高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：1 Word版含解析
2015届高考理科数学二轮复习：提能专训1 函数与方程思想Word版含解析
(1)a的值为________；
(2)函数f(x)在(0，π)内的零点个数为________．
[答案](1)1(2)2
[解析]因为f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，当a≤0时，f(x)在x∈上单调递减，最大值f(0)＝－，不适合题意，所以a>0，此时f(x)在x∈上单调递增，最大值f＝a－＝，解得a＝1，符合题意，故a＝1.f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)内的零点个数即为函数y＝sinx，y＝的图象在x∈(0，π)内的交点个数，又x＝时，sin＝1>>0，所以两图象在x∈(0，π)内有2个交点，即f(x)＝xsinx－在x∈(0，π)内的零点个数是2.
13．(2014·银川月考)下列结论中：
①函数y＝x(1－2x)(x>0)有最大值；
②函数y＝2－3x－(x<0)有最大值2－4；
③若a>0，则(1＋a)≥4.
正确结论的序号是________．
[答案]①③
[解析]函数y＝x(1－2x)对称轴为x＝，故当x＝时取到最大值，①正确；函数y＝2－3x－＝2＋，因为x<0，所以y≥2＋4，②错误；因为a>0，则(1＋a)＝2＋a＋≥4，③正确．
∴f(x)在R上单调递减，又f(－x)＝－f(x)，
∴f(0)＝0，∴f(1－x)<0＝f(0)，
∴1－x>0，即x<1.
8．已知抛物线C：x＝y2的焦点为F(m,0)，点M的坐标为(－m，m)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·＝0，则k＝()
A.B.C.D．2
[答案]D
2020届高考数学(理)二轮复习专题强化训练：(一)函数与方程思想理+Word版含答案
专题强化训练(一)函数与方程思想一、选择题1．[2019·河南名校联考]在平面直角坐标系中，已知三点A (a,2)，B (3，b )，C (2,3)，O 为坐标原点，若向量OB →⊥AC →，则a 2＋b 2的最小值为( )A.125B.185C ．12D ．18解析：由题意得OB →＝(3，b )，AC →＝(2－a,1)， ∵OB →⊥AC →，∴OB → ·AC →＝3(2－a )＋b ＝0，∴b ＝3a －6，∴a 2＋b 2＝a 2＋9(a －2)2＝10a 2－36a ＋36＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －952＋185，所以当a ＝95时，a 2＋b 2取得的最小值，且最小值为185，故选B.答案：B2．[2019·安徽马鞍山一模]已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18，S 3－a 1＝34，则S 5＝( ) A.3132 B.3116 C.318D.314解析：易知q >0且q ≠1，且⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝18，a 1(1－q 3)1－q －a 1＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝12，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1－1321－12＝3116，故选B.答案：B3．[2019·山东滨州期中]若对于任意的x >0，不等式mx ≤x 2＋2x ＋4恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，6]C ．[－2,6]D ．[6，＋∞)解析：∵x >0，∴mx ≤x 2＋2x ＋4⇔m ≤x ＋4x ＋2对任意实数x >0恒成立．令f (x )＝x ＋4x＋2，则m ≤f (x )min ，因为f (x )＝x ＋4x＋2≥2x ·4x＋2＝6，当且仅当x ＝2时取等号，所以m ≤6，故选B.答案：B4．[2019·河北唐山一模]椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 为等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A.12B.32C.13D.33解析：由题意可得2c ＝32×2b 2a ，所以2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，由e∈(0,1)，解得e ＝33，故选D. 答案：D5．[2019·宁夏银川一中二模]已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[－1,4)C ．[－1，＋∞)D ．[－1,6]解析：不等式xy ≤ax 2＋2y 2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立，等价于a ≥y x－2⎝ ⎛⎭⎪⎫y x2对于x ∈[1,2]，y ∈[2,3]恒成立．令t ＝yx∈[1,3]，所以a ≥t －2t 2在[1,3]上恒成立，又y ＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋18，则当t ＝1时，y max ＝－1，所以a ≥－1，故选C.答案：C6．[2019·河南十所名校联考]已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 6＝25，S 5＝40，则数列{a n }的公差d ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由a 3＋a 6＝25，S 5＝40得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋5d ＝25，5a 1＋5×42d ＝40，解得d ＝3，故选B.答案：B7．[2019·安徽合肥质检一]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线分别交双曲线左、右两支于点M ，N ，连接MF 2，NF 2，若MF 2→·NF 2→＝0，|MF 2→|＝|NF 2→|，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：由MF 2→·NF 2→＝0，知MF 2→⊥NF 2→.又|MF 2→|＝|NF 2→|，则|MF 2→|＝|NF 2→|＝22|MN →|，且∠F 1NF 2＝45°.由双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 2→|－|MF 1→|＝2a|NF 1→|－|NF 2→|＝2a，两式相加，得|MF 2→|－|NF 2→|＋|MN →|＝4a ，即|MN →|＝4a ，则|NF 2→|＝22a ，所以|NF 1→|＝2a ＋|NF 2→|＝(2＋22)a .在△NF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2→|2＝|NF 1→|2＋|NF 2→|2－2|NF 1→|·|NF 2→|cos ∠F 1NF 2，即4c 2＝(22a )2＋(2＋22)2a 2－2×22a ×(2＋22)a ×22，整理，得c 2＝3a 2，所以e 2＝3，即e ＝3，故选B. 答案：B8．[2019·河南期末联考]已知－π2<α－β<π2，sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝( ) A.33 B.63 C.36D.66解析：由sin α＋2cos β＝1，cos α－2sin β＝2，将两个等式两边平方相加，得5＋4sin(α－β)＝3，即sin(α－β)＝－12，因为－π2<α－β<π2，所以α－β＝－π6，即α＝β－π6，代入sin α＋2cos β＝1，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝33，故选A.答案：A9．[2019·新疆昌吉月考]若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ，在R 上恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－13B.13C.23D ．1解析：1＋a cos x ≥23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令t ＝cos x ∈[－1,1]，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]上恒成立，令f (t )＝4t 2－3at －5，t ∈[－1，1]，则应满足条件为⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝4＋3a －5≤0，f (1)＝4－3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，故选B.答案：B10．[2019·河南郑州质检二]函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，f (0)＝0，且在(0，＋∞)上可导，f ′(x )为其导函数，若xf ′(x )＋f (x )＝e x(x －2)且f (3)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)解析：令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＝e x(x －2)，可知当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，又f (3)＝0，f (0)＝0，则g (3)＝3f (3)＝0，且g (0)＝0，则不等式f (x )<0的解集就是xf (x )<0的解集，所以不等式的解集为{x |0<x <3}，故选B.答案：B11．[2019·山东荷泽一模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，O为坐标原点，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，直线AF 2交y 轴于点M ，若|F 1F 2|＝6|OM |，则该椭圆的离心率为( )A.13B.33C.58D.104解析：由题意，可知|F 1F 2|＝2c ，则|OM |＝c 3，则tan ∠MF 2C ＝13，又AF 1→·AF 2→＝0，则∠F 1AF 2＝90°，所以|AF 1||AF 2|＝13，设|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝3x ，所以2a ＝3x ＋x ＝4x,4c 2＝(3x )2＋x 2＝10x 2，所以e ＝c a ＝104，故选D.答案：D12．[2019·山东泰安期末]定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足x 2f ′(x )>1，f (2)＝52，则关于x 的不等式f (x )<3－1x的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，2) C ．(0,1)D ．(0,2)解析：令g (x )＝f (x )＋1x (x >0)，则g ′(x )＝f ′(x )－1x 2＝x 2f ′(x )－1x2>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (2)＝52，则g (2)＝f (2)＋12＝3，所以f (x )<3－1x ⇔f (x )＋1x<3⇔g (x )<g (2)．又因为g (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以0<x <2，故选D.答案：D13．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 7＝5，S 5＝－55，则nS n 的最小值为( )A ．－343B ．－324C ．－320D ．－243解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，5(a 1＋2d )＝－55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－19，d ＝4，所以S n ＝－19n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－21n ，nS n ＝2n 3－21n 2，设f (x )＝2x 3－21x 2(x >0)，则f ′(x )＝6x (x －7)，当0<x <7时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >7时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以nS n 的最小值为f (7)＝－343，故选A.答案：A14．[2019·陕西咸阳二模]已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x∈(0，π)，有f ′(x )sin x >f (x )cos x ，且f (x )＋f (－x )＝0，设a ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，b ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，c ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．a <c <bD ．c <b <a解析：构造函数g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x>0，x ∈(0，π)，所以g (x )在(0，π)上单调递增．又f (x )＋f (－x )＝0，则f (x )为奇函数，从而g (x )为偶函数，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.又因为0<π6<π4<π2<π，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6sinπ6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sinπ2，即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，故选A.答案：A15．[2019·河南十所名校联考]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ，P 使得四边形OPFQ 为矩形，则其离心率为( )A. 3 B ．2 C. 5D. 6解析：依据题意作出如下图象，其中四边形OPFQ 为矩形，如图所示．双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax ，所以直线OQ 的方程为y ＝ab x ，直线QF 的方程为y ＝－b a(x －c )， 联立直线OQ 与直线QF 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝a bx ，y ＝－b a (x －c )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b 2c，y ＝abc ，所以点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ，ab c ，又点Q 在双曲线C ： x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c 2a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c 2b2＝1，整理得c 2＝3a 2，所以e ＝ca＝c 2a 2＝3，故选A. 答案：A 二、填空题16．[2019·湖南怀化一模]已知正方形ABCD 的边长为2，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为________．解析：以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系因为正方形ABCD 的边长为2，所以A (0,0)，B (2,0)，C (2,2)，D (0,2)． 设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )， PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(2－x,2－y )，PD →＝(－x ，2－y )，所以PA →＋PB →＝(2－2x ，－2y )，PC →＋PD →＝(2－2x,4－2y )，所以(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)＝(2－2x )2－2y (4－2y )＝4(x －1)2＋4y (y －2)＝4(x －1)2＋4(y －1)2－4≥－4，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，故(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)的最小值为－4.答案：－417．[2019·甘肃、青海、宁夏联考]过点M (－1,0)引曲线C ：y ＝2x 3＋ax ＋a 的两条切线，这两条切线与y 轴交于A ，B 两点，若|MA |＝|MB |，则a ＝________.解析：设切点坐标为(t,2t 3＋at ＋a )，y ′＝6x 2＋a ，则由题意得6t 2＋a ＝2t 3＋at ＋a t ＋1，整理得2t 3＋3t 2＝0，解得t ＝0或t ＝－32.因为|MA |＝|MB |，所以两条切线的斜率互为相反数，故2a ＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝0，解得a ＝－274.答案：－27418．[2019·湖北黄冈八模]已知F 1，F 2为双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点，点A为双曲线C 右支上一点，AF 1交左支于点B ，△AF 2B 是等腰直角三角形，∠AF 2B ＝π2，则双曲线C 的离心率为________．解析：设|AF 2|＝x ，∵△AF 2B 为等腰直角三角形，∠AF 2B ＝π2，∴|BF 2|＝x ，|AB |＝2x ，∠F 2AB ＝π4，由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝22，|BF 2|－|BF 1|＝22，∴|AF 1|＝22＋x ，|BF 1|＝x －2 2.又|AF 1|＝|AB |＋|BF 1|，∴22＋x ＝2x ＋x －22，解得x ＝4，∴|AF 1|＝22＋4，|AF 2|＝4.在△AF 2F 1中，由余弦定理得4c 2＝42＋(4＋22)2－2×(4＋22)×4×22，解得c ＝6， ∴e ＝c a＝ 3. 答案： 319．[2019·安徽六校联考改编]已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点(5，t )到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆(x －6)2＋y 2＝1上的动点，则|PQ |的最小值为________．解析：由抛物线C ：y 2＝2px (p >0)焦点在x 轴上，准线方程x ＝－p2，则点(5，t )到焦点的距离为d ＝5＋p2＝6，则p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .设P (x ，y )，由圆M ：(x －6)2＋y 2＝1，知圆心为(6,1)，半径为1，则|PM |＝(x －6)2＋y 2＝(x －6)2＋4x ＝(x －4)2＋20，当x ＝4时，|PQ |取得最小值，最小值为20－1＝25－1. 答案：25－120．[2019·广东深圳调研改编]若关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x λx ≤19有正整数解，则实数λ的最小值为________．解析：由⎝ ⎛⎭⎪⎫1x λx ≤19，得x λx ≥9，两边取对数得λ·ln x x ≥ln 9.因为x ∈N *，所以λ>0，所以ln xx≥ln 9λ.令f (x )＝ln xx(x >0)，则f ′(x )＝1－ln xx 2，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．因为2<e<3，所以只考虑f (2)和f (3)的大小关系．因为f (2)＝ln 22＝ln 86，f (3)＝ln 33＝ln 96，所以f (2)<f (3)，所以只需f (3)＝ln 96≥ln 9λ，即λ≥6，所以实数λ的最小值为6. 答案：6。
