数学-003
小学数学30种典型题型详解
小学数学30种典型问题001归一问题002归总问题003和差问题004和倍问题005差倍问题006倍比问题007相遇问题008追及问题009植树问题010年龄问题011行船问题012列车问题013时钟问题014 盈亏问题015工程问题016正反比例问题017按比例分配问题018百分数问题019“牛吃草”问题020鸡兔同笼问题021方阵问题022商品利润问题023存款利率问题024溶液浓度问题025构图布数问题026幻方问题027抽屉原则问题028公约公倍问题029最值问题030列方程问题1 归一问题【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
这类应用题叫做归一问题。
【数量关系】总量÷份数＝1份数量 1份数量×所占份数＝所求几份的数量另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解（1）买1支铅笔多少钱？ 0.6÷5＝0.12（元）（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）列成综合算式 0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。
例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。
例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ 5×7＝35（吨）（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）答：需要运3次。
差分运算方法[003]
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差分运算方法差分运算方法是一种常用的数学工具，可用于求解差分方程或对数据序列进行分析和预测。
本文将详细介绍差分运算方法的原理、步骤以及应用范围。
通过学习本文，读者将能够掌握差分运算方法的基本概念和使用技巧。
差分运算方法是通过计算数据序列的差分值来实现的。
一阶差分表示相邻两个数据之间的差值，二阶差分表示一阶差分的差值。
差分运算方法可以将原始数据转化为差分序列，从而揭示数据序列的变化趋势和规律。
1. 收集数据：首先，我们需要收集相关的原始数据。
这些数据可以是时间序列数据、统计数据或其他有规律的数据。
2. 计算一阶差分：将收集到的原始数据按照时间先后顺序排列，然后计算相邻两个数据之间的差值。
具体计算方法为当前数据减去前一个数据。
得到一阶差分序列。
3. 计算二阶差分：将一阶差分序列按照相同的方法计算得到二阶差分序列。
4. 分析差分序列：通过对差分序列的统计分析、图表展示等方法，可以识别出其中的规律、趋势和异常点。
5. 预测或还原原始数据：根据对差分序列的分析结果，可以进行数据的预测或还原。
预测时可以使用差分序列的规律进行推断，还原时则利用差分序列与原始数据之间的关系进行计算。
三、差分运算方法的应用范围差分运算方法广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 经济学：差分运算方法可用于经济数据的趋势分析和预测，如GDP增速、股票价格变化等。
2. 自然科学：差分运算方法可用于分析自然现象，如气象数据的周期性变化、地震活动的趋势等。
3. 信号处理：差分运算方法可用于信号处理领域，如音频、视频的差分编码等。
4. 金融工程：差分运算方法可用于金融数据的建模和预测，如股票收益率的变化趋势、利率曲线的形态等。
5. 数据挖掘：差分运算方法可用于数据挖掘中的特征提取和异常检测，如时间序列数据的周期性分析、离群点识别等。
差分运算方法是一种实用的数学工具，能够帮助我们从数据中找到有用的信息和规律。
通过计算一阶差分和二阶差分，我们可以获得差分序列，进而进行数据的分析和预测。
人教版初中数学七年级下期中试卷--数学(解析版) (5)(003)
5
七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对！（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只 有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3 分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14
B．
C．
D．
【解答】解：3.14，﹣ ， 是有理数，
七年级下期中试卷--数学（解析版）
一、你一定能选对！（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只 有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．
1．（3 分）下列各数中是无理数的是（ ）
A．3.14
B．
C．
D．
2．（3 分）平面直角坐标系中，点（1，﹣2）在（ ）
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．对顶角
【解答】解：∠1 和∠2 是一对内错角，
故选：B．
5．（3 分）如图，E 点是 AD 延长线上一点，下列条件中，不能判定直线 BC∥AD 的是（ ）
6
A．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 【解答】解：A、∵∠3+∠4， ∴BC∥AD，本选项不合题意； B、∵∠C＝∠CDE， ∴BC∥AD，本选项不合题意； C、∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD，本选项符合题意； D、∵∠C+∠ADC＝180°， ∴AD∥BC，本选项不符合题意． 故选：C． 6．（3 分）下列各式正确的是（ ）
∴四边形 BMDN 中，∠M＝360°﹣150°﹣160°＝50°， 故选：B．
D．65°
二、填空题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在
小学数学知识点题库 003十进制计数法
1．故宫的房屋有9999间，“9999”中每个数位上的“9”表示的意义一样吗？为什么？百位上的“9”表示的数是最低位的“9”表示的数的多少倍？
答案：100
解析：千位上的“9”表示9个千，百位上的“9”表示9个百，十位上的“9”表示9个十，个位上的“9”表示9个一。
不同数位上的数表示的意义不一样，同一个数字在不同的数位上表示的意义也不一样。
百位上的“9”表示的数是最低位的“9”表示的数的100倍，用900÷9＝100
题干评注：十进制计数法
问题评注：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
2．4在十亿位，表示（）个（）。
答案：4在十亿位，表示（4）个（十亿）。
解析：先列出数位顺序表，然后依照所给出的计数单位，写在相应的数位上。
题干评注：十进制计数法
问题评注：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
3．下面的数各是几位数，按数级分各有哪几个数级？你是怎样分的？
3 2
4 8 1 4 3 2 4 8 1 2 6 3 2 4 8 4 1 2 6 3 2 4 8
答案：3 2 4 8 1 4/3 2 4 8 1 2 6/3 2 4 8 4 1 2 6/3 2 4 8
4位数6位数7位数8位数
个级万级和个级万级和个级万级和个级
解析：充分理解数位表和使用数位表是关键，切记大数要分级。
题干评注：十进制计数法
问题评注：每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
(带答案)人教版初中数学二次根式常考题型例题
