(完整版)三阶幻方1
三阶幻方
三阶幻方
幻方：一般地说，在n×n的方格里，既不重复也不遗漏地填上n²个连续的自然数，每个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上n个自然数的和都相等，这样排成的数表称为n阶幻方。
这个相等的和叫幻和。
在（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在
方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
（一）思路指导
1、幻和=中间数×3
2、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
3、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
4、幻和= 九个数之和÷3
（二）例题
（三）习题
1. 用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
2. 用3～11这九个数补全图2中的幻方，并求幻和。
3. 在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
4、请完成下面的三阶幻方：
5、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
6、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。
7、用1～9这9个数字补全图中的幻方，并求出幻和。
三阶幻方的讲解
三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。
如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。
幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
这里我们主要学习三阶幻方。
例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。
（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。
同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。
三阶幻方
三阶幻方__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________能够根据三阶幻方的规律补充三阶幻方中的空格幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为洛书．宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。
三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图。
【例1】将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．分析：l+2+…+8+9=45所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(= 45÷3)．从l到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是9+5+1，9+4+2，8+6+1, 8+5+2，8+4+3，7+6+2，7+5+3, 6+5+4这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心，在式子中出现三次的只有8、6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图所示除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．【例2】.将1，3，5，7，…，1 7填入3×3的方格中，使它们成为一个三阶幻方．分析：将图9-2 中的1，2，3，…，9分别用l，3，5，…，17代替，得到下图．它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．【例3】如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？分析：总和是1+4+7+…+25=(1+25)×9÷2=117由于三行的和相等，所以每一行的和是117÷3=39．每一列、每一条对角线的和也是39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是(39×3-39×2)÷3=13一般地，三阶幻方中央的数，等于行（列）和除以3．行（列）和等于中央的数乘以3．【例4】下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方性质填出其他的数．分析：由例3，每一行（每一列、每条对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45 -6 –28=l1．第三行第三个数是45 -6 -15=24第三行第二个数是45 -11- 24 =10．同样，可得其他的数．最后得出三阶幻方如图所示．【例5】已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．分析: 每一行、每一列、每条对角线的乘积都是3×6×12第一行的第一个数是3×6×12÷12÷1=18，第一列的第二个数是3×6×12÷18÷3 = 4．第二列的第三个数是3×6×12÷1÷6 = 36．第三列的第二个数是3×6×12÷4÷6=9．第三列的第三个数是3×6×12÷18÷6=2于是，得出下图【例6】已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2 037．