2018-2019高二下学期期中考试数学(理)试卷 (4)
高二数学期中考试试题2018-2019(下)(理)
高二数学期中考试试题2018-2019（下）(理)一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 2．若要证明“a ＞b ”，用反证法证明时应假设( ) A.a ＞b B.a ＜b C.a ≤b D.a ＝b 3.若复数，则在复平面内对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4. 下列求导数运算正确的是A.（x +x 1)′=1+21xB. (log 2x )′=2ln 1xC. (3x)′=3xlog 3e D. (x 2cos x )′= －2x sin x 5.下列结论中正确的是( )A 导数为零的点一定是极值点B 如果在x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极大值C 如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)('<x f ，那么)(0x f 是极小值D 如果在x 附近的左侧0)('<x f ，右侧0)('>x f ，那么)(0x f 是极大值6. 在用数学归纳法证明不等式)2(2413212111≥≥+++++n n n n 的过 程中,当由k n =推到1+=k n 时,不等式左边应( )A.增加了)1(21+k B.增加了221121+++k k C.增加了221121+++k k ,但减少了11+k D. 以上都不对 7．2212-=x y 在点)23,1(-处的切线倾斜角为（ ）Ａ．4πＢ．1 Ｃ．45π Ｄ．4π-8．=∆-∆+→∆xf x f x 3)1()1(lim 0（ ） Ａ．)1(f ' Ｂ．)1(3f ' Ｃ．)1(31f ' Ｄ．)3(f '9. 函数y=2x 3－3x 2－12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A ．5 , －15 B ．5 , 4 C ．－4 , －15 D ．5 , －16 10. 曲线y ＝cosx(0≤x ≤)与两坐标轴所围成的图形的面积为 ( )A B 4 C 2 D 311．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）12．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )Ａ．294eＢ．22e Ｃ．2eＤ．22eABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 曲线322+=x y 在点1-=x 处的切线方程为_________14、设1Z = i 4 + i 5+ i 6+…+ i 12 ,2Z = i 4 · i 5·i 6·…· i 12，则Z 1 = 2Z = 15由曲线与直线及，所围成的平面图形的面积16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5(2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 . 三、解答题 17.计算（12分） (1)求导数1）xxe y = ；2）x x y ln ⋅= 3）xxy cos 1-= 4)5)13(-=x y(2)求定积分dx x ⎰π20sin(3)计算复数2(12)34i i +-18．（10分）已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---19.（12分）用数学归纳法证明：-1+3-5+…+(-1)n (2n-1)=(-1)n n20.(12分)已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点0 2p y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13.（1）曲线在P 点处的切线方程；（2）求函数()f x 的极大值和极小值21.（12分） 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为：21242005p x =-,且生产x 吨的成本为50000200R x=+（元）。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷附答案
oxycos xy CAB 21第一机械制造（集团）有限公司第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知i iz 21,则复数zA ．i 31 B ．i 31 C ．i 31 D ．i312．如图，若在矩形OABC 中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为A ．2B．2C．4D ．43．函数xe x xf )3()(的单调递减区间是A ．)2,(B．)3,0( C．)4,1( D．),2(4.已知kx y 与曲线x y ln 相切,则k 的值为A ．eB ．eC ．e1 D ．e15.已知圆100)3(:22yx C 和点)0,3(B ，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于M 点，则M 点的轨迹方程是A.x y 62B.1162522yxC.1162522yxD.2522yx6.函数xex x f 2sin )(的图象的大致形状是A. B. C. D.7．已知函数exxe f e x f ln )(2)(，则错误！未找到引用源。
的极大值点为A ．e1 B．1C ．eD ．e28．已知25ln52a，eb1（e 是自然对数的底数），22ln c，则c b a ,,的大小关系是A ．b ac B ．b c a C ．ca b D．ab c9．设21,F F 分别为双曲线)0,0(12222ba by ax 的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在点P ，满足212F F PF ，且原点O 到直线1PF 的距离等于双曲线的实半轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．035yxB ．053y xC ．043y xD ．034y x 10.设定义在),0(上的函数)(x f 的导函数)('x f 满足1)('x xf ，则A ．2ln )1()2(f f B.1)1()2(f f C. 2ln )1()2(f f D.1)1()2(f f 11．如图所示，正方形ABCD 和正方形DEFG ，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(,22p px y经过FC,两点，则直线BE 的斜率为A.22 B．221C ．22D ．2212. 关于函数x xx f ln 2)(,下列说法正确的是（1）2x是)(x f 的极大值点（2）函数x x f y)(有且只有1个零点（3）存在正实数k ，使得kx x f )(恒成立（4）对任意两个正实数21,x x ，且21x x ，若)()(21x f x f ，则421x x A.)4)(3)(2)(1( B.)4)(2( C. )3)(2( D.)4)(3(二、填空题（本大题共4小题，共20分）。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，复数31iz i-=+（i 为虚数单位）等于( ) A ．12i + B ．12i - C ．13i + D ．13i -- 2．是复数为纯虚数的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列结论正确的是（ ）A ．归纳推理是由一般到个别的推理B ．演绎推理是由特殊到一般的推理C ．类比推理是由特殊到特殊的推理D ．合情推理是演绎推理4．用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于60º”时的假设为（ ） A ．三个内角中至多有一个不大于60º B ．三个内角中至少有两个不大于60º C ．三个内角都不大于60º D ．三个内角都大于60º5．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为是实数，所以的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的 6．函数在处切线斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．8．在直角坐标平面内，由曲线，，和轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ．10．函数 ()xe xf x = 的单调递减区间是A ．B ．和C ．D ．11．已知定义在()0,+∞上的函数()f x 的导数为()f x '，且满足()()()2ln 2f x x x f x >'， 则（ ）A ．()()()32623f e f e f e >>B ．()()()23632f e f e f e << C ．()()()23632f e f e f e >> D ．()()()32623f e f e f e <<12.若函数 ()12ln -+-=ax x a e x f x在()0,+∞上恰有两个极值点，则a 的取值范围为（ ）A .()e e --,2 B . ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-2,e C. ⎝⎛⎪⎭⎫-∞-e 1, D )(e -∞-,二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．设，是的导函数，则__________． 14．若，则实数__________． 15．设函数，观察下列各式：，，，，…，，……，根据以上规律，若，则整数的最大值为__________． 16．曲线上的点到直线的最短距离是________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知11z i =-， 222z i =+. （1）求12z z ⋅； （2）若12111z z z =+，求z .18．（12分）已知是定义在上的函数， = ，且曲线在处的切线与直线143--=x y 平行. (1)求的值.(2)若函数()m x f y -=在区间上有三个零点，求实数的取值范围.19．（12分）某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图圆柱高为，半径为，不计厚度，单位：米），按计划容积为立方米，且，假设建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为千元，半球部分每平方米的费用为千元，设该容器的建造费用为千元.（1）求关于的函数关系，并求其定义域；（2）求建造费用最小时的.20．（12分）已知函数()()2ln f x x ax x a R =-+-∈．（1）当3a =时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.21．（12分）已知函数()e x f x tx =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的单调增区间；（2）设关于x 的不等式)(x f ≥322--t x 在区间[)+∞,3恒成立，求实数t 的取值范22.（12分）已知函数()x x x m x f 221ln 2-+= （1）若m<0, 曲线()x f y =在点())(1,1f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2，求m的值。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷
1
( , ) D.
