高三数学统练一

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2024届北京市第十二中学高三下学期统练(一)数学试题

2024届北京市第十二中学高三下学期统练（一）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)2．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）．A B C D 4．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（）A ．120B ．80C ．60D ．405．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（）A ．54B ．43C ．32D ．26．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．927．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（）A ．2B ．233C ．73D ．2139．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（）A ．12B ．122C 162D ．16310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（） A ．22y x =±B ．3y x =C ．y x =±D ．2y x =11．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京一零一高三(上)统练一数学试题及答案

2024北京一零一高三（上）统练一数学一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x x B =∈<=R 则A B ⋂=（）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D. {}2,3,42. 若0a b，且0b >，则（）A. 22ab a b <<B. 22a b ab <<−C. 22b ab a <−<D. 22a ab b <−<3. 在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为1,22⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是A. 12⎫⎪⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭C. 21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 12⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭4. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.7295. 若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 若两个正实数,x y 满足121y x+=，若至少存在一组,x y 使得226x m m y +≤−−成立，则实数m 的取值范围是（） A. {|42}m m −≤≤−B. {|42}m m −<<−C. {3}−D. ∅7. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当 []2,0x ∈− 时，()f x 的解析式为（）A. 4x +B. 2x −C. 31x −+D. 21x ++8. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C 点的高度，小王在场馆内的,A B 两点测得C 的仰角分别为45,30,60AB =（单位：m ），且30AOB ∠=，则大跳台最高高度OC =（）A. 45mB.C. 60mD.9. 若函数()1,00,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知(){}|0M f αα==,(){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ−<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x −=−与()2x g x x ae =−互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为 A. 214(,e e ⎤⎥⎦B. 214,e e ⎛⎤⎥⎦⎝C. 242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣D. 3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣二、填空题共5小题.11. 已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______． 12. 已知二项式(2)n x a −的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中3x 项的系数为20，则实数a 的值为__________.13. 设D 为ABC 内一点，且2155CD CA CB =+，则ACD 与BCD △的面积比为__________. 14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q 的值为1a =_______，q =_______．15. 已知正项数列{}n a 满足11a =，2111n n n na ana ++=+，则在下列四个结论中，①212a=；②{}n a 是递增数列；③111n n a a n +−>+；④1111nn k a k+=<+∑.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知{a n }是等差数列，满足13a =，412a =，数列{b n }满足14b =，420b =，且{}n n b a −是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和.17. 已知函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=−，其中π2ϕ<，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使()f x 存在，并完成下列两个问题．（1）求ϕ的值；（2）若0m >，函数()f x 在区间[]0,m 上最小值为12−，求实数m 的取值范围．条件①：对任意的x ∈R ，都有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立；条件②：π142f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；条件③：ππ236f f ⎛⎫⎛⎫−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18. 在△ABCcos A A +b =2,a =222b ac >+.求：（1）tan 2A 的值；（2）c 和面积S 的值．19. 某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则m 的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）20. 设函数f x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.（1）求a 的值；（2）求证：方程()2f x =仅有一个实根；（3）对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围. 21. 定义()1212231,,,n n n a a a a a a a a a τ−=−+−++−为有限项数列{}n a 的波动强度.（1）当(1)nn a =−时，求12100(,,,)a a a τ；（2）若数列a b c d ,,,满足()()0a b b c −−>，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（3）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列参考答案一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】B【分析】由题意可得{A x x =∈−<<R ，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知，2{10}{A x x x x =∈<=∈<<R R ，又{2,3,4,5}B =，所以{2,3}A B =.故选：B 2. 【答案】C【分析】根据不等式的性质可得22a b <，排除ABD ，再根据不等式性质判断C 即可. 【详解】对ABD ，因为0a b，故b a <−，又0b >，故0b a <<−，故()2220b a a <<−=，即22b a <，故ABD 错误；对C ，()20b ab b a b +=+<，故2b ab <−，又()2a ab a a b +=+，因为0a b，且0b >，故0a <，故()0a a b +>，即2ab a −<，则22b ab a <−<，故C 正确；故选：C 3. 【答案】C【分析】计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 【详解】每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=，运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得cos sin 22παα⎛⎫+=−=− ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以，点M '的坐标为221⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4. 【答案】B 【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=，开关3正常工作的概率20.9P =，故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =−−−=−−⨯−=, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B. 5. 【答案】C【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3.故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6. 【答案】C【分析】根据题意得，即求2min26x m m y ⎡⎤+≤−−⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式，可解得29x y +≥，进而得到296m m ≤−−，进而可求解.【详解】至少存在一组,x y 使得226x m m y +≤−−成立，即2min 26x m m y ⎡⎤+≤−−⎢⎥⎣⎦，又由两个正实数,x y 满足121y x+=，可得 221()(2)x x y y y x+=++212459xy xy =+++≥+=，当且仅当22=xy xy ，即133y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，min 29x y ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦，故有296m m ≤−−，解得2(3)0m +≤，故3m =−，所以实数m 的取值范围是{3}− 故选：C . 7. 【答案】C【分析】当[]2,1x ∈−−时，由()()4f x f x =+可得出()f x 的表达式；当[]1,0x ∈−时，由函数的周期性和奇偶性可得出()()()2f x f x f x =−=−.综合可得结果.【详解】当[]2,1x ∈−−时，[]42,3x +∈，()()()4431f x f x x x =+=+=++，当[]1,0x ∈−时，[]0,1x −∈，[]22,3x −∈，因为函数()f x 为偶函数，则()()()()2231f x f x f x x x =−=−=−=−+，综上所述，当[]2,0x ∈−时，()31f x x =−+. 故选：C 8. 【答案】C【分析】分别在BOC 和 AOC △中，求得OB ，OA ，然后在AOB 中，利用余弦定理求解. 【详解】解：在BOC 中，3tan 30OCOB OC ==，在AOC △中，tan 45OCOA OC ==，在AOB 中，由余弦定理得2222cos AB OB OA OB OA AOB =+−⋅⋅∠，即223600323cos30OC OC OC OC =+−⋅⋅，所以23600OC =，解得60OC =，故选：C 9. 【答案】C【分析】根据题意分析可知()f x 为奇函数且在R 上单调递增，分析可知120x x +>等价于()()120f x f x +>，即可得结果.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()00f =，若0x >，则0x −<，可知()()()()110f x f x x x +−=++−−=，若0x <，同理可得()()0f x f x +−=，所以()f x 为奇函数，作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知()f x 在R 上单调递增，若120x x +>，等价于12x x >−，等价于()()()122f x f x f x >−=−，等价于()()120f x f x +>，所以“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的充要条件. 故选：C. 10. 【答案】B【详解】由题意可知(2)0f =，且f(x)在R 上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即|2|1β−<，得13β<<．函数()2xg x x ae =−在区间(1,3)上存在零点，由2xx ae −=0，得2x x a e= 令2(),(1,3)x x h x x e =∈，22(2)()x xx x x x h x e e'−−==，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减，231491(1),(2),(3)h h h e e e e ===>,()h x ∈214,e e ⎛⎤ ⎥⎦⎝，所以只需a ∈214,e e ⎛⎤ ⎥⎦⎝即有零点．选B. 【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =−在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决．二、填空题共5小题.11. 【答案】2【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得()1ii 1i 1i iz +==−+=−，所以1i z =+，所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=−+=−=，故答案为：2. 12. 【答案】12−【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到6n =，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到a .【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =，二项式的通项为()()6162rrrr T x a −+=−C ，令6r 3−=，解得3r =，所以展开式中3x 项为()()333336C 2160x a a x −=−，316020a −=，解得12a =−. 故答案为：12−. 13. 【答案】1:2【分析】先由已知求得()2DB DA DC =−+，接着以,DA DC 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE 交AC 于点O ，于是有2DA DC DO +=，从而推出4DB OD =，再结合:2:ACDBCDCODBCD SSSS=和三角形同高即可得解.【详解】由题得52CD CA CB =+，所以22322CD CA CB CD CB CD CD DB CD −=−=−−=−，所以22AD DB CD =−即()2DB DA DC =−+，如图所示，以,DA DC 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE 交AC 于点O ，则2DA DC DE DO +==，所以()244DB DO OD DA DC =−=−=+即:1:4OD BD =，又COD △和BCD △高相等，所以::2:2:2:41:2ACDBCDECDBCDCODBCDSSSSSSOD BD =====.故答案为：1:2.14. 【答案】 ①. 1− ②.12（答案不唯一）【分析】由题意，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，取一组符合条件的1a 和公比q 即可.【详解】“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题，所以若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∃∈≥，1n n S S +≥，则110n n n S S a ++−=≤，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，则11a =−和公比12q =，满足题意. 故答案为：1−；1215. 【答案】②③④【分析】利用递推公式计算可得①错误；由1n n a a +−的结果可得②正确；把1n n a a +−的结果进行放大和缩小可得③④正确.【详解】对于①：由已知可得2122222101a a a a a −+−==⇒，解得212a =，因为0n a >，所以212a =，故①错误；对于②：()2211111111111111n n n n n n n n n n n a na na na a a a a na na na ++++++++++−−+−===+++，又0n a >，所以10n n a a +−>，即{}n a 是递增数列，故②正确；对于③：由②可得1111111n n n n n a a a na n a ++++−==++，因为111n a a +>=，所以111n n a a n +−>+，故③正确；对于④：因为1111111n n n n n n a a a a na na n +++++−=<=+，所以213243111,,,23a a a a a a −<−<−<，所以11111123n a a n+−<++++，即1111nn k a k +=<+∑，故④正确；故答案为：②③④.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n −=+=；（2）3(1)212nn n ++−【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{b n }前n 项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得d= = = 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则q 3= = =8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1× = 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．17. 【答案】（1）答案见解析（2）2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使f (x )成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得()π26f x x ⎛⎫=− ⎪⎭，再利用整体代换法得πππ2,2666x m ⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦，从而可求得ππ2π66m −≤+，再结合m >0，从而可求解. 【小问1详解】由()()sin 2cos cos 2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=−=−，若选条件①：可知当π3x =时，π2πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2ϕ<，即π6ϕ=，且对任意x ∈R ，都有()π13f x f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭恒成立，故选条件①时f (x )存在，故可选①；若选条件②：ππ1sin cos 422f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=−==−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π2π3k ϕ=+或4π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以与条件矛盾，故不选②；若选条件③：ππ2ππππππsin sin sin πφsin sin sin 236333333f f ϕϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−=−−−−=−+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，可得π6ϕ=，故条件③能使f (x )成立，故可选③；综上所述：故可选择条件①或③，此时π6ϕ=. 【小问2详解】由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，当[]0,x m ∈时，πππ2,2666x m ⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦，且f (x )的最小值为12−，所以可得ππ2π66m −≤+，解得2π3m ≤，又m >0，所以2π03m <≤，所以m 的取值范围为2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.18. 【答案】（1）tan 2A =（2）2,c =S =【分析】（1）利用辅助角公式将题设化成πsin()62A +=，根据内角范围求出角A 即得；（2）由正弦定理求得sin 2B =，结合条件确定ππ,2B <<依次求出角,BC 和边c 、S . 【小问1详解】cos A A +=可得，π2sin()6A +=即πsin()62A +=. 又0π,A <<则ππ7π,666A <+< 故ππ,63A +=或π2π,63A +=解得π6A =或π2A =.因2,a b ==，则,a b A <不是最大角，故得π6A =，所以 πtan 2tan3A == 【小问2详解】由正弦定理sin sin a b A B =，可得223πsin sin 6B . 则sin B =因为222b a c >+，由余弦定理，222cos 02a c b B ac+−=<，则ππ,2B <<故2ππ,,36B C ==则2,c a ==1sin 2S ab C == 19. 【答案】（1）0.3（2）0.88（3）88【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【小问1详解】记事件i A ：“2022年第i 次参加考试的考生通过考试”，{}1,2,3i ∈，记事件j B ：“2023年第j 次参加考试的考生通过考试”，{}1,2,3j ∈，则()1600.6100P A ==，()1500.5100P B ==， ∴从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为()()()11110.60.50.3P A B P A P B ==⨯=；【小问2详解】()1600.6100P A ==，()1400.4100P A ==， ∴()()()1212700.40.28100P A A P A P A ==⨯=，小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为()()1210.60.280.88P P A A A +=+=；【小问3详解】2022年考生成绩合格的概率为()()()()1231234030201110.976100100100P A A A P A P A P A −=−=−⨯⨯=, 2023年考生成绩合格的概率为()()()()1231235040100111100100100m P B B B P B P B P B −−=−=−⨯⨯，要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则504010010.976100100100m −−⨯⨯≥，解得88m ≥. 故m 的最小值为88.20. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析；（3）01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+−−，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解. 【小问1详解】解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+，又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.【小问2详解】证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +−=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+−，则()e sin xg x x '=−，令()()e sin x h x g x x =−'=，则()e cos x h x x '=−，讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =−>−=−≥'，所以ℎ(x )在(0,+∞)上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'−>，所以()g x 在(0,+∞)上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+−<+−=−+≤ 所以，当0x <时，g (x )<0，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+−仅有一个零点，得证. 【小问3详解】当x ∈(0,+∞)时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +−−>恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+−−，则()e sin cos xF x x k x =−'−，由（Ⅱ）可知，x ∈(0,+∞)时e sin 1x x −>，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=−−>−，讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x −≤≤，所以cos k k x k −≤≤，即11cos 1k k x k −≤−≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'−−≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+−−在x ∈(0,+∞)时单调递增，所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +−−>，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =−'−可知()010F k ='−<，又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=，所以，当x ∈(0,x 0)时，()0F x '<，F (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，()0F x '>，F (x )单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +−−>恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.21. 【答案】（1）198（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）直接根据绝对值的定义可得；（2）要证明题设不等式，可通过作差(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b d ττ−=−+−−−−−，去掉绝对值可得(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ−0≤，同理当a b c <<也类似讨论可得结论；（3）我们首先对（2）重新认识，由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，（将此作为引理），递增与递减只要证一个，另一个同理可得，如我们证递减，当12a a >时，先证明123a a a >>，再用反证法即可证明.【小问1详解】 12100122399100(,,,)a a a a a a a a a τ=−+−++−222299198=+++=⨯= 【小问2详解】证明：因为(,,,)a b c d a b b c c d τ=−+−+−， (,,,)a c b d a c c b b d τ=−+−+−，所以(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b dττ−=−+−−−−−因为()()0a b b c −−>，所以a b c >>，或a b c <<.若a b c >>，则(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b d ττ−=−+−−+−−c b c d b d =−+−−− 当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =−+−−−=−<，当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =−+−−−=−≤，当d b c >>时，上式()0c b d c d b =−+−−−=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ−≤.若a b c <<，则(,,,)(,,,)a b c d a c b d b a c d c a b d ττ−=−+−−+−−，0b c c d b d =−+−−−≤.（同前）所以，当()()0a b b c −−>时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立.【小问3详解】证明：由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若132a a a >>，则由引理知交换23,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则()()1212212121,,,,a a aa a a a a a a a a a a ττ=−+−>−+−=３３３３，与已知矛盾. 所以，123a a a >>.（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤−，证明1i i a a +>.若11i i i a a a −+>>，则由引理知交换1,i i a a +的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若11i i i a a a +−>>，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ−−+−−+=，与已知矛盾.所以，1i i a a +>.（ⅲ）设121n a a a −>>>，证明1−>n n a a .若1n n a a −>，考查数列121,,,,n n a a a a −，则由前面推理可得122n n n a a a a −−>>>>，与121n a a a −>>>矛盾. 所以，1−>n n a a .综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列.。