求画有“？”的格子填的数是多少．分析:根据例3，中央的那个数是2 037÷3 = 679．第一行第二个数是2 037 - 679 –894=464第一行第三个数是？=2 037 - 447 - 464=1126．所以要填的数是l1261.用0到8这几个数构造个三阶幻方．2.将2，4，6，…，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．3.如果2、6、10、11、15、19、20、21、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4.下图是一个三阶幻方，请填出其他的数．5.已知图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．请填出其他的数．1．用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方.2．用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方3．在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．4．在空个格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30．5．用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________1．下图是一个三阶幻方．求“？”是多少．2．从1~13这13个数中选12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，每一竖列的3个数的和也相等．这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？3．填好第7题的图4．在下图中，每个方格填一个数，使得每行、每列、每条对角线上的4个数都是1、3、5、7．带“☆”号的两个方格中的数的和是多少？5．将八个不同的数填入下图的空格中，使8个数的总和等于36．如果总和为37、38、39，你还能填吗？6．在3×3的正方形中，每个方格填一个自然数，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，并且其中有一个数是10．7．完成下图，使每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等．。
三阶幻方的公式
三阶幻方的公式三阶幻方，又称“独一无二”，是人类最强大的数学游戏之一。
它被认为是世界上第一个数学游戏，因为它蕴含着各种解题技巧和深奥的数学原理。
三阶幻方的原理在欧洲最早由泰勒斯在1600年代提出，但他的原理不完整，所以无法用来解决此问题。
直到19世纪，在各个国家的探索和研究下，终于有了完整的解题公式。
三阶幻方的公式是其基本原理，也是整个游戏中最重要的部分。
三阶幻方用其特有的解题方法来求解，它是一种制定一定原则，通过利用计数、算法、图论等数学原理来求解问题的方法。
其关键在于要求填入每一个“盒子”中的数字符合一定的原则。
首先，每个盒子中应填入1至9的数字，每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和都必须相等，并且每个盒子中填入的数字都不能重复。
止匕外，还必须符合排布顺序的要求，即必须在上一个盒子中填入的数字按照设定的规则排列，以确保每一行、每一列和每一个斜角方向的数字总和相等。
有了公式,三阶幻方的游戏就变得容易多了，因为可以根据公式,快速算出每个盒子填入的数字，从而完成游戏。
公式可以分成几种方法，最典型的是“分解法”。
该法要求将一个三阶的幻方分解为三个二阶的幻方，然后分别求出每一个二阶的幻方的解。
止匕外，还有“重组法”、“树形法”、“枚举法”等，它们分别从不同的角度来研究三阶幻方，都有其独特的优势。
不同的方法会有不同的步骤，但它们的最终目的都是一致的：给定一系列数字，需要按照一定的规则来填入每个盒子，以得出图形最终结果。
数学家们的研究伴随着三阶幻方的公式的不断发展，使我们对其解题原理有了更深刻的理解。
从古代中国到当今的西方社会，三阶幻方都被人们所推崇，三阶幻方的公式成为研究者共同推展的一部分，也是我们认识数学原理的重要途径。
三阶幻方被称为“独一无二”，其本质就是要求结果独一无二，因此一定要认真按照一定的原则来完成每一个步骤，以确保游戏结果是唯一的。
三阶幻方的公式和原理，既可以用来解决数学问题，也可以用来训练人们的逻辑、思维能力。
03012三阶幻方(一)
三阶幻方同学们：在33⨯（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
如果在44⨯（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44⨯方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
（一）思路指导与解答例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
a bc def g hi图1 图2分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。
看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和=++++++++÷()1234567893=÷=45315（3）选择突破口，显然是e ，看图2。
因为：a e i b e h c e g d e f ++=++=++=++=15 所以：()()()()a e i b e h c e g d e f +++++++++++ =+++=1515151560也就是：()a b c d e f g h i e +++++++++⨯=360 又因为：a b c d e f g h i ++++++++=45 所以45360+⨯=e 36045⨯=-ee =5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数中正中间的数。
