公共工期排序问题的分枝定界算法
流水线作业排序问题
流水线作业排序问题/productioncontrol/200908091604.html流水作业排序问题的基本特征是每个工件的加工路线都一致。
在流水生产线上制造不同的零件，遇到的就是流水作业排序问题。
我们说加工路线一致，是指工件的流向一致，并不要求每个工件必须经过加工路线上每台机器加工。
如果某些工件不经某些机器加工，则设相应的加工时间为零。
一般说来，对于流水作业排序问题，工件在不同机器上的加工顺序不尽一致。
但本节要讨论的是一种特殊情况，即所有工件在各台机器上的加工顺序都相同的情况。
这就是排列排序问题。
流水作业排列排序问题常被称作“同顺序”排序问题。
对于一般情形，排列排序问题的最优解不一定是相应的流水作业排序问题的最优解，但一般是比较好的解；对于仅有2台和3台机器的特殊情况，可以证明，排列排序问题下的最优解一定是相应流水作业排序问题的最优解。
这里只讨论排列排序问题。
但对于2台机器的排序问题，实际上不限于排列排序问题。
一、最长流程时间Fmax的计算这里所讨论的是n／m／P /Fmax，问题，其中n为工件数，m为机器数，P表示流水线作业排列排序问题，Fmax为目标函数。
目标函数是使最长流程时间最短，最长流程时间又称作加工周期，它是从第一个工件在第一台机器开始加工时算起，到最后一个工件在最后一台机器上完成加工时为止所经过的时间。
由于假设所有工件的到达时间都为零(ri=0，i= 1，2，…，n)，所以Fmax等于排在末位加工的工件在车间的停留时间，也等于一批工件的最长完工时间Cmax。
设n个工件的加工顺序为S＝(S1，S2，S3，…，Sn)，其中Si为第i位加工的工件的代号。
以表示工件Si在机器M k上的完工时间, 表示工件Si在Mk上的加工时间，k= 1，2，…，m；i=1，2，…，n，则可按以下公式计算：在熟悉以上计算公式之后，可直接在加工时间矩阵上从左向右计算完工时间。
下面以一例说明。
例9．4 有一个6／4／p／F max问题，其加工时间如表9—6所示。
作业排序优制材料
i2
P
i3
p
i
i
1
2
3
4
P
i1
1
2
6
3
P
8
4
2
9
4
5
8
2
13
11
16
例：一批制品，批量n =4件，须经四道工序加工，各工序时间分别为：t1=10, t2=5, t3=15, t4=10。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
四、相同零件、不同移动方式下加工周期的计算
一批零件在上道工序全部加工完毕后,才整批转移 到下道工序加工。
n——加工批量； m——工序数目； ti——工件在第i工序的单件工时；
3、平行顺序移动方式
工序
M1
M2
M3
M4
T平顺
t2
t1
t3
时间
t4
第2种情况：ti≥ ti+1 考虑设备加工的连续性
第1个工序的所有工件加工完成的时刻为基准，向前推（n-1）个t2时间，作为第2个工序的开始时间。即从红线开始向前推3个作为第2个工序的开始时间。
3、平行顺序移动方式
x
T=nt1+t2+x+t4
k=1，2，3...m
例：有一个4/3/P/ Fmax 问题，其加工时间如下表所示，用Palmer法求解。
表
11
-
5
加工时间矩阵
i
1 2 3 4
P
i1
1 2 6 3
P
i2
8 4 2 9
二、n/2/F/Fmax问题的最优算法
（一）Johnson算法： ① 从加工时间矩阵中找出最短的加工时间。 ② 若最短的加工时间出现在M1上，则对应的零件尽可能往前排；若最短加工时间出现在M2上，则对应零件尽可能往后排。然后，从加工时间矩阵中划去已排序零件的加工时间。若最短加工时间有多个，则任挑一个 ③ 若所有零件都已排序，停止。否则，转步骤①。
分支定界算法
分支定界算法
分支定界算法（Branch and Bound Algorithm）是一种以穷举搜索方式解决多项选择问题（Multiple Choice Problem）的算法。
它是一种深度优先（Depth-First）搜索算法，通过在搜索树上建立一种叫做“定界函数”的辅助函数来记录搜索树的叶子节点（Leaf Node）状态，从而剪枝，从而达到节省时间的目的。
基本思想：在搜索树的每一层，先将该层所有可能的节点都搜索一遍，如果发现某一个节点存在更好的解，就把这个节点的值作为“定界函数”的值，然后对于后续搜索而言，如果发现某一节点的值比“定界函数”的值还要差，就不必再继续搜索下去，因为这样的节点是不可能得到更好的解的。
步骤：
