网格中的三角函数
专题6网格问题解法
专题六 网格问题解法网格问题是指以正方形网格为背景的一类试题.此类问题由于不需要繁杂的计算和繁难的证明，试题背景公平，题型灵活，操作性强，趣味性浓，体现新课程理念，近几年是中考的热点问题。
网格问题一般都以中低档题的形式出现.利用网格自身的特点进行图案的设计和图形变换作图，计算线段的长度或图形的面积，探究图形的变化规律等.近年来，以网格为载体的有关相似形、圆或平面直角坐标系的综合题频频出现，应引起我们的重视.下面以几例介绍数学中的网格问题。
1、利用网格进行图形变换的作图例1 如图1，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有一个△ABC 和一点O ，△ABC 的顶点和点O 均与小正方形的顶点重合．（1）在方格纸中，将△ABC 向下平移5个单位长度得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1；（2）在方格纸中，将△ABC 绕点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2.分析 本题考查图形的平移和旋转画图.（1）中分别作出点A 、B 、C 向下平移5个单位后的对称点，然后再分别连接这三个点即可.（2）中将△ABC 绕点O 旋转180°，须先作出点A 、B 、C 关于中心O 的对称点.解 如图2.变式练习:1.（（2013江苏泰州市，本题满分10分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上，将△ABC 向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，然后将△A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°得到△A 1B 2C 2．（1）在网格中画出△A 1B 1C 1和△A 1B 2C 2；（2）计算线段AC 在变换到A 1 C 2的过程中扫过区域的面积（重叠部分不重复计算）第1题图 第2题图图1图2图42．（2010浙江湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点.若△ABC 与△111A B C 是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．2、以网格为载体综合考查数学知识的应用将圆置于正方形的网格中，解题关键是利用同弧所对圆周角相等，把不是直角三角形中的角转化为直角三角形的角，从而求出三角函数值.例2如图4，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）A 、点PB 、点QC 、点RD 、点M分析：本题由垂直于弦的直径的性质和推论的知识可知，圆心是弦AB 、弦BC 的中垂线的交点，借助网格可以得出弦AB 、弦BC 的中垂线相交于Q 点，故选B 。
中考数学总复习第38课 网格型问题
点评：(1)本题给出一段资料，提供网格作为探索问题的工具，主要考查直角三角形斜边中
线、高的性质以及特
较大．
(2)理解λA 的意义，根据题目要求画出图象是解题的关键．
解析：(1)如解图 10，作 BC 边上的中线 AD.∵AC⊥DC，∴λA＝CBDD＝1.
边上的高和中线，点
D
是垂足，点
E
是
BC
的中点，规定：λA
＝DE.特别地， BE
当点 D，E 重合时，规定：λA＝0.另外，对λB，λC 作类似的规定．
(1)如图 38－10②，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，求λA，λC；
(2)在每个小正方形边长均为 1 的 4×4 的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点
4aa＋＋kk＝＝30，，解得
a＝－1， k＝4，
∴y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋4x.
向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位可得到另一条符合题
意的抛物线，
可平移 6 次，
∴一共有 7 条抛物线．
同理：开口向上的抛物线也有 7 条．
∴满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7＋7＝14.故选 C.
名师点拨
与图形变换有关的网格型问题，常常会考查网格中的 画图、图形描述或图形操作、运动轨迹的路径(面积)、以 及利于网格进行图案或方案设计等方面，一般而言，这类 问题常常会以我们学过的平移、旋转与对称的知识为基 础，难度不大，掌握图形变换的本质特征是解题的关键．
【预测演练 3－1】 如图 38－8，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF ，MN 交于中心点 O，对△ABC 分别作下列变换：①先以点 A 为中心顺时针 方向旋转 90°，再向右平移 4 格，向上平移 4 格； ②先以点 O 为中心 作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90°；③ 先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应 点为中心顺时针方向旋转 90°.其中能将△ABC 变换成△PQR 的是
历届中考常见网格作图题
ABCOx 2题图y福州市2012年中考数学专题复习——网格专题整理人：汤宏量一、圆的知识在网格中的应用1．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点M2．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．3．在直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．已知一个圆的圆心在原点、半径等于5，那么这个圆上的格点有个．4．请你在如图所示的10×10的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过121个格点中的个格点．二、锐角三角函数的知识在网格中的应用5．在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为（）A ．12B ．22C ．32D ．335题图 6题图 7题图6．如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A tan 的值是（）A ．56B ．65C ．3102D ．101037．如图，1的正切值等于。
8.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC △的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)用签字笔．．．画AD ∥BC （D 为格点），连接CD ；(2)线段CD 的长为；(3)请你在ACD △的三个内角中任选一个锐角．．，若你所选的锐角是，则它所对应的正弦函数值是。
（4）若E 为BC 中点，则tan ∠CAE 的值是三、平移、旋转知识在网格中的应用9．如图，在方格纸上△DEF 是由△ABC 绕定点P 顺时针旋转得到的。
如果用（2,1）表示方格纸上A 点的位置，（1,2）表示B 点的位置，那么点P 的位置为（）。
A. (5,2)B. (2,5)C. (2,1)D. (1,2)9题图 10题图10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （0,1），B （-1,1），C （-1,3）。
网格遇上三角函数——网格型三角函数中考题例析
．
、
、 、 、 ＼ 、
、
’
Ｄ
、 、 、
由 勾 股 定 理 知 Ｏ Ｄ ： 掣， 所 以 ｃ 。 ｓ 厶 ４ ０ 曰 ： ．
形 网格 中 ， ｔ ａ ｎ ｃ ￣ 的值 为 （
Ａ． １ Ｂ． ２ ｃ．
）
Ｄ．
， ＇
图３
图４
例３ （ ２ ０ １ ０凉 山）如 图 ４ ， －１的正 切 值 等 于 ／
评析 显 然 １ 不在 直角 三角 形 中 ， 不能 直接
求 出 １的正 切值 ． 因为 １ 是 图形 中的圆周 角 ， 所
（ ２ ） （ ２ ０ １ １ 连 云 港 ）如 图 ２ ， ＡＡ ＢＣ的顶 点 都 在
方格 纸 的格 点上 ， 则ｓ ｉ ｎ Ａ：
．
