推荐学习2018届高中三年级学习数学一轮复习第九章平面解析几何第八节曲线与方程夯基提能
(北京专用)高考数学一轮复习第九章平面解析几何第八节曲线与方程课件理
1,
1
n m
由 x可得myy2-n4,my-4n=0,(*) 因为 y(2yīn4wxèi)直线l'与曲线E有唯一公共点A,
所以Δ=16m2+16n=0,即n=-m2.
第十六页，共29页。
所以(suǒyǐ)(*)可化简为y2-4my+4m2=0, 所以(suǒyǐ)A(m2,2m), 因为n=-m2,
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3于-1点A已,B知,且曲 线=E-2: ax.2若+b点y2B=的1(坐a>标0,b为>(00),,2经),过求(曲jīn线ggEu的ò)方点33程M,0. 的直线l与曲线E交
MB MA
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解故析 =(j iě ,x ī)= 设. A(x0,y0),∵B(0,2),M33 ,0,
段
a2 b2
MN中点的轨迹方程是 x2+ 4=y21 .
a2 b2
答案(dáàxn2 ) 4 y2+ =1 a2 b2
解析(jiě xī) 设MN的中点为P(x,y),则点M(x,2y),又点M在椭圆上x2 ,∴(2 y)2+ =
1,即所求的轨迹方程为 + =1.
x2 4y2
a2 b2
a2 b2
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所 所以以 NNA·A ⊥N=NP(Pm, 2-1,2m)· =-2m22,+21-m2-n2n=0, 所以点N在以AP为直径的圆C上. 证法(zhènɡ fǎ)二:依题意可设直线l':y=kx+b(k≠0), 由 可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*) 因为 y直线kxl'与 b曲, 线E有唯一公共点A, 所以 y2 即 4x
2018版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.8曲线与方程课件理
考点2
求曲线方程的基本步骤
[必会结论] 1．两个条件 (1)如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P0(x0，y0)在 曲线上的充要条件是f(x0，y0)＝0. (2)“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的 点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件． 2．求轨迹问题常用的数学思想 (1)函数与方程思想：求平面曲线的轨迹方程就是将几 何条件(性质)表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．
＋|AB|＝4>|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4 的椭圆(挖去与x轴的交点)． x2 y2 设曲线M：a2＋b2＝1(a>b>0，y≠0)， 则a ＝4，b
2 2 |AB| 2 ＝a － ＝3， 2 2 2 2
x y 所以曲线M： 4 ＋ 3 ＝1(y≠0)为所求．
(2)数形结合思想：由曲线的几何性质求曲线方程是 “数”与“形”的有机结合． (3)等价转化思想：通过坐标系使“数”与“形”相互 结合，在解决问题时又需要相互转化．
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充 要条件．( √ ) 2．方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．( × ) 3．到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × )
4．方程y＝ x与x＝y2表示同一曲线．( × ) x 5．方程 ＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直 y －2 线．( × )
二、小题快练 1．[课本改编]已知M(－2,0)，N(2,0)，|PM|－|PN|＝4， 则动点P的轨迹是( A．双曲线 C．一条射线
解析 线．
高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 指点迷津(八)
(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2
+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程课件理新人教版
＝－2，求点M的轨迹方程. 解答 几何画板展示
题型三 相关点法求轨迹方程 例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2： x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线， 切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－ 2时， 切线MA的斜率为－1 .
思维升华
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数 方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、 化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯 粹性和完备性.
跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别 为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左，右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.
3.(2016·南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足
∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是 答案 解析
A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)
几何画板展示
B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)
D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
2.求动点的轨迹方程的基本步骤 任意 x,y
所求方程
知识拓展
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件. 2.曲线的交点与方程组的关系： (1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组 成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线 就没有交点.
苏教版江苏专版版高考数学一轮复习第九章解析几何第八节曲线与方程教案理解析版
