高二数学暑假学习材料06

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2020年新版新高二暑期衔接数学讲义(含答案)

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类(解析版)-新高二数学暑假自学课讲义

第06讲空间向量及其线性运算4种常见考法归类1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断.知识点1空间向量的有关概念1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表示法：（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB →|.3．几类特殊的空间向量(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．(3)向量不能比较大小．(4)共线向量不一定具备传递性，比如0．易错辨析：（1）空间向量就是空间中的一条有向线段？答：有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来．（2）单位向量都相等？答：单位向量长度相等，方向不确定（3）共线的单位向量都相等?答：共线的单位向量是相等向量或相反向量（4）若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆？答：将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球（5）任一向量与它的相反向量不相等？答：零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．（6）若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反？答：|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定（7）若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →？答：向量不能比较大小（8）空间中，a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ？答：平行向量不一定具有传递性，当b ＝0时，a 与c 不一定平行（9）若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ？答：向量的相等满足传递性（10）若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同？答：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但当两个向量相等时，不一定起点相同，终点也相同知识点2空间向量的线性运算（一）空间向量的加减运算共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和b ＝b ＋ac ＝a ＋(b ＋c )注意点：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：12233411n n nA A A A A A A A A A -++++= 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++= ；（二）空间向量的数乘运算的长度是a 的长度的b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度．(3)向量λa与向量a一定是共线向量．非零向量a与λa(λ≠0)的方向要么相同，要么相反．(4)由于向量a，b可平移到同一个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．(5)根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也成立．(6)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a无法运算．知识点3共线向量与共面向量1．共线向量与共面向量的区别如图O ∈l ，在直线l 上取非零向量a ，设P 为l 上的任意一点，则∃λ∈R 使得OP ―→＝λa.定义：把与a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．3.与空间向量的线性运算相关的结论(1)AB ―→＝OB ―→－OA ―→.(2)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有AC 1―→＝AB ―→＋AD ―→＋AA 1―→.(3)若O 为空间中任意一点，则①点P 是线段AB 中点的充要条件是OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)；②若G 为△ABC 的重心，则OG ―→＝13(OA ―→＋OB ―→＋OC ―→)．易错辨析：（1）若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量?答：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量总是共面，而三个向量可能共面也可能不共面（2）在平面内共线的向量在空间不一定共线？答：在平面内共线的向量在空间一定共线（3）在空间共线的向量在平面内不一定共线？答：在空间共线的向量，平移到同一平面内一定共线1、空间向量有关概念问题的解题策略(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．2、解决空间向量线性运算问题的方法进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．注：(1)向量减法是加法的逆运算，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(2)首尾相连的若干向量构成封闭图形时，它们的和向量为零向量．3、空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．4、利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．5、空间向量线性运算中的三个关键点6、判定空间图形中的两向量共线技巧要判定空间图形中的两向量共线，往往寻找图形中的三角形或平行四边形，并利用向量运算法则进行转化，从而使其中一个向量表示为另一个向量的倍数关系，即可证得这两向量共线．7、证明空间三点P ，A ，B 共线的方法(1)PA ―→＝λPB ―→(λ∈R)．(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OA ―→＋t AB ―→(t ∈R)．(3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ＋y ＝1)．8、解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP ―→＝x AB ―→＋y AC ―→或OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．9、证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的等价结论(1)MP ―→＝x MA ―→＋y MB ―→；(2)对空间任一点O ，OP ―→＝OM ―→＋x MA ―→＋y MB ―→；(3)对空间任一点O ，OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OM ―→(x ＋y ＋z ＝1)；(4)PM ―→∥AB ―→(或PA ―→∥MB ―→或PB ―→∥AM ―→)．10、证明三点共线和空间四点共面的方法比较考点一：空间向量的概念辨析例1．（2023春·高二课时练习）下列命题中，正确的是（）.A ．若a b ≠，则a b≠r r B ．若a b > ，则a b > C ．若a b =，则a b=r r D ．若a b =r r ，则a b=【答案】C【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.【详解】对于A;比如=(0,0,1),(1,0,0)a b = ,,a b不相等，但==1a b ，故A 错误；对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B 错误；对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C 正确；对于D ；若=(0,0,1),(1,0,0)a b = ，==1a b ，但,a b 不相等，故D 错误；故选：C变式1．【多选】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（）A ．空间向量AB与BA 的长度相等B ．平行于同一个平面的向量叫做共面向量C ．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆D ．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底【答案】AB【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断.【详解】对于A ，向量AB 与BA 是相反向量由相反向量的定义知，向量AB与BA 的长度相等，故A 正确；对于B ，平行于平面m 的向量，均可平移至一个平行于m 的平面，故它们为共面向量，故B 正确；对于C ，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C 错误；对于D ，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D 错误.故选：AB.变式2．（2023春·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（）A ．任意向量与它的相反向量不相等B ．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小C ．如果0a = ，则0a=D ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同【答案】A【分析】由零向量的定义可判断AC ，由向量的性质可判断BD.【详解】对于A ，零向量0的相反向量是它本身，A 错误；对于B ，空间向量是有向线段，不能比较大小，B 正确；对于C ，如果0a = ，则0a=，C 正确；对于D ，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D 正确.故选：A.变式3．（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（）A ．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若a b =r r ，则a ､b 的长度相等且方向相同C ．若向量AB ､CD 满足AB CD > ，且AB 与CD同向，则AB CD> D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则AB CD ∥ .【答案】D【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可.【详解】空间中任意两个向量必然共面，A 错误；若a b =r r ，则a ､b的长度相等但方向不确定，B 错误；向量不能比较大小，C 错误；由0AB CD +=可得向量AB 与CD 长度相等，方向相反，故AB CD ∥ ，D 正确.故选：D.变式4．（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量,a b 满足a b =r r ，则a b =；③在正方体1111ABCD A B C D -中，必有11AC AC = ；④若空间向量,,m n p 满足m n = ，n p =，则m p = ．其中正确的个数为（）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误；对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，②错误；对于③，根据正方体的性质，在正方体1111ABCD A B C D -中，向量AC与向量11AC 的方向相同，模也相等，则11AC AC =，③正确；对于④，由向量相等关系可知m n p ==，④正确．故选：C.例2．（2023春·高二课时练习）如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)试写出与AB相等的所有向量；(2)试写出1AA的相反向量；(3)若121AB AD AA ===，，求向量1AC uuu r的模．【答案】(1)1111,,A B DC D C；(2)1111,,,A A B B C C D D ；(3)3.【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答.（3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答.【详解】（1）在长方体1111ABCD A B C D -中，与AB相等的所有向量（除本身外）有1111,,A B DC D C，共3个.（2）1AA 的相反向量是1111,,,A A B B C D D .（3）在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1,AC AC ，如图，22222211,AC AB BC AC AC CC =+=+，所以向量1AC uuu r 的模1||3AC ===uuu r.