河南省南阳、信阳等六市2017届高三第一次联考(文数)
2017届河南省部分重点中学高三上学期第一次联考数学(文)试题
2017届河南省部分重点中学高三上学期第一次联考数学（文）试题数学（文）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i2.命题“()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，， B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，， C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，，3.已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a b c ，，的大小是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c b a >>4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件为（ ）A ．64?k <B ．64?k ≥C .32?k <D ．32?k ≥5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4πC .0D ．4π-6.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ） A ．6B ．7C .10D ．97.已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥； ②若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；③若m m n α⊥，∥，n β⊂，则αβ⊥； ③若m n ααβ= ∥，，则m n ∥，其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38.设x y ，满足约束条件4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1-9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底而129022AB AC BAC AA ==∠=︒=，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．4πB ．8πC .12πD ．16π10.在ABC △中，AB AC AB AC +=- ，3AB =，4AC =，则BC 在CA方向上的投影是（ ）A ．4B ．3C .4-D ．511.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()250F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x +=B ．2213010y x +=C .213616y x 2+= D ．2214525y x +=12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是( )A ．a b c <<B ．b c a <<C .c a b <<D ．a c b <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，3130AB AC B ==∠=︒，，，ABC △的面积为32，则C ∠= ．14.圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点()()0402A B --，，，，则该圆的标准方程为 . 15.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 .16.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()04，上有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160180)，，[180200)，，[200220)，，[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，分组的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 19.（本小题满分12分）如图，AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上的动点，PA 垂直于O ⊙所在的平面ABC .（Ⅰ）证明：PAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）设31PA AC ==，，求三棱锥A PBC -的高. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++-=和圆()()222:454C x y -+-=. （Ⅰ）若直线l 过点()40A ，，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.21.（本小题满分12分） 已知函数()ln 1xx f x e+=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求()h x 的最大值；（Ⅲ）设()()'g x xf x =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O ⊙直径，AC 是O ⊙切线，BC 交O ⊙与点E ．（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O ⊙切线； （Ⅱ）若3OA CE =，求ACB ∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是222422x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()120f x x x a a =+-->，． （Ⅰ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．17届（高三）第一次联考数学（文）试卷试卷答案一、选择题 1-5:DCABB 6-10:BDADC 11、12：CD二、填空题13.60︒ 14.()()22235x y -++= 15.322+ 16.ln 21 , 2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17.解（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=.化简得122a d +=， 解得111 , d=2a =，故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得11b =，41515182b a +===，设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，故{}n b 的前n 项和()11211n n n b q T q-==--.……………………………………12分由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得： 224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（Ⅲ）月平均用电量为[220 , 240)的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[240 , 260)的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[260 , 280)的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[280 , 300)的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[220 , 240)的用户中应抽取12555⨯=户.……………………12分19.解：证明：（1）∵AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥.…………………………1分 又∵PA 垂直于O 所在平面，BC ⊂平面O ∴PA BC ⊥.……………………………………2分 ∴PA AC A =∴BC ⊥平面PAC .……………………………………4分 又BC ⊂平面PCB ，∴平面PAC ⊥平面PBC .…………………………6分（2）由⑴的结论平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，∴过A 点作PC 的垂线，垂足为D ，………………………………8分 在Rt ABC △中， 3 , 1PA AC ==，∴2PC =，…………………………9分 由AD PC PA AC ⨯=⨯， ∴13322PA AC AD PC ⨯⨯===, ∴A 点到平面PCB 的距离为32.…………………………………………12分 20.解：（Ⅰ）直线l 的方程为0y =或724280x y +-=，…………………………6分 （Ⅱ）设点P 的坐标为() , m n ，直线12 , l l 的方程分别设为： ()()1 , y n k x m y n x m k -=--=--，0kx y n km --+-=，10mx y n k k--++=，由题意得224531111m n k n km k kk k --++--+-=++，化简得()23m n k m n --=--，或()85m n k m n -+=+-关于k 的方程有无穷多解， 2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，得点P 的坐标为51 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭………………12分 21.解：（Ⅰ）由()ln 1x x f x e +=，得()11f e=，……………………………………1分 ()1ln 'xx x xf x xe --=，所以()'10k f ==，………………………………3分所以曲线()y f x =在点()()1 , 1f 处的切线方程为1y e=.……………………4分 （Ⅱ）()1ln h x x x x =--，()0 , x ∈+∞，所以()'ln 2h x x =--.………………5分 令()'0h x =得，2x e -=，因此当()20 , x e -∈时，()'0h x >，()h x 单调递增； 当()2 , x e -∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减.……………………7分所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为()221h e e --=+.……8分 （Ⅲ）证明：因为()()'g x xf x =，所以()1ln xx x x g x e --=，0x >，()21g x e -<+， 等价于()21ln 1x x x x e e ---<+.……………………………………9分 由（Ⅱ）知()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+， 只需证明0x >时，1x e >成立，这显然成立.…………………………10分 所以()221ln 11x x x x e e e ----≤+<+，因此对任意0x >，()21g x e -<+.……12分 22.解：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，在Rt ABC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠， 连结OE ，OBE OEB ∠=∠，∵90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90DEC OEB ∠+∠=︒， ∴90OED ∠=︒,∴DE 是圆O 的切线.………………………………………………5分（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由已知得23AB =，212BE x =-，由射影定理可得，2AE CE BE = ， ∴2212x x =-，解得3x =，∴60ACB ∠=︒，…………………………10分 23．解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为420x y -+=，曲线C 的直角坐标系下的方程为2222122x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心22 , 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭到直线420x y -+=的距离为52512d ==>所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离……………………………………5分（Ⅱ）设22cos , sin 22M θθ⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 则cos sin 2sin 2 , 24x y πθθθ⎛⎫⎡⎤+=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭………………………………10分 24．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于 11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<， 所以不等式()1f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.………………………………5分（Ⅱ）由题设可得，()12 , 1312 , 112 , x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为()()21 , 0 , 2 1 , 0 , , 13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以ABC △的面积为()2213a +.由题设得()22163a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为()2 , +∞.……………………10分。
【河南省南阳、信阳等六】2017学年高考一模数学年(文科)试题
17．解：（1）π()2sin 2f x x =，集合(){|||2,}0M x f x x ==>， 则：πππ+22x k = 解得：21()x k k =+∈Z ，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ， 所以：21n a n =-． 证明：（2）记211n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ， 2221111111()(21)4441n n a n n n n b n +==<=-+++ 所以：121111(1411)1223n n T b b b n n <-+=++⋯++⋯+-+- 111(1)414n =-<+ 18．解：（Ⅰ）游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故15a =，151302b ==， 游客人数的平均数为112150150250350120231530⨯+⨯+⨯+⨯=(百人)． （Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：(1,2),(1,3),(14),(1,5),(24),(2,5),(3,4),(35),(4,5)，,，，共10种，其中游客等级均为“优”的有(1,4),(1,5),(4,5)，共3种，19．解：（1）在正方形ABCD 中， ∵AD AE ⊥，CD CF ⊥， ∴A D A E '⊥'，A D A F '⊥'，又A E A F A '⋂'='，A E '，A F A EF '⊂'平面， ∴A D A EF '⊥'平面．EF A EF ⊂'而平面，∴A D EF '⊥，∴异面直线'A D 与EF 所成角的大小为90︒；（2）∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点， ∴在Rt BEF △中，1BEBF ==，得EF = 而1A E A F '='=，∴222A E A F EF '+'=，则A E A F '⊥'， ∴111122A EF S '=⨯⨯=△， 由（1）得A D A EF '⊥'平面，且2A D '=，∴111123323D A EF A EF V S A D -''='=⨯⨯=△．20．解：（1）把(1,2)Q 代入22y px =，得24p =，所以抛物线方程为24y x =，准线l 的方程为1x =-．（2）由条件可设直线AB 的方程为(1),0y k x k =≠-． 由抛物线准线1l x =-:，可知(1,2)M k --，又(1,2)Q ，所以322111kk k +==++， 把直线AB 的方程(1)y k x =-，代入抛物线方程24y x =，并整理，可得22222(2)0k x k x k ++=-，设11(),A x y ，22(),B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==，又(1,2)Q ，故12111222,11y y k k x x --==--．因为A ，F ，B 三点共线，所以AF BFk k k ==，即121211y y k x x ==--， 所以12121212121212222(22)()242(1)11()1y y kx x k x x k k k k x x x x x x ---+++++=+==+---++， 即存在常数2λ=，使得1232k k k +=成立． 21．解：（1）当1a =时，1()exx f x -+=，则(1)0f =， 可得2()e xx f x -'=，1(1)ef '=- 所以曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e 10x y +-= （2）2(1)(2)2[(1))](2)()e e x x a x a x a a x a x f x -+---+-'==令()0f x '=得1(1)1ax a a=≠-或22x = ①当1a ≥时，()f x 在[0,2]递减，在[2,)+∞递增当x →+∞时，max ()0()(0)f x f x f a →==②当21a a >-即213a <<时，()f x 在[0,2]和[,]1a a +∞-递减，()f x 在[2,]1a a -递增1()1a aa a f a a e -=≤-解得01a ≤≤，所以213a << ③当21a a =-即23a =时，()f x 在[0,)+∞递减，max ()(0)f x f a == ④当021a a <<-即203a <<时，()f x 在[0,]1a a -和[2,)+∞递减，在[,2]1a a -递增，245(2)e a f a -=≤，解得24e 5a ≥+，所以242e 53a ≤<+ ⑤当01aa≤-即0a ≤时，()f x 在[0,2]递增，()(0)f x f a ≥=不合题意 综上所述：a 的取值范围为24[,]e 5+∞+ 第（2）问另解：∵(0)f a =∴()f x 当0x ≥时的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x ≥恒成立，可化为22e 1x x a x x ≥++-对于0x ≥恒成立，令22()e 1x x g x x x =++-，则22(2)(1e )()(e 1)x x x x g x x x --'=++- 于是()g x 在[0,2]上递增，在(2,)+∞上递减，∴max 24()(2)g x g ==，22．