（1）将根节点加入到搜索树中，并设定当前最优解为最大值（或最小值）。
（2）从根节点开始，对搜索树中每一个节点进行搜索。
（3）如果发现某一节点的值比当前最优解还要优，则更新当前最优解；如果发现某一节点的值比当前最优解差，则可以放弃搜索这个节点的子树，即剪枝。
（4）重复步骤2和步骤3，直到搜索树中所有叶子节点都被搜索完毕，则找到了最优解。
分支定界算法
分支定界 (branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有孩子结点；2 ．在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的孩子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点，根据选择方式的不同，分支定界算法通常可以分为两种形式：1 ． FIFO(First In First Out) 分支定界算法：按照先进先出原则选择下一个活结点作为扩展结点，即从活结点表中取出结点的顺序与加入结点的顺序相同。
2 ．最小耗费或最大收益分支定界算法：在这种情况下，每个结点都有一个耗费或收益。
如果要查找一个具有最小耗费的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最小耗费的活结点；如果要查找一个具有最大收益的解，那么要选择的下一个扩展结点就是活结点表中具有最大收益的活结点。
又称分支定界搜索法。
过程系统综合的一类方法。
该法是将原始问题分解，产生一组子问题。
分支是将一组解分为几组子解，定界是建立这些子组解的目标函数的边界。
如果某一子组的解在这些边界之外，就将这一子组舍弃（剪枝）。
分支定界法原为运筹学中求解整数规划(或混合整数规划)问题的一种方法。
用该法寻求整数最优解的效率很高。
将该法原理用于过程系统综合可大大减少需要计算的方案数日。
分支定界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。
在竞赛中，我们有时会碰到一些题目，它们既不能通过建立数学模型解决，又没有现成算法可以套用，或者非遍历所有状况才可以得出正确结果。
工程施工工序排列与工期安排
工程施工工序排列与工期安排一、引言在进行工程施工时，合理的工序排列和科学的工期安排非常关键。
因为这直接影响到工程的进展和质量。
本文将探讨工程施工工序的排列方法以及合理的工期安排，旨在提高工程施工的效率和质量。
二、工序排列原则1. 首先考虑工序的前后依赖关系。
例如，打地基和浇筑地板需要在安装柱子之前完成，因此必须确保前一工序的顺利进行，否则会影响到后面的工序。
2. 其次考虑工序的难易程度。
将易于实施的工序放在前面，可以迅速启动施工工作并增加整个工程的动力。
3. 再者，考虑工序的时间限制。
有些工序需要较长时间完成，因此必须提前安排，并考虑到相邻工序的时间间隔，以充分利用排队时间，降低空闲时间。
三、关键路径法（CPM）的应用关键路径法是一种常用的工期管理方法，可帮助施工团队确定工程中的关键路径，即影响整个工程最长时间的一条路径。
通过分析关键路径，可以精确安排工期，确保项目按时完成。
四、了解风险因素在排列工序和安排工期时，必须充分考虑潜在的风险因素。
这些因素包括天气条件、材料供应的延迟、技术问题等。
通过充分预估和合理控制这些风险因素，可以避免因不可预见情况而延误工程进度。
五、资源管理与工期安排在进行工期安排时，必须考虑人力和物力资源的合理利用。
合理分配工人和设备，以确保所有工序都能在适当的时间内完成。
此外，还需充分考虑到合同规定的工期要求和资源的限制，以提高资源利用率和工作效率。
六、灵活应对工程变化工程施工过程中，可能会出现一些变化，例如设计的调整、现场问题等。
在工期安排时，需要有一定的弹性，以应对这些变化。
同时，及时沟通并协调各相关方，以便灵活调整工期和工序排列。
七、进度监控与调整在工程施工的过程中，及时监控工程进度是非常重要的。
通过定期检查和评估工程进展，可以及时发现问题并进行调整。
若发现工期延误的迹象，应采取相应措施，如增加工人数量、调整工序顺序等，以确保工程能按时完成。
八、结论工程施工工序排列与工期安排是工程管理的关键环节。
分支定界算法流程
分支定界算法流程Branch and Bound (B&B) algorithm is an algorithm for solving optimization problems, such as finding the best solution of a function in a given search space. 分支定界算法是一种用于解决优化问题的算法，比如在给定搜索空间中找到函数的最佳解。
