【学海导航】2014版高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)奇偶性、周期性、对称性同步测控 理

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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析2.3函数的奇偶性与周期性

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析2.3函数的奇偶性与周期性

2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.3函数的奇偶性与周期性一、函数的奇偶性注:1、奇偶函数的定义域的特点:由于定义中对任意一个x都有一个关于原点对称的-x在定义域中,即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称;2、存在既是奇函数,又是偶函数的函数,它们的特点是定义域关于原点对称,且解析式化简后等于零。

二、奇偶函数的性质1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)。

2、在公共定义域内,亦即:(1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;(2)两个偶函数的和函数、积函数是偶函数;(3)一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。

注:以上结论是在两函数的公共定义域内才成立;并且只能在选择题、填空题中直接应用,解答题需先证明再利用。

3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义,则f(0)=0.4、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称,且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;5、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必须成立;6、可逆性: )()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数;)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数;7、等价性:)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f8、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y 轴对称;9、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、周期性1、周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,T 为这个函数的周期。

2、最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。

【学海导航】2014版高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)周期性、对称性同步测控 文

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第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性1.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)=-f (x ),则f (6)的值为( )A .-1B .0C .1D .22.满足f (x +π)=-f (x ),f (-x )=f (x )的函数可能是( )A .f (x )=cos2xB .f (x )=sin xC .f (x )=sin x 2D .f (x )=cos x 3.(2012·某某模拟)已知偶函数f (x )对任意实数x 都有f (x +1)=-f (x ),且在[0,1]上单调递增,则( ) A .f (75)<f (72)<f (73) B .f (72)<f (73)<f (75) C .f (73)<f (72)<f (75) D .f (75)<f (73)<f (72) 4.(2012·某某卷)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f (32)=________. 5.(2012·某某某某)已知函数f (x )的图象的两条对称轴为x =0和x =1,且在x ∈[-1,0]上f (x )单调递增,则f (2)______f (2).(填“>,<”)6.若f (x )是定义在R 上的奇函数,且f (x -2)=-f (x ),给出下列4个结论: ①f (2)=0;②f (x )是以4为周期的周期函数;③f (x )的图象关于直线x =0对称;④f (x +2)=f (-x ).其中所有正确的结论的序号是__________.7.函数y =f (x )是以4为周期的周期函数,且当x ∈[-2,2)时,f (x )=x2+1,则当x ∈[4n ,4n +4)(n ∈Z )时,试求出函数f (x )的解析式.1.已知函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,且当x ≥2时,f (x )=3x-1,则当x <2时,f (x )的解析式为__________________.2.(2012·某某模拟)已知f (x )的定义域为R ,且对任意x ∈Z ,都有f (x )=f (x -1)+f (x +1),若f (-1)=6,f (1)=7,则f (0)=______;f (2012)=______.3.已知函数f (x )=lg(x +1).(1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值X 围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2]).第6讲巩固练习1.B 解析:因为f (x +2)=-f (x )⇒f (x +4)=f (x ),所以f (6)=f (2)=-f (-2)=f (0)=0.2.D3.D 解析:当x ∈[2,3]时,x -4∈[-2,-1],所以f (x -4)=(x -4)2=f (x ),选D.4.C 解析:由f (x +1)=-f (x ),则周期为2,且为偶函数,则f (75)=f (-35)=f (35),f (72)=f (-12)=f (12),f (73)=f (13), 又在[0,1]上递增,故f (73)=f (13)<f (72)=f (12)<f (75)=f (35),故选C. 5.< 解析:x =0为对称轴,则在[0,1]上单调递减;又x =1为对称轴,则f (x )在[1,2]上单调递增,则f (2)<f (2).6.①②④ 解析:因为f (x -2)=-f (x )且f (x )是奇函数, 所以f (-2)=-f (0)=0,f (2)=-f (-2)=0. 又由f (x -2)=-f (x )得,f (x +4)=-f [(x +4)-2]=-f (x +2)=f (x ). 所以T =4是周期.所以y =f (x )的图象不关于x =0对称,③错. 因为f (x )是奇函数.所以f (x +2)=-f (-x -2)=-[-f (-x )]=f (-x ).7.解析:当x ∈[4n,4n +2)时,x -4n ∈[0,2),所以f (x )=f (x -4n )=x -4n 2+1=x 2-2n +1; 当x ∈[4n +2,4n +4)时,x -4(n +1)∈[-2,0), 所以f (x )=f [x -4(n +1)]=x -4n +12+1 =x2-2n -1. 综合得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-2n +1x ∈[4n ,4n +2x 2-2n -1x ∈[4n +2,4n +4. 提升能力 1.f (x )=34-x -1解析:由y =f (x )关于x =2对称,则f (x )=f (4-x )恒成立; 当x <2时,则4-x >2,得到f (4-x )=34-x -1,所以f (x )=34-x -1. 2.13 -6解析:由题意f (x )=f (x -1)+f (x +1),① 用x +1代x 得f (x +1)=f (x )+f (x +2),② ①+②得f (x +2)+f (x -1)=0,再用x +3代x 得f (x +5)+f (x +2)=0,即f (x +5)=f (x -1)的周期T =6,所以f (2012)=f (335×6+2)=f (2),令x =0,则f (0)=f (-1)+f (1)=13,令x =1,则f (1)=f (0)+f (2)⇒f (2)=-6,故f (2012)=-6.3.解析:已知(x 1-2)(x 2-2)<0,不妨设x 1<2,x 2>2, 则由f (-x )=-f (x +4)⇒f (x 1)=-f (4-x 1). 由x 1+x 2<4⇒4-x 1>x 2,且4-x 1>2.当x >2时,f (x )单调递增,所以f (4-x 1)>f (x 2). 所以f (x 1)+f (x 2)=-f (4-x 1)+f (x 2)<-f (x 2)+f (x 2)=0.。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.概念方法微思考1.如果已知函数f (x ),g (x )的奇偶性,那么函数f (x )±g (x ),f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论?提示在函数f (x ),g (x )公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.已知函数f (x )满足下列条件,你能得到什么结论?(1)f (x +a )=-f (x )(a ≠0);(2)f (x +a )=1f (x )(a ≠0);(3)f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ).提示(1)T =2|a |(2)T =2|a |(3)T =|a -b |题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y =x 2,x ∈(0,+∞)是偶函数.(×)(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)(3)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√)题组二教材改编2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x (1+x ),则f (-1)=________.答案-2解析f (1)=1×2=2,又f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=-2.3.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则f 32______.答案1解析f 32=f -124×-122+2=1.4.设奇函数f (x )的定义域为[-5,5],若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图所示,则不等式f (x )<0的解集为________.答案(-2,0)∪(2,5]解析由图象可知,当0<x <2时,f (x )>0;当2<x ≤5时,f (x )<0,又f (x )是奇函数,∴当-2<x <0时,f (x )<0,当-5≤x <-2时,f (x )>0.综上,f (x )<0的解集为(-2,0)∪(2,5].题组三易错自纠5.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是()A .-13 B.13C.12D .-12答案B 解析∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,∴a -1+2a =0,∴a =13.又f (-x )=f (x ),∴b =0,∴a +b =13.6.偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.答案3解析∵f (x )为偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (x )的图象关于直线x =2对称,∴f (1)=f (3).∴f (-1)=3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=36-x 2+x 2-36;(2)f (x )=ln (1-x 2)|x -2|-2;(3)f (x )2+x ,x <0,x 2+x ,x >0.解(1)-x 2≥0,2-36≥0,得x 2=36,解得x =±6,即函数f (x )的定义域为{-6,6},关于原点对称,∴f (x )=36-x 2+x 2-36=0.∴f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)-x 2>0,-2|≠2,得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x -2<0,∴|x -2|-2=-x ,∴f (x )=ln (1-x 2)-x.又∵f (-x )=ln[1-(-x )2]x =ln (1-x 2)x =-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x <0时,-x >0,则f (-x )=-(-x )2-x =-x 2-x =-f (x );当x >0时,-x <0,则f (-x )=(-x )2-x =x 2-x =-f (x );综上可知,对于定义域内的任意x ,总有f (-x )=-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数)是否成立.跟踪训练1(1)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A .f (x )=x +sin 2xB .f (x )=x 2-cos xC .f (x )=3x -13xD .f (x )=x 2+tan x答案D解析对于选项A ,函数的定义域为R ,f (-x )=-x +sin 2(-x )=-(x +sin 2x )=-f (x ),所以f (x )=x +sin 2x 为奇函数;对于选项B ,函数的定义域为R ,f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x =f (x ),所以f (x )=x 2-cos x 为偶函数;对于选项C ,函数的定义域为R ,f (-x )=3-x-13-x =-x f (x ),所以f (x )=3x -13x 为奇函数;只有f (x )=x 2+tan x 既不是奇函数也不是偶函数.故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A .y =xB .y =-x 3C .y =12log xD .y =x +1x答案B解析由题意得,对于函数y =x 和函数y =12log x 都是非奇非偶函数,排除A ,C.又函数y=x +1x 在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,排除D ,故选B.题型二函数的周期性及其应用1.(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (7)=________.答案-2解析f (7)=f (-1)=-f (1)=-2.2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=2-3,且对任意的x都有f(x+2)=1-f(x),则f(2020)=________.答案-2-3解析由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2020)=f(4).因为f(2+2)=1-f(2),所以f(4)=-1f(2)=-12-3=-2- 3.故f(2020)=-2- 3.3.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.答案6解析∵f(x+4)=f(x-2),∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.4.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x<1时,f(x)=2x-1,则f(1)+f(2)+________.答案2-1解析依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,则f(1)+f(-1)=0,f(-1)=f(1),即f(1)=0.∴f(1)+f(2)+=0+f(0)+=f(0)+=f(0)=122-1+20-1=2-1.思维升华利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数,若在区间[-2,0)∪(0,2]上,f (x )=ax +b ,-2≤x <0,ax -1,0<x ≤2,则f (2021)=________.答案-12解析设0<x ≤2,则-2≤-x <0,f (-x )=-ax +b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-ax +1=-ax +b ,所以b =1.而f (-2)=f (-2+4)=f (2),所以-2a +b =2a -1,解得a =12,所以f (2021)=f (1)=12×1-1=-12.(2)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1-x ,则f (x )=________.答案e-x -1-x ,x ≤0,e x -1+x ,x >0解析∵当x >0时,-x <0,∴f (x )=f (-x )=e x -1+x ,∴f (x )e -x -1-x ,x ≤0,e x -1+x ,x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =__________.