2019届中考数学复习《矩形、菱形、正方形》专项训练题含答案

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2019年中考数学矩形菱形与正方形真题汇编(含解析)

A ． 52 B． 48 C． 40 D． 20 【分析】由勾股定理即可求得 AB 的长，继而求得菱形 ABCD 的周长．【解答】解：∵菱形 ABCD 中， BD=24 ， AC=10 ，
2
∴OB=12 ， OA=5 ，在 Rt△ABO 中， AB=
=13 ，
∴菱形 ABCD 的周长 =4AB=52 ，故选： A ．
∵
，
∴△ APH ≌△ FGH （ASA ），
∴AP=GF=1 ， GH=PH= PG，
∴PD=AD ﹣ AP=1 ， ∵CG=2 、 CD=1 ， ∴DG=1 ，
则 GH= PG= ×
=，
4
故选： C．
A．1 B．
C．
D．
【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴， ∵EG⊥ AB ． EI⊥ AD ， FH ⊥ AB ， FJ⊥ AD ，垂足分别为 G， I，H ， J． ∴根据对称性可知：四边形 EFHG 的面积与四边形 EFJI 的面积相等，
A．1 B．
C．
D．
【分析】延长 GH 交 AD 于点 P，先证 △APH ≌△ FGH 得 AP=GF=1 ， GH=PH= PG，再利用勾股定理求得 PG= ，
从而得出答案．【解答】解：如图，延长
GH 交 AD 于点 P，
∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ∴∠ ADC= ∠ ADG= ∠ CGF=9°0 ， AD=BC=2 、 GF=CE=1 ， ∴AD ∥ GF， ∴∠ GFH= ∠PAH ，又∵ H 是 AF 的中点， ∴AH=FH ，在△APH 和 △FGH 中，

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)

中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。

2019年中考数学试题分类汇编27：矩形、菱形与正方形

一、选择题1. （2019江苏省无锡市，7，3）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．【知识点】矩形的性质；菱形的性质2. (2019山东泰安,12题,4分)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PB 的最小值是A.2B.4C.2D.22第12题图【答案】D【思路分析】首先分析点P 的运动轨迹,得到点P 在△DEC 的中位线上运动,点B 到线段MN 距离最短,即垂线段最短,过点B 作MN 的垂线,垂足为M,根据勾股定理可求出BM 的长度.【解题过程】∵F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,∴点P 的运动轨迹为△DEC 的中位线MN,∴MN ∥EC,连接ME,则四边形EBCM 为正方形,连接BM,则BM ⊥CE,易证BM ⊥MN,故此时点P 与点M 重合,点F 与点C 重合,BP取到最小值,在Rt △BCP 中,BP ＝22BC CP ＝22.【知识点】三角形中位线,正方形的性质,勾股定理3. （2019四川省眉山市，11，3分）如图，在矩形ABCD 中AB=6，BC=8，过对角线交点O 作EF ⊥AC 交AD 于点E ，交BC 于点F ，则DE 的长是A ．1B ． 74C ．2D ． 125【答案】B【思路分析】连接CE ，利用EO 垂直平分AC ，可得AE=CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理求出DE 的长即可.【解题过程】解：连接CE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA ，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC ，OA=OC ，∴AE=CE ，在Rt △DEC 中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE ）2，解得：x=74，故选B.【知识点】矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理4. （2019四川攀枝花，6，3分）下列说法错误的是（）A ．平行四边形的对边相等B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B ．【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；菱形的判定；轴对称图形；中心对称图形5. （2019四川攀枝花，10，3分）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，BE ＝4，EC ＝8，将正方形边AB 沿AE 折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。

矩形、菱形及正方形-专题训练含答案

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________ ________ 成绩________一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，假设AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，那么矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．123D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．假设AB＝2，那么C′D的长为( )A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，那么四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，那么△DCE 的周长为( )A．4 cmB．6 cm C．8 cmD．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，那么菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全一样的直角三角形拼以下图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个小正方形的面积分别为S1，S2，那么S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，假设正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，那么△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每题3分，共24分)11．如下图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，那么∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，那么四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，那么其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，那么这-.个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，，MN，假设AB＝22，BC＝23，那么图中阴影局部的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，那么EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)假设AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如下图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)假设AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，假设AE＝2，DE＝6，∠EFB ＝60°，那么矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．假设AB＝2，那么C′D的长为( B )-.A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，那么四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，那么△DCE 的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，那么菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全一样的直角三角形拼以下图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤ B．②⑤⑥ C．①②③ D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，假设两个小正方形的面积分别为S1，S2，那么S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，假设正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，那么△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每题3分，共24分)11．如下图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，那么∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，那么四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，那么其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，那么这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，，MN，假设AB＝2，BC＝2，那么图中阴影局部的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，那么EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠CED＝90°，∴∠AFE＝∠DEC.又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝EC，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD.设AE＝x，那么CD＝x，∴AD＋CD＝×32，即x＋4＋x＝16，∴x＝6.即AE＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)假设AB＝4，AD＝8，求MD的长．解：(1)∵MN是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，∠BON＝∠DOM＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BNO＝∠DMO，∴△BON≌△DOM(AAS)，∴OM＝ON.∵OB＝OD，∴四边形BMDN是平行四边形．∵MN⊥BD，∴▱BMDN是菱形(2)设MD＝x，那么MB＝x，MA＝8－x，在Rt△ABM中，∵BM2＝AM2＋AB2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.∴MD的长为521．(8分)如下图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．-.解：提示：由∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求出∠BAE＝22.5°，而∠ABD＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO＝∠ABD＝67.5°，∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)假设AB＝8，求菱形ABCD的面积．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC(等边三角形三线合一)，∠AEC＝90°.同理，CF⊥AD.∵E，F分别是BC，AD的中点，∴AF＝AD，EC＝BC.∵四边形ABCD是菱形，∴AD綊BC，∴AF綊EC，∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC＝90°，∴四边形AECF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt△ABE中，∵AE＝＝4，∴S菱形ABCD＝8×4＝3223．(12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：-.(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△CDF(AAS) (2)由(1)知AD＝DC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．解：证明：连结MP，NQ，PN，MQ，∵PM綊AB，同理NQ綊AB，∴PM綊NQ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN綊CD，而CD＝AB，∴PN＝PM，∴四边形MPNQ为菱形，∴MN与PQ互相垂直平分。

2019年浙教版数学中考复习矩形、菱形和正方形综合测试 (有答案)

2019年浙教版数学中考复习矩形、菱形和正方形综合测试一．选择题1．(2018·四川遂宁中考)下列说法正确的是( )A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°2. (2018·四川内江中考)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )A．31°B．28°C．62°D．56°3．(2018·江苏淮安中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )A．20 B．24 C．40 D．484．(2017·四川广安中考)下列说法，正确的有( )①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连结矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分A．4个B．3个C．2个D．1个5．(2017·山东临沂中考)在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，A ．若AD ⊥BC ，则四边形AEDF 是矩形B ．若AD 垂直平分BC ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若BD ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形 D ．若AD 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是菱形6．(2018·上海中考)已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BDD ．AB ⊥BC7. (2016广东)如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为( )A. 2B. 2 2C. 2＋1D. 22＋18．(2018·新疆中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm.现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为( )A ．6 cmB ．4 cmC ．3 cmD ．2 cm9. (2016咸宁)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( ) A. (0，0) B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)10. (2018·浙江温州中考)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股A ．20B ．24C.994D.532二．填空题11．已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为23，则这个菱形的面积是______．12．(2018·广东广州中考)如图，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D 在y 轴上，则点C 的坐标是________________．13．(2018·甘肃天水中考)如图所示，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，BD ＝8，AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为____．14．(2018·湖南株洲中考)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝10，P ，Q 分别为AO ，AD 的中点，则PQ 的长度为__________．15．(2018·广东深圳中考)如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角且点E ，A ，B 三点共线，AB ＝4，则阴影部分的面积是______．16．(2018·辽宁锦州中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连结OH ，若OB ＝4，S ＝24，则OH 的长为______．17．(2018·甘肃兰州中考)如图，M ，N 是正方形ABCD 的边CD 上的两个动点，满足AM ＝BN ，连结AC 交BN 于点E ，连结DE 交AM 于点F ，连结CF ，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是__________．18. (2017天津)如图，在正方形ABCD 中，点E ，N ，P ，G 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，F ，Q 都在对角线BD 上，且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形，则S 正方形MNPQ S 正方形AEFG的值等于________．三．解答题19．(2018·湖南张家界中考)在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F. (1)求证：DF ＝AB ；(2)若∠FDC ＝30°，且AB ＝4，求AD.20. (2017杭州)如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一条直线上，且AD＝3，DE＝1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值；(2)求线段AH的长．21. (2016聊城)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．22．(2018·吉林长春中考)在正方形ABCD中，E是边CD上一点(点E不与点C，D重合)，连结BE.【感知】如图1，过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)【探究】如图2，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G.求证：(1)BE＝FG；(2)连结CM，若CM＝1，则FG的长为2 .【应用】如图3，取BE的中点M，连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG，MG.若CM ＝3，则四边形GMCE的面积为________．23. (2017台州8分)如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和点G，H.(1)求证：△PHC≌△CFP；(2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．(2018·浙江绍兴中考)小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点P，Q分别在菱形ABCD的边BC，CD上，∠PAQ＝∠B，求证：AP＝AQ.(1)小敏进行探索，若将点P，Q的位置特殊化：把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF，使AE⊥BC，点E，F分别在边BC，CD上，如图2.此时她证明了AE＝AF，请你证明．(2)受以上(1)的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.请你继续完成原题的证明．(3)如果在原题中添加条件：AB＝4，∠B＝60°，如图1，请你编制一个计算题(不标注新的字母)，并直接给出答案(根据编出的问题层次，给不同的得分)．25．(2018·浙江金华中考)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG＝GF，求BC的长．(2)已知BC＝9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．参考答案 1-5 BDACD 6-10 BBDDB 11. 2 3 12. (－5，4) 13. 245 14. 2.5 15. 8 16. 3 17. 35－3 18. 8919. (1)证明：在矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠DAF ，又∵DF ⊥AE ，∴∠DFA ＝90°，∴∠DFA ＝∠B ，又∵AD ＝EA ，∴△ADF ≌△EAB ，∴DF ＝AB.(2)解：∵∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∠DAF ＋∠ADF ＝90°， ∴∠FDC ＝∠DAF ＝30°，∴AD ＝2DF ， ∵DF ＝AB ，∴AD ＝2AB ＝8.20. 解：(1)由题意知EC ＝2，AE ＝10，如解图，过点E 作EM ⊥AC 于点M ， ∴∠EMC ＝90°，易知∠ACD ＝45°， ∴△EMC 是等腰直角三角形， ∴EM ＝2，∴sin ∠EAC ＝EM AE ＝55.(2)在△GDC 与△EDA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DG ＝DE ∠GDC ＝∠EDA DC ＝DA，∴∠GCD ＝∠EAD ，又∵∠HEC ＝∠DEA ， ∴∠EHC ＝∠EDA ＝90°， ∴AH ⊥GC ，∵S △AGC ＝12×AG×DC ＝12×GC×AH ，∴12×4×3＝12×10×AH ， ∴AH ＝6510.21. 证明：∵∠B ＝90°，AC ＝2AB ， ∴sin ∠ACB ＝12，∴∠ACB ＝30°， ∴∠CAB ＝60°， ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD ＝12∠CAB ＝30°，∴∠CAD ＝∠ACD ， ∴AD ＝CD ，(3分) ∵AF ∥CD ，∴∠DCE ＝∠FAE ，∠AFE ＝∠CDE ，又∵AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS)， ∴AF ＝CD ，又AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形，又AD ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．22. 解：【感知】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABE ＋∠CBE ＝90°.∵AF ⊥BE ，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°，∴∠BAF ＝∠CBE.在△ABF 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠CBE ，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCE ＝90°， ∴△ABF ≌△BCE(ASA)．【探究】证明：(1)如图，过点G 作GP ⊥BC 于P.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴四边形ABPG 是矩形，∴PG ＝AB ，∴PG ＝BC.同感知的方法得∠PGF ＝∠CBE ，在△PGF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PGF ＝∠CBE ，PG ＝BC ，∠FPG ＝∠ECB ＝90°， ∴△PGF ≌△CBE(ASA)，∴BE ＝FG.(2)由(1)知，FG ＝BE ，如图，连结CM.∵∠BCE ＝90°，点M 是BE 的中点，∴BE ＝2CM ＝2，∴FG ＝2.【应用】 923. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC ∥AB ，AD ∥BC ，∠DCB ＝90°.(1分) ∵EF ∥AB ，GH ∥AD ，∴EF ∥CD ，GH ∥BC ，∴四边形PFCH 是矩形，(2分)∴∠PHC ＝∠PFC ＝90°，PH ＝CF ，HC ＝PF ，(3分)∴△PHC ≌△CFP(SAS)．(4分)(2)证明：(1)由(1)知AB ∥EF ∥CD ，AD ∥GH ∥BC ，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是平行四边形，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠B ＝90°，∴四边形PEDH 和四边形PGBF 都是矩形，∴S 矩形PEDH ＝S 矩形PGBF .(8分)【解法提示】同(1)证法一样可得，△ACD ≌△CAB ，△APE ≌△PAG ，△PHC ≌△CFP ， ∴S △ACD －S △AEP －S △PCH ＝S △CAB －S △PGA －S △CFP ，∴S 四边形PEDH ＝S 四边形PFBG .24. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝∠D ，AB ＝AD.∵∠EAF ＝∠B ，∴∠EAF ＋∠C ＝180°，∴∠AEC ＋∠AFC ＝180°.∵AE ⊥BC ，∴AF ⊥CD ，在△AEB 和△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AFD ，∠B ＝∠D ，AB ＝AD ，∴△AEB ≌△AFD ，∴AE ＝AF.(2)证明：由(1)得∠PAQ ＝∠EAF ＝∠B ，AE ＝AF ，∴∠EAP ＝∠FAQ ，在△AEP 和△AFQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEP ＝∠AFQ ＝90°，AE ＝AF ，∠EAP ＝∠FAQ ，∴△AEP ≌△AFQ ，∴AP ＝AQ.(3)解：答案不唯一．已知：AB ＝4，∠B ＝60°，求四边形APCQ 的面积．解：如图，连结AC ，BD 交于O.∵∠ABC ＝60°，BA ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形．∵AE ⊥BC ，∴BE ＝EC.同理，CF ＝FD ，∴四边形AECF 的面积＝12×四边形ABCD 的面积，由(2)得四边形APCQ 的面积＝四边形AECF 的面积，OA ＝12AB ＝2，OB ＝32AB ＝23， ∴四边形ABCD 的面积＝12×2×23×4＝83， ∴四边形APCQ 的面积＝4 3.25. 解：(1)①在正方形ACDE 中，DG ＝GE ＝6.在Rt △AEG 中，AG ＝AE 2＋EG 2＝6 5.∵EG ∥AC ，∴△ACF ∽△GEF ，∴FG AF ＝EG AC， ∴FG AF ＝612＝12， ∴FG ＝13AG ＝2 5. ②如图1中，正方形ACDE 中，AE ＝ED ，∠AEF ＝∠DEF ＝45°.图1∵EF ＝EF ，∴△AEF ≌△DEF ，∴∠1＝∠2，设∠1＝∠2＝x.∵AE ∥BC ，∴∠B ＝∠1＝x.∵GF ＝GD ，∴∠3＝∠2＝x.在△DBF中，∠3＋∠FDB＋∠B＝180°，∴x＋(x＋90°)＋x＝180°，解得x＝30°，∴∠B＝30°，∴在Rt△ABC中，BC＝ACtan 30°＝12 3.(2)在Rt△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝122＋92＝15. 如图2中，当点D在线段BC上时，此时只有GF＝GD.图2∵DG∥AC，∴△BDG∽△BCA.设BD＝3x，则DG＝4x，BG＝5x，∴GF＝GD＝4x，则AF＝15－9x.∵AE∥CB，∴△AEF∽△BCF，∴AEBC＝AFBF，∴9－3x9＝15－9x9x，整理得x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5(舍去)，∴腰长GD＝4x＝4.如图3中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点在AE上方时，图3此时只有GF＝DG，设AE＝3x，则EG＝4x，AG＝5x，∴FG＝DG＝12＋4x.∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴AE BC ＝AF BF ，∴3x 9＝9x ＋129x ＋27，解得x ＝2或－2(舍去)，∴腰长DG ＝4x ＋12＝20.如图4中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点在BD 下方时，图4此时只有DF ＝DG ，连结DF ，过点D 作DH ⊥FG.设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x ，DG ＝4x ＋12，∴FH ＝GH ＝DG·cos ∠DGB ＝(4x ＋12)×45＝16x ＋485， ∴GF ＝2GH ＝32x ＋965，∴AF ＝GF －AG ＝7x ＋965. ∵AC ∥DG ，∴△ACF ∽△GEF ，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝7x ＋96532x ＋965，解得x ＝12147或－12147(舍去)． ∴腰长GD ＝4x ＋12＝84＋48147. 如图5中，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF ＝DG ，作DH ⊥AG 于H.图5设AE ＝3x ，则EG ＝4x ，AG ＝5x，DG ＝4x －12，∴FH ＝GH ＝DG·cos ∠DGB ＝16x －485， ∴FG ＝2FH ＝32x －965， ∴AF ＝AG －FG ＝96－7x 5. ∵AC ∥EG ，∴△ACF ∽△GEF ，∴AC EG ＝AF FG ，∴124x ＝96－7x 532x －965，解得x ＝12147或－12147(舍去)， ∴腰长DG ＝4x －12＝－84＋48147. 综上所述，等腰△DFG 的腰长为4或20或84＋48147或－84＋48147.。

