有限元基本概念
有限元基本知识
有限元的基本概念
计算等效节点力 单元特性分析的另一个重要内容是建立单元的外部 "载荷" (包括单元之间的内部 "载荷") 与单元节点物理 量之间的关系。 物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递 到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力可以作用 在单元的任意区域或位置 (体积力、分布面力、集中力 等)，也可以在一个单元与相邻单元的公共边 (线、面) 之间进行传递。因而，这种作用在单元上的表面力、体 积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代替所有作用在单元上的力。
{u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数： {u} = {u (x,y,z)} [P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关 {ue} - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转 角或其对坐标的导数。 常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。
有限元分析的基本过程
结构分析时一些常用单元的节点自由度 (在单元坐标系中) 杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx 和 Rx，其中 x 为杆的轴线。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。 梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂 直于轴线方向的弯曲 在单元坐标系中： 节点自由度为 Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中 x 为梁的 轴线，Y,z 为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。 在总体坐标系中： 三个位移和三个转角 (T1,T2,T3,R1,R2,R3)。
有限元分析的基本过程
有限元分析的基本过程
单元形状函数举例 (未必是实际使用的单元)：
(1) 一维单元
a. 杆单元 轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为 Tx，Rx 对 2 节点单元 (线性单元)： Tx = a0 + a1 * x Rx = b0 + b1 * x 各有 2 个未知数，可以由 2 个节点的位移值确定； 对 3 节点单元 (二次单元)： Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2 Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2 各有 3 个未知数，可以法的发展 有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来，逐步推广 到板、壳和实体等连续体固体力学分析，实践证明这是一种非常有 效的数值分析方法。 (1) 有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、 渗流和声场等问题的求解计算，目前又发展到求解几个交叉学科的 问题。 例如当气流流过一个很高的铁塔产生变形，而塔的变形又反过 来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限 元分析结果交叉迭代求解，即所谓"流固耦合"的问题。 (2) 由求解线性工程问题进展到分析非线性问题 线性理论已经远远不能满足设计的要求。 例如：航空航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力， 要考虑材料的非线性 (弹塑性) 问题；诸如塑料、橡胶和复合材料 等各种新材料的出现，也只有采用非线性有限元算法才能解决。
有限元法的基本概念和特点
元计算秉承中国科学院数学与系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
有限元分析，是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。并利用 简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统