答案1解析∵f (-x )=f (x ),∴-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),∴ln[(a +x 2)2-x 2]=0.∴ln a =0,∴a =1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f 12=f 32,则a +3b 的值为________.答案-10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以ff (-1)=f (1),故从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,即b =-2a .②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=-x 2+ax -1-a ,若函数f (x )为R 上的减函数,则a 的取值范围是____________.答案[-1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,若函数f (x )为R 上的减函数,则满足当x >0时,函数为减函数,且-1-a ≤0-a -2=a 2≤0,1-a ≤0,≤0,≥-1,即-1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )=|x |(10x -10-x ),则不等式f (1-2x )+f (3)>0的解集为()A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,1)D .(1,+∞)答案A解析由于f (-x )=-f (x ),所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故f (1-2x )+f (3)>0等价于f (1-2x )>-f (3)=f (-3),所以1-2x >-3,x <2,故选A.(2)设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x2,解不等式f (x )>f (2x -1).解由已知得函数f (x )为偶函数,所以f (x )=f (|x |),由f (x )>f (2x -1),可得f (|x |)>f (|2x -1|).当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,因为y=ln(1+x)与y=-11+x2在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x-1|),可得|x|>|2x-1|,两边平方可得x2>(2x-1)2,整理得3x2-4x+1<0,解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x),当x ,12时,f(x)=12log(1)x ,则f(x)()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0答案D解析当x ,12时,由f(x)=12log(1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函数,所以在区间-12,f(x)<0.由f(x)知,函数的周期为32,f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[3,5]B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则在区间(-∞,0)上单调递减,又f(1)=-1,f(3)=1,则f(-1)=-1,f(-3)=1,要使得-1≤f(x-2)≤1,即1≤|x-2|≤3,即1≤x-2≤3或-3≤x-2≤-1,解得-1≤x≤1或3≤x≤5,即不等式的解集为[-1,1]∪[3,5],故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)3,x≤0,(x),x>0,解不等式f(6-x2)>f(x).解∵g(x)是奇函数,∴当x>0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),易知f(x)在R上是增函数,由f(6-x2)>f(x),可得6-x2>x,即x2+x-6<0,∴-3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2).f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x).设u=-x2+2x,x∈(0,2),则u=-x2+2x在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.又y=ln u在其定义域上单调递增,∴f(x)=ln(-x2+2x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.∴选项A,B错误;∵f(x)=ln x+ln(2-x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴选项C正确;∵f(2-x)+f(x)=[ln(2-x)+ln x]+[ln x+ln(2-x)]=2[ln x+ln(2-x)],不恒为0,∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称,∴选项D错误.故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A.[3,7]B.[4,5]C.[5,8]D.[6,10]答案B解析依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题:①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.答案①②③解析由f(x)+f(x+2)=0可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期是4,①对;由f(4-x)=f(x),可得f(2+x)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=2对称,②对;f(4-x)=f(-x)且f(4-x)=f(x),∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,③对.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于()A.-50B.0C.2D.50答案C解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(x-1).∵f(1-x)=f(1+x),∴-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)=0,又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.又f(1)=2,∴f(-1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则()A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x -4)=-f (x ),得f (11)=f (3)=-f (-1)=f (1).因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,f (x )在R 上是奇函数,所以f (x )在区间[-2,2]上是增函数,所以f (-1)<f (0)<f (1),即f (-25)<f (80)<f (11).(3)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则满足f (a -2)>0的实数a 的取值范围为__________.答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),∴函数f (x )在[0,+∞)上为增函数,f (2)=0,∴不等式f (a -2)>0等价于f (|a -2|)>f (2),即|a -2|>2,即a -2>2或a -2<-2,解得a >4或a <0.1.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A .f (x )=xB .f (x )=1x 2C .f (x )=2x +2-xD .f (x )=-cos x答案B解析函数f (x )=1x2是偶函数,且在(1,2)内单调递减,符合题意.2.已知f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +m ,则f (-2)等于()A .-3B .-54C.54D .3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数,知f (0)=0,即f (0)=20+m =0,解得m =-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =xf (x );④y =f (x )+x .A .①③B .②③C .①④D .②④答案D解析由奇函数的定义f (-x )=-f (x )验证,①f (|-x |)=f (|x |),为偶函数;②f (-(-x ))=f (x )=-f (-x ),为奇函数;③-xf (-x )=-x ·[-f (x )]=xf (x ),为偶函数;④f (-x )+(-x )=-[f (x )+x ],为奇函数.可知②④正确,故选D.4.已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x ,则f (1)等于()A .-2B .0C .2D .1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数,且周期为2,∴f (1)=-f (-1)=-f (-1+2)=-f (1),∴f (1)=0,124=-2,∴f (1)=-2.5.(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(-∞,0]上是减函数,且f (1)=2,则不等式f (log 2x )>2的解集为()A .(2,+∞)(2,+∞)(2,+∞)D .(2,+∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f (x )在[0,+∞)上是增函数,所以f (log 2x )>2=f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <-1⇔x >2或0<x <12.6.(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (x )=f (12-x ),当x ∈[0,6]时,f (x )=log 6(x +1),若f (a )=1(a ∈[0,2020]),则a 的最大值是()A .2018B .2010C .2020D .2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (x )=f (12-x ),可得f (-x )=f (12+x ),即f (x )=f (12+x ),故函数的周期为12.令log 6(a +1)=1,解得a =5,∴在[0,12]上f (a )=1的根为5,7;又2020=12×168+4,∴a 的最大值在[2004,2016]上,即2004+7=2011.故选D.7.若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a =________.答案-32解析函数f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,故f (-x )=f (x ),即ln(e-3x+1)-ax =ln(e 3x +1)+ax ,化简得ln 1+e 3x e 3x +e 6x =2ax =ln e 2ax,即1+e 3x e 3x +e 6x =e 2ax ,整理得e 3x +1=e 2ax +3x (e 3x +1),所以2ax +3x =0恒成立,所以a =-32.8.已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=ln x ,则f ________.答案-ln 2解析由已知可得ln 1e2=-2,所以f (-2).又因为f (x )是奇函数,所以f (-2)=-f (2)=-ln 2.9.奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f (6)+f (-3)的值为________.答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数,所以f (x )的最大值为f (6)=8,f (x )的最小值为f (3)=-1,因为f (x )为奇函数,所以f (-3)=-f (3)=1,所以f (6)+f (-3)=8+1=9.10.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )+2f (1),那么t 的取值范围是________.答案1e,e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (ln t )=由f (ln t )+2f (1),得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调递增的,所以|ln t |≤1,即-1≤ln t ≤1,故1e≤t ≤e.11.已知函数f (x )x 2+2x ,x >0,,x =0,2+mx ,x <0是奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.解(1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象(如图所示)-2>-1,-2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值范围是(1,3].12.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -x 2.(1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式.(1)证明∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解∵x ∈[2,4],∴-x ∈[-4,-2],∴4-x ∈[0,2],∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2=-x 2+6x -8.∵f (4-x )=f (-x )=-f (x ),∴-f (x )=-x 2+6x -8,即f (x )=x 2-6x +8,x ∈[2,4].13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0,f (x +2)=1f (x )对任意x ∈R 恒成立,则f (2023)=________.答案1解析因为f (x )>0,f (x +2)=1f (x ),所以f (x +4)=f [(x +2)+2]=1f (x +2)=11f (x )=f (x ),即函数f (x )的周期是4,所以f (2023)=f (506×4-1)=f (-1).因为函数f (x )为偶函数,所以f (2023)=f (-1)=f (1).当x =-1时,f (-1+2)=1f (-1),得f (1)=1f (1).由f (x )>0,得f (1)=1,所以f (2023)=f (1)=1.14.(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+1,0≤x <1,-2x ,x ≥1,若对任意的x ∈[m ,m +1],不等式f (1-x )≤f (x +m )恒成立,则实数m的最大值是()A .-1B .-13C .-12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,又函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,则由f (1-x )≤f (x +m ),得|1-x |≥|x +m |,即(1-x )2≥(x +m )2,即g (x )=(2m +2)x +m 2-1≤0在x ∈[m ,m +1]上恒成立,当m =-1时,g (x )=0,符合要求,当m ≠-1(m )=(3m -1)(m +1)≤0,(m +1)=(m +1)(3m +1)≤0,解得-1<m ≤-13,所以-1≤m ≤-13,即m 的最大值为-13.15.已知函数f (x )=sin x +x ,对任意的m ∈[-2,2],f (mx -2)+f (x )<0恒成立,则x 的取值范围为______________________________.答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数,且f (x )为奇函数,故f (mx -2)+f (x )<0等价于f (mx -2)<-f (x )=f (-x ),则mx -2<-x ,即mx +x -2<0对所有m ∈[-2,2]恒成立,令h (m )=mx +x -2,m ∈[-2,2](-2)<0,(2)<0即可,解得-2<x <23.16.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x +1)是偶函数,当x ∈(2,4)时,f (x )=|x -3|,求f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (2020)的值.解因为f (x )为奇函数,f (x +1)为偶函数,所以f (x +1)=f (-x +1)=-f (x -1),所以f (x +2)=-f (x ),所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),所以函数f(x)的周期为4,所以f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1).在f(x+1)=f(-x+1)中,令x=1,可得f(2)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2020)=0.。

