.D 【解析】由三视图的投影规则知，几何体在侧面11DCC D 上的投影为一直角三角形（直角在左边），AF 的投影为一虚线，1AB 的投影为一实线，故正视图为②；几何体在侧面11BCC B 上的投影为一直角三角形（直角在右边），AE 的投影为虚线，1AD 的投影为实线，故侧视图为④.故选D .2.（2018广东肇庆三模）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A .6B .193C .203D .223 2.D 【解析】该几何体的直观图如图所示，即该几何体是将棱长为2的正方体截去三棱锥A BCD -后得到的几何体，所以其体积311222221323V =-⨯⨯⨯⨯=.故选D . 3.（2018河北唐山二模）如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（ ）A. 2πB. 5πC. 8πD. 10π3.C 【解析】由题意知该几何体是球被切割后剩下的14，所以它的表面积由三个部分组成，所以 22211142228.422S ππππ=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=故选C . 4.（2018广西梧州二模）一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）A. 23B. 23C. 241)π+D. 241)π+4.D 【解析】由三视图可知：该几何体为组合体，上方为圆锥，下方为正方体，所以表面积为：54(4)S π=⨯+-+1π⨯=241)π+.故选D .5.（2018东北三省四市二模）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A .72B .66C .60D .305.A 【解析】该几何体是一个直三棱柱，底面是直角三角形.根据三视图的知识可得2332x y x y y +-=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，则直三棱柱的底面直角边的长分别为3，4，直三棱柱的高为5，所以其表面积为123435452⨯⨯⨯+⨯+⨯5572+⨯=.故选A .6.（2018河南八市下学期第一次测评） 某无盖容器的三视图如下所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰梯形，腰长为3，俯视图是半径为1和2的两个同心圆，则它的表面积是（ ）A.9πB.10πC. 13πD. 14π6.B 【解析】几何体为一圆台，母线长为3，侧面展开图为圆环，对应圆心角为23π，所以表面积是21S π=⨯+ 1164321022ππ⨯⨯-⨯⨯=，故选B . 7.（2018乌鲁木齐5月适应性训练）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 4B. 8C.43 D. 837.D 【解析】由题意三视图可知，几何体是四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以几何体的体积是：1822233V =⨯⨯⨯=．故选D ．8.（2018山西晋中适应性调研）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.32 B.136 C.2 D. 1168.D 【解析】由题目中三视图及各边长度可知，直观图如图所示，根据长度，可知底面为等）为底面，高为2的三棱柱的体积：1V =1222=，而缺少部分以等腰直角三角形（腰为1）为底面，高为1的三棱锥，体积为21111326V =⨯⨯=，故所求几何体体积为12116V V V =-=.故选D . 9.（2018四川南充二模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）题图 解答图A.2B.10C. 10+D. 12+9.B 【解析】由题意作图如右，ABC ∆与ADC ∆是全等的直角三角形，其中4AB =，2BC =，故4ADC ABC S S ∆∆==，BDC ∆是等腰直角三角形，2BC CD ==，故12222BCD S ∆=⨯⨯=，ADB ∆是等腰三角形，4AB AD ==，BD =，故点A 到BD 的距离AE =BAD S ∆=10S =.故选B .10．（2018湖南衡阳二模）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的所有棱中，最短的棱其长为( )A. 2B.C. 1D. 10．C 【解析】由三视图可知圆几何体是长方体中的三棱锥P ABC -，其中C 为所在棱的中点.从图中可以看出棱AC最短，因为1AC =，所以最短的棱长为1.故选C .二、填空题11.（2018湖南郴州二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．11.9142π+【解析】由三视图可知，该几何体由四分之三的圆柱与三棱锥组成，所以，该几何体的体积为231113113432π⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯ 9142π=+. 12.（2018河北唐山二模）在四棱锥S ABCD -中， SD ⊥底面ABCD ，底面A B C D是正方形，2SD AD ==，三棱柱111M N P M N P -的顶点都位于四棱锥S ABC D -的棱上，已知,,M N P 分别是棱,,AB AD AS 的中点，则三棱柱111MNP M N P -的体积为_________．12.1【解析】由题得1M 是BC 中点， 1N 是DC 中点， 1P 是SC 中点，1PN =，MN =，且PN MN ⊥，所以三棱柱111MNP M N P -的底面积为112⨯=由题得正方形的对角线长111MNP M N P -的高为12⨯=所以三棱柱111MNP M N P -1=. 13.（2018广东东莞二模）已知几何体Ω是平面α截半径为4的球O 所得较大部分，ABC ∆是截面圆O '的内接三角形，90A ∠=，点P 是几何体Ω的表面上一动点，且P 在圆O '上的投影在圆O '的圆周上，1OO '=，则三棱锥P ABC -的体积的最大值为__________．13.10【解析】因为P 在圆O '上的投影在圆O '的圆周上，所以点P 所在的圆周面和圆面O '关于球心O 对称，即点P 到平面ABC 的距离为22OO '=，设截面圆O '的半径为r ，其内接三角形ABC 的一个锐角为θ，因为1OO '=，4R =，所以r ==，则ABC S ∆=1sin cos 15sin 2152θθθ⨯⨯=≤，所以三棱锥P ABC -的体积的最大值为1152103⨯⨯=.。