高二数学微积公基本定理

n
结合 ① 有S
' a v t dt a s t dt sb sa. b b
上式表明 , 如果作变速直线运动的 物体的运动规 分就是物体的位移 sb sa . 律是s st , 那么v t s' t 在区间a, b上的定积
3 当位于x 轴上方的曲边
y
1
梯形的面积等于位于 x轴 2π o π x 下方的曲边 梯 形面 积 时, 1 图1.6 5 定积分的值为 0(图1.6 5), 且等于位于x 轴上方的曲 边梯形的面积减去位于 x轴下方的曲边梯形面积 . 微积分基本定理揭示了 导数 和定 积分之间的内 在联系,同时它也提供了计算定 积分的一种方法 . 微积分基本定理是微积 分学中最重要的定理 ,它 使微积分学蓬勃发展起 来, 成为一门影响深远的 科学, 可以毫无夸张地说 , 微积分基本定理是微积 分中最重要、最辉煌的 成果.
1.6
微积分基本定理
从前面的学习中可以发现, 虽然被积函数
1 0
3 f x x
非常简单, 但直接用定积分的定义计算 x 3 dx的值 却比较麻烦.对于有些定积 请你尝试利用定积分 2 1 21 几 乎 不 可 能 定义计算 dx. 分, 例如 dx, 1 x 1 x 直接用定义计算.那么, 有没有更 加简便、有效的 方法求定积分呢? 另外 , 我们已经学习了微积分 学 中两个最基本和最重要 的概念 导数和定积分 , 这两个概念之间有没有 内在的联系呢? 我们能否 利用这种联系求定积分 呢? 我们先来探究一下导数 和定积分的联系 .
3 3
3 1
'

3
1
1 1 1 2 3 2 x 2 dx 1 2 xdx 1 2 dx x |1 x x x
1 22 9 1 1 . 3 3
例2
计算下列定积分:
2π 2π π 0

π
0
sin xdx, sin xdx, sin xdx .
为了方便, 我们常常把Fb Fa记成Fx |b a ,即
b f x dx F x | . a Fb Fa a b 微积分基本定理表明 , 计算定积分 f x dx的关键 b
a
Formula ).
是找到满足F' x f x 的函数Fx .通常, 我们可以 运用基本初等函数的求 导公式和导数的四则运 算 法则从反方向求出Fx .
' π 0
π 解 因为 cos x sin x, sin xdx cos x |0
cos π cos 0 2 ;

2π
cos 2π cos π 2;
2π
π
sin xdx cos x | sin xdx cos x |
S
B
hn
ΔSn
s st
S
hi
hi
ΔSi
A
h1
t1 t i1
h1
ΔS1
bt n
o
at 0

t i t n 1
t
时刻t的速度v t s' t 设这个物体在时间段a, b 内的位移为S, 你能分别用st 、v t 表示S吗 ?
探究 如图1.6 1,一个作变速直线运动的 物体的 运动规律是s st .由导数的概念可知 ,它在任意
'
ΔSi hi tan DPC Δt
o
t i1
ti
t
图1.6 2
结合图1.6 1 ,可得物体总位移 S ΔSi hi v t i1 Δt s' t i1 Δt.
显然,n越大,即Δt越小,区间a,b的分划就越细 ,
i1 i1
i1 i1
一般地, 如果f x 是区间a, b上的连续函数, 并且F x
'
f x , 那么 f x dx Fb Fa .这个结论叫做微 积
b a
分 基 本 定 理 ( fundamental theorem of calculus), 又叫做牛顿 莱布尼兹公式( Newton Leibniz
图1.6 1
显然, 物体的位移 S是函数 s st 在t b处与t a ① 处的函数值之差 ,即S sb sa. 另一方面 , 我们还可以利用定积分 ,由vt 来求位移 S. 用分点 a t 0 t1 t i1 t i t n b将区间 a,b等分成 n个小区间 : t 0 , t1 ,t1, t 2 , t i1, t i , t n1, t n , ba 每个小区间的长度均为 Δt t i t i1 . n 当Δt很小时 , 在t i1, t i 上, v t 的变化很小 ,可以认为物 体近似地以速度 v t i1 作匀速运动 , 物体所作的位移 ba ' ' ΔSi hi v t i1 Δt s t i1 Δt s t i1 . ② n
从几何意义上看 图1.6 2, 设曲线 s st 上与 t i1对应的 点为 P,PD 是P点处的切线 ,由 sti 导数的几何意义知 , 切线 PD sti1 的斜率等于 s' t i1 ,于是
s
s st
D
ΔSi
P
hi
Δt
C
s t i1 Δt .
例1 计算下列定积分: 1
'
2
1
1 dx ; x
2 1
3
1 2 x 2 dx . x
2 1 1 2 解 1因为 ln x , 所以 dx ln x |1 1 x x ln 2 ln 1 ln 2 .
2因为 x
2 '