评析 上述两道三角函数题都 可以直接利用 网格 提供 的直 角得 到直 角三 角形 ， 进 而得 出答案 ， 此 类问题难度不大 ， 关键是仔细分析所给图形 中经过
所 在 的 ＡＡ ＢＣ并不 是 直 角三
角形 ． 经 观察 发 现 线段 Ａ Ｂ经 过 两 个 格点 ， 只要 连接 ５ 证得 ｃ Ｄ Ｌ Ａ Ｂ， ｉ ＝ ＝ ＝
蝴 容易得出其值为÷， 所以ｔ ａ ｎ ／ ＿ Ｂ ＝ ÷， 选Ａ ． 当所求 ｃ
４ ９
Ｃ
以 １ ： ２ ， 而ｔ ａ ｎ ／ ＿ ２： １ 所以ｔ ａ ｎ １ ：ｌ ＿ １
，
．
本 题通
图 １
图 ２
过圆周角相等实现转移角来解决 问题． ３ 构造 型 例４ （ ２ ０ １ ２内江 ）如 图 ５所示 ， ＡＡ Ｂ Ｃ的顶点
方格纸中求三角函数值
tan∠ABC 的值是
．
4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格 ，A、B、 P、Q四点均在正方形网格的格点上 ，线段AB、PQ每个小的四边
形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点
上，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等
于
．
6．如图,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求
tan∠BA1C=
，tan∠BA2C=
tan∠BA3C=
，tan∠BA4C=
…按此规律,写出tan∠BAnC=
数式表示).
，
, ．(用含n的代
方格纸中求三角函数值
1．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，
点A，B，C都在网格上，则∠ABC的正切值
为
．
2．如图，在5×7的网格中，若△ABC的三条
边共经过4个格点，则tan B的值为
．
3．如图，6 个形状、大小完全相同的菱形组成
网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一
个角∠O为 60°，A，B，C都在格点上，则
三角函数专题之网格中的三角函数
三角函数专题训练--网格中的三角函数第一节：网格中的正弦和余弦1．在边长为1的正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOD 的正弦值为（）A ．12B ．2C D 2．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB ＝（）A ．2B ．35C ．5D ．3103．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、C 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则cos AOD ∠=（）A ．2B ．2C ．3D 4．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 等于（）A B C ．5D ．105．如图，在边长1正网格中，A 、B 、C 都在网格线上，AB 与CD 相交于点D ，则sin ADC ∠是（）A B C D 6．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．6B ．26C ．13D ．137．如图，在45⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin ACB ∠的值为（）．A B C ．35D ．458．如图，在正方形网格中，△ABC 的位置如图，其中点A 、B 、C 分别在格点上，则sinA 的值是（）A B ．13C D9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是l ，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．4510．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos ∠B 的值为（）A ．12B ．2C D ．311．三角形在方格纸中的位置如图所示，则cos 的值是（）A ．35B C ．45D 12．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）AB C D ．2313．如图是一个3×2的长方形网格，组成网格的小长方形长为宽的2倍，△ABC 的顶点都是网格中的格点，则cos ∠ABC 的值是（）A ．23B ．25C ．35D ．4514．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠BAC 的值为（）A ．34B ．25C ．35D ．4515．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则AOB ∠的正弦值是（）A ．10B ．12C ．13D ．1016．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正弦值是__．17．如图，已知△ABC 的三个顶点均在格点上，则cosA 的值为_______．18．如图所示，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB ∠的值是________．19．如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A 、B 、C ，则sin ∠ABC=_____．20．如图是4×4的正方形网格，点C在∠BAD的一边AD上，且A、B、C为格点，sin∠BAD的值是___________．∠=______．21．如图在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O在小正方形的顶点上，则cos OAB22．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC 的余弦值是____．23．如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____．24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD=___．25．如图，在4×4的正方形网格图中有△ABC，则∠ABC的余弦值为_____．26．如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是_____．27．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC 的值为_____．的顶点都在小正方形的格点上，28．如图，在44⨯的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，ABC∠=_______．则sin ACB29．如图，每个小正方形的边长都是1，点A,B,C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为____．第二节：网格中的正切1．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（）A ．2BC ．3D2．如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan C 的值是（）A ．2B ．43C ．1D ．343．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．3D 4．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是（）A ．12B ．1CD ．25．如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点处，则tan C 的值为（）A ．12B ．13C ．2D ．16．如图，将 ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则∠A 的正切值是（）A B C ．2D ．127．如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．458．