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：15 Word版含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：15Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·昆明模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且＝2，＝3，若＝a ，＝b ，则＝( )A.a ＋bB.a －bC ．－a －bD ．－a ＋b [解析] DE →＝＋CE → ＝＋34CA →＝(－)－34AC →＝－－＝－a －b ，故选C. [答案] C2．(20xx·吉林白城模拟)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若ma ＋nb 与a －2b 共线，则＝( )A. B ．2 C ．－ D ．－2[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得ma ＋nb ＝(2m －n,3m ＋2n)，a －2b ＝(4，－1)．由ma ＋nb 与a －2b 共线，得＝，所以＝－，故选C.[答案] C3．(20xx·广东深圳第二次调研)如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )A. B.53C. D ．2[解析] 因为M 是BC 的中点，所以＝，所以＝λ＋μBD →＝λ(＋)＋μ(－) ＝λ＋μ(－)＝(λ－μ)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μBC → ＝＋，即解得所以λ＋μ＝. [答案] B4．(20xx·陕西省××市高三一检)已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A.∪(2，＋∞) B ．(2，＋∞)C. D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12[解析] 依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是∪(2，＋∞)，选A.[答案] A5．(20xx·云南省高三调研考试)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b|＝2，则|3a ＋b|等于( )A ．13＋6B ．25C. D.34[解析] 依题意得a2＝2，a·b＝×2×cos45°＝2，|3a ＋b|＝＝＝＝，选D.[答案] D6．(20xx·西安模拟)在△ABC 中，A ＝120°，·＝－1，则||的最小值是( )A. B ．2 C. D ．6[解析] 因为·＝－1，所以bccos120°＝－1，即bc ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos120°＝b2＋c2＋bc≥3bc＝6，所以a≥，即||的最小值是.[答案] C7．(20xx·西安质量检测)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足＝2a ，＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b|＝1B ．a⊥bC ．a·b＝1D ．(4a ＋b)⊥BC →[解析] 由题意，＝－＝(2a ＋b)－2a ＝b ，则|b|＝2，故A 错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，又·＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝2×2cos60°＝2，所以a·b＝－1，故B ，C 错误．故应选D.[答案] D8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且＝3，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若＝x ＋(1－x)，则x 的取值范围是( )A. B.⎝⎛⎭⎪⎫0，13C. D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0[解析] 依题意，设＝λ，其中1<λ<，则有 ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.又＝x ＋(1－x)，且，不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈，知x∈，即x 的取值范围是.[答案] D 9.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若＝m ＋n(m>0，n>0)，m ＋n ＝2，则∠AOB 的最小值为( )A. B.π3C. D.2π3[解析] 解法一：由题意mn≤2＝1，将＝m ＋n 平方得 1＝m2＋n2＋2mncos∠AOB，cos∠AOB＝＝＝－＋1≤－(当且仅当m ＝n ＝1时等号成立)， ∵0<∠AOB<π，∴∠AOB 的最小值为.解法二：已知AB 与OC 的交点为M ，设λ＝＝m ＋n ，A ，B ，M 三点共线，则λ＝m ＋n ＝2，说明M 是OC 的中点，在同一圆中相等弦所对的圆心角相等，且较短弦所对的圆心角也较小，可知AB⊥OC 且互相平分，由平行四边形法则，四边形OACB 是菱形，且∠AOB＝，故选D.[答案] D10．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C. D.2 2[解析] 解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，整理得2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.解法二：直接把(a－c)·(b－c)＝0按照数量积的运算法则展开，利用|a|＝|b|＝1，a·b＝0化简后解决．∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，∴由(a－c)·(b－c)＝0可得|c|2＝c·(a＋b)，由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a＋b|＝.设a＋b与c的夹角为θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，即|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，所以|c|的最大值是.[答案] C11．(20xx·郑州适应性测试)已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0,1)，B(1,0)，C(0，－2)，O为坐标原点，动点M满足||＝1，则|＋＋|的最大值是( )A.＋1B.＋1C.－1D.－1[解析] 设点M的坐标为(x，y)，∵C(0，－2)，且||＝1，∴＝1，即x2＋(y＋2)2＝1，∴动点M的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，∵A(0,1)，B(1,0)，∴＋＋＝(x＋1，y＋1)，则|＋＋|＝，其几何意义为动点M(x，y)与点N(－1，－1)之间的距离，即圆C上的点与点N(－1，－1)的距离，∵点N(－1，－1)在圆C外部，∴|＋＋|的最大值是||＋1＝＋1＝＋1，故选A.[答案] A12．已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )A．13 B．15 C．19 D．21[解析] 依题意，以点A为坐标原点，以AB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图．因为＝＋，所以点P(1,4)，B，C(0，t)．所以·＝·(－1，t－4)＝×(－1)－4×(t－4)＝17－－4t.因为＋4t≥2 ＝4，所以17－－4t≤17－4＝13，所以·的最大值为13，故选A.[答案] A二、填空题13．(20xx·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.[解析] 由题意知a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以|a＋2b|＝2.[答案] 2314．(20xx·南昌一模)在△ABC中，＝(，)，＝(1，)，则△ABC 的面积为________．[解析] ∵||＝，||＝，·＝＋，∴cos∠BAC＝＝.∴sin∠BAC＝＝＝.∴S△ABC＝||·||·sin∠BAC＝×××＝.[答案] 2－3215．(20xx·西宁模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．[解析] ∵＝＋，＝－，∴·＝2－·－2＝2，又AB＝8，AD＝5，解得·＝22.[答案] 2216．(20xx·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．[解析]如图，由＝2得＝＋，所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，又·＝3×2×cos60°＝3，2＝9，2＝4，所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB＝3，AC＝2，∠A＝60°，所以B(3,0)，C(1，)，又＝2，所以D，所以＝，而＝λ－＝λ(1，)－(3,0)＝(λ－3，λ)，因此·＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.[答案] 3 11。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：21 Word版含解析
跟踪强化训练(二十一)一、选择题1．(2017·贵阳一中适应性考试)已知l为平面α内的一条直线，α，β表示两个不同的平面，则“α⊥β”是“l⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若l为平面α内的一条直线且l⊥β，则α⊥β，反过来则不一定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件，故选B.[答案] B2．(2017·福建泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α[解析]过直线a上一点，作b的平行线c，则直线a，c确定一个平面，易证垂直于该平面的直线同时垂直于直线a和b，由于这样的直线有无数条，故A错误；由空间两直线夹角的定义易证，若l ∥a且l⊥b，则b⊥a，故B错；过直线a上一点作b的平行线n，记a，n确定的平面为a，显然b∥α，即存在性成立，假设存在平面α，β，使得a⊂α，a⊂β，且b∥α，b∥β，则α∩β＝a，所以b∥a，与题意矛盾，故唯一性成立，故C正确；假设存在平面α，使得a⊂α，且b⊥α，则b⊥a，与题意矛盾，故D错误.[答案] C3．(2017·宁波统考)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l[解析]因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.[答案] D4．已知a，b，l表示空间中三条不同的直线，α，β，γ表示空间中三个不同的平面，则下列四个命题中正确的命题序号为()①若a⊥α，b⊥β，l⊥γ，a∥b∥l，则α∥β∥γ；②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；③若a⊂α，b⊂β，α∩β＝a，l⊥a，l⊥b，则l⊥β；④若a，b为异面直线，a⊥α，b⊥β，l⊥a，l⊥b，l⊄α，l⊄β，则α与β相交，且交线平行于l.A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④[解析]对于①，a，b，l就相当于平面α，β，γ的法线，因为a ∥b∥l，所以α∥β∥γ，所以①正确；显然②是正确的；对于③，若a∥b，由线面垂直的判定定理可知，直线l不一定垂直于β，只有当a与b相交时，l⊥β，所以③不正确；对于④，由a⊥α，l⊥a，且l⊄α，得l∥α.又b⊥β，l⊥b，l⊄β，所以l∥β.由直线a，b为异面直线，且a⊥α，b⊥β，得α与β相交，否则a∥b，与a，b异面矛盾，故α与β相交，且交线平行于l，所以④正确．[答案] A5．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13[解析]因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选A.[答案] A6．(2017·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是()①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行．A．0 B．1 C．2 D．3[解析]由题图，得SA⊥SE，若存在点E使得直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SB，SA⊥SC，则SC，SB，SE三线共面，则点E与点C重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA与平面SBC相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA平行，故②错误；显然，在平面ABCE内，存在直线与AE平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE内存在直线与平面SAE平行，故③正确．选B.[答案] B二、填空题7．(2017·定州二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.[解析]根据题意，因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC.又E是AD的中点，所以F 是CD的中点．因为在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝ 2.[答案] 28．(2017·云南省11校高三调研)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确命题的序号是________．[解析]对于①，当两个平面互相垂直时，分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确．对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面(或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确．对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确．对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n；由m⊥α，α∥β得m⊥β，m⊥n1；又n1∥n，因此有m⊥n，④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④.[答案]②④9．(2017·运城一模)在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，M为AB的中点，将△BCM沿CM折起，使点A，B间的距离为2，则点M到平面ABC的距离为________．[解析]在平面图形中，由已知得AB＝2，AM＝BM＝MC＝1，BC＝3，∴△AMC为等边三角形，取CM的中点D，连接AD，则AD⊥CM，设AD的延长线交BC于E，则AD＝32，DE＝36，CE＝33.根据题意知，折起后的图形如图所示，由BC2＝AC2＋AB2，知∠BAC＝90°，又cos∠ECA＝33，连接AE，则AE2＝CA2＋CE2－2CA·CE cos∠ECA＝23，于是AC2＝AE2＋CE2，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC.∵AD2＝AE2＋ED2，∴AE⊥DE，又BC，DE⊂平面BCM，BC∩DE＝E，∴AE ⊥平面BCM，即AE是三棱锥A－BCM的高，设点M到平面ABC的距离为h，∵S△BCM＝34，AE＝63，所以由V A－BCM＝V M－ABC，可得13×34×63＝13×12×2×1×h，∴h＝12.[答案] 12三、解答题10．(2017·江苏卷)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ；(2)AD ⊥AC .[证明] (1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ，所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，BC⊂平面BCD ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .11．(2017·南昌摸底)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1为矩形，AB ＝1，AA 1＝2，D 为AA 1的中点，BD 与AB 1交于点O ，CO ⊥侧面ABB 1A 1.(1)证明：BC ⊥AB 1；(2)若OC ＝OA ，求直线C 1D 与平面ABC 所成角的正弦值．[解] (1)证明：由题意，tan ∠ABD ＝AD AB ＝22，tan ∠AB 1B ＝AB BB 1＝22， 由图可知0<∠ABD ，∠AB 1B <π2，所以∠ABD ＝∠AB 1B ，所以∠ABD ＋∠BAB 1＝∠AB 1B ＋∠BAB 1＝π2，所以AB 1⊥BD ，又CO ⊥侧面ABB 1A 1，∴AB 1⊥CO.又BD 与CO 交于点O ，所以AB 1⊥平面CBD ，又因为BC ⊂平面CBD ，所以BC ⊥AB 1.(2)如图，以O 为原点，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－33，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，0，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，33， B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫66，0，0， 又因为CC 1→＝2AD →，所以C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫63，233，33. 所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，33，0，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，33，33， DC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫66，233，33. 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则根据⎩⎨⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0可得⎝ ⎛ －63x ＋33y ＝0，33y ＋33z ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝－2，所以n ＝(1，2，－2)是平面ABC 的一个法向量，设直线C 1D 与平面ABC 所成角为α， 则sin α＝|DC 1→·n ||DC 1→||n |＝35555.12．(2017·贵州省贵阳市高三监测)如图所示，该几何体由一个直三棱柱ADE －BCF 和一个正四棱锥P －ABCD 组合而成，AD ⊥AF ，AE ＝AD ＝2.(1)证明：平面P AD ⊥平面ABFE ；(2)若正四棱锥P －ABCD 的高为1，求二面角C －AF －P 的余弦值．[解] (1)证明：∵直三棱柱ADE －BCF 中，AB ⊥平面ADE ，∴AB ⊥AD ，又AD ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，∴AD ⊥平面ABFE ，∵AD ⊂平面P AD ，∴平面P AD ⊥平面ABFE .(2)∵AD ∥BC ，AD ⊥平面ABFE ，∴BC ⊥平面ABFE ，且AB ⊥BF ，建立以B 为坐标原点，BA ，BF ，BC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，如图所示．∵正四棱锥P －ABCD 的高为1，AE ＝AD ＝2，∴A (2,0,0)，E (2,2,0)，F (0,2,0)，C (0,0,2)，P (1，－1,1)，∴AF →＝(－2,2,0)，CF →＝(0,2，－2)，P A →＝(1,1，－1)，设n 1＝(x 1,1，z 1)是平面ACF 的一个法向量，则n 1⊥AF →，n 1⊥CF →，∴⎩⎨⎧ n 1·AF →＝0，n 1·CF →＝0，即⎩⎨⎧ －2x 1＋2＝0，2－2z 1＝0，解得x 1＝1，z 1＝1，即n 1＝(1,1,1)．设n 2＝(x 2,1，z 2)是平面P AF 的一个法向量，则n 2⊥AF →，n 2⊥P A →，∴⎩⎨⎧ n 2·AF →＝0，n 2·P A →＝0，即⎩⎨⎧ －2x 2＋2＝0，x 2＋1－z 2＝0，解得x 2＝1，z 2＝2，即n 2＝(1,1,2)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1＋1＋23×6＝223， 又二面角C －AF －P 是锐角，∴二面角C －AF －P 的余弦值是223.。
2020届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：19Word版含解析.doc
