一种基于初始曲线变换的五轴加工刀具扫掠体计算方法

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5轴曲面编程法

5轴联动曲面编程的方法2006-11-2010:58:505轴加工中心的刀具可以对工件呈任意的姿势进行加工，所以可避免切削速度为零的现象，还可以选择最适宜的刀具及相对于工件的姿态有效地进行加工，以及对凹入的形状用刀具倾斜的姿态进行加工，这些都是有利于加工的条件。

多轴控制加工的控制软件结构。

特别是用5轴控制加工时，为了避免具有两根回转轴的刀具与工件发生干涉，必须生成刀具路径。

但再生成NC数据是一件很麻烦的事。

现在开发了具有通用性的5轴控制软件，即可以生成防止发生刀具与工件干涉的刀具路径。

这时以软件实体模型为中心，使用防止发生干涉的算法即可版生成刀具路径（即CL数据）。

所生成的刀具路径与5轴控制加工中心的结构无关，是一种中性数据。

此处理软件称为主处理程序。

除此以外，还需设置能按照规定使用加工中心的结构和组成，从已生成已生成的刀具路径自动生成NC数据的后处理器。

如果按照原样使用已生成的刀具路径，就不可能使不同机械结构和构造的5轴控制加工中心运转。

为此必须采取各种措施将CL数据变换成适合于各种不同结构加工中心的NC数据。

5轴编程的方法一：最初的5轴编程方法是编程员根据零件图样和有关加工工艺要求，用一种专用的数控编程语言来描述整个零件的加工过程，即零件的源程序。

然后将源程序输入计算机中，由计算机进行编译、计算，最后再由与所用数控机床相对应的后置处理程序处理后，自动生成相应的数控加工程序。

5轴编程的方法二：随着计算机技术的发展，“图形交互式自动编程”也应运而生。

它直接将零件的几何图形信息自动转化为数控加工程序。

该方法极大地提高了数控编程的效率，并具有精度高、直观性好、使用简便、便于检查等优点。

下文对典型零件叶片的加工进行说明.加工过程分为粗，半精加工，精加工三道加工工序。

在粗加工时我们用MATERCAM中的挖槽模组对叶片的正反面进行了在吃刀量，快速去除余量，然后用MASTERCAM的四轴加工模组对其进行半精加工，保证用五轴加工时的余量均匀。

五轴计算方法

自由曲面平头立铣刀五轴数控加工轨迹的计算方法摘要提出了一种在参数坐标系下自适应步长和行距的计算方法，该算法考虑了不同刀具接触点处的曲率差异，在满足加工精度和粗糙度的前提下，又能有效地提高加工效率。

该算法适合加工汽车车身模具等曲率变化大的曲面。

文中还给出了刀位计算公式。

关键词平头立铣刀自由曲面五轴数控加工刀具轨迹An algorithm for calculating 5-axis cutter path on sculptured surfaces with flat-endmilling cutterLi Xiaoping Yu Daoyuan Tang Yangping Duan ZhengchengAbstract:This paper presents a new algorithm of adaptive step lengt hs and path interval on parametric coordinate system.As the algorithm considers the radius of the curvature difference between different cutter contact points， so it can improve machining efficiency and the accuracy of the finished surface. This algorithm is suitable for machining sculptured surface. A method of calcul ating cutter location point is also presented in this paper.Key Words:flat-end milling cutter,seulptured surface,5-axis NC machining,cutter path 1 前言自由曲面在模具中应用非常广泛，如汽车车身模具、塑料模、叶片锻模、铸模等，大都包含自由曲面（以下简称曲面）。

五轴数控加工仿真中刀具扫掠体的计算

ｈｓｂｅｐｌｄｔｈｙｔｍｎａｅｔｅｒｑｉｍｅｔｆｈ曲ｐｅｉｏｃｉｉｇａｅｎａｐｉｏｔｅｓｓｅａｄＣｌｍｅｔｈｅｕｒｎｓｏｉｒｃｉｎｍａｈｎ．ｅｌｅｓｎ
Ｋｅｒｓ：ｆｖ－ｘｓｎｅｏｕｆｃ；ｍｏｉｎｃｏｄａｅｓｔｍ；ｇｎｒｌｅｕｔｒｙｗｏｄｉｅａｉ；ｅｖｌｐｅｓｒａｅｔｏｏｒｉｔｙｓｅｎｅｅａｉｄｃｔｅ；ＡＣＩｚＳ
法独立于具体的机床结构。重点研究了国内外常用求解方法后，计并实现了一种快速的分解表示方设
法，用这种方法近似构造扫掠体。该方法已经应用到由ＡＩ采ＣＳ＋ＨＯＳ组件技术开发的五轴数控仿真ＯＰ系统中，实验证明这种方法可以很好的满足加工精度和时间要求。
・
设计与研究・
组合机床与自动化加工技术
文章编号：０１２６（００００１０１０ — ２５２１）６— ００— ５
五轴数控加工仿真中刀具扫掠体的计算
张世民，郭锐锋，彭健钧
（．１中国科学院研究生院，京１０４；．北００９２中国科学院沈阳计算技术研究所，阳ｌ０７；．阳高沈１１１３沈
ＺＡＧＳｉｎ一。Ｕｕ．ｎ，ＰＮｉ－ｎ ’ ＨＮｈ— ＧＯＲｉｅｇｍｉｆＥＧＪｎｊａｕ

