同态和同构
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
同态和同构
定义 5-22 设 G1, 和 G2 , 是两个群，映射 : G1 G2 ， 如果对 a,b G1 ，有
(a b) (a) (b)
则称 是群 G1 到 G2 的同态映射，简称同态。 例 5-23 设 G1 Z, 是整数加群，G2 {Zn, }是模 n 整数加
循环群和置换群
循环群和置换群是两类重要的群，在计算机密码学中都有 着重用的应用。
定义 5-25 设 G, 为群，如果存在一个元素 a G ，使 G {ak | k Z}，则称 G 为循环群，记作 G a ，称 a 是 G 的生成 元。
例 5-28 (1) Z, 是一个循环群，1 或-1 是生成元，1 与-1 互为逆元。
群。令 : Z Zn ，( x) (x) mod n
则 是 G1 到 G2 y) mod n ( x) mod n ( y) mod n (x) ( y)
例 5-24 设 G1 R, 是实数加群， G2 R {0}, 是非零实数 乘法群。令
证明 首先根据同态的定义，易证 是满足结合律的。其次，由定理 1 的性质(1)，知
G2 , 中存在单位元 e2 (e1) ，其中 e1 为 G1 的单位元。 对于任意的 t G2 ，由于 是 G1 , 到 G2 , 的满射，于是存在 g G1 ，使
( g) t 。令( g1 ) t ' ，于是( g1 g) (e1) e2 。 另一方面，( g1 g) ( g1 ) ( g) t ' t ，所以t ' t e2 。同理可证 t t' e2 。因
定理 5-13 设 是 G1, 到 G2 , 的同态映射， H G1 ，则 (H ) G2 。
证明 任取 x, y (H ) ，则存在 a,b H ，使得 x (a) ， y (b) ； x y (a)(b) (a b)(H ) ，所以 (H ) 对于运算 封闭。又 (e) 是 G2 的 单 位 元 ， x (H) 存 在 a G1 ， 使 得 x (a) ， 从 而 x1 (a1) ( H) 。综上， (H ) 是 G2 的子群。
同态和同构
1
aa
1
假如
1
(a
) a
所以τ-1τ：
a (a ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法 作成的一个群叫做A的变换群。 此群的元素不是数
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个 变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限 例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 例4，设G为群， , b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba a 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
§8.2 同态和同构
定义1：设G,G’是两个群， G上:o G’上:⊙ ，f：G → G’
如果对任意的a,b∈G,都有 f（aob）=f(a)⊙ f(b) 则称f为G到G’的一个同态。进一步
满同态：如果f是满射； 单同态：如果f是单射； 同构：如果f是一一对应的。
例1，
A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， f1：a → 1 ， f2：a → -1 f3：奇a → -1 , 偶a → 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律 IV. ε = τ0∈G V. τθ = τ-θ
第十四讲同态与同构
第十四讲同态与同构§14.1. 同态§14.2. 同态基本定理§14.1. 同态在讲授半群和monoid时，我们已定义过它们的同态与同构，现定义群同态与群同构。
1.1.定义：设(G,*)与(H,︒)为群，f: G→H为映射(1)f为从群G到群H的同态，指(∀a,b∈G)(f(a*b)=f(a)︒f(b))，记为G∽f H(2)f为从G到H的满同态指f为同态且f为onto(3)f为从G到H的同构指f为同态且f为1-1&onto，记为G≌f H(4)f为从(G,*)到(G,*)的自同态指f(ab)=f(a)f(b)(5)f为从(G,*)到(G,*)的自同构(automorphism)指f为自同态且1-1&onto1.2.例：(1)(Z,+),(Z2,+2)为群，令f(2n)=0,f(2n+1)=1,则f为从(Z,+)到(Z2,+2)的群满同态，但f非同构。
令g(n)=0，则g也为同态但不是满的。
(2)(R,+)为实数加群，(R*,*)为非零实数乘群，令f: R→R*为f(x)=2x∵2x+y=2x*2y,∴f为同态，但f不是满的。
(3)令R+为全体正实数，(R+,*)为群，令f: R→R+为f(x)=2x，则f为从(R,+)到(R+,*)的同构。
1.3.命题：设(G,*),(H,︒)为群，(1)令f: G→H，对∀x∈G,f(x)=e H,则f为同态。
(2)令a∈G,f a: G→G为f a(x)=axa-1,则f a为自同构。
证明：∵f a(xy)=axya-1=axa-1aya-1=f a(x)f a(y)∴f a为同态又∵f a为1-1&onto∴f a为同构. #1.4.命题：(Z6,+6)恰有6个自同态，恰有2个自同构。
证明：(1)令f i: Z6→Z6,f I(x)=ix(mod 6)(=ix-[ix/6]*6),i=0,1, (5)∵f i(x+6y)=i(x+6y)(mod 6)=ix(mod 6)+6iy(mod6)=f i(x)+6f i(y)∴f i为同态.∵f i(1)=i∴i≠j→f i≠f j,故(Z6,+6)至少有6个自同态。
群论中的同态与同构理论
群论中的同态与同构理论群论是数学中的一个重要分支，研究群的性质和结构。
在群论中，同态和同构是两个基本概念，它们对于理解群的性质和群之间的关系非常重要。
一、同态的定义和性质在群论中，同态是指两个群之间的映射，它保持了群运算的结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)，那么φ就是一个从G到H的同态。
同态具有以下性质：1. 同态保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同态保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同态保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
