人教版数学八年级上14.2 乘法公式
八年级数学上册 14.2 乘法公式教案 (新版)新人教版
14．2 乘法公式第1课时平方差公式教学目标1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学重点平方差公式的推导和应用．教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：“张老汉，你吃亏了！”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！二、自主学习，指向目标自学教材第107页至108页，思考下列问题：1．根据条件列式：(1)a、b两数的平方差可以表示为________；(2) a、b两数差的平方可以表示为________；2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．3．平方差公式(乘法)的特征是：左边是__________________，右边是__________________．三、合作探究，达成目标探究点一探索平方差公式活动一：1.填写教材P107三个计算结果，展示点评：(1)二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(二项)(2)观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．)2．归纳：两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________．用公式表示上述规律为：(a＋b)(a－b) ＝________这就是平方差公式．3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？(a＋b)(a－b)＝a2－b24．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？若能用，公式中a，b分别代表什么？例1运用平方差公式计算(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)(－x＋2y)(－x－2y)．思考：确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？展示点评：观察算式：①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差．解答过程见课本P108例1小组讨论：能运用平方差公式计算的式子有何特征？【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：有一项相同，另一项互为相反数．针对训练：1．计算(2a＋5)(2a－5)等于( A )A．4a2－25 B．4a2－5 C．2a2－25 D．2a2－52．计算(1－m)(－m－1)，结果正确的是( B )A．m2－2m－1 B．m2－1 C．1－m2 D．m2－2m＋1探究点二平方差公式的综合应用活动二：计算：(1)102×98；(2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)．展示点评：(1)例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？(2)例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？展示点评：第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第(2)题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算．解答过程见课本P108例2小组讨论：平方差公式与整式乘法有什么关系？在运用时应注意什么问题？【反思小结】(1)可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算．(2)有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式．(3)在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．针对训练：见《学生用书》相应部分四、总结梳理，内化目标1．平方差公式的特征，公式中的字母a和b既可以表示数，也可表示字母，还可以表示多项式；2．能应用平方差公式进行乘法运算，并能进行简单变形应用．3．平方差公式与多项式乘法之间的关系．五、达标检测，反思目标1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是( C )A．(x＋y)(－x－y) B．(2x＋3y)(2x－3z)C．(－a－b)(a－b) D．(m－n)(n－m)2．下列各式运算结果是x2－25y2的是( B )A．(x＋5y)(－x＋5y) B．(－x－5y)(－x＋5y)C．(x－y)(x＋25y) D．(x－5y)(5y－x)3．两个连续奇数的平方差是( B )A．6的倍数B．8的倍数C．12的倍数D．16的倍数4．计算：(2＋3x)(－2＋3x)＝__9x2－4__．5．已知(x－ay)(x＋ay)＝x2－16y2，那么a＝__±4__．6．计算：(1)a(a－5)－(a＋6)(a－6)解：原式＝a2－5a－(a2－36)＝36－5a(2)(x＋y)(x－y)(x2＋y2)解：原式＝(x2－y2)(x2＋y2)＝x4－y4(3)9982－4解：原式＝(998＋2)(998－2)＝1000×996＝996000●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本P112第1题．2．课后作业：见《学生用书》．第2课时完全平方公式教学目标1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．2．熟练应用公式进行计算．教学重点完全平方公式的推导过程、结构特点以及几何解释，并能灵活应用．教学难点理解完全平方方式的结构特征，并能灵活应用．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．多项式乘以多项式的法则是什么？(多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．)2．观察下列计算过程及结果：(1)(p＋q)(p＋q)＝________________＝________________；(2)(x－y)(x－y)＝________________＝________________.展示点评：怎样快速的计算形如(2x＋y)2的运算，这就是我们今天所要学习的主要内容．二、自主学习，指向目标自学教材第109页至110页，思考下列问题：1．完全平方公式的推导的依据多项式乘以多项式的乘法法则2．完全平方公式的特征是：左边是两数和(或差)的平方，右边是这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍；与平方差公式的区别是平方差公式是两数的和乘以两数的差，等于这两数的平方差，其结果是一个二项式．3．从几何的角度去理解完全平方公式，观察下图，可以得到：(1)(a＋b)2＝________；(2)(a－b)2＝________．三、合作探究，达成目标 探究点一 完全平方公式活动一：1.根据条件列式：(1)a ，b 两数和的平方可以表示为________； (2)a ，b 两数平方的和可以表示为________． 2．填写教材P 109四个计算结果． 展示点评：(1)一个多项式的平方运算可以看做哪种形式的运算(两个相同的多项式的乘法运算) (2)课本中的二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？(四项)合并后都是几项式？(三项)(3)上列算式运算的依据是什么？ (依据是多项式乘以多项式的乘法法则) (4)观察上列算式，运算出结果后的三项式与等式左边的二项式有什么关系？(等号的左边是两数的和或差的平方；等号的右边是这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．)3．归纳：由上述规律可得到公式：(a ＋b)2＝________；(a －b)2＝________． 完全平方公式：两数和(或差)的平方等于这两个数的______加上(或减去)这两个数积的______倍．可记作：首平方，尾平方，二倍乘积放中央．4．观察教材图14 .2－2及14 .2－3你通过图形中的面积，得到什么结果？(a ＋b)2＝a 2＋ab ＋b 2＋ab ＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b)2＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2； 5．观察教材P 110例3中的两个算式，能否用完全平方公式进行计算？若能用，公式中a ，b 分别代表什么？例1 运用完全平方公式计算：(1)(4m ＋n)2(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122(3)(－2a －3b)2展示点评：从平方的意义看，⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122与⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y 2的结果一样吗？(－2a －3b)2与(－3b －2a)2的结果相同吗？而(4m ＋n)2与(4m －n)2的结果呢？展示点评：互为相反数的平方结果相等，因此(y －12)2与(12－y)2的结果一样；而4m ＋n与4m －n 不一定相等或是相反数，因此其平方的结果不一定相等．小组讨论：应用完全平方公式计算应注意什么？ 解答过程见课本P 110例3反思小结：1.应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上(或减去)两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍；2.互为相反数的两个多项式的平方相等．针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二 完全平方公式的综合应用 活动二：运用完全平方公式计算：(1)1022 (2)992小组讨论：一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？展示点评：把102或99写成两数和或差的形式，再进行计算．反思小结：对于较大数的平方可以转化成两整数和(或差)的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便．针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标1．完全平方公式的推导及其几何意义；2．完全平方公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式； 3．应用完全平方公式进行计算，有关数字计算题应用完全平方公式可以使计算简便． 4．数学思想：类比、数形结合． 五、达标检测，反思目标1．( x ＋3y )2＝x 2＋6xy ＋__9y 2__．2．a 2－kab ＋9b 2是完全平方式，则k ＝__±6__．3．计算(－a －b)2结果是( B )A ．a 2－2ab ＋b 2B ．a 2＋2ab ＋b 2C ．a 2＋b 2D ．a 2－b 24．