最新人教版高一数学必修1第一章《函数的基本性质-函数奇偶性的应用》课后训练

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高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝-＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f（x2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2 R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

人教版数学高一-必修一训练1.函数奇偶性的应用(教师版)

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则() A．f(－1)<f(－3)B．f(0)>f(－1)C．f(－1)<f(1) D．f(－3)>f(－5)解析：函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．在选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)，选项A正确．在选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)，选项B错．同理选项C、D也错．故选A.答案： A2．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)·(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N＋时，有()A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1) B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1) D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)解析：由(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＞0得f(x)在x∈(－∞，0]为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈[0，＋∞)为减函数．又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)．答案： C3.设函数f(x)＝ax3＋bx＋c的图象如图所示，则f(a)＋f(－a)()A．大于0 B．等于0C．小于0 D．以上结论都不对解析：由图象知f(x)是奇函数f(－a)＝－f(a)∴f(a)＋f(－a)＝0，故选B.答案： B4．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使f(x)＜0的x的取值范围是()A．－2＜x＜2 B．x＜－2C．x＜－2或x＞2 D．x＞2解析：∵f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0f(|x|)＜0＝f(2)∴|x|＞2，∴x＞2或x＜－2，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．解析：由偶函数的定义知k＝3，f(x)＝x2＋3，其图象开口向上，∴f(x)的递减区间是(－∞，0]．答案：(－∞，0]6. 已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为________．解析：方法一：令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，则F(x)为奇函数．∵x ∈(0，＋∞)时，h (x )≤5， ∴x ∈(0，＋∞)时，F (x )＝h (x )－2≤3. 又x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴F (－x )≤3⇔－F (x )≤3⇔F (x )≥－3. ∴h (x )≥－3＋2＝－1，方法二：由题意知af (x )＋bg (x )在(0，＋∞)上有最大值3，根据奇函数图象关于原点的对称性，知af (x )＋bg (x )在(－∞，0)上有最小值－3，∴af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－1. 答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.求实数a ，b 的值；解析：由已知f (x )是奇函数，∴对定义域内任意x ，都有f (－x )＝－f (x )，即a (－x )2＋23(－x )＋b ＝－ax 2＋23x ＋b， ∴(ax 2＋2)(3x ＋b )＝(－3x ＋b )(－ax 2－2)， ∴3ax 3＋abx 2＋6x ＋2b ＝3ax 3－abx 2＋6x －2b ，由恒等式的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－ab 2b ＝－2b.∴b ＝0.∵f (2)＝53，∴a ×22＋23×2＝53，∴a ＝2.即a ＝2，b ＝0，此时f (x )＝2x 2＋23x.8．已知y ＝f (x )是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0，试问F (x )＝1f (x )在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．解析： F (x )在(－∞，0)上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，则有－x 1>－x 2>0. ∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )<0， ∴f (－x 2)<f (－x 1)<0① 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)② 由①②得f (x 2)>f (x 1)>0.于是F (x 1)－F (x 2)＝f (x 2)－f (x 1)f (x 1)·f (x 2)>0，即F (x 1)>F (x 2)，所以F (x )＝1f (x )在(－∞，0)上是减函数．尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解析： (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，12<x <52.解得12<x <52. 故函数g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，52. (2)由f (x )是奇函数可得f (－x )＝－f (x )．因为g (x )≤0，所以f (x －1)＋f (3－2x )≤0，即f (x －1)≤－f (3－2x )，所以f (x －1)≤f (2x －3)．又因为f (x )在定义域内单调递减，所以x －1≥2x －3，解得x ≤2.由(1)可知函数g (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫12，52，所以不等式g (x )≤0的解集为⎝⎛⎦⎤12，2.。

人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题(含答案解析)

人教版高中数学必修一《函数的奇偶性》精选习题（含答案解析）一、选择题1．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D.f(x)f(－x)＝－13．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④没有一个函数既是奇函数，又是偶函数．其中正确的命题个数是()A．1B．2C．3D．44．函数f(x)＝1x－x的图象关于()A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称5．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a等于()A．1B．0C．－1D．－26．若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则下列说法不正确．．．的是() A．y＝f(x)图象关于直线x＝1对称B．y＝f(x＋1)图象关于y轴对称C ．必有f (1＋x )＝f (－1－x )成立D ．必有f (1＋x )＝f (1－x )成立题号 1 2 3 4 5 6答案二、填空题7．偶函数y ＝f (x )的定义域为[t －4，t ]，则t ＝________________________________.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．9．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且对于任意实数x 都有f (x ＋4)＝f (x )，又f (1)＝4，那么f [f (7)]＝________.三、解答题10．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3,3]；(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；(4)f (x )＝⎩⎨⎧ 1－x 2， x >0，0，x ＝0，x 2－1，x <0.11．已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x (x >0)0(x ＝0)x 2＋mx (x <0).(1)求实数m 的值，并在给出的直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围．能力提升12．y ＝f (x )在(0,2)上是增函数，y ＝f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是____________________________．13．已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性．参考答案与解析1．B[F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．] 2．D[∵f(－x)＝－f(x)，A、B显然正确，因为f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C正确．当x＝0时，由题意知f(0)＝0，故D错误．]3．A[函数y＝1x2是偶函数，但不与y轴相交，故①错；函数y＝1x是奇函数，但不过原点，故②错；函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④错．]4．C[∵x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，且对定义域内每一个x，都有f(－x)＝－1x＋x＝－f(x)，∴该函数f(x)＝1x－x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．]5．C[∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，即(－1＋1)(－1＋a)＝2(1＋a)，∴a＝－1.]6．C[由题意，y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)的图象关于y轴对称，故B 正确；y＝f(x＋1)的图象向右平移一个单位即得函数y＝f(x)的图象，故A正确；可令g(x)＝f(x＋1)，由题意g(－x)＝g(x)，即f(－x＋1)＝f(x＋1)，故D正确，所以选C.]7．2解析偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，得t＝2.8．(－2,0)∪(2,5]解析由题意知，函数f(x)在[－5,0]的图象与在[0,5]上的图象关于原点对称．画出f(x)在[－5,0]上的图象，观察可得答案．9．0解析∵f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－4，∴f [f (7)]＝f (－4)＝－f (4)＝－f (0＋4)＝－f (0)＝0.10．解 (1)f (－x )＝3＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)∵x ∈[－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0，∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，∴f (－x )＝－f (x )；当x <0时f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，∴f (－x )＝－f (x )；当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.综上，对x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．11．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝x 2＋2x ，∴m ＝2.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x x >00x ＝0x 2＋2x x <0，由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎨⎧a －2>－1a －2≤1，解得1<a ≤3.12．f (72)<f (1)<f (52)解析因y ＝f (x ＋2)是偶函数，f (x ＋2)的图象向右平移2个单位即得f (x )的图象．所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又因f (x )在(0,2)上是增函数，所以f (x )在(2,4)上是减函数，且f (1)＝f (3)，由于72>3>52，∴f (72)<f (3)<f (52)，即f (72)<f (1)<f (52)．13．解 (1)令a ＝b ＝0，f (0)＝0＋0＝0；令a ＝b ＝1，f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )是奇函数．因为f (－x )＝f ((－1)·x )＝－f (x )＋xf (－1)，而0＝f (1)＝f ((－1)×(－1))＝－f (－1)－f (－1)，∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋0＝－f (x )，即f (x )为奇函数．。