二、同构的定义和性质同构是指两个群之间的一种特殊的同态映射，它是一种双射，并且保持了群运算和群结构。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射φ：G→H，满足以下条件：1. φ是一个双射，即φ是一个一一对应的映射。
2. φ保持群运算，即对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
那么φ就是一个从G到H的同构。
同构具有以下性质：1. 同构保持群运算：对于任意的x、y∈G，有φ(xy)=φ(x)φ(y)。
2. 同构保持单位元：对于任意的eG∈G，有φ(eG)=eH。
3. 同构保持逆元：对于任意的x∈G，有φ(x^(-1))=[φ(x)]^(-1)。
三、同态和同构的应用同态和同构在群论中有着广泛的应用。
它们可以帮助我们研究群的性质和结构，以及群之间的关系。
1. 同态的应用：同态可以用来研究群之间的映射关系。
通过同态，我们可以将一个复杂的群映射到一个简单的群，从而简化问题的研究。
同态还可以用来刻画群的性质，例如同态核和同态像等。
2. 同构的应用：同构可以将一个群与另一个群进行一一对应，从而帮助我们找到两个群之间的相似之处。
同构还可以用来研究群的结构，例如分类群的同构分类问题。
四、同态与同构的例子为了更好地理解同态和同构的概念，我们来看几个具体的例子。
同态和同构的关系
同态和同构的关系
在数学中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了两个代数结构之间的关系。
1.同态（Homomorphism）：同态是指将一个代数结构映射到另一个代数结构的映射，保持运算结构的性质。
如果存在两个代数结构A 和B，以及一个映射f：A→B，对于A中的任意元素a和b，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，其中"*"表示A和B上的运算，而"="表示两个代数结构中的相等关系。
简而言之，同态保持了代数结构中的运算规则。
2.同构（Isomorphism）：同构是指两个代数结构之间存在一种双射关系，使得双射保持了运算结构和元素之间的关系。
如果存在两个代数结构A和B，以及一个映射f：A→B，满足以下条件：-f是一个双射，即对于A中的每个元素a，都存在唯一的元素b 在B中与之对应；
-对于A中的任意两个元素a1和a2，满足a1*a2=a3，则f(a1)*f(a2)=f(a3)；
-对于B中的任意元素b1和b2，满足b1*b2=b3，则存在A中的元素a1和a2，使得f(a1)=b1，f(a2)=b2，f(a1*a2)=b3。
简而言之，同构保持了代数结构中的运算规则和元素之间的一一对应关系。
因此，可以将同构看作是一种更严格的同态关系。
如果两个代数结构之间存在一个同构映射，那么它们在结构和性质上是完全相同的，只是元素的表示不同而已。
需要注意的是，在数学中，同态和同构的概念不仅仅适用于代数结构，还可以应用于其他领域，如拓扑学、图论等。
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近世代数科普
近世代数科普群论⼆1. 同态与同构群的同态：设f:G→G′，如果其满⾜∀a,b∈G,f(a)f(b)=f(ab)，则称f是⼀个同态当f是⼀个满射时，称为满同态当f是⼀个单射时，称为单同态当f是⼀个双射时，称为同构，称为G≅G′常记f(G)={f(x):x∈G}，f−1(x)={a:f(a)=x}，f−1(S)={a:f(a)∈S}常⽤结论设f:G→G′为⼀个同态，则f(e)=e′，f(a)−1=f(a−1)设f:G→G′为⼀个同态，则f(G)⩽G′Prof：对a′,b′∈f(G)，∃a,b∈G,f(a)=a′,f(b)=b′，则a′b′−1=f(a)f(b)−1=f(ab−1)∈f(G)2. 正规⼦群Def：设H⩽G，若∀a∈G,aH=Ha，则称H为⼀个正规⼦群，记做H⊲G正规⼦群的等价结论：设H⩽G，∀a∈G,aHa−1=H设H⩽G，∀a∈G,aHa−1⊆HProf：取a和a−1，aHa−1⊆H，a−1Ha⊆H设H⊲G，K⩽G，则H∩K⊲KProf：∀x∈H∩K,∀g∈K,g−1xg∈H∩K（H是由正规⼦群，K由群的封闭性）3. 核Def：设f:G→G′是⼀个同态，则f−1(e)称为f的核，记做ker(f)核⼀定是正规⼦群：⼦群：∀a,b∈ker(f),f(ab−1)=f(a)f(b−1)=e∈ker(f)正规⼦群：∀g∈G,h∈ker(f)，f(ghg−1)=f(g)ef(g−1)=e∈ker(f)，从⽽g ker(f)g−1⊆ker(f)，从⽽ker(f)是正规⼦群f−1(a)=a ker(f)4. 商群定义⼀种集合运算，AB={ab|a∈A,b∈B}Def：设H⩽G，G/H为H的陪集的集合，若H⊲G，G/H在上述集合运算下构成群，称为商群，商群的单位元为H，元素aH的逆元为a−1HProf：∀aH,bH∈G/H,aHb−1H=ab−1H∈G/H5. ⾃然同态设H⊲G，则存在G→G/H的同态φ(a)=aH，称为H的⾃然同态⾃然同态⼀定是满同态φ(H)=φ−1(H)=H6. 群同态基本定理设f:G→G′是⼀个满同态，则G/ker(f)≅G′Prof：记N=ker(f)，构建映射ϕ(aN)=f(a)先证为双射，如果f(a)=f(b)，则a∈bN，则aN=bN，故为单射∀a′∈G′,∃a∈f−1(a′),s.t.ϕ(aN)=a′，故为满射再证同构，ϕ(aN)ϕ(bN)=f(a)f(b)=f(ab)=ϕ(abN)=ϕ(aNbN)推论：设f:G→G′是⼀个同态，则G/ker(f)≅f(G)7. 