2019中考数学限时训练：课时21矩形、菱形、正方形(有答案)

课时21矩形、菱形、正方形（时间：40分钟满分：60分）评分标准：选择填空每题 3分. 基础过关1 . （2018上海）已知口ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）B . Z A =ZC C . AC = BD 2 . （2018贵阳）如图1，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF // CB ,交AB 于点F ，如果 3,那么菱形ABCD 的周长为（）D .4 . （2018威海）矩形ABCD 与CEFG 如图3放置，点B , C , E 共线，点 C , D , G 共线, AF ，取 AF 的中点 H ,连接 GH.若 BC = EF = 2, CD = CE = 1,贝U GH 等于（）D . AB 丄 BC EF = A . 24C . 12B . 18 D . 9 3 . （2018AB , EI 丄AD , FH 丄AB , FJ 丄AD ，垂足分别为 G , I , H , J.则图中阴影部分的面积等于 EG 丄) 连接图1 图3C冷D冷一 1 -5.（2018湖州）如图4，已知菱形ABCD，对角线AC, BD相交于点O•若tan/BAC = 3, AC= 6,BD的长是6•如图5,在矩形ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,点E, F分别是AO, AD的中点, AB= 5 cm, BC= 12 cm，贝U EF =7.（2018随州）如图6，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2,点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，/ AOC= 60°若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°得到四边形OA' B ' C ', 则点B的对应点B'的坐标为8. （2018青岛）如图7,已知正方形ABCD的边长为5，点E, F 分另在AD，DC 上，AE= DF =9. （6分）如图8，在口ABCD中，对角线AC, BD交于点O, 是等边三角形，/ AED = 2/ EAD .求证：四边形ABCD是正方形. E是BD延长线上的点，且△ ACE的长为2, BE与AF相交于点G,C冷D冷（1）求证：四边形AECD是菱形；I) ft c10. （8分）（2018连云港）如图9,矩形ABCD中，E是AD的中点，延长BA交于点F,连接AC, DF.（1）求11. （8分）（2018贺州）如图10,在厶ABC中，/ ACB = 90° O, D分别是边点C作CE // AB交DO的延长线于点E,连接AE.AC, AB的中点，过图93⑵若四边形AECD的面积为24, tan/BAC = 4，求BC的长.12. （8分）（2018遵义）如图11,正方形ABCD的对角线交于点O,点E, F分别在AB, BC上（AE V BE）,且/ EOF = 90° OE , DA的延长线交于点M, OF , AB的延长线交于点N，连接MN.(1)求证：OM = ON ;⑵若正方形ABCD的边长为4, E为OM的中点，求MN的长.f）________ C图11拓展提升1.如图12,矩形ABCD中，AB = 2, AD = 2•点E是BC边上的一个动点，连接AE,过点D作DF丄AE于点卩.当厶CDF是等腰三角形时，BE的长为________________图122•在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4 cm的等腰三角形，要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角月电C形的面积为_____________ .参考答案:基础过关 1.B 2.A 3.B 4.C6) 8^2345. 2 6罟7.(-J6, —9.证明：•••四边形ABCD是平行四边形，••• A0= OC.•••△ACE是等边三角形，•E0丄AC，即BD丄AC. • ?ABCD是菱形.•••△ACE是等边三角形，AO = 0C ,•••/ EAO = Z AEC = 60° E0 平分/ AEC.•••/ AEO = 30°又/ AED = 2/ EAD，•/ EAD = 15°.•••/ DAO = Z EAO — Z EAD = 45°.•/ ?ABCD 是菱形，• AC 平分Z BAD.A Z BAD = 2Z DAO = 90°•四边形ABCD是正方形.10 . (1)证明：•••四边形ABCD是矩形，• AB // CD.•Z FAE = Z CDE.•/ E 是AD 的中点，• AE= DE.又Z FEA = Z CED FAE◎△ CDE. • FA = CD.又AF // CD，•四边形ACDF是平行四边形.(2) BC= 2CD.理由：•••四边形ABCD是矩形，•Z CDE = Z BCD = 90°AD = BC.•/ CF 平分Z BCD ,•••/ DCE = 45°.•••Z CDE = 90° •△ CDE是等腰直角三角形.•CD= DE.•/ E 是AD 的中点，• AD = 2CD.•/ AD = BC ,• BC = 2CD.11.(1)证明：••点O是AC的中点，• OA= OC.•/ CE/ AB ,•••/ DAO = Z ECO.[Z DAO = Z ECO,在厶AOD和厶COE中，OA= OC ,Z AOD = Z COE,•△ AOD ◎△ COE (ASA).•AD = CE.•CE // AB，•四边形AECD是平行四边形.又CD是Rt A ABC斜边AB上的中线，• CD = AD. •••四边形AECD是菱形.⑵由⑴知，四边形AECD是菱形，•AC 丄ED.3在Rt△ AOD 中，tan / DAO = = tan/ BAC =' OA 4' 设OD = 3x, OA= 4x,则ED = 2OD = 6x, AC = 2OA = 8x.1 由题意，得2x6x X 8x= 24 ,解得x1= 1, x2=—1(舍去).•OD = 3.•/ O, D分别是AC, AB的中点，•OD 是厶ABC 的中位线.••• BC = 2OD = 6.12 . (1)证明：•••四边形ABCD是正方形，•OA= OB，/ DAO = 45° / OBA = 45°•/ OAM = / OBN = 135°V/ EOF = 90° / AOB= 90°AOM = / BON.图1 •△ OAM◎△ OBN(ASA).•OM = ON.⑵如图1，过点O作OH丄AD于点H ,•OH // AE.V正方形的边长为4,•OH = HA = 2.V E为OM的中点，•HM = 2HA = 4.「.OM = 22+ 42= 2 5.•MN = 2OM = 2 ,10.拓展提升 1.1 或2或2—2 2.8 cm2或2 15 cm2或2 , 7 cm2。

北京市通州区2019届中考《矩形、菱形和正方形》专题练习含答案

北京市通州区普通中学2019届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．下列判断错误的是( D )A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．四个内角都相等的四边形是矩形C ．四条边都相等的四边形是菱形D ．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形2．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) A.245 B.125C ．5D ．43．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积( A )A ．2 3B ．4C ．4 3D ．84．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( D )A. 5B.136 C ．1 D.565．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( D )A.95B.125C.165D.1856．在▱ABCD 中，AB ＝10，BC ＝14，E ，F 分别为边BC ，AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则AE 的长为( D )A ．7B ．4或10C ．5或9D ．6或87．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，∠EAF ＝45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD 的边长为( A )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE＝DF ；②∠DAF＝15°；③AC 垂直平分EF ；④BE＋DF ＝EF ；⑤S △CEF ＝2S △ABE ，其中正确结论有( C ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个9．如图，正方形ABCD 的边长为22，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM⊥BE于点M ，交BD 于点F ，则FM 的长为__55__．10．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为__24__．11．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a.将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝__23a__．12．如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是__52或45或5__．13．如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F 为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，0则AM 的长等于__33或233cm.14．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA 1B 1C 1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB 1为边作正方形OB 1B 2C 2，再以正方形OB 1B 2C 2的对角线OB 2为边作正方形OB 2B 3C 3，以此类推…，则正方形OB 2019B 2019C 2019的顶点B 2019的坐标是__(21008，0)__．15．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF 折叠，使点D 落在AC 上的点N 处．(1)求证：四边形AECF 是平行四边形；(2)若AB ＝6，AC ＝10，求四边形AECF 的面积．解：(1)由折叠知AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴AM＝CN，∴AN＝CM，可证△ANF≌△CME(ASA)，∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形(2)∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，设CE＝x，则EM＝8－x，CM＝10－6＝4，在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，∴四边形AECF的面积为EC·AB＝5×6＝3016．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB.(1)求证：PE＝PD；(2)连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，可证△PBC≌△PDC(SAS)，∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD(2)∠PED＝45°.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB＋∠PEC＝180°，∴∠PDC＋∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°－(∠PDC＋∠PEC)－∠BCD＝360°－180°－90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°17．如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝2，求BC的长；(2)求证：ME＝AM－DF.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，AB∥CD，∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD.∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝4，∴BC＝CD＝4(2)延长DF，AB交于G，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA.∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.可证△CEM≌△CFM(SAS)，∴ME＝MF.∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵F为边BC的中点，∴CF＝BF，可证△CDF≌△BGF(AAS)，∴DF＝GF.∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME，即ME＝AM－DF18．如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是___FG＝CE___，位置关系是 __FG∥CE__；(2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．解：(2)过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，可证△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB∴BH＝EC，∴FG＝EC(3)成立．∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，可证△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形，∴FG∥CE，FG＝CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．关于x的方程（m﹣2）x214＝0有实数根，则m的取值范围（）A．m≤52且m≠2B．m＞52C．m≤52D．m≤3且m≠22．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）A．1 B．34C．12D．143．用弹簧秤将一长方体铁块悬于没有盛水的水槽中，再向水槽匀速注入水，直至铁块完全浸没在水中（如图），则能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与水面高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．4．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A.x＞2B.0＜x＜4C.﹣1＜x＜4D.x＜﹣1 或 x＞45．下列运算正确的是（）A ．2m 2+m 2＝3m 4B ．（mn 2）2＝mn 4C ．2m•4m 2＝8m 2D ．m 5÷m 3＝m 26．如图，▱ABCD 中，∠B ＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则DE 的长为（）A ．13π B ．23π C ．76π D ．43π 7．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转110，得到ADE ，若点D 在线段BC 的延长线上，则ADE ∠的大小为( )A ．55B ．50C ．45D ．358．若a b <，则下列结论不一定成立的是（） A ．11a b -<-B ．22a b <C ．33a b ->- D ．22a b <9．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（） A ．26×105B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×10410．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C 作CD 1⊥AB 于D 1，过D 1作D 1 D 2⊥BC 于D 2，过D 2作D 2 D 3⊥AB 于D 3，这样继续作下去，……，线段D n D n+1能等于（n 为正整数）（）A ．32n⎛⎫⎪⎝⎭B ．132n +⎛⎫⎪⎝⎭C．n⎝⎭D．1n +⎝⎭11．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则K 的值不可能是（）A．-5 B．-2 C．3 D．512．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，1），将点A绕原点O旋转180°得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（－1，－2）B．（1，－2）C．（－2，－1）D．（2，－1）二、填空题13．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③若tan∠BAE＝12，则tan∠DAF＝13；④若BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上）14．分解因式(a－b)(a－9b)＋4ab的结果是____．15．4与9的比例中项是_____．16．从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是_________．17．某中学组织的“红旗大赛”，60名选手的成绩统计如右图，已知成绩在94.5分以上的选手中，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名参加“红歌大赛”，则恰好选到一名男生和一名女生的概率为__________．18．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接AC、BE，AC与BE交于点F，则△ABF的面积和四边形CDEF的面积的比值是____．三、解答题19．如图所示，△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝CD，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，且点F是半圆CD的中点．（1）求证：AB与⊙O相切．（2）若tanB＝2，AB＝6，求CE的长度．20．用A4纸在某眷印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费1元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.4元，在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.8元，当复印的张数超过20页时，请问答以下问题．（1）复印张数为多少页时，某眷印社与某图书馆的收费相同？（2）如何选择更省钱？21．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，点A，B是格点，根据要求，选择格点，画出符合要求的图形．(1)在图1、图2中分别找出符合要求的1个格点C，并画出相应的格点三角形，使得∠ACB＝45°．(2)在图3中画出符合要求的1个格点D，并画出相应的格点三角形使得tan∠ADB＝12，并求出△ABD的面积．22．图①、图②均为3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，请在图①、图②中各画一个顶点在格点的三角形．要求：（1）所画的三角形为钝角三角形；（2倍；（3）图①、图②中所画的三角形不全等．23．某市开展“美丽家乡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数.24．在方程3523ax byax by-=⎧⎨+=⎩中，如果121xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩的值．25．有一块含30°角的直角三角板OMN，其中∠MON＝90°，∠NMO＝30°，ON＝，将这块直角三角板按如图所示位置摆放．等边△ABC的顶点B与点O重合，BC边落在OM上，点A恰好落在斜边MN上，将等边△ABC从图1的位置沿OM方向以每秒1个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与斜边MN交于点E，F（如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）（0＜t＜6）．（1）等边△ABC的边长为；（2）在运动过程中，当时，MN垂直平分AB；（3）当0＜t＜6时，求直角三角板OMN与等边△ABC重叠部分的面积S与时间t之间的函数关系式．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．①②③．14．(a-3b)2 15．±616．3 717．2 318．2 5三、解答题19．（1）见解析；（2）CE＝5.【解析】【分析】（1）连接DF，由CD为⊙O的直径，得到∠CFD＝90°，求得∠A＝∠ACD＝45°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到CD＝2BD，求得BD＝2，CD＝4，得到BC＝，根据切割线定理即可得到结论．【详解】（1）连接DF，∵CD为⊙O的直径，∴∠CFD＝90°，∵点F是半圆CD的中点，∴CF＝DF，∴∠ACD＝45°，∵AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝45°，∴∠ADC＝90°，∴AB与⊙O相切；（2）∵CD⊥AB，tanB＝2，∴CD＝2BD，∵AD＝CD，∴AB＝3BD，∵AB＝6，∴BD＝2，CD＝4，∴BC＝∵BD 与⊙O 相切， ∴BD 2＝BE•BC，∴BE 2＝，∴CE ＝BC ﹣BE ＝5．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（1）复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同；（2）当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【解析】【分析】（1）复印张数超过20页时，某眷印社收费为：20+0.4（x-20），某图书馆收费为：0.8x'，两者相等列方程求解．（2）求某眷印社收费大于某图书馆的x 值，再比较说明．【详解】解：（1）设复印张数为x 页，（x ＞20），列方程得： 20+0.4（x ﹣20）＝0.8x 解得：x ＝30答：复印张数为30页时，某眷印社与某图书馆的收费相同．（2）20+0.4（x ﹣20）＞0.8x 解得：x ＜30答：当复印张数大于0小于30页时，选某图书馆；当复印张数为30页时，两店一样；当复印张数大于30页时，选某眷印社．【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，是一次方程和不等式综合运用的常考题型，找出其中的数量关系列出方程与不等式是解答本题的关键． 21．(1)见解析；(2)画图见解析，在，面积为10. 【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想构造等腰直角三角形即可．（2）利用数形结合的思想解决问题即可．【详解】(1)如图1，2中，点C 即为所求．(2)如图3中，点D 即为所求，S △ABD ＝12×BD×AH＝12⨯＝10．【点睛】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 22．见解析【解析】【分析】利用勾股定理作出符合条件的三角形三边，将原三角形扩大两倍即可【详解】解：如图所示；【点睛】此题考查勾股定理和作图-相似变换，解题关键在于掌握作图法则 23．（Ⅰ）100,12；（Ⅱ）平均数是1.32，众数是1.5，中位数是1.5 【解析】【分析】（Ⅰ）根据条形统计图和扇形统计图，用1h 对应的人数除以对应的百分比即可求解；用0.5h 对应的人数除以总人数即可求解（Ⅱ）利用平均数、众数、中位数的定义分别求解即可【详解】（Ⅰ）学生人数=3010030%=；m%=12/100=12%，即m=12；（Ⅱ）观察条形统计图， ∵0.512130 1.5402181.32100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，∴这组数据的平均数是1.32.∵在这组样本数据中，1.5出现了40次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1.5.∵将这组样本数据按照有小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是1.5，有1.5 1.51.52+=，∴这组样本数据的中位数是1.5.【点睛】此题主要考查利用统计图表解决简单的实际问题24．3【解析】【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，即可确定出所求．【详解】解：把121xy⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入3523ax byax by-=⎧⎨+=⎩中得13523a ba b⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得41, ab=⎧⎨=⎩3.==【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．25．（1）3；（2）3；（3）22(03)84(36)822tSt+<⎪=-+<<⎩….【解析】【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，由此即可解决问题；（3）分两种情形分别求解：当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．根据S＝S△MEB﹣2S△MDC，计算即可．②当3＜t ＜6时，S＝S△MEB．【详解】解：（1）在Rt△MON中，∵∠MON＝90°，ON＝M＝30°∴OM＝6，∵△ABC为等边三角形∴∠AOC＝60°，∴∠OAM＝90°∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，∴OA＝12OM＝12×6＝3．故答案为3．（2）易知当点C与M重合时直线MN平分线段AB，此时OB＝3，所以t＝3．故答案为3．（3）易知：OM＝6，MN＝，S△OMN＝12×6＝∵∠M＝30°，∠MBA＝60°，∴∠BEM＝90°．①当0＜t≤3时，作CD⊥FM于D．∵∠ACB＝60°，∠M＝30°，∠FCB＝∠M+∠CFM，∴∠CFM＝∠M＝30°，∴CF＝CM，∵CD⊥FM，∴DF＝DM，∴S△CMF＝2S△CDM，∵△MEB∽△MON，∴2MEBMONS BMS MB⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MEB2+∵△MDC∽△MON，∴2MDCMONS MCS MN⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△MDC＝2848t-+，∴S＝S△MEB﹣2S△MDC＝﹣284+．②当3＜t＜6时，S＝S△MEB2综上所述，S＝22(03)(36)tt+<<<…．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）A.5B.5D.232．下列运算正确的是（） A.3a ＋2a ＝a 5B.a 2·a 3＝a 6C.（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2D.(a ＋b)2＝a 2＋b 23．已知关于x 的不等式组314(1)x x x m --⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是（）A ．m≤3B ．m ＞3C ．m ＜3D ．m≥34．下列运算中，结果正确的是（） A.235a a a +=B.236a a a =C.()236a a = D.623a a a ÷=5．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米，圆心O 到AB 的距离为3厘米，则⊙O 的半径是（） A.3厘米B.4厘米C.5厘米D.8厘米6．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（）A.55°B.60°C.65°D.70°7．把不等式组24030x x -≥⎧⎨->⎩的解集表示在数轴上，正确的是( )A ．B ．C ．D ．8．如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（）A ．比原多边形少180°B ．与原多边形一样C ．比原多边形多360°D ．比原多边形多180°9．如果3y x =-+，且x y ≠，那么代数式22x y x y y x+--的值为（） A ．3B ．3-C ．13D ．13-10．Rt ABC 中，C 90∠=，若BC 2=，AC 3=，下列各式中正确的是 ( ) A ．2sinA 3=B ．2cosA 3=C ．2tanA 3=D ．2cotA 3=11．某公司员工的月工资统计表如下，这个公司员工工资的中位数为（）A ．7000B ．6000C ．5000D ．650012．下列选项中，是如图几何体的主视图的是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝﹣13x+4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…依据图形所反映的规律，S 2019＝_____．14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则下列结论：①△ADF ≌△FEC ；②四边形ADEF 为菱形；③:1:4ADF ABC S S ∆∆=。