The basic idea of the branch and bound algorithm is to divide the search space into smaller subspaces, or "branches," and then bound the solution of each branch to determine if it can be pruned or not. 分支定界算法的基本思想是将搜索空间划分为较小的子空间或“分支”，然后对每个分支的解进行界定，以确定是否可以剪枝。
In order to effectively use the branch and bound algorithm, it is important to have a good understanding of the problem and its search space. 为了有效地使用分支定界算法，重要的是要深入了解问题及其搜索空间。
One key aspect of the branch and bound algorithm is the bounding step, which involves determining an upper and lower bound for eachbranch in the search space. 分支定界算法的一个关键方面是界定步骤，它涉及确定搜索空间中每个分支的上界和下界。
分支定界法知识
分支定界(branch and bound) 算法是一种在问题的解空间树上搜索问题的解的方法。
但与回溯算法不同，分支定界算法采用广度优先或最小耗费优先的方法搜索解空间树，并且，在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。
利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是：1 ．产生当前扩展结点的所有子结点；2 ．在产生的子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点；3 ．将其余的子结点加入活结点表；4 ．从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。
如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。
分支定界法本质还是一种枚举法，但是是隐枚举法。
它是整数规划领域中非常重要的一类算法思想。
是很多重要算法的源头。
它能解决的实际问题很多，最著名的一个应该就是求解背包问题。
定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
分支定界法——精选推荐
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
分支定界法的步骤包含一下
分支定界法的步骤包含一下下面是分支定界法的主要步骤：1.问题建模：将原始问题转化为数学模型。
定义问题的目标函数和约束条件，明确问题的优化目标和可行解空间。
2.创建树：将问题空间表示为一棵树。
根节点表示问题的初始状态，每个子节点表示一次决策。
根据问题的性质和约束条件，确定树的分支方式。
3.定义目标函数上界：问题的目标函数上界是指在问题的可行解空间内，一个节点的任何子节点的目标函数值不会超过上界。
目标函数上界可以通过问题的性质进行估计，或者通过启发式信息进行估计，以便在过程中及时剪枝。
4.定义目标函数下界：问题的目标函数下界是指在问题的可行解空间内，一个节点的任何子节点的目标函数值都不会低于下界。
目标函数下界可以通过问题的性质、启发式信息或剩余问题的优化程度进行估计。
5.选择分支变量：根据树的结构和上下界的估计，选择一个最有希望的分支变量。
分支变量的选择一般按照某种启发规则进行，以期能够尽快找到最优解。
6.分支处理：对于选择的分支变量，根据其取值的可能性进行分支处理。
创建该分支的子节点，并更新子节点的上下界。
7.剪枝处理：根据子节点的上下界信息，对树中的节点进行剪枝处理。
如果一个节点的目标函数上界小于当前找到的最优解，或者一个节点的目标函数下界大于当前找到的最优解，可以放弃该节点的子树。
8.更新最优解：在过程中，及时更新当前找到的最优解。