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析

高一数学函数奇偶性练习题及答案解析数学函数奇偶性练习题及答案解析1.下列命题中，真命题是A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数B.函数y=x3x-10是奇函数，且在定义域内为增函数C.函数y=x2是偶函数，且在-3,0上为减函数D.函数y=ax2+cac≠0是偶函数，且在0,2上为增函数解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+cac≠0在0,2上为减函数，故选C.2.奇函数fx在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f-6+f-3的值为A.10B.-10C.-15D.15解析：选C.fx在[3,6]上为增函数，fxmax=f6=8，fxmin=f3=-1.∴2f-6+f-3=-2f6-f3=-2×8+1=-15.3.fx=x3+1x的图象关于A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称解析：选A.x≠0，f-x=-x3+1-x=-fx，fx为奇函数，关于原点对称.4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数fx为奇函数，那么a=________.解析：∵fx是[3-a,5]上的奇函数，∴区间[3-a,5]关于原点对称，∴3-a=-5，a=8.答案：81.函数fx=x的奇偶性为A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称.2.下列函数为偶函数的是A.fx=|x|+xB.fx=x2+1xC.fx=x2+xD.fx=|x|x2解析：选D.只有D符合偶函数定义.3.设fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是A.fxf-x是奇函数B.fx|f-x|是奇函数C.fx-f-x是偶函数D.fx+f-x是偶函数解析：选D.设Fx=fxf-x则F-x=Fx为偶函数.设Gx=fx|f-x|，则G-x=f-x|fx|.∴Gx与G-x关系不定.设Mx=fx-f-x，∴M-x=f-x-fx=-Mx为奇函数.设Nx=fx+f-x，则N-x=f-x+fx.Nx为偶函数.4.已知函数fx=ax2+bx+ca≠0是偶函数，那么gx=ax3+bx2+cxA.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.是非奇非偶函数解析：选A.gx=xax2+bx+c=xfx，g-x=-x•f-x=-x•fx=-gx，所以gx=ax3+bx2+cx是奇函数;因为gx-g-x=2ax3+2cx不恒等于0，所以g-x=gx不恒成立.故gx不是偶函数.5.奇函数y=fxx∈R的图象必过点A.a，f-aB.-a，faC.-a，-faD.a，f1a解析：选C.∵fx是奇函数，∴f-a=-fa，即自变量取-a时，函数值为-fa，故图象必过点-a，-fa.6.fx为偶函数，且当x≥0时，fx≥2，则当x≤0时A.fx≤2B.fx≥2C.fx≤-2D.fx∈R解析：选B.可画fx的大致图象易知当x≤0时，有fx≥2.故选B.7.若函数fx=x+1x-a为偶函数，则a=________.解析：fx=x2+1-ax-a为偶函数，∴1-a=0，a=1.答案：18.下列四个结论：①偶函数的图象一定与纵轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③fx=0x∈R既是奇函数，又是偶函数;④偶函数的图象关于y轴对称.其中正确的命题是________.解析：偶函数的图象关于y轴对称，不一定与y轴相交，①错，④对;奇函数当x=0无意义时，其图象不过原点，②错，③对.答案：③④9.①fx=x2x2+2;②fx=x|x|;③fx=3x+x;④fx=1-x2x.以上函数中的奇函数是________.解析：1∵x∈R，∴-x∈R，又∵f-x=-x2[-x2+2]=x2x2+2=fx，∴fx为偶函数.2∵x∈R，∴-x∈R，又∵f-x=-x|-x|=-x|x|=-fx，∴fx为奇函数.3∵定义域为[0，+∞，不关于原点对称，∴fx为非奇非偶函数.4fx的定义域为[-1,0∪0,1]即有-1≤x≤1且x≠0，则-1≤-x≤1且-x≠0，又∵f-x=1--x2-x=-1-x2x=-fx.∴fx为奇函数.答案：②④10.判断下列函数的奇偶性：1fx=x-1 1+x1-x;2fx=x2+x x<0-x2+x x>0.解：1由1+x1-x≥0，得定义域为[-1,1，关于原点不对称，∴fx为非奇非偶函数. 2当x<0时，-x>0，则f-x=--x2-x=--x2+x=-fx，当x>0时，-x<0，则f-x=-x2-x=--x2+x=-fx，综上所述，对任意的x∈-∞，0∪0，+∞，都有f-x=-fx，∴fx为奇函数.11.判断函数fx=1-x2|x+2|-2的奇偶性.解：由1-x2≥0得-1≤x≤1.由|x+2|-2≠0得x≠0且x≠-4.∴定义域为[-1,0∪0,1]，关于原点对称.∵x∈[-1,0∪0,1]时，x+2>0，∴fx=1-x2|x+2|-2=1-x2x，∴f-x=1--x2-x=-1-x2x=-fx，∴fx=1-x2|x+2|-2是奇函数.12.若函数fx的定义域是R，且对任意x，y∈R，都有fx+y=fx+fy成立.试判断fx的奇偶性.解：在fx+y=fx+fy中，令x=y=0，得f0+0=f0+f0，∴f0=0.再令y=-x，则fx-x=fx+f-x，即fx+f-x=0，∴f-x=-fx，故fx为奇函数.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高一数学必修一函数奇偶性综合练习(含答案)