１．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下关系：（１）曲线上点的坐标都是这个方程的解．（２）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．２．求动点轨迹方程的一般步骤（１）建立适当的坐标系，用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标；（２）写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p（M）}；（３）用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（４）化方程f（x，y）＝0为最简形式；（５）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．３．曲线的交点设曲线C１的方程为F１（x，y）＝0，曲线C２的方程为F２（x，y）＝0，则C１，C２的交点坐标即为方程组错误!的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．[小题体验]１．已知两定点A（—２,0），B（１,0），如果动点P满足PA＝２PB，则点P的轨迹方程为________．解析：设P点的坐标为（x，y），∵A（—２,0），B（１,0），动点P满足PA＝２PB，∴错误!＝２错误!，平方得（x＋２）２＋y２＝４[（x—１）２＋y２]，化简得（x—２）２＋y２＝４，∴点P的轨迹是以（２,0）为圆心、２为半径的圆，方程为（x—２）２＋y２＝４．答案：（x—２）２＋y２＝４２．已知点P是直线２x—y＋３＝0上的一个动点，定点M（—１,２），Q是线段PM延长线上的一点，且PM＝M Q，则Q点的轨迹方程是________．解析：设Q（x，y），则P为（—２—x,４—y），代入２x—y＋３＝0，得Q点的轨迹方程为２x—y ＋５＝0．答案：２x—y＋５＝0３．已知F是抛物线y＝错误!x２的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．解析：因为抛物线x２＝４y的焦点F（0,１），设线段PF的中点坐标是（x，y），则P（２x,２y—１）在抛物线x２＝４y上，所以（２x）２＝４（２y—１），化简得x２＝２y—１．答案：x２＝２y—１１．曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程（包括范围）．２．求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[小题纠偏]１．若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足错误!·错误!＝0，则P点的轨迹是________．解析：因为错误!·错误!＝0，所以PM⊥PN.所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．答案：以线段MN为直径的圆２．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B错误!，C错误!（a＞0），且满足条件sin C—sin B＝错误!sin A，则动点A的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得错误!—错误!＝错误!×错误!，即AB—AC＝错误!BC，故动点A是以B，C为焦点，错误!为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）．答案：错误!—错误!＝１（x＞0且y≠0）错误!错误![题组练透]１．已知点O（0,0），A（１，—２），动点P满足|PA|＝３|PO|，则P点的轨迹方程是________．解析：设P点的坐标为（x，y），则错误!＝３错误!，整理得8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0．答案：8x２＋8y２＋２x—４y—５＝0２．已知M（—２,0），N（２, 0），求以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程．解：设P（x，y），因为△MPN为以MN为斜边的直角三角形，所以MP２＋NP２＝MN２，所以（x＋２）２＋y２＋（x—２）２＋y２＝１6，整理得x２＋y２＝４．因为M，N，P不共线，所以x≠±２，所以轨迹方程为x２＋y２＝４（x≠±２）．３．设F（１,0），点M在x轴上，点P在y轴上，且错误!＝２错误!，错误!⊥错误!，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解：设M（x′，0），P（0，y′），N（x，y），由错误!＝２错误!，得（x—x′，y）＝２（—x′，y′），所以错误!解得错误!因为错误!⊥错误!，错误!＝（x′，—y′），错误!＝（１，—y′），所以（x′，—y′）·（１，—y′）＝0，即x′＋y′２＝0，所以—x＋错误!２＝0，即y２＝４x.因此所求的轨迹方程为y２＝４x.[谨记通法]直接法求轨迹方程的２种常见类型及解题策略（１）题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．（２）题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．错误!错误![典例引领]１．（２0１7·扬州模拟）△ABC的顶点A（—５,0），B（５,0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝３上，则顶点C的轨迹方程是________________．解析：如图，AD＝AE＝8，BF＝BE＝２，CD＝CF，所以CA—CB＝8—２＝6．根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为错误!—错误!＝１（x＞３）．答案：错误!—错误!＝１（x＞３）２．（２0１9·常熟中学检测）已知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，那么动圆圆心M的轨迹方程________．解析：由题意知动圆M与直线y＝２相切，且与定圆C：x２＋（y＋３）２＝１外切，∴动点M到C（0，—３）的距离与到直线y＝３的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（0，—３）为焦点，直线y＝３为准线的抛物线，故所求M的轨迹方程为x２＝—１２y.答案：x２＝—１２y[由题悟法]定义法求曲线方程的２种策略（１）运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．（２）定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得解．[即时应用]１．（２0１9·海门中学检测）已知△ABC的周长为２0，且顶点B（0，—４），C（0,４），则顶点A 的轨迹方程是________．解析：∵△ABC的周长为２0，顶点B（0，—４），C（0,４），∴BC＝8，AB＋AC＝２0—8＝１２，∵１２＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝４，∴b２＝２0，∴椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（x≠0）．答案：错误!＋错误!＝１（x≠0）２．如图，已知△ABC的两顶点坐标A（—１，0），B（１,0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝１，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．解：由题知CA＋CB＝CP＋C Q＋AP＋B Q＝２CP＋AB＝４＞AB，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为４的椭圆（挖去与x轴的交点）．设曲线M：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0，y≠0），则a２＝４，b２＝a２—１２＝３，所以曲线M：错误!＋错误!＝１（y≠0）为所求．错误!错误![典例引领]如图，已知P是椭圆错误!＋y２＝１上一点，PM⊥x轴于M.若错误!＝λ错误!.（１）求N点的轨迹方程；（２）当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解：（１）设点P，点N的坐标分别为P（x１，y１），N（x，y），则M的坐标为（x１,0），且x＝x１，所以错误!＝（x—x１，y—y１）＝（0，y—y１），错误!＝（x１—x，—y）＝（0，—y），由错误!＝λ错误!得（0，y—y１）＝λ（0，—y）．所以y—y１＝—λy，即y１＝（１＋λ）y.因为P（x１，y１）在椭圆错误!＋y２＝１上，则错误!＋y错误!＝１，所以错误!＋（１＋λ）２y２＝１，故错误!＋（１＋λ）２y２＝１即为所求的N点的轨迹方程．（２）要使点N的轨迹为圆，则（１＋λ）２＝错误!，解得λ＝—错误!或λ＝—错误!.所以当λ＝—错误!或λ＝—错误!时，N点的轨迹是圆．[由题悟法]代入法求轨迹方程的４个步骤（１）设出所求动点坐标P（x，y）．