有限单元法的特点 1)把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点(节点)作为离散点; 2)不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。 3)理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。 4)具有灵活性和适用性，适应性强。(它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解， 故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力 分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随 着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的 许多问题。) 5)在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
有限元基本概念理解
有限元基本概念理解-摘自自编的【sd3应用全攻略】标签：节点单元边界约束分类：有限元分析相关2010-03-08 16:521.1. 基本概念1.1.1. 结构有着完整的几何拓扑信息并能抵抗或承受外界施压的能力的实际物体。
1.1.2. 模型这里面提到两种模型，即几何模型和有限元分析模型。
（1）几何模型：仅表达实际结构空间位置、空间方位和外部轮廓的模型，即仅是实际结构的拓扑信息，具体包含线（直线、曲线）、面（平面、曲面）、体。
（2）有限元分析模型：在充分表达实际结构的几何拓扑关系后，赋予各几何对象以相应特质和处理各几何对象间相互关系，并表达各几何对象在空间中的限定的模型。
具体与几何对象相应的是一维线单元（杆、梁等）、二维面单元（2-D 等）、三维面单元（板等）和三维体单元（实体等）。
如果把几何模型看作是骨架的话，那么有限元分析模型是带有肌肉、筋骨和血脉的骨架；几何模型表达的是结构的框架，有限元分析模型表达的是结构本身抵御外界的能力和内部之间、内部与外界之间的复杂联系。
1.1.3. 几何对象点、线、面、体是对实际结构外形的抽象表达。
（1）点：不计实际结构的大小和形状；（2）线：与细长结构相应（即一个方向的尺寸远远大于其他两个方向尺寸）；（3）面：与扁状结构相应（即一个方向尺寸远远小于其他两个方向尺寸）；（4）体：与块状结构相应（即三个方向尺寸差不多）。
1.1.4. 有限元分析对象节点、单元、边界是对实际结构本身及内在关系的抽象表达。
（1）节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念，一般有六个自由度，即沿三个坐标轴方向的平动和绕三个坐标轴方向的转动。
在进行应力分析的时候，应该消除节点的刚体自由度。
（2）单元：表达实际结构几何对象本身承受能力的概念，为节点提供刚度，保证节点具有抵御外界的能力，同时限定不同节点间的传力内容和确保不同节点间传力路线的畅通。
（3）边界：区分为外边界和内边界。
在一个具体的有限元分析模型中，可以这样理解边界：外边界体现的是整体结构与周围环境之间的关系；内边界体现的是各结构部件之间的相互限制。
有限元方程基本方法
有限元方程基本方法
（实用版1篇）
篇1 目录
1.有限元方程的基本概念
2.有限元方程的求解方法
3.有限元方程的应用领域
篇1正文
有限元方程是一种数学模型，它主要用于求解物理和工程领域的问题。
这种方法将复杂问题分解成许多简单的部分，然后通过求解这些部分的方程来解决整个问题。
这就是有限元方程的基本概念。
求解有限元方程的方法有很多，但最常见的是迭代法。
这种方法通过反复计算来逐步逼近问题的解。
另外，还有其他一些方法，如直接解法和间接解法，但它们都比较复杂，不太常用。
有限元方程的应用领域非常广泛，包括机械工程、土木工程、航空航天等。
例如，工程师可以用有限元方程来模拟飞机机翼的应力分布，或者用来分析桥梁的结构强度。
总的来说，有限元方程是一种强大的数学工具，它可以帮助我们解决许多实际问题。
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对有限元的认识
对有限元的认识有限元是一种数值分析方法，用于计算和求解复杂的物理问题。
它在工程、科学和其他领域中广泛应用。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题离散化为有限数量的简单元素，然后通过求解这些元素的行为来获得整个系统的行为。
有限元方法的基本步骤包括对问题进行建模、离散化、求解和后处理。
首先，需要将实际问题抽象为数学模型，并确定模型中的物理量和边界条件。
然后，将问题的几何区域分割成一系列小的、简单的元素。
每个元素都有一组节点，节点之间通过连接关系形成了整个系统。
接下来，需要定义在节点上的适当数学函数来近似描述问题的解。
通过将这些函数与元素的物理行为相结合，可以建立一个离散的方程组。
求解这个方程组可以得到问题的数值解。
最后，通过对数值解进行后处理，可以获得感兴趣的物理量和结果。
有限元方法的优点之一是它的适应性和灵活性。
它可以处理各种不规则的几何形状和复杂的物理行为。
此外，有限元方法还可以处理多物理场的耦合问题，如结构-流体相互作用、热-力相互作用等。
