3-6-高阶导数
多元函数高阶导数
多元函数高阶导数作为微积分中的重要概念，导数可以理解为某一函数在某一点处的切线斜率。
在单变量函数中，我们常常利用极限的方法求导。
但在多元函数中，情况就会变得更为复杂。
本文将介绍多元函数的高阶导数，为读者打开一扇理解多元函数导数若干复杂问题的新门径。
1. 多元函数定义多元函数是指将多个变量作为自变量的函数，可以表示为$ f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} $。
在一元函数中，自变量只有一个，如$f(x) = x^2$。
而在多元函数中，自变量可以是两个或多个，如$f(x,y) = x^2 + y^2$。
2. 偏导数多元函数中，存在若干个自变量，求导时需要指定对某一个自变量求导。
这就是偏导数的概念。
偏导数是指在其他自变量不变的情况下，对某一自变量求导得到的导数。
以二元函数为例，假设有$f(x,y) = x^2 + y^2$，求其在点$(1,1)$处对$x$的偏导数。
我们可以先将函数$ f(x,y) $带入偏导数的定义式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}$$由于我们要在$(1,1)$处求偏导数，因此将$x$代入$1$，得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1 + \Delta x,1) - f(1,1)}{\Delta x}$$化简后得到：$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^2 + 1^2 - (1^2 + 1^2)}{\Delta x} = 2$$同样的，我们可以求出在$(1,1)$处对$y$的偏导数：$$\frac{\partial f}{\partial y}|_{(1,1)} = \lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(1,1 + \Delta y) - f(1,1)}{\Delta y} = 2$$3. 高阶偏导数如果某一函数的偏导数存在，我们就可以考虑对它进行求导。
一、高阶导数及其运算法则(精)
2
2
y(n) (cos x)(n) cos(x n ). ——逐阶整理法
2
例4. f (x) (1 x) , ( R)
f (x) (1 x) 1，f (x) ( 1)(1 x) 2，
f (n) (x) ( 1)( 2)( (n 1))(1 x) n.
Def : y f (x)的导数y f (x（) 一阶导数）在x的导数，称为
f (x)在x的二阶导数，记为 y，或 f (x)，或 d 2 y ，即 dx 2
y f (x) lim f (x x) f (x) ( f (x)).
x0
•
高阶导数的运算法则
1. (u(x) v(x))(n) u(n) (x) v(n) (x).
2. Leibniz 公式：
(u(x) v(x))(n) u(0)v(n) Cn1uv(n1) Cnku(k )v(nk )
n
Cnn1u (n1)v u (n)v(0) Cnku (nk )v(k ) , k 0
因为x不是自变量， x
g (t
)，dx
g(t)dt是t的函数.
而当x是自变量时，有 d 2 x d (dx) d (1)dx 0,
此时 d 2 y f (x)dx2.
这两式一般不相等.
高阶微分不具有形式不 变性
注意:
(1) dxn (dx)n，dxn d (xn )， (dx)n 表示微分的幂，
x) .
二、高阶微分 Def: y f (x)的微分dy f (x)dx的微分称为f (x)的二阶微分，
记为d 2 y. 一般地，f (x)的n 1阶微分d n1 y的微分称为f (x)的 n阶微分，记为d n y. 二阶及二阶以上的微分 统称为高阶微分.
初等函数的高阶导数公式
初等函数的高阶导数公式高阶导数是指函数的导数被连续地多次求导的结果。
初等函数是指由有限次的基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）通过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合运算得到的函数。
为了求初等函数的高阶导数，我们首先需要知道一些常见的初等函数的导数公式。
下面是一些常见初等函数的导数公式：1. 幂函数：如果f(x) = x^n，则导数为f'(x) = nx^{n-1}。
其中，n为常数。
2. 指数函数：如果f(x) = a^x，则导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
其中，a为常数，ln(a)为以e为底的自然对数。
3. 对数函数：如果f(x) = log_a(x)，其中a为常数且a>0，则导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
4. 三角函数：常见的三角函数有正弦函数(sin x)、余弦函数(cos x)、正切函数(tan x)等。
它们的导数分别为：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)为secant函数（sec(x) =1/cos(x)）。
5. 反三角函数：常见的反三角函数有正弦函数的反函数(asin x)、余弦函数的反函数(acos x)、正切函数的反函数(atan x)等。
它们的导数分别为：asin'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)acos'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)atan'(x) = 1 / (1 + x^2)这些是初等函数中常见的导数公式，利用它们可以求解初等函数的高阶导数。
通过连续地多次应用求导公式，我们可以得到很多初等函数的高阶导数公式。
下面是一些例子：1.f(x)=e^x：初等函数e^x的高阶导数为f^n(x)=e^x。
也就是说，e^x的任意阶导数都等于e^x本身。
高阶导数
记号 C(n)(I): 在I上具有n阶连续导数的函数全体
C()(I): 在I上具有任意阶导数的函数全体.