（带答案）人教版初中数学二次根式常考题型例题（文末附答案）单选题1、下列二次根式中，是最简二次根式的是( )A ．√18B ．√13C ．√27D ．√122、下列等式中成立的是（ ）A ．(−3x 2y )3=−9x 6y 3B ．x 2=(x+12)2−(x−12)2 C ．√2÷(√2√3)=2+√6D ．1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2 3、下列计算正确的是（ ）A ．√8÷√2=2√2B ．√9=±3C ．√(−3)2=3D ．√24=√2 4、已知m=（﹣√33）×（﹣2√21），则有（ ）A ．5.0＜m ＜5.1B ．5.1＜m ＜5.2C ．5.2＜m ＜5.3D ．5.3＜m ＜5.45、式子√a+1a−2有意义，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥-1B ．a ≠2C ．a ≥-1且a ≠2D ．a ＞2 6、(√24-3√15+√223)×√2的值是 ( )A ．163√3-3√30B ．3√30-23 √3C ．2√30-23 √3D ．203√3- √307、√2的相反数是【 】A ．√2B ．√22C ．−√2D ．−√22 8、下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√0.3C ．√8D ．√6填空题9、已知√a −b +|b −1|=0，则a +1=__．10、若二次根式√1x−1有意义，则x 的取值范围是__________．11、比较大小：√22 __________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 12、已知x ﹣2＝√2，则代数式（x ＋1）2﹣6（x ＋1）＋9的值为_____．13、计算：(√5-2)2018(√5+2)2019的结果是_____.解答题 14、观察下列等式： √2+1=√2(√2+1)(√2−1)=√2−1 √3+√2=√3√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2 √4+√3=√4√3(√4+√3)(√4−√3)=√4−√3 解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与3−√2的积为有理数； （2）利用你观察的规律，化简2√3+√11； （3）计算：1+√2√2+√3+⋯…3+√10．15、已知x =2+√3，y =2-√3．试求代数式x y +y x 的值．（带答案）人教版初中数学二次根式_003参考答案1、答案：B解析：根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．A 、√18=3√2不是最简二次根式，错误；B 、√13是最简二次根式，正确；C 、√27=3√3不是最简二次根式，错误；D 、√12=2√3不是最简二次根式，错误，故选B ．小提示：本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2、答案：D解析：根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可．解：A 、(−3x 2y )3=−27x 6y 3，故选项A 错误；B 、(x+12)2−(x−12)2=x 2+2x+14−x 2−2x+14=x 2+2x +1−x 2+2x −14=x ，故选项B 错误；C 、√2÷(√2√3)=√2÷(√3√2⋅√3√2√2⋅√3) =√2√3+√2√6=√2√6√3+√2=√3√3√2)(√3+√2)(√3−√2) =6−2√6，故选项C 错误；D 、1x+1−1x+2=x+2(x+1)(x+2)−x+1(x+1)(x+2)=x +2−x −1(x +1)(x +2) =1(x+1)(x+2)，故选项D 正确，故选：D ．小提示：本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．3、答案：C解析：根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．A、√8÷√2=√4=2，故此选项错误；B、√9=3，故此选项错误；C、√(−3)2=3，正确；D、√2×4=√22×4=2√2，故此选项错误；故选：C．小提示：本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．4、答案：C解析：直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而得出m的取值范围．∵m=(−√33)×(−2√21)=2√7=√28，5.22=27.4,5.32=28.09，∴5.2<m<5.3.故选C.小提示：考查二次根式的乘除法，估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是解题的关键.5、答案：C解析：根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.解：由题意得，a+1≥0,a≠2解得，a≥-1且a≠2，所以答案是：C.小提示：本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.6、答案：A解析：解：原式=√48−3√30+√163=4√3−3√30+4√33=16√33−3√30．故选A．7、答案：C解析：相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此√2的相反数是−√2．故选C．8、答案：D解析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．A、被开方数含分母，故A不符合题意；B、被开方数0.3=310，含分母，故B不符合题意；C、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故C不符合题意；D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D符合题意.故选：D．小提示：本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9、答案：2．解析：利用非负数的性质结合绝对值与二次根式的性质即可求出a，b的值，进而即可得出答案．∵√a−b+|b﹣1|=0，又∵√a−b≥0，|b−1|≥0，∴a﹣b=0且b﹣1=0，解得：a=b=1，∴a+1=2.故答案为2．小提示：本题主要考查了非负数的性质以及绝对值与二次根式的性质，根据几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0得到关于a、b的方程是解题的关键．10、答案：x>1解析：概念二次根式被开方数大于或等于0，分母不为0求解即可．解：二次根式√1x−1有意义，则1x−1≥0且x−1≠0，解得，x>1，所以答案是：x>1．小提示：本题考查了二次根式和分式有意义的条件，解题关键是熟记二次根式和分式有意义的条件，列出不等式．11、答案：＞解析：直接用√22−12，结果大于0，则√22大；结果小于0，则12大．解：√22−12=√2−12＞0，∴√22＞12，所以答案是：＞．小提示：本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．12、答案：2解析：利用完全平方公式得到原式＝（x﹣2）2，然后利用整体代入的方法计算．解：（x＋1）2﹣6（x＋1）＋9＝[（x＋1）﹣3]2＝（x﹣2）2，∵x﹣2＝√2，∴原式＝（√2）2＝2，故答案为2．小提示：本题考查应用完全平方公式进行因式分解，进而利用整体代入法求代数式的值，灵活应用公式进行因式分解是关键．13、答案：√5+2解析：逆用积的乘方运算法则以及平方差公式即可求得答案.(√5-2)2018(√5+2)2019=(√5-2)2018×(√5+2)2018×(√5+2)=[(√5-2)×(√5+2)]2018×(√5+2)=(5-4)2018×(√5+2)=√5+2，故答案为√5+2.小提示：本题考查了积的乘方的逆用，平方差公式，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.14、答案：（1）3+√2；（2）2√3−√11；（3）√10−1．解析：（1）由平方差的运算法则，即可得到答案；（2）找出题目中的规律，把分母有理化，即可得到答案；（3）先把分母有理化，然后进行化简，即可得到答案．解：（1）∵(3−√2)(3+√2)=9−2=7，∴这个无理数为：3+√2；（2）2√3+√11=√3−√11)(2√3+√11)(2√3−√11)=2√3−√1112−11=2√3−√11；（3）1+√2√2+√3+⋯…+3+√10=√2−1+√3−√2+⋯+√10−√9=√10−1．小提示：本题考查了二次根式的运算法则，分母有理化，平方差运算，熟练掌握运算法则，正确的发现题目中的规律是解题关键．15、答案：14解析：先计算出x+y、xy的值，再代入原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy计算可得．解：∵x=2+√3，y=2−√3，∴x+y=2+√3+2−√3=4，xy=(2+√3)×(2−√3)=1，则原式=x 2+y2xy=(x+y)2−2xyxy=42−2×11=14．小提示：本题主要考查分母有理化与分式的加减运算，解题的关键是掌握分式加减运算法则、完全平方公式与平方差公式及二次根式的运算法则．11。
高数试题与答案003
1.
lim 2n sin
n →+∞
a 2n
=
.
2. 设 y = sin( 2x + 1) ,则 dy =
.
3. 曲线 y = e x 在点( 0,1) 处的切线方程为
.
4. 求
∫ sin 2
x dx 2
=
.
∫ 5. 求
−1 −2
x1dx
.
得分
三. 计算题 Ⅰ(每小题 6 分,共 12 分)
∫x cos t 2dt
64π 5 ………………………（分1）
2.解：由πr ……………………………………分…）…（2
带盖圆柱形桶的表面积为S
= 2πr 2
+ 2πrh
= 2πr 2
+ 2πr
V πr 2
……………… （2分）
S'
= 4πr
−
2V r2
= 0 得唯一驻点r
=
y(
x
)
的导数
dy dx
.
