信号与系统(补充内容)

dt
又
与周期信号傅立叶级数相比，这表明周 期信号的频谱就是与它相对应的非周期 信号频谱的样本.
根据傅立叶级数表示：
~ t x
k


ake
jk 0 t

1 T0
k


X jk 0 e
jk 0 t

1 2
k 来自X jk 0 ejk 0 t
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
四.连续时间傅里叶级数系数的确定
如果周期信号 x ( t ) 可以表示为傅里叶级数
x (t)
k


ake
jk 0 t
,
0
2 T0
则有
x (t )e
jn 0 t

k


ak e
j ( k n ) 0t
对等式两边同时在一个周期内积分，有
0
当 T0

时，
2 T0
~ ( t ) x t x
k 0
1 2

0
d



于是有： x ( t )

X ( j ) e
j t
d
X
j x t e j t dt


也叫作x(t)的频谱
周期信号的频谱正比于非周 期信号频谱的抽样； 而非周期信号的频谱是周期 信号频谱( Ta k )的包络。
2 T1 T0
sin x

2 T1 sin k 0 T1 T0 k 0 T1
S a( x )

2 T1 T0
S a ( k 0 T1 )
2 T1 T0
sin c (
k)
其中
sin x x
sin c ( x )
x
1
Sa ( x)

0

x

sin c ( x )
1
1
1
0
2 1
x
2T a k 可绘出 x ( t ) 的频谱图。 1 称为占空比。 根据 T0
T 0不变 T1 时
2 T1 T0 1 2
2 T1 T0

1 4
2 T1 T0

1 8
T 1 不变 T 0
时
2 T1 T0 1 2
2 T1 T0

1 4
2 T1 T0

1 8
周期性矩形脉冲信号的频谱特征：
这表明：连续时间周期信号可以按傅里叶级数分
解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
二.频谱（Spectral）的概念 信号集 k ( t ) 中的每一个信号，除了成谐波关 系外，每个信号随时间 t 的变化规律都是一样的， 差别仅仅是频率不同。 在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数）和频率不同。
(t )
X ( j )
1
t
0

0
矩形脉冲:
X ( j )
x (t )
2 S in T1


1, 0,
T1
t T1
t T1
2 T1 S a ( T1 ) 2 T1 S in c (
2T1

T1 T1
e
j t
dt
2 T1 S in T1
T1
2
0
为周期的。该级数就是傅里
叶级数， ak 称为傅里叶级数的系数。 这表明：用傅里叶级数可以表示连续时间周期信 号，即: 连续时间周期信号可以分解成无数多个复指 数谐波分量。 例1：
x(t ) cos 0t
1 2 e
j0t

1 2
e
j0t
显然该信号中有两个谐波分量，a1
a 1
常用信号的傅立叶变换：
x (t ) (t )
X ( j )


(t ) e
j t
dt 1
这表明 ( t ) 中包括了所有的频率成分,所有频 率分量的幅度、相位都相同.因此单位冲激响应 h ( t ) 才能完全描述一个LTI系统的特性， ( t ) 才在信号 与系统分析中具有如此重要的意义
周期性矩形脉冲信号将演变成 为非周期的单个矩形脉冲信号.
~ ( t ) x t x
考查
的变化:它在
T0 a k
时可以是有限的.
jk 0 t



x t e
dt
如果令
＝
则有
X
j x t e


非周期信号的傅立 叶变换 非周期信号的频谱
j t
k
x (t )
k


Ak e

j k
e
jk 0 t
a 0
jk 0 t
k

1
Ak e
j ( k 0t k )

j k

]

Ak e
j ( k 0t k )
k 1
a0
* k
[A
k 1
k
e
e
j k
Ak e
jk 0 t
jk 0 t
时，就可以将 x ( t ) 表示为 这样绘出的图 称为频谱图

a 1
gggg
a0
a1
a2
a 3
a 2
a 3 gggg
0
0
频谱图其实就是将 a k 随频率的分布表示出来，
即 a k ~ 的关系。由于信号的频谱完全代表了信
号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，
这种表示信号的方法称为频域表示法。 三.傅里叶级数的其它形式 若 x ( t )是实信号,则有 x ( t ) x ( t ) ，于是
1 2
为相
应分量的加权因子，即傅里叶系数。 例2： x(t ) cos 0t 2 cos 30t
1 2 [e
j0t
e
j0t
] e
j 30t
e
j 30t
在该信号中有四个谐波分量，即：当 k 1, 3,
时对应的谐波分量。
a1 a 1
1 2
;
a3 a 3 1
因此，可以用一根线段来表示某个分量的幅度，用
线段的位置表示相应的频率。
分量 e
j 0 t
可表示为
1

co s 0 t
1 2
1 2
(e
j 0 t
e
j 0 t
) 表示为
1 2
0

0
0
0
因此，当把周期信号x ( t ) 表示为傅里叶级数
x (t )
k


ak e
1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性
考查周期 T 0 和脉冲宽度 2T1 改变时频谱的变化： 1. 当 T1 改变，T 0不变时，随 T1 使占空比减小，谱 线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包
络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量增加。
2. 当 T1不变，改变 T 0 时，随 T 0 使占空比减小， 谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状 不变，包络主瓣内包含的谐波数量也增加。
4.3 非周期信号的表示—连续时间傅立叶变换
在时域可以看到
T
周期信号--------非周期信号
反过来
周期延拓
非周期信号--------周期信号
我们把非周期信号看成是周期信号在周 期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间傅 立叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该能 够得到对非周期信号的频域表示方法。

