2019版优化探究理数练习：第八章第七节双曲线含解析
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线解析
课时作业 A 组——基础对点练1、(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A 、(0,a ) B 、(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0),所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ,所以选C.答案：C2、(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦,|AB |＝4,则AB 中点C 的横坐标是( ) A 、2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4,又p ＝1,所以x 1＋x 2＝3,所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32. 答案：C3、(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,A 、B 、C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A 、1 B 、2 C 、3D 、4解析：依题意,设点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3),又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32,则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4、已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ,N 两点,F 为抛物线的焦点,若2FM →＝MN →,则实数k 等于( ) A 、±33 B 、±1 C 、±3D 、±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0),直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点,如图、过M 作MM ′⊥准线x ＝－1,垂足为M ′,由抛物线的定义,得|MM ′|＝|MF |,易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等,由2FM →＝MN →,得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12,则tan ∠M ′MN ＝±3,∴直线l 的斜率k ＝±3,故选C. 答案：C5、已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点,Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点,那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A 、25－1 B 、25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4),半径r ＝1,抛物线的焦点F (1,0)、由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6、(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,过P 作P A ⊥l 于点A ,当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时,|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ,在Rt △ABF 中,∠AFB ＝30°,|BF |＝2,所以|AB |＝233,设P (x 0,y 0),则x 0＝±233,代入x 2＝4y 中,得y 0＝13,从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437、(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0),⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0,如果抛物线C 的准线与⊙M 相切,那么p 的值为 、解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4,圆心坐标为(－4,0),半径r ＝2,又抛物线的准线方程为x ＝－p 2,∴|4－p2|＝2,解得p ＝12或4. 答案：12或48.如图,过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ,B ,C ,若|BC |＝2|BF |,且|AF |＝3,则抛物线的方程是 、解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ,分别交准线于点E 、D (图略),则|BF |＝|BD |,∵|BC |＝2|BF |,∴|BC |＝2|BD |,∴∠BCD ＝30°,又|AE |＝|AF |＝3,∴|AC |＝6,即点F 是AC 的中点,根据题意得p ＝32,∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9、已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ,圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点,△WAB 的面积为8,求抛物线的方程、解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0),依题意直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 的方程为x ＝my ＋p ,因为W (－p,0), 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ,解得m ＝±3,所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ,由于两条直线关于x 轴对称,不妨取x ＝3y ＋p , 联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝43p ,y 1y 2＝－4p 2, 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p , 因为△WAB 的面积为8,所以12p ×16p ＝8,得p ＝1, 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10、(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0),O 是坐标原点,点A ,B 为抛物线C 1上异于O 点的两点,以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1),求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)、解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上,∴4＝2p ,p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12,半径为|OA |2＝52,∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1,x 212p ),B (x 2,x 222p )、则OB →＝(x 2,x 222p ),AB →＝(x 2－x 1,x 22－x 212p )、 由OB →·AB →＝0知,x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0,且x 1≠x 2,∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2,∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2,当且仅当x 22＝16p 4x 22,即x 22＝4p 2时取等号、又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21),注意到x 21≥16p 2, ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24,∴S ≥20πp 2,即S 的最小值为20πp 2,当且仅当x 22＝4p 2时取得、B 组——能力提升练1、已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ,点A (0,－3)、若射线F A 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点D ,且|FM |∶|MD |＝1∶2,则点M 的纵坐标为( ) A 、－13 B 、－33 C 、－23D 、－233解析：依题意,F 点的坐标为(m4,0),设点M 在准线上的射影为K ,由抛物线的定义知|MF |＝|MK |,因为|FM |∶|MD |＝1∶2,所以|KD |∶|KM |＝3∶1,k FD ＝3,k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ,所以43m ＝3,解得m ＝4,所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1),与y 2＝4x 联立,解得x ＝3(舍去)或x ＝13,所以y 2＝43,y ＝－233或y ＝233(舍去),故点M 的坐标为(13,－233),故选D. 答案：D2、(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4,抛物线C 2：y 2＝2px (p >0),C 1与C 2相交于A ,B 两点,且|AB |＝855,则抛物线C 2的方程为( ) A 、y 2＝85x B 、y 2＝165x C 、y 2＝325xD 、y 2＝645x解析：由题意,知直线AB 必过原点,则设AB 的方程为y ＝kx (k >0),圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－(455)2＝255,解得k ＝2(k ＝－2舍去)、由⎩⎨⎧y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4,可取A (0,0),B (85,165),把(85,165)代入抛物线方程,得(165)2＝2p ·85,解得p ＝165,所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ,故选C. 答案：C3、已知点P 在抛物线y 2＝x 上,点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上,则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C 、23－1D.10－1解析：设点P (y 2,y )(y ∈R),圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12,4),则|P A |2＝(y 2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654,令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654,则t ′＝4y 3＋4y －8,令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8,则m ′＝12y 2＋4>0,所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数,因为t ′|y ＝1＝0,所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点,所以|P A |2＝t 的最小值为454,所以|P A |的最小值为352,所以|PQ |的最小值为352－1,故选A. 答案：A4、(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ,过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,F 为抛物线的焦点,若|FB |＝2|F A |,则AB 的长度为 、 解析：依题意知P (－1,0),F (1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由|FB |＝2|F A |,得x 2＋1＝2(x 1＋1),即x 2＝2x 1＋1 ①,∵P (－1,0),则AB 的方程为y ＝kx ＋k ,与y 2＝4x 联立,得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0,则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0,即k 2<1,x 1x 2＝1 ②,由①②得x 1＝12,则A (12,2), ∴k ＝2－012－(－1)＝223.∴x 1＋x 2＝52,|AB |＝(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.答案：1725、(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点,曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点A ,直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ,F A 交C 的准线于点B ,则|F A ||BA |等于 、解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎨⎧x ＝k32pk ，y ＝32pk .由y ＝k x ,得y ′＝－k x 2,所以k F A ＝32pkk32pk －p 2＝－k k 234p 2k 2,化简得k ＝p 242,所以x ＝k 32pk＝p 4,|F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝13.答案：136、(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0),过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点,坐标原点为O ,OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时,求直线l 的方程、 解析：(1)设l ：x ＝my －2,代入y 2＝2px , 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1＋y 2＝2pm ,y 1y 2＝4p ,则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12,所以x 1x 2＋y 1y 2＝12,即4＋4p ＝12, 得p ＝2,抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0, y 1＋y 2＝4m ,y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ,则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4,① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2|22由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2, 解得m 2＝3,m ＝±3.所以,直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图,由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0,x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 的曲线称为“黄金抛物线C ”,若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)(1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0,－1),过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ,P ,B 三点,问是否存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由、 解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32,∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1,∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)、(2)假设存在这样的直线l ,使得QP 平分∠AQB ,显然直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l ：y ＝kx ＋1,联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1,消去y ,得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0,∴x B ＝1－2kk 2,y B ＝1－k k ,即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ,∴k BQ ＝k 1－2k , 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1,消去y ,得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0,∴x A ＝－2kk 2＋1,y A ＝1－k 2k 2＋1,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1,∴k AQ ＝－1k , ∵QP 平分∠AQB ,∴k AQ ＋k BQ ＝0, ∴k 1－2k－1k ＝0,解得k ＝－1±2, 由图形可得k ＝－1－2应舍去,∴k ＝2－1, ∴存在直线l ：y ＝(2－1)x ＋1, 使得QP 平分∠AQB .。
2019北师大版同步优化探究理数练习：第八章 第三节 圆的方程含解析
课时作业A组——基础对点练1．方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )11A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆11B．以(1,2)为圆心，为半径的圆11C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆11D．以(－1,2)为圆心，为半径的圆解析：由x2＋y2＋2x－4y－6＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝11，故圆心为(－1,2)，半径为.11答案：D2．若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为( )A．x2＋y2＝1 B．(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1.答案：A3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝5 B．(x－2)2＋y2＝5C．x2＋(y＋2)2＝5 D．(x－1)2＋y2＝5解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.5答案：B4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为．解析：如图所示，圆心M(3，－1)到定直线x＝－3上点的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：45．(2018·唐山一中调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是．解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则Error!，即Error!，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)．(1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝＝，(1－0)2＋(2－1)22所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则＝，|－k －3|1＋k 22所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为＝＝2.PC 2－r 2(2－1)2＋(－1－2)2－227．(2018·南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图像与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由Error!，解得Error!，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为(，－)，若直线经过原点，则直线l 的方程为12525x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝－＝－2，即1252直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组——能力提升练1．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( )A. B.1218C.D. 1424解析：由圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，可得圆心(2a ，－b )在直线x －y －1＝0上，故有2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1≥2，解得ab ≤，故ab 的最大值为，故选B.2ab 1818答案：B2．(2018·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )y 233A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －)2＝33C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋)2＝33解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为，倾斜角为60°，结3合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，选A.答案：A3．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：由题意知x －y ＝0和x －y －4＝0之间的距离为＝2，所以r ＝.又|4|222因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：D4．