三阶幻方
简单的三阶幻方1、什么是幻方？幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数. 罗伯法构造三阶幻方游戏：把1~9这9个数字按照要求填入下面的九宫格中？（1）把1~9依次按照从右上到左下的斜行顺序填入9个空白格中；（2）把最上面的“1”调到粗线框中第三行中间，最小面的“9”调到粗线框中第一行的中间。
最左边的“3”调到粗线框中第列的中间，最右边的“7”调到粗线框中第一列的中间。
（3）把粗线框中最后的结果填入右边的九宫格中算一算，九宫格中各行、各列及斜行的数字和，你有什么发现？三阶幻方的规律：1、幻和：各行、各列及斜行的和都是15，我们称它为幻和；幻和= 九个数之和 ÷3；2、中心数：幻和是中心数字的3倍；中间数=幻和÷3=(3+7)÷2=(1+9)÷2=(2+8)÷2=(6+4)÷23、左上角、右上角、左下角、右下角的四个数字依次是第2、第4、第6、第8个数字672159834四个角上的数字2=(3＋1)÷2，8=(9＋7)÷2；6=(3＋9)÷2；4=(1＋7)÷22、小试牛刀你能用上面的方法把2、4、6、8、10、12、、14、16、18这九个数字填入右面的九宫格中，使它构成三阶幻方吗？例1在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。
（1（2巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。
三阶幻方知识点总结
三阶幻方知识点总结
以下是一份关于“三阶幻方知识点总结”的文稿：
前言
嘿，朋友！你可知道三阶幻方有多神奇吗？就好像一个神秘的魔法盒子，里面藏着好多奇妙的秘密等待我们去发现呢！今天就让我们一起揭开三阶幻方的神秘面纱吧！
正文
三阶幻方，简单来说，就是把 9 个数字填到一个3×3 的格子里，让每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
就像搭积木一样，得把这些数字巧妙地组合起来。
比如说，1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字，你得
把它们摆得恰到好处才行呢！
那怎么才能摆好呢？这就得讲究技巧啦！中心位置很关键呀，就好比是球队的核心球员一样重要。
一般中心位置填的数字得好好斟酌。
而且，幻方中相对的两个数字之和通常也是相等的哦，你说神奇不神奇！比如，左上角和右下角的数字拿出来一加，嘿，和右上角和左下角的数字之和一样呢！
想想看，这就像是一个精巧的拼图游戏，每个数字都有它自己的位置，找对了位置，整个图案就完整了。
我们来举个例子感受一下吧。
喏，看这个三阶幻方，每行每列和对角线的和都是 15 呀，是不是超级酷？
结尾
哎呀呀，三阶幻方是不是特别有趣啊！它就像一个充满惊喜的小宝藏，越挖越有料！大家快去试试，看看自己能不能也创造出神奇的三阶幻方吧！。
(精选课件)三阶幻方
1
洛书
2
综合与实践
根据北周甄鸶注《数 术记遗》： 九宫者，二四为肩， 六八为足，左三右七， 戴九履一，五居中央。
3
神奇的幻方
4 92 3 57 8 16
4
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
5
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
17
探寻神奇的幻方
492 357 816
三阶幻方
四海三山八洞天， 九牛五虎一起眠， 二女七星和六国， 周围十五月团圆。
18
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了 系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提 出了一个构造三阶幻方的秘诀： [九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出， 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足]
19
杨辉法
20
（瑛姑）双手捧头，苦苦思索，过了一会，忽然抬起头来， 脸有喜色，道：“你的算法自然精我百倍，可是我问你： 将一至九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相 加都是十五，如何排法？”黄蓉心想：“我爹爹经营桃花 岛，五行生克之变，何等精奥？这九宫之法是桃花岛阵图 的根基，岂有不知之理？”当下低声诵道：“九宫之义， 法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一， 五居中央。”边说边画，在沙上画了一个九宫之图。那女 子面如死灰。
这
个 8 17 5
幻 方
11
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
12
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
13
17 12 15
1 三阶幻方
1 三阶幻方三阶幻方教学内容：三阶幻方内容分析：本课主要是让学生了解幻方的起源，初步认识幻方，探索幻方的规律，能用0~8九个数字快速完成,并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。
在教学中教师通过故事的讲述引入幻方，最后让学生简单了解幻方历史的同时激起学生对中国古代数学文化的兴趣；教学过程中采用观察、动手操作、小组活动等形式让学生探讨三阶幻方的几个基本特点，初步培养学生比较、分析、判断、概括等能力。
学情分析：《幻方》这一知识对于三年级学生来说是比较抽象、难理解的，是一个全新的数学问题。