如图，A ，B ，C ，三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到AC B ''△，则tan B '的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．49．如图所示，ABC ∆的顶点在正方形网格的格点上，则tan A 的值为（）A ．12B ．2C ．2D ．10．在图网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正切值是（）A ．23B ．32C ．35D ．5311．如图，在方格纸中，点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是()A ．2B ．12C D 12．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为（）A ．35B ．34C ．5D ．113．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角,则tan ∠AOB （）A ．3B C ．1D ．2514．∠BAC 放在正方形网格纸的位置如图，则tan ∠BAC 的值为（）A ．16B ．15C ．13D ．1215．如图，在55 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tan B 的值为______．16．如图，点A ，B ，C ，D 在正方形网格的格点上，连接AB 、CD 交于点P ，则tan ∠APC ＝________________．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为_____．18．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则tan ABC ∠的值为_______．19．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A ，B 和C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，则tan AEC ∠=___．20．如图，在4×5的正方形网格中点A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC ＝_____．21．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan 1BA C ∠=1，tan 2BA C ∠=13，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=_________________．22．如图，将BAC ∠放置在55⨯的正方形网格中，如果顶点A 、B 、C 均在格点上，那么BAC ∠的正切值为______．23．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 都在这些小正方形的顶点上，则tan ∠ABC 的值为_____．24．如图，在Rt △ABC 纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC ＝24cm ，则这个展开图可折成的正方体的体积为_____cm 3．25．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan C ＝__．26．如图，在正方形网格中，三角形ABC 的三个顶点都在网格中的格点上，则tan ∠B 的值为_____．27．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，线段AB 、CD ，相交于点P ，则tan APD ∠的值是__________．28．如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是____________．29．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得1tan 1BA C ∠=，21tan 3BA C ∠=，31tan 7BA C ∠=，计算4tan BA C ∠=__________，……按此规律，写出tan n BA C ∠=__________（用含n 的代数式表示）．。
网格线中的三角函数问题
网格线中的三角函数问题作者：周宏伟来源：《初中生世界·九年级》2016年第12期在我们常见的网格线中，有很多三角函数求值问题，题中蕴含着很多思想方法，为便于大家复习，现归纳如下，供大家在学习过程中参考.一、补形的策略例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）.A.2B.[255]C.[55]D.[12]【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解.【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中，tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D.例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 .【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解决问题的关键.【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°，AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32].二、转化的思想例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 .【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.【过程展示】如图6，取小正方形的顶点E，连接AE、BE，由图可知CD∥BE，∴∠APD=∠ABE，在Rt△ABE中，tan∠ABE=2，∴tan∠APD=2.例4 （2016·山东淄博）图7是由边长相同的小正方形组成的网格，A、B、P、Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB、PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）.A.[12]B.1C.[3]D.2【方法探究】如果直接求tan∠QMB可考虑连接AP、BQ，运用△APM∽△BQM求出AM或BM，然后在Rt△APM或Rt△BQM中求解；如果间接求解，应考虑对∠QMB进行转化，最好的思路是考虑线段的平移.①如图8，平移AB至A′Q，在Rt△A′PQ中求tan∠Q；②如图9，平移AB至PB′，在Rt△B′PQ中求tan∠P；③如图10，平移PQ使其经过线段AB中点D，然后在Rt△ACD中求tan∠ADC.【过程展示】以第①种平移为例，如图8，平移AB至A′Q后，∠Q=∠QMB，在Rt△A′PQ中，tan∠Q=[A′PA′Q]=2，所以tan∠QMB=2.故选D.三、等积法例5 （2015·四川乐山）如图11，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）.A.[33]B.[55]C.[233]D.[255]【方法探究】通过作三角形的高构造直角三角形，先利用等积法（或勾股定理）求出高，然后运用余弦的定义解答.【过程展示】如图11，设小正方形的边长为1，过点B作AC边上的高BD.由勾股定理得：AC=[32]，AB=[10]，由等积法可得：[12]BC∙h=[12]∙AC∙BD，即[12]×2×3=[12]×[32]∙BD，解得BD=[2]，由勾股定理，得AD=[AB2-BD2]=[22]，∴cosA=[ADAB]=[2210]=[255].故选D.例6 （2014·广西贺州）如图12，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA= .【方法探究】在替换与∠A相等的角比较困难的情况下，可以考虑通过作高进行构造，把∠A放在某个直角三角形中进行求解.【过程展示】如图12，过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AD，则AD⊥BC，从不同的角度把△ABC的面积计算两次得：S△ABC=[12]AB∙CE=[12]BC∙AD，所以[12]×[25]×CE=[12]×[22]×[32]，所以CE=[655]，在Rt△ACE中，sin∠CAE=[CEAC]=[65525]=[35].由此可见，遇到网格中的锐角三角函数求值问题，我们通常有两种思路：一是原地不动，想办法构造直角三角形求解；二是转移该角，如利用平行线进行转化.一般情况下，遇到求三角函数问题优先考虑转化，在没有好的转化思路的情况下再考虑如何构造.（作者单位：江苏省东台市新街镇中学）。
