1.2.3导数的四则运算法则课时作业
北师大版数学选修1-1《3.4导数的四则运算法则》备课精选同步练习含答案
§4 导数的四则运算法则 课时目标 1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f(x)＋g(x)]′＝______________；(2)[f(x)－g(x)]′＝______________；(3)[f(x)·g(x)]′＝________________；(4)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝____________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14x C ．若y ＝－x ，则y ′＝－ 12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A .12e 2B .94e 2 C ．2e 2 D ．e 23．已知f(x)＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x)为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 34．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是( )A ．x －y ＋1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f(x)＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( )A ．18B ．－18C ．8D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A .⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C .⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D .⎣⎡⎦⎤0，π∪⎣⎡⎦⎤π，3π 题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．已知f(x)＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝___________________.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 009x ；(4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．§4 导数的四则运算法则知识梳理(1)f ′(x)＋g ′(x) (2)f ′(x)－g ′(x)(3)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)(4)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝⎛⎭⎫12x ′＝(1212x -)′＝－1432x - ＝－14x x.] 2．A [∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝y ′|x=2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.] 3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．] 4．A [y′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y＋1＝0.]5．A [∵f ′(x)＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.] 6．A [∵y′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π.] 7．4解析 ∵f ′(x)＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a(－1)a －1＝－4，∴a ＝4.8．2x解析 ∵f(x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f(x)＝x 2，f ′(x)＝2x.9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m /s )． 10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x)′2x －3[x′log 2 009 x ＋(log 2 009x)′x]＝2x ln 2·cos x －sin x·2x －3[log 2 009 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 009 e x] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e .(4)y ′＝(x tan x)′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 11．解 设P(x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)． 即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x)＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4， ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.] 13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
高中数学1_2_3导数的四则运算法则学案新人教B版选修2_2
1.2.3 导数的四则运算法则1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用这些公式求基本初等函数的导数．(重点) 2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂函数的导数．(难点) 3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的导数．(易混点)[基础·初探]教材整理1 导数的运算法则阅读教材P 19～P 20“例1”以上部分内容，完成下列问题． 1．和差的导数[f (x )±g (x )]′＝______________. 2．积的导数(1)[f (x )g (x )]′＝____________； (2)[cf (x )]′＝______________. 3．商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________. 【答案】 1.f ′(x )±g ′(x ) 2.(1)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) (2)cf ′(x ) 3.g x f ′ x －f x g ′ xg x 2，g (x )≠0判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)已知函数y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝2cos x ＋sin x ．( ) (3)已知函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)，则f ′(x )＝2x ＋1.( ) 【解析】 (1)由f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2＋c .(2)由y ＝2sin x －cos x ，则y ′＝(2sin x )′－(cos x )′ ＝2cos x ＋sin x .(3)由f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2， 所以f ′(x )＝2x ＋3.【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理2 复合函数的概念及求导法则 阅读教材P 20“例5”右边部分，完成下列问题．【答案】 x 的函数y ＝f (g (x ))d u ·d xy 对u 的导数与u对x 的导数的乘积判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )＝x e x的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (2)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 【答案】 (1)√ (2)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：[小组合作型](1)y ＝x －2＋x 2； (2)y ＝3x e x －2x＋e ； (3)y ＝ln xx 2＋1； (4)y ＝x 2－sin x 2cos x2.【自主解答】 (1)y ′＝2x －2x －3. (2)y ′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.(3)y ′＝x 2＋1－2x 2·ln xx x 2＋1 2.(4)∵y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，∴y ′＝2x －12cos x .1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．2．对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变形)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．[再练一题]1．(1)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2](2)已知f (x )＝exx，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0的值为________.【导学号：05410013】【解析】 (1)f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，512π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[2，2]． (2)∵f ′(x )＝ e x′x －e x·x ′x2＝e xx －1 x2(x ≠0)． ∴由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得 e x 0 x 0－1 x 20＋e x 0x 0＝0， 解得x 0＝12.【答案】 (1)D (2)12(1)y ＝e2x ＋1；(2)y ＝12x －13；(3)y ＝5log 2(1－x )；(4)y ＝sin 3x ＋sin 3x .【精彩点拨】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． 【自主解答】 (1)函数y ＝e2x ＋1可看作函数y ＝e u和u ＝2x ＋1的复合函数，∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(e u)′(2x ＋1)′＝2e u＝2e 2x ＋1.(2)函数y ＝1 2x －1 3可看作函数y ＝u －3和u ＝2x －1的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u x ′＝(u －3)′(2x －1)′＝－6u －4＝－6(2x －1)－4＝－6 2x －14.(3)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(5log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln 2＝5x －1 ln 2. (4)函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝u 3和u ＝sin x 的复合函数，函数y ＝sin 3x 可看作函数y ＝sin v 和v ＝3x 的复合函数．∴y ′x ＝(u 3)′·(sin x )′＋(sin v )′·(3x )′ ＝3u 2·cos x ＋3cos v ＝3sin 2x cos x ＋3cos 3x .1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤[再练一题]2．求下列函数的导数． (1)y ＝x1－1－x；(2)y ＝log 2(2x 2－1)． 【解】 (1)y ＝x1－1－x＝x 1＋1－x1－1－x 1＋1－x＝x 1＋1－x1－ 1－x＝1＋1－x .设y ＝1＋u ，u ＝1－x ，则y ′＝y u ′·u x ′＝(1＋u )′·(1－x )′ ＝12u ·(－1)＝－121－x. (2)设y ＝log 2u ，u ＝2x 2－1， 则y ′＝y ′u ·u x ′＝1u ln 2·4x ＝4x2x 2－1 ln 2.[探究共研型]探究 【提示】 函数y ＝(3x ＋2)2可看出函数y ＝u 2和u ＝3x ＋2的复合函数， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x ＋2)′ ＝6u ＝6(3x ＋2)．已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求实数a 的值．【精彩点拨】 求出导数f ′(1)，写出切线方程，由直线l 与圆C 相切，建立方程求解．【自主解答】 因为f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)， 所以f ′(1)＝2a －2，所以切线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0.因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线l 的距离等于半径，即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1＝12，解得a ＝118.关于复合函数导数的应用及其解决方法1．应用复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．2．方法先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用．[再练一题]3．若将上例中条件改为“直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交”，求a 的取值范围．【解】 由例题知，直线l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0. ∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交，∴圆心到直线l 的距离小于半径． 即d ＝|2－a |4 a －1 2＋1<12. 解得a >118.[构建·体系]1．函数y ＝(2 017－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 017－8x )2B ．－24xC ．－24(2 017－8x )2D ．24(2 017－8x )2【解析】 y ′＝3(2 017－8x )2×(2 017－8x )′ ＝3(2 017－8x )2×(－8)＝－24(2 017－8x )2. 【答案】 C2．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2x D ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x【解析】 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′ ＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′ ＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 【答案】 B3．已知f (x )＝ln(3x －1)，则f ′(1)＝________. 【解析】 f ′(x )＝13x －1·(3x －1)′＝33x －1， ∴f ′(1)＝32.【答案】 324．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝_______.【导学号：05410014】【解析】 令y ＝f (x )，则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ，所以f ′(x )＝(e ax)′＝(e ax)·(ax )′＝a e ax，所以f ′(0)＝a e 0＝a ，故a ＝2.【答案】 25．求下列函数的导数．(1)y＝cos(x＋3)；(2)y＝(2x－1)3；(3)y＝e－2x＋1.【解】(1)函数y＝cos(x＋3)可以看做函数y＝cos u和u＝x＋3的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(cos u)′·(x＋3)′＝－sin u·1＝－sin u＝－sin(x＋3)．