《计数原理》排列(二)
计数原理与排列组合
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关.
例1：书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放 有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.
计数原理和排列组合
计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种 不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有N m1 m2 种不同m的n 方法.
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
Cnm
Anm Amm
nn 1n 2
m!
排列与组合的区别与联系
n
m
1
m!
n! n
m
!
共同点：元素的取法相同,都是从n个元素中取出m(m ≤ n)个元素 不同点：排列问题与顺序有关，
组合问题与顺序无关.
例2：(1)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的线
段共有多少条?
没有顺序，根据组合公式有
C52
A52 A22
5 43 21
21 3 21
10
(2)平面内有5个点,以其中每2个点为端点的有
向线段共有多少条? 含有顺序，根据排列公式有
A52 5 4 20
解题关键：从n个元素中抽取m个元素是“含有顺序”, 还是“没有顺序”.再根据其对应的排列组合计算.
排列组合
1、排列的定义及公式：从n个不同元素中，任取m(m ≤n)
高中数学第一章计数原理1.2.1排列概念与排列数公式2课件新人教A版选修2_3
(3)甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种？ 解 把位置作为研究对象. 第一步，从甲、乙以外的 5 名同学中选 2 名排在首末 2 个位置，有 A25种方法. 第二步，从未排上的 5 名同学中选出 3 名排在中间 3 个位置上，有 A35种方法. 根据分步乘法计数原理，共有 A25·A35＝1 200(种)方法.
排列方法.
解 甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变， 即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的A133. 故有AA7733＝840(种)不同的排法.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3 7名师生排成一排照相，其中老师1人，女生2人，男生4人， 若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站，有多少种不同的站法？ 解 7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A44种， 而由高到低有从左到右和从右到左的不同站法， 所以共有不同站法 2·AA4477＝420(种).
解析答案
12345
2.6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( C )
A.36
B.120
C.720
D.240
解析 6个人站成两排，每排3人，
分 2 类完成不同的排法有 A36A33＝720(种).
解析答案
12345
3.从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和 第四棒，问共有________种参赛方案.
所以共有 A37＝7×6×5＝210(种)不同的送法. (2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同 的送法？
解 从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同， 根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343(种).
反思与感悟 解析答案
第一章 2排列(二)
§2排列(二)[学习目标]1．进一步加深对排列概念的理解．2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．[知识链接]有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？答所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求．解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：(ⅰ)当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”．(ⅱ)当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”．②分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法．特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A n n种排法，m个元素的全排列有A m m种排法，因此A n n种排法中关于m个元素的不同分法有A m m类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有A n nA m m种排法．(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差．故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”．[预习导引]1．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝n！（n－m）！．A n n＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫作n的阶乘)．另外，我们规定0！＝1．2．应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：要点一数字排列的问题例1用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．故所求三位数共有5×6×6＝180(个)．(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48(个)．(4)分三类：①一位数共有6个；②两位数共有5×5＝25(个)；③三位数共有5×5×4＝100(个)．因此，比1 000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个．故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个)．规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素．解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．跟踪演练1用0，1，2，…，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数．解(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A38种不同的排列方法．因此由分步乘法计数原理共有5×8×A38＝13 440个没有重复数字的五位奇数．(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：①末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A38种取法．所以共有2×7×A38种不同情况．②末位数字从4，6，8中选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A38种选法，所以共有3×6×A38种不同情况．由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有2×7×A38＋3×6×A38＝10 752(个)．要点二排队问题例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人．解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N＝A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)(直接分步法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余6人全排A66，故N＝A13A66＝2 160(种)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排A55，故N＝A22·A55＝240(种)．(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1＝A66(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，N2＝A15A15A55.故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．法二(间接法)无限制条件的排列数共有A77，而甲或乙在左端(右端)的排法有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A44种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法，由分步乘法计数原理知，共有A33·A44·A22＝288(种)．(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故N＝A33·A55＝720(种)．(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A35种排法，故N＝A44·A35＝1 440(种)．(8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种)．(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N＝(A25·A22)·A44＝960(种)．(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N＝A77A22＝2 520(种)．(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的1A33，∴N＝A77A33＝840(种)．(12)直接分步完成共有A37·A44＝5 040(种)．规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．跟踪演练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．要点三排列的综合应用例3从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A14种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A24种．由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程A14·A24＝48(个)方程要有实根，必须满足Δ＝b2－4ac≥0.分类讨论如下：当c＝0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，有A24种；当c≠0时，分析判别式知b只能取5，7中的一个．当b取5时，a，c只能取1，3这两个数，有A22种；当b取7时，a，c可取1，3或1，5这两组数，有2A22种．此时共有(A22＋2A22)个．由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有：A24＋A22＋2A22＝18(个)．规律方法该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a≠0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有Δ≥0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b2－4ac≥0，所以需先对c能否取0进行分类讨论．实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法．因此需做一定量的排列应用题，逐渐掌握解决问题的基本思想．跟踪演练3从集合{1，2，3，…，20}中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？解设a，b，c∈N*，且a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c应是偶数．因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数．当第一个和第三个数选定后，中间数被唯一确定．因此，选法只有两类．(1)第一、三个数都是偶数，有A210种；(2)第一、三个数都是奇数，有A210种．于是，选出3个数成等差数列的个数为A210＋A210＝180(个).1．用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个答案 B解析分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36(个)无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为() A．720 B．144 C．576 D．684答案 C解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为A66－A44×A33＝576.3．(2013·北京理)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A44＝96种．4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法．答案96解析∵红口袋不能装入红球，∴红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，∴红球有A14种放法，其余的四个球在四个位置全排列有A44种放法，由分步计数原理得到共有A14·A44＝96(种)．1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置．2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法．