运用乘法公式计算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12； (2)1052； 解：(1)原式＝14x 2－x ＋1(2)原式＝(100＋5)2＝1002＋2×100×5＋25 ＝10000＋1025 ＝11025(3)(a －b －3)(a －b ＋3)．解：原式＝[(a －b )－3][(a －3)＋3]＝(a －b )2－9 ＝a 2－2ab ＋b 2－95．已知x ＋y ＝9，xy ＝20，求(x －y)2的值．解：(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝81－80＝1 ●布置作业，巩固目标教学难点1．上交作业：课本第112页2、3(2)(3)、7. 2．课后作业：见《学生用书》．第3课时 乘法公式的拓展教学目标1．了解添括号法则．2．能应用添括号法则，结合乘法公式，对项数是三项或三项以上的多项式乘法进行运算．教学重点应用添括号法则及乘法公式进行运算．教学难点正确的添加括号后，应用公式进行计算．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景，明确目标1．去括号法则是什么？(如果括号前面是正号，去掉括号后，括号里的各项不变号；如果括号前面是负号，去掉括号后，括号里的各项都要变号．)2．我们学过的乘法公式有哪些，你能完整的叙述出来吗？(平方差公式，完全平方公式)3．对于形如(x＋2y－3)(x－2y＋3)的乘法可以怎样运算呢？你能运用比较简便的方法运算吗？这就是我们这节课主要学习的内容．二、自主学习，指向目标1．添括号的法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．它和去括号的联系是互逆变形．2．试一试，在括号内添加适当的项：(1) (x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)](2)x－2y－4x＝x－2(y＋2x)三、合作探究，达成目标探究点一添括号法则活动一：去括号：a＋(b＋c)＝________；a－(b－c)＝________反过来，你能给下列多项式添括号吗：a＋b＋c＝a＋(b＋c) a－b－c＝a－(b＋c)展示点评：添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．小组讨论：添括号法则与去括号法则有什么关系？反思小结：添括号法则与去括号法则是互逆变形的过程，其符号变化与去括号法则变化一样．针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二乘法公式的推广活动二：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________完全平方公式：(a±b)2＝________公式中的a 和b是一个字母，可以是一个多项式吗？如果a或b是一个多项式，如何运算？(a和b可以代替一个多项式，计算时可以看作一个整体先按照乘法公式进行计算，然后再根据相应的法则，再进行运算．)例1运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)(2)(a＋b＋c)2思考：第(1)题首先要应用添括号法则进行变形，需要应用几次公式，应用的公式相同吗？第(2)题与第(1)题的形式、运算过程和方法有何区别？展示点评：第1小题中先应用添括号法则把两个因式内互为相反数的两项结合变成两数的和乘以两数差的形式，先进行运算，再运用完全平方公式乘开，能合并同类项的一定要合并同类项；第2小题中应用加法交换与结合律，任意结合其中两项，应用两次完全平方公式即可．解答过程见课本P 111例5小组讨论：第(1)(2)题在添括号时，有什么相同点和不同点？【反思小结】两个多项式相乘，若两个多项式中既有相同的项，又有互为相反数的项，且没有其它的项，则要运用添括号法则把相同的项或互为相反数的项，分别括起来，把添到括号内的多项式当做一个整体，再进行计算．针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．添括号法则；2．乘法公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；因此对于项数是三项或三项以上的多项式乘法，根据乘法的形式，添加适当的括号，再运用乘法公式运算．五、达标检测，反思目标 1. 判断下列变形是否正确．(1)2a －b －c 2＝2a －(b －c2)(2)m －3n ＋2a －b ＝m ＋(3n ＋2a －b)(3)2x －3y ＋2＝－(2x ＋3y －2)(4)a －2b －4c ＋5＝(a －4c)－(2b －5) 解：(1)(2)(3)都错误，(4)正确2．下列式子：①(3x＋1)(3x －1)＝(3x －1)2；②(x－3y)2＝x 2－3xy ＋9y 2；③(1－2xy 2)2＝1－4x 2y 4；④(a ＋1a )2＝a 2＋2＋1a2；其中正确的是( D )A ．①B ．①②C ．①②③D ．④3．如果x ＋y ＝－7，xy ＝12, 那么x 2－xy ＋y 2的值为( C ) A ．61 B ．37 C ．13 D ．11 4．运用乘法公式计算(1)(a －b －3)(a －b ＋3) (2)(a ＋2b －1)2解：(1)原式＝[(a －b )－3][(a －b )＋3]＝(a －b )2－9 ＝a 2－2ab ＋b 2－9 解：原式＝[(a ＋2b )－1]2＝(a ＋2b )2－2(a ＋2b )＋1 ＝a 2＋4ab ＋4b 2－2a －4b ＋15．求证：无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10的值恒大于负数．解： x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10 ＝x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝(x －1)2＋(y ＋3)2∵(x －1)2≥0, (y ＋3)2≥0 ∴x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10≥0即无论x ，y 为何值时，多项式x 2＋y 2－2x ＋6y ＋10的值恒为非负数．。
人教版八年级上册数学教案14.2 乘法公式(3课时)
14．2乘法公式14．2.1平方差公式(第1课时)一、基本目标【知识与技能】掌握平方差公式，会用平方差公式进行简单计算．【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式．【情感态度与价值观】通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性，体验数学活动充满着探索性和创造性，感受数学知识的实际价值．二、重难点目标【教学重点】平方差公式．【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P107～P108的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．根据条件列代数式：(1)a、b两数的平方差可以表示为a2－b2；(2)a、b两数差的平方可以表示为(a－b)2.2．(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2.观察以上算式及其运算结果填空：上面三个算式中的每个因式都是多项式；等式的左边都是两个数的和与两个数的差的乘积，等式的右边是这两个数的平方的差.(2)平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．3．已知a ＋b ＝10，a －b ＝8，则a 2－b 2＝80. 4．计算(3－x )(3＋x )的结果是9－x 2. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】运用平方差公式计算： (1)(3x －5)(3x ＋5)； (2)(－2a －b )(b －2a )； (3)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)．【互动探索】(引发学生思考)观察各式子的特点，确定用什么公式计算？ 【解答】(1)(3x －5)(3x ＋5)＝(3x )2－52＝9x 2－25. (2)(－2a －b )(b －2a )＝(－2a )2－b 2＝4a 2－b 2. (3)(x －2)(x ＋2)(x 2＋4)＝(x 2－4)(x 2＋4)＝x 4－16.【互动总结】(学生总结，老师点评)运用平方差公式计算时，要注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式．【例2】计算：10015×9945.【互动探索】(引发学生思考)观察式子特点，直接计算比较难，将原式转化为⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15，用平方差公式计算．【解答】原式＝⎝⎛⎭⎫100＋15⎝⎛⎭⎫100－15＝10 000－125＝99992425. 【互动总结】(学生总结，老师点评)可将两个因数写成相同的两个数的和与差，形成平方差公式结构．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A ．(x ＋y )(x ＋y )B ．(－x ＋y )(x －y )C ．(－x －y )(y －x )D ．(x ＋y )(－x －y )2．如图1，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a ＞b )，把剩下部分拼成一个梯形(如图2)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.3．长方形的长为(2a ＋3b )，宽为(2a －3b )，则长方形的面积为4a 2－9b 2. 4．若(m ＋3x )(m －3x )＝16－nx 2，则mn 的值为±36. 5．计算：(1)⎝⎛⎭⎫34y ＋212x ⎝⎛⎭⎫212x －34y ； (2)⎝⎛⎭⎫－56x －0.7a 2b ⎝⎛⎭⎫56x －0.7a 2b ； (3)(2a －3b )(2a ＋3b )(4a 2＋9b 2)(16a 4＋81b 4)．解：(1)254x 2－916y 2. (2)0.49a 4b 2－2536x 2. (3)256a 8－6561b 8.6．运用平方差公式简算： (1)2013×1923； (2)13.2×12.8.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫20＋13×⎝⎛⎭⎫20－13＝400－19＝39989. (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝169－0.04＝168.96. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】对于任意的正整数n ，整式(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值一定是10的倍数吗？【互动探索】要判断整式是否为10的倍数→需化简代数式→化简结果是否是10的倍数→做出判断．【解答】原式＝9n 2－1－(9－n 2)＝10n 2－10＝10(n ＋1)(n －1)． ∵n 为正整数，∴(n －1)(n ＋1)为整数，即(3n ＋1)(3n －1)－(3－n )(3＋n )的值是10的倍数．【互动总结】(学生总结，老师点评)平方差公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.请完成本课时对应练习！14．2.2完全平方公式第2课时完全平方公式一、基本目标【知识与技能】1．掌握完全平方公式及其结构特征．2．会用完全平方公式进行简单计算．