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝＝>1，OA ＝＝，OB ＝＝，OC ＝|－4|5455(－2)2＋3213(－2)2＋(－1)25＝，62＋(－1)237∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或，37则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.答案：D5．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为2，则圆C 的标准方程为．3解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以2＝2，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标4b 2－b 23准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝46．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求·的最小值．PQ→ MQ → 解析：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则Error!解得Error!则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，·＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)PQ→ MQ → ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝cos θ，y ＝sin θ，22所以·＝x ＋y －2＝(sin θ＋cos θ)－2PQ→ MQ → 2＝2sin －2，(θ＋π4)又min ＝－1，[sin (θ＋π4)]→MQ→PQ所以·的最小值为－4.。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3 B ．3 C.3mD ．3m解析：双曲线方程为x 23m －y 23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.答案：A2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62C.52D ．1解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A. 答案：A4．已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5D.12解析：在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A. 答案：A5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.5＋12B ．2 C. 2D ．2 2解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bca 2＋b 2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋(b a)2＝2，故选C. 答案：C7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y 216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y 24＝1 解析：由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.答案：C8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c3c －c2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C的方程为( ) A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝251＝b a ×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎨⎧42a 2－(3)2b2＝1，b a ＝12，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝113．双曲线Γ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝ab x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8. 答案：814．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，b a ＝2，∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 24＝1.答案：x 2－y 24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF 1→＋PF 2→|≤|F 1F 2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝ca ≥2.故选D. 答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233B. 2 C ．2D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( ) A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.答案：C7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB →＝2F A →，则此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2D. 5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝x 2＋(－bax )2＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (c －a 2，b 2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tan θ＝k 2－k 11＋k 1k 2，其中k 1，k 2分别是l 1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a 2c 上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( ) A.1e B.e1＋eC.e 21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k 4－k 31＋k 3k 4，不妨设P (a 2c ，y )(y >0)，则k 3＝y a 2c －a ，k 4＝y a 2c －c .令m ＝a 2c －a ，n ＝a2c －c ，则tan θ＝y n －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y＋y ，由m －n ＝c－a >0，得当mn y ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny ＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tan θ＝m －n2mn ＝c －a2(a 2c －a )(a 2c－c )＝e21＋e，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( ) A ．b －a ＝|MO |－|MT | B ．b －a >|MO |－|MT | C ．b －a <|MO |－|MT | D ．b －a ＝|MO |＋|MT |解析：如图，连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝b ，连接PF 2，∵M 为线段F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点， ∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝⎛⎭⎫12|PF 1|－|F 1T |＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A. 答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C 的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF ⊥x 轴，则C 的离心率为________． 解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bc a 2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x＝c ，得y ＝±b 2a ，所以A (c ，±b 2a )．因为点A 在圆F 上，所以b 2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a 2＋b 2＝2a ，所以e ＝ca ＝ 2.答案： 211．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝ba x 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－a b (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组⎩⎨⎧y ＝b ax ，y ＝－ab (x －c )，解得⎩⎨⎧x ＝a 2c，y ＝abc ，由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a 2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得(2a 2－c 2)2a 2c 2－4a 2c 2＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，所以9a 2－16b 2＝1，9a 2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝112．设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)． 答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则P A →·PB →的值是________． 解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x 3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x 03－y 0|13＋1，|PB |＝|x 03＋y 0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以P A →·PB→＝|P A →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x 203－y 20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38.答案：－38。
(精校)《双曲线》练习题经典(含答案)(可编辑修改)
∴Error!＝－Error!，解得 λ＝－14。∴曲线 C 的方程是 x2－Error!＝1。
31．(本题满分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 2, 0 ，右顶点为 3, 0 。
y2 D. － ＝1
3
11．设 F1，F2 是双曲线 x2－ ＝1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点,且 3｜PF1|＝4｜PF2｜，则△
PF1F2 的面积等于( C ） A．4Error!
B．8
C．24
D．48
12．过双曲线 x2－y2＝8 的左焦点 F1 有一条弦 PQ 在左支上，若｜PQ|＝7，F2 是双曲线的右焦点，
9λ
（2）由题设知直线 l 的方程为 y＝Error!x－2，设 A（x1，y1）,B(x2，y2），
联立方程组
y y2
2x x2
2, 1.
消去
y
得：（λ＋2)x2－4
x＋4－λ＝0.
∵方程组有两解,∴λ＋2≠0 且 Δ>0,
∴λ>2 或 λ〈0 且 λ≠－2,x1·x2＝Error!,
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
17．如图，F1、F2 是双曲线
=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ B ）
A．4 B． C．
D．
18．如图，已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为 F1，F2，｜F1F2|=4，P 是
30。已知 曲线 C： ＋x2＝1.
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线课时规范练(文,含解析)北师大版
学习资料第八章平面解析几何第七节双曲线课时规范练A组—-基础对点练1．双曲线错误!－错误!＝1(0＜m＜3）的焦距为(）A．6B．12C．36 D。
236－2m2解析：c2＝36－m2＋m2＝36，∴c＝6。
双曲线的焦距为12。
答案：B2．双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点是(0，3),则k的值是（)A．1 B．－1C.错误!D。
－错误!解析:kx2－错误!＝1,焦点在y轴上，c＝3，解得k＝－1。
答案:B3．(2020·山东滕州月考）已知双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点分别为F1、F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是MF2的中点，O为坐标原点，则｜NO|等于（)A.错误!B．1C．2 D.4解析：由双曲线x225－错误!＝1，知a＝5，由双曲线定义｜MF2|－｜MF1|＝2a＝10，得|MF1|＝8,∴|NO|＝错误!|MF1｜＝4。
答案：D4．(2020·湖南永州模拟)焦点是（0，±2)，且与双曲线错误!－错误!＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A．x2－错误!＝1 B．y2－错误!＝1C．x2－y2＝2 D。
y2－x2＝2解析:由已知，双曲线焦点在y轴上，且为等轴双曲线，故选D。
答案：D5．双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程是()A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D。
y＝±错误!x解析：双曲线错误!－错误!＝1中，a＝3，b＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案:C6．（2020·石家庄模拟）若双曲线M：x2a2－错误!＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2,P为双曲线M上一点,且｜PF1|＝15,|PF2｜＝7，｜F1F2｜＝10，则双曲线M的离心率为(）A．3 B．2C。
错误!D。
错误!解析：P为双曲线M上一点，且|PF1|＝15，｜PF2｜＝7，｜F1F2|＝10，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8,｜F1F2｜＝2c＝10，则双曲线的离心率为:e＝错误!＝错误!.答案：D7．（2020·彭州模拟)设F为双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P、Q，若|PQ|＝2|QF｜，∠PQF＝60°，则该双曲线的离心率为（)A.错误!B．1＋错误!C．2＋ 3 D。
2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第九章 第七节 双曲线 Word版含解析
一、填空题1．已知点M (－2,0)、N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，则动点P 的轨迹方程为________．解析：因为|MN |＝4,22<4，所以动点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22的双曲线靠近点N 的一支，即x 2－y 2＝2，x ≥2.答案：x 2－y 2＝2(x ≥2)2．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为________．解析：双曲线x 24－y 212＝1的渐近线为y ＝±3x ，c ＝4＋12＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为431＋(±3)2＝2 3.答案：2 3 3．与双曲线x 29－y 216＝1有公共渐近线且经过点A (－3,23)的双曲线的方程是________．解析：由条件可设所求双曲线方程为x 29－y 216＝k (k >0)，将点A (－3,23)代入得k ＝(－3)29－(23)216＝14，所以所求双曲线方程为4x 29－y 24＝1.答案：4x 29－y 24＝14．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－5,0)和C (5,0)，顶点B 在双曲线x 216－y 29＝1上，则sin B |sin A －sin C |为________． 解析：由题意得a ＝4，b ＝3，c ＝5.A 、C 为双曲线的焦点，∴||BC |－|BA ||＝8，|AC |＝10.由正弦定理得sin B |sin A －sin C |＝|AC |||BC |－|BA ||＝108＝54.答案：545．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝________.解析：如图，设|PF1|＝m ，|PF 2|＝n .则⎩⎪⎨⎪⎧ |m －n |＝2，(22)2＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2mn ＋n 2＝4，m 2－mn ＋n 2＝8.∴mn ＝4. 即|PF 1|·|PF 2|＝4.答案：46．已知点F 1，F 2分别是双曲线的两个焦点，P 为该曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 点在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .∵△PF 1F 2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF 2F 1＝90°，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，∴(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.∵e >1，∴e ＝2＋1. 答案：2＋17．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于________．解析：由离心率公式，得a 2＋3a 2＝22(a >0)，解得a ＝1.答案：18．A 、F 分别是双曲线9x 2－3y 2＝1的左顶点和右焦点，P 是双曲线右支上任一点，若∠PF A ＝λ·∠P AF ，则λ＝________.解析：特殊值法，取点P 为(23，1)，得∠PF A ＝2∠P AF ，故λ＝2.答案：29．若双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b ＞0) 的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析：双曲线x 24－y 2b 2＝1的渐近线方程为x 24－y 2b 2＝0，即y ＝±b 2x (b >0)，∴b ＝1.答案：1二、解答题10.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解析：设双曲线方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P (x 0，y 0)．在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos π3＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|.又∵S △PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴|PF 1|·|PF 2|＝8.∴4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵e ＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴双曲线的方程为：3x 22－y 22＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)，B (0，－b )两点，原点O 到直线l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解析：(1)依题意，l 的方程为x a ＋y －b＝1， 即bx －ay －ab ＝0，由原点O 到l 的距离为32， 得ab a 2＋b 2＝ab c ＝32， 又e ＝c a ＝233，∴b ＝1，a ＝ 3.故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，则点M 、N 坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧ y ＝kx －1x 23－y 2＝1的解，消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.①依题意，1－3k 2≠0，由根与系数关系，知x 1＋x 2＝6k 3k 2－1，x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝63k 2－1＋1.又∵OM →·ON →＝－23，∴63k 2－1＋1＝－23，k ＝±12，经检验知，当k ＝±12时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.12．A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B的北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4 s后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角．解析：如图所示，以直线BA为x轴、线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|.∴点P在线段BC的垂直平分线上．∵k BC＝－3，BC中点为D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|P A|＝4，故P在以A、B为焦点的双曲线的右支上．设P(x，y)，则双曲线方程为x24－y25＝1(x≥0)．②由①、②解得x＝8，y＝53，所以P(8,53)．因此k P A＝538－3＝ 3.故炮击的方位角为北偏东30°.。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章第八节曲线与方程含答案解析
x＋ 3a 2 y2
即
2
12a
－4a2＝1.