如果一个节点的子节点的目标函数值小于当前最优解，则将最优解更新为子节点的值。
9.结束：当树中没有可扩展的节点或所有可扩展节点都被剪枝时，结束。
此时，当前最优解即为问题的最优解。
分支定界法通过使用上下界信息来指导过程，能够有效地减小空间，提高问题求解效率。
但需要注意的是，分支定界法对问题的求解结果依赖于上下界的估计准确性和分支变量的选择策略，因此在实践中需要根据具体问题进行合理的建模和启发规则的设计。
【精编】算法课件六分支定界PPT课件
结点e出队；
若e是回答结点，则
输出解或求解路径；
否则
检查e的所有子结点x：
若x满足约束条件，则
将x入队；
记录搜索路径；
LOGO
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❖ 优先队列式分支限界法程序框架
设T为状态空间树的根结点；~C(x)为耗费估计函数 ；初始化优先队列Q；
计算~C(T)，并将T入队；
循环，直到队列Q空（无解）：
❖ 响度表示人所感受到的声音的强弱程度，它是一种与人耳 的 听感特性有关的人对声音强弱的主观表示法。与客观表示 法相比，主观表示法不仅与声音的强度（如声压）有关、而 且还与声音的频率有关。
❖ 响度的单位为宋（sone），1宋是声压级为40dB，频率为 1000Hz纯音所产生的响度。任何一个声音的响度，如果被 听者判断为1宋响度的几倍，则这个声音的响度就是几宋。
正常人的耳朵在声波频率为1000Hz时(纯音时)刚好等感觉 到的最弱声压为2×10-5Pa，此声压称为基准声压p0，或 称听阈声压。当声压达到20Pa时，使人的耳朵刚好产生疼 痛，故称痛阈声压。
声压P是声学中表示声音强弱的指标。声压大，则声音越 强(越响)；声压小，则声音听起来弱(低)。
5.6 汽车噪声的检测
当且仅当满足下述关系时，称之为堆
k k
i i
k2i k 2i1
或
k k
i i
k2i k 2i1
i
1,2,,
n 2
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示例2：旅行商问题
LOGO
❖FIFO分支定界
E-节点 活节点表
B CDE
C DEFG
E FGH I J K
F 路径12341，59
G 路径12431，66
平行机排序问题的分支定界法
平行机排序问题的分支定界法平行机排序问题是一种重要的计算问题，其解决方案需要采用高效的算法。
其中，分支定界法是一种有效的算法，它可以在较短的时间内求出精确的解。
本文将介绍分支定界法在解决平行机排序问题中的应用。
首先，我们需要了解什么是平行机排序问题。
平行机排序问题是指将m个长度为n的无序数列分别在m台相同的并行计算机上排序的问题。
解决这个问题的目的是将n个数据分配到m个处理器上，使得每个处理器处理相同数量的数据并且每个处理器所处理的数据之间不重叠。
这个问题的解决方案直接影响着计算机并行运算的效率。
接下来，我们来了解一下分支定界法的基本原理。
分支定界法是一种搜索算法，它通过确定搜索空间的界限，缩小搜索范围来寻求最优解。
具体地，它通过分别计算每个分支节点的界限，并将它们压入一个优先队列中，然后不断地从队列中取出界限最小的节点进行搜索。
这种方法的优势在于，它可以避免遍历整个搜索空间，从而减少搜索时间。
在采用分支定界法解决平行机排序问题时，我们需要采取以下步骤：1. 设定一个节点表示的状态为：第index台机器已经处理完前k个任务的状态。
2. 计算当前节点的上、下界限。
上限为该节点状态下的最大已经处理完的任务，下限为该节点状态下的最小就能得到最优解的任务。
3. 将上、下界限压入优先队列中，并在队列中不断寻找下一个最优解。
4. 每找到一个新节点，都需要计算其上、下界限，并将这些界限压入优先队列中。
5. 当找到一个整个搜索空间中的最优解或队列为空时，搜索过程结束。
在实际应用中，分支定界法能够通过合理的界限计算和优化，以较高的效率求解平行机排序问题。
这种方法的最大优势在于，可以通过委托各个处理器计算各自的界限，大大减少了计算时间和工作量。
综上所述，采用分支定界法解决平行机排序问题，可以通过压缩搜索空间、优化界限计算等方法实现高效的计算并行，从而实现高效的求解。
当然，这种方法仍需要针对具体的问题进行优化和调整，以发挥出最大的效益。
最短路径问题的分支定界算法
最短路径问题的分支定界算法最短路径问题是图论中的重要问题之一，它在许多实际应用中具有广泛的意义。
为了解决最短路径问题，我将介绍一种有效的算法——分支定界算法。
一、问题描述最短路径问题是要找到图中两个顶点之间的最短路径。