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，已知1111ABCD A B C D -为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：（1）与1BB相等的向量；（2）与1BC 相反的向量；（3）与1BA平行的向量．【答案】（1）111,,AA CC DD；（2）11,C B D A；（3）111,,A B CD D C．【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；（2）连接1AD ，因为11//D C ，所以11ABC D 是平行四边形，所以11//BC ，这样就可以写出与1BC 相反的向量；（3）连接1CD ，用类似（2）的方法可写出与1BA 平行的向量．【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，∴与1BB 相等的向量为111,,AA CC DD；（2）连接1AD ，由平行六面体的性质可得11//D C ，∴11ABC D 是平行四边形，∴11//BC ，与1 BC 相反的向量为11,C B D A．（3）连接1CD ，由平行六面体的性质可得11//A D BC ，∴11BCD A 是平行四边形，∴11//BA CD ，与1BA 平行的向量为111,,A B CD D C ．变式2．（2023·江苏·高二专题练习）在平行六面体1111ABCD A B C D 中，下列四对向量：①AB 与11C D；②1AC uuu r 与1BD ；③AD 与1C B；④1A D 与1B C .其中互为相反向量的有n 对，则n 等于()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断.【详解】对于①AB 与11C D，长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②1AC uuu r 与1BD长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量；对于③1AD 与1C B，易知11ABC D 是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量；对于④1A D 与1B C ，易知11A DCB 是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同．故互为相反向量的是①③，共有2对，n ＝2．故选：B.变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则下列结论中①OA +OD 与OA 1+OD1是一对相反向量；②OB -OC 1与OC -OB1是一对相反向量；③OA 1+OB 1+OC 1+OD 1与OD +OC +OB+OA 是一对相反向量；④OC -OA与OC 1-OA 1是一对相反向量．正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.【详解】设E,F 分别为AD 和A 1D 1的中点，①OA +2OD OE = 与1OA +12OD OF =不是一对相反向量，错误；②OB -11OC C B =与OC -11OB B C = 不是一对相反向量，错误；③OA 1+OB 1+OC 1+()1OD OC OD OA OB OC OD OA OB =----=-+++ 是一对相反向量,正确；④OC -OA AC = 与OC 1-111OA AC =不是一对相反向量,是相等向量，错误．即正确结论的个数为1个故选：A考点二：空间向量的线性运算例3．（2023·全国·高三对口高考）()()123322a b c a b c +----=（）A ．542a c-- B ．5422a b c-+-C ．53722a b c -++D ．59522a b c---【答案】C【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】()()153********a b c a b c a b c +----=-++.故选：C变式1．（2023秋·高二课时练习）已知,,i j k 是三个不共面向量，已知向量1,522a i j kb i j k =-+=--则43a b -=_________.【答案】1327i j k-++【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】1,522a i j kb i j k =-+=--，143(435)(46)(43)13272a b i j k i j k ∴-=⨯-⨯+-+++=-++，故答案为：1327i j k-++例4．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD BB ++等于（）A ．АCB ．1АC C ．1BC D ．1BD【答案】B【分析】根据长方体1111ABCD A B C D -，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算.【详解】如图，可得AD BC = ，11BB CC =，所以111AB AD BB AB BC CC AC ++=++= .故选：B变式1．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算的结果为向量1BD的是（）.①()111A D A A AB -- ；②()111BC BB D C +- ；③()12AD AB DD --；④()1111B D A A DD ++ .A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算.【详解】对①：()11111A D A A AB AD AB BD --=-=uuuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r，①正确；对②：()1111111BC BB D C BC C D BD +-=+=uu u r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r ，②正确；对③：以{}1,,AB AD AA为基底向量，则()1122AD AB DD AB AD AA --=-+-uuu r uu u r uuur uu u r uuu r uuu r ，111BD BC CD DD AB AD AA =++=-++uuu r uu u r uu u r uuu u r uu u r uuu r uuu r，根据空间向量基本定理可知：()112AD AB DD B D --≠uuu r uu u r uuur uuu r，③错误；对④：()()()11111111111111B D A A DD B D D D DD B D D D DD B D ++=++=++=uuuu r uuu r uuur uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur u uuu r，④错误.故选：A.变式2．（2023秋·高二课时练习）根据如图的平行六面体ABCD A B C D -''''，化简下列各式：(1)AB BB D A D D BC ''+'-+-' ；(2)AC AC AD AA '-+'- .【答案】(1)AB；(2)AD .【分析】（1）由BB DD '=' ，A D BC =''，及相反向量的定义即可求解；（2）由向量减法法则及C A C A '='即可求解.【详解】（1）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，因为BB DD '=' ，A D BC =''，所以()()00AB BB D A D D BC AB BB D D BC D A AB AB ''''''''+-+-=++-++=-=；（2）在平行六面体ABCD A B C D -''''中，因为C A C A '=' ，所以()AC AC AD AA CC AA AD AD ''''-+-=-+= .变式3．（2023秋·高二课时练习）已知平行六面体ABCD A B C D -''''，则下列四式中：①AB CB AC -= ；②AC AB B C CC ''''=++ ；③AA CC ''= ；④AB BB BC CC AC '''+++= ．正确的是__________．【答案】①②③【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得.【详解】AB CB AB BC AC -=+=，①正确；AB B C CC AB BC CC AC ++=++='''''，②正确；由平行六面体ABCD A B C D -''''性质可知，③正确；记B C ''的中点为E ，则2AB BB BC CC AB BC AB AD AE AC ''''++'''+=+=+=≠ ，④错误.故答案为：①②③例5．（2023春·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱111 A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11111,,A B a AC b A A c === ，则1B M 可用,,a b c 表示为_______________．【答案】1122-++a b c 【分析】利用空间向量的线性运算可求1B M.【详解】()1111111111111222B B M B B A A A A BC C A C A B =+=+=+- ()111222b a a bc c =+-=-++ .故答案为：1122-++a b c .变式1．（2023秋·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c =．点M 在OA 上，且满足3OM MA =，N 为BC 的中点，则MN = （）A ．131242a b c-+ B ．211322a b c-++C ．121232a b c-+D ．311422a b c-++【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到．【详解】如图，连接ON ，N Q 是BC 的中点，∴1122ON OB OC =+，3OM MA =，∴34OM OA = ，∴113311224422MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：D ．变式2．（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O ABC -中，3=OP PA ，Q 是BC 的中点，M 是PQ 的中点，设OA a = ，OB b =，OC c =，则OM =（）A ．111466a b c++ B ．311444++a b cC ．311844++ a b cD ．111344a b c++ 【答案】C【分析】利用空间向量的基底表示,OP OQ，再利用向量线性运算求解即可.【详解】因为3=OP PA ，所以34OP OA = ，因为Q 是BC 的中点，所以1()2OQ OB OC =+ ，因为M 为PQ 的中点，所以1()2OM OP OQ =+ 1122OP OQ =+ 31()84OA OB OC =++ 431184a b c =++，故选：C.变式3．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，P 是1CA 的中点，点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，设AB a=，AD b = ，1AA c = ．则（）A ．333101010QP a b c=++ B ．777101010QP a b c=+-C ．333101010QP a b c=+- D ．111101010QP a b c=++ 【答案】C【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为P 是1CA 的中点，所以11111()()()222AP AA AC AA AB AD a b c =+=++=++，又因为点Q 在1CA 上，且1:4:1CQ OA =，所以11111111114()5555AQ AA A Q AA A C AA AC AA AC AA =+=+=+-=+114114()55555AB AD AA a b c =++=++，所以1114333()2555101010QP AP AQ a b c b c a b c =-=++---=+- ，故选：C.例6．（2023秋·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体ABCD 中，E 是棱CD 的中点，且BE xAB y AC z AD =++，则x y z ++的值为__________.【答案】0【分析】利用空间向量加减法法则，把BE用AB AC AD 、、表示出来，即可求出结果.【详解】如图所示，因为E 是棱CD 的中点，所以()()111111222222BE BD BC AD AB AC AB AB AC AD =+=-+-=-++，则111,,22x y z =-==，所以0x y z ++=，故答案为：0.变式1．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若AE x AB y AD z AP =++，则x y z ++等于（）A ．32B ．1C ．52D ．2【答案】A【分析】运用向量的线性运用表示向量111222AE AB AD AP =++，对照系数，求得,,x y z ，代入可得选项.【详解】因为()AE AB BC CE AD EP AB AD AP AE =++=++=++- ，所以2AE AB AD AP =++ ，所以111222AE AB AD AP =++ ，所以111,,222x y z ===，所以1113++2222x y z ++==，故选：A.变式2．（2023春·高二课时练习）如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，点E 是上底面1111D C B A 的中心，若1AB n AE m AD AA =++，求,m n 的值．