因此，教师努力为学生的数学学习提供生动活泼、主动求知的材料与环境，让每个学生参与知识的形成过程，使学生在获得数学基本知识和基本技能的同时，发展数学能力，体会学习数学的乐趣，建立学好数学的信心。
教学目标：1. 初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。
2. 能基本了解三阶幻方规律填出0~8的幻方并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。
3. 培养自主探究的能力和团结协作的能力。
教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。
教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。
教具准备：课件、幻方模型。
教学过程：1. 故事引入（射雕英雄传的故事）师：今天老师想带大家来玩一个游戏，在这之前呢,老师请大家先听一个故事（媒体）【策略说明：数学是来源于生活的。
故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。
】2、探究新知（一）初试幻方师:如果是你,你会怎样想引出”幻和”概念拿出学具,进行了解师:你能快速填出三阶幻方吗请以小组为单位,开始你们的尝试.(展示学生作品,学生判断是否正确)【策略说明：初步认识幻方】（2）寻找幻方的特征1. 课件出示三阶幻方的8种情况,学生找规律.(板书规律)师:仔细观察这8张图,你发现了什么交流板书:(1)由1到9九个数排成的(2)幻和等于15(3)双数在四个角上,单数在中间(4)5(中间数)相对的两个端点数和是5(中间数)的两倍(5)5在中间(6)角落上的数是对顶数两边数和的一半【策略说明：计算是学习重点，本环节是通过正确计算来揭示幻方的规律。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀三阶幻方是指由1到9的九个数字组成的一个3x3的方阵，使得方阵中的每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
下面是一个简单的口诀来求解三阶幻方的公式：首先，我们需要把9个数字按照一定的规律填入到3x3的方阵中。
设置一个3x3的方阵如下：abcdefghi第一步：选取任意一个数字填入中间的位置，比如选取数字5，填入方阵的中心位置e：abcd5fghi第二步：根据魔方的特性，可以得出以下规律：1.真正的幻方中心位置的值将会是(n^2+1)/2，对于三阶幻方来说，中心位置的值为(3^2+1)/2=52.方阵的每个角的位置必须是n的倍数，对于三阶幻方来说，四个角的值即为1、3、7、9根据以上两个规律，我们可以进行以下步骤填充幻方：第三步：将数字1填入到方阵的上一个位置g（此处的上指的是在方阵中“上方”相对于中心位置e的方向）：abc15fghi第四步：根据规律2，将数字9填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159ghi第五步：根据规律2，将数字3填入到方阵的下一个位置h（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc159g3i第六步：根据规律2，将数字7填入到方阵的下一个位置d（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：abc15973i第七步：根据规律1，将数字8填入到方阵的下一个位置b（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c15973i第八步：根据规律1，将数字4填入到方阵的下一个位置f（此处的下指的是在方阵中“下方”相对于中心位置e的方向）：a8c159734最终得到了一个三阶幻方。
利用以上口诀和规律，我们可以通过简单的步骤来构造三阶幻方。
通过这个口诀，我们可以快速而准确地创建出一个三阶幻方，仅需一些简单的数字填充操作。
第五讲 三阶幻方
6
3
例题2在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。
19
14
10
18
巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。
8
例题3在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。
12
巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。
例题4将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。
介绍杨辉法：介绍公式法：
口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。
想一想还有没有其他填法：
第一种：
8
1
6
3
5
7
4
9
2
第二种：
6
1
8
7
5
3
2
9
4
第三种：
4
9
2
3
5
7
8
1
6
第四种：
2
9
4
7
5
3
6
1
8
第五种：
第五讲、三阶幻方
幻方起源于中国.传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图.人们称之为洛书.
如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.
观察，你发现了什么
观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15.像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方.三阶幻方是一种特殊的数阵图.
上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.