这使得有限元方法在解决实际工程问题时非常有用。
然而，有限元方法也有一些局限性。
首先，它需要对问题进行合适的离散化，这可能需要一些经验和专业知识。
其次，有限元方法的计算量通常较大，特别是在处理大规模问题时。
此外，有限元方法对网格的质量和精细度要求较高，这可能会增加计算的复杂性和时间成本。
总的来说，有限元方法是一种强大而广泛应用的数值分析工具。
它在解决工程和科学问题时具有重要的作用，并且在不断发展和改进中。
对于那些希望深入了解和应用数值分析的人来说，有限元方法是一个必须掌握的重要工具。
有限元法的基本概念和特点
边界条件和载荷对分析结果的影 响
边界条件和载荷的设置直接影响分析结果 的精度和可靠性，因此需要仔细考虑和验 证。
03 有限元法的特点
适应性
有限元法能够适应各种复杂形状和边 界条件，通过将连续的求解域离散化 为有限个小的单元，实现对复杂问题 的近似求解。
有限元法的适应性表现在其能够处理 不规则区域、断裂、孔洞等复杂结构 ，并且可以根据需要自由地组合和修 改单元，以适应不同的求解需求。
降低制造成本。
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感谢您的观看
通过将不同物理场（如结构、流体、电磁等）耦 合在一起，可以更准确地模拟复杂系统的行为。
多物理场耦合分析将为解决复杂工程问题提供更 全面的解决方案面具有重要作用。
通过先进的建模技术和优化 算法，可以更有效地设计出 高性能、轻量化的结构。
有限元法在结构优化方面的应 用将有助于提高产品的性能和
近似性
利用数学近似方法对每个单元体的行 为进行描述，通过求解代数方程组来 获得近似解。
通用性
适用于各种复杂的几何形状和边界条 件，可以处理多种物理场耦合的问题。
高效性
通过计算机实现，能够处理大规模问 题，提高计算效率和精度。
02 有限元法的基本概念
离散化
离散化
将连续的物理系统分割成有限个小的、相互连接的单元，每个单 元称为“有限元”。
随着计算机技术的发展，有限元法的精度不断提高，对于一些高精度要求的问题 ，有限元法已经成为一种重要的数值分析工具。
04 有限元法的应用领域
工程结构分析
01
02
03
结构强度分析
通过有限元法，可以对工 程结构进行强度分析，评 估其在各种载荷条件下的 稳定性。
有限元笔记(个人整理)
有限元笔记：1有限元基本概念 (2)2ANSYS记录 (2)3自己总结 (3)1有限元基本概念FEA：Finite Element Analysis的简写，即有限元分析。
有限元是一门以结构力学和弹性力学为理论基础，以计算机为媒体，以有限元程序为主体，对大型结构工程的数值计算方法。
有限元的核心思想：结构的离散化，就是将实际结构假想地离散为有限数目简单单元的组合体，实际结构的物理性能可以通过对离散单元进行分析，得出满足工程精度的近似结果来替代对实际结构的分析。
目的：在工程设计阶段时期分析应力和应变是否满足工程的要求。
结构分析是有限元方法最常用的一个领域，分析中计算得出的基本未知量是位移，其他的如应力，应变和反力可以通过位移导出。
位移模式（位移函数）：单元内任意点的位移随位置变化的函数式。
位移模式反映单元的位移分布形态，它是单元内位移的插值函数。
位移模式可表示为f=Nδ式子中，N——形态函数（形函数），反映了单元的位移形态，称为位移函数的形函数。
几何关系（几何方程）：位移与应变分量之间的关系表示。
为确定唯一解，给应变分量附加限制条件，或者理解为离散的六面体仍能组合成连续体的条件，称为变形协调条件变形协调方程表示几何关系，即几何方程。
物理方程：应力应变之间的关系式作用于物体上的外力：体积力表面力泛函：函数的函数根据有限元离散思想，所有有关的量均要转换为节点的量。
载荷也是如此，必须将其转换为等效的节点载荷。
2ANSYS记录宏：是包含一系列ansys命令且后缀为mac的命令流文件图元：开始建立的体或面，预先定义好的集合体工作平面：可动的二维参考面，用来定位确定图元坐标系：缺省时是总体直角坐标系IGES：初始图形交换标准平面应变：假定在Z方向的应变为零Z方向的尺寸远远大于X和Y方向的尺寸才有效平面应力：假定在Z方向的应力为零Z方向的尺寸远远小于X和Y方向的尺寸才有效对模型划分网格之前，也即在建立模型之前，先确立采用自由网格还是映射网格。
《有限元基本原理》课件
有限元法的历史与发展
01
有限元法的思想起源于20世纪40年代，但直到1960年 才由美国科学家克拉夫（Clough）正式提出“有限元 法”这一术语。
02
随着计算机技术的发展，有限元法得到了广泛应用和推 广，成为工程领域中解决复杂问题的有力工具。
03
近年来，随着计算能力的提升和算法优化，有限元法的 应用范围不断扩大，涉及的领域也更加广泛。
有限元法的基本思想
01
将连续体离散化为有限个单元，每个单元具 有简单的几何形状和物理属性。
03
02
通过在节点处设置位移约束，将各个单元相 互连接，形成一个整体模型。
通过在各个单元上设置方程，建立整个离散 化模型的平衡方程组。
高阶有限元方法
与其他方法的结合
研究高阶有限元方法，以提高计算的精度 和稳定性。