3
1
( ,0)和 ( , )
3
1
7、函数 f ( x )
x sin x 的图象大致是（ ）
2
8. 已知函数 f ( x )
3
x
2
ax
bx
c ，下列结论中错误的是（
）
A. x 0 R ， f ( x 0 ) 0
B. 函数 y f ( x ) 的图象是中心对称图形
C. 若 x 0 是 f ( x ) 的极小值点，则 f ( x ) 在区间 ( , x 0 ) 单调递减
(1) 函数 f ( x) 的定义域为 (0 ，＋∞ ) ，
1 （x＋ 1）（ x－ 1）
且 f ′（x) ＝x－ x＝
x
， …………………………………………
分 3分
1
所以 f ( x) 在 x＝ 1 处取得极小值为
． 2
…………………………………………
8分
(2) 由 (1) 可知函数 f ( x) 在上为增函数，……………………………………
（ 2）求函数 f ( x ) 在 [1, e ] 上的最大值和最小值 .
19. （ 12 分）
数列
a n
中， a nຫໍສະໝຸດ 1，前 n 项的和记为
S n
．
n(n 1)
（ 1）求 S 1 , S 2 , S 3 的值，并猜想 S n 的表达式； （ 2）请用数．学．归．纳．法． 证明你的猜想． 20. (12 分 ) 如图计算由直线 y＝6－ x，曲线 y＝ 8x以及 x 轴所围图形的面积．
10
11
12
A
B
A
13.
14.
2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案
≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙 乙 4
4
5. B 【解析】 姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积， 姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.
2018-2019学年高二下学期期中考试理科数学试卷含解析
高二年级第二学期期中联合调研考试理科数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数23iz i，则z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】由题意可得232713101010iii zi i，在复平面内对应的点为71,1010，在第四象限，选 D2.若等差数列n a 和等比数列n b 满足11443,24a b a b ，则22a b （）A. -1B. 1C. -4D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的通项公式，求出公差与公比，进而可求出结果.【详解】设等差数列n a 的公差为d ，等比数列n b 的公比为q ，因为11443,24a b a b ，所以413413278da ab q b ，解得92d q，因此212166a a db b q，所以221a b .故选B【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列基本量的计算，熟记通项公式即可，属于基础题型.3.已知实数x ，y 满足条件24132xy x y x y，则2z x y 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，然后平移直线1122yxz ，在可行解域内，找到当在纵轴上的截距最小时所经过的点，求出点的坐标，代入目标函数，求出最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图阴影部分就是可行解域，当直线1122yxz 经过点(2,0)B 时，在纵轴上的截距最小，所以2z xy 的最小值为：2022z ，故本题选 A.【点睛】本题考查了求线性目标函数的最值问题，解题的关键是正确画出可行解域.考查了数形结合思想.4.下列结论中不正确的个数是（）①“3x”是“1sin22x”的充分不必要条件；②命题“,sin 1x R x ”的否定是“,sin 1x R x ”；③线性回归直线不一定过样本中心点(),x y ④“若A B B ，则AB ”的逆否命题是假命题A. 1B. 2C. 3D. 4。
2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷(附答案)
江阴市第一中学2018—2019学年度第二学期期中试卷高二数学（理科）2019.4一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.若复数1,1z i 则Z 的共轭复数是．2.同一排的电影票5张，2个老师和3个学生就座，如果学生不相邻，则有种不同的坐法. （用数字作答）3.若346n n A C ，则n 的值为．4. 在一长为3m 的线段AB 上任取一点P ，则点P 与线段AB 两端点的距离都大于1m 的概率为．5.江苏省高中生进入高二年级时需从“物理、化学、生物、历史、地理、政治、艺术”科目中选修若干进行分科，分科规定如下：从物理和历史中选择一门学科后再从化学、生物、地理、政治中选择两门学科作为一种组合，或者只选择艺术这门学科，则共有种不同的选课组合.（用数字作答）6．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为．7. 若52551110ax x bx a x ，则b. 8.已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示.若0,1E XV X ，则a -b 的值为．9.若n x x 231的展开式中第6项的系数最大，则不含x 的项等于 .X -1 0 1 2P a b c 11210.1227272727S C C C除以9的余数为 .11.用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 . 个（用数字作答）．12．定义运算“”：22(,,0)x yx y x y R xyxy．当0,0x y时，(2)x y y x的最小值是 .13．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1+中“…”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+=x求得x=．类比上述过程，则= .14.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：图1 图2他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数.类似地，称图2中的1，4，9，16，…的数为正方形数.观察下列数：①144；②289；③1024；④1225；⑤1378.其中，既是三角形数又是正方形数的是 . (写出所有符合要求的数的序号)二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.设（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，求：（1）a0+a1+…+a5；（2）|a0|+|a1|+…+|a5|；（3）a1+a3+a5；（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2．。
2018-2019学年高二数学年级下学期期中测试试题理(含解析)
2018-2019学年高二数学年级下学期期中测试试题理（含解析）一､选择题(12小题，每小题5分，共60分)1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,故选C.2.用反证法证明命题“若，则a、b全为0”，其反设正确的( )A. a、b至少有一不为0 .B. a、b至少有一个为0C. a、b全部为0D. a、b中只有一个为0【答案】A【解析】【分析】由已知，a，b全为0的反面即为或，结合各选项，即可得出结论.【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若，则a，b全为0”时，应假设或，a，b不全为零，即a，b至少有一个不为0.故选A.【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题.3.若，则函数导函数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意,f(x)=xcosx，其导数，即f′(x)=cosx−xsinx，本题选择D选项.4.复数满足，则z=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，根据复数相等的定义得：，，所以，故选A.5.下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是( )①因为对数函数是增函数；②所以是增函数；③而是对数函数．A. ①B. ②C. ①②D. ③【答案】D【解析】三段话写成三段论是：大前提：因为对数函数是增函数，小前提：而是对数函数，结论：所以是增函数，故选D.6.＝ ( )A. B. 2 C. ＋i D. －i【答案】A【解析】，故选A.7.曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1【答案】A【解析】时，，故选A.8.直线与曲线在第一象限内围成封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知，如果，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴,故选B.10.若是函数的极值点，则的极小值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，因，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./12.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】【详解】当时，原问题等价于，令，则，而，由可得：，由可得：，据此可知，函数在区间上的最小值为综上可得：实数的最小值为e.本题选择D选项.二､填空题(4小题，每小题5分，共20分)13.曲线在点处的切线方程为_______【答案】【解析】【分析】求导后，代入可求得切线斜率，进而利用点斜式求得切线方程.【详解】由题意得：在处的切线斜率在处的切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解，关键是熟练应用导数的几何意义求解出切线斜率，属于基础题.14.计算 .【答案】2.【解析】试题分析：，故填：2.考点：定积分计算.15.已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.【答案】3【解析】由题意知，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.答案：3.16.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C【解析】【分析】假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表：故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.三､解答题(共6小题，共70分)17.已知函数.