函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
判断.
②图象法:就是画出函数的图象,根据图象的上升或下降趋势,判断函数的单调性.
③直接法:就是对我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接
写出它们的单调区间.
知识梳理·基础回归
解题方法总结
(3)记住几条常用的结论:
①若()是增函数,则−()为减函数;若()是减函数,则−()为增函数;
2
注意:关于①式,可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ ).
+1


偶函数:①函数() = ±( + ).

②函数() = log ( + 1) − .
2
③函数(| |)类型的一切函数.
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是(
− 2
f (a x) f (a x)

f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)

f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)

f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)

f ( x)为偶函数
(2)若函数 = ( + )为奇函数,则函数 = ()关于点(, 0)对称.
(3)若() = (2 − ),则函数()关于 = 对称.
(4)若 + (2 − ) = 2,则函数()关于点(, )对称.
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增(或减)函数,则在()和()的公共定义域上() +

(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版

(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版
3
∴a+b= 1 .
3
【答案】B
3.(基础再现)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ()
(A)f(x)与g(x)均为偶函数. (B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. (C)f(x)与g(x)均为奇函数. (D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
【解析】f(-x)=3-x+3x=f(x), ∴f(x)为偶函数. g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 【答案】B
若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;
奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应 的区间上单调性相反.
二、函数的周期性
1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内 的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数 T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最 小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.
1.判断函数的奇偶性一般用奇偶性的定义,利用定义的变形 分析函数的奇偶性可达到事半功倍的效果.
2.利用奇偶性、周期性解决问题要紧紧围绕定义,特别在求 值过程中,求出奇偶性或周期性,对解决问题会起到非常好的 效果.
例 设f(x)、g(x)都是R上的奇函数,{x|f(x)>0}={x|4<x<10}, {x|g(x)>0}={x|2<x<5},则集合{x|f(x)·g(x)>0}等于 ( ) (A)(2,10). (B)(4,5). (C)(-∞,2]∪(4,5)∪[10,+∞). (D)(-5,-4)∪(4,5).
∴f(2014)=f(6×335+4)=f(4)=-f(1)=-2.

高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件

高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件

常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如,y=sin(x)的最小正周期为 2π,y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a,其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数,它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a,其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目, 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足,针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T,对于函数f(x)的定义域内的任意x,都有f(x+T)=f(x), 则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T,对于函数f(x)的定义域内的任意x,当x增加T时,函数 值重复出现,即f(x+T)=f(x),则称f(x)为周期函数,T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$,都有$f(-x)=-f(x)$, 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$,都有$f(-x)=f(x)$, 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义, 即$f(0)=0$。

函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档

函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档

函数奇偶性对称性周期性知识点总结文档函数的奇偶性、对称性和周期性是函数图像特征的重要方面。

在数学中,研究函数的这些特性可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。

本文将对函数的奇偶性、对称性和周期性进行总结。

一、函数的奇偶性奇偶性是指函数关于坐标原点或者其中一点的对称性。

如果函数f(x)满足f(x)=f(-x),则称函数为偶函数;如果函数f(x)满足f(x)=-f(-x),则称函数为奇函数。

1.偶函数的特点:(1)关于y轴对称,即函数的图像关于y轴对称;(2)具有对称性质,即对于任意x,有f(x)=f(-x);(3)如果函数f(x)在定义域内可导,则偶函数的导函数也是偶函数。

2.奇函数的特点:(1)关于原点对称,即函数的图像关于原点对称;(2)具有对称性质,即对于任意x,有f(x)=-f(-x);(3)如果函数f(x)在定义域内可导,则奇函数的导函数也是奇函数。

二、函数的对称性对称性是指函数图像关于其中一直线、其中一点或者其中一中心进行对称的性质。

1.关于y轴对称:如果函数f(x)满足f(x)=f(-x),则函数关于y轴对称。

这意味着函数的图像在y轴左右对称。

2.关于x轴对称:如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则函数关于x轴对称。

这意味着函数的图像在x轴上下对称。

3.关于原点对称:如果函数f(x)满足f(-x)=-f(-x),则函数关于原点对称。

这意味着函数的图像在原点对称。

三、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以一些特定的周期重复出现的性质。

1.周期函数:如果函数f(x)在定义域的一些区间内满足f(x+T)=f(x),其中T为正数,则称函数为周期函数,T为函数的周期。

周期函数的图像在段区间内重复出现。

2.周期函数的性质:(1)在一个周期内,函数具有相同的性质和特点;(2)相邻两个周期之间的函数值关系相同;(3)周期函数的图像在一个周期内是相似的。

四、函数的判断在实际问题中,我们根据函数的表达式或者图像来判断函数的奇偶性、对称性和周期性。

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结

高考数学中的函数奇偶性与周期性总结在高考数学中,函数的奇偶性与周期性是一个重要的考点,掌握好这些概念对于解决数学问题有非常大的帮助。

在这篇文章中,我们将对函数奇偶性与周期性进行总结,并提供一些实例,以帮助读者更好地理解这些概念。

函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数值的对称性质。

如果函数在自变量取相反数的情况下,函数值不变,那么该函数为偶函数;如果函数在自变量取相反数的情况下,函数值变为相反数,那么该函数为奇函数;如果函数在自变量取相反数的情况下,函数值既不变也不变为相反数,那么该函数既不是偶函数也不是奇函数。

举个例子,我们来看一下函数$y=x^2$ 。

当自变量取相反数时,函数值不变,即 $y=(-x)^2=x^2$ ,因此它是偶函数。

再来看一下函数 $y=x^3$ ,当自变量取相反数时,函数值变为相反数,即$y=-x^3$ ,因此它是奇函数。

最后,我们来看一下函数$y=x^2+1$ ,当自变量取相反数时,函数值既不变也不变为相反数,因此它既不是偶函数也不是奇函数。

我们利用函数的奇偶性可以快速求出某些函数的积分、导数和方程的根。

例如,对于偶函数,它的图像在$y$ 轴上具有对称性,因此它在 $(-a,a)$ 内积分的值与 $(-a,a)$ 之外积分的值相等;对于奇函数,它的图像在原点具有对称性,因此在 $(-a,a)$ 内积分的值为 $0$ 。