(完整)年中考数学专题复习第二十一讲矩形-菱形-正方形(含详细参考答案)

B．2 7
C． 5
D．10
3. （2018?大连）如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O，若 AB=5，
AC=6 ，则 BD 的长是（）
A．8
B．7
C． 4
D．3
4. （2018?贵阳）如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AC 的中点， EF∥ CB，交 AB 于点 F，如果 EF=3，那么菱形 ABCD 的周长为（）
21．（2018?盐城）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E、F 满足 BE=DF，连接 AE、 AF、 CE、 CF，如图所示．（ 1）求证： △ABE ≌△ ADF；（ 2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由．
或 600 时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的
是正方形，或有一个角是直角的
是
正方形
2、性质：⑴正方形四个角都
都是
角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线
、
且
每条对角线平分一
组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
【名师提醒： 1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特
使平行
18. （ 2018?株洲）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交点 O，AC=10，P、
Q 分别为 AO 、AD 的中点，则 PQ 的长度为
．
19.（2018?武汉）以正方形 ABCD 的边 AD 作等边 △ADE ，则∠ BEC 的度数是．
三、解答题 20. （2018?柳州）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC， BD 相交于点 O，且 AB=2 ．（ 1）求菱形 ABCD 的周长；（ 2）若 AC=2，求 BD 的长．

2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题25 矩形菱形与正方形(含解析)

矩形菱形与正方形一.选择题1.（2019•贵阳•3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，∴AB＝BC＝AC＝1cm．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．2. （2019•铜仁•4分）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．故选：C．3. （2019•铜仁•4分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S＝（）△CEFA．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形＝＝∴S△CEF故选：D．4. ．（2019•河北•3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°；故选：D．5. （2019•江苏无锡•3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．6. （2019•江苏宿迁•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则的值为（）A．B．C．2 D．【分析】设D（m，），B（t，0），利用菱形的性质得到M点为BD的中点，则M（，），把M（，）代入y＝得t＝3m，利用OD＝AB＝t得到m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，所以M（2m，m），根据正切定义得到tan∠MAB＝＝＝，从而得到＝．【解答】解：设D（m，），B（t，0），∵M点为菱形对角线的交点，∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，∴M（，），把M（，）代入y＝得•＝k，∴t＝3m，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝AB＝t，∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，∴M（2m，m），在Rt△ABM中，tan∠MAB＝＝＝，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．7. （2019•江西•3分）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【解析】D共有如下6种拼接方法：③②①⑥⑤④8. （2019•天津•3分）如图，四边形ABCD 为菱形，A 、B 两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C 、D 在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于A.5B.34C.54D. 20【答案】C【解析】由勾股定理可得，由菱形性质可得，所以周长等于故选C.9. （2019•广东省广州市•3分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC ，AD 于点E ，F ，若BE ＝3，AF ＝5，则AC 的长为（）A．4B．4C．10 D．8【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE 得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AE，如图：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE＝5，∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，∴AB＝＝＝4，∴AC＝＝＝4；故选：A．【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．10. （2019•甘肃省庆阳市•3分）如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP 的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解．【解答】解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP 面积最大为3．∴AB•BC＝3，即AB•BC＝12．当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，∴AB+BC＝7．则BC＝7﹣AB，代入AB•BC＝12，得AB2﹣7AB+12＝0，解得AB＝4或3，因为AB＜AD，即AB＜BC，所以AB＝3，BC＝4．故选：B．【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．11.（2019•贵州省安顺市•3分）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝【解答】解：由作法得AE垂直平分CD，即CE＝DE，AE⊥CD，∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝2DE，AB∥DE，在Rt△ADE中，cos D＝＝，∴∠D＝60°，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；∵S△ABE＝AB•AE，S△ADE＝DE•AE，而AB＝2DE，∴S△ABE＝2S△ADE，所以B选项的结论正确；若AB＝4，则DE＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以C选项的结论错误；作EH⊥BC交BC的延长线于H，如图，设AB＝4a，则CE＝2a，BC＝4a，BE＝2a，在△CHE中，∠ECH＝∠D＝60°，∴CH＝a，EH＝a，∴sin∠CBE＝＝＝，所以D选项的结论正确．故选：C．二.填空题1. （2019•江苏无锡•2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为8．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD＝＝＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8﹣x，所以S△BDE＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S＝＝＝，△BDE当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．2. （2019•江苏宿迁•3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝故答案为．【点评】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．3.（2019•江苏扬州•3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD= 128°.【考点】：矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角【解析】：解：延长DC到F∵矩形纸条折叠∴∠ACB=∠∠BCF∵AB∥CD∴∠ABC=∠BCF=26°∴∠ACF=52°∵∠ACF+∠ACD=180°∴∠ACD=128°【答案】：128°4. （2019•江苏扬州•3分）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB =7，BE =5，则MN = 213 . 【考点】：正方形，中位线，勾股定理【解析】：连接FC ，∵M 、N 分别是DC 、DF 的中点∴FC =2MN∵AB =7，BE =5且四ABCD ，四EFGB 是正方形∴FC =22GC FG =13∴MN =213 【答案】：MN =213. 5. （2019•河南•3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝a ．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a的值为或．【分析】分两种情况：①点B ′落在AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得AB ＝BE ，即可求出a 的值；②点B ′落在CD 边上，证明△ADB ′∽△B ′CE ，根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值．【解答】解：分两种情况：①当点B ′落在AD 边上时，如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．2.（2019•天津•3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =5，则GE 的长为 .【答案】1349 【解析】因为四边形ABCD 是正方形，易得△AFB ≌△DEA ，∴AF =DE =5，则BF =13. 又易知△AFH ∽△BFA ，所以BF AF BA AH ，即AH =1360，∴AH =2AH =13120，∴由勾股定理得AE =13，∴GE =AE -AG =13493.（2019•河南•3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝a ．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a 的值为或．【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【解答】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC﹣BE＝a﹣a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．4.（2019•浙江杭州•4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于2（5+3）．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴PA′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．5.（2019•浙江湖州•4分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4．【分析】如图2中，连接EG，GM⊥EN交EN的延长线于M，利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝＝＝4，∴EH＝＝4，故答案为4．【点评】本题考查正方形的性质，七巧板，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•海南•13分）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形知∠D＝∠ECQ＝90°，由E是CD的中点知DE ＝CE，结合∠DEP＝∠CEQ即可得证；（2）①由PB＝PQ知∠PBQ＝∠Q，结合AD∥BC得∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，由△PDE≌△QCE知PE＝QE，再由EF∥BQ知PF＝BF，根据Rt△PAB中AF＝PF＝BF知∠APF＝∠PAF，从而得∠PAF＝∠EPD，据此即可证得PE∥AF，从而得证；②设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，由PD2+DE2＝PE2得关于x的方程，解之求得x的值，从而得出四边形AFEP为菱形的情况．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠ECQ＝90°，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE（ASA）；（2）①∵PB＝PQ，∴∠PBQ＝∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，∵△PDE≌△QCE，∴PE＝QE，∵EF∥BQ，∴PF＝BF，∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，∴∠APF＝∠PAF，∴∠PAF＝∠EPD，∴PE∥AF，∵EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；②当AP＝时，四边形AFEP是菱形．设AP＝x，则PD＝1﹣x，若四边形AFEP是菱形，则PE＝PA＝x，∵CD＝1，E是CD中点，∴DE＝，在Rt△PDE中，由PD2+DE2＝PE2得（1﹣x）2+（）2＝x2，解得x＝，即当AP＝时，四边形AFEP是菱形．【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点．2. （2019•江苏无锡•12分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△PAB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠PAM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠PAM＝45°”是否总是成立？请说明理由．【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出＝，即可解决问题．②分三种情形分别求解即可：如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时．（2）如图3﹣2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3﹣2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB’中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时，易证四边形ABP’为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s．（2）如图3﹣1中，∵∠PAM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB’M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB’＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠PAB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B’AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠PAB＝∠PAB’＝90°﹣x，∴∠DAB’＝∠PAB’﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB’＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠PAD＝45°．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3. （2019•江苏宿迁•8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．【分析】（1）根据菱形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4﹣＝，根据勾股定理得到AF＝CE＝＝，于是得到结论；（2）过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF ＝，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，∵BE＝DF＝，∴CF＝AE＝4﹣＝，∴AF＝CE＝＝，∴AF＝CF＝CE＝AE＝，∴四边形AECF是菱形；（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形，∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，∴EH＝﹣＝1，∴EF＝＝＝．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．4. （2019•江西•6分）（1）计算：﹣（﹣1）+|﹣2|+（﹣2）0；（2）如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD．求证：四边形ABCD是矩形．A解：())122--+-+=1+2+1 =4为矩形四边形即又为平行四边形四边形ABCD DAB OBA ODA OBA OAB OAD ODA OBAOAB OAD ODA OBOD OA ODOA OB OD ABCD BCAD CD AB ∴=∠=∠+∠∴=∠+∠+∠+∠∠=∠∠=∠∴==∴==∴∴==οοο902180180,,5. （2019•江西•9分）在图1，2，3中，已知□ABCD ，∠ABC =120°，点E 为线段BC 上的动点，连接AE ，以AE 为边向上作菱形AEFG ，且∠EAG =120°. （1）如图1，当点E 与点B 重合时，∠CEF =______°; （2）如图2，连接AF .①填空：∠FAD _______∠EAB （填“>”，“=”，“<”）； ②求证：点F 在∠ABC 的平分线上；（3）如图3，连接EG ，DG ，并延长DG 交BA的延长线于点H ，当四边形AEGH 是平行四边形时，求的值.G22.【考点】：四边形的定义与判定；【解析】解：（1）∵四边形AEFG是菱形，∴∠AEF＝180°﹣∠EAG＝60°，∴∠CEF＝∠AEC﹣∠AEF＝60°，故答案为：60°；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝60°，∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠FAE＝60°，∴∠FAD＝∠EAB，故答案为：＝；②作FM⊥BC于M，FN⊥BA交BA的延长线于N，则∠FNB＝∠FMB＝90°，∴∠NFM＝60°，又∠AFE＝60°，∴∠AFN＝∠EFM，∵EF＝EA，∠FAE＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴FA＝FE，在△AFN和△EFM中，，∴△AFN≌△EFM（AAS）∴FN＝FM，又FM⊥BC，FN⊥BA，∴点F在∠ABC的平分线上；（3）∵四边形AEFG是菱形，∠EAG＝120°，∴∠AGF＝60°，∴∠FGE＝∠AGE＝30°，∵四边形AEGH为平行四边形，∴GE∥AH，∴∠GAH＝∠AGE＝30°，∠H＝∠FGE＝30°，∴∠GAN＝90°，又∠AGE＝30°，∴GN ＝2AN ，∵∠DAB ＝60°，∠H ＝30°， ∴∠ADH ＝30°， ∴AD ＝AH ＝GE ，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴BC ＝AD ， ∴BC ＝GE ，∵四边形ABEH 为平行四边形，∠HAE ＝∠EAB ＝30°， ∴平行四边形ABEN 为菱形， ∴AB ＝AN ＝NE ， ∴GE ＝3AB ， ∴＝3．6. （2019•天津•10分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO =30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ,AB ,OB 上，OD =2. （I ）如图①，求点E 的坐标；（II ）将矩形CODE 沿x 轴向左平移，得到矩形E D O C '''',点D ,O ,C ,E 的对应点分别为E D O C ''''，，，.设t O O ='，矩形E D O C ''''与△ABO 重叠部分的面积为s .①如图②，当矩形E D O C ''''与△ABO 重叠部分为五边形时，E C ''、E D ''分别与AB 相交于点M ,F ，试用含有t 的式子表示s ，并直接写出t 的范围;②353≤≤s 时，求t 的取值范围（直接写出结果即可）。

中考数学专项训练矩形、菱形与正方形(含解析)

矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。

初三数学中考复习矩形、菱形与正方形专题综合训练题含答案

初三数学中考复习矩形、菱形与正方形专题综合训练题含答案2019 初三数学中考复习矩形、菱形与正方形专题综合训练题1. 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DACC．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB2．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( B )A．5 B．4 C．3.5 D．33．如图所示，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( C )A．30° B．45° C．60° D．75°4．如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120 cm2，对角线AC＝24 cm，则四边形ABCD的周长为( A )A．52 cm B．40 cm C．39 cm D．26 cm5. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A ) A．4.8 B．5 C．6 D．7.26．在△ABC中，点D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( D )A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，∠ADC ＝∠ABC ＝90°.由平移的性质得，DE ＝AC ，CE ＝BC ，∠DCE ＝∠ABC＝90°，DC ＝AB ，∴AD ＝EC ，在△ACD 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝EC ，∠ADC ＝∠DCE，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△EDC(SAS)．(2)△BDE 是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD ，DE ＝AC ，∴BD ＝DE ，∴△BDE 是等腰三角形．14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE.(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论；(3)四边形ACEF 有可能是正方形吗？为什么？解：(1)证明：∵DE 垂直平分BC ，∠ACB ＝90°，∴DE ∥AC ，∴DE 为△ABC 的中位线，∴E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ＝AF.∵DF ∥AC ，∴∠ECA ＝∠EAC＝∠AEF＝∠EFA，从而△AFE≌△EAC，∴EF ＝AC ，∴四边形ACEF 为平行四边形．(2)当∠E＝30°，四边形ACEF 为菱形．理由：∵∠B＝30°，∴∠EAC ＝60°.∵AE ＝EC ，∴△AEC 为正三角形，∴AC ＝EC ＝AE ，∴平行四边形ACEF 为菱形．(3)四边形ACEF 不可能为正方形．理由：若四边形ACEF 为正方形，则∠ACE＝90°.又∠ACB＝90°，则E ，D 两点重合，这与DE 垂直平分BC 矛盾．∴四边形ACEF 不可能为正方形．15．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 是AB 的中点，E ，F 分别是AC ，BC 上的点(点E 不与端点A ，C 重合)，且AE ＝CF ，连结EF 并取EF 的中点O ，连结DO 并延长至点G ，使GO ＝OD ，连结DE ，DF ，GE ，GF.(1)求证：四边形EDFG 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？并求四边形EDFG 面积的最小值．解：(1)证明：连结CD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴∠A ＝∠DCF＝45°，AD ＝CD.在△ADE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，∠A ＝∠DCF，AD ＝CD ，∴△ADE ≌△CDF(SAS)，∴DE ＝DF ，∠ADE ＝∠CDF.∵∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠EDC ＋∠CDF＝∠EDF＝90°，∴△EDF 为等腰直角三角形．∵O 为EF 的中点，GO ＝OD ，∴GD ⊥EF ，且GD ＝2OD ＝EF ，∴四边形EDFG 是正方形．(2)过点D 作DE′⊥AC 于点E′，∵△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，∴DE ′＝12BC ＝2，AB ＝42，点E′为AC 的中点，∴2≤DE ＜22，∴4≤S 四边形EDFG ＝DE 2＜8.∴当点E 为线段AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，该最小值为4.。