（1）曲线上与直线平行的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的切线方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）由两直线平行知切线斜率为，利用导数几何意义构造方程求得切点坐标，进而得到所求切线方程；（2）设切点坐标，利用切线斜率构造方程可求得，进而得到切线方程.【详解】（1）令，解得：，又，曲线在处的切线方程为，即，即与平行的切线方程为.（2）设切点坐标为，若，直线，符合题意；若，则切线斜率，解得：，，过的曲线的切线方程为，即.所以，过点且与曲线相切的切线方程为和.【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线方程的问题，涉及到“在”与“过”某一点处的曲线切线方程的求解问题，属于基础题.18.计算由曲线与直线，，所围图形的面积.【答案】【解析】【分析】利用积分可直接求得结果.【详解】由题意可得所围图形如下图阴影部分所示：则所围成图形面积.【点睛】本题考查利用积分求解图形面积的问题，属于基础题.19.在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】，证明见解析．【解析】试题分析：利用递推式直接求、、，猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可.试题解析：a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝，所以当n＝k＋1时猜想也成立，由①②知，对n∈N*，an＝都成立．点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值并验证真假；②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.20.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,问轮船的速度是多少时,航行1千米所需的费用总和最少?【答案】当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少【解析】试题分析：设速度为每小时v千米时，由题可得行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+. 再用导数作为工具求解该最值问题即可.试题解析：设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q 元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.q′=0.012v-=(v3-8000),令q′=0,解得v=20.当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.点晴：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题．根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．21.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.（1）求，，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1），，；（2）最大值，最小值为.【解析】【分析】（1）根据导数几何意义和两直线的垂直关系可确定，结合导函数的最小值可求得；根据奇函数的性质可求得；（2）利用导数可求得的单调性，进而求得函数的极值和区间端点值，由此确定最值.【详解】（1），，在处的切线与垂直，，即，又，，，为奇函数，且其定义域为，，综上所述：，，；（2）由（1）知：，则，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为；极小值为，又，，在上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解参数值、利用导数求解函数在区间上的最值问题；求解最值的关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定函数的极值点，属于基础题型.22.已知函数.（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得到，，解得，再计算单调区间得到答案.（2），，设，则，为增函数，且，得到单调区间，最值，得到证明.【详解】（1），则，是的极值点，则，故，，函数在上单调递增，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）取，易知函数单调递增，故.设，则，为增函数，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故.即当时，.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.2018-2019学年高二数学年级下学期期中测试试题理（含解析）一､选择题(12小题，每小题5分，共60分)1.复数等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,故选C.2.用反证法证明命题“若，则a、b全为0”，其反设正确的( )A. a、b至少有一不为0 .B. a、b至少有一个为0C. a、b全部为0D. a、b中只有一个为0【答案】A【解析】【分析】由已知，a，b全为0的反面即为或，结合各选项，即可得出结论.【详解】因为要用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，所以用反证法证明命题“若，则a，b全为0”时，应假设或，a，b不全为零，即a，b至少有一个不为0.故选A.【点睛】本题是一道关于反证法的题目，关键是掌握反证法的定义，属于基础题.3.若，则函数导函数等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意,f(x)=xcosx，其导数，即f′(x)=cosx−xsinx，本题选择D选项.4.复数满足，则z=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，根据复数相等的定义得：，，所以，故选A.5.下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是( )①因为对数函数是增函数；②所以是增函数；③而是对数函数．A. ①B. ②C. ①②D. ③【答案】D【解析】三段话写成三段论是：大前提：因为对数函数是增函数，小前提：而是对数函数，结论：所以是增函数，故选D.6.＝ ( )A. B. 2 C. ＋i D. －i【答案】A【解析】，故选A.7.曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1【答案】A【解析】时，，故选A.8.直线与曲线在第一象限内围成封闭图形的面积为（）A. B. C. 4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知，如果，，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴,故选B.10.若是函数的极值点，则的极小值为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可得，因，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【名师点睛】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A. B.C. D.【答案】C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+2+…+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故选C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./12.设函数，若不等式有正实数解，则实数的最小值为（）A. 3B. 2C.D.【答案】D【解析】【详解】当时，原问题等价于，令，则，而，由可得：，由可得：，据此可知，函数在区间上的最小值为综上可得：实数的最小值为e.本题选择D选项.二､填空题(4小题，每小题5分，共20分)13.曲线在点处的切线方程为_______【答案】求导后，代入可求得切线斜率，进而利用点斜式求得切线方程.【详解】由题意得：在处的切线斜率在处的切线方程为：，即故答案为：【点睛】本题考查曲线在某一点处的切线方程的求解，关键是熟练应用导数的几何意义求解出切线斜率，属于基础题.14.计算 .【答案】2.【解析】试题分析：，故填：2.考点：定积分计算.15.已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.【答案】3【解析】由题意知，所以f(1)＋f′(1)＝＋＝3.答案：3.16.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是或作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___．【答案】C假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.【详解】分别获奖的说对人数如下表：故获得一等奖的作品是C.【点睛】本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.三､解答题(共6小题，共70分)17.已知函数.（1）曲线上与直线平行的切线方程；（2）求过点且与曲线相切的切线方程.【答案】（1）；（2）和.【解析】【分析】（1）由两直线平行知切线斜率为，利用导数几何意义构造方程求得切点坐标，进而得到所求切线方程；（2）设切点坐标，利用切线斜率构造方程可求得，进而得到切线方程.【详解】（1）令，解得：，又，曲线在处的切线方程为，即，即与平行的切线方程为.（2）设切点坐标为，若，直线，符合题意；若，则切线斜率，解得：，，过的曲线的切线方程为，即.所以，过点且与曲线相切的切线方程为和.【点睛】本题考查利用导数几何意义求解切线方程的问题，涉及到“在”与“过”某一点处的曲线切线方程的求解问题，属于基础题.18.计算由曲线与直线，，所围图形的面积.【答案】【解析】【分析】利用积分可直接求得结果.【详解】由题意可得所围图形如下图阴影部分所示：则所围成图形面积.【点睛】本题考查利用积分求解图形面积的问题，属于基础题.19.在数列中，，，求、、的值，由此猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】，证明见解析．【解析】试题分析：利用递推式直接求、、，猜想数列{an}的通项公式为（）用数学归纳法证明即可.试题解析：a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时猜想成立，即ak＝则当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝，所以当n＝k＋1时猜想也成立，由①②知，对n∈N*，an＝都成立．