给定一个带权有向图，其中顶点表示路径上的地点，边表示路径的长度。
我们需要找到从起点到终点的最短路径。
二、分支定界算法原理分支定界算法是一种穷举搜索算法，通过分解问题的解空间，并确定每个子问题的解上下界，以逐步缩小搜索空间。
以下是分治定界算法的基本步骤：1. 初始化a. 定义一个队列，用于存放候选路径；b. 设置初始最短路径长度为正无穷；c. 将起点加入队列。
2. 分支定界a. 从队列中取出当前路径，并计算路径长度；b. 如果当前路径长度大于等于当前最短路径长度，则剪枝，继续下一个路径；c. 如果当前路径的终点是目标终点，则更新最短路径长度和最短路径，继续下一个路径；d. 否则，扩展当前路径，将其邻节点添加到队列中。
3. 终止条件a. 当队列为空时，终止搜索，得到最短路径。
三、算法实现以下是使用分支定界算法解决最短路径问题的伪代码：```初始化队列；初始化最短路径长度为正无穷；将起点加入队列；while (队列非空) {取出当前路径，并计算路径长度；if (当前路径长度大于等于当前最短路径长度) {剪枝，继续下一个路径；}if (当前路径的终点是目标终点) {更新最短路径长度和最短路径；继续下一个路径；}扩展当前路径，将其邻节点添加到队列中；}返回最短路径；```四、案例分析为了更好地理解分支定界算法的应用，我们以一个简单的案例来说明。
假设有一个城市地图，其中包含多个地点，我们需要找到从起点到终点的最短路径。
首先，我们将起点添加到队列，并初始化最短路径长度为正无穷。
然后，通过不断从队列中取出路径，并计算路径长度，进行分支定界操作。
在每一步分支定界操作中，我们根据当前路径长度与最短路径长度的比较，以及当前路径终点是否为目标终点，来进行剪枝或更新最短路径。
分支定界算法在计划排程中的角色
分支定界算法在计划排程中的角色在计划排程中，分支定界算法扮演着至关重要的角色。
分支定界算法是一种用于解决组合优化问题的数学方法，通过不断分解问题并剪枝，最终找到最优解。
在计划排程中，分支定界算法可以帮助规划者有效地安排任务和资源，提高排程的效率和质量。
本文将探讨分支定界算法在计划排程中的具体作用和应用。
### 1. 任务分解与约束建模在计划排程中，通常需要考虑多个任务之间的先后顺序、资源分配、时间限制等各种约束条件。
分支定界算法可以帮助将整个排程问题分解为更小的子问题，从而简化计算过程。
通过任务分解和约束建模，可以将排程问题转化为一个树形结构，每个节点代表一个可能的排程方案，而边则表示任务之间的约束关系。
### 2. 剪枝策略的应用在分支定界算法中，剪枝是一种重要的策略，可以帮助排除一些不可能达到最优解的分支，从而减少计算量，提高算法效率。
在计划排程中，剪枝策略可以根据任务之间的约束关系和资源限制，及时排除一些不符合条件的排程方案，从而缩小搜索空间，更快地找到最优解。
### 3. 最优解的搜索与确定分支定界算法通过不断搜索可能的排程方案，并根据目标函数的值进行剪枝，最终确定最优解。
在计划排程中，最优解往往是指在满足各种约束条件的前提下，使得整体排程的效益最大化或成本最小化。
分支定界算法可以帮助规划者找到最优的排程方案，从而提高工作效率和资源利用率。
### 4. 多目标优化排程除了单一目标的最优化排程外，分支定界算法还可以应用于多目标优化排程。
在实际工程项目中，往往需要考虑多个目标的平衡，如时间、成本、资源利用率等。
分支定界算法可以通过设置不同的目标函数和约束条件，找到多目标下的最优排程方案，帮助规划者做出更合理的决策。
### 5. 实例分析与案例应用为了更好地理解分支定界算法在计划排程中的作用，我们可以通过一个实例来进行分析和应用。
假设某工程项目需要安排多个任务的排程，每个任务有不同的工期、资源需求和优先级。
分支定界法三个终止条件
分支定界法三个终止条件
分支定界法是一种用于解决优化问题的算法，它通过不断地分
解问题并对每个子问题进行求解，从而找到最优解。
在分支定界法中，通常会使用三个终止条件来确定何时停止搜索。
这三个终止条
件分别是，1. 达到最大迭代次数；2. 达到特定的目标函数值；3.
达到特定的时间限制。
首先，最大迭代次数是指算法进行搜索的最大次数，一旦达到
这个次数，算法就会停止搜索并返回当前最优的解。
这个条件可以
防止算法无限制地搜索下去。
其次，达到特定的目标函数值是指当算法找到一个解，其目标
函数值达到或超过预先设定的阈值时，算法就会停止搜索。
这个条
件可以在目标函数值满足要求时提前结束搜索，节省时间和计算资源。