解：（1）由4cos ρθ=，得出24cos ρρθ=，化为直角坐标方程：224x y x +=即曲线C 的方程为22(2)4x y +=-，直线l 的方程是：0x y +=（2）将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线1C 的方程为2244x y +=，设曲线1C 上的任意点(cos ,2sin )θθ到直线l 距离d =．当()0sin θα+=时到直线l 距离的最小值为0． 23．解：（1）由()2f x x ≤+得：1112x x x x ≥⎧⎨-++≤+⎩或11112x x x x -<<⎧⎨-++≤+⎩或1112x x x x ≤⎧⎨---≤+⎩， 即有12x ≤≤或01x ≤＜或x φ∈， 解得02x ≤≤，所以()2f x x ≤+的解集为[0,2]； （2）|1||21|1111|1||2||12|3||a a a a a a a+--=+--≤++-=，当且仅当11(1)(2)0a a+-≤时，取等号．由不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得1||1|3|x x -++≥，即123x x ≥⎧⎨≥⎩或1123x -<<⎧⎨≥⎩或123x x ≤-⎧⎨-≥⎩，解得33x x ≤≥-或，][3)2+∞，河南省南阳、信阳等六市2017年高考一模数学（文科）试卷解析一、选择题1．【考点】交集及其运算．【分析】先利用交集定义求出集合C，由此能求出C的子集的个数．【解答】解：∵集合，∴C=A∩B={（x，y）|}={（，）}，∴C的子集的个数是：21=2．故选：C．2．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．【解答】解：∵（1﹣i）=|1+i|，∴（1﹣i）（1+i）=（1+i），∴=+i则复数z的实部与虚部之和=+=．故选：A．3．【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，故不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c⊂α，∴α⊥β，不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，n⊥β，∴α∥β，正确，故选：D．4．【考点】模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 8045 3661 9597 7424，共12组随机数，∴所求概率为0.6．故选：B．5．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．【解答】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴∵x＞0，∴∴a＞b∴1＜b＜a故选C．6．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C．7．【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣，﹣相当于直线y=x﹣的纵截距，由解得，E（，﹣）；此时z=x﹣2y有最大值+2×=；故选：C．8．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（﹣log35）=﹣f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=﹣1，故有x≥0时f（x）=3x﹣1∴f（﹣log35）=﹣f（log35）=﹣（）=﹣4故选B．9．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得A、B、D不正确，C 正确．【解答】解：∵函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，故A不正确．由于函数①的图象不可能关于直线x=﹣成轴对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）≠sin（x+），故D不正确．故选C．10．【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．11．【考点】球的体积和表面积．【分析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．12．【考点】命题的真假判断与应用；函数的图象．【分析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；作函数的大致图象，从而判断②的正误；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；即可判断③的正误；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．【解答】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；函数的大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；∴②不正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故③正确；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故选：A．二、填空题13．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度．【解答】解：∵，且；∴=﹣x2+2x﹣1=0；∴x=1；∴；∴．故答案为：．14．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用三角形内角和定理，将tanC=﹣tan（A+B）再结合两角和与差求解即可．【解答】解：在△ABC中，＞0，∴sinB=．那么tanB==．则tanC=﹣tan（A+B）==．故答案为：﹣1．15．【考点】正弦定理．【分析】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S= ab•sinC=c，求得c=ab．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．【解答】解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin（B+C）+sinB，即2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．16．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围【解答】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则．即直线PA2斜率，直线PA1斜率．；∵直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，∴直线PA1斜率的取值范围是[]．故答案为：[]．三、解答题17．【考点】数列的求和．【分析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．（Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优”的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．19．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，由线面垂直的判定可得A'D⊥平面A'EF．从而得到A'D⊥EF；（2）已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，可得A'E2+A'F2=EF2，则A'E ⊥A'F，求出三角形A′EF的面积，结合（1）可知三棱锥D﹣A'EF的高A'D=2，代入棱锥体积公式求得三棱锥D﹣A'EF的体积．20．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）把直线AB的方程y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2，k3，即可得出结论．21．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程．（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后①当a≥1时，②当，③当，④当，⑤当，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围．第（2）问另解：f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可．22．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．23．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x ≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．11 / 11。
2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷(文科)
2017年河南省南阳、信阳等六市高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合，，，，C=A∩B，则C的子集的个数是（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】解：∵集合，，，，∴C=A∩B={（x，y）|}={（，）}，∴C的子集的个数是：21=2．故选：C．先利用交集定义求出集合C，由此能求出C的子集的个数．本题考查交集的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.复数z满足（1-i）=|1+i|，则复数z的实部与虚部之和为（）A. B.- C.1 D.0【答案】D【解析】解：∵（1-i）=|1+i|，∴（1-i）（1+i）=（1+i），∴=+i∴z=-i则复数z的实部与虚部之和=-=0．故选：D．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部与虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（）A.若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC.若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD.若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【答案】D【解析】解：若m∥α，n∥β，m⊥n，则α、β位置关系不确定，故不正确；若m∥α，则α中存在直线c与m平行，m∥n，n⊥β，则c⊥β，∵c⊂α，∴α⊥β，不正确；若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α、β可以相交，不正确；若m⊥α，m∥n，则n⊥α，n⊥β，∴α∥β，正确，故选：D．对4个命题分别进行判断，即可得出结论．本题考查面面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：7527029371409857034743738636694714174698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A.0.55B.0.6C.0.65D.0.7【答案】B【解析】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：752798570347437386369647469862338045366195977424，共12组随机数，∴所求概率为0.6．故选：B．由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示种射击4次至少击中3次的有多少组，可以通过列举得到共多少组随机数，根据概率公式，得到结果．本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用，属于基础题．5.设x＞0，且1＜b x＜a x，则（）A.0＜b＜a＜1B.0＜a＜b＜1C.1＜b＜aD.1＜a＜b【答案】C【解析】解：∵1＜b x，∴b0＜b x，∵x＞0，∴b＞1∵b x＜a x，∴＞∵x＞0，∴＞∴a＞b∴1＜b＜a故选C．利用指数函数的性质，结合x＞0，即可得到结论．本题考查指数函数的性质，解题的关键是熟练运用指数函数的性质，属于基础题．6.如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为495，135，则输出的m=（）A.0B.5C.45D.90【答案】C【解析】解：第一次执行循环体，r=90，m=135，n=90，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体，r=0，m=45，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为45，故选：C由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7.若实数x，y满足，则z=x-2y的最大值是（）A.-3B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意作出其平面区域，将z=x-2y化为y=x-，-相当于直线y=x-的纵截距，由解得，E（，-）；此时z=x-2y有最大值+2×=；故选：C．由题意作出其平面区域，将z=x-2y化为y=x-，-相当于直线y=x-的纵截距，由几何意义可得．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，同时注意几何意义的应用，属于中档题．8.已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），则f（-log35）的值为（）A.4B.-4C.6D.-6【答案】B【解析】解：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数），∴f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x≥0时f（x）=3x-1∴f（-log35）=-f（log35）=-（）=-4故选B由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确选项本题考查函数奇偶性质，解题的关键是利用f（0）=0求出参数m的值，再利用性质转化求值，本题考查了转化的思想，方程的思想．9.已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）A.两个函数的图象均关于点（-，0）成中心对称B.两个函数的图象均关于直线x=-对称C.两个函数在区间（-，）上都是单调递增函数D.可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象【答案】C【解析】解：∵函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（-，0）成中心对称，②的图象不关于点（-，0）成中心对称，故A不正确．由于函数①的图象不可能关于直线x=-成轴对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（-，）上都是单调递增函数，故C正确．由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）≠sin（x+），故D不正确．故选C．化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得A、B、D不正确，C 正确．本题考查正弦函数的单调性，对称性，考查和、差角公式及二倍角公式，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于中档题．10.已知F2、F1是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】C【解析】解：由题意，F1（0，-c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2-a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11.一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A.πB.3πC.4πD.6π【答案】B【解析】解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“优美函数“有无数个”；②函数可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数y=sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数y=f（x）是“优美函数”的充要条件为函数y=f（x）的图象是中心对称图形．其中正确的命题是（）A.①③B.①③④C.②③D.①④【答案】A【解析】解：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故对于任意一个圆O，其“优美函数”有无数个，故①正确；函数的大致图象如图1，故其不可能为圆的“优美函数”；∴②不正确；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；故有无数个圆成立，故③正确；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2，故选：A．