函数奇偶性综合练习一、选择题1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx （）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（）A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2）D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3二、填空题7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）． 8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，试证f（x）是偶函数．13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），求证f（x）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数， ∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数， f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0， ∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数．13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1，∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x 1，x 2∈R 且不为0的任意性，令x 1＝x 2＝1代入可证，f （1）＝2f （1），∴f （1）＝0．又令x 1＝x 2＝－1，∴f ［－1×（－1）］＝2f （1）＝0，∴（－1）＝0．又令x 1＝－1，x 2＝x ，∴f （－x ）＝f （－1）＋f （x ）＝0＋f （x ）＝f （x ），即f （x ）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x 1＝x 2＝1，x 1＝x 2＝－1或x 1＝x 2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。

当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4.因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。

需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。

接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。

首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。

将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。

因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。

对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。

对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f （x）既不是奇函数，也不是偶函数。

判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。

然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f （-x）=-f（x）之一是否成立。

如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。

最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。

由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_ 奇偶性_提高

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案函数的奇偶性编稿：审稿：【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ，又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--，而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）．举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-．【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

函数的单一性和奇偶性例 1（1）画出函数y＝ -x2+2｜ x｜+3 的图像，并指出函数的单一区间．解：函数图像以以下图所示，当 x≥0时，y＝ -x2+2x+3 ＝ -（ x-1）2+4；当 x＜ 0 时，y＝ -x2-2x+3 ＝ -（ x+1）2+4 ．在（ -∞，-1］和［ 0， 1］上，函数是增函数：在［-1， 0］和［ 1， +∞）上，函数是减函数．评析函数单一性是对某个区间而言的，对于单唯一个点没有增减变化，所以对于区间端点只需函数存心义，都能够带上．（ 2）已知函数 f（ x）＝ x2+2 （ a-1）x+2在区间（ -∞， 4］上是减函数，务实数 a 的取值范围．剖析要充足运用函数的单一性是以对称轴为界限这一特点．解： f（ x）＝ x2+2（ a-1）x+2 ＝［ x+ （ a-1）］２x＝ 1-a．因为-（ a-1）2+2，此二次函数的对称轴是在区间（ -∞， 1-a］上 f（ x）是单一递减的，若使f（ x）在（ -∞，4］上单一递减，对称轴x＝1-a 一定在 x=4 的右边或与其重合，即 1-a≥4， a≤-3．评析这是波及逆向思想的问题，即已知函数的单一性，求字母参数范围，要注意利用数形联合．例 2判断以下函数的奇偶性：（ 1） f （ x）＝-（ 2） f （ x）＝（ x-1）．解：（ 1）f （ x）的定义域为R．因为f （ -x）＝｜ -x+1 ｜ -｜ -x-1 ｜＝｜ x-1｜ -｜ x+1 ｜＝ -f （x）．所以 f（ x）为奇函数．（2） f （ x）的定义域为｛ x｜ -1≤x＜ 1｝，不对于原点对称．所以f（ x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法以下：（1）求函数的定义域，并考察定义域能否对于原点对称．（ 2）计算 f（ -x），并与f（ x）比较，判断 f （ -x）＝ f（ x）或 f（-x）＝ -f（ x）之一能否建立．f （ -x）与 -f （ x）的关系其实不明确时，可考察f（ -x）±f（x）＝ 0 能否建立，从而判断函数的奇偶性．例 3已知函数f（ x）＝．（1）判断 f（ x）的奇偶性．（2）确立 f（ x）在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?在区间（ 0，+∞）上呢 ?证明你的结论．解：因为 f （ x）的定义域为R，又f （ -x）＝＝＝ f （ x），所以 f（ x）为偶函数．（ 2）f（ x）在（ -∞，0）上是增函数，因为f（ x）为偶函数，所以f（x）在（ 0，+∞）上为减函数．其证明：取 x1＜ x2＜ 0，f （ x1） -f （ x2）＝-＝＝．因为 x1＜ x2＜ 0，所以x2-x1＞ 0， x1+x 2＜ 0，x21 +1＞ 0， x22+1＞ 0，得 f （ x1） -f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（x2）．所以 f（ x）在（ -∞， 0）上为增函数．评析奇函数在（ a,b）上的单一性与在（ -b,-a）上的单一性同样，偶函数在（ a,b）与（ -b,-a）的单一性相反．例 4 已知 y=f （ x）是奇函数，它在（ 0， +∞）上是增函数，且 f（ x）＜ 0，试问 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?证明你的结论．剖析依据函数的增减性的定义，能够任取x1＜ x2＜ 0，从而判断F（ x1）-F（ x2）＝-＝的正负．为此，需分别判断f（ x1）、 f （ x2）与 f （ x2）的正负，而这能够从已条件中推出．解：任取 x1、x2∈（ -∞，0）且 x1＜ x2，则有 -x1＞ -x2＞ 0．∵ y＝f （x）在（ 0，+∞）上是增函数，且 f （ x）＜ 0，∴ f （ -x2）＜ f（ -x1）＜ 0．①又∵ f（ x）是奇函数，∴ f （ -x2）＝ -f（ x2）， f（ -x1）＝ -f （ x1）②由①、②得f（ x2）＞ f（x1）＞ 0．于是F（x1） -F（ x2）＝＞ 0，即F（x1）＞ F（ x2），所以 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是减函数．评析本题最简单发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0， +∞）内任取 x1＜ x2，睁开证明．这样就不可以保证-x1，-x2，在（ -∞， 0）内的随意性而致使错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地睁开证明活动．-1， 1）内的单一性．例 5 议论函数 f（ x）＝（ a≠0）在区间（剖析依据函数的单一性定义求解．解：设 -1＜ x1＜ x2＜１，则f （ x1） -f （ x2）＝-＝∵ x1， x2∈（ -1，1），且 x1＜ x２，∴x1-x2＜ 0， 1+x1x2＞ 0，（ 1-x 21）（ 1-x 22）＞ 0于是，当a＞ 0 时， f （x1）＜ f（ x2）；当 a＜ 0 时， f （x1）＞ f（ x2）．