【答案】12m n ==【分析】根据向量的线性运算即可求解.【详解】因为点E 是上底面1111D C B A 的中心，所以()()1111111112222A E A B A D AB AD AB AD +=+=+ =,又因为11AA A E AE +=,所以11122AE AB AD AA =++ ，所以12m n ==，考点三：空间向量共线问题（一）空间向量共线的判断例7．（2023·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号）①若A 、B 、C 、D 在一条直线上，则AB与CD 是共线向量；②若A 、B 、C 、D 不在一条直线上，则AB与CD 不是共线向量；③向量AB与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；④向量AB与CD 是共线向量，则A 、B 、C 三点必在一条直线上．【答案】①【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可.【详解】对于①，若A 、B 、C 、D 在一条直线上，则AB与CD 是共线向量，故①正确；对于②，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 、D 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故②不正确；对于③，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 、D 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故③不正确；对于④，若A 、B 、C 、D 构成平行四边形时，A 、B 、C 不在一条直线上，但是AB与CD 是共线向量，故④不正确；故答案为：①变式1．（2023春·高二课时练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，O 为1AC 上一点，且1123A O A C =，BD 与AC 交于点M .求证：1,,C O M 三点共线．【答案】证明见解析.【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求1,MC MO的关系，即可推理作答.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1,,AB a AD b AA c ===，1123A O A C =，BD 与AC 交于点M ，即点M 是AC 的中点，于是111111111()232363MO MC CO AC CA AC AA AC AC AA =+=+=+-=+ 111111()63663AB AD AA a b c =++=++，11111111()2222MC MC CC AC AA AB AD AA a b c =+=+=++=++ ，因此13MC MO = ，即1//MC MO，而直线1MC 与直线MO 有公共点M ，所以1,,C O M 三点共线.变式2．（2023·江苏·O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD = ，AC AD m AB =+，EG EH mEF =+ ．求证：//AC EG ．【答案】证明见解析．【分析】根据题意，由向量的线性运算可得EG k AC =，即可得到证明.【详解】OE kOA = ，OF kOB = ，OH kOD =，()EG EH mEF OH OE m OF OE=+=-+- ()()()k OD OA km OB OA k AD km AB k AD m AB k AC =-+-=+=+= ，//AC EG ∴ ，因为AC 、EG 无公共点，故//AC EG.例8．（2023春·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量1e ，2e ，3e ，1232OP e e e =-+，123564PQ e e e =--+ ，123722QR e e e =+-，则一定共线的三个点是（）A ．,,O P QB ．,,P Q RC ．,,O Q RD ．,,O P R【答案】D【分析】根据平面向量共线定理分别判断,OP PQ ，,QR PQ ，,OQ QR ，,OP PQ四组向量是否共线，即可得解.【详解】若//OP PQ ，则存在唯一实数λ使得OP PQ λ=，即()1231232564e e e e e e λ-+=--+ ，所以152614λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，无解，所以,OP PQ不共线，则,,O P Q 三点不共线，若//QR PQ ，则存在唯一实数λ使得QR PQ λ=，即()123123722564e e e e e e λ+-=--+，所以752624λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，无解，所以,QR PQ不共线，则,,P Q R 三点不共线，123485OQ OP PQ e e e =+=--+ ，若//OQ QR ，则存在唯一实数λ使得OQ QR λ= ，即()123123485722e e e e e e λ--+=+- ，所以478252λλλ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，无解，所以,OQ QR不共线，则,,O Q R 三点不共线，1232422PR PQ QR e e e OP =+=-+= ，所以//OP PR ，又点P 为两向量的公共端点，所以,,O P R 三点共线.故选：D.变式1．（2023春·高二课时练习）如图，已知M ，N 分别为四面体A -BCD 的面BCD 与面ACD 的重心，G 为AM 上一点，且:1:3GM GA =.求证：B ，G ，N 三点共线.【答案】证明见解析.【分析】由空间向量的共线定理证明，【详解】证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，因为M ，N 分别为四面体A -BCD 的面DCD 与面ACD 的重心，所以M 在BE 上，N 在AE 上，设AB a=，AC b = ，AD c = ，因为M 为 BCD 的重心，所以()2132AM AB BM AB BC BD=+=+⨯+ ()13AB BC BD=++ ()13AB AC AB AD AB=+-+- ()()1133AB AC AD a b c =++=++因为1:3GM GA ==，所以34AG AM =，所以()3131144444BG BA AG BA AM a a b c a b c =+=+=-+++=-++ ，同理得()11143333BN BA AN BA AC AD a b c BG =+=++=-++= ，∴BN BG ∥ .又BN BG B ⋂=，∴B ，G ，N 三点共线（二）由空间向量共线求参数值例9．（2023春·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量a ，b，“a b ∥”是“,0a b = ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解．【详解】显然,0a b = 能推出a b ∥，但a b ∥包括向量a ，b同向共线和反向共线两种情况，即当a b∥时，得,0a b = 或π，因此a b∥推不出,0a b = ，故“a b∥”是“,0a b = ”的必要不充分条件．故选：B ．变式1．（2023春·高二课时练习）若空间非零向量21,e e不共线，则使122ke e - 与()1221e k e ++ 共线的k的值为________．【答案】12-/0.5-【分析】由题存在实数λ使得122ke e -()1221λe k e ⎡⎤=++⎣⎦，解相应方程可得答案.【详解】由题意知，存在实数λ使得122ke e -()1221λe k e ⎡⎤=++⎣⎦，即()224410211k k k k λλ=⎧⇒++=⎨+=-⎩,解得12k =-.故答案为：12-变式2．（2023春·高二课时练习）设21,e e 是空间两个不共线的非零向量，已知122AB e ke =+ ，123B e e C +=，122D e C e -=，且A ，B ，D 三点共线，求实数k 的值．【答案】8-.【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答.【详解】因为123B e e C += ，122D e C e -= ，则有121212324()()BD BC C e D e e e e e +--==-++=，又A ，B ，D 三点共线，于是AB BD λ=，即1212(4)2e ke e e λ+=-+ ，而21,e e 不共线，因此24k λλ=-⎧⎨=⎩，解得8k =-，所以实数k 的值是8-.变式3．（2023春·高二课时练习）设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122A e e B -= ，1233BC e e =+，12CD e ke =+uu u r u r u r，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为______.【答案】25/0.4【分析】由向量加法得1252AC e e =+，由A ，C ，D 三点共线得250k -=，即可求【详解】∵122A e e B -= ，1233BC e e =+ ，12CD e ke =+uu u r u r u r，∴1252AC AB BC e e =+=+ ，又∵A ，C ，D 三点共线，∴//AC CD，∴250k -=，∴25k =.故答案为：25.（三）空间共线向量定理的推论及其应用例10．（2023春·高二课时练习）已知A 、B 、P 共线，O 为空间任意一点（O 、A 、B 不共线），且存在实数α、β，使OP OA OB αβ=+，求αβ+的值．【答案】1αβ+=【分析】分析可知存在m R ∈使得PA mAB =，利用空间向量共线的基本定理可求得αβ+的值.【详解】因为A 、B 、P 共线，则存在m R ∈使得PA mAB =，即()OA OP m OB OA -=- ，所以，()1OP m OA mOB =+-，又因为OP OA OB αβ=+，则()11m m αβ+=+-=.变式1．（2023·江苏·高二专题练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在对角线1D B 上，且113D E EB =，点F 在棱11D C 上，若A 、E 、F 三点共线，则1D F =________1FC ．【答案】12/0.5【分析】设11D F FC λ=，可得1111144D E D A F λλ+=+，根据A 、E 、F 三点共线即可求得.【详解】因为正方体中，11111D B D A AB D A D C =+=+，设11D F FC λ=，又113D E EB =，所以11114D E D A F λλ+=+ ，即1111144D E D A F λλ+=+，因为A 、E 、F 三点共线，所以11144λλ++=，解得12λ=，即1112D F FC =.故答案为：12.变式2．【多选】（2023春·高二课时练习）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，P 为空间一点，且满足1BP BC BB λμ=+，[],0,1λμ∈，则（）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1μ=时，点P 在棱11BC 上C ．当1λμ+=时，点P 在线段1B C 上D ．当λμ=时，点P 在线段1BC 上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以1CP BB μ=，则1//CP BB，即P 在棱1CC 上，故A 错误；同理当1μ=时，则1//B P BC，故P 在棱11B C 上，故B 正确；当1λμ+=时，1μλ=-，所以()11BP BC BB λλ=+- ，即11B P B C λ=，故点P 在线段1B C 上，故C 正确；当λμ=时，()11BP BC BB BC λλ=+= ，故点P 在线段1BC 上，故D 正确．故选：BCD ．考点四：空间向量共面问题（一）空间向量共面的判断例11．【多选】（2023春·高二课时练习）下列说法错误的是（）A ．空间的任意三个向量都不共面B ．空间的任意两个向量都共面C ．三个向量共面，即它们所在的直线共面D ．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断；【详解】A.如图所示：，,,a b c三个向量共面，故错误；B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确；C.如图所示：，在正方体中,,a b c三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误；D.如图所示：，在正方体中,,a b c三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误；故选：ACD变式1．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面【答案】BD【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B 、D 项正确；若,a b共线，则A 结论不恒成立；若,,M A B 三点共线，则C 项结论不恒成立.【详解】对于A 项，如果,a b 共线，则xa yb + 只能表示与a共线的向量.若p 与,a b不共线，则不能表示，故A 项错误；对于B 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b共面，故B 项正确；对于C 项，如果,,M A B 三点共线，则不论,x y 取何值，xMA yMB + 只能表示与MA共线的向量.若点P 不在,,M A B 所在的直线上，则无法表示，故C 项错误；。