(2)函数y＝(2x－1)3可以看做函数y＝u3和u＝2x－1的复合函数，由复合函数的求导法则可得y x′＝y u′·u x′＝(u3)′·(2x－1)′＝3u2·2＝6u2＝6(2x－1)2.(3)y′＝e－2x＋1·(－2x＋1)′＝－2e－2x＋1.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是( )A．y＝u n，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1【答案】 A2．若f (x )＝1－x2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x － 1－x 2cos x sin 2x B.－2x sin x ＋ 1－x 2 cos x sin 2x C.－2x sin x ＋ 1－x 2 sin xD.－2x sin x － 1－x 2 sin x【解析】 f ′(x )＝1－x 2′sin x － 1－x 2· sin x ′sin 2x ＝－2x sin x － 1－x 2cos xsin 2x . 【答案】 A3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x 2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋5【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5· (2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5. 【答案】 B4．(2016·宁波高二检测)函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝0【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.【答案】 B5．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( )A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .【答案】 A 二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 【导学号：05410015】【解析】 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 【答案】 (e ，e)7．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．(2016·广州高二检测)若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________. 【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 【答案】 2sin 2x 三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．【解】 (1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u －12·(－4x )＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x1－2x 2.(2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝102x ＋1 ln 2.10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线方程．【解】 因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ，所以k ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝ 3.所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即3x －y ＋12－3π6＝0.[能力提升]1．(2016·长沙高二检测)函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是() A ．2 2 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos 2x －sin 2xC ．sin 2x ＋cos 2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 故选A.【答案】 A2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )【导学号：05410016】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【解析】 因为y ＝4e x＋1， 所以y ′＝－4e x e x ＋1 2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1ex ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)． 又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 D3．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．【解析】 因为y ′＝e －5x (－5x )′＝－5e －5x ，所以k ＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.【答案】 5x ＋y －3＝04．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．【解】 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0 ＝b ＝0，f ′ 0 ＝－a a ＋2 ＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0，即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12. ∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。
课件6：1.2.3 导数的四则运算法则
(3)解法 1：y′＝xx－ ＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 . 解法 2：∵y＝1－x＋2 1，∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋x1＋－122x＋1′＝x＋212 .
(4)y′＝2xx＋2 1′＋2xx＋2 1′ ＝2x＋1′x2－x42x＋1x2′＋x2′2x＋21x＋－1x222x＋1′ ＝2x2－4xx4 2－2x＋4x2＋2x2＋x－122x2＝－2xx3－2＋22xx2＋＋12x2 .
1.2.3 导数的四则运算法则
情境引入： 导数和实数一样可以进行四则运算，我们可以通过导 数的加、减、乘、除来计算由基本初等函数通过加减 乘除构成的函数，这样我们就避免了使用导数的定义 求复杂函数的导数，使运算变得简单.
知识回顾：求函数y＝f(x)的导数的步骤是什么？
【答案】(1)求函数改变量 Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
A．x2－x＋1
B．(x＋1)(2x－1)
C．3x2
D．3x2＋1
【解析】因为y＝(x＋1)(x2－x＋1)＝x3＋1，
所以y′＝(x3＋1)′＝3x2，故选C.
【答案】C
5．已知函数 f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)， 则 f′(0)＝________.
【解析】依题意，设 g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)， 则 f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)， 故 f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)． 【答案】－(1×2×3×…×2015)
变式训练 1：求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcos x； (3)y＝sin 2x； (4)y＝tan x＋cot x； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
《1.2.3导数的四则运算法则》同步练习4
《123 导数的四则运算法则》同步练习4一、选择题1 •曲线y= 1x3-2 在点- 1，- 3处切线的倾斜角为（）A. 30°B. 45°C. 135°D. 60°112. 设f (x)=3x2-x・ .x，则f'⑴等于（)15A.—6B-677C.—6D-6若曲线y= x4的一条切线I与直线x + 4y —8 = 0垂直，则I的方程为（3.A. 4x—y—3 = 0B. x+ 4y—5 = 0C. 4x—y+ 3 = 0D. x+ 4y+ 3 = 04. 3 2已知f (x) = ax + 9x + 6x—7若f ' ( —1) = 4,则a的值等于(19 A•亍16 B-T10 C-713 D-T5.已知物体的运动方程是1s= 4t4—4t3+ 16t2（t表示时间，S表示位移），则瞬时速度为0的时刻是（）A. 0秒、2秒或4秒C. 2秒、8秒或16秒B. 0秒、2秒或16秒D. 0秒、4秒或8秒6. (2010 •新课标全国卷文，A. y = x—1C. y = 2x—2 4)曲线y = x3—2x + 1 在点(1 ,B. y=—x —1D. y=—2x—20）处的切线方程为（）7.若函数f (x ) = e x sin x ,则此函数图象在点(4 , f (4))处的切线的倾斜角为( )9.设 f o (x ) = sin x , f i (x ) = f o'(x ), f 2( x ) = f i'(x )，…，f n +1( x ) = f n'(x ) , n € N, 则 f 2011( x )等于() A. sin xB.— sin x D.— cos x10. f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f '(x ) = g '(x ),则f (x )与g (x )满足( )A. f (x ) = g ( x )B. f (x ) — g ( x )为常数C. f (x ) = g (x ) = 0D. f (x ) + g ( x )为常数二、填空题11. _________________________________________________________ 设f (x ) = ax 2— b sin x ,且f ' (0) = 1, f '拧匸£ 则a = ______________________________________ , b = __________12. _________________________________________________________ 设 f (x ) = x 3— 3x 2— 9x + 1，则不等式 f '(x ) v 0 的解集为 ________________________________13. _____________________________________________ 曲线y = cos x 在点P 盲，1处勺切线的斜率为 _____________________________________________nA. ~2 c.钝角B . 0D.锐角 I 处的切线与X 轴、直线x = n 所围成的三角形的面积为2n A. T" B. n 2c. 2n 212D.2(2 + n ) C. cos x 曲线y = x sin x 在点14. 已知函数f(x) = ax+ b e x图象上在点R —1, 2)处的切线与直线y=—3x平行，则函数f(x)的解析式是_______________ .7.若函数f (x ) = e x sin x ,则此函数图象在点(4 , f (4))处的切线的倾斜角为( )16.已知两条曲线y = sin x 、y = cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点， 使在这一点 处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.17.已知曲线G ： y = x 2与C 2： y =— (x — 2)2.直线I 与C 、C 2都相切，求直线I 的方程.三、解答题15 •求下列函数的导数:1 1 ⑴ y =x (x? + x +X 3); 1⑵ y = ( x + 1)(二-1)；X x 4 4— (3) y = sin 4 + cos 4；"p x 1 — Q x ⑷ y = 1— ;x +1 + 'x .18 .求满足下列条件的函数f (x):⑴ f(x)是三次函数，且f(0) = 3, f ' (0) = 0, f ' (1) =- 3, f ' (2) = 0;⑵ f'(x)是一次函数，x2f'(x) —(2x —1)f (x) = 1.。
教学设计1：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则教学目标： 了解复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数.教学重点： 掌握复合函数导数的求法教学难点： 准确识别一个复合函数的复合过程以便准确应用求导法则进行求导. 教学过程：（一）复习引入1. 几种常见函数的导数公式(C )'＝0 (C 为常数)． (x n )'＝nx n －1 (n ∈Q)． ( sin x )'＝cos x ． ( cos x )'＝－sin x ．2．和（或差）的导数 (u ±v )'＝u '±v '．3．积的导数 (uv )'＝u 'v ＋uv '． (Cu )'＝Cu ' ． 4．商的导数 ).0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u（二）讲授新课1．复合函数： 如 y ＝(3x －2)2由二次函数y ＝u 2 和一次函数u ＝3x －2“复合”而成的．y ＝u 2 ＝(3x －2)2 ． 像y ＝(3x －2)2这样由几个函数复合而成的函数，就是复合函数．复合函数的导数一般地，设函数u ＝ϕ(x )在点x 处有导数u'x ＝ϕ'(x )，函数y ＝f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y'u ＝f '(u ) ，则复合函数y ＝f (ϕ(x )) 在点x 处也有导数，且 y'x ＝y'u ·u'x ． 或写作 x f '(ϕ(x ))＝f '(u ) ϕ'(x )．复合函数对自变量的求导法则，即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的函数，乘中间变量对自变量的导数．例题讲解：例1：求y ＝(3x －2)2的导数．解：法1：y'＝[(3x －2)2]' ＝(9x 2－12x ＋4)'＝18x －12．法2：由于y'u ＝2u ，u'x ＝3，因而 y'x ＝y'u ·u'x ＝2u ·3＝2(3x －2)·3＝18x －12．例2：求y ＝(2x ＋1)5的导数．解：设y ＝u 5，u ＝2x ＋1，则 y'x ＝y'u ·u'x ＝(u 5)'u ·(2x ＋1) 'x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4． 例3：求下列函数的导数．(1)y ＝2x 2＋3x 3；(2)y ＝x 3·10x ； (3)y ＝cos x ·ln x ；(4)y ＝x 2sin x. 解：(1)y ＝2x 2＋3x 3＝2x －2＋3x －3， y ′＝－4x －3－9x －4.(2)y ′＝(x 3)′·10x ＋x 3·(10x )′＝3x 2·10x ＋x 3·10x ·ln10.(3)y ′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x x. (4)y ′＝(x 2)′·sin x －x 2·(sin x )′sin 2x＝2x sin x －x 2cos x sin 2x. 课堂检测：1．函数y ＝(x －a )(x －b )的导数是( )A ．abB ．－a (x －b )C ．－b (x －a )D ．2x －a －b【答案】D【解析】解法一：y ′＝(x －a )′(x －b )＋(x －a )(x －b )′＝x －b ＋x －a ＝2x －a －b . 解法二：∵y ＝(x －a )(x －b )＝x 2－(a ＋b )x ＋ab∴y ′＝(x 2)′－[(a ＋b )x ]′＋(ab )′＝2x －a －b ，故选D.2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A ．12(e x －e －x ) B ．12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －xD ．e x ＋e －x【答案】A【解析】y ′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )．故选A. 3．函数f (x )＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，则x 0是( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2【答案】B【解析】解法一：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝x 20－a2x 20＝0，得：x 0＝±a .解法二：∵f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝⎝⎛⎭⎫x ＋a2x ′＝1－a 2x 2，∴f ′(x 0)＝1－a 2x 20＝0，即x 20＝a 2，∴x 0＝±a .故选B.4．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x【答案】A【解析】∵y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x∴y ′＝⎝⎛⎭⎫12－12cos2x ′＝sin2x .故选A.5．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于() A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，∴y′|x＝1＝4.故选D.（三）课堂小结f'(ϕ(x))＝f '(u) ϕ'(x)．复合函数的导数：x（四）课后作业。