群同态定理设f:G→G′是⼀个满同态，记N=ker(f)f建⽴G包含N的⼦群与G′的⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S1={K:N⩽K⩽G}，S2={K:K⩽G′}(a) ⾸先证明映射合法，∀H∈S1,f:H→G′是⼀个同态，因此f(H)⩽G′(b) 证明单射，先证∀H∈S1,f−1(f(H))=H，知H⊂f−1(f(H))，并且∀x∈f−1(f(H)),f(x)∈f(H)，因⽽∃h∈H,f(x)=f(h)，故x∈hN⊂H，故f−1(f(H))⊂H，因此f−1(f(H))=H，那么如果f(H1)=f(H2)就有H1=H2(c) 证明满射，∀H′∈S2,f(f−1(H′))=H′f建⽴G包含N的正规⼦群与G′的正规⼦群之间的⼀⼀对应Prof：设S a={K:N⩽K⊲G},S b={K:K⊲G′}(a) f:S a→S b合法，因为∀K∈S a,∀g∈G,gKg−1=K，故f(K)=f(gKg−1)=f(g)f(K)f(g)−1，由f是满同构知f(K)∈S b，⼜由f:S1→S2是双射知，f是⼀个单射(b) 反之，∀K′∈S b,∀g∈G,f(g−1f−1(K′)g)=f(g)−1K′f(g)=K′，从⽽g−1f−1(K′)g⊂f−1(K′)，从⽽f−1(K′)∈S a，由f:S1→S2是双射知，f是⼀个满射上述两条主要是为了接下来的定理的描述第⼀群同构定理：设f:G→G′是⼀个满同态，设N=ker(f)，设N⊂H⊲G，则G/H≅G′/f(H)Prof：设G′/f(H)的⾃然同态为π，那么我们考虑同态φ=πf(G→G′/f(H))，由π,f为满同态，则φ为满同态我们考虑证明H=ker(φ)，即{x|πf(x)∈f(H)}，显然H⊆ker(φ)，⽽∀x∈ker(φ)，有πf(x)∈f(H)，即f(x)∈f(H)，即x∈f−1(f(x))⊆H，从⽽H=ker(φ)，由群同态基本定理，我们得到G/H≅G′/f(H)第⼆群同构定理：设H⩽G,N⊲G，则HN/N≅H/H∩N为了使定理有意义，先证HN是⼦群，⾸先HN=NH，∀h1,h2∈H,n1,n2∈N，n1h1(n2h2)−1=n1(h1h−12)n2∈NHN=HN，故HN为⼦群Prof：设H/H∩N的⾃然同态为π，π(a)=a(H∩N)，构造f:HN→H，∀x∈aN,f(x)=a，则ϕ=πf是⼀个满同态我们考虑证明N=ker(ϕ)，即{x|πf(x)∈H∩N}，⾸先f(N)=e,π(e)=H∩N，故N⊆ker(ϕ)⽽且∀x∈ker(ϕ),f(x)∈{e}，故x∈N，故ker(ϕ)⊆N第三群同构定理：设N⊲G,N⩽H⊲G，则G/H≅(G/N)/(H/N)Prof：第⼀群同构定理，取G′=G/N的特例群论三1. 单群Def：如果G没有⾮平凡的正规⼦群（{e}和G），那么G称为单群G≠{e}是交换单群，当且仅当G为素数阶的循环群Prof：对任意g≠e，考虑⟨g⟩2. ⽣成⼦群记最⼩包含S的⼦群为⟨S⟩，即⟨S⟩=⋂S⊂H⩽G H∀x∈S,x=x1x2...x m(x1,x2,...,x m∈S∪S−1)当S有限时，⟨S⟩称为有限⽣成群3. 换位⼦群（导群）a−1b−1ab称为元素a,b的换位⼦（交换⼦），记做[a,b]所有的换位⼦⽣成的⼦群称为换位⼦群（导群），常记做G′, [G,G], G(1)（以后变量要取别的名字了...）当ab=ba时，[a,b]=a−1b−1ab=eG′⊲GProf：g[a,b]g−1=(ga−1g−1)(gb−1g−1)(gag−1)(gbg−1)=[gag−1,gbg−1]∀x∈G′,x=[a1,b1][a2,b2]...[a m,b m], 故gxg−1=[ga1g−1,gb1g−1][ga m g−1,gb m g−1]∈G′故∀g∈G,g−1G′g⊆G′，故G′⊲GG/G′是阿贝尔群Prof：aG′bG′=bG′aG′⇔aG′b=bG′a⇔G′=a−1bG′ab−1⇔G′=G′a−1bab−1⇔G′=G′[a,b−1]4. 可解群定义G(n)=(G(n−1))(1)，注意到G⊳G(1)⊳G(2)⊳...Def：如果G(k)={e}，则称G为可解群利⽤换位⼦群的商群的性质，有这样的充要条件：群G是可解群当且仅当存在G⊳G1⊳G2....⊳G k={e}，且G i−1/G i(1≤i≤k)为阿贝尔群Prof：“⇒"：显然，G,G(1),G(2),....，满⾜题意“⇐”：如果G/N是阿贝尔群，考虑φ:G→G/N为⾃然同态，那么有φ([a,b])=e，即[a,b]∈N从⽽我们有G(1)⩽N，在本题中，由于G/G1是阿贝尔群，故G(1)⩽G1，归纳得到G(k)⩽G k，即G(k)={e}5. 中⼼化⼦定义C(G)={x:∀a∈G,ax=xa}，称为群G的中⼼C(G)⊲G类似的，定义C S(G)={x:∀a∈S,ax=xa}，称为S的中⼼化⼦C S(G)⩽G6. 群对集合的作⽤设f:G×S→S，且满⾜[1] f(e,x)=x [2] f(g1g2,x)=f(g1,f(g2,x))，称f决定了群G在S上的作⽤，f(g1,x)常简写为g1(x)设G是⼀个群，X,X′是两个⾮空集合，G作⽤在X,X′上，如果存在双射ϕ:X→X′，使得ϕ(g(x))=g(ϕ(x))，则称这两个作⽤等价example：项链的旋转构成群，对长为n的全红项链和全蓝项链显然等价设G作⽤在X上，定义关系R={(x,y)|∃g∈G,g(x)=y}，易证R是等价关系，在这个等价关系下，我们划分出的等价类称为轨道，和x 等价的元素记做O x={g(x)|g∈G}给⼀条项链染⾊，在旋转操作下等价的元素设G作⽤在X上，∀x∈X，定义H x={g∈G|g(x)=x}为x的稳定⼦群（显然为⼦群）如果|O x|=1，或者说∀g∈G,g(x)=x，则称x为不动点7. 齐性空间Def：设H⩽G，则H的所有左陪集构成的集合称为G的齐性空间⼀般的，默认g(aH)=gaH是G在G/H上的作⽤设G作⽤在X上，则\forall x \in X，G在O_x上的作⽤和其在G/H_x上的作⽤等价Prof：定义映射f:G/H_x \to O_x, f(aH_x) = a(x)其为单射，因为b(x) = a(x) \Leftrightarrow b^{-1}a(x)=x \Leftrightarrow bH_x=aH_x其显然为满射，因此此为⼀⼀映射，并且，f(gaH_x) = ga(x) = g(f(aH_x))设G为有限群，G作⽤在X上，则|O_x| = |G/H_x|Prof：由上⼀个命题，f是⼀个⼀⼀映射，故这两个集合的基数相等ex：求正⽅体的旋转群的⼤⼩我们考虑利⽤上式公式，不难得到|H_1| = 3，|O_1| = 8，从⽽|G| = 24在G作⽤到G上，并且g(x) = gxg^{-1}时，此时H_x = C_G(X)，定义C(x)为和x共轭的元素的集合，则|C(x)| = |G :C_G(x)|根据等价类的定义，从每个共轭类中选择⼀个元素，得到|G| = \sum_x [G:C_G(x)]特别的，当x\in C(G)时，[G:C_G(x)] = 1，因此我们选择从每个⾮平凡的共轭类中选择⼀个x元，则有|G| = |C(G)| + \sum_x |G:C_G(x)|这称为共轭类⽅程设H\leqslant G，则H \cong xHx^{-1}(x\in G)8. p-群Def：如果|G| = p^k(k\geq 1)，其中p为素数，则称G为p-群设p-群G作⽤于集合X上，设|X|=n，设t为X中不动点的数⽬，则t \equiv n(mod\;p)Prof：设集合X的全部轨道为O_1, O_2, ..., O_k，则有\sum |O_i| = n，注意到|O_i| = p^m(m\geq 0)，当且仅当|O_i| = 1时，有|O_i|\;mod\;p =1，否则|O_i| \;mod\;p=0，因此t \equiv n(mod\;p)p-群⼀定有⾮\{e\}的中⼼Prof：考虑G到G上的共轭变换，任意G的中⼼中的元素⼀定是⼀个不动点，因此，我们有|C(G)|\equiv 0(mod\;p)，⾃然我们得到|C(G)|>19. Burnside 引理设群G作⽤于集合S上，令t表⽰S在G作⽤下的轨道的条数，\forall g\in G，F(g)表⽰S在g作⽤下不动点的个数，则t = \frac{\sum_{g\in G} F(g)}{|G|}Prof：⾸先转化命题，我们运⽤双计数证明|G|*t = \sum_{g\in G}F(g)考虑右式，\sum_{g\in G}F(g) = \sum_{x\in S, g\in G} [gx = x] = \sum_{x\in S} \{g:g\in G, gx=x\} = \sum_{x\in S} |H_x|由于|H_x| = |G| / |O_x|，因此所求即|G|*\sum_{x \in S}\frac{1}{|O_x|}，即证\sum_{x\in S} \frac{1}{|O_x|} = t考虑⼀个轨道O_x，这个轨道产⽣的贡献为|O_x| * \frac{1}{|O_x|} = 1，如此，t为不同的轨道的条数，命题得证群论四好像有些不太正常的要来了1. 西罗第⼀定理设G是⼀个阶为n的有限群，p为素数，如果p^k | n, k \geq 0，那么G中存在⼀个阶为p^k的⼦群Prof：引理：设n = p^r*m, (p, m) = 1，对k \leq r，有v_p(\binom{n}{p^k})=r-k（由Kummer\;TH显然）取G中所有含有p^k个元素的⼦集，构成集合X，令G作⽤在X上，定义g(A) = gA, A\in X那么有|X| = \sum |O_i|，由于p^{r-k+1} \nmid |X|，因此存在A\in X，使p^{r-k+1} \nmid |O_A|，下证|H_A|=p^k由|O_A| |H_A|= |G|知，v_p(H_A) \geq k，即|H_A| \geq p^k但\forall a\in A, H_Aa \subset A，故|H_A| \leqslant |A| = p^k，从⽽|H_A|=p^k设v_p(|G|) = k，则阶为p^k的⼦群称为西罗p-⼦群2. 西罗第⼆定理设v_p(|G|) = r，P是G的⼀个西罗p-⼦群，\forall H \leqslant G, |H|=p^k, \exists g\in G, s.t. H \leqslant gPg^{-1}Prof：考虑X为P的左陪集的集合，将H作⽤于X，h(aP)=haP由于(|X|, |H|) = 1，那么存在⼀个不动点，使得HgP = gP此时\forall h \in H ,\exists p_1, p_2\in P, hgp_1=gp_2，即h = gp_2p_1^{-1}g^{-1} \in gPg^{-1}，因此H \leqslant gPg^{-1}推论1：任意两个西罗p-⼦群互相共轭推论的推论：⼀个群G有唯⼀的西罗p-⼦群P的充要条件为P \lhd G3. 正规化⼦Def：对H \leqslant G，定义\{g:g\in G, gH=Hg\}为H的正规化⼦，记做N(H) N(H) \leqslant GH \lhd N(H)C_G(H) \leqslant N(H)G中西罗p-⼦群的个数，以及对任⼀西罗p-⼦群P，N(P)的阶为|G|的因⼦Prof：设X为G中所有西罗p-⼦群的集合，在上⾯作共轭变换对任⼀西罗p-⼦群P，有O_P = X，H_P = N(P)，从⽽|X|*|N(P)|= |G|4. 西罗第三定理若G中所有西罗p-⼦群的个数为t，则t \equiv 1(mod\;p)证明从略|G| = p^r * m, (p, m) = 1，结合t | |G|，我们有t | m。
离散数学-同态和同构
(h(x1)*′h(x2))*′h(x3)=h(x1*x2)*′h(x3)=h((x1*x2)*x3) =h(x1*(x2*x3))=h(x1)*′h(x2*x3) =h(x1)*′(h(x2)*′h(x3))
所以, *′是可交换(或可结合的)。证毕。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′,* >由下表
(x)+f (y)； (3) 常元运算保持。f(1)=log1=0。
所以<R＋, ·, 1>与<R, +, 0>同构。
一、同态与同构
例1(b)：集合A={1, 2, 3, 4}, 函数f∶A → A,
f ={<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 1>}, f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数f·f；f 3表示f 2·f； f 4表 示f 3·f；则f 4=f 0。设F={f 0, f 1, f 2, f 3}, 则代数<F, ·, f 0>可以用左下方的运 算表给定, 这里f 0是么元。集合N4={0, 1, 2, 3},+4是模4加法,代数<N4,+4,0> 用右下方的运算表给定, 这里0是么元。试证明这两个代数同构。
(a) 若*可交换(可结合), 则在A″中, *′也是可交换(可结合) 。 (b) 对*, 若A有么元e (零元0), 则对*′, 代数A″中有么元h(e) (零元h(0))。 (此时h(e) 不一定是代数A′中的实际么元, 除非h是满同态。) (c) 对于*,若一个元素x∈S具有逆元x-1, 则对于*′, 在代数A″中, 元素h(x) 具有逆元h(x-1)。 (d) 若运算*对运算×是可分配的, 则在A″中运算*′ 对运算×′也是可分 配的。
同态与同构