例1 设 y
f
1 x
,
其中
f
具有二阶导数,
求
d2 y dx2
.
2 隐函数的二阶导数 设方程F(x,y) = 0确定隐函数y = y(x), 则y"的求法有:
方法一 由隐函数求导法求出y', 再用求导法则对y' 关于x求导, 仍视y为隐函数y(x).
Chap3 ― 6
高阶导数
3.6.1 高阶导数的概念
1 定义 设y = f (x)在U(x0)可导, 则f (x)在点x0处的
二阶导数
def
f
(x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
➢ 二阶导数也可记为
y(x0 ),
d2 y dx2
d2 f ,
dx2
.
x x0
x x0
➢ 二阶导(函)数 f "(x) = (f '(x))'
例7 求下列函数的n阶导数
(1) y ln(1 x)
(2) y 1 , (a 0) ax b
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
y(n)
(1)n
a n n! (ax b)n1
.
3.6.2 Leibniz法则——高阶导数求法之二 定理 设函数u, v有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) = u(n) v(n)； (cu)(n) =cu(n), 其中c为常数
(2) (uv)(n) C0nu(n)v C1nu(n1)v Cnn1uv(n1) Cnnuv(n)
一类函数的高阶导数公式
一类函数的高阶导数公式常见的一类函数的高阶导数公式如下：注：下图中a,k为任意实数(k≠0),n、m为任意正整数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f （x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df （x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。
求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x 在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数记作①；②；③，即需要指出的是：两者在数学上是等价的。
莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。
常见高阶导数8个公式
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
3-6解析函数的高阶导数
所以 f
( n)
f (z) n! n! 1 ( 0) ≤ ∫=r z n+1 dz ≤ 2π ∫ (1 − z ) z n+1 dz 2π z z =r n , 取r = n+1
不等式即证. 不等式即证
23
n! , = n (1 − r )r
四、小结与思考
高阶导数公式是复积分的重要公式. 高阶导数公式是复积分的重要公式 它表明 解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 要的结论 质区别. 质区别 高阶导数公式
21
参照本章第四节定理二, 参照本章第四节定理二 可证明
F ′( z ) = f ( z ),
所以 F ( z ) 是 B 内一个解析函数 ,
因为解析函数的导数仍为解析函数, 因为解析函数的导数仍为解析函数
故 f ( z ) 为解析函数 .
22
1 , 证明 例6 如果 z < 1内 f ( z ) 解析且 f ( z ) ≤ 1− z 1 f (0) ≤ ( n + 1)! 1 + < e( n + 1)! ( n = 1,2,L) n n! f (z) (n) 证 因为 f (0) = ∫=r z n+1 dz 0 < r < 1, 2πi z
z=2
18
( 2) z − 1 = 3
两个奇点 z = 2 和 z = 0 都含在 C 内,
作简单闭曲线 C1 和 C 2 分别包含 0 和 2, C1 和 C 2 互不包含且互不相交 ,
根据复合闭路定理和高阶导数公式, 根据复合闭路定理和高阶导数公式
高阶导数的计算技巧
高阶导数的计算技巧在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
而高阶导数则是对函数导数的导数，它可以提供更多关于函数曲线的信息。
在实际问题中，有时候需要计算高阶导数，因此掌握高阶导数的计算技巧是非常重要的。
下面将介绍一些计算高阶导数的技巧，希望能帮助大家更好地理解和运用高阶导数。
一、基本概念回顾在介绍高阶导数的计算技巧之前，我们先来回顾一下导数的基本概念。
对于函数y=f(x)，它的导数可以表示为f'(x)，也可以表示为dy/dx。
如果对导数再求导数，就得到了高阶导数，可以表示为f''(x)，也可以表示为d^2y/dx^2。
以此类推，对于n阶导数，可以表示为f^(n)(x)，也可以表示为d^n y/dx^n。
二、高阶导数的计算方法1. 利用导数的性质计算高阶导数时，可以利用导数的性质简化计算过程。
例如，如果函数f(x)是可微的，那么f''(x) = (f'(x))'，f'''(x) =(f''(x))'，以此类推。
这样可以通过反复求导简化计算。