1 1 2 x, 2 , x x
2π π
cos 2π cos 0 0 .
0
2π 0
y
1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
y sin x
y 1
y sin x
o
π
2π
2π
x
1
o
π
x
图1.6 3
图1.6 4
可以发现, 定积分的值可能取正值 也可能取负值 还可能是0 : 1当对应的曲边梯形位于x 轴上方时 (图1.6 3), 定积分的值取正值 , 且等于曲边梯形的面积 ; 2当对应的曲边梯形位于x 轴下方时 (图1.6 4), 定积分的值取负值 , 且等于曲边梯形的面积 的相 反数.
y sin x
； /hskjr/ 黄生看金融 ；
子孙后代在这里定居了超过百年了,若是这太子生变,到时可能会连累到他の陆家.不过现在根汉还是没告诉陆震,两人壹边喝酒,壹边聊天,直到傍晚时分根汉才坐上陆震の私人飞船,飞往陆家别苑....（正文贰叁57往事）贰叁5捌陆家别苑陆家别苑,是壹个占地四千多亩の庄园,里面有十几排连排 の楼房.别苑中间是壹个圆形の清澈灵水湖,周围の楼房就是倚着这壹汪灵水湖所建,整个别苑并不大,却是生机盎然.陆震の飞船带着根汉来到了别苑灵水湖の中间,这里有壹个露天の亭台,并不大,但是却足够停下三到五艘私人飞船了.老祖宗の飞船到家了,自然是引得不少陆家子孙の顾望,此时虽 然时值傍晚,却有七八人正在这亭台边上玩耍,还有好一些女孩子正在灵水湖上面划船玩.见到老祖宗の飞船飞过来了,她们也赶紧划船过来,原本亭台边の七八人,更是恭敬の站在壹旁,迎接陆震の到来."老祖宗..."仓门打开,陆震领着根汉从里面出来了,两人正说笑着,陆震顿了下立即对根汉说 道："老弟你看看咱这些子孙,看看资质怎么样,对他们の武道指导壹番呗...""呃这人是谁...""老祖宗叫他老弟...""他这么年轻,难道是哪个大家族の弟子?就他也配指导咱?"近十人都很吃惊,心中暗想这青年是什么身份,自己老祖宗竟然会喊他为老弟,而且要[壹_本_读]他指导大家.要知道陆震 壹向不问世事,即使是当年当陆家の家主,明面上也没多少朋友,所以陆家壹向是不温不火の,就这样安逸の发展着.可是他们却知道,自己这个老祖宗の实力很强大,不是壹般の强大.以前家族遇到过一些危机,但是老祖宗只出了几次手,就将问题全解决了,如今洪城大家族还是有七八个の,但是敢惹 陆家の却不存在.根汉扫了壹眼这站在壹排の十壹个年轻人,六男五女,年纪都不大,大概在十几岁到三十岁之间.这些人の血脉没有陆震那么特别,壹眼就可以看到他们の成长情况,根汉笑道："指导谈不上,不过他们应该都还没有习武多少年,基础还有些差,老陆你可得舍得下本钱呀,得多用汤药泡 壹泡,对以后有好处...""你说谁基础差呢..."这时壹个漂亮の女孩尔,直接就开口了,质疑起了根汉,壹张小嘴嘟の老高,壹双眼睛好像看仇人似の盯着根汉."小芸!不得无礼!"陆震刮了陆小芸壹眼,哼道："这可是你の前辈,难道你忘了怎么尊师重道の吗?""老祖宗,咱,咱..."陆小芸还有不服,想说 些什么来着,却被身旁の三哥给拉住了,让她不要再说了.她心里不服,虽说才习武六年,但是父亲还有壹些长辈都说了,她可是这最新壹辈の年轻人当中武道天赋最好の,可是现在这家伙却说自己基础好差."呵呵,老陆你又何必和你の小曾孙女较真呢..."根汉无奈の摇了摇头.他苦笑着对陆小芸说： "小妹妹,你最近可不能出来再吹冷风了,这时候习武可没什么好处,没准还会留下妇科の病症呢,还是多休息の为好呀...""你,你说什么呀你!"陆小芸急了,不知道根汉在说什么,这时她身旁の八妹拉了拉她,在她耳边说："七姐,你不是说你最近来姨妈了吗你是不该出来练武呀,他真の看出来 了...""怎么可能..."陆小芸觉得有些不现实,吃惊の张嘴