∴点 P 的轨迹为双曲线．故选 D.
答案： D
4．已知动点 P(x， y)与两定点 M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数 λ(λ≠0)．则动点 P 的轨
迹 C 的方程为
．
解析： 由题设知直线 PM 与 PN 的斜率存在且均不为零，所以
整理得 x2－yλ2＝ 1(λ≠ 0， x≠ ±1)． 即动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2－ yλ2＝1(λ≠0，x≠ ±1) 答案： x2－yλ2＝1(λ≠0，x≠±1)
2，所以
mn＝ 4，又直线
AC 与 BD 的交点
为 M，
所以
y y－m x＋2＝ x－2 ，
y y－n x－2＝x＋2，
所以
4y m＝x＋2，
－4y n＝x－2，
16y2 所以－ x2－4＝4，所以点
M
的轨迹方程为
x2 4＋
y2＝
1(y≠0)． 答案： x42＋y2＝1(y≠0)
x2 y2 4．过椭圆 a2＋b2＝ 1(a＞ b＞ 0)上任意一点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，则线段 MN 中点的轨迹方
∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，
∴(0， y＋1) ·(－ x,2)＝(x，y－1) ·(x，－ 2)， 即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得 x2＝4y， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 x2＝ 4y.
答案： A
2．已知两定点 A(－2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA|＝2|PB|，则动点 P 的轨迹是 ( )
x－2 2＋y2－3，
故曲线 E 的方程为 y2＝6x.
(2)设直线 AB 的方程为 my＝x－2，
2019届高考数学优化探究练习（含解析）基础很重要！
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高中数学严密的数学思维是很重要的，前提是大量的练习，尤其在高一高二。
但仅仅做题是不够的，做题也得讲战术。
遇到不会的题，很多同学会选择看答案，看答案也是有技巧的。
数学题看答案应该是看两次：第一次，弄懂怎样从上步得到下一步，这样做仅仅是只见树木，不见森林。
要见森林就需要第二次看答案，这第二次要站在一个高度上去看这道题是怎样入手，切入方式有没有什么特别之处，这是能够做到举一反三的重要条件。
遇到有价值的题最好记在错题本上，印象会深刻些。
就数学而言，考试时的发挥非常关键，细心就成为考数学的法宝。
当然考试时难免会遇到不会的题，这时要有良好的心理素质，不要烦躁，暂时跳过去，忘掉，等到做完还有时间再回头做。
切不可因一两道题就影响了后面。
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2019版同步优化探究文数(北师大版)练习第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业组——基础对点练．已知为双曲线：－＝(>)的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为( )．．解析：双曲线方程为－＝，焦点到一条渐近线的距离为.选.答案：．已知双曲线－＝(>)的离心率为，则＝( )．．解析：因为双曲线的方程为－＝，所以＝＋＝，因此＝，＝.选.答案：．双曲线－＝－的渐近线方程为( )．±＝．±＝．±＝．±＝解析：依题意，题中的双曲线即－＝，因此其渐近线方程是－＝，即±＝，选.答案：．已知双曲线－＝的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且满足＋＝，则△的面积为( )．解析：在双曲线－＝中，＝，＝，＝.不防设点在双曲线的右支上，则有－＝＝，又＋＝，∴＝＋，＝－.又＝＝，而＋＝，∴⊥，∴△＝××＝×(＋)×(－)＝.故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)，直线：＝－.若直线平行于双曲线的一条渐近线且经过的一个顶点，则双曲线的焦点到渐近线的距离为( )．．．解析：根据题意，双曲线的方程为－＝(>，>)，其焦点在轴上，渐近线方程为＝±，又由直线平行于双曲线的一条渐近线，可知＝，直线：＝－与轴的交点坐标为()，即双曲线的一个顶点坐标为()，即＝，则＝＝，故双曲线的焦点到渐近线的距离为，故选.答案：．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )．．解析：不妨设双曲线的方程为－＝(>，>)，因为焦点()到渐近线－＝的距离为，所以＝，即＝，所以＝，所以该双曲线的离心率＝＝＝，故选.答案：．已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为 ()，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝＝，又右焦点为()，＋＝，所以＝，＝，故双曲线的方程为－＝.答案：．已知双曲线－＝(>，>)的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线＋＝垂直，则双曲线的方程为( )．－＝－＝－＝－＝解析：由题意得＝，＝，则＝，＝，所以双曲线的方程为－＝.答案：．(·山西八校联考)已知双曲线：－＝(>，>)的左、右焦点分别为，，焦距为，直线＝(＋)与双曲线的一个交点满足∠＝∠，则双曲线的离心率为( )＋．＋解析：∵直线＝(＋)过左焦点，且其倾斜角为°，∴∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，即⊥.∴＝＝，＝°＝，由双曲线的定义得＝－＝－，∴双曲线的离心率＝＝＝＋，选.答案：．已知，是双曲线：－＝(>，>)的两个焦点，是双曲线上一点，若＋＝，且△最小内角的大小为°，则双曲线的渐近线方程是( )．±＝±＝．±＝．±＝解析：不妨设>，则(\\(－＝，＋＝，))所以＝，＝，且＝，即为最小边，即∠＝°，则△为直角三角形，所以＝，所以＝，即渐近线方程为＝±，故选.答案：．已知双曲线：－＝(>，>)的焦距为，点()在的一条渐近线上，则的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：依题意(\\(＋＝＝()×))，解得(\\(＝＝))，∴双曲线的方程为－＝.答案：。
2019版高考数学理高分计划一轮高分讲义：第8章 平面解
8．6 双曲线[知识梳理] 1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F 1F 2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0：(1)当a <c 时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当a ＝c 时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当a >c 时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质3．必记结论(1)焦点到渐近线的距离为b .(2)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫等轴双曲线，其方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)．(3)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． [诊断自测] 1．概念思辨(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )(2)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y n ＝0.( )(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) (4)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与y 2b 2－x 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－1P 53T 3)已知椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±36y B ．y ＝±36x C ．x ＝±22y D ．y ＝±22x答案 D解析 由椭圆x 28＋y 25＝1和双曲线x 2m －y 2＝1有公共的焦点，得m ＋1＝8－5.所以m ＝2，所以双曲线方程为x 22－y 2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选D.(2)(选修A1－1P 51例3)已知中心在原点，焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则此双曲线的离心率为________．答案5解析 因为焦点在y 轴的双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，所以ab＝12，即b ＝2a .由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋4a 2＝5a 2，即c2a 2＝5，所以e＝ca ＝ 5.3．小题热身(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3m答案 A解析 由题意知，双曲线的标准方程为x 23m －y 23＝1，其中a 2＝3m ，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝3m ＋3，不妨设F 为双曲线的右焦点，故F (3m ＋3，0)．其中一条渐近线的方程为y ＝1m x ，即x －my ＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3·m ＋1|1＋(－m )2＝3，故选A.(2)(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案 2解析 由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c . 因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－12(舍去)．题型1 双曲线的定义及应用典例1(2017·湖北武汉调研)若双曲线x 24－y 212＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则|PF |＋|P A |的最小值是( )A ．8B ．9C ．10D ．12利用双曲线定义得到|PF |＋|P A |＝2a ＋|PB |＋|P A |，再利用|P A |＋|PB |≥|AB |求出最小值．答案 B解析 由题意知，双曲线x 24－y 212＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知|PF |＋|P A |＝4＋|PB |＋|P A |≥4＋|AB |＝4＋(4－1)2＋(0－4)2＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．∴|PF |＋|P A |的最小值为9.故选B.典例2(2018·河北邯郸模拟)设动圆C 与两圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝4，C 2：(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，则动圆圆心C 的轨迹方程为________．根据圆与圆相切关系求动圆圆心到两个定圆圆心的距离之差，然后用定义法求解．答案 x 24－y 2＝1解析 设圆C 的圆心C 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题设知r ＞2，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ |CC 1|＝r ＋2，|CC 2|＝r －2或⎩⎪⎨⎪⎧|CC 1|＝r －2，|CC 2|＝r ＋2，∴||CC 1|－|CC 2||＝4＜25＝|C 1C 2|，即圆心C 的轨迹L 是以C 1，C 2为焦点，4为实轴长的双曲线，∴L 的方程为x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫422－y 2(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝1， 即x 24－y 2＝1. 方法技巧应用双曲线定义需注意的问题1.在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F 1F 2|，否则轨迹是线段或不存在．2.求双曲线方程时，注意用标准形式．冲关针对训练1．(2017·衡水模拟)已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P 的值等于( )A.45 B.74 C.54 D.7答案 A解析 由x 216－y 29＝1得a ＝4，b ＝3，c ＝5.结合双曲线定义及正弦定理得|sin A －sin B |sin P＝||P A |－|PB |||AB |＝2a 2c ＝45，故选A. 2．已知双曲线x 216－y 29＝1上有一点P ，F 1，F 2是双曲线的焦点，且∠F 1PF 2＝π3，则△PF 1F 2的面积为________．答案 9 3解析 由题意，得|F 1F 2|＝216＋9＝10.因为⎩⎨⎧||PF 1|－|PF 2||＝8，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3＝100，所以|PF 1|·|PF 2|＝36.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝9 3. 题型2 双曲线的标准方程及应用典例(2018·兰州检测)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1 本题采用方程法．答案 D解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意得⎩⎨⎧x 20＋y 20＝22，①2x 0·2y 0＝2b ，②y 0＝b2x 0，③由①③得x 20＝164＋b 2，④ 所以y 20＝b 24×164＋b 2＝4b 24＋b 2，⑤由②④⑤可得b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.[条件探究1] 若将典例中条件变为“以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)”，求双曲线的方程．解 因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43.又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x 29－y 216＝1.[条件探究2] 若将典例中变为“双曲线过点(2,1)，且双曲线与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点”，求双曲线的方程．解 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.方法技巧双曲线标准方程的求解方法1．定义法． 2．待定系数法．提醒：利用求待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1，有相同渐近线时可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．冲关针对训练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析 由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.故选A.2．(2018·福建漳州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点，△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，且P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，则双曲线的方程为________________．答案 x 2－y 24＝1解析 设点A (1,0)，因为△PF 1F 2的内切圆与x 轴切于点(1,0)，则|PF 1|－|PF 2|＝|AF 1|－|AF 2|，所以2a ＝(c ＋1)－(c －1)，则a ＝1.因为点P 与点F 1关于直线y ＝－bx a 对称，所以∠F 1PF 2＝π2，且|PF 1||PF 2|＝ba ＝b ，结合|PF 1|－|PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝4＋4b 2，可得b ＝2.所以双曲线的方程为x 2－y24＝1.题型3 双曲线的几何性质角度1 与双曲线有关的范围问题(多维探究)典例(2015·全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 根据已知MF 1→·MF 2→<0，列出y 0的不等式求解．答案 A解析 不妨令F 1为双曲线的左焦点，则F 2为右焦点，由题意可知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0)·(3－x 0)＋(－y 0)·(－y 0)＝x 20＋y 20－3.