2019版中考数学《4.6矩形、菱形、正方形》导向(含答案)

§4.6 矩形、菱形、正方形一、选择题1. (改编题)如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是 ( ) A ．AB ∥DC B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．OA ＝OC解析由菱形的对边平行可知AB ∥DC ，故A 正确；由菱形的对角线互相垂直可知AC ⊥BD ，故C 正确；由菱形的对角线互相平分可知OA ＝OC ，故D 正确；菱形的对角线不一定相等，故B 错误，选B. 答案 B2．(原创题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使得点A和点C 重合，折痕是EF ，连结EC .若AB ＝2，BC ＝4，则CE 的长为A ．3B ．3.5C ．2.5D ．2.8解析由折叠知，EF 是AC 的垂直平分线，∴AE ＝EC .设CE ＝x ，∵AB ＝2，BC ＝4，∴DE ＝4－x .在Rt △CDE 中，∵CD 2＋DE 2＝CE 2，即22＋(4－x )2＝x 2，解得x ＝2.5，∴CE 的长为2.5.故选C. 答案 C3．(改编题)顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形解析连结AC ，BD ，在△ABD 中， ∵AH ＝HD ，AE ＝EB ， ∴EH ＝12BD .同理FG ＝12BD ，HG ＝12AC ，EF ＝12AC .又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，∴EH＝HG＝GF＝FE，∴四边形EFGH为菱形．答案 C4．(改编题)已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 014个图形中直角三角形的个数有()A．4 028个B．4 026个C．2 014个D．2 013个解析第1，2个图形中，直角三角形的个数相同，都是4个，第3，4个图形中，直角三角形的个数相同，都是2×4＝8个，…，第n，n＋1(n为奇数)个图形中，直角三角形的个数相同，都是n＋12×4＝2(n＋1)个．∴当n＋1＝2 014时，2(n＋1)＝4 028.故选A.答案 A5．(原创题)如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE 与BC相交于点F.有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A→B→F→C的路径行走至C，乙沿着A→F→E→C→D的路径行走至D，丙沿着A→F→C→D 的路径行走至D.若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是()A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙解析∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°.甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB，乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD，丙行走的距离是AF＋FC＋CD.∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙．答案 B二、填空题6．(改编题)如图，在长方形ABCD中，AB∶BC＝3∶5，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·DE＝16，则长方形ABCD的面积为________．解析如图，连结BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝BE＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得：AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x.∵AE·DE＝16，∴4x·x＝16，解得：x＝2(负数舍去)，则AB＝3x＝6，BC＝5x＝10，∴矩形ABCD的面积是AB×BC＝6×10＝60.答案607．(改编题)红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1 cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为________cm2.解析过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为红丝带宽度相同，所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF.∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵S ▱ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF .又AE ＝AF ， ∴BC ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．∵∠B ＝60°(图2)，作AE ⊥BC 于E ，则AE 为丝带宽．在Rt △ABE 中，AE ＝1 cm ，∴sin 60°＝AE AB ，∴AB ＝233 cm ，所以S 菱形＝BC ×AE ＝233(cm 2)．答案2338．(原创题)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 顶点A 的坐标为(0，2)，B 点在x 轴上，对角线AC ，BD 交于点M ，OM ＝32，则点C 的坐标为________．解析作CE ⊥x 轴于E ，MN ⊥x 轴于N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ＝CM ，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°.∵∠ABO ＋∠OAB＝90°，∠ABO ＋∠CBE ＝90°，∴∠OAB ＝∠CBE .∴△OAB ≌△EBC . ∴BE ＝OA ＝2，CE ＝OB .∵AM ＝CM ，MN ⊥x 轴，∴MN 是梯形OACE 的中位线．∴MN ＝12(OA ＋CE )，ON ＝12(OB ＋BE )．∴MN ＝ON .∵OM ＝32，∴MN ＝ON ＝3.∴OE ＝6，CE ＝ 4.∴点C 的坐标为(6，4)．答案 (6，4)9．(原创题)将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点A 1，A 2，A 3，……，按此规律，则点A 2 015在射线________上．解析落在射线AB 上的点依次为：A 1，A 3，A 10，A 12…；落在射线CD 上的点依次为：A 2，A 4，A 9，A 11…；落在射线BC 上的点依次为：A 5，A 7，A 14，A 16…；落在射线DA 上的点依次为：A 6，A 8，A 13，A 15…；即每16个数为一个循环节．因为2 015÷16＝125……15，而A 15落在射线DA 上，所以A 2 015也落在射线DA 上．答案 DA 三、解答题10．(原创题)已知，如图，把一个含45°的三角板的锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，然后将三角板绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N . (1)如图1，当三角板绕点A 旋转到BM ＝DN 时，有BM ＋DN ＝MN .当三角板绕点A 旋转到BM ≠DN 时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当三角板绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．解 (1)中的结论仍然成立，即 BM ＋DN ＝MN . 证明：如图1，在MB 的延长线上截取BE ＝DN ，连结AE .易证△ABE ≌△ADN (SAS)． ∴ AE ＝AN ，∠EAB ＝∠NAD . ∵∠BAD ＝90°，∠NAM ＝45°， ∴∠BAM ＋∠NAD ＝45°， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝45°.∴∠EAM ＝∠NAM .又AM 为公共边， ∴△AEM ≌△ANM . ∴ME ＝MN .∴MN ＝ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，即DN ＋BM ＝MN.图1(2)猜想：线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系为：DN －BM ＝MN . 证明：如图2，在DN 上截取DE ＝MB ，连结AE . 易证△ABM ≌△ADE (SAS)． ∴AM ＝AE ，∠MAB ＝∠EAD . 易证△AMN ≌△AEN (SAS)． ∴MN ＝EN .∵DN －DE ＝EN ，∴DN －BM ＝MN .11．(改编题)已知四边形ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点P 从B 点开始，沿射线BC 运动，连结DP ，作CN ⊥DP 于点M ，且交直线AB 于点N ，连结OP ，ON .(当点P 在线段BC 上时，如图1；当点P 在BC 的延长线时，如图2)(1)请从图1，图2任选一图证明下面结论： ①BN ＝CP ；②OP ＝ON ，且OP ⊥ON .(2)设AB ＝4，BP ＝x ，试确定以O ，P ，B ，N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系．解 (1)选择图1证明． ①∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°.∵CN ⊥DP ， ∴∠PCM ＋∠CPD ＝90°，∠CDP ＋∠CPD ＝90°. ∴∠PCM ＝∠CDP .∴△NBC ≌△PCD .∴BN ＝CP . ②∵AB ＝BC ，BN ＝CP ，∴AN ＝BP . 又∵∠OAN ＝∠OBP ＝45°，OA ＝OB ， ∴△AON ≌△BOP .∴OP ＝ON ，∠AON ＝∠BOP . ∵∠AON ＋∠BON ＝90°，∴∠BOP ＋∠BON ＝90°. 即OP ⊥ON .∴OP ＝ON ，且OP ⊥ON . 选择图2证明．①∵CN ⊥DP ，∠PCD ＝90°，∴∠PDC ＝∠PCM ＝∠NCB .在△DCP 与△CBN 中， ∵∠PDC ＝∠NCB ，DC ＝CB ，图2∠DCP ＝∠CBN ＝90°， ∴△DCP ≌△CBN .∴CP ＝BN . ②在△COP 与△BON 中，∵CO ＝BO ，∠OCP ＝∠OBN ＝135°，CP ＝BN ， ∴△COP ≌△BON ，∴OP ＝ON .∴∠COP ＝∠BON ，而∠BON ＋∠NOC ＝90°. ∴∠COP ＋∠NOC ＝90°，即OP ⊥ON . (2)①当P 在BC 上，即0<x <4时， ∵△AON ≌△BOP ，∴S △AON ＝S △BOP .∴S 四边形ONBP ＝S △BOP ＋S △BON ＝S △BON ＋S △AON ＝S △AOB ＝4. ∴y ＝4.当P 在BC 的延长线上，即x >4时．过点O 作OH ⊥AN 于H ，连结PN .如图． ∵AB ＝4，∴OH ＝BH ＝2.∵BN ＝CP ＝BP －BC ＝x －BC ＝x －4， ∴S △OBN ＝12OH ·BN ＝12×2(x －4)＝x －4. ∵OH ＝2，HN ＝BH ＋BN ＝2＋x －4＝x －2， ∴ON ＝OH 2＋HN 2＝4＋（x －2）2. ∴OP ＝ON ＝4＋（x －2）2.∵OP ⊥ON ， ∴S △PON ＝12OP ·ON ＝12×4＋（x －2）2× 4＋（x －2）2＝12[4＋(x －2)2]＝12x 2－2x ＋4. ∴S 四边形OBNP ＝S △OBN ＋S △PON ＝x －4＋12x 2－2x ＋4＝ 12x 2－x .即y ＝12x 2－x .综合上述，以O ，P ，B ，N 为顶点的四边形的面积y 与x 的函数关系是y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，（0<x <4），12x 2－x ，（x >4）.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BC＝m•BD，过D点作直线AB，AC的垂线，垂足分别为E、F，若AB＝n•AC．则DEDF＝（）A．1(1)n m+B．1m(1n)-C．1(1)n m-D．1(1)n m-2．用一个平面去截下列立体图形，截面可以得到三角形的立体图形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A.94B.95分C.95.5分D.96分4．统计局信息显示，2018年嘉兴市农家乐旅游营业收入达到27.49亿元，若2020年全市农家乐旅游营业收入要达到38亿元，设平均每年比上一年增长的百分率是x，则下列方程正确的是（）A．27.49+27.49x2＝38 B．27.49（1+2x）＝38C．38（1﹣x）2＝27.49 D．27.49（1+x）2＝385．不等式组的整数解之和为( )A.–3B.–1C.1D.36．如图，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，过E作EG⊥EF于点E，交CD于点G．若∠C FE=120°，则∠BEG的大小为( )A．20°B．30°C．60°D．120°7．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数分别为3-，1-，1，2，从A，B，C，D四点中任意取两点，所取两点之间的距离为2的概率是（）A ．16B ．14C ．23D ．138．已知|a|＝3，b 2＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（） A ．1或7B ．1或﹣7C ．﹣1或﹣7D ．±1或±79．书店、学校、食堂在平面上分别用A 、B 、C 来表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC 的度数应该是( ) A ．65° B ．35° C ．165° D ．135°10．下列各式：①a 0=1； ②a 2•a 3=a 5； ③2﹣2=﹣14；④﹣（3﹣5）+（﹣2）4÷8×（﹣1）=0；⑤x 2+x 2=2x 2，其中正确的是（） A ．①②③B ．①③⑤C ．②③④D ．②④⑤11．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，sinA ＝45，则tanB 的值是（）A ．12B ．2C D ．12．将一张宽为5cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（）A ．3cm 2B ．252cm 2C ．25cm 2D 2 二、填空题13．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD ＝8，EB ＝2，则⊙O 的半径为_____．14．把多项式a 3b-ab 分解因式的结果为______．15．如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y x =上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 1的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y x=上，依次进行下去…若点B 的坐标是（0，1），则点O 12的纵坐标为________________________．16．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=45°，∠B=120°，AB=5，BC=10，则CD 的长为________.17．如图，是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第一层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，以此类推，第9层中含有正三角形个数是_____．18．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，以CD 为直径的半圆O 与AB 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为_____．（结果保留π）三、解答题19．计算：112cos302)2︒-++-20．如图，直线l 的解析式为y ＝﹣x+4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，设运动时间为t 秒(0＜t≤4)． (1)求A 、B 两点的坐标；(2)以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 1，在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 1为△OAB 面积的516？21．解不等式组：()4637429314x x x x +≥+⎧⎨-<+⎩.22．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE ．过点D 作DM ⊥AE ，垂足为M ，⊙O 经过点A ，B ，M ，与AD 相交于点F ．（1）求证：△ABM ∽△DFM ；（2）若正方形ABCD 的边长为5，⊙ODE 的长．23．先化简，再求值：2211121x xx x x----÷++，其中x ＝sin60°﹣1 24．解不等式组：()23423x x x x ⎧-≤-⎪⎨-<⎪⎩，并求非负整数解．25．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB 是⊙C 的切线，切点为点D ，直线AC 交⊙C 于点E 、F ，且CF=12AC ，（1）求证：△ABF 是直角三角形．（2）若AC ＝6，则直接回答BF 的长是多少．【参考答案】***一、选择题二、填空题 13．514．ab(a+1)(a-1)15．16．10-17．102 18．4π．三、解答题 19．32-【解析】【分析】利用实数混合运算的法则即可计算．【详解】解：原式＝2×2+（﹣2+12212＝﹣32【点评】此题主要考查实数的运算，要熟记一些简单的三角函数的值，比如：cos60°＝sin30°＝12，sin60°＝20．(1)A(4，0)，B(0，4)；(2)t ＝73或t ＝3．【解析】【分析】（1）由直线的解析式，分别让x 、y 为0，可求得A 、B 的坐标；（2）由已知易求得三角形ABO 的面积，然后用t 表示出重合部分的面积，根据题意列出方程即可得到答案．【详解】（1）y ＝﹣x+4，令y=0，得x=4，令x=0，得y=4，故A(4，0)，B(0，4)；(2)S △ABO ＝12×4×4＝8，当0＜t≤2时，S △MNP ＝12t 2，如图1由题意得12t 2＝8×516，解得此时t不合题意舍去)，如图2，当2＜t≤4时， S 1＝S △ABO ﹣S △OMN ﹣2S △MAF ，即S 1＝8﹣12t 2﹣2×12(4﹣t)2＝516×8，解得t ＝73或t ＝3．【点睛】本题考查了一次函数的应用；在求解第二问时，要思考全面，分类讨论的应用是正确解答本题的关键． 21．110x ≤< 【解析】【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】()4637429314x x x x +≥+⎧⎪⎨-<+⎪⎩①② 解不等式①可得：x 1≥ 解不等式②可得：10x < 则该不等式组的解集为110x <≤ 【点睛】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度也适中． 22．（1）见解析;(2) 253【解析】【分析】（1）由四边形ABCD 为正方形，可得∠BAM ＝∠ADM ，再由四边形BAFM 为圆内接四边形，可得∠ABM ＝∠MFD ，可以求证；（2）连接BF ，得BF 为直径，由勾股定理可得到AF 的长，从而得FD ＝3，因为△ABM ∽△DFM ，所以有53AB AM DF DM ==，而易证△ADM ∽△DEM ，可得DE AMAD DM=，即可得DE 的长度．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠BAD ＝90°， ∴∠BAM+∠MAF ＝90°，∵DM ⊥AE ，∴∠MAD+∠ADM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠ADM ，∵四边形BAFM 为圆内接四边形 ∴∠ABM+∠AFM ＝180° ∴∠ABM ＝∠MFD ∴△ABM ∽△DFM （2）如图，连接BF ， ∵∠BAF ＝90°，BF 为直径∴在Rt △ABF 中，由勾股定理得AF 2， ∴FD ＝3， ∵△ABM ∽△DFM ， ∴53AB AM DF DM ==， ∵∠DEM ＝∠ADM ，∠AMD ＝∠DME ＝90°， ∴△ADM ∽△DEM ，∴DE AMAD DM=， ∴DE ＝53•AD＝553⨯＝253【点睛】此题主要考查相似三角形的判定及性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．23．﹣11x +. 【解析】【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】2211121x xx x x ----÷++，＝﹣1﹣2(1)(1)(1)1x x xx x+-⋅+-＝﹣1+1x x + ＝11x x x --++＝﹣11x +，当x ＝sin60°﹣1﹣12．【点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 24．不等式组的解集为﹣1＜x≤2，非负整数解是0，1，2．【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【详解】()23423x x x x ①②⎧-≤-⎪⎨-<⎪⎩，解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x ＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， ∴不等式组的非负整数解是0，1，2．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．25．(1)见解析【解析】【分析】（1）连接DC ，根据AB 是⊙C 的切线，所以CD ⊥AB ，根据CD=12AC ，得出∠A=30°，因为AC=BC ，从而求得∠ACB 的度数，证明△BCD ≌△BCF ，可得∠BFC=∠BDC=90°，结论得证；（2）由（1）知BF=AD ，然后在Rt △ACD 中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出AD ，从而得到BF 的长．【详解】（1）证明：如图，连接CD ，则CF=CD ，∵AB是⊙C的切线．∴CD⊥AB，∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，∵CF1AC 2=，∴CD=CF1AC 2=，∴∠A=30°∵AC=BC∴∠ABC=∠A=30°，∴∠ACB=120°，∠BCD=∠BCF=60°，又∵BC=BC，∴△BCD≌△BCF（SAS），∴∠BFC=∠BDC=90°，∴△ABF是直角三角形．（2）解：∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=BF，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，∴CD12=AC=3，∴AD=∴【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．据开化旅游部门统计，2018年开化各景点共接待游客约为12926000人次，数据12926000用科学记数法表示为（） A ．0.12926×108 B ．1.2926×106 C ．12.926×105D ．1.2926×1072．下列运算正确的是（）．A.B.C.D.3．如图，在▱ABCD 中，AB ＝6，AD ＝9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG ＝4，则△CEF 的周长为（）A.8B.9.5C.10D.11.54．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ，则△ACE 的面积为（）A ．1B C ．2D ．5．如图，将正五边形ABCDE 沿逆时针方向绕其顶点A 旋转，若使点B 落在AE 边所在的直线上，则旋转的角度可以是（）A ．72°B ．54°C ．45°D ．36°6．函数21k y x+=（k 为常数）的图象过点（2，y 1y 2），则y 1与y 2的大小关系是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．与k 的取值有关7．如图，把长方形纸片ABCD 沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD ，那么，有下列说法：①△EBA 和△EDC 一定是全等三角形；②△EBD 是等腰三角形，EB ＝ED ；③折叠后得到的图形是轴对称图形；④折叠后∠ABE 和∠CBD 一定相等；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（）A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．3x =9．下列计算正确的是（） A ．222()a b a b +=+ B ．()22424aa -=-C ．532a a a ÷=D ．4711a a a +=10．下列计算结果等于4的是( ) A ．|(﹣9)+(+5)|B ．|(+9)﹣(﹣5)|C ．|﹣9|+|+5|D ．|+9|+|﹣5|11．如图，直线a ∥b ，直线c 分别与a ，b 相交，∠1＝120°，则∠2的度数为（）A ．60°B ．120°C ．50°D ．70°12．方程组632x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为( )A ．42x y =⎧⎨=⎩B ．24x y =⎧⎨=⎩C ．15x y =⎧⎨=⎩D ．33x y =⎧⎨=⎩二、填空题13．计算（－3）2的结果等于_____1441()32--+-______．15．双曲线124,ky y x x==在第一象限的图象如图，过y 1上的任意一点A ，作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB ＝3，则k 的值为_____．16．绝对值等于2的数是_____．17．已知的值为0，则x =____________.18．在“绿水青山就是金山银山”这句话中任选一个汉字，这个字是“绿”的概率为___. 三、解答题19．先化简，再求值：21111xx x ⎛⎫+÷ ⎪-+⎝⎭，其中x = 20．为加强未成年人思想道德建设．某校在学生中开展了“日行一孝”活动．活动设置了四个爱心项目：A 项﹣我为父母过生日，B 项﹣我为父母洗洗脚，C 项﹣我当一天小管家，D 项﹣我与父母谈谈心，要求每个学生必须且只能选择一项参加．为了解全校参加各项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：（1）这次抽样调查的样本容量是，补全图1中的条形统计图．（2）在图2的扇形统计图中，B 项所占的百分比为m%，则m 的值为，C 项所在扇形的圆心角α的度数为度．（3）该校参加活动的学生共1200人，请估计该校参加D 项的学生有多少人？21．如图，在正方形ABCD 中，AF=BE ，AE 与DF 相交于于点O ．（1）求证：△DAF ≌△ABE ；（2）求∠AOD 的度数；（3）若AO=4，DF=10，求tan ADF ∠的值.22．先化简，再求值：22121111x x x x ⎛⎫++-÷ ⎪--⎝⎭ ，其中x ． 23．小明是“大三”学生，按照学校积分规则，如果他的学期数学成绩达到95分，就能获得“保研”资格．在满分为100分的期中、期末两次数学考试中，他的两次成绩的平均分为90分．如果按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，那么小明能获得“保研”资格吗？请你运用所学知识帮他做出判断，并说明理由．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中有矩形OABC ，()()A 40C 02，，，，将矩形OABC 绕原点O 逆时针旋转得到矩形OA′B′C′.(Ⅰ)如图1，当点A′首次落在BC 上时，求旋转角； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求点B′的坐标；(Ⅲ)如图2，当点B′首次落在x?轴上时，直接写出此时点A′的坐标.25．先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----其中13x =-【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13．14．﹣13． 15．10 16．±2 17．-1． 18．110. 三、解答题19．1xx -，2+【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把数值代入进行计算即可.【详解】原式＝()()211111x x x x x-+++- ＝1x x -，当x2=. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20．(1)200；图见解析；（2）20；162；（3）360.【解析】【分析】（1）根据题意可以求得调查的总人数，从而可以求得B 的人数，进而可以将条形统计图补充完整；（2）根据统计图可以得到调查的总人数，也可以得到C 部分所占的圆心角；（3）根据统计图可以求得1200人参加D 项的学生的人数．【详解】解：（1）这次抽样调查的样本容量是9045%=200（人），B 的人数200﹣90﹣60﹣10＝40，如图所示：（2）B 项所占的百分比为m%，则m%的值为40100%200⨯=20%，C 项所在扇形的圆心角α的度数为360°×45%＝162°；（3）1200人参加D 项的学生的人数为1200×60200×100%=360（人）；故答案为：200；20；162；360.【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．21．（1）见解析；（2）90AOD ??；（3）tan ∠ADF 的值为12. 【解析】【分析】 (1)利用正方形的性质得出AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,即可得出结论;(2)利用(1)的结论得出∠ADF=∠BAE,进而求出∠ADF+∠DAO=90°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论.（3）根据（2）得到AO 2=OF·OD，再设OF=x,DO=10-x ，求出x 即可解答【详解】(1)在正方形ABCD 中，DA=AB,90DAF ABE ∠=∠=︒,又AF=BEAD AB DAF ABE AF BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴DAF ∆≌ABE ∆ (SAS)（2）由（1）得 DAF ∆≌ABE ∆ ，∴ ∠ADF=∠BAE,又 ∠BAE+∠DAO=90︒,∴∠ADF+∠DAO=90︒90AOD ∴∠=︒（3）由（2）得∠AOD=900 ∴△AOF ∽△DOA ∴AO 2=OF·OD设OF=x,DO=10-x ∴x(10-x)=16 解得x=2或x=8（舍去）∴tan ∠ADF=48AO OD = ∴tan ∠ADF 的值为12. 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似，解题关键在于利用好正方形的性质证明三角形全等22．21x x -+,4-【解析】【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【详解】原式＝22(1)(1)1(1)x x x x x -+--+ ＝21x x -+ ，当x 时，原式＝21x x -==+．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．23．见解析【解析】【分析】据加权平均数的算法公式进行计算，再与95分比较大小即可求解．【详解】按期中数学成绩占30%，期末数学成绩占70%计算学期数学成绩，可得期末数学成绩100分，期中数学成绩80分的成绩最高，80×30%+100×70%＝24+70＝94（分）∵94分＜95分，∴小明不能获得“保研”资格．【点睛】本题考查的是加权平均数，熟记加权平均数的计算公式是解决本题的关键．24．(Ⅰ)旋转角为30°；(Ⅱ)B′的坐标为1,2+；(Ⅲ)点A′的坐标为,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(Ⅰ)过点'A 作A D x '⊥，垂足为D ，由旋转的性质及A 、C 坐标可得OA=OA′=4，A′D=A′B′=OC=2，由A′D=12OA′可得30A OD ∠='︒，即可得答案；(Ⅱ)过点'B 作B′E⊥BC ，垂足为E ，根据矩形的性质可得30OA C A OA ∠∠''==︒，可得60B A E ∠︒=''，即可求出A′C、A′E、B′E 的长，进而可得B′点坐标；(Ⅲ)过点'A 作A F x '⊥轴，垂足为F ，可证明''~'BAO AFO ，利用勾股定理可求出OB′的长，根据相似三角形的性质可求出OF 的长，进而可得A′F 的长，即可得点A′坐标.【详解】(Ⅰ)如图a ，过点'A 作A D x '⊥，垂足为D ，∵()()4002A C ，，，， ∴42OA OA A D B A OC ''''=====，.在'Rt OAD 中，1''2A D OA =， ∴30A OD ∠='︒，即旋转角为30︒.(Ⅱ)如图b ，过点'B 作B E BC '⊥，垂足为E ，∵BC AO∴30OA C A OA ∠∠''==︒.∴60,B A E A C ∠︒''=='.∴1,A E B E ''==∴'B 的坐标为(1,2+.(Ⅲ)如图c ，过点'A 作A F x '⊥轴，垂足为F ，∵A′B′=2，A′O=4，=∵90''B A O AF BO ∠=︒⊥''，，∠A′OB′=∠A′OB′，∴'''BAO AFO ∽. ∴'''OB OA OA OF=.∴5OF =.∴'5A F =.∴点'A 的坐标为⎛ ⎝⎭.【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质，正确得出对应边与对应角是解题关键.25．原式958x =-=-.【解析】【分析】根据乘法公式进行化简即可求解.【详解】2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455441x x x x x --+-+-95x =- 把13x =-代入得958x -=- 【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知乘法公式的应用.。