【过程与方法】利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间．【情感态度与价值观】培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．二、重难点目标【教学重点】完全平方公式及其结构特征．【教学难点】灵活应用完全平方公式进行计算．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P109～P110的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．按要求列代数式：(1)a、b两数和的平方可以表示为(a＋b)2；(2)a、b两数平方的和可以表示为a2＋b2.2．计算下列各式：(a＋1)2＝(a＋1)(a＋1)＝a2＋2a＋1；(a－1)2＝(a－1)(a－1)＝a2－2a＋1；(m－3)2＝(m－3)(m－3)＝m2－6m＋9.3．完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．如图1可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab，那么通过图2面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】运用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2; (4)(a＋b＋c)2.【互动探索】(引发学生思考)观察式子的特点，怎样运用完全平方公式进行计算？【解答】(1)(5－a)2＝52－2·5·a＋a2＝25－10a＋a2.(2)(－3m－4n)2＝(－3m)2－2·(－3m)·4n＋(4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.(3)(－3a＋b)2＝(－3a)2＋2·(－3a)·b＋b2＝9a2－6ab＋b2.(4)(a＋b＋c)2＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，可巧记为“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号确定看前方”．【例2】计算：(1)9982；(2)(2)20182－2018×4034＋20172.【互动探索】(引发学生思考)(1)直接计算9982比较复杂，考虑将998转化为1000－2，再利用完全平方公式计算．(2)逆用完全平方公式即可．【解答】(1)原式＝(1000－2)2＝1 000 000－4000＋4＝996 004.(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172＝(2018－2017)2＝1.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)中可将该式变形为(1000－2)2，再运用完全平方公式可简便运算．活动2巩固练习(学生独学)1．运算结果是x4y2－2x2y＋1的是(C)A．(－1＋x2y2)2B．(1＋x2y2)2C．(－1＋x2y)2D．(－1－x2y)22．若|a－b|＝1，则b2－2ab＋a2的值为(A)A．1B．－1C．±1D．无法确定3．下列关于962的计算方法正确的是(D)A．962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B．962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C．962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D．962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝92164．运用完全平方公式计算：(1)(－3a＋2b)2；(2)(a＋2b－1)2；(3)50.012; (4)49.92.解：(1)4b2－12ab＋9a2.(2)a2＋4ab＋4b2－2a－4b＋1.(3)2501.0001.(4)2490.01.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．【互动探索】根据完全平方公式的结构特点→确定(m＋1)xy的值→建立方程→确定m 的值．【解答】∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.【互动总结】(学生总结，老师点评)两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【例4】已知a＋b＝4，ab＝－5，求下列各式的值．(1)a 2＋b 2； (2)(a －b )2.【互动探索】由已知等式联想到什么乘法公式？所求代数式与已知等式有什么关系？怎样求解？【解答】(1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得a 2＋b 2＝42－2×(－5)＝16＋10＝26. (2)(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab .把a ＋b ＝4，ab ＝－5代入，得(a －b )2＝42－4×(－5)＝16＋20＝36. 【互动总结】(学生总结，老师点评)完全平方公式的常用变形： (1)a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2－2ab ； (2)ab ＝12[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)]；(3)(a －b )2＋(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2)； (4)(a ＋b )2＋(a －b )2＝4ab ； (5)(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ； (6)(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ； (7)ab ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22； (8)a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(a ＋c )2]；(9)(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc . 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍． 字母表示：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2；(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.请完成本课时对应练习！第3课时 添括号法则一、基本目标【知识与技能】理解并掌握添括号法则，综合运用乘法公式进行计算．【过程与方法】经历类比去括号法则，推出添括号法则的过程，发展学生的知识迁移能力，使学生逐渐掌握添括号法则．【情感态度与价值观】通过类比学习，掌握添括号法则，培养学生的归纳概括能力和发散思维．二、重难点目标【教学重点】添括号法则的推导和运用．【教学难点】添括号法则的运用．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P111的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．去括号法则：a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c.2．反过来，就得到添括号法则：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．3．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.4．在括号内填入适当的项：(1)x2－2x＋y＝x2－(2x－y)；(2)a－2b＋3c＝－(－a＋2b－3c)．5．根据添括号法则完成变形：(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】按下列要求，给多项式3x3－5x2－3x＋4添括号：(1)把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；(2)把多项式的前两项括起来，括号前面带“－”号；(3)把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；(4)把多项式中间的两项括起来，括号前面“－”号．【互动探索】(引发学生思考)根据添括号法则，联系题目要求多项式的各项的符号变化进行添加．【解答】(1)3x3＋(－5x2－3x＋4)．(2)－(－3x3＋5x2)－3x＋4.(3)3x3－(5x2＋3x－4)．(4)3x3－(5x2＋3x)＋4.【互动总结】(学生总结，老师点评)添括号时，明确括号前的符号以及括到的项．无论怎样添括号，原式的值都不能改变，可以用去括号法则检验是否正确．【例2】计算：(1)(a－m＋2n)2；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)；(3)(2x－y－3)(2x－y＋3)；(4)(x－2y－z)2.【互动探索】(引发学生思考)利用添括号法则对原式添加括号→变为乘法公示结构→利用乘法计算公式进行计算．【解答】(1)原式＝[(a－m)＋2n]2＝(a－m)2＋4n(a－m)＋4n2＝a2－2am＋m2＋4an－4mn＋4n2.(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－(m2－2mn＋n2)＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.(3)原式＝[(2x－y)－3][(2x－y)＋3]＝(2x－y)2－9＝4x2－4xy＋y2－9；(4)原式＝[(x－2y)－z]2＝(x－2y)2－2z(x－2y)＋z2＝x2－4xy＋4y2－2xz＋4yz＋z2.【互动总结】(学生总结，老师点评)此式需添括号变形成公式结构，再运用公式使计算简便．活动2巩固练习(学生独学)1．下列去(添)括号做法正确的有(C)A．x－(y－z)＝x－y－zB．－(x－y＋z)＝－x－y－zC．x＋2y－2z＝x－2(z－y)D．－a＋c＋d＋b＝－(a＋b)＋(c＋d)2．在横线上填入“＋”或“－”号，使等式成立．(1)a－b＝－(b－a)；(2)a＋b＝＋(b＋a)；(3)(a－b)2＝＋(b－a)2(4)(a－b)3＝－(b－a)3.3．在括号内填上恰当的项：ax－bx－ay＋by＝(ax－bx)－(ay－by)．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．简记：遇“加”不变，遇“减”都变．字母表示：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．请完成本课时对应练习！。
最新人教版初中八年级上册数学【第十四章 14.2乘法公式 运用乘法公式计算】教学课件
谢谢
(1) (2x + y + z) (2x – y – z) 解：原式 =[ 2x + ( y + z ) ] [ 2x – ( y + z ) ]
= (2x)2– (y + z)2 =4x2 –(y2+2yz+z2) =4x2 – y2–2yz–z2 =4x2 – y2–z2–2yz.