（２）寻求所求动点P（x，y）与已知动点Q（x′，y′）的关系．（３）建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.（４）将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．[即时应用]１．（２0１9·丰县中学检测）定长为３的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，动点P 满足错误!＝２错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由错误!＝２错误!，得（x，y—y0）＝２（x0—x，—y），则错误!即错误!又因为AB的定长为３，所以x错误!＋y错误!＝9，所以错误!２＋（３y）２＝9，化简得错误!＋y２＝１，故点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．２．已知曲线E：ax２＋by２＝１（a＞0，b＞0），经过点M错误!的直线l与曲线E交于点A，B，且错误!＝—２错误!.若点B的坐标为（0,２），求曲线E的方程．解：设A（x0，y0），因为B（0,２），M错误!，故错误!＝错误!，错误!＝错误!.由于错误!＝—２错误!，所以错误!＝—２错误!.所以x0＝错误!，y0＝—１，即A错误!.因为A，B都在曲线E上，所以错误!解得错误!所以曲线E的方程为x２＋错误!＝１．一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．方程（x＋y—１）错误!＝0表示的曲线是______________．解析：由（x＋y—１）错误!＝0，得错误!或错误!＝0，即x＋y—１＝0（x≥１）或x＝１．所以方程表示的曲线是射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１．答案：射线x＋y—１＝0（x≥１）和直线x＝１２．平面上有三个点A（—２，y），B错误!，C（x，y），若错误!⊥错误!，则动点C的轨迹方程为________．解析：由题意得错误!＝错误!，错误!＝错误!，由错误!⊥错误!，得错误!·错误!＝0，即２x＋错误!·错误!＝0，所以动点C的轨迹方程为y２＝8x.答案：y２＝8x３．（２0１8·江苏太湖高级中学检测）若动点P（x，y）满足条件|错误!—错误!|＝6，则点P的轨迹是________．解析：|错误!—错误!|＝6表示点P到（４,0），（—４,0）两点的距离的差的绝对值为6，根据定义得点P轨迹是双曲线．答案：双曲线４．设点A为圆（x—１）２＋y２＝１上的动点，PA是圆的切线，且PA＝１，则P点的轨迹方程为________．解析：如图，设P（x，y），圆心为M（１,0）．连结MA，PM，则MA⊥PA，且MA＝１，又因为PA＝１，所以PM＝错误!＝错误!，即PM２＝２，所以（x—１）２＋y２＝２．答案：（x—１）２＋y２＝２５．已知点A（—２,0），B（３,0），动点P（x，y），满足错误!·错误!＝x２—6，则动点P的轨迹方程是________．解析：因为动点P（x，y）满足错误!·错误!＝x２—6，所以（—２—x，—y）·（３—x，—y）＝x２—6，即y２＝x，所以动点P的轨迹方程是y２＝x.答案：y２＝x6．已知定点A（４,0）和圆x２＋y２＝４上的动点B，动点P（x，y）满足错误!＋错误!＝２错误!，则点P的轨迹方程为________．解析：设B（x0，y0），由错误!得错误!代入圆方程得（２x—４）２＋４y２＝４，即（x—２）２＋y２＝１．答案：（x—２）２＋y２＝１二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·盐城一模）设点Q（２,0），圆C：x２＋y２＝１，若动点M到圆C的切线长与M Q长的比等于２，则动点M的轨迹方程是________．解析：如图，设MN切圆于N，则动点M满足MN＝２M Q，∵圆的半径ON＝１，∴MN２＝MO２—ON２＝MO２—１．设点M的坐标为（x，y），则错误!＝２错误!，化简得３x２＋３y２—１6x＋１7＝0．答案：３x２＋３y２—１6x＋１7＝0２．长为３的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，错误!＝２错误!，则点C的轨迹方程为________________．解析：设C（x，y），A（a,0），B（0，b），则a２＋b２＝9，１又错误!＝２错误!，所以（x—a，y）＝２（—x，b—y），即错误!２代入１式整理可得x２＋错误!＝１．答案：x２＋错误!＝１３．已知A（—１,0），B（１,0）两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若错误!２＝λ错误!·错误!，当λ＜0时，动点M的轨迹为________．解析：设M（x，y），则N（x,0），所以错误!２＝y２，λ错误!·错误!＝λ（x＋１,0）·（１—x,0）＝λ（１—x２），所以y２＝λ（１—x２），即λx２＋y２＝λ，变形为x２＋错误!＝１．又因为λ＜0，所以动点M的轨迹为双曲线．答案：双曲线４．设圆（x＋１）２＋y２＝２５的圆心为C，A（１,0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段A Q 的垂直平分线与C Q的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．解析：因为M为A Q垂直平分线上一点，则AM＝M Q，所以MC＋MA＝MC＋M Q＝C Q＝５，故M的轨迹为以点C，A为焦点的椭圆，所以a＝错误!，c＝１，则b２＝a２—c２＝错误!，所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１５．设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若错误!＝２错误!，且错误!·错误!＝１，则点P的轨迹方程是________．解析：设A（a,0），B（0，b），a＞0，b＞0．由错误!＝２错误!，得（x，y—b）＝２（a—x，—y），即a＝错误!x＞0，b＝３y＞0．即错误!＝错误!，点Q（—x，y），故由错误!·错误!＝１，得（—x，y）·错误!＝１，即错误!x２＋３y２＝１．故所求的轨迹方程为错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）．答案：错误!x２＋３y２＝１（x＞0，y＞0）6．（２0１9·扬州一模）如图，已知椭圆错误!＋y２＝１的焦点为F１，F２，点P为椭圆上任意一点，过F２作∠F１PF２的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段Q N的中点为M，则点M的轨迹方程为________．解析：因为点F２关于∠F１PF２的外角平分线P Q的对称点Q′在直线F１P的延长线上，故F１Q′＝PF１＋PF２＝２a＝４，又O Q是△F２F１Q′的中位线，所以O Q＝错误!F１Q′＝２，设M（x，y），则Q（２x，y），所以有４x２＋y２＝４．故点M的轨迹方程为错误!＋x２＝１．答案：错误!＋x２＝１7．在平面直角坐标系xOy中，动点P和点M（—２,0），N（２,0）满足|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为________．解析：因为|错误!|·|错误!|＋错误!·错误!＝0，所以４错误!＋４（x—２）＝0，化简变形，得y２＝—8x.答案：y２＝—8x8．（２0１9·通州一模）已知⊙C：（x＋１）２＋y２＝３6及点A（１,0），点P为圆上任意一点，AP 的垂直平分线交CP于点M，则点M的轨迹方程为________．解析：由圆的方程可知，圆心C（—１,0），半径等于6，设点M的坐标为（x，y），∵AP的垂直平分线交CP于M，∴MA＝MP，又MP＋MC＝6，∴MC＋MA＝6＞AC＝２，∴点M满足椭圆的定义，且２a＝6,２c＝２，∴a＝３，c＝１，∴b２＝a２—c２＝8，∴点M的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１9．已知长为１＋错误!的线段AB的两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动，P是AB上一点，且错误!＝错误!错误!，求点P的轨迹方程．