点睛：本题考查了数列中的归纳法思想，及证明基本步骤，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值并验证真假；②“假设时命题正确”并写出命题形式；③分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设.20.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时,燃料费是的费用总和最少?【答案】当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少【解析】试题分析：设速度为每小时v千米时，由题可得行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+. 再用导数作为工具求解该最值问题即可.试题解析：设速度为每小时v千米时,燃料费是每小时p元,那么由题设知p=kv3,因为v=10,p=6,所以k==0.006.于是有p=0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时,行驶1千米所需的总费用为q元,那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,而行驶1千米所用时间为小时,所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.q′=0.012v-=(v3-8000),令q′=0,解得v=20.当v<20时,q′<0;当v>20时,q′>0,所以当v=20时,q取得最小值.即当速度为20千米/小时时,航行1千米所需费用总和最少.点晴：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法．建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题．根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键．建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用．21.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为.（1）求，，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值.【答案】（1），，；（2）最大值，最小值为.【解析】（1）根据导数几何意义和两直线的垂直关系可确定，结合导函数的最小值可求得；根据奇函数的性质可求得；（2）利用导数可求得的单调性，进而求得函数的极值和区间端点值，由此确定最值.【详解】（1），，在处的切线与垂直，，即，又，，，为奇函数，且其定义域为，，综上所述：，，；（2）由（1）知：，则，当和时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为；极小值为，又，，在上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解参数值、利用导数求解函数在区间上的最值问题；求解最值的关键是能够利用导数确定函数的单调性，进而确定函数的极值点，属于基础题型.22.已知函数.（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1），单调增区间为，单调减区间为；（2）证明见解析（1）求导得到，，解得，再计算单调区间得到答案.（2），，设，则，为增函数，且，得到单调区间，最值，得到证明.【详解】（1），则，是的极值点，则，故，，函数在上单调递增，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）取，易知函数单调递增，故.设，则，为增函数，且，故当时，单调递增，当时，单调递减，故.即当时，.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2018-2019学年高二下学期期中数学(理)试卷含答案
九江市同文中学2018—2019学年度下学期考试高二年级期中数学试卷(理科)考试时间：120分钟试卷分数：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1、复数12i i(i 为虚数单位)的虚部是( )A ．15iB ．15C ．15iD ．152、下列曲线中离心率是62的是（）A ．22124xyB ．22142xyC ．22146xyD ．221410xy3、“1x ”是“12log (2)0x ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4、下列判断正确的是（）A ．“若22ab ，则a b ”的否命题为真命题B ．函数221()99f x xx 的最小值为 2C ．命题“若x y ，则sin sin x y ”的逆否命题为真命题D ．命题“020190xx ，2019”的否定是：“0020190x x，2019”。
5、函数3()2ln f x xx x的单调递减区间是()A ．(3,1)B ．(0,1) C．(1,3)D ．(0,3)6、由直线1,22y y ，曲线1yx 及y 轴所围成的封闭图形的面积是( )A ．2ln 2B ．2ln 21C ．1ln 22D ．547、在正方体1111ABCDA B C D 中，直线11A C 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（）A ．1B ．32C ．22D ．128、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A ．1440种B ．960种C ．720种Ｄ．480种9、设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1zR ，则z R ；2p ：若复数z 满足2zR ，则zR ；3p ：若复数12,z z 满足12z z R ，则12z z ；4p ：若复数zR ，则zR .其中的真命题为（）A ．14,p pB ．13,p pC ．23,p pD ．24,p p 10、已知抛物线24yx 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点(2,22)M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则||:||NF FM 等于（）A ．1:2 B．1:3 C ．1:2 D．1:311、若函数)(sin )(a xe xf x 在区间)2,2(上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．),2[ B．),1( C ．),1[ D ．),2(12、设椭圆2222:1(0)x y C a bab的左、右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP的斜率分别为,m n ，则当22(3)3(ln ||ln ||)3a m n bmnmn取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．15B ．22C ．45D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题。
1.点的极坐标为，则它的直角坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，可求点M的直角坐标．【详解】点M的极坐标为，x＝ρcosθ＝2cos＝1，y＝ρsinθ＝2sin＝，∴点M的直角坐标是(1，)．故选：C．【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数求值，属于基础题．2.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意得，不等式，则或，解得或，故选D．考点：绝对值不等式求解．3.若，则的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】试题分析：考点：组合数排列数运算4.5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据分步乘法计数原理，计算出不同情况的种数.【详解】根据分步乘法计数原理可知，个人可能出现的不同情况的种数为种，故选C.【点睛】本小题主要考查分步乘法计数原理，考查分析问题的能力，属于基础题.5.现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A. 男生2人，女生6人B. 男生5人，女生3人C. 男生3人，女生5人D. 男生6人，女生2人.【答案】C【解析】【分析】设出男女生人数，然后根据分步乘法计数原理列方程，解方程求得男生和女生的人数.【详解】设男生有人，女生有人，则，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查排列组合问题，考查方程的思想，考查运算求解能力，属于基础题.6.从0，1，2，3中选取三个不同的数字组成一个三位数，则不同的三位数有（）A. 15个B. 18个C. 20个D. 24个【答案】B【解析】【分析】将这个三位数分成有零和没有零两类，计算出方法数，然后相加得到不同的三位数的个数.【详解】如果这个三位数没有零，则不同的三位数有种个；如果这个三位数有零，先从中选出一个作为百位，然后再选出非零的一个数与零排在十位或者个位，不同的三位数有个，故共有个不同的三位数，故选B.【点睛】本小题主要考查分类加法计数原理，考查分步乘法计数原理，属于基础题.7.在满足极坐标和直角坐标互化的条件下，极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后，得到的曲线是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 直线【答案】A【分析】先将极坐标方程转化为直角坐标方程，然后进行伸缩变换，由此判断所得曲线是什么曲线.【详解】由得，即，由得，代入得，即，表示的曲线为圆，故选A.【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查伸缩变换等知识，属于基础题.8.且,则乘积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由,得m=15,,应选B.9.已知命题：恒成立，命题：为减函数，若且为真命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.【解析】【分析】先分别求得为真命题时，的取值范围，然后求交集，由此得出正确选项.【详解】对于命题，，故.对于命题，.由于p且q为真命题，故都为真命题，所以，故选D.【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻辑联结词命题真假性等知识，属于基础题.10.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2选A11.下列各式中，最小值等于2的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：选项A，中当x,y同号时，满足题意，选项B，取不到等号，选项C，正切值符号不定，因此只能选择D，一正二定三相等。
2018-2019广东省高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版
， ，
因为 所以 所以
， ， ，
即
，
故选 D.