网格中的三角函数
网格中的三角函数【构造直角】例：如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sin ∠ABP变式1：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan 12∠BAP 的值。
变式2：网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，求tan2∠BAP 的值1.网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA 的=______________.【解析】如图，过点C 作CE ⊥AB ，则=A sin AC CE =52CE ，利用等积法，可知CE AB 21AD BC 21⋅⋅=⋅⋅，∴CE 5221232221⋅⋅=⋅⋅，∴556CE =，∴=A sin 5352556=【等角转换】 2.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．【解析】思路一：构造直角连接BE ，由四边形EDBC 为正方形可知，CD ⊥BE ，∴tan△APD=tan△BPF=PFBF，设小正方形边长为2（可自己思考一下为什么？），可得BF=1，CD=2，由△APC ∽△BPD ，且相似比为3：1可得3DP PC =，∴43CD PC =，∴PC=432⋅=23，∴PF=PC —CF=21，∴tan△BPF=2211=思路二：角度转换连接BE ，可知BE ∥CD ，∴△APD=△BPF=△ABE ，连接AE ，∵AE 和BE 均为正方形对角线，易得AE ⊥BE ，∴tan△ABE=2BEAE=3.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ， 则PBAP的值= ，tan ∠APD 的值= ．4.如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中△ABC 的余弦值是_________.5.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则△ABC 的正切值是________.6.如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则tan ∠ACB 的值为 ．7.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O ）为60°，A ，B ，C 都在格点上，则tan ∠ABC 的值是 ．8.如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD ，则tan ∠DBC 的值为_________．9.如图1是由边长为1的小正方形组成的网格，点A 、B 、C 、D 都在网格的格点上，AC 、BD 相交于点O ．10.（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，连接AD ，则∠ADO=90°，BO=2DO ，AD=2，BO=232，tan ∠AOD=_________．如图2，当AB=3时，画AH ⊥BD 交BD 的延长线于H ，则AH=223， BO=________，tan ∠AOD=________． 如图3，当AB=4时，tan ∠AOD=__________．（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=______________．（结果用含n 的代数式表示），请证明你的猜想． （二）解决问题（3）如图，两个正方形的一边CD 、CG 在同一直线上，连接CF 、DE 相交于点O ，若tan ∠COE=1317，求正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比．【解析】（一）探索发现（1）如图1，当AB=2时，∵BO=2DO ，BO=232， ∴OD=32，又∵∠ADO=90°，AD=2，∴tan ∠AOD=322ODAD==3，即tan ∠AOD=3． 如图2，设DCBE 为正方形，连接CE ，交BD 于F ． ∵四边形BCDE 是正方形， ∴DF=CF=BF=21BD=21CE ，BD ⊥CE ． 根据题意得：AB ∥DC ，∴△AOB ∽△COD ，∴DO ：BO=CD ：AB ．当AB=3时，DO ：BO=1：3，∴BO=423． ∵S △ABD =21BD •AH=21AB •ED ，∴BD •AH=AB •ED ， ∴AH=22323BD ED AB ==⋅， DO ：BO=CD ：AB=1：3，∴DO ：DF=1：2，∴OF ：DF=1：2，即OF ：CF=1：2． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=OFCF=2， ∵∠AOD=∠COF ，∴tan ∠AOD=2；如图3，当AB=4时，DO ：BO=CD ：AB=1：4， ∴DO ：DF=1：2.5=2：5，∴OF ：DF=3：5，即OF ：CF=3：5． 在Rt △OCF 中，tan ∠COF=35OF CF =， ∵∠AOD=∠COF ，∴tan ∠AOD=35；故答案是：3；423；2；35；（2）猜想：当AB=n （n ＞0）时，tan ∠AOD=1-n 1n +（结果用含n 的代数式表示）． 证明：过点A 作AH ⊥BH 于点H ，则AH=BH=22n ． ∵AB ∥OD ，∴△AOB ∽△COD ，∴1nCD AB OD OB ==， ∴OB=1n n 2+．∴OH=BH ﹣OB=22n ﹣1n n 2+．∴tan ∠AOD=1-n 1n +； 故答案是：1-n 1n +；（二）解决问题（3）解：如图4，过点D 作DH ⊥CF 于点H ，则tan ∠DOH=HODH． ∵∠DOH=∠COE ， ∴tan ∠DOH=1317， 又由（一）结论得：13171-n 1n =+， ∴n=215 ∴正方形ABCD 和正方形CEFG 的边长之比为215． 强化训练11.阅读下面的材料：某数学学习小组遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且tan α=，tan β=，求α+β的度数．该数学课外小组最后是这样解决问题的：如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA ，BC 在直线BD 的两侧，连接AC ． （1）观察图象可知：α+β= °；（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tan α=3，tan β=时，在图2的正方形网格中，画出∠MON=α﹣β，并求∠MON 的度数．12.问题呈现如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D ，N 和E ，C ，DN 和EC 相交于点P ，求tan ∠CPN 的值． 方法归纳求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．问题解决（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为；（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN 的值；思维拓展（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN 的度数．13．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．14．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．（1）AB的长等于；（2）在△ABC的内部有一点P，满足S△PAB ：S△PBC：S△PCA=1：2：3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．15．