当堂练习
(2) (a + 2b – 1) 2 解：原式=[a + (2b – 1) ]2
ab
4.(x－2y－3)(x+2y－3). 解：原式=[(x－3)－2y] [(x－3)+2y].
例题讲解
例2 . 运用乘法公式计算:
(a + b +c ) 2.
解：原式 = [ (a+b) +c ]2
温馨提示：将(a+b)看作一个整体， 解题中渗透整体的思想.
= (a+b)2 +2 (a+b)c +c2
2.判断下列计算过程是否正确，若错误请把正 确答案修改在下面.
( 3a +2b－c ) 2 解：原式 = [ (3a + 2b )－c ]2 应该运用完全平方公式
= ( 3a + 2b )2 －c2 这是平方差 = 9a2 +12ab + 4b2－c2. 判断：错误.
易错点：混淆两个乘法公式而出错．
2.(2y－3)2= 4y2－12y + 9 .
温馨提示：将(2y – 3)看作一个整 体，解题中渗透整体的思想.
思考
一、去括号法则是什么？
14.2 乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
(－3y－4x)(3y－4x)＝(－4x－3y)(－4x＋3y) ＝(－4x)2－(3y)2＝16x2－9y2.
知1－练
感悟新知
知1－练
1－1. 下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是( B ) A. (a－1)(1－a) B. (－a＋2)(－a－2) C. (a＋2)(2＋a) D. (a－b)(－a＋b)
知2－练
(1)1022；
解：原式＝(100＋2)2＝10 000＋400＋4＝10 404；
(2)99.82；
原式＝(100－0.2)2＝10 000－40＋0.04＝9 960.04；
2
(3)
60
1 60
.
原式＝60＋6102＝3
600＋2＋3
6100＝3
6023
1 600.
感悟新知
知识点 3 添括号
为2 023.
2 022×2 024－2 0232＝(2 023－1)×(2 023＋1)－2 0232
＝2 0232－12－2 0232＝－1.
感悟新知
2－1. 运用平方差公式进行简便计算：
知1－练
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝；
(2)(－4a＋5b)2；
知2－练
括号不能漏掉.
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2 ＝(5b)2－2·(5b)·(4a)＋(4a)2 ＝25b2－40ab＋16a2；
不 能 漏 掉 “ 2ab” 项 且 符 号 与完全平方中的符号一致.
感悟新知
(3)(－2m－n)2；
知2－练
解：(－2m－n)2 ＝(2m＋n)2
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号时，如果括号前面是负号，括号里的各项都要改
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式一. 教材分析人教版八年级数学上册的教学内容涉及平面几何、立体几何、代数、概率等多个方面，其中第14章“整式乘法”是基础也是重点。
本节课的内容“乘法公式”是整式乘法中的一个重要部分，主要包括平方差公式和完全平方公式的探究和应用。
平方差公式和完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用，是学生必须掌握的基础知识。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘法、幂的运算等基础知识，对整式的乘法有了一定的了解。
但平方差公式和完全平方公式的推导和应用还需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生可能对公式的记忆和应用存在困难，需要通过反复练习和实际问题来提高应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的推导和应用。
2.难点：对平方差公式和完全平方公式的理解和灵活应用。
五. 教学方法采用探究式教学法、合作学习法和案例教学法。
通过引导学生自主探究、合作交流，以实际问题为载体，让学生在实践中理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
六. 教学准备1.准备相关的基础知识和例题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，以检验学生的学习效果。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：已知正方形的面积是20，求这个正方形的边长。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出平方公式。
呈现（10分钟）1.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²通过讲解和示例，让学生理解平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
人教版八年级数学上册 14.2 乘法公式 课件
第（3）题（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + )2 ,
应选择“和”的完全平方公式计算，即（ − − ）2 = [−( + )]2 = ( + （ + 1）（ − 1） =
（2）（ + 2）2 =
（3）（ − 1）2 = （ − 1）( − 1) =
（4）（ − 2）2 =
教学新知
上面的几个运算都是形如( ∓ )2 的多项式相乘，由于
【结论】也就是说，两
(a b)2 (a b)(a b) a 2 ab ab b 2 a 2 2ab b 2
y 2 22 y 2 4 y 5
y 4 y 4 y 5 4 y 1;
(2) 102 98 (100 2)(100 2)
2
2
100 2 10000 4 9996.
2
2
教学新知
探究2： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
2 + 2 ; 第（4）题中的 − 2 − 3 = −（2 + 3），原式可变形为 −
（2 + 3）2 ，选择“和”的完全平方公式计算，即（2 + 3）（ − 2 − 3） =
− （2 + 3）2 = −（4 2 + 12 + 9） = −4 2 − 12 − 9.
知识梳理
(4) (2a +3b) (2a -3b) ; (5) (-2a -3b) (2a -3b); (6) (2a +3b) (-2a -3b).