又知x 202－y 20＝1，∴x 20＝2＋2y 20，∴MF 1→·MF 2→＝3y 20－1<0.∴－33<y 0<33，故选A.[条件探究] 将本例中条件“MF 1→·MF 2→<0”改为“MF 1→·MF 2→＝0”，求△MF 1F 2的面积．解 由MF 1→·MF 2→＝0得MF 1⊥MF 2，知△MF 1F 2为直角三角形．设M 为双曲线右支上一点，则|MF 1|－|MF 2|＝22，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(|MF 1|－|MF 2|)2＋2|MF 1|·|MF 2|＝12，得|MF 1|·|MF 2|＝2，所以S △MF 1F 2＝12·|MF 1|·|MF 2|＝1. 角度2 与双曲线渐近线有关的问题典例(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．涉及曲线交点时，考虑用设而不求的方法．答案 y ＝±22x解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2. 又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ， ∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 角度3 与双曲线离心率有关的问题典例(2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2将等式sin ∠MF 2F 1＝13转化为关于a ，b ，c 的等式．答案 A解析 由MF 1⊥x 轴，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a .由sin ∠MF 2F 1＝13，可得cos ∠MF 2F 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，又tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 22ac ，∴b 22ac ＝13223，∴b 2＝22ac ，∵c 2＝a 2＋b 2⇒b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2－22ac ＝0⇒e 2－22e －1＝0，∴e ＝ 2.故选A.方法技巧与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略1．双曲线的离心率e ＝ca 是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.2．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2直接求e .(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．3．求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0.冲关针对训练1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2答案 D解析 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，不妨设点M 在第一象限内，则易得M (2a ，3a )，又M 点在双曲线E 上，于是(2a )2a 2－(3a )2b 2＝1，可得b 2＝a 2，∴e ＝1＋b 2a 2＝ 2.故选D.2．(2018·成都统考)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案 A解析 设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a .因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝14，所以b a ＝22.故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ， 即x ±2y ＝0.故选A.题型4 直线与双曲线的综合问题典例1以P (1,8)为中点作双曲线为y 2－4x 2＝4的一条弦AB ，求直线AB 的方程．本题采用“点差法”．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21－4x 21＝4，y 22－4x 22＝4，∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)，∵弦AB 的中点是P (1,8)，∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝16. ∴16(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)， ∴直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝12，∴直线AB 的方程为y －8＝12(x －1)， 即直线AB 的方程为x －2y ＋15＝0.典例2 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB→>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围． (2)直线与双曲线联立，用设而不求的方法，列出不等式，然后求解．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，于是a 2＋b 2＝22，b 2＝1，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2.由OA →·OB →>2，得x A x B ＋y A y B>2. x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，又∵k 2<1， ∴13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1.方法技巧直线y ＝kx ＋m 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的位置关系的分析：1．代数法⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 2b 2＝1，消去y ，得(b 2－a 2k 2)x 2－2kma 2x －a 2(m 2＋b 2)＝0.(1)二次项系数为0时，直线L ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝±b a 与双曲线的渐近线平行或重合．重合：无交点；平行：有一个交点．(2)二次项系数不为0时，上式为一元二次方程， Δ>0⇔直线与双曲线相交(两个交点)； Δ＝0⇔直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线相离．2．几何法：运用数形结合思想考查直线与渐近线的位置关系，转化为其斜率的大小关系．冲关针对训练若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解(1)由⎩⎨⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*)∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜ 2. 故k 的取值范围是{k |1＜k ＜2}． (2)由(*)得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，所以x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC→＝m (OA →＋OB →)， 得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.1.(2016·全国卷Ⅰ)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案 A解析 由题意可知：c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2，其中c 为半焦距，∴2c ＝2×2|m |＝4，∴|m |＝1，∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，∴－m 2<n <3m 2，∴－1<n <3.故选A.2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1答案 B解析 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24－y 25＝k (k >0)，即x 24k －y 25k ＝1，∵双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴4k ＋5k ＝12－3，解得k ＝1，故双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.解法二：∵椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，∴a 2＋b 2＝(±3)2＝9①，∵双曲线的一条渐近线为y ＝52x ，∴b a ＝52②，联立①②可解得a 2＝4，b 2＝5.∴双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.3．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝ab a 2＋b2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b 2＝32b ，∴a 2＝3b 2，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233.4．(2018·兰州诊断)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)一条渐近线的倾斜角为π3，离心率为e ，则a 2＋e b 的最小值为________．答案263解析 由题意，可得k ＝b a ＝tan π3＝ 3.∴b ＝3a ，则a 2＝b23，∴e ＝1＋b 2a 2＝2.∴a 2＋e b ＝b 23＋2b ＝b 3＋2b ≥2b 3×2b ＝263.当且仅当b 2＝6，a 2＝2时取“＝”．[重点保分 两级优选练]一、选择题1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝e ，则F 2P →·F 2F 1→的值为( )A ．3B ．2C ．－3D ．2答案 B解析 由题意及正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝4＋16－162×2×4＝14，∵F 2P →·F 2F 1→＝|F 2P →|·|F 2F 1→|cos ∠PF 2F 1＝2×4×14＝2.故选B.3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线的方程是( )A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1答案 D解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b2＝1.②①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∴1＝b 2a 2·－23－53，∴5a 2＝2b 2.又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，故选D.4．过双曲线x 2－y22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 C解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由⎩⎨⎧x ＝3，x 2－y 22＝1，得y ＝±2，∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0.当2－k 2≠0时，x 1＋x 2＝23k 2k 2－2，x 1x 2＝3k 2＋2k 2－2，|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23k 2k 2－22－12k 2＋8k 2－2 ＝1＋k 216(k 2＋1)(k 2－2)2＝4(1＋k 2)|k 2－2|＝4，解得k ＝±22，故这样的直线有3条．故选C.5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案 A解析 在椭圆中，a 1＝m ，c 1＝m 2－1，e 1＝m 2－1m .在双曲线中，a 2＝n ，c 2＝n 2＋1，e 2＝n 2＋1n .因为c 1＝c 2，所以n 2＝m 2－2.由n >0，m >1可得m >n ，且m 2－2>0.从而e 21·e 22＝(m 2－1)(n 2＋1)m 2·n 2＝(m 2－1)2m 2·(m 2－2)，则e 21e 22－1＝(m 2－1)2m 2(m 2－2)－1＝1m 2(m 2－2)>0，即e 1e 2>1.故选A.6．(2017·福建龙岩二模)已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若S △OMF 2＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝ba x 上，由题意可知|F 2M |＝bca 2＋b 2＝b ，所以|OM |＝c 2－b 2＝a .由S △OMF 2＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(2018·湖南十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线与直线x ＝a 2c 分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°＜∠AFB ＜90°，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，2)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案 B解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，－ab c ， ∵60°＜∠AFB ＜90°，∴33＜k FB ＜1，∴33＜abc c －a 2c ＜1，∴33＜a b ＜1，∴13＜a 2c 2－a2＜1，∴1＜e 2－1＜3，∴2＜e ＜2.故选B. 8．(2017·福建漳州八校联考)已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线的一个公共点，e 1，e 2分别是两曲线的离心率，若PF 1⊥PF 2，则4e 21＋e 22的最小值为( )A.52 B ．4 C.92 D ．9答案 C解析 由题意设焦距为2c ，令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，①由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，② 又∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③①2＋②2，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22，④ 将④代入③，得a 21＋a 22＝2c 2，∴4e 21＋e 22＝4c 2a 21＋c 2a 22＝4(a 21＋a 22)2a 21＋a 21＋a 222a 22＝52＋2a 22a 21＋a 212a 22≥52＋22a 22a 21·a 212a 22＝92，当且仅当2a 22a 21＝a 212a 22，即a 21＝2a 22时，取等号．故选C. 9．(2017·青州市模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10，记椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞ D ．(0，＋∞)答案 A解析 设椭圆和双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )， 由于△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若|PF 1|＝10， 即有m ＝10，n ＝2c ，由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a 1， 由双曲线的定义可得m －n ＝2a 2，即有a 1＝5＋c ，a 2＝5－c (c <5)，再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c ＋2c >10， 可得c >52，即有52<c <5.由离心率公式可得e 1·e 2＝c a 1·c a 2＝c 225－c 2＝125c 2－1，由于1<25c 2<4，则有125c 2－1>13.则e 1·e 2的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.故选A.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1答案 D解析 ∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝4b 2. ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ， ∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D. 