高一升高二数学暑假衔接班讲义第六讲(学)

第六讲圆的方程（一）热点透析考查目标 1.考查圆的方程的形式及应用；2.利用待定系数法求圆的方程．达成目标 1.熟练掌握圆的方程的两种形式及其特点；2.会利用代数法、几何法求圆的方程，注意圆的方程形式的选择．（二）知识回顾1．圆的定义在平面内，到的距离等于的点的集合叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是和 3．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中( )为圆心，为半径． 4．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：； (2)点在圆外：； (3)点在圆内： . [难点正本疑点清源]1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且垂直切线的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 2．圆的一般方程的特征圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为⎝⎛⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.由于r 2相当于D 2＋E 2－4F4. 所以①当D 2＋E 2－4F >0时，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ③当D 2＋E 2－4F <0时，这样的圆不存在．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是______________．2． (2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 3． (2011·四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)4． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝05． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0二、高频考点专题链接题型一求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．探究提高求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．(1)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为 ____________________．题型二与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值．探究提高与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．题型三与圆有关的轨迹问题例3设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．探究提高求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程．③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)＋(y－1)＝1反思总结利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．温馨提醒(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m值，即三种解法围绕“列出m的方程”求m值．(3)本题的易错点：不能正确构建关于m的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±13．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为() A．－1 B．1 C．3 D．－34．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为() A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1二、填空题(每小题5分，共15分)5．若圆x2＋y2－4x＋2my＋m＋6＝0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是______________．6．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________________．7．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是__________．三、解答题(共22分)8．(10分)根据下列条件求圆的方程：(1)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．9．(12分)一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为() A．8 B．－4 C．6 D．无法确定3．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是()A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．5．若PQ是圆O：x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是____________．6．已知AC、BD为圆O：x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，则四边形ABCD的面积的最大值为________．三、解答题7．(13分)圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，试求圆C的方程．。

高中数学暑假第六讲教案

高中数学暑假第六讲教案主题：概率统计一、教学目标：1.掌握基本概率概念，能够计算事件的概率。

2.了解随机变量的概念、性质和分布规律。

3.掌握常见离散型和连续型随机变量的分布以及其相关计算方法。

二、教学内容：1.概率基本概念2.事件及其概率计算3.随机变量的概念和性质4.离散型随机变量及其分布（二项分布、泊松分布）5.连续型随机变量及其分布（正态分布）三、教学重点和难点：重点：概率的基本概念、事件及其概率计算、离散型和连续型随机变量的分布规律。