解：设A（x0,0），B（0，y0），P（x，y），由已知知错误!＝错误!错误!，又错误!＝（x—x0，y），错误!＝（—x，y0—y），所以x—x0＝—错误!x，y＝错误!（y0—y），得x0＝错误!x，y0＝（１＋错误!）y.因为AB＝１＋错误!，即x错误!＋y错误!＝（１＋错误!）２，所以错误!２＋[（１＋错误!）y]２＝（１＋错误!）２，化简得错误!＋y２＝１．即点P的轨迹方程为错误!＋y２＝１．１0．已知动圆过定点A（４,0），且在y轴上截得弦MN的长为8．（１）求动圆圆心的轨迹C的方程；（２）已知点B（—１,0），设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PB Q 的角平分线，证明：直线l过定点．解：（１）如图，设动圆圆心为O１（x，y），由题意O１A＝O１M，当O１不在y轴上时，过O１作O１H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点．所以O１M＝错误!，又O１A＝错误!，所以错误!＝错误!，化简得y２＝8x（x≠0）．当O１在y轴上时，O１与O重合，点O１的坐标（0,0）也满足方程y２＝8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y２＝8x.（２）证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b（k≠0），P（x １，y１），Q （x２，y２），将y＝kx＋b代入y２＝8x，得k２x２＋（２kb—8）x＋b２＝0．则Δ＝—３２kb＋6４＞0．且x１＋x２＝错误!，１x１x２＝错误!，２因为x轴是∠PB Q的角平分线，所以错误!＝—错误!，即y１（x２＋１）＋y２（x１＋１）＝0，（kx１＋b）（x２＋１）＋（kx２＋b）（x１＋１）＝0，２kx１x２＋（b＋k）（x１＋x２）＋２b＝0，３将１２代入３得２kb２＋（k＋b）（8—２kb）＋２k２b＝0，所以k＝—b，此时Δ＞0，所以直线l的方程为y＝k（x—１），即直线l过定点（１,0）．三上台阶，自主选做志在冲刺名校在平面直角坐标系xOy中，已知两点M（１，—３），N（５,１），若点C的坐标满足错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），且点C的轨迹与抛物线y２＝４x交于A，B两点．（１）求证：OA⊥OB；（２）在x轴上是否存在一点P（m,0），使得过点P任作一条抛物线的弦，并以该弦为直径的圆都过原点．若存在，求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．解：（１）证明：由错误!＝t错误!＋（１—t）错误!（t∈R），可知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，所以点C的轨迹方程为y＋３＝错误!（x—１），即y＝x—４．联立错误!化简得x２—１２x＋１6＝0,设C的轨迹方程与抛物线y２＝４x的交点坐标为A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１２，x１x２＝１6，y１y２＝（x１—４）（x２—４）＝x１x２—４（x１＋x２）＋１6＝—１6，因为错误!·错误!＝x１x２＋y１y２＝１6—１6＝0,所以OA⊥OB.（２）假设存在这样的P点，并设AB是过抛物线的弦，且A（x１，y１），B（x２，y２），其方程为x ＝ny＋m，代入y２＝４x得y２—４ny—４m＝0,此时y１＋y２＝４n，y１y２＝—４m，所以k OA k OB＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝—错误!＝—１，所以m＝４（定值），故存在这样的点P（４,0）满足题意．设AB的中点为T（x，y），则y＝错误!（y１＋y２）＝２n，x＝错误!（x１＋x２）＝错误!（ny１＋４＋ny２＋４）＝错误!（y１＋y）＋４＝２n２＋４，消去n得y２＝２x—8．２。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新人
第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程课件 理
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(√) (×) (×) (×)
(×)
二、易错纠偏 常见误区 (1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错； (2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．
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1．(1)平面内与两定点 A(2，2)，B(0，0)距离的比值为 2 的点的轨迹是________． (2)设动圆 M 与 y 轴相切且与圆 C：x2＋y2－2x＝0 相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为 ________．
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二、教材衍化
1．已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线
与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是
()
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
解析：选 D.由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，
直线 l 为准线的抛物线．
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2．曲线 C：xy＝2 上任一点到两坐标轴的距离之积为________． 解析：在曲线 xy＝2 上任取一点(x0，y0)，则 x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0| ＝|x0y0|＝2. 答案：2
12/11Байду номын сангаас2021
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已知坐标平面上动点 M(x，y)与两个定点 P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝ 5|MQ|. (1)求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中轨迹为 C，若过点 N(－2，3)的直线 l 被 C 所截得的线段长度为 8，求直线 l 的方程．
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的位置关系课件
x=- ,分别过
2
F( ,0),
2
A,B 作准线的垂线,垂足为点 A',B',
过A作BB'的垂线,垂足为M,设|AA'|=|AF|=t,
∵|BF|=3|FA|,∴|BB'|=|BF|=3t,则|BM|=2t,|AB|=4t,
∴∠ABM=60°.
即直线l的倾斜角∠AFx=120°,可得直线l的斜率为
k=tan 120°= - 3 ,故选A.
考点二
弦长问题
典例突破
例2.(多选)(2023新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线 y=- 3(x-1) 过抛物线
C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则(
A.p=2
B.|MN|=
8
3
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
21
22
(2 -1 )(2 +1 )
2
2
+1 =1, +2 =1,两式作差,得
+(y2-y1)(y2+y1)=0.因为
2
2
2
2 -1
0
x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, - =kAB,所以 kAB=-2 .