离散结构同态与同构教学目标基本要求（1）掌握同态映射与同构映射的定义（2）掌握同态映射与同构映射的判定方法重点难点（1）同态映射的证明同态映射定义：设V1=<A,∘>和V2=<B,∗>是同类型的代数系统，f:A→B，且∀x, y∈A 有f(x∘y) = f(x)∗f(y), 则称f 是V1到V2的同态映射，简称同态.同态分类：(1) 如果f是单射，则称为单同态(2) 如果f是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像，记作V1∼ V2(3) 如果f是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2，记作V1 ≅ V2(4) 如果V1 = V2，则称作自同态实例例：设G为非0实数集R*关于普通乘法构成的代数系统，判断下述函数是否为G的自同态？如果不是，说明理由. 如果是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1) f(x) = |x| +1(2) f(x) = |x|(3) f(x) = 0(4) f(x) = 2解：(1) 不是同态, 因为f(2×2)=f(4)=5, f(2)×f(2)=3×3=9(2) 是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)= f(−1), 且 ran f中没有负数.(3) 不是G 的自同态，因为f不是 G 到 G 的函数实例例：(1) 设V1=<Z,+>, V2=<Z n,⊕>．其中Z为整数集，+为普通加法；Z n={0,1,…,n−1}，⊕为模n，f (x)=(x)mod n加. 令f: Z→Znf 是V1到V2的满同态．【f满射，f(x1+x2)=(x1+x2)mod n=(x1 mod n )⊕(x2 mod n)=f(x1)⊕f(x2)】(2) 设V1=<R,+>, V2=<R*,· >，其中R和R*分别为实数集与非零实数集，+ 和 · 分别表示普通加法与乘法．令f: R→R*，f (x)= e xf是V1到V2的单同态. 【f单射，f(x1+x2)=e(x1+x2)=e x1· e x2=f(x1) · f(x2)】(3) 设V=<Z,+>，其中Z为整数集，+为普通加法. ∀a∈Z，令f a : Z→Z，f a (x)=ax，f a 是V的自同态. 【f(x1+x2)=a(x1+x2)=ax1+ax2=f(x1)+f(x2)】当a=0时称f为零同态；为自同构；当a=±1时，称fa例. 证明<Z4,+4>与<X, >同构。
群论中的同态映射与同构定理解析
群论中的同态映射与同构定理解析群论是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构中的群以及群之间的映射和关系。
在群论中，同态映射与同构定理是两个基本概念，它们在研究群的结构和性质时起到了关键作用。
本文将对群论中的同态映射与同构定理进行解析。
一、同态映射同态映射是指保持群运算结构的映射。
设有两个群G和H，若映射φ：G→H满足对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)，则称φ为从G到H的同态映射。
其中，⋅表示群G中的运算，⋅表示群H中的运算。
同态映射的定义表明，同态映射保持了群运算的结构。
通过同态映射，我们可以将一个群映射成另一个群，同时保持原有群的运算性质。
同态映射的性质如下：1. 同态映射将群的单位元映射为群的单位元，即φ(eG)=eH，其中eG和eH分别表示群G和H的单位元。
2. 同态映射将群的逆元映射为群的逆元，即φ(g^-1)=φ(g)^-1，其中g表示群G中的元素。
3. 同态映射保持群的运算，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。
二、同构定理同构是指两个群之间存在一个双射的同态映射。
设有两个群G和H，若存在一个双射的同态映射φ：G→H，则称G与H同构，记作G≅H。
同构的概念描述了两个群之间的一种特殊关系，即它们具有相同的结构和性质。
同构的性质如下：1. 同构是等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。
对于任意的群G，有G≅G；若G≅H，则H≅G；若G≅H且H≅K，则G≅K。
2. 同构保持群的运算和结构，即对于任意的g1,g2∈G，有φ(g1⋅g2)=φ(g1)⋅φ(g2)。
3. 同构保持群的性质，如群的阶、子群、循环性等。
同构定理是群论中的重要定理，它揭示了群之间的结构和性质的关联。
常见的同构定理包括拉格朗日定理、卡莱定理和第一同构定理等。
三、应用与举例同态映射和同构定理在群论中有广泛的应用。
它们可以用来研究群的结构、性质和分类。
以整数加法群(Z,+)和模n整数加法群(Z/nZ,+)为例，可以构造一个自然同态映射φ：Z→Z/nZ，即将整数映射到模n的等价类。
群同态三大基本定理
群同态三大基本定理群同态三大基本定理是群论中的重要结果，包括同态基本定理、同构基本定理和同态映射定理。
这些定理对于研究群及其结构和性质具有重要意义。
本文将分别介绍和阐述这三大基本定理。
一、同态基本定理同态基本定理是群同态理论的基石，它表明了群同态的基本性质。
该定理断言，对于任意群G和H，如果存在一个由G到H的群同态φ，则G的核Ker(φ)是G的一个正规子群，且G/ Ker(φ)与φ(G)同构。
其中，核是指同态映射φ的零空间，即使得φ(g) = e_H的所有元素g构成的子集。
同态基本定理的证明思路是，首先证明Ker(φ)是G的一个正规子群，然后构造一个映射ψ: G/Ker(φ) → φ(G)，通过ψ(gKer(φ)) = φ(g)将G/Ker(φ)的元素映射到φ(G)的元素，证明ψ是一个双射，并且保持群运算。
因此，G/Ker(φ)与φ(G)同构。
二、同构基本定理同构基本定理是群论中的一个重要结果，它给出了同构的判定条件。
该定理指出，如果存在一个双射φ: G → H，且满足φ(xy) = φ(x)φ(y)，那么G与H是同构的。
换句话说，如果两个群之间存在一个双射，且保持群运算，那么这两个群是同构的。
同构基本定理的证明思路是，首先证明φ是一个同态映射，即φ(xy)= φ(x)φ(y)成立。
然后证明φ的逆映射存在，即存在一个映射ψ: H → G，使得ψ(φ(x)) = x和φ(ψ(y)) = y对于所有的x∈G和y∈H 成立。
最后，证明ψ也是一个同态映射，即ψ(xy) = ψ(x)ψ(y)成立。
因此，φ和ψ构成了G和H之间的同构关系。
三、同态映射定理同态映射定理是群同态理论中的一个重要结果，它给出了同态映射的性质。
该定理指出，如果φ: G → H是一个群同态，那么φ(G)是H的一个子群，且φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
同态映射定理的证明思路是，首先证明φ(G)是H的一个子群。
然后证明φ(G)的阶是G的核Ker(φ)的阶的整数倍。
5.8同态与同构
=f(x*(y*z))
=f((x*y)*z)=f(x*y)*’f(z) =(f(x)*’f(y))*’f(z)=(a*’b)*’c 。
<f(A),*’>是半群。
同态像的性质
2)若<A,*>是独异点,则<f(A),*’>也是独异点. 证:af(A),则x,有a=f(x),eA,f(e)f(A)， a*’f(e)=f(x)*’f(e)=f(x*e)=f(x)=a， f(e)*’a=f(e)*’f(x)=f(e*x)=f(x)=a。 f(e)是<f(A),*’>的幺元, <f(A),*’>是独异点。 3)若<A,*>是一个群,则<f(A),*’>也是一个群.
