四川省蓉城名校联盟高中2017-2018学年高一4月联考数学理试题 含答案 精品

四川省蓉城名校联盟高中2017-2018学年高一4月联考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 数列{}n a 的通项公式为()()132n n a n =--，则{}n a 的第5项是（ ）A ．13B ．13-C ．15-D ．152.在ABC ∆中，sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．不确定3.在等差数列{}n a 中，已知12342,24a a a a =++=，则456a a a ++=（ ）A ．40B ．43C ．42D ．454.下列各式中，值为12的是（ ）A ．sin15cos15︒︒B ．22cos sin 66ππ C ．2tan301tan 30︒-︒D 5.下列命题中正确的是（ ） A ．,a b c d a c b d >>⇒->- B ．a b a b c c>⇒> C ．ac bc a b <⇒< D ．22a c bc ab >⇒> 6.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n 个图形的边长为n a ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．13nB ．131n -C ．13nD ．113n - 7.已知()3sin 30,601505αα︒+=︒<<︒，则cos α为（ ）A． C8.在等比数列{}n a 中，364718,36a a a a +=+=，若32k a =，则k =（ ）A ．11B ．9C ．7D ．129.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2cos 22B a c c +=，则ABC ∆一定是（ ） A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形 10.若cos 21sin 4απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．12-或1 B ．12- C ．1 D ．34- 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ， 都有n k a a ≥，则k 的值为（ ）A ．1007B ．1008C ．1009D ．101012.设数列{}n a 满足122,6a a ==，且2122n n n a a a +--+=，若[]x 表不不超过x 的最大整数，则122018201820182018a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ （ ） A ．2015 B ．2016 C ．2017 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且3,,43a B A ππ===，则b = ．14.在等比数列{}n a 中，2612,8a a ==，则10a = ． 15.若3cos ,0,52παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α= ． 16.在ABC ∆中，2,cos AB C ==，D 是AC 上一点，2AD DC =，且cos DBC ∠=，则AD CB ⋅= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 是等差数列，且249,17a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}3n n a +的前n 项和n S . 18.已知函数()2sin 2sin 22cos 166f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论函数()f x 在区间,122ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性. 19.某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为40︒，距离为15海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为100︒的方向，以15海里/小时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以/小时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向.20.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=- ，且m n ⊥ .（1）求角C 的大小；（2）若c =，求2a b +的取值范围.21.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足3122n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（2）若数列{}n b 满足()()()*3321log 21log 21n n n b n N S S +=∈++，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）对（2）中的n T ，若对任意的x R ∈，恒有2423n T x ax <-+成立，求实数a 的取值范围. 22.已知数列{}n a 中，15a =，且1221n n n a a -=+-（2n ≥且*n N ∈）.（1）求23,a a 的值；（2）求通项公式n a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试比较n S 与()52n n ⋅+的大小关系.试卷答案一、选择题1-5: BACBD 6-10: DDCDB 11、12：CC 二、填空题112815.1216.4-三、解答题17.解：（1）设数列{}n a的公差为d，则4228d a a=-=∴4d=∴()()2294241na a n d n n=+-=+-=+（2）()()212333nn nS a a a=+++++++()()541313213nn n++=+--12332322nn n+=++-18.解：（1）()2sin2cos cos26f x x xπ=+2cos2x x=+2sin26xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭∴()f x的最小正周期Tπ=()f x的最大值为2.∵,122xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴720,66xππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由0262xππ≤+≤得126xππ-≤≤72266xπππ≤+≤得62xππ≤≤∴()f x在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.19.解：如图所示，设所需时间为t小时，则,15,120AB CB t ACB==∠=︒.在ABC∆中，根据余弦定理，则有2222AB AC BC AC BC cos ACB=+-⨯⨯∠，可得()()222151521515cos120t t=+-⨯⨯︒，整理得2210t t--=，解得1t =或12t =- (舍去). 即舰艇需1小时靠近渔船，此时15AB BC ==,在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BC AB CAB ACB=∠∠，所以10sin 1sin 2BC ACB CAB AB ∠∠==， 又因为CAB ∠为锐角，所以30CAB ∠=︒，所以舰艇航行的方位角为70︒.20.解：（1）∵m n ⊥ ∴0m n ⋅=∴()22sin sin sin sin sin 0B C A B A -++= ∴222c a b ab =++ ∴1cos 2C =-又()0,C π∈ ∴23C π= （2）∵23C π=，c = ∴ABC ∆外接圆直径22R = ∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin sin A A A =-3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b +的取值范围是. 21.解：（1）当1n =时113122s a =-得11a = 当2n ≥时113122n n S a --=- ∴13322n n n a a a -=-得 13n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列∴13n n a -=3122n n S =- （2）()1111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭ ∴11111111111232435112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()31142122n n =--++ （3）∵()()3113421224n T n n =--<++ ∴413n T < ∴2423n T x ax <-+等价为212x ax ≤-+ 即210x ax -+≥对任意x R ∈成立 ∴240a -≤ ∴22a -≤≤22.解：（1）213a = 333a =（2）1111222nnn n n a a --⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴()11112222n n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭∴3112122132122222222n n n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2351111112222n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()23511112222n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 112n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∴()121n n a n =++（3）令()12223212n n T n =⨯+⨯+++则()21222212n n n T n n +=⨯++⋅++∴()12312222212n n n T n +-=⨯++++-+⋅()()21124121212n n n -+=+--+⋅- ()21142212n n n ++=-+-+⋅ 12n n +=-⋅∴12n n T n +=⋅12n n S n n +=⋅+()()52225n n n S n n -⋅+=-当2n ≤时250n -<，当3n ≥时250n -> ∴当2n ≤时52n n S n <⋅+ 当3n ≥时52n n S n >⋅+.。