三阶幻方黄金三角解法
三阶幻方黄金三角解法
三阶幻方是指一个3x3的方阵，其中每一行、每一列和两条对角线上的数字相加都相等。
如果每个数字都是1到9之间的整数且每个数字只出现一次，则称为幻方。
黄金三角解法是解决三阶幻方问题的一种方法。
它的核心思想是将幻方划分为三个水平方块（行组）和三个垂直方块（列组），使得这些方块的数字之和相等。
具体的解法步骤如下：
1. 将第一行的第一个数字设为5。
这相当于将三阶幻方的中心位置填充为5。
2. 然后按以下顺序填充方块：第一行右边、左下角和右下角。
3. 先填充第一行右边的方块。
从1到9中找到与中心位置数字的和为10的两个数字，填充在第一行右侧位置，例如2和8。
4. 下一步填充左下角的方块。
从1到9中找到与中心位置数字的和为10且没有被使用过的数字，例如4，填充在左下角位置。
5. 最后填充右下角的方块。
从1到9中找到与左下角数字的和与中心
位置数字的和均为10的数字，例如6，填充在右下角位置。
6. 接下来在第二行和第三行中寻找符合条件的数字，填充到相应位置。
如果没有找到合适的数字，则需要重新安排第一行数字的位置。
7. 最后检查每个方块数字之和是否相等，是否符合幻方的要求。
黄金三角解法的优点是简单易懂，解法相对较快，适用于初学者和普
通人。
当然，这个解法的限制是只适用于每个数字只出现一次的三阶
幻方。
对于更高级、更大规模的幻方，需要使用更复杂的算法和技巧
来解决。
三阶幻方公式
三阶幻方公式三阶幻方是一种数学游戏，它包含一个3x3的矩阵，每行、每列和对角线上的数字和都是15，而各格中的数字则由1到9不等。
它的解法是在空格中填入1到9的数字，使每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方的解法一般有两种：一种是推理法，即根据每行、每列和对角线上的数字和等于15，来推断哪些数字可以填入，从而找出解法；另一种是公式法，即利用三阶幻方的公式，来计算出空格中应填入的数字。
三阶幻方的公式为：a +b +c = 15d +e +f = 15g + h + i = 15a + d + g = 15b + e + h = 15c + f + i = 15a + e + i = 15g + e + c = 15其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表三阶幻方矩阵中的九个数字。
利用上述公式，可以找出三阶幻方的解法。
例如，假设已知a=3，b=2，c=1，d=9，e=7，f=8，g=4，则可以算出h=5，i=6。
这样就可以确定三阶幻方矩阵中的九个数字，而且每行、每列和对角线上的数字和都是15。
三阶幻方公式是由英国数学家哈里·韦恩斯所发明的，它可以用来解决三阶幻方的谜题，而且相比推理法，它更加方便快捷。
它的出现，不仅节省了解决三阶幻方的时间，而且也更有趣，让更多人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方不仅是一种普通的数学游戏，它还可以用来培养孩子的数学思维能力。
它的解法可以从几个方面来考虑，如数学逻辑、排列组合和推理等，这些都可以帮助孩子提高解题能力，同时也可以培养孩子的独立思考能力。
总之，三阶幻方公式是一种优秀的算法，它不仅可以解决三阶幻方的谜题，还可以培养孩子的数学思维能力。
它的简单易用，使更多的人喜欢上了这种数学游戏。
三阶幻方
Merzirac法生成奇阶幻方Merzirac法的口诀：1 居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。
用Merziral法生成的任何阶的奇幻方。
下面（如图）是用Merziral法生成1-9的3阶幻方（即九宫格）：8 1 63 5 74 9 23阶幻方不止这一种填法，只要间1放于四个变格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；若出边，将数字另一侧；若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字。
3阶幻方的填法如下8种：【其实就是上面的幻方转一圈的4个方向，加上翻一面以后转一圈的4个方向】第一种：8 1 63 5 74 9 2第二种：6 1 87 5 32 9 4第三种：4 9 23 5 78 1 6第四种：2 9 47 5 36 1 8第五种：6 7 21 5 98 3 4第六种：8 3 41 5 96 7 2第七种：2 7 69 5 14 3 8第八种：4 3 89 5 12 7 63阶幻方的性质：下面是用1-9构成的3阶幻方：8 1 63 5 74 9 2幻和值=15。
性质一：幻和值=3×5（3×中心格数）；性质二：2×8=9+7，2×4=1+7，2×6=3+9，2×2=1+3；即：2×角格的数=非相邻的2个边格数之和。
性质三：以中心对称的2个数相加的和相等，这2个数的和值=2×中心格数。
性质四：幻方的每个数乘以X，再加Y，幻方亦成立。
例如把1-9构成的3阶幻方的每个数乘以3，再加3：27 6 2112 18 2415 30 9幻和值=54性质五：3个一组的数，组与组等差，每组数与数等差，这样的数能构成3阶幻方。
例如以下3组9个数：【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】构成幻方，26 2 176 15 2413 28 4幻和值=45。
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式简易口诀
三阶幻方公式是指一个数字正方形，其中每一行、每一列和对角线上的数字总和都相等。
为了方便记忆，可以采用以下简易口诀：首先填中间，
顺时针依次，
上右下左坐标轴，
对角线交叉相应，
对称位置互补填。
具体而言，三阶幻方的填写步骤如下：
1、将数字1填入正方形的中间位置；
2、按照如下顺序，依次填写数字2~9：右上、右下、左下、左上、中上、右中、左中、中下；