2. 使用Leibniz公式Leibniz公式是计算高阶导数的一个重要方法。
对于函数y=f(x)，它的n阶导数可以表示为：f^(n)(x) = d^n y/dx^n = ∑[C(n,k) * f^(k)(x) * g^(n-k)(x)]其中，C(n,k)是组合数，f^(k)(x)表示f(x)的k阶导数，g^(n-k)(x)表示g(x)的(n-k)阶导数。
通过Leibniz公式，可以将高阶导数的计算转化为低阶导数的计算，从而简化问题。
3. 使用泰勒级数泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法，可以用来计算高阶导数。
对于函数f(x)，它的泰勒级数展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...通过泰勒级数展开，可以逐项求导得到各阶导数的表达式，从而计算高阶导数。
高阶导数的符号
高阶导数的符号
高阶导数是求解微积分的非常重要的概念。
它的符号比较有规律，下面将对各种高阶导数的符号做一个详细的介绍：
1、一阶导数：
一阶导数的符号是由变量x的一阶导数的符号组成的，通常被表示为f′(x)，它描述了随着变量x的变化，函数f的变化率。
2、二阶导数：
二阶导数也称为二次派生数，是函数f的变化率的变化率，其符号通常是f″(x)，描述了随着变量x的变化，函数f的变化速率。
3、三阶导数：
三阶导数符号也是f′′′(x)，它描述了函数f的三阶变化率，是关于变量x的变化率的变化率的变化率。
4、四阶导数：
四阶导数的符号是f⁴(x)，它是一个关于x的函数的变化速率的变化速率的变化速率的变化速率，即把函数f的x变量的变化率进行四次对数求导所得到的值。
5、五阶导数：
五阶导数符号是f⁵(x)，它是进行五次对数求导后得到的结果，代表函数f在x变量上的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率。
6、六阶导数：
六阶导数的符号是f⁶(x)，它是进行六次对数求导得到的，象征着函数f在x变量上的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率的变化率。
7、更高阶导数：
更高阶的导数的符号都可以用f⁷(x)、f⁸(x)、f⁹(x)、f⁰(x)等等表示，依次类推，表示函数f在x变量上的变化率增加到一定程度之后，又开始重新变化。
以上就是关于高阶导数的符号的一介绍，从中可以看到，用越高阶的导数去表示函数的变化率，表达的意义会越深入。
希望能帮助大家对高阶导数有更深刻的理解。
高阶导数的基本公式14个
高阶导数的基本公式14个高阶导数是微积分中的一个重要概念，它在求解函数的极值、曲线的凹凸性等问题中起着重要作用。
本文将介绍高阶导数的基本公式，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 一阶导数我们回顾一下一阶导数的定义和计算方法。
对于函数y=f(x)，它在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的计算方法是通过求函数在该点的切线斜率来得到。
一阶导数的基本公式为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h其中，lim表示极限运算，h表示趋近于0的一个无穷小量。
2. 二阶导数在一阶导数的基础上，我们可以进一步求解二阶导数。
二阶导数表示的是函数的变化率的变化率，也可以理解为函数曲线的弯曲程度。
二阶导数的计算方法是对一阶导数再求导，其基本公式为：f''(x) = d/dx [f'(x)]3. 高阶导数的定义将二阶导数的概念推广，我们可以定义高阶导数。
高阶导数表示的是函数变化率的变化率的变化率...的变化率。
也就是说，高阶导数描述了函数曲线的弯曲程度的变化程度。
高阶导数的计算方法是对前一阶导数再求导，其基本公式为：f^(n)(x) = d^n/dx^n [f(x)]其中，n表示导数的阶数。
4. 高阶导数的性质高阶导数具有一些特殊的性质，下面我们来介绍其中的几个。
（1）线性性质：高阶导数具有线性性质，即对于任意实数a和b，以及可导函数f(x)和g(x)，有如下公式成立：(a*f(x) + b*g(x))^(n) = a*f^(n)(x) + b*g^(n)(x)这个性质使得我们在计算高阶导数时可以进行简化。
（2）乘法法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，它们的乘积的高阶导数可以通过一阶导数和它们的高阶导数来计算。
具体公式如下：(f(x)*g(x))^(n) = Σ(C(n,k)*f^(k)(x)*g^(n-k)(x))其中，C(n,k)表示从n个数中选取k个数的组合数。
高阶导数十个常用公式