五轴联动数控车床刀具路径优化算法研究

五轴联动数控车床刀具路径优化算法研究引言：随着制造业的快速发展，数控车床在工业生产中扮演着至关重要的角色。

尽管五轴联动数控车床具有更高的加工精度和复杂零件加工能力，但是其刀具路径的优化仍然是一个具有挑战性的问题。

本文将探讨五轴联动数控车床刀具路径优化算法的研究，旨在提高工件的质量、减少加工时间和工具的磨损，从而提高生产效率。

一、概述五轴联动数控车床是一种具有五个坐标轴的先进机床，它可以使刀具在空间中自由移动，从而能够加工出形状复杂的工件。

然而，由于运动轴之间的互相制约以及工具长短等因素，刀具路径的选择变得相当复杂，容易出现冗余运动、工具干涉等问题。

二、相关算法1. 路径规划算法路径规划是五轴联动数控车床刀具路径优化算法中的一个关键环节。

传统的路径规划算法包括最小切削路径法、均匀切削路径法和建模路径法等。

近年来，基于智能优化算法的路径规划算法也得到了广泛的研究和应用，如遗传算法、模拟退火算法和粒子群算法等。

这些算法通过对初始路径进行优化，能够有效地避免干涉和冗余运动，提高加工效率。

2. 工具轨迹生成算法工具轨迹生成算法是在路径规划的基础上，生成实际刀具在加工过程中的运动轨迹。

最常用的方法是维护一个工具刀具轨迹的路径规划或点云生成，然后根据路径规划的结果生成实际的刀具轨迹。

3. 轨迹优化算法轨迹优化算法是指在生成刀具轨迹后，对其进行进一步优化，以减少刀具的运动路径长度、降低加工时间和减少工具的磨损。

常用的优化算法包括动态规划、最优控制和遗传算法等。

这些算法能够通过对轨迹进行分段或局部优化，使刀具的运动更加高效，提高生产效率。

三、优化效果与评价指标五轴联动数控车床刀具路径优化算法的最终目标是提高工件的加工质量、减少加工时间和降低工具的磨损。

为了评价优化算法的效果，可以根据以下指标进行评估：1. 加工精度：通过与设计要求进行对比，评估优化算法对加工精度的影响。

2. 加工时间：比较优化算法前后的加工时间，通过减少不必要的运动来提高加工效率。

五轴数控加工中的算法研究

五轴数控加工中的算法研究五轴数控加工是现代制造业中不可或缺的一环。

相较于传统的三轴数控加工，五轴数控加工可以通过机床的旋转来实现更复杂的工件加工和更高的精度。

在五轴数控加工中，算法的优化和研究对加工效率和质量至关重要。

一、五轴数控加工的基本流程五轴数控加工的主要流程包括数学建模、路径规划、刀具轨迹生成和控制指令生成四个过程。

其中，数学建模是将工件形状抽象为数学模型，路径规划是确定加工刀具的加工路径，刀具轨迹生成是将路径转化为机床坐标系下的轨迹，控制指令生成是生成机床所需的指令序列。

二、五轴数控加工的算法优化1.路径规划算法路径规划是五轴数控加工过程中最具挑战的一个环节。

一方面，路径规划需要在保证加工质量和效率的前提下，尽可能减少刀具的移动距离，以节省机床加工时间。

另一方面，路径规划还需要考虑机床的工作空间限制，避免刀具碰撞机床和工件。

目前，常用的路径规划算法包括遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等。

这些算法都具有自适应性和全局优化能力，能够在较短时间内找到较优解，但也存在收敛速度慢、局限性强等问题。

2.刀具轨迹生成算法刀具轨迹生成是将路径规划产生的加工路径转换为机床坐标系下的轨迹。

常用的刀具轨迹生成算法包括直接刀路生成法、离散点法、拉格朗日插值等。

直接刀路生成法和离散点法对刀具轨迹的平滑性和精度有较大影响，对于高精度、复杂曲面加工常常不适用。

而拉格朗日插值法能够在一定程度上保持轨迹的平滑性和精度，是目前应用广泛的一种刀具轨迹生成算法。

3.控制指令生成算法控制指令生成算法是将刀具轨迹转化为机床控制器所需的指令序列。

常用的控制指令生成算法包括基于G代码的程序生成法、数字化控制器固件生成法、基于NC语言表示的程序生成法等。

三、五轴数控加工的应用五轴数控加工广泛应用于航空航天、汽车、模具等制造领域。

其中，航空航天领域对五轴数控加工的精度和效率要求较高，尤其是航空发动机涡轮叶片等高精度、复杂曲面零部件的加工对五轴数控加工的技术水平和算法优化提出了更高挑战。

五轴数控加工中通用刀具扫掠体生成方法

在内的各种刀具形状，具有良好的扩展性；具有理论基础完备、通用性强和计算精度可调等特
点，可用于五轴数控加工的干涉检查、过切量与残留量判断和行距与步距优化等处理．
关键词：五轴数控加工；通用刀具；包络；ＮＵＲＢＳ曲线
ＬＸｉａｎｃａｉ
（ＣａｔｉｃＨｕｎａｎＧｅｎｅｒａｌＡｖｉａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅＣｏ．，Ｌｔｄ．，Ｚｈｕｚｈｏｕ４１２００２，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：
ａｘｉｓｍｏｔｉｏｎｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ＴｈｅｔｏｏｌｓｕｒｆａｃｅｉｓｅｘｐｒｅｓｓｅｄｂａｓｅｄｏｎＮＵＲＢＳｃｕｒｖｅｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓｏｆｔｈｅｃｕｔｔｅｒｓｗｅｐｔｓｕｒｆａｃｅｉｓｇｏｔｔｅｎｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｍｅｎｔｏｆｔｈｅｄｙｎａｍｉｃａｎｄｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍｃｈａｎｇｅｄｗｉｔｈｔｈｅｓｗｅｐｔｔｏｏｌｍｏｔｉｏｎ．Ｔｈｅａｎａｌｙｔｉｃｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅ
刀具插补运动包含线运动形成的由于刀具扫描体可以看成是在三维空性的位移和旋转因此采用均匀离散方法在方狌间经过扫描所产生求出扫描后产生的扫描面方向和方向上分别设离散点数为和狋犕1犖1程根据五轴机床刀位轨迹驱动的刀具扫描体的运离散点记为