追踪加强训练 (十九 )1．(2017 ·沈阳 )已知数列 { a n} 是公差不0 的等差数列，首a1＝1，且 a1，a2，a4成等比数列．(1)求数列 { a n} 的通公式；(2)数列 { b n} 足 b n＝a n＋，求数列{ b n}的前n和T n.[ 解] (1)数列 { a n} 的公差 d，由已知得， a22＝a1a4，即 (1＋d)2＝1＋3d，解得 d＝ 0 或 d＝1.又 d≠0，∴ d＝1，可得 a n＝n.(2)由(1)得 b n＝n＋2n，∴ T n＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋⋯＋(n＋2n)＝ (1＋2＋ 3＋⋯＋n)＋(2＋22＋23＋⋯＋ 2n)＝n n＋1＋2n＋ 1－2.2S1＝a2－2，a1＝1，[解](1)由意得，a1＋a2＝2a3－6，解得 a2＝3，a1＋a2＋a3＝9，a3＝5，当 n≥2 ， S n－1＝ (n－1)a n－(n－1)n，因此 a n＝na n＋1－n(n＋1)－ (n－1)a n＋(n－1)n，即 a n＋1－a n＝2.又 a2－a1＝2，因此数列 { a n} 是首 1，公差 2 的等差数列，进而 a n＝2n－1.T n＝1×21＋3×22＋5×23＋⋯＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，2T n＝1×22＋3×23＋5×24＋⋯＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.两式相减得－T n＝1×21＋2×22＋2×23＋⋯＋2×2n－(2n－1)×2n＋1＝－ 2＋2×(21＋22＋23＋⋯＋2n)－(2n－1)×2n＋12× 1－2n＝－2＋2×－(2n－1)×2n＋1n＋ 2 n＋1 n＋1＝－ 2＋2 －4－(2n－1)×2 ＝－ 6－(2n－3)×2 .3．数列 { a n} 的前 n 和 S n，且首 a1≠3，a n＋1＝S n＋3n(n∈N*)．(1)求： { S n－3n} 是等比数列；(2)若{ a n}增数列，求a1的取范．[ 解] (1)明：∵ a n＋1＝S n＋3n，(n∈N*)∴S n＋1＝2S n＋3n，∴S n＋1－3n＋1＝2(S n－3n)，∵ a1≠3.S n＋1－3n＋1＝2，∴S n－3n∴数列 { S n－3n} 是公比 2，首 a1－3 的等比数列．(2)由(1)得 S n－3n＝(a1－3)×2n－1，∴ S n＝(a1－3)×2n－1＋3n，∴当 n≥2 ， a n＝S n－S n－1＝(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∵ { a n}增数列，∴n≥2 ，(a1－3)×2n－1＋2×3n>(a1－3)×2n－2＋2×3n－1，∴n≥2，2 n －212× 3 n －2－3 >0，2 ＋a 1可得 n ≥2 ， a >3－12× 3 n－2，12又当 n ＝2 ， 3－12× 32n－2有最大 － 9，∴ a 1>－9，又 a 2＝a 1＋3 足 a 2>a 1，∴ a 1 的取 范 是 (－9，＋ ∞)．4．(2017 ·昆明模 ) 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，a 1＝1，当 n ≥2， a n ＝2a n S n －2S 2n .(1)求数列 { a n } 的通 公式；(2)能否存在正数 k ，使 (1＋S 1)(1＋S 2)⋯(1＋S n )≥k2n ＋1 全部正整数 n 都建立？若存在， 求 k 的取 范 ；若不存在， 明原因．[ 解] (1)∵当 n ≥ 2 ， a n ＝S n －S n － 1，a n ＝2a n n －2S n 2，S∴ S n －S n － 1＝2(S n －S n － 1)S n －2S 2n .∴ S n －1－S n ＝2S n S n －1.∴1－ 1＝2.S n S n －1111＝1，公差 2∴数列 S n是首 S 1＝a 1 的等差数列，1即 S n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.1∴S n＝2n －1.11当 n ≥2 ， a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2 n －1 －1－2＝2n －1 2n －3.1，n＝1，∴数列 { a n} 的通公式 a n＝－22n－1 2n－3，n≥2.(2) b n＝1＋S11＋S2⋯ 1＋S n，2n＋1b n＋1＝ 1＋S1 1＋S2⋯ 1＋S n 1＋S n＋1.2n＋311由 (1)知 S n＝2n－1，S n＋1＝2n＋1，b n＋11＋ S n＋1 2n＋12n＋ 2∴b n＝2n＋3＝2n＋1 2n＋34n2＋8n＋4＝4n2＋8n＋3>1.又 b n>0，∴数列 { b n} 是增数列．由 (1＋S1)(1＋S2)⋯(1＋S n)≥k 2n＋ 1，得 b n≥k.2 2 3∴k≤b1＝3＝3 .∴存在正数 k，使 (1＋S1)(1＋S2)⋯(1＋S n)≥k 2n＋1全部正整数 n都建立，且 k 的取范 0，233.。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题一 集合、常用逻辑用语、平面向量、复数 1-1-2 Word版含答案.doc
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：24 Word版含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：24Word版含解析______年______月______日____________________部门一、选择题1．(20xx·广西三市第一次联合调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )A. B．1 C. D．2[解析] 由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2.故选D.[答案] D2．(20xx·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1[解析] 椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.[答案] C3．(20xx·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1[解析] 易知抛物线y2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝，所以c ＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，选A.[答案] A4．(20xx·武汉调研)椭圆C ：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P 在C 上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34 C.D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 [解析] 椭圆的左顶点为A1(－2,0)、右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而kPA2＝，kPA1＝，所以kPA2·kPA1＝＝－.又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈.故选B.[答案] B5．(20xx·合肥质检)已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A ，B 两点．O 为坐标原点．若△OAB 的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. C ．2 D ．4[解析] 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x，抛物线的准线方程为x ＝－，故A ，B 两点的坐标为，|AB|＝2p ，所以S△OAB ＝·2p·＝＝1，解得p ＝，故选B.[答案] B6．已知椭圆＋＝1(0<b<2)，左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. C. D.3[解析] 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a ＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b ＝，故选D.[答案] D7．(20xx·长沙一模)A 是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p ＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.[答案] A8．(20xx·广州综合测试)已知F1，F2分别是椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P 使∠F1PF2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12[解析] 解法一：设P(x0，y0)，由题易知|x0|<a ，因为∠F1PF2为钝角，所以·<0有解，即c2>x ＋y 有解，即c2>(x ＋y)min ，又y ＝b2－x ，x<a2，故x ＋y ＝b2＋x∈[b2，a2)，所以(x ＋y)min ＝b2，故c2>b2，又b2＝a2－c2，所以e2＝>，解得e>，又0<e<1，故椭圆C 的离心率的取值范围是，选A.解法二：椭圆上存在点P 使∠F1PF2为钝角⇔以原点O 为圆点，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c ，如图，由b<c ，得a2－c2<c2，即a2<2c2，解得e ＝>，又0<e<1，故椭圆C 的离心率的取值范围是，选A.[答案] A9．(20xx·杭州第一次质检)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )A. B ．11 C ．12 D ．16[解析] 由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a ＝4，|BF2|－|BF1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min ＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故选B.[答案] B10．(20xx·××市××区高三三调)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F 垂直于l1的直线分别交l1，l2于A ，B 两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.52[解析] 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF＝α，则由题意知tan α＝，在△AOB 中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m －d ，|AB|＝m ，|OB|＝m ＋d ，∵OA⊥BF，∴(m－d)2＋m2＝(m ＋d)2，整理，得d ＝m ，∴－tan2α＝－＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a ，c ＝＝a ，∴e＝＝.故选C.[答案] C11．(20xx·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P 点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋14，1 C.D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a ，－b)·(－c ，－b)<0，得b2<ac ，即a2－c2<ac ，故2＋－1>0，即e2＋e －1>0，e>或e<，又0<e<1，∴<e<1，故选D.[答案] D12．(20xx·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双曲线的离心率为( )A. B．2 C. D.5 2[解析] 如图，连接PF2，QF2.由|PQ|＝2|QF1|，可设|QF1|＝m，则|PQ|＝2m，|PF1|＝3m；由|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝|PF1|－2a ＝3m－2a；由|QF2|－|QF1|＝2a，得|QF2|＝|QF1|＋2a＝m＋2a.∵点P在以F1F2为直径的圆上，∴PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.由|PQ|2＋|PF2|2＝|QF2|2，得(2m)2＋(3m－2a)2＝(m＋2a)2，解得m＝a，∴|PF1|＝3m＝4a，|PF2|＝3m－2a＝2a.∵|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|F1F2|＝2c，∴(4a)2＋(2a)2＝(2c)2，化简得c2＝5a2，∴双曲线的离心率e＝＝，故选A.[答案] A二、填空题13．(20xx·洛阳统考)已知F1、F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为__________________．[解析] 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，联立抛物线与双曲线方程得⇒x＝3a，而由⇒|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.[答案] x＝－214．(20xx·海口模拟)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，则椭圆的标准方程为__________________．[解析] 由题意，得c＝，∴a2－b2＝c2＝3.∵∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为2，∴|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2，∴|PF1|·|PF2|＝8.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a，由余弦定理得4c2＝12＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4a2－3×8，解得a2＝9，故b2＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.[答案] ＋＝115．(20xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．[解析] ∵AM＝AN＝b，∠MAN＝60°，∴△MAN是等边三角形，∴在△MAN中，MN上的高h＝b.∵点A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，∴＝b，∴e＝＝＝.[答案] 23 316．(20xx·西安四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1⊥QF2，且O是线段F1F2的中点，故OP⊥F1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60°，渐近线的斜率为±，故渐近线方程为y＝±x.[答案] y＝±x。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：16 Word版含解析
跟踪强化训练(十六)1．(2017·西安二模)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，求f (x )的值域； (2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝32，a ＝4，b ＋c ＝5，求△ABC 的面积．[解] (1)由题意知，f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin2x －32cos2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32， 可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32∈[0，3]．(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋32＝32，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝0，∵A ∈(0，π)，A －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，∴A －π3＝0，解得A ＝π3. ∵a ＝4，b ＋c ＝5，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得16＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝25－3bc ，解得bc ＝3， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×32＝334.2．(2017·武汉重点学校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．[解] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，f (x )取最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12.3．(2017·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin C sin A －sin B ＝a ＋b a －c.(1)求角B 的大小；(2)点D 满足BD →＝2BC →，且AD ＝3，求2a ＋c 的最大值． [解] (1)sin C sin A －sin B ＝a ＋b a －c ，由正弦定理可得ca －b ＝a ＋b a －c ，∴c (a －c )＝(a －b )(a ＋b )， 即a 2＋c 2－b 2＝ac . 又a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴cos B ＝12，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)解法一：在△ABD 中，由余弦定理得c 2＋(2a )2－2×2ac ×cos π3＝32，∴(2a ＋c )2－9＝3×2ac .∵2ac ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋c 22， ∴(2a ＋c )2－9≤34(2a ＋c )2，即(2a ＋c )2≤36,2a ＋c ≤6，当且仅当2a ＝c ，即a ＝32，c ＝3时，2a ＋c 取得最大值，最大值为6.解法二：在△ABD 中，由正弦定理知2a sin ∠BAD ＝c sin ∠ADB＝3sin π3＝23，∴2a ＝23sin ∠BAD ，c ＝23sin ∠ADB ， ∴2a ＋c ＝23sin ∠BAD ＋23sin ∠ADB ＝23(sin ∠BAD ＋sin ∠ADB )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ∠BAD ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－∠BAD＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ∠BAD ＋12cos ∠BAD＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫∠BAD ＋π6. ∵∠BAD ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴∠BAD ＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴当∠BAD ＋π6＝π2，即∠BAD ＝π3时，2a ＋c 取得最大值，最大值为6.4．(2017·贵州二模)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长．[解] (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE＝CEsin B .∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7， ∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA ＝∠BCE ，∴cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.∵A ＝π2，∴△AED 为直角三角形，又AE ＝5， ∴ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.∴CD ＝7.。
最新高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：29Word版含解析