二、填空题11．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．答案 10解析 依题意得，点F 1(－5,0)，F 2(5,0)分别为双曲线C 1的左、右焦点，因此有|PQ |－|PR |≤|(|PF 2|＋1)－(|PF 1|－1)|≤||PF 2|－|PF 1||＋2＝2×4＋2＝10，故|PQ |－|PR |的最大值是10.12．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP→)，则双曲线的离心率为________． 答案102解析 圆x 2＋y 2＝a 24的半径为a 2，由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝12|PF ′|⇒|PF ′|＝2|OE |＝a .由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2＋|F ′P |2＝|FF ′|2⇒9a 2＋a 2＝4c 2⇒e ＝102.13．(2018·安徽江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．答案 2解析 由题意取F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.14．(2018·贵州六校联考)我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是________．答案3解析 设椭圆的半长轴为a 1，椭圆的离心率为e 1， 则e 1＝c a 1，a 1＝ce 1.设双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ， e ＝c a ，a ＝ce .|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y (x >y >0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ， 当点P 看作是椭圆上的点时， 有4c 2＝(x ＋y )2－3xy ＝4a 21－3xy ，① 当点P 看作是双曲线上的点时， 有4c 2＝(x －y )2＋xy ＝4a 2＋xy ，②①②联立消去xy ，得4c 2＝a 21＋3a 2，即4c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫c e 2， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋3e 2＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3， 即双曲线的离心率为 3. 三、解答题15．已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA →·OB →的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)． (2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km1－k ，x 1x 2＝m 2＋2k －1，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k 2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0. 所以OA →·OB→>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，OA →·OB →取得最小值2. 16．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0， 解得－2<k <2且k ≠±1.即双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时， S △OAB ＝S △OAD －S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|) ＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时， S △OAB ＝S △ODA ＋S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|) ＝12|x 1－x 2|.所以S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，所以(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8， 解得k ＝0或k ＝±62，又因为－2<k <2，且k≠±1，所以当k＝0或k＝±62时，△AOB的面积为 2.。
2022届高考数学一轮复习第八章第七节双曲线课时作业理含解析北师大版202107011114
第七节 双曲线授课提示：对应学生用书第365页[A 组 基础保分练]1．“k <9”是“方程x 225－k ＋y2k －9＝1表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，所以（25－k ）（k －9）<0，所以k <9或k >25，所以“k <9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线过点（－2b ，a ），则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．2C ．3D ．62解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，则a ＝－b a ×（－2b ），得a 2＝2b 2，得e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝62．答案：D3．（2020·高考全国卷Ⅲ）设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝5，c 2＝a 2＋b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5a ，b ＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝25a ．∵△PF 1F 2中，F 1P ⊥F 2P ，∴|F 1P |2＋|F 2P |2＝|F 1F 2|2＝4c 2＝20a 2．不妨设P 在C 的右支上，则|F 1P |－|F 2P |＝2a ．∵△PF 1F 2的面积为4，∴12|F 1P ||F 2P |＝4，即|F 1P ||F 2P |＝8．∴（|F 1P |－|F 2P |）2＝|F1P |2＋|F 2P |2－2|F 1P ||F 2P |＝20a 2－2×8＝4a 2，解得a ＝1．答案：A4．已知双曲线x 24－y 2b2＝1（b ＞0）的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 5 B ．3 C ．5 D ．4 2解析：由题意知a 2＝4，4＋b 2＝32，故b ＝5，所以渐近线的方程为y ＝±52x ，则焦点到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪±3521＋54＝5．答案：A5．已知直线l 与双曲线C ：x 2－y 2＝2的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB 的中点在该双曲线上，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4 解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，设A （x 1，x 1），B （x 2，－x 2），所以AB中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1－x 22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 222＝2，即x 1x 2＝2，所以S △AOB＝12|OA |·|OB |＝12|2x 1|·|2x 2|＝|x 1x 2|＝2． 答案：C6．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝（ ）A ．32B ．3C ．2 3D ．4解析：因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±33x ，所以∠MON ＝60°．不妨设过点F 的直线与直线y ＝33x 交于点M ，由△OMN 为直角三角形，不妨设∠OMN ＝90°，则∠MFO ＝60°．又直线MN 过点F （2，0），所以直线MN 的方程为y ＝－3（x －2）．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3（x －2），y ＝33x ，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32， 所以M ⎝⎛⎭⎫32，32，所以|OM |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，所以|MN |＝3|OM |＝3． 答案：B7．（2021·某某调研）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x ＋2y ＝0垂直，则双曲线C 的离心率为_________．解析：易知直线x ＋2y ＝0的斜率为－12，所以双曲线的一条渐近线的斜率为2，即ba ＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5．答案： 58．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为_________．解析：由题设易知A 1（－a ，0），A 2（a ，0），B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a ．∵A 1B ⊥A 2C ，∴b 2a c ＋a ·－b 2a c －a＝－1，整理得a ＝b ． ∵渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±x ，∴渐近线的斜率为±1． 答案：±19．（2021·某某模拟）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4， 所以a 2＝b 2＝2，所以双曲线方程为x 22－y 22＝1．（2）设点A 的坐标为（x 0，y 0），所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·（－3）＝－1，所以x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，12c ，代入双曲线方程得34c 2a 2－14c 2b2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2．② 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得 34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， 所以3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0， 所以（3e 2－2）（e 2－2）＝0， 因为e ＞1，所以e ＝2， 所以双曲线的离心率为2．[B 组 能力提升练]1．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）上一点M （－3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．x 25－y 220＝1B ．x 220－y 25＝1C ．x 25－y 225＝1D ．x 225－y 220＝1解析：点M （－3，4）与双曲线的右焦点F 2（c ，0）关于渐近线y ＝bax 对称，则⎩⎪⎨⎪⎧4－3－c ·ba ＝－1，2＝b a ·c －32，得c ＝5，b a ＝2，所以b 2＝25－a 2＝4a 2，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1．答案：A2．如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±23xB ．y ＝±22xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x解析：由题意可设|AB |＝3k ，则|BF 1|＝4k ，|AF 1|＝5k ，则易得BF 1⊥BF 2，由双曲线的定义可知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，则可得|AF 2|＝5k －2a ，|BF 2|＝8k －2a ，再根据双曲线的定义得|BF 2|－|BF 1|＝2a ，得k ＝a ，则|BF 1|＝4a ，|BF 2|＝6a ．又|F 1F 2|＝2c ，所以在直角三角形BF 1F 2中，16a 2＋36a 2＝4c 2＝4（a 2＋b 2），则ba＝23，双曲线的渐近线方程为y ＝±23x ．答案：A3．（2021·某某模拟）已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F ，点A ，B 是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于M ，N 两点，若|MN |＝2，△ABF 的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x解析：设双曲线的另一个焦点为F ′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF ′是矩形， 所以S △ABF ＝S △ABF ′， 即bc ＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2－y 2b2＝1，可得y ＝±b 2c，则|MN |＝2b 2c ＝2，即b 2＝c ，所以b ＝2，c ＝4， 所以a ＝c 2－b 2＝23，所以C 的渐近线方程为y ＝±33x ．答案：B4．（2021·某某模拟）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （5，0）作斜率为k （k＜－1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若S △BOF＝53（O 为坐标原点），则k 的值为（ ） A ．－ 2 B ．－2 C ．－ 3 D ．－ 5解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y ＝－1kx ，过第二象限的渐近线的方程为y＝1k x ，直线FB 的方程为y ＝k （x －5），联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －5），y ＝1k x⇒x ＝5k 2k 2－1，所以y ＝5k k 2－1，所以S △BOF ＝12|OF |×|y B |＝12×5×⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k k 2－1＝52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1．令52⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2－1＝53，得k ＝－2或k ＝12（舍）． 答案：B5．已知点F 2为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，直线y ＝kx 交C 于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝2π3，S △AF 2B ＝23，则C 的虚轴长为_________．解析：设双曲线C 的左焦点为F 1，连接AF 1，BF 1（图略），由对称性可知四边形AF 1BF 2是平行四边形，所以S △AF 1B ＝23，∠F 1AF 2＝π3．设|AF 1|＝r 1，|AF 2|＝r 2，则4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3．又|r 1－r 2|＝2a ，所以r 1r 2＝4b 2．又S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＝12r 1r 2sin π3＝23，所以b 2＝2，则该双曲线的虚轴长为22． 答案：2 26．已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线M 交于A ，B 两点，与双曲线M 的两条渐近线交于C ，D 两点．若|AB |＝35|CD |，则双曲线M 的离心率是_________．解析：设双曲线的右焦点为F （c ，0），易知，|AB |＝2b 2a ．该双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，当x ＝c 时，y ＝±bc a ，所以|CD |＝2bc a ．由|AB |＝35|CD |，得2b 2a ＝35×2bc a ，即b ＝35c ，所以a ＝c 2－b 2＝45c ，所以e ＝c a ＝54． 答案：54[C 组 创新应用练]1．（2021·某某四校联考）P 是双曲线C ：x 22－y 2＝1右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线．