五轴联动数控加工中的刀具轨迹控制算法

五轴联动数控加工中的刀具轨迹控制算法五轴联动数控加工是一种高精度、高效率的加工方式，可以实现对复杂曲面的加工。

在五轴联动数控加工中，刀具轨迹控制算法起着至关重要的作用，决定了加工精度和效率。

本文将介绍几种常见的刀具轨迹控制算法，并对其原理和应用进行详细阐述。

1. 五轴联动数控加工概述五轴联动数控加工是指在数控加工机床上，通过同时控制五个坐标轴的运动，实现对工件的加工。

相比于传统的三轴加工，五轴联动可以更加灵活地加工复杂曲面，提高加工质量和效率。

2. 刀具轨迹控制算法的作用刀具轨迹控制算法是五轴联动数控加工中的关键技术之一。

它可以根据工件的三维模型和加工要求，计算出刀具在加工过程中的运动轨迹，从而实现精确的加工。

刀具轨迹控制算法的好坏直接影响加工精度和效率。

3. 刀具轨迹控制算法的分类刀具轨迹控制算法可以分为两类：离散点算法和曲线插补算法。

离散点算法是指将工件曲面离散化为一系列离散点，然后通过逐点加工来实现曲面加工。

常见的离散点算法有直线连接法、圆心法和切点法等。

这些算法简单直观，适用于加工简单曲面。

曲线插补算法是指根据工件的曲线方程和刀具半径，通过插补计算出刀具的运动轨迹。

常见的曲线插补算法有圆弧插补法、曲线插补法和样条插补法等。

这些算法可以实现对复杂曲面的高精度加工。

4. 圆弧插补算法圆弧插补算法是五轴联动数控加工中最常用的一种刀具轨迹控制算法。

它通过计算刀具半径和工件曲线的切向方向，确定刀具的圆弧插补路径。

圆弧插补算法具有计算简单、加工效率高的优点，适用于多数加工场景。

5. 曲线插补算法曲线插补算法是一种更加精细的刀具轨迹控制算法，可以实现对复杂曲面的高精度加工。

曲线插补算法通过计算刀具在曲线上的切向方向和曲率，确定刀具的插补路径。

与圆弧插补算法相比，曲线插补算法需要更复杂的计算和控制，但可以实现更高的加工精度。

6. 样条插补算法样条插补算法是一种基于数学样条曲线的刀具轨迹控制算法。

它通过计算曲面上的样条曲线，将刀具的运动路径进行插补。

五坐标数控铣削加工刀具扫描体的求解

五坐标数控铣削加工刀具扫描体的求解黄泽华;王小椿;蔡永林【摘要】建立了一种通用的刀具模型.在通用刀具模型的基础上,提出了一种求解五坐标数控铣削加工刀具扫描体的新方法.首先利用包络理论计算刀具扫描包络面在每个刀位点处的特征线方程,然后沿着特征线进行离散化获得一系列数据点,再用这些数据点构建B样条曲线组,此时特征线组和B样条曲线组所围成的空间网格即为最终的刀具扫描体.最后通过实例验证了本文所涉及到的刀具扫描体求解的正确性.【期刊名称】《北京交通大学学报》【年(卷),期】2010(034)001【总页数】5页(P149-153)【关键词】五坐标;刀具扫描体;特征线;B样条曲线【作者】黄泽华;王小椿;蔡永林【作者单位】北京交通大学,机械与电子控制工程学院,北京,100044;北京交通大学,机械与电子控制工程学院,北京,100044;北京交通大学,机械与电子控制工程学院,北京,100044【正文语种】中文【中图分类】TP391.73近几年来,五坐标数控加工技术在制造业中的应用越来越广[1].同时它也对加工几何仿真提出了更高的要求：计算效率高、仿真速度快和误差可控等.而决定加工仿真有两项关键技术：一是刀具扫描体的求解,二是刀具扫描体和工件毛坯的求交计算.可见扫描体求解对于加工仿真而言十分重要.目前,刀具扫描体的计算方法主要有包络理论法、扫描微分方程法、雅可比降秩法、NURBS构造方法等[2-5].其中包络理论法、扫描微分方程法和雅可比降秩法均需要进行复杂的数学运算,运算速度比较慢,实现起来也十分困难.而NURBS构造方法中获得刀具扫描体是基于直线插补而言的,即在两个刀位点之间进行的扫描体计算,然后再将所有刀位点对应的刀具扫描体拼接起来.这些方法在每个扫描体的拼接处不能保证一阶及一阶以上连续.本文作者给出了一种新的五坐标数控铣削加工刀具扫描体的求解方法.该方法放弃了包络理论法求解包络面的双参数方程,而是在每个刀位点处求解有限个包络面特征线的单参数方程,并可利用迭代方法实现快速求解.同时,该方法不再局限于两个刀位点之间求解刀具扫描体,而是从整个加工程序段入手,通过特征线上的离散点来构建B样条曲线组,最终完成刀具扫描体的整体构建,保证了刀具扫描体表面的连续性.1 刀具通用模型在求解刀具扫描体之前,需要建立一个刀具模型.根据目前数控铣削加工常用的刀具形状,可建立一个5参数(b,d,r,h,β)的通用铣刀模型,如图 1所示.图1 通用刀具模型Fig.1 General cutter model设刀具局部坐标系为：OT-XTYTZT,刀具模型的几何形状可看作一个边界轮廓线绕ZT轴的回转体.边界轮廓线是由一条直线和一个圆弧组成,因此该通用刀具模型可以看作由一个圆锥和圆环组成,进而得到通用刀具表面的参数方程为式中：u为刀具上任意一点的ZT轴坐标值;θ为刀具上任意一点在XTOTYT平面上的投影与 XT轴的夹角为边界圆弧中心到圆弧和直线交点之间的 ZT向距离.在数控铣削加工过程中,常用的铣刀类型主要有平头铣刀、球头铣刀和环形铣刀,如图2所示.各铣刀对应的参数分别为：图2 各种常见刀具Fig.2 Usual cutters(a)平头圆柱铣刀r=0,β=0,d=b;(b)平头锥铣刀r=0,d=b+2htan β;(c)球头圆柱铣刀β=0,b=0,d=2r;(d)球头锥铣刀b=0,d=2(rcos β+htan β);(e)环形圆柱铣刀β=0,d=b+2r;(f)环形锥铣刀d=b+2(rcos β+htan β).2 刀具扫描体求解2.1 五坐标数控加工中的刀具运动以主轴摆动式五坐标数控铣削加工为例,五坐标加工刀具的运动过程除了沿着3个轴平动之外,还绕着两个轴转动.在工件坐标系O-XYZ中,建立刀具运动模型,并设定刀具中心处的局部标架(O,e1,e2,e3),如图3所示.其中,Ps为起点时刀尖位置,Pe为终点时刀尖位置,As为起始时刀轴矢量,Ae为终点时刀轴矢量.设e1与刀轴矢量一致,e2方向垂直于相邻程序段中起点刀轴矢量和终点刀轴矢量,因此e2为常矢量.这样复杂的五坐标加工刀具运动即可转化为局部坐标系原点的平动和绕着e2的转动.图3中 V1为平动速度,V2为转动速度,V为合成后的速度.图3 五坐标铣削加工刀具运动模型Fig.3 Tool motion model of five-axis NC milling2.2 刀具扫描体边界面的描述对于给定的加工程序段,通用刀具的扫描体边界面SV(u,t)可以表示为刀具沿给定插补轨迹运动时扫描形成的扫描包络面和始末刀具原体部分边界面的并集,如图4所示.式中(u,θ)为起始刀位点处的刀具原体边界面;T(u,t)为扫描包络面;T+(u,θ)为终止刀位点处的刀具原体边界面.其中,刀具原体的边界面可由通用刀具的参数方程直接求得,这里只需求解扫描包络面T(u,t).图4 扫描体边界面Fig.4 Surface of tool swept volume2.3 刀具扫描包络面的计算计算刀具扫描包络面的基本思路：①根据包络理论计算出刀具包络面在每个刀位点处对应的特征线,即刀具与其包络面的公切线;②均匀离散化特征线,以获得数据点来构建3次B样条曲线组,进而获得刀具扫描面的空间网格.如图5所示.图5 刀具扫描面的空间网格表示Fig.5 Space reticulated description of tool swept volume2.3.1 计算包络面特征线方程对于任意两个刀位点组成的程序段,设起始刀位点为(Ps,xs,ys,zs),终止刀位点为(Pe,xe,ye,ze).