2 1
0
(1)设弦中点为 M(x,y),由①式, 得
2=-2,所以
= 16 2 -4 × (1- 2 ) × (-10) > 0,
4
A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 + 2 =
1 2 =
解得-
15
<k<-1.故选
3
浙江专版2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第8节曲线与方程课件
4．已知△ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|＝3，则顶点 A 的轨迹方程为__________．
2 x2 x－3 ＋ ＝1，化简得 x2－3x－8＝0， 25 25
3－ 41 3＋ 41 ∴x1＝ ，x2＝ ，12 分 2 2 41 41 则|AB|＝ ×41＝ . 25 5 41 ∴直线被曲线 C 所截线段的长度为 .15 分 5
16 2 1 ＋ x － x ＝ 1 2 25
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是____________ 曲线上的点 ． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标． (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}．
直接法求轨迹方程
已知动圆过定点 A(4,0)， 且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8.求动圆圆心 的轨迹 C 的方程． [ 解] 如图，设动圆圆心为 O1(x，y)，由题意，得|O1A|＝|O1M|.2 分
当 O1 不在 y 轴上时， 过 O1 作 O1H⊥MN 交 MN 于 H， 则 H 是 MN 的中点， ∴|O1M|＝ x2＋42.6 分
图 882
[ 解]
(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 第8节 曲线与方程课件 理
m＝ 2＋1x， 解得n＝ 2＋2 1y，
由|C→D|＝ 2＋1，得m2＋n2＝( 2＋1)2，
所以( 2＋1)2x2＋ 2＋2 12y2＝( 2＋1)2， 整理，得曲线E的方程为x2＋y22＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由O→M＝O→A＋O→B，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)． 由题意知，直线AB的斜率存在． 设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得 (k2＋2)x2＋2kx－1＝0， 则x1＋x2＝－k22＋k 2，x1x2＝－k2＋1 2. y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋4 2.
已知两点M(－1,0)，N(1,0)且点P使
→ MP
→ ·MN
，
→ PM
→ ·PN
，
N→M·N→P成公差小于0的等差数列，则点P的轨迹是什么曲线？
[解] 设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)得 P→M＝－M→P＝(－1－x，－y)， P→N＝－N→P＝(1－x，－y)， M→N＝－N→M＝(2,0)， 所以M→P·M→N＝2(1＋x)，P→M·P→N＝x2＋y2－1， N→M·N→P＝2(1－x)．
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件． (2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．
() ()
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．
()
(4)方程y＝ x与x＝y2表示同一曲线．
()
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×
2．已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是( )
所以|AB|－|AC|＝2 2， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝ 2，所以b＝ 2， 所以轨迹方程为x22－y22＝1(x＞ 2)．]
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习课件：第九章 平面解析几何 9-8
－8km 4m2－12 ∴x1＋x2＝ 2 ，x1x2＝ .① 4k ＋3 4k2＋3 ∵以 MN 为直径的圆过点 A，A 点的坐标为(2，0)， → ·AN → ＝0，即(x －2)(x －2)＋y y ＝0.② ∴AM 1 2 1 2 ∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， ∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③ 将①③代入②得 7m2＋16km＋4k2＝0. m 2 m ∴ k ＝－7或 k ＝－2，且都满足 Δ＞0.
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲 线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无 解，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交
点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
【答案】 (x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)
题型一 定义法求轨迹方程
【例1】 已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切 ，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．
【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M(－1，0)，半径 r1＝1； 圆 N 的圆心为 N(1，0)，半径 r2＝3.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半 径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以|PM|＋|PN| ＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2＝|MN|. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左，右焦点，长半 x2 y2 轴长为 2， 短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)， 其方程为 4 ＋ 3 ＝ 1(x≠－2)．
线叫做___________．
这个方程的解 曲线上的点 曲线的方程 方程的曲线
高三数学一轮总复习 第八章 解析几何 8.8 曲线与方程课件.ppt
2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系。 (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)。 (3)列式——列出动点P所满足的关系式。 (4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方 程式，并化简。
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(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 3．两曲线的交点
∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝
4y，
∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y。
答案：(1)A (2)A
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►名师点拨 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题目给出等量关系，求轨迹方程。可直接代入即可得出方程。 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程。可利用已知条件寻找等量关系，得 出方程。
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 □5
_公_共__解____，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两
条曲线就有几个交点，方程组□6 无__解____，两条曲线就没有交点。 (2)两条曲线有交点的 □7 _充__要___条件是它们的方程所组成的方程组有实数解。
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(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义 法，这样可以减少运算量，提高解题速度。
(2)代入法(相关点法)：当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x′，y′)(称之为相 关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程。此时应注 意：代入法求轨迹方程是将x′，y′表示成关于x，y的式子，同时要注意x′，y′ 的限制条件。
第八章
解析几何
1
第八节 曲线与方程
2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档
1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点的轨迹方程的基本步骤【知识拓展】1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件．( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线．( × ) (5)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )1．(教材改编)已知点F (14，0)，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2016·广州模拟)方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．3．(2016·南昌模拟)已知A (－2,0)，B (1,0)两点，动点P 不在x 轴上，且满足∠APO ＝∠BPO ，其中O 为原点，则P 点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≠0) B ．(x ＋1)2＋y 2＝1(y ≠0)C ．(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)D ．(x －1)2＋y 2＝1(y ≠0) 答案 C解析 由角的平分线性质定理得|P A |＝2|PB |， 设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得(x －2)2＋y 2＝4(y ≠0)，故选C.4．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，则线段MN 中点的轨迹方程是________． 答案 x 2a 2＋4y 2b2＝1解析 设MN 的中点为P (x ，y )，则点M (x,2y )在椭圆上，所以x 2a 2＋(2y )2b 2＝1，即x 2a 2＋4y 2b2＝1(a >b >0)． 5．(2016·唐山模拟)设集合A ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝45}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝165}，C ＝{(x ，y )|2|x －3|＋|y －4|＝λ}．若(A ∪B )∩C ≠∅，则实数λ的取值范围是________． 答案 [255，4]解析 由题意可知，集合A 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝45上的点的集合，集合B 表示圆(x －3)2＋(y －4)2＝165上的点的集合，集合C 表示曲线2|x －3|＋|y －4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A 、B 表示圆，集合C 则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是[255，4]．