类似地,对于偶函数,它在 $x=0$ 的导数为 $0$ ;对于奇函数,在 $x=0$ 的导数为非 $0$ 常数。

函数的周期性函数的周期性是指函数图像在一个固定的距离上重复出现。

一个具有周期 $T$ ($T$ 为正实数)的函数 $y=f(x)$ 满足$f(x+T)=f(x)$ ,即在自变量增加 $T$ 时,函数值不变。

我们分以下几种情况来讨论函数的周期性。

1. 正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数,它们的周期都是$2\pi$ 。

例如, $y=\sin x$ 和 $y=\cos x$ 周期都是 $2\pi$ 。

高考数学一轮复习热点难点精讲精析23函数的奇偶性与周期性.doc

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2014年高考一轮复习热点难点精讲精析:2.3函数的奇偶性与周期性亠、函数的奇偶性注:1>奇偶函数的定义域的特点:由于定义中对任意一个X都有一个关于原点对称的-X在定义域中,即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称;2、存在既是奇函数,又是偶函数的函数,它们的特点是定义域关于原点对称,且解析式化简后等于零。

二、奇偶函数的性质仁奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填—“相同"、“相反’)。

2、在公共定义域内,亦即:(1) 两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;(2) 两个偶函数的和函数、积函数是偶函数;(3) 一个奇函数,一个偶函数的积函数是奇函数。

注:以上结论是在两函数的公共定义域内才成立;并且只能在选择题、填空题中直接应用,解答题需先证明再利用。

3、若是奇函数f(x)且在x=0处有定义,贝】J f(0)=0.4、对称性:奇(偶)函数的定义域关于原点对称,且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件;5、整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个X都必须成立;6、可逆性:f(_X)= f(X)u f(X)是偶函数;f(-x) = -f(x)u f(X)奇函数;7、等价性:f(_x) = f(x)u f (-X)- f(x) =0f(_X)=-f(X)« f (-x) + f(x) =08、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称;9、可分性:根据函数奇偶性可将函数分类为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

三、周期性1>周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当X取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期。

2、最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。

高中数学函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

高中数学函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性:对于函数)(x f y =,如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。

2、 对称性定义(略),请用图形来理解。

3、 对称性:我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式)()(x f x f =-奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式0)()(=-+x f x f上述关系式是否可以进行拓展?答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-简证:设点),(11y x 在)(x f y =上,通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =-也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。

得证。

若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线22)()(ba xb x a x +=-++=对称 (2)函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-简证:设点),(11y x 在)(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+-可知,b x f x a f 2)()2(11=+-,所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。

高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件

高考数学一轮复习讲义 第二章 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
2 定义在(-1,1)上的函数 f(x). (ⅰ)对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f 1x++xyy; (ⅱ)当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0,回答下列问题. (1)判断 f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f(x)在(0,1)上的单调性,并说明理由; (3)若 f 15=12,试求 f 12-f 111-f 119的值.
一轮复习讲义
函数的奇偶性与周期性
要点梳理
忆一忆知识要点
1.奇、偶函数的概念 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 A.如果对于任意的 x∈A, 都有 f(-x)=f(x) ,那么称函数 y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的 x∈A,都有f(-x)=-f(x),那么称函数 y =f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称.
函数奇偶性的判断
例 1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 9-x2+ x2-9;(2)f(x)=(x+1) (3)f(x)=|x+4-3|-x23.
11-+xx;
确定函数的奇偶性时,必须先判定函数定义域是否关于原点 对称.若对称,再验证 f(-x)=±f(x)或其等价形式 f(-x)±f(x) =0 是否成立.
故原函数是奇函数.
(2)由22+-xx≥0 且 2-x≠0⇒-2≤x<2,
定义域关于原点不对称,故原函数是非奇非偶函数.
(3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 又当 x>0 时,f(x)=x2+x,则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0, 故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. (4)由1|x-2-x22>|-0,2≠0 得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对 称,∴f(x)=-l(gx(21--2x)2-) 2=-lg(1x-2 x2). ∵f(-x)=-lg[1(--(x-)2x)2]=-lg(1x-2 x2)=f(x),

高中数学一轮专题复习:函数的奇偶性与周期性课件

高中数学一轮专题复习:函数的奇偶性与周期性课件
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:∵f(x)为定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0 又 f(x+4)=f(x),∴f(8)=f(4)=f(0)=0
题型三、函数性质的综合应用
命题点1:求函数值或函数解析式 例3:函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)
时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=__1_2___
2
由图像可知,
-2 O
x
满足不等式x f(x)<0的解为:
x<-2或x>2
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
三、归纳总结
1.函数的奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,定义 域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条 件.因此,判断函数的奇偶性,一要看定义域是否关于 原点对称;二要看f(x)与f(-x)的关系. 2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
一、基础知识梳理
3.奇(偶)函数的性质
(2)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性; 偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (3)若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0; (4)在公共定义域内有: ①奇函数±奇函数=奇函数;
②偶函数±偶函数=偶函数; ③奇函数×奇函数=偶函数;
命题点1:求函数值或函数解析式 对点训练3:若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇 函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则
f(-2.5)+f(2)=__-__2__
解析:∵f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,
∴f(2)=f(0)=0, ∵ 当 0<x<1时,f(x)=4x , ∴f(-2.5)=f(-0.5) =-f(0.5) =-40.5 =-(22)0.5