<R+,>同构于<R,+>。
同态与同构
例2.证明<R-｛0｝,×>和<R,+>不同构。
证:（反证法）设h是<R,+>到<R-｛0｝,×>的一个同构映射, b∈R-｛0｝,必存在a∈R,使得h(a)=b,
则:b=h(a)=h(0+a)=h(0)×h(a)=h(0)×b
b=h(a)=h(a+0)=h(a)×h(0)=b×h(0),所以h(0)=1。 对于-1∈R-｛0｝,必存在c∈R,使得h(c)=-1, 且h(c+c)=h(c)×h(c)=-1×-1=1,故有c+c=0,即c=0, h(0)=-1, 这与h(0)=1是矛盾,所以h不是双射。 <R-｛0｝,×>和<R,+> 不同构。
同态核
1.定义5-8.4:设f是由群<G,*>到群<G’,*>的同态,e’是
8.3同态与同构
如果*（或△）是可交换的（可结合的或等幂 的），则○（或⊙)在f(A)中也是可交换的（可 结合的或幂等的）
如果*对△是可分配的，则○对⊙在f(A)中也 是可分配的。 如果*对△是可吸收的，则○和⊙在f(A)中也 是可吸收的。 如果e是A中关于*运算的单位元，θ 是A中关于 *运算的零元，则f(e)和f(θ )分别是f(A)中关 于○运算的单位元和零元
○ 1 1 1 2 2 ◎ a a a b b
2
2
1
b
b
a
V1=({1,2}, ○ )和V2=({a,b}, ◎ ),容易看出 可 以 建 立 f:{1,2}{a,b} 的 映 射 ， f(1)=a,f(2)=b,则V1和V2是同一个系统。
同态： 设 V1=(G，※)和V2=(S，ο)是两个代数系 统,※和ο分别是G和S上的二元运算,设f是从G到 S 上 的 一 个 映 射 ， 且 对 a,bG, 有 f(a※b)=f(a)ο ο f(b) f(b)，则称 f 为从 V1 到 V2 的一个 f(a※b)=f(a) 同态映射，简称为同态。 同态
④如果 V1=V2＝V，h 是从 V 到 V 的同态 ( 同构 ) ） 函数，称f是V的自同态(自同构)。
例1： (Z, +)和(Zn , +n)是两个代数系统，其中+n 是模n加法Zn={ 0,1,2, … , n-1},令映射f : ZZn , f(x)=(x)(mod n),则f是(Z, +),则(Zn , +n) 的满同态。
c
d a b
d
a b c
0
1 2 3
0
1 2 3
1
2 3 0
2
3lt;Z,+>，给定a∈Z，令фa： ZZ， фa(x)=ax，则фa是V到V的自 同态。
第5-5讲 同态与同构
1、例子（3）
f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=f(α)=f(β)=f(γ)=1,f(δ)=f(ε)=0,f(ζ)=-1, *(- )=0 β ⊗ ζ= ε ; 1*(-1)=0 f(β )=f( f(ε *(f(β)*f(ζ f(β ⊗ ζ)=f(ε)= 0 =1*(-1)= f(β)*f(ζ)
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5、同态核
定义4 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，eH是<H,*> 的幺元,令Ker(f)={x|x∈G且f(x)=eH}。称Ker(f)是同态映 射f的核，简称同态核。 定理3 设f是群<G,⊗>到群<H,*>的一个同态，则f的同态 核K是G的子群。(<K,⊗>是<G,⊗>的子群) 证明：对任意k1,k2∈K,有 对任意k K,有 对任意 )=e f(k1⊗k2)=f(k1)*f(k2)= H*eH=eH k 所以k k K,所以 运算在K 封闭。进而可知⊗运算在 所以⊗运算在 所以k1⊗k2∈K,所以 运算在K上封闭。进而可知 运算在 可结合。 K上可结合。 又因f是群<G, 到群<H,*>的同态，根据定理1 <G,⊗ <H,*>的同态 又因f是群<G,⊗>到群<H,*>的同态，根据定理1， eH=f(e)，这说明e∈K，e也是K的幺元。 这说明e 也是K 幺元。 这说明 对任意k f(k)=e =(e 对任意k∈K, f(k)= H。 f(k-1)=(f(k))-1=( H)-1= eH 所以k K,即 中任意元素有逆元 从而K 逆元。 的子群。 所以k-1∈K,即K中任意元素有逆元。从而K是G的子群。
群环域论中的同态与同构
群环域论中的同态与同构群环域论是数学中的一个重要分支，研究群与环域之间的关系及其性质。
在群环域论中，同态与同构是两个重要的概念。
本文将从同态和同构的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、同态的定义与性质同态是指保持代数结构之间运算相容性的映射。
对于群与环域，同态具体的定义如下：（一）群同态：设G和H是两个群，如果存在一个映射f：G→H，满足对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从G到H的一个群同态。
（二）环域同态：设R和S是两个环域，如果存在一个映射f：R→S，满足对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称f为从R到S的一个环域同态。
同态具有以下性质：（一）同态保持单位元：对于群同态，有f(eG)=eH，其中eG和eH分别是群G和H的单位元。
（二）同态保持逆元：对于群同态，有f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中a^(-1)是a的逆元。
（三）同态保持加法和乘法运算：对于环域同态，有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)。
二、同构的定义与性质同构是指两个代数结构之间存在一个双射，使得这个映射保持运算性质。
对于群与环域，同构具体的定义如下：（一）群同构：设G和H是两个群，如果存在一个双射f：G→H，且对于任意的a,b∈G都有f(a•b)=f(a)•f(b)，则称G和H是同构的，f为从G到H的一个群同构映射。