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）请在网格中找一个格点P，连接PB、PC，使∠BPC=∠BAC，并简要说明理由；（2）直接写出此时tan∠BPC的值．16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A点B在网格中的位置如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A点B的坐标分别为（1，2）（4，3）；（2）点C的坐标为（3，6），在平面直角坐标系中找到点C的位置，连接AB、BC、CA，则∠ACB=°；（3）将点A、B、C的横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，分别得到点A1、B1、C1，在图中找到点A1、B1、C1并顺次连接点A1、B1、C1，得到△A1B1C1，则这两个三角形关于对称．17．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，格点O为原点，格点A的坐标为（﹣1，3）．（1）画出点A关于y轴对称的格点B，并写出点B的坐标（，）；（2）将线段OA绕着原点O顺时针旋转90°，点A落在格点C处，画出线段OA扫过的平面区域（用阴影表示），则AC的长为；（3）过点C作AC的切线CD，D为格点，设直线CD的解析式为y=kx+b，y 随x的增大而；（填“增大”或“减小”）（4）连接BC，则tan∠BCD的值等于．。
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
格点图中的锐角三角函数
格点图中的锐角三角函数正在正方形网格中，我们把水平线与竖直线相交的点称为格点。
如果在网格中，一个三角形的三个顶点在格点上，那么我们称这个三角形为格点三角形。
格点三角形有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类。
在初中阶段，锐角三角函数值的求解经常作为一个考点来考查学生的观察、分析和计算能力。
由于此类题灵活多变，内容丰富，经常将其在中考试卷中作为考点进行考查，其考查学生能力的作用不言而喻。
下面择其中的中考题作个例析。
例1.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，E为BC中点，则sin∠AEB的值是（）A．B．C．D．例1例2例2.（2017•无锡）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．练习：1.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是．第1题第2题2.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则tan∠APC 的值是．3.仿照例题完成任务：例：如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，求tan∠BOD的值．解析：连接AE，EF，导出∠BOD＝∠FAE，再根据勾股定理求得三角形各边长，然后利用三角函数解决问题．具体解法如下：连接AE，EF，则AE∥CD，∴∠FAE＝∠BOD，根据勾股定理可得：AE＝，AF＝2，EF＝3，∵，∴△FAE是直角三角形，∠FEA＝90°，∴tan∠FAE＝＝3，即tan∠BOD＝3．任务：（1）如图2，M，N，G，H四点均在边长为1的正方形网格的格点上，线段MN，GH相交于点P，求图中∠HPN的正切值；（2）如图3，A，B，C均在边长为1的正方形网格的格点上，请你直接写出tan∠BAC的值．4.如图，在边长都为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，（1）sin∠BAC＝，PC＝．（2）求tan∠DPA的值．参考答案：例1.【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义。
无刻度直尺网格作图的基本模型及应用
无刻度直尺网格作图的基本模型及应用《义务教育数学课程标准（2022年版）》对尺规作图的内容及要求有所加强，其地位又得到了一定提升。
尺规作图蕴含丰富的推理，是发展学生推理能力的良好载体，而“无刻度直尺网格作图”是尺规作图的基础。
本文将在9×9的网格下讨论三种基本模型和四种复合模型。
在网格作图中，我们把两条相交直线叫做格点的“母线”。
若两条母线都是网格线，则交点叫格点；若两条母线中只有一条网格线，则交点叫次格点；若两条母线都不是网格线，则交点叫一般点。
我们要过一个点作一条线的平行线或垂线，当点是格点时，我们很轻松的通过平移完成，当点不是格点时，我们通常通过平移“生成”点的母线来完成。
一、基本作图1、过点作平行线①如图1，过C点作CD平行且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则A到B的平移方式也是横左2纵下3。
总结：若点是格点，直接通过平移到对应点，并且平移横纵不变（下文中平移方式不变就不再强调）。
②如图2，过E点作EF平行且等于AB解答：E是次格点，先找到母线AC的对应母线BD，再找到E的对应点F。
总结：若点是次格点，先通过平移非网格线的那条母线到对应母线，再找到对应点。
③如图3，过E点作EF平行且等于AB解答：E是一般点，先找到两条母线的对应母线，再找到E的对应点F。
总结：若点是一般点，先通过平移两条母线到对应母线，再找到对应点。
变式：如图4，过E点作AB的平行线交BC于点F解答：我们除了用平移的方法作平行线，还可以利用X、A型相似作平行。
因为E是AC的一个三等分点，可以先连接BC，再利用相似找BC对应的三等分点F。
2、过点作垂线①如图5，过C点作CD垂直且等于AB解答：C是格点，只需要找到C的对应点D，因A到B的平移方式是横左2纵下3，则C到D的平移方式是横左3纵上2。
总结：若点是格点，直接通过旋转得到对应点，并且旋转横纵交换。
②如图6，过E点作EF垂直且等于AB解答：E是次格点，先过A点作AB的垂线AC（横纵交换），再过次格点E点作AC的平行线EF。
第24章《解直角三角形》培优专题3：解直角三角形
同步练习1BAO同步练习2BAC同步练习3BAC同步练习4BAC同步练习5B AC第24章《解直角三角形》培优习题3：解直角三角形考点1：解直角三角形（纯数学问题）题型1：网格图中求锐角三角函数例1、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD相交于点O ，则AOD ∠tan 等于（ ）A 、21 B 、2 C 、1 D 、2【同步练习】1、在正方形网格中，AOB ∆如图放置，则=∠AOB tan （ ） A 、23 B 、32 C 、1333 D 、131322、如图，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则BAC ∠sin 的值为（ ）A 、21B 、22C 、1D 、33、如图，在正方形网格中，已知ABC ∆的三个顶点均在格点上，则ACB ∠的正弦值为（ ） A 、2 B 、552 C 、55 D 、214、在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，ABC ∆的顶点都是格点，则BAC ∠sin 的值为（ ）A 、1053 B 、552 C 、2 D 、555、如图，ABC ∆的顶点是正方形网格的格点，则=A cos （ ） A 、21 B 、22 C 、23 D 、55 DBC AO例题2图E BD同步练习1ACBNCD 同步练习3MA 题型2：锐角三角形跨章节综合应用例2、如图，已知ABC Rt ∆的直角顶点A 落在x 轴上，点B 、C 在第一象限，点B 的坐标为（534，4），点D 、E 分别为边BC 、AB 的中点，且21tan =B ，反比例函数xky =的图象恰好经过D 、E ，则k 的值为（ ）A 、18B 、8C 、12D 、16【同步练习】1、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠90DAB ，BC AD //，AD BC 21=，AC 与BD 交于点E ，BD AC ⊥，则BAC ∠tan 的值是（ ）A 、41 B 、42 C 、22 D 、312、已知ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，CD 是AB 边上的高，且5=AB ，54cos =A ，则CD 的长为（ ） A 、53 B 、54 C 、512 D 、516 3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90A ，6=AB ，8=AC ，点D 为边BC 的中点，点M 为边AB 上的一动点，点N 为边AC 上的一动点，且︒=∠90MDN ，则DMN ∠sin 为（ ）A 、53 B 、54C 、55D 、510例3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，点D 在BC 边上，︒=∠45ADC ，2=BD ，43tan =B .（1）求AC 和AB 的长； （2）求BAD ∠sin 的值。
