2015-2016年广东省深圳市沙井中学高一上学期数学期中试卷和解析

2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}2．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或03．（5分）函数y=的定义域为（）A．[1，+∞）B．[1，2） C．（0，1） D．（0，1]4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=2x B．y=lgx C．y=x3 D．5．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x6．（5分）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数7．（5分）集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．68．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m9．（5分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．1810．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．11．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣512．（5分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．（5分）已知集合，试用列举法表示集合A=．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．15．（5分）f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是．16．（5分）下列命题：（1）f（x）=有意义；（2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题是（把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2×）﹣4×（）﹣×80.25（2）．18．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．19．（12分）设函数f（x）=（1）求方程f（x）=的解；（2）求不等式F（x）≤2的解集．20．（12分）已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求函数f（x）的解析式．21．（12分）已知函数（1）研究此函数的奇偶性；（2）证明f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；（3）画出此函数的图象草图．22．（12分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．2015-2016学年广东省深圳市沙井中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．{2}B．{4，6}C．{1，3，5}D．{4，6，7，8}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A）∩B，∵C U A={4，6，7，8}，∴（C U A）∩B={4，6}．故选：B．2．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D．3．（5分）函数y=的定义域为（）A．[1，+∞）B．[1，2） C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：由log0.5x≥0，得log0.5x≥log0.51，∴0＜x≤1．∴函数y=的定义域为（0，1]．故选：D．4．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=2x B．y=lgx C．y=x3 D．【解答】解：对于A，B，C函数是增函数，对于D，函数是减函数，故选：D．5．（5分）下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）A．f（x）=x+1 B．f（x）=x﹣|x|C．f（x）=|x|D．f（x）=﹣x【解答】解：对于A，f（x）=x+1，f（2x）=2x+1≠2f（x）=2x+2，A不正确；对于B，f（x）=x﹣|x|，f（2x）=2x﹣|2x|=2f（x）=2x+2|x|，B正确；对于C，f（x）=|x|，f（2x）=2|x|=2f（x）=2|x|，C正确；对于D，f（x）=﹣x，f（2x）=﹣2x=2f（x）=﹣2x，D正确；故选：A．6．（5分）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g （x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．故选：D．7．（5分）集合A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}的子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：A={y|y=﹣x2+4，x∈N，y∈N}={0，3，4}，有3个元素；则其子集有23=8个；故选：B．8．（5分）已知m=0.91.1，n=1.10.9，p=log0.91.1，则m、n、p的大小关系（）A．m＜n＜p．B．m＜p＜n C．p＜m＜n D．p＜n＜m【解答】解：∵0＜m=0.91.1＜1，n=1.10.9＞1，p=log0.91.1＜0，∴n＞m＞p．故选：C．9．（5分）设函数f（x）=，则f（）的值为（）A．B．﹣C．D．18【解答】解：当x＞1时，f（x）=x2+x﹣2，则f（2）=22+2﹣2=4，∴，当x≤1时，f（x）=1﹣x2，∴f（）=f（）=1﹣=．故选：A．10．（5分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx及指数函数y=（）x的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据指数函数y=（）x可知a，b同号且不相等则二次函数y=ax2+bx的对称轴＜0可排除B与D选项C，a﹣b＞0，a＜0，∴＞1，则指数函数单调递增，故C不正确故选：A．11．（5分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值为﹣5 B．增函数且最大值为﹣5C．减函数且最小值为﹣5 D．减函数且最大值为﹣5【解答】解：奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣5．故选：B．12．（5分）已知y=log a（2﹣ax）是[0，1]上的减函数，则a的取值范围为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．