名 姓
∫ 4. 求定积分 1xe − xdx . 0
线
号 学
2. 求由参数方程
⎜⎧x ⎨ ⎜⎩y
= =
t2 2 1 −t
所确定函数的二阶导数 d 2y dx 2
.
订
共 3 张第 2 张
级装 班 业 专
3. 求不定积分 ∫ 2 − x 2dx .
5. 求函数 y = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 的极值.
名 姓
线
号 学
订
级装 班 业 专
院(系)
兰 州 理 工 大 学 年 季学期 高等数学1 试题
003一元二次方程根与系数的关系
高一数学 序号 003 高一 年级 班 教师 方雄飞 学生 课题 初高中衔接第三讲：一元二次方程根与系数的关系学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系 学习重点：一元二次方程根与系数的关系 学习难点：一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．（一）、一元二次方程根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠(1)x =(2)1,22b x a=-(3)由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠【例1】不解方程，判断方程的实数根的个数： 22310x x -+=说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．练习1：判断下列方程的实数根的个数：(1) 24912y y += (2) 25(3)60x x +-=【例2】已知关于x 的一元二次方程032=+-a x x ，判断方程实数根的个数。
练习2：已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．（二）、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅====说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．【例3】若12,x x 是方程1422+-x x =0的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x + (2) 1211x x +练习3：例3中求：(1) 12(5)(5)x x -- (2) 12||x x - （3）3231x x +小结：课后作业：1、若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ---=（1≠k ）满足下列条件，求实数k 的取值范围。
(2013年暑期)寒冰数学俱乐部--二年级上学期奥数讲座003数字游戏
5
3、把 3，6，9，12，15 五个数填在下面○里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四个 数的和相等。
4、将 2，3，5 填入右图六个圆圈里，使每个三角形三个顶点上的数的和相等。
5、将 10，14，6 填入下图，使每个圆圈中四个数的和都是 30。
※6、把 1，2，3，7，8，9 这六个数分别填入下图中，使每条边上四个 数相加的和是 20。
3、将 1、2、3、4、5、6 六个数字填入图中的小圆圈内，使每个大圆圈上的四个数字的和都 是 15。
4
苏老师数学俱乐部
小学二年级暑期奥数专题讲座之三
第三讲
姓名： 团队：
数字游戏课外作业
成就值： 家长签名：_____________
1、在括号里填入合适的数，使等式成立：11+23=（
）+20。
2、如图，在空格中填入 1、3、7、9，使横行和竖行三个数的和都等于 15。
用数字 1、2 来填数，使正方形每条边的和为 5，四边的和为 13。
【练习】 1、用数字 1、3 来填数，使正方形每边的和为 7，四边的和为 18。
2、用数字 2、5 来填数，使长方形每边的和为 12，四边的和为 31。
3
苏老师数学俱乐部
小学二年级暑期奥数专题讲座之三
3、把 1、2、3、7、8、9 这六个数分别填入下图中，使将 1，2，3，4，5，6 六个数填入图中的小圆圈内，使每个大圆圈上的四个数字的和都 是 15。
5
5
3
5
7
3、将 1、2、3、4、5、6、7 这七个数 填入下面的○内， 使每条线上三个数字的 和等于 12。
4、把 3、6、9、12、15 五个数填在 下面○里，使每条线上三个数的和与正 方形四个角上四个数的和相等。
现代数学基础丛书003-紧黎曼曲面引论
《紧黎曼曲面引论》是现代数学基础丛书中的一本，由伍鸿熙、吕以辇、陈志华所著，并于1999年由科学出版社出版。
该书主要讨论紧黎曼曲面，中心是Riemann-Roch定理的证明及其应用。
因为黎曼曲面是近代数学不少分支的最简单的模型，所以该书在讨论中采用了一些必要的近代数学的概念与方法作为工具，以期使本书能成为近代数学很多方面的入门书。
因此，这本书可供数学专业高年级学生、研究生、数学教师及其它数学工作者参考。
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初中数学培优训练试题题库 数学 003(附答案解析)
题库数学03一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）下列运算正确的是（）A．x2x3＝x6B．x3+x2＝x5C．（3x3）2＝9x5D．（2x）2＝4x2 3．（3分）如图，已知l1∥l2，且∠1＝120°，则∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．（3分）下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）根据图所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x的值为，则输出的结果是（）A．B．C．D．6．（3分）将弧长为2πcm、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是（）A．cm B．2cm C．2cm D．cm7．（3分）若3m＝10，3n＝5，则32m﹣n等于（）A．20B．15C．5D．48．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率为（）A．B．C．D．9．（3分）若关于x的方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣110．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB＝；②当点E与点B重合时，MH＝；③AF+BE＝EF；④MG•MH＝，其中正确结论为（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果.11．（3分）东营市积极推进政策性减税降费工作，2018年我市落实税收优惠总规模达到了135.5亿元，创历史新高，则135.5亿用科学记数法表示为．12．（3分）分解因式：3m2﹣12＝．13．（3分）已知一组数据10，8，9，a，5众数是8，求这组数据的中位数．14．（3分）如图，在热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的垂直高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为．米．15．（4分）“圆材埋壁”是我国古代一数学著作（九章算术中的一个问题“今有圆材，理壁中不知大小，以据锯之，深一寸，锯道长一尺，向径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，其中1尺＝10寸，则直径CD长为寸．16．（4分）如果关于x的分式方程无解，则m的值为．17．（4分）如图，一个无盖的正方体，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，经过计算发现，它的最短路径是20cm，则这个正方体的棱长为cm．18．（4分）如图，已知直线l：y＝x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A2019的坐标为．三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19．（7分）（1）计算：（﹣）﹣1+3tan60°+（π﹣2019）0﹣3+|1﹣3|；（2）先化简，再求代数式（1+）÷的值，其中x是不等式组的整数解．20．（8分）“机动车行驶到斑马线要礼让行人”等交通法规实施后，某校数学课外实践小组对这些交通法规的了解情况在全校随机调查了部分学生，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次共调查名学生；扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；（2）补全条形统计图；（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加市区交通法规竞赛，请用列表或画树状图的方法求丙和丁两名学生同时被选中的概率．