2019届中考数学复习专题【矩形、菱形与正方形】演练卷及答案

2019届中考数学复习专题【矩形、菱形与正方形】演练卷一、选择题1．（2018北京市海淀区八年级期末）某小区有一块边长为a 的正方形场地，规划修建两条宽为b 的绿化带．方案一如图甲所示，绿化带面积为S 甲；方案二如图乙所示，绿化带面积为S 乙．设()0k S a b S =>>甲乙，下列选项中正确的是甲乙 A ．012k <<B ．112k <<C ．312k <<D ．232k <<答案：B 二、填空题2.（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）3.（2018北京西城区二模）如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于．b bbba a a abb bbbbbbaa答案：204. （2018北京西城区二模）我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，，，边AD 长为5. 现固定边AB ，“推”矩形使点D 落在y轴的正半轴上（落点记为），相应地，点C 的对应点的坐标为 .5、（2018北京平谷区第一学期期末）12．已知菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2，则菱形ABCD 的面积是．答案：23 三、解答题6．（2018北京石景山区初三毕业考试）问题:将菱形的面积五等分．小红发现只要将菱形周长五等分，再将各分点与菱形的对角线交点连接即可解决问题．如图，点O 是菱形ABCD 的对角线交点，5AB =，下面是小红将菱形ABCD 面积五等分的操作与证明思路，请补充完整.（1）在AB 边上取点E ，使4AE =，连接OA ，OE ；（2）在BC 边上取点F ，使BF = ，连接OF ；（3）在CD 边上取点G ，使CG = ，连接OG ；（4）在DA 边上取点H ，使D H = ，连接OH ．由于AE = ＋ = ＋ = ＋ = . 可证S △AOE ==EOFB FOGC GOHD S S S ==四边形四边形四边形S △HOA .解：3，2，1； ………………2分EB 、BF ；FC 、CG ；GD 、DH ；HA. ………………4分7、（2018北京市师达中学八年级第一学期第二次月考）(3,0)A -(4,0)B D 'C 'OH G FE DC BA8.（2018北京西城区二模）如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形；（2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．（1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分（2）解：∵ 四边形CDBE 为矩形，∴ DE=BC ．………………………………………………………………… 4分 ∵ 在Rt △ABC 中，，CD ⊥AB ，可得． ∵ ， ∴ ．∵ 在Rt △ABC 中，，AC =2，， ∴ ．图2图1∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分9．（2018北京石景山区初三毕业考试）如图，在四边形ABCD 中，90A BCD ∠=∠=°，210BC CD ==，CE AD ⊥于点E ．（1）求证：AE CE =；（2）若tan 3D =，求AB 的长．（1）证明：（法一）过点B 作BH ⊥CE 于H ，如图1． ∵CE ⊥AD ，∴∠BHC ＝∠CED ＝90°，190D ∠+∠=︒． ∵∠BCD ＝90°， ∴1290∠+∠=︒， ∴2D ∠=∠．又BC ＝CD∴BHC △≌CED △． ∴BH CE =．∵BH ⊥CE ，CE ⊥AD ，∠A ＝90°， ∴四边形ABHE 是矩形， ∴AE BH =．∴AE CE =． ………………3分（法二）过点C 作CH ⊥AB 交AB 的延长线于H ．图略，证明略．（2）解： ∵四边形ABHE 是矩形， ∴AB HE =．∵在Rt CED △中，tan 3CE D DE==,设,3DE x CE x ==，BA CE D12BA CHDE∴10210CD x ==． ∴2x =．∴2DE =,6CE =． ………………4分 ∵2CH DE ==． ∴624AB HE ==-=．10．（2018北京燕山地区一模）如图，在△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 的中点，BE=2DE ,延长DE到点F ，使得EF=BE,连接CF ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若∠BCF =120°，CE=4，求菱形BCFE 的面积．（1）证明：∵点 D,E, 是 AB,AC 中点 ∴DE ∥BC, DE=12BC ……………………….1′ 又BE=2DE,即DE=12BE∴BC=BE 又EF=BE ∴EF ∥BC, EF=BC∴四边形BCFE 是平行四边形……………………….2′ 又EF=BE∴四边形BCFE 是菱形 ……………………….3′ （2）∵四边形BCFE 是菱形 ∴BC=BE 又∠BCF =120° ∴∠BCE=60° ∴△BCE 是等边三角形∴连结BF 交EC 于点O ．∴BF ⊥EC在Rt △BOC 中，BO=32242222=-=-OC BC ……………………….4′ABCDEF322322121=⨯⨯=⋅⋅=∆OC BO S BOC ∴∴ ……………………….5′11．（2018北京延庆区初三统一练习）如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，点D ，F分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ．（1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC 面积. 解：（1）在Rt △ABC 中，∵CE //DC ，BE //DC∴四边形DBEC 是平行四边形∵D 是AC 的中点，∠ABC =90°∴BD =DC ……1分 ∴四边形DBEC 是菱形 ……2分（2）∵F 是AB 的中点∴BC =2DF =2,∠AFD =∠ABC =90°菱形在Rt △AFD 中, ……3分 ∴……4分……5分12．（2018北京西城区九年级统一测试）如图，在ABD △中，ABD ADB ∠=∠，分别以点B ，D 为圆心，AB 长为半径在BD 的右侧作弧，两弧交于点C ，分别连接BC ，DC ，AC ，记AC 与BD 的交点为O ．（1）补全图形，求AOB ∠的度数并说明理由;（2）若5AB =，3cos 5ABD ∠=，求BD 的长．FEDCBA38324=⨯=BCFE S 菱形解：（1）补全的图形如图2所示．……………………………………………………………1分 ∠AOB=90︒．证明：由题意可知BC=AB ，DC= AB ．∵ 在△ABD 中，=ABD ADB ∠∠， ∴ AB=AD ．∴ BC= DC= AD= AB ．∴ 四边形ABCD 为菱形．…………………… 2分 ∴ AC ⊥BD ．∴ ∠AOB=90︒． …………………………… 3分（2）解：∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ OB= OD ．…………………………………………………………………… 4分在Rt △ABO 中，90AOB ∠=︒，AB =5，3cos 5ABD ∠=，∴ cos 3OB AB ABD =⋅∠=．∴ 2=6BD OB =．…………………………………………………………… 5分13.（2018北京门头沟区初三综合练习）在矩形ABCD 中，连接AC ,AC 的垂直平分线交AC 于点O ,分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE 和AF ．（1）求证：四边形AECF 为菱形；（2）若AB =4，BC =8，求菱形AECF 的周长．（1）证明：∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AO =OC ，∠AOE =∠COF =90°，……………………1分BDAFEOABCD图2∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，∵∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF．……………2分又∵OA=OC，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形；……………3分（2）设AF=x，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF=x，BF=8﹣x，………………………………………4分在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，∴AF=5，∴菱形AECF的周长为20．…………………5分14.（2018北京通州区一模）答案：FE OAB CD15．（2018北京平谷区中考统一练习）如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF于点O ，交BC 于点E ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．（1）证明：∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF =∠CBF ． (1)∵□ABCD ，∴AD ∥BC ． ∴∠AFB =∠CBF ． ∴∠ABF =∠AFB ． ∴AB=AF ． ∵AE ⊥BF ，∴∠ABF +∠BAO =∠CBF +∠BEO =90°． ∴∠BAO =∠BEO ． ∴AB=BE ． ∴AF=BE ．∴四边形ABEF 是平行四边形．∴□ABEF 是菱形． (2)（2）解：∵AD=BC ，AF=BE ，OECBDAFGO ECBDAF∴DF=CE．∴BE=2CE．∵AB=4，∴BE=4．∴CE=2．过点A作AG⊥BC于点G． (3)∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形．∴BG=GE=2．∴AF=CG=4． (4)∴四边形AGCF是平行四边形．∴□AGCF是矩形．∴AG=CF．在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG =23．∴CF =23． (5)16．（2018北京顺义区初三练习）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，点E为CD 的中点，射线BE交AD的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形BCFD是菱形；（2）若AD=1，BC=2，求BF的长．（1）证明：∵BD=BC，点E是CD的中点，∴∠1=∠2．…………………………………1分∵AD∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．……………………………2分∴BD=DF．FEAB CD321FEAB CD∵BD=BC ， ∴DF=BC ．又∵DF ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形． ∵BD=BC ，∴□BCFD 是菱形． …………………………………………………… 3分（2）解：∵∠A =90︒，AD =1，BD =BC =2， ∴223AB BD AD =-=． ∵四边形BCFD 是菱形，∴DF =BC =2． ………………………………………………………… 4分 ∴AF =AD+DF =3．∴223923BF AB AF =+=+=．……………………………… 5分 217．（2018北京顺义区初三练习）如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 延长线上一点，且DE=DC ，求证：∠E =∠BAC .证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ADC=90︒，AB ∥CD ． …………………………………………………1分 ∵ DE=DC ，∴ AE=AC ． …………………………………………………………………2分 ∴ ∠E=∠ACE ． ………………………………………………………………3分 ∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC=∠ACE ． ……………………………………………………………4分EA B CDDBECAF第21题图∴ ∠E=∠BAC ． ……………………………………………………………5分18．（2018北京海淀区第二学期练习）如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD .（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AD = 2，则当四边形ABCD 的形状是_______________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_________________.（1）证明：∵AE BD ∥，BE AC ∥，∴四边形AEBO 是平行四边形. ………………1分 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB =. ∵OE CD =,∴OE AB =.∴平行四边形AEBO 是矩形. ……2分 ∴90BOA ∠=︒.∴AC BD ⊥.∴平行四边形ABCD 是菱形. ……3分 (2) 正方形； ……4分2. …5分19.（2018北京怀柔区一模）直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上一点，且AB=AD ，过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，交AB 延长线于点F.(1)求证：∠ACB=∠DCE ；(2)若∠BAD=45°，2+2AF =，过点B 作BG ⊥FC 于点G ，连接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的面积．解：(1)∵AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB ，………………………………1分 ∵∠ADB=∠CDE ，∴∠ABD=∠CDE.CB EO ADy x–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O∵∠BAC=90°，∴∠ABD+∠ACB=90°. ∵CE ⊥AE ，∴∠DCE+∠CDE=90°.∴∠ACB=∠DCE. …………………………………2分（2）补全图形,如图所示: …………………………3分 ∵∠BAD=45°, ∠BAC=90°,∴∠BAE=∠CAE=45°, ∠F=∠ACF=45°, ∵AE ⊥CF, BG ⊥CF,∴AD ∥BG.∵BG ⊥CF, ∠BAC=90°，且∠ACB=∠DCE, ∴AB=BG.∵AB=AD ，∴BG=AD. ∴四边形ABGD 是平行四边形. ∵AB=AD∴平行四边形ABGD 是菱形.…………………………………………………………………4分设AB=BG=GD=AD=x ，∴BF=2BG=2x.∴AB+BF=x+2x=2+2.∴x=2，过点B 作BH ⊥AD 于H. ∴BH=22AB=1. ∴S 四边形ABDG =AD×BH=2. ……………………………………5分20．（2018北京市朝阳区一模）如图，在菱形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，过点O 的线段EF 与一组对边AB ， CD 分别相交于点E ，F ． (1) 求证：AE =CF ；（2）若AB=2，点E 是AB 中点，求EF 的长．解（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO ，AB ∥CD . …………………………………………………1分 ∴∠EAO=∠FCO ，∠AEO=∠CFO .∴△AOE ≌△COF . …………………………………………………2分 ∴AE =CF . ………………………………………………………………3分（2）解：∵E 是AB 中点，∴BE=AE=CF ． ∵BE ∥CF ，∴四边形BEFC 是平行四边形. ………………………………………4分 ∵AB=2，∴EF=BC=AB=2． ……………………………………………………5分21.（2018北京市大兴区检测）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=O C ，CE=O D ．（1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4，求菱形OCED 的面积．（1）证明：∵DE =OC ，CE =OD ，∴四边形OCED 是平行四边形 ………………………………1分 ∵矩形ABCD ，∴AC =BD ，OC =12AC ，OD =12BD .∴OC =OD .∴平行四边形OCED 是菱形 ………………………………2分（2）解：在矩形ABCD 中，∠ABC =90°，∠BAC =30°，AC ＝4，∴BC =2.∴AB =DC =23.…………………………………………………3分连接OE ，交CD 于点F . ∵四边形OCED 为菱形， ∴F 为CD 中点. ∵O 为BD 中点， ∴OF =12BC =1. ∴OE ＝2OF ＝2 …………………………………………………4分 ∴S 菱形OCED ＝12OE ·CD =12×2×23 ＝23…………………………………………………5分22．（2018北京丰台区一模）已知：如图，菱形ABCD ，分别延长AB ，CB 到点F ，E ，使得BF = BA ，BE = BC ，连接AE ，EF ，FC ，CA ．（1）求证：四边形AEFC 为矩形；（2）连接DE 交AB 于点O ，如果DE ⊥AB ，AB = 4，求DE 的长．（1）证明：∵BF =BA ，BE =BC ，∴四边形AEFC 为平行四边形. ………………………1分 ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BA =BC . ∴BE =BF .∴BA + BF = BC + BE ，即AF =EC .∴四边形AEFC 为矩形. ………………………2分（2）解：连接DB .由（1）知，AD ∥EB ，且AD =EB .ABCEDF E FDCBAG∴四边形AEBD 为平行四边形 ∵DE ⊥AB ，∴四边形AEBD 为菱形.∴AE =EB ，AB =2AG ，ED =2EG . ………………………4分 ∵矩形ABCD 中，EB =AB ，AB=4， ∴AG =2，AE =4.∴Rt △AEG 中，EG=23.∴ED=43. ………………………5分（其他证法相应给分）23.（2018北京昌平区二模）如图，已知△ACB 中，∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线，分别过点A 、点C 作CE 和AB 的平行线，交于点D ．（1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE =60°，求△ACB 的面积．答案．(1)证明：∵AD //CE ，CD //AE∴四边形AECD 为平行四边形 ……………………… 1分 ∵∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线∴CE=AE ………………………………… 2分 ∴四边形ADCE 是菱形（2）解：∵CE=4，AE= CE=EB ∴AB =8，AE=4∵四边形ADCE 是菱形,∠DAE =60°∴∠CAE =30°………………………………… 3分D ECBA∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB =30°， AB =83cos 2AC CAB AB ∠==，142CB AB == ∴AC = 43………………………………… 4分 ∴1832ABC S AC BC ∆=⋅=………………………………………………… 5分 24.（2018北京东城区二模）如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，若EB =EC ，求证：AC CF ⊥.答案 21 . (1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠， ∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ， ∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知， ∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分25、（2018北京房山区二模）已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD上一点，且EA =EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC =30°，DE =2，EC =3，求CD 的长．解：（1）∵AD =CD ,EA =EC ,DE =DE ∴△ADE ≌△CDE ∴∠ADE =∠CDE ∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ∴∠DBC =∠BDC ∴BC =CD ∴AD =BC 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………2′ ∵AD =CD∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………3′（2）作EF ⊥CD 于F ∵∠BDC =30°，DE =2∴EF =1,DF = 3 ……………………………………………………………………4′ADCBE∵CE =3 ∴CF =2 2∴CD =2 2 + 3 …………………………………………………………………5′26.（2018北京丰台区二模）如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形；（2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF 的面积．答案．（1）证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BEDF 为平行四边形………………1分∴∠1=∠3.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴BF =DF .∴四边形BEDF 为菱形.………………………2分（2）解：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，则∠BGD =90°.∵∠A =90°，∠C =30°，∴∠ABC =60°.由（1）知，BF =DF ，∠2=30°，DF ∥AB ，∴∠DFG =∠ABC =60°. ∵BD =12，∴在Rt △BDG 中，DG=6.∴在Rt △FDG 中，DF=43. ………………………4分 ∴BF = DF=43.∴S 菱形BEDF 243BF DG =⋅=. ………………5分（其他证法相应给分）27.（2018北京海淀区二模）如图，在四边形ABCD 中，ABCD ， BD 交F DECB A G 321A B CEDF EG F A BCDAC于G，E是BD的中点，连接AE并延长，交CD于点F，F恰好是CD的中点.（1）求BGGD的值；（2）若CE EB=，求证：四边形ABCF是矩形. 答案．（1）解：∵AB∥CD，∴∠ABE=∠EDC.∵∠BEA=∠DEF，∴△ABE∽△FDE.∴AB BE DF DE=.∵E是BD的中点，∴BE=DE.∴AB=DF.∵F是CD的中点，∴CF=FD.∴CD=2AB. ∵∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，∴△ABG∽△CDG.∴12 BG ABGD CD==.（2）证明：∵AB∥CF，AB=CF，∴四边形ABCF是平行四边形.∵CE=BE，BE=DE，∴CE=ED.∵CF=FD，∴EF垂直平分CD. ∴∠CFA=90°. ∴四边形ABCF是矩形.EGFAB CD。