最后，达到特定的时间限制是指算法在规定的时间内进行搜索，一旦超过了这个时间限制，算法就会停止搜索并返回当前最优的解。
这个条件可以确保算法在有限的时间内给出结果，避免无谓的计算。
这三个终止条件在分支定界法中起着重要的作用，它们可以帮助算法在合理的时间内找到最优解，同时避免无谓的计算和资源浪费。
通过合理设置这些终止条件，可以使分支定界法更加高效地解决优化问题。
工期计算方式范文
工期计算方式范文工期是指完成一个项目或任务所需的时间长度。
它是项目管理中非常重要的一个概念，对于项目的成功与否、进度的控制和资源的分配都有很大的影响。
工期的计算方式可以分为直线计算和网络计算两种常见方法。
1.直线计算方式：直线计算方法是最简单和直接的计算工期的方法。
它通过将项目中的各个活动按照顺序排列，计算每个活动的时间长度和总工期。
这种方法适用于项目的工作流程线性、活动之间没有前后置关系的情况。
直线计算方法的步骤如下：-确定项目的活动和任务，将其按照顺序排列；-估算每个活动的时间长度，通常使用专家判断、历史数据或者模型等方法；-计算每个活动的开始时间和结束时间，根据活动的时间长度和前置活动的结束时间计算得出；-计算总工期，将各个活动的时间长度相加得到。
直线计算方法的优点是简单直观，容易理解和计算；缺点是没有考虑活动之间的依赖关系和可能的并行执行，因此工期可能会被低估。
适用于简单的、线性的项目。
2.网络计算方式：网络计算方法是一种基于网络图的工期计算方法，通过绘制和分析活动之间的依赖关系，计算得出项目的工期。
这种方法考虑了活动之间的关联和并行执行情况，更加准确和可控。
网络计算方法的步骤如下：-确定项目的活动和任务，将其绘制成网络图；-定义每个活动的前置活动和后置活动，建立连线表示依赖关系；-估算每个活动的时间长度，通常使用专家判断、历史数据或者模型等方法；-根据活动之间的依赖关系和时间长度，计算每个活动的最早开始时间（EST）和最晚开始时间（LST），最早结束时间（EFT）和最晚结束时间（LFT）；-根据活动的最早和最晚时间，计算项目的最早开始时间、最早结束时间、最晚开始时间和最晚结束时间；-计算每个活动的总浮动时间（TF），通过最晚开始时间和最早开始时间之差得出；-计算总工期，根据项目的最早开始时间和最晚结束时间之差得出。
网络计算方法的优点是综合考虑了活动之间的依赖和并行执行关系，能够更准确地计算工期和进行进度控制；缺点是较为复杂，需要使用特定的工具和技术支持。
运筹学第三节分支定界法
≤2
X2 ≤ 2 X1 ， X2 ≥ 0
8
运筹学教程
说明:
1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。
2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标 函数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
产品1 a11
机床1 产品2 a21
机床1 产品3
a23
机床2 a32
机床2
整理课件
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4
a24 机床4
17
运筹学教程
解 设xij表示产品i在机床j 上开始加工的时间(i=1,2,3;j=1,2,3,4) 1.同一件产品在不同机床上的加工顺序约束 同一件产品在下一台机床上的加工的开始时间不早于在上一台机床上加工 的结束时间,故应有 产品1:x11+a11≤x12 ; x13+a13≤x14 产品2:x21+a21≤x22 ; x23+a23≤x24 产品3:x32+a32≤x33 ;
该整数规划松弛问题的解为： （X1 ，X2 ）= （3/2 ，10/3）
Z1 = 29/6
整理课件
5
B2：解 （1，7/3 ）
Z21 = 10/3
（3/2 ，10/3） Z1 = 29/6
B1：解 （2，23/9 ）
Z11 = 41/9
12
整理课件
运筹学教程
松弛问题 Max Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0
分支定界2
− ∑ pi xi
i =1
n
∑w x
i =1
n
i i
≤c
xi ∈{0 ,1} ( 1≤i≤n) 最大收益法
2004年7月10日 厦门大学计算机科学系
旅行商问题
最小耗费法
2004年7月10日
厦门大学计算机科学系
思考题