2024年高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性含解析

2024年高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性含解析

专题06函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合详细函数,了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和探讨函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会推断、应用简洁函数的周期性.基础学问融会贯穿1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),假如存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x +T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:假如在周期函数f(x)的全部周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【学问拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)假如函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).(2)若f(x+a)=1f x,则T=2a(a>0).(3)若f(x+a)=-1f x,则T=2a(a>0).重点难点突破【题型一】推断函数的奇偶性【典型例题】下列函数中,既是奇函数,又是增函数是()A.f(x)=x|x| B.f(x)=﹣x3C.f(x)D.f(x)【解答】解:由f(﹣x)=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f(x),知函数f(x)=x|x|为奇函数,又f(x)=x|x|当x>0时,f(x)=x2在(0,+∞)上为增函数,依据奇函数图象关于原点中心对称,所以当x<0时,f(x)=﹣x2在(﹣∞,0)上也为增函数,所以函数f(x)=x|x|在定义域内既是奇函数,又是增函数,故A正确.∵2>1,而﹣23<﹣13,所以函数f(x)=x3在定义域内不是增函数,故B不正确.∵不关于原点对称,∴f(x)=sin x在给定的定义域内不是奇函数,故C不正确.∵f(x)的定义域为{x|x>0},不关于原点对称,所以函数f(x)在定义域内不是奇函数,故D不正确.故选:A.【再练一题】下列函数中既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的函数是()A.f(x)=sin x B.f(x)=﹣|x+1|C.D.【解答】解:f(x)=sin x是奇函数,但其在区间[﹣1,1]上单调递增,故A错;∵f(x)=﹣|x+1|,∴f(﹣x)=﹣|﹣x+1|≠﹣f(x),∴f(x)=﹣|x+1|不是奇函数,∴故B错;∵a>1时,y=a x在[﹣1,1]上单调递增,y=a﹣x[﹣1,1]上单调递减,∴f(x)在[﹣1,1]上单调递增,故C错;故选:D.思维升华推断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)推断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在推断奇偶性的运算中,可以转化为推断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.【题型二】函数的周期性及其应用【典型例题】已知函数f(x)满意f(0)=2,且对随意x∈R都满意f(x+3)=﹣f(x),则f(2024)的值为()A.2024 B.2 C.0 D.﹣2【解答】解:∵f(x+3)=﹣f(x),∴f(x+6)=﹣f(x+3)=f(x),∴f(x)的周期为6,∴f(2024)=f(3),又f(3)=﹣f(0)=﹣2,∴f(2024)=﹣2.故选:D.【再练一题】定义在R上的函数f(x)满意:f(x+6)=f(x),当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2;当﹣1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=()A.336 B.337 C.338 D.339【解答】解:∵f(x+6)=f(x),当﹣3≤x<﹣1时,f(x)=﹣(x+2)2当﹣1≤x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(﹣3)=﹣1,f(4)=f(﹣2)=0,f(5)=f(﹣1)=﹣1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1,∵f(x+6)=f(x),∴f(x)的周期为6,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2024)=336+f(1)+f(2)+f(3)=338.故选:C.思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的推断,利用函数周期性求值.【题型三】函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式【典型例题】已知奇函数f(x)(x∈R)满意f(x+4)=f(x﹣2),且当x∈[﹣3,0)时,,则f(2024)=()A.B.C.D.【解答】解:∵奇函数f(x)(x∈R)满意f(x+4)=f(x﹣2),∴f(x+6)=f(x),∵当x∈[﹣3,0)时,,∴f(2024)=f(336×6+2)=f(2)=﹣f(﹣2)=﹣{}.故选:D.【再练一题】设偶函数f(x)对随意x∈R,都有f(x+3),且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.【解答】解:因为f(x+3),故有f(x+6)f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5).故选:B.命题点2 求参数问题【典型例题】已知函数f(x)=ln x,且f(a)+f(a+1)>0,则a的取值范围为()A.(﹣1,)B.()C.()D.()【解答】解:依据题意,函数f(x)=ln x,有0,解可得﹣1<x<1,即函数f(x)的定义域为(﹣1,1),有f(﹣x)=ln(﹣x)=﹣(x)=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,分析易得,f(x)=ln x在(﹣1,1)上为增函数,f(a)+f(a+1)>0⇒f(a)>﹣f(a+1)⇒f(a)>f(﹣a﹣1),则有,解可得a<0,即a的取值范围为(,0);故选:B.【再练一题】已知,若f(x)=x a为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值是()A.﹣1,3 B.,3 C.﹣1,,3 D.,,3【解答】解:若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则α>0,解除A,C,当α=2时,f(x)=x2为偶函数,不满意条件.当α时,f(x)为非奇非偶函数,不满意条件.当α=3时,f(x)=x3为奇函数,满意条件.当α时,f(x)为奇函数,满意条件.故选:B.命题点3 利用函数的性质解不等式【典型例题】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(﹣∞,0]上单调递增,若实数a满意f(),则a的取值范围是()A.()B.(1,)C.(0,)D.()【解答】解:∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间(﹣∞,0]上单调递增,∴f(x)在R上都是增函数,则不等式f(),等价为f()>f(),即,则log3,即a即实数a的取值范围是(),故选:A.【再练一题】定义在R上的函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(﹣3)=0,则f(x)<0的解集是()A.(﹣3,0)∪(3,+∞)B.(﹣∞,﹣3)∪(0,3)C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞)D.(﹣3,0)∪(0,3)【解答】解:∵f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,∴f(x)在(﹣∞,0)内是增函数,∵f(﹣3)=﹣f(3)=0,∴f(3)=0.则对应的函数图象如图(草图)则当﹣3<x<0或x>3时,f(x)>0,当0<x<3或x<﹣3时,f(x)<0,即f(x)<0的解集是(﹣∞,﹣3)∪(0,3),故选:B.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)驾驭以下两个结论,会给解题带来便利:①f(x)为偶函数⇔f(x)=f(|x|).②若奇函数在x=0处有意义,则f(0)=0.基础学问训练1.下列函数中,既是偶函数又在上单调递增的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】依据题意,依次分析选项:对于A,是偶函数,函数图像开口向下在上单调递减,不符合题意;对于B,的图像不关于y轴对称,故不是偶函数,不符合题意;对于C,是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,符合题意;对于D,是偶函数,在上单调递减,不符合题意;故选:C.2.已知函数,则不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】D【解析】为奇函数当时,,可知上单调递增上也单调递增,即上的增函数,解得:本题正确选项:3.设函数的最大值为,最小值为,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意,由于为奇函数,图像关于原点对称,故函数的最大值与最小值的和为,所以的最大值与最小值的和为,故选A.4.下列函数中既不是奇函数,也不是偶函数的是A.B.C.D.【答案】B【解析】对于为偶函数,对于是奇函数;对于奇函数;对于时,时,,该函数既不是奇函数,也不是偶函数,故选B.5.已知是定义在R上的奇函数,且当时,,则等于A.B.8 C.D..【答案】A【解析】是定义在R上的奇函数,且当时,;.故选:A.6.已知函数是定义在R上的奇函数,且()A.B.9C.D.0【答案】A【解析】依据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),又由f(1+x)=f(1﹣x),则f(﹣x)=f(2+x),则有f(x+2)=﹣f(x),变形可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2024)=f(﹣1+505×4)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣9;故选:A.7.已知是定义在上且以4为周期的奇函数,当时,为自然对数的底),则函数在区间上的全部零点之和为()A.6 B.8 C.12 D.14【答案】D【解析】∵f(x)是定义在R上且以4为周期的奇函数,∴f(0)=0,f(-2)=f(-2+4)= f(2),又f(-2)=-f(2),∴f(2)=0,且当x∈(0,2)时,,则=0,则x=1,且在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,2)时,单调递增, =f(2)>0,故函数f(x)的图象如下图所示:由图可得:函数f(x)在区间区间上共有7个零点,故这些零点关于x=2对称,故函数f(x)在区间区间上的全部零点的和为3×4+2=14,故选:D.8.设函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,,则=( ) A.-2 B.2 C.4 D.6【答案】A【解析】因为的周期为2,所以,由为奇函数,则,但,故,故,选A.9.已知函数,则满意的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】因为的定义域是,,故是奇函数,又,故递增,若,等价于,故,解得,故选D.10.已知是偶函数,且对随意,设,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵对随意,∴函数上为增函数.又函数为偶函数,∴上单调递减,在上单调递增.又,∴,即.故选B.11.已知偶函数在区间单调递减,则满意的x取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】依据题意,偶函数在区间单调递减,则上为增函数,则,解可得:,即x的取值范围是;故选:D.12.定义在上的奇函数,当时,,则的解集为()A.B.C.D.【答案】C【解析】当时,,所以上单调递增,因为,所以当时,等价于,即,因为是定义在上的奇函数,所以时,上单调递增,且,所以等价于,即,所以不等式的解集为13.若,则满意不等式的取值范围为___.【答案】【解析】由题意得,,所以是R 上的奇函数,所以=0,又在R上单调递减,所以,即,所以,解得,即的取值范围为.答案为.14.已知函数为奇函数,,且图象的交点为,…,,则______.【答案】18【解析】函数为奇函数,函数关于点对称,函数关于点对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称,图像的交点为,…,,两两关于点对称,. 故答案为:1815.已知定义在上的函数满意,且当时,,则____________.【答案】【解析】由可得,所以,故函数的周期为,所以,又当时,,所以,故.16.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,函数为奇函数,则=_____. 【答案】0【解析】依据题意,为偶函数,则函数的图象关于直线对称,则有,若函数为奇函数,则函数的图象关于点对称,则有,则有,设,则变形可得,则函数是周期为4的周期函数,又由函数的图象关于点对称,则,则有,可得,,故答案为0.17.已知定义在上的奇函数有最小正周期2,且当时,.(1)求的值;(2)求上的解析式.【答案】(1)0,0;(2)【解析】(1)∵f(x)是周期为2的奇函数,∴f(1)=f(1-2)=f(-1)=-f(1),∴f(1)=0,f(-1)=0.(2)由题意知,f(0)=0.当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).由f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-=-,综上,在[-1,1]上,.18.函数的定义域为,且对随意,有,且当时,,(Ⅰ)证明是奇函数;(Ⅱ)证明上是减函数;(III)若,求的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(III)【解析】(Ⅰ)证明:由,令y=-x,得f[x+(−x)]=f(x)+f(−x),∴f(x)+f(−x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(−x)=0.∴f(−x)=−f(x).∴f(x)是奇函数.(Ⅱ)任取,且,则由,∴<0.∴>0,即,从而f(x)在R上是减函数.(III)若,函数为奇函数得f(-3)=1,又5=5f(-3)=f(-15),所以=f(-15),由得f(4x-13)<f(-15),由函数单调递减得4x-13>-15,解得x>-,故的取值范围为19.已知函数,且的定义域,并推断函数的奇偶性;对于恒成立,求实数m的取值范围.【答案】(1)定义域为;奇函数;(2)时,时,.【解析】(1)由题意,函数,由,可得,即定义域为;由,即有,可得为奇函数;对于恒成立,可得当时,,由可得的最小值,由,可得时,y取得最小值8,则,当时,,由可得的最大值,由,可得时,y取得最大值,则,综上可得,时,时,.20.已知指数函数满意,定义域为的函数是奇函数.(1)求函数的解析式;(2)若函数上有零点,求的取值范围;(3)若对随意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(3,+∞);(Ⅲ) [9,+∞).【解析】试题分析:(1)依据指数函数利用待定系数法求,利用奇函数用特值法求m,n,可得到解析式;(2)依据函数零点的存在性定理求k的取值范围;(3)分析函数的单调性,转化为关于t恒成立问题,利用分别参数法求k的取值范围.试题解析:(Ⅰ)设,则,a=3, ,,因为是奇函数,所以,即,∴,又,;.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:,又因在(0,1)上有零点,从而,即,∴,∴,∴k的取值范围为.(Ⅲ)由(Ⅰ)知,∴在R上为减函数(不证明不扣分).又因是奇函数,所以,因为减函数,由上式得:,即对一切,有恒成立,令m(x)=,易知m(x)在上递增,所以,∴,即实数的取值范围为.点睛:本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础学问与基本技能方法,属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时,留意特别值的运用,可以使问题简洁快速求解,但要留意检验,在处理恒成立问题时,留意利用分别参数求参数的取值范围,留意分别参数后转化为求函数最值问题.实力提升训练1.设函数的定义域为R,且,若对于随意实数x,y,恒有则下列说法中不正确的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意,令,可得,,故A正确,令,可得,,故B正确令,可得,,;,,故C正确,令,可得,,故D错误,故选:D.2.已知函数是定义在R上的奇函数,为偶函数,且,则A.2 B.1 C.0 D.【答案】D【解析】因为是定义在R上的奇函数,为偶函数,所以,且,则,即是周期为4的周期函数,所以,故选D.3.设函数,则使得成立的的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】,所以为奇函数,,所以单调递增,转化成得到,解得x满意,故选B。