过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，故①正确；作函数的大致图象，从而判断②的正误；将圆的圆心放在正弦函数y=sinx的对称中心上，则正弦函数y=sinx是该圆的“优美函数”；即可判断③的正误；函数y=f（x）的图象是中心对称图形，则y=f（x）是“优美函数”，但函数y=f（x）是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，作图举反例即可．本题考查了学生的学习能力及数形结合的思想方法应用，命题真假的判断，函数的性质的应用，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量，，，，若，则= ______ ．【答案】【解析】解：∵，，且；∴=-x2+2x-1=0；∴x=1；∴，；∴．故答案为：．可先求出向量的坐标，根据条件得到，从而可求出x=1，进而求出向量的坐标，从而求得该向量的长度．考查向量坐标的概念，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数乘运算．14.在△ABC中，，，则tan C= ______ ．【答案】-1【解析】解：在△ABC中，，＞0，∴sin B=．那么tan B==．则tan C=-tan（A+B）==．故答案为：-1．利用三角形内角和定理，将tan C=-tan（A+B）再结合两角和与差求解即可．本题考查三角形内角和定理和两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cos B=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为______ ．【答案】12【解析】解：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sin C cos B=2sin A+sin B=2sin（B+C）+sin B，即2sin C cos B=2sin B cos C+2sin C cos B+sin B，∴2sin B cos C+sin B=0，∴cos C=-，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sin C=ab=c，∴c=ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab•cos C，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cos C=-，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sin C=c，求得c=ab．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab的最小值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，诱导公式、两角和的正弦公式、基本不等式的应用，属于基础题．16.椭圆C：+=1的上、下顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：由椭圆的标准方程可知，上、下顶点分别为A1（0，）、A2（0，-），设点P（a，b）（a≠±2），则+=1．即=-直线PA2斜率k2=，直线PA1斜率k1=．k1k2=•==-；k1=-∵直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，即：-2≤k2≤-1∴直线PA1斜率的取值范围是[，]．故答案为：[，]．由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=，设数列{b n}的前n项和为T n，求证T n＜．【答案】解：（1）f（x）=2sin x，集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，则：解得：x=2k+1（k∈Z），所以M={x|x=2k+1，k∈Z}把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n}，∵M={1，3，5，…，2k+1}，k∈Z，所以：a n=2n-1．证明：（2）记b n=，数列{b n}的前n项和为T n，＜=所以：T n=b1+b2+…+b n＜++…+）=＜【解析】（1）根据题意求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用放缩法和裂项相消法求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，利用裂项相消法和放缩法求数列的和．18.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当n∈[0，100）时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200）时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300）时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．【答案】解：（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，故a=15，b=，…（3分）游客人数的平均数为=120（百人）．…（6分）（Ⅱ）从5天中任选两天的选择方法有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10种，…（9分）其中游客等级均为“优”的有（1，4），（1，5），（4，5），共3种，故他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率为．…（12分）【解析】（Ⅰ）游客人数在[0，100）范围内的天数共有15天，由此能求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．（Ⅱ）利用列举法求出从5天中任选两天的选择方法的种数和其中游客等级均为“优”的有多少种，由此能求出他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．本题考查折线图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19.如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点．将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A'，连结EF，A'B．（1）求异面直线A'D与EF所成角的大小；（2）求三棱锥D-A'EF的体积．【答案】解：（1）在正方形ABCD中，∵AD⊥AE，CD⊥CF，∴A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，又A'E∩A'F=A'，A'E，A'F⊂平面A'EF，∴A'D⊥平面A'EF．而EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF，∴异面直线A'D与EF所成角的大小为90°；（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴在R t△BEF中，BE=BF=1，得，而A'E=A'F=1，∴A'E2+A'F2=EF2，则A'E⊥A'F，∴，由（1）得A'D⊥平面A'EF，且A'D=2，∴．【解析】（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF，可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，由线面垂直的判定可得A'D⊥平面A'EF．从而得到A'D⊥EF；（2）已知正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，可得A'E2+A'F2=EF2，则A'E⊥A'F，求出三角形A EF的面积，结合（1）可知三棱锥D-A'EF 的高A'D=2，代入棱锥体积公式求得三棱锥D-A'EF的体积．本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，属中档题．20.如图，抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线上一定点Q（1，2）．（1）求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）过焦点F的直线（不经过Q点）与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，所以抛物线方程为y2=4x，准线l的方程为x=-1．（2）由条件可设直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．由抛物线准线l：x=-1，可知M（-1，-2k），又Q（1，2），所以，把直线AB的方程y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，又Q（1，2），故，．因为A，F，B三点共线，所以k AF=k BF=k，即，所以，即存在常数λ=2，使得k1+k2=2k3成立．【解析】（1）把Q（1，2）代入y2=2px，得2p=4，即可求抛物线C的方程及准线l的方程；（2）把直线AB的方程y=k（x-1），代入抛物线方程y2=4x，并整理，求出k1+k2，k3，即可得出结论．本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．21.设函数（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）的最大值为a，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a=1时，，则f（1）=0，可得，所以曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+ey-1=0…（4分）（2）=令f'（x）=0得或x2=2…（6分）①当a≥1时，f（x）在[0，2]递减，在[2，+∞）递增当x→+∞时，f（x）→0f（x）max=f（0）=a②当＞即＜＜时，f（x）在[0，2]和，∞递减，f（x）在，递增解得0≤a≤1，所以＜＜③当即时，f（x）在[0，+∞）递减，f（x）max=f（0）=a④当＜＜即＜＜时，f（x）在，和[2，+∞）递减，在，递增，，解得，所以＜⑤当即a≤0时，f（x）在[0，2]递增，f（x）≥f（0）=a不合题意…（11分）综上所述：a的取值范围为，∞…（12分）第（2）问另解：∵f（0）=a∴f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，可化为对于x≥0恒成立，…（7分）令，则于是g（x）在[0，2]上递增，在（2，+∞）上递减，∴，∴a的取值范围是．…（12分）【解析】（1）利用a=1，化简函数求出切点坐标，求解是的导数，得到切线方程的斜率，即可求解切线方程．（2）求出函数的导数，利用导数为0，得到极值点，然后①当a≥1时，②当＞，③当，④当＜＜，⑤当，分别求解函数的单调性推出最值，解得a的取值范围．第（2）问另解：f（x）当x≥0时的最大值为a，等价于f（x）≤a对于x≥0恒成立，转化a的函数，构造新函数，利用增函数的导数求解最值即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的导数求解是的最值，考查转化思想以及计算能力．22.在直角坐标系x O y中，直线l的参数方程为（t为参数）若以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．【答案】解：（1）由ρ=4cosθ，得出ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=4x即曲线C的方程为（x-2）2+y2=4，直线l的方程是：x+y=0…（4分）（2）将曲线C横坐标缩短为原来的，再向左平移1个单位，得到曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ）到直线l距离d==．当sin（θ+α）=0时到直线l距离的最小值为0．【解析】（1）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程．（2）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cosθ，2sinθ），利用点到直线距离公式，建立关于θ的三角函数式求解．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．23.设f（x）=|x-1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；（2）=|1+|-|2-|≤|1++2-|=3，当且仅当（1+）（2-）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x-1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤-或x≥，故实数x的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．【解析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，-1＜x＜1，x≤-1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．本题考查绝对值不等式的解法，同时考查不等式恒成立问题的求法，运用分类讨论的思想方法和绝对值不等式的性质是解题的关键．。
2017届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试(一)数学(文)试题
2017届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试（一）数学（文）试题数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3}A =，1{|2,}k B n n k A -==∈，则A B = （ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{1} D ．{3}2.已知复数142iz i i+=-+，则复数z 的模为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3. 半径为336π的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为（ ）A ．44B ．54C ．88 D1084.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为R ，过抛物线C 上一点P 作准线l 的垂线，垂足为Q .若QRF ∆的面积为2，则点P 的坐标为（ ） A ．（1,2）或（1，-2） B ．（1,4）或（1，-4） C ．（1,2） D ．（1,4） 5.函数()sin()(0,0,0)2f x A x A πϖϕϖϕ=+>><<的图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 3f x x =B ．()2sin(+3f x x π=） C ．()2sin(3+6f x x π=）D ．()2sin(2+6f x x π=）6. 以(,1)a 为圆心，且与两条直线240x y -+=与260x y --=同时相切的圆的标准方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y -+-= B ．22(1)(1)5x y +++= C ．22(1)5x y -+= D ．22(1)5x y +-=7.满足不等式24120m m --≤的实数m 使关于x 的一元二次方程2240x x m -+=有实数根的概率是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．158.如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．263π+B ．83π+C ．243π+D ．43π+ 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的2P =，1Q =，则输出M 的等于（ ）A ．19B ．24C ．30D ．3710.已知直线l 与函数()ln()ln(1)f x ex x =--的图象交于P ，Q 两点，若点1(,)2R m 是线段PQ 的中点，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．1411.已知函数21()cos(2)sin cos 232f x x x x π=++-，[0,]3x π∈.若m 是使不等式()2f x a ≤-恒成立的a 的最小值，则2cos 6m π=（ ）A ．32-B ．12-C ．32D ．1212.函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数lg()xx e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. .已知||10a = ，5302a b =- ，且(-)()15a b a b +=- ，则向量a 与b 的夹角为_________.14.若x ，y 满足约束条件20,220,20,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为__________.15. 在ABC ∆中，边AB 的垂直平分线交边AC 于D ，若3C π=，8BC =，7BD =，则ABC ∆的面积为______.16. 6月23日15时前后，江苏盐城阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级.灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型教授队从A ，B ，C ，D 四个不同的方向前往灾区. 已知下面四种说法都是正确的.（1）甲轻型教授队所在方向不是C 方向，也不是D 方向； （2）乙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （3）丙轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是B 方向； （4）丁轻型教授队所在方向不是A 方向，也不是D 方向.此外还可确定：如果丙所在方向不是D 方向，那么甲所在方向就不是A 方向.有下列判断：①甲所在方向是B 方向；②乙所在方向是D 方向；③丙所在方向是D 方向；④丁所在方向是C 方向. 