题型一 定义法求轨迹方程例1 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上， 故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．思维升华 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由|O 1O 2|＝4，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有|MO 1|＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有|MO 2|＝r ＋2. ∴|MO 2|－|MO 1|＝3<4＝|O 1O 2|.∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支． ∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1(x ≤－32)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解 (1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2， 经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0， 得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C 1：x 2＝4y ，C 2：x 2＝－2py (p >0)．点M (x 0，y 0)在抛物线C 2上，过M 作C 1的切线，切点为A ，B (M 为原点O 时，A ，B 重合于O )．当x 0＝1－2时，切线MA 的斜率为－12.(1)求p 的值；(2)当M 在C 2上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程(A ，B 重合于O 时，中点为O )． 解 (1)因为抛物线C 1：x 2＝4y 上任意一点(x ，y )的切线斜率为y ′＝x2，且切线MA 的斜率为－12，所以点A 的坐标为(－1，14)，故切线MA 的方程为y ＝－12(x ＋1)＋14.因为点M (1－2，y 0)在切线MA 及抛物线C 2上， 所以y 0＝－12×(2－2)＋14＝－3－224，①y 0＝－(1－2)22p ＝－3－222p .②由①②得p ＝2.(2)设N (x ，y )，A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，x 1≠x 2.由N 为线段AB 的中点，知 x ＝x 1＋x 22，③y ＝x 21＋x 228.④所以切线MA ，MB 的方程分别为 y ＝x 12(x －x 1)＋x 214，⑤y ＝x 22(x －x 2)＋x 224.⑥由⑤⑥得MA ，MB 的交点M (x 0，y 0)的坐标为 x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 1x 24.因为点M (x 0，y 0)在C 2上，即x 20＝－4y 0，所以x 1x 2＝－x 21＋x 226.⑦由③④⑦得x 2＝43y ，x ≠0.当x 1＝x 2时，A ，B 重合于原点O ， AB 的中点N 为点O ，坐标满足x 2＝43y .因此AB 的中点N 的轨迹方程是x 2＝43y .思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．设直线x －y ＝4a 与抛物线y 2＝4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求△ABC 的重心的轨迹方程． 解 设△ABC 的重心为G (x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4a ，y 2＝4ax ，消去y 并整理得 x 2－12ax ＋16a 2＝0. ∴x 1＋x 2＝12a ，y 1＋y 2＝(x 1－4a )＋(x 2－4a )＝(x 1＋x 2)－8a ＝4a . ∵G (x ，y )为△ABC 的重心，∴⎩⎨⎧x ＝x 0＋x 1＋x 23＝x 0＋12a 3，y ＝y 0＋y 1＋y 23＝y 0＋4a3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －12a ，y 0＝3y －4a . 又点C (x 0，y 0)在抛物线上，∴将点C 的坐标代入抛物线的方程得 (3y －4a )2＝4a (3x －12a )， 即(y －4a 3)2＝4a3(x －4a )．又点C 与A ，B 不重合，∴x 0≠(6±25)a ， ∴△ABC 的重心的轨迹方程为 (y －4a 3)2＝4a 3(x －4a )(x ≠(6±253)a )．22．分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (12分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹．思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论． (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程． (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题． 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为 x 24＋y 23＝1.[3分] (2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得(λ2－14)x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]．[6分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段；[8分] 当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴在y 轴上的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分；[10分] 当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分．[12分]1．(2016·宜春质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a (其中a是正常数)，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．椭圆或线段 D ．不存在答案 C解析 ∵a 是正常数，∴a ＋9a≥29＝6.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当a ＋9a >6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.2．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意．3．(2016·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0 D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点， 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )， 代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.4．(2016·太原模拟)已知圆锥曲线mx 2＋4y 2＝4m 的离心率e 为方程2x 2－5x ＋2＝0的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B解析 ∵e 是方程2x 2－5x ＋2＝0的根， ∴e ＝2或e ＝12.mx 2＋4y 2＝4m 可化为x 24＋y 2m＝1，当它表示焦点在x 轴上的椭圆时， 有4－m 2＝12，∴m ＝3； 当它表示焦点在y 轴上的椭圆时， 有m －4m＝12，∴m ＝163； 当它表示焦点在x 轴上的双曲线时， 可化为x 24－y 2－m＝1，有4－m2＝2，∴m ＝－12. ∴满足条件的圆锥曲线有3个．5．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8 D ．y ＝2x ＋4答案 B解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋x 12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y .∵点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，∴y 1＝2x 1－4，∴－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．7．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________． 答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，且a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，所以③正确．8．(2017·西安月考)已知△ABC 的顶点A ，B 坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________．答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10，则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，所以满足椭圆定义． 令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1，则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为 x 225＋y 29＝1(x ≠±5)． 9.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．答案 x 24a 2＋y 24b2＝1解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y2)，又P 在椭圆上，则有(－x 2)2a 2＋(－y2)2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1.10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________． 答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0)解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1， 则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点， 长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．11．已知实数m >1，定点A (－m,0)，B (m,0)，S 为一动点，点S 与A ，B 两点连线斜率之积为－1m 2. (1)求动点S 的轨迹C 的方程，并指出它是哪一种曲线；(2)若m ＝2，问t 取何值时，直线l ：2x －y ＋t ＝0(t >0)与曲线C 有且只有一个交点？ 解 (1)设S (x ，y )，则k SA ＝y －0x ＋m ，k SB ＝y －0x －m. 由题意，得y 2x 2－m 2＝－1m 2， 即x 2m2＋y 2＝1(x ≠±m )． ∵m >1，∴轨迹C 是中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去x 轴上的两顶点)，其中长轴长为2m ，短轴长为2.(2)m ＝2，则曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得9x 2＋8tx ＋2t 2－2＝0. 令Δ＝64t 2－36×2(t 2－1)＝0，得t ＝±3.∵t >0，∴t ＝3.此时直线l 与曲线C 有且只有一个交点．12．(2017·新余一中调研)设点P 是圆x 2＋y 2＝4上的任意一点，点D 是点P 在x 轴上的射影，动点M 满足3PD →＝2MD →. (1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设点F (－1,0)，若直线y ＝kx ＋m 与轨迹E 相切于点Q ，且与直线x ＝－4相交于点R ，求证：以QR 为直径的圆经过定点F .