故当 a＞0 时，函数在（-1， 1）上是增函数；当a＜0 时，函数在（-1， 1）上为减函数．评析依据定义议论（或证明）函数的单一性的一般步骤是：（ 1）设 x1、x2是给定区间内随意两个值，且x1＜ x2；（2）作差 f（ x1） -f （ x2），并将此差式变形；（3）判断 f（ x1） -f （ x2）的正负，从而确立函数的单一性．例 6 求证： f（ x）＝ x+（k＞0）在区间（0，k］上单一递减．解：设 0＜x1＜x2≤k，则f （ x1） -f （ x2）＝ x1+-x2-＝∵ 0＜ x1＜ x2≤k，∴x1-x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ k2，∴f （ x1） -f （ x2）＞ 0∴f （ x1）＞ f （ x2），∴f （ x）＝ x+中（0，k］上是减函数．评析函数 f （ x）在给定区间上的单一性反应了函数 f （x）在区间上函数值的变化趋向，是函数在区间上的整体性质．所以，若要证明f（ x）在［ a,b］上是增函数（减函数），就一定证明对于区间［ a,b］上随意两点x1， x2，当 x1＜ x2时，都有不等式f（ x1）＜ f（ x2）（ f （x1）＞ f （ x2））近似能够证明：函数 f（ x）＝ x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例 7剖析判断函数f（ x）＝的奇偶性．确立函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2 ｜＝ 2-x．∴ f （ x）＝，∴ f （ -x）＝＝＝f（x）．且注意到 f （x）不恒为零，从而可知， f （x）＝是偶函数，不是奇函数．评析因为函数分析式中的绝对值使得所给函数不像拥有奇偶性，若不作深入思虑，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭露以后，函数的奇偶性就特别显然了．这样看来，解题中先确立函数的定义域不单能够防止错误，并且有时还能够避开议论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠ 0）是偶函数，那么g（ x）＝ ax3＋ bx2＋ cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．1a， b＝0． a＝－， b＝0． a＝，b＝0．a＝， b＝0C D33．已知f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时，f（x）＝x2－ 2x，则f（x）在 R 上的表达式是（）A．y＝ x（ x－ 2）B．y ＝ x（｜ x｜－ 1） C．y ＝｜ x｜（ x－2）D．y＝ x（｜ x｜－ 2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－ 8，且f（－ 2）＝ 10，那么f（ 2）等于（）A．－ 26B．－ 18C．－ 10D．105．函数1x 2x1）f ( x)x 2是（1x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x) ，g（x）都是奇函数， f ( x)a bg ( x) 2 在（0，＋∞）上有最大值5，则 f （ x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－ 5C．最小值－ 1D．最大值－ 3二、填空题x22 7．函数f ( x)1的奇偶性为 ________（填奇函数或偶函数）．x 28．若y ＝（－1）x2＋2＋ 3 是偶函数，则＝ _________．m mx m9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若1，则 f （ x）的分析式为_______．f (x) g (x)x110．已知函数f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）＝0的全部实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－ 2，2］上的偶函数f （）在区间［ 0， 2］上单一递减，若f（1－）＜f（），务实x m m数 m的取值范围．12．已知函数 f （ x）知足 f （x＋ y）＋ f （ x－ y）＝2f （ x）· f （ y）（x R，y R），且f（0）≠0，试证 f （ x）是偶函数．13. 已知函数f （）是奇函数，且当x＞0 时，f（）＝x3＋2 2—1，求f（）在 R上的表达式．x x x x14. f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x）在［5，＋∞）上单一递减，试判断 f （x ）在（－∞，－ 5］上的单一性，并用定义赐予证明．15. 设函数 y ＝ f （ x ）（ x R 且 x ≠0）对随意非零实数x 1、 x 2 知足 f （ x 1· x 2）＝ f （ x 1）＋ f （ x 2），求证 f （ x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参照答案1．分析： f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c 为偶函数， ( x) x 为奇函数，∴ g （ x ）＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＝ f （ x ）· ( x) 知足奇函数的条件．答案： A2．分析：由f（）＝2＋ bx＋ 3 ＋ b 为偶函数，得 b ＝ 0．xax a1 ．应选 A ．又定义域为［ a －1， 2a ］，∴ a － 1＝2a ，∴ a33．分析：由 x ≥ 0 时， f （ x ）＝ x 2－ 2x ， f （ x ）为奇函数，∴当 x ＜ 0 时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x 2＋2x ）＝－ x 2－ 2x ＝ x （－ x －2）．x(x 2) ( x 0) ,∴ f ( x)2) ( x 0) 即 f （x ）＝ x （| x | － 2）x( x,答案： D4．分析： f （x ）＋ 8＝x 5＋ ax 3＋ bx 为奇函数，f （－ 2）＋ 8＝ 18，∴ f （2）＋ 8＝－ 18，∴ f （ 2）＝－ 26．答案： A5．分析：本题直接证明较烦，可用等价形式f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0．答案： B6．分析：( x) 、 g （x ）为奇函数，∴ f (x)2 a ( x) bg (x) 为奇函数．又 f （x ）在（ 0，＋∞）上有最大值5，∴ f （ x ）－ 2 有最大值3．∴ f （ x ）－ 2 在（－∞， 0）上有最小值－ 3， ∴ f （ x ）在（－∞， 0）上有最小值－ 1．答案：C7．答案：奇函数8．答案： 0 分析：因为函数 y ＝（ m － 1） x 2＋ 2mx ＋ 3 为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （x ），即（ m － 1）（－ x ） 2＋ 2m （－ x ）＋ 3＝（ m — 1） x 2＋ 2mx ＋ 3，整理，得 m＝ 0．9．分析：由 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，可得f (x)g( x) 1 ，联立 f ( x) g ( x)1x 1x，∴1 (1111f ( x)x 11 ) ．2 x x 2 1答案： f (x)1 10．答案： 011 ．答案： m1x21212．证明：令 x ＝＝ 0，有 f （ 0）＋f （0）＝ 2 （ 0）· （0），又 f （ 0）≠ 0，∴可证 f （ 0）＝ 1．令xyf f＝ 0，∴ f （ y ）＋ f （－ y ）＝ 2f （0）· f （ y ） f （－ y ）＝ f （ y ），故 f （ x ）为偶函数．13．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ 0．当 x ＜0 时，－ x ＞ 0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－1＝－ x 3＋ 2x 2－ 1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．x 3 2 x 21 ( x 0) , 所以， f (x)( x 0) ,x 32x 21( x0) .评论：本题主要考察学生对奇函数观点的理解及应用能力．14．分析：任取 x 1＜ x 2≤－ 5，则－ x 1＞－ x 2≥－ 5．因 f （x ）在［ 5，＋∞］上单一递减，所以f （－ x 1）＜ f （－ x 2） f （ x 1）＜－ f （ x 2） f （ x 1）＞f （ x 2），即单一减函数．评论：本题要注意灵巧运用函数奇偶性和单一性，并实时转变．15．分析：由 x 1， x 2 R 且不为 0 的随意性，令 x 1＝ x 2＝ 1 代入可证，f （ 1）＝ 2f （ 1），∴ f （ 1）＝0．又令 x 1＝x 2＝－ 1，∴ f ［－ 1×（－ 1）］＝ 2f （1）＝ 0，∴（－ 1）＝ 0．又令 x 1＝－ 1， x 2＝ x ，∴ f （－ x ）＝ f （－ 1）＋ f （ x ）＝ 0＋ f （ x ）＝ f （ x ），即 f （ x ）为偶函数．评论：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特别值，如，x 1＝ x 2＝ 1， x 1＝x 2＝－ 1 或 x 1＝x2＝0等，而后再联合详细题目要求结构出合适结论特点的式子即可．。