难点：连续型随机变量的分布及其计算方法。

四、教学方法：1.讲授教学法：通过讲解基本概率概念、事件概率计算方法，引导学生理解概率的意义和应用。

2.示例分析法：通过实例分析，帮助学生加深理解概率统计知识点。

3.练习训练法：通过练习题训练，巩固学生知识点，提高解决问题的能力。

五、教学步骤：1.引言（5分钟）介绍概率统计在实际生活中的应用，并引出本节课的学习内容。

2.概率基本概念（15分钟）讲解概率的基本概念，包括样本空间、事件、概率等，并通过例题进行说明。

3.事件及其概率计算（20分钟）介绍事件的概念及其性质，讲解事件的概率计算方法，并通过练习题训练学生的计算能力。

4.随机变量（15分钟）讲解随机变量的概念和性质，并介绍离散型和连续型随机变量。

5.离散型和连续型随机变量的分布（25分钟）介绍二项分布、泊松分布和正态分布等常见分布规律，并讲解其计算方法。

6.练习训练（10分钟）布置练习题，让学生通过练习巩固所学知识。

六、教学反思：本节课主要围绕概率统计的基本概念和常见分布进行讲解，通过实例分析和练习训练提高学生的解决问题能力。

教学过程中要注重引导学生理解概率的意义和应用，帮助学生掌握概率统计知识。

在布置练习题时，要注意题目的难易程度，让学生根据自身情况选择适当的练习题进行训练。

新教材2021_2022学年高二数学下学期暑假巩固练习6随机变量及其分布一

12021-2022学年高二数学下学期暑假巩固练习6 随机变量及其分布（一）一、单选题．1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则表中值等于（）012A ．B ．C ．D ．2．设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则（）A ．B ．C ．D ．3．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（）A ．至少取到1个白球B ．至多取到1个白球C ．取到白球的个数D ．取到球的个数4．济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名．现有甲、乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准备从大明湖、千佛山、趵突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至少一人选择千佛山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（）A ．B ．C ．D ．5．某区有A ､B 两所学校，其中A 校有男教师10人，女教师5人，B 校有男教师3人，女教师6人．为了响应国家号召，实现教育资源的优化和均衡，决定从A 校随机抽一名教师调到B 校，然后在B 校的10名教师中随机抽一名教师去培训学习，在从B 校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下，从A 校调到B 校的教师为女教师的概率是（）ξp ξP 04．p03．05．03．02．01．ξ()()1CP k k k ξ==+1k =23C 1522P ξ⎛⎫<<=⎪⎝⎭29233489A B ()P B A =7167837672A ．B ．C ．D ．6．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2％，2％，4％，则市场上该商品的次品率为（）A ．B ．C ．D ．7．已知随机变量的分布列如下表，若，，则（）2A ．B ．C ．D ．8．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，，．．．，的均值为5，则方差为（）A ．5B ．8C ．11D ．16二、多选题．9．下列说法正确的是（）A ．，，则B ．，，互斥且，，，则C ．若，且，，，则D ．设，，是一组两两互斥的事件，，且，，2，3，则3111325120035．005．0025．0075．X ()1E X =()212D X +=p =X aP12p -12p131415161210,,...,x x x 3i i y mx =+1,2i =1y 2y 10y ()0P A >()0P A >()()()()()P B P A P B A P A P B A=⋅+1A 2A 3A ()10P A >()20P A >()30P A >()()()13i i i P B P A P B A ==∑123A A A =ΩU U ()10P A >()20P A >()30P A >()()()13i i i P B P A P B A ==∑1A 2A 3A 123A A A =ΩU U ()0i P A >1i =310．在2021年的高考中，数学出现了多项选择题．假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的是（）A ．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于B ．1选项是正确选项的概率高于C ．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为D ．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为11．已知随机变量的分布列如下表：01记“函数是偶函数”为事件，则（）A ．B ．C ．D ．三、填空题．12．若，，其中，则______．()()()13i i i P B P A P B A ==∑13110121312X X 1-Pa13b()()3sin2x Xf x x π+=∈R A ()23P A =()23E X =()223E X a =-()223E X =()21P x ξβ≤=-()11P x ξα≥=-12x x <()12P x x ξ≤≤=413．有朋自远方来，选乘火车、汽车、飞机来的概率分别为，，，对应迟到的概率分别为，，，则他会迟到的概率为______．14．随机变量X 的分布列为XP若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．15．对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，若该仪器一次检测出现问题的概率为，设检测次数为，则的数学期望为______．四、解答题．16．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成一排照相留念．(结果用数值表示)（1）若老师站在正中间，同学甲要与老师相邻，则不同的排法共有多少种；（2）同学甲、同学乙、老师三人互不相邻的排法有多少种？（3）在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是多少？06．03．01．03．04．01．1x 2x 3x 1p 2p 3p 1p 2p 3p d 02．X X517．某单位有A ，B 两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）甲员工30天20天40天10天乙员工20天25天15天40天假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；（2）记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B 餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A 餐厅就餐，并说明理由．18．甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用了“3局2胜制”（这里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束）．若仅比赛2局就结束的概率为．（1）求的值；（2）若采用“5局3胜制”（这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束），求比赛局数的分布列和数学期望．(),A A (),A B (),B A (),B B ()E X p 1p -1325p X6参考答案一、单选题．1．【答案】B【解析】由离散型随机变量的分布列得，解得，故选B ．2．【答案】D【解析】由已知可得，则，因此，，故选D ．3．【答案】C【解析】选项A ，B 是随机事件；选项D 是定值2；选项C 可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示，故选C ．4．【答案】D【解析】根据题意，甲和乙至少一人选择千佛山的情况有种，甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择千佛山的情况有种，所以，故选D ．5．【答案】A【解析】记“从A 校调到B 校的教师为女教师”为事件M ，记“从B 校抽出来的参与培训学习的为男教师”为事件N ，则，又“从B 校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况：ξ0.40.31p ++=0.3p =()()()111312*********P P P C C ξξξ⎛⎫=+=+==++== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭43C =()()4118191523123222P P P ξξξ⎛⎫=+==+⎫=⎪⨯⎝⎛<<= ⎭⎪⎝⎭⨯44337⨯-⨯=1123C C 6⨯=()67P B A =131()31010P MN =⨯=7从A 校抽取到B 校的教师为男教师；从A 校抽取到B 校的教师为女教师，，，故选A ．6．【答案】C 【解析】设，，分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品，B 表示取到次品，由题意得，，，，，由全概率公式得，故选C ．7．【答案】B【解析】由题意得，，∴，①由方差的性质知，，又，∴，∴，即，所以，将代入①式，得．故选B ．241311()31031030P N ∴=⨯+⨯=()3()=()11P MN P M N P N ∴=1A 2A 3A ()10.5P A =()()230.25P A P A ==()10.02P B A =()20.02P B A =()30.04P B A =()()()()()()()112233P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.50.020.250.020.250.040.025=⨯+⨯+⨯=()1102122E X p a p ⎛⎫=⨯-+⨯+⨯= ⎪⎝⎭212a p +=()()214D X D X +=()212D X +=()12D X =()()()()22211101121222D X p a p ⎛⎫=-⨯-+-⨯+-⨯=⎪⎝⎭2210a a -+=1a =1a =14p =88．【答案】D 【解析】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，所以的均值为，即，所以方差为，故选D ．二、多选题．9．【答案】AD【解析】应用全概率公式要求满足3个条件：①，，…，是一组两两互斥的事件；②；③．只有选项AD 满足，故选AD ．10．【答案】BC【解析】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，1210,,x x x ⋅⋅⋅143i i y mx =+1210,,y y y ⋅⋅⋅135m ⨯+=2m =22416⨯=()()()1ni i i P B P A P B A ==⋅∑1A 2A nA 12n A A A =ΩU UL U B ⊆Ω(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)1113618⨯=(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)1113412⨯=(1,2,3,4)139对于A ，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B ，1选项是正确选项的概率为，正确；对于C ，1选项为正确选项为事件A ，由B 选项知，，正确选项有3个为事件B ，则，正确；对于D ，1选项为错误选项为事件C ，，正确选项有2个为事件D ，则，错误，故选BC ．11．【答案】ACD【解析】因为函数是偶函数，所以，，所以，，又因为，所以事件表示，所以，，111210<11131331812342⨯+⨯+=>3()4P A =13()112()3()34P AB P B A P A ⨯===1()4P C =13()218()1()34P CD P D C P C ⨯===()()3sin2x Xf x x π+=∈R 22X k πππ=+k ∈Z 21X k =+k ∈Z 1,0,1X =-A 1X =±()12133P A a b =+=-=()()12101233E X a b b a a=-⨯+⨯+⨯=-=-10随机变量的可能取值为0，1，，，所以，故选ACD ．三、填空题．12．【答案】（或）【解析】由概率的基本性质得：，故答案为．13．【答案】【解析】根据题意，他会迟到的概率为，故答案为．14．【答案】【解析】由题意知，，∴，∴．又，∴，∴．2X ()2103P X ==()2213P X a b ==+=()212201333E X =⨯+⨯=1αβ--()1αβ-+()()()12211P x x P x P x ξξξ≤≤=≤+≥-()()1111βααβ=-+--=--1αβ--031．060303040101031⨯+⨯+⨯=．．．．．．．031．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21p p d=+312p p d=+1231331p p p p d ++=+=113p d =-101p ≤≤1013d ≤-≤2133d -≤≤11同理，由，，∴，∴，即公差的取值范围是，故答案为．15．【答案】【解析】由题意，检测次数可取，则，，，所以，故答案为．四、解答题．16．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）如图：，有7个位置，老师只能排在4号位置，同学甲可排在3或5号位置，其余5位同学可排剩下的5个位置，故共有种排法．（2）可以采用插空法，现将除同学甲、同学乙、老师3人的其余4人进行排列，再将同学甲、同学乙、老师三人插空到5个空隙即可，故共有中排法﹒（3）同学甲与老师相邻时有＝1440种排法，301p ≤≤313p d =+1233d -≤≤1133d -≤≤d 11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.44X 1,2,3()10.2P X ==()20.80.20.16P X ==⨯=()30.80.80.80.80.80.20.64P X ==⨯⨯+⨯⨯=()10.220.1630.64 2.44E X =⨯+⨯+⨯=2.44240144016123456755A 24012⨯=⨯4345A A 1440=6262A A12若同学乙也与老师相邻，则有种排法，故在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是．17．【答案】（1），；（2）分布列见解析，；（3）在已知晚餐选择B 餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A 餐厅就餐，理由见解析．【解析】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”，事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”．由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以，．（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为；乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，依题意的所有可能取值为1，2，所以，．所以的分布列为12所以．（3）解：设“甲员工晚餐选择B 餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B 餐厅就餐”，“甲员工在午5252A A 240=240114406=0.30.419．C =D =()300.3100P C ==()400.4100P D ==A 0.3B 0.1A 0.2B 0.4X ()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=()()2110.9P X P X ==-==X XP01．09．()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=1N =2N =1M =13餐时选择A 餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A 餐厅就餐”，则，．因为，所以在已知晚餐选择B 餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A 餐厅就餐．18．【答案】（1）或；（2）分布列见解析，．【解析】（1）由题意知，若仅“比赛2局就结束”记事件A ，则，解得或．（2）随机变量的取值为3，4，5，则，，，所以随机变量的分布列为345所以．2M =()11202303P M N ==()222556513P M N ==()()1122P M N P M N >3525()2541625E X =22(1)2513()P A p p =+-=35p =25p =X ()33337315525P X ⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222233333333162722344111555555625625625P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+-⨯⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2224332165155625P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X XP 725234625216625()7234216256256252541345625E X =⨯+⨯+⨯=14。