其中判断正确的序号是__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足12354a a a +=，且123a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设5log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的1{}nS 的前n 项和n T .18. （本小题满分12分）某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25]，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）求在抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人 ，求至少抽到1名女生的概率.19. （本小题满分12分）如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点，且14CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ；（Ⅱ）设BF MN G = ，求三棱锥'A BGN -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是等边三角形的三个顶点，且长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若A 是椭圆E 的左顶点，经过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于C ，D 两点，求OAD ∆与OAC ∆的面积之差的绝对值的最大值.（O 为坐标原点） 21. （本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，0b =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PQ 为O 的切线，切点为Q ，割线PEF 过圆心O ，且QM QN =. （Ⅰ）求证：PF QN PQ NF = ； （Ⅱ）若3QP QF ==，求PF 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=-，直线l 的参数方程为5cos ,sin .x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.若直线l 与圆C 相交于不同的两点P ，Q .（Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径； （Ⅱ）若弦长||4PQ =，求直线l 的斜率. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()|||10|f x x x =++.（Ⅰ）求()15f x x ≤+的解集M ；（Ⅱ）当,a b M ∈时，求证5|||25|a b ab +≤+.天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试（一）数学（文科）·答案 A 卷一、选择题1.B2.B3.C4.A5.D6.A7.A8.C9.B 10.C 11.D 12.C 二、填空题 13.56π 14. 10315. 203或243（错解漏解均不得分） 16. ③ 三、解答题17.【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式、等差中项、数列的前n 项和，以及逻辑思维能力，运算求解能力、方程的思想及裂项法的应用.【解析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，由题意知0q >，∴2111211154,.a a q a q a a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ ，解得15a q ==，故5n n a =.……………………………………………………（5分）111112[(1)()()]2231n T n n =-+-++-+ 122(1)11nn n =-=++.……………………………………（12分） 【方法点拨】（1）求关于等比数列的基本运算通常转化为关于首项1a 与公比q 的方程（组）来求解；（2）裂项法适用于求通项形如11n n a a +（{}n a 为等差数列）的数列的前n 项和. 18.【命题意图】本题考查频率分布直方图、古典概型，考查学生的识图能力、数据分析能力、运算能力. 【解析】（Ⅰ）1(20.020.030.08)50.055a -⨯++⨯==.………………………………………………（2分）（Ⅱ）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.………………………………………（4分） 在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.…………………………………………………（6分） 故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.…………………………………（7分）（Ⅲ）记“在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A ，……………………………………………………………………………………………………（8分） 在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，人数为0.1×20=2人， 在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生频率为0.03×5=0.15，人数为0.15×20=3人， …………………………………………………………………………………………………………………（10分）记这2名女生为1A ，2A ，这3名男生为1B ，2B ，3B ，则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，12(,)B B ，13(,)B B ，23(,)B B ， 而事件A 包含的结果有7种，它们是12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ， 所以7()10P A =.……………………………………………………………………………………………（12分） 【归纳总结】（1）涉及频率分布直方图问题通常要利用其性质：①所有小矩形的面积和为1；②每组频率=对应矩形面积；（2）古典概型的计算通常利用一一列举法解决.19.【命题意图】本题考查空间直线、平面间的垂直与平行关系，棱锥体积的计算，同时考查空间想象能力、逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力.【解析】（Ⅰ）因为E ，F 为等边ABC ∆的AB ，AC 边的中点， 所以'A EF ∆是等边三角形，且//EF BC .因为M 是EF 的中点，所以'A M EF ⊥.…………………………………………………………………（1分） 又由于平面'A EF ⊥平面EFCB ，'A M ⊂平面'A EF ，所以'A M ⊥平面EFCB .…………………（2分） 又BF ⊂平面EFCB ，所以'A M BF ⊥.…………………………………………………………………（3分） 因为14CN BC =，所以//MF CN ，所以//MN CF .……………………………………^……………（4分）在正ABC ∆中知BF CF ⊥，所以BF MN ⊥.而'A M MN M = ，所以BF ⊥平面'A MN .……………………………………………………………（5分）又因为BF ⊂平面'A BF ，所以平面'A MN ⊥平面'A BF .……………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知'A M ⊥平面EFCB ，所以'A M 为三棱锥'A BGN -底面上的高. 根据正三角形的边长为4，知'AE F ∆是边长为2的等边三角形，所以'3A M =. 易知3342GN CF ==，334BN BC ==.…………………………………………………………………（8分）又由（Ⅰ）知BF MN ⊥，所以22332BG BN NG =-=， 所以113339322228BGN S BG NG ∆==⨯⨯=，………………………………………………………（10分） 所以'11939'33388A BGN BGN V S A M -∆==⨯⨯= .………………………………………………………（12分）【举一反三】（1）空间垂直的证明通常利用线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化来证明；（2）求三棱锥的体积主要是确定三棱锥的高和底面，确定高时主要是利用线面垂直来确定后，求底面面积主要是利用平面几何知识解决.20.【命题意图】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想. 【解析】（Ⅰ）由题意得12c a =，又24a =，则2a =，所以1c =. 又222413b a c =-=-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=.……………………………………………（4分） （Ⅱ）解法一：设OAD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S .当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =-，此时不妨设3(1,)2D -，3(1,)2C --，且OAD ∆，OAC ∆面积相等，12||0S S -=.………………………………………………………………………………………（6分） 当直线l 斜率存在时，设直线方程为(1)(0)y k x k =+≠，设11(,)C x y ，22(,)D x y ，和椭圆方程联立得221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消掉y 得2222(34)84120k x k x k +++-=.………………………（7分）显然0∆>，方程有根，且2122834k x x k+=-+.……………………………………………………………（8分）此时1221212121216||||2|||||||||(1+(1||(+2|234k S S y y y y k x k x k x x k k-=⨯⨯-=+=++=+=+）））. 因为0k ≠，所以上式66633232124||24||||||k k k k =≤==+ （32k =±时等号成立）. 所以12||S S -的最大值为32.……………………………………………………………………………（12分） 解法二：设直线l 的方程为'1x k y =-，与椭圆方程22143x y +=联立得：22(3'4)6'90k y k y +--=. …………………………………………………………………………………………………………………（6分） ∴1226'3'4k y y k +=+，………………………………………………………………………………………（8分）∴121212216|'|||2||||||||23'4k S S y y y y k -=⨯⨯-=+=+， 当'0k =时，12||0S S -=. 当'0k ≠时，12663||4263|'|2|'|43|'||'|S S k k k k -==≤=+（当且仅当23'3k =±时等号成立）.所以12||S S -的最大值为32.……………………………………………………………………………（12分） 21.【命题意图】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.【解析】（Ⅰ）当1a =，0b =时，2()(2)ln f x x x x =-，则(1)0f =，……………………………（1分）'()(2)ln 2f x x x x x =-+-，∴(1)1f =-。
河南省南阳、信阳等六市2017届高三下学期第一次联考文综政治试题
★2017年3月日上午2017年河南省六市高三第一次联考文科综合能力测试参考答案12.B 13.A 14.B 15.B 16.C 17.D 18.A 19.C 20.A21.D 22.D 23.B38. (1)①坚持对人民负责原则,推动供给侧结构性改革,实现人民的根本利益。
②科学民主决策；依法行政，为供给侧改革提供法律制度保障。
③履行经济建设职能，提高宏观调控水平，搞好市场监管，为供给侧改革创造良好的市场环境。
④深化行政管理体制改革，简政放权，转变职能，建设服务型政府，提高企业供给侧改革的积极性和活力。
（每点3分，共12分）(2)①制定正确的经营战略。
（3分）②主动应对国际竞争，积极参与相关国际标准的制定，赢得国际市场话语权。
（3分）③加大技术研发投入，提高自主创新能力。
（3分）④提高产品质量，形成以质量为核心的竞争新优势。
（3分）⑤增强知识产权保护意识，提高企业知识产权效益。
（2分）39、⑴发展中国特色社会主义文化，要发展人民群众喜闻乐见的社会主义大众文化，不断满足人民群众日益增长的精神文化需求；（2分) 立足于社会实践；（2分）结合时代精神，继承优秀传统民族文化，推陈出新，做到民族性和时代性的统一；（2分) 充分发挥中华文化博大精深的优势，展示中华文化的魅力；（2分）运用现代科学技术，重视文化内涵、形式的创新。
（2分）（2）①要树立正确的理想信念，坚定中国特色社会主义的共同理想。
（3分）②自觉站在最广大人民的立场上，树立正确的价值观。
（3分）③充分发挥主观能动性，全面提高个人素质。
（3分）④积极投身中国特色社会主义实践，在劳动和奉献中实现人生价值。
（3分）（3）答案示例：①发挥正确意识指导作用，用英雄精神导航生活学习。
培养愈挫弥坚的品质。
②投身社会实践，学英雄争当时代先锋。
（每点2分）。
【全国市级联考】河南省南阳市、信阳市等六市2017届高三第一次联考理数(原卷版)
河南省南阳市、信阳市等六市2017届高三第一次联考理数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合(){}(){}22,y |0,,|1A x y B x y x y =-==+=，C A B =，则C 的子集的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 42.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为 （ ）A ．B ．C ． 1D ． 03.设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）A ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥B ．若//,,m//n m n αβ⊥，则//αβC ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则//αβD ．若,,m//n m n αβ⊥⊥，则//αβ4.给出下列四个结论：①已知X 服从正态分布()20,N σ，且()220.6P X -≤≤=，则()20.2P X >=；②若命题[)2000:1,,10p x x x ∃∈+∞--<，则()2:,1,10p x x x ⌝∀∈-∞--≥；③已知直线12:310,:10l ax y l x by +-=++=，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-．其中正确的结论的个数为：（ ）A ． 0B ． 1 C. 2 D ． 35.在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==，则tan C 的值是（ ）A ． 1B ． -1 C. 2 D ． -26.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ． 0B ． 5 C. 45 D ． 907.已知2z x y =+，其中实数,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 （ ）A ． 211B ． 14 C. 4 D ． 1128.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当()2,0x ∈-时，()f x = （ ）A ． 21x ++B ． 31x -+ C. 2x - D ． 4x +9.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ． ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10.已知21、F F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 3B ．．11.一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ． πB ． 3π C. 4π D ． 6π12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数()(2ln f x x =+可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形．其中正确的命题是：（ ）A ．①③B ．①③④ C.②③ D ．①④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,,1,1a x b x ==-，若()2a b a -⊥，则2a b -=14. ()5221x x +-的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字填写答案）15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为S =，则ab 的最小值为 ．16.椭圆22:143x y C +=的上、下顶点分别为12、A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 ．三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17.观察下列三角形数表：假设第n 行的第二个数为()*2,n a n n N ≥∈，（1）归纳出1n a +与n a 的关系式，并求出n a 的通项公式；（2）设()12n n a b n =≥，求证：232n b b b +++<．18.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，02,60AD CD ADC =∠=．（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若()12,0CD AA AC λλ==>，二面角1A C D C --，求三棱锥11C ACD -的体积． 19.为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：①用变量y 与、x z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求y 与、x z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．参考公式：相关系数r=， 回归直线方程是：ˆy bx a =+，其中()()()121,ni ii n ii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑，参考数据：()()88221177.5,85,81,1050,456i i i i x y z x x y y =====-≈-≈∑∑，()()()88211550,688ii i i i z z x x y y ==-≈--≈∑∑，()()8132.4i i i x x z z =--≈≈∑，23.5≈≈．20.如图，抛物线2:2C y px =的焦点为F ，抛物线上一定点()1,2Q ．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）过焦点F 的直线（不经过Q 点）与抛物线交于,A B 两点，与准线l 交于点M ，记,,QA QB QM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在常数λ，使得123k k k λ+=成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21.已知函数()()3ln x x f x a bx e x=--，且函数()f x 的图象在点()1,e 处的切线与直线()2130x e y -+-=垂直．（1）求,a b ；（2）求证：当()0,1x ∈时，()2f x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲设()11f x x x =-++．（1）求()2f x x ≤+的解集；（2）若不等式()121a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．。