可满足性问题： 给定一个合取范式CNF CNF =C1∧… ∧Ci∧…∧ Cn 子句Ci具有如下形式 Ci = Li1∨ … ∨ Lij ∨ …∨ Lik 其中，Lij∈{ P1 ,…, Pm , P1 ,…, P m}为两两不同的文 字。文字 P 表示变元P的非，m表示命题变元的 个数，n表示子句的个数, k为子句Ci 的长度。 一个可满足性（SAT）问题是指：对于给定的 CNF是否存在一组关于命题变元的真值指派使 得CNF为真。这里我们只考虑子句长度均为3 的可满足性问题。 厦门大学计算机科学系 2004年7月10日
2004年7月10日
x是圆形结点或三角形结点 x是方形结点
厦门大学计算机科学系
上界为
∑ wi u ( x) = i∉I x ∞ x是圆形结点或三角形结点 x是方形结点
2004年7月10日
厦门大学计算机科学系
2004年7月10日
厦门大学计算机科学系
0/1背包问题
最小耗费法 0/1背包问题 极小化 约束条件
2004年7月10日 厦门大学计算机科学系
对于n个任务的集合s={1,2,3,…,n},找s的一个 子集I={x1 , x 2 , x 3 , … ,xk},使得它满足下面的 两个条件： （1）约束条件：I中的任务存在一种加工顺序， 使得按该顺序在处理机上加I这些任务都可以在 规定的截止时刻内完成。 （2）终结条件：对于任意一个不在I中的任务 i ,任务子集I’= {x1 , x 2 , x 3 , … ,xk , i}中的任务 无论按照什么顺序加工，都至少有一个任务不 可能在其截止时刻内完成。
分支定界
3.3.1 分支定界方法的基本思路 分支定界法（Branch and Bound Method）是求解整数 规划的一种常用的有效的方法，分支定界法既可以求解纯 整数规划，也可以用于求解混合整数规划。
分支定界法基本思路
分支定界法基本思路是先求解整数规划的线性规划 问题。如果其最优解不符合整数条件，则求出整数规划的 上下界，用增加约束条件的办法，把相应的线性规划的可 行域分成子区域（称为分支） ，再求解这些子区域上的线 性规划问题，不断缩小整数规划的上下界的距离，最后得 整数规划的最优解。分支定界法包含分支和定界两个过程。 分支的目的是为求解整数规划创造了条件，定界可以提高 搜索的效率。
用单纯形方法得后继子问题 Bl 和 B2 的最优解分别为： Bl 的最优解：x1 4.2, B2 的最优解：x1 2.25, step5
x2 2,
x2 3,
z1 14.4
*
z2 13.5
*
以后继子问题 B l 和 B2 的解的结果进行比较，
找出最优目标函数值最大者作为新的上界 ；后继子问题 Bl 和 B2 的解不符合整数条件，仍然保持原下界值，则问 题 A 的最优目标函数值 z * 满足：0 z* 14.4
* 4
不会超过 14，从而可以判定14 z* 14 ，所以 B3 的最优
* 解为问题 A 的最优解，即 x1 4, x2 2, z3 14。
§3.4 0－1规划
3.4.1 0-1 变量及其应用 0-1 变量可以数量化地描述诸如开与关、取与弃、有 与无等现象，它所反映了离散变量间的逻辑关系以及约束 条件的互斥关系等，它可把本来需要分别各种情况加以讨 论的问题统一在一个问题中讨论。决策变量仅取值 0 或 1 的一类特殊的整数规划称为 0-1 规划。0-1 规划主要用于 求解互斥的计划问题、约束条件互斥问题、固定费用问题 和指派问题等方面。
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在 不 引起 混 乱 的情 况 下 简 记
的 加 权 总 延 误 损 失 为
， 为 、 序 丌 Ｃ Ｃ，
转 化 为线 性分 配 问 题得 到解 决 ． 此类 似 ， 们考 虑 与 人 松弛 Ｗ Ｗ， 到 问 题 １ ｌ 得 ｌ ∑ 到 了一 系列 性 能 良好 的 近 似 算 法 ＿， 但 是 迟 迟 得 ５ ． 不到 １ ｌ ∑ 的好 算 法 ． 到 １９ ｌ 直 ９ ０年 Ｄ ｉ ｚｏｇ ｕＪ ｎｈ ｎ ａ 等＿ 证 明 １ ｌ ７ Ｊ ∑ 为 Ｎ ｌ Ｐ～ｈ ｒ 问题 ， 而 宣 告 １ ａ ｄ类 从 ｌ
一
问题 １ ｄｌ ∑ ｌ
有 很 具体 的实 际背 景 ． 在工 农
业 生 产 、 品流 通 中 ， 常 会 遇 到这 样 的 问 题 ： 一 商 经 在
批 要求 同时完 工 的任 务 中 ， 有 不 能 按 时 完 工 的任 若 务 就要 造 成一 定 的经 济 损 失 ， 由于 某 种 原 因一 旦 当
摘 要 ： 文 着 重 对 以 极 小化 延 误 损 失 为 目标 的 公 共 工 期 单 机 排 序 问 题 ｌ ｄ 三 本 Ｉ Ｉ