（2，+∞）【解答】解：∵f（x）=log a（2﹣ax）在[0，1]上是x的减函数，∴f（0）＞f（1），即log a2＞log a（2﹣a）．∴，∴1＜a＜2．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．（5分）已知集合，试用列举法表示集合A={1，2，4，5，7} ．【解答】解：∵集合，是整数，∴x﹣3是4的约数，而4的约数是﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4，所以x﹣3=﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4解得x=﹣1，1，2，4，5，7，而x为自然数，所以，A={1，2，4，5，7}．故答案为：{1，2，4，5，7}．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于﹣10．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1015．（5分）f（x）=x2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是9．【解答】解：∵f（x）=x2+2x+1，∴开口向上，对称轴x=﹣1，∵开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大∴f（x）在[﹣2，2]上的最大值为f（2）=9故答案为9．16．（5分）下列命题：（1）f（x）=有意义；（2）函数是其定义域到值域的映射；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线；（4）函数y=的图象是抛物线，其中正确的命题是（1）（2）（把你认为正确的命题的序号都填上）．【解答】解：（1）f（x）=的定义域为{2}，故（1）正确；（2）函数是其定义域到值域的映射，故（2）正确；（3）函数y=2x（x∈N）的图象是一直线上的散点，故（3）错误；（4）函数y=的图象是两段部分抛物线的组合，故（4）错误，故正确的命题是：（1）（2），故答案为：（1）（2）三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）计算下列各式的值：（1）（2×）﹣4×（）﹣×80.25（2）．【解答】解：（1）原式=4﹣7﹣2=﹣5．（2）原式=18．（12分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求B及∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【解答】（改编自课本19页本章测试13、14两题）解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}…2分∴A∩B={x|2≤x＜3}…4分∴C U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}…7分（2）由B∪C=C得B⊆C…9分C={x|2x+a＞0}=根据数轴可得，…12分从而a＞﹣4，故实数a的取值范围是（﹣4，+∞）．…14分．19．（12分）设函数f（x）=（1）求方程f（x）=的解；（2）求不等式F（x）≤2的解集．【解答】解：（1）当x＜1时，由f（x）=，得，即x=2；当x≥1时，由f（x）=，得，即x=．（2）由f（x）≤2，得①，或②．解①得：﹣1≤x＜1．解②得：1≤x≤16．∴不等式f（x）≤2的解集为[﹣1，16]．20．（12分）已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，a≠0∵f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b又f[f（x）]=4x﹣1，∴a2x+ab+b=4x﹣1比较系数可得解得或∴，或f（x）=﹣2x+121．（12分）已知函数（1）研究此函数的奇偶性；（2）证明f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数；（3）画出此函数的图象草图．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且对定义域内任意x，f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（3分）（2）任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，则x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，∴，∴f（x1）＞f（x2）由减函数定义可知，f（x）在（0，1）上为减函数．同理可证f（x）在（1，+∞）上为增函数（5分）（3）函数的图象如图，由（1）知，f（x）的图象关于原点对称，先画出f（x）在（0，+∞）的图象，再将所得图象关于原点对称得到f（x）在（﹣∞，0）内的图象；由（2）知f（x）在（0，+∞）上递增．22．（12分）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g （x ）=x 2与h （x ）=2x ﹣b 是定义在[0，1]上的函数． （1）试问函数g （x ）是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数h （x ）是G 函数，求实数b 组成的集合． 【解答】解：（1）是，理由如下：当x ∈[0，1]时，总有g （x ）=x 2≥0，满足①， 当x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1时，g （x 1+x 2）=（x 1+x 2）2=x 12+x 22+2x 1x 2≥x 12+x 22=g （x 1）+g （x 2），满足②…（4分） （2）h （x ）=2x ﹣b 为增函数，h （x ）≥h （0）=1﹣b ≥0， ∴b ≤1，由h （x 1+x 2）≥h （x 1）+h （x 2），﹣b +﹣b ，即b ≥1﹣（﹣1）（﹣1），∵x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1， ∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x 1，x 2不同时等于1 ∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1， 当x 1=x 2=0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；∴b ≥1，则b=1，综合上述：b ∈{1} …（12分）赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°AB E挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。