任意时刻t(0＜t＜1)局部标架在工件坐标系下的表达为设任意时刻 t的刀心坐标为pt,刀轴矢量与起点刀轴矢量的夹角为δt,则有式中由此,可以得到局部坐标系原点的平动速度和刀轴矢量的转动角速度为为了便于计算,设局部坐标系OT-XTYTZT与局部标架(O,e1,e2,e3)重合(这里设XT 轴与e2重合,YT轴与 e3重合,ZT轴与 e1重合),再联立局部坐标系下通用刀具的参数方程T(u,θ),即可得到工件坐标系下任意时刻 t的刀具方程为亦可以得到刀具上任意一点空间运动的速度为再由通用刀具的参数方程T(u,θ),可以得到刀具上任意一点的法矢量为根据包络理论,在刀具扫描包络面的特征线上的点应满足将刀具扫包络面分成环面和锥面,则对于环面其方程为由此可以解得环面扫描包络面特征线的参数为式中：M=V◦e2;同理,可解得锥面扫描包络面特征线的参数为式中：P=V◦e2;将θr和θc代入式(1),可得扫描包络面特征线的参数方程为为了加快计算速度,可以利用迭代的方法.因为特征线为连续曲线,相邻点间的参数相差不大.先计算出特征线上的一个点对应的参数θr,θc后,可以将其作为迭代计算下一个点对应参数的初值.2.3.2 构建3次B样条曲线组沿着参数u方向均匀离散所有包络特征线.每一个参数u对应着一组型值点,这样便可获得多组型值点.每一组型值点均可利用B样条曲线的反求算法获得其控制顶点,进而正算出其 B样条表达式.这样所得B样条曲线组与包络特征线组就围成了刀具扫描面的空间网格.以一组型值点qi(i=0,1,…,l)为例,选取3次B样条曲线作为插值曲线,算法如下[6]：1)确定节点矢量U=[u0,u1,…,un+4].其中,n=l+2.对这组型值点 qi取规范积累弦长参数化可以得到参数值序列(i=0,1,…,l),进而得到内节点值为u3+i=.对于开曲线,有对于闭曲线,有2)反算控制顶点d=[d0,d1,…,dn].3次B样条曲线方程为式中u∈[ui,ui+1]⊂[u3,un+1].将前面求得的节点矢量U中的内节点u3+i=代入式(17)中有式中i=3,4,…,n.对于闭曲线,可以直接得控制顶点的解d.对于开曲线,还需要增加两个附加方程[6].进而得控制顶点的解d.3)正算B样条曲线函数表达.通过算法1)和算法2),获得定义B样条曲线的两个基本量：节点矢量和控制顶点.只需将它们带入3次B样条曲线式(17)中,既可最终获得B样条曲线的函数表达.这样便获得了刀具扫描包络面的均匀空间网格描述,进而通过改变特征曲线的离散密度和所得B样条的节点密度,控制刀具扫描面的空间网格密度.同时,均匀的网格为以后刀具扫描体的三角离散化表示提供了方便,只需将空间单位网格对角线相连即可.3 实例选定参数：b=0 mm,r=4 mm,d=8 mm,h=16 mm,β=0°,即可得到球头铣刀模型如图6所示.图6 铣刀模型Fig.6 Tool model给定一段五坐标数控铣削加工程序信息,提取刀心坐标(xp,yp,zp)和刀轴矢量(xl,yl,zl)如表1所示.根据2.3.1中的方法,利用Matlab编程实现相邻点序列间刀具扫描体特征线的计算,获得离散特征线离散点,并利用2.3.2中的算法构建3次B样条曲线组,最终可形成刀具扫描体的空间网格表示,如图7所示.表1 五坐标铣削加工刀位信息段Tab.1 Cutter location(CL)data of five-axis NC milling点序列刀心位置矢量刀轴单位矢量xp yp zp xl yl zl 1 0.675 0.495-0.1770.181 0.010 0.999 2 1.350 0.990-0.3540.036 0.021 0.999 3 2.0251.485-0.5310.054 0.031 0.998 42.701 1.980-0.7080.072 0.041 0.996 53.3762.475-0.8850.090 0.052 0.995 6 4.051 2.970-1.0620.109 0.063 0.992 7 4.7263.466-1.2400.127 0.073 0.989 8 5.041 3.961-1.4170.144 0.083 0.986 9 6.0764.456-1.5940.162 0.094 0.982 10 6.751 4.951-1.7710.180 0.104 0.9845 30.38122.279-7.9690.701 0.405 0.588 46 31.05622.774-8.1460.711 0.410 0.571 47 31.73123.270-8.3230.721 0.422 0.539 48 32.40623.764-8.5000.731 0.422 0.539 49 33.08124.260-8.6770.740 0.428 0.518图7 刀具扫描体Fig.7 Tool swept volume4 结论1)文中建立的参数化驱动通用铣削刀具模型,避免了求解复杂的刀具扫描体边界包络面方程,取而代之的是利用迭代方法计算一组包络面的特征线,再沿着特征线获得离散型值点来构建与特征线相交的B样条曲线组,进而获得刀具扫描体的空间网格表示.2)通过计算机仿真实例验证了五坐标数控铣削加工刀具扫描体求解方法的正确性,而刀具扫描体求解实用性要求在保证精度的基础上,具有高的计算效率.因此,对该方法的进一步优化改进,以及与其他现有方法的量化比对分析,将是下一步的研究内容和方向.参考文献：[1]周济,周艳红.数控加工技术[M].北京：国防工业出版社,2002.ZHOU Ji,ZHOU Yanhong.NC Machining Technology[M].Beijing：National Defence Industry Press,2002.(in Chinese)[2]Wang W P,Wang K K.Geometric Modeling for Swept Volume of Moving Solids[J].IEEE CG&A,1986,6(12)：8-17.[3]Blackmore D,Leu M C,Wang L P.The Sweep Envelope Differential Equation Algorithm and Its Application to NC MachiningVerification[J].Computer Aided Design,1997,29(9)：629-637.[4]Malek K A,Yeh H J.Geometric Representation of the Swept Volume Using Jacobian Rank-Deficiency Conditions[J].Computer AidedDesign,1997,29(6)：457-468.[5]郝猛,肖田元,韩向利.五轴加工中的刀具扫描体的构造及显示[J].机械科学与技术,2003,22(4)：535-537.HAO Meng,XIAO Tianyuan,HANXiangli.Construction and Display of Tool Swept Volume in Five-AxisMachining[J].Mechanical Science and 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五轴数控加工中通用刀具扫掠体生成方法