天津市南开中学2022-2023学年高三上学期数学统练1

天津市南开中学2023届高三年级统练数学科目本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共45分）1．已知集合{}2A x x =≥，{}N B x x =∈，则()A B =R （）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()333x x x x f x −+=+的部分图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．函数2ln y x x =−的零点所在的大致区间是（）A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,e)D ．(e,)+∞5．已知 0.10.9ln 2.3, 2.3,log 1.2a b c ===，则（）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（） A ．3 B ．4 C ．1 D ．27．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（）A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．5(,)4ππD ．(,)24ππ−− 9．已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==−⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1mB ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每小题5分，共30分）10．复数i 2i=+_________. 11．已知()3sin 32sin 2παπα⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，求()()()3sin 5sin 22cos 2sin ππααπαα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=−−−___________. 12．732x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是_____． (用数字作答) 13.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X 表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则()E X =______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M ，则()P M =______． 14．若点()cos ,sin P θθ与点cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 关于y 轴对称，则绝对值最小的θ值为_____．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=−，当[]01x ∈，时，()f x x =，若函数()log (1)a y f x x =−+（0a >且1a ≠）有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．三、解答题16.（本小题14分）已知3π4απ<<， 110ta tan n 3a α=−＋. (1)求tan α的值；(2)求sin cos sin cos αααα+−的值； (3)求222sin sin co 3co s s αααα−− 的值.17. （本小题15分）在四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，2AD =，1CD =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =．(1)若E 是PA 的中点，求证：//DE 平面PBC ；(2)求证：BD ⊥平面PAC ；(3)求BC 与平面PAC 所成角的正弦值．18．（本小题15分）已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a 为常数，且0a ≠，R a ∈）． (1).当1a =−时，若对任意[]1,2x ∈，都有()()2f x mf x ≥成立，求实数m 的取值范围；(2).当()f x 为偶函数时，若关于x 的方程()()2f x mf x =有实数解，求实数m 的取值范围．19．（本小题15分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在1x =−处取得极值．(1).求函数()f x 的单调区间；(2).若函数()()1g x f x m =+−有三个零点，求m 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =−+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1).讨论()f x 的单调性；。

北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高三10月月考数学(含答案)

北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）高三数学 2024.10命题人：曹絮审题人：黎宁本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|3100}A x x x =−−<，{|10}B x x =−<，则(AB = )A ．{|15}x x <<B ．{|21}x x −<<C ．{|12}x x <<D ．{|51}x x −<<2．设0.50.533434(),(),log (log 4)43a b c ===，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<3．若实数a 、b 满足220a b >>，则下列不等式中成立的是( ) A ．a b > B ．22a b > C ．||a b >D ．2222log log a b >4．若函数1,0,()0,0,1,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⋅⎩则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知复数z 的共轭复数是1i +，则复数2zi−在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是增函数．若()(1)f lgx f >，则x 的取值范围是( ) A ．1(,1)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(0，1)(10，)+∞7．函数()()sin 2x x f x e e x −=+−在[2,2]−上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=( ) A ．4−B ．0C ．2D ．48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x g x e +=，则2()4()f x g x +的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．9．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为( ) A ．2mkB ．4mkC ．2m D ．4m 10．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=−'，则称数列{}n x 为牛顿数列．若1()f x x =，数列{}n x 为牛顿数列，且11x =，0n x ≠，数列{}n x 的前n 项和为n S ，则满足2024n S 的最大正整数n 的值为( ) A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．12．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为．13．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且(1)0f −=．若对任意的1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，都有122121()()0x f x x f x x x −>−成立，则不等式()0f x >的解集是．14．已知函数2()(1)f x lg x ax =++在区间(,2)−∞−上单调递减，则a 的取值范围为． 15．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于0x R ∈，令1()(1n n x f x n −==，2，3，)，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点，给出下列四个结论：①若()21f x x =−，则()f x 存在唯一一个周期为1的周期点； ②若()2(1)f x x =−，则()f x 存在周期为2的周期点；③若12,2()12(1),2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩，则()f x 存在周期为3的周期点；④若()(1)f x x x =−，则对任意正整数n ，12都不是()f x 的周期为n 的周期点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的公差；（2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．17．（本小题13分）已知函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−．（Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．18．（本小题14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等2050t <50t（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．（只需写出结论）19．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点的任一直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ，AN 与直线4x =分别相交于D ，E 两点，求证：以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，并求出定点．20.（本小题15分）已知函数2()222xf x e ax x =−−− （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）21.（本小题15分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *∈N ，使得k a M >；（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． 11.3112．如：2−，1−，0（答案不唯一） 13．(1−，0)(1，)+∞14．(−∞，5]215． ①③④注： 15题不选、错选0分，少选3分，选全对5分三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分）解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+，解得1d =或0d =．（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =．由于22n a =或22n a n =，由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +−==−−． 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−的定义域为(0,)+∞， 21(21)()()(2)12ax x a f x a x a x x+−'=−+−=，因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以f '（1）0=，即(21)(1)0a a +−=，0a ，解得1a =，经检验知，当1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点，所以1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(21)()()ax x a f x x+−'=，0a ，当0a =时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．综上，当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间；当0a >时，函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（Ⅱ）甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人，所以，随机变量ξ的取值为0ξ=，1，2．所以02262815(0)28C C P C ξ===，1126283(1)7C C P C ξ===，2026281(2)28C C P C ξ===．所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望为(0)012287282E ξ==⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）X X <乙甲，22S S >甲乙．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −，所以1,22c a a ==，得b所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为(1,0)，由题直线斜率不为零，设直线l 方程为1x my =+，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题，联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(34)690m y my ++−=，所以12122269,3434m y y y y m m −−+==++，直线11:(2)2y AM y x x =++，得116(4,)2y D x +，同理，直线22:(2)2y AN y x x =++，得226(4,)2y E x +，设x 轴上一点(,0)P t ，则116(4,)2y PD t x =−+，同理得：226(4,)2y PE t x =−+，所以2121212126636(4,)(4,)(4)22(2)(2)y y y y PD PE t t t x x x x ⋅=−⋅−=−+++++，因为1212(2)(2)(3)(3)x x my my ++=++，所以 22212222123636(9)(4)(4)(4)90(3)(3)9182736y y PD PE t t t my my m m m ⨯−⋅=−+=−+=−−=++−−++, 解得：43t −=±，即1t =或7t =，所以以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，定点分别为(1,0)，(7,0)．20. （本小题15分）（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =−−−e ，所以'()222xf x ax =−−e ，故(0)0f =，'(0)0f = ，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = （Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==−−e ，则'()220xg x a =−>e故()g x 是R 上的增函数. 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.函数()f x 的最小值为(0)f ，由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.当1a =时，()f x 有一个零点；当1a >时，()f x 有两个零点.21. （本小题15分）（Ⅰ）若12a =，则数列{}n a 的前7项为2，1，1，2，2，3，1 （Ⅱ）证法一假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值考虑数列{}n a 的前21M +项： 1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅= 此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅱ）证法二假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值对任意的正整数m ，数列{}n a 中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{}n a 中至少有1M +项的值为m ，其1M +项为12311,,,,,,M M M i i i i i i a a a a a a −+⋅⋅⋅，此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故数列{}n a 至多有2M 项，这与数列{}n a 有无穷多项矛盾. 故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅲ）充分性：若11a =，则数列{}n a 的项依次为1，1，2，1， 3，1，4，1，…，2k −，1，1k −，1，k ，1，…特别地，数列{}n a 的通项公式为,211,2n k n k a n k =−⎧=⎨=⎩，即1,2121,2n n n k a n k+⎧=−⎪=⎨⎪=⎩ 故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +== （2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立必要性：方法一假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立” 则数列{}n a 的前21k +项为k，211,1,2,1,3,1,4,...,1,2,1,1,1,k k k k−−−项，232,2,3,2,4,2,5,...,2,2,2,1,2,k k k k−−−项，253,3,4,3,5,3,6,...,3,2,3,1,3,k k k k −−−项，⋅⋅⋅，52,2,1,2,k k k k k −−−−项，31,1,k k k −−项，k后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,...,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，22,1,2,2,2,3,...,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，23,1,3,2,3,3,...,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，…2,1,,2,,3,...,,2,,1,,k k t k t k t k t k k t k k t k ++++−+−+项，…故对任意的1,2,3,...,2,1,s k k k =−−，*t ∈N2212(1)2112(1)2k t k s k t k sa k ta s ++−+−++−+=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m > ，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a +=有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a = 方法二若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =.由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+）不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a −均小于等于s .则11k a +=.因为1k m −≥，所以11k k a a +−≥，即11k a −≥且1k a −为正整数，所以11k a −=.记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a −中恰有t 项等于1.假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=−，考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a −−−，因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a −−−中一定存在两项相等，将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。