新教材人教A版高中数学必修一奇偶性(一)(含解析)

3.2.2奇偶性（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.已知函数y=f(x)是奇函数，其图象与x轴有5个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A. 4B. 5C. 1D. 02.函数f(x)=x2+√x的奇偶性为()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数3.下列函数是偶函数的是()A. y=xB. y=3x2D. y=|x|(x∈[0,1])C. y=1x4.已知y=f(x)，x∈(−a,a)，F(x)=f(x)+f(−x)，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数5.函数f(x)=(x−1)⋅√1+x(x∈(−1,1))()1−xA. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=()A. −3B. −1C. 1D. 37.下列说法正确的是()A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 奇函数y=f(x)的图象一定过原点D. 图象过原点的奇函数必是单调函数8.已知f(x)=x5−2ax3+3bx+2，且f(−2)=−3，则f(2)的值为()A. 3B. 5C. 7D. −19.下列函数中奇函数的个数为()①f(x)=x3;②f(x)=x5;③f(x)=x+1x ;④f(x)=1x2．A. 1B. 2C. 3D. 410.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，则下列各点中一定在函数f(x)的图像上的是()A. (3,−2)B. (3,2)C. (−3,−2)D. (2,−3)11.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(3−2a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A.(−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)二．多选题13.下列函数中是偶函数的是()A. y=x4−3B. y=x2，x∈(−3,3]C. y=−3x D. y=1x2−114.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，；②∀x1,x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有；则下列选项成立的是()A.f(3)>f(−4)B. 若，则C. 若f(x)x>0，则D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≤M三．填空题15.你认为下列说法中正确的是________．①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数；②图象关于y轴对称的函数一定是偶函数；③奇函数图象一定经过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤偶函数图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数．16.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(−π)，f(3)，f(−4)按从小到大的顺序排列是________．17.若函数f(x)=x2+|x−a|为偶函数，则实数a=________．18.若函数f(x)=x为奇函数，则a=_________．(2x+1)(x−a)19.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为____.20.已知f(x)=ax3+bx9+2在区间(0,+∞)上有最大值5，那么f(x)在(−∞,0)上的最小值为____.21.设函数若f(x)是奇函数，则g(2)的值是.四．解答题22.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)=x−1．x(2)f(x)=|x|+1．(3)f(x)=2x−1．23.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+3．(1)求f[f(−1)]的值;(2)求函数f(x)的解析式．24.已知函数f(x)对一切x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(−3)=a，试用a表示f(12)．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，属于基础题．由奇函数的性质得出方程的所有根关于原点对称．【解答】解：因为奇函数定义域关于原点对称，故原点左右各有两个交点，另一个交点必在坐标原点，故所有根之和为0．选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判定，属于基础题．先看定义域是否关于原点对称，若对称，再看f(−x)与f(x)的关系;若不对称，则为非奇非偶函数．【解答】解：由函数f(x)=x2+√x可知：定义域为[0,+∞),显然定义域不关于原点对称，所以函数f(x)=x2+√x为非奇非偶函数．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：对于A，y=x是奇函数，不符合题意；对于B，定义域关于原点对称，且满足f(−x)=f(x)，是偶函数，符合题意；对于C，y=1x是奇函数，不符合题意；对于D，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，不符合题意．故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考察了函数奇偶性的判定，属于基础题．由F(−x)=F(x)结合已知条件即可得出结论．【解答】解：∵F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)且x∈(−a,a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属基础题．先将原函数化简，再根据奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：f(x)=(x−1)⋅√1+x1−x =−√1+x1−x·(1−x)2=−√(1+x)(1−x)=−√1−x2(x∈(−1,1))f(−x)=−√1−(−x)2=−√1−x2=f(x)，所以函数f(x)为偶函数．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：用“−x”代替“x”，得f(−x)−g(−x)=(−x)3+(−x)2+1，化简得f(x)+g(x)=−x3+x2+1，令x=1，得f(1)+g(1)=1，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题重点考查了奇偶函数的图象的性质，考查分析理解能力，属于基础题．根据奇函数、偶函数的图象性质解决此题，即偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，而当奇函数在x=0时有定义时，有f(0)=0.据此逐个判断选项．【解答】解：对于选项A，举例函数y=1|x|是偶函数，但不与y轴相交，故A错误；对于选项B，若奇函数f(x)在x=0时有定义，则f(−0)=−f(0)，所以f(0)=0，故B 正确；是奇函数，但不过原点，故C错误；对于选项C，函数y=1x对于选项D，函数y=sinx是奇函数，但不是单调函数，故D错误．故选B．8.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数f(x)−2，结合函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键，考查分析与计算能力，属于基础题．根据条件得到f(x)−2是奇函数，结合奇函数的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=x5−2ax3+3bx+2，∴f(x)−2=x5−2ax3+3bx为奇函数，则f(−2)−2=−[f(2)−2]，得−3−2=−f(2)+2，得f(2)=2+5=7，故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，由奇函数的定义即可得出结论．【解答】解：由奇函数的定义可知①②③是奇函数．由偶函数的定义可知④为偶函数，所以奇函数的个数为3，故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，可得f(3)=−f(−3)=−2，即可求解．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以f(3)=−f(−3)=−2，所以点(3,−2)一定在函数f(x)的图像上．故选A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称．【解答】解：奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称，由已知图形可知，选项B中的图象关于y轴轴对称，函数为偶函数。