河南省南阳、信阳等六市高三文综第一次联考试题(扫描版)
★2017年3月日上午2017年河南省六市高三第一次联考文科综合能力测试参考答案1.Ｂ２.Ｃ 3.A 4.C ５.B 6.A ７.Ｄ８.D ９.D 10.A11.C 12.B 13.A 14.B 15.B 16.C 17.D 18.A 19.C 20.A21.D 22.D 23.B 24.B 25.C 26.A 27.B 28.A 29.D 30.C31.D 32.D 33.B 34.D 35.B36.（24分）(1)生活水平不断提高，花卉市场需求量不断增大(2分)；交通运输条件得到改善(或航空、高速公路得到发展)(2分)；花卉保鲜技术不断提高(2分)。
(2)有利影响：地形起伏大，土壤排水良好(2分)；海拔较高(或多在800—1800米之间)，满足咖啡树生长的海拔要求(2分)；北部山地高，阻挡南下寒冷气流，少低温冻害 (2分)。
不利影响：水土流失加剧；土层变薄，肥力下降；土壤、地下水污染加重；植被破坏(或生物多样性减少)(每点2分，任答两点即可得满分4分)。
(3)位于小粒种咖啡豆生产区，原料丰富(2分)；土地租金低(2分)；劳动力资源丰富且廉价(2分)；地方政府的政策支持(2分)。
37.（22分）(1)下游地区秋季降水偏多，导致洪水多发生在秋季（2分）；中上游因湖泊和低坝的调节作用，减弱了春夏季的洪水（2分）(2)减少（或无需）移民；农田淹没少；船只过闸时间短，过闸用水也少；对生态和景观的影响小；溃坝等威胁性小；工程量小，投资少等。
（每点2分，任答5点得10分）(3)泥沙淤积，大坝的综合效益下降；废弃旧坝威胁当地和大坝下游安全；为鲑鱼溯河洄游提供条件，保护鲑鱼，保护河流的生态系统；法国能源消费结构调整，导致水电比重下降；环保理念变化，罗讷河的整治逐渐进入以自然生态环境的恢复和保护为中心。
（每点2分，任答4点得8分）38. (1)①坚持对人民负责原则,推动供给侧结构性改革,实现人民的根本利益。
②科学民主决策；依法行政，为供给侧改革提供法律制度保障。
【全国百强校】河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考文数(解析版)
河南省部分重点中学2017届高三上学期第一次联考文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ． 2i -D ．2i 【答案】D考点：复数运算．2.命题“()00x ∃∈+∞，，00ln 1x x =-”的否定是（ ） A ．()0000ln 1x x x ∃∈+∞≠-，， B ．()0000ln 1x x x ∃∉+∞=-，， C ．()0ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，D ．()0ln 1x x x ∀∉+∞=-，，【答案】C 【解析】试题分析：“x R ∃∈，p 成立”的否定是：“x R ∀∈，p ⌝成立”，故选C. 考点：特称命题的否定．3.已知0.30.2a =，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则a b c ，，的大小是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】试题分析：由函数x y 2.0log =的单调性可知c b >，且c b >>0，又0>a ，所以a b c >>. 考点：函数值比较．4.执行如图所示的程序框图，若输出结果为63，则M 处的条件为（ ）A ．64?k <B ．64?k ≥ C.32?k < D ．32?k ≥ 【答案】B 【解析】试题分析：212,110=⨯==+=k S ；422,321=⨯==+=k S ；842,743=⨯==+=k S ；1682,1587=⨯==+=k S ；32162,311615=⨯==+=k S ；64322,633231=⨯==+=k S ，由输出结果可知，此时不再进入循环体，故64?k ≥. 考点：程序框图．【思路点睛】本题主要考查识图的能力，通过对程序框图的识图，根据所给循环结构中的判断框计算输出结果，属于基础知识的考查．由程序运行过程看，这是一个求几个数累加的问题，解题时，可通过对条件输出结果S 的判断，逐步演算，可知该程序演算过程需运行6次，运行6次后，k 的值变为64，此时程序不再进入循环体.5.将函数()()sin 2f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C.0 D ．4π- 【答案】B考点：三角函数的性质．6.设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ） A ．6 B ．7 C.10 D ．9 【答案】B考点：等差数列前n 项和．【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、等差数列的前n 项和公式、前n 项和的最值，属于难题.求等差数列前n 项和的最小值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最小值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最小）；②可根据0n a ≤且10n a +≥确定n S 最小时的n 值.7.已知两个不同的平面α、β和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若m n ∥，m α⊥，则n α⊥；②若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥；③若m m n α⊥，∥，n β⊂，则αβ⊥； ④若m n ααβ=∥，，则m n ∥，其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：易知①②正确，对于③若m m n α⊥，∥，则n α⊥，又n β⊂，故αβ⊥，正确，由线面平行的性质可知当β⊂m 时，④才正确，故正确个数有3个. 考点：空间位置关系．8.设x y ，满足约束条件4300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1- 【答案】A 【解析】试题分析：不等式对应的可行域为直线0,03,4==-=+y y x y x 围成的三角形及其内部，顶点为)3,1(),0,4(),0,0(，当2z x y =-过点)0,4(时取得最大值8.考点：简单线性规划．【方法点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0≥++C By Ax 转化为b kx y +≤（或b kx y +≥），“≤”取下方，“≥”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底而1290AB AC BAC AA ==∠=︒=，，，且三棱柱的 所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．4πB ．8π C.12π D ．16π 【答案】D考点：长方体外接球．10.在ABC △中，AB AC AB AC +=-，3AB =，4AC =，则BC 在CA 方向上的投影是（ ） A ．4 B ．3 C.4- D ．5 【答案】C 【解析】试题分析：AB AC AB AC +=-两边平方，得0=⋅AC AB ，可知AC AB ,的夹角为2π，即2π=∠A ，又3AB =，4AC =，可得54cos =C ，则BC 在CA 方向上的投影是4)54(5)cos(||-=-⨯=-C BC π.考点：平面向量数量积的几何意义．11.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，()0F -，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF = 且4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255y x +=B ．2213010y x += C.213616y x 2+= D ．2214525y x +=【答案】C考点：余弦定理、椭圆的定义．12.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()'y f x =，当0x ≠时，，若1122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b c a << C.c a b << D ．a c b << 【答案】D 【解析】试题分析：构造函数)()(x xf x g =，则)(')()('x xf x f x g +=，由已知，)(x g 为偶函数，所以)21(21)21(21--=f f ，又()()'0f x f x x +>，即0)()('>+xx f x xf ，当0<x 时，0)(')(<+x xf x f ，即0)('<x g ，所以函数)(x g 在)0,(-∞单调递减，又2121ln 2-<<-，所以)21(21)21(ln )21(ln )2(2-->>--f f f ，即a c b <<.考点：导数的应用．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.在ABC △中，130AB AC B ==∠=︒，，，ABC △C ∠= ．【答案】60︒【解析】试题分析：由余弦定理，233213cos 2=⨯⨯-+=BC BC B ，所以1=BC 或2，因为B BC AB S ABC sin 21⋅⋅=∆，可得2=BC 不符合23=∆ABC S ，故1=BC ，所以 60=∠C . 考点：余弦定理．14.圆心在直线2x =上的圆与y 轴交于两点()()0402A B --，，，，则该圆的标准方程 为 .【答案】()()22235x y -++= 【解析】试题分析：由已知，圆心纵坐标为32)2(4-=-+-，所以圆心为)3,2(-，半径5)23()02(22=+-+-=r ，故所求圆的方程为()()22235x y -++=. 考点：圆的方程．15.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中 0mn >，则11m n+的最小值为 .【答案】3+【解析】试题分析：定点为)1,2(--，故012=+--n m ，即12=+n m ，由0mn >，可知0,0>>n m ，所以11m n +22323)11)(2(+≥++=++=m n n m n m n m ，当且仅当mn n m =2，即221-=m ，12-=n 时取得等号.考点：基本不等式．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，属于容易题.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过导数，利用单调性求最值.16.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()04，上有三个零点，则实数a 的取值范围 是 ． 【答案】ln 21 , 2e ⎛⎫⎪⎝⎭考点：函数零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题、对数函数的图象的应用，解答中把函数)(x g 有三个零点，转化为方程0)(=x g 有三个实数根，进而转化为函数)(x f y =函数ax y =的图象有三个交点，即可得到实数a 的取值范围，着重考查了数形结合思想、转化与化归思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，属于中等试题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）12n n a +=；（Ⅱ）12-=n n T . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由等差数列通项公式及前n 项和公式，计算可得；（Ⅱ）利用等比数列求和公式求解. 试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得122a d +=，1329322a d ⨯+=.化简得122a d +=， 解得111 , d=2a =，故通项公式112n n a -=+，即12n n a +=.……………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得11b =，41515182b a +===，设{}n b 的公比为q ，则3418b q b ==，从而2q =，故{}n b 的前n 项和()11211n n n b q T q-==--.……………………………………12分考点：等差、等比数列． 18.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160180)，，[180200)，，[200220)，，[220240)，， [240260)，，[260280)，，[280300)，分组的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220240)，，[240260)，，[260280)，，[280300)，的四组用户中，用分层抽 样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220240)，的用户中应抽取多少户？ 【答案】（Ⅰ）0.0075；（Ⅱ）众数230，中位数224；（Ⅲ）5户.试题解析：（Ⅰ）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =所以直方图中x 的值为0.0075.……………………………………3分 （Ⅱ）月平均用电量的众数是2202402302+=； 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[220 , 240)内，设中位数为a ， 由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224.（Ⅲ）月平均用电量为[220 , 240)的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[240 , 260)的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[260 , 280)的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[280 , 300)的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例111 25151055==+++，所以月平均用电量在[220 , 240)的用户中应抽取12555⨯=户.……………………12分考点：频率分布直方图、样本特征数、分层抽样．19.（本小题满分12分）如图，AB是O⊙的直径，点C是O⊙上的动点，PA垂直于O⊙所在的平面ABC.（Ⅰ）证明：PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）设1PA AC=，，求三棱锥A PBC-的高.【答案】（Ⅰ）证明见解析；.试题解析：证明：（1）∵AB是O⊙的直径，点C是O⊙上的动点，∴90ACB∠=︒，即BC AC⊥.…………………………1分又∵PA垂直于O⊙所在平面，BC⊂平面O⊙∴PA BC⊥.……………………………………2分∴PA AC A=∴BC⊥平面PAC.……………………………………4分又BC⊂平面PCB，∴平面PAC⊥平面PBC.…………………………6分（2）由⑴的结论平面PAC⊥平面PBC，平面PAC平面PBC PC=，∴过A 点作PC 的垂线，垂足为D ，………………………………8分 在Rt ABC △中，1PA AC ==，∴2PC =，…………………………9分 由AD PC PA AC ⨯=⨯，∴PA AC AD PC ⨯===∴A 点到平面PCB.…………………………………………12分 考点：空间中点线面位置关系证明． 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++-=和圆()()222:454C x y -+-=. （Ⅰ）若直线l 过点()40A ，，且被圆1C截得的弦长为，求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为平面直角坐标系上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与 圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）0y =或724280x y +-=；（Ⅱ）51 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（Ⅰ）设所求直线为)4(-=x k y ，由垂径定理得直线l 的方程为0y =或724280x y +-=；（Ⅱ）设点P 的坐标为() , m n ，直线12 , l l 的方程分别设为：()()1, y n k x m y n x m k-=--=--，由点到直线的距2030m n m n --=⎧⎨--=⎩或8050m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，得点P 的坐标为51 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭或313 , 22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（Ⅰ）直线l 的方程为0y =或724280x y +-=，…………………………6分考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题设置的是一道直线与圆相交求弦长的问题.