五轴数控加工中通用刀具扫掠体生成方法黎先才【摘要】为解决刀具运动所形成的扫描体构造问题,结合微分几何中的包络理论,给出了通用刀具五轴运动扫掠体求解方法.利用NURBS曲线方法给出通用的刀具表面表达方法,通过建立随刀具扫掠运动而动态变化的瞬时坐标系,给出了刀具扫掠体表面的解析表达式,应用包络理论,求解出特征曲线的解析表达;应用NURBS曲线拟合技术,构造了刀具扫掠面几何造型算法;通过布尔运算,求解出完整刀具扫掠实体模型.结果表明:该方法适用于包括成型铣刀在内的各种刀具形状,具有良好的扩展性;具有理论基础完备、通用性强和计算精度可调等特点,可用于五轴数控加工的干涉检查、过切量与残留量判断和行距与步距优化等处理.%In order to solve the problems of scanning body structure formed by cuttermovement,combining the envelope theory of differential geometry,a swept body method for general tool with fiveaxis motion is presented.The tool surface is expressed based on NURBS curve method.The analytic expressions of the cutter swept surface is gotten through the establishment of the dynamic and instantaneous coordinate system changed with the swept tool motion.The analytic expression of the characteristic curve is solved by the application of envelope theory.The geometric modeling algorithm of structure of tool swept surface is obtained,using NURBS curve fitting technique.By Boolean calculation,the complete tool swept solid model is calculated.The results show:The method is applicable to all kinds of tool,and has good expansibility;It has complete theoretical basis,strong versatility and adjustable accuracy.Themethod can be used for interference checking,judgment of overcut and residue of five-axis NC machining,and spacing and stepping optimization processing.【期刊名称】《西安工业大学学报》【年(卷),期】2017(037)008【总页数】6页(P594-599)【关键词】五轴数控加工;通用刀具;包络;NURBS曲线【作者】黎先才【作者单位】中航湖南通用航空发动机有限公司,株洲412002【正文语种】中文【中图分类】TG659多轴数控加工技术被越来越多地应用在复杂产品制造过程中.为保证制造质量，减少数控编程导致的加工失误，数控仿真技术被广泛应用，刀具运动所形成的扫掠体构造是开展数控仿真的基础.目前，刀具扫掠体构造方法从原理上可以分为扫描微分方程[1-2]、Jacobian稚亏损方法[3]和包络理论法[4]，这些方法的计算工作量大，且缺乏对刀具的统一描述.有研究者应用双参数球包络理论，可以快速给出包络体的解析表达[5]，但其刀具表达能力受限，只能表达锥形、鼓形和环形铣刀，无法处理带型面铣刀.在工程应用上，也有采用离散方法进行仿真.文献[6]采用矢量切割法进行刀具切削动力学仿真，对刀具扫掠体生成方式进行了离散化分析处理；文献[7-10]采用空间剖分方法对刀具走刀轨迹以及包络面进行分析，得到了刀具扫掠体离散生成方法.这些方法可以满足工程应用中动态仿真的实时性需求，但在计算精度与内存消耗以及计算时间之间很难取得满意的平衡，并且无法获得包络体的解析表面表示，无法以此为基础展开进一步的应用.为实现任一形状刀具进行加工仿真、干涉检查和残留高度判断等，文中将刀具轨迹分解成不自交的轨迹子段，采用NURBS曲线来构造统一的铣刀表达方法，以期扫掠体计算精度可控.数控铣削中常用的刀具形状有柱状、锥状，刀头形式有球头、平底和圆角，这些刀具的截面形状都可以用为环形圆锥刀具来表达.因此，可以通过对环形圆锥的截面形状进行建模来表达通用的刀具截面.文献[11-12]提出了采用通用方式进行刀具截面建模，但通常都是将刀具截面分解为多个线段.以此为基础所建立的特征曲线与刀具扫描体表面也依赖于刀具截面的数学表达，通用性受限.为解决通用性问题，提出采用NURBS曲线方法[12]来描述刀具截面线，从而确保推导出的特征曲线方程及扫描体表面建模方法的通用性.此方法不但适用于由直线圆弧构成的刀具，也适合成型铣刀等包含复杂曲线截面的刀具.环形圆锥刀具截面如图1所示，以下以环形圆锥刀具为例研究通用刀具NURBS曲线表达方法的建立过程.对于环形圆锥刀具，其截面如图1所示，Vi(i=0,1,2,…,8)为曲线的控制顶点，其截面由底面线、环线、斜线以及顶面线共4段组成，包含了4个控制参数：d为底平面直径，r为圆环半径，α为锥面角度，h为刀具长度.各种类型铣刀对应的参数约束见表1.因为包含了圆弧和直线段，则采用二次NURBS曲线可以完成4段截面线的统一表达.刀轴轮廓截面曲线CS(u)(u∈[0,1])的NURBS曲线表达式为CS(u)=，u∈[0,1]式中：Ni,2(u)为定义在节点矢量U上的二次非均匀B样条基函数,U定义为U=[0,0,0,1/4,1/4,1/2,1/2,3/4,3/4,1,1,1]，u为节点矢量U的模；Vi(i=0,1,…,8)为曲线的控制顶点的位置矢量，且有ωi(i=0,1,…,8)为与各控制顶点对应的权因子，且有采用以上所述二次非均匀有理B样条，在XOZ坐标平面内建立刀具截面轮廓线,记为cS(u)=[cs,x(u),0,cs,z(u)],u∈[0,1],其中cs,x(u)和cs,z(u)分别是曲线在X和Z坐标分量的表达式.令刀具表面上一点P沿Z轴垂直投影到XOY面上的投影点为P1，从X轴正向出发，沿逆时针方向，与直线OP1所成的夹角为θ，如图2所示.则刀具表面的参数方程为CP(u,θ)= [cs,x(u)·cosθ,cs,x(u)·sinθ,cs,z(u)],u∈[0,1]，θ∈[0,2π]式(4)改写为矢量表达形式，则为CP(u,θ)= cs,x(u)·cosθ·i+cs,x(u)·sinθ·j+cs,z(u)·k,u∈[0,1]，θ∈[0,2π]式中：i=[1,0,0]；j=[0,1,0]；k=[0,0,1]针对不同的刀具类型和参数，可以根据表1和式(2)，确定方程中所需的各项参数.显然，对于其他刀具类型以及具有复杂表面的成型铣刀，上述方法也可以适用. 2.1 刀具运动方程构建刀位文件包含刀位点，每一个刀位点包含了刀心位置和刀轴方向.每两个刀位点形成一个插补段，在五轴插补过程中，刀心从起始点C0到终止点C1线性运动，同时刀轴从起始位置摆转到终止位置如图3所示.在任一时间t，刀心轨迹为其中为建立任意时刻刀轴方向，依据起始、结束刀轴方向和起始刀心点位置建立一个固定的局部坐标系C0LxLyLz.在刀具轴线摆动过程中，Ly轴固定不变，因此刀轴绕Ly轴旋转.起始刀轴与终止刀轴之间的夹角采用线性插补算法，任一时刻刀轴与起始刀轴之间的夹角为γ(t)=γCA·t,t∈[0,1]在局部坐标系中，将刀轴转换到全局坐标系中，考察任一时刻，建立瞬时坐标系CtAxAyAz.