新课标高中数学(必修1)第一章：函数的基本性质(基础训练)答案

科目：数学适用年级: 高一第一章函数的基本性质（基础训练）测试题——答案一、选择题1. B 奇次项系数为0,20,2m m -==2. D 3(2)(2),212f f =--<-<- 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性4. A ()()()()F x f x f x F x -=--=-5． A 3y x =-在R 上递减，1y x=在(0,)+∞上递减， 24y x =-+在(0,)+∞上递减，6. A ()(11)(11)()f x x x x x x x f x -=----+=+--=-为奇函数，而222,12,01(),2,102,1x x x x f x x x x x -≥⎧⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪<-⎩为减函数。

二、填空题1． (](2,0)2,5-奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.[2,)-+∞1,x y ≥-是x 的增函数，当1x =-时，min 2y =-3．该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4． [)0,+∞210,1,()3k k f x x -===-+ 5．1 （1）21x x ≥≤且，不存在；（2）函数是特殊的映射；（3）该图象是由离散的点组成的；（4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线。

三、解答题1．解：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数；当0k >，k y x=在(,0),(0,)-∞+∞是减函数，当0k <，k y x=在(,0),(0,)-∞+∞是增函数；当0a >，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a-+∞是增函数，当0a <，2y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a-+∞是减函数。

人教版高中数学必修一《函数的基本性质》练习题含答案

（数学1必修）第一章（下）函数的基本性质[基础训练A 组]一、选择题1．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是（）A . 1B . 2C . 3D . 42．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f3．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-4．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --= 在R 上一定是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数。

5．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（）A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1= D ．42+-=x y 6．函数)11()(+--=x x x x f 是（）A ．是奇函数又是减函数B ．是奇函数但不是减函数C ．是减函数但不是奇函数D ．不是奇函数也不是减函数二、填空题1．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时， )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是2．函数2y x =+________________。

3．已知[0,1]x ∈，则函数y =的值域是 .4．若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 . 5．下列四个命题（1）()f x =有意义; （2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数2()y x x N =∈的图象是一直线；（4）函数22,0,0x x y x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩的图象是抛物线，其中正确的命题个数是____________。

【优质文档】人教版必修一第一章函数及性质部分检测题(附答案解析)

（法二）奇函数在对称区间上的单调性相同 ,∴ f x 在 6, 2 上也是增函数 ,排除 C , D .
f x 在区间 2,6 上最小值为 4,当 x 6, 2 时 , x 2,6 ,由 f x 在区间 2,6 上最小值为 4，可得 f x f x 4 ,∴ f x 4 . 综上可知 f x 在 6, 2 上是最大值为 4 的增函数 ,故选
为奇函数 ,偶函数与偶函数的乘积为奇函数 .可知
① f x 是奇函数 ,则 f x 是偶函数 ; g x 是偶函数 ,则 g x 是偶函数 ;
② f x g x 是奇函数 ,排除 A. f x g x 是偶函数 ,排除 B. f x g x 是偶函数 ,排除 D. 故选 C. A.
9. 下列各组函数是同一函数的是
2.若函数 y f x 的定义域为 0,2 ,则函数 g x
f 2x 的定义域为
x1
A. 0 , 1
B. 0,1
C. 0,1 1,4
D. 0,1
【答案】 B.
【解析】由 y f x 的定义域为 0,2 可得 f 2 x 的定义域为 0,1 ,即 x 0 x 1 ;又由 x 1 0 得 x 1 ,
∴g x
A. ①
B. ②③
C. ①②④
D. ①②③④
【答案】 B. 【解析】①中定义域为
x 0 x 1 ,不是 M
x 0 x 2 ;④中一个 x 可以对应两个 y 值 , 排除 . 故选 B.
4.已知函数 f x 为奇函数 ,当 x 0 时 , f x x 2
A. 2
B. 0
C. 1
【答案】 A.
【解析】根据奇函数性质有 f 1 f 1
8.已知 f x , g x 的定义域为 R ,且 f x 是奇函数 , g x 是偶函数 ,则下列结论中正确的是