(1)解 设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝23y ， ∵点P 在圆上， ∴x 2＋(233y )2＝4，即x 24＋y 23＝1， ∴点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 如图，设点Q 的坐标为(x 0，y 0)， 依题意m ≠0且Δ＝0，则Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 整理得4k 2＋3＝m 2， 此时x 0＝－4km 4k 2＋3＝－4km ，y 0＝kx 0＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，∴Q (－4k m ，3m)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x ＝－4，解得y ＝－4k ＋m ， ∴R (－4，－4k ＋m )，由F (－1,0)，得QF →＝(4km －1，－3m )，RF →＝(3,4k －m )，∴QF →·RF →＝3(4k m －1)－3m (4k －m )＝0，∴QF ⊥RF ，∴以QR 为直径的圆过定点F .13.(2016·河北衡水中学三调)如图，已知圆E ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点F (3，0)，P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于点Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与(1)中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为k 1，k ，k 2(其中k >0)，△OAB 的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，若k 1，k ，k 2恰好构成等比数列，求S 1＋S 2S 的取值范围．解 (1)连接QF ，根据题意， |QP |＝|QF |，则|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP | ＝4>|EF |＝23，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，可知a ＝2，c ＝a 2－b 2＝3，则b ＝1， ∴点Q 的轨迹Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，整理得， (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， Δ＝16(1＋4k 2－m 2)>0，x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.∵k 1，k ，k 2构成等比数列， ∴k 2＝k 1k 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0，解得k 2＝14. ∵k >0，∴k ＝12.此时Δ＝16(2－m 2)>0， 解得m ∈(－2，2)．又由A ，O ，B 三点不共线得m ≠0， 从而m ∈(－2，0)∪(0，2)． 故S ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·|m |1＋k 2＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2·|m | ＝2－m 2|m |.又x 214＋y 21＝x 224＋y 22＝1， 则S 1＋S 2＝π4(x 21＋y 21＋x 22＋y 22)＝π4(34x 21＋34x 22＋2)＝3π16[(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＋π2＝5π4为定值． ∴S 1＋S 2S ＝5π4×1(2－m 2)m2≥5π4， 当且仅当m ＝±1时等号成立． 综上，S 1＋S 2S ∈[5π4，＋∞)．。
2018届高三数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第八节 曲线与方程夯基提能作业本 理
第八节曲线与方程A组基础题组1.方程x=所表示的曲线是( )A.双曲线的一部分B.椭圆的一部分C.圆的一部分D.直线的一部分2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )A.2x+y+1=0B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0D.2x-y+5=03.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若=λ·,当λ<0时,动点M的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线5.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是( )A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=06.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足+=2,则点P的轨迹方程为.7.已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,则动圆圆心Q的轨迹C的方程为.8.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是.9.已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-2=0相切.(1)求圆的标准方程;(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于点N,若动点Q满足=m+(1-m)(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程.10.已知长为1+的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=.求点P的轨迹方程.B组提升题组11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M,则M点的轨迹方程是( )A.-=1B.+=1C.-=1D.+=112.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足++=0,||=||=||,∥,则顶点C的轨迹为( )A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C 的轨迹方程是.14.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,求顶点C的轨迹方程.15.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P,Q,交直线l1于点R,求·的最小值.答案全解全析A组基础题组1.B x=两边平方,可变为x2+4y2=1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.2.D 设Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.3.B 设椭圆的右焦点是F2,由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.4.C 设M(x,y),则N(x,0),所以=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即λx2+y2=λ,当λ<0时,变形为x2+=1,所以当λ<0时,动点M的轨迹为双曲线.5.A 设点P的坐标为(x,y),则=3,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.6.答案(x-2)2+y2=12+4y2=4,即解析设B(x(x-2)2+y2=1.7.答案y2=4x解析设Q(x,y).因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,所以+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x.8.答案-=1(x>0且y≠0)解析由正弦定理得-=×,即|AB|-|AC|=|BC|,故动点A的轨迹是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线右支(除去顶点).即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).9.解析(1)设圆的半径为r,圆心到直线l 1的距离为d,则d==2.因为r=d=2,圆心为坐标原点O,所以圆C1的方程为x2+y2=4.(2)设动点Q(x,y),A(x0,y0),∵AN⊥x轴于点N,∴N(x0,0),由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),解得即将点A代入圆C1的方程x2+y2=4,得动点Q的轨迹方程为+=1.10.解析设A(x 0,0),B(0,y0),P(x,y),则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),又=,所以x-x0=-x,y=(y0-y),得x0=x,y0=(1+)y.因为|AB|=1+,即+=(1+)2,所以+[(1+)y]2=(1+)2,化简得+y2=1.所以点P的轨迹方程为+y2=1.B组提升题组11.D 因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M点的轨迹是以C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,其中a=,c=1,∴b2=,∴M点的轨迹方程是+=1.故选D.12.B 设C(x,y)(y≠0),则由++=0,知G为△ABC的重心,得G.因为||=||=||,所以M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,又∥,则有M.所以x2+=4+,化简得+=1,又A(2,0),B(-2,0),C为△ABC的三个顶点,所以y≠0.所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).13.答案y=2x-2解析设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为y=2x-2.14.解析如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),方程为-=1(x>3).15.解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l 1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的斜率存在,方程可设为y=kx+1(k≠0),与动点C的轨迹方程x2=4y联立,消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又R,∴·=·=·+(kx1+2)·(kx2+2) =(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k++4=4+8.∵k2+≥2(当且仅当k2=1时取等号), ∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.。
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第八节曲线与方程
A组基础题组
1.方程x=所表示的曲线是( )
A.双曲线的一部分
B.椭圆的一部分
C.圆的一部分
D.直线的一部分
2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是( )
A.2x+y+1=0
B.2x-y-5=0
C.2x-y-1=0
D.2x-y+5=0
3.已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
4.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若=λ·,当λ<0时,动点M的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
5.已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则P点的轨迹方程是( )
A.8x2+8y2+2x-4y-5=0
B.8x2+8y2-2x-4y-5=0
C.8x2+8y2+2x+4y-5=0
D.8x2+8y2-2x+4y-5=0
6.已知定点A(4,0)和圆x2+y2=4上的动点B,动点P(x,y)满足+=2,则点P的轨迹方程
为.