【点睛】
本题考查了类比推理的问题，类比推理的本质是方法的类比，解题的关键就在于此.
8．设函数 是奇函数
的导函数，
，当 时，
A． C． 【答案】A 【解析】 【分析】
，则使得
成立的 的取值范围是（ ） B． D．
构造函数
，判断其单调性及奇偶性，结合
而判断 的正负，问题得解。
当 x 时，根据指数函数与幂函数图象的变换趋势知 y 0 ，故选 A
5．由曲线
，直线
及 轴所围成的图形的面积为（ ）
A． 【答案】C 【解析】
解析：作出曲线
B．
C．
D．
，直线 y＝x－2 的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由
因此
得交点 A(4，2)． 与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为：
命题④当
时，由于 的值不确定，当 的值比较接近于 2 时，函数
的零点则有可能是 2 个或 3 个，故命题④不正确，
命题⑤，随着 的值的变化，函数
的零点个数可能为 、 、 、 、 个，
故命题⑤正确，
故正确的命题有①②⑤，选 B.
【点睛】
本题考查了函数与导数的关系，解题的关键是要能由导函数图像解析出原函数的图像，
x1,
x2
分别是
函数
f
x
1 3
x3
1 2
ax2
2bx
c
的两个极值点，且
x1
0,1
，
x2 1, 2 ，结合三
次函数的性质可知 f 0 0
2b 0
f 1 0 ， f 2 0 ，即{ 1 a 2b 0 ，作出不等式组所表示的区域如下图：
福州市2018-2019学年高二下期中数学试卷(理)含答案解析
2018-2019学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=06．当m ∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[]B ．[]C ．[]D ．[]7．与y 轴相切且和曲线x 2+y 2=4（0≤x ≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（ ） A ．y 2=﹣4（x ﹣1）（0＜x ≤1） B ．y 2=4（x ﹣1）（0＜x ≤1） C ．y 2=4（x+1）（0＜x ≤1） D ．y 2=﹣2（x ﹣1）（0＜x ≤1）8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知定点N （0，1），动点A ，B 分别在抛物线及曲线上，若B 在A 的上方，且AB ∥y 轴，则△ABN 的周长l 的取值范围是（ ）A ．（，2）B ．（）C ．（） D ．（）10．已知点P 是椭圆上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（ ）A ．（0，2]B ．C ．[2） D ．[0，4]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ= ．12．已知平面α的一个法向量，点A （﹣1，3，0）在α内，则点P （﹣2，1，2）到α的距离为 ．13．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于 ．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．18．已知椭圆C：的左右焦点为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值2018-2019学年福建省福州市高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有4个命题：①O，A，B，C为空间四点，且不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面②若与共线，与共线，则与共线③若与共面，则④若，则P，M，A，B共面其中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间点、线、面的位置；向量的共线定理．【专题】证明题．【分析】本题综合考查了共线向量与向量共线定理，以及向量共面定理与点共面的共线，我们要根据向量共线、共面的定义和性质对四个命题逐一进行判断，即可得到答案．【解答】解：①O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．②如果=，则与不一定共线，所以②错误；③不正确，如都是零向量，而为非零向量时，此等式不成立．④若=x +y，则共面，故四点P、M、A、B共面，故④正确．所以①④正确．故选B．【点评】本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．2．若k∈R，则“k≤﹣5”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的标准方程．【专题】计算题．【分析】先求出方程表示双曲线时k的取值范围，然后根据根据若p⇒q与q⇒p的真假命题，进行判定即可．【解答】解：∵方程表示双曲线∴（k﹣4）（k+4）＞0解得：k＞4或k＜﹣4∵k≤﹣5⇒k＞4或k＜﹣4是真命题，反之是假命题∴p是q的充分非必要条件故选A【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题p与命题q所表示的范围大小，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系．3．已知空间四边形OABC，其对角线是OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG=3GN，用基底向量表示向量应是（）A．B．C．D．【考点】向量的几何表示；向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，绕着图形的棱到P，根据图形中线段的长度整理，把不是基底中的向量再用是基地的向量来表示，做出结果．【解答】解：∵======故选A．【点评】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程．4．若平面α与β的法向量分别是，则平面α与β的位置关系是（）A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【专题】计算题．【分析】先计算向量与向量的数量积，根据数量积为0得到两向量垂直，从而判断出两平面的位置关系．【解答】解：=﹣2+8﹣6=0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选B【点评】本题主要考查了向量数量积以及向量垂直的充要条件，同时考查了两平面的位置关系，属于基础题．5．如果椭圆的弦被点（2，2）平分，那么这条弦所在的直线的方程是（）A．x+4y=0 B．x+4y﹣10=0 C．x+4y﹣6=0 D．x﹣4y﹣10=0【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，，由此能求出这条弦所在的直线的方程．【解答】解：设这条弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式知x1+x2=4，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入x2+4y2=36，得，①﹣②，得4（x1﹣x2）+16（y1﹣y2）=0，∴，∴这条弦所在的直线的方程，即x+4y﹣10=0．故选B．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．6．当m∈[﹣2，﹣1]时，二次曲线的离心率e的取值范围是（）A．[]B．[]C．[]D．[]【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定曲线为双曲线，再确定几何量，利用离心率的公式可求．【解答】解：二次曲线为双曲线，则，∴，故选C．【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，关键找出几何量之间的关系．7．与y轴相切且和曲线x2+y2=4（0≤x≤2）内切的动圆的圆心的轨迹方程是（）A．y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1） B．y2=4（x﹣1）（0＜x≤1）C．y2=4（x+1）（0＜x≤1）D．y2=﹣2（x﹣1）（0＜x≤1）【考点】轨迹方程．【专题】计算题．【分析】设圆心为（x，y），则动圆的半径为x，因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x 的范围为0＜x≤1．再根据动圆与已知圆内切可的等式，从而可求轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），由动圆切于y轴，故r=|x|．又由动圆与已知圆内切可知=2﹣|x|，整理得y2=﹣4|x|+4．由于半圆需满足0≤x≤2的条件，∴y2=﹣4（x﹣1）（0＜x≤1）．故选A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，关键是利用好相切的条件．8．