天津市南开中学高三数学统练1 理

天津市南开中学2015届高三数学统练1 理一、选择题（共12个小题，每题5分）1. 已知集合(){}(){}2,9,,M x y y x N x y y x b ==-==+,且M N ⋂=Φ,则实数b 的取值范围是( ) A.32b ≥ B.02b <<C.332b -≤≤D.32,3b b ><-或2.已知函数()34x f x x +=-及()229712x g x x x -=-+的值域分别为,M N ,则( ) A.M N ⊇ B.M N = C.M N ⊆ D. 以上都不对3. 3.设映射()2:2f x x x x→-+是实数集R 到实数集R 的映射，若对于实数p R ∈，在R 中不存在原象，则p 的取值范围是（） .A()1,+∞ .B [)1,+∞ .C (),1-∞ .D (],1-∞4.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（）A.增函数且最小值为 5 B ．增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D ．减函数且最大值为55. 函数248136(1)x x y x ++=+()1x >-的最小值是（） .A 1 .B 32 .C 2 .D 36.已知函数13y x x =-+的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为（）． A.14B ．12C ．2D ．37.已知条件:15p a -<<,条件22:210q x ax a -+-=的两根均大于2-小于4,则p 是q 的( )条件.A .充分不必要B .必要不充分 C.充分且必要 D .既不.充分也不必要8.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1x ，2x ∈R 有()()()12121f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（）．A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数 C ．()1f x +为奇函数 D ．()1f x +为偶函数9.若函数()x f y =在（0，2）上是增函数，()2+=x f y 是偶函数，则有（）.A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<27251f f fB ．()12527f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛25127f f f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛27125f f f10．函数2()2f x x ax a =-+在(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x =在(1,)+∞上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数11. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=)1(11)11(22)1()1()(2x x x x x x x f ，已知1)(>a f ，则a 的取值范围是（）A.（－∞，－2）∪（－21，+∞） B.（－21，21）C.（－∞，－2）∪（－21，1）D.（－2，－21）∪（1，+∞）12.设2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（）A.(,1][1,)-∞-+∞UB.(,1][0,)-∞-+∞UC.[0,)+∞D.[1,)+∞二、填空题（共6个小题，每题5分）13. 若不等式022>-+ax x 在区间上有解，则a 的取值范围是 .14.定义在区间[]0,a 上的函数()223f x x x =-+有最大值为3，最小值为 2，正数a 的取值范围是 .15.已知函数()12axf xx+=+在区间()2,-+∞上是增函数, 则a的取值范围是 .16. 已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数)(xf是奇函数，,当0x>时,()241f x x x=-++,则)(xf的单调递增区间是 .17.函数y=的值域是 .18.已知()()()()23,22xf x m x m x mg x=-++=-.若同时满足条件:①对()(),00;x R f x g x∀∈<<或②()()(),4,0x f x g x∃∈-∞-⋅<.则实数m的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 函数()f x对任意的实数m、n，有()()()f m n f m f n+=+，当0x>时，有()0f x>.(1)求证：()f x是奇函数,;(2)求证：()f x在(,)-∞+∞上为增函数.20. 已知函数)0(21)(>+-=xxaxf.(1)判断)(xf在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x的不等式)(>xf;（3）若2)(≥+xxf在),0(+∞上恒成立，求a的范围.21.设()f x是定义在R上的函数,对k N*∈,当(]21,21kx I k k∈=-+时,()()22.f x x k=-求集合(){}k kM a f x ax I==方程在上有两个不相等的实根.22.已知113a≤≤, 若()221f x ax x=-+在区间[]1,3上的最大值为()M a, 最小值为()N a, 令()()()g a M a N a=-. (1)求()g a的函数解析式；(2)判断()g a的单调性, 并求出()g a的最小值.2015届高三数学统练1答案一、选择题 DAABCC BCCDCC二、填空题13.23,5⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ 14.[]1,215.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. ()()2,0,0,2-17.12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.()42--，20. 已知函数)0(21)(>+-=x x a x f .(1)判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x 的不等式0)(>x f ;（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的范围. 20．解:（1）)(x f 在),0(+∞上为减函数证明：设210x x <<,)21()21()()(2121x a x a x f x f +--+-=-0)(222211221>-=-=x x x x x x ,∴ )()(21x f x f > .∴ )(x f 在),0(+∞上为减函数（2）不等式0)(>x f ，即021>+-x a ，即02>+-ax a x ,也即0)2(<⋅-ax a x① 当0>a 时，不等式0)2(<-a x x ,不等式解为a x 20<<② 当0<a 时，不等式0)2(>-a x x ,不等式解为0>x 或a x 2<（舍去）（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，即0221≥++-x x a∴ )1(21x x a +≤,∵ )1(2x x +的最小值为4 ∴ 41≤a .解得0<a 或41≥a 21.设()f x 是定义在R 上的函数,对k N *∈,当(]21,21k x I k k ∈=-+时,()()22.f x x k =-求集合(){}k k M a f x ax I ==方程在上有两个不相等的实根.21.解：问题等价于方程()22440x k a x k -++=在区间(]21,21k k -+有两个不等实根.记()()2244g x x k a x k =-++ ,利用根的分布,有()()()2221021041212124160g k g k k k k k a k ⎧->⎪+≥⎪⎪+⎨-<<+⎪⎪∆=+->⎪⎩解得1211212208a k a k a a a k ⎧<⎪-⎪⎪≤⎨+⎪-<<⎪⎪><-⎩或即1021a k <≤+. 所以10,21k M k ⎛⎤= ⎥+⎝⎦. 22.已知113a ≤≤, 若()221f x ax x =-+在区间[]1,3上的最大值为()M a , 最小值为()N a , 令()()()g a M a N a =-. (1)求()g a 的函数解析式；(2)判断()g a 的单调性, 并求出()g a 的最小值.。

2023年天津市新华中学高三上学期第一次统练数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市新华中学高三上学期第一次统练数学试题的。

1.设集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则“”是“”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )A. B. C.D.4.对某校400名学生的体重单位：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为( )A. 300B. 100C. 60D. 205.已知，则的大小关系为( )A.B.C.D.6.若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为( )A. B.C. D.7.设，且，则( )A.B. 10C. 20D. 1008.已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为( )A. B. C. D.9.的最大值与最小值之差为( )A. B. C. D. 0二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.____.11.若展开式中各项系数的和等于64，则展开式中的系数是__________.12.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________.13.下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是_____.14.已知函数则__________；若关于x的函数有且只有三个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.15.在中，点分别为的中点，点G为AN与BM的交点，若，，且满足，则__________；__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