P 在l 上的射影为Q ，F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋|PQ |的最小值为（ ）A ．1B ．2＋155C ．4＋155D ．22＋1解析：设双曲线的右焦点为F 2，连接PF 2（图略），因为|PF 1|－|PF 2|＝22，所以|PF 1|＝22＋|PF 2|，|PF 1|＋|PQ |＝22＋|PF 2|＋|PQ |，当且仅当Q ，P ，F 2三点共线，且P 在Q ，F 2之间时，|PF 2|＋|PQ |最小，且最小值为点F 2到直线l 的距离．由题意可得直线l 的方程为y ＝±22x ，焦点F 2（3，0），点F 2到直线l 的距离d ＝1，故|PQ |＋|PF 1|的最小值为22＋1． 答案：D2．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线C 的左、右两支分别于点Q ，P ．若|FQ |＝t |QP |，则实数t 的取值X 围是（ ）A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23－36B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23－36，1 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，23－36 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤23＋36，2解析：由条件知F （－2，0）．设P （x 0，y 0），Q （x 1，y 1），则FQ →＝（x 1＋2，y 1），QP →＝（x 0－x 1，y 0－y 1），则（x 1＋2，y 1）＝t （x 0－x 1，y 0－y 1），所以x 1＝tx 0－21＋t ，y 1＝ty 01＋t．因为点P （x 0，y 0），Q （x 1，y 1）都在双曲线C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20－3y 20＝3，（tx 0－2）2－3（ty 0）2＝3（1＋t ）2，消去y 0，得x 0＝1－6t 4t ．易知x 0≥3，所以1－6t 4t ≥3，易知t ＞0，所以0＜t ≤23－36，即实数t 的取值X围是⎝⎛⎦⎥⎤0，23－36．答案：A3．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA |＝10，|OB |＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．65B ．54C ．32D ．52解析：设|MB |＝t ，则由题意，可得|MO |＝12－t ，|MA |＝8－t ，有|MO |－|MA |＝4＜|AO |＝10，由双曲线的定义可得动点M 的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c ＝10，实轴长2a ＝4，即c ＝5，a ＝2，所以e ＝c a ＝52．答案：D。
2019版同步优化探究文数练习：第八章 第七节 双曲线 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3B ．3C.3mD ．3m 解析：双曲线方程为x23m －y23＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为3.选A.答案：A2．已知双曲线x2a2－y23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B.62C.52D ．1 解析：因为双曲线的方程为x2a2－y23＝1，所以e 2＝1＋3a2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.答案：D3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( )A ．x ±2y ＝0B ．y ±2x ＝0C ．x ±4y ＝0D ．y ±4x ＝0解析：依题意，题中的双曲线即y214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y214－x 2＝0，即x ±2y ＝0，选A.答案：A4．已知双曲线x23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1B.3C.5D.12解析：在双曲线x23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.答案：A5．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( )A ．1B ．2 C.5D ．4解析：根据题意，双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程为y ＝±ba x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知ba＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴的交点坐标为(1,0)，即双曲线C的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B.答案：B6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( )A.5＋12B ．2C.2D ．22 解析：不妨设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为a ，所以bca2＋b2＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca ＝ 错误!＝错误!，故选C.答案：C7．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1 D.x23－y24＝1解析：由题意得e ＝1＋b2a2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x216－y29＝1.答案：C8．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x220－3y25＝1 D.3x25－3y220＝1解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x24－y 2＝1.答案：A9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A.2B.3C ．23＋1D.3＋1解析：∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝c3c －c 2＝3＋1，选D.答案：D10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．2x ±y ＝0D ．x ±2y ＝0解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF1|－|PF2|＝2a ，|PF1|＋|PF2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.答案：A11．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为( )A.x220－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1 D.x220－y280＝1解析：依题意⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝251＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝20b2＝5，∴双曲线C 的方程为x220－y25＝1.答案：A12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝12x 的下方．设该双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，所以错误!，解得错误!故双曲线方程为错误!－y 2＝1.法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x24－y 2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为x24－y 2＝1.答案：x24－y 2＝113．双曲线Γ：y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝abx ，即ax －by ＝0的距离为|5b|a2＋b2＝5bc＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.答案：814．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________．解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝5，ba＝2，∴a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线C 的方程为x 2－y24＝1.答案：x 2－y24＝115．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin∠PF 1F 2＝13，则该双曲线的离心率为________．解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝13，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－2e －9＝0，又e >1，解得e ＝97.答案：97B 组——能力提升练1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：∵2|PF1→＋PF2→|≤|F1F2→|⇒4|OP →|≤2c ⇒|OP →|≤c2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c2，即c ≥2a ，∴e ＝ca≥2.故选D.答案：D2．若实数k 满足0<k <9，则曲线x225－y29－k ＝1与曲线x225－k －y29＝1的( )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等． 答案：D3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2－y215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C.答案：C4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x22－y24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C 的左、右焦点，若PF1→·PF2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( )A.233B.2C ．2 D.263解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF1→·PF2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C. 答案：C5．已知双曲线x24－y2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1 D.x24－y212＝1解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A ＝2b 4＋b2，故四边形ABCD的面积为4x A y A ＝32b4＋b2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x24－y212＝1，选D.答案：D6．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x216－y29＝1B.x23－y24＝1C.x29－y216＝1D.x24－y23＝1解析：因为以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，所以c ＝5，b a ＝43，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3，b ＝4，所以此双曲线的方程为x29－y216＝1.答案：C7．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FB→＝2FA →，则此双曲线的离心率为( )A.2 B.3 C ．2D.5解析：不妨设B (x ，－bax )，|OB |＝错误!＝c ，可取B (－a ，b )，由题意可知点A 为BF 的中点，所以A (错误!，b2)，又点A 在直线y ＝b a x 上，则b a ·c －a 2＝b2，c ＝2a ，e ＝2.答案：C8．若直线l 1和直线l 2相交于一点，将直线l 1绕该点逆时针旋转到与l 2第一次重合时所转的角为θ，则角θ就称为l 1到l 2的角，tanθ＝k2－k11＋k1k2，其中k 1，k 2分别是l1，l 2的斜率，已知双曲线E ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，A 是右顶点，P 是直线x ＝a2c上的一点，e 是双曲线的离心率，直线P A 到PF 的角为θ，则tan θ的最大值为( )A.1eB.e 1＋eC.e21＋eD.e 2解析：设P A ，PF 的斜率分别为k 3，k 4，由题意可知tan θ＝k4－k31＋k3k4，不妨设P (a2c ，y )(y >0)，则k 3＝ya2c－a ，k 4＝ya2c －c .令m ＝a2c －a ，n ＝a2c －c ，则tan θ＝yn －ym 1＋y n ×y m ＝m －n mn y＋y ，由m －n ＝c －a >0，得当mny ＋y 取得最小值时tan θ取最大值，又y >0，m <0，n <0，所以mny＋y ≥2mn ，当且仅当y ＝mn 时等号成立，此时tanθ＝m －n 2mn＝错误!＝错误!，故选C.答案：C9．(2018·淄博模拟)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线交双曲线的右支于点P ，切点为T ，PF 1的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是( )A ．b －a ＝|MO |－|MT |B ．b －a >|MO |－|MT |C ．b －a <|MO |－|MT |D ．b －a ＝|MO |＋|MT |连接OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝|OF1|2－|OT|2解析：如图，PF 2，＝b ，连接F 1P 的中点，O 为F 1F 2的中点，∵M 为线段∴|OM |＝12|PF 2|，∴|MO |－|MT |＝12|PF 2|－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF1|－|F1T|＝12(|PF 2|－|PF 1|)＋b ＝12×(－2a )＋b ＝b －a ，故选A.答案：A10．(2018·昆明市检测)已知点F 为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，以点F 为圆心的圆与C的渐近线相切，且与C 交于A ，B 两点，若AF⊥x 轴，则C 的离心率为________．解析：不妨设F 为双曲线的右焦点，则F (c,0)，易知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，则双曲线的焦点F 到渐近线的距离d ＝bca2＋b2＝b ，所以圆F 的半径为b .在双曲线方程中，令x ＝c ，得y ＝±b2a ，所以A (c ，±b2a )．因为点A 在圆F 上，所以b2a＝b ，即a ＝b ，所以c ＝a2＋b2＝2a ，所以e ＝ca＝2.答案：211．双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)上一点M (－3,4)关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F 2，则该双曲线的标准方程为______________．解析：不妨设双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F 2(c,0)关于渐近线y ＝bax 对称的点在双曲线上，则过焦点F 2且垂直于该渐近线的直线方程为y －0＝－ab (x －c )，即y ＝－ab(x －c )．联立可得方程组错误!解得错误!由中点坐标公式可得F 2关于渐近线对称的点的坐标为(2a2c －c ，2abc)，将其代入双曲线的方程可得错误!－错误!＝1，化简可得c 2＝5a 2，c 2＝a 2＋b 2＝5a 2，所以b 2＝4a 2.因为M (－3,4)在双曲线x2a2－y2b2＝1上，所以9a2－16b2＝1，9a2－164a2＝1，所以a 2＝5，b 2＝20，则该双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案：x25－y220＝112．设双曲线x 2－y23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是______．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13．(2018·沈阳质量监测)已知P 是双曲线x23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是________．解析：设P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x 3＋y ＝0，所以可取|P A |＝|x03－y0|13＋1，|PB |＝|x03＋y0|13＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos ∠APB ＝|x203－y20|43·(－12)＝34×(－12)＝－38. 答案：－38。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第八章 第六节 抛物线含答案解析