3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”或“插空法”.一、基础达标1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是() A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为1个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A，B，C，D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有1人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有() A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为() A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(包括边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88A29种排法．5．从0，1，2，3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a，b，c，可组成不同的二次函数共有________个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．(1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？(2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？解(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种．由分类加法计数原理，所求的信号种数是A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．(2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有() A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(间接法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．(2013·浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．答案480解析按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．当C在左边第1个位置时，有A55，当C在左边第2个位置时A24·A34，当C在左边第3个位置时，有A23·A33＋A22·A33.这三种情况的和为240种，乘以2得480.则不同的排法共有480种．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种．但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职务只能从A，B，C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职务至少要选A，B，C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A，B，C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A，B，C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与创新13．三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法．。
2-3、1.1计数原理—排列、组合
2-3第一章：计数原理（上）【本章知识脉络】一、两大计数原理（1）分类加法原理：完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m 种不同的办法；在第2类方案中有n 种不同的方法；那么，完成这件事共有N m n =+种不同的方法.（2）分步乘法原理完成一件事，需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法；做第2步有n 种不同的方法；那么，完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法.二、排列、组合1、排列 （1）排列定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
（2）排列数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。
用符号m n A 表示.（3）排列数公式：其中*,N m n ∈，并且n m ≤特殊的，当n m =时，即有n n A 称为n 的阶乘，通常用!n 表示，即 !n A n n =2、 组合：（1）组合定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
（2）组合数：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。
用符号m n C 表示。
（3）组合数公式：其中*,N m n ∈，并且n m ≤，规定10=n C注意：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.（4）*组合数的性质：()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= ()()12321⋅⋅⋅⋅--= n n n A n n ()()()()!!!!121m n m n m m n n n n C m n -=+---= m n n m n C C -=mn m n m n C C C 11+-=+【变式1】：四棱锥改成三棱锥其他条件不变，共有多少种不同的染色方法？.【变式2】原题颜色改为6种呢？例题2、4明男生和5明女生站成一排：（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？（4）男、女相间的站法有多少种？（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？一、 相邻问题—捆绑法例1、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.（）注意：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.1、晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求3个舞蹈在节目不能隔开，则不同节目单的种数为 .【变式1-1】8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人（1）若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？（2）若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？【变式1-2】用1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少？【变式1-3】将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（）A ． 18种B ．24种C ．36种D ．72种二、不相邻问题—插空法例2、（1）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为？（2）一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？注意：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排列再把不相邻元素插入中间和两端 55A 22A 22A2、晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数为（ ）A 、88AB 、811A C 、3988A A ⋅ D 、3888A A ⋅ 【变式2-1】4个女孩和6个男孩围成一圈，让任两个女孩都不相邻，则有多少种不同的方法？【变式2-2】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停位，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）A 、812A B 、44882A A ⋅ C 、888A D 、889A 【变式2-3】6个同学站成一排，甲、乙不能站在一起，不同的排法有（ ）A 、2246A A ⋅B 、5566A A -C 、2544A A ⋅D 、2344A A ⋅三、定序问题—除法例3、7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？注意：定序问题可先不排序，后作除法3、今有2个红球、3个黄球和4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成三列，有________种不同的方法（用数字作答）【变式3-1】7人站成一排，其中甲在乙前（不一定相邻），乙在丙前，则共有多少种不同的站法？【变式3-2】将字母A 、B 、C 、D 、E 排成一排，要求字母A 排在字母B 的左边（可相邻也可以不相邻），不同的排法有（ ）A 、44AB 、4421AC 、5521A D 、33A【变式3-3】由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）A 、210个B 、150个C 、464个D 、600个【变式3-4】书架上原来摆放着6本书，现要插入3本书，则不同的插法种数为_______个四、特殊元素和特殊位置优先安排例4、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数_________ .注意：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
《排列2》课件
（2）间接计算法
先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减 去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数. 这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复， 不遗漏.
例4 七个家庭一起外出旅游,其中四个家庭是一个男孩,三 个家庭是一个女孩.先将这七个小孩站成一排照相留念.
思考:若女孩甲不在排头,男孩乙不站排尾,则有多少种不
同的排法?
ⅠⅢⅡ
解：七个小孩总的排法是 A77 , 其中不符合要求的可分为: (I)女孩甲站在排头,有A66 ,(II)男孩乙站在排尾,有 A66 ,
A44A44 576
2．由数字1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字 的正整数？
A61 A62 A63 A64 A65 A66 1956
例3 用0到9这10个数字能组成多少个没有重复数字的三位数?
分析：这道题不能完全用排列数A130来解,因为数字0不能在首位.
从不同的角度来考虑问题,就能设计出不同的解决方案．
解法一:
A91 A92 9 9 8 648
解法二:
A93 A92 A92 648
解法三:
A3 10
A92
648
答：一共可以组成648个没有重复数字的三位数.
一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的 计算方法：
（l）直接计算法 排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个
问题1:什么叫做排列?
问题2:什么叫做排列数?排列数的公式是怎样的?
计数原理与排列组合
计数原理与排列组合计数原理是组合数学中的一个重要概念，它是指在一定条件下，通过计算得出某种情况的可能性数量。
在实际生活中，计数原理被广泛运用于各个领域，比如概率统计、密码学、组合优化等。
而排列组合则是计数原理的一个重要应用，它涉及到有限集合中元素的排列和组合方式，是数学中的一个重要分支。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本原理。
加法原理是指如果一个事件可以分解为几个相互独立的子事件，那么这个事件的总数就是这几个子事件的数量之和。
而乘法原理是指如果一个事件可以分解为几个步骤，每个步骤的选择数目与其他步骤无关，那么这个事件的总数就是各个步骤选择数目的乘积。
接下来，我们来讨论排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素中取出一部分进行排成一个有序的序列，而组合则是指从给定的元素中取出一部分进行组成一个无序的集合。
排列和组合的计算公式分别为P(n, m) = n!/(n-m)!和C(n, m) =n!/(m!(n-m)!)，其中n代表元素的总数，m代表取出的元素的个数，!表示阶乘运算。
在实际应用中，排列和组合有着广泛的用途。
比如在密码学中，排列和组合可以用来生成密码，计算密码的可能性数量；在概率统计中，排列和组合可以用来计算事件的发生概率；在组合优化中，排列和组合可以用来解决最优化问题。
总之，计数原理与排列组合是数学中的重要概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过对计数原理和排列组合的深入理解，我们可以更好地解决实际生活中的问题，提高问题的解决效率，为各个领域的发展提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解计数原理与排列组合的概念，为他们在实际应用中发挥作用提供帮助。
高中数学第五章计数原理2排列问题2-2排列数公式北师大版选择性必修第一册
n−k+1 种；
(3)“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方
法有Akk 种；
(4)根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有−+1
·
−+1
种．
跟踪训练3 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，
每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1
2.2 排列数公式
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
2)·…·(n－m＋1)
n−m ！
Am
n ＝______________________＝__________(m≤n)．
状元随笔 (1)排列的定义中包含两个基本内容：一是取出元素，二
＝8.