【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)函数的奇偶性及周期性教学案

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第四节函数的奇偶性及周期性[知识能否忆起]一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )是奇函数关于原点对称二、周期性 1.周期函数对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.2.最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.[小题能否全取]1.(2012·某某高考)下列函数为偶函数的是( ) A .y =sin x B .y =x 3C .y =e xD .y =ln x 2+1解析:选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y =sin x 为奇函数.幂函数y =x 3也为奇函数.指数函数y =e x 为非奇非偶函数.令f (x )=ln x 2+1,得f (-x )=ln -x2+1=ln x 2+1=f (x ).所以y =ln x 2+1为偶函数.2.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是( ) A .-13B.13C.12D .-12解析:选B ∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,∴a -1+2a =0,∴a =13.又f (-x )=f (x ),∴b =0,∴a +b =13.3.(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x ),满足f (x +4)=f (x ),则f (8)的值为( )A .-1B .0C .1D .2解析:选B ∵f (x )为奇函数且f (x +4)=f (x ), ∴f (0)=0,T =4. ∴f (8)=f (0)=0.4.若函数f (x )=x 2-|x +a |为偶函数,则实数a =________.解析:法一:∵f (-x )=f (x )对于x ∈R 恒成立,∴|-x +a |=|x +a |对于x ∈R 恒成立,两边平方整理得ax =0,对于x ∈R 恒成立,故a =0.法二:由f (-1)=f (1), 得|a -1|=|a +1|,故a =0. 答案:05.(2011·某某高考)设函数f (x )=x 3cos x +1.若f (a )=11,则f (-a )=________. 解析:观察可知,y =x 3cos x 为奇函数,且f (a )=a 3cos a +1=11,故a 3cos a =10.则f (-a )=-a 3cos a +1=-10+1=-9.答案:-91.奇、偶函数的有关性质:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件; (2)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反之亦然; (3)若奇函数f (x )在x =0处有定义,则f (0)=0;(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知,奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y 轴对称可知,偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.2.若函数满足f (x +T )=f (x ),由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期;应注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期.函数奇偶性的判断典题导入[例1] (2012·某某质检)设Q 为有理数集,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ∈Q ,-1,x ∈∁R Q ,g (x )=e x-1e x+1,则函数h (x )=f (x )·g (x )( ) A .是奇函数但不是偶函数 B .是偶函数但不是奇函数 C .既是奇函数也是偶函数 D .既不是偶函数也不是奇函数[自主解答] ∵当x ∈Q 时,-x ∈Q ,∴f (-x )=f (x )=1;当x ∈∁R Q 时,-x ∈∁R Q ,∴f (-x )=f (x )=-1.综上,对任意x ∈R ,都有f (-x )=f (x ),故函数f (x )为偶函数.∵g (-x )=e -x-1e -x +1=1-e x 1+e x =-e x-11+e x =-g (x ),∴函数g (x )为奇函数.∴h (-x )=f (-x )·g (-x )=f (x )·[-g (x )]=-f (x )g (x )=-h (x ),∴函数h (x )=f (x )·g (x )是奇函数.∴h (1)=f (1)·g (1)=e -1e +1,h (-1)=f (-1)·g (-1)=1×e -1-1e -1+1=1-e 1+e,h (-1)≠h (1),∴函数h (x )不是偶函数.[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域,定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件; (2)如果函数的定义域关于原点对称,可进一步判断f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明,否则要举出反例).[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (-x )与f (x )的关系,只有对各段上的x 都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.以题试法1.判断下列函数的奇偶性. (1)f (x )=1-x 2+x 2-1; (2)f (x )=3x-3-x ;(3)f (x )=4-x2|x +3|-3;(4)f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2,x >0,0,x =0,-x 2-2,x <0.解:(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1≥0,1-x 2≥0,得x =±1,∴f (x )的定义域为{-1,1}.又f (1)+f (-1)=0,f (1)-f (-1)=0, 即f (x )=±f (-x ).∴f (x )既是奇函数又是偶函数. (2)∵f (x )的定义域为R ,∴f (-x )=3-x-3x =-(3x -3-x)=-f (x ), 所以f (x )为奇函数.(3)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4-x 2≥0,|x +3|-3≠0,得-2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[-2,0)∪(0,2], ∴f (x )=4-x2|x +3|-3=4-x 2x +3-3=4-x2x,∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(4)f (x )的定义域为R ,关于原点对称,当x >0时,f (-x )=-(-x )2-2=-(x 2+2)=-f (x );当x <0时,f (-x )=(-x )2+2=-(-x 2-2)=-f (x ); 当x =0时,f (0)=0,也满足f (-x )=-f (x ). 故该函数为奇函数.函数奇偶性的应用典题导入[例2] (1)(2012·某某高考)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-1)=________.(2)(2012·某某调研)设偶函数f (x )在(0,+∞)上为减函数,且f (2)=0,则不等式f x +f -xx>0的解集为( )A .(-2,0)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(0,2)C .(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y =f (x )+x 2是奇函数,且x =1时,y =2,∴当x =-1时,y =-2,即f (-1)+(-1)2=-2,得f (-1)=-3,所以g (-1)=f (-1)+2=-1. (2)∵f (x )为偶函数, ∴f x +f -x x =2f xx>0.∴xf (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0,f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0,f x <0.又f (-2)=f (2)=0,f (x )在(0,+∞)上为减函数, 故x ∈(0,2)或x ∈(-∞,-2). [答案] (1)-1 (2)B本例(2)的条件不变,若n ≥2且n ∈N *,试比较f (-n ),f (1-n ),f (n -1),f (n +1)的大小.解:∵f (x )为偶函数,所以f (-n )=f (n ),f (1-n )=f (n -1).又∵函数y =f (x )在(0,+∞)为减函数,且0<n -1<n <n +1, ∴f (n +1)<f (n )<f (n -1).∴f (n +1)<f (-n )<f (n -1)=f (1-n ).由题悟法函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式.利用奇偶性构造关于f (x )的方程,从而可得f (x )的解析式. (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.常常采用待定系数法:利用f (x )±f (-x )=0产生关于字母的恒等式,由系数的对等性可得知字母的值.(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.以题试法2.(1)(2012·某某模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+x ,x ≤0,ax 2+bx ,x >0为奇函数,则a +b =________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )=x 2+2x (x ≥0),若f (3-a 2)>f (2a ),则实数a 的取值X 围是________.解析:(1)当x <0时,则-x >0,所以f (x )=x 2+x ,f (-x )=ax 2-bx ,而f (-x )=-f (x ),即-x 2-x =ax 2-bx ,所以a =-1,b =1,故a +b =0.(2)因为f (x )=x 2+2x 在[0,+∞)上是增函数,又因为f (x )是R 上的奇函数,所以函数f (x )是R 上的增函数,要使f (3-a 2)>f (2a ),只需3-a 2>2a ,解得-3<a <1.答案:(1)0 (2)(-3,1)函数的周期性及其应用典题导入[例3](2012·某某高考)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=________.[自主解答] 依题意得,f (2+x )=f (x ),f (-x )=f (x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12+1=32. [答案] 32由题悟法1.周期性常用的结论:对f (x )定义域内任一自变量的值x : (1)若f (x +a )=-f (x ),则T =2a ; (2)若f (x +a )=1f x,则T =2a ; (3)若f (x +a )=-1f x,则T =2a .2.周期性与奇偶性相结合的综合问题中,周期性起到转换自变量值的作用,奇偶性起到调节符号作用.以题试法3.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -x 2.(1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式. 解:(1)证明:∵f (x +2)=-f (x ), ∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ). ∴f (x )是周期为4的周期函数. (2)∵x ∈[2,4],∴-x ∈[-4,-2], ∴4-x ∈[0,2],∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2=-x 2+6x -8. 又∵f (4-x )=f (-x )=-f (x ), ∴-f (x )=-x 2+6x -8, 即f (x )=x 2-6x +8,x ∈[2,4].1.下列函数中,既是奇函数又是减函数的是( ) A .y =-x 3B .y =sin xC .y =xD .y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12x答案:A2.(2012·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数,当0≤x ≤1时,f (x )=2x (1-x ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=( ) A .-12B .-14C.14D.12解析:选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52-2=-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=-⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12=-12. 3.(2012·海淀区期末)已知函数f (x )=x |x |-2x ,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数,递增区间是(0,+∞) B .f (x )是偶函数,递减区间是(-∞,1)C .f (x )是奇函数,递减区间是(-1,1)D .f (x )是奇函数,递增区间是(-∞,0)解析:选 C 将函数f (x )=x |x |-2x 去掉绝对值得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0,画出函数f (x )的图象,如图,观察图象可知,函数f (x )的图象关于原点对称,故函数f (x )为奇函数,且在(-1,1)上单调递减.4.