课时作业1：1.2.3 导数的四则运算法则(二)
1．2.3 导数的四则运算法则(二)一、基础过关1．下列函数不是复合函数的是( )A ．y ＝－x 3－1x＋1 B ．y ＝cos(x ＋π4) C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A.2．函数y ＝1(3x －1)2的导数是( ) A.6(3x －1)3B.6(3x －1)2 C ．－6(3x －1)3D ．－6(3x －1)2 答案 C解析 y ′＝[1(3x －1)2]′＝－2(3x －1)3·(3x －1)′＝－6(3x －1)3，故选C. 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2xB ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2xC ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x答案 B解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝1(x －1)ln 3， ∴f ′(2)＝1ln 3. 5．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.6．曲线y ＝cos(2x ＋π6)在x ＝π6处切线的斜率为______． 答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋π6)， ∴切线的斜率k ＝－2sin(2×π6＋π6)＝－2. 7．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.二、能力提升8.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2 答案 B解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a ，∴y ′|0x x =＝1x 0＋a＝1， 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9.曲线y ＝x e21在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝x e 21·12，∴y ′|x ＝4＝12e 2. ∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)， 切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝12|－e 2||2|＝e 2. 10．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋1x ＋1＝2ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1， f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为s ＝s (t )＝5－25－9t 2.求函数在t ＝715s 时的导数，并解释它的实际意义． 解 函数s ＝5－25－9t 2可以看作函数s ＝5－x 和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间变量．由导数公式表可得s x ′＝－12x －12，x t ′＝－18t . 故由复合函数求导法则得s t ′＝s x ′·x t ′＝(－12x －12)·(－18t )＝9t 25－9t 2， 将t ＝715代入s ′(t )，得s ′(715)＝0.875 (m/s)． 它表示当t ＝715s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s. 三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程．解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，∴k＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，∴b＝6或－4.∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
课时作业1：3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3 导数的四则运算法则一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析 利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝x 3cos x 的导数是( )A ．3x 2cos x ＋x 3sin xB ．3x 2cos x －x 3sin xC ．3x 2cos xD ．－x 3sin x答案 B解析 y ′＝(x 3cos x )′＝(x 3)′cos x ＋x 3(cos x )′＝3x 2cos x －x 3sin x .3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于() A ．2 B.12 C ．－12 D ．－2答案 D解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12.∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为() A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝⎛⎭⎫－12，－18答案 B解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1，则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.6．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(x －2)2；(3)y ＝x －sin x 2cos x 2.解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .二、能力提升8．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是() A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3答案 B解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.9．已知函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为()A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案答案 A 解析 y ′＝3x 2＋2ax ＝0，所以x ＝0或x ＝－2a 3. 当x ＝0时，y ＝－43a ＝0，∴a ＝0； 当x ＝－2a 3时，y ＝⎝⎛⎭⎫－2a 33＋a ·⎝⎛⎭⎫－2a 32－43a ＝0， ∴a ＝0或a ＝±3.综上所述，a ＝0或a ＝±3.10．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 答案 6解析 ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5， ∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)·x ＋1，将x ＝－1代入上式得f ′(－1)＝1＋2f ′(－1)＋1， ∴f ′(－1)＝－2，再令x ＝1，得f ′(1)＝6.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根，∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式． 解 由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又对一切x ∈R 方程恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.三、探究与拓展13．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x . (2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
学案5：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学习目标：记住两个函数的和、差、积、商的导数运算法则，理解导数运算法则是把一个复杂函数求导数转化为两个或多个简单函数的求导问题；能通过运算法则求出导数后解决实际问题.学习重点：导数的四则运算法则学习难点：复合函数的导数学习过程：提出问题已知f (x )＝x ，g (x )＝1x. 问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x的导数．问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )对吗？导入新知导数运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；2．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3. ⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 化解疑难导数的运算法则的认识1．在两个函数积与商的导数运算中，不能认为[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g ′(x )以及⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g ′(x ).2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．(1)[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝f 1′(x )＋f 2′(x )＋…＋f n ′(x )；(2)[cf (x )]′＝cf ′(x )，也就是说，常数与函数的积的导数等于常数乘函数的导数．例题探究：题型一：利用导数的运算法则求函数的导数例1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.类题通法利用运算法则求导数的方法对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式．在不宜直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程． 活学活用：求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x； (2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x2.题型二：导数几何意义的应用例2：(1)求曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上，且在第一象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，求点P 的坐标．类题通法导数几何意义的应用根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．活学活用：若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝________.随堂演练：1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝⎛⎭⎫－1x ′＝12x x . 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.4．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.5．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos x x 2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．参考答案学习过程：提出问题问题1：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2. 问题2：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→⎣⎡⎦⎤1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x 2. 问题3：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差．问题4：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0，而f ′(x )g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x 2. 例题探究：题型一：利用导数的运算法则求函数的导数例1：解：(1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ， ∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x . (3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.. 活学活用：解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′ ＝1x ln 10＋2x3. 题型二：导数几何意义的应用例2：解：(1)∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝3x 2－10，所以3x 20－10＝2，解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内，所以x 0＝2.又点P 在曲线C 上，所以y 0＝23－10×2＋13＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．活学活用：【解析】f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ，∵曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线， ∴f (0)＝a ＝g (0)＝1，且f ′(0)＝0＝g ′(0)＝b ，∴a ＋b ＝1.【答案】1随堂演练：1．【解析】(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误； ⎝⎛⎭⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝⎛⎭⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x 12－x ＝12x 32－＝12x x ，所以④正确． 【答案】B2．【解析】y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x .【答案】B3．【解析】f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∴f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.【答案】14．【解析】y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.【答案】－65．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。
20-21版：1.2.3 导数的四则运算法则（步步高）
解 y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋xln1 3.
ex＋1 (4)y＝ .
ex－1
ex＋1′ex－1－ex＋1ex－1′ 解 y′＝
ex－12
exex－1－ex＋1ex －2ex
＝
＝
.
ex－12
ex－12
反思
感悟 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函 数组合成的，确定求导法则，基本公式. (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积 式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等. (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导 法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
法则
语言叙述
[f(x)±g(x)]′＝_f_′__(_x_)±__g_′__(x_)_ 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的 导数_和__(或__差__)_
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘 上第二个函数，加上_第__一__个__函__数__乘__上__第__二__个__函__数__ _的__导__数____
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.函数 f(x)＝xex 的导数是 f′(x)＝ex(x＋1).( √ ) 2.当 g(x)≠0 时，g1x′＝－gg2′xx.( √ ) 3.函数 y＝e－x 的导数为 y′＝e－x.( × )
2 题型探究
PART TWO
特别提醒：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导. (2)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).
课时作业4：3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3 导数的四则运算法则一、选择题1．函数y ＝sin x (1－cos x )的导数y ′＝( )A ．cos x ＋cos 2xB ．cos x －cos 2xC ．sin x ＋cos 2xD ．cos 2x ＋cos 2x2．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln 22 D ．ln 2 3．(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．154．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94e 2 C ．2e 2 D ．e 25．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.7．若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．8．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为________．三、解答题9．求下列函数的导数：(1)f (x )＝x 2sin x ＋2cos x ；(2)f (x )＝e x ＋1e x －1； (3)f (x )＝x －x －3x ＋13x.10．已知函数f (x )是关于x 的二次函数，f ′(x )是f (x )的导函数，又对一切x ∈R 都有x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1成立，求函数f (x )的解析式．11．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，若直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．答案：1．【解析】y＝sin x－sin x cos x，∴y′＝cos x－cos2x＋sin2x＝cos x－cos 2x.故选B.【答案】B2．【解析】f′(x0)＝ln x0＋1＝2，∴x0＝e.【答案】B3．【解析】∵y′＝3x2，∴f′(1)＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，∴y＝3x＋9.【答案】C4．【解析】∵y′＝(e x)′＝e x，∴k＝y′|x＝2＝e2.∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2，故选A. 【答案】 A5．【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)， ∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]， ∴f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D6．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0.【答案】 07．【解析】 设P (x 0，y 0)，f ′(x )＝4x 3－1，∴4x 30－1＝3，∴4x 30＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝f (1)＝1－1＝0，∴P 点坐标为(1,0)．【答案】 (1,0)8．【解析】 由y ′＝k ＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋2)＝3(x ＋1)2＋3≥3，故k min ＝3，设切点(x 0，y 0)，此时x 0＝－1，y 0＝－14，∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.【答案】 3x －y －11＝09．【解】 (1)f ′(x )＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)f ′(x )＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝e 2x －e x －e 2x －e x (e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.10．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，b －2c ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2，c ＝1，∴f (x )的解析式为f (x )＝2x 2＋2x ＋1.11．【解】 设直线l 与两曲线的切点的坐标分别为A (a ，a 2)，B (b ，－(b －2)2)． 因为两曲线对应函数的导函数分别为y ′1＝2x ，y ′2＝－2(x －2)，所以在A ，B 两点处两曲线的斜率分别为y ′1|x ＝a ＝2a ，y ′2|x ＝b ＝－2(b －2)．由题意可得a 2＋(b －2)2a －b＝2a ＝－2b ＋4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2－b ，a 2－b 2－2ab ＋4b ＝4.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以A (2,4)或(0,0)，切线的斜率k ＝4或0，从而所得的切线方程为y ＝4x －4或y ＝0.。
高中数学 1.2.3导数的四则运算法则学案 新人教B版选修2-2
1.2.3导数的四则运算法则一学习目标：能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数.二自学指导：1可导函数的四则运算法则法则1 '[()()]____________.u x v x ±=(口诀：和与差的导数等于导数的和与差).推广法则2 [()()]____________u x v x '=.(口诀：前导后不导，后导前不导，中间是正号)特别的：[Cf(x)]/=法则3 ()[]_______________(()0)()u x v x v x '=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导，下导上不导，中间是负号) 特别的：[)(1x g ]/= 法则4 当))((x u f y =是x 的复合函数时，记号dxdy 明确表示对x 求导数。
dx du du dy dx dy ⋅=2三 典型例题例1 求多项式函数n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110......)(的导数。
例2 求x x y sin =的导数例3 求x y 2sin =的导数例4 求x y tan =的导数例5 求()[]'+535x 的导数求()'x 5sin 的导数四巩固练习1．下列求导运算正确的是 ( )2x 232111.()1 B.(log ) C. (x cosx)-2xsinx D.(3)3log ln 2x A x x e x x x ''''+=+===2．求下列函数的导数 (1)y=12+x x (2)32(21)(3)y x x x =-+(3)y=x xsin (4)tan y x x =-；(5)x x e y 2= (6)5)75ln(+=x y3．已知函数xe y x=在0x x =处的导数值与函数值互为相反数，求0x 的值4.已知抛物线f(x)= x 2+3x-5，求此抛物线在x=3处的切线方程5设()ln x f x a e b x =⋅+，且1(1),(1)f e f e''=-=，求实数,a b 的值。
高中数学 课时跟踪训练(十八)导数的四则运算法则 新人教B版选修11