最新高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：29Word版含解析一、选择题1．(2017·湖南岳阳一模)将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201至355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为( )B．15A．14D．17C．16[解析] 系统抽样的分段间隔为＝10，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔10个号抽到一个人，则被抽中的人数构成以3为首项，10为公差的等差数列，故可分别求出在001到200中有20人，在201至355号中共有16人．故选C. [答案] C2．(2017·湖南省五市十校高三联考)某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则n－m的值是( )A．5B．6D．8C．7[解析] 由甲组学生成绩的平均数是88，可得错误!＝88，解得m＝3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n＝9，所以n－m＝6，故选B.[答案] B3．(2017·太原模拟)某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N(300,102)，则用电量在320度以上的户数约为(参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝99.74%)( )B．23A．17D．46C．34[解析] P(ξ>320)＝×[1－P(280<ξ<320)]＝×(1－95.44%)＝0.0228，0．0228×1000＝22.8≈23，∴用电量在320度以上的户数约为23.故选B.[答案] B4．(2017·吉林省长春市高三监测)如图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是( ) A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门[解析] 由题图可知深圳对应的小黑点最接近0%，故变化幅度最小，北京对应的条形图最高，则北京的平均价格最高，故A正确；由题图可知深圳和厦门对应的小黑点在0%以下，故深圳和厦门的价格同去年相比有所下降，故B正确；由题图可知条形图由高到低居于前三位的城市为北京、深圳和广州，故C正确；由题图可知平均价格的涨幅由高到低分别为天津、西安和南京，故D错误．选D.[答案] D5．(2017·石家庄一模)某教育机构随机抽取某校20个班级，调查各班级关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据按照[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]进行分组，并绘制成如图所示的频率分布直方图，则将所得数据绘制成的茎叶图可能是( )[解析] 解法一：由频率分布直方图可知，[0,5)的频数为20×0.01×5＝1，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，[10,15)的频数为20×0.04×5＝4，[15,20)的频数为20×0.02×5＝2，[20,25)的频数为20×0.04×5＝4，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，[30,35)的频数为20×0.03×5＝3，[35,40]的频数为20×0.02×5＝2，结合选项知选A.解法二：由频率分布直方图可知，[5,10)的频数为20×0.01×5＝1，排除B，[25,30)的频数为20×0.03×5＝3，排除C，D，则对应的茎叶图为A，故选A.[答案] A6．(2017·赣州一模)以下四个命题中是真命题的为( )①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程＝0.2x＋12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k 来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．B．②④A．①④D．②③C．①③[解析] ①为系统抽样，故①不正确；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，故②正确；③由0.2(x＋1)＋12－0.2x－12＝0.2知③正确；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④不正确．故选D.[答案] D二、填空题7．(2017·陕西汉中模拟)已知某高中共有2400人，其中高一年级600人，现对该高中全体学生利用分层抽样的方法进行一项调查，需要从高一年级抽取20人，则全校一共抽取________人．[解析] 设全校一共抽取n人，则由分层抽样方法可得＝，解得n＝80.[答案] 808．(2017·济南一模)2017年2月20日，摩拜单车在某市推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动，为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为________．[解析] 由茎叶图得，该组数据分别是87,89,90,91,93，平均数是＝90，故方差s2＝×(9＋1＋0＋1＋9)＝4.[答案] 49．某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出m与年销售额t(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算， 6.5m＋17.5，则p＝________.[解析] 由于回归直线过样本点的中心，＝5，＝，代入＝6.5m＋17.5，解得p＝60.[答案] 60三、解答题10．(2017·合肥质检)某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类、自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人．在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人．(1)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生的人数；(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列2×2列联表．并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：19 Word版含解析
跟踪强化训练(十九)1．(2017·沈阳质检)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，首项a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝a n ＋，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得，a 22＝a 1a 4， 即(1＋d )2＝1＋3d ，解得d ＝0或d ＝1. 又d ≠0，∴d ＝1，可得a n ＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋2n ，∴T n ＝(1＋21)＋(2＋22)＋(3＋23)＋…＋(n ＋2n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n (n ＋1)2＋2n ＋1－2.[解](1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 2－2，a 1＋a 2＝2a 3－6，a 1＋a 2＋a 3＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3，a 3＝5，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)a n －(n －1)n ，所以a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)－(n －1)a n ＋(n －1)n ， 即a n ＋1－a n ＝2.又a 2－a 1＝2，因而数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 从而a n ＝2n －1.T n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1. 两式相减得－T n ＝1×21＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×(21＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1 ＝－2＋2×2×(1－2n )1－2－(2n －1)×2n ＋1＝－2＋2n ＋2－4－(2n －1)×2n ＋1＝－6－(2n －3)×2n ＋1. 所以T n ＝6＋(2n －3)×2n ＋1.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)．(1)求证：{S n －3n }是等比数列；(2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围． [解] (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n ，(n ∈N *) ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )，∵a 1≠3. ∴S n ＋1－3n ＋1S n －3n＝2， ∴数列{S n －3n }是公比为2，首项为a 1－3的等比数列． (2)由(1)得S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∵{a n }为递增数列，∴n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n >(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴n ≥2时，2n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2＋a 1－3>0，可得n ≥2时，a 1>3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，又当n ＝2时，3－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2有最大值为－9，∴a 1>－9，又a 2＝a 1＋3满足a 2>a 1， ∴a 1的取值范围是(－9，＋∞)．4．(2017·昆明模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n －2S 2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] (1)∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，a n ＝2a n S n －2S 2n ，∴S n －S n －1＝2(S n －S n －1)S n －2S 2n . ∴S n －1－S n ＝2S n S n －1. ∴1S n －1S n －1＝2. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列， 即1S n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴S n ＝12n －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12(n －1)－1＝－2(2n －1)(2n －3).∴数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎨⎧1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.(2)设b n ＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )2n ＋1，则b n ＋1＝(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )(1＋S n ＋1)2n ＋3.由(1)知S n ＝12n －1，S n ＋1＝12n ＋1，∴b n ＋1b n＝(1＋S n ＋1)2n ＋12n ＋3＝2n ＋2(2n ＋1)(2n ＋3)＝4n 2＋8n ＋44n 2＋8n ＋3>1. 又b n >0，∴数列{b n }是单调递增数列． 由(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k 2n ＋1，得b n ≥k .∴k ≤b 1＝23＝233. ∴存在正数k ，使(1＋S 1)(1＋S 2)…(1＋S n )≥k2n ＋1对一切正整数n 都成立，且k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，233.。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：30 Word版含解析
跟踪强化训练(三十)一、选择题1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( )A ．3＋5iB ．3－5iC ．－3＋5iD ．－3－5i[解析]先转化为z ＝11＋7i2－i 进行整理化简，再利用共轭复数的概念求出z －.由题意知z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i 5＝3＋5i ，故z －＝3－5i.选B.[答案] B2．若复数(1＋m i)(3＋i)(i 是虚数单位，m 是实数)是纯虚数，则复数m ＋2i1－i的模等于( )A ．2B ．3 C.132D.262[解析]解法一：因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数，所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，复数m ＋2i 1－i ＝3＋2i1－i＝(3＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋5i2，所以它的模为⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋5i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝262，故选D.解法二：因为(1＋m i)(3＋i)＝3－m ＋(3m ＋1)i 是纯虚数，所以3－m ＝0且3m ＋1≠0，得m ＝3，故复数m ＋2i1－i 的模为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i 1－i ＝|3＋2i||1－i|＝32＋2212＋(－1)2＝262，故选D. [答案] D3．(2017·大连模拟)下列推理是演绎推理的是( )A ．由于f (x )＝c cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意的x ∈R 都成立，推断f (x )＝c cos x 为奇函数B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜出数列{a n }的前n 项和的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝1的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1的面积S ＝πabD ．由平面三角形的性质推测空间四面体的性质[解析]由特殊到一般的推理过程，符合归纳推理的定义；由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程，符合类比推理的定义；由一般到特殊的推理符合演绎推理的定义．A 是演绎推理，B 是归纳推理，C 和D 为类比推理，故选A.[答案] A4．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (a ，b ，c ，d ∈N *)，则b ＋d a ＋c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，如果初始值取3.1<π<3.2，即3110<π<165，则在此基础上使用三次“调日法”，得出的π的更为精确的近似分数值为( )A.227B.4715C.6320D.6922[解析]第一次为31＋1610＋5＝4715，则该值为π的一个不足近似分数值，即4715<π<165；第二次为47＋1615＋5＝6320，该值为π的一个过剩近似分数值，即4715<π<6320；第三次为47＋6315＋20＝227，该值为π的一个更为精确的过剩近似分数值．[答案] A5．(2017·北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．2 B.32 C.53D.85[解析]开始k ＝0，s ＝1，k <3，第1次循环，k ＝1，s ＝2，k <3，第2次循环，k ＝2，s ＝32，k <3，第3次循环，k ＝3，s ＝53.∵3<3不成立，∴输出s ＝53.故选C.[答案] C6．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i[解析]设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，即x 2－y 2＋2xy i ＝－3＋4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，2xy ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.所以复数－3＋4i 的平方根是1＋2i 或－1－2i.[答案] B7．(2017·河南洛阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的y 等于( )A．－1 B．0C．1021 D．2045[解析]依据程序框图，y，x的值依次为：y＝－2，x＝2；y＝3，x＝4；y＝0，x＝8；y＝9，x＝16；y＝13，x＝32；y＝29，x＝64；…；y＝509，x＝1024；y＝1021，x＝2048；因此输出y＝1021.[答案] C8．(2017·四川内江模拟)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9 B．18C．20 D．35[解析]执行程序框图，n＝3，x＝2，v＝1，i＝2≥0；v＝1×2＋2＝4，i＝1≥0；v＝4×2＋1＝9，i＝0≥0；v＝9×2＋0＝18，i＝－1<0，结束循环，输出v＝18.故选B.[答案] B9．(2017·武汉调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是()A．甲B．乙C．丙D．丁[解析]由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．[答案] B10．(2017·昆明七校调研)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的值为1，则判断框内为()A．i>6? B．i>5?C．i≥3? D．i≥4?[解析]依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝1×(3－1)＋1＝3，i＝1＋1＝2；进行第二次循环时，S＝3×(3－2)＋1＝4，i ＝2＋1＝3；进行第三次循环时，S＝4×(3－3)＋1＝1，i＝4，因此当输出的S的值为1时，判断框内为“i≥4？”，选D.[答案] D11．(2017·丹东一模)在如图所示的程序框图中，输入N＝40，按程序框图运行后输出的结果是()A ．100B ．210C ．265D ．320[解析]由于程序框图中根据K 的不同取值，产生的T 值也不同，故可将程序框图中的K 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)，…，当K 为偶数时，T ＝K2，当K ＋12为偶数，即K ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝K ＋14，否则，即K ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－K ＋34，故可知每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋…＋40)＝12×(2＋40)×202＝210，故选B.[答案] B12．(2017·石家庄一模)祖暅是南北朝时代的伟大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④[解析]设截面与底面的距离为h ，则①中截面内圆的半径为h ，则截面圆环的面积为π(R 2－h 2)；②中截面圆的半径为R －h ，则截面圆的面积为π(R －h )2；③中截面圆的半径为R －h2，则截面圆的面积为π(R －h 2)2；④中截面圆的半径为R 2－h 2，则截面圆的面积为π(R 2－h 2)．所以①④中截面的面积相等，故其体积相等，选D.[答案] D 二、填空题13．(2017·贵阳一中适应性测试)已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i 1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a ＝________.[解析]z ＝a －3i 1－i ＝(a －3i )(1＋i )2＝a ＋3＋(a －3)i2，由a ＋3＝0，得a ＝－3.[答案] －314．(2017·湖南岳阳检测)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为________(n ∈N *)．[解析]观察给出的式子可得出如下规律： 1>12，1＋12＋13＝1＋12＋122－1>1＝22，1＋12＋13＋…＋17＝1＋12＋13＋…＋123－1>32，1＋12＋13＋…＋115＝1＋12＋13＋…＋124－1>2＝42，1＋12＋13＋…＋131＝1＋12＋13＋…＋125－1>52，…猜想：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2.[答案] 1＋12＋13＋…＋12n －1>n215．(2017·河南三市联考)执行如图所示的程序框图，如果输入m ＝30，n ＝18，则输出的m 的值为________．[解析]如果输入m ＝30，n ＝18，第一次执行循环体后，r ＝12，m ＝18，n ＝12，不满足输出条件；第二次执行循环体后，r ＝6，m ＝12，n ＝6，不满足输出条件；第三次执行循环体后，r ＝0，m ＝6，n ＝0，满足输出条件，故输出的m 值为6.