在瞬时坐标系中，刀具表面点的矢量方程为CP(u,θ,t)= cs,x(u)·cosθ·Ax+cs,x(u)·sinθ·Ay+cs,z(u)·Az+C0Ct,u∈[0,1]，θ∈[0,2π],t∈[0,1]其中Ax、Ay和Az分别为沿Ax、Ay和Az坐标轴的单位矢量.2.2 包络特征线求解根据包络理论[13]，在刀具运动的任一时刻，其表面总有一条曲线与扫掠体表面切触，被称为特征线，特征线上任一点的表面法矢量与点的运动速度矢量相互垂直[14-17].随着刀具运动，特征线在不断发生变化.任一时刻特征线上的点，其垂直于刀具表面的法向矢量N与该点随刀具摆转所产生运动的速度矢量V应相互垂直，即满足公式N·V=0.求解后可得到θ=arccos()b=-cs,x(u)·(u)·γCA-cs,x(u)·(u)·lx-cs,x(u)·(u)·cs,z(u)·γCA式中为 cs,x(u)曲线在第二位置的X坐标分量的表达式；为 cs,z(u)曲线在第二位置的Z坐标分量的表达式；lx、ly和lz分别为沿Lx 、Ly 和Lz 坐标轴的单位矢量的模.将式(8)代入式(7)，并依据刀具运动，给定某一时刻t0，即得到时刻t0时刀具表面上的特征曲线CP(u,θ,t0).而刀具体的扫描包络面，则由特征曲线扫掠形成.设某刀位文件中包含n+1个刀位点，形成n段刀位轨迹.第i段刀迹所生成的刀具扫描实体边界表面包含3个部分：①刀具起始位置表面Ti1；②刀具扫掠运动包络面Ti2；③刀具终止位置表面Ti3.刀具扫掠形成包络实体表面为Ti=Ti1∪Ti2∪Ti3.在t0时刻，初始刀具表面被初始特征曲线分割为2部分，刀具起始位置表面为Ti1；同理，t1时刻，刀具表面被终止特征曲线分割为2部分，刀具起始位置表面为Ti3.为得到刀具运动包络面Ti2的NURBS曲线表达，可以采用离散后进行曲线拟合，由曲线扫掠形成曲面，算法过程如下：①刀具插补运动包含线性的位移和旋转，因此采用均匀离散方法，在u方向和t方向上分别设离散点数为M+1和N+1，离散点记为{Pij|i=0,1,…,M;j=0,1,…,N}.可以根据计算精度来具体调整离散点数.② 将tj=j·N-1(j=0,1,…,N)分别代入式(7)～(8)，求解出tj时刻的特征线解析表达CPij(u,θ,tj).③ 针对每条特征线，将uk=k·M-1,k=0,1,…,M代入CPij(u,θ,tj)，得到M+1个采样点，对此M+1个点进行NURBS曲线拟合，得到第j条特征曲线.④ 重复执行②和③，得到N+1条特征曲线，形成特征曲线族.⑤ 采用曲面造型中的扫掠法[18-20]，将特征曲线族扫掠形成曲面，即为刀具运动包络面Ti2.通过改变铣刀的参数d、r、α和h，可以用NURBS曲线统一表示各类铣刀轮廓，各参数取值见表2.表3给出了一段五轴数控刀位数据.以球头铣刀为例(d=0 mm，α= 0°，r=10 mm，h=30 mm)，来验证文中提出的求刀具扫掠体的方法，如图4所示.可以看到用文中方法生成的刀具扫掠体，表面均匀光滑.刀位置坐标为(XC,YC,ZC)，刀轴位置为ca,xi+ca,yj+ca,zk.其中ca,x、ca,y和ca,z为刀轴位置参数.通过与NX仿真模块的加工结果进行比较，以验证文中算法的准确性.图5(a)为使用计算机辅助制造NX仿真模块的刀位轨迹仿真结果，图5(b)为以文中算法求出的在任意时刻刀具扫掠体.图6给出了文中算法与仿真所得到的模型表面残差，可以看到应用文中算法求出的刀具扫掠体更为准确.由于在运动过程中刀轴矢量是变化的,在两个连续的刀位点之间的包络面应该是一个扫描面,其由二维的边界曲线或者直线沿着空间某个方向运动形成的,由于刀具扫描体可以看成是在三维空间经过扫描所产生,求出扫描后产生的扫描面方程,根据五轴机床刀位轨迹驱动的刀具扫描体的运动特点,构造出的扫描面应该是NURBS曲面,把每两个刀位点之间的运动看成是二维图形在空间沿直线运动和回转运动的结合.1) 文中提出了一种采用NURBS曲线方法来统一和精确地表达刀具曲面的数学方法.应用包络理论，给出了机床五轴插补运动过程中特征曲线的精确表达形式以及刀具曲面扫掠而成三维实体的构造方法.2) 算例结果表明该方法计算精准，运算速度快.该方法可被直接集成到计算机辅助工程和计算机辅助制造中，实现刀具五轴运动扫掠体的精确快速求解.(in Chinese)[2] BLACKMORE D,LEU M C,WANG L P.The Sweep-Envelope Differential Equation Algorithm and Its Application to NC MachiningVerification[J].Computer-Aided Design,1997,29(9):629.[3] ABDEL-MALEK K,YEH H J.Geometric Representation of the Swept Volume Using Jacobian Rank-deficiency Conditions[J].Computer-Aided Design,1997,29:457.[4] CHENG Y,XIONG C,YE T,et al.Five-axis Milling Simulation Based on B-rep Model[M]//Intelligent Robotics and Applications.Berlin:Springer Berlin Heidelberg,2011:22.[5] 朱利民,郑刚,张小明，等.刀具空间运动扫掠体包络面建模的双参数球族包络方法[J].机械工程学报,2010,46(5):145.ZHU Limin,ZHENG Gang,ZHANG Xiaoming,et al.Modeling the SurfaceSwept by a Milling Cutter by Using the Envelope Theory of Two-parameter Family of Spheres [J].Journal of Mechanical Engineering,2010,46(5):145.(in Chinese)[6] OLIVER J H,GOODMAN E D.Direct Dimensional NCVerification[J].Computer-Aided Design,1990,22(1):3.[7] SAITO T,TAKAHASHI T.NC Machining with G-Buffer Method[J].ACM Siggraph Computer Graphics,1991,25(4):207.[8] KAWASHIMA Y,ITOH K,ISHIDA T,et al.A Flexible Quantitative Method for NC Machining Verification Using a Space-division Based SolidModel[J].Visual Computer,1991,7(2/3):149.[9] HE W,BIN H.Simulation Model for CNC Machining of Sculptured Surface Allowing Different Levels of Detail[J].International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2007,33(11/12):1173.[10] KUMAR S,MANOCHA D,LASTRA A.Interactive 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UG环境下鼓型齿的参数化建模[J].2007,27(5):440.魏蓉. 叶片专用夹具建模及仿真[J].2009,29(4):327.马时亮,周平,李海,等. 三轴摇摆台运动算法建模与仿真[J].2009,29(5):413.【相关文献】[1] 王哲,王知行,钟诗胜.刀具扫描体生成新算法及在数控加工仿真中的应用[J].机械工程学报,2001,37(1):28.WANG Zhe，WANG Zhixing,ZHONG Shisheng.New Generation Algorithm of Tool Swept Volume and It’s Application of NC Machining Simulation[J].Journal of Mechanical Engineering,2001,37(1):28.。