解答问题的关键是如何充分利用圆心到直线距离小于半径，设出直线方程，结合点到直线的距离公式表达圆心到直线的距离，这是简化本题求解过程的一个重要措施.解答本题的另一个问题是如何建立关于n m ,的方程组问题，解答时充分利用题设中的有效信息，进行合理的推理判断，最终将问题化为求解n m ,的问题.21.（本小题满分12分）已知函数()ln 1x x f x e+=（e 是自然对数的底数），()1ln h x x x x =--. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线方程；（Ⅱ）求()h x 的最大值；（Ⅲ）设()()'g x xf x =，其中()'f x 为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+．【答案】（Ⅰ）1y e =；（Ⅱ）21-+e ；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义得0)1('=f ，又切点为)1,1(e ，可得切线方程；（Ⅱ）利用导数判断函数)(x h 单调性，进而确认极值点，从而确定最大值；（Ⅲ）由()()'g x xf x =，所以对任意0x >，()21g x e -<+等价于()21ln 1x x x x e e ---<+，由（Ⅱ），()h x 的最大值为()221h e e --=+，故21ln 1x x x e ---≤+，所以()221ln 11x x x x e e e ----≤+<+，对任意0x >恒成立.试题解析：（Ⅰ）由()ln 1x x f x e +=，得()11f e=，……………………………………1分()1ln 'xx x x f x xe --=，所以()'10k f ==，………………………………3分 所以曲线()y f x =在点()()1 , 1f 处的切线方程为1y e =.……………………4分 （Ⅱ）()1ln h x x x x =--，()0 , x ∈+∞，所以()'ln 2h x x =--.………………5分令()'0h x =得，2x e -=，因此当()20 , x e -∈时，()'0h x >，()h x 单调递增；当()2 , x e -∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减.……………………7分所以()h x 在2x e -=处取得极大值，也是最大值.()h x 的最大值为()221h e e --=+.……8分考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('x f ，有)('x f 的正负，得出函数)(x f 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(x f 极值或最值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O ⊙直径，AC 是O ⊙切线，BC 交O ⊙与点E ．（Ⅰ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O ⊙切线；（Ⅱ）若OA =，求ACB ∠的大小．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60.【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，又DE DC =，则DEC DCE ∠=∠，易得90DEC OEB ∠+∠=︒，所以90OED ∠=︒，得证；（Ⅱ）设1CE =，AE x =，由射影定理得2x =解得x =60ACB ∠=︒.试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE BC ⊥，AC AB ⊥，在Rt ABC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连结OE ，OBE OEB ∠=∠，∵90ACB ABC ∠+∠=︒，∴90DEC OEB ∠+∠=︒，∴90OED ∠=︒,∴DE 是圆O 的切线.………………………………………………5分考点：平面几何证明．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2cos 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．【答案】（Ⅰ）相离；（Ⅱ）]2,2[-.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用圆心到直线的距离大于半径，可得圆与直线相离；（Ⅱ）由曲线C 方程可得曲线C 上cos , sin M θθ⎫+-⎪⎪⎭，则cos sin 4x y πθθθ⎛⎫⎡+=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭.考点：极坐标与参数方程．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()120f x x x a a =+-->，．（Ⅰ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）()2 , +∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<；（Ⅱ）由题设可得，()()21 , 0 , 2 1 , 0 , , 13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以ABC △的面积为()2213a +，由已知解得2a >.试题解析：（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，所以不等式()1f x >的解集为223x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.………………………………5分 （Ⅱ）由题设可得，()12 , 1312 , 112 , x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为()()21 , 0 , 2 1 , 0 , , 13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以ABC △的面积为()2213a +. 由题设得()22163a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为()2 , +∞.……………………10分 考点：绝对值不等式．：。
2017年河南省六市高三第一次联考数学(文科)(word版_附答案)
2017年河南省六市高三第一次联考数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合(){}(){}22,y |0,,|1A x y B x y x y ===+=，C A B =I ，则C 的子集的个数是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．42.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为 （ ）A B ． C ．1 D ．03.设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）A ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥B ．若//,,m//n m n αβ⊥，则//αβC ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则//αβD ．若,,m//n m n αβ⊥⊥，则//αβ 4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数 ： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A ． 0.55 B ．0.6 C. 0.65 D ．0.7 5.设0x >，且1nnb a <<，则（ ）A ．01b a <<<B ． 01a b <<< C. 1b a << D ．1a b << 6.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5 C. 45 D ．907.若实数,x y 满足100310x y x y y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值是 （ ）A ． -3B ．32 C. 34 D ．32- 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为 （ ）A ．4B ． -4 C. 6 D ．-69.已知函数：①sin cos y x x =+，②2cos y x x =，则下列结论正确的是 （ ） A ．两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B ．两函数的图像均关于直线4x π=-对称C.两个函数在区间 ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像 10. 已知21、F F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 3B ． 3 C. 2 D ．211. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．πB ．3π C. 4π D ．6π12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”； ②函数()(22ln 1f x x x =+可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是：（ ）A ．①③B ．①③④ C. ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,,1,1a x b x ==-r r，若()2a b a -⊥r r r ，则2a b -=r r ．14.在ABC ∆中，1310tan ,cos 2A B ==，则tan C = ． 15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为32S c=，则ab的最小值为．16.椭圆22:143x yC+=的上、下顶点分别为12、A A，点P在C上且直线2PA斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA斜率的取值范围是．三、解答题（本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17.已知()2sin2f x xπ=，集合(){}|2,0M x f x x==>，把M中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,na n N∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记211nnba+=，设数列{}n b的前n项和为n T，求证：14nT<．18.已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n（单位：百人）的关系有如下规定：当[)0,100n∈时，拥挤等级为“优”；当[)100,200n∈时，拥挤等级为“良”；当[)200,300n∈时，拥挤等级为“拥挤”；当300n≥时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出,a b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；游客数量（单位：百人）[)0,100[)100,200[)200,300[]300,400天数a10 4 1频率b13215130（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率．19.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点．将、AED DCF ∆∆分别沿、DE DF 折起，使、A C 两点重合于点A '，连结,EF A B '．（1）求异面直线A D '与EF 所成角的大小； （2）求三棱锥D A EF '-的体积．20. 如图，抛物线2:2C y px =的焦点为F ，抛物线上一定点()1,2Q ．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）过焦点F 的直线（不经过Q 点）与抛物线交于,A B 两点，与准线l 交于点M ，记,,QA QB QM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在常数λ，使得123k k k λ+=成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21.设函数()()21xa x ax a f x e --+=．（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，()f x 的最大值为a ，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为25252x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 设()11f x x x =-++． （1）求()2f x x ≤+的解集； （2）若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CDDBC 6-10: CCBCC 11、12：BA 二、填空题33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∵()2f x=，∴,21,22x k x k k Zπππ=+=+∈，又∵0x>，∴()*21na n n N=-∈；（2）∵()()*2211121nnb n Na n+==∈+，()222111111441444121nbn n n n n nn⎛⎫==<=-⎪++++⎝⎭+，∴()11111111111422314414 n nT b bn n n⎛⎫=++<=-+-++-=-<⎪++⎝⎭L L，∴14nT<得证.18.解：（1）游客人数在[)0,100范围内的天数共有15天，故15115,302a b===，游客人数的平均数为112150150250350120231530⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）从5天中任选两天的选择方法有：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4，()()3,5,4,5，共10种，其中游客等级均为“优”的有()()()1,4,1,5,4,5，共3种，故所求概率为310.19.解：（1）在正方形ABCD中，因为有,AD AE CD CF⊥⊥，则,A D A E A D A F''''⊥⊥，又A E A F A '''=I ，,A E A F ''⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '．而EF ⊂平面A EF '，所以A D EF '⊥，所以异面直线A D '与EF 所成角的大小为90°； （2）因为正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以在Rt BEF ∆中，1BE BF ==，∴EF =而1A E A F ''==，∴222A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥， ∴111122A EF S '∆=⨯⨯=， 由（1）得A D '⊥平面A EF '，且2A D '=， ∴111123323D A EF A EF V S A D ''-∆'==⨯⨯=. 20.解：（1）把()1,2Q 代入22y px =，得24p =，所以抛物线方程为24y x =， 准线l 的方程为1x =-.（2）由条件可设直线AB 的方程为()1,k 0y k x =-≠.由抛物线准线:1l x =-，可知()1,2M k --，又()1,2Q ，所以322111kk k +==++， 把直线AB 的方程()1y k x =-，代入抛物线方程24y x =，并整理，可得()2222220k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==， 又()1,2Q ，故12121222,11y y k k x x --==--.因为,,A F B 三点共线，所以AF BF k k k ==， 即121211y yk x x ==--， 所以()()()()12121212121212222242221111kx x k x x k y y k k k x x x x x x -++++--+=+==+---++， 即存在常数2λ=，使得1232k k k +=成立. 21.解：（1）当1a =时，()1x x f x e -+=，()()()2110,,1x x f f x f e e-''===-， 所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x ey +-=；（2）()()()()()212122xxa x a x a x a x a f x ee-+-⎡⎤-+--⎣⎦'==，令()0f x '=得()111ax a a=≠-，22x =， ①当1a ≥时，()f x 在[]0,2递减，在[)2,+∞递增， 当x →+∞时，()0f x →，()()max 0f x f a ==；②当21a a >-即213a <<时，()f x 在[]0,2和,1a a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭递减，()f x 在2,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增， 11aaa a f a a e -⎛⎫=≤ ⎪-⎝⎭解得01a ≤≤，所以213a <<； ③当21a a =-即23a =时，()f x 在[)0,+∞递减，()()max 0f x f a ==；④当021a a <<-，即203a <<时，()f x 在0,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和[)2,+∞递减，在,21a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增，()2452a f a e -=≤，解得245a e ≥+，所以24253a e ≤<+； ⑤当01aa≤-，即0a ≤时，()f x 在[]0,2递增，()()0f x f a ≥=不合题意， 综上所述：a 的取值范围为24,5e ⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭. 第（2）问另解： ∵()0f a =，∴()f x 当0x ≥时的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x ≥恒成立，可化为221x x a e x x ≥++-对于0x ≥恒成立，令()221x x g x e x x =++-，则()()()()22211x x x x e g x e x x --'=++-， 于是()g x 在[]0,2上递增，在()2,+∞上递减， ∴()()max 2425g x g e ==+，∴a 的取值范围是245a e ≥+．22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=，直线l的普通方程为0x y -+=；（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得()22224x y -+=，即()22114y x -+=，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线221:14y C x +=， 则曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l的距离2d ==≥（其中1tan 2ϕ=-），所以点P 到直线l 23.解：（1）由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩， 解得02x ≤≤，所以()2f x x ≤+的解集为{}|02x x ≤≤；（2）121111112123a a a a a a a+--=---≤++-=， 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号， 由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥，解得：32x ≤-或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .。
