天津市2009届高三数学试题分类汇编——概率统计

一、选择题1（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( B )A.13B.12C.14D.162（汉沽一中2008~2009届月考文2）．要从其中有50个红球的1000个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（A）A．5个B．10个C．20个D．45个3（汉沽一中2008~2009届月考文9）.面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( B )A.13B.12C.14D.164（汉沽一中2008~2009届月考文4）、某市有高中生3万人，其中女生4千人．为调查学生的学习情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的数量为A．30 B．25 C．20 D．154【答案】C【命题意图】本题主要考查对统计学中的分层抽样的理解。

【解析】设样本中女生的数量为x，则15020 300004000xx=⇒=二、填空题1（2009年滨海新区五所重点学校联考文14）．某中学高中部有三个年级，其中高三有600人，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本。

已知高一年级抽取15人，高二年级抽取10人，则高中部的总人数是13502（汉沽一中2008~2009届月考理10）．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此，该学生不能同时报考这两所学校.则该学生不同的报名方法种数是 .（用数字作答）16.3（汉沽一中2008~2009届月考文11）、为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如下图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是.【答案】13【命题意图】本题主要考查用样本的频率分布估计总体分布以及考查学生的识图能力.【解析】20(0.06510)13⨯⨯=4（和平区2008年高考数学(文)三模11）. 为了让人们感知塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：33，25，28，26，25，31，如果该班45名学生。

那么根据提供的数据，估计本周全班同学各家丢弃塑料袋的总数量约为 。

12605（2009年滨海新区五所重点学校联考理16）．给定下列结论：①在区间)1,0(内随机地抽取两数.,y x 则满足x y 2≤概率是43； ②已知直线l 1：013=-+y ax ，l 2：x - b y + 1= 0，则21l l ⊥的充要条件是3=b a ； ③为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）。

根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是70株；④极坐标系内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为2．以上结论中正确的是_____________________(用序号作答) 16． ①③④三、解答题1（汉沽一中2008~2009届月考文16）．（本小题满分12分）将A 、B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是3的倍数的概率是多少？解：（1）共有3666=⨯种结果； ……………………………………4分（2）共有12种结果； ……………………………………8分（3）313612==P ． ………………………………………12分 2（2009年滨海新区五所重点学校联考理18）．（本题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，一袋中装有2个黑球和1个红球。

规则如下：若一方摸中红球，将此球放入袋中，此人继续摸球；若一方没有摸到红球，将摸到的球放入袋中，则由对方摸彩球。

现甲进行第一次摸球。

(Ⅰ)在前三次摸球中，甲恰好摸中一次红球的所有情况；（Ⅱ）在前四次摸球中，甲恰好摸中两次红球的概率。

；（Ⅲ）设ξ是前三次摸球中，甲摸到的红球的次数，求随机变量ξ的概率分布与期望。

解: (Ⅰ) 甲红甲黑乙红黑均可；甲黑乙黑甲红。

2分B A （Ⅱ）1481p =。

6分 (Ⅲ) 设ξ的分布是 。

每求对一个1分共4分，表1分， E ξ1分共6分 ξ0 1 2 3 P1427 1027 227 127 E ξ=1727。

12分 3（2009年滨海新区五所重点学校联考文18）．（本小题满分12分）某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取两次，取出的两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．（Ⅰ）求中三等奖的概率；（Ⅱ）求中奖的概率．解: 设“中三等奖”的事件为A ，“中奖”的事件为B ，从四个小球中有放回的取两个共有 （0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0）， （2，1），（2，2），（2，3），（3，0），（3，1），（3，2），（3，3）16种不同的方法。

…3分（Ⅰ）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种：（0，3）、（1，2）、（2，1）、（3，0）…………………4分故 41()164P A ==……………………………………6分 （Ⅱ）两个小球号码相加之和等于3的取法有4种。

两个小球相加之和等于4的取法有3种：（1，3），（2，2），（3，1）两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：（2，3），（3，2）, ………………9分 由互斥事件的加法公式得169162163164)(=++=B P ………………12分4（汉沽一中2008~2009届月考理16）．（本小题满分12分）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是21. （Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ;（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中小球的个数,试求3=ξ的概率和ξ的数学期望ξE . 解: （Ⅰ）解法一：记小球落入B 袋中的概率()P B ，则()()1P A P B +=，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B 袋，所以41)21()21()(33=+=B P ‘………………………………………………………………… 2分 43411)(=-=∴A P . ……………………………………………………………… 5分 解法二：由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A 袋.132333113()()()224P A C C ∴=+= ， ……………………………… 5分 （Ⅱ）由题意，),43,4(~B ξ所以有 ……………………………………………… 7分 6427)41()43()3(1334===C P ξ ， ……………………………………… 10分 3434=⨯=∴ξE . ……………………………… 12分5（汉沽一中2008~2009届月考文16）、（本小题满分12分）某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲: 512 554 528 549 536 556 534 541 522 538乙:515 558 521 543 532 559 536 548 527 531(1)用茎叶图表示两学生的成绩;(2)分别求两学生成绩的中位数和平均分.【命题意图】本题主要考查茎叶图、中位数和平均分以及考查学生对数据的处理能力.【解析】（1）两学生成绩绩的茎叶图如图所示 :……6分(2)将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为：甲: 512 522 528 534 536 538 541 549 554 556……7分乙:515 521 527 531 532 536 543 548 558 559……8分 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365385372+= ……9分 乙学生成绩的中位数为5325365342+= ……10分甲学生成绩的平均数为:1222283436384149545650053710++++++++++= ……11分 乙学生成绩的平均数为: 1521273132364348585950053710++++++++++= ……12分6（汉沽一中2008~2009届月考文17）、（本小题满分14分）某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率.17【命题意图】本题主要考查互斥事件、对立事件、概率的基本性质以及考查学生用概念和公式规范解题的能力.【解析】记这个射手在一次射击中“命中10环或9环”为事件A ，“命中10环、9环、8环、不够8环”分别记为B 、C 、D 、E . ……1分则()0.28P C =，()0.19P D =，()0.29P E = ……2分∵C 、D 、E 彼此互斥， ……3分∴P （C ∪D ∪E ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）=0.28+0.19+0.29=0.76. ……7分又∵B 与C ∪D ∪E 为对立事件， ……8分∴P （B ）=1－P （C ∪D ∪E ）=1－0.76=0.24. ……10分B 与C 互斥，且A =B ∪C ， ……11分∴P （A ）=P （B +C ）=P （B ）+P （C ） =0.24+0.28=0.52. ……13分答：某射手在一次射击中命中9环或10环(最高环数)的概率为0.52. ……14分 7（汉沽一中2008~2008学年月考理15）．（本小题满分13分）学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ． (I) 求文娱队的人数；(II) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7-x ）人，那么只会一项的人数是 （7-2 x ）人．(I)∵107)0(P 1)1(P )0(P ==-=≥=>ξξξ， ∴103)0(P ==ξ．……………………………………3分 即103C C 2x 722x 7=--． ∴103)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----． ∴x=2． ……………………………………5分故文娱队共有5人．……………………………………7分(II) ξ的概率分布列为 ξ 0 1 2 P 103 54 101 54C C C )1(P 251412=⋅==ξ，……………………………………9分 101C C )2(P 2522===ξ，……………………………………11分 ∴10125411030E ⨯+⨯+⨯=ξ =1． …………………………13分 8（和平区2008年高考数学(文)三模18）. （本小题满分12分）有甲、乙、丙三种产品，每种产品的测试合格率分别为0.8，0.8和0.6，从三种产品中各抽取一件进行检验。