课时跟踪训练(十八) 导数的四则运算法则1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－cos 1 B ．1＋cos 1 C ．cos 1－1D ．－1－cos 12．函数f (x )＝e x＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－4 D ．－53．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋24．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.225．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________． 6．已知f (x )＝x 2＋2f ′(－13)x ，则f ′(－13)＝________.7．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)； (2)f (x )＝ln x ＋2xx2.8．已知曲线y ＝x 2－x 在x ＝x 0点处的切线与曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线互相垂直． (1)求x 0的值； (2)求两条切线的方程．答 案1．选B 因为f ′(x )＝cos x ＋1x，所以f ′(1)＝cos 1＋1.2．选A f ′(x )＝(e x)′＋(x sin x )′－(7x )′ ＝e x＋sin x ＋x cos x －7， ∴f ′(0)＝e 0－7＝－6.3．选A y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2xx ＋－x2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.4．选B y ′＝cos xx ＋cos x －sin xx －sin xx ＋cos x2＝11＋sin 2x ，y ′|x ＝π4＝12.5．解析：y ′＝e x＋x ·e x＋2，y ′|x ＝0＝3， ∴切线方程为y －1＝3(x －0)，即y ＝3x ＋1. 答案：y ＝3x ＋16．解析：f ′(x )＝2x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，令x ＝－13， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－23＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝23.答案：237．解：(1)f ′(x )＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′ ＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.(2)f ′(x )＝(ln x x 2＋2xx 2)′＝(ln x x 2)′＋(2xx2)′＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x4＝－2ln x x ＋x 2－2xxx 4＝1－2ln x ＋x －xx 3.8．解：(1)∵曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线斜率为y ′|x ＝1＝1x|x ＝1＝1，又∵曲线y ＝x 2－x 在x ＝x 0点处的切线斜率为y ′|x ＝x 0＝2x 0－1，∴2x 0－1＝－1，得x 0＝0.(2)∵把x 0＝0代入y ＝x 2－x 得y ＝0， ∴切点坐标为(0,0)．又∵切线斜率为y ′|x ＝0＝－1，∴曲线y ＝x 2－x 在x ＝0处的切线方程为y ＝－x . ∵把x ＝1代入y ＝ln x 得y ＝0，∴切点坐标为(1,0)． ∴曲线y ＝ln x 在x ＝1点处的切线方程为y ＝x －1.。
课时作业13：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝2f (x )，则tan x ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－13．函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( ) A ．aB ．±aC ．－aD ．a 24．曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝05．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－3B ．2eC ．21－2eD ．31－2e 6．f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________．7．若f (x )＝log 3(2x －1)，则f ′(2)＝________．8．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.9．求下列函数的导数：(1)y ＝x sin 2x; (2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝x ＋cos x x ＋sin x； (4)y ＝cos x ·sin 3x .10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a、b、c的值．[B能力提升]11．已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t－1t2＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，则t＝3 s时物体的瞬时速度为________．12．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．13．已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．14．(选做题)已知函数f(x)＝e x(cos x－sin x)，将满足f′(x)＝0的所有正数x从小到大排成数列{x n}，证明：数列{f(x n)}为等比数列．参考答案[A 基础达标]1．D【解析】 y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，所以y ′|x ＝1＝4.2．B【解析】由f (x )＝sin x －cos x ，可得f ′(x )＝cos x ＋sin x .又f ′(x )＝2f (x )，所以cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，整理得3cos x ＝sin x ，所以tan x ＝sin x cos x＝3.故选B. 3．B【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －（x 2＋a 2）x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0，得x 0＝±a . 4．B【解析】 y ′＝2x －1－2x （2x －1）2＝－1（2x －1）2， 当x ＝1时，y ′＝－1，所以切线方程是y －1＝－(x －1)，整理得x ＋y －2＝0，故选B.5．D【解析】因为f ′(1)为常数，所以f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x， 所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，所以f ′(1)＝31－2e. 6．1【解析】因为f ′(x )＝8x ＋4a ，f ′(2)＝20，即16＋4a ＝20.所以a ＝1.7．23ln 3【解析】因为f ′(x )＝[log 3(2x －1)] ′＝1（2x －1）ln 3(2x －1)′＝2（2x －1）ln 3， 所以f ′(2)＝23ln 3. 8．－2【解析】法一：由f (x )＝ax 4＋bx 2＋c ，得f ′(x )＝4ax 3＋2bx .因为f ′(1)＝2，所以4a ＋2b ＝2，即2a ＋b ＝1.则f ′(－1)＝－4a －2b ＝－2(2a ＋b )＝－2.法二：因为f (x )是偶函数，所以f ′(x )是奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.9．解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x .(2)y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝－2e x（e x －1）2. (3)y ′＝（x ＋cos x ）′（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（x ＋sin x ）′（x ＋sin x ）2＝（1－sin x ）（x ＋sin x ）－（x ＋cos x ）（1＋cos x ）（x ＋sin x ）2＝－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1（x ＋sin x ）2. (4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x .10．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.②又因为曲线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]11．32327m/s 【解析】因为s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， 所以s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， 所以v ＝s ′|t ＝3＝－19＋227＋12＝32327， 即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s. 12．8【解析】因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2. 所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.因为 y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.13．解：因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)， 因为点(x 0，y 0)在曲线C 上，所以y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0， 因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14， 所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)． 14．证明：f ′(x )＝[e x (cos x －sin x )]′＝e x (cos x －sin x )＋e x (－sin x －cos x )＝－2e x sin x ， 因为f ′(x )＝0，即－2e x sin x ＝0，又x 为正数，解得x ＝n π，n 为正整数，从而x n ＝n π，n ＝1，2，3，….所以f (x n )＝e n π(cos n π－sin n π)＝(－1)n e n π，f (x n ＋1)＝(－1)n ＋1e (n＋1)π， 则f （x n ＋1）f （x n ）＝（－1）n ＋1e （n ＋1）π（－1）n e n π＝－e π.所以数列{f (x n )}是首项为f (x 1)＝－e π，公比为q ＝－e π的等比数列．。
1.2.3导数的四则运算法则
.
课 时 作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2－2
教
学
思
教
复合函数的导数
法
想 方
分
法
析
技
【问题导思】
巧
教
学
当
方 案 设
已知函数 y＝2x＋6π＋sin x，y＝sin(2x＋π6)，y＝ln(x＋2)．
堂 双 基
计
达
课
1．这三个函数都是复合函数吗？
标
前
自 主 导
自
课
主 导
数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数．
时 作
学
业
课
∴y′x＝(u3)′·(sin x)′＋(sin v)′·(3x)′
堂 互
＝3u2·cos x＋3cos v
动
探 究
＝3sin2x cos x＋3cos 3x.