故选C.
4．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有______种．
答案：144
解析：3名女生先排好，有33 种排法，让3个男生去插空，有34 种方法，
故共有33 · 34 ＝144种．
题型探究·课堂解透
题型一 排列数的计算
例1 (1)已知 +12−2 ＝10，则n的值为(
答案：B
角度2 相邻问题
例3 已知A，B，C，D，E共5名同学，按下列要求排列，分别求出
满足条件的排列方法数．
(1)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻；
(2)把这5名同学安排到5个空位上，且A，B必须相邻，C，D，E也必
须相邻；
(3)把这5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且A，B
用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取
计数原理、排列(学生版)
课 题 计数原理、排列教学目的1、 能理解乘法原理、加法原理，理解来年各个计数原理的应用前提及计数的思想方法；2、 能理解排列的概念，会将实际问题按照排列定义抽象为排列模型；掌握排列数公式的特点。
教学内容 【知识梳理】1、乘法原理：如果完成一件事情需要n 个步骤，做第一步有1m 种方法，做第二步有2m 种方法，......做第n 步有n m 种方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⋅⋅⋅⋅⋅⋅种方法2、加法原理：如果某件事可以有k 类不同的方法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，......在第k 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有k m m m N +++=...21种方法.3、排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用A mn 表示.4、排列数公式：从n 个不同元素中任取m 个元素的排列的个数A m n =n （n －1）（n －2）…（n －m +1）. 5、附有限制条件的排列（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.小试身手：1、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ）A.P 88 B.P 55P 44 C.P 44P 44 D.P 582、若2n 个学生排成一排的排法数为x ，这2n 个学生排成前后两排，每排各n 个学生的排法数为y ，则x 、y 的关系为（ ）A.x >yB.x <yC.x =yD.x =2y3、若S =P 11+P 22+P 33+P 44+…+P 100100，则S 的个位数字是A.8B.5C.3D.04、P 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）5、若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.【典型例题分析】例1、一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?现在又有几个车站?例2、从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?其中有实数根的有几个？例3、从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？例4、甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?（用数字作答）例5、8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?变式练习：从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中取出不同的5个数字组成一个五位偶数。
排列(二)
排队问题
3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不 同的排队方案的方法种数． (1)选5名同学排成一行； (2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端； (3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端； (4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端； (5)全体站成一排，男、女各站在一起； (6)全体站成一排，男生必须排在一起；
(5)相邻问题(捆绑法)． 男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A 3 种排法； 3
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◆数学•选修2-3•(配人教A版)◆
4 女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A种排法；全 4 2 体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法．由分步计数原 2 3 4 2 理知，共有 A A A ＝288(种)． 3 4 2
本小题第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十 万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好 先填个位． 法二：【从特殊元素入手(直接法)】．
1 0不在两端有 A1 种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A3 4 种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有A 4 种排法，故 4 1 4 共有 A1 ＝288个六位奇数． A A 4 3 4
1 5 ∴N2＝ A1 ， 5 A5 A5 6
故N＝N1＋N2＝A 6 +A1
5
A A
1 5
5 ＝3 5
720(种)．
法二：间接法．
无限制条件的排列数共有A 7 ，而甲(或乙)在左端(或右端) 7 5 的排法有A 6 ，且甲在左端同时乙在右端的排法有 ， A 6 5
6 5 故N＝ A 7 ＝3 720(种)． 7 -2A 6 +A5
1．运用公式解决一些简单的排列问题．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列(二)优化训练 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试