人教版八年级数学上册(教案)：14.2 乘法公式
乘法公式一、说教材1、教材所处的地位及前后联系本节课是《整式的乘除》的内容，是在学习了多项式和多项式相乘和平方差公式之后引入的又一种比较特殊多项式乘以多项式，即完全平方公式。
它和平方差公式一样，也是数学中最基本的一个公式，理解和运用完全平方公式，对于以后学习因式分解，解一元二次方程都具有举足轻重的作用。
2、教学目标：1）通过合作学习探索得到完全平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力。
2）通过体念、观察并发现完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
3）初步学会运用完全平方公式进行计算。
3、教材的重点难点：本节课的重点是理解完全平方公式，运用公式进行计算。
难点是从广泛意义上理解公式中的字母，判明要计算的代数式是哪两个数的和（差）的平方。
二、说教法针对初一学生的形象思维大于抽象思维，注意力不能持久等年龄特点，及本节课实际，采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。
同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。
边启发，边探索边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则，教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围，遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。
另外本节课采用计算机辅助教学，利用多彩的图形世界引导学生完全平方公式的发现和推导，使代数教学不再枯燥。
三、说学法在学法上，教师应引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则，培养学生学习的主动性和积极性。
四、说教学程序（一）合作学习，探求新知用投影片显示：1、如图所示，你能用不同的方法表示下面图形的面积吗？2、把学生回答的结果的不同形式板书在黑板上，提问这些表示的结果都相等吗？3、指出：即完全平方和公式。
4、模仿练习：（用两数和的完全平方公式计算（填空））1）=2）=5、换元拓展提问：等于什么？是否可以写成？你能继续做下去吗？通过讨论，尝试得到（二）探求规律，巩固练习1、探求规律在模仿运用公式的基础上，结合两个公式的特征，可用一句顺口溜来强化记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍中间放。
人教版数学八年级上册-14.2--乘法公式
方法总结：对于平方差中的 a 和 b 可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问 题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特 征，判断其是否具有整除性或倍数关系．
例5 王大伯家把一块边长为 a 米的正方形土地租给了 邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地 一边减少 4 米，另外一边增加 4 米，继续原价租给你， 你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈 吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为 a2，
(3) 通过以上规律请你进行下面的探索： ① (a－b)(a＋b)＝_a_2_－__b_2_； ② (a－b)(a2＋ab＋b2)＝__a_3－__b_3__； ③ (a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝__a_4－__b_4__．
内容
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差
平方差 公式
a−b b
a−b (a−b)2 b(a−b) a
b
ab
a (a − b)2 = a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 差的完全平方公式： (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 .
问题 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2， (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
1. 字母表示：(a + b)(a－b) = a2－b2
注意
2. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征， 在应用时，只有两个二项式的积才有 可能应用平方差公式；不能直接应用 公式的，要经过适当变形才可以应用
人教版数学八年级上册
14.2.乘法公式 课件 人教版数学八年级上册
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
探究
你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图1
b a
b a 图2
例题
(4m+n)2
(x-2y)2
练习
1022
992
扩展----贾宪三角
中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创 新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特 别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。
其解法与现代通常使用的“霍纳法”（由英国数学家霍纳于1819年给 出）基本一致，但比霍纳法要早了五百多年。从贾宪到秦九韶逐步 发展完备起来的高次方程数值解法，是中国数学在宋元时期的一项 杰出的创造。
小结
1. 计算(x-y)(-y-x)的结果是（ ） A.-x2+y2 B. -x2-y2 C. x2-y2 D. x2+y2
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么 规律？
平方差公式
(a+b)(a－ b)=a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b)
证明
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形，如图1，拼
贾宪最著名的数学成就，是他创制了 一幅数字图式，即“开方作法本源图” 。 这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在 引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此 术”。所以过去我国数学界把这幅图称 为“杨辉三角”，实际上是不妥当的， 应该称为“贾宪三角”才最为恰当。
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
人教版八年级数学上册课件 14.2 乘法公式(付,156)
（1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征；
（2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b；
（3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
（3） 51×49；
（4）（3x+ 4）（3 x- 4）-（2 x+3）（2 x-3）．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）平方差公式的结构特征是什么？ （3）应用平方差公式时要注意什么？
布置作业
教科书习题14.2第1题．
八年级 上册
14.2 乘法公式 （第2课时）
课件说明
• 本课是在学生已经学习了平方差公式的基础上，研 究第二个乘法公式，它是具有特殊形式的两个多项 式相乘得到的一种特殊形式，也是后续学习因式分 解、分式运算的重要基础．
判定正误
练习 下面各式的计算是否正确？如果不正确，应 当怎样改正？ （1）（x+y）2 =x2+y2； （2）（x-y）2 =x2 -y2； （3）（x-y）2 =x2+2xy+y2； （4）（x+y）2 =x2+xy+y2.
课件说明
• 学习目标： 1．理解完全平方公式，能用公式进行计算． 2．经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊 到一般、数形结合思想，发展符号意识和几何 直观观念．
• 学习重点： 完全平方公式．
导入新知
问题1 计算下列各式: （1）（p+1）2 =______；（m+2）2 =______； （2）（p-1）2 =______；（m-2）2 =______.
人教版八年级上册课件《14.2乘法公式》复习课件(共14张PPT)
添括号：a+b+c= a+(b+c)
a-b-c= a-(b+c)
9、 要 学 生 做 的事， 教职员 躬亲共 做；要 学生学 的知识 ，教职 员躬亲 共学； 要学生 守的规 则，教 职员躬 亲共守 。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021
4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19
注意：由(x-y)2=4，求x-y，有两解，不能遗漏！
知识巩固
例6 不论a、b为任何有理数，a2+b2-2a-4b+5的 值总是 （ ） A、负数 B、0 C、正数 D、非负数
练习:有理数x、y 满足2x2-2xy+y2+2x+1=0，则 (xy)2005的值为 （ ） A、1 B、0 C、－1 D、－2005
12、 要 记 住 ， 你不 仅是教 课的教 师，也 是学生 的教育 者，生 活的导 师和道 德的引 路人。 2021/8/102021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021
13、 He who seize the right moment, is the right man.谁 把 握 机 遇 ， 谁 就心 想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021
八年级数学上册 乘法公式 人教版
先将式子进行变形，再 利用平方差公式计算
解: （1）原式=(2 016+1)×(2 016-1)-2 0162
=2 0162-1-2 0162= -1.
（2）原式=
2
1
1 2
1
1 2
1
1 22
1
1 24
1
1 28
解: （1）原式=4(a2-2ab+b2)-[(2a)2-b2] =(4a2-8ab+4b2)-(4a2-b2)=5b2-8ab.
（2）原式=[(3x-y)-(2x+y)]2=(x-2y)2=x2-4xy+4y2.
方法点拨： 在计算前应先仔细观察式子的特点，如果出现平方
差公式的形式或完全平方公式的形式，那么就可以利用 公式进行计算，特别注意的是一定要将结果化成最简形 式.
例13 (湖北武汉中考)运用乘法公式计算(x+3)2的结果是
=40 000-800+4=39 204.
添括号的法则
例3 计算：（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z) ;（2）(a+b-c)2.
解:（1）(x-2y+3z)(x+2y-3z)=[x-(2y-3z)][x+(2y-3z)] =x2-(2y-3z)2 =x2-(4y2-12yz+9z2) =x2-4y2+12yz-9z2.