研究有限元方法与其他数值方法的结合， 如有限差分法、有限体积法等，以拓展其 应用范围。
谢谢聆听
04 有限元法的应用实例
静力分析实例
总结词
静力分析是有限元法最常用的领域之一，主要用于分析结构在恒定载荷下的响应。
详细描述
静力分析用于评估结构在恒定载荷下的应力、应变和位移。例如，桥梁、高层建筑和飞机机身等结构 的稳定性分析。通过有限元法，可以模拟复杂结构的整体行为，并预测其在各种载荷条件下的性能。
动力分析实例
总结词
动力分析涉及结构在动态载荷下的响应 ，如地震、风载和冲击载荷等。
VS
详细描述
动力分析用于评估结构在动态载荷作用下 的振动、冲击和响应。例如，地震工程中 建筑物和桥梁的抗震性能分析。通过有限 元法，可以模拟结构的动态行为，预测其 在地震或其他动态载荷下的破坏模式和倒 塌过程。
有限元法_精品文档
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一、有限元法的基本概念
1.什么是有限元法
我们实际要处理的对象都是连续体，在传统设 计思维和方法中，是通过一些理想化的假定后，建 立一组偏微分方程及其相应的边界条件，从而求出 在连续体上任一点上未知量的值。
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4）具有灵活性和适用性，适应性强（它可以把形状 不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适 用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为 广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均 匀材料、各向异性材料、非线性应力应变以及复 杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法 的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流 体力学及电磁场领域的许多问题）
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对于一个具体的工程结构，单元的划分越小， 求解的结果就越精确，同时，其计算工作量也就越 大。
梯子的有限元模型不到100个方程； 在ANSYS分析中，一个小的有限元模型可能有几 千个未知量，涉及到的单元刚度系数几百万个。 单元划分的精细程度，取决于工程实际对计算 结果精确性的要求。
22
4）有限元分析 有限元分析就是利用数学近似的方法对真实
5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。
26
2.有限元法的作用 1）减少模型试验的数量（计算机模拟允许对大量
的假设情况进行快速而有效的试验）； 2）模拟不适合在原型上试验的设计（例如：器官
移植、人造膝盖）； 3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本； 4）节省时间，缩短产品开发时间和周期； 5）创造出高可靠性、高品质的产品。
因为点是无限多的，存在无限自由度的问题， 很难直接求解这种偏微分方程用来解决实际工程问 题，因此需要采用近似方法来处理。
Ansys-Workbench详解教程
2
有限元基本概念
概念
把一个原来是连续的物体划分为有限个单元，这些单元通过有
限个节点相互连接，承受与实际载荷等效的节点载荷，并根据力的 平衡条件进行分析，然后根据变形协调条件把这些单元重新组合成能
够进行综合求解的整体。 有限元法的基本思想—离散化。
节点 单元 载荷 约束 分析类型
2024/8/6
3
有限元模型
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定义材料属性
4、在线性静力结构分析当中，材料属性只需要定义杨氏模量以及泊松比。
– 假如有任何惯性载荷，密度是必须要定义的；模态分析中同样需要定义材 料密度。
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3 网格控制
目的：实现几何模型
原则：整体网格控制
有限元模型的转化 局部网格细化
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网格控制
整体网格： Relevance（-100~100） 、 Relevance Center（coarse~ fine）
局部细化： 支撑处、载荷施加位置、应力变化较大的地方。
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网格控制
具体操作：选中结构树的Mesh项，点击鼠标右键，选择Insert，弹出 对网格进行控制的各分项，一般只需设置网格的形式（Method）和单元的 大小（Sizing）。
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2 定义材料属性