3、根据中心数字1和每一行、每一列和对角线的总和相等的要求，可得出缺失的数字，并填写在相应的位置上；
4、根据对称性，补充剩下的数字。
通过这个口诀，我们可以更加方便快捷地解决三阶幻方题目。
06.幻方(一)——三阶幻方
幻方（一）——三阶幻方在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。
在4×4（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在4×4方格内填上十六个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。
一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n 个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。
一、例题例1. 用1～9这九个数编排一个三阶幻方。
分析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数(图2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数。
同时可以看到图2中，e是一个中间数，也是关键数。
因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。
如果e以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
（2）求幻和：幻和＝（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15（3）选择突破口，显然是e，看图2。
因为：a＋e＋i＝b＋e＋h＝c＋e＋g＝d＋e＋f＝15所以：（a＋e＋i）＋（b＋e＋h）＋（c＋e＋g）＋（d＋e＋f）＝15×4＝60也就是：（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋e×3＝60又因为：a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i＝45所以45＋e×3＝60e×3＝15e＝5也就是说，图1中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是1～9这九个数的中间数。
3阶幻方规律
3阶幻方规律
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，把1-9这九个数字填入九宫格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。
规律1 幻和=中间数⨯3
每行、每列、2条对角线的和加起来，其中中间数多计算了3次，得到 幻和⨯4=九数之和+中间数⨯3
九数之和=幻和⨯3
∴幻和⨯4=幻和⨯3+中间数⨯3
∴幻和=中间数⨯3
规律2 关于中心位置对称的两数，两数和是中心数的2倍。
即c a b +=2
幻和=中间数⨯3
∴b c b a 3=++
∴c a b +=2
规律3 2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。
即c b a +=2
过a 有3条线，计算它们的和，得到
幻和⨯3=九数之和c b a --+2
九数之和=幻和⨯3
∴02=--c b a
因此c b a +=2
优秀小达人
1、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
2、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
三阶幻方
1.将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k。
如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次。
所以有九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，注意：例4中对九个数及定数k都没有特殊要求。
这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用。
在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方。
2.把1～9这九个数字填写在右图正方形的九个方格中，使得每一横行、每一竖列和每条对角线上的三个数之和都相等。
分析与解：我们首先要弄清每行、每列以及每条对角线上三个数字之和是几。
我们可以这样去想：因为1～9这九个数字之和是45，正好是三个横行数字之和，所以每一横行的数字之和等于45÷3=15。
也就是说，每一横行、每一竖列以及每条对角线上三个数字之和都等于15。
在1～9这九个数字中，三个不同的数相加等于15的有：9＋5＋1，9＋4＋2，8＋6＋1，8＋5＋2，8＋4＋3，7＋6＋2，7＋5＋3，6＋5＋4。
因此每行、每列以及每条对角线上的三个数字可以是其中任一个算式中的三个数字。
因为中心方格中的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在两对角线上，所以它应同时出现在上述的四个算式中，只有5符合条件，因此应将5填在中心方格中。
同理，四个角上的数既在一个横行中，又在一个竖列中，还在一条对角线上，所以它应同时出现在上述的三个算式中，符合条件的有2，4，6，8，因此应将2，4，6，8填在四个角的方格中，同时应保证对角线两数的和相等。
3.用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方。
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下图是一个三阶幻方。求“？”是多少
1?7 19
13