（2）(a+b-c)2=[a+(b-c)]2 =a2+2a(b-c)+(b-c)2 =a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2.
14.2乘法公式--杨辉三角(共19张PPT)
(2)直接写出25+5×24×(-3)
+10×23×(-3)2+10×22×(-3)3
+5×2×(ー3)4+(-3)5=
；
(3)直接写出25-5×24+10×23-
10×22+5×2-1=
；
13
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习 1
(4)若(2xー1)2018＝a1x2018+a2x2017+a3 x2016+ …+a2017 x2+a2018 x+a2019， 求a1+a2+a3+…+a2017+a2018的值.
14
知识点二：利用“杨辉三角”解决规律问题
针对练习
我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋 数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中， 用下图所示的三角形解释二项式(a+b)n的展开式的各项系 数，此三角形称为“杨辉三
角”根据“杨辉三角”,计算(a+b)20
的展开式中第三项的系数为( D )
6
知识点一：“杨辉三角”的认识
新知探究
杨辉三角中斜行和水平行之间的关系
①
把斜行①中第7行之前的数
②
字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
③
②：1+2+3+4+5=15
④ ⑤
⑥
③：1+3+6+10=20 ④：1+4+10=15 ⑤：1+5=6
⑥1
将上面得到的数字与第7行中的数字对比你有什么发现？
人教版八年级数学上册课件：14.2.2 乘法公式(完全平方公式)(共22张PPT)
公式右边特点：(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中 间的符号相同。
4.简记为：首平方，尾平方，积的二倍在
中央，加减看前方。
(a ± b)2=a2±2ab+b2
运用完全平方公式计算 (1) ( x + 6 )2 (2) ( y - 5 )2 (3) ( -2x + 5 )2
点拨：(a－b＋c)(a＋b－c)＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]＝a2－(b －c)2＝a2－b2＋2bc－c2.
4．计算：
3a
12b
2
3a
12b
2
＝_8_1_a_4－ __92_a_2_b_2_＋__11_6_b_4 _.
点拨：
3a
12b
2
3a
1 2
b
2
＝
3a
Hale Waihona Puke 12b把 1022 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? a，b怎样确定？
1022 =(100+2)2 =1002+2×100×2+22
=10000+400+4 =10404
1．计算：
(1)2 0022;
(2)1 9992.
能力拓展,我能行！ (a ± b)2=a2±2ab+b2 完全平方公式与平方差公式一样即可以正
添括号时，如果括号前面是正号，括到 括号里的各项都不变符号；如果括号前 面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
遇“加”不变，遇“减”都变
人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式
课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
人教版八年级数学14.2乘法公式
§14.2 乘法公式
【要点 1】平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。即 (a b)(a b) a 2 b 2 。 这个公式满足以下条件： （1）公式的左边是两个二项式的相乘，并且这两个二项式 中有一个是相同的项，另一个是系数互为相反数的项； （2）公式的右边是两个数的 平方差的形式，而且是用相同的项的平方减去系数互为相反数的项的平方。而公式 中的 a，b 既可以代表单项式，又可以代表多项式 【例】计算： 1 1 （1） (3 x 2 y )(3 x 2 y ) （2） (4 x 2 5)(5 4 x 2 ) （3） 899 901 1 3 3
1 a 2 b 2 ( a b) 2 2ab ○ 2 4ab ( a b) 2 ( a b) 2 ○ 4 2( a 2 b 2 ) ( a b ) 2 ( a b ) 2 ○ 3 ( a b) 2 4ab ( a b) 2 ○
5 2( a 2 b 2 ) ( a b ) 2 ( a b ) 2 ○
）= xy 3 x 2 y 3 （
）
（3）592
3
人教版八年级数学上册
【中考链接】 1、下列计算正确的是（ ） A、 2 x x x B、 a 3 a 2 a 6
2 2
C、 (a b) 2 a 2 b 2
D、 (a b)(a b) a 2 b 2
2
C (a-b) =a +2ab+b ） D、2b
2
2
2
2
D (a-b) =a -ab+b
2
2
2
3、若 x 2 2ax 1 是一个完全平方式，则 a 的值是（ A、1 B、-1 C、 1 D、0 ）
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一个非零的自然数若能表示为两个非零自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”，比如28=82﹣62，故28是一个“智慧数”．下列各数中，不是“智慧数”的是（）A． 987B． 988C． 30D． 32C如果一个数是智慧数，就能表示为两个非零自然数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），因为mn是非0的自然数，因而m+n和m﹣n 就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看着两个数能否写成两个非0自然数的和与差．解：A、987=（34+13）（34﹣13）=342﹣132；B、988=（32+6）（32﹣6）=322﹣62；C、30=15×2=5×6，不能表示为两个非零自然数的平方差；D、32=（6+2）（6﹣2）=62﹣22．故选C．2、下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）A．（﹣4x+3y）（4x+3y）B．（4x﹣3y）（3y﹣4x）C．（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）D．（4x+3y）（4x﹣3y）根据平方差公式的特征两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、能，（﹣4x+3y）（4x+3y）=9y2﹣16x2；B、不能，（4x﹣3y）（3y﹣4x）=﹣（4x﹣3y）（4x﹣3y）；C、能，（﹣4x+3y）（﹣4x﹣3y）=16x2﹣9y2；D、能，（4x+3y）（4x﹣3y）=16x2﹣9y2；故选B．3、下列运算正确的是（）A．2a+2a=2a2B．（﹣a+b）（﹣a﹣b）=a2﹣b2C．（2a2）3=8a5D． a2•a3=a6B根据合并同类项的法则，平方差公式，幂的乘方与积的乘方法则，及同底数幂的乘法法则得出．解：A、应为2a+2a=4a，故选项错误；B、（﹣a+b）（﹣a﹣b）=（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2，故正确；C、应为（2a2）3=8a6，故选项错误；D、应为a2•a3=a5，故选项错误．故选B．4、若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（）A． 1或5B． 5C． 7D． 7或﹣1D这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4积的2倍，故2（m﹣3）=±8，m=7或﹣1．解：∵（x±4）2=x2±8x+16=x2+2（m﹣3）x+16，∴2（m﹣3）=±8，∴m=7或﹣1．故选D．5、下列各式中，与（a﹣1）2相等的是（）A．a2﹣1B． a2﹣2a+1C． a2﹣2a﹣1D． a2+1B根据完全平方公式求出（a﹣1）2=a2﹣2a+1，即可选出答案．解：∵（a﹣1）2=a2﹣2a+1，∴与（a﹣1）2相等的是B，故选B．6、若n满足（n﹣2006）2+（2007﹣n）2=1，则（2007﹣n）（n﹣2006）等于（）A．﹣1B． 0C．D． 1B此题需要把（2007﹣n）与（n﹣2006）看做两个整体，利用完全平方公式求解即可．解：∵（n﹣2006）2+（2007﹣n）2=1，∴[（n﹣2006）+（2007﹣n）]2，=（n﹣2006）2+（2007﹣n）2+2（n﹣2006）（2007﹣n），=1+2（n﹣2006）（2007﹣n）又n﹣2006+2007﹣n=1，∴1=1+2（n﹣2006）（2007﹣n）∴（2007﹣n）（n﹣2006）=0．故选B．a、b是任意实数，则下列各式的值一定为正数的是（）A． |a+2|B．（a﹣b）2C． a2+1D．C根据平方数非负数，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，通过举反例对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、a=﹣2时，|a+2|=0，故本选项错误；B、a=b时，（a﹣b）2=0，故本选项错误；C、∵a2≥0，∴a2+1≥1，是正数，正确；D、a=b=0时，=0，故本选项错误．故选C．8、下列运算正确的是（）A． x5+x5=2x10B．﹣（x）3（﹣x）5=x8C．（﹣2x2y）3=﹣6x6y3D．