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形知识点
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形知识点【考点1 锐角三角函数的定义】【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.【例1】（2020•平房区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A．mcosαB．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）【考点3 锐角三角函数的增减性】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°【考点5 互余两角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, 【例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．【考点6 特殊角的三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：【例6】（2020•灌云县模拟）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°1+sin30°+tan260°【考点8 解直角三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．【例8】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B=45．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．【考点9 解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 【例9】（2020春•牡丹江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6√2B．2√19C．2√13D．9【考点10 解直角三角形（作垂线）】【例10】（2019•包头模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．（1）求△BCD的面积；（2）求cos∠ADB．【考点11 解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例11】（2020•芝罘区一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．【考点12 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．【例12】（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（√3≈1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：√3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．【考点13 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【例13】（2020•赛罕区二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）【考点14 解直角三角形的应用（方位角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【例14】（2020•锦州一模）如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知P A平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）。
三角函数知识点及典型例题
板块一 基础知识一、锐角三角函数的定义1. 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．2. 正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c =． 3. 余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． 4. 正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b =． 5. 余切：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作cot A ，即cot b A a=． 从定义中可以看出，① 正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 、cot A 分别是正弦、余弦、正切、余切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 、cot 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切、余切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住．三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot bA a=，三角函数 0︒ 30︒45︒60︒90︒sin A 012 22 321cos A 132 22 12 0tan A 03313-cot A - 3 1 33三角函数所以0sin 10cos 1tan 0cot 0A A A A <<<<>>，，，．四、三角函数关系 1. 同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A=，tan cot 1A A ⋅= 2. 互余角三角函数关系：⑴ 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-； ⑵ 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； ⑶ 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-；⑷ 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值：()cot tan 90A A =︒-． 3. 锐角三角函数值的变化规律：令1c =，锐角A ∠越小，则a 越小，则b 越大；当A ∠越大，则a 就越大，b 就越小，且a c b c <<，，所以当角度在0~90︒︒范围内变化时，正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．而正切值也是随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）．可以应用0~90︒︒间的正弦值、余弦值、正切值、余切值的增减性来比较角的正弦、余弦、正切、余切值的大小，其规律是：⑴A B 、为锐角且A B >，则sin sin A B >，cos cos A B <，tan tan A B >，cot cot A B <；⑵A B 、为锐角且A B <，则sin sin A B <，cos cos A B >，tan tan A B <，cot cot A B >．该规律反过来也成立．板块二 常用公式1. 和角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅；2. 差角公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+⋅；3. 