2019中考数学复习第23课时矩形菱形正方形测试(含答案)50

第五单元四边形第二十三课时矩形、菱形、正方形基础达标训练1.以下性质中菱形不必定拥有的性质是()A.对角线相互均分B.对角线相互垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形2.( 2018 上海 ) 已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么以下条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是()A.∠ BAC＝∠ DCAB.∠BAC＝∠ DACC.∠ BAC＝∠ ABDD.∠ BAC＝∠ ADB3.( 2018 河南 ) 如图，在 ?ABCD中，对角线A C，BD订交于点O，增添以下条件不可以判断 ?ABCD是菱形的只有 ()第 3 题图A.AC⊥BDB.AB＝BCC.AC＝BDD.∠1＝∠24.( 2018 广安 ) 以下说法：①四边相等的四边形必定是菱形②按序连结矩形各边中点形成的四边形必定是正方形③对角线相等的四边形必定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，必定能把平行四边形分红面积相等的两部分此中正确的个数为 ()A. 4B. 3C. 2D. 15.(2018 兰州 ) 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD订交于点O，∠ADB ＝30°，＝4，则＝()AB OCA. 5B. 4C. 3.5D. 3第 5 题图第6题图6.如图，在△ ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.以下四个判断中，不正确的选项是()A.四边形 AEDF是平行四边形B.假如∠ BAC＝90°，那么四边形 AEDF是矩形C.假如 AD均分∠ BAC，那么四边形 AEDF是菱形D.假如 AD⊥BC且 AB＝AC，那么四边形 AEDF是正方形7.( 2018 淮安 ) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，点 E 在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰巧落在对角线AC上的点F 处，若∠EAC＝ECA，则 AC的长是()A. 3 3B. 6C. 4D. 5第 7 题图第8题图8.( 2018 泸州 ) 如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan ∠BDE的值是()A.2B.1C.1D.2 44339.关注教课文化 ( 2018丽水 ) 我国三国期间数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后代称其为“赵爽弦图”，如图①所示，在图②中，若正方形 ABCD的边长为14，正方形 IJKL 的边长为2，且IJ ∥AB，则正方形 EFGH的边长为________．第9 题图10.( 2018 徐州 ) 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且 AQ＝AD，连结 DQ并延伸，与边 BC交于点 P，则线段 AP＝________．第 10 题图第11题图11.( 2018 十堰 ) 如图，菱形ABCD中，AC，BD交于点O，DE⊥BC于点E，连结 OE，若∠ ABC＝140°，则∠ OED＝________．第12 题图12.( 2018 怀化 ) 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10 cm，点 P是这个菱形内部或边上的一点，若以 P，B，C为极点的三角形是等腰三角形，则 P， A( P， A 两点不重合)两点间的最短距离为________cm.第13 题图13.(6 分)( 2018 岳阳 ) 求证：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．小红同学依据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，___________．求证：___________________________________________________________ _____.14.(8 分)( 2018 邵阳 ) 以下图，已知平行四边形ABCD，对角线 AC，BD订交于点 O，∠ OBC＝∠ OCB.(1)求证：平行四边形 ABCD是矩形；(2)请增添一个条件使矩形为正方形．ABCD第14 题图15.(8 分)( 2018 盐城 ) 如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的均分线BE、DF分别交边 AD、BC于点 E、F.(1)求证：四边形 BEDF为平行四边形；(2)当∠ ABE为多少度时，四边形 BEDF是菱形？请说明原因．第15 题图16.(8 分)( 2018 南雅中学第七次阶段检测 ) 如图，四边形ABCD是边长为 6 的正方形，点G是BC延伸线上一点，连结AG，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F.(1)证明：△ ABE≌△ DAF；(2)若∠ AGB＝30°，求 EF的长．第16 题图17.(8 分)(2018 鄂州 ) 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点 F 处，FC交 AD于 E.(1) 求证：△AFE≌△CDE；(2)若 AB＝4，BC＝8，求图中暗影部分的面积．第17 题图能力提高训练1.( 2018 芙蓉区二十九中模拟 ) 如图是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为 4，若用x，y表示直角三角形的两直角边 ( x>y) ，以下四个说法：① x2＋y2＝49；②x－y＝2；③2xy＋4＝49；④x＋y＝9.此中说法正确的选项是 ()A. ①②B.①②③C. ①②④D.①②③④第 1 题图2.( 2018 安徽 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3. 动点P知足S△PAB1，则点 P到 A，B 两点距离之和 PA＋PB的最小值为()＝3S矩形 ABCDA.29B.34C. 5 2D.41第 2 题图第3题图3.( 2018 青竹湖湘一二模 ) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F 处，点 G在 AF上，将△ ABG沿 BG折叠，点 A 恰落在线段 BF上的点H3处，有以下结论：①∠ EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝2S△FGH；④A G＋DF＝FG.此中正确的个数为( )A.1 B.2 C.3 D. 44. ( 2018 江西 ) 已知点A(0 ，4) ，B(7 ，0) ，C(7 ，4) ，连结AC，BC得到矩形 AOBC，点 D在边 AC上，将边 OA沿OD折叠，点 A 的对应点为A′，若点 A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，则点 A′的坐标为 ________．5.( 2018 绍兴 ) 如图为某城市部分街道表示图，四边形ABCD为正方形，点 G在对角线 BD上， GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的行程为 3100 m，则小聪行走的行程为 ________m.第 5 题图6.(9 分)( 2018 广州 ) 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD订交于点O，△COD对于 CD的对称图形为△ CED.(1) 求证：四边形OCED是菱形；(2)连结 AE，若 AB＝6 cm，BC＝5 cm.①求 sin ∠EAD的值；②若点 P 为线段 AE上一动点(不与点 A 重合)，连结 OP.一动点 Q从点O出发，以1cm/s 的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以 1.5 cm/s 的速度沿线段 PA匀速运动到点 A，抵达点 A 后停止运动．当点 Q 沿上述路线运动到点 A 所需要的时间最短时，求 AP的长和点 Q走完整程所需的时间．第6 题图拓展培优训练1.( 2016 长郡教育公司第二届澄池杯 ) 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC的中点，连结 AE，将△ ABE沿 AE折叠，点 B 落在点 F 处，连结 FC，则sin∠ ECF＝()3434A. 4B.3C.5D.5第 1 题图第2题图2.( 2016 长郡教育公司第二届澄池杯 ) 如图，边长为 1 的正方形ABCD 的对角线 AC、BD订交于点 O.有直角∠ MPN，使直角极点 P 与点 O重合，直角边 PM、PN分别与 OA、OB重合，而后逆时针旋转∠ MPN，旋转角为θ(0 °<θ<90°) ，PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连结EF 交OB于点G，则以下结论中正确的有()(1) EF＝2OE；(2)S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；(3)BE＋BF＝2OA；2 2(4)OG·BD＝AE＋CF.1 个 B. 2个C. 3个 D. 4个特别四边形的有关证明与计算稳固集训1.(8 分)( 2018 广东省卷 ) 以下图，已知四边形ABCD、ADEF都是菱形，∠ BAD＝∠ FAD，∠ BAD为锐角．(1)求证： AD⊥BF；(2)若 BF＝BC，求∠A D C的度数．第 1 题图2.(8 分)( 2018 麓山国际实验学校二模 ) 如图，四边形ABCD中，BD 垂直均分 AC，垂足为点 F，E为四边形 ABCD外一点，且∠ ADE＝∠ BAD，AE⊥AC.(1)求证：四边形 ABDE是平行四边形；(2)若 DA均分∠ BDE，AB＝5，AD＝6，求 AC的长．第 2 题图3.(8 分)( 2018 南雅中学二模 ) 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD上， DF＝BE，连结 AF，BF.(1)求证：四边形 BFDE是矩形；(2)若 CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证： AF均分∠ DAB.第 3 题图4.(8 分)( 2018 襄阳 ) 如图，AE∥BF，AC均分∠BAE，且交BF于点C，BD均分∠ ABF，且交 AE于点 D，连结 CD.(1)求证：四边形 ABCD是菱形；(2)若∠ ADB＝30°， BD＝6，求 AD的长．第 4 题图5.(8 分)( 2018 青竹湖湘一三模 ) 已知，正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延伸线上的点， DF＝BE，连结 A E、AF，过点 A 作 AH⊥ED于点 H.(1)求证：△ ADF≌△ ABE；(2)若 BC＝3BE，BE＝1，求 tan ∠AED的值．第 5 题图6.(8 分)( 2018 长沙中考模拟卷三 ) 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形 BDFE，使 B、C、E三点在同向来线上，连结 BF，交CD于点 G.(1)求证： CG＝CE；(2)若正方形边长为 4，求菱形BDFE的面积．第 6 题图7.(9 分)( 2018 长沙中考模拟卷六 ) 如图，在 ?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点 F，BD与 AE、AF分别订交于点 G、H.(1)求证：△ ABE∽△ ADF；(2)若 AG＝AH，求证：四边形 ABCD是菱形；(3)在(2) 的条件下，将△ADF绕A点顺时针旋转，若△ADF恰巧与△ACE 重合，求旋转角n(0°＜ n＜360°)．第 7 题图8.(9 分)( 2018 兰州 ) 如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD 向上折叠，极点C落到点 E处，BE交 AD于点 F.(1)求证：△ BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点 D作 DG∥BE，交 BC于点 G，连结 FG交 BD于点 O.①判断四边形 BFDG的形状，并说明原因；②若 AB＝6，AD＝8，求 FG的长．第 8 题图答案1. C2. C3. C4. C5.B 【分析】：∵在矩形ABCD中，AB＝4，∠ADB＝30°，∠BAD＝11 90°，∴BD＝8，∵矩形对角线相等且相互均分，∴OC＝2AC＝2BD＝4.6.D 【分析】：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故 A选项正确；∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是矩形，故B选项正确；∵ AD均分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAF，又∵ DE∥AC，∴∠ EDA＝∠ DAF＝∠ EAD，∴ AE＝DE，又∵四边形 AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形，故C选项正确；假如 AD⊥BC 且 AB＝BC不可以判断四边形 AEDF是正方形，故D选项错误．7. B 【分析】：由折叠可知，∠BAE＝∠EAC，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠BAC＝2∠BCA，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴ 3∠ACB＝90°，∴∠ ACB＝30°，∵ AB＝3，∴AC＝2AB＝6.8. A【分析】：∵ AD∥BC，BE＝CE，又∵四边形ABCD是矩形，∴△ BEF∽△ DAF，∴BE∶AD＝BF∶FD＝EF∶AF＝1∶2，设 EF＝x，则22AF＝2x，∵△BEF∽△ AEB，∴BE∶AE＝EF∶BE，∴BE＝EF·AE＝3x ，∴BE＝22226x，∵AB·BE＝AE·BF，3x，∴AB＝AE－BE＝6x，∴AB＝2 2∴B F＝ 2x，在 Rt△BDC中， BD＝ DC＋BC＝3 2x，∴ DF＝2 2x，在 Rt△DFE中， tan ∠BDE ＝EF x2＝＝ . DF 22x49.10 【解析】：如题图②，由赵爽弦图可知，△GHI≌△HEJ≌△ EFK≌△ FGL，∴GL＝HI＝EJ＝FK，FL＝GI＝HJ＝EK，设 HI＝m，∵ IJ ∥AB，∴ HJ＋FK＝AB，即 m＋2＋m＝14，解得 m＝6，在 Rt△GHI 中， HI＝6，GI＝6＋2＝8，GH＝62＋82＝10，即正方形EFGH的边长为10.10.17 【分析】：∵AC＝ 42＋32＝5，AQ＝AD＝3，∴CQ＝2，又∵AD ＝AQ，∴∠ ADQ＝∠ AQD，∵∠ CQP＝∠ AQD，∴∠ ADQ＝∠ CQP，∵AD∥BC，∴∠ ADQ＝∠ CPQ，∴∠ CQP＝∠ CPQ，∴ CP＝CQ＝2，∴ BP＝3－2＝1，∴AP＝2222AB＋BP＝ 4 ＋ 1 ＝ 17.111.20°【分析】：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝2BD，∠ABD1＝∠ CBD，∵∠ ABC＝140°，∴∠ CBD＝2∠ABC＝70°，∵ DE⊥BC，1∴∠ BDE＝20°， OE＝2BD＝OD，∴∠ OED＝∠ BDE＝20°.12.10 3－10 【分析】：∵△PBC是等腰三角形，∴有以下三种状况：(1) 当以点P为极点时，则点P在线段BC的垂直均分线上，如解图①所示，此时最小值是 10；(2) 以点B为极点时，则点P的轨迹是在以点B 为圆心， BC长为半径的圆周上，由解图②易知， P，A 两点间最短距离是与点 A 重合，又∵点 P 不与点 A 重合，故舍去；(3)以点 C 为极点时，则点 P 的轨迹是在以点 C为圆心， BC长为半径的圆周上，由解图③易知，线段 AF的长即为最短距离，在 Rt△ABE中，AB＝10，∠ABE＝180°－120°＝60°， AE＝AB·sin60 °＝53，在Rt△AEC中， AE＝5 3，∠ACE＝30°，∴ AC＝2AE＝10 3，∴AF＝AC－CF＝10 3－10，即 P，A 两点间的最短距离为(10 3－10) cm.