河南省南阳信阳等六市2017届高三数学第一次联考试题 文
2017年河南省六市高三第一次联考数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}(){}22,|0,|1,A x y y B x y x y C A B ===+==，则C 的子集的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 42.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部和虚部之和为B. C. 1 D.03.设,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是A. 若//,//,m n m n αβ⊥，则 αβ⊥B.若//,,//m n m n αβ⊥，则 //αβC.若,//,m n m n αβ⊥⊥，则 //αβD. 若,,//m n m n αβ⊥⊥，则 //αβ4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2表示没有击中目标，3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为A. 0.55B. 0.6C. 0.65D. 0.75.设0x >，且1x x b a <<，则A. 01b a <<<B. 01a b <<<C.1b a <<D.1a b <<6. 下面程序框图的算法思路来源于数学名著《九章算术》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中""mMODn 表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495,135，则输出的m =A. 0B. 5C. 45D.907.，若实数,x y 满足100310x y x y y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值是A. 3-B. 32C. 34D. 32- 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+（m 为奇数），则()3log 5f -的值为A. 4B. 4-C. 6D.6-9.已知函数①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是A.两个函数图象均关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称 B. 两个函数图象均关于直线4x π=-成中心对称C.两个函数在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D.可以将函数②的图象向左平移4π个单位得到函数①的图象 10.已知21,F F 是双曲线()222210,0y a a b a b-=>>的上下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. 3C.211.一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图和俯视图都是右图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是A. πB. 3πC. 4πD. 6π12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数”有无数个；②函数()(2ln f x x =可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形.A. ①③B. ①③④C. ②③D. ①④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,1,1a x b x ==-，若()2a b a -⊥，则2a b -= .14.在ABC ∆中，1tan ,cos 210A B ==,则tan C = .15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为2，则ab 的最小值为 . 16.椭圆22:143x y C +=的上、下顶点分别为12,A A ，点P 在C 上，且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，则直线1PA 斜率的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知()2sin 2f x x π=，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{},.n a n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：14n T <.18.（本题满分12分）已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量（单位：百人）的关系有如下规定：当[)0,100n ∈时，拥挤等级为“优”；当[)100,200n ∈时，拥挤等级为“良”；当[)200,300n ∈时，拥挤等级为“拥挤”；当300n ≥时，拥挤等级为“严重拥挤”。
河南省南阳、信阳等六市高三数学第一次联考试题 理
2017年河南省六市高三第一次联考数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合(){}(){}22,y |0,,|1A x y B x y x y ===+=，C A B =，则C 的子集的个数是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．42.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为 （ ）A B ． C ．1 D ．03.设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ） A ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m//n m n αβ⊥，则//αβ C ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ D ．若,,m//n m n αβ⊥⊥，则//αβ4. 给出下列四个结论： ①已知X 服从正态分布()20,N σ，且()220.6P X -≤≤=，则()20.2P X >=；②若命题[)2000:1,,10p x x x ∃∈+∞--<，则()2:,1,10p x x x ⌝∀∈-∞--≥； ③已知直线12:310,:10l ax y l x by +-=++=，则12l l ⊥的充要条件是3ab=-． 其中正确的结论的个数为：（ ） A ． 0 B ．1 C. 2 D ．35.在ABC ∆中，1tan ,cos 210A B ==，则tan C 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C. 2 D ．-26.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5 C. 45 D ．907.已知2z x y =+，其中实数,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ） A ．211 B ． 14 C. 4 D ．1128.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当()2,0x ∈-时，()f x = （ ）A ．21x ++B ． 31x -+ C. 2x - D ．4x + 9.将函数()2cos2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和72,6a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10. 已知21、F F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A ． 3 B ．C. 2 D11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．πB ．3π C. 4π D ．6π12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数()(2ln f x x =可以是某个圆的“优美函数”；③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是：（ ）A ．①③B ．①③④ C. ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量()()1,,1,1a x b x ==-，若()2a b a -⊥，则2a b -= ． 14. ()5221x x +-的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字填写答案）15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为2S c =，则ab 的最小值为 ．16.椭圆22:143x y C +=的上、下顶点分别为12、A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 ．三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.） 17.观察下列三角形数表：假设第n 行的第二个数为()*2,n a n n N≥∈，（1）归纳出1n a +与n a 的关系式，并求出n a 的通项公式； （2）设()12n n a b n =≥，求证：232n b b b +++<．18.如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，02,60AD CD ADC =∠=．（1）若1AA AC =，求证：1AC ⊥平面11A B CD ；（2）若()12,0CD A A A Cλλ==>，二面角1A C D C --求三棱锥11C A CD -的体积．19.为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95．（1）若规定85分（包括85分）以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：①用变量y 与、x z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；②求y 与、x z 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．参考公式：相关系数()()(1niiii x x y y ry y=--=-∑∑，回归直线方程是：ˆybx a =+，其中()()()121,niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑，参考数据：()()88221177.5,85,81,1050,456i i i i x y z x xy y=====-≈-≈∑∑，()()()88211550,688ii ii i zzx xy y ==-≈--≈∑∑，()()8132.4iii x x z z =--≈≈∑，23.5≈≈．20. 如图，抛物线2:2C y px =的焦点为F ，抛物线上一定点()1,2Q ．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）过焦点F 的直线（不经过Q 点）与抛物线交于,A B 两点，与准线l 交于点M ，记,,QA QB QM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在常数λ，使得123k k k λ+=成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21.已知函数()()3ln x xf x a bxe x=--，且函数()f x 的图象在点()1,e 处的切线与直线()2130x e y -+-=垂直．（1）求,a b ；（2）求证：当()0,1x ∈时，()2f x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 设()11f x x x =-++． （1）求()2f x x ≤+的解集； （2）若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: CDDBB 6-10: CBBAC 11、12：BA 二、填空题14. -30 15. 12 16. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）依题意()12n n a a n n +=+≥，22a =，()()()()()()23243121223122n n n n n a a a a a a a a n --+=+-+-++-=++++-=+， 所以()2111222n a n n n =-+≥； （2）因为1n n a b =，所以222211221n b n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+--⎝⎭，2341111111221212231n b b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18.（1）证明：设1A C 交1AC 于E ，因为1AA ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，所以1AA AC ⊥，又因为1AA AC =，则易知四边形11A ACC 为正方形，所以11A C AC ⊥，在ACD ∆中，02,60AD CD ADC =∠=，由余弦定理得22202cos60AC AD CD AD CD =+-，所以AC =，所以222AD AC CD =+，所以CD AC ⊥， 又易知1AA CD ⊥，且1ACAA A =，所以CD ⊥平面11A ACC ，又1AC ⊂平面11A ACC ，所以1CD AC ⊥， 又1AC CD C =，所以1AC ⊥平面11A B CD .（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,,D A C ，则()()12,23,0,0,AD AC =-=-，所以易知平面1AC D 的一个法向量为11n λ⎫=⎪⎭. 平面1C CD 的一个法向量为()20,1,0n =， 设θ为二面角1A C D C --的平面角，则1212cos 53n n nn θ===+. 得1λ=，所以1AA AC == 所以1111112432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝. 19.解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理4 个优秀分数中选出3个与数学分数对应，种数是()333434或C A A ，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A .根据乘法原理，满足条件的种数是335435C A A .这8位同学的物理分数和数学分数分别对应种数共有88A .故所求的概率33543588114C A A P A ==； （2）①变量y 与、x z 与x 的相关系数分别是6887550.990.9932.421.432.423.5、r r '=≈=≈⨯⨯，所以看出，物理与数学、化学与数学成绩都是高度正相关.②设y 与、x z 与x 的线性回归方程分别是ˆˆ、ybx a z b x a ''=+=+， 根据所给的数据，可以计算出6880.66,850.6677.533.851050b a ===-⨯=， 7550.72,810.7277.525.201050b a ''===-⨯=， 所以y 与x 、z 与x 的回归方程分别是ˆ0.6633.85y x =+、ˆ0.7225.20z x =+，当50x =时，ˆˆ66.85,61.2yz ==， ∴当该生的数学为50分时，其物理、化学成绩分别约为66.85分、61.2分.20.解：（1）把()1,2Q 代入22y px =，得24p =，所以抛物线方程为24y x =，准线l 的方程为1x =-.（2）由条件可设直线AB 的方程为()1,k 0y k x =-≠.