•在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数， •使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21．
8 2 11 10 7 4 3 12 6
8 3 10
97 5
4 11 6
三阶质数幻方
下面介绍一个关于质数幻方的故事：有一次某 国的一个宫廷数学家领到了他一年的工资—— 1350 个银元后，一时来了灵感，竟然将这些银元 分成九堆，各堆银元的个数恰好组成一个很特别 的三阶幻方。他高兴地将得到的幻方给国王看了， 国王看后很是欣赏，但是他为其中没有一个数是 质数而深表遗憾（国王是一个对质数情有独钟的 人）。数学家胸有成竹地说：“如果您再给我九 个银元，我在每一堆中加一个，就能得到一个由 九个质数组成的三阶幻方。”
奇阶幻方的解法
我国数学家杨辉的《续古摘奇算经》对于3阶幻方
的构造方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四 维挺进。”，具体操作如下图：
其结果为：“戴九履一，左七右三，二四为肩，六 八为足。”
1 42 753 86
9
9 42 357 86
1
492 753 816
类似的原理可以构造5阶、 7阶、9阶等奇数阶幻方。 下图给出了5阶幻方的构
10 3 8 57 9 6 11 4
三阶幻方的性质
规律1： 幻和=中间数×3
三
492
阶
幻
35 7
方
816
规律2:与中间数对应的上下、左右、 对角两个数字的和=中间数×2
三
492
阶 幻
35 7
方
816
规律3：角上的数字=对角相邻 的两数字和的一半
三
492
阶
幻
3 57
方
8 16
练习1：
17 4 12 6 11 16 10 18 5
8阶幻方超过10亿种
分类
按照幻方阶数的奇偶性， 幻方可以分为奇数阶幻方 与偶数阶幻方
偶阶幻方
• 四阶幻方
16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1
• 六阶幻方
10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27
造过程。
1
6
2
11 7
3
16 12 8
4
21 17 13 9
5
22 18 14 10
23 19 15
24 20
25
25子斜排
25
24 20
11 7
3
4
12 8
16
5
17 13 9
21
10 18 14 22
23 19 15
6
2
1
上下对易，左右相更
25
24 20
11 24 7 20 3
4 4 12 25 8 16 16
练习2：
15 3 12
7 10 13
8 17 5
例题2：
补 15
全
பைடு நூலகம்
7
这
个8
幻
方
3 12 10 13 17 5
95 1 2 76
13 11 9 7 5 15
68 18
12 14 4
84 10
16 2 12
17 12 15
9 19 5
25 5 0 35 10 15
17 13 11 5 19 8
5
17 5 13 21 9
21
10 10 18 1 14 22 22
23 6 19 2 15
6
2
1
四维挺进
11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15
Merzirac法生成奇阶幻方(阶梯法）
在第一行居中的方格内放1，依次向右上 方填入2、3、4…，如果右上方已有数字， 则向下移一格继续填写。
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幻方
幻方
幻方：一般地， 把n2个不同数字 依次填入由n×n 个小方格构成的 正方形中。
这样的一个图叫 做一个（n阶）幻 方。
幻方的定义
使得横行、直 纵列以及两对 角线数字之和 都相等。
各直线上各 数字之和叫 幻和。
幻方的历史
相传在公元前23世纪大 禹治水的时候，在黄河支 流洛水中，浮现出一个大 乌龟， 人们将乌甲上背有 9种花点的图案图案中的花 点数了一下
1
1
3
4
2
16
35 7
4
2
1
2
1
35
4
2
816 357 42
1 3
2
16
35
4
2
816 357 492
1.用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数 作一个三阶幻方
24 3 18 9 15 21 12 27 6
1.请你将3~11这9个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。
25 11 21 23 2 17
•在图1所示的和方格表中填入合适的数,使得每行、 •每列以及每条对角线上的三个数的和相等。
•那么标有“☆”的方格内应填入的数是____8___.
3
☆6 4
7
在空格中填数，使每一行，每一列、每条对角线的和 都等于30.
13 5 12 9 10 11 8 15 7
用9个连续自然数组成三阶幻方， 使每一行、每一列、 每条对角线的和都是60
竟惊奇地发现9种花点数正巧 是1—9这9个数，各数位置的排 列也相当奇妙，后来人们就称 这个图案为洛书
我国汉朝的一本叫 《数术记遗》的书把 这样的图形叫“九宫 图”，宋朝数学家杨 辉把类似“九宫图” 的图形叫“纵横图”， 国外数学家把它叫做 “幻方”。
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幻方有多少
3阶幻方只有1种 4阶幻方方有880种 5 阶 幻 方 有 275305224 种 （ 约 两 亿七千五百万） 7阶幻方有363916800种（约三亿 六千四百万）
奇阶幻方
• 三阶幻方
• 特点：横的3行、纵的3列以及两对角线上各自的数 字之和都为15。
816
357 492
• 五阶幻方
特点：横的5行、 纵的5列以及两对 角线上各自的数 字之和都为65。
17 23 1 8 15 22 5 7 14 16 4 6 13 20 21 10 12 19 25 3 11 18 24 2 9