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2－2
教
学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学 方
3．函数商的求导法则
当 堂
案 设 计
[gfxx]′＝ gxf′xg－ 2xfxg′x(g(x)≠0) ，
双 基 达 标
课 前 自 主 导
特别地当 f(x)＝1 时有[g1x]′＝ －gg′2xx
前
自 从而减少运算量，提高效率．
课时作业8：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3 导数的四则运算法则学业达标一、选择题1．函数y ＝(x 2－1)n 的复合过程正确的是( ) A ．y ＝u n ，u ＝x 2－1 B ．y ＝(u －1)n ，u ＝x 2 C ．y ＝t n ，t ＝(x 2－1)nD ．y ＝(t －1)n ，t ＝x 2－12．若f (x )＝1－x 2sin x ，则f (x )的导数是( )A.－2x sin x －(1－x 2)cos x sin 2xB.－2x sin x ＋(1－x 2)cos x sin 2 xC.－2x sin x ＋(1－x 2)sin xD.－2x sin x －(1－x 2)sin x3．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D.x 2x ＋54．函数f (x )＝x ＋x ln x 在(1,1)处的切线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0D ．2x －y ＋1＝05．函数y ＝cos 2x ＋sin x 的导数为( ) A ．－2sin 2x ＋cos x2xB ．2 sin 2x ＋cos x2xC ．－2sin 2x ＋sin x2xD ．2sin 2x －cos x2x二、填空题6．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________. 7．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4＝________. 8．若函数为y ＝sin 4x －cos 4x ，则y ′＝________________.三、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．10．求曲线y ＝2sin 2x 在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线方程．能力提升1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．2 2 cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．cos 2x －sin 2x C ．sin 2x ＋cos 2x D ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π4 B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫3π4，π3．曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为__________________________．4．已知函数f (x )＝x 3＋1(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．参考答案学业达标一、选择题 1．【答案】 A 2．【答案】 A【解析】 f ′(x )＝(1－x 2)′sin x －(1－x 2)·(sin x )′sin 2x ＝－2x sin x －(1－x 2)cos x sin 2x .3．【答案】 B【解析】 y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5.4．【答案】 B【解析】 ∵f ′(x )＝(x ＋x ln x )′ ＝1＋x ′ln x ＋x (ln x )′ ＝1＋ln x ＋1＝2＋ln x ， ∴f ′(1)＝2＋ln 1＝2，∴函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 5．【答案】 A【解析】 y ′＝－sin 2x ·(2x )′＋cos x ·(x )′ ＝－2sin 2x ＋12·1x cos x＝－2sin 2x ＋cos x2x .二、填空题 6．【答案】 (e ，e)【解析】 设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ，∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)． 7．【答案】 －2【解析】 ∵f ′(x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos x －sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝f ′⎝⎛⎭⎫π2cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 8．【答案】 2sin 2x【解析】 ∵y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )·(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ， ∴y ′＝(－cos 2x )′＝－(－sin 2x )·(2x )′ ＝2 sin 2x . 三、解答题9．解：(1)设y ＝u 12，u ＝1－2x 2， 则y ′＝(u 12)′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫12u －12·(－4x ) ＝12(1－2x 2)－12(－4x )＝－2x 1－2x 2. (2)设y ＝e u ，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·cos x ＝e sin x cos x . (3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝y u ′·u x ′＝10u ln 2＝10(2x ＋1)ln 2.10．解：因为y ′＝(2sin 2x )′＝2×2sin x ×(sin x )′ ＝2×2sin x ×cos x ＝2sin 2x ， 所以k ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＝ 3. 所以过点P 的切线方程为y －12＝3⎝⎛⎭⎫x －π6， 即3x －y ＋12－3π6＝0.能力提升1．【答案】 A【解析】 ∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 故选A. 2．【答案】 D 【解析】 因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1ex ＋2.因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．【答案】 5x ＋y －3＝0 【解析】 因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e－5x，所以k ＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)， 即5x ＋y －3＝0.4．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.。
课时作业3：3.2.3 导数的四则运算法则
3.2.3 导数的四则运算法则1．函数y ＝cos x 1－x的导数是( )． A.－sin x ＋x sin x （1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x （1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( )．A.193B.103C.133D.1633．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )．A.11＋x B ．－11＋x C.1（1＋x ）2 D ．－1（1＋x ）24．若质点的运动方程是s ＝t sin t ，则质点在t ＝2时的瞬时速度为________．5．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于________．6．过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切点的坐标及切线的斜率．7．函数y ＝(x －a )(x －b )在x ＝a 处的导数为( )．A ．abB ．－a (a －b )C ．0D ．a －b8．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0＝( )． A ．a B ．±a C ．－a D ．a 29．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是________．10．函数f (x )＝x 3＋4x ＋5的图象在x ＝1处的切线在x 轴上的截距为________．11．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ＋2cos x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝lg x x.12．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0.求函数y ＝f (x )的解析式．答案：1．解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x （1－x ）2. 答案 C2．解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 答案 B3．解析 令1x ＝t ，则f (t )＝1t1＋1t＝11＋t ，∴f (x )＝11＋x ，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫11＋x ′＝－1（1＋x ）2. 答案 D4．解析 s ′＝(t sin t )′＝sin t ＋t cos t ，∴s ′(2)＝sin 2＋2cos 2.答案 sin 2＋2cos 25．解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＝－13，f ′（－1）＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13. ∴a ＋b ＝5＋13＝18.答案 186．解 ∵(e x )′＝e x ，设切点坐标为(x 0，e x 0)，则过该切点的直线的斜率为e x 0，∴所求切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．∵切线过原点，∴－e x 0＝－x 0·e x 0，x 0＝1.∴切点为(1，e)，斜率为e.7．解析 ∵y ＝x 2－(a ＋b )x ＋ab ，∴y ′＝2x －(a ＋b )，∴＝2a －(a ＋b )＝a －b .答案 D8．解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －（x 2＋a 2）x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a . 答案 B9．解析 由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎡⎦⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2. 答案 [2，2]10．解析 f ′(x )＝3x 2＋4，f ′(1)＝7，f (1)＝10，∴y －10＝7(x －1)，当y ＝0时，x ＝－37. 答案 －3711．解 (1)y ′＝(x 2sin x )′＋(2cos x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＋2(cos x )′＝2x sin x ＋x 2cos x －2sin x .(2)法一 y ′＝（e x ＋1）′（e x －1）－（e x ＋1）（e x －1）′（e x －1）2＝e x （e x －1）－（e x ＋1）e x （e x －1）2＝－2e x（e x －1）2. 法二 y ＝e x ＋1e x －1＝e x －1＋2e x －1＝1＋2e x －1， y ′＝－2e x（e x －1）2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x x ′＝（lg x ）′x －（lg x ）·（x ）′x 2＝ 1x ln 10·x －lg x x 2＝1－ln 10·lg x x 2·ln 10. 12．解 由函数f (x )的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，知－1＋2f (－1)＋5＝0，即f (－1)＝－2，由切点为M 点得f ′(－1)＝－12. ∵f ′(x )＝a （x 2＋b ）－2x （ax －6）（x 2＋b ）2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a －61＋b ＝－2，a （1＋b ）－2（a ＋6）（1＋b ）2＝－12， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b －4，a （1＋b ）－2（a ＋6）（1＋b ）2＝－12， 解得a ＝2，b ＝3或a ＝－6，b ＝－1(由b ＋1≠0，故b ＝－1舍去)．所以所求的函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。