高一升高二数学暑假辅助学习材料

辅助学习材料 1．已知正整数b a ,满足304=+b a ，使得b a 11+取最小值时，实数对),(b a 是（） A ．)5,10( B ． )6,6( C ． )10,5( D ．)2,7(2．已知不等式9)1)((≥++y a x y x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数a 的最小值为（） A ． 2 B ． 4 C ． 6D ． 8 3．若直线100ax by (a,b (,))+-=∈+∞平分圆222220x y x y +---=，则12a b +的最小值是( ) A ．42 B ．322+ C ．2 D ．54．在ABC ∆中，4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则=∠ABC cos （）A 、169B 、1611 C 、95 D 、94 5．下列命题中错误的是（）A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形6．左下图是由右下图中的哪个平面图旋转得到的（）7．把函数x y cos =上的所有点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标扩大到原来的2倍，再把图象向左平移4π个单位，所得函数图象对应的函数解析式为( ) A ．x y 2sin 2= B ．x y 2sin 2-= C ．)42cos(2π+=x y D ．)42cos(2π+=x y 8．已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r ，R ，求球的半径等于9．数列{}n a 中11=a ，对于)(1*∈>N n n 有231+=-n n a a ，则n a =11．设变量y x ,满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数y z x =的最小值为 . 12. 给出下列命题：①存在实数x ，使23cos sin =+x x ； ②若βα,是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <；③函数)22sin(π+=x y 是偶函数；④函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2cos =的图象．其中正确命题的序号是__ ____．(把你认为正确命题的序号都填上) 13.已知数列{}n a 中，12251-+==-n n n n a a a 且(n ≥2且n ∈N *).(Ⅰ)证明：数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； (Ⅱ)求数列{}1-n a 的前n 项和n S。

暑假数学培训资料(函数)(高二升高三学生)

例 6、当 x (0,2] 时,函数 f (x) ax 2 4(a 1)x 3 在 x 2 时取得最大值，则 a 的取值范围是______．
1
重大精英暑假数学培训资料
高二升高三
2．换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
2．特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如例 27、若函数 f (x) loga (x2 ax 3) 在区间 (, a2] 上为减函数，求 a 的取值范围（答： (1, 2 3) ）；
（2）已知 f (x) 是奇函数， g(x) 是偶函数，且 f (x) + g(x) =
x
1 1
,则
f
(x)
=
．
九．函数的奇偶性。 1．具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判
定函数定义域是否关于原点对称。如例 18、若函数 f (x) 2sin(3x ) ， x [2 5 ,3 ] 为奇函数，其中 (0, 2 ) ，则的值是．
提醒：（1）求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？六．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函
数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 f (x0 ) 时，一定首先要判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如
例
12、设 x, a1, a2 , y

2019高二数学暑假功课06

2019高二数学暑假功课06③2n m m n ∀∈∃∈<R R ，，；④n m m n m ∃∈∀∈⋅=R R ，，、其中真命题的序号是、2、写出命题“02,2>+-∈∃x x R x ”的否定：、3、椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程是、4、在空间，以下命题正确的选项是____________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上) ①如果两条直线a 、b 分别与直线l 平行，那么a ∥b②如果一条直线a 与平面β内的一条直线b 平行，那么a ∥β③如果直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都有垂直，那么a ⊥β④如果平面β内的一条直线a 垂直平面γ，那么β⊥γ5、方程22121x y m m-=++表示椭圆，那么m 的取值范围是_________________. 6、假设正方体的棱长为2，那么以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为7、椭圆7x 2+16y 2=112的左右焦点分别为F 1,F 2，一直线过F 1交椭圆于A ，B 两点，那么 △ABF 2的周长为.8、对任意实数a ，b ，c ，给出以下命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件.其中假命题的个数是 .9、〔理〕焦距是10，虚轴长是8，过点(,4)的双曲线的标准方程是.〔文〕椭圆短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，那么椭圆中心到其准线距离是.10、椭圆2219x y b +=的一条准线方程是x=92，那么b=. 参考答案1、④2、02,2≤+-∈∀x x R x3、1422=+y x 4、答案：①④5、3{|2}2m m m -<<-1≠-且627、168、29、116922=-y x 理〕〔文〕410、533。