21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，延长AD至C，使AD＝DC，连接BC，过点D作DE⊥BC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2，sin C＝，求⊙O的半径．22．（8分）已知平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y＝的图象上，过点A的直线y＝x+b交x轴于点B．（1）求反比例函数解析式；（2）求△OAB的面积．23．（8分）为了更好治理洋澜湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表：经调查：购买一台A 型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元．A型B型价格（万元/台）a b处理污水量（吨/月）240180（1）求a，b的值；（2）经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案；（3）在（2）问的条件下，若每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．24．（11分）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）25．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）点E是抛物线对称轴与x轴的交点，点F是x轴上一动点，点M在运动过程中，若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．参考答案一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数．【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0．2．【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可．【解答】解：A、应为x2x3＝x5，故本选项错误；B、x3与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、应为（3x3）2＝9x6，故本选项错误；D、应为（2x）2＝4x2，正确．故选：D．【点评】本题考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；乘方，底数不变，指数相乘．3．【分析】先根据补角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝120°，∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣120°＝60°．∵l1∥l2，∴∠2＝∠3＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．4．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．5．【分析】根据输入的数所处的范围，应将x＝代入y＝﹣x+2，即可求得y的值．【解答】解：∵x＝∴1＜x≤2则将x＝，代入y＝﹣x+2得：y＝﹣+2＝．故选：C．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．6．【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径为1，设利用弧长公式求出母线长，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝2π，解得r＝1；设圆锥的母线长为l，则＝2π，解得l＝3，所以圆锥的高＝＝2（cm）．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．【分析】32m+n＝32m×3n＝（3m）2÷3n＝102÷5＝20；【解答】解：32m+n＝32m×3n＝（3m）2÷3n，∵3m＝10，3n＝5，∴（3m）2÷3n＝102÷5＝20；故选：A．【点评】本题考查同底数幂底除法，幂的乘方和积的乘方；熟练掌握同底数幂底除法，幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．8．【分析】根据平行四边形的性质易得S△OEH＝S△OFG，则S阴影部分＝S△AOB＝S平行四边形ABCD，然后根据几何概率的意义求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，∴S△OEH＝S△OFG，∴S阴影部分＝S△AOB＝S平行四边形ABCD，∴飞镖（每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等）恰好落在阴影区域的概率＝＝．故选：C．【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了平行四边形的性质．9．【分析】讨论：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，方程有一个实数解；当k≠0时，△＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【解答】解：当k＝0时，方程化为﹣3x﹣＝0，解得x＝﹣；当k≠0时，△＝（﹣3）2﹣4k•（﹣）≥0，解得k≥﹣1，所以k的范围为k≥﹣1．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH＝AE×BF＝AE•BF＝AC•BC＝，依此即可作出判断．【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝＝，故①正确；②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，∵MG⊥AC，∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，∴MH＝MB＝CG，∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，∴CF＝AF＝BF，∴FG是△ACB的中位线，∴GC＝AC＝MH，故②正确；③如图2所示，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠5＝45°．将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；∵∠2＝45°，∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，∴∠DCE＝∠2．在△ECF和△ECD中，，∴△ECF≌△ECD（SAS），∴EF＝DE．∵∠5＝45°，∴∠DBE＝90°，∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，∵∠A＝∠5＝45°，∴△ACE∽△BFC，∴＝，∴AE•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，∴MG∥BC，MH＝CG，MG＝CH，MH∥AC，∴＝；＝，即＝；＝，∴MG＝AE；MH＝BF，∴MG•MH＝AE×BF＝AE•BF＝AC•BC＝，故④正确．故选：C．【点评】考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分，只要求填写最后结果.11．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．【解答】解：135.5亿＝1.355×1010．故答案为：1.355×1010．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3m2﹣12，＝3（m2﹣4），＝3（m+2）（m﹣2）．故答案为：3（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．【分析】利用中位数及众数的定义求解即可．【解答】解：∵数据10，8，9，a，5众数是8，∴a＝8，∴数据10，9，8，8，5这组数据的中位数是8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了中位数与众数，解题的关键是熟记中位数及众数的定义．14．【分析】在直角△ACD中利用三角函数求得AD，然后在直角△BCD中，利用三角函数求得BD，根据AB＝AD+BD即可求解．【解答】解：在直角△ACD中，∠A＝30°，tan A＝，∴AD＝CD＝90（米）；同理，BD＝CD＝30（米），则AB＝AD+BD＝120（米）．故答案是：120．【点评】本题考查运用俯角的定义，三角函数，通过作高线转化为解直角三角形的问题．15．【分析】连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16．