1、双击Component Systems中的Engineering Data。 2、 右击Engineering Data----edit 3、选择view中outline、properties,把General Materials等中的材料添加到
Engineering Data中，修改Density密度、Young’s modulus杨氏模量、 Poisson’s Ratio泊松比、热膨胀系数等参数。 4、点击Return to Project 5、右击Model----Update 6、右击Model-----edit 7、在模型的Material----Assignment右面的箭头可选择材料 注：软件默认的材料是Structural Steel。
有限元基本原理与概念
有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。
它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。
有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。
有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。
离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。
2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。
它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。
3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。
该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。
4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。
这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。
5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。
这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。
有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。
常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。
2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。
节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。
3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。
在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。
4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。
这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。
5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。
有限元总结
有限元教学内容总结对知识掌握得如何，可以从他对这些知识的概括能力来判断。
对一门课程学得好，那么可以用一句话对这门课程做一个经典的概括，也可以用一堂课对这门课的内容作一次简练而精彩的报告，也可以用几十个学时对这门课的内容作全面的讲解。
我们的复习，希望能从这门课的核心部分开始，逐步向外展开。
希望抓住核心内容这个节点，就能象一张网一样，将主要内容连接在一起。
一、核心部分有限元的基本思路：化整为零，集零为整。
有限元的基本概念：节点，单元。
有限元的基本方程：结构的整体刚度方程{}[]{}P K δ=[K]为整体刚度矩阵；{P}为节点载荷列阵；{δ}为节点位移列阵。
二、骨干部分（整体刚度方程如何得来？如何解？）（一）如何得来？（[K]如何得来？{P}如何得来？）1. [K]如何得来？（e k ⎡⎤⎣⎦如何得来？如何坐标变换？如何组集？） （1）e k ⎡⎤⎣⎦如何得来？（直接法，变分法） Ⅰ. 直接法基本原理：位移法基本步骤：（Ⅰ）由杆件基本变形中的内力与变形间的关系得到单元刚度方程{}{}e e e F k δ⎡⎤=⎣⎦式中：e k ⎡⎤⎣⎦为单元刚度矩阵；{}e δ为单元位移列阵；{}e F为单元节点力列阵。