若方程表示双曲线，则下列方程所表示的椭圆中，与此双曲线有共同焦点的是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0，①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线，结合选项可判定【解答】解：若方程表示双曲线则﹣pq＜0即pq＞0①当p＞0，q＞0时，曲线表示焦点在y轴的双曲线，A，C的方程没有意义B：由于2q+p＞q＞0，表示焦点在x轴上的椭圆，D：由于2p+q＞p＞0，表示焦点在x轴上的椭圆则此情况不符合题意，舍去②当p＜0，q＜0时，曲线表示焦点在x轴的双曲线A：由于﹣（2q+p）＞﹣p＞0，表示曲线是焦点在x轴上的椭圆B：由于2q+p＜q＜0，方程没有意义C：由于﹣2p﹣q＞﹣p＞0，表示焦点在x轴上上的椭圆D：由于2p+q＜p＜0，方程没有意义综合可得C符合题意故选C【点评】本题主要考查了二次方程表示椭圆及双曲线的条件，及椭圆与双曲线的焦点位置的判定，属于基础方法应用的考查9．已知定点N（0，1），动点A，B分别在抛物线及曲线上，若B在A的上方，且AB∥y轴，则△ABN的周长l的取值范围是（）A．（，2）B．（）C．（）D．（）【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的纵坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的纵坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点纵坐标范围计算即可．【解答】解：由得，抛物线及曲线在第二象限的交点纵坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0≤y1≤，≤y2≤2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=y1++y2﹣y1+a﹣ey2=+a+y2=3+y2，∵，≤y2≤2，∴≤3+y2≤4故选C．【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．10．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且，则|OM|的取值范围是（）A．（0，2]B．C．[2）D．[0，4]【考点】椭圆的简单性质；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】结合椭圆的图象，当点P在椭圆与y轴交点处时，点M与原点O重合，此时|OM|取最小值0；当点P在椭圆与x轴交点处时，点M与焦点F1重合，此时|OM|取最大值2，由此能够得到|OM|的取值范围．【解答】解：由题意得c=2，当P在椭圆的短轴顶点处时，M与O重合，|OM|取得最小值等于0．当P在椭圆的长轴顶点处时，M与F1重合，|OM|取得最大值等于c=2．由于xy≠0，故|OM|的取值范围是，故选B．【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，结合图象解题，事半功倍．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．若向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），、的夹角的余弦值为，则λ=0．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；空间向量及应用．【分析】根据向量的夹角公式即可求出答案．【解答】解：向量=（2，2，﹣1），=（3，λ，4），∴=2×3+2λ﹣1×4=2+2λ，||==3，||==，∵、的夹角的余弦值为，∴==，解得λ=0，故答案为：0．【点评】考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题．12．已知平面α的一个法向量，点A（﹣1，3，0）在α内，则点P（﹣2，1，2）到α的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】先求出的坐标，利用向量的知识，点P（﹣2，1，2）到α的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值．【解答】解：=（﹣1，﹣2，2），在法向量方向上的投影等于=，∴则点P（﹣2，1，2）到α的距离为故答案为：【点评】本题考查点面距离的计算．利用向量的方法降低思维难度，使问题更容易解决．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于8．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程得它的准线为l：x=﹣1，从而得到线段AB中点M到准线的距离等于4．过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D，根据梯形中位线定理算出|AC|+|BD|=2|MN|=8，结合抛物线的定义即可算出AB的长．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1设线段AB的中点为M（3，y0），则M到准线的距离为：|MN|=3﹣（﹣1）=4，过A、B分别作AC、BD与l垂直，垂足分别为C、D根据梯形中位线定理，可得|AC|+|BD|=2|MN|=8再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|，|BF|=|BD|∴|AB|=|AF|+|BF||AC|+|BD|=8．故答案为：8【点评】本题给出过抛物线y2=4x焦点的一条弦中点的横坐标，求该弦的长度．着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则|y2﹣y1|的值为3．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2﹣y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2﹣y1|的值．【解答】解：椭圆：，a=3，b=，∴c=2，左、右焦点F1（﹣2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，而△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=2|y2﹣y1|（A、B在x轴的上下两侧）又△ABF2的面积═×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|=×1×（2a+2a）=2a=6．所以2|y2﹣y1|=6，|y2﹣y1|=3．故答案为3．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF2的面积，属于中档题．15．已知双曲线的实轴为A1A2，虚轴为B1B2，将坐标系的右半平面沿y轴折起，使双曲线的右焦点F2折至点F，若点F在平面A1B1B2内的射影恰好是该双曲线的左顶点A1，且直线B1F与平面A1B1B2所成角的正切值为，则a=1．【考点】双曲线的简单性质；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】由题意可得直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1，可得==，求得FA1的值，直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，由此求出a 的值．【解答】解：如图所示：由题意可得实轴A1A2 =4，B1B2，=2，FA1⊥面A1B1B2，直线B1F与平面A1B1B2所成角为∠FB1A1．∴==，∴FA1=．又FO=c=，A1O=2．直角三角形FA1O 中，由勾股定理可得FO2=A1O2+FA12，即4+a=4+，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，直线和平面所成的角，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答赢写出文字说明，证明过程或演算步骤16．如图所示，设A为△ABC所在平面外一点，HD=2CH，G为BH的中点（1）试用表示（2）若∠BAC=60°，∠CAD=∠DAB=45°，||=||=2，||=3，求||【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用向量的三角形法则及向量的运算律得出═即可；（2）利用（1）得出的结论，先将向量平方，再将等式求模即得．【解答】解：（1）====（2）==×4+×4++++2×2×3cos45°=+，【点评】本题考查向量在几何中的应用、向量的运算法则及向量的运算律．17．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为4，E为面A1D1DA的中心，CF=3FC1，AH=3HD，（1）求异面直线EB1与HF之间的距离（2）求二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】（1）求出异面直线EB1与HF的方向向量，以及与它们垂直的向量，异面直线EB1与HF之间的距离等于．（2）求出平面HB1E的法向量为，平面A1B1E的法向量为，二面角H﹣B1E﹣A1的平面角的余弦值的绝对值等于夹角的余弦绝对值．