高阶导数十个常用公式1. 一阶导数：如果函数 y=f(x)，则其一阶导数定义为：f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)-f(x))/h2. 二阶导数：如果函数 y=f(x)，则其二阶导数定义为：f''(x)=lim(h→0)(f'(x+h)-f'(x))/h3. 三阶导数：如果函数 y=f(x)，则其三阶导数定义为：f'''(x)=lim(h→0)(f''(x+h)-f''(x))/h4. 四阶导数：如果函数 y=f(x)，则其四阶导数定义为：f''''(x)=lim(h→0)(f'''(x+h)-f'''(x))/h5. 五阶导数：如果函数 y=f(x)，则其五阶导数定义为：f'''''(x)=lim(h→0)(f''''(x+h)-f''''(x))/h6. 六阶导数：如果函数 y=f(x)，则其六阶导数定义为：f''''''(x)=lim(h→0)(f'''''(x+h)-f'''''(x))/h7. 七阶导数：如果函数 y=f(x)，则其七阶导数定义为：f'''''''(x)=lim(h→0)(f''''''(x+h)-f''''''(x))/h8. 八阶导数：如果函数 y=f(x)，则其八阶导数定义为：f''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''(x+h)-f'''''''(x))/h9. 九阶导数：如果函数 y=f(x)，则其九阶导数定义为：f'''''''''(x)=lim(h→0)(f''''''''(x+h)-f''''''''(x))/h10. 十阶导数：如果函数 y=f(x)，则其十阶导数定义为：f''''''''''(x)=lim(h→0)(f'''''''''(x+h)-f'''''''''(x))/h。
高阶导数的常用公式
高阶导数的常用公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
而高阶导数则是导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。
在实际应用中，高阶导数在多个领域都有重要的作用，如物理学、工程学、经济学等。
本文将介绍几个高阶导数的常用公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
1. 一阶导数的计算公式一阶导数即函数的导数，它描述了函数在某一点的切线斜率。
一阶导数的计算公式如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h2. 二阶导数的计算公式二阶导数是一阶导数的导数，它描述了函数切线的变化率。
二阶导数的计算公式如下：f''(x) = (d/dx)[f'(x)]3. 高阶导数的计算公式高阶导数是指二阶导数及以上的导数。
高阶导数的计算可以通过递归地应用一阶导数的计算公式来实现。
例如，三阶导数可以通过以下公式计算：f'''(x) = (d/dx)[f''(x)]4. 高阶导数的物理意义高阶导数在物理学中有广泛的应用，特别是描述物体的运动和变化。
例如，加速度是速度的一阶导数，描述了物体速度的变化率；而位移是速度的一阶导数，描述了物体位置的变化率。
高阶导数可以进一步描述这些变化率的变化率，从而提供更详细的物理信息。
5. 高阶导数在工程学中的应用在工程学中，高阶导数有助于分析和优化系统的性能。
例如，在信号处理中，高阶导数可以用于提取信号的特征，如边缘检测和图像增强。
在控制系统中，高阶导数可以用于设计和调整控制器的响应特性，以实现更好的控制效果。
6. 高阶导数在经济学中的应用高阶导数在经济学中也有重要的应用。
例如，在经济学中，边际效用是总效用的一阶导数，描述了消费者对某种商品的满足程度。
高阶导数可以用于分析消费者对多个商品的替代和互补关系，从而为市场调节提供参考。
7. 求解高阶导数的技巧在实际计算中，求解高阶导数可以使用多种技巧。
微积分知识点
微积分知识点微积分知识点概述一、引言微积分是数学的一个分支，主要研究函数的微分和积分，是现代科学和工程学的基础工具。
它起源于17世纪，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼兹独立发展。
微积分的应用范围非常广泛，包括物理学、工程学、经济学和生物学等领域。
二、微分学1. 极限概念- 极限的定义- 极限的性质- 无穷小与无穷大2. 导数基础- 导数的定义- 导数的几何意义- 可导性与连续性的关系3. 常见函数的导数- 幂函数的导数- 三角函数的导数- 指数函数与对数函数的导数4. 高阶导数- 高阶导数的定义- 高阶导数的计算5. 微分法则- 乘积法则- 商法则- 链式法则6. 隐函数与参数方程的微分 - 隐函数的求导- 参数方程的求导7. 微分应用- 相关率- 极值问题- 曲线的切线与法线三、积分学1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分概念- 定积分的定义- 定积分的几何意义3. 定积分的计算- 计算方法- 特殊技巧4. 积分应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长5. 无穷级数- 级数的收敛性- 泰勒级数- 傅里叶级数四、多变量微积分1. 偏导数- 偏导数的定义- 高阶偏导数2. 多重积分- 二重积分- 三重积分- 累次积分3. 曲线与曲面积分- 曲线积分- 曲面积分- 格林定理、高斯定理和斯托克斯定理五、微分方程1. 常微分方程- 一阶微分方程- 二阶微分方程- 线性微分方程2. 偏微分方程- 波动方程- 热传导方程- 拉普拉斯方程六、结语微积分作为数学的重要分支，不仅在理论数学中有深刻的意义，而且在应用科学和工程领域中发挥着至关重要的作用。
掌握微积分的基础知识和技能对于理解和解决现实世界中的问题至关重要。