倍角公式：2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin22sin cos ααα=，22tan tan 21tan ααα=-； 4. 半角公式：21cos cos 22αα+=，21cos sin 22αα-=，sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+； 5. 万能公式：22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-；6. 积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--，1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-，1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--．7. 和差化积公式：cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=，cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-，sin sin 2sin cos22αβαβαβ+-+=，sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=．板块一、三角函数基础【例1】 已知如图：在Rt ABC ∆中，810BC AC ==，.求sin A 和sin B 的值。
中考数学中格点问题评析
中考数学中格点问题评析近年来,有关格点问题在中考试卷中频频出现。
格点问题题型新颖、题材丰富、构思巧妙,利用格点可以讨论三角形全等与相似,进行图形的平移、旋转与翻折,计算图形的面积,探索有关的规律和结论等。
总之,有关格点问题形式多样,能考察学生多方面知识的整合和运用,已逐步成为中考试卷中的一个亮点。
在解决这些问题时,要求学生认真观察,综合运用所学的知识,探索规律和寻找突破口,从而正确地解题。
下面就有关题型加以归类,仅供参考。
一、利用格点求三角函数值解决这类问题时,关键观察角在格点中的位置,找到有关角所在的直角三角形,运用勾股定理计算出相关边的长度,再运用三角函数的定义便可进行求解。
例1(2007宿迁市)如图△abc的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠abc等于……………………()abcd评析:解题时我们要打破思维定势,可辟开讨论斜△abc。
而要找到含∠abc的一个直角三角形,即可求出sin∠abc的值。
由于含∠abc的直角三角形对边是2,斜边是,故选c。
二、利用格点讨论三角形全等与相似解决这类问题时,关键要熟练掌握三角形全等和相似的判定定理,观察三角形在格点中的位置,可运用勾股定理计算出有关边的长度,并结合有关的特殊角,再运用三角形全等与相似的判定定理,即可进行求解。
例2在5×5的正方形网格点中,△abc的三个顶点在网格点上。
⑴在网格上画一个顶点在格点上,且与△abc相似的面积最大的△a`b`c`并求出它的面积。
⑵计算点c`到a`b`的距离。
评析:本题把讨论三角形相似与探讨最值问题有机地结合在一起。
考查了学生观察猜想能力和灵活运用知识的能力。
在问题⑴中,若要使与△abc相似且面积最大,则要让最大的边a`b`最好为5×5的正方形网格的对角线,再由相似三角形对应边成比例运用勾股定理可算出a`b`=,b`c`=,a`c`=,从而可作出△a`b`c`,在问题⑵中,学生结合问题⑴中所作图形,通过细心观察,由△a`b`c`在网格中的位置可知,点c`到a`b`的距离即为一个小正方形的对角线。
利用网格线巧求三角函数值课件
实例二：利用网格线求斜率对应的三角函数值
总结词
通过网格线确定斜率，利用三角函数关系求解
详细描述
在直角坐标系中，利用网格线将斜率划分为若干个小的等分，根据三角函数的关系（如正 弦、余弦的平方和等于1），计算出每个小斜率对应的三角函数值。
实例计算
假设要求斜率为tan(45度)的值，可以先确定45度的正切值，然后利用三角函数关系计算 出对应的余弦值和正弦值。
通过观察角度所在的网格线，可以快 速得出角度对应的三角函数值。
详细描述
在直角坐标系中，将角度所在的网格 线与x轴或y轴重合，根据三角函数的 定义，可以得出角度对应的正弦、余 弦和正切值。
方法二：利用网格线求斜率对应的三角函数值
总结词
通过观察斜率所在的网格线，可以快速得出斜率对应的三角 函数值。
详细描述
利用网格线确定三角函数值的符号
通过观察函数图像在网格线上的位置，可以确定三角函数值的正负符号，进而 简化计算过程。
利用网格线绘制三角函数图像
通过在坐标系中按照网格线进行绘图，可以更直观地理解三角函数的性质和变 化规律。
01
利用网格线求三角 函数值的方法
方法一：利用网格线求角度对应的三角函数值
总结词
传统方法求解三角函 数值较为繁琐，需要 记忆大量公式和技巧。
课程目标
掌握网格线法的基本原理和步骤。
能够利用网格线法求解任意角度 的三角函数值。
理解网格线法在解决实际问题中 的应用，提高数学应用能力。
01
网格线的概念和性 质
网格线的定义
01
网格线是指在坐标系中，按照一 定规则排列的纵横线交点所形成 的线段。
01
实例分析
实例一：利用网格线求角度对应的三角函数值
初三数学解直角三角形考点梳理
解直角三角形考点全梳理考点1 锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。
正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.例题1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A ．B．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα变式1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin ∠BCD的（）（第一题图）（第二题图）（第三题图）A ．B ．C ．D ．变式2如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sin A 的式子为（）A ．B ．C ．D ．变式3如图，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（）A．a•（cosα﹣cosβ）B ．C．a cos αD．a•cosα﹣a sinα•a•tanβ考点2 网格中的锐角三角函数值计算解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.例题2如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）A ．B ．C ．D ．变式4如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是．变式5如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为．变式6如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．考点3 锐角三角函数的增减性解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）例题3sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°变式7比较大小：（1）cos35°cos45°，tan50°tan60°；（2）若sinα＝0.3276，sinβ＝0.3274，则αβ．变式8比较大小：sin81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．变式9如图所示的网格是正方形网格，∠AOB∠COD．（填“＞“，“＝”或“＜“）考点4 同角三角函数的关系解决此类问题的关键在于掌握同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA或sinA＝tanA•cosA．例题4如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sinα，则tanα＝（）A．B．C．D．变式10若∠a为锐角，且tan a是方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则sinα等于（）A．