7.已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,则动圆圆心Q的轨迹C的方程为.
8.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是.
9.已知圆C1的圆心在坐标原点O,且恰好与直线l1:x-y-2=0相切.
(1)求圆的标准方程;
(2)设点A为圆上一动点,AN⊥x轴于点N,若动点Q满足=m+(1-m)(其中m为非零常数),试求动点Q的轨迹方程.
10.已知长为1+的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且=.求点P的轨迹方程.
B组提升题组
11.设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,AQ的垂直平分线与CQ的连线的交点为M,则M点的轨迹方程是( )
A.-=1
B.+=1
C.-=1
D.+=1
12.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足++=0,||=||=||,∥,则顶点C的轨迹为( )
A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)
B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)
C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)
D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)
13.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,0),B(2,2),若点C满足=+t(-),其中t∈R,则点C的轨迹方程是.
14.△A BC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,求顶点C的轨迹方程.
15.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于两点P,Q,交直线l1于点R,求·的最小值.
答案全解全析
A组基础题组
1.B x=两边平方,可变为x2+4y2=1(x≥0),表示的曲线为椭圆的一部分.
2.D 设Q(x,y),易得P(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.
3.B 设椭圆的右焦点是F2,由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P 的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.
4.C 设M(x,y),则N(x,0),所以=y2,λ·=λ(x+1,0)·(1-x,0)=λ(1-x2),所以y2=λ(1-x2),即
λx2+y2=λ,当λ<0时,变形为x2+=1,所以当λ<0时,动点M的轨迹为双曲线.
5.A 设点P的坐标为(x,y),则=3,整理得8x2+8y2+2x-4y-5=0.
6.答案(x-2)2+y2=1
2+4y2=4,即
解析设B(x
(x-2)2+y2=1.
7.答案y2=4x
解析设Q(x,y).因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,所以+|x|2=|AQ|2,所以
|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以动圆圆心Q的轨迹C的方程是y2=4x.
8.答案-=1(x>0且y≠0)
解析由正弦定理得-=×,即|AB|-|AC|=|BC|,故动点A的轨迹是以B,C为焦点,为实轴长的双
曲线右支(除去顶点).
即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).
9.解析(1)设圆的半径为r,圆心到直线l 1的距离为d,则d==2.
因为r=d=2,圆心为坐标原点O,所以圆C1的方程为x2+y2=4.
(2)设动点Q(x,y),A(x0,y0),
∵AN⊥x轴于点N,
∴N(x0,0),
由题意知,(x,y)=m(x0,y0)+(1-m)·(x0,0),
解得即
将点A代入圆C1的方程x2+y2=4,得动点Q的轨迹方程为+=1.
10.解析设A(x 0,0),B(0,y0),P(x,y),
则=(x-x0,y),=(-x,y0-y),
又=,
所以x-x0=-x,y=(y0-y),
得x0=x,y0=(1+)y.
因为|AB|=1+,即+=(1+)2,
所以+[(1+)y]2
=(1+)2,
化简得+y2=1.
所以点P的轨迹方程为+y2=1.
B组提升题组
11.D 因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此M点的轨迹是以C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,其中a=,c=1,∴b2=,∴M点的轨迹方程是+=1.故选D.
12.B 设C(x,y)(y≠0),则由++=0,知G为△ABC的重心,得G.
因为||=||=||,所以M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,又∥,则有M.
所以x2+=4+,
化简得+=1,
又A(2,0),B(-2,0),C为△ABC的三个顶点,所以y≠0.
所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).
13.答案y=2x-2
解析设C(x,y),则=(x,y),+t(-)=(1+t,2t),所以消去参数t得点C的轨迹方程为
y=2x-2.
14.解析如图,|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=8-2=6.
根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),方程为
-=1(x>3).
15.解析(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l 1的距离,
∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴动点C的轨迹方程为x2=4y.
(2)由题意知,直线l2的斜率存在,方程可设为y=kx+1(k≠0),与动点C的轨迹方程x2=4y联立,消去y,得
x2-4kx-4=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2=-4.
又R,
∴·=·
=·+(kx1+2)·(kx2+2)
=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4
=-4(1+k2)+4k++4
=4+8.
∵k2+≥2(当且仅当k2=1时取等号),
∴·≥4×2+8=16,
即·的最小值为16.。