高考导数解答题中常见的放缩大法

高考导数解答题中常见

的放缩大法

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(高手必备）高考导数大题中最常用的放缩大法

相信不少读者在做高考导数解答题时都有这样的感悟，将复杂的函数求导，再对导函数求导，再求导，然后就没有然后了......如果懂得了最常见的放缩，如：人教版课本中常用的结论

⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x

<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.

⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.

将这些不等式简单变形如下：

ex

x ex e x e x x x x x 1ln ,,1,1ln 11-≥≥+≥-≤≤-那么很多问题将迎刃而解。 例析：（2018年广州一模）x e x x f x x ax x f 2)(,0,1ln )(⋅≤>++=若对任意的设恒成立，求a 的取值范围。

放缩法：由可得：1+≥x e x

2)1(ln 1ln 2)1(ln )1(ln 1ln ln 22=+-++≥+-=+-=+-+x x x x x x e x x xe x x e x x x x

高考中最常见的放缩法可总结如下，供大家参考。

第一组：对数放缩

（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭

， )

ln 1x x

<>，)ln 01x x ><<，

（放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102

x x x x +≤--<<，()()21ln 102

x x x x +≥->

（放缩成类反比例函数）1ln 1x x

≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011

x x x x -<<<+， ()ln 11x x x +≥

+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x +<<+

第二组：指数放缩

（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤

≤-，()10x e x x

<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩

()()ln 112x e x x x -≥+--=

第四组：三角函数放缩

()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22

x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x

=-，ln y x x =.

拓展阅读：为何高考中总是考这些超越函数呢？和x e x ln 因为高考命题专家是大学老师，他们站在高观点下看高中数学，一览无遗。作为学生没有多大必要去去了解大学的知识，但是作为老师却是有很大的必要去理解感悟高考题命题的背景。超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式。即从某个点0x 处，我们可

以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把超越式近似表示为幂函数。常见的幂级数展示式有：