（二）环域同构：设R和S是两个环域，如果存在一个双射f：R→S，且对于任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)和f(a•b)=f(a)•f(b)，则称R和S是同构的，f为从R到S的一个环域同构映射。
同构具有以下性质：（一）同构保持单位元和逆元：对于群同构，有f(eG)=eH和f(a^(-1))=f(a)^(-1)，其中eG和eH分别是群G和H的单位元，a^(-1)是a的逆元。
群论中的群的同态和同构
群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，即群。
群的概念最早由德国数学家高斯引入，并在他之后被众多数学家继续研究和发展。
在群论中，同态和同构是两个重要的概念，它们描述了群与群之间的关系。
首先，我们来看同态的概念。
在群论中，如果存在一个映射 f：G→H，其中 G 和 H 是两个群，且满足以下两个条件：1.对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) = f(a)*f(b)（即 f 是一个保持群运算的映射）；2.f(G) 是 H 的子群（即 f 将 G 的元素映射到 H 中的元素，而且保持了H 中的群运算）。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同态映射，简称同态。
同态的概念可以理解为将一个群的结构映射到另一个群中，并且保持了群运算的结构性质。
同态映射的存在性与群的性质有很大关系，在实际应用中有着广泛的应用。
与同态相对应的是同构的概念。
如果存在一个一一映射 f：G→H，它满足以下两个条件：1. f 保持群运算，即对于 G 中的任意元素 a 和 b，有 f(a*b) =f(a)*f(b)；2. f 的逆映射也是一个群的同态。
那么我们称映射 f 是从群 G 到群 H 的同构映射，简称同构。
同构的概念是群之间结构相等的一种描述，即两个群之间存在一一对应，并保持了群运算的性质。
同构关系常常用于分类和比较不同的群。
如果两个群之间存在同构映射，我们就可以将它们看作是彼此相同的结构。
同态和同构的概念在群论中有着广泛的应用。
首先，同态映射可以用于研究群的子群和商群的结构。
通过同态映射，我们可以将一个群映射为另一个群的子群，并且保持了群运算的性质。
这为研究群的结构提供了新的方法。
同时，同态映射还可以用于研究群之间的相似性和联系。
如果两个群之间存在同态映射，那么它们在结构上有相似的性质，可以通过研究其中一个群来推断另一个群的性质。
同构映射则更加强调了群之间的相等性。
当两个群之间存在同构映射时，它们在群运算结构上完全相同，在一些性质的研究中可以互相替代。
§6.5 同构及同态(离散数学)
例. 设(G，*)，(K，+)是两个群，令 ， ， ， 是两个群， 是两个群 σ：x → e， x∈G， ： ， ， 其中e是 的单位元 的单位元。 其中 是K的单位元。 内的映射， 则σ是G到K内的映射，且对任意 是 到 内的映射 且对任意a,b∈G， ， 有 σ(a*b)=e=e+e=σ(a)+σ(b)。 。 的同态映射。 即，σ是G到K的同态映射。 是 到 的同态映射 σ(G)={e}是K的一个子群 记G～σ(G)。 的一个子群, 是 的一个子群 ～ 。
6.5.2 同 构 映 射
定义. 是一个群， 是一个乘法系统 是一个乘法系统， 定义 设G是一个群，K是一个乘法系统， 是一个群 G到K内的一个同态映射 如果σ 内的一个同态映射， σ是G到K内的一个同态映射，如果σ是G σ(G)上的1-1映射 则称σ是同构映射。 映射， 到σ( )上的 映射，则称σ是同构映射。 称G与σ( )同构，记成 σ( )。 与σ(G)同构，记成G σ(G)
例.设G1是整数加法群，G2是模 的整数加 设 是整数加法群， 是模n的整数加 法群， 上的运算⊕如下： 法群，G2上的运算⊕如下： a ⊕ b= a + b, 当a + b < n,
a + b n, 当a + b ≥ n
令σ：x →x(mod n)， x∈G1， ： ， ∈ 的满射，且对任意a,b∈ 则σ是G1到G2的满射，且对任意 ∈G1， 是 有 σ(a+b)=a+b(mod n) =a(mod n) ⊕ b(mod n) =σ(a) ⊕ σ(b) 。 σ是G1到G2的满同态映射。 的满同态映射。 是
6.5.3 同 态 核
上的一个同态映射， 定义. 是 到 上的一个同态映射 定义 设σ是G到G′上的一个同态映射，命 N为G中所有变成 中1′的元素 的集合，记 中所有变成G′中 的元素 的集合， 的元素g的集合 为 中所有变成 为σ-1(1′)，即 ， N=σ-1 ( 1′)={g∣ g∈G ,σ(g)=1′} ∣ ∈ 则称N为 的核 的核。 则称 为σ的核。 是整数加法群， 是模 的加法群： 是模3的加法群 例. 设G是整数加法群， G′是模 的加法群： 是整数加法群 {0，1，2}，σ：x → x（mod 3），x∈G ， ， ， ， ： （ ） ∈ 上的同态映射。 的核为 的核为3G。 则σ是G 到G′上的同态映射。σ的核为 。 是 上的同态映射
同态 同构 同胚
同态同构同胚全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同态、同构、同胚是代数学中常见的概念，它们在不同的数学领域中有着广泛的应用。
本文将分别解释这三个概念的含义，并通过例子阐述它们之间的关系和区别。
同态（Homomorphism）是一种保持代数结构的映射。
具体来说，设有两个代数结构（如群、环、域等）G和H，一个从G到H的映射f 称为同态，如果对于G中的任意两元素a和b，都有f(a*b) = f(a)*f(b)。
这意味着同态将代数结构中的运算保持下来，即先运算再映射等价于先映射再运算。
考虑一个从整数环Z到模2加法群Z/2Z的映射f，定义为将偶数映射为0，奇数映射为1。
这个映射保持整数环的加法运算，因此是一个同态。
同态在代数结构的保持性质上有很多应用，比如在同态定理中，同态映射的核与像之间的关系能够帮助我们理解代数结构的结构和性质。
同构可以看作是一个更强的同态，因为它不仅保持代数结构的运算，还保持了元素之间的一一对应关系。