(2013·某某模拟)已知函数f (x )=|x +a |-|x -a |(a ≠0),h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x ,x >0,x 2+x ,x ≤0,则f (x ),h (x )的奇偶性依次为( )A .偶函数,奇函数B .奇函数,偶函数C .偶函数,偶函数D .奇函数,奇函数解析:选D f (-x )=|-x +a |-|-x -a |=|x -a |-|x +a |=-f (x ),故f (x )为奇函数.画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时,-x <0,则h (-x )=x 2-x =-(-x 2+x )=-h (x ),当x <0时-x >0,则h (-x )=-x 2-x =-(x 2+x )=-h (x ).x =0时,h (0)=0,故h (x )为奇函数.5.(2013·某某月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x+2x +m (m 为常数),则f (-1)的值为( )A .-3B .-1C .1D .3解析:选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数, 则f (0)=0,即f (0)=20+m =0,解得m =-1.则f (x )=2x+2x -1,f (1)=21+2×1-1=3,f (-1)=-f (1)=-3. 6.若函数f (x )=x2x +1x -a为奇函数,则a =( )A.12B.23 C.34D .1 解析:选A ∵f (x )=x2x +1x -a是奇函数,∴f (-1)=-f (1), ∴-1-2+1-1-a=-12+11-a,∴a +1=3(1-a ),解得a =12.7.(2013·某某模拟)已知f (x )是偶函数,当x <0时,f (x )=x 2+x ,则当x >0时,f (x )=________.解析:x >0,-x <0,f (x )=f (-x )=(-x )2+(-x )=x 2-x ,故x >0时,f (x )=x 2-x . 答案:x 2-x8.(2012·“江南十校”联考)定义在[-2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示,则不等式f (x )>x 的解集为________.解析:依题意,画出y =f (x )与y =x 的图象,如图所示,注意到y =f (x )的图象与直线y =x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23,23和⎝ ⎛⎭⎪⎫-23,-23,结合图象可知,f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,-23∪⎝⎛⎭⎪⎫0,23.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫-2,-23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23 9.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,其最小正周期为3,且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-32,0时,f (x )=log 2(-3x +1),则f (2 011)=________.解析:f (2 011)=f (3×670+1) =f (1)=-f (-1) =-log 2(3+1)=-2. 答案:-210.已知函数f (x )=x 2+a x(x ≠0,常数a ∈R). (1)判断f (x )的奇偶性,并说明理由;(2)若f (1)=2,试判断f (x )在[2,+∞)上的单调性. 解:(1)当a =0时,f (x )=x 2,f (-x )=f (x ),函数是偶函数.当a ≠0时,f (x )=x 2+a x(x ≠0,常数a ∈R),取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0;f (-1)-f (1)=-2a ≠0,即f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1). 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f (1)=2,即1+a =2,解得a =1,这时f (x )=x 2+1x.任取x 1,x 2∈[2,+∞),且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎪⎫x 21+1x 1-⎝⎛⎭⎪⎫x 22+1x2=(x 1+x 2)(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2=(x 1-x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 2-1x 1x 2.由于x 1≥2,x 2≥2,且x 1<x 2. 故x 1-x 2<0,x 1+x 2>1x 1x 2,所以f (x 1)<f (x 2),故f (x )在[2,+∞)上是单调递增函数. 11.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数.(1)某某数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,某某数a 的取值X 围. 解:(1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x . 又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ), 于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2. (2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a -2>-1,a -2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值X 围是(1,3].12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且它的图象关于直线x =1对称. (1)求证:f (x )是周期为4的周期函数;(2)若f (x )=x (0<x ≤1),求x ∈[-5,-4]时,函数f (x )的解析式. 解:(1)证明:由函数f (x )的图象关于直线x =1对称,得f (x +1)=f (1-x ), 即有f (-x )=f (x +2).又函数f (x )是定义在R 上的奇函数, 故有f (-x )=-f (x ). 故f (x +2)=-f (x ).从而f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),即f (x )是周期为4的周期函数.(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0.x ∈[-1,0)时,-x ∈(0,1],f (x )=-f (-x )=--x ,又f (0)=0,故x ∈[-1,0]时, f (x )=--x .x ∈[-5,-4],x +4∈[-1,0],f (x )=f (x +4)=--x -4.从而,x ∈[-5,-4]时,函数f (x )=--x - 4.1.设f (x )是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f (-3)=0,则x ·f (x )<0的解集是( )A .{x |-3<x <0,或x >3}B .{x |x <-3,或0<x <3}C .{x |x <-3,或x >3}D .{x |-3<x <0,或0<x <3}解析:选D 由x ·f (x )<0, 得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0,f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,f x <0,而f (-3)=0,f (3)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0,f x >f -3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,f x <f 3,所以x ·f (x )<0的解集是{x |-3<x <0,或0<x <3}.2.(2012·某某高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,则a +3b 的值为________. 解析:因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,且f (-1)=f (1),故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,从而12b +212+1=-12a +1,3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,故b =-2a .②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.答案:-103.(2012·某某模拟)已知函数f (x )的定义域是(0,+∞),且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1,如果对于0<x <y ,都有f (x )>f (y ), (1)求f (1);(2)解不等式f (-x )+f (3-x )≥-2.解:(1)令x =y =1,则f (1)=f (1)+f (1),f (1)=0. (2)f (-x )+f (3-x )≥-2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12, f (-x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3-x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0=f (1),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3-x 2≥f (1), f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-x 2·3-x 2≥f (1), 则⎩⎪⎨⎪⎧ -x >0,3-x >0,-x 2·3-x 2≤1,解得-1≤x <0.故不等式的解集为[-1,0).1.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )-g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则f (1),g (0),g (-1)之间的大小关系是______________.解析:在f (x )-g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中,用-x 替换x ,得f (-x )-g (-x )=2x ,由于f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),因此得-f (x )-g (x )=2x .于是解得f (x )=2-x -2x 2,g (x )=-2-x +2x2,于是f (1)=-34,g (0)=-1,g (-1)=-54,故f (1)>g (0)>g (-1). 答案:f (1)>g (0)>g (-1)2.关于y =f (x ),给出下列五个命题:①若f (-1+x )=f (1+x ),则y =f (x )是周期函数;②若f (1-x )=-f (1+x ),则y =f (x )为奇函数;③若函数y =f (x -1)的图象关于x =1对称,则y =f (x )为偶函数;④函数y =f (1+x )与函数y =f (1-x )的图象关于直线x =1对称;⑤若f (1-x )=f (1+x ),则y =f (x )的图象关于点(1,0)对称.填写所有正确命题的序号________.解析:由f (-1+x )=f (1+x )可知,函数周期为2,①正确;由f (1-x )=-f (1+x )可知,y =f (x )的对称中心为(1,0),②错;y =f (x -1)向左平移1个单位得y =f (x ),故y =f (x )关于y 轴对称,③正确;两个函数对称时,令1+x =1-x 得x =0,故应关于y 轴对称,④错;由f (1-x )=f (1+x )得y =f (x )关于x =1对称,⑤错,故正确的应是①③.答案:①③3.已知f (x )是偶函数,且f (x )在[0,+∞)上是增函数,如果f (ax +1)≤f (x -2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上恒成立,某某数a 的取值X 围. 解:由于f (x )为偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,则在(-∞,0]上为减函数,由f (ax +1)≤f (x -2),则|ax +1|≤|x -2|,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1,故|x -2|=2-x , 即x -2≤ax +1≤2-x .故x -3≤ax ≤1-x,1-3x ≤a ≤1x -1,在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1上恒成立. 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -1min =0,⎝ ⎛⎭⎪⎫1-3x max =-2,故-2≤a ≤0.。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()



f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,


所以 f( )= .
答案:(1)