[答案] 616．如图，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r )×2π×R ＋r 2.所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r 为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r 2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：在平面直角坐标系xOy 中，若将平面区域M ＝{(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2}(其中0<r <d )绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．[解析]平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体的体积等于以半径为r 的圆为底面，以圆心为O 、半径为d 的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .[答案] 2π2r 2d三、解答题17．(2018·合肥高三调研性检测)已知函数f (x )＝e x －1x .(1)判断函数f (x )的单调性；(2)求证：e x ln(x ＋1)≥x 2＋ln(x ＋1)．[解] (1)由已知得f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝e x ·x －(e x －1)x 2＝(x －1)e x ＋1x 2， 设g (x )＝(x －1)e x ＋1，则g ′(x )＝x e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝0， ∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数， ∴g (x )≥g (0)＝0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数．(2)证明：设h (x )＝x －ln(x ＋1)，x >－1，则h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1，令h ′(x )＝0，得x ＝0， ∴h (x )在(－1,0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴h(x)≥h(0)＝0，即x≥ln(x＋1)．①当x>0时，x≥ln(x＋1)>0，∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)≥f[ln(x＋1)]，即e x－1x≥xln(x＋1)，∴(e x－1)ln(x＋1)≥x2.②当－1<x<0时，0>x≥ln(x＋1)，∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)≥f[ln(x＋1)]，即e x－1x≥xln(x＋1)，∴(e x－1)ln(x＋1)≥x2.③当x＝0时，(e x－1)ln(x＋1)＝x2＝0.由①②③可知，对一切x>－1，均有(e x－1)ln(x＋1)≥x2，即e x ln(x＋1)≥x2＋ln(x＋1)．。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：1 Word版含解析
跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94[解析]∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0， 解得t ＝－4.故选B. [答案]B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析]解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C.[答案]C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)[解析]依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A.[答案]A4．(2017·济南一模)方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2[解析]由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)， 则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122，∵m ＝54－⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t ＝0时，m 的最大值为1，故选A. [答案]A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)[解析]因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，则x ∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案]D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1[解析]如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →， 得⎩⎨⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎨⎧x ′＝p ＋x 03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案]C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析]y ′＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，将x ＝3代入，得曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案]－28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．[解析]利用双曲线的性质建立关于a ，b ，c 的等式求解．如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理，得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．[答案]29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析]如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h . 则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增．所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案]2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围． [解](1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6. (2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2， ∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49.[解](1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0， 解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1(11－2n )(9－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫19－2n －19.令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解](1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a .∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b 4a 2＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1， ∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：2 Word版含解析
跟踪强化训练(二)一、选择题1．(2017·沈阳质检)方程sinπx ＝x4的解的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8[解析]在同一平面直角坐标系中画出y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象，如右图：观察图象可知y 1＝sinπx 和y 2＝x4的图象在第一象限有3个交点，根据对称性可知，在第三象限也有3个交点，再加上原点，共7个交点，所以方程sinπx ＝x4有7个解，故选C.[答案]C2．(2017·郑州模拟)若实数x ，y 满足等式x 2＋y 2＝1，那么yx －2的最大值为( )A.12B.33C.32 D. 3[解析]设k ＝yx －2，如图所示， k PB ＝tan ∠OPB ＝122－12＝33，k P A ＝－tan ∠OP A ＝－33，且k P A ≤k ≤k PB ，∴k max ＝33，故选B. [答案]B3．(2017·宝鸡质检)若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝±2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1) [解析]令y 1＝x ＋k ，y 2＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)． 作出图象如图：而y 1＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1，故选D.[答案]D4．(2016·广州检测)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1,2)D ．(2，＋∞)[解析]先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故选B.[答案]B5．(2017·西安二模)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12D ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ [解析]由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一个根大于1.设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b >0，2a ＋b ＋3<0. 作出可行域如图中阴影部分所示．ba 可以看作可行域内的点(a ，b )与原点O (0,0)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a ＋b ＋1＝0可解得A (－2,1)，过点A 、O 作l 1，过点O 作平行于直线2a ＋b ＋3＝0的直线l 2，易知kl 2<b a <kl 1，又kl 1＝－12，kl 2＝－2，∴－2<b a <－12.故选C.[答案]C6．(2017·南宁一模)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4,6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1][解析]设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3,0)，得(x －3)2＋y 2＝1. 又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →| ＝(x －1)2＋(y ＋3)2.∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离(如图)，由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1，故选D.[答案]D 二、填空题7．(2017·青岛二模)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．[解析]作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．[答案](－1,0)∪(0,1)8．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．[解析]画出函数f (x )的图象如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，由图象易知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.[答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 9．(2017·山西四校模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．[解析]由题意可得⎩⎨⎧4a 1＋4×32d ≥10，5a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图所示．作出直线a 1＋3d ＝0，经平移可知当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内点A (1,1)时，截距最大，此时a 4取最大值4.[答案]4 三、解答题10．(2017·海口模拟)设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．[解](1)原方程可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－a2，作出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎨⎧－1<－a2<1，－a 2≠32，即－2<a <－3或－3<a <2.(2)由图知：当－3<a <2，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，所以α＋β2＝7π6，所以α＋β＝7π3.当－2<a <－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a2与三角函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，所以α＋β＝π3， 综上所述，α＋β＝π3或7π3.11．(2017·福州质检)已知圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，求PE →·PF →的最小值．[解]由题意，可知圆心M 的坐标为(2＋5cos θ，5sin θ)，由此可知圆心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，如图，经分析可知，只有当P 在线段MC 上时，才能够使PE →·PF →最小，此时PC ＝4，又Rt △PEC 中，EC ＝2，则PE ＝23，∠EPC ＝30°，∴PF ＝PE ＝23，∠EPF ＝2∠EPC ＝2×30°＝60°，故(PE →·PF →)min ＝(23)2×cos60°＝6.12.右面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是2，从外到内，第n 个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为S n (n ∈N *)．(1)证明：S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)； (2)证明：S 1＋S 2＋…＋S n <8－2π.[证明](1)设第n (n ∈N *)个正方形的边长为a n ，则其内切圆半径为a n 2，第n ＋1个正方形的边长为22a n ，其内切圆半径为24a n ，所以S n ＝a 2n －π⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 22＝a 2n ⎝⎛⎭⎪⎫1－π4(n ∈N *)，S n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a n 2－π⎝ ⎛⎭⎪⎫24a n 2＝a 2n⎝ ⎛⎭⎪⎫12－π8＝12S n (n ∈N *)．所以S n ＝2S n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S 1＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－π4＝4－π，S 2＝2－π2，…，S n ＝(4－π)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n ＝(4－π)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝(4－π)×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝(8－2π)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n <8－2π.。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：10 Word版含解析
跟踪强化训练(十)一、选择题1．(2017·东北三校联考)已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．ln a >ln b B.1a <1b C ．a 2>ab D ．a 2＋b 2>2ab[解析]只有在a >b >0时，A 才有意义，A 错；B 选项需要a ，b 同正或同负，B 错；C 只有a >0时正确；因为a ≠b ，所以D 正确．[答案]D2．(2017·大连一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3) [解析]由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)＝3，即f (x )>3， 如果x <0，则x ＋6>3，可得－3<x <0；如果x ≥0，则x 2－4x ＋6>3，可得x >3或0≤x <1. 综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 故选A. [答案]A3．(2017·长春第二次质检)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析]关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，ba ＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.∵a <0，∴x 2－2xx －1<0，解得x <0或1<x <2.故选B.[答案]B4．(2017·江西师大附中摸底)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A.12或14B.12或18 C ．1或12D ．1或14[解析]由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A.[答案]A5．(2017·甘肃会宁一中月考)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)[解析]当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，a ∈R ；当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－⎝⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.[答案]B6．(2017·浙江卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)[解析]不等式组形成的可行域如图所示．平移直线y ＝－12x ，当直线过点A (2,1)时，z 有最小值4.显然z 没有最大值．故选D.[答案]D7．(2017·东北三省四市二联)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5 B ．[0,5] C ．[0,5) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5[解析]x ，y 约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，先画出直线y ＝x ，再平移直线y ＝x ，当经过点A (2，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23时，代入u 中，可知－53≤u <5，∴z ＝|u |∈[0,5)，故选C.[答案]C8．