【分析】首先将原分式方程化为整式方程，求得x＝2﹣m，又由原方程无解，即可得最简公分母为0，求得x的值，代入x＝2﹣m，求得m的值．【解答】解：去分母得：x﹣2＝﹣m，解得：x＝2﹣m，∵原方程无解，∴最简公分母：x﹣5＝0，解得：x＝5，即可得：m＝﹣3．故答案为：﹣3【点评】此题考查了分式无解的知识：即是最简公分母为0．此题难度不大，解题时注意要细心，注意转化思想的应用．17．【分析】先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到B的最短途径．【解答】解：如图，将正方体展开，则线段AB即为最短的路线，设这个正方体的棱长为xcm，∴AB＝＝x＝20，∴x＝4，∴这个正方体的棱长为4cm，故答案为：4．【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．18．【分析】根据所给直线解析式可得l与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到点A1，A2的坐标，通过相应规律得到A2019标即可．【解答】解：∵直线l的解析式为：y＝x，∴l与x轴的夹角为30°，∵AB∥x轴，∴∠ABO＝30°，∵OA＝1，∴AB＝，∵A1B⊥l，∴∠ABA1＝60°，∴AA1＝3，∴A1（0，4），同理可得A2（0，16），…，∴A2019纵坐标为：42019，∴A2019（0，42019）．故答案为：（0，24038）．【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共62分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤19．【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出不等式组的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝﹣3+3+1﹣6+3﹣1＝﹣3；（2）原式＝•＝•＝，不等式组整理得：，解集为1＜x＜，∴不等式组的整数解为2（舍去），3，则x＝3时，原式＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．【分析】（1）由A的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以C人数所占比例即可得；（2）总人数乘以D的百分比求得其人数，再根据各类型人数之和等于总人数求得B的人数，据此补全图形即可得；（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷40%＝60人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×＝90°，故答案为：60、90°；（2）D类别人数为60×5%＝3，则B类别人数为60﹣（24+15+3）＝18，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中丙和丁两名学生同时被选中的结果数为2，所以丙和丁两名学生同时被选中的概率为＝．【点评】本题主要考查条形统计图以及列表法与树状图法．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，熟知各项目数据个数之和等于总数．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．21．【分析】（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥DE即可．（2）在Rt△DEC中，利用正弦函数求得AD＝DC＝3，然后证得∠A＝∠C，从而得出sin A＝，设BD＝2k，AB＝3k，根据勾股定理得出（3k）2﹣（2k）2＝32，从而得出k ＝，进而即可求得⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD＝DC，OA＝OB∴OD是△ABC的中位线（1分）∴OD∥BC∵DE⊥AB∴OD⊥DE∴直线DE是⊙O的切线（3分）（2）解：在Rt△DEC中，DC＝＝2×＝3，∴AD＝DC＝3，∵AB是直径，∴BD⊥AC，∴BA＝BC，∴∠A＝∠C，∴在Rt△ADB中，sin A＝，设BD＝2k，AB＝3k，∵AB2﹣BD2＝AD2，即（3k）2﹣（2k）2＝32，则5k2＝9，k＝，∴OA＝×3×＝．∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的判定和勾股定理的运用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求解；（2）将点A坐标代入解析式可求一次函数解析式，可求点B坐标，即可求△OAB的面积．【解答】解：（1）∵点A（2，5）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×5＝10∴反比例函数解析式：y＝，（2）∵点A在直线y＝x+b上，∴5＝2+b∴b＝3∴一次函数解析式y＝x+3∵直线y＝x+b交x轴于点B∴点B（﹣3，0）∴S△AOB＝×3×5＝【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是本题的关键．23．【分析】（1）因为购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，所以有，解之即可；（2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案；（3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于1860吨，所以有240x+180（10﹣x）≥1860，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择．【解答】解：（1）根据题意得，解得．（2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，根据题意得，12x+10（10﹣x）≤105，∴x≤2.5，∵x取非负整数，∴x＝0，1，2，∴10﹣x＝10，9，8，∴有三种购买方案：①A型设备0台，B型设备10台；②A型设备1台，B型设备9台；③A型设备2台，B型设备8台．（3）由题意：240x+180（10﹣x）≥1860，∴x≥1，又∵x≤2.5，∴x为1，2．当x＝1时，购买资金为12×1+10×9＝102（万元），当x＝2时，购买资金为12×2+10×8＝104（万元），∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．24．【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF＝BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．【类比引申】延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△F AE≌△MAE，即可得出答案；【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE＝AB＝80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD＝2∠EAF即可得出EF＝BE+FD．【解答】【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠F AE，在△GAF和△F AE中，，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴GF＝EF，又∵DG＝BE，∴GF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF；【类比引申】∠BAD＝2∠EAF．理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，∴∠D＝∠ABM，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，在△F AE和△MAE中，，∴△F AE≌△MAE（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，即EF＝BE+DF．故答案是：∠BAD＝2∠EAF．【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH ⊥GD，垂足为H．∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，∴∠BAE＝60°．又∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝80米．根据旋转的性质得到：∠ADG＝∠B＝60°，又∵∠ADF＝120°，∴∠GDF＝180°，即点G在CD的延长线上．