2024北京北师大实验中学高三(上)统练一数学试题及答案

2024北京北师大实验中学高三（上）统练一数学试卷说明：1．本次考试时间120分钟，总分150分． 2．试卷共有三道大题，21道小题． 3．请将全部答案答在答题纸上．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 已知集合{}42A x x =−<<，{}29B x x =≤，则A B =（）A. (]4,3−B. [)3,2−C. ()4,2−D. []3,3−2. 若复数()()()1a i i a R ++∈为纯虚数，则a 的值为（） A. 1−B. 0C. 1D. 23. 在421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（） A. 4−B. 4C. 6−D. 64. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（） A.b a a b< B.2b aa b+> C. ()sin a b a b −<−D. 32a b >6. 已知圆C 过点()1,2A −，()10B ,，则圆心C 到原点距离的最小值为（）A.12B.2C. 17. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则AP AB ⋅的值为（）A. 2B. 4−C. 4D.8. 已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为44，）C.10. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（） A. (]0,1 B. ()0,1 C. ()1,4D. ()2,4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 抛物线y 2=2x 的焦点坐标为____．12. 若(cos ,sin )P θθ与(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值______．13. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，P 是棱1BB 上一点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC −的体积为___________.14. 设O 为原点，双曲线22:13y C x −=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.则C 的渐近线方程是___________；OP OF OP⋅的取值范围是___________.15. 对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =−；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立； ④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M+−<.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，．（1）求证：⊥BC 平面P AB ；（2）求二面角A PC B −−的大小．17. 在ABC 中，sin 2sin b A B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC 4b c =；条件③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （1）试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；（2）设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望；（3）H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.19. 如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的一个焦点为1(0,1)F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当ABC 与ABO 的面积相等时，求k 的值．20. 已知函数()sin x f x x =（0πx <<），()(1)ln g x x x m =−+（m ∈R ）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：1是()g x 的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a ，(0,)b ∈π，满足()()f a g b =，求m 的取值范围.（只需写出结论） 21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤−，112k k k a a a +−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U −数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U −数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值；（3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U −数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 【答案】A【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =−≤≤，故(]4,3A B ⋃=− 故选：A 2. 【答案】C【分析】由复数乘法化为代数形式，然后由复数的分类求解．【详解】∵()(1)1(1)a i i a a i ++=−++为纯虚数，∴1010a a −=⎧⎨+≠⎩，∴1a =．故选：C ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的分类，掌握复数概念是解题关键． 3. 【答案】A【分析】写出421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，要求x 的系数，可令1r =，进而可得结果.【详解】421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的第1r +项为：()443144211r r r r rr rT C x C x x −−+⎛⎫=−− ⎪⎝=⎭，由431r −=得1r =，∴421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()11414C −=−. 故选：A 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】C【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C. 【详解】对于A ，取2,1a b ==−，则122b aa b=−>=−，故A 错误，对于B ，1,1a b ==−，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=−>−≤=，故sin y x x =−在()0,∞+单调递减，故sin 0x x −<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b−，故()sin a b a b −<−，C 正确，对于D, 3,4a b =−=−,则11322716ab =<=，故D 错误，故选：C 6. 【答案】B【分析】由题意可知圆心在线段AB 的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.【详解】由圆C 过点()1,2A −，()10B ,，可知圆心在线段AB 的垂直平分线l 上又1AB k =−，则1l k =又AB 的中点为()0,1，则直线l 的方程为1y x =+圆心C 到原点距离的最小值即为原点到直线l 的距离为2d == 故选：B7. 【答案】C【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果. 【详解】由条件可知()2111222AP AB AB AC AB AB AB AC ⋅=+⋅=+⋅ 211cos 4522AB AB AC =⨯+⨯⨯122422=+⨯⨯=.故选：C 8. 【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项. 【详解】当()()11f f −=，即()()sin 1sin 1ϕϕ−+=+ 则sin cos1cos sin1sin cos1cos sin1ϕϕϕϕ−=+，化简为cos sin10ϕ=，即ππ2k ϕ=+，Z k ∈，当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，()cos f x x =，为偶函数，当()π21π,Z 2k k ϕ=++∈时，()cos f x x =−，为偶函数，所以()()11f f −=，能推出函数()f x 是偶函数反过来，若函数()f x ()()11f f −=，所以“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 9. 【答案】D【分析】根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，再结合等体积法，即可求解．【详解】底面ABCD 为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时，不妨设4PA PB AB ===，PC PD ==分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，PF ，EF ，如图所示：则PE AB ⊥，EF AB ⊥，且PE EF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，故AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：PE =，2PF =，4EF =，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，故PE PFPO EF⋅==，4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在．故选：D ． 10. 【答案】B【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a −∞，0a >，当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0−∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤，当0x a <≤时()()22f x x =−，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈−⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈−⎣，所以()2202a a a ⎧<−⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈ 故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 【答案】（，0）．【详解】试题分析：焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．解：抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为（，0）．考点：抛物线的简单性质．12. 【答案】512π（答案不唯一）【分析】先由关于y 轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.【详解】由题意得，cos cos(),sin sin()66ππθθθθ=−+=+，由诱导公式cos cos(),sin sin()θπθθπθ=−−=−知，6πθθπ++=显然满足题意，解得512πθ=. 故答案为：512π（答案不唯一）.13. 【答案】3【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用锥体体积公式求解即可.【详解】取AC 中点为O ,连接OB ，因为ABC 为正三角形，所以OB AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，所以1AA OB ⊥,且11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11ACC A ，所以OB ⊥平面11ACC A ，OB ==即B 到平面11ACC A 的距离为OB =又因为11//BB AA ,1BB ⊄平面11ACC A ,1AA ⊂平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A ，又因为P 是棱1BB 上一点，所以P 到平面11ACC A 的距离为OB =所以11133P ACC ACC V S OB −=⨯⨯=,故答案为:3.14. 【答案】 ①. y = ②. (]1,2【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线C 的渐近线方程；求出,OP OF <>的取值范围，可得出2cos ,OP OF OP OF OP⋅=<>，结合余弦函数的基本性质可求得OP OF OP⋅的取值范围.【详解】在双曲线C 中，1a =，b =2c ==，则()2,0F ，所以，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，直线y =的倾斜角为π3，由题意可知π0,3OP OF ≤<><，则1cos ,12OP OF <<>≤，所以，(]cos ,2cos ,1,2OP OF OF OP OF OP OF OP⋅=<>=<>∈.故答案为：y =；(]1,2. 15. 【答案】①②④【分析】逐项代入分析求解即可. 【详解】对于①：因为()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，且因为n a n =，所以()112341n n T n +=−+−+⋅⋅⋅+−，所以20231234202120222023101120231012T =−+−+⋅⋅⋅+−+=−+=，故选项①正确；对于②：若n T n =，则()112341n n n T a a a a a n +=−+−+⋅⋅⋅+−=所以()()12112341111n n n n n T a a a a a a n ++++=−+−+⋅⋅⋅+−+−=+，所以两式相减得()2111n n a ++−=，所以()20212202211a +−=，所以20221a −=，所以20221a =−，故选项②正确；对于③：11234 (1)n n n T a a a a a +=−+−++−，12112341...(1)(1)n n n n n T a a a a a a ++++=−+−++−+−，所以若1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立，则有123456...n T T T T T T T >>>>>>>，所以112123123412345a a a a a a a a a a a a a a a >−>−+>−+−>−+−+>()()12123456124561234561......1...1n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++−+−+−>>−++−++−>−+−+−++−，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从1a 越来越小，之后甚至会出现0大于某数绝对值的情况，例如：10003001002053210...>>>>>>>>>，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误；对于④：若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有1n n a a +−.11122211...n n n n n a a a a a a a a a +−−−=−+−−+−+−+()112211221...(...)n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−=−+−++−+−+−−+112211221......n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−≤−+−++−+−+−−+112n n T T M M M +−=−+<+=.故选项④正确；故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==，所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BC PA ⊥，PA PB P =，所以⊥BC 平面PAB . 【小问2详解】由（1）⊥BC 平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====−，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩ 令11x =，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =，则00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+−=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以11cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角，所以二面角A PC B −−的大小为π3. 17. 【答案】（1）π6（2【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）条件①，由sinC 7=，角C 可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；【小问1详解】因为sin 2sin b A B =，由正弦定理得，sin sin 2sin B AA B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，得到sin 2A A =，又sin 22sin cos A A A =，所以2sin cosA A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得到cos2A =，所以π6A =. 【小问2详解】选条件①：sinC =由（1）知，π6A =，根据正弦定理知，sin 711sin 72c C a A ===>，即c a >，所以角C 有锐角或钝角两种情况，ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：b c =因为11π1sin sin2264ABCSbc A bc bc ====bc =又4b c =，得到4b =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 4242716367a b c bc A =+−=+−⨯=+−=，所以a =选条件③：cos 7C =因为11π1sin sin 2264ABCSbc A bc bc ====bc =由cos 7C =，得到sin C ===又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =−−=+=+，由(1)知π6A =，所以1sin 277214B =⨯+=又由正弦定理得，sin sin 47b Bc C ===，得到4b c =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 42427163672a b c bc A =+−=+−⨯⨯=+−=，所以a =18. 【答案】（1）0.15（2）分布列答案见解析，()1242E X = （3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是500kg 的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量X 的可能取值有960、1080、1200、1350、1500，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，计算出增产的50kg 会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是400kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450kg 的概率约为0015005..⨯=，亩产量是500kg 的概率约为0.005500.25⨯=，估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为02506015...⨯= 【小问2详解】解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有：960、1080、1200、1350、1500，()9600250401P X ...==⨯=，()1080050402P X ...==⨯=， ()12000250402506025P X .....==⨯+⨯=，()1350050603P X ...==⨯=，()150002506015P X ...==⨯=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：96001108002120002513500315000151242E X .....=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，分析可知()()()502404306E Y E X ...=+⨯⨯+⨯，所以，增产的50kg 会产生增加的收益为()502404306138125...⨯⨯+⨯=>，故建议农科所推广该项技术改良.19. 【答案】（1）2212y x +=；（2）k =【分析】（1）由题意得到22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.（2）AB 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()222210k x kx ++−=，设()()1122,,,A x y B x y ,得到两根之和式，设()00,C x y ,根据OC OA OB =+，从而0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++，结合其在椭圆上得到()()22222816222k kk+=++，解出即可.【小问1详解】由题设,22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212y x +=.【小问2详解】直线AB 的方程为1y kx =+.由221,22y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()222210k x kx ++−=. 设()()1122,,,A x y B x y , 则()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++. 因为ABC 与ABO 的面积相等,所以点C 和点O 到直线AB 的距离相等.所以M 为线段OC 的中点,即四边形OACB 为平行四边形.设()00,C x y , 则OC OA OB =+. 所以0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++. 将上述两式代入220022x y +=，得()()22222816222k kk+=++.解得k =【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++，通过面积相等则得到M 为线段OC 的中点，则M 为线段OC 的中点，利用向量加法得到OC OA OB =+，从而用k 表示出C 点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可. 20. 【答案】(1) 单调递增区间为3(0,)4π，()f x 的单调递减区间为3(,)4ππ （2）见解析（3）34m π≤e【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值即可；（Ⅲ）结合题意写出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ）因为()sin cos )2sin()4x x xf x e x e x e x π'=+=+，令()0f x '=，得sin()04x π+= 因为0πx <<，所以34x π=当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：故()f x 的单调递增区间为(0,)4，()f x 的单调递减区间为(,)4π；（Ⅱ）证明：1()(1)()1(0)g x x lnx m g x lnx x x'=−+∴=−+>，设1()()1h x g x lnx x '==−+，则211()0h x x x'=+> 故()g x '在(0,)+∞是单调递增函数，又g '（1）0=，故方程()0g x '=只有唯一实根1x =当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下：故在时取得极小值（），即是的唯一极小值点；（Ⅲ）34m eπ≤21. 【答案】（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n −+．【分析】（1）利用“U −数列”，能求出数列1，x ，y ，7为“U −数列”，所有可能的x ，y ．（2）由11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−，推导出11k k b b −+对任意的21k n −恒成立，从而1(1)(2)201712n n −−−，进而6265n −；取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”，得到65n =符合题意，由此能求出n 的最大值为65．（3）当*02(2,)n m m m N =∈时，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−．从而2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=；当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=，由此能求出M 的最小值为200288n n −+．【详解】解：（1）数列1:A a ，2a ，⋯，(3)n a n 中*(1)i a N i n ∈且对任意的11212k k kk n a a a +−−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”．数列1，x ，y ，7为“U −数列”，∴所有可能的x ，y 为12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩．（2）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−对任意的11i n −，令1i i i b a a +=−，则i b Z ∈且1(21)k k b b k n −>−，故11k k b b −+对任意的21k n −恒成立．(★)当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =−−=，得112211()()()1(21)i i i i i b b b b b b b b i i n −−−=−+−+⋯+−+−−此时112110122(1)(2)2n n a a b b b n n n −−=++⋯++++⋯+−=−−即1(1)(2)201712n n −−−，解得：6265n −，故65n 另一方面，取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”，此时651012632017a =++++⋯+=，即65n =符合题意．综上，n 的最大值为65．（3）M 的最小值为200288n n −+，证明如下：当*02(2,)n m m m N =∈时，一方面：由(★)式，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−．此时有：1211221121()()()()m m m m m m m a a a a b b b b b b +++−−+−+=++⋯+−++⋯+ 1122211()()()(1)m m m m b b b b b b m m ++−−=−+−+⋯+−−故2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=另一方面，当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +−+−−+−=−−−=−=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋯>，122m m m a a a ++<<⋯<，且112121122111()(1)1()(1)122m m m m m m m a a b b b m m a a b b b m m −+++−=−++⋯+=−+=+++⋯+=−+此时20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=．综上，M 的最小值为200288n n −+．。