安徽省六安市舒城中学高二数学暑假作业第六天理

第六天导数与定积分【课标导航】1.了解导数的背景与意义，会计算一些简单函数的导数；2.了解定积分的概念及几何意义，理解微积分基本定理及其应用；3.会计算简单的定积分. 一、选择题1. 设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为（）A.k 1>k 2B.k 1<k 2C.k 1＝k 2D.不确定 2.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）A.1,1a b ==B.1,1a b =-=C.1,1a b ==-D.1,1a b =-=-3.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是（）4. 22(1cos )x dx ππ-+⎰等于（）A ．π B. 2 C. π-2 D. π+2 5.1204x dx -=⎰（） A. 321 B. 322 C. 323 D.325 6. 曲线3cos ,0,2y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦与坐标所围成的面积（）A. 4B. 2C. 52D. 3 7. 设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰,则下列关系式成立的是（）A ．235a b c <<B ．325b a c <<C ．523c a b<<D ．253a c b<< 8.如图所示，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），则该叶形图的面积是（） A.21B.41 C. 61 D. 31 二、填空题9.设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为 .10. 如果1N 力能拉长弹簧cm 1，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 .11．直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ 12. 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积为三、解答题13. 设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =。

高二数学暑假作业(六)

2015-2016下学期高二数学暑假作业六本套试卷的知识点：集合与简易逻辑基本初等函数数列三角函数平面向量不等式空间几何体圆锥曲线与方程导数及其应用概率统计第I 卷（选择题）1.命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1”的否定是（） A ．∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0﹣1 B ．∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0﹣1 C ．∀x ∈（0，+∞），lnx≠x﹣1D ．∀x ∉（0，+∞），lnx=x ﹣12.已知向量)1,2(x a =，向量)2,4(-=b ，若b a //，则b a +为（） A ．（-2，2）B ．（-6，3）C ．（2，-1）D ．（6，-3）3.在三角形ABC 中，如果（a+b+c ）（b+c ﹣a ）=3bc ，那么A 等于（） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°4.如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠BAC=90°，且BC 1⊥AC，过C 1作C 1H⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在（）A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．76.已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-<≤= A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.9777.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.58.在272(1)x x-+的展开式中的3x 的系数为（） A ．210 B ．－210 C ．－960D ． 2809.已知点A （﹣1，0）、B （1，0），P （x 0，y 0）是直线y=x+2上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P ．记椭圆离心率e 关于x 0的函数为e （x 0），那么下列结论正确的是( ) A ．e 与x 0一一对应B ．函数e （x 0）无最小值，有最大值C ．函数e （x 0）是增函数D ．函数e （x 0）有最小值，无最大值 10.方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k =（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5第II 卷（非选择题）11.已知a ＞b ，且ab=1，则的最小值是．12.等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若=，则= ．13. （2016新课标高考题）设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .14.下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x ∈R ，使得x 3+1＜0”的否定是““∀x ∈R ，都有x 3+1＞0”． ②双曲线﹣=1（a ＞0，a ＞0）中，F 为右焦点，A 为左顶点，点B （0，b ）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC 中，若角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，若cos2B+cosB+cos （A ﹣C ）=1，则a 、c 、b 成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个15.设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．16.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．17.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【KS5U】2015-2016下学期高二数学暑假作业六试卷答案1.C【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.B3.B【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4.B【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．5.A【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K循环前/0 0第一圈是 1 1第二圈是 3 2第三圈是 11 3第四圈是 2059 4第五圈否∴最终输出结果k=4故答案为A【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6.C7.B【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先做出可行域，将目标函数转化为，求z的最大值，只需求直线l：在y轴上截距最大即可．【解答】解：做出可行域如图所示：将目标函数转化为，欲求z的最大值，只需求直线l：在y轴上的截距的最大值即可．作出直线l0：，将直线l0平行移动，得到一系列的平行直线当直线经过点A时在y轴上的截距最大，此时z最大．由可求得A（3，1），将A点坐标代入z=2x+3y+1解得z的最大值为2×3+3×1+1=10故选B【点评】本题考查线性规划问题，考查数形集合思想解题，属基本题型的考查．8.C9.B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得c=1，椭圆离心率e=，由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=，再由PA+PB 有最小值而没有最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得c=1，椭圆离心率e==．故当a取最大值时e取最小，a取最小值时e取最大．由椭圆的定义可得PA+PB=2a，a=．由于PA+PB 有最小值而没有最大值，即a有最小值而没有最大值，故椭圆离心率e 有最大值而没有最小值，故B正确，且 D不正确．当直线y=x+2和椭圆相交时，这两个交点到A、B两点的距离之和相等，都等于2a，故这两个交点对应的离心率e相同，故A不正确．由于当x0的取值趋于负无穷大时，PA+PB=2a趋于正无穷大；而当当x0的取值趋于正无穷大时，PA+PB=2a也趋于正无穷大，故函数e（x0）不是增函数，故C不正确．故选B．【点评】本题主要考查椭圆的定义、以及简单性质的应用，属于中档题．10.B11.2【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b，∴==a﹣b+，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2，故答案为：2【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键．12.【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n﹣1=（2n ﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入若=，即可得到答案．【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1=（2n﹣1）•a n，∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S 2n ﹣1=（2n ﹣1）•a n ，即中间项的值，等于所有项值的平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握． 13. 【答案】2- 【解析】试题分析：由222||||||+=+a b a b ，得⊥a b ，所以1120m ⨯+⨯=，解得2m =-. 考点：向量的数量积及坐标运算 14.B【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题．【分析】①利用命题的否定，即可判断其真假； ②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，③将cosB=﹣cos （A+C ）代入已知，整理可得sinAsinC=sin 2B ，再利用正弦定理可判断③的正误；④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．【解答】解：①命题“∃x ∈R ，使得x 3+1＜0”的否定是““∃x 0∈R ，使得+1≥0”，故①错误；②，依题意，F （c ，0），A （﹣a ，0），∵点B （0，b ）， ∴=（a ，b ），=（c ，﹣b ），∵•=0，∴ac﹣b 2=0，而b 2=c 2﹣a 2，∴c 2﹣ac ﹣a 2=0，两端同除以a 2得：e 2﹣e ﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正确；③，在△ABC 中，∵A+B+C=180°， ∴cosB=﹣cos （A+C ），∴原式化为：cos2B ﹣cos （A+C ）+cos （A ﹣C ）=1， ∴cos（A ﹣C ）﹣cos （A+C ）=1﹣cos2B ，∵cos（A ﹣C ）﹣cos （A+C ）=2sinAsinC ，1﹣cos2B=2sin 2B ， ∴sinAsinC=sin 2B ，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；④，∵，是夹角为120°的单位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）⇔（λ+）•（﹣2）=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）•=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0⇔2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正确；综上所述，正确命题的个数是2个．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．15.【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣1﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{ }是以2为公差的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．16.【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．【专题】方程思想；设而不求法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．17.【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】空间向量及应用．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．。

新课标高二数学暑假作业6

新课标2021年高二数学暑假作业 6必修5—选修2-3一选择题〔本大题共8小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

〕1.复数的虚部为〔〕A．B．C．D．名同学合影，站成前排 4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 (这样就成为前排6人，后排6人)，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的总数是( )3. 的展开式中的常数项是〔〕A. B. C.D.4.函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如下图,那么函数在开区间内有极小值点( )A. 个B. 个C.个 D. 个5.曲线〔为参数〕上的点到原点的最大距离为〔〕A．1B．C．2D．6.给出下面四个类比结论〔〕①实数假设那么或；类比向量假设，那么或②实数有类比向量有③向量，有；类比复数，有④实数有，那么；类比复数，有，那么其中类比结论正确的命题个数为〔〕A、0B、1C、2D、37.某人在某种条件下射击命中的概率是，他连续射击两次，其中恰有一次射中的概率是()A、B、C、D、8.椭圆上的点到直线的最大距离是〔〕A．3B．C．．二．填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分。