1.2 排列(二)五分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.将5辆车停在5个车位上,其中A 车不停在一号车位上,B 车要停在二号车位上.不同的停车方案有 ( )A.6种B.18种C.24种D.78种 答案：B解析：N=3313A A =18(种).2.用1,2,3三个数字,可组成无重复数字的正整数共( )A.6个B.27个C.15个D.9个 答案：C解析：利用1,2,3可组成数字不重复的一位,二位,三位正整数,于是有N=332313A A A ++=15(个).3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12 答案：A解析：分两类:①两个新节目相邻的插法有622A 种;②两个新节目不相邻的插法有26A 种,故N=6×2+6×5=42.或者直接采用插空法:N=1716A A •=42.4.3个男生和2个女生排成一排,若两端不能排女生,则共有____________种不同的排法. 答案：36解析：男生排在两端有23A 种排法,其余位置有33A 种排法.故共有23A ·33A =36种排法. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.一个人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为( )A.2544A A B.25A C.44A D.4488A A -答案：B解析：命中4枪,恰好有3枪连在一起的“三枪”看作一个整体(一个元素)，第4枪看作一个元素,共两个元素.打不中的四枪间,连同前后共5个空,任选两个空插入,有25A 种. 2.将1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )A.6种B.9种C.11种D.23种 答案：B有3种情况,总共3×3=9种.3.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是______________.(用数字作答) 答案：12解析：工程甲、工程乙、工程丙、工程丁的顺序已确定且丙丁相邻，则只需将剩下的2个工程安排好，即24A =12.4.由数字0,1,2,3,4,5可以组成____________个没有重复数字且能被5整除的六位数. 答案：216解析：分两类：末位数字是0的有55A =120（个），末位数字是5的有4414A A =96（个）. 总共120+96=216(个).5.一天课表中,6节课要安排3门理科,3门文科,要使文,理科间排,不同的排课方法有_________种;要使数学与物理连排,化学不得与数学,物理连排,不同的排课方法有___________种. 答案：72 144解析：要使文理科间排,有两种情况:文科排1,3,5,理科排2,4,6或理科排1,3,5,文科排2,4,6,共有33333333A A A A •+•=72.数学与物理连排，则把数学、物理当作一个元素，化学不得与数学、物理连排，用插空法得：2433A A •·2=144.6.在3 000至8 000中有多少个无重复数字的奇数?解法一:分两类:首位数字是3,5,7的四位奇数有281413A A A ••=672（个）；首位数字是4，6的四位奇数有281512A A A ••=560（个）.故满足条件的数共有672+560=1 232(个).解法二:若允许首末位数字相同,则末位可取1,3,5,7,9五个数字,首位可取3~7五个数,于是3 000~8 000中的奇数有281515A A A 个;其中首末位数字相同的情况是3**3,5**5,7**7,共有13A 28A 个.于是共有:28A ×5×5-13A ·28A =1 400-168=1 232（个）满足题设条件的数.30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1.从5位同学中选派4位同学在星期五,星期六,星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六,星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )A.40种B.60种C.100种D.120种 答案：B解析：先从5人中选2人安排在星期五,再从剩下的3人中选1人安排在星期六,从最后02人中选1人安排在星期日.121325C C C =60.2.若n∈N *,n<20,则(20-n)·(21-n)…(29-n)·(30-n)等于( )A.1020A B.1120n A - C.1030n A - D.1130n A -答案：D解析：mn A =n(n-1)…(n -m+1), 故原式=1130n A -.3.不等式21-n A -n≤0的解是( )A.n=3B.n=2C.n=2或n=3D.n=1或n=2或n=3 答案：A解析：∵n -1≥2,又(n-1)(n-2)≤n, ∴n=3.4.200件产品中有197件合格品，3件次品，现从中任意抽出5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）A.219733319723C C C C +种B.319723C C -种 C.51975200C A -种 D.4197135200C C C -种答案：A解析：有两件次品的抽法为233197C C ,有三件次品的抽法为332197C C ,共有232197233197C C C C +种.5.由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中,若百位数字最大,万位数字比千位数字小,个位数字比十位数字小,这样的五位数的个数为（ ）A.12B.8C.6D.4 答案：C解析：百位数字量大,所以安排5,剩余的4个空位,安排1,2,3,4,全排列有44A 个,但要求万位数字比千位数字小,即这两个位置大小次序一定,属于定序问题,所以应去掉对顺序的安排22A ;同理个位、十位也要去掉对顺序的安排22A ，所以这样的五位数的个数共有222244A A A =6个.6.有8本互不相同的书,其中数学书3本,外文书2本,其他书3本.将这些书排成一排放在书架上,那么数学书恰好排在一起,外文书也恰好排在一起的排法共有___________种. 答案：1 440解析：先排数学有33A 种排法; 再排外语有22A 种排法;将数学,外语看成整体与其他书全排有55A 种排法. ∴N=33A ·22A ·55A 1 440(种).7.由四个不同数字1,4,5,x(x≠0)组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各位数字之和为288,求x 的值.解：因为1,4,5,x 四个数字互不相同,故在排成的四位数中,1在千位上,百位上,十位上,个位数字上分别出现33A 次,故所有的1的和为1×4×33A =24.同理可知，所有4的和共有4×4×33A =96,所有5的和共有5×4×33A 120,所有x 的和共有x·433A =24x.由题设得24+96+120+24x=288,解得x=2.8.用1,2,3,4,5五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数是多少?解:满足要求的五位数分为三类:偶奇偶奇奇:221312A A A ••； 奇偶奇偶奇:221213A A A ••；奇奇偶奇偶:221312A A A ••；共有3221312A A A ••=36（个）.9.从-1、0、1、2、3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax 2+bx+c 的系数. (1)开口向上且不过原点的不同抛物线有几条?(2)与x 轴正、负半轴均有交点的不同抛物线有几条？ (3)与x 轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有几条?解:(1)a>0且c≠0,共有131313A A A ••=27种.(2)只需ac<0,故-1必须排除,有221313A A A ••=18种.(3)可分为三类:第一类与x 轴正、负半轴均有交点的直线共有18条,第二类过原点且与x 轴负半轴有一个交点,此时,c=0,ab>0,共有23A =6条.第三类,与x 轴负半轴有两个交点,则必须满足⎩⎨⎧≥-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆同号a 、、b、ac b ac a b040002 即b=3,a 、c 在1、2中取，有2条，由分类计数原理可得有26条. 10.4名男生和3名女生并坐一排,分别回答下列问题. (1)男生必须排在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种?(3)男生相邻,女生也相邻的坐法有多少种? (4)女生顺序已定的坐法有多少种?解:(1)从整体出发,将4名男生看成一个“大元素”与3名女生进行全排列，有44A 种排法，而“大元素”内部又有44A 种排法，故共有44A ·44A =576种坐法.(2)先将4名男生排好,有44A 种排法,然后在男生之间隔出的五个空档中插入3名女生,故有44A ·33A =1 440种坐法.(3)N=44A ·33A ·22A =288种坐法.(4)N=473377A A A =840种坐法.。