【解答】解：如图建立直角坐标系D1﹣xyz，则E（2，0，2），B1（4，4，0），H（1，0，4）（1）=（2，4，﹣2），=（﹣1，4，﹣3）=（﹣1，0，2），设=（x，y，z）即，取x=1，则z=﹣3，y=﹣2，则=（1，﹣2，﹣3）异面直线EB 1与HF 之间的距离为=（2））=（2，4，﹣2），=（2，0，﹣2），=（﹣1，0，2），设平面HB 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则即取x=2，则y=，z=1．∴ =（2，，1）令平面A 1B 1E 的法向量为=（x ，y ，z ）则取x=1，y=0，z=1，则为=（1，0，1）∴|cos |==．∵二面角H ﹣B 1E ﹣A 为钝二面角．∴二面角H ﹣B 1E ﹣A 1的平面角的余弦值为．【点评】本题考查异面直线距离，二面角的大小计算．做题的关键是熟练掌握向量法求异面直线距离、二面角的公式与步骤，利用向量法求空间距离、空间角是向量的一个重要运用，向量的引入，为立体几何中二面角求解带来了极大的方便，题后应注意总结此法求二面角的规律．18．已知椭圆C ：的左右焦点为F 1，F 2，离心率为e ，直线l ：y=ex+a 与x轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，且（1）计算椭圆的离心率e（2）若直线l向右平移一个单位后得到l′，l′被椭圆C截得的弦长为，则求椭圆C的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）直线l方程与椭圆方程联立，求出交点M的坐标，利用得到e值．（2）由（1）中求得的e值，可求出直线l方程，并化简椭圆方程，使其只含一个参数，设l′方程，与椭圆方程联立，用弦长公式求出l′被椭圆C截得的弦长，令其等于，即可得到椭圆方程．【解答】解：（1）y=ex+a，∴A（﹣，0），B（0，a）由，∴∴M（﹣c，），由，得（﹣c+，）=（，a），即∴e2=1﹣=，∴e=（2）∵e=，设椭圆的方程为3x2+4y2=3a2，l：y=x﹣+a即消y，得4x2+（4a﹣2）x+a2﹣4a+1=0．设l交椭圆于B（x1，y1），C（x2，y2）∴x1+x2=﹣，x1x2=∴l===∴a=∴椭圆的方程为【点评】本题主要考查了利用直线与椭圆位置关系求参数的值，注意韦达定理的应用．19．已知中心在原点的双曲线C的离心率为，一条准线方程为x=（1）求双曲线C的标准方程（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点），求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】综合题．【分析】（1）由，得，由此能求出双曲线方程．（2）由，知．由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，再由韦达定理结合题设条件进行求解．【解答】解：（1）∵，∴a=，c=2，∴双曲线方程为=1．（2），∴（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0，由直线l与双曲线交于不同的两点得=36（1﹣k2）=0，即k2≠，且k2＜1①x1+x2=，由＞2，得x1x2+y1y2＞2，而=（k2+1）x1x2+=．于是＞2，即，∴＜3，②由①②得＜1，．【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．20．如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．（I）若动点M满足，求点M的轨迹C；（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用求得x和y的关系．（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，令，则可推断出，进而表示出（x1﹣2）•（x2﹣2）和（x1﹣2）+（x2﹣2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．【解答】解：（I）由x2=4y得，∴．∴直线l的斜率为y'|x=2=1，故l的方程为y=x﹣1，∴点A的坐标为（1，0）．设M（x，y），则=（1，0），，，由得，整理，得．∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆．（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，设l'方程为y=k（x﹣2）（k≠0）=1 ①，将①代入，整理，得（2k2+1）x2﹣8k2•x+（8k2﹣2）=0，由△＞0得．设E（x1，y1）、F（x2，y2），则，②令，则，由此可得，，且0＜λ＜1．由②知，．∴，即．∵，∴，解得．又∵0＜λ＜1，∴，∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（，1）．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．21．椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求过点O，F1，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（Ⅲ）求的最值．【考点】圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）又抛物线方程求椭圆中c的值，再根据椭圆与抛物线的通径比求出a，b关系式，椭圆方程可解．（Ⅱ）由圆过点O，F1可得圆心横坐标值，再根据圆与椭圆的左准线相切，可求出半径．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程与椭圆方程联立，得x1x2与x1+x2，再代入，化简，即可得到关于k的式子，其范围也就是的范围．进而求出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的中心在原点，其左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1∵过F1的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点．当直线l与x轴垂直时，∴AB 为椭圆通径，CD为抛物线通经，∵，∴=，b2=a，∵a2=b2+c2，得a=，b=1，∴所求椭圆方程为（Ⅱ）∵所求圆过点O，F1，可设坐标为（﹣，n），∵圆与椭圆的左准线相切，∴半径r=﹣﹣（﹣2）=∴，n=，∴所求圆方程为．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）①当直线l斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，得，∴x1x2=，x1+x2=..=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2==﹣﹣∵k2∈[0，+∞），∴∈[﹣1，）②当直线l斜率不存在时，可得啊（﹣1，）B（﹣1，﹣），此时，=．综上，∈[1，]．∴最大值为，最小值为﹣1．【点评】本题考查了椭圆，抛物线与直线的综合应用，属常规题，应当掌握解法．。
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第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1、复数i z -=2在复平面内对应的点在第( )象限。
A ．一 B.二 C.三 D.四2、曲线1ex y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 13、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ） A ．a ，b ，c 都是奇数 B ． a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 D ． a ，b ，c 中至少有两个偶数4、函数x x y ln =的单调递减区间是( ). A.(1-e ,+∞)B.(-∞, 1-e )C.(0, 1-e )D.(e,+∞)5、用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅-，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） A ．21k +B ．2(21)k +C ．211k k ++ D ．231k k ++ 6、设()f x 在0x 可导，则000()(3)limx f x x f x x x→+--等于（ ）A ．04'()f xB ．0'()f xC ．02'()f xD ．