课时作业 A 组——基础对点练1．(2017·沈阳质量监测)抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A ．(0，a ) B ．(a,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0 解析：将y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程得x 2＝14a y (a ≠0)，所以焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a ，所以选C.答案：C2．(2017·辽宁五校联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2 B.12 C.32D.52解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，所以x 1＋x 2＝3，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝32.答案：C3．(2017·邯郸质检)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝(x 1＋12)＋(x 2＋12)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.选C.答案：C4．已知直线l ：y ＝kx －k 与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k 等于( ) A ．±33 B ．±1 C ．±3D ．±2解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点，如图．过M 作MM ′⊥准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定相等，由2FM →＝义，得|MM ′|＝|MF |，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角MN →，得cos ∠M ′MN ＝|MM ′||MN |＝12，则tan ∠M ′MN ＝±3，∴直线l的斜率k ＝±3，故选C. 答案：C5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．25－1 B ．25－2 C.17－1D.17－2解析：由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心A (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF |－r ＝1＋16－1＝17－1.选C. 答案：C6．(2017·沈阳质量监测)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作P A ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝ .解析：设l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233，设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，从而|PF |＝|P A |＝y 0＋1＝43. 答案：437．(2017·云南检测)已知抛物线C 的方程为y 2＝2px (p ＞0)，⊙M 的方程为x 2＋y 2＋8x ＋12＝0，如果抛物线C 的准线与⊙M 相切，那么p 的值为 ．解析：将⊙M 的方程化为标准方程：(x ＋4)2＋y 2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r ＝2，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴|4－p2|＝2，解得p ＝12或4. 答案：12或48.如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是 ．解析：分别过点A 、B 作准线的垂线AE 、BD ，分别交准线于点E 、D (图略)，则|BF |＝|BD |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BD |，∴∠BCD ＝30°，又|AE |＝|AF |＝3，∴|AC |＝6，即点F 是AC 的中点，根据题意得p ＝32，∴抛物线的方程是y 2＝3x . 答案：y 2＝3x9．已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F ，圆W ：(x ＋p )2＋y 2＝p 2的圆心到过点F 的直线l 的距离为p .(1)求直线l 的斜率；(2)若直线l 与抛物线交于A 、B 两点，△WAB 的面积为8，求抛物线的方程．解析：(1)易知抛物线y 2＝4px (p ＞0)的焦点为F (p,0)，依题意直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋p ，因为W (－p,0)， 所以点W 到直线l 的距离为|－p －p |1＋(－m )2＝p ，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率为±33. (2)由(1)知直线l 的方程为x ＝±3y ＋p ，由于两条直线关于x 轴对称，不妨取x ＝3y ＋p ， 联立⎩⎨⎧x ＝3y ＋p ，y 2＝4px ，消去x 得y 2－43py －4p 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝43p ，y 1y 2＝－4p 2， 所以|AB |＝1＋(3)2·(43p )2＋4×4p 2＝16p ， 因为△WAB 的面积为8，所以12p ×16p ＝8，得p ＝1， 所以抛物线的方程为y 2＝4x .10．(2017·合肥质检)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B . (1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解析：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，半径为|OA |2＝52，∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.(2)记A (x 1，x 212p )，B (x 2，x 222p )．则OB →＝(x 2，x 222p )，AB →＝(x 2－x 1，x 22－x 212p )． 由OB →·AB →＝0知，x 2(x 2－x 1)＋x 22(x 22－x 21)4p 2＝0.∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 22＋x 1·x 2＝－4p 2，∴x 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4p 2x 2. ∴x 21＝x 22＋16p 4x 22＋8p 2≥216p 4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 22＝16p 4x 22，即x 22＝4p 2时取等号．又|OA |2＝x 21＋x 414p 2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2， ∴|OA |2≥14p 2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2.而S ＝π·|OA |24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 22＝4p 2时取得．B 组——能力提升练1．已知抛物线C ：y 2＝mx (m >0)的焦点为F ，点A (0，－3)．若射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且|FM |∶|MD |＝1∶2，则点M 的纵坐标为( ) A ．－13 B ．－33 C ．－23D ．－233解析：依题意，F 点的坐标为(m4，0)，设点M 在准线上的射影为K ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MD |＝1∶2，所以|KD |∶|KM |＝3∶1，k FD ＝3，k FD ＝0＋3m 4－0＝43m ，所以43m ＝3，解得m ＝4，所以直线FM 的方程为y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3(舍去)或x ＝13，所以y 2＝43，y ＝－233或y ＝233(舍去)，故点M 的坐标为(13，－233)，故选D.答案：D2．(2018·石家庄质检)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85x B ．y 2＝165x C ．y 2＝325xD ．y 2＝645x解析：由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx (k >0)，圆心C 1(0,2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－(455)2＝255，解得k ＝2(k ＝－2舍去)．由⎩⎨⎧y ＝2x x 2＋(y －2)2＝4，可取A (0,0)，B (85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p ·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，故选C. 答案：C3．已知点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1上，则|PQ |的最小值为( ) A.352－1 B.332－1 C ．23－1D.10－1解析：设点P (y 2，y )(y ∈R)，圆(x ＋12)2＋(y －4)2＝1的圆心为A (－12，4)，则|P A |2＝(y 2＋12)2＋(y －4)2＝y 4＋2y 2－8y ＋654，令t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654，则t ′＝4y 3＋4y －8，令m ＝t ′＝4y 3＋4y －8，则m ′＝12y 2＋4>0，所以m ＝t ′＝4y 3＋4y －8在R 上是增函数，因为t ′|y ＝1＝0，所以y ＝1为t ＝y 4＋2y 2－8y ＋654的极小值点也是最小值点，所以|P A |2＝t 的最小值为454，所以|P A |的最小值为352，所以|PQ |的最小值为352－1，故选A. 答案：A4．(2018·山西八校联考)已知抛物线y 2＝4x 的准线与x 轴相交于点P ，过点P 且斜率为k (k >0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，F 为抛物线的焦点，若|FB |＝2|F A |，则AB 的长度为 ．解析：依题意知P (－1,0)，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由|FB |＝2|F A |，得x 2＋1＝2(x 1＋1)，即x 2＝2x 1＋1 ①，∵P (－1,0)，则AB 的方程为y ＝kx ＋k ，与y 2＝4x 联立，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，则Δ＝(2k 2－4)2－4k 4>0，即k 2<1，x 1x 2＝1 ②，由①②得x 1＝12，则A (12，2)， ∴k ＝2－012－(－1)＝223.∴x 1＋x 2＝52， |AB |＝(1＋89)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝172.答案：1725．(2018·昆明市检测)设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点A ，直线F A 恰与曲线y ＝k x (k >0)相切于点A ，F A 交C 的准线于点B ，则|F A ||BA |等于 ． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝kx，解得⎩⎨⎧x ＝k32pk ，y ＝32pk .由y ＝k x ，得y ′＝－k x 2，所以k F A ＝32pkk32pk －p 2＝－kk 234p 2k 2，化简得k ＝p 242，所以x ＝k 32pk＝p 4， |F A ||AB |＝|x F －x A ||x A －x B |＝p 2－p 4p 4－(－p 2)＝13.答案：136．(2017·唐山统考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过点C (－2,0)的直线l 交抛物线于A 、B 两点，坐标原点为O ，OA →·OB →＝12. (1)求抛物线的方程；(2)当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程． 解析：(1)设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy ＋4p ＝0.(*) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则x 1x 2＝y 21y 224p 2＝4.因为OA →·OB →＝12，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . (2)(1)中(*)式可化为y 2－4my ＋8＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝8. 设AB 的中点为M ，则|AB |＝2x M ＝x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝4m 2－4，① 又|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝(1＋m 2)(16m 2－32)，②由①②得(1＋m 2)(16m 2－32)＝(4m 2－4)2， 解得m 2＝3，m ＝±3.所以，直线l 的方程为x ＋3y ＋2＝0或x －3y ＋2＝0. 7.如图，由部分抛物线：y 2＝mx ＋1(m ＞0，x ≥0)和半圆x 2＋y 2＝r 2(x ≤0)所组成的曲线称为“黄金抛物线C ”，若“黄金抛物线C ”经过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. (1)求“黄金抛物线C ”的方程；(2)设P (0,1)和Q (0，－1)，过点P 作直线l 与“黄金抛物线C ”相交于A ，P ，B 三点，问是否存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析：(1)∵“黄金抛物线C ”过点(3,2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1,4＝3m ＋1，∴m ＝1.∴“黄金抛物线C ”的方程为y 2＝x ＋1(x ≥0)和x 2＋y 2＝1(x ≤0)．(2)假设存在这样的直线l ，使得QP 平分∠AQB ，显然直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l ：y ＝kx ＋1，联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1y 2＝x ＋1，消去y ，得k 2x 2＋(2k －1)x ＝0，∴x B ＝1－2kk 2，y B ＝1－k k ，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2k k 2，1－k k ，∴k BQ ＝k 1－2k ， 联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋1x 2＋y 2＝1，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋2kx ＝0，∴x A ＝－2kk 2＋1，y A ＝1－k 2k 2＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋1，1－k 2k 2＋1，∴k AQ ＝－1k ， ∵QP 平分∠AQB ，∴k AQ ＋k BQ ＝0， ∴k 1－2k －1k＝0，解得k ＝－1±2， 由图形可得k ＝－1－2应舍去，∴k ＝2－1，∴存在直线l：y＝(2－1)x＋1，使得QP平分∠AQB.。
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所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，且|F1F2|＝2c，即|PF2|为最小边，即∠PF1F2＝30°，则△PF1F2 为直角 三角形，所以 2c＝2 3a，所以 b＝ 2a，即渐近线方程为 y＝± 2x，故选 A.