（Ⅱ）由单元刚度方程得单元刚度矩阵e k ⎡⎤⎣⎦Ⅱ. 变分法基本原理：最小势能原理基本步骤：（Ⅰ）求单元位移函数假设：{}[]{}0δα=Φ，要求具有连续性（单元内位移连续）、协调性（相邻单元间位移连续）、完备性（有刚体位移项和常应变项），收敛的必要条件。
式中：{}δ为单元内任意点的位移列阵；[]0Φ为与单元内任意点坐标相关的矩阵；{}α为待定系数列阵。
将单元各节点坐标代入上式，得：{}[]{}eδα=Φ式中：{}e δ为单元节点位移列阵；[]Φ为与单元节点坐标相关的矩阵。
由上式得：{}[]{}1e αδ-=Φ将上式代入假设的位移插值函数得：{}[]{}e N δδ=式中：[N]为形函数矩阵（Ⅱ）求应变矩阵利用几何方程，对位移函数求导得：{}[]{}e B εδ=式中：[B]为单元应变矩阵；{}ε为单元内任意点的应变列阵。
有限元基本理论
一、有限单元法的基本思想（1）将一个连续域化为有限个单元并通过有限个结点相连接的等效集合体。
由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。
（2）有限元法利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场数。
单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个结点的数值和其插值函数来表达。
（3）一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个结点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。
（4）一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。
显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。
图1 有限元分析流程图二、有限元分析过程概述1 结构的离散化结构的离散化是有限单元法分析的第一步，它是有限单元法的基本概念。
所谓离散化简单地说，就是将要分析的结构物分割成有限个单元体，并在单元体的指定点设置结点，使相邻单元的有关参数具有一定的连续性，并构成一个单元的集合体，以它代替原来的结构。
如果分析的对象是桁架，那么这种划分十分明显，可以取每根杆件作为一个单元，因为桁架本来是由杆件组成的。
但是如果分析的对象是连续体，那么为了有效地逼近实际的连续体，就需要考虑选择单元的形状和分割方案以及确定单元和结点的数目等问题。
2 选择位移模式在完成结构的离散之后，就可以对典型单元进行特性分析。
此时，为了能用结点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析连续体问题时，必须对单元中位移的分布作出一定的假设，也就是假定位移是坐标的某种简单的函数，这种函数称为位移模式或插值函数。
选择适当的位移函数是有限单元法分析中的关键。
通常选择多项式作为位移模式。
其原因是因为多项式的数学运算（微分和积分）比较方便，并且由于所有光滑函数的局部，都可以用多项式逼近。
有限元基本概念
m
ui vi
u u
j j
um
um
y
vm
m
um
vj
vi uj
j
i
ui
o
x
❖ 位移函数 式中：
广义坐标系
将单元内部位移用节点位移表示之 — 将三节点i,j,m坐标代入（1）式：
ui vi
分割子矩阵
Ke
对称、奇异、稀疏矩阵
§8-5 结构刚度矩阵
本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平 衡式，包括结构刚度矩阵的建立。
j
j
(1)பைடு நூலகம்
m
i
(2)
n
(1)
i m
i
m (2)
n
取出节点i，列出x,y方向力 的平衡方程式：
该结构共有两个单元，外力只作用于i节点之上。 对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式 合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。 其形式如下：
1 0
xi 0
yi 0 0 0 1 xi
0 yi
1 2
u v
j j
1 0
xj 0
yj 0 0 0 1 xj
0 xj
3 4
um
1
xm
ym 0
0
0
5
vm 0 0 0 1 xm ym 6
F P
其中：
P 外力列阵，每一个节点有2行。
有限元中, 是怎样处理分布载荷的。 并用圣维南定理解释
有限元中, 是怎样处理分布载荷的。
并用圣维南定理解释一、有限元基本概念及分布载荷的处理方法1.有限元基本概念有限元分析是一种数值分析方法，它将连续体的力学问题转化为离散点的平衡问题。
在有限元分析中，我们将所研究的问题划分为若干个小的部分，即单元，然后用有限数量的未知量来描述这些单元的应力、应变等状态。
通过对这些未知量的求解，我们可以得到整个连续体的力学性能。
2.分布载荷的处理方法在有限元分析中，分布载荷的处理方法主要有以下几种：（1）等效节点载荷法：将分布载荷等效为一个节点上的集中载荷，然后按照常规的有限元方法进行求解。
