浙教版九年级上册数学 第四章 第2课时 两个三角形相似的判定(二)随堂练习(解析版)-最新教育文档

4.4__两个三角形相似的判定__
第2课时 两个三角形相似的判定(二)
1．能判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似的条件是( C )
A.AB A ′B ′＝AC A ′C ′
B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′
，且∠A ＝∠C ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′
，且∠B ＝∠A ′ D.AB A ′B ′＝AC A ′C ′
，且∠B ＝∠B ′ 2．如图4－4－16，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB ∶OD ，则下列结论中一定正确的是( B )
图4－4－16
A ．①和②相似
B ．①和③相似
C ．①和④相似
D ．②和④相似
【解析】 ∵OA ∶OC ＝OB ∶OD ，∠AOB ＝∠COD ，∴①和③相似．故选B.
3．[2019·枣庄]如图4－4－17，在△ABC 中，∠A ＝78°，AB ＝4，AC ＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原来三角形不相似的是 ( C )
图4－4－17
【解析】 A ．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故选C.
4．如图4－4－18，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，下列条件中不能判断△ABC ∽△AED 的是( D )
A ．∠AED ＝∠B
B ．∠ADE ＝∠C
C.AD AE ＝AC AB
D.AD AB ＝AE AC
【解析】 当∠AED ＝∠B ，∠A ＝∠A 时，能判断△ABC ∽△AED ，A 正确；当
∠ADE＝∠C，∠A＝∠A时，能判断△ABC∽△AED，B正确；当AD
AE＝
AC
AB，∠A
＝∠A时，能判断△ABC∽△AED，C正确；要判断△ABC∽△AED，AB，AC
的对应边要分别是AE，AD，∴AD
AB＝
AE
AC不是对应边成比例，D不正确．故选D.
图4－4－18 图4－4－19
5．如图4－4－19，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D) A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC D.AD
AB＝
AB
BC
【解析】∵在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，∴当AD
AB＝
AB
AC时，才
能使△ADB∽△ABC，不是AD
AB＝
AB
BC.故选D.
6．[2019·东明一模]如图4－4－20，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是(C)
图4－4－20
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
【解析】A．∵∠ACD＝∠DAB，∠ADC＝∠BDA，
∴△DAC∽△DBA，∴A选项的添加条件正确；
B．∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E，∵∠E＝∠B，∴∠DAC＝∠B，∴△DAC∽△DBA，∴B选项的添加条件正确；
C．∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA∶DC＝DB∶DA，即AD2＝DC·BD时，△DAC ∽△DBA，∴C选项的添加条件不正确；
D选项的添加条件正确．故选C.
7．如图4－4－21，∠1＝∠2，添加一个条件，使得△ADE∽△ACB：__∠D＝
∠C(或∠E＝∠B或AD
AC＝
AE
AB)__．
图4－4－21
【解析】由∠1＝∠2可得∠DAE＝∠CAB.只需还有一对角对应相等或相等的角两边对应成比例即可使得△ADE∽△ACB.
8．如图4－4－22，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝b ，CB ＝a ，若
△ACB ∽△CBD ，则BD 与a ，b 之间满足的关系式为 BD ＝a 2b ．
图4－4－22
【解析】 ∵△ACB ∽△CBD ，
∴AC BC ＝BC BD ，即BD ＝BC 2AC ＝a 2b .
9．如图4－4－23，已知AD ·AB ＝AE ·AC ，求证：△FDB ∽△FEC .
图4－4－23
证明：∵AD ·AB ＝AE ·AC ，即AB AC ＝AE AD ，而∠A 为公共角，
∴△ABE ∽△ACD ，
∴∠B ＝∠C .
又∵∠BFD ＝∠CFE ，
∴△FDB ∽△FEC .
10．如图4－4－24，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AC 2＝AB ·AD ，求证：△ABC ∽△ACD .
图4－4－24
证明：∵AC 平分∠BAD ，
∴∠BAC ＝∠CAD .
∵AC 2＝AB ·AD ，∴AB AC ＝AC AD ，
∴△ABC ∽△ACD .
11．[2019·铜仁]如图4－4－25，已知：∠BAC ＝∠EAD ，AB ＝20.4，AC ＝48，AE ＝17，AD ＝40.
图4－4－25
求证：△ABC ∽△AED .
证明：∵AB ＝20.4，AC ＝48，AE ＝17，AD ＝40.
∴AB AE ＝20.417＝1.2，AC AD ＝4840＝1.2，∴AB AE ＝AC AD ，
∵∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED .
12．[2019·兰陵校级月考]如图4－4－26，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D ，E ，B ，C 在同一条直线上，且AB 2＝BD ·CE ，
图4－4－26
求证：△ABD ∽△ECA .
证明： ∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
∴∠ABD ＝∠ACE ，
∵AB 2＝BD ·CE ，
∴AB CE ＝BD AB ，即AB CE ＝BD CA ，
∴△ABD ∽△ECA .
13．[2019·福州]如图4－4－27，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC
边上截取AD ＝BC ，连结BD .
(1)通过计算，判断AD 2与AC ·CD 的大小关系；
图4－4－27
(2)求∠ABD 的度数．
解：(1)∵AD ＝BC ＝5－1
2，
∴AD 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－122＝3－52， ∵AC ＝1，
∴CD ＝1－5－12＝3－5
2，
∴AD 2＝AC ·CD ，
(2)∵AD 2＝AC ·CD ，
∴BC 2＝AC ·CD ，即BC AC ＝CD BC .
又∵∠C ＝∠C ，
∴△ABC ∽△BDC ，∴AB BD ＝AC BC .
又∵AB ＝AC ，∴BD ＝BC ＝AD ，
∴∠A ＝∠ABD ，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC .
设∠A＝∠ABD＝x，
则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，
解得x＝36°，∴∠ABD＝36°.
14．某老师上完“三角形相似的条件”一课后，出了如下一道思考题：如图4－4－28，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，试问：△AOB 和△DOC是否相似？
图4－4－28
某学生作出如下解答：
△AOB∽△DOC.理由：
∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，
∴△AOD∽△COB，∴AO
CO＝
DO
BO.
又∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB∽△DOC.
请你回答：该学生的解答是否正确？若正确，请在每一步后面写出依据；若不正确，请简要说明理由．
解：不正确，因为AO
CO＝
DO
BO不是△AOB与△DOC的对应边成比例．
15．如图4－4－29，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？
图4－4－29
解：△ABE与△DEF相似．理由：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
设AB＝AD＝CD＝4a，
∵E为边AD的中点，CF＝3FD，
∴AE＝DE＝2a，DF＝a，
∴AB
DE＝4a
2a＝2，
AE
DF＝
2a
a＝2，∴
AB
DE＝
AE
DF，
∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF.
16．如图4－4－30，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E.
(1)求证：△ADE ∽△BCE ；
(2)如果AD 2＝AE ·AC ，求证：CD ＝CB .
图4－4－30
证明：(1)如答图①.
∵∠A 与∠B 是CD ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠B .
又∵∠1＝∠2，∴△ADE ∽△BCE ；
第16题答图
(2)如答图②.
∵AD 2＝AE ·AC ，∴AE AD ＝AD AC .
又∵∠A ＝∠A ，∴△ADE ∽△ACD ， ∴∠AED ＝∠ADC .∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°，∴∠AED ＝90°，
∴直径AC ⊥BD ，∴CD ︵＝BC ︵，∴CD ＝CB .。