易得，△ADG≌△ABE，∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，又∵AH＝80×＝40，HF＝HD+DF＝40+40（﹣1）＝40故∠HAF＝45°，∴∠DAF＝∠HAF﹣∠HAD＝45°﹣30°＝15°从而∠EAF＝∠EAD﹣∠DAF＝90°﹣15°＝75°又∵∠BAD＝150°＝2×75°＝2∠EAF∴根据上述推论有：EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．【点评】此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明∠BAD＝2∠EAF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫．25．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）设M（x，﹣x2+x+2），则N（x，﹣x+2），则MN＝﹣x2+x，根据三角形面积公式得到S△CDM＝×MN×2＝﹣x2+x，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）先求出抛物线的对称轴为直线x＝1得到E（1，0），讨论：当CM∥EF时，则M（2，2），利用平行四边形的性质得CM＝EF＝2，从而得到此时F点坐标；当CE∥MF时，由于点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，所以点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，设F（t，0），则M（t+1，﹣2），然后把M（t+1，﹣2）代入y＝﹣x2+x+2得﹣（t+1）2+（t+1）+2＝﹣2，则解方程求出得到此时F点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），点C（0，2），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在．当y＝0，﹣x+2＝0，解得x＝2，则D（2，0），设M（x，﹣x2+x+2），则N（x，﹣x+2），∴MN＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+x，∴S△CDM＝×MN×2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，∴当a＝时，S△CDM有最大值为；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴E（1，0），当CM∥EF时，则M（2，2），∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，∴CM＝EF＝2，∴F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）；当CE∥MF时，∵以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，∴CM＝EF，∵点C向右平移1个单位，向下平移2个单位得到E点，∴点F向右平移1个单位，向下平移2个单位得到M点，设F（t，0），则M（t+1，﹣2），把M（t+1，﹣2）代入y＝﹣x2+x+2得﹣（t+1）2+（t+1）+2＝﹣2，解得t1＝，t2＝﹣，此时F点坐标为（，0），（﹣，0），综上所述，F点坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（，0）或（﹣，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
国际数学奥林匹克试题分类解析—A数论_A3数字问题
A 整数 A3 数字问题A3－001 在数3000003中，应把它的百位数字和万位数字0换成什么数字，才能使所得的数能被13整除？【题说】1950年～1951年波兰数学奥林匹克三试题2．【解】设所求数字为x和y，则有因为106、104、102除以13时，分别得余数1、3、9，所以n≡3＋3x＋9y＋3＝3（2＋x＋3y）（mod 13）当且仅当x＋3y＋2被13整除，即x＋3y＋2＝13m（m为自然数）（1）时，n被13整除．由于x＋3y＋2≤9＋3·9＋2＝38所以m只能取1或2．当m＝1时，由方程（1）及0≤x，y≤9，解得x＝8，y＝1；x＝5，y＝2；x＝2，y＝3当m＝2时，解得x＝9，y＝5；x＝6，y＝6；x＝3，y＝7；x＝0，y＝8．故本题共有7个解：3080103，3050203，3020303，3090503，3060603，3030703，3000803．A3－002 求出所有这样的三位数，使其被11整除后的商数等于该三位数各位数字的平方和．【题说】第二届（1960年）国际数学奥林匹克题1．本题由保加利亚提供．【解】设这个三位数除以11以后的商为10a＋b，其中a是商的十位数，b是商的个位数．若a ＋b≥10，则原数为100（a＋1）＋10（a＋b－10）＋b若a＋b＜10，则原数为100a＋10（a＋b）＋b以下对这两种情形分别讨论．先考虑第一种情形．由题设有（a＋1）2＋（a＋b－10）2＋b2＝10a＋b （1）若a＋b＞10，则有（a＋1）2＋（a＋b－10）2＋b2≥（a＋1）2＋1＋（11－a）2故若（1）式成立，只能有a＋b＝10．将b＝10－a代入（1）解得唯一的一组正整数解a＝7，b＝3再考虑第二种情形．此时由题设有a2＋（a＋b）2＋b2＝10a＋b （2）若a＋b＞5，则有a2＋（a＋b）2＋b2＝2（a＋b）·a＋2b2＞10a＋b故若（2）成立，只能有a＋b≤5．注意在（2）式中左边和10a都是偶数；因此b也是偶数．若a＋b＜5，则b只能为2，将b＝2代入（2）得不到整数解，因此只能有a＋b＝5．将b＝5－a代入（2）得唯一的一组正整数解a＝5，b＝0综上所述，合乎要求的三位数只有550，803．A3－003 下面是一个八位数除以一个三位数的算式，试求商，并说明理由．【题说】1958年上海市赛高三题1．【解】原式可写成：其中所有未知数都表示数字，且下标为1的未知数都不等于零．x1x2x3等表示x1·102＋x2·10＋x3等．（1）因为得到商的第一个数字7后，同时移下两个数字a5、a6，所以y2＝0，同理y4＝0．（2）四位数a1a2a3a4与三位数b1b2b3之差为两位数c1c2，所以a1＝1，a2＝0，b1＝9，同理，c1＝1，c2＝0，d1＝9，于是a4＝b3，b2＝9，a3＝0．（3）由7×x1x2x3＝99b3，所以x1＝1，x2＝4．990－7×140＝10，所以x3＝2，b3＝4，从而a4＝b3＝4．（4）由c1＝1，c2＝0可知y3＝7．（5）y5×142是四位数，所以x5≥8．又因y5×142的末位数字是8，所以y5＝9．于是商为70709，除数142，从而被除数为10040678．A3－004 证明：在任意39个连续的自然数中，总能找到一个数，它的数字之和被11整除．【题说】1961年全俄数学奥林匹克八年级题3．【证】在任意39个连续自然数中，一定有三个数末位数字为0，而前两个数中一定有一个十位数字不为9，设它为N，N的数字之和为n，则N，N＋1，N＋2，…，N＋9，N＋19这11个数的数字之和依次为n，n＋1，n＋2，…，n＋9，n＋10，其中必有一个是11的倍数．【注】39不能改为38．例如999981至1000018这38个连续自然数中，每个数的数字和都不被11整除．本题曾被改编为匈牙利1986年竞赛题、北京市1988年竞赛题．A3－005 求有下列性质的最小自然数n：其十进制表示法以6结尾；当去掉最后一位6并把它写在剩下数字之前，则成为n的四倍数．【题说】第四届（1962年）国际数学奥林匹克题1．本题由波兰提供．【解】设n＝10m＋6，则6×10p＋m＝4（10m＋6），其中p为m的位数．于是m＝2（10p－4）/13，要使m为整数，p至少为5，此时，n＝153846．A3－006 公共汽车票的号码由六个数字组成．若一张票的号码前三个数字之和等于后三个数字之和，则称它是幸运的．证明：所有幸运车票号码的和能被13整除．【题说】1965年全俄数学奥林匹克八年级题4．【证】设幸运车票的号码是A，则A′＝999999－A也是幸运的，且A≠A′．因为A＋A′＝999999＝999×1001含因数13．而所有幸运号码都能如此两两配对．所以所有幸运号码之和能被13 整除．A3－007 自然数k有如下性质：若n能被k整除，那末把n的数字次序颠倒后得到的数仍能被k 整除．证明：k是99的因子．【题说】第一届（1967年）全苏数学奥林匹克十年级题5．【证】k与10互质．事实上，存在首位为1且能被k整除的数，把它的数字倒过来也能被k整除，而此数的末位数字为1．取以500开头的且被k整除的数：500abc…z，（a，b，c，…，z是这个数的数字），则以下的数均被k整除：（1）z…cba005．（2）和（3）把（2）中的和倒过来z…cba00010abc…z（4）差由此看出，99能被k整除．A3－008 计算由1到109的每一个数的数字之和，得到109个新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止．那么，最后得到的数中是1多，还是2多？【题说】1964年全俄数学奥林匹克八年级题3．考虑整数被9除的余数．【解】一个正整数与其数字之和关于9是同余的，故最后所得的一位数为1者，是原数被9除余1的数，即1，10，19，…，999999991及109．