第 12 题解图13.已知： AC⊥BD；求证： ?ABCD是菱形．证明：∵ AC⊥BD，∴∠AOB＝∠ AOD＝90°，又∵在?ABCD中，AO＝AO，BO＝DO，∴△ AOB≌△ AOD，∴AB＝AD，同理 BC＝CD，∵在 ?ABCD中，AD＝BC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形 ABCD是菱形．14.(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ DAO＝∠ OCB，∠ADO＝∠ OBC，又∵∠ OBC＝∠ OCB，∴∠ DAO＝∠ ADO，∴OB＝OC，OA＝OD，∴OB＋OD＝OA＋OC，即 AC＝BD，∴平行四边形 ABCD是矩形；(2)解：使矩形 ABCD为正方形的条件为： AB＝AD.(答案不独一)15. (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ ABD＝∠ CDB，∵BE均分∠ ABD，DF均分∠ CDB，11∴∠ EBD＝2∠ABD，∠ FDB＝2∠CDB，∴∠ EBD＝∠ FDB，∴D F∥EB，又∵ AD∥BC，∴E D∥BF，∴四边形 BEDF是平形四边形；(2)解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．原因以下：∵BE均分∠ ABD，∴∠ ABD＝2∠ABE＝60°，∠ EBD＝∠ABE＝30°，∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ A＝90°，∴∠ EDB＝∠ EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形 BEDF是菱形．16.(1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ DAF＋∠ BAE＝90°， AB＝AD，∵∠ AFD＝90°，∴∠ DAF＋∠ ADF＝90°，∴∠ BAE＝∠ ADF，在△ ABE和△ DAF中∠AEB＝∠ AFD＝90°∠BAE＝∠ ADF，AB＝DA∴△ ABE≌△ DAF(AAS)；(2)解：在正方形 ABCD中， AD∥BC，∴∠ DAF＝∠ AGB＝30°，在 Rt△ADF中，∠ AFD＝90°， AD＝6，∴A F＝3 3，DF＝3，由(1) 得△ABE≌△DAF，∴A E＝DF＝3，∴E F＝AF－AE＝3 3－3.17.(1) 证明：∵△AFC是由△ABC折叠获得的，∴AF＝AB，∠ F＝∠ B，∵四边形 ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠ B＝∠ D＝90°，∴AF＝CD，∠ F＝∠ D，∵∠F E A＝∠ DEC，∴△ AFE≌△ CDE(AAS)；(2 ) 解：由 (1) 知△AFE≌△CDE，∴A E＝CE，∴D E＝AD－AE＝8－CE，222在 Rt△DCE中，由勾股定理得 CE＝DE＋CD，222∴CE＝(8－CE) ＋ 4，解得 CE＝5，11∴S△ACE＝2AE·CD＝2×5×4＝10，即图中暗影部分面积为10.能力提高训练1.B 【分析】：由勾股定理得x2＋y2＝大正方形边长的平方，即大正方形的面积 49，故①正确；小正方形的面积为 4，∴边长为 2，即x－y＝2，故②正确；四个直角三角形的面积再加上中间正方形的面1积 4 等于大正方形的面积49，即2xy×4＋ 4＝2xy＋4＝49，故③正确；( x＋y) 2＝x2＋y2＋2xy，由③可知2xy＝45，∴x2＋y2＋2xy＝49＋45＝94，∴x＋y≠9，故④错误．1 2. D 【分析】：如解图，设△PAB底边AB上的高为h，∵S△PAB＝3S矩112AB·h＝3AB·AD，∴h＝2为定值，在AD上截取AE＝2，作形ABCD，得EF∥AB，交 CB于点 F，故点 P 在直线 EF上，作点 A对于直线 EF的对称点 A′，连结 A′B，交直线 EF于点 P，此时 PA＋PB最小，且PA＋P B＝PA′＋ PB＝ A′B＝42＋52＝41.第 2 题解图3.C 【分析】：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，∴∠ 1＝∠ 2，CE＝FE，BF＝BC＝10，在Rt△ABF中，∵AB＝6，BF＝10，∴AF＝102－62＝8，∴DF＝AD－AF＝10－8＝2，设EF＝x，则222CE＝x，DE＝CD－CE＝6－x，在 Rt△DEF中，∵ DE＋ DF＝EF，∴(6822210－x)＋2 ＝x，解得x＝3，∴ED＝3，∵△ABG沿BG折叠，恰落在线段 BF上的点 H处，∴∠3＝∠4，BH＝BA＝6，AG＝HG，∴∠ EBG＝1∠2＋∠ 3＝2∠ABC＝45°，∴①正确；HF＝BF－BH＝10－6＝4，设2222 AG＝y，则 GH＝y，GF＝8－y，在 Rt△HGF中，∵ GH＋HF＝GF，∴ y22，解得 y＝3，∴AG＝GH＝3，GF＝5，∵∠A＝∠ D，AB＋4 ＝(8－y)＝DE 9AG 3AB AG，＝，∴≠，∴△ ABG与△ DEF不相像，∴②错误；∵ S△ABG 4DF 2DE DF1113＝2×6×3＝ 9，S△FGH＝2·GH·HF＝2×3×4＝ 6，∴S△ABG＝2S△FGH，∴③正确；∵ AG＋DF＝3＋2＝5，而 GF＝5，∴ AG＋DF＝GF，∴④正确，∴①③④正确．第 3 题解图4.( 7，3) 或( 15，1) 或(2 3，－ 2) 【分析】：由折叠性质可知，OA＝OA′＝4，假定点 A′坐标为( x，y)则有 x2＋ y2＝42＝16，点 A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3，可分为两种状况：①A′至AC 的距离为 A′至 OB距离的3倍，可得 y1＝1，y2＝－2，代入 x2＋y2＝16 得，x1＝± 15，x2＝±2 3，又∵A′处于y轴右边，∴A′为 ( 15，1)或(2 3，－ 2) ；②A′至OB的距离为A′至AC的距离的 3 倍，可得 y3＝3，代入 x2＋y2＝16 得 x3＝± 7，又∵A′处于y轴右边，∴A′为( 7，3) ，综上所述，A′为 ( 7，3) 或( 15，1) 或(2 3，－ 2) ．第 5 题解图5.4600 【分析】：由题意得，BA＋AG＋GE＝3100 m，∵AB＝1500 m，∴AG＋GE＝3100－1500＝1600 m，∵ BD为对角线，∠ DBC＝45°，而GE⊥DC，∴∠ DGE＝45°，△ DEG为等腰直角三角形，∴DE＝ GE，如解图，过点G 作 GH⊥AB，易证△ AGH≌△ EFC，∴ AG＝EF，∴ AB＋AD＋D E＋EF＝AB＋AD＋( GE＋AG)＝3000＋1600＝4600 m.6. (1) 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，且 AC、BD相互均分，∴DO＝CO，∵已知△ COD与△ CED对于 CD对称，∴△ COD≌△ CED，∴CO＝CE，DO＝DE，∴CE ＝CO＝DO＝DE，∴四边形 OCED是菱形；(2)解：①如解图①，连结 EO交 CD于点 F，延伸 EO交 AB于点 H，∵四边形 OCED是菱形，∴EO⊥CD，且 EO、CD相互均分，∴EF＝FO，DF＝FC＝3，15∴F O∥BC，即 EH∥BC，且 EF＝FO＝2BC＝2，又∵ FO∥BC，在矩形 ABCD中， AB∥CD，∠ ABC＝90°，∴四边形 FHBC是矩形，∴FH＝BC＝5，HB＝FC＝3，3 5∴A H＝AB－HB＝3，EH＝EF＋FH＝2，∵AB∥CD，EH⊥CD，∴E H⊥AB，2222352819∴AE＝AH＋EH＝3＋(2)＝4，解得 AE＝2，AH 32∴sin ∠AEH＝＝＝，AE 9 322∴s in ∠DAE＝sin∠ AEH＝3；第 6 题解图①第 6 题解图②②如解图②，在AE上取点 P，过点 P 作 PM⊥AD于点 M，OP AP2∴t ＝1＋1.5＝OP＋3AP，MP 2∵sin ∠DAE＝＝，AP 32∴M P＝3AP，2∴t＝OP＋3AP＝OP＋PM，当点 O、P、M共线时， t ＝OP＋PM＝OM获得最小值，∴O M⊥AD，∵在矩形 ABCD中， AB⊥AD，BO＝DO，∴O M∥AB，且点 O为 BD的中点，∴O M为△ ABD的中位线，1∴t ＝OM＝2AB＝3，∵O M∥AB，∴Rt△EHA∽Rt△EOP，PE EO 2∴＝＝，AE EH 32∴PE＝3AE＝3，3∴A P＝AE－EP＝2，3故 AP的长为2 cm，点 Q走完整程需要3 s.拓展培优训练1. D 【分析】：过E作EH⊥CF于点H，由折叠的性质得：BE＝EF，∠BEA＝∠ FEA，∵点 E 是 BC的中点，∴ CE＝BE，∴EF＝CE，∴∠ FEH ＝∠ CEH，∴∠AEB＋∠CEH＝90°，∵在矩形ABCD中，∠BAE＋∠BEAAB AE ＝90°，∴∠B A E＝∠CEH，∠B＝∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴＝，EH CE2224EH 4∵AE＝ AB＋BE＝10，∴ EH＝，∴ sin ∠ECF＝＝ .5CE 5第1 题解图2. D 【分析】：∵四边形ABCD是正方形，∴O B＝OC，∠OBE＝∠OCF ＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠ BOF＋∠ BOE＝90°，∴∠ BOE＝∠ COF，在△ BOE和△ COF中，∠BOE＝∠ COFOB＝OC，∴△ BOE≌△ COF(ASA)，∴OE＝OF，∵∠ EOF＝90°，∠OBE＝∠ OCF∴EF＝2OE，故(1)正确；∵S 四边形OEBF＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△C OF＝S△BOC 1＝4S 正方形ABCD，∴S 四边形OEBF∶S 正方形ABCD＝1∶4，故(2)正确；∵ BE＝CF，∴BE ＋BF＝ BF＋CF＝BC＝2OA，故(3)正确；∵∠ EOG＝∠ BOE，∠ OEG＝2∠OBE＝45°，∴△ OEG∽△ OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OG·OB＝OE，12222∵OB＝2BD，OE＝2 EF，∴ OG·BD＝EF，∵在△ BEF 中， EF＝BE＋222222正确．BF，∴ EF＝AE＋CF，∴ OG·BD＝AE＋CF，故(4)特别四边形的有关证明与计算稳固集训1.(1) 证明：∵四边形ABCD、四边形ADEF都是菱形，∴AB＝AD＝AF，∴△ ABF是等腰三角形，又∵∠ BAD＝∠ FAD，∴AD⊥BF；(2)解：由 (1) 知AB＝AD＝AF，又∵ AB＝BC，BF＝BC，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ BAF＝60°，又∵∠ BAD＝∠ FAD，∴∠ BAD＝30°，又∵四边形ABCD是菱形，∴∠ ADC＋∠B A D＝180°，∴∠ ADC＝180°－∠ BAD＝150°.2.(1) 证明：∵∠ADE＝∠B A D，∴AB∥DE，∵AE⊥AC，BD⊥AC，∴AE∥BD，∴四边形 ABDE是平行四边形；(2)解：∵ DA均分∠ BDE，∴∠ ADE＝∠ BDA，∵∠ ADE＝∠ BAD，∴∠ BAD＝∠ BDA，∴BD＝AB＝5，设BF＝x，则 DF＝5－x，2222∴AD－DF＝AB－BF，2222∴6－(5－x)＝5 －x，7解得 x＝5，∴AF＝2224 AB－BF＝5，∵BD均分 AC，48∴AC＝2AF＝5.3.证明：(1) ∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即 DF∥B E，又∵ DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形，又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形 BFDE为矩形；(2)由(1) 知平行四边形BFDE为矩形，∴∠ BFC＝90°，∵在△ BFC中， CF＝3，BF＝4，依据勾股定理得，BC＝CF2＋BF2＝32＋42＝5，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴A D＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵DC∥AB，∴∠ DFA＝∠ FAB，∴∠ DAF＝∠ FAB，即 AF均分∠ DAB.4. (1) 证明：∵AE∥BF，∴∠ ADB＝∠ CBD，∵BD均分∠ ABF，∴∠ ABD＝∠ CBD，∴∠ ABD＝∠ ADB，∴A B＝AD，同理可证 AB＝BC，∴A D＝BC，∴四边形 ABCD是平行四边形，又∵ AB＝AD，∴四边形 ABCD是菱形；(2 ) 解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝6，1∴A C⊥BD，OD＝2BD＝3，OD3∴在 Rt△AOD中， cos∠ADB＝cos30°＝＝，AD 22∴A D＝3×＝2 3.35.(1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ADF＝∠ ABE＝90°， AD＝AB，在△ ADF和△ ABE中，AD＝AB∠ADF＝∠ ABE，DF＝BE∴△ ADF≌△ ABE(SAS)；(2) 解：如解图，过点 E 作 EG⊥AD，交 DA的延伸线于点 G，第 5 题解图∵∠ AGE＝∠ GAB＝∠ ABE＝90°，∴四边形 ABEG是矩形， GE＝AB，∵四边形 ABCD是正方形，∴A B＝GE＝BC＝CD＝AD＝3BE，又∵ BE＝1，∴C E＝BC＋BE＝4，2210，在 Rt△ABE中，由勾股定理得， AE＝ BE＋AB＝在 Rt△CDE中，由勾股定理得，DE ＝22CE＋CD＝5，119∴S△ADE＝2AD·GE＝2×3×3＝2，1又∵ S△ADE＝2AH·DE，2S△ADE9∴AH＝DE＝5，2213在 Rt△AEH中，由勾股定理得EH＝AE－AH＝5，AH9∴tan ∠AED＝＝.EH 136.(1) 证明：连结DE交BF于点 O，则D E⊥BF，第 6 题解图∵∠ ODG＋∠ OGD＝90°，∠C BG＋∠ CGB＝90°，∠ CGB＝∠ OGD∴∠ CDE＝∠ CBG，又∵ BC＝DC，∠ BCG＝∠ DCE，∴△ BCG≌△ DCE(ASA)，∴C G＝CE；(2)解：∵正方形边长 BC＝4，∴B D＝2BC＝4 2，DC＝BC＝4，菱形 BDFE的面积为 S＝4 2×4＝162，∴菱形 BDFE的面积为 16 2.7.(1) 证明：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠ AEB＝∠ AFD＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ ABE＝∠ ADF，∴△ ABE∽△ ADF；(2)证明：∵ AG＝AH，∴∠ AGH＝∠ AHG，∴∠ AGB＝∠ AHD，∵△ ABE∽△ ADF，∴∠BAG＝∠ DAH，∴△BAG≌△ DAH(ASA)，∴AB＝AD，∵四边形ABCD是平行四边形且AB＝AD，∴平行四边形 ABCD是菱形；(3)解：∵△ ADF恰巧与△ ACE重合，∴AD＝AC，∠ FAE即为所求角，又∵由 (2) 可得，AD＝DC＝BC＝AB＝AC，∴△ ADC和△ ACB均为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ ADC＝60°，∠ BAD＝∠ BCD＝120°，又∵ AE⊥BC，AF⊥ DC，∴∠ BAE＝∠ DAF＝30°，∴∠ FAE＝120°－30°－30°＝60°，即 n＝60°.8.(1) 证明：由折叠的性质可得，∠DBC＝∠DBF，∵四边形 ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ DBF＝∠ ADB，∴BF＝DF，∴△ BDF是等腰三角形；(2)解：①四边形 BFDG是菱形．原因以下：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，即 DF∥BG，∵DG∥BF，∴四边形BFDG是平行四边形，由(1) 得BF＝DF∴平行四边形 BFDG是菱形；②∵矩形 ABCD中 AB＝6，AD＝8，∠ A＝90°，2 2∴B D＝ AB＋AD＝10，∵四边形 BFDG是菱形，∴B D⊥GF，GF＝2OF，BD＝2OD，∴O D＝5，OF AB 3∴tan ∠ADB＝＝＝，OD AD 415∴OF＝4，15∴F G＝2.。