一个典型的例子是置换群S3和三阶对称群D3之间的同构：置换群S3包括所有的三元置换，而D3包括所有的三角形对称。
这两个群之间存在一个双射同态，它将S3中的置换映射到D3中的三角形对称，这就是它们之间的同构。
同胚（Homeomorphism）是拓扑空间之间的同构。
在拓扑学中，同胚是一种保持拓扑结构的双射映射，即在两个拓扑空间X和Y之间存在一个双射映射f，f及其逆映射f^-1都是连续函数。
同胚能够保持拓扑空间的开集、闭集、极限等性质，因此它们的拓扑结构是完全相同的。
考虑一个从实数轴R到开区间(0,1)的映射f，定义为f(x) =1/(1+e^-x)。
这个映射是一个双射，并且连续，因此是一个同胚，将实数轴上的开集映射为开区间上的开集，保持了拓扑结构上的同构。
同态、同构、同胚都是代数学和拓扑学中重要的概念，它们分别描述了代数结构和拓扑结构之间的关系。
同态是保持代数结构的映射，同构是保持代数结构的双射同态，同胚是保持拓扑结构的双射映射。
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定理4 任何一个群都同一个变换群同构
假定G是一个群， G的元是a, b, c,。任意取x G, 则
x : g gx g x 是G的一个变换。因为对 G的任意元g ,
我们能够得到一个唯一 的G的元g x。这样由G的每一个元 x， 可以得到G的一个变换 x。把所有的这种 G的变换作成一个 集合G { a , b , c ,}. 那么
a3b3 = (ab)3， a5b5
= (ab)5
例6，若群G的每一个元都适合方程 x2 = e,那么G是交换群 例7，在一个有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数 例8，假定G是一个阶是偶数的有限群。 则在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。
例9， 设<G,*>为群，a,b∈G,且a*b=b*a. 证明：若|a|与|b|互素，则 a |a*b|=|a||b| 例10，设<G,*>为交换群，a为G中阶最大的元，且|a|=n.
: x x 是G到G的满射。
但消去律： x y gx gy告诉我们： 若x y, 那么 x y 所以是G与G 间的一一映射。
再进一步看， g
xy
g ( xy ) ( gx) y ( g ) y ( g )
x
x y
g
x y
即： x y xy 所以是G与G 间的同构映射。所以 G 是一个群。 但G的单位元e的象
例1 ，
A={所有整数}， B={1，-1}, A:+， f1：a → 1 ， f2：a → -1 f3：奇a → -1 , 偶a → 1
B:×
定理1 (1) f(e)=e’;
设f是G到G’的一个同态，则
(2) 对任意a∈G,f(a-1)=f(a)-1;
(3)kerf={a|a∈G,f(a)=e’}是G的子群，且f是单同态 的充要条件是kerf={e}; (4) f(G)={f(a)|a∈G}是G’的子群，且f是满同态 的充要条件是f（G）=G’; (5)设H’是群G’的子群，则集合 f-1(H’)={a∈G|f(a)∈H’}是G的子群。
e：g ge g 是G的恒等变换，
由定理一，G 是G的一个变换群。这样 G与G的一个 变换群G 同构。
习
题
课
例1，举一个有两个元的群的例。
例2，设G是有限群，则G中元素的阶都有限 例3，设G为群，试证 n Z及a, b G, 有(aba-1)n = abna-1 例4，设G为群， a, b G, a e且a 4b ba 5，证明：ab≠ba 例5，G为交换群的充要条件是对任意a,b∈G,有
①τ1，τ2是一一变换，则τ1τ2也是 ② 结合律 ③ 左单位元 ④τ是一个任意的一一变换 ，则有τ-1： （第一章） τ-1：
1
aa
1
假如
1
(a
) a
所以τ-1τ：
a (a ) a
τ-1τ= ε
定义：一个集合A的若干个变换对于以上规定的乘法 作成的一个群叫做A的变换群。 此群的元素不是数
a A, : a
假定aτ= bτ则 ∴ τ是单射
1
(a
1
) a
1
1
a a 所以τ是满射
(a )
1
(b )
a b a b
定理3：一个集合A的所有的一一变换作成一个变换群G
证明：G适合群定义的I, II, IV, V四个条件
1
S , 1
即τ1没有逆元
S一般不是一个群(逆元不能保证)，但S的一个子集G呢？ 先看G作为一个群的必要条件 定理2：G是由A的若干变换所成集合，且G中包含恒等变换ε 若对于上述乘法来说G作为一个群，那么G只包含A的
一一变换。
证： G, 1 G, 1 1
定理3不是说，除了全体一一变换所作成的集合外，
没有其它的变换群存在。
例5 A={平面上所有的点}， G={所有绕原点o的旋转} 则G是一个变换群。
证明：用τθ 表示转θ角的旋转，有
I. G是闭的 Ⅱ. 结合律 IV. εG显然不包含A的所有的一一变换，G是较小的变换群。 如：
S有单位元，恒等变换ε，ε：a→a
例3 计算例1中变换的乘积 τ1τ2： 1→2 τ2τ4： 1→1 2→2 2→1 τ 1 τ 2 =τ 2 τ2τ4=τ1
但τ不一定有逆元
例4 例1中τ1，用一个任意的τ左乘τ1，得到
1 : 1 (1 ) 1, 2 (2 ) 1
这就是说
1
证明：对于任意b∈G,|b||n
1 : (0,0) (1,0) 2 : 绕原点逆时针旋转
2
1 2 : (0,0) (0,1) 2 1 : (0,0) (1,0) 1 , 2 , 1 2 , 2 1 都是A的一一变换
1,1 2 , 21 都不在G中。
定理3所得的变换群是最大的变换群
变换群
前面的例子：普通数、普通加法、乘法 或阶为1、2或3的抽象群，且是交换群
下面研究：非交换群、群的元素不一定是数
例2 A={1，2} τ1：1→1 2→1 τ2：1→2 2→2
τ3：1→1 2→2 τ4：1→2 2→1
是A的所有变换 对于给定集合A, S={τ，λ，μ，… } , A的所有变换 记号 τ：a→a′=τ(a) = aτ 规定，τ，λ的乘积 τλ：a→(aτ)λ，则此乘法满足结合律 τ(λμ)：a→(aτ)λμ=((aτ)λ)μ