（2x﹣3y）（﹣2x+3y）=4x2﹣9y2B根据合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、应为x5+x5=2x5，故本选项错误；B、﹣（x）3（﹣x）5=x3•x5=x8，正确；C、应为（﹣2x2y）3=﹣8x6y3，故本选项错误；D、（2x﹣3y）（﹣2x+3y）=﹣（2x﹣3y）2=﹣4x2+12xy﹣9y2，故本选项错误．故选B．9、如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）A． a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D． a2﹣ab=a（a﹣b）A根据正方形和梯形的面积公式，观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解：阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选A．10、下列等式中，一定成立的是（）A．（a+b）2=a2+b2B．（ab）2=a2b2C．2a+3b=5abD． a6÷a3=a2B根据完全平方公式、积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法进行计算．解：A、应为（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；B、（ab）2=a2b2，正确；C、2a与3b不是同类项不能合并，故本选项错误；D、应为a6÷a3=a3，故本选项错误．故选B．11、如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式，此等式是（）A． a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab+b2A利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．解：由题意得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选A．12、下列运算正确的是（）A． a2+3a2=4a4B． 3a2．a=3a3C．（3a3）2=9a5D．（2a+1）2=4a2+1B根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方的性质，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、错误，应等于4a2；B、3a2．a=3a3，正确；C、错误，应等于9a6；D、错误，应等于4a2+4a+1．故选B．13、如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（）A． 2，0B． 4，0C． 2，D． 4，D运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解：∵ax2+2x+=4x2+2x++m，∴，解得．故选D．14、下列各式，能用平方差公式计算的是（）A．（x+2y）（2x﹣y）B．（x+y）（x﹣2y）C．（x+2y）（2y﹣x）D．（x﹣2y）（2y﹣x）C可以用平方差公式计算的式子的特点是：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．相乘的结果应该是：右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．解：A、（x+2y）（2x﹣y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；B、（x+y）（x﹣2y）不符合平方差公式的形式，故本选项错误；C、（x+2y）（2y﹣x）=﹣（x+2y）（x﹣2y）=﹣x2+4y2，正确；D、（x﹣2y）（2y﹣x）=﹣（x﹣2y）2，故本选项错误．故选C．15、下列各式计算结果正确的是（）A． a+a=a2B．（3a）2=6a2C．（a+1）2=a2+1D． a•a=a2D根据积的乘方，把每个因式分别乘方，再把所得的积相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加；完全平方公式，对各选项分析后利用排除法求解．解：A、是合并同类项，应为a+a=2a，故本选项错误；B、应为（3a）2=9a2，故本选项错误；C、应为（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；D、a•a=a2，正确．故选D．16、已知a+b+c=3，a2+b2+c2=3，则a2008+b2008+c2008的值是（）A． 0B． 3C． 22008D． 3×22008B根据已知得出a2+b2+c2﹣2（a+b+c）+3=0，根据完全平方公式得出（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2=0，根据平方的非负性得出a﹣1=0，b﹣1=0，c﹣1=0，求出a b c代入即可．解：∵a+b+c=3，a2+b2+c2=3，∴a2+b2+c2﹣2（a+b+c）+3=0，∴（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2=0，∴a﹣1=0，b﹣1=0，c﹣1=0，∴a=b=c=1，∴a2008+b2008+c2008=1+1+1=3．故选B．17、设x为正整数，若x+1是完全平方数，则它前面的一个完全平方数是（）A． xB．x-2 +1C．x-2+1D．x-2+2D先设y2=x+1，则y=，根据题意求（y﹣1）2即可．解：设y2=x+1，则y=，那么它前面的一个完全平方数是：（y﹣1）2，=y2﹣2y+1，=x+1﹣2+1，=x﹣2+2．故选D．18、如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A． a+1B． a2+1C． a2+2a+1D． a+2+1D当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．解：∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．故选D．19、已知，则的值为（）A．B．C．D．或1B|x|一定是非负数，，那么一定为正数，进而先求得（）2的值，最后求得其算术平方根即为所求的值．解：∵﹣|x|=1，∴x＞0∴+|x|＞0，∵（）2=（﹣|x|）2+4=5，∴+|x|=，故选B．20、已知a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A． 0B． 1C． 2D． 3D首先由a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，求得a﹣b=﹣1，a﹣c=﹣2，b﹣c=﹣1，然后由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）=[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，代入即可求得答案．解：∵a=2009x+2008，b=2009x+2009，c=2009x+2010，∴a﹣b=﹣1，a﹣c=﹣2，b﹣c=﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）=（a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2）=[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]=×[（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2]=3．故选D．21、若x2﹣6x+1=0，则x4+x﹣4的值的个位数字是（）A． 1B． 2C． 3D． 4D首先由x2﹣6x+1=0，求得x+=6，然后由（x+）2=x2++2，求得x2+，再由（x2+）2=x4++2，即可求得答案．解：∵x2﹣6x+1=0，∴x+=6，∴（x+）2=x2++2=36，∴x2+=34，∵（x2+）2=x4++2=1156，∴x4+x﹣4=x4+=1154．∴x4+x﹣4的值的个位数字是4．故选D．22、如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）A． 2005B． 2006C． 2007D． 2008A把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．解：p=a2+2b2+2a+4b+2008，=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，=（a+1）2+2（b+1）2+2005，当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选A．23、若M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13（x，y是实数），则M的值一定是（）A．零B．负数C．正数D．整数C本题可将M进行适当变形，将M的表达式转换为几个完全平方式的和，然后根据非负数的性质来得出M的取值范围．解：M=3x2﹣8xy+9y2﹣4x+6y+13，=（x2﹣4x+4）+（y2+6y+9）+2（x2﹣4xy+4y2），=（x﹣2）2+（y+3）2+2（x﹣2y）2＞0．故选C．24、下列式子正确的是（）A．（a+2）（a﹣2）=a2﹣2B．（a﹣b）2=a2﹣b2C．（x+2）（x﹣3）=x2﹣5x﹣6D．（m﹣n）（n+m）=m2﹣n2D利用平方差公式、多项式乘以多项式及完全平方公式进行计算后即可得到正确的答案．解：A、a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故本选项错误；B、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故本选项错误；C、（x+2）（x﹣3）=x2﹣x﹣6，故本选项错误；D、（m﹣n）（n+m）=m2﹣n2，故本选项正确．故选D．25、下列各式能用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（x﹣1）B．