高三奇偶函数知识点

高三奇偶函数知识点

高三奇偶函数知识点奇偶函数是数学中的一种特殊类型的函数,它们具有一些独特的性质和规律。

在高三数学学习中,奇偶函数是一个重要的知识点。

本文将从定义、性质和例题三个方面介绍高三奇偶函数的相关知识。

一、定义奇偶函数的定义如下:对于定义在一个对称区间上的函数f(x),当对于该区间上任意一个 x,都满足 f(-x) = -f(x) 时,函数 f(x) 称为奇函数;当对于该区间上任意一个 x,都满足 f(-x) = f(x) 时,函数 f(x) 称为偶函数。

二、性质1. 对于奇函数来说,如果函数图像关于原点对称,那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系:当 x 属于定义区间时,f(x) = -f(-x)。

2. 对于偶函数来说,如果函数图像关于 y 轴对称,那么它的自变量和因变量之间具有一种特殊的关系:当 x 属于定义区间时,f(x) = f(-x)。

3. 奇函数与偶函数的性质可以通过函数图像的对称性来判断。

奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于 y 轴对称。

4. 如果一个函数既是奇函数又是偶函数,那么它必须是常值函数,即对于某一个实数 k,f(x) = k,对于定义区间上任意一个 x都成立。

5. 奇函数和偶函数的性质在函数的运算中也能体现出来。

奇函数和奇函数、偶函数和偶函数的和、积、商都是奇函数;奇函数和偶函数的和、差、乘积、商都是奇函数;偶函数和偶函数的和、差、乘积、商都是偶函数。

三、例题下面通过几道例题来加深对奇偶函数知识点的理解。

例题1:已知函数 f(x) = x^3 - x,判断其是否为奇函数或者偶函数。

解析:将函数f(x) 分别代入奇函数和偶函数的定义中进行判断。

奇函数定义:f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x偶函数定义:f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x由计算可知,f(-x) = -f(x),f(-x) = f(x)。

因此,函数 f(x) 同时是奇函数和偶函数。

【学海导航】高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)奇偶性、周期性、对称性课件 理 新人教A

【学海导航】高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)奇偶性、周期性、对称性课件 理 新人教A

备选例题
已知 a>0,且 a≠1,f(logax)=a2-a 1(x-1x). (1)求 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)的奇偶性和单调性; (3)若函数 f(x)定义在(-1,1)时,有 f(1-m)+f(1 -m2)<0,求 m 的集合 M.
(3)当 x∈(-1,1)时,有
由 f(1-m)+f(1-m2)<0,得 f(1-m)<-f(1-m2). 而 f(x)为奇函数,所以 f(1-m)<f(m2-1).
(3)
,解得-1≤x<0 或 0<x≤1,它
关于原点对称,且此时|x+2|-2=x+2-2=x,
从而 f(x)= 1-x x2,
从而 f(-x)= 1---x x2=- 1-x x2=-f(x),
所以 f(x)=|x+12-|-x22是奇函数.

(4)当 x>0 时,-x<0, 则 f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=(-x)2+2=x2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当 x=0 时,f(x)=0=-f(-x). 综上有,对一切实数 x,f(-x)=-f(x)恒成立,
(1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2011).
素材3
设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足:①f(x)=f(2 -x);②当 0≤x≤1 时,f(x)=x2.
(1)判断函数 f(x)是否是周期函数; (2)求 f(5.5)的值.
【解析】由已知,f(-x)=f(x),所以 ax2-bx=ax2+bx, 即 bx=0 对定义域内一切 x 均成立,故 b=0.
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第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性
1.若函数f (x )=3x +3-x 与g (x )=3x -3-x
的定义域均为R ,则( )
A .f (x )与g (x )均为偶函数
B .f (x )与g (x )均为奇函数
C .f (x )为偶函数,g (x )为奇函数
D .f (x )是奇函数,g (x )为偶函数
2.满足f (x +π)=-f (x ),且其图象关于y 轴对称的函数可能是( )
A .f (x )=cos 2x
B .f (x )=sin x
C .f (x )=sin x 2
D .f (x )=cos x 3.函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (m )=2,则f (-m )的值为( )
A .3
B .0
C .-1
D .-2
4.(2012·上海卷)已知y =f (x )+x 2是奇函数,且f (1)=1.若g (x )=f (x )+2,则g (-
1)=________.
5.(2013·长沙月考)设f (x )是定义在实数集R 上的函数,若函数y =f (x +1)为偶函
数,且当x ≥1时,有f (x )=1-2x ,则f (32)、f (23)、f (13
)的大小关系是____________________________.
6.(2012·银川模拟)已知f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x <3时,f (x )的图象如图所示,那么不等式xf (x )<0的解集为______________.
7.已知函数f (x )=x 2+a x
(x ≠0,常数a ∈R ).
(1)讨论函数f (x )的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f (x )在x ∈[2,+∞)时为增函数,求a 的取值范围.
8.(2012·重庆卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f (x )为[0,
1]上的增函数”是“f (x )为[3, 4]上的减函数”的( )
A .既不充分也不必要条件
B .充分而不必要条件
C .必要而不充分条件
D .充要条件
9.(2011·合肥模拟)设f (x )是偶函数,且当x >0时是单调函数,则满足f (2x )=f (x +1x +4
)的所有x 之和为________.
10.(2013·上海二模)已知函数f (x )=log a 2m -1-mx x +1
(a >0,a ≠1)是奇函数,定义域为区间D (使表达式有意义的实数x 的集合).
(1)求实数m 的值,并写出区间D ;
(2)若底数a >1,试判断函数y =f (x )在定义域D 内的单调性,并说明理由;
(3)当x ∈A =[a ,b )(A D ,a 是底数)时,函数的值组成集合为[1,+∞),求实数a ,b 的值.
第6讲
1.C 2.D 3.B 4.-1 5.f (23)>f (32)>f (13
) 6.(-1,0)∪(0,1) 7.解析:(1)当a =0时,f (x )=x 2.
对任意x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),
f (-x )=(-x )2=x 2=f (x ),
所以f (x )为偶函数.
当a ≠0时,f (x )=x 2+a x
(a ≠0,x ≠0). 取x =±1,得f (-1)+f (1)=2≠0,
f (-1)-f (1)=-2a ≠0.
所以f (-1)≠-f (1),f (-1)≠f (1),
所以函数f (x )既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)函数f (x )在x ∈[2,+∞)时为增函数,等价于f ′(x )≥0在x ∈[2,+∞)时恒成立.
故a ≤2x 3在x ∈[2,+∞)时恒成立,
所以a ≤(2x 3)min =16.
所以a 的取值范围是(-∞,16].
8.D 解析:由f (x )是定义在R 上的偶函数及在[0,1]上的增函数,可知f (x )在[-1,0]为减函数,又2为周期,所以f (x )在[3,4]上为减函数,反之亦成立,选D.
9.-8 解析:因为x >0时,f (x )是单调函数,且f (x )是偶函数,
所以f (2x )=f (x +1x +4)等价于2x =x +1x +4或2x =-x +1x +4
, 即2x 2+7x -1=0或2x 2+9x +1=0,设两根为x 1,x 2,
则x 1+x 2=-72或x 1+x 2=-92
. 故所有x 之和为-8.
10.解析:(1)因为y =f (x )是奇函数,
所以对任意x ∈D ,有f (x )+f (-x )=0,
即log a 2m -1-mx 1+x +log a 2m -1+mx 1-x
=0, 化简整理,得(m 2-1)x 2-(2m -1)2+1=0对x ∈D 恒成立,
即此方程有无穷多解,
则必有⎩
⎪⎨⎪⎧m 2-1=0(2m -1)2-1=0,解得m =1. 所以f (x )=log a 1-x 1+x
,D =(-1,1). (2)当a >1时,函数f (x )=log a 1-x 1+x
在(-1,1)上是减函数, 因为t =1-x 1+x =-1+2x +1
在(-1,1)上是减函数, 而y =log a t 在其定义域内为增函数(a >1),
所以f (x )=log a 1-x 1+x
,当a >1时,为减函数. (3)因为A =[a ,b )D ,所以0<a <1,a <b ≤1.
由(2)的推理可知,当0<a <1时,f (x )=log a 1-x 1+x
在A 上为增函数, 所以log a 1-a 1+a
=1,解得a =2-1(a =-2-1舍去).
又若b <1,则f (x )在A 上的函数值组成的集合为[1,log a 1-b 1+b
)不合题意,所以必有b =1.
因此,所求实数a ,b 的值分别是a =2-1,b =1.。

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