（2）单元载荷法：将分布载荷直接作用在单元上，通过单元的刚度矩阵来传递载荷，从而实现分布载荷的求解。
（3）分区法：将载荷分区，对每个分区内的分布载荷进行积分，得到集中载荷，然后与常规有限元方法相结合进行求解。
二、圣维南定理及其应用1.圣维南定理的定义及意义圣维南定理（Saint-Venant"s theorem）是指在弹性力学中，对于某一区域内，当载荷作用在局部区域时，只要局部区域的尺寸远小于整个结构的其他尺寸，那么该局部区域的应力分布可以近似地看作是均匀的。
2.圣维南定理在有限元分析中的应用在有限元分析中，圣维南定理可以用来简化局部区域的应力分析。
当分布载荷作用在局部区域时，我们可以将局部区域的应力分布近似为均匀分布，从而简化计算。
此外，圣维南定理还可以用于判断局部区域的强度设计是否合理。
三、有限元中分布载荷的处理实例1.二维平面问题实例考虑一个二维平面问题，载荷沿x轴正方向均匀分布。
我们可以将该问题划分为若干个小的矩形单元，然后采用等效节点载荷法或单元载荷法进行求解。
根据圣维南定理，我们可以将分布载荷近似为均匀分布，从而简化计算。
2.三维空间问题实例考虑一个三维空间问题，载荷沿一个球壳表面均匀分布。
我们可以将该问题划分为若干个小的球壳单元，然后采用等效节点载荷法或单元载荷法进行求解。
有限元中单元积分点与节点应力相互转换
有限元中单元积分点与节点应力相互转换摘要：一、有限元基本概念1.有限元方法简介2.单元、节点和积分点二、单元积分点与节点应力转换1.单元积分点应力与节点应力关系2.有限元求解过程简介3.单元类型与节点数目对应力转换的影响三、具体实例1.四节点矩形单元的应力转换2.应力分量的线性方程组3.不需要知道真实积分点坐标的原因四、结论1.有限元中单元积分点与节点应力的相互转换2.应力转换在实际问题中的应用正文：一、有限元基本概念有限元方法是一种求解复杂数学和工程问题的数值分析方法。
通过将问题划分为多个简单的子问题，并使用近似方法解决这些子问题，最终得到问题的近似解。
在有限元中，单元、节点和积分点是基本的概念。
单元是构成有限元模型的基本单元，节点是单元的交点，而积分点则是单元内用于计算应力的点。
二、单元积分点与节点应力转换在有限元中，单元积分点与节点应力之间存在相互转换的关系。
具体来说，通过在单元内选择一个或多个积分点，可以计算出单元内各个节点的应力。
这一过程依赖于单元类型、节点数目以及积分点的位置。
例如，对于四节点矩形单元，通过四个积分点可以计算出四个节点的应力。
有限元求解过程包括建立单元节点力与节点位移关系式、将外载荷等效移置到节点上、在节点上建立力的平衡方程以及通过弹性力学基本方程求解单元的应力和应变。
在这个过程中，单元积分点与节点应力的转换起着关键作用。
三、具体实例以四节点矩形单元为例，该单元有四个节点和四个积分点。
对于一个应力分量（例如σx），单元内任一点（x,y）的应力表达式为：σx = a(x-X1)(y-Y1) + b(x-X2)(y-Y2) + c(x-X3)(y-Y3) + d(x-X4)(y-Y4)。
其中，a、b、c、d 是待求解的系数，X1、Y1、X2、Y2、X3、Y3、X4、Y4 分别为四个节点的坐标。
通过在四个积分点上施加已知应力，可以得到四个关于a、b、c、d 的线性方程。
解这四个方程，即可得到a、b、c、d 的值，从而计算出单元内各个节点的应力。
有限元介绍
有限元
一、基本概念
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
它是50年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学
等连续性问题。
有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
它将求解域看成是
由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。
这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题
所代替。
由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而
且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。
可以用来描述流动、电磁场以及结构力学等等，有限元方法用来将这些众
所周知的数学方程转化为近似的数字式图象。
大型通用有限元商业软件：如ANSYS可以分析多学科的问题，例如：机械、电磁、热力学等；电机有限元分析软件NASTRAN等。
国产有限元软件：FEPG, SciFEA,JiFEX,KMAS, KMAS等
二、工程分析领域
另外有限元还可应用于热传导、声学、生物力学，医学，土木建筑、多物理场分析等领域。
三、机械工程分析过程及简单示例
四、分析结果及后处理。
有限元
有限元学习报告班级：电控研07-1班姓名：颜语学号：47072135有限元学习报告一、有限元法原理：1、有限元的基本概念有限元法(Finite Element Method)是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。