基于刀齿轨迹模型的五轴侧铣加工铣削力预测

基于刀齿轨迹模型的五轴侧铣加工铣削力预测
桂昊;张立强;杨青平
【期刊名称】《航空制造技术》
【年(卷),期】2024(67)6
【摘要】在五轴侧铣加工过程中刀具的刀轴姿态变化复杂,导致瞬时切屑厚度计算困难。

为提高切削力的预测精度,首先通过五轴侧铣几何模型描述了圆柱铣刀的刀齿运动轨迹,在建立微元切削力模型后,提出了一种瞬时切屑厚度的计算方法,计算当前切削刃上切削点到前几个刀齿回转圆柱面的映射距离,并在齐次坐标变换下,将空间中的线面求交计算转换成二维平面的线与圆弧的求交运算,在考虑刀具跳动对圆弧轨迹的影响后,求解方程组获得瞬时切屑厚度值。

最后在五轴机床上进行了切削力试验,对比测量的力数据发现,仿真结果无论趋势还是大小都和实测值较好地吻合,验证了所建立的切削力预测模型的有效性。

【总页数】7页(P78-83)
【作者】桂昊;张立强;杨青平
【作者单位】上海工程技术大学;成都永峰科技有限公司
【正文语种】中文
【中图分类】TG5
【相关文献】
1.整体叶轮五轴侧铣加工的铣削力预测模型研究
2.基于刀具跳动误差的五轴侧铣加工精度预测模型构建
3.基于三点偏置刀位偏差补偿的五轴侧铣加工路径优化方法
4.考虑工件变形的五轴侧铣薄壁件铣削力建模
5.五轴侧铣加工铣削接触区域建模
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五轴加工中刀具扫描体的构造和显示

收稿日期:20020516基金项目:轿车数字化工程,清华大学985学科建设重大项目(081100601)资助作者简介:郝　猛(1974-),男(汉),安徽,硕士郝　猛文章编号:100328728(2003)0420535203五轴加工中刀具扫描体的构造和显示郝　猛,肖田元,韩向利(清华大学国家计算机集成制造系统工程技术研究中心,北京　100084)摘　要:介绍一种新的刀具扫描体生成算法。