七、附录A. 微积分公式汇总B. 常见微积分习题及解答C. 推荐阅读与学习资源请注意，本文仅为微积分知识点的概述，详细的解释和示例需要在完整的微积分教材或课程中学习。
工程数学-复变函数 3-6 解析函数的高阶导数
1
2i
C
(z
zf z0 )2(z
(z) z0
dz z)
函 数
设
的 积 分
I 1
2i
(
z
z0
f )2
(z)z (z z0
z)
dz
则
|
I
|
1
2
C
|
z
| f (z) z0 |2| z
|| z z0
|
z
ds |
-3-
第六节 解析函数的高阶导数
设 d 为 z0 到 C 上的点的最短 距离，选取适当小的 z,使| z | d
数 的 积 分
2i ( e z
z
)
z2
2
i[
ze
z z2
e
z
]
z2
e2i
2
-8-
第六节 解析函数的高阶导数
例2
求
f
(
z
)
|
z|2
e ( z)3
d
.
解 令 g( ) e , 则由高阶导数公式知
第 三 章
g(z)
2!
2i
| z|2
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
复 变
由柯西积分公式
函 数 的 积 分
f
( z0
)
1 2i
C
f (z) z z0
dz
f
( z0
z)
1 2i
C
z
导数的定义和计算方法
导数的定义和计算方法导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的定义和计算方法，并且探讨一些相关的概念和性质。
一、导数的定义导数的定义可以由两种方式来描述：几何上的观点和代数上的观点。
1. 几何上的观点：对于给定的函数f(x)，在某一点x=a处的导数可以理解为函数曲线在该点切线的斜率。
具体地说，导数为f(x)在x=a处的极限值，表示了函数在该点附近的局部变化率。
2. 代数上的观点：导数也可以通过函数的极限定义进行计算。
函数在x=a处的导数可以定义为以下极限：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中，h为自变量的增量。
二、导数的计算方法导数的计算方法取决于函数的形式和性质。
下面列举了几种常见函数的导数计算方法：1. 常数函数：对于常数函数f(x) = c，其中c为常数，它的导数为0。
2. 幂函数：幂函数f(x) = x^n，其中n为正整数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数：指数函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = e^x。
指数函数的导数与函数本身相等，这是指数函数的一个重要性质。
4. 对数函数：对数函数f(x) = ln(x)，其中x>0，它的导数为f'(x) = 1/x。
对数函数的导数可以通过对数函数的定义和导数的定义进行求解。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
它们的导数分别为：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)这些导数可以通过三角函数的性质和导数的定义进行计算。
三、导数的性质和应用导数具有一些重要的性质，这些性质有助于我们计算和应用它们：1. 可导性：如果函数在某一点处的导数存在，则称函数在该点处可导。
可导性是导数的重要性质之一。
高阶函数求导公式
一．高阶函数求导公式有哪些？1、y=c，y'=0（c为常数）。
2、y=x^μ，y'=μx^(μ-1)（μ为常数且μ≠0）。
3、y=a^x，y'=a^x lna；y=e^x，y'=e^x。
4、y=logax，y'=1/(xlna)（a>0且a≠1）；y=lnx，y'=1/x。
5、y=sinx，y'=cosx。
6、y=cosx，y'=-sinx。
7、y=tanx，y'=(secx)^2=1/(cosx)^2。
8、y=cotx，y'=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。
9、y=arcsinx，y'=1/√(1-x^2)。
10、y=arccosx，y'=-1/√(1-x^2)。
导数（Derivative），也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。
对任意n阶导数的计算，由于n 不是确定值，自然不可能通过逐阶求导的方法计算。
此外，对于固定阶导数的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。
高阶导数的常用求法
2021.13科学技术创新高阶导数的常用求法韩荣梅（内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头014000）1用数学归纳法求高阶导数当高阶导数不能一下求出时，可以先求出前n 阶导数，总结归纳处其n 阶导数的表达式，然后用数学归纳法证明。
例1[1]证明[2]试证证[1]:（1）当n=1时，（2）当n=2时，即当n=1,2时，等式成立（3）设n=k-1,n=k 时成立，即①②则当n=k+1时，有③将①②带入③中整理得，即题得证。
[2]证当n=0时；左端==右端，即等式成立；设当n=m 时成立，即当n=m+1时，所以2用拆分法求高阶导数有些式子不易直接求高阶导数,当拆项以后,变成易于求高阶导数的一些基本形式之和,便立即可直接求导。