数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合课堂练习(无答案)新人教A版选修2 3 试题
1.2 排列与组合§1.2 排列与组合－排列（一）【典型例题】例1．从a, b, c, d 这四个字母中取出两个进行排列，（1）用计数原理计算总共有多少个排列？（2）写出所有排列，数出个数；（3）两种方法所得排列数一样吗？例2．12名选手参加民歌大赛，比赛设一等奖，二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有多少种不同的获奖情况？【课堂练习】1．计算①4A 24+5A 35； ②A 14+A 24+A 34+A 44； ③2A 712A 35A 1212．2.（1）一天有六节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？（2）上午有4节课，一个教师要上三个班级的课，每个班一节课，这个教师的课有几种排法？§1.2 排列与组合－排列（二）【典型例题】用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个四位数？（3）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？（5）能组成多少个比1325大的四位数？【课堂检测】7个人排成一排．（1）一共有多少种不同的排列方法？（2）其中甲必须排在中间的排法有多少种？（3）其中甲不能排在最后一个位置的排法有多少种？（4）其中甲不能排在第一个位置，也不能排在最后一个位置的排法有多少种？§1.2 排列与组合－排列（三）【典型例题】例1.三个女生和三个男生排成一排,（1）男生甲不能排在首位，可有多少种不同的排法？（2）男生甲不能排在首位，男生乙不能排在末位，可有多少种不同的排法？（3）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（4）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（5）如果女生必须全分开，男生必须全分开，可有多少种不同的排法？（6）其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的站法？(7)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的站法？（8）如果三名女生排列顺序固定，但位置不定，可有多少种不同的排法？【课堂检测】某小组6个人排队照相留念.(1)若分成两排照相,前排2人,后排4人,有多少种不同的排法?(2)若分成两排照相,前排2人,后排4人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不同的排法?(3)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一起,有多少种不同的排法?(4)若排成一排照相,其中有3名男生3名女生,且男生不能相邻,有多少种不同的排法?§1.2 排列与组合－组合（一）【典型例题】判断下列各事件是排列问题，还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数.（1）10个人相互各写一封信，共写多少封信？（2）10个人规定相互通一次，共通了多少次？（3）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛需要进行多少场次？（4）10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），这次比赛所有冠亚军的可能情况？（5）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（6）从10个人里选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？【课堂检测】1.有下列等式：① C m n =n!m!(n -m)!； ②C m n =n m C m-1n-1； ③ m!(m -1)! C m n= n! 其中一定成立的是（填序号）.2.设集合A={a,b,c,d,e}, B ⊆A, 如果a ∈B. 且B 中有3个元素，那么满足条件的集合B 有多少个？3.已知甲乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员组成有多少种可能？§1.2 排列与组合－组合（二）【典型例题】例1.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的三件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的三件中至少有一件是不合格品的抽法有多少种？例2.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？【课堂检测】1. 房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开一盏灯用以照明，有多少种不同的方法？2.学校开设了6门选修课，问：（1）某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？（2）某学生从中至少选2门，共有多少种不同的选法？（3）某学生从中至多选4门，共有多少种不同的选法？§1.2 排列与组合－组合（三）【典型例题】例1．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中甲型与乙型电视机至少各有1台，则不同的取法共有( )例2．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法例3．如图,从一个3×4的方格中的一个顶点A 到对顶点B 的最短路线有几条？【课堂检测】1.从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A2．8级台阶，一步允许走1级或2级，7步走完，则一共有多少种不同走法．。
杨海燕《计数原理》教案公开课
杨海燕--《计数原理》教案公开课教案章节一：排列与组合1. 教学目标(1) 让学生理解排列和组合的概念。
(2) 让学生掌握排列和组合的计算方法。
(3) 培养学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容(1) 排列的概念和计算方法。
(2) 组合的概念和计算方法。
(3) 排列和组合在实际问题中的应用。
3. 教学方法(1) 讲授法：讲解排列和组合的概念、计算方法。
(2) 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用排列和组合知识解决问题。
4. 教学步骤(1) 导入：通过生活中的实例，引出排列和组合的概念。