性 质 ， 们设计一 个分枝定界算 法 ． 我
进 行 了研 究 ． 据 该 问 题 的 根
关 键 词 ： 序 ； 误 ； 法 ； 算 复 杂 性 排 延 算 计
件 的完工 时 间为 Ｃ ＝∑ Ｐ 其 延误 时间 为 ，
ｌ ｝
Ｌｗｅ［ 及 Ｌｎｔ ａｌ ｒ Ｊ ｅｓａ等 ＿ 证 明是 强 Ｎ ｒ ３ Ｊ Ｐ—ｈ ｒ ａｄ类 问题 ． 人 们 总希 望得 到 它 的某 种 松 弛 简 化 形 式 的 好 算 法 ，
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第 １ 卷第 １ １ 期 ２００２年 ３月
河 南教 育 学 院 学 报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｆ ｎ ｎＥ ｕ ａｉｎ Ｉｓｔｔ Ｎ ｔｒｌＳ ｉｎｅ ｏ ｒａ ｏ ａ ｄ ｃｔ ｎｔｕｅ（ ａｕａ ｃｅ ｃ ） ｌ Ｈｅ ｏ ｉ
中 图分 类 号 ： Ｐ ０ ． Ｔ ３ １６ 文 献 标 识 码 ： Ａ
１ 引 言
为 问 题 １ ｄｌ ∑ ｌ
．
以极 小 化延 误 损失 为 目标 的公 共 工期 单 机 排序 问题可 叙 述 如 下 ： 有 ｎ个 工 件 ． ． ： … ， 需 要 设 ， ．， ， 在 一 台 机器 上 加 工 ， 们 所 需 加 工 时 间 分 别 为 Ｐ ， 它 ． Ｐ ， ， 在 开 动加 工 时它 们 均 已到 达 ， 可 以进行 ２… Ｐ ； 皆 加工 ； 件 间没 有先 后 约束 关 系 ； 器每 时 只能 加 工 工 机
出现误 工 时 ， 如何 安排 这 些 任务 的 执行 ， 能使 总 问 才 的损失 最 小 ？经 营 者面 临 的问 题是 要 根据 单位 误 时 损 失 的多 少组 织 生产 ， 以减少 损 失 ， 便产 生一 个 公 这 共 工期 排 序 问题 ． 问题 １ ｄｌ ∑ ｌ 有 明确 的理论 意义 ． 是一 般 它 的 一种 松 弛 简 中每 个 工 件 对 应 三 加 权 总延 误单 机 排 序 问题 １ ｌ ∑ ｌ 化 形式 ． 在一 般 问 题 １ ｌ ∑ ｌ 的问题 １ ｄｌ ∑ ｌ
达到最小．
设 某一 工件 加 工顺 序 为 丌＝（ 丌 ， ， ， 丌 ， … 丌 ） 丌 ∈ ｛， ， ， ｝ 即 丌为 １２ … ， １２ … ｎ ， ， ， ｎ的一个 排 列 ． 则工
ｉ
个参数： 加工 时 间 （ 、 （ ） 工期 （ ． 们 研 究 Ｐ） 权 、 ｄ） 我 是 将 参 数 ｄ 松 弛 为常 量 ｄ ｄ 已经 于 １７ ９ ７年 被 （ ＝１ ２ … ， ） 问题 １ Ｉ ｉ ，， ｎ ． ∑ ｌ
Ｖｏ ． １ １ １ Ｎｏ． １
Ｍ ． ０ ２ ２ｏ
文 章 编 号 ：０ ７—０ ３ （ ０ ２ Ｏ — ０ １ ４ １０ ８ ４ ２ ０ ） １ ０ ０ —０
公 共 工 期 排 序 问题 的分 枝 定 界 算 法
程世辉 ， 朱连 军
（ 南教 育 学 院 ， 南 郑 州 ４ ０ ０ ） 河 河 ５ ０ ３
个工 件 ； 一 工件 一旦 开始 加工 ， 此 工件 加 工完 每 则
毕 之后 才 能停 止 ； 一工 件 延 误 单 位 时 间 造 成 的 每 损失（ ） 权 为 （ ＝１ ２ … ， ） 它 们 的公 共 工 期 为 ｉ ，， ｎ ； ｄ． 问如何 安 排 工件 加 工 顺 序 ， 延误 造 成 的损 失 试 使
总延 误 损 失为
ｚ（ 丌）＝ ∑
‘＝ ｌ ｌ
以作 为 １ ∑ Ｉ Ｉ
．
ｌ
的 近 似 解 法 ． 先 当 Ｐ Ｐ时 首
有好算 法 ， １Ｐｌ 将 ｌ ∑ 或 １ ∑ ， ｌ 找 ｌ
Ｌ ｗｅ＿证 明 了 １Ｐｌ ａｌ ４ ｒ Ｊ ∑ ｌ
ｚ（ ）＝ｍ ｎ 丌） 丌 ｉＺ（ ．
∈ Ｇ
ｌ 不 大 可 能 有 多项 式 时 间 精 确 算 法 ， 问 题 在 ∑ 该 精 确算 法 方 面应 着 力 于分 枝定 界算 法 、 扩 张算 法 、 序
分 解算 法 等 ． 而人 们 对 １ ｄｌ 然 ∑ ｌ 的研究 尚不 多 见 ． 们所 见 到 的 文 献 仅 有 林 诒 勋 ＿ ， ａ ｉＹ 等 ＿ 我 ８ Ｆｔ ． Ｊ ｈ ９ Ｊ
ｚ（ ） 丌 ＝∑ Ｗ Ｔ ＝∑ Ｗ ｍ ｛ ， ｝ ｉ ａ Ｃ 一ｄ ０ ． ｘ
若 记 Ｇ＝｛ 丌为 １ ２ … ， 丌ｌ ， ， ｎ的排 列 ｝ 则 我 们 所 研 ， 究 的问 题是 如何 求 丌 ∈ Ｇ， 丌 按 顺 序 进 行 加 工 时
总 的延 误损 失 达 到最小 ， 即