学年新教材高中数学第章函数的概念与性质.函数的基本性质..奇偶性课后课时精练新人教A版必修第一册

3.2.2 奇偶性A 级：“四基”巩固训练一、选择题1.已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案 B解析 F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又x ∈(－a ，a )关于原点对称，得F (x )是偶函数.2.函数f (x )＝1x－x 的图象( ) A.关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称 C.关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称答案 C 解析 ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x－(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，f (x )的图象关于坐标原点对称. 3.若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( ) A.12 B.23 C.34D ．1 答案 A解析函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠－12，且x ≠a . 又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12. 4.已知f (x )为R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( ) A.1 B ．2 C ．－1 D ．－2答案 D解析因为函数f (x )为R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，所以f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.故选D.5.若函数y ＝f (x )为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f (x )的图象上的是( )A.(a ，－f (a )) B ．(－a ，－f (－a ))C.(－a ，f (a )) D ．(－a ，－f (a ))答案 D解析因为－f (a )＝f (－a )，所以点(－a ，－f (a ))一定在y ＝f (x )的图象上．故选D.二、填空题6.已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是________．答案－13<x <43解析由题可知f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则－53<2x －1<53，即－13<x <43. 7.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0 解析设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x ，又∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.8.已知奇函数f (x )在R 上单调递增，∀m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析因为奇函数f (x )在R 上单调递增，所以由f (mx －2)＋f (x )<0，得f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，即mx －2<－x ，所以(m ＋1)x <2.当m ＝－1时，不等式(m ＋1)x <2恒成立；当－1<m ≤2时，x <2m ＋1恒成立，则x <22＋1＝23；当－2≤m <－1时，x >2m ＋1恒成立，此时2－2＋1<x ，即－2<x .综上，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23.。

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3.4 函数的应用〔一〕A级：“四基〞稳固训练一、选择题1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，假设普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，那么y关于x的函数关系式是( )A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4000)B．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4000)D．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)答案 D解析y＝0.2x＋0.3(4000－x)＝－0.1x＋1200.2．某厂日产手套的总本钱y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套( )A．2000双 B．4000双C．6000双 D．8000双答案 D解析由题意得5x＋40000≤10x，解得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．3．为了改善某地的生态环境，政府决定绿化荒山，方案第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果每年植树亩数是时间(年数)的一次函数，那么这个函数的图象是图中的( )答案 A解析函数解析式为y＝0.5＋(x－1)＝x－0.5，实际问题取值范围是x≥1，应选A.4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L1＝－5x2＋900x－16000，L2＝300x－2000(其中x为销售辆数)，假设某月两连锁店共销售了110辆，那么能获得的最大利润为( )A．11000元 B．22000元C．33000元 D．40000元答案 C解析设甲连锁店销售了x辆，那么乙连锁店销售了(110－x)辆，∴利润L＝L1＋L2＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x ＝60时，最大利润为33000元．应选C.5．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如下图，那么厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m答案 A解析建立如下图的坐标系，由题设条件知抛物线对应的函数解析式为y ＝ax 2.设A 点的坐标为(4，－h )，那么C 点的坐标为(3，3－h )．将这两点的坐标分别代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ －h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－37，h ＝487≈6.9.所以厂门的高为6.9 m.二、填空题6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量x (kg)与运费y (元)之间的函数关系如下图，那么乘客免费可携带行李的最大重量为________．答案 19 kg解析设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点(30,330)，(40,630)代入得y ＝30x －570，令y ＝0可得x ＝19.7．某商品进货单价为45元，假设按50元一个销售，能卖出50个；假设销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最正确售价应为每个________元．答案 60解析设涨价x 元时，获得的利润为y 元，有y ＝(5＋x )·(50－2x )＝－2x 2＋40x ＋250.∴当x ＝10时，y 取得最大值，此时售价为60元．8．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如下图．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是________万元．答案 120解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)．三、解答题9. 某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (μg)与时间t (h)之间近似满足如下图的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4 μg 时治疗疾病有效，假假设某病人一天中第。

2020人教版A数学必修1第一章集合与函数概念：函数奇偶性的应用(习题课)