答案：A x2 y2 11．已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的一条渐近线上，则 C 的 a b 方程为( A. x2 y2 － ＝1 20 5 ) x2 y2 B. － ＝1 5 20 D. a2＋b2＝25 解析：依题意 1＝b×2 a ∴双曲线 C 的方程为 答案：A 1 12 ． 已 知 双 曲 线 过 点 (4 ， 3 ) ， 且 渐 近 线 方 程 为 y ＝ ± x ， 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 2 为 ． 1 1 解析： 法一： 因为双曲线过点(4， 3)且渐近线方程为 y＝± x， 故点(4， 3)在直线 y＝ x 的下方． 设 2 2 42 32 － 2 ＝1， a2 b 2 2 x y 该双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，所以 b 1 a b ＝ ， a 2 x2 线方程为 －y2＝1. 4 1 x2 法二：因为双曲线的渐近线方程为 y＝± x，故可设双曲线为 －y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4， 2 4 42 x2 3)，所以 －( 3)2＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 －y2＝1. 4 4 x2 答案： －y2＝1 4 y2 x2 13．双曲线 Γ ： 2－ 2 ＝ 1(a>0 ， b>0)的焦距为 10 ，焦点到渐近线的距离为 3 ，则 Γ 的实轴长等 a b 于 ． |5b| a 5b 解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y＝ x，即 ax－by＝0 的距离为 2 2＝ ＝b＝3，所以 a b c a ＋b ＝4,2a＝8. a＝2， b＝1， ，解得 a2＝20 b2＝5 x2 y2 － ＝1 20 80
1 ∴∠F2PF1＝90°，即 F1P⊥F2P.∴|PF2|＝ |F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝ 3c，由双曲线的定义 2 c c 得 2a＝|PF1|－|PF2|＝ 3c－c，∴双曲线 C 的离心率 e＝ ＝ 3c－c＝ 3＋1，选 D. a 2 答案：D x2 y2 10．已知 F1，F2 是双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P 是双曲线 C 上一点，若|PF1| a b ＋|PF2|＝6a，且△PF1F2 最小内角的大小为 30°，则双曲线 C 的渐近线方程是( A. 2x±y＝0 C．2x±y＝0 解析：不妨设|PF1|>|PF2|，则 B．x± 2y＝0 D．x±2y＝0 |PF1|－|PF2|＝2a， |PF1|＋|PF2|＝6a， )
x2 解析：在双曲线 －y2＝1 中，a＝ 3，b＝1，c＝2.不防设 P 点在双曲线的右支上，则有|PF1|－ 3 |PF2|＝2a＝2 3， |PF2|＝ 5－ 3.又|F1F2|＝2c＝4， 又|PF1|＋|PF2|＝2 5， ∴|PF1|＝ 5＋ 3， 而|PF1|2 1 1 ＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S△PF1F2＝ ×|PF1|×|PF2|＝ ×( 5＋ 3)×( 5－ 3)＝1.故选 2 2
b 1 x2 解析：由题意得 c＝ 5， ＝ ，则 a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为 －y2＝1. a 2 4 答案：A x2 y2 9．(2018·山西八校联考)已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距 a b 为 2c，直线 y＝ 为( A. 2 C．2 3＋1 解析：∵直线 y＝ ) B. 3 D. 3＋1 3 (x＋c)过左焦点 F1，且其倾斜角为 30°，∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°， 3 3 (x＋c)与双曲线的一个交点 P 满足∠PF2F1＝2∠PF1F2，则双曲线的离心率 e 3
课时作业 A 组——基础对点练 1． 已知 F 为双曲线 C： x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点， 则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为( A. 3 C. 3m B．3 D．3m )
x2 y2 解析：双曲线方程为 － ＝1，焦点 F 到一条渐近线的距离为 3.选 A. 3m 3 答案：A x2 y2 2．已知双曲线 2－ ＝1(a>0)的离心率为 2，则 a＝( a 3 A．2 C. 5 2 B. 6 2 D．1 )
x2 y2 － ＝1. 16 9
答案：C x2 y2 8．已知双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的焦距为 2 5，且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 垂 a b 直，则双曲线的方程为( x2 A. －y2＝1 4 3x2 3y2 C. － ＝1 20 5 ) y2 B．x2－ ＝1 4 D. 3x2 3y2 － ＝1 5 20
A. 答案：A x2 y2 5．已知双曲线 C： 2－ 2＝1(a>0，b>0)，直线 l：y＝2x－2.若直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐 a b 近线且经过 C 的一个顶点，则双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 ( A．1 C. 5 B．2 D．4 )
x2 y2 解析：根据题意，双曲线 C 的方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，其焦点在 x 轴上，渐近线方程为 y a b b b ＝± x，又由直线 l 平行于双曲线 C 的一条渐近线，可知 ＝2，直线 l：y＝2x－2 与 x 轴的交点 a a 坐标为(1,0)，即双曲线 C 的一个顶点坐标为(1,0)，即 a＝1，则 b＝2a＝2，故双曲线 C 的焦点到 渐近线的距离为 2，故选 B. 答案：B 6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为 ( A. 5＋1 2 B．2 D．2 2 )
x2 y2 3 解析：因为双曲线的方程为 2－ ＝1，所以 e2＝1＋ 2＝4，因此 a2＝1，a＝1.选 D. a 3 a 答案：D 3．双曲线 x2－4y2＝－1 的渐近线方程为( A．x±2y＝0 C．x±4y＝0 ) B．y±2x＝0 D．y±4x＝0
y2 y2 2 解析：依题意，题中的双曲线即 1 －x ＝1，因此其渐近线方程是 1 －x2＝0，即 x±2y＝0，选 A. 4 4 答案：A x2 4．已知双曲线 －y2＝1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝ 3 2 5，则△PF1F2 的面积为( A．1 C. 5 ) B. 3 D. 1 2
C. 2
x2 y2 解析：不妨设双曲线的方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，因为焦点 F(c,0)到渐近线 bx－ay＝0 的距离 a b 为 a，所以 故选 C. 答案：C x2 y2 5 7．已知双曲线 C： 2－ 2＝1 的离心率 e＝ ，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为( a b 4 x2 y2 A. － ＝1 4 3 x2 y2 C. － ＝1 16 9 解析：由题意得 e＝ 曲线 C 的方程为 x2 y2 B. － ＝1 9 16 x2 y2 D. － ＝1 3 4 b2 5 1＋ 2＝ ，又右焦点为 F2(5,0)，a2＋b2＝c2，所以 a2＝16，b2＝9，故双 a 4 ) bc bc b c ＝a，即 ＝a，所以 ＝1，所以该双曲线的离心率 e＝ ＝ 2 2 c a a a ＋b b 1＋ 2＝ 2， a