)
1
T1
x (t )
X ( j )

t
T1
0 T1
x (t )

1
2T1
X ( j )
0 4T
1
2 T1 2T
1
0 将 X ( j ) 中的 代之以 号的频谱 2T
ak
1
2T1
t

k 0
再乘以
1 T0
,即是相应周期信
kk 00 T T1
T0
S a ( k 0 T1 )
e
Q a ak
即： A k A k
Ak e
j k
A k e
j k
k k 或 k k
表明 a k 的模关于 k 偶对称，幅角关于 k 奇对称。
x (t ) a 0



[ A k e
jk 0 t
e
j k
k n
k n

T0 0
x (t )e
jn 0 t
d t a nT0 即
an
1 T0

T0 0
x (t )e
jn 0 t
dt
在确定此积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为
ak 1 T0

x (t )e
T0
jk 0 t
dt
C k C k
即 a k 的实部关于k 偶对称，虚部关于k 奇对称。 将此关系代入，可得到
x (t ) a 0


a 0 2 B k co s k 0 t C k sin k 0 t
k 1
k 1
( B k jC k ) e jk 0 t ( B k jC k ) e jk 0 t
于是当周期信号表示为傅立叶级数时 jk t x (t ) a k e 就有 X ( j ) 2 a k ( k 0 ) k k 这表明,周期信号的傅立叶变换由一系列冲激组 成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其 强度正比于傅立叶级数系数 a k . 例1：
a0
1 T0

x (t )dt
T0
a 0 是信号在一个周期的平均值，常称为直流分量。
五.周期性矩形脉冲信号的频谱
x (t )
1

T0
t
T0
ak
1 T0

T1 T1
e
jk 0 t
dt
1 jk 0 T 0
e
jk 0 t
T1 T1

2 sin k 0 T1 k 0T0
jk t x (t ) a k e 0 k
* k



ak e
* k

jk 0 t

k


ak e

jk 0 t

k


ak e
jk 0 t
ak a
k
或
a ak
j 若令 a k Ak e ，则 a 0 为实数。于是
1

W
t
0
0 W 和矩形脉冲情况相比,可以发现信号在时域和频 域间存在一种对偶关系.
与上例对偶的图如下:
同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种 相反的关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主 瓣越宽,反之亦然. 由上例可以想到，如果 ， 将趋向 于一个冲击。
4.5
周期信号的傅立叶变换
到此为止,周期信号用傅立叶级数表示,非周期信号用 傅立叶变换表示. 由于周期信号不满足Dirichlet 条件,因 而不能直接从定义出发,建立其傅立叶变换表示.
Ak e
jk 0 t
e
j k
]
k 1
a 0 2 A k co s( k 0 t k )
k 1
——傅里叶级数的三角函数表示式 若令 a k
B k jC k
则
jk 0 t
x (t ) a 0
k


1
( B k jC k ) e


注：为与《数字信号处理教程》一书中符号表达 一致，本节中所有频率符号 都应理解为
4.2 连续时间周期信号的傅里叶级数表示
Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals 一. 连续时间傅里叶级数 成谐波关系的复指数信号集: k ( t ) { e jk t }

T0 0
x (t )e
jn 0 t
dt
k


ak

T0 0
e
j ( k n ) 0t
dt

T0 0
e
j ( k n ) 0t
dt

T0 0
co s( k n ) 0 td t j sin ( k n ) 0 td t
0
T0



0, T0 ,

( B k jC k ) e
jk 0 t
k 1
a0

k 1
( B k jC k ) e
jk 0 t
( B k jC k ) e
jk 0 t

Q a
* k
ak
B k jC k B k jC k
因此
Bk B k
一.从傅立叶级数到傅立叶变换
周期矩形脉冲，当 T 0 ---频谱的幅度；
T 0 ---谱线间隔 ; T a k 的包络不变。
2 0
Tak
2 0
4 0
b
0
(a) T 0 4 T1
0
Tak
4 0
a


(b) T0 8T1
~ (t ) x :周期性矩形脉冲信号 ~ (t ) x t :等于一个周期内的 x ，具有有限持续期
2 T1 S in k 0 T1 T0
X ( j )
1 2
W W
0
e
j t
1
W
W
(具有此频率特性的系 统称为理想低通滤波器)
W S a (W t )
W
x (t )

d
S in W t
W
t


S in c (
Wt

)
X ( j )

x (t )

W
0
k 0, 1, 2,
，其中每个信号都是以
2
2 k 0
为周期的，它们的公共周期为
0
，且该集合
中所有的信号都是彼此独立的。 如果将该信号集中所有的信号线性组合起来，
有 x (t )
k


ake
jk 0 t
,
k 0, 1, 2
显然 x ( t ) 也是以