同理，最后所得一位数为2者，原数被9除余2，即2，11，20， (999999992)二者相比，余1者多一个数，因此，最后得到的一位数中以1为多．A3－009 求出具有下列性质的所有三位数A：将数A的数字重新排列，得出的所有数的算术平均值等于A．【题说】第八届（1974年）全苏数学奥林匹克九年级题5．由此可得222（a＋b＋c）＝6（100a＋10b＋c），即7a＝3b＋4c，将这方程改写成7（a－b）＝4（c－b）当0≤b≤2时，a＝b＝c，或a－b＝4且c－b＝7．当7≤b≤9时，b－a＝4，b－c＝7，从而A∈{111，222，…，999，407，518，629，370，481，592}显然这15个三位数都合乎要求．A3－010 当44444444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B 的各位数字之和（所有的数都是十进制数）．【题说】第十七届（1975年）国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供．【解】因为44444444的位数不超过4×4444＝17776，所以A≤177760B≤1＋5×9＝46，B的数字和C≤4＋9＝13由于一个数与它的数字和mod 9同余，所以C≡B≡A≡44444444≡74444＝（73）1481×7≡11781×7≡7（mod 9）故C＝7，即数B的各位数字之和是7．A3－011 设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数字是什么？【题说】第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题1．【解】设n＝10x＋y，x、y为整数，且0≤y≤9，则n2＝100x2＋20xy＋y2＝20A＋y2（A为正整数）因20A的十位数字是偶数，所以要想使n2十位数字是7，必须要y2的十位数字是奇数，这只有y2＝16或36．从而y2的个位数字，即n2的个位数字都是6．A3－013 下列整数的末位数字是否组成周期数列？其中[a]表示数a的整数部分．【题说】第十七届（1983年）全苏数学奥林匹克九年级题4．由于不循环小数，所以{a2k＋1}从而{a n}不是周期数列．在二进制中的末位数字．显然，b n为偶数时，r n＝0，b n为奇数时，r n＝1．仿（a）可证{r n}不是周期的，从而{b n}也不是周期数列．A3－014 设a n是12＋22＋…＋n2的个位数字，n＝1，2，3，…，试证：0.a1a2…a n…是有理数．【题说】1984年全国联赛二试题4．【证】将（n＋1）2，（n＋2）2，…，（n＋100）2这100个数排成下表：（n＋1）2 （n＋2）2 …（n＋10）2（n＋11）2 （n＋12）2 …（n＋20）2…………（n＋91）2 （n＋92）2 …（n＋100）2因k2与（k＋10）2的个位数字相同，故表中每一列的10个数的个位数字皆相同．因此，将这100个数相加，和的个位数字是0．所以，a n＋100＝a n对任何n成立．A3－015 是否存在具有如下性质的自然数n：（十进制）数n的数字和等于1000，而数n2的数字和等于10002？【题说】第十九届（1985年）全苏数学奥林匹克八年级题2．【解】可用归纳法证明更一般的结论：对于任意自然数m，存在由1和0组成的自然数n，它的数字和S（n）＝m，而n2的数字和S （n2）＝m2？当m＝1，n＝1时，显然满足要求．设对自然数m，存在由1和0组成的自然数n，使得S（n）＝m，S（n2）＝m2设n为k位数，取n1＝n×10k＋1＋1，则n1由0，1组成并且S（n1）＝S（n）＋1＝m＋1＝S（n2×102k＋2）＋S（2n×10k＋1）＋S（1）＝S（n2）＋2S（n）＋1＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2因此命题对一切自然数m均成立．这说明0.a1a2a3…是循环小数，因而是有理数．A3－017 设自然数n是一个三位数．由它的三个非零数字任意排列成的所有三位数的和减去n 等于1990．求n．【题说】1989年芜湖市赛题3．2090＜222（a＋b＋c）＝1990＋n＜2989而2090＞222×9＝1998，222×10＝2220＝1990＋230222×11＝2442×1990＋452，222×12＝2664＝1990＋674222×13＝2886＝1990＋896，222×14＝3108＞2989经验证：a＋b＋c＝11时，n＝452符合题意．A3－018 定义数列{a n}如下：a1＝19891989，a n等于a n－1的各位数字之和，a5等于什么？【题说】第二十一届（1989年）加拿大数学奥林匹克题3．【解】由a1＜100001989＝b1，而b1的位数是4×1989＋1＝7957，知a2＜10×8000＝80000，所以a2最多是5位数，从而a3≤5×9＝45，a4≤4＋9＝13，因此a5一定是一位数．另一方面，由9|1989，知9|a1，因而9可整除a1的数字和，即9|a2，又因此有9|a3，9|a4，9|a5．所以a5＝9．A3－019 某州颁发由6个数字组成的车牌证号（由0—9的数字组成），且规定任何两个牌号至少有两个数字不同（因此，证号“027592”与“020592”不能同时使用），试确定车牌证号最多有多少个？【题说】第十九届（1990年）美国数学奥林匹克题1．【解】至多可造出不同的五位证号a1a2a3a4a5105个．令a6是a1＋a1＋a3＋a4＋a5的个位数字，所成的六位数便满足要求．因为如果两个数的前五位中只有一个数字不同，那么第6位数字必然不同．另一方面，任何105＋1个6位数中，总有两个前五位数字完全相同．因此，符合题目要求的车牌证号最多有105个．A3－020 设A＝99…99（81位全为9），求A2的各位数字之和．【题说】1991年日本数学奥林匹克预选赛题1．【解】由A＝1081－1知A2＝10162－2·1081＋1＝99...980 (01)↑↑162位82位故A2各位数字之和＝9×（162－82）＋8＋1＝729．4A3－021 如果一个正整数的十进制表示中至少有两个数字，并且每个数字都比它右边的数字小，那么称它为“上升”的．这种“上升”的正整数共有多少个？【题说】第十届（1992年）美国数学邀请赛题2．【解】符合条件的正整数中的数字，都是不同的非零数码，即集合S＝{1，2，3，…，9}的二元或二元以上的子集．反过来，S的每个二元或二元以上的子集，将它的数码从小到大排列，也得到一个符合条件的正整数．S的子集共有29=512个，其中只含一个元素的子集有9个，一个空集．故符合条件的正整数共有512－10=502个．A3－023 求方程的各个正根的乘积的最后三位数字．【题说】第十三届（1995年）美国数学邀请赛题2．【解】令y=1og1995x．由原方程取对数得其最后三位数字为025．A3－024 一个六位数的首位数字是5，是否总能够在它的后面再添加6个数字，使得所得的十二位数恰是一个完全平方数？【题说】1995年城市数学联赛高年级普通水平题3．【解】不．若不然，105个以5为首位数字的六位数可以衍生出105个十二位的完全平方数．即有105个自然数n满足．5×1011≤n2＜6×1011亦即7×105＜n＜8×105由于7×105与8×105之间不存在105个整数，故上式不可能成立．。
(新插图)人教版六年级数学上册 练习二十三[003]-课件
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36000 12 =51000(万平方千米) 17
答：地球总面积是51000万平方千米。
状元成才路
7.三个同学跳绳。小明跳了120个，小强跳的是小
明跳的 5 ，小亮跳的是小强跳的2。小亮跳了多少
8
3
个? 【教科书P113 练习二十三 第7题】
120 5 2 83
10
9
答：去年全县绿色蔬菜总产量是800万千克。
9.(2)某县前年绿色蔬菜总产量720万千克，
比去年少了 1 。去年全县绿色蔬菜总产量
10
是多少万千克?
【教科书P114 练习二十三 第9题】
720 (1－ 1 ) = 720 9 = 720 10 = 800(万千克)
10
10
9
答：去年全县绿色蔬菜总产量是800万千克。
R·六年级上册
9
状元成才路
练习二十三
1.【教科书P113 练习二十三 第1题】
3
8
16
3
5
4
4
27
1
4
8
3
2.写出下列个数的倒数。【教科书P113 练习二十三 第2题】
2
1
15
5
1
7
3
8
2 的倒数是 7
7
2
5的倒数是 1 5
1 的倒数是3 3
1的倒数是1
15的倒数是 8
8
15
3.把下面各比化成最简单的整数比。
【教科书P113 练习二十三 第3题】
8∶12
0.25∶0.45
1 ：1 48
8∶12 = (8÷4)∶(12÷4) = 2∶3
(新插图)人教版六年级数学上册 练习八[003]-课件
![(新插图)人教版六年级数学上册 练习八[003]-课件](https://img.taocdn.com/s3/m/7abd15826037ee06eff9aef8941ea76e58fa4aa7.png)
14
10.有一组互相咬合的齿轮。【教科书P38页 练习八 第10题】 (1)大齿轮有140个齿，小齿轮的齿数是 大齿轮的 1 。小齿轮有多少个齿?