有限元法这个名称由美国的Clough 于1960年在一篇题为“平面应力分析的有限单元法”的论文中首先提出。
四十年来，以变分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅被广泛地应用于各种结构工程，而且作为一种声誉很高的数值计算方法己被普遍推广并成功地用来解决其它工程领域中的问题，它是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快就广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。
“有限元”的原始概念是：用若干个子区域去代替整个连续区域，这些区域的性质可用有效个自由度来恰当的描述，再用离散系统分析中熟知的方法将其汇集在一起。
在有限元发展的初期，单元性质的模型常常是从避免数学阐述的简单物理推断得出的。
正如某些人认为这种方法和微分形式的阐述同样现实一样，有一个包含更为广泛普遍的定义。
如同其他近似方法一样，我们把有限元定义为：1) 整个系统的性质通过n 个有限参数j u （j=1,2,……,n ）来近似描述； 2) 支配着这个系统性质的n 个方程()0i j F u =（i=1,2,……,n ）由所有子区域（或单元）的贡献项通过简单的叠加过程汇集而得，这个子区域把整个系统分成许多实际可识别的实体（既不交叠又不遗漏）。
于是e i i F F =∑，式中，e i F 为各个单元对所考察量的贡献。
有限元近似问题最终可转为近似积分问题，于是近似积分如何形成，将成为把一个实际问题转而用有限元形式表示时的首要和关键问题。
形成近似积分通常有两种方法，一类是应用变分原理，另一类是加权积分方法。
有限元解法分为变分法和加权余量法，变分法从未知函数的变分方程出发，将泛涵的极值条件转化为对各展开系数的多元函数极值条件。
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弹性力学基本假设
这些基本假设包括：理想弹性体假设和微小位移假设。
是弹性力学讨论问题的基础
其中理想弹性体假设包括：连续性、均匀性、各向同性和完全弹性假设。
微小位移假设是指形变量远小于物体的尺寸。
绝对坐标法总结
(1)这个例子中所有杆件在绝对坐标系中运算。
但单元一多，就重复了
(2)整体刚度矩阵的求解是利用“含同一个节点的所有单元在该节点处的位移相同”和“节点处载荷是所有含该节点单元的相应节点的节点力的总和”来求得(3) 一般情况下，当用统一的整体坐标系计算繁杂时，常在单元计算时采用自己的局部坐标系，然后通过坐标变换，集成到整体刚度矩阵中去，使运算过程简捷
首先，要建立结构外部载荷与结构内部应力的关系（平衡方程）
外部载荷包括集中力、表面力和体积力。
这就是静力学平衡问题，要建立静力学平衡方程
其次，从物理学的角度，建立材料应力与应变之间的关系（物理方程）
这是材料的本构关系，描述材料在不同环境下的力学性质
最后，从几何学方面入手，建立应变与位移（变形）之间的关系
这一关系不涉及产生变形的原因。
相应的方程称为几何方程
()()
()110
11 210
2121x x y y z z xy xy yz yz xz zx E μμ
εσμμεσμμεσμγτμγτμγτ--⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪--⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥--⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬
+⎢⎥⎪⎪⎪⎪
⎢⎥⎪⎪⎪⎪+⎢⎥⎪⎪⎪⎪+⎢⎥⎩⎭⎩⎭
⎣
⎦
这就是应力边界条件
看到第二章2！！！！
如果在质点系的任何虚位移上,质点系的所有约束反力的虚功之和等于零,则称这种约束为理想约束
可能功：当给出系统的一组可能位移时，作用在系统上的力将因作用点发生位移而做功，这种功就称为可能功，或虚功 虚位移原理：平衡状态中，弹性体上外力在可能位移上所作的功等于外力引起的应力在相应的虚应变上所作的功。
在发生虚位移时，若总势能改变为正（即总势能增加），则总势能为极小，反之为极大。
由于稳定平衡系统要发生虚位移时，总需要外力做正功。
所以在平衡位置时，势能取极小值。
力法：
力法是以应力分量为未知量进行求解 但在3个平衡方程中有6个应力分量，不能直接从中解出所有6个应力分量。
需要在给定的应力边界条件下，由平衡方程和应力协调方程联合求解偏微分方程组 位移法：
以三个位移分量作为未知量求解，将物理方程和平衡方程由位移来表示，以满足位移边界条件和变形协调条件为前提 位移-力法（混合法）：
用3个位移，6个应力分量将物理方程中的应变消去，再利用协调方程和边界条件求解
x
yx zx xy y zy xz
yz z l m n X l m n Y l m n Z στττστττσ⎧++=⎪⎪
++=⎨⎪++=⎪⎩。