（a+b）（a﹣2b）C．（﹣a+b）（a﹣b）D．（﹣m﹣n）（m+n）A运用平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．解：A、x是相同的项，互为相反项是1与﹣1，符合平方差公式的要求；B、中不存在互为相反数的项，C、D中两项均为相反数，因此B、C、D都不符合平方差公式的要求．故选A．26、3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（）A． 4B． 6C． 2D． 8B先将3转化为22﹣1，然后重复使用平方差公式计算，得出最简结果，再判断结果的个位数．解：原式=（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264；∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，∴原式的个位数为6．故选B．27、下面的计算正确的是（）A． a4•a3=a12B．（a+b）2=a2+b2C． a3•a7÷a5=a2D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）=x2﹣4y2D根据同底数幂的乘法法则求出即可判断A；根据公式（a+b）2=a2+2ab+b2即可判断B；根据同底数幂的乘除法法则求出即可判断C；根据平方差公式求出即可判断D．解：A、a4•a3=a7，故本选项错误；B、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误；C、a3•a7÷a5=a3+7﹣5=a5，故本选项错误；D、（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）=（﹣x）2﹣（2y）2=x2﹣4y2，故本选项错误；故选D．28、如果x2+y2=8，x+y=3，则xy=（）A． 1B．C． 2D．﹣D首先把x+y=3两边同时平方得到x2+2xy+y2=9，然后把x2+y2=8代入其中即可求出xy的值．解：∵x+y=3，∴x2+2xy+y2=9，而x2+y2=8，∴2xy=﹣9+8=﹣1，∴xy=﹣．故选D．29、下列运算正确的是（）A． 3a﹣a=3B． a3÷a3=aC． a2•a3=a5D．（a+b）2=a2+b2C根据合并同类项法则，求出3a﹣a=2a，即可判断A；根据同底数幂的除法求出结果即可判断B；根据同底数幂的乘法求出结果即可判断C；根据完全平方公式展开后求出结果，即可判断D．解：A、3a﹣a=2a，故本选项错误；B、a3÷a3=1，故本选项错误；C、a2•a3=a5，故本选项正确；D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误．故选C．30、下列计算正确的是（）A． a3+a2=2a5B．（﹣2a3）2=4a6C．（a+b）2=a2+b2D． a6÷a2=a3B根据合并同类项法则；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；完全平方公式，同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、a3和a2不是同类项不能合并，故本选项错误；B、（﹣2a3）2=4a6，正确；C、应为（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误；D、应为a6÷a2=a4，故本选项错误．故选B．31、阅读材料并填空：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式样也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1），或图（2）等图形的面积表示．请你写出图（3）所表示的代数恒等式_____________．请你写出图（4）所表示的代数恒等式_____________．解：图（3）所表示的代数恒等式是（x+y）（x+y）=（x+y）2=x2+2xy+y2，图（4）所表示的代数恒等式是（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2，故答案为：（x+y）2=x2+2xy+y2，（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2．求出长方形的长和宽，根据长方形的面积公式求出即可．32、动手操作：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图②所示拼成一个正方形．提出问题：（1）观察图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的一个等量关系．问题解决：根据上述（2）中得到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3．求：（x﹣y）2的值．提出问题：解：（1）（a+b）2﹣4ab或（a﹣b）2（2）（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2问题解决：（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy∵x+y=6，xy=3．∴（x﹣y）2=36﹣9=25．（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（2）利用（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2可求解．33、用简便方法计算：（1）1.372+2×1.37×8.63+8.632（2）×42012．解：（1）原式=（1.37+8.63）2=102=100；（2）原式=（﹣）2011×42011×4=[（﹣）×4]2011×4=（﹣1）2011×4=﹣1×4=﹣4．（1）根据完全平方公式的逆运用得出（1.37+8.63）2，求出即可；（2）根据积的乘方的逆运用得出[（﹣）×4]2011×4，先求出括号内的，再求出即可．34、已知（x+y）2=18，（x﹣y）2=6，分别求x2+y2及x2+3xy+y2的值．解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=18①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=6②，∴①+②得：x2+y2=12，①﹣②得：xy=3，∴x2+y2=12，x2+3xy+y2=12+3×3=21．根据完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy与（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy即可求得：x2+y2与xy的值，则问题得解．35、（1）若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值（2）若x+y=6，x﹣y=4，求xy的值．解：（1）∵x+y=2，（x+2）（y+2）=5，∴xy+2x+2y+4=5，即xy+2（x+y）=1，∴xy+4=1，∴xy=﹣3，∴x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=4+3=7；（2）∵x+y=6，x﹣y=4，∴（x+y）2=x2+y2+2xy=36①，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=16②，∴①﹣②得：4xy=20，解得：xy=5．（1）首先将（x+2）（y+2）=5变形，可得xy+2（x+y）=1，然后将x+y=2代入，即可求得xy的值，再由x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy即可求得答案；（2）由x+y=6，x﹣y=4，即可求得：（x+y）2=x2+y2+2xy=36，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=16，然后利用整体思想求解即可得到答案．36、计算：（5﹣2x）2﹣（4x2﹣50x）÷（﹣2x）．解：原式=25﹣20x+4x2﹣（﹣2x+25），=25﹣20x+4x2+2x﹣25，=4x2﹣18x．注意运算顺序：先计算：（5﹣2x）2=25﹣10x+4x2，（4x2﹣50x）÷（﹣2x）=﹣2x+25，再合并同类项即可．37、99.82．解：99.82=（100﹣0.2）2，=1002﹣2×100×0.2+0.22，=10000﹣40+0.04，=9960.04．根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2来求99.82=（100﹣0.2）2的值．38、计算：（2x﹣y）（4x2+y2）（2x+y）解：原式=（2x﹣y）（2x+y）（4x2+y2）=（4x2﹣y2）（4x2+y2）=16x4﹣y4．先交换位置，再根据平方差公式进行计算，最后再根据平方差公式进行计算即可．39、观察下列式子：32﹣12=8，52﹣32=16，72﹣52=24，92﹣72=32，…根据以上式子的特点，试用含有n的等式表示上述规律，并用一句简洁的话概括此规律．解：两个连续奇数的平方差是8的倍数．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1=8n．从式子的左边分析，2个连续奇数的平方，大奇数的平方减去小奇数的平方；从等式右边知道变化数n是自然数，8是不变数．40、计算：（x﹣2y）（x+2y）+4y2．解：原式=x2﹣4y2+4y2=x2．利用平方差公式即可求得（x﹣2y）（x+2y）的值，然后利用合并同类项的法则，即可求得结果．教师出题相关试题库：/teacher/paper/new?source=fromwk学生查看相关知识点：/teacher/lesson/prepare?source=fromwk 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