分析五轴机床加工中刀具的运动特点,将刀具扫描体看成离散刀位点之间的单个扫描体的叠加。

推导了用NU RBS 表达扫描体的公式,结合OpenGL 给出了五轴刀具扫描体的仿真结果。

五轴扫描体的构造是曲面的加工精度验证中的一个技术难点,本算法给出了一个较好的构造扫描体的新方法。

关　键　词:刀具扫描体;NU RBS ;N C 验证;OpenGL 中图分类号:T P 391.73;T P 391.9 文献标识码:ACon struction and D isplay of Tool Swept Volu m e i n 5-Ax isM ach i n i ngHAO M eng ,X I AO T ian 2yuan ,HAN X iang 2li(N ati onal C I M S Engineering R esearch Center ,T singhua U niversity ,Beijing 100084)Abstract :A new generati on algo rithm of too l s w ep t vo lum e is p resented .Based on analyzing the p roperties of too lmo ti on in 52A xis m ach ining w e view the too l s w ep t vo lum e as the link of several s m all ones.W e develop the NU RBS fo r m ula fo r s w ep t vo lum e ,then give a si m ulati on examp le of 52A xis too l s w ep t vo lum e using OpenGL .T he constructi on of 52A xis too l s w ep t vo lum e is a i m po rtant techno logy po int in accuracy verificati on .Si m ulati on show s that our algo rithm is an efficient m ethod fo r constructing and disp laying the too l s w ep t vo lum e .Key words :Too l s w ep t vo lum e ;NU RBS ;N C verificati on ;OpenGL 在五轴机床的N C 验证中,图形法验证显然无法满足五轴机床的复杂性,这是由图形法验证方法的简单性和粗糙性决定的。

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摘
要：针对五轴数控加工中刀具与工件的相交问题，提出一种基于初始曲线变换的刀具扫掠体的算法。它首先通过分
析各个刀位上的速度向量，并且根据包络理论分析包络轮廓线的特征和形成规律，求出初始曲线上各离散点的旋转角度，初始曲线变换后得到包络轮廓线，连接各刀位上的包络轮廓线形成刀具扫掠体，最后通过实例验证了所涉及到的刀具扫掠体求解的正确性。算法具有方法简单、计算准确、运算效率高等优点，并可进一步推广至任意形状刀具的扫掠体的
的刀具运动。
五轴联动数控加工主要应用于高精度复杂曲面的加Ｔ，在航空、汽车、船舶和现代模具等行业有着非常重要的州途ＩＩ，然而高昂的生产成本制约着它在］二业领域的普及化。为了提高产品的
计算和分析
关键词：初始曲线；五轴；扫掠体；包络轮廓线中图分类号：ＴＨ１６；ＴＧ６５９；ＴＰ３９１．９文献标识码：Ａ文章编号：１００１ — ３９９７（２０１３）０４ — ００１４ — ０３
ｓｗｅｐｔｐｒｏｉｌｆｅｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｅｎｖｅｌｏｐｅｔｈｅｏｒｙ．Ｔｈｅｎｉｔｃｌａｃｕｌｔｅａｓｔｈｅｒｏｔａｔｉｏｎａｎｇｌｅｆｏｄｉｓｃｒｅｔｅｐｏｉｎｔｓｏｎｉｎｉｔｉａｌｃｕ￣ｅｓ．Ａｔｆｅｒｔｈｅｓｗｉｔｃｈｏｆａｌｌｉｎｉｔｉｌａｃｕｒｕｅｓ，ｉｔｃｏｎｎｅｃｔｓｔｈｅｍｔｏｂｅｔｈｅｓｗｅｐｔｖｏｌｕｍｅ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｅｖａｌｉｄｉｔｙｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｉｓｖｅｒｉｉｆｅｄｂｙａｎｅｘａｍｐｌｅ．
Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｔｏｇｅｎｅｒａｔｅｔｈｅｃｕｔｔｅｒｓｗｅｐｔｖｏｌｕｍｅｂｙｉｎｉｔｉａｌｅｕｒ１）ｅｓｉｓｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｔｈｅｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｏｏｌｓａｎｄｗｏｒｋｐｉｅｃｅｓｉｎｉ，ｆ￣ｅ－ｏｏｃｉｓｍｉｌｌｉｎｇ．Ｆｉｒｓｔｉｔａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｖｅｌｏｃｉｔｙｏｎｅ（ｗｈｔｏｏｌｐｏｓｉｔｉｏｎ，ｔｈｅｃｈａｒ￣ｗｔｅｒｓａｎｄｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｌａｗｏｆ
机械设计与制造 Nhomakorabea１４
第４期２０１３年４月
ＭａｃｈｉｎｅｒｙＤｅｓｉｇｎ
＆
Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅ
一
种基于初始曲线变换的五轴加工刀具
扫掠体计算方法
黄仲辉，王清辉
（华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州５１０６４１）
ＨＵＡＮＧＺｈｏｎｇ－ｈｕｉ，ＷＡＮＧＱｉｎｇ－ｈｕｉ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌａｎｄＡｕｔｏｍｏｔｉｖｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｏｕｔｈＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＧｕａｎｇｄｏｎｇＧｕａｎｇｚｈｏｕ５１０６４１
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：ＩｎｉｔｉａｌＣｕｒｖｅ；Ｆｉｖｅ－Ａｘｉｓ；ＳｗｅｐｔＶｏｌｕｍｅ；ＧｒａｚｉｎｇＣｕｒｖｅ
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ｌ石
（１）很多方法仪适用于ｉ轴或四轴加Ｔ，难以应用于更复杂
Ｔｈｅｍｅｔｈｏｄｉｓｅａｓｙ，ｅｘｔ￣＇ｔａｎｄｈａｓａｈｉｇｈｅｆｉｃｆｉｅｎｃｙａｔｔｄＣａｌｔｂｅｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｅｗｄｕｔｅａｔｈｅｓｗｅｐｔｖｏｌｕｎｌｅ（ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｃｕｔｔｅｒｓ．
ＡＭｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｔｏＧｅｎｅｒａｔｅＣｕｔｔｅｒＳｗｅｐｔＶｏｌｕｍｅｉｎＦｉｖｅ－ＡｘｉｓＭｉｌｌｉｎｇＢａｓｅｄｏｎＳｗｉｔｃｈｏｆＩｎｉｔｉａＩＣｕｒｖｅｓ