湖南省长沙市铁路一中2024届高三数学试题第一次统练(一模)试题

湖南省长沙市铁路一中2024届高三数学试题第一次统练（一模）试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A ．23B ．43C ．2D ．43．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A ．623+B ．622+C ．8D ．65．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．726．设，则"是""的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞8．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．2B ．24C ．16D ．149．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（） A ．247-B ．1731-C ．247D ．173110．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+12．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．254+B ．9C ．7D ．252+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

天津市第二十中学2023-2024学年高三上学期第一次统练数学试题

【分析】根据基本不等式的性质判断即可．
【详解】由
a+b＝4，则
a 4
+
b 4
=
1，
则（
1 a
+
1 b
）（
a 4
+
b 4
）
=
1 2
+
b 4a
+
a 4b
³
1 2
+
2
a 4b
×
b 4a
=
1，
故 B 正确，故选 B．【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查乘“1”法的应用，是一道基础题． 8．D
【分析】根据题意反推出如何由函数
10．设
i
为虚数单位，复数
31+
i i
=
.
11．在
(2
x
-
1 x
)
6
的展开式中
x
2
的系数为
．（用数字作答）
12．已知
sin
æ çè
q 2
+
p 6
ö ÷ø
=
3 5
，则
cos
æ çè
2p 3
-q
ö ÷ø
=
．
试卷第21 页，共33 页
13．已知等差数列{an} 中， a2 = 4, a6 = 16 ，若在数列{an} 每相邻两项之间插入三个数，
【分析】利用排除法，根据图象过
æ çè
-
π 2
,
0
ö ÷ø
和
(0,
0)
逐项分析判断.
答案第11 页，共22 页
【详解】因为图象过
æ çè

2024-2025学年天津市天津一中高三(上)统练数学试卷(一)(含答案)

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

高三年级第二学期统一练习(一)数学理

北京市丰台区高三年级第二学期统一练习（一）数学试题（理）一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果aiaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（）A ．0B ．-1C ．1D ．-1或12．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x ，则集合N M 是（）A ．[)+∞-∞,1)0,(B ．[)+∞,0C ．(]1,∞-D ．)1,0()0,( -∞ 3．若,)21(2210nn n x a x a x a a x ++++=- 则2a 的值是（）A ．84B ．-84C ．280D ．-2804．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ∆，|"||"""AC =⋅=⋅是的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是（） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm 2，则CDF ∆的面积是 cm 2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是cm 3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为，样本数据落在[)14,6内的频数为 . 12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==11t y x （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+==θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于，此时点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值；（II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值. 17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91 （I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ. 18．（13分）已知函数.ln )(xax x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值. 19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程；（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素；（II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(*N n M d n n ∈≠.求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ，⊂FG 平面PAC ，∴BD ⊥FG…………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ，而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，故FG//平面PBD. …………13分（III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角，…………11分即,32π=∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EHBEBHE ===∠∴而,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC ,22tan =∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E（I ）),2,21,21(),0,1,1(am m ---=-=002121=+-++=⋅m mFG BD ⊥∴ …………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=，由EP FG λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m…………7分,43),0,43,43(G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，而)0,1,0(),,1,1(=-=a ⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =，同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a v = 设,所成的角为0，则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1，则,419132322121==⨯p p 得所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p所以364949492=⨯+⨯+⨯=p…………9分（III ）ξ的分布列为…………13分 ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分221)('xa x x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增，其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减，在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以，函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减，其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减，其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则221221414,4128kx x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0），所以),,2(),,2(2211y x AQ y x AP +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k …………10分所以,0)56()2(=-⋅-b k b k 即,562k b k b ==或经检验，都符合条件① 当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点A ，与题意不符.当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y 显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A.综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点…………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素，…………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时，不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+ ,32433b b b <=+而且有5≤n b ，显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素.…………4分（II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 设其公比为q>0，,473323=++∴c q c qc 整理得0162=--q q 1121,1,21-==∴=∴n n c c q 1212--=n n S…………7分对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有且,2<n S故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M…………9分（III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下：假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得第11页共11页而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ；所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立，故命题得证.…………14分。

高三一练数学试题及答案

高三一练数学试题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：D2. 若f(x) = 2x - 1，则f(3)的值为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B3. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。

答案：a10 = 2 + 9 × 3 = 294. 根据题目所给条件，求圆的半径。

答案：根据题目条件，圆的半径为5。

5. 根据题目所给条件，求直线的斜率。

答案：根据题目条件，直线的斜率为-2。

6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，判断三角形ABC的类型。

答案：根据勾股定理，三角形ABC是直角三角形。

7. 已知某商品的进价为p元，售价为s元，求利润率。

答案：利润率 = (s - p) / p × 100%。

8. 根据题目所给条件，求椭圆的标准方程。

答案：根据题目条件，椭圆的标准方程为x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1。

9. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其导数。

答案：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

10. 根据题目所给条件，求抛物线的顶点坐标。

答案：根据题目条件，抛物线的顶点坐标为(2, -3)。

二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 若集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B=______。