在这里要用到的基本形式主要有:并特别注意，因子a n 不要漏掉。
例2求下列函数的n 阶导数y（n ）解：（1）由于所以（2）由于所以摘要：介绍求高阶导数的常用方法，运用数学归纳法求高阶导数，拆分法求高阶导数，泰勒公式求高阶导数，Leibniz 公式求高阶导数，递推公式法求高阶导数等等。
关键词：高阶导数；莱布尼茨公式；泰勒公式；数学归纳法中图分类号：O17文献标识码：A 文章编号：2096-4390(2021)13-0035-02()1111)(1)(nn xn n xe x e x(41)241411cos2(cos sin)(41)!2n n n x x x x n1211())xx ee x、（1311())xxe e x、、（1(1)112)(1)(k k xkk x ex e x()1111(1)(kk xk k x e xe x()(1)()()(1)11))11121112((()()k k k k k k kx x k k xxk k k x x xe x e k x e x e x e x e()1111)(1)(nn xn n x e x e x21(cos 2)1sin 2(cos sin )2x x x x x (41)241411cos 2(cos sin)(41)!2m m m x x x x m(45)41451cos 2(45)!2m m m x x m(41)(41)2(4)454541411cos 2(45)!21cos 2(41)!2(cos sin )m m m m m m x x m x x m x x(41)241411cos 2(cos sin )(41)!2n n n x x x x n()()()()1()()(1)...(1)();;;(1)!;sin();2cos().2))(ln )()(ln )(1)(sin )(cos )n k nn xn nxn n nn n k k k k n n k x x n n x n x x x e e a a a x xx x（（ ()()()()n n nax b f ax b f a 211113)(2)3256y x x x x x x（()(()1111(1)!11()()32(3)(2)n n n nn n n y x x x x）44sin cos y x x2221222221122sin cos sin cos cos x x x x x2cos 2sin 2 sin 4y x x x35--科学技术创新2021.133用泰勒公式法求高阶导数例3（1）设。
常见导数是什么
常见导数是什么在微积分中，导数是描述一个函数变化率的概念。
它告诉我们函数在某一点附近的变化速度。
常见导数包括一次导数、二次导数以及更高阶导数。
下面我们来了解一下这些常见导数的定义和性质。
一次导数给定函数f(f)，它的一次导数f′(f)定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$一次导数描述了函数的瞬时变化率，即函数在某一点的斜率。
它可以帮助我们理解函数在这一点如何变化。
二次导数如果函数f(f)的一次导数f′(f)存在，那么f′(f)的导数[f′(f)]′就是f(f)的二次导数，记作f″(f)。
二次导数表示了一次导数的变化率，它可以告诉我们函数的曲率信息。
更高阶导数同样地，我们可以定义更高阶的导数。
f(f)(f)表示函数f(f)的第f阶导数，它是函数在某个点的f阶导数值。
常见函数的导数下面是一些常见函数的导数：•f(f)=f，其中f为常数，它的导数是0。
•f(f)=f f，其中f为任意实数，它的导数是ff f−1。
•$f(x)=\\sin(x)$，它的导数是$\\cos(x)$。
•$f(x)=\\cos(x)$，它的导数是$-\\sin(x)$。
•f(f)=f f，它的导数是f f。
这些函数的导数是微积分中常见的基本结果，通过对它们的导数进行计算，我们可以推导其他函数的导数。
导数的性质导数具有许多重要的性质：1.线性性质：(ff(f)+ff(f))′=ff′(f)+ff′(f)，其中f、f为常数。
2.乘积法则：(f(f)f(f))′=f′(f)f(f)+f(f)f′(f)。
3.商法则：$(\\frac{f(x)}{g(x)})'=\\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$。
4.链式法则：若f=f(f)、f=f(f)，则$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$。
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1 1 ( z − 2) 2 z 3 dz dz + ∫ =∫ 3 z ( z − 2) 2 C1 C2
2πi = 2! 1 ( z − 2)2 ″
z =0
2πi 1 + 1! z 3
′
z =2
3πi 3πi = 0. = − 8 8
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基本定理的逆定理： 摩勒拉） （Cauchy基本定理的逆定理：Morera摩勒拉） 基本定理的逆定理 摩勒拉
注意： 注意： 被积函数在 C内只有一个奇点 .