把答案填在题中横线上〕9..其中是常数，计算=______________．10.〔几何证明选讲选做题〕如如图，△是⊙的内接三角形，是⊙的切线，交于点，交⊙于点．假设，，，，那么_____．11.函数_______.12.椭圆中心在原点，一个焦点为(，0)，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程是．三．解答题〔本大题共4小题，每题10分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕13.〔本小题总分值13分〕14.〔此题总分值14分〕在二项式(a>0，b>0，m，n0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项。

1〕求它是第几项；2〕求的范围。

15.〔本小题总分值 12分〕设函数〔1〕当时，求曲线处的切线方程；〔2〕当时，求的极大值和极小值；〔3〕假设函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.16.〔本小题总分值12分〕椭圆和以原点为圆心，椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率的短半轴为半径的圆相切．，直线〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设椭圆线、的左、右顶点分别为的斜率分别为、、，点，证明是椭圆上异于为定值.、的任意一点，设直[ks5u原创]新课标2021年高二数学暑假作业6必修5—选修2-3参考答案12.13.14.解：〔1〕设T r+1=为常数项，那么有m(12－r)+nr=0即m(12－r)＋nr=0所以=4，即它是第5项〔2〕因为第5项是系数最大的项15.令⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分∴减，在〔3，+〕增∴的极大⋯⋯⋯⋯8分3〕①假设上增。

高二数学暑期专题辅导材料

高二数学暑期专题辅导材料一.温习内容温习〔第五章平面向量〕二. 知识要点：1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。

向量的大小〔长度〕叫做向量的模，模是非正数，可以比拟大小，但由于方向不能比拟大小，所以，向量不可以比拟大小，这是数量与向量的最大差异。

2. 向量的表示方法：〔1〕几何表示法。

向量可以用有向线段表示，如：A →B（）字母表示法：如、或、等。

2a b AB BC →→3. 零向量与单位向量：零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0。

单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

4. 平行向量、相等向量、共线向量。

平行向量〔共线向量〕：方向相反或相反的非零向量叫做平行向量。

规则0与任一向量平行，平行向量也叫做共线向量。

相等向量：长度相等且方向相反的向量叫做相等向量。

恣意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示。

5. 向量的加法：已知向量、，在平面内任取一点，作，，则向量叫a b A AB a BC b AC →=→=→做与的和，记作，即。

求两个向量和的运算，叫做向量的加a b a b AC a b +→=+法。

留意：〔1〕两个向量的和仍为向量。

〔2〕关于零向量与任一向量a 有a+0=0+a=a 。

6. 向量的加法法那么〔1〕三角形法那么：〔首尾衔接〕〔2〕平行四边形法那么：〔共终点〕 7. 向量的加法运算律。

〔1〕交流律：a+b=b+a〔2〕结合律：a+(b+c)=(a+b)+c8. 相反向量：与a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量，记作-a 。

零向量的相反向量为零向量。

相反向量性质：（）1--=()a a（）20a a a a +-=-+=()()（）如、为相反向量，那么，，30a b a b b a a b =-=-+=9. 向量的减法：向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差。

记 a b a b -=+-()求两个向量差的运算叫做向量的减法。

高二数学暑期专题辅导材料函数人教版

高二数学暑期专题辅导材料函数一、要点透视函数是高中数学最重要的内容之一，它内涵丰富，不仅其自身涉及到较多的思想方法，而且运用函数去分析与解决其他数学问题也是历来高考热点之一。

函数思想是解决数学问题的重要教学思想之一，它是一根主线，贯穿整个高中数学的全过程。

主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性（周期性）、几个基本初等函数—— 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质——定义域、值域、奇偶性、单调性、图象的对称性等。

数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归思想等也是本章的基本思想。

二、典型例题解析例1．已知集合{}a A ,3,2,1=，{}b b b B 3,,7,424+=。

其中+∈N a ，+∈N b ，若A x ∈，B y ∈，映射B A f →:使B 中元素13+=x y 和A 中元素x 对应。

求a 和b 的值。

解：ΘA 中元素x 对应B 中元素13+=x y ，A ∴中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10。

104=∴b 或1032=+b b 又+∈N b 104=∴b 无解，而由1032=+b b 解得2=b ，那么a 的象是16244==b ，故1513=+a 5=∴a 综上所述：2,5==b a例2．判断下列各题中，函数)(x f 与)(x g 是不是同一函数？说明理由。

①11)(2--=x x x f ，1)(+=x x g ；②2)(x x f =，x x g =)(；③2)(-=x x f ，44)(2+-=x x x g ；④1)(=x f ，0)(x x g =； ⑤x x f ln )(=，2ln 21)(x x g =； ⑥x x f =)(，⎪⎩⎪⎨⎧<->=00)(x x x x x g解：①)(x f Θ的定义域是{}1|≠∈x R x ，而)(x g 的定义域是R ，)(x f 与)(x g 的定义域不同，)(x f ∴与)(x g 是两个不同的函数。

高二上学期暑数学知识点

高二上学期暑数学知识点在高二上学期的数学课程中，我们学习了许多重要的数学知识点，这些知识点在我们的学习和应用中起着至关重要的作用。

在本文中，我将为大家总结和介绍这些知识点，以便我们能够更好地掌握数学。

1. 函数与方程在高二上学期的数学课程中，我们学习了函数与方程的关系。

函数是一种数学方法，它将一个变量的值映射到另一个变量的值。

常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

方程是一个等式，其中包含未知数。

我们学习了如何解线性方程、二次方程以及利用函数图像求解方程的方法。

2. 三角函数三角函数是高中数学中的重要知识点。

我们学习了正弦函数、余弦函数和正切函数等三角函数的性质和应用。

通过学习三角函数，我们可以解决与角度和边长有关的问题，如求解三角形的面积、计算角度的大小等。

3. 数列与数列的通项公式数列是按照一定规律排列的一组数。

在高二上学期的数学课程中，我们学习了等差数列和等比数列的概念、性质以及求解的方法。

数列的通项公式是数列中每一项与其位置的关系式，通过通项公式，我们可以方便地求解数列的任意一项。

4. 高中数学中的证明高中数学中的证明是培养我们逻辑思维和分析问题能力的重要环节。

在高二上学期的数学课程中，我们学习了数学中常用的证明方法，如直接证明、间接证明和数学归纳法等。

通过学习证明，我们不仅能够加深对数学知识的理解，还能培养我们的推理能力和思维能力。

5. 三角形与平面几何高二上学期的数学课程中，我们也学习了三角形与平面几何的知识。

我们学习了三角形的性质与分类、三角形的周长和面积的计算方法，以及与三角形相关的角平分线、中位线和垂心等重要概念。

此外，我们还学习了平面几何中的直线与平面的关系，如平行线与垂直线的性质等。

6. 排列与组合排列与组合是高中数学中的重要内容，也是一种常见的数学问题解决方法。

我们学习了排列与组合的概念、性质以及计算的方法。

通过学习排列与组合，我们可以解决与选择和排列有关的问题，如计算不同顺序下的可能性数量等。