答案：{1, 2, 3, 4}12. 已知向量a=(2, 3)，b=(-1, 2)，则a·b=______。

答案：-113. 根据题目所给条件，求函数的极值。

答案：根据题目条件，函数的极大值为5，极小值为-5。

14. 已知某数列的前n项和S_n=n^2，求该数列的通项公式。

答案：该数列的通项公式为a_n = 2n。

高三数学下学期统练1试题含解析试题

第四中学2021届高三数学下学期统练试题1〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

〔试卷满分是为150分，考试时间是是为120分钟〕一、选择题一共10题，每一小题4分，一共40分.在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项.1.假设集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-，那么A B =〔〕A. {2}B. {1,2}C. {2,1,0}--D. {2,1,0,1}--【答案】C 【解析】【分析】由对数函数定义域求出集合B 的解集，再由集合交集的运算法那么，求出答案.【详解】由题可知，集合2{|log (1)}B x y x ==-，那么其中定义域{|10}{|1}B x x x x =->=< 又有集合{2,1,0,1,2}A =--，那么{2,1,0}A B =-- 应选：C【点睛】此题考察集合表示的定义，求对数函数的定义域，还考察了集合的交集运算，属于根底题.2.直线10x y +-=与圆2222ππcoscos 36x y +=+的公一共点的个数〔〕 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 不能确定【答案】C 【解析】【分析】表示圆的HY 方程，进而表示圆心和半径，再由圆心到直线的间隔断定直线与圆的位置关系，即可得答案.【详解】因为圆222222ππ1cos cos 1362x y ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心为()0,0,1r =那么圆心到直线10x y +-=的间隔为12d ==< 所以公一共点有2个应选：C【点睛】此题考察直线与圆的位置关系，属于根底题.3.假设复数z 满足23z z i +=-，其中i 为虚数单位，那么||z =〔〕A. 2D. 3【答案】C 【解析】分析：设复数(,)z x yi x y R =+∈，利用相等，求得1,1x y ==-，进而可求复数的模. 详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，那么22233z z x yi x yi x yi i +=++-=+=-，那么1,1x y ==-，所以1z i =-，所以z = C.点睛：此题考察了复数相等的概念和复数模的求解，着重考察了学生的推理与运算才能.4.()2323P ?log 3Q ?log 2R ?log log 2===，，，那么( ) A. R<Q<P B. P<R<QC. Q<R<PD. R<P<Q【答案】A 【解析】试题分析：由对数函数的性质，()22323P ?log 3>log 21Q ?log 2(0,1)R ?log log 20===∈=<，，，应选A.考点：对数函数的性质 5.给出以下命题：① 假设直线l 上有两个点到平面α的间隔相等，那么直线//l 平面α； ② 长方体是直四棱柱；③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥. 其中正确命题的个数是〔〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】①由线面平行的断定定理即可断定； ②由长方体与直棱柱的定义即可断定； ③构建特殊的例子，如图即可断定.【详解】①该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面α的间隔也是相等的，故错误； ②显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；③两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如下图的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误.应选：B【点睛】此题考察直线与平面的位置关系，直棱锥和正棱锥的定义，属于简单题. 6.“sin 0α=〞是“sin 20α=〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由sin 0α=可得α，由sin 20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果.【详解】解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈，所以“sin 0α=〞是“sin 20α=〞的充分不必要条件，应选：A.【点睛】此题考察条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，此题是根底题.7.截至2021年10月，世界人口已超过75亿.假设按千分之一的年增长率计算，那么两年增长的人口就可相当于一个〔〕 A. 新加坡〔570万〕 B. 希腊〔1100万〕 C. 巴布韦〔1500万〕 D. 澳大利亚〔2500万〕【答案】C 【解析】【分析】由指数幂的计算方式求得答案.【详解】由题可知，年增长率为0.001，那么两年后全世界的人口有()275000010.001⨯+万，那么两年增长的人口为()275000010.0017500001500.75⨯+-=万应选：C【点睛】此题考察指数式的计算，属于根底题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，那么该四面体的体积为〔〕A. 83B.23C.43D. 2【答案】B【解析】分析：根据三视图得到原几何体为一个三棱锥，即可求解该三棱锥的体积. 详解：由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面〔俯视图〕的面积为11212S=⨯⨯=，高为2h=，所以该三棱锥的体积为11212333V Sh==⨯⨯=，应选B.点睛：此题考察了几何体的三视图及组合体的外表积的计算，根据三视图的规那么，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在复原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进展综合考虑.求解以三视图为载体的空间几何体的外表积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解.9.函数13,10,()1,01,xf x xx x⎧--<≤⎪=+⎨⎪<≤⎩那么当12m<<时，函数()()g x f x mx m=--在区间(]1,1-内的零点个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】利用转化思想将零点问题转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，进而作图分析由数形结合思想即可得答案.【详解】函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点，可等价于方程()0f x mx m --=的根，进一步转化为分段函数()y f x =在区间(]1,1-内与过定点的直线()1y m x =+的函数图象的交点，作出分段函数的在区间(]1,1-内图象，因为直线()1y m x =+过定点()1,0A -且斜率102m <<，那么直线必然与线段OB 相交于一点，故交点个数有2个，所以函数()()g x f x mx m =--在区间(]1,1-内的零点个数为2.应选：C【点睛】此题考察利用转化思想与数形结合思想解决函数的零点个数问题，属于较难题.10.对于数列{}n a ，假设存在常数M ，使得对任意n *∈N ，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ，那么记作{}n a M ∆，那么以下命题正确的选项是〔〕． A. 假设{}n a M ∆，那么数列{}n a 各项均大于或者等于M ； B. 假设{}n a M ∆，那么{}22n a M ∆；C. 假设{}n a M ∆，{}n b M ∆，那么{}2n n a b M +∆；D. 假设{}n a M ∆，那么{}2121n a M +∆+；【答案】D 【解析】【分析】通过数列为1，2，1，2，1，2…，当 1.5M =时，判断A ；当3M =-时，判断B ；当数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =时，可判断C ；直接根据定义可判断D 正确. 【详解】A 中，在数列1，2，1，2，1，2…中， 1.5M =，数列{}n a 各项均大于或者等于M 不成立，故A 不正确；B 中在数列1，2，1，2，1，2…中，3M =-，此时{}22n a M ∆不正确，故B 错误；C 中，数列{}n a 为1，2，1，2，1，2…，{}n b 为2，1，2，1，2…， 1.6M =，而{}n n a b +各项均为3，那么{}2n n a b M +∆不成立，故C 不正确；D 中，假设{}n a M ∆，那么{}21n a +中，21n a +与121n a ++中至少有一个不小于21M +，故{}2121n a M +∆+正确，应选D ．【点睛】此题主要考察数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{}n a M ∆是解题的关键，属于中档题. 二、填空题一共5题，每一小题5分，一共25分.11.函数2()(2)1f x x a x =+++〔[,]x a b ∈〕是偶函数，那么实数b =_____. 【答案】2 【解析】【分析】因为函数()f x 〔[,]x a b ∈〕是偶函数，那么其对称轴为y 轴，且0a b +=，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数2()(2)1f x x a x =+++〔[,]x a b ∈〕是偶函数，那么其对称轴为y 轴，且0a b += 又因为该二次函数的对称轴为22a x +=-，所以2a =-，故2b =. 故答案为：2【点睛】此题考察由函数的奇偶性求参数的值，属于根底题. 12.函数2cos 2sin y x x =-的最小正周期等于_____. 【答案】π 【解析】【分析】利用降幂公式整理化简，再由三角函数的最小正周期2T πω=求得答案.【详解】因为函数21cos 231cos 2sin cos 2cos 2222x y x x x x -=-=-=- 故最小正周期等于π. 故答案为：π【点睛】此题考察求三角函数的最小正周期，属于根底题.13.(1)nx +的展开式各项系数之和为64，那么n =_____，展开式中含2x 项的系数为_____.【答案】 (1). 6 (2). 15 【解析】【分析】利用赋值法，令1x =，那么(1)nx +的展开式各项系数之和为2n ，即可求得n ；再由二项展开式的通项求得含2x 项的系数.【详解】令1x =，那么(1)nx +的展开式各项系数之和为62642==n ，那么6n =；其中通项16rrr T C x +=⋅，令2r ，那么2223615T C x x =⋅=，故2x 项的系数为15.故答案为：(1). 6；(2). 15【点睛】此题考察求二项展开式中指定项的系数，还考察了赋值法的应用，属于根底题.14.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.如今我国采用国际HY ，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A、、8A 所有规格的纸张的幅宽〔以x 表示〕和长度〔以y 表示〕的比例关系都为:1:x y =；②将0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、、8A 纸各一张.假设4A 纸的宽度为2dm ，那么0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】(1).4【解析】【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =的纸张的长度为1i a +，那么数列{}n a成以2为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，那么数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和. 【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai的宽度为12i a +，()1A i +的长度为212i i a ++=，所以，数列{}n a是以2为公比的等比数列，由题意知4A纸的宽度为522a =，5a ∴=512142a a ∴===⎛ ⎝⎭所以，0A纸的面积为(2221122S a ===，又2n n S a =，222111122n n n n n nS a S a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，数列{}n S 是以642为首项，以12为公比的等比数列，因此，这9张纸的面积之和等于9216421511221412dm ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=-. 故答案为：642；51124. 【点睛】此题考察数列应用题的解法，考察等比数列通项公式与求和公式的应用，考察运算求解才能，属于中等题.15.曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.假设对于点A 〔m ，0〕,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，那么m 的取值范围为 .【答案】[2,3] 【解析】【详解】故答案为[2,3].三、解答题一共6题，一共85分.解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程.16.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为4的正方形，11A C 与11B D 交于点N ，1BC 与1B C 交于点M ，且AM BN ⊥.〔Ⅰ〕证明：//MN 平面1A BD ；〔Ⅱ〕求1AA 的长度；〔Ⅲ〕求直线AM 与DN 所成角的余弦值.【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕1AA 的长度等于22.〔Ⅲ〕2211【解析】【分析】〔Ⅰ〕在以11A BC ∆中，利用中位线定理证明1//MN A B ，再由线面平行的断定定理得证；〔Ⅱ〕由说明DA ，DC ，1DD 两两垂直，进而可建立空间直角坐标系，再分别表示点的坐标，即可表示AM ，BN 的坐标，由向量垂直的数量积为零构建方程求得答案；〔Ⅲ〕由数量积的坐标运算求夹角的余弦值.【详解】〔Ⅰ〕证明：由，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11BCC B 与四边形1111D C B A 是平行四边形，所以M ，N 分别是1BC ，11A C 的中点. 所以11A BC ∆中，1//MN A B .因为MN ⊄平面1A BD ，所以//MN 平面1A BD . 〔Ⅱ〕因为1AA ⊥平面ABCD ，11//DD AA ，所以1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥，又正方形ABCD 中AD CD ⊥，所以以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设1AA t =，所以(4,0,0)A ，(2,4,)2t M ，(4,4,0)B ，(2,2,)N t ，(2,4,)2tAM =-，(2,2,)BN t =--.因为AM BN ⊥，所以2(2)(2)4(2)4022t t AM BN t ⋅=-⨯-+⨯-+⨯=-+=，解得t =，所以1AA 的长度等于〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知(2,AM =-，(2,2,DN =，设直线AM 与DN 所成角为θ，所以||22cos |cos ,|11||||AM DN AM DN AM DN θ⋅=<>==.即直线AM 与DN 所成角的余弦值为11. 【点睛】此题考察空间中线面平行的证明，还考察了利用空间向量求棱长与异面直线所成角，属于简单题.17.自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：〔Ⅰ〕现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在[)30,50且未使用自由购的概率；〔Ⅱ〕从被抽取的年龄在[]50,70使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步理解情况，用X 表示这3人中年龄在[)50,60的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望；〔Ⅲ〕为鼓励顾客使用自由购，该超拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.假设某日该超预计有5000人购物，试估计该超当天至少应准备多少个环保购物袋. 【答案】17100；〔Ⅱ〕详见解析；〔Ⅲ〕2200 【解析】【分析】〔Ⅰ〕随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50〕且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；〔Ⅱ〕X 所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；〔Ⅲ〕随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．