(2) 讲解：讲解排列和组合的计算方法。
(3) 练习：让学生完成一些排列和组合的练习题。
(4) 案例分析：分析实际问题，引导学生运用排列和组合知识解决问题。
5. 教学评价(1) 课堂练习：检查学生对排列和组合知识的掌握程度。
(2) 课后作业：布置一些实际问题，让学生运用排列和组合知识解决。
教案章节二：概率论基本概念1. 教学目标(1) 让学生理解概率的基本概念。
(2) 让学生掌握概率的计算方法。
(3) 培养学生运用概率知识解决实际问题的能力。
2. 教学内容(1) 随机事件、必然事件和不可能事件的概念。
(2) 概率的计算方法：古典概率、条件概率、独立事件的概率。
(3) 概率论在实际问题中的应用。
3. 教学方法(1) 讲授法：讲解概率的基本概念和计算方法。
(2) 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用概率知识解决问题。
4. 教学步骤(1) 导入：通过生活中的实例，引出概率的基本概念。
(2) 讲解：讲解概率的计算方法。
(3) 练习：让学生完成一些概率的练习题。
(4) 案例分析：分析实际问题，引导学生运用概率知识解决问题。
5. 教学评价(1) 课堂练习：检查学生对概率知识的掌握程度。
(2) 课后作业：布置一些实际问题，让学生运用概率知识解决。
教案章节三：图论基本概念1. 教学目标(1) 让学生理解图论的基本概念。
(2) 让学生掌握图的表示方法和基本性质。
离散数学排列组合计数原理和公式
离散数学排列组合计数原理和公式离散数学是数学中的一个分支，主要研究离散的对象和结构。
在离散数学中，排列组合是一个重要的概念，它涉及到计数原理和公式的运用。
本文将介绍离散数学中的排列组合计数原理和公式，并探讨其应用。
一、排列与组合的定义在离散数学中，排列与组合是两种常见的计数方法。
排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合。
1. 排列：从n个元素中选取r个元素进行排列的方法数称为排列数，用P(n, r)表示。
排列数的计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1。
2. 组合：从n个元素中选取r个元素进行组合的方法数称为组合数，用C(n, r)表示。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)注意，组合数中的元素顺序不影响结果。
二、排列组合计数原理排列组合计数原理是基于乘法原理和加法原理而来。
乘法原理指的是将多个步骤的选择乘起来作为总的选择方式，加法原理指的是将多种不同的选择方式累加起来。
1. 乘法原理：若第一步有m种选择，第二步有n种选择，那么整个过程有m * n种选择方式。
2. 加法原理：若第一种选择方式有m种，第二种选择方式有n种，那么整个过程有m + n种选择方式。
根据乘法原理和加法原理，我们可以得出排列组合计数的基本原理：若某件事有若干步骤完成，第一步有n1种选择，第二步有n2种选择，第r步有nr种选择，那么总的选择方式数为n1 * n2 * ... * nr。
三、排列组合的应用排列组合在实际问题中有着广泛的应用，下面讨论一些常见的应用场景。
1. 生日问题生日问题是一个经典的排列组合问题，在一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？假设一年有365天且每个人的生日在一年中是等概率的。
计数原理2(含答案)
试卷第1页，总11页绝密★启用前高中数学2019年12月18日单元测试试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成没有重复数字的四位数的个数是( ) A ．360 B ．300 C ．240 D ．180 【答案】B 【解析】 【分析】分为有0和没0两类求解. 【详解】当四个数字中没有0时，没有重复数字的四位数有：45120A =种；当四个数字中有0时，没有重复数字的四位数有：1335180A A =种,两类相加一共有300种，故选B. 【点睛】本题考查排列组合与分类加法计数原理，考查分类讨论思想，属于基础题.2．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种 A ．36 B ．48 C ．60 D ．16【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.试卷第2页，总11页【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有244362C ⨯==种方式， 所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有23436321=36C A ⋅=⨯⨯⨯种方式.故选：A 【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.3．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（ ） A ．2454C A B ．2456CC ．2454A AD ．2456A【答案】D 【解析】试题分析：1班、2班的安排方式有25A 种，剩余4个班的安排方式有46种，所以共有2456A 各安排方式，故选D ． 考点：计数原理．4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为 A ．18 B ．24 C ．28 D ．36【答案】D 【解析】分析：按甲乙两人所派地区的人数分类，再对其他人派遣。
高中数学 第一章《计数原理》解排列组合题的几种常见方法(二)
C
7
B
A
易错题 例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内, 每盒至少装一个球,共有多少不同的装 法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共 2 C 有__ 种方法 .再把5个元素(包含一个复合 5 元素)装入4个不同的盒内有_____种方法 A4 . 根据分步计数原理装球的方法共有_____ 解决排列组合混合问题,先选后排是最基本 的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似 吗?
C
3 99
（五）.正难则反总体淘汰策略
例5.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5
个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1 3 1 2 和为偶数的取法共有_________ 个偶数的取法有_____, 5 5 5
抽法有多少种? 有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂, 而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的 反面,再从整体中淘汰.
（六）.定序问题倍缩空位插入策略
例6.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多 少不同的排法
解: (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列 问题,可先把这几个元素与其他元素一起 进行排列,然后用总排列数除以这几个元 素之间的全排列数,则共有不同排法种数 是：
（二）.相邻元素捆绑策略 （三）.不相邻问题插空策略