4
利用数学归纳法可证,证明附后面。 利用数学归纳法可证 证明附后面。 证明附后面
f
( n)
n! f (z) ( z0 ) = ∫C ( z − z0 )n+1 dz . 2πi
2π i ( n ) 或∫ dz = f ( z0 ) n +1 C n! ( z − z0 )
第六节 高阶导数
一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考
Cauchy积分公式 在理论上提供了一个研究解析函数 积分公式 局部性质的理想工具，其最为显著的作用， 局部性质的理想工具，其最为显著的作用，就是证明 了一个解析函数具有各阶导数，而各阶导数也必都解 了一个解析函数具有各阶导数， 析的重要结论（实变函数无此性质） 析的重要结论（实变函数无此性质） .
在 C 内以 i 为中心作一个正向圆周 C1 , 以 − i 为中心作一个正向圆周 C 2 , e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z + 1)
z
C1
y
i
C
x
o
C2
−i
围成的区域内解析 ,
7
根据复合闭路定理
∫C ∫C
ez ez ez dz = ∫ dz + ∫ dz 2 2 2 2 2 2 C1 ( z + 1) C 2 ( z + 1) ( z + 1) ez dz = ∫ 2 2 C1 ( z + 1)
3
二、主要定理
定理
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 n! f (z) (n) 导数为 : f ( z0 ) = ∫ ( z − z0 )n+1 dz (n = 1,2,⋯) 2π i C 其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于 D.
这一点与实变量函数有本质的区别. 这一点与实变量函数有本质的区别.
放映结束， Esc退出. 放映结束，按Esc退出. 退出
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附定理证明
定理
解析函数 f ( z ) 的导数仍为解析函数 , 它的 n 阶 n! f (z) (n) 导数为 : f ( z0 ) = ∫ ( z − z0 )n+1 dz (n = 1,2,⋯) 2π i C 其中 C 为在函数 f ( z ) 的解析区域 D 内围绕 z0 的 任何一条正向简单闭曲 线, 而且它的内部全含于 D.
此定理给出了判别解析的另一充要条件. 此定理给出了判别解析的另一充要条件
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1 , 证明 例6 如果 z < 1内 f ( z ) 解析且 f ( z ) ≤ 1− z 1 f (0) ≤ ( n + 1)! 1 + < e( n + 1)! ( n = 1,2,⋯) n n! f (z) (n) 证 因为 f (0) = ∫=r z n+1 dz 0 < r < 1, 2πi z
例5 设函数 f ( z ) 在单连通域 B 内连续 , 且对于
B 内任何一条简单闭曲线 C 都有 ∫ f ( z )dz = 0,
C
证明 f ( z ) 在 B 内解析 .
证
在 B 内取定一点 z0 , z 为 B 内任意一点,
依题意可知
∫z
z
0
f (ζ )dζ 的值与连接 z0 和 z 的路线无关 ,
但 cos πz 在 C 内处处解析 , f ( z) 2πz ) ( n ) i ( dz n ∫(Cn)((z 0−) z )n+!1 ∫C = fn! fn+1 d(zz0 ) z = 根据公式 f ( z − z0 ) 0 2πi
6
5 2π i πi cos πz (4) ∫C ( z − 1)5 dz = (5-1)! (cos π z ) z =1 = − 12 ; z e ( 2) 函数 2 在 C 内的 z = ± i 处不解析 , 2 ( z + 1)
= 2πi[− e − z cos z − e − z sin z ]
z =0
= −2πi .