天津市和平区2019届中考《矩形、菱形和正方形》专项练习含答案

天津市和平区普通中学2019届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC ＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.(1)试判断四边形EFGH 的类型，并证明你的结论； (2)求四边形EFGH 的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ； (2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O.(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F.若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ； (2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G.若OE ＝OG.①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析： 1. A 2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC ＝BD ，根据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B. 3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE 5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC ＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH是矩形 (2)∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3 cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BHHG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△A BH∽△CGH，所以BH HG ＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HGGF的值．12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE ＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG (2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HC CD . ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－122019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如左图所示．其俯视图不可能是（）A. B. C. D.2．|﹣5|的相反数的倒数是（）A．﹣5 B．5 C．15D．﹣153．利用计算器求值时，小明将按键顺序为的显示结果为a，的显示结果为b，则a与b的乘积为（）A.﹣16B.16C.﹣9D.94．统计数据显示，2018年绍兴市进出口贸易总额达2200亿元，其中2200亿元用科学记数法表示为（）A．2.2×103元B．22×108元C．2.2×1011元D．0.22×1012元5．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（）A．1269×108B．1.269×108C．1.269×1010D．1.269×10116．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。

2019九年级数学中考复习试题：矩形、菱形与正方形

一、 ( 每小 6 分，共 24 分)1．( 2014·庄 ) 如，菱形 ABCD的 4，点 A， C作角 AC的垂，分交CB和 AD的延于点E， F，AE＝ 3，四形 AECF的周 ( A )A．22B．18C．14D．112．( 2014·水 ) 如，小在作段AB的垂直均分，是操作的：分以点 A，B 心，大于段 AB度一半的半径画弧，订交于点C，D，直 CD即所求．AC， BC， AD， BD，依据她的作方法可知，四形ADBC必定是 ( B )A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形3． ( 2014·呼和浩特 ) 已知矩形 ABCD的周20，两条角AC， BD订交于点 O，cm点 O 作 AC 的垂 EF，分交两AD， BC于点 E， F( 不与点重合 ) ，以下对于△ CDE与△ ABF 判断完整正确的一 ( B)A．△CDE与△ABF的周都等于10cm，但面不必定相等B．△CDE与△ABF全等，且周都10 cm．△ CDE与△ ABF 全等，且周都5cmCD．△CDE与△ABF全等，但它的周和面都不可以确立4． ( 2014·宜 ) 如，将 n 个都 2 的正方形按如所示放，点A1， A2，⋯ A n分是正方形的中心，n 个正方形重叠部分的面之和是( B )1n－ 11A．n B．n－1 C．(4)D.4n二、填空 ( 每小7 分，共 28 分)5． ( 2014·凉山 ) 次接矩形四中点所形成的四形是__菱形 __．学校的一菱形花园两角的分是 6 m和 8 m，个花园的面__24_m2__．6．( 2014·) 将四根木条成的方形木框形平行四形ABCD的形状，并使其面方形面的一半( 木条度忽视不 ) ，个平行四形的最小内角__30__度．7．( 2014·金 ) 如，矩形 ABCD中， AB＝ 8，点 E 是 AD上的一点，有 AE＝ 4，BE的垂直均分交BC的延于点 F，接 EF 交 CD于点 G.若点 G是 CD的中点， BC的是 __7__．2019-2020 年九年数学中考复：矩形、菱形与正方形8． ( 2013·州 ) 如，在正方形 ABCD中， E 是 AB上一点， BE＝ 2， AE＝ 3BE， P 是 AC 上一点， PB＋ PE的最小是 __10__．分析：如图，连结 DE，交 AC于点 P，连结 BP，则此时 PB＋ PE 的值最小，∵四边形 ABCD 是正方形，∴ B， D 对于 AC对称，∴ PB＝ PD，∴ PB＋ PE＝PD＋ PE＝ DE，∵ BE＝ 2，AE＝3BE，∴AE＝ 6， AB＝8，∴ DE＝ 62＋ 82＝ 10，故 PB＋PE的最小值是 10. 故答案为 10三、解答题 ( 共 48 分)9．(12 分)( 2013·白银 ) 如图，在△ ABC 中， D是 BC边上的一点， E 是 AD的中点，过 A点作 BC的平行线交 CE的延伸线于点 F，且 AF＝ BD，连结 BF.(1)BD 与 CD之间有什么数目关系，并说明原因；(2) 当△ ABC知足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明原因．( 1) BD＝ CD.原因以下：∵AF∥BC，∴∠ AFE＝∠DCE，∵ E 是 AD的中点，∴ AE＝DE，在∠A FE＝∠DCE，△AEF和△DEC中，∠ AEF＝∠DEC，∴△ AEF≌△ DEC( AAS)，∴ AF＝DC，∵ AF＝BD，∴ BD＝AE＝ DE，CD( 2) 当△ABC 知足： AB＝ AC 时，四边形 AFBD是矩形．原因以下：∵AF∥BD，AF＝ BD，∴四边形 AFBD是平行四边形，∵ AB＝ AC， BD＝CD，∴∠ ADB＝ 90°，∴ ?AFBD是矩形1( 1) 证明：∵点 D， E 分别是 AB，AC边的中点，∴ DE∥ BC，且 DE＝2BC，同理， GF∥ BC，且1GF＝ BC，∴ DE∥ GF且 DE＝GF，∴四边形DEFG是平行四边形2( 2) 解：当 OA＝ BC时，平行四边形DEFG是菱形11． (12 分)( 2014·梅州 ) 如图，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， F 是 AD延伸线上一点，且 DF＝ BE.(1)求证： CE＝ CF；(2)若点 G在 AD上，且∠ GCE＝ 45°，则 GE＝ BE＋ GD建立吗？为何？( 1) 证明：在正方形ABCD中，∵ BC＝ CD，∠ B＝∠CDF，BE＝ DF，∴△ CBE≌△ CDF( SAS) ．∴CE ＝C F( 2) 解： GE＝ BE＋ GD 建立．原因是：∵由 ( 1) 得△CBE≌△ CDF，∴∠ BCE＝∠DCF，∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∵∠ GCE＝ 45°，∴∠ GCF＝∠ GCE ＝45° . ∵ CE＝CF，∠ GCE＝∠GCF，GC＝ GC，∴△ ECG≌△ FCG( SAS) ．∴GE＝ GF.∴GE＝ DF＋GD＝ BE＋ GD12． (12 分)( 2013·呼和浩特 ) 如图，在边长为3点， BE＝ 1，∠ AEP＝90°，且 EP交正方形外角的均分线的正方形ABCD中，点 E 是CP于点 P，交边 CD于点BC边上的F.FC(1)EF的值为 ____；(2)求证： AE＝ EP；(3)在 AB 边上能否存在点 M，使得四边形 DMEP是平行四边形？若存在，请赐予证明；若不存在，请说明原因．( 1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝∠D，∵∠ AEP＝90°，∴∠ BAE＝∠FEC，在Rt22BE FCFC10△ABE中， AE＝ 3 ＋ 1＝10，∵ sin ∠ BAE＝AE＝ sin ∠ FEC＝EF，∴EF＝10 ( 2) 在 BA边上截取BK＝ BE，连结 KE，∵∠ B＝90°， BK＝ BE，∴∠ BKE＝ 45°，∴∠ AKE ＝135°，∵ CP平格外角，∴∠ DCP＝ 45°，∴∠ ECP＝ 135°，∴∠ AKE＝∠ECP，∵ AB＝ CB，BK ＝ BE，∴ AB－ BK＝ BC－ BE，即 AK＝ EC，易得∠KAE＝∠CEP，∵在△AKE 和△ECP 中，∠KAE＝∠CEP，AK＝EC，∴△ AKE≌△ ECP( ASA)，∴ AE＝EP∠AKE＝∠ECP，( 3) 存在．证明：作DM⊥AE 与AB 交于点M，则有：DM∥EP，连结ME， DP，∵在△ADM ∠ADM＝∠BAE，与△BAE 中，AD＝ BA，∴△ ADM≌△BAE( ASA)，∴ MD＝ AE，∵ AE＝ EP，∴ MD＝ EP，∴∠BAD＝∠ABE，MD綊 EP，∴四边形DMEP为平行四边形2015 年名师展望1．如图，在矩形ABCD中， AD＝ 2AB，点 M， N分别在边 AD， BC上，连结 BM，DN，若四边形 MBND是菱形，则AMC )等于 (MD3234A.8B.3C.5D.5分析：设 AB＝ 1，则 AD＝2，由于四边形 MBND是菱形，因此 MB＝ MD，又由于矩形 ABCD，因此∠ A＝90°，设 AM＝ x，则22222MB＝2 －x，由勾股定理得 AB＋ AM＝MB，因此 x＋1 ＝( 2－32335AM 43x)，解得 x＝，因此 MD＝ 2－＝，＝＝，应选C444MD 5542．如图，在正方形 ABCD中，边长为 2 的等边三角形 AEF的极点 E， F 分别在 BC和 CD 上，以下结论：① CE＝ CF；②∠ AEB＝ 75°；③ BE＋ DF＝ EF；④ S＝2＋ 3.正方形 ABCD此中正确的序号是 __①②④ __． ( 把你以为正确的都填上 )分析：∵四边形 ABCD是正方形，∴ AB＝ AD，∵△ AEF 是等边三角形，∴ AE＝ AF，∵在Rt △ ABE和 Rt △ ADF 中，AB＝ AD，∴ Rt △ABE≌ Rt △ ADF( HL) ，∴ BE＝DF，∵ BC＝DC，∴ BC AE＝AF，－BE＝ CD－ DF，∴ CE＝ CF，∴①说法正确；∵ CE＝CF，∴△ ECF是等腰直角三角形，∴∠ CEF ＝45°，∵∠ AEF＝ 60°，∴∠ AEB＝75°，∴②说法正确；如图，连结AC，交 EF 于 G点，∴AC⊥ EF，且 AC均分 EF，∵∠ CAD≠∠ DAF，∴ DF≠ FG，∴ BE＋DF≠EF，∴③说法错误；∵EF ＝2，∴ CE＝ CF＝ 2，设正方形的边长为a，在 Rt △ ADF 中， a2＋ ( a－2) 2＝4 ，解得 a＝2＋ 623，④说法正确，故答案为①②④，则 a ＝ 2＋ 3， S 正方形ABCD＝ 2＋2。

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2018届初三数学中考复习矩形、菱形、正方形专项复习练习
1．已知平行四边形ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
2. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC＝( )
A．5 B．4 C．3.5 D．3
3. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠ABC＝60°，则BD的长为( )
A．2 B．3 C. 3 D．2 3
4. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是( )
A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
5. 下列说法：
①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定
是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形；④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( )
A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 2
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，C E∥BD，DE∥AC，AD＝23，DE＝2，则四边形OCED的面积( )
A．2 3 B．4 C．4 3 D．8
8. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )
A．1 B．2 C. 2 D. 3
9. 如图，矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E 处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AB的长为( )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
10. 如图，在△ABC中，点D是边BC上的点，(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
11. 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于G，连接AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；
②BG＝GC；③EG＝DE＋BG；④AG∥CF；⑤S△FGC＝3.6.其中正确结论的个数是( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
12. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为_______________________．
13. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正
方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB ＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是___________．
14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为_______．
15. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则cos∠AEF的值是____．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)证明：AF＝CE；
(2)当∠B＝30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
参考答案：
1---11 CBDCC AAACD D
12. 45°或105°
13. ①③④
14. 30 15. 22
16. 解：(1)在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AB 上的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥AC ，DE ＝12
AC ， ∵EF ＝2DE ，∴EF ∥AC ，EF ＝AC ，
∴四边形ACEF 是平行四边形，∴AF ＝CE
(2)当∠B＝30°时，四边形ACEF 为菱形．
理由：在△ABC 中，∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，
∴∠BAC ＝60°，AC ＝12
AB ＝AE ， ∴△AEC 为等边三角形，∴AC ＝CE ，
又∵四边形ACEF 为平行四边形．
∴四边形ACEF 为菱形。