【详解】〔Ⅰ〕在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的一共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17100P =．〔Ⅱ〕X 所有的可能取值为1,2,3，()124236C C 115C P X ===, ()214236C C 325C P X ===, ()304236C C 135C P X ===. 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为1311232555EX =⨯+⨯+⨯=. 〔Ⅲ〕在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的一共有3121764244+++++=人，所以该超当天至少应准备环保购物袋的个数估计为4450002200100⨯=. 【点睛】此题考察统计表，随机变量X 的分布列及数学期望，以及古典概型，是一道综合题． 18.现给出三个条件：①函数()f x 的图象关于直线π3x =对称；②函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；③函数()f x 的图象上相邻两个最高点的间隔为π.从中选出两个条件补充在下面的问题中，并以此为根据求解问题.函数())f x x =ω+ϕ〔0>ω，π||2ϕ<〕，_____，_____.求函数()f x 在区间ππ[,]26-上的最大值和最小值. 【答案】见解析【解析】【分析】方案①③与②③，都有周期2T πω=可求得ω，再由sin 型函数的对称轴2k ππ+与对称中心(),0k π求得ϕ，即可表示解析式，最后由三角函数的性质求得指定区间的最值；方案①②中，由对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-可构建方程组，分别表示ω与ϕ，利用分类讨论6πϕ=-和6π时ω的情况，其中假设T 小于所求区间范围的区间长度，那么最值由振幅确定，反之那么可由性质求值域.【详解】方案一：选①③.由，函数()f x 的最小正周期πT =，所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.令π2π2x k ϕ+=+，得ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z . 所以()f x 的对称轴方程为ππ422k x ϕ=-+，k ∈Z .令πππ4223k ϕ-+=，k ∈Z ，由π||2ϕ<，得π6ϕ=-.综上，π())6f x x =-.因为ππ[,]26x ∈-，所以π7ππ2[,]666x -∈-.所以当π7π266x -=-或者π6，即π2x =-或者π6时，max ()f x =；当ππ262x -=-，即π6x =-时，min ()f x =. 方案二：选②③.由，函数()f x 的最小正周期πT =，所以2ππω=，2=ω，所以())f x x ϕ=+.所以ππ())063f ϕ-=-+=，于是ππ3k ϕ-+=，k ∈Z . 由π||2ϕ<，得π3ϕ=.综上，π())3f x x =+.因为ππ[,]26x ∈-，所以π2π2π2[,]333x +∈-. 所以当ππ232x +=，即π12x =时，max ()f x =当ππ232x +=-，即5π12x =-时，min ()f x =.方案三：选①②.由可知其中一个对称轴π3x =与对称中心π(,0)6-，那么()112232,6k k Z k Z k ππωϕππωϕπ⎧+=+⎪⎪∈∈⎨⎪-+=⎪⎩，解得1212221121336k k k k ωϕπ=-+⎧⎪⎨⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎩ 因为12121π||3362k k ϕπ⎛⎫=++< ⎪⎝⎭，那么12221k k -<+<，即1221k k +=-或者0当1221k k +=-时，()222,22121616k k k πϕω=-=---+=--因为0>ω，那么()22216106k k k Z -->⇒<-∈ 当21k =-时，5ω=，那么225T ππω==又因为区间ππ[,]26-的区间长度为2623T πππ⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-上的最大值为22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立，当1220k k +=时，()222,2221616k k k πϕω==--+=-+因为0>ω，那么()22216106k k k Z -+>⇒<∈当20k =时，1ω=，那么223T ππ=>此时函数π=+())6f x x ，那么其在区间[,]26ππ-上有363x πππ-≤+≤，即33)262x π-≤+≤，故最大值为32，最小值为32-，当21k =-时，7ω=，那么2273T ππ=<，所以函数()f x 在区间ππ[,]26-和最小值为22,3,k =--⋅⋅⋅时也成立综上所述，函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω-ω=--≤-∈ ⎪⎝⎭和函数()()61,1,6f x x k k k Z π⎛⎫=ω+ω=-+≤-∈ ⎪⎝⎭在区间ππ[,]26-和最小值为π=+())6f x x 在区间[,]26ππ-上最大值为32，最小值为32-.【点睛】此题考察由三角函数的性质求解析式，还考察了求指定区间的最值，属于难题.19.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C 22:12x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.〔1〕求点P 的轨迹方程；〔2〕设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【答案】〔1〕222x y +=；〔2〕见解析. 【解析】【详解】试题分析：〔1〕转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应动点坐标，利用条件列两种坐标关系，最后代入动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；〔2〕证明直线过定点问题，一般方法是以算代证：即证0OQ PF ⋅=，先设 P 〔m ，n 〕，那么需证330+-=m tn ，即根据条件1OP PQ ⋅=可得2231--+-=m m tn n ，而222m n +=，代入即得330+-=m tn .试题解析：解：〔1〕设P 〔x ，y 〕，M 〔00,x y 〕,那么N 〔0,0x 〕，00NP (x ,),MN 0,x y y =-=（）由NP 2NM =得0002x y y ==，. 因为M 〔00,x y 〕在C 上，所以22x 122y +=.因此点P 的轨迹为222x y +=.由题意知F 〔-1,0〕，设Q 〔-3，t 〕，P 〔m ，n 〕，那么OQ 3t PF 1m n OQ PF 33m tn =-=---⋅=+-，，，，，OP m n PQ 3m t n ==---，，（，）. 由OP PQ 1⋅=得-3m-2m +tn-2n =1，又由〔1〕知222m n +=，故3+3m-tn=0.所以OQ PF 0⋅=，即OQ PF ⊥.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或者取特殊值来确定“定点〞是什么、“定值〞是多少，或者者将该问题涉及的几何式转化为代数式或者三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 20.函数21()(1)e 22xf x x ax ax =+++，0a <. 〔Ⅰ〕假设()f x 满足(0)0f '=，务实数a 的值；〔Ⅱ〕讨论()f x 的极值点的个数；〔Ⅲ〕假设0x 〔02x ≠-〕是()f x 的一个极值点，且2(2)e f -->，证明：0()1≤f x .【答案】〔Ⅰ〕1a =-；〔Ⅱ〕当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或者2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点；〔Ⅲ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕对()f x 求导，由(0)0f '=构建方程，求得a 的值；〔Ⅱ〕对()f x 求导，利用分类讨论思想讨论()f x 在当2a e -<-，2a e -=-，2e 0a --<<时的单调性，进而分析极值点的个数；〔Ⅲ〕由2(2)e f -->，可得2e a -<-，此时由〔Ⅱ〕可知其两个极值为-2和ln()a -时，又0x 〔02x ≠-〕是()f x 的一个极值点，那么()0ln x a =-，即可表示0()f x ，进而由换元法令()()ln 2,t a =-∈-+∞，构造新的函数利用导数证明此时的不等式即可.【详解】〔Ⅰ〕()(2)e 2(2)(e )x x f x x ax a x a '=+++=++. (0)2(1)0f a '=+=，所以1a =-.〔Ⅱ〕()(2)e 2(2)(e )xxf x x ax a x a '=+++=++ 当0a <时，令()0f x '=，解得12x =-，()2ln x a =-. ①当2a e -<-时，2ln()a -<-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.②当2a e -=-时，12x x =，此时()0f x '≥恒成立且不恒为0()f x ∴在R 上单调递增，无极值点.③当2e 0a --<<时，2ln()a ->-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 有2个极值点.综上所述：当2a e -=-时，()f x 无极值点；当2e a -<-或者2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，假设()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，那么22(,e )(e ,0)a --∈-∞--.又22(2)e2e f a ---=-->，即2e a -<-.02x ≠-()0ln x a ∴=-.()()()()()()()()ln 22011ln 1ln 2ln ln 2ln 222a f x a e a a a a a a a -⎡⎤∴=-++⋅-+-=-+--⎣⎦. 令()()ln 2,t a =-∈-+∞，那么e t a =-()()21e 222t g t t t ∴=-+-，()2,t ∈-+∞. 那么()()()211e 44e 22t t g t t t t t '=-+=-+，令()0g t '=，解得4t =-或者0t =. 当t 在区间(2,)-+∞上变化时，()g t '，()g t 的变化如下表()g t ∴在()2,0-上单调递增；在()0,∞+上单调递减()()()02max 10e 020212g t g ∴==-+⨯-=，即()1g t ≤()01f x ∴≤.【点睛】此题考察利用导数证明不等式，还考察了利用分类讨论分析含参函数的单调性进而分析极值，属于难题.21.集合12{|(,,,),*,1,2,,}n n i S X X x x x x i n ==∈=N 〔2n ≥〕.对于12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n n B b b b S =∈，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)n n a a a a a a λλλλ=〔R λ∈〕；A 与B 之间的间隔为1(,)||niii d A B a b ==-∑．〔Ⅰ〕当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．假设(,)7d A B =，求5a ；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明：假设,,n A B C S ∈，且0λ∃>，使AB BC λ=，那么(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；〔ⅱ〕设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0λ∃>，使AB BC λ=？说明理由；〔Ⅲ〕记(1,1,,1)n I S =∈．假设A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．【答案】〔Ⅰ〕51a =，或者55a =．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕见解析〔ⅱ〕不存在0λ>，使得AB BC λ=．见解析〔Ⅲ〕(,)d A B 的最大值为2p ．【解析】【分析】〔Ⅰ〕由的新定义1(,)||niii d A B a b ==-∑，代值计算即可；〔Ⅱ〕〔ⅰ〕由新定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---，可将转化为0λ∃>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =，所以i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或者同为负数，进而由1(,)||ni i i d A B a b ==-∑与绝对值的性质即可得证；〔ⅱ〕举特例取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，即可说明不存在；〔Ⅲ〕由绝对值的性质对,x y ∈R ，都有||||||x y x y +≤+，那么所求式子11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)n i i i b a =≤-+-∑11|1||1|2n ni i i i a b p===-+-=∑∑．【详解】〔Ⅰ〕当5n =时，由51(,)||7i ii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由 *5a ∈N ，得 51a =，或者55a =．〔Ⅱ〕〔ⅰ〕证明：设12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =，12(,,,)n C c c c =．因为 0λ∃>，使 AB BC λ=，所以 0λ∃>，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=---λ,,，即 0λ∃>，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -=同为非负数或者同为负数．所以 11(,)(,)||||n n i i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)ni i i i i b a c b ==-+-∑ 1||(,)n i i i c a d A C ==-=∑．〔ⅱ〕设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0λ∃>，使得 AB BC λ=．反例如下：取(1,1,1,,1)A =，(1,2,1,1,,1)B =，(2,2,2,1,1,,1)C ，那么 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB =，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在0λ>，使得AB BC λ=．〔Ⅲ〕解法一：因为 1(,)||n i i i d A B b a ==-∑，设(1,2,,)i i b a i n -=中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m =时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++时，0i i b a -<．所以 1(,)||ni ii d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以 11(1)(1)n n i i i i a b ==-=-∑∑，整理得 11n ni ii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]n i i m m i d A B b a b b b a a a ==-=+++-+++∑．因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯=，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，那么有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n n i i i i i i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)n i i i b a =≤-+-∑ 11|1||1|2n n i i i i a b p ===-+-=∑∑．上式等号成立的条件为1i a =，或者1i b =，所以 (,)2d A B p ≤．对于 (1,1,,1,1)A p =+，(1,1,1,,1)B p =+，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ．【点睛】此题考察向量与绝对值求和的新定义问题，还考察了绝对值的性质的应用，属于难题.本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高三下学期数学统练一(学生)