11
例3
ez 求积分 ∫ n dz . ( n 为整数 ) z z =1 ez (1) n ≤ 0, n 在 z ≤ 1 上解析, z z e 由柯西－ 由柯西－古萨基本定理得 ∫ n dz = 0; z z =1
z=2
14
( 2) z − 1 = 3
两个奇点 z = 2 和 z = 0 都含在 C 内,
作简单闭曲线 C1 和 C 2 分别包含 0 和 2, C1 和 C 2 互不包含且互不相交 ,
根据复合闭路定理和高阶导数公式, 根据复合闭路定理和高阶导数公式
1 1 1 dz = ∫ ∫ ( z − 2) 2 z 3 2 3 dz + ∫ 2 3 dz ( z − 2) z ( z − 2) z C C C
i
C
x
o
C2
−i
9
z3 + 1 e − z cos z dz; ( 2 ) ∫ dz . 例2 求积分 (1) ∫ 4 2 ( z + 1) z z =2 z =1
解
(1) 函数 z 3 + 1 在复平面内解析 , z0 = −1 在 z ≤ 2 内,
n = 3,
根据公式 f
( n)
n! f (z) ( z0 ) = ∫C ( z − z0 )n+1 dz 2πi
∆z f ( z ) 1 ≤ ∫C z − z 2 z − z − ∆z ds 2π 0 0
因为 f ( z ) 在 C 上解析, 所以在 C 上连续 ,
25
故 f ( z ) 在 C 上有界 ,于是 ∃M > 0, 使得 f ( z ) ≤ M ,
设 d 为从 z0 到曲线 C 上各点的最短距离 , 1 并取 ∆z 适当地小, 满足 ∆z < d , 2 1 1 ≤ , 则 z − z0 ≥ d , z − z0 d d z − z0 − ∆z ≥ z − z0 − ∆ z > , 2 C 1 2 ML ≤ , I < ∆z 3 , z − z0 − ∆z d πd
z
1
ez ( z + i )2 dz 2 (z − i)
i
C1
y
i
2πi e (1 − i )e = π, ( z + i )2 = ( 2 − 1)! 2
z =i
′
C
x
பைடு நூலகம்
o
C2
−i
8
同理可得 于是
∫C
2
−i ez − (1 + i )e π, 2 2 dz = ( z + 1) 2
z z0
定义了一个单值函数 F ( z ) = ∫ f (ζ )dζ ,
17
参照本章第四节定理二, 参照本章第四节定理二 可证明
F ′( z ) = f ( z ),
所以 F ( z ) 是 B 内一个解析函数 ,
因为解析函数的导数仍为解析函数, 因为解析函数的导数仍为解析函数
故 f ( z ) 为解析函数 .
2
一、问题的提出
问题: 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数 其定义和求法是否与实变函 若有高阶导数, 数相同? 数相同 回答: 回答: (1) 解析函数有各高阶导数 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 过积分来表示 这与实变函数完全不同 解析函数高阶导数的定义是什么? 解析函数高阶导数的定义是什么
高阶导数公式的作用: 高阶导数公式的作用 不在于通过积分来求导, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分. 来求积分.
f (z)
5
三、典型例题
例1 计算下列积分 , 其中 C 为正向圆周 : z = r > 1.
ez cos πz (1) ∫ d z; ( 2) ∫ dz . 5 2 2 C ( z − 1) C ( z + 1) cos πz 在 C 内 z = 1 处不解析 , 解 (1) 函数 5 ( z − 1)
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例4
1 求积分 ∫ 2 3 dz . ( z − 2) z C 其中C : (1) z − 3 = 2; ( 2 ) z − 1 = 3.
1 函数 有两个奇点 z = 2 和 z = 0, 2 3 ( z − 2) z
解
1 (1) z − 3 = 2, 仅包含奇点 z = 2, 取 f ( z ) = 3 , z 1 ′ 3 1 2πi 1 3πi z ∫ ( z − 2)2 z 3 dz = ∫ ( z − 2)2 dz = 1! z 3 = − 8 ; C C
f
( n)
n! f (z) (z0 ) = ∫C (z − z0 )n+1 dz 2πi
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思考题
解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导 数与实函数的导数有何不同? 数与实函数的导数有何不同
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