第二课时函数奇偶性的应用(习题课)基础巩固1.下列函数中是奇函数的为( D )(A)y=x-1 (B)y=x2(C)y=|x| (D)y=x解析:y=x-1为非奇非偶函数,y=x2与y=|x|为偶函数,y=x为奇函数.故选D.2.已知函数f(x)=g(x)+|x|,对任意的x∈R总有 f(-x)=-f(x),且g(-1)=1,则g(1)等于( B )(A)-1 (B)-3 (C)3 (D)1解析:由f(-x)=-f(x)可知f(x)是奇函数,因为 f(x)=g(x)+|x|,g(-1)=1,所以f(-1)=1+1=2,则f(1)=-2.故得f(1)=g(1)+1=-2,所以g(1)=-3,故选B.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )(A)y=(B)y=x2+1(C)y=(D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则 f(5)+f(-5)的值为( A )(A)4 (B)0(C)2m (D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.5.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中,成立的是( D )(A)f(-)<f(-1)<f(2)(B)f(-1)<f(-)<f(2)(C)f(2)<f(-1)<f(-)(D)f(2)<f(-)<f(-1)解析:偶函数f(x)满足f(2)=f(-2),函数在(-∞,-1]上是增函数,因为-2<-<-1,所以f(-2)<f(-)<f(-1),即f(2)<f(-)<f(-1).6.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是( A )(A)f(x)=-x(x+2) (B)f(x)=x(x-2)(C)f(x)=-x(x-2) (D)f(x)=x(x+2)解析:设x<0,则-x>0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2),故选A.7.偶函数y=f(x)满足下列条件:①x≥0时,f(x)=x;②对任意x∈[t,t+1],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是( B )(A)[-2,] (B)(-∞,-](C)[-,0] (D)[-,1]解析:根据条件得f(|x+t|)≥2f(|x|),所以|x+t|≥2|x|,所以(x+t)2≥4x2,整理,得3x2-2tx-t2≤0在[t,t+1]上恒成立,设g(x)=3x2-2tx-t2,g(t)=0,所以g(t+1)=3(t+1)2-2t(t+1)-t2≤0,解得t≤-.故选B.8.已知函数f(x)是R上的奇函数,当x>0时为减函数,且f(2)=0,则{x|f(x-2)>0}等于( D )(A){x|0<x<2或x>4} (B){x|x<0或x>4}(C){x|0<x<2或x>2} (D){x|x<0或2<x<4}解析:f(x)的大致图象如图,由图可知当x<-2或0<x<2时,f(x)>0, 则f(x-2)>0时,x-2<-2或0<x-2<2,解得x<0或2<x<4.故选D.9.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)按从小到大的顺序排列是.解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即(m-1)x2-6mx+ 2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,所以m=0,即f(x)=-x2+2.因为f(x)的图象开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).答案:f(-2)<f(1)<f(0)10.已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,则不等式>0的解集为.解析:由题意,不等式>0等价于>0,即等价于或因为偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2)=0,所以函数f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-2)=0.所以或所以0<x<2或x<-2.所以不等式>0的解集为(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)11.已知函数f(x)=,若f(a)=,则f(-a)= .解析:函数f(x)==1+,f(a)=,即f(a)=1+=,=-,所以f(-a)=1+=1-(-)=.答案:12.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当-1≤x≤0时,f(x)=x2+x,则f()= .解析:因为函数f(x)是周期为2的奇函数,所以f()=f(505×2+)=f()=-f(-)=-[+(-)]=.答案:13.已知函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=x2-x+2,求f(x),g(x)的解析式.解:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),又因为f(x)+g(x)=x2-x+2,①所以f(-x)+g(-x)=x2+x+2,即-f(x)+g(x)=x2+x+2,②由①,②得g(x)=x2+2,f(x)=-x.能力提升14.已知函数y=u(x),y=v(x)都是定义在R上的连续函数,若max{a,b}表示a,b中较大的数,则对于下列命题:(1)如果y=u(x),y=v(x)都是奇函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是奇函数;(2)如果y=u(x),y=v(x)都是偶函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是偶函数;(3)如果y=u(x),y=v(x)都是增函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是增函数;(4)如果y=u(x),y=v(x)都是减函数,则f(x)=max{u(x),v(x)}是减函数.其中真命题的个数是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设u(x)=x3,v(x)=x,则f(x)=max{u(x),v(x)}的图象不关于原点对称,所以(1)中的f(x)不是奇函数;偶函数图象关于y轴对称,f(x)=max{u(x),v(x)}仍关于y轴对称,所以(2)中的f(x)是偶函数;当u(x),v(x)都是增函数时,对于任意的x1<x2,都有 u(x1)<u(x2),v(x1)<v(x2).不妨设u(x1)<v(x1),则f(x1)= v(x1),①若f(x2)=v(x2),则f(x1)<f(x2),得出f(x)为增函数;②若f(x2)=u(x2),则u(x2)>v(x2)>v(x1)>u(x1),所以f(x1)<f(x2),同样得出f(x)为增函数;同理可得出u(x),v(x)都是减函数时,f(x)为减函数. 所以(2)(3)(4)为真命题.故选C.15.函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是( D )(A)(-a,-f(a)) (B)(-a,-f(-a))(C)(a,-f(a)) (D)(a,f(-a))解析:因为函数f(x)=|x3+1|+|x3-1|,x∈R,所以f(-a)=|(-a)3+1|+|(-a)3-1|=|-a3+1|+|-a3-1|=|a3-1|+|a3+1|=f(a),所以函数为偶函数,则(a,f(-a)),(-a,f(a))均在函数图象上.故选D.16.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0,f(x+2)=对任意x∈R 恒成立,则f(2 019)= .解析:因为f(x+2)=,所以f(x+2+2)===f(x),所以f(x+4)=f(x),即f(x)的周期为4.所以f(2 019)=f(4×504+3)=f(3)=f(1+2)=.因为x=-1时,f(-1+2)=,所以f(1)=,因为f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),所以[f(1)]2=1,因为f(x)>0,所以f(1)=1,f(2 019)=1.答案:117.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[-2,0]上单调递减,若f(1-m)<f(1+m),求实数m的取值范围.解:因为f(x)是[-2,2]上的偶函数,且在[-2,0]上单调递减,所以f(x)在[0,2]上单调递增,由f(1-m)<f(1+m)得解①得-1≤m≤3,解②得-3≤m≤1,解③得m>0,综上得0<m≤1,故m的取值范围为(0,1].18.设函数f(x)=(a>0).(1)判断函数的奇偶性;(2)探究函数f(x)在[,+∞)上的单调性,并用单调性的定义证明. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.(2)函数f(x)在[,+∞)上单调递增,证明:任取x 1,x2∈[,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-),因为x 1,x2∈[,+∞),且x1<x2,所以x1-x2<0,1->0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在[,+∞)上单调递增.探究创新19.设函数f(x)=x-,若对于∀x∈[1,],f(ax-1)>f(2)恒成立,则实数a的取值范围是.解析:f(x)是奇函数,且在区间(-∞,0),(0,+∞)上递增,易知f(-)=f(2),若f(ax-1)>f(2)在x∈[1,]上恒成立,则ax-1>2或-<ax-1<0,即a>或<a<在x∈[1,]上恒成立,故a>3或<a<,故实数a的取值范围是(,)∪(3,+∞).答案:(,)∪(3,+∞)。

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