由抛物线准线:1l x =-，可知()1,2M k --，又()1,2Q ，所以322111kk k +==++， 把直线AB 的方程()1y k x =-，代入抛物线方程24y x =，并整理，可得()2222220k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k++==， 又()1,2Q ，故12121222,11y y k k x x --==--.因为,,A F B 三点共线，所以AF BF k k k ==， 即121211y yk x x ==--， 所以()()()()12121212121212222242221111kx x k x x k y y k k k x x x x x x -++++--+=+==+---++， 即存在常数2λ=，使得1232k k k +=成立.21.解：（1）因为()1f e =，故()a b e e -=，故1a b -=①；依题意，()121f e '=--；又()()3221ln 3xx x xf x ae b e x x e x-'=--+， 故()11421f ae bc e '=--=--，故42a b -=-②， 联立①②解得2,1a b ==；（2）由（1）得()3ln 2xx x f x e e x x=--， 要证()2f x >，即证3ln 22x x x e e x x->+；令()32xx g x e e x =-，∴()()()()()323223232122xx x g x exx e x x e x x x '=--+=-+-=-++-，故当()0,1x ∈时，0,10x e x -<+>；令()222p x x x =+-，因为()p x 的对称轴为1x =-，且()()010p p <，故存在()00,1x ∈，使得()00p x =；故当()00,x x ∈时，()2220p x x x =+-<，故()()()21220xg x ex x x =-++->，即()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,1x x ∈时，()2220p x x x =+->，故()()()21220xg x ex x x '=-++-<，即()g x 在()0,1x 上单调递减；因为()()02,1g g e ==， 故当()0,1x ∈时，()()02g x g >=，又当()0,1x ∈时，ln 0x x <，∴ln 22xx +<， 所以3ln 22x x x e e x x->+，即()2f x >.22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=，直线l 的普通方程为0x y -+=；（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得()22224x y -+=，即()22114y x -+=，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线221:14y C x +=，则曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l的距离d ==≥（其中1tan 2ϕ=-），所以点P 到直线l 23.解：（1）由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩， 解得02x ≤≤，所以()2f x x ≤+的解集为{}|02x x ≤≤；（2）121111112123a a a a a a a +--=---≤++-=，当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号， 由不等式()121a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥，解得：32x ≤-或32x ≥.故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.。
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河南省南阳、信阳等六市2017届高三第一次联考数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合(){}(){}22,y |0,,|1A x y B x y x y ===+=，C A B = ，则C 的子集的个数是（ ）A ． 0B ．1C ．2D ．42.复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为 （ ）A B ． C ．1 D ．03.设直线,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是 （ ）A ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥B ．若//,,m//n m n αβ⊥，则//αβC ．若,//,m n m n αβ⊥⊥，则//αβD ．若,,m//n m n αβ⊥⊥，则//αβ 4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数 ： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A ． 0.55 B ．0.6 C. 0.65 D ．0.7 5.设0x >，且1nnb a <<，则（ ）A ．01b a <<<B ． 01a b <<< C. 1b a << D ．1a b << 6.下面程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数），若输入的,m n 分别为495，135，则输出的m = （ ）A ．0B ．5 C. 45 D ．907.若实数,x y 满足100310x y x y y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最大值是 （ ）A ． -3B ．32 C. 34 D ．32- 8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3xf x m =+（m 为常数），则()3log 5f -的值为 （ ）A ．4B ． -4 C. 6 D ．-69.已知函数：①sin cos y x x =+，②cos y x x =，则下列结论正确的是 （ ） A ．两个函数的图像均关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 B ．两函数的图像均关于直线4x π=-对称C.两个函数在区间 ,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是单调递增函数 D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像 10. 已知21、F F 是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A ． 3B ．C. 2 D 11. 一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图，图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形，则这个四面体的外接球的表面积是（ ）A ．πB ．3π C. 4π D ．6π12.中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美，给出定义：能够将圆O 的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O ，其“优美函数“有无数个”；②函数()(2ln f x x =可以是某个圆的“优美函数”； ③正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”；④函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形． 其中正确的命题是：（ ）A ．①③B ．①③④ C. ②③ D ．①④第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()()1,,1,1a x b x ==-，若()2a b a -⊥ ，则2a b -= ．14.在ABC ∆中，1tan ,cos 2A B ==，则tan C = ． 15. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC ∆的面积为2S c =，则ab 的最小值为 ． 16.椭圆22:143x y C +=的上、下顶点分别为12、A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是 ．三、解答题 （本题必作题5小题，共60分；选作题2小题，考生任作一题，共10分.）17.已知()2sin2f x x π=，集合(){}|2,0M x f x x ==>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}*,n a n N ∈ ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211n n b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <．18.已知国家某5A 级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n （单位：百人）的关系有如下规定：当[)0,100n ∈时，拥挤等级为“优”；当[)100,200n ∈时，拥挤等级为“良”；当[)200,300n ∈时，拥挤等级为“拥挤”；当300n ≥时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：（1）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出,a b 的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的频率．19.如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点．将、AED DCF ∆∆分别沿、DE DF 折起，使、A C 两点重合于点A '，连结,EF A B '．（1）求异面直线A D '与EF 所成角的大小； （2）求三棱锥D A EF '-的体积．20. 如图，抛物线2:2C y px =的焦点为F ，抛物线上一定点()1,2Q ．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）过焦点F 的直线（不经过Q 点）与抛物线交于,A B 两点，与准线l 交于点M ，记,,QA QB QM 的斜率分别为123,,k k k ，问是否存在常数λ，使得123k k k λ+=成立？若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．21.设函数()()21xa x ax a f x e --+=． （1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，()f x 的最大值为a ，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值．23.选修4-5：不等式选讲 设()11f x x x =-++． （1）求()2f x x ≤+的解集； （2）若不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围．数学（文科）参考答案一、选择题1-5: CDDBC 6-10: CCBCC 11、12：BA二、填空题13.14. -1 15. 12 16. 33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）∵()2f x =，∴,21,22x k x k k Z πππ=+=+∈，又∵0x >，∴()*21n a n n N =-∈；（2）∵()()*2211121n n b n N a n +==∈+， ()222111111441444121n b n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪++++⎝⎭+， ∴()11111111111422314414n n T b b n n n ⎛⎫=++<=-+-++-=-< ⎪++⎝⎭ ， ∴14n T <得证. 18.解：（1）游客人数在[)0,100范围内的天数共有15天， 故15115,302a b ===， 游客人数的平均数为112150150250350120231530⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）从5天中任选两天的选择方法有：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4，()()3,5,4,5，共10种，其中游客等级均为“优”的有()()()1,4,1,5,4,5，共3种，故所求概率为310. 19.解：（1）在正方形ABCD 中，因为有,AD AE CD CF ⊥⊥，则,ADAE AD AF ''''⊥⊥，又A E A F A '''= ，,A E A F ''⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '．而EF ⊂平面A EF '，所以A D EF '⊥，所以异面直线A D '与EF 所成角的大小为90°； （2）因为正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，所以在Rt BEF ∆中，1BE BF ==，∴EF =，而1A E A F ''==，∴222A E A F EF ''+=，∴A E A F ''⊥，∴111122A EF S '∆=⨯⨯=， 由（1）得A D '⊥平面A EF '，且2A D '=，∴111123323D A EF A EF V S A D ''-∆'==⨯⨯=. 20.解：（1）把()1,2Q 代入22y px =，得24p =，所以抛物线方程为24y x =， 准线l 的方程为1x =-.（2）由条件可设直线AB 的方程为()1,k 0y k x =-≠.由抛物线准线:1l x =-，可知()1,2M k --，又()1,2Q ，所以322111kk k +==++， 把直线AB 的方程()1y k x =-，代入抛物线方程24y x =，并整理，可得()2222220k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==，又()1,2Q ，故12121222,11y y k k x x --==--.因为,,A F B 三点共线，所以AF BF k k k ==， 即121211y yk x x ==--， 所以()()()()12121212121212222242221111kx x k x x k y y k k k x x x x x x -++++--+=+==+---++，即存在常数2λ=，使得1232k k k +=成立. 21.解：（1）当1a =时，()1x x f x e -+=，()()()2110,,1xx f f x f e e-''===-， 所以曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为10x ey +-=； （2）()()()()()212122xxa x a x a x a x a f x e e -+-⎡⎤-+--⎣⎦'==，令()0f x '=得()111ax a a=≠-，22x =， ①当1a ≥时，()f x 在[]0,2递减，在[)2,+∞递增， 当x →+∞时，()0f x →，()()max 0f x f a ==；②当21a a >-即213a <<时，()f x 在[]0,2和,1a a ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭递减，()f x 在2,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增， 11aaa a f a a e -⎛⎫=≤ ⎪-⎝⎭解得01a ≤≤，所以213a <<； ③当21a a =-即23a =时，()f x 在[)0,+∞递减，()()max 0f x f a ==； ④当021a a <<-，即203a <<时，()f x 在0,1a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦和[)2,+∞递减，在,21a a ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦递增，()2452a f a e -=≤，解得245a e ≥+，所以24253a e ≤<+； ⑤当01aa≤-，即0a ≤时，()f x 在[]0,2递增，()()0f x f a ≥=不合题意， 综上所述：a 的取值范围为24,5e ⎡⎫+∞⎪⎢+⎣⎭. 第（2）问另解： ∵()0f a =，∴()f x 当0x ≥时的最大值为a ，等价于()f x a ≤对于0x ≥恒成立，可化为221x x a e x x ≥++-对于0x ≥恒成立， 令()221x x g x e x x =++-，则()()()()22211x x x x e g x e x x --'=++-， 于是()g x 在[]0,2上递增，在()2,+∞上递减， ∴()()max 2425g x g e ==+，∴a的取值范围是245a e ≥+． 22.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=，即()2224x y -+=，直线l的普通方程为0x y -+=；（2）将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得()22224x y -+=，即()22114y x -+=，再将所得曲线向左平移1个单位，得曲线221:14y C x +=， 则曲线1C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则点P 到直线l的距离d ==≥（其中1tan 2ϕ=-），所以点P 到直线l 的距离的最小值为2. 23.解：（1）由()2f x x ≤+得：201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩， 解得02x ≤≤，所以()2f x x ≤+的解集为{}|02x x ≤≤；（2）121111112123a a aa a a a+--=---≤++-=， 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号， 由不等式()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得113x x -++≥，解得：32x ≤-或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.。