高中数学选修2-2讲义：第一章 2 3 导数的四则运算法则 含答案
1．2.3 导数的四则运算法则已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.问题1：f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示：f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.问题2：试求Q (x )＝x ＋1x ，H (x )＝x －1x 的导数．提示：∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x (x ＋Δx )， ∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx )， ∴Q ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x ＋Δx )＝1－1x 2. 同理H ′(x )＝1＋1x2.问题3：Q (x )，H (x )的导数与f (x )，g (x )的导数有何关系？提示：Q (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的和，H (x )的导数等于f (x )，g (x )导数的差． 问题4：[f (x )g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )对吗？ 提示：不对，因为f (x )g (x )＝1，[f (x )g (x )]′＝0， 而f ′(x )·g ′(x )＝1×⎝⎛⎭⎫－1x 2＝－1x2.1．导数的四则运算法则 (1)设f (x )，g (x )是可导的，则[对应学生用书P11](2)特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )， ⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．2．复合函数y ＝f (μ(x ))的导数y ＝f (μ(x ))是x 的复合函数，则y ′＝f ′(μ(x ))＝dy dμ·dudx＝f ′(μ)·μ′(x )．1.()f (x )±g (x )′＝f ′(x )±g ′(x )的推广(1)此法则可推广到任意有限个函数的和(或差)的求导． (2)[]af (x )±bg (x )′＝af ′(x )±bg ′(x )． 2．求复合函数的导数应注意(1)分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系； (2)弄清每一步求导是对哪个变量按什么公式求导； (3)不要忘记将中间变量代回原自变量．[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路点拨] 分析函数的结构特征―→选择正确的求导公式和法则―→运用公式求导―→化简[精解详析] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′[对应学生用书P12]＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3.(4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.[一点通] 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数． (2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．1．函数y ＝x 2·sin x 的导数是( ) A ．2x ·sin x ＋x 2·cos x B ．x 2·cos xC ．2x ·sin x －x 2·cos xD ．2x ·cos x解析：y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2·(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . 答案：A2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133D.103解析：f ′(x )＝3ax 2＋6x ， ∴f ′(－1)＝3a －6＝4， 解得a ＝103.答案：D3．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2.(2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. (4)y ′＝⎝⎛⎭⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝⎛⎭⎫1x 2′ ＝1x ln 10＋2x3.[例2] 求下列函数的导数： (1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)； (3)y ＝e 2x ＋1；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [思路点拨] 先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导． [精解详析] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12. (2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2.(3)∵y ＝e 2x＋1由函数y ＝e u 和u ＝2x ＋1复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋1.(4)∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3由函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋π3复合而成， ∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2cos u ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [一点通] 求复合函数导数的步骤：(1)确定中间变量，正确分解复合关系，即明确函数关系y ＝f (u )，u ＝g (x )；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量的求导，即先求y u ′，再求u x ′；(3)计算y u ′·u x ′，并把中间变量转化为自变量．整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤，熟练以后可以省略中间过程．4．函数y ＝cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝sin 2x B ．y ′＝－sin 2x C ．y ′＝－2sin 2xD ．y ′＝2sin 2x解析：y ′＝－sin 2x (2x )′＝－2sin 2x . 答案：C5．函数f (x )＝(2x ＋1)5，则f ′(0)的值为________． 解析：f ′(x )＝5(2x ＋1)4·(2x ＋1)′＝10(2x ＋1)4， ∴f ′(0)＝10. 答案：106．求下列函数的导数． (1)y ＝3－x ；(2)y ＝12ln (x 2＋1)；(3)y ＝a 1－2x(a ＞0，a ≠1)．解：(1)设y ＝u ，u ＝3－x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12u ·(－1)＝－123－x .(2)设y ＝12ln u ，u ＝x 2＋1，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12·1u ·(2x )＝12·1x 2＋1·(2x )＝xx 2＋1.(3)令y ＝a u ，u ＝1－2x ，则y x ′＝y u ′·u ′x ＝a u ·ln a ·(－2)＝a 1－2x ·ln a ·(－2) ＝－2a 1－2x ln a .[例3] (12分)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[精解详析] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②(2分)由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(6分)(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．(8分)令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．(9分)令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．(10分) 所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.(12分)[一点通] 基本初等函数的求导公式与求导运算法则联合使用，极大地方便了函数的导数的求解，从而为用导数研究曲线的切线注入了强大的源动力，使问题的解决快捷方便．7．(广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 解析：因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.答案：128．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解：∵直线l 过原点，∴直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，∴y 0x 0＝x 20－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴k ＝3x 20－6x 0＋2. 又k ＝y 0x 0，∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2， 整理得2x 20－3x 0＝0.∵x 0≠0，∴x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－38.1．应用和、差、积、商的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，要先利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．2．注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”．3．求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)正确分析函数的复合层次； (2)中间变量应是基本初等函数结构；(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数．1．已知f (x )＝x －5＋3sin x ，则f ′(x )等于( )A ．－5x －6－3cos xB ．x －6＋3cos xC ．－5x －6＋3cos xD ．x －6－3cos x解析：f ′(x )＝(x －5＋3sin x )′＝(x －5)′＋(3sin x )′ ＝－5x －6＋3cos x . 答案：C[对应课时跟踪训练(五)]2．已知f (x )＝sin n x ，则f ′(x )＝( ) A ．n sin n －1xB ．n cos n －1xC ．cos n xD ．n sin n －1x ·cos x解析：由于f (x )＝sin n x ，由函数y ＝t n ，t ＝sin x 复合而成，∴y x ′＝y t ′·t x ′＝nt n －1·cos x ＝n sin n －1x ·cos x .答案：D3．曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线方程为( )A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0解析：y ′＝－1(2x －1)2，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x ＋y －2＝0.答案：B4．已知直线y ＝x ＋1与曲线f (x )＝ln (x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln (x 0＋a )．又由f ′(x 0)＝1x 0＋a ＝1，得x 0＋a ＝1，∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.答案：B5．若f (x )＝e x ＋e －x2，则f ′(0)＝________.解析：∵f ′(x )＝12(e x －e －x )，∴f ′(0)＝0.答案：06．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22 ， 得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝ 2－1.∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ．∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1. 答案：17．求下列函数的导数． (1)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝1＋cos xx 2；(3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)； (4)y ＝x 1＋x 2； (5)y ＝sin 3x ＋sin x 3.解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x3.(2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x 3.(3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ， ∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′ ＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1 ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′ ＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1. (4)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x()1＋x 2′＝1＋x 2＋x 21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.(5)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2x cos x＋cos x3·3x2＝3sin2x cos x＋3x2cos x3.8．已知曲线y＝e2x·cos 3x在点(0,1)处的切线与直线l的距离为5，求直线l的方程．解：∵y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，∴f′(0)＝2，∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.设直线l的方程为y＝2x＋b，根据题意，得5＝|b－1|5，解得b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.。