ABCD 是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使 P，Q， P
D
C
R
R，S 四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂
直的面有 n 对，则（）
A
B
A. n=3
B. n=4
C. n=5
D. n=6
Q
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．）
11.二项式 (2x 1 )5 的展开式中 x3 的系数为__ _. x
17.（本小题满分 14 分）
为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，
现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30 天）的快递件数记录结果中随机抽取 10 天的数据，制表如下：
பைடு நூலகம்
甲公司某员工 A
乙公司某员工 B
396583 3 23 4 66 6 77
m
4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是( )
A. f (x) x2 x
B. f (x) | ln x |
C. f (x) xsin x
D. f (x) ex ex
5.在四边形 ABCD 中，“ R ， AB DC, AD BC ”是“四边形 ABCD 为平行四边
形”的( )
A. 充分而不必要条件
其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
（16）(本小题满分 14 分)
在等比数列an 中， a1
1 2
, a4
4
， n N*
.
（I）求数列 {an } 的通项公式；
2

高三数学统练试卷1

高三数学统练试卷一、选择题：〔共12题,每题5分,共60分〕1．设集合,,那么〔〕(A)(B)(C)(D)2．当时,以下不等式中正确的选项是〔〕(A)(B)(C)(D)3．给出四个命题：(1)假设平面,那么“点P在上〞是“点P为的公共点〞的充要条件；(2)“a,b是异面直线〞指的是“〞；(3)分别与两异面直线a,b都相交的两条直线必是异面直线；(4)如果一条直线与一个平面的斜线垂直,那么它必然与斜线在该平面内的射影垂直；其中正确命题的个数为〔〕(A)0(B)1(C)2(D)34．(理),,且,那么以下不等式正确的选项是()(A)(B)(C)(D)〔文〕不等式的解集是〔〕(A)(B)(C)(D)5．设有两个命题：〔1〕关于的不等式对一切恒成立；〔2〕函数是减函数.假设这两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数的取值范围是〔〕(A)(B)(C)(D)6．有如下三个命题:甲：相交两条直线都在平面内,并且都不在平面内乙：之中至少有一条与相交丙：与相交当甲成立时,〔〕(A)乙是丙的充分而不必要条件(B)乙是丙的必要而不充分条件(C)乙是丙的充分且必要条件(D)乙既不是丙的充分条件,也不是丙的必要条件7．椭圆C与椭圆关于直线对称,那么椭圆C的方程为〔〕(A)(B)(C)(D)8．不等式的解集为(-3,0)那么a的值是〔〕(A)(B)(C)(D)39．设为三条不同的直线,为三个不同的平面,以下四个命题中真命题的个数是〔1〕假设,那么；〔2〕假设,那么或；〔3〕假设,那么；〔4〕假设,那么；(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个10．点M到A(0,1),B(2,a)及x轴的距离都相等,假设满足条件的点M只有一个,那么的值为〔〕(A)0或2(B)0或1(C)-1或1(D)1或211．对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足∣PQ∣∣∣,那么a的取值范围是〔〕(A)(B)(C)[0,2](D)(0,2)12．,那么的最小值是〔〕(A)(B)(C)(D)二、填空题：〔共8题,每题5分,共40分〕13．在正方体中,M,N分别是和的中点,假设θ为直线与所成的角,那么cosθ=____.14．假设关于x的不等式在R上恒成立,那么的最大值是______.15．假设,那么实数a的取值范围是______.16．直线被圆截得的弦长为8,那么的最大值是______.17．椭圆与圆有公共点,那么a的最大值和最小值分别为______.18．,那么的最小值是______.19．下面四个命题：(1) 经过两两相交的三条直线确定一个平面；(2) 经过平面外一点,有且只有一个平面与这个平面垂直；(3) 假设是异面直线,那么一定存在平面与直线所成的角相等；(4) 平面相交,直线,那么内不一定存在直线与平行,但必存在直线与垂直；(5) 两个平面互相垂直,过其中一个平面内的一点作它们交线的垂线,那么此垂线垂直于另一个平面；其中真命题的序号为______.20．要挖一个面积为800的矩形养鱼池,并在四周围绕鱼塘修出宽分别为1和2的路,对边的路宽相等,当为修此鱼池而占地的总面积最小时,鱼池的长和宽分别为______.三、解做题：〔共4个题,总分50分〕21．〔此题12分〕解关于x的不等式：22．〔此题12分〕正方体中,点E是的中点,如图,(1)求证：；(2)求证：；(3)求证：不垂直于平面.23．〔此题13分〕函数,1〕m=1时,解不等式；2〕假设对于满足的一切实数m,都有,求x的范围.24．〔此题13分〕抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同两点A、B,|AB|2p,1〕求的取值范围；2〕假设线段AB的垂直平分线交x轴于N点,求⊿NAB面积的最大值.高三数学统练试卷答案行政班_________分组教学班_________姓名_________得分_________一、选择题：〔共12题,每题5分,共60分〕题号 1 2 3 4 5 6答案 A D B B D C题号7 8 9 10 11 12答案 A B A B B A二、填空题：〔共8题,每题5分,共40分〕13．____ 14． 1 15．____ 16．____17．6,-6 18．__5+2__ 19．(3) (4) 20. 40,20 三、解做题：〔共4个题,总分50分〕21．〔此题12分〕解关于x的不等式：解：设,不等式可化为,,即或解得或,即时,；时,.22．〔此题12分〕正方体中,点E是的中点,如图,(1) 求证：,(2) 求证：,(3) 求证：不垂直于平面.解答：略.23．〔此题13分〕函数,1〕m=1时,解不等式；2〕假设对于满足的一切实数m,都有,求x的范围.解：1〕时,,解得,2〕对任意均成立,由图可知,所求范围是夹在时直线与曲线的两交点之间的点所对应的的取值范围.时,令,得时,令,得那么所求范围是.24．〔此题13分〕抛物线,过动点且斜率为1的直线与该抛物线交于不同两点A、B,|AB|2p,1〕求的取值范围；2〕假设线段AB的垂直平分线交x轴于N点,求⊿NAB面积的最大值.解：1〕设与联立得即,解得又由,得∴的取值范围是.2〕线段AB的中点为,线段AB的垂直平分线是,即令,那么,,,.。

2021-2022年高三第一次统练数学理试题

2021-2022年高三第一次统练数学理试题一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}()(){}021,012<-+∈=<+∈=x x x B x x A R R ,则A.B. C. D. 【答案】B,,所以，选B.2.在复平面内,复数对应的点的坐标为A.B. C. D. 【答案】A12(12)(2)52(2)(2)5i i i i i i i i ----===-++-,所以对应点的坐标为，选A. 3.参数方程(为参数)与极坐标方程所表示的图形分别是A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线【答案】B将参数方程消去参数得，所以对应图形为直线。

由得，即，即，对应图形为圆，所以选B.4.已知向量,且,则实数A.B. C.6 D.14【答案】D因为，所以，即，所以，解得。

选D.5.如图,分别与圆相切于点是⊙的割线,连接.则A.B.C.D.【答案】C由切线长定理知,所以错误。

选C.6.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为A.36B.30C.24D.12【答案】C若选1，则有种。

若选0，则有种，所以共有，选C. 7.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为.若圆不经过区域上的点,则的取值范围是A.B. C.D.【答案】D不等式对应的区域为ABE.圆心为，区域中，A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，所以要使圆不经过区域D,则有或.由得，即。

由，得，即。

所以，，所以或，即的取值范围是，选D.8.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是A.B. C.是奇函数D.的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ 【答案】D因为恒成立，所以是函数的对称轴，即,所以，又，所以，即，所以，所以，即。

高三数学统测试题一理试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三年级统测〔一〕试题数学试题〔理〕本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

第一卷选择题一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕{}52x x A =-<<，{}33x x B =-<<，那么A B =A ．{}32x x -<<B ．{}52x x -<<C ．{}33x x -<<D ．{}53x x -<<“∃0x ∈R ，02x ≤0〞的否认是A ．∃0x ∈R ，02x ＞0B ．∃0x ∈R ，02x ≥0C ．∀0x ∈R ，02x ≤0D ．∀0x ∈R ，02x ＞03．函数f (x )＝)1ln(+x ＋的定义域为A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]4．设1.05.0=a,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,那么A.a c b >>B ．a c b >>C ．c a b >> D.c a b >> 5．函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为 A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6.设21:()1,:log 02x p q x <<,那么p 是q 的A 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3()x f x m m =+为常数，那么3(log 5)f -的值是A ．0B ．－2C ．－4D ．－68.函数||()x f x x e =⋅的大致图象为A.B.C.D.9、设函数23)21()(--=x x x f 的零点为x 0，那么x 0所在的区间是A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10、定义在R上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，当[]1,1x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图像与函数()lg g x x=的图像的交点一共有A.10个B.9个C.8个D.1个 11．函数3()31f x x x =--，假设对于区间[－3,2]上的任意12,x x ，都有12()()f x f x t -≤，那么实数t 的最小值是(A ．0B ．3C ．18D ．2012．函数()f x 的定义域为R ,且()()2x f x f x xe -'+=，假设(0)1f =,那么函数()()f x f x '的取值范围是 A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[2,0]- D.[0,2]第二卷非选择题二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分〕 13、设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，那么a =．14、计算:dx x )1(222+-⎰＝________．15、偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，那么=-)1(f _______.16、函数3211()(0)32f x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()g x ，且(1)0,,g a b c =<<设12,g x x 是方程(x)=0的两个根，那么12x x -的取值范围为____三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤〕17、〔本小题总分值是12分〕设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。

天津市新华中学2022-2023学年高三上学期数学统练1

2022-2023学年高三年级部统练数学试卷第I 卷1．设集合{}220A x x x =−−≥，{0}B x x =>，则A B =（） A ．(0,1]B ．(0,2]C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞2．已知α∈R ，则“sin 20α>”是“tan 0α>”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（） A ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．tan2y x =C ．()2sin y x π=−D ．()tan y x π=+4．对某校400名学生的体重（单位：）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60以上的人数为A ．300B ．100C ．60D ．205．已知11231111,,log 23ea b c π−⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a << B ．b a c << C ．a c b << D ．b c a <<6．若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为15π的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为（） ABCD7．设25a b m ==，且111ab+=，则m =（） AB ．10C ．20D ．1008．已知1F ，2F 为双曲线2214xy −=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，那么点P 到x 轴的距离为（） AB．5CD9．||||2()x x x e f x e −=的最大值与最小值之差为（）A ．4−B ．4eC ．44e−D ．0第II 卷10．20191i 1i +⎛⎫ ⎪−⎝⎭＝_____．11．若(13)n x −展开式中各项系数的和等于64,则展开式中2x 的系数是________. 12．过原点且倾斜角为30°的直线被圆2240x y y +−=所截得的弦长为_________.13．下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是______．14．已知函数22,2,()3, 2.x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪−<⎩则((2))f f =_____________；若关于x 的函数()y f x k =−有且只有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是______________．15．在ABC 中，点M ､N 分别为CA ､CB 的中点，点G 为AN 与BM的交点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则BC BA ⋅=______；AG AC ⋅=______.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足()1cos a b A B ⎡⎤=−+⎣⎦，且a c >．(1)证明：sin 1tan CB=； (2)若tan B =c =ABC 的面积． 17．如图,四棱锥P ABCD −中,平面PAD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为梯形.//.2AB CD AD DC ==PAD 与ABD 均为正三角形.E 为AD 的中点,G为PAD 重心,AC 与BD 相交于点F . (1)求证://GF 平面PDC ； (2)求三棱锥G PCD −的体积.18．在等差数列{}n a 中，515S =，1710a a +=．（1）求数列{}n a 的通项式n a ；（2）设33n n na b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=−，求椭圆Γ的方程；（2）设a 2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点. 20．已知函数f (x )=28ln ax x −.（1）若函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y = − 4x +m ，求实数a ，m 的值；（2）当a =1时，求函数f (x )在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.。

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高三数学统练一（导数） 04.9.7
班级______姓名__________学号_______
一．选择题
1．函数在0x 处可导是它在0x 处连续的（）
)(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件
f '
)(C 24R R π⋅∆ )(D 24R π
8．x x y sin 2=，则='y （）
)(A x x sin 2 )(B x x cos 2 )(C x x x x cos cos 22+ )
(D x x x x cos sin 22+
形的面积之和最小时，两矩形的长依次为（）
)(A 1215,3737l l )(B 915,2652l l )(C 36183,97485l l )(D 975,52416
l l 9．设函数2322,2()42,2x x f x x x x a
+⎧>-⎪=--⎨≤⎪⎩在2x =处连续，则a =（） (A )1
- (B )1- (C )1 (D )1
（三）解答题
16．已知函数53()1f x x ax bx =+++，当且仅当1x =-，1x =时取得极值，且极大值比极小值大4，求a 、b 的值．
17．在曲线y＝x3－x上有两个点O（0，0），A（2，6），求弧 OA上点I的坐标，使△AOI 的面积最大．
18．已知f (x )=
2
22+-x a x (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数。

（I ）求实数a 的值组成的集合A ；（II ）设关于x 的方程f (x )=x
1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【文】设函数()n y x a =-，求证：()
1'n y n x a -=-。

高三数学统练一（导数）答案
一．ABDAA ，ABDCD
二．11．4；
12．()111,1,,416⎛⎫- ⎪；
5
令'3y =，解得：x =
所以，I ⎝⎭。

18．已知f (x )=2
22+-x a x (x ∈R )在区间[-1，1]上是增函数。

（I ）求实数a 的值组成的集合A ；
（II ）设关于x 的方程f (x )=
x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存
在，请说明理由。

【文】设函数()n y x a =-，求证：()1'n y n x a -=-。

解：（I ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)
2()2(2+---x ax x ，
＇
要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，
即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，
方法一：
g (－1)=m 2－m －2≥0，
② ⇔
g (1)=m +m －2≥0，
⇔m ≥2或m ≤－2.
所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.
方法二：
当m =0时，②显然不成立；
当m ≠0时，
② 20(1)20m g m m >⎧⎨-=--⎩≥或20(1)20m g m m <⎧⎨=+-⎩
≥ ⇔ m ≥2或m ≤－2.
所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.。