(2017·山东滨州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1 B.12 C.14 D.16[解析]作出不等式组满足的可行域如图所示，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)，故当x ，y 均取最小值时，z 取到最小值．即当x ＝2，y ＝3时，z ＝ax ＋by 取得最小值2，即2a ＋3b ＝2，所以2a ·3b ≤(2a ＋3b )24＝1，当且仅当2a ＝3b ＝1，即a ＝12，b ＝13时等号成立，所以(6ab )max ＝1，即(ab )max ＝16.[答案]D9．(2017·四川资阳诊断)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( )A ．5＋2 2B ．8 2C ．5D ．9[解析]∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝b b －2>0，解得b >2.则a ＋2b ＝b b －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2(b －2)＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时等号成立，其最小值为9.[答案]D10．(2017·北京东城区质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，0)C ．(0,2)D ．(－2,0)[解析]二次函数y ＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上单调递减， ∴x 2－4x ＋3≥3.同样可知函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减， ∴－x 2－2x ＋3<3， ∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得x ＋a <2a －x ，即2x <a ， ∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)． [答案]A11．(2017·厦门一模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析]将x ＋y ＋1x ＋1y ＝5化为5＝x ＋y ＋x ＋y xy .因为x >0，y >0，所以5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝x ＋y ＋4x ＋y，令t ＝x ＋y >0，则t ＋4t ≤5，即t 2－5t ＋4≤0，解得1≤t ≤4，即1≤x ＋y ≤4，当且仅当x ＝y ＝2或x ＝y ＝12时等号成立．所以x ＋y 的最大值是4.故选D.[答案]D12．(2017·长春模拟)关于x 的方程x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0(a ≠0，a ，b ∈R )的两个实根分别为x 1，x 2，若0<x 1<1<x 2<2，则b a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－45 B.⎝⎛⎭⎪⎫－32，－45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－12 [解析]设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1，则方程f (x )＝0的两个实根分别为x 1，x 2，且满足0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝a ＋b ＋1>0，f (1)＝2a ＋b ＋3<0，f (2)＝3a ＋b ＋7>0，作出点(a ，b )满足的可行域如图中阴影部分所示，其中A (－2,1)，B (－3,2)，C (－4,5)，ba 的几何意义是可行域内任意一点(a ，b )与原点O 连线的斜率，又k OA ＝－12，k OB ＝－23，k OC ＝－54，故ba 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，－12.故选D.[答案]D 二、填空题13．(2016·安康二模)把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为________．[解析]设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16>x >0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x4＝16－x4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8.[答案]814．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．[解析]由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件，利润z ＝2100x ＋900y ，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．[答案]21600015．(2017·河北衡水中学调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y ＋2x 的取值范围是________． [解析]作出不等式组表示的平面区域如图所示，z ＝2x ＋y ＋2x ＝2＋y ＋2x 表示的几何意义为区域内的点到点P (0，－2)的斜率k 加上 2.因为A (3,2)，C (－1,0)，所以k AP ＝43，k CP ＝－2，所以由图知k ≥43或k ≤－2，所以k ＋2≥103或k ＋2≤0，即z ≥103或z ≤0，故z 的取值范围是(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞. [答案](]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 16．(2017·郑州高三检测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________．[解析]对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)，故x ＋y 的最小值是223. [答案]223。
2020届高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：31Word版含解析.doc
追踪加强训练 (三十一 )1．(2017 ·山西四校考 )一个袋中有大小、地完整同样的 4 个球和 1 个白球，共 5 个球，从中每次随机拿出 2 个球，若拿出的有白球必把白球放回去，球不放回，而后取第二次，第三次，⋯⋯，直到把球取完只剩下 1 个白球止．用ξ表示止取球的次数．(1)求ξ＝2 的概率；(2)求ξ的散布列及数学希望．[ 解] (1)∵随机量ξ＝2表示从袋中随机取球 2 次且每次取的C42 C2211都是球，∴P(ξ＝2)＝C52×C32＝5，即ξ＝2的概率5.(2)由意知随机量ξ的所有可能取 2,3,4，由(1)知 P(ξ＝2)1C41C11C31C11C21C11C11C112＝5.又 P(ξ＝4)＝C52×C42×C32×C22＝15，10 2∴P(ξ＝3)＝15＝3，∴ξ的散布列ξ234P 122 531512244E(ξ)＝2×5＋3×3＋4×15＝15.2．(2017 ·广州 )某位共 10 名工，他某年的收入以下表：工号12345678910年薪(万元 )(1)求位工当年年薪的均匀和中位数；(2)从位中任取 2 人，此 2 人中年薪收入高于 5 万的人数为ξ，求ξ的散布列和希望；(3)已知职工年薪收入与工作年限成正线性有关关系，若某职工工作第一年至第四年的年薪分别为 3 万元， 4.2 万元， 5.6 万元， 7.2万元，展望该职工第五年的年薪为多少？^^^^附：线性回归方程 y ＝ b x ＋ a 中系数计算公式 b ＝n∑i－ x y i－ y^^i ＝1x，a＝ y －b x ，此中 x ， y 表示样本均值．n∑－ x 2i＝1x i[ 解](1)均匀值为 10 万元，中位数为 6 万元．(2)年薪高于 5 万的有 6 人，低于或等于 5 万的有 4 人，ξ取值为0,1,2.C422，P(ξ＝1)＝C41C618，P(ξ＝2)＝C621，P(ξ＝0)＝2＝ 2 ＝152＝C1015C10C10 3所以ξ的散布列为ξ012P281 15153 2816数学希望为 E(ξ)＝ 0×15＋1×15＋2×3＝5.(3)设 x i，y i(i＝ 1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则x＝2.5，y ＝54∑(x i－ x )2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，i ＝14∑(x i － x )(y － y )＝－ 1.5× (－ 2)＋ (－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6i ＝1i＋1.5×2.2＝7，4^ ∑xi － x y － y7b＝i＝1i4＝＝1.4.∑x i － x 25i ＝ 1^^a＝ y －b x ＝5－1.4×2.5＝1.5，^所以线性回归方程为 y＝1.4x＋1.5，可展望该职工第 5 年的年薪收入约为8.5 万元．3．(2017 ·石家庄质检)为了检查某地域成年人血液的一项指标，现随机抽取了成年男性、女性各 20 人构成一个样本，对他们的这项血液指标进行了检测，获得了以下茎叶图．依据医学知识，我们以为此项指标大于 40 为偏高，反之即为正常．(1)依照上述样本数据研究此项血液指标与性其他关系，列出2×2 列联表，并判断可否在出错误的概率不超出0.01 的前提下以为此项血液指标与性别有关系？(2)以样本预计整体，视样本频次为概率，现从当地域随机抽取成年男性、女性各 2 人，求此项血液指标为正常的人数X 的散布列及数学希望．n ad －bc 2b ＋d ，此中 n ＝a ＋b ＋c ＋d附： K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋cP(K 2≥k 00.010 0.005) 0.025k 05.0246.6357.879[ 解](1)由茎叶图可得 2×2 列联表：正常 偏高共计男性 164 20 女性 128 20 共计281240K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d40× 16×8－4×12 2＝20× 20×28×12 ≈1.905<6.635，所以不可以在出错误的概率不超出 0.01 的前提下以为此项血液指标与性别有关系．4 3(2)由样本数据可知，男性正常的概率为 5，女性正常的概率为 5.此项血液指标为正常的人数 X 的可能取值为 0,1,2,3,4，P(X ＝0)＝ 1－45 2 1－35 2＝6254，1443 24 2133 44P(X ＝1) ＝C 2 5 1－5 1－5 ＋ 1－5 C 25 1－5 ＝625，＝ ＝ 4 2 － 3 2 14 － 4 · 1 3 3 ＋ － 4 2 3 2 ＝ 1695 5 ＋C 1 5 － 5 5 5 ，P(X 2) 1 25 C 2 5 1 1 62514 4 3 24 2 13 3 264 P(X ＝3) ＝C 25 1－5 5 ＋ 5 C 251－5 ＝625，4 3 144 P(X ＝4)＝ 5 2 5 2＝625，所以 X 的散布列X01234P444169264144 625625625625625所以 E(X)＝0×4＋1×44＋2×169＋3×264＋4×144＝ 2.8，625625625625625即此血液指正常的人数X 的数学希望 2.8.4．(2017 · 北三校考 )某省昨年高三 200000 名考生英听力考成听从正散布 N(17,9)．从某校高三年随机抽取50 名考生的成，所有介于[6,30]之，将成按以下方式分红 6 ：第1 [6,10) ，第2 [10,14)，⋯⋯，第 6 [26,30] ，如是按上述分方法获得的率散布直方．(1)估量校 50 名考生成的众数和中位数；(2)求 50 名考生成在 [22,30]内的人数；(3)从 50 名考生成在 [22,30]内的人中随意抽取 2 人， 2 人成排名(从高到低 )在全省前 260 名的人数 X，求 X 的数学希望．2参照数据：若X～N(μ，σ)， P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[ 解](1)由直方图知，该校这 50 名考生听力成绩的众数为14＋182＝16，中位数为14＋0.5－0.02×4－0.05×4＝16.75.0.08(3)由频次散布直方图知，后两组频次为(0.03＋0.02)×4＝0.2，人数为 0.2×50＝10，即该校这 50 名考生听力成绩在 [22,30] 的人数为 10 人．(3)由于 P(17－3×3<X≤17＋3×3)＝0.9974，1－0.9974则 P(X≥26)＝＝0.0013,0.0013×200000＝260.2所以该省前 260 名的英语听力成绩在 26 分以上，该校这 50 人中26 分以上的有 0.08×50＝4 人．随机变量 X 可取 0,1,2，于是C2615 1P(X＝0)＝C210＝45＝3，C61C1424 8P(X＝1)＝C210＝45＝15，C2462P(X＝2)＝C210＝45＝15，18 2 4则数学希望 E(X)＝ 0×3＋1×15＋2×15＝5.。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：33 Word版含解析
跟踪强化训练(三十三)1．(2017·四川乐山一模)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12令f (x )＝0，求得x ＝－13或x ＝3， 故不等式f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－13或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1 ＝－52，故－52<4a －2a 2，求得－12<a <52.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，52. 2．设函数f (x )＝|x －a |＋x .(1)当a ＝2时，求函数f (x )的值域；(2)若g (x )＝|x ＋1|，求不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立时a 的取值范围．[解] (1)由题意得，当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥2，2，x <2. ∵f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2，∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(2)由g (x )＝|x ＋1|，不等式g (x )－2>x －f (x )恒成立， 得|x ＋1|＋|x －a |>2恒成立，即(|x ＋1|＋|x －a |)min >2.而|x ＋1|＋|x －a |≥|(x ＋1)－(x －a )|＝|1＋a |，∴|1＋a |>2，解得a >1或a <－3，故a 的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．3．(2017·江西南昌一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|.(1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．[解] (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4. ∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点为a 2和1，当a <2时知a 2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1，x <a 2x －a ＋1，a 2≤x ≤13x －a －1，x >1由图可知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递增， ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝3， 得a ＝－4<2(合题意)，即a ＝－4.4．(2017·江西赣州一模)设a 、b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值．[解] (1)由22＝1a ＋1b ≥21ab 得ab ≥12，当a ＝b ＝22时取等号．故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号． 所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由1a ＋1b ＝22可得a ＋b ＝22ab ，∵(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝8a 2b 2－4ab ≥4(ab )3， ∴(ab )2－2ab ＋1≤0，即(ab －1)2≤0， ∴ab －1＝0，即ab ＝1.。
高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：3 Word版含解析
跟踪强化训练(三)一、选择题1．(2017·武汉二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]解法一：当a <0时，不等式f (a )<1为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)，故选C.解法二：取a ＝0, f (0)＝0<1，符合题意，排除A ，B ，D.[答案]C2．(2017·大同二模)已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4)[解析]因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是0≤m ≤4.[答案]B3．(2017·太原模拟)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用1名大学生的情况有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种[解析]每家企业至少录用一名大学生的情况有两类：一类是每家企业都录用一名，有C 34A 33＝24(种)；一类是其中一家企业录用了2名，有C 24A 33＝36(种)，所以一共有24＋36＝60(种)，故选D.[答案]D4．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π3，则该双曲线的离心率为( )A ．2或3B ．2或233 C.233D ．2[解析]当双曲线的焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π3＝3，故双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝1＋3＝2；当双曲线的焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，渐近线方程为y ＝±a b x ，所以a b ＝tan π3＝3，则b a ＝33，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝ 1＋b 2a 2＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝233.故选B. [答案]B5．(2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析]∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b>1可化为a log a b>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a －1)>0，(b－1)(b－a)>0.当0<a<1，即a－1<0时，不等式log a b>1可化为a log a b<a1，即0<b<a<1，∴(a－1)(a－b)<0，(b－1)(a－1)>0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，选D.[答案]D6．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有()A．18条B．20条C．21条D．22条[解析]设各边的中点如图所示，其中与直线D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与直线CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与直线CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与直线CO平行的有GH1，FE1，共2条；与直线D1P平行的有H1L，NF，共2条；与直线B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21条．[答案]C二、填空题7．(2017·郑州模拟)过点P (3,4)与圆x 2－2x ＋y 2－3＝0相切的直线方程为______________．[解析]圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.当直线的斜率不存在时，直线x ＝3适合；当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0. 由|k －0＋4－3k |k 2＋1＝2，得k ＝34. 