（四）.元素相同问题隔板策略 例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每 班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 共有___________种分法。
排列2(新编201912)
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文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出 指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。 - 下面这段文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心 工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出指令。③采取信息化应急指挥系统，对于处理甲型H1N1流感这样的突发事件具有重要作用。 结果①把“在我省”移到“正式”前②删去“使”，或删去“通过”③“采取”改为“采用”，或 删去“采取”(3分，各1分)． 解析 149．下面语段中画线的三个句子都有语病，请把它们找出来，加以改正。（3分） 文化与修养共存，智慧与幸福同在。在很大程度上，人类精神文明的成果是以书籍的形式保存的。①一个真正的读者就要通过读书来最大限度地享用这些成果的过程。②一个人 能否成为真正的读者，关键在于他在青少年时期养成良好的读书习惯。③如果没有培养起对阅读从小的兴趣，就很难从阅读中体会到快乐与幸福。 - 下面语段中画线的三个句子都有语病，请把它们找出来，加以改正。（3分） 文化与修养共存，智慧与幸福同在。在很大程度上，人类精神文明的 成果是以书籍的形式保存的。①一个真正的读者就要通过读书来最大限度地享用这些成果的过程。②一个人能否成为真正的读者，关键在于他在青少年时期养成良好的读书习惯。③如果没有培养起对阅读从小的兴趣，就很难从阅读中体会到快乐与幸福。 150．选出没有语病的一项。 （）（2分 ） A.学习委员猜测，新来的语文老师大概是二十三四岁左右。 B.是否多读书，也是提高一个人语文素养的途径之一。 C中学生是学习的重要阶段。 D．我们要注意找出并改正作文中的错别字。 151．下列句子中没有语病的一项是（）2分 A．在贵重物品展览期间，如何防止贵重展品免遭盗窃或 抢劫，是组织者深感头痛的事。 B．打开《莎士比亚戏剧集》，如同打开百宝箱，使人眼花缭乱，处处迸发出智慧的火花，闪现着艺术的光芒。 C．运用仪器来观察世界开阔了人们的视野，由此也改变了我们对物质世界的认识。 D．三年来的“旅游兴市”竟成为今天发展核电的障碍，这是地方 政府当初始料未及的。 152．下列句子没有语病的是（ ）。（2分） A．一些青少年患有“网瘾综合症”，专家正在有效地寻找治疗方法。 B．通过赛龙舟、包粽子活动，可以使屈原的爱国精神代代相传。 C．一个人拥有健康的体魄，关键在于持之以恒地参加体育锻炼。 D．我市荣获“全国卫 生城市”的原因是全市人民共同努力的结果。 153．下列语句中没有语病的一句（）（2分） A．在班主任的教育下，小明很快克服了自己的缺点和错误。 B．同学们在考场上能否保持一颗平常心，是正常发挥水平的关键。 C．我生长在京剧之家，京剧对我一点都不陌生。 D．我从来没有这样的 镇定，这样的安静。 结果 D 解析 154．下面句子没有语病的一项是（） A．欢乐的溪流唱着清脆的歌声，跳着优美的舞姿奔向远方。 B．语文素养是学生学好其他课程的基础，也是学生全面发展和终身发展的基础。 C．看到这张照片，仿佛把我带回到那充满无限乐趣的童年世界。 D．在如何 上好阅读课的问题上，语文老师听取了同学们广泛的意见。 155．选出没有语病的一句（）（2分） A．通过阅读这本书，使我增加了不少知识。 B．雷锋的出现是我们青年的杰出的代表。 C．大家都在工作、学习、战斗的空隙里种蔬菜。 D．我们应该说努力去做人民交给我们的任务。 156．下 面句子中没有语病的一项是：（）（2分） A．生活有多么广阔，语文世界就有多么广阔。我们不仅要在课堂上学语文，还要在生活中学习语文。 B．公园门票定价过高,像世界公园和中华民族园的门票均在50至60元上下。 C．局长嘱咐几个学校的领导，新学期的工作一定要有新的起色。 D．我 们必须及时纠正并随时发现学习过程中的缺点。 结果A 解析 157．下列句子没有语病的一项是（） A．为了防止这类事故不再发生，我们必须采取有效措施。 B．机器质量的好坏是保证生产安全的一个重要条件。 C．课堂上，老师向我们提出了“独立思考，积极合作”的要求。 D．通过收看 专题片，使我们认识到人类要与动物和谐共处。 158．下列句子有语病的一项是（） A．中国现代伟大的文学家、思想家、革命家鲁迅的家乡是浙江绍兴。 B．一张绿色的租赁卡，一辆橙绿相间的自行车，一条绿色的自行车专用道，构成了一道绿意盎然的风景。 C．我国多位外交官临危受命， 奔赴战火纷飞的利比亚，成功解救了我国在利公民。 D．夏天的神龙公园是株洲市民纳凉避暑的好季节。 159．下列句子中没有语病的一项是（）（2分） A．刚发行的《祝福祖国》是新中国成立以来第一套由少年儿童自己设计的。 B．经过三年努力学习，他对自己能否考上理想的高中充满信心 。 C．南宁市社会福利院在“六一儿童节”期间接待了来自各行各业的爱心人士。 D．据统计，地球上的森林大约已有三分之一左右被采伐或毁掉。 160．下列句子中，没有语病的一项是（）（2分） A．据说，由于电价形成机制不顺，火电企业持续大面积亏损，导致企业生产积极性受到抑制， 以至全国很多地方出现了“电荒”。 B．从一个边缘球员到当选周最佳只花了一周的时间，如今又入选全明星新秀赛，美籍华裔球员林书豪的爆发吸引了全世界媒体的关注。“ ”的热潮也惹来不少争议，媒体甚至开始探讨林书豪加入中国男篮的可能性了。 C．可以这样说，一个写不好对话的小 说家是写不出杰出的长篇的，而对话的能力恰恰可以作为衡量一个小说家是否优异的关键因素所在。 D．我们要把改善民生、保障民生、关注民生作为一切工作的目的和出发点，这样我们才能做到执政为民，一切为民，人民至上。 161．下面文字中的划线句有语病，任选一句修改，将修改后的 句子填写在横线上。 近日，在武昌理工学院校园里常能看到一名爱大声“吼”英语的女生，①对英语学习的狂热引起了同学们的热议。这名女生叫鲁瑞，是该校文法与外语学院英语专业1104班的学生。她表示：“我很享受大声朗读和背诵的快乐，这样能战胜惰性，我正努力创造属于自己的英语 奇迹。”她表示，只要一有时间她就会进行“疯狂”口语训练，并不在意别 下面文字中的划线句有语病，任选一句修改，将修改后的句子填写在横线上。 近日，在武昌理工学院校园里常能看到一名爱大声“吼”英语的女生，①对英语学习的狂热引起了同学们的热议。这名女生叫鲁瑞，是该校 文法与外语学院英语专业1104班的学生。她表示：“我很享受大声朗读和背诵的快乐，这样能战胜惰性，我正努力创造属于自己的英语奇迹。”她表示，只要一有时间她就会进行“疯狂”口语训练，并不在意别人异样的眼光。②鲁瑞的“疯狂”曾引来不少同学的议论，只是被称有点“吓人”。 但现在同学们都被她的执着所折服，还善意地称她为“李阳二代”。 我选_____句，修改后的句子： 162．下列句子没有语病的一项是（）（3分） A．旧社会，劳动人民吃不饱，穿不暖的生活。 B．妹妹找不到爸爸妈妈心里很着急。 C．他的革命精神时刻浮现在我眼前。 D．拉丁谚语说过：“ 晚秋的秋色是最美好的。” 结果D 解析 （一） 163． 结果 【小题1】“报纸、杂志”都属于“出版物”。删去“和一切出版物”。 【小题1】“发出”只能跟“噪音”搭配，在“废气”前加“排出”。 解析 164．下列句子没有语病的一项是（ ）。（2分） A．当前，我国很多城市陆续因地 制宜迈出了建设低碳城市步伐，发布了低碳城市发展意见和目标任务。 B．自从国家实施西部大开发战略以来，在资金、政策方面大力支持发展设施农业和避灾型农牧业，加快推广喷灌、管灌、滴灌等节水灌溉模式。 