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1.2.3导数的四则运算法则课时作业A 级 基础巩固一、单选题1．已知函数()ln x f x e x =，()f x '为x 的导函数，则()1f '的值为（ ）A ．1eB ．eC ．1D ．0 2．下列求导结果正确的是（ ）A ．cos sin 66ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()133x x x -'= C ．()22log log e x x'= D ．()sin 2cos 2x x '= 3．已知函数()()2,2x e f e x f x x '=-为()f x 的导函数，若()()f a f a '=，则a =（ ）A ．0B ．1-C ．2D ．0或24．下列求导运算正确的是（ ）A ．()1e ln e ln x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭B ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 2cos x x x x '=D ．()33x x '= 5．若函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln 2f x f x x ='+，则()1f '=（ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．2 6．函数3(20208)y x =-的导数y '=（ ）A ．23(20208)x -B ．24x -C ．224(20208)x --D ．224(20208)x - 7．曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为8，则实数a 的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．12 D ．12- 8．设()ln(21)f x x =-，若()f x 在0x 处的导数0()1f x '=，则0x 的值为（ ） A ．12e + B ．32 C ．1 D ．34B 级 综合提升9．已知21()sin 42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知函数22()ln 2x f x x e=+，则曲线()y f x =在点 (, ())e f e 处的切线方程为（ ）A ．212y x e =-B ．112y x e =+C ．272y x e =-+D ．152y x e =-+二、填空题11．函数ln ()x f x x=，其导函数为函数()'f x ，则()f e '=________. 12．若质子的运动方程为sin s t t =，其中s 的单位为m ，t 的单位为s ，则质子在2t s =时的瞬时速度为_______/m s ．13．二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，若其导函数为1()32f x x '=-，则()f x =________.14．若曲线562x y e x =-+的一条切线与直线l ：60x y -+=互相垂直，则该切线的方程为_________.C 级 拓展探究三、解答题15．求下列函数的导数．①n 1l y x x=+；②()()22131y x x =-+； ③sincos 22x y x x =-； ④cos xx y e =； 16．已知函数()322f x x x x =-+.（1）求曲线()y f x =在点()1,4--处的切线方程;（2）求曲线()y f x =过点()1,0的切线方程.参考答案1．B【分析】求出()f x '，进而可求得()1f '的值.【详解】()ln x f x e x =，则()1ln x f x e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，因此，()1f e '=. 故选：B.2．C【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，cos 06π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 选项错误； 对于B 选项，()33ln 3x x '=，B 选项错误； 对于C 选项，()22log 1log ln 2e x x x'==，C 选项正确； 对于D 选项，()()sin 2cos 222cos 2x x x x ''=⋅=，D 选项错误.故选：C.3．D【分析】求导，再由()()f a f a '=解方程得出a 的值.【详解】()x f x e ex '=-，根据条件得22a a e e a e ea -=-，解得0a =或2. 故选：D4．A【分析】根据求导公式和求导法则，逐一验证四个选项的正误，即可得正确选项.【详解】对于选项A ：()11e ln e ln e =e ln x x x x x x x x x ⎛⎫'=+⋅+ ⎪⎝⎭，故选项A 正确； 对于选项B ：cos 0sin 33ππ'⎛⎫=≠- ⎪⎝⎭，故选项B 不正确； 对于选项C ：()22sin 2sin cos 2cos x x x x x x x x '=+≠，故选项C 不正确； 对于选项D ：()33ln 33x x x '=≠，故选项D 不正确， 故选：A5．C【分析】求导得()f x '，再代入1x =即可计算出()1f '.【详解】由题意()()2'1'2f f x x =+，所以()()'12'12f f =+，得()12f '=-.故选：C.6．C【分析】利用复合函数求导法则即可求解.【详解】 2223(20208)(20208)3(20208)(8)24(20208)y x x x x =-⨯-=⨯-⨯-=--''， 故选：C7．A【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a 的值.【详解】由421y x ax =++，得342y x ax '=+， 则曲线421y x ax =++在点(1, 2)a -+处的切线斜率为428a --=，得6a =-. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题. 8．B【分析】直接求出原函数的导函数，由0()1f x '=列式求解0x 的值．【详解】由()ln(21)f x x =-，得(212)f x x =-'． 由002()121f x x '==-，解得：032x =． 故选：B ．【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题．9．A【分析】求出导函数，判断导函数的奇偶性，再利用特殊值即可得出选项.【详解】22co 11()si 4s n 42f x x x x x π⎛⎫=++= +⎪⎝⎭， ()1sin 2f x x x '∴=-， ∴函数()f x '为奇函数，排除B 、D. 又1024f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，排除C. 故选：A【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式、由解析式识别函数图像，属于基础题.10．A【分析】求导可得()'f x 解析式，令x e =，即可求得()f e '的值，可得切线的斜率k ，将x e =代入()y f x =即可求得切点纵坐标的值，代入方程，即可求得答案.【详解】 依题意21()x f x x e '=+，故212()e f e e e e '=+=；而223()ln 22e f e e e =+=， 故所求切线方程为32()2y x e e -=-，即212y x e =-， 故选:A ．11．0【分析】 根据()f x 解析式，可求得()'f x 解析式，代入数据，即可得答案.【详解】 因为ln ()(0)x f x x x =≠，所以2221ln (ln )ln 1ln ()x x x x x x x x f x x x x ⋅-''--'===， 所以21ln ()0e f e e -'==， 故答案为：012．sin 22cos2+【分析】求得s '，由此可求得质子在2t s =时的瞬时速度.【详解】sin s t t =，()sin sin cos s t t t t t '∴=+'=，因此，质子在2t s =时的瞬时速度为()sin 22cos2/m s +.故答案为：sin 22cos2+.13．23122x x - 【分析】由题可设二次函数为2(),(=2f x ax bx f x ax b '=++故），再求出a,b 的值即得解. 【详解】 由题可设二次函数为2(),(=2f x ax bx f x ax b '=+∴+）， 所以2a=3,b=12-,所以a=32, b=12-, 所以f(x)=231 22x x -. 故答案为23122x x - 【点睛】本题主要考查二次函数的解析式的求法，考查导数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．70x y +-=【分析】设切点，利用导数的几何意义，结合直线互相垂直的性质进行求解即可.【详解】设曲线562x y e x =-+的切点坐标为000(,562)xx e x -+， '56256x x y e x y e =-+⇒=-，所以过该切点的切线的斜率为056x e -，因为直线l ：60x y -+=的斜率为1，过该切点的切线与直线l 互相垂直，所以00(56)110x e x -⋅=-⇒=，所以切点坐标为：(0,7)，过该切点的切线的斜率为1-，所以过该切点的切线的方程为：7y x =-+，化为一般式为：70x y +-=.故答案为：70x y +-=15．①211y x x'=-；②21843y x x '=+-③11cos 2y x '=-；④y '=－sin cos x x ex +. 【分析】对于①④，直接利用导数的加法和除法法则可求，②③需要先化简，再用求导公式和导数的运算法则可求.【详解】 解：①()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--， 所以()326231y x x x ''=+--()()()()32262311843x x x x x ''''=+--=+-．③因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-， 所以111sin sin 1cos 222y x x x x x ''⎛⎫⎛⎫''=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ④()()()2cos cos cos sin cos x x x x x x e x e x x x y e e e '''-+⎛⎫'===- ⎪⎝⎭ ＝－sin cos x x ex+. 【点睛】函数求导常用类型：(1) 基本初等函数：利用求导公式和导数四则运算法则；(2)复合函数：利用复合函数求导法则(3)一些复杂函数需要先化简，再求导.16．（1）840x y -+=；（2）0y =或410x y +-=..【分析】（1）求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）设切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入点()1,0，解得切点坐标，进而得到切线方程.【详解】(1)由题意得()2341f x x x '=-+，所以()18f '-= 又因为()14f -=-，所以切线方程为()814y x =+-整理得840x y -+=.（2）0y =或410x y +-=.设切点为()00,x y ，因为切点在函数图像上，所以3200002y x x x =-+，故曲线在该点处的切线为()()()3220000002341y x x x x x x x --+=-+- 因为切线过点()1,0，答案第7页，总7页 所以()()()322000000023411x x x x x x --+=-+- 即()()2001210x x --=.解得01x =或012x =当01x =时，切点为()1,0，因为()10f '=， 所以切线方程为0y =， 当012x =时，切点为11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为1124f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭， 所以切线方程为410x y +-= 所以切线方程为0y =或410x y +-=.。