此时直线方程为y －4＝34(x －3)，即3x －4y ＋7＝0.综上所述，所求切线的方程为x ＝3或3x －4y ＋7＝0.[答案]x ＝3或3x －4y ＋7＝08．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________．[解析]当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝43；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.综上所述，所求体积为43或833.[答案]43或8339．(2017·深圳模拟)若函数f (x )＝mx 2－x ＋ln x 存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是________．[解析]f ′(x )＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1x， 即2mx 2－x ＋1<0在(0，＋∞)上有解．当m ≤0时显然成立；当m >0时，由于函数y ＝2mx 2－x ＋1的图象的对称轴x ＝14m >0， 故需且只需Δ>0，即1－8m >0，故0<m <18.综上所述，m <18，故实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18. [答案]⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，18 三、解答题10．已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．[解](1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2. 令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故－π<A －B <π，所以，B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.12．(2017·唐山模拟)已知函数f (x )＝a x ＋ln x －2，a ∈R .(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，求函数f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．[解](1)∵f (x )＝a x ＋ln x －2(x >0)，∴f ′(x )＝－a x 2＋1x (x >0)，又曲线y ＝f (x )在点P (2，m )处的切线平行于直线y ＝－32x ＋1，∴f ′(2)＝－14a ＋12＝－32⇒a ＝8.∴f ′(x )＝－8x 2＋1x ＝x －8x 2(x >0)，令f ′(x )>0，得x >8，f (x )在(8，＋∞)上单调递增；令f ′(x )<0，得0<x <8, f (x )在(0,8)上单调递减．∴f (x )的单调递增区间为(8，＋∞)，单调递减区间为(0,8)．(2)由(1)知f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －a x 2(x >0)．(ⅰ)当a ≤0时， f ′(x )>0恒成立，即f (x )在(0，e 2]上单调递增，无最小值，不满足题意．(ⅱ)当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，所以当f ′(x )>0时，x >a ，当f ′(x )<0时，0<x <a ，此时函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．若a >e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (e 2)＝a e 2＋lne 2－2＝a e 2，由a e 2＝2，得a ＝2e 2，满足a >e 2，符合题意；若a ≤e 2，则函数f (x )在(0，e 2]上的最小值f (x )min ＝f (a )＝a a ＋ln a －2＝ln a －1，由ln a －1＝2，得a ＝e 3，不满足a ≤e 2，不符合题意，舍去．综上可知，存在实数a ＝2e 2，使函数f (x )在(0，e 2]上有最小值2.。
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追踪加强训练 (十八 )一、 1．在数列{ a n }中， a 1 ＝ 1 ， 于全部的n ≥2 ， n ∈ N都有a 1·a 2·a 3·⋯·a n ＝n 2，a 3＋a 5＝()61 2525 31A. 16B.9C.16D.15[分析]解法一：令n ＝2,3,4,5，分 求出9 25a 3＝4，a 5＝16，∴ a 361＋a 5＝16，故 A.解法二：当 n ≥2 ，a 1·a 2·a 3·⋯·a n ＝n 2.当 n ≥3 ，a 1·a 2·a 3·⋯ ·a n－1＝(n －1)2.两式相除得 a ＝n2，∴ a ＝9，a ＝25，∴a ＋a ＝61，故nn －1 34 516 3516A.[答案]A2．已知 a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N * )， 数列 { a n } 的通 公式是 a n ＝()A ．nB. n ＋1 n － 1nC ．n 2D ．2n －1[分析]由 a n ＝n(a n ＋ 1－a n ，得 a n＋1＝a n，所以数列 a n常数列，) n ＋1 n na n a n －1a 1所以 n ＝n －1＝⋯＝ 1 ＝1，所以 a n ＝n ，故 A.[答案] A3 ． 已 知 数 列 { a n } 足 a 1 ＝ 2 ， a n ＋ 1 ＝1＋a n(n ∈ N *) ，1－a n···⋯·＝()a1 a2a3a2017A．－6 B．6 C．－2 D．2[分析]∵a1＝2，a n＋1＝1＋an，∴a2＝1＋2＝－ 3，同理，a3＝－1－a n1－21，a ＝1，a ＝ 2，⋯，∴ a ＋＝a ， a＝ 1，∴ a···⋯·2435n4n1a2a3a41a2 a3a2017＝(a1a2a3a4)504×a1＝1×2＝2.故 D.[答案] D4．(2017 ·衡水中学二 )已知 S n是数列 { a n} 的前 n 和， a1＝1，a2＝2，a3＝3，数列 { a n＋a n＋1＋a n＋2} 是公差 2 的等差数列，S25＝()A ．232 B．233 C．234 D．235[ 分析 ]∵数列{ a n＋a n＋1＋a n＋2}是公差2 的等差数列，∴ a n＋3－a n＝(a n＋1＋a n＋2＋a n＋3)－(a n＋a n＋1＋a n＋2)＝2，∴a1，a4，a7，⋯是首1，公差 2 的等差数列， a2，a5，a8，⋯是首 2，公差 2的等差数列， a3，a6，a9，⋯是首 3，公差 2 的等差数列，∴ S25＝(a1＋a4＋a7＋⋯＋ a25)＋(a2＋ a5＋a8＋⋯＋a23)＋(a3＋a6＋a9＋⋯＋a24)＝9×1＋9×8×28×7×2＋8× 3＋8×7×2＝233，故2＋8×2＋22B.[答案]B5．(2017 · 州模 )已知等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，以下必定建立的是 ()A ．若 a3>0， a2013<0B．若 a4>0， a2014<0C．若 a3>0， S2013>0D．若 a4>0， S2014>0[ 分析] 依据等比数列的通公式得a2013＝a1·q2012＝a3q2010，a2014＝a1q2013＝a4q2010，易知 A， B ．于 C，因 a3＝a1q2>0，所以 a1>0，当 q>0 ，随意 a n>0，故有 S2013>0；当 q<0 ，仍旧有S2013＝a11－q2013 >0，C 正确．于 D，可列公比 q＝－ 1 的等1－q比数列－ 1，1，－1,1，⋯，然足 a4>0，但 S2014＝0，故 D ．故C.[答案]C．·山西大同模)已知数列n的通公式an＝ (－1)n(2n6 (2017{ a }nπ－1) ·cos 2＋1(n∈N* )，其前 n 和 S n， S60＝()A ．－ 30 B．－ 60 C．90 D．120[ 分析 ]由意可得，当n＝4k－3(k∈N*)，a n＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N* )，a n＝a4k－2＝6－8k；当 n＝4k－1(k∈N* )，a n＝a4k－1＝1；当 n＝4k(k∈N* )，a n＝a4k＝8k.∴a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，∴S60＝8×15＝120.[答案] D二、填空7．已知数列 { a n} 的前 n 和 S n，且足log2(S n＋1)＝n＋ 1(n ∈N*)，a n＝________.[ 分析 ] 由已知可得 S n＋1＝2n＋1， S n＝2n＋1－1.当 n＝1 ， a1＝S1＝3，当 n≥2 ， a n＝S n－S n－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n，因 n＝13，n＝1，不足an ＝2n，故 an＝2n，n≥2.3，n＝1，[答案]2n，n≥28．(2017 ·河南新三模 )若数列 { a n＋1－a n} 是等比数列，且 a1＝1，a2＝2，a3＝5， a n＝________.[ 分析 ]∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴ q＝3，∴a n＋1－a n＝3n－1，∴ a n－a1＝a2－ a1＋a3－a2＋⋯＋a n－1－a n－2＋n－21－3n－1a n－a n－1＝1＋3＋⋯＋3＝1－3，3n－1＋1∵a1＝1，∴ a n＝2 .3n－1＋1[答案]29．(2017 ·安徽省淮北一中高三最后一卷改)若数列 { a n} 足1a n＋1－1＝d(n∈N*，d 常数 )，称数列 { a n} “ 和数列”，已知正 a n 1数列b n“ 和数列”，且 b1＋b2＋⋯＋ b2019＝20190， b2b2018的最大是________．1[ 分析 ]因数列b n是“ 和数列”，所以b n＋1－b n＝d，即数列 { b n} 是等差数列，所以 b1＋ b2＋⋯＋ b2019＝2019 b1＋b2019＝2019 b2＋ b2018＝2220190，所以 b2＋b2018＝ 20.1又b n>0，所以 b2>0，b2018>0，所以 b2＋b2018＝ 20≥2 b2b2018，即 b 2b 2018≤100(当且 当 b 2＝ b 2018 等号建立 )，所以 b 2b 2018 的最大 100.[答案] 100三、解答10．(2017 · 州 )已知数列 { a n } 的首 a 1＝1，前 n 和 S n ，且数列Snn是公差 2 的等差数列． (1)求数列 { a n } 的通 公式；(2)若 b n ＝(－1)na n ，求数列 {b n } 的前 n 和 T n .S n[ 解] (1)由已知条件得 n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴ S n ＝2n 2－n.当 n ≥2 ， a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.当 n ＝1 ， a 1＝S 1＝1，而 4×1－3＝1，∴ a n ＝4n －3.(2)由(1)可得 b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n(4n －3)，当 n 偶数 ，nT n ＝－ 1＋5－9＋13－17＋ ⋯＋(4n －3)＝4×2＝2n ，当 n 奇数 ， n ＋1 偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－ 2n ＋1.2n ， n ＝2k ，k ∈ N*上，T n ＝－2n ＋1， n ＝2k －1，k ∈N *.11．(2017 ·北京海淀模 )数列 { a n } 的前 n 和 S n 足 S n ＝2a n －a 1，且 a 1，a 2＋1，a 3 成等差数列．(1)求数列 { a n } 的通 公式；(2)b n ＝ a n＋1，求数列 {b n } 的前 n 和 T n .S n S n ＋1[ 解] (1)∵S n ＝2a n －a 1，∴当 n ≥2 ， S n －1＝2a n － 1－a 1，∴ a n ＝2a n －2a n － 1，化 a n ＝2a n －1.由 a 1，a 2＋1，a 3 成等差数列得， 2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，∴ 2(2a 1＋1)＝a 1＋4a 1，解得 a 1＝2.∴数列 { a n } 是等比数列，首2，公比 2.∴ a n ＝2n .＋2 2n －1＋＋(2)∵a n ＋ 1＝2n 1，∴ S n ＝ ＝2n 1－2，S n ＋1＝2n 2－2.n ＋111＋1＝ n ＋ 12＝1∴ b ＝a nn ＋2n－ n ＋ 1nS n S n ＋1 2 －2 2 －222－1 2 －1 .∴数列 { b n } 的前 n 和T n ＝111 1－ 3 111－ 2－1 ＋ 2 －1 ＋⋯＋n－ n＋1－12 2－1 2 2 －1 22－1 21 1＝ 2 1－2n ＋1－1 .12.(2017 山· 卷 )已知 { x n } 是各 均 正数的等比数列，且x 1＋x 2＝ 3，x 3－x 2＝2.(1)求数列 { x n } 的通 公式；(2) 如 ，在平面直角坐 系xOy 中，挨次 接点 P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，⋯，P n ＋ 1(x n ＋1，n ＋1)获得折 P 1P 2⋯P n ＋1，求由 折 与直y＝0，x＝x1，x＝ x n＋1所成的地区的面T n.[ 解] (1)数列 { x n} 的公比 q，由已知知 q>0.x1＋ x1q＝3，由意得x1q2－x1q＝2.所以 3q2－5q－2＝0.因 q>0，所以 q＝2，x1＝1.所以数列 { x n} 的通公式 x n＝2n－1.(2) P1，P2，⋯，P n＋1向 x 作垂，垂足分Q1，Q2，⋯，Q n＋1.由 (1)得 x n＋1－x n＝2n－2n－1＝2n－1，梯形 P n P n＋1Q n＋1Q n的面 b n，由意 b ＝n＋n＋1×2n－1＝(2n＋1)×2n－2，n2所以 T n＝b1＋b2＋⋯＋b n＝3×2－1＋5×20＋ 7×21＋⋯＋(2n－1)×2n－3＋(2n＋1)×2n－2，①2T n＝3×20＋5×21＋7×22＋⋯＋ (2n－1)×2n－2＋(2n＋1)×2n－1.②①－②得－ T n＝ 3×2－ 12n－1n－1＝3＋＋(2＋2＋⋯＋2) － (2n＋ 1)×2221－2n－1－(2n＋1)×2n－1.1－2－1×n＋12n2.所以 T n＝2。
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追踪加强训练 (二十 )一、选择题1．(2017 ·湖南六校联考 )一个几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为 ()πππA ．π B. 2 C.3 D.6[分析]由题图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为 11 1π的半圆锥，故所求体积V＝2×3π×12× 1＝6，应选 D.[答案]D2． (2017 ·广东七校联考 (二))《九章算术》商功章有题：一圆柱1形谷仓，高 1 丈 3 尺 33寸，容纳米 2000 斛，(注： 1 丈＝ 10 尺，1 尺＝10 寸， 1 斛≈ 1.62 立方尺，圆周率取 3)，则圆柱底面圆周长约为()A．1丈 3尺B．5丈4尺C．9丈 2尺D．48丈6尺[分析]由题意，圆柱形谷仓的高h＝＋＋1× 3＋1＝4010 31033(尺)，体积 V≈2000×1.62＝3240(立方尺 )．设圆柱的底面半径为R 尺，由体积公式得πR2×403≈3240，得3R2×403≈3240，解得R2≈81，故R≈9，因此底面圆周长C＝2πR≈2×3×9＝54(尺)，即 5 丈 4 尺，故选 B.[答案]B3．(2017 ·山东莱芜模拟 )某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是 3，则正视图中的x 的值是 ()93A ．2 B.2 C.2D．3[ 分析 ]依据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如下图．1 1＋2V＝3×2×2x＝3? x＝3.应选D.[答案]D4．某几何体的三视图如下图，则该几何体中，最大侧面的面积为()1256A. 2B. 2C. 2D. 2[分析]由三视图知，该几何体的直观图如下图．平面AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A－BCDE 的高为 1.四边形 BCDE 是边长为 1 的正方形，则 S△AED ＝1×1×1＝1， S△ABC＝ S△ABE＝1×1× 2＝2，S△2222ACD＝1×1×5＝5，应选 C.22[答案]C5．(2017 ·石家庄质检 )某几何体的三视图如下图(在网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的体积为()A ．2 B．3 C．4 D．61 [ 分析 ]由三视图知，该几何体为四棱锥，其底面面积S＝2×(11＋2)×2＝3，高为 2，因此该几何体的体积V＝3×3×2＝2，应选 A.[答案]A6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何8体的正视图 (等腰直角三角形 )和侧视图，且该几何体的体积为3，则该几何体的俯视图能够是()[ 分析 ]由题意可得该几何体可能为四棱锥，如下图，其高为12，其底面为正方形，面积为2×2＝4，由于该几何体的体积为38×4×2＝3，知足条件，因此俯视图能够为一个直角三角形．选D.[答案]D7．(2017 ·西安模拟 )正四棱锥的极点都在同一球面上．若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为 ()A. 81π B ．16π427πC ．9π D. 4[分析] 易知球心在正四棱锥的高上，设球的半径为R ，则 (4－22 294π×9 281 R) ＋(2) ＝R ，解得 R ＝ ，因此球的表面积为4 ＝4π，应选4A.[答案]A8．(2017 ·福州二模 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为 ()A ．16＋222B．16＋22C．12＋222D．12＋22[ 分析 ] 由三视图可画出几何体的直观图为多面体ABCDEF，放在长方体中如下图，则几何体的表面由四个全等且直角边长分别为2,3的直角三角形，两个边长分别为13，13，2 2的等腰三角形及一个边长为 2 的正方形组成，故几何体的表面积为14×2×2×3＋2×22＋4＝16＋2 22.[答案]A9． (2017 ·四川泸州四诊 )某几何体的正视图和侧视图如图(1) 所示，它的俯视图的直观图是△A′B′C′，如下图，此中O′A′＝O′B′＝ 2，O′C′＝3，则该几何体的表面积为()A ．36＋12 3 B．24＋8 3C．24＋12 3 D．36＋8 3[ 分析 ] 由题图 (2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为 4，高为2 3的等腰三角形，即该三角形为等边三角形．在如下图的长方体中，长、宽、高分别为 4,2 3，6，由三视图复原几何体，该几何体即为图中的三棱锥 P－ ABC，且△ ABC 为等边三角形， S△PAB＝S11＝2×4×6＝12，S△ABC＝2×4×23＝43，△PAC 是腰长为52，△PBC底边长为 4 的等腰三角形，S△PAC＝83，故该几何体的表面积为2×12＋43＋83＝24＋12 3.应选C.[答案]C10．空间四边形ABCD 的四个极点都在同一球面上，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF⊥AB，EF⊥CD.若 AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于 ()A.652B.652C.65D. 65 1682[分析]如图，连结 BF，AF，DE，CE，由于 AE＝BE，EF⊥AB，因此 AF＝BF.同理可得 EC＝ED.又空间四边形 ABCD 的四个极点都在同一球面上，因此球心 O 必在 EF 上，连结 OA，OC.设该球的半径为 R，OE＝x，则 R2＝AE2＋OE2＝16＋x2①R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x)2②65由①②解得 R＝2，应选 C.[答案]C11．(2017 ·广州五校联考 )某几何体的三视图如下图，则该几何体的表面积为 ()A.10＋2 2 πB.13π2＋16C.11＋ 2 πD.11＋22 π2＋12＋1[ 分析 ]由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合2311＋ 2 π体，故其表面积为2π＋1＋2π×2＋2π＝2＋1，选 C.[答案]C12．(2017 ·湖北八校二次联考 )一个三棱锥三视图如下图，则该三棱锥的外接球的表面积为()A ．25π B.29πC．116π D．29π4[ 分析 ] 由三视图可得该三棱锥是如图的 ABCD，极点是一个棱长分别为 3,2,4 的长方体的极点，因此其外接球的直径 2R＝32＋22＋42＝29，因此该球的表面积为4πR2＝29π，应选 D.[答案]D二、填空题13．(2017 ·沈阳质检 )三棱锥 P－ ABC 中， D，E 分别为 PB，PC的中点，记三棱锥 D－ABE 的体积为 V1，P－ABC 的体积为 V2，则V1 V2的值为 ________．[ 分析 ]如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C 到平面 PAB 的距离为 h2，则 S2＝2S1，h2＝2h1， V1＝1S1h1，V2 3＝1S2h2，因此V1＝S1h1＝1. 3V2 S2h2 41[答案]414．(2017 ·西安质检 )多面体的三视图如下图，则该多面体的体积为 ________cm3.[ 分析 ] 由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如下图，在三棱锥 D－ ABC 中，底面 ABC 是等腰三角形，设底边AB 的中点为 E，则底边 AB 及底边上的高 CE 均为 4，侧棱 AD⊥平面 ABC，且 AD ＝ 4，因此三棱锥D－ ABC 的体积 V＝1△· ＝1×1 3SABC AD32323×4×4×4＝3 (cm )．32[答案]315．(2017 ·合肥模拟 )在三棱锥 P－ABC 中， PA⊥平面 ABC，PA ＝2，AB＝2，AC＝ 1，∠ BAC＝60°，则该三棱锥的外接球的表面积为________．[ 分析 ]由于AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，利用余弦定理得BC ＝3，因此 AC2＋ BC2＝AB2，因此 AC⊥BC.又由于 PA⊥平面 ABC，因此三棱锥 P－ABC 是长为 1，宽为 3，高为 2 的长方体的一部分 (如图所示 )，因此三棱锥P－ABC 外接球的半径为12× 12＋ 3 2＋22＝2，因此其外接球的表面积为4π×( 2)2＝8π.[ 答案 ]8 π16．(2017 ·厦门一模 )如下图的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ________．[ 分析 ] 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长、宽、高分别为 4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为 1，因此表面积为 S ＝S 长方体表 －S 半圆柱底 －S 圆柱轴截面 ＋S 半圆柱侧 ＝2×4×1＋ 2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26. [答案] 26。