C．在南非世界杯决赛中，金靴之争的两大热门荷兰队的斯内德与西班牙队的 比利亚双双哑火，这让德国小将穆勒凭借助攻数的优势获得本届世界杯的金靴奖。 D．7月12日，在土耳其布尔萨，中国江西南昌市舞蹈团演员在第24届土耳其布尔萨国际民间舞蹈艺术节上举行表演。 结果C 解析 165．请阅读下面文字，完成题目。 友情不是yī yǎn（）清泉，无论什么时候都 会源源不断地流出泉水供你解渴；友情是一棵小树，只有你不断地给它浇水，它才会长出甘甜的果实供你chōng jī（）。友情不是一轮红日，一直亘古不变地发出光芒给你温暖；友情是一弯明月，只有你持续对它投去关怀的目光，它才会用纯洁照亮你脚下的路。友情不是 请阅读下面文字，完成 题目。 友情不是yī yǎn（）清泉，无论什么时候都会源源不断地流出泉水供你解渴；友情是一棵小树，只有你不断地给它浇水，它才会长出甘甜的果实供你chōng jī（）。友情不是一轮红日，一直亘古不变地发出光芒给你温暖；友情是一弯明月，只有你持续对它投去关怀的目光，它才会用纯洁 照亮你脚下的路。友情不是；友情是。 【小题1】根据拼音写出文段中应该填入的词语。（2分） （1）yī yǎn ( )（2）chōng jī( ) 【小题2】仿写句子，要求能符合上面这段话的中心。（4分） 友情不是 。 友情是。 【小题3】用简洁的话填空，概括上面这段话的意思（不超过15个字）。（ 2分） 友情需要。 结果 【小题1】一眼充饥 【小题1】友情不是一支焚香，送它一点火苗便会燃烧自己的全部换来满室芬芳；友情是一个大储蓄罐，只有你经常往里面投入真情，它才会在你需要时吐出帮助。（用上比喻，语句通顺，符合文段中心即可） 【小题1】友情需要长久、真诚地付出
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4）甲乙不相邻；
A -A A
7 6
7
6
2 2
= 3600
3 5
5）甲、乙、丙均不相邻； 6）甲乙必须间隔2人；
AA
4
2 2 2 4 4 5
4
= 1440
AAA
= 960
例2、用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数
1）有多少个五位数（用多种方法解题）
解：1）方法一：首位不能为0，有5种取法； 其余4位从剩下的5个数字中取，有 共
1、下列问题属于排列问题的是 ( D ) ① 由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 ② 在1,2,3三个数字中任选两个数字求和。 ③在40名同学中选 5人参加代表大会。 ④ 从40名同学中选 5人分别担任正、付班长、 学习委员、体育委员、委员文娱。 A. ① ② B. ② ④ C. ① ③ D. ① ④
练习：某小组7人排队照相，以下各有几种不同的排法？
1）若排成两排，前排3人，后排4人；
A 5040
7 7
2）若排成两排，前排3人，后排4人，甲必排在前排，乙 1 1 5 必排在后排； A A A 1440
3 4 5
3）甲不在左端，乙不在右端；
A - A -2A A
7 5 5
7
5
1
5 5
= 3720
例1. 6个队员排成一排进行操练,以下各有多少 种不同的站法： ⑴ 队员甲不能站排头，也不能站排尾; ⑵ 队员甲乙丙要在一起; ⑶ 队员甲乙不能在一起; ⑷ 队员甲在乙左边，丙在乙右边(不一定相邻) 1.特殊位置(元素)先排—优先法 直接法 2.相邻问题—捆绑法 间接法 3.不相邻问题—插空法 m 4. m个元素有固定顺序的—先排后除（除以A m ）
1）有多少个五位数
2）有多少个五位数的奇数
5A
4 5
= 600
3 A 4 A 4 = 288
3）有多少个比50000大的五位数 4 A 5 = 120 思考：有多少个五位数的偶数？ 有多少个大于31250的五位数？
1
3
例3、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少 种不同的排法？
⑴女生必须全分开
5 2、上题中④的结果有_______ 40 种
A
练习：
（3）若 A 18 17 9 8 则n= ___ m=____
n=18， 由n-m+1=8，得m=11
m n
（4）若 n N , n 54， 则
55 - n56 - n68 - n69 - n
用排列数符号表示为 A 15 69n
A
4 5
种
5A = 600 种取法
4 5
方法二：不含0的五位数有
含0的五位数有 共有
A
5 5
直接法
A +4A
5 5
5 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4A
= 600 个
5 5
方法三：含0和不含0 的共有 首位为0的共有 因此，共有
A
4 5
5 6
个
A
个
A -A
6
5
4 5
= 600 个
间接法
例2、用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数
练习：
小结： 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置； ⑵某些元素要求连排（即必须相邻）； ⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通 常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理 特殊元素（位置）法（优先法）； 特殊元素,特殊位置优先安排策略
3 5 A6 A5 = 120 120 = 14400
⑵女生必须全排在一起
3 A6 A 6 3 = 720 6 = 4320
⑶两端都不能排女生 ⑷两端不能都排男生
6 A2 A 3 6 = 6 720 = 4320 2 6 A5 A6 = 20 720 = 14400
• 1．7名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排 法有（ ） A．720种 B．360种 C．1440种 D．120种 • 2．某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中恰有3发是连在 一起的，那么该人射出的8发，不同的结果有（ ） A．720种 B．480种 C ．24种 D．20种 • 3．由0，1，3，5，7这五个数组成无重复数字的三位数，其中 是5的倍数的共有多少个（ ） A．9 B．21 C． 24 D．42 • 4．一天课程表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、 理科间排，不同的排课方法有 种；要使3门理科的数学与物 理连排，化学不得与数学、物理连排，不同的排课方法有 种。 答案 1）C ； 2）D ； 3） B；4) 72、144 ;
北师大版高中数学选修2-3第 一章《计数原理》
复习：
排列：
选取元素 按顺序排列
排列数： m An n n 1 n 2 n m 1
全排列 -----n的阶乘
n n
n! n m !
n ! A n n 1 n 2 3 2 1
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些 元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑 相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”； 相邻问题捆绑处理的策略 （３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他 元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方 法称为“插空法”； 不相邻问题插空处理的策略