03'()f x 7、函数()f x 的图象如图所示,下列数值排序正确的是( ) A. '(3)'(4)(4)(3)f f f f <<- B. '(4)(4)(3)'(3)f f f f <-< C. '(4)'(3)(4)(3)f f f f <<- D. (4)(3)'(4)'(3)f f f f -<<8、甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录 9、某校高一开设4门选修课,有4名同学选修,每人只选1门,恰有2门课程没有同学选修,则不同的选课方案有( )A.96种B.84种C.78种D.16种10、设()f x 是定义在R 上的函数,其导函数为'()f x ,若()'()1f x f x -<,(0)4f =则不等式()31x f x e >+的解集为( )A. (,0)(0,)-∞⋃+∞B. (0,)+∞C. (3,)+∞D. (,0)(3,)-∞⋃+∞ 11、设ln 1()x f x x+=,若函数2()y f x ax =-恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( ) A. 2(0,)3e B. 2(,)3e e C. 1(,1)e D. 21(0,)3e e ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12、设函数2()ln (2)f x x ax a x =---,若不等式()0f x >恰有两个整数解,则实数a 的取值范围是( ) A. 4ln 21,4+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 4ln 21,4+⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 6ln 34ln 2,126++⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. 6ln 34ln 2,126++⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
把答案填写在答题卡相应位置上）。
13、已知复数z 满足(1)13i z i +=- (i 是虚数单位)，则复数z 的虚部为 。
14、1-=_________。
15、给右图中A,B,C,D,E,F 六个区域进行染色,每个区域只染一种颜色,且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择,则共有 种不同的染色方案。
16、已知偶函数()f x 定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其导函数是()'f x .当02x π<<时,有()()'cos sin 0f x x f x x +<,则关于x 的不等式()cos 4f x x π⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__ _____.三、解答题：（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17、（本小题满分10分）若复数2z (2)+(1)i m m m =--+( i 为虚数单位) 其中R m ∈，根据下列条件求m 的取值。
（1）z 为实数 （2）z 为纯虚数。
18、（本小题满分12分）已知函数a x x x x f +++-=93)(23. （1）求)(x f 的单调区间和极值；（2）若函数)(x f 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围.19、（本小题满分12分）（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？ （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？20、（本小题满分12分）设函数()23()xx axf x a R e+=∈. （1）若)(x f 在0=x 处取得极值,确定a 的值,并求此时曲线(x)y f =在点(1,(1))f 处的切线方程;（2）若)(x f 在[)3,+∞上为减函数,求a 的取值范围.21、（本小题满分12分） 已知()111123f n n =++++.经计算得()()()()5742,8,163,3222f f f f >>>>. （I ）由上面数据,试猜想出一个一般性结论；（II ）用数学归纳法证明你的猜想.22、（本小题满分12分）已知函数()(1)e xf x a x =+．（1）若曲线()y f x =在点(0(0))f ，处的切线方程为3y x b =+，求,a b 的值； （2）当0x ≥时，2()4f x x x ≥+，求实数a 的取值范围．答案13、2- 14、2π15、96 16、 ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17、解：（1）∵复数2z (2)+(1)i m m m =--+为实数，∴101-=⇒=+m m（2）∵复数2z (2)+(1)i m m m =--+为纯虚数，∴22010m m m ⎧--=⎨+≠⎩，解得2m =．18、解：（1）()9632++-='x x x f令(),0>'x f 解得31<<-x ； 令(),0<'x f 解得31>-<x x 或 ∴函数)(x f 的单调递增区间为：()3,1-函数)(x f 的单调递减区间为：()()∞+-∞-，，，31 ∴()()()()273,51+==-=-=a f x f a f x f 极大值极小值（2）由（1）知，方程()0=x f 有三个不等的实根，则52702705<<-⎩⎨⎧>+<-a a a 解得，19、解：（1） 1560!2!2!3442224151633141516=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+A C C C C C C C C 种 （2）65!2!2!32224151633141516=+C C C C C C C C 种 （3）1035=C 种 （4）2种20、解：（1）对()f x 求导得()()()()2263'x xx x a e x ax e f x e +-+=()236xx a x a e -+-+=因为()f x 在0x =处取得极值,所以()00f '=,即0a =.当0a =时, ()23x x f x e =,()236'xx x f x e -+=,故3(1)f e =,3(1)f e'=,从而()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为所以切线方程为33(1)y x e e-=-,化简得30x ey -=（2）由（1）问知()()236'xx a x a f x e-+-+=,令()()236g x x a x a =-+-+,由()0g x =解得166a x -=,266a x -=.当1x x <时, ()0g x <,即()'0f x <,故()f x 为减函数; 当12x x x <<时, ()0g x >,即()'0f x >,故()f x 为增函数; 当2x x >时, ()0g x <,即()'0f x <,故()f x 为减函数.由()f x 在[)3,+∞上为减函数,知266a x -=3≤,解得92a ≥-,故a 的取值范围为9,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 21，解：（I ）由题意知,()()232253222,2,222f f ++>=>=()()454275223,2222f f ++>=>=. 由此得到一般性结论: ()1322n n f ++> (或者猜测()()*222,2n n f n n N +>≥∈也行) （II ）证明:(1)当1n =时, ()211125413212341222f +=+++=>=,所以结论成立. (2)假设()*1,n k k k N =≥∈时,结论成立,即()1322k k f ++>,那么, 1n k =+时,()211121111112123221222k k k k k f +++++=++++++++++1123111221222k k k k ++++>++++++22231112222k k k k ++++>++++123213222k k k k +++++=+=所以当1n k =+时,结论也成立.综上所述,上述结论对*1,n n N ≥∈都成立,所以猜想成立.22、解：（1）()(2)e xf x a x '=+由已知得(0)23f a '==，(0)f b =，从而3322a b ==，． （2）令2()(1)4xg x ae x x x =+--， 问题转化为()0g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立， 即min ()0g x ≥，[)0,x ∈+∞()()()22x g x x ae '=+-，0x ≥①若0a ≤，则()0g x '<，()g x 在[)0,+∞上单调递减， 又(1)250g ae =-<，不合题意，舍去. ②若02a <<，则由()0g x '=及0x ≥，得2ln x a=． 当2(0,ln )x a ∈时，()0g x '<；当2(ln ,)x a∈+∞时，()0g x '>， 故()g x 在2(0,ln )a 单调递减，在2(ln ,)a+∞单调递增． 所以当2lnx a =时，()g x 取得极小值，即为最小值， 2min222()(ln )22ln (ln )g x g a a a==--，由22222ln (ln )002a a a ⎧--≥⎪⎨⎪<<⎩，解得12e 2a ≤<③若2a ≥，()0g x '>在()0,x ∈+∞上恒成立， 所以()g x 在[)0,+∞上单调递增， 所以min ()(0)0g x g a ==>，满足题意． 综上，a的取值范围为)12e⎡+∞⎣．。