2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：22 Word版含解析
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高三理科数学二轮复习跟踪强化训练：22Word版含解析______年______月______日____________________部门1.(20xx ·济南质检)如图，在直三棱柱ADE －BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，M 为AB 的中点，O 为DF 的中点．证明：(1)OM∥平面BCF ； (2)平面MDF⊥平面EFCD.[证明] 证法一：由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M ，O.(1)＝，＝(－1,0,0)， ∴·＝0，∴⊥.∵棱柱ADE －BCF 是直三棱柱，∴AB ⊥平面BCF ，∴是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF.(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵＝(1，－1,1)，＝，＝(1,0,0)， 由n1·＝n1·＝0，得解得⎩⎪⎨⎪⎧y1＝12x1，z1＝－12x1，令x1＝1，则n1＝.同理可得n2＝(0,1,1)．∵n1·n2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD. 证法二：(1)＝＋＋BM →＝－＋12BA →＝(＋)－＋12BA →＝－－＋12BA →＝－(＋)－＋12BA →＝－－.∴向量与向量，共面，又OM ⊄平面BCF ，∴OM∥平面BCF. (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵＝，＝－， ∴·＝·＝0， OM →·＝·(－) ＝－2＋2＝0.∴OM ⊥CD ，OM ⊥FC ，又CD ∩FC ＝C ， ∴OM ⊥平面EFCD.又OM ⊂平面MDF ，∴平面MDF⊥平面EFCD.2．(20xx·郑州质检)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．(1)证明：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．[解] (1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，且AC＝A1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为棱AB，BC的中点，所以DE∥AC，DE＝AC.又F为A1C1的中点，可得A1F＝A1C1，所以A1F∥DE，A1F＝DE，因此四边形A1FED为平行四边形，所以EF∥A1D，又EF⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以EF∥平面A1CD.(2)设A1B1的中点为O，连接OC1，OD，因为三棱柱ABC－A1B1C1为直棱柱，所以OD⊥平面A1B1C1，所以OD⊥OC1，OD⊥OA1.又△A1B1C1为等边三角形，所以OC1⊥A1B1.以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.设三棱柱的棱长为a，则O(0,0,0)，B，C，A1，D(0，a,0)．所以＝，＝，＝.设平面A1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由得⎩⎪⎨⎪⎧－a2x ＋ay ＝0，32az ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2,1,0)．设直线BC 与平面A1CD 所成的角为θ，则sin θ＝＝＝. 所以直线BC 与平面A1CD 所成角的正弦值为.3．(20xx·北京卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD∥平面MAC ，PA ＝PD ＝，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点； (2)求二面角B －PD －A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值． [解] (1)证明：设AC ，BD 交点为E ，连接ME.因为PD∥平面MAC ，平面MAC∩平面PDB ＝ME ，所以PD∥ME. 因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点． 所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OE. 因为PA ＝PD ，所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP⊥平面ABCD.因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP⊥OE. 因为ABCD 是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系O －xyz ，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝. 于是n ＝(1,1，)．平面PAD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)． 所以cos 〈n ，p 〉＝＝.由题意知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为. (3)由题意知M ，C(2,4,0)， MC →＝.设直线MC 与平面BDP 所成角为α， 则sin α＝|cos 〈n ，〉|＝＝.所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为.4．(20xx·沈阳二模)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠BCD＝，四边形ACFE 为矩形，且CF⊥平面ABCD ，AD ＝CD ＝BC ＝CF.(1)求证：EF⊥平面BCF ；(2)点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．[解] (1)证明：在梯形ABCD 中，设AD ＝CD ＝BC ＝1，∵AB ∥CD ，∠BCD ＝，∴AB ＝2，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB ·BC ·cos ＝3.∴AB2＝AC2＋BC2，∴BC ⊥AC. ∵CF ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥CF ，而CF ∩BC ＝C ， ∴AC ⊥平面BCF.∵四边形ACFE 是矩形，∴EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BCF.(2)由(1)，以CA ，CB ，CF 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD ＝CD ＝BC ＝CF ＝1，令FM ＝λ(0≤λ≤)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(λ，0,1)，∴＝(－，1,0)，＝(λ，－1,1)， 设平面MAB 的法向量为n1＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0，令x ＝1，则n1＝(1，，－λ)，为平面MAB 的一个法向量． 易知n2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， 设平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角为θ， 则cos θ＝＝错误! ＝.∵0≤λ≤，∴当λ＝0时，cos θ有最小值，∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.。
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跟踪强化训练(一)一、选择题1．(2017·银川模拟)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94[解析] ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0， 即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0， 解得t ＝－4.故选B. [答案] B2．(2017·沈阳模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8[解析] 解法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0，根据首项a 1＝13可推知数列{a n }递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时，S n 最大．故选C.解法二：设{a n }的公差为d ，由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n ，根据二次函数的性质，知当n ＝7时，S n 最大．故选C.解法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和先是单调递增然后单调递减，根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．故选C.[答案] C3．(2017·武汉市武昌区高三调研考试)已知函数f (x )＝2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－3,1)D ．(1，＋∞)[解析] 依题意可得f (－1)·f (1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0，解得a <－3或a >1，故选A.[答案] A4．(2017·济南一模)方程m ＋1－x ＝x 有解，则m 的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2 [解析] 由原式得m ＝x －1－x ，设1－x ＝t (t ≥0)，则m ＝1－t 2－t ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122，∵m ＝54－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122在[0，＋∞)上是减函数．∴t ＝0时，m 的最大值为1，故选A. [答案] A5．(2017·辽宁省沈阳市高三教学质量监测)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)[解析] 因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]，由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0，则x∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.[答案] D6．(2017·杭州质检)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33B.23C.22 D ．1[解析] 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p .设M (x ′，y ′)，由PM →＝2MF →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝2(0－y ′)，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率为k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)．[答案] C 二、填空题7．(2017·厦门一中月考)设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于________．[解析] y ′＝(x －1)－(x ＋1)(x －1)2＝－2(x －1)2，将x ＝3代入，得曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率k ＝－12，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a ＝2，得a ＝－2.[答案]－28．(2017·南昌模拟)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．[解析]利用双曲线的性质建立关于a，b，c的等式求解．如图，由题意知|AB|＝2b2a，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×2b2a＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理，得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．[答案] 29．(2017·衡水中学检测)已知正四棱锥的体积为323，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________．[解析]如图所示，设正四棱锥的底面边长为a，高为h.则该正四棱锥的体积V ＝13a 2h ＝323，故a 2h ＝32，即a 2＝32h . 则其侧棱长为l ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋h 2＝16h＋h 2. 令f (h )＝16h ＋h 2，则f ′(h )＝－16h 2＋2h ＝2h 3－16h 2， 令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0,2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减； 当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增． 所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝162＋22＝12， 故其侧棱长的最小值l ＝12＝2 3. [答案] 2 3 三、解答题10．(2017·湖南湘中联考)设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A .(1)求B 的大小；(2)求cos A ＋sin C 的取值范围．[解] (1)∵a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，∵sin A ≠0， ∴sin B ＝12，又△ABC 为锐角三角形，∴B ＝π6. (2)∵B ＝π6，∴cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6－A ＝cos A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ＝cos A ＋12cos A ＋32sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.由△ABC 为锐角三角形知，A ＋B >π2， ∴π3<A <π2，∴2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3<32，∴cos A ＋sin C 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.11．(2017·合肥模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49.[解] (1)由a 1＝9，a 2为整数可知，等差数列{a n }的公差d 为整数．又S n ≤S 5，∴a 5≥0，a 6≤0， 于是9＋4d ≥0,9＋5d ≤0， 解得－94≤d ≤－95. ∵d 为整数，∴d ＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝11－2n .(2)证明：由(1)，得1a n a n ＋1＝1(11－2n )(9－2n )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －111－2n ， ∴T n ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －111－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫19－2n －19. 令b n ＝19－2n ，由函数f (x )＝19－2x 的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0<b 1<b 2<b 3<b 4，b 5<b 6<b 7<…<0，∴b n ≤b 4＝1.∴T n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49.12．(2017·长沙模拟)已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1→·PF 2→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．[解] (1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c .∵椭圆E 的离心率等于223，∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29.∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2a .∵9PF 1→·PF 2→＝1，∴9|PF 2→|2＝9b4a 2＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a 29，9b 4a 2＝1得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1.(2)∵直线2x ＋1＝0与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交，∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，9x 2＋y 2＝9，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0.∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kmk 2＋9.∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分， ∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.即⎩⎨⎧m 2－k 2－9<0，－2kmk 2＋9＋1＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0. ∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0，∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3.。