1B．C．D．变式11在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（）A．sin A+cos A＜1 B．sin A+cos A＝1C．sin A+cos A＞1D．sin A+cos A≥1变式12已知sinαcosα，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．C．D．±考点5 互余两角三角函数的关系解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,例题5如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．变式13已知α为锐角，sinα+cos（90°﹣α），则α＝．变式14若a＜60°，且sin（60°﹣a），则cos（30°+a）＝．变式15化简：．考点6 特殊角的三角函数值的计算解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）tan260°变式16计算：3tan30°cos45°变式17计算：变式18计算（1）3tan60°﹣tan245°﹣2cos30°．（2）．考点7 特殊角的三角函数值中的新定义问题例题6嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．变式19阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sin αcos αtan α一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；sin15°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．考点8 解直角三角形解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a 2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．例题7如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．变式20如图，在Rt△ABC中，设a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，b＝8，∠A的平分线AD，求∠B，a，c的值．变式21如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分别是BC边的中线和高，若cos B，BC＝10．（1）求AB的长；（2）求AE的长；（3）求sin∠ADB的值．变式22如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，cos A，BC＝12，D是AB的中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．求：（1）线段CD的长；（2）cos∠ABE的值．考点9 解斜三角形解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解.例题8如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6B．2C．2D．9变式23已知．在△ABC中，BC AC，∠BCA＝135°，求tan A的值．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tan B，AC＝6，求AB的长．变式24如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6．求△ABC的面积．考点10 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．例题9水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC 的坡角β为60°，坝高3m ，（ 1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．变式25如图，水坝的横截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD的坡度i 为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（结果保留根号）．考点11 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．例题10如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A 处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）考点12 解直角三角形的应用（方位角问题）解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式26如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．（1）直接写出∠C的度数；（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
网格中的锐角三角函数
网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。
所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。
一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。
【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ).
[解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ．
练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，
则
（ ）．
（A ） （B ） （C ） （D ）
练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，
34
45
4
3
B .
； C .
3
5
；D .
A. 35
图
3
图2
2
sinB 的值是 .
3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= .
A ．1
B ．2
C ．1
2
D
4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 .
A ．12
B ．13
C ．14 D
3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。
充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。
二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。
【例2】 （2014•贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．
[解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC
中
图7-1
图7-2
图4
图6
图5
的一个锐角，而△ABC不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算，必须先做辅助线构造直角三角形，使∠A在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。
解：如图7-2，作AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
由勾股定理得AB=AC=2，BC=2，AD=3，
由BC•AD=AB•CE，
即CE==，
sinA===3
5
，
练习4如图8，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则sinC= _总之在网格中求一个锐角的三角函数主要是找直角三角形或者构造直角三角形，然后运用三角函数公式进行求解。
A
B
C
图8
3。