5 140 1 =28(个)
5
答：小齿轮有28个齿。
10.有一组互相咬合的齿轮。【教科书P38页 练习八 第10题】
(2)
小齿轮有28个齿，是大齿轮的
R·六年级上册
3
状元成才路
练习八
1.我国幅员辽阔，东西相距5200km，东西距离
是南北距离的
52 55
。南北相距多少千米？
【教科书P37页 练习八 第1题】
5200 52 =5200 55 =5500(千米)
55
52
答：南北相距5500千米。
2.一杯250mL的鲜牛奶大约含有
3 10
g的钙质，占
16 （1+ 1） 3
= 16 4 3
= 16 3 4
= 12
35 （1 2） 7
= 35 5 7
= 35 7 5
= 49
21 （ 1 3） 40 10 5 = 21 7 40 10 = 21 10 40 7 =3 4
6. 小亮的爸爸每月工资是 5500 元，妈妈每月工资是
4500 元。他们家每月开支大约占两人工资的 2 。
12 2
5.计算下面各题。【教科书P37页 练习八 第5题】
10 5 21 7 = 10 7 21 5 2 = 3
15 5 16 8 = 15 8 16 5 3 = 2
26 13 15 25 22
= 26 25 22 13 15
= 220 3
5.计算下面各题。【教科书P37页 练习八 第5题】
三年级数学思维训练003
003
1.三（1）班56位同学去公园划船，每条小船坐4人，每条大船坐5人，怎样租船才能将所有同学都坐下，而且每条船都坐满？如果小船每条租金18元，大船每条租金20元，哪种方案租金最少？
2.把5、11、16、21、26、31、36七个数填入图中7个圈里，使每条直线上三个数的和相等。
3.20个8连乘，积的各位是几？
4. 5个同样的油桶都装满油，如果每个油桶都倒出油20千克，那么剩下的油的重量正好是原来3桶油的总重量，原来每个油桶里有油多少千克？
5.果园摘下100千克的苹果，正好装了2个大筐和4个小筐，如果1个大筐里苹果的重量正好是3个小筐的重量，那么大筐的苹果多少千克？小筐多少千克苹果？
6.一杯水，连杯子共重600克，倒出一半的水后，连被子共重400克。
这个杯子重有多少克？
7.用2、4、6、8这4个数字组成多少个不同的四位数?
8.若干个同学去划船，他们租了一些船，如果每条船坐4人，则多5人。
如果每条船坐5人，则船上有4个空位。
有多少同学？多少条船？
9. 100个和尚分100个馒头，大和尚每人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，恰好分完。
问大和尚，小和尚各多少人？
10.一个边长为7厘米的正方形纸片最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸，请画图说明。
2024(新插图)人教版六年级数学上册练习一[003]-课件
![2024(新插图)人教版六年级数学上册练习一[003]-课件](https://img.taocdn.com/s3/m/6ae27a4ee3bd960590c69ec3d5bbfd0a7956d520.png)
5 7210000 24 15000（0 m2） 答：故宫博物院的建筑面积约为150000平方米。
状元成才路
9.全世界鹤类共有15种，我国的鹤类种数最 多，占全世界的 3 。我国有多少种鹤类?
5 【教科书P7 练习一 第9题】
15 3 （9 种） 5
答：我国有9种鹤类。
状元成才路
10.牛郎星运行速度是26千米/秒，织女 星运行速度是牛郎星的 7 。织女星每秒
答：需要 3 千克的农药。
10
6.下面各题算得对吗？把不对的改
正过来。【教科书P6 练习一 第6题】
1
4
4
1
=4
4
=
1
不对
7 77
4 4 = 4 4 = 16 77 7
3
7 6 = 7 6 = 10 =1 10 5 10 5 10
不对
5
3
7 6 = 7 6 = 21 10 5 10 5 25
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
子天
是开
梅放
花；
，有
选的
择孩
在子
冬是
R·六年级上册
1
状元成才路
练习一
1.填空。【教科书P6 练习一 第1题】
(1)
3 4
3 4
3 4
小学数学北师大课标版三年级上册《第三单元 加与减---捐书活动》优质课公开课教案比赛获奖教案N003
小学数学北师大课标版三年级上册《第三单元加与减--- 捐书活动》优质课公开课教案比赛获奖教案
北师大版小学数学三年级上册第三单元
《捐书活动》教学设计
1、教学内容：北京师范大学出版社，三年级上册第三单元《加与减》
的第一课《捐书活动》。
2、教材分析：
（1）教材内容的结构特点：《捐书活动》是学生在二年级下册已经掌握了笔算三位数加减法的方法基础上让学生探索并掌握三位数连加的计算方法，并能正确地进行计算。
同时发展学生从表格中获得信息，提出问题及估算的能力，能结合生活实际解决问题。
（2）教学内容在教材中的地位和作用：《捐书活动》是北师大版三年级上册第三单元《加与减》的第一课。
学生在二年级下册已经掌握了笔算三位数加减法的方法，懂得了一些运算顺序，本单元的教学是对以前学过的知识的延伸，是在此基础上让学生探索并掌握三位数连加的计算方法，并能正确地进行计算。
3、学情分析：
（1）学生的认知基础：学生在二年级下册已经掌握了列竖式计算三位数加减法的法则。
三年级的学生已经有了一定的计算能力和分析问题的能力。
（2）学生的活动经验基础：三位数连加的数目比较大，计算时容易。
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LTMI___函数（1）__学案（课堂）
主备人：__顾天任__ 编号：__003_____
【重要知识点】
1、函数的定义。
①传统：对于变量x 的每一个值，有唯一的值y 与其对应，则y 是x 的函数。
②近代：给定非空数集A 、B 及对应关系f ，对于任意x ∈A ，B 中有唯一确 定的数f(x)与其对应，则f 称为定义在A 上的函数，记作f ：A →B ， 或y=f(x),x ∈A ，此时x 为自变量，A 为函数的定义域，集合 {f(x)|x ∈A}为函数的值域，习惯称y 是x 的函数。
只有定义域与对应关系完全相同，两函数才相同。
(x+1与1
1x 2--x ） 2、函数的特征：随意性、单值性、方向性、特指性。
3、函数概念理解。
4、区间的分类：闭区间、开区间、前闭后开区间、前开后闭区间。
（图共8张）
5、映射：广义函数，即定义中A 、B 可以是非空集合。
函数是特殊的映射。
6、映射三要素：原象、象、对应关系。
如每个象有且仅有一个原象，则称为 一一映射。
7、求定义域、值域。
8、函数的表示方法：列表法、图像法、解析法
9、分段函数及其图像。
10、求函数解析式：代入法、待定系数法、拼凑法、换元法、方程组法、赋值法。
11、求作函数图像：描点法、变换作图（平移选择翻折等）、*导数法（微积分课程里会学）
12、函数的单调性：在区域A上，当△x>0时，若△y恒大于等于0，则称f(x)在A上单调递增（或f(x)在A上是增函数）；若△y恒小于等于0，则称f(x)在A 上单调递减（或f(x)在A上是减函数）；
注意单调区间端点写法（尽量写开区间）
13、判断单调性：定义法、图像法、直接法、常用结论法、*导数法（微积分课程里会学）
14、函数的奇偶性。
奇函数：f(-x)=-f(x)，即关于原点中心对称。
偶函数：f(-x)=f(x)，即关于y轴对称。
15、函数奇偶性的判断：
定义法、图像法、性质法（偶偶偶，奇偶奇，偶奇偶，奇奇奇）
16、利用奇偶性求解析式、单调性。
17、一次函数、二次函数、反比例函数、待定系数法（多项式恒等定律）。
18、函数的零点、零点定理、二分法、*牛顿迭代法（微积分课程里会学）。