定积分的概念(孙建波)ppt
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《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
最新定积分的概念ppt
和曲线 y f (x) 所
b
a f (x)dx S
围成的的曲边梯形 的面积
合作探究
如何用定积分表示图中蓝色部分的面积?
yf (x) y
Oa
y gx
b
b
a f(x)dxag(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
y
针
y sin x
对
训
01
x
0 1 3
x
4
练
1
0 2 xd x
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x 2 、 直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。
探
y的几何意义( f (x) 0 )
设阴影部分面积为S
b
a f ( x)dx
表示由直线 x a,
x b (a b), y 0
a a 0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
积分上限
[ a , b ] 叫做积分区间
结
构
分
b
n
f(x)dxlim
baf()
a
n n i1
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
定积分的概念ppt
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i1
定积分的概念 课件
答案 相等.
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
梳理 从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0， 那么定积分ʃ baf(x)dx表示由 直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x) 所围 成的曲边梯形的面积.这就是定积分ʃ baf(x)dx的几何意义. 注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃ baf(x)dx<0，－ ʃ baf(x)dx等于曲边梯 形的面积.
n b－a
n
取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx＝ i＝1
n
f(ξi) ，当n→∞时，
i＝1
上述和式无限接近某个 常数 ，这个 常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定
积分，记作 ʃ baf(x)d，x 即 ʃ baf(x＝)
n f，(ξi)这里，a与b分别叫做
知识点三 定积分的性质
思考 你能根据定积分的几何意义解释 ʃ baf(x)dx＝ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx(其中 a<c<b)吗？ 答案 直线x＝c把一个大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因此大曲 边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.
梳理 (1)ʃ bakf(x)dx＝ kʃ baf(x)dx (k 为常数). (2)ʃ ba[f1(x)±f2(x)]dx＝ ʃ baf1(x)dx±ʃ baf2(x)dx . (3)ʃ baf(x)dx＝ ʃ caf(x)dx＋ʃ bcf(x)dx (其中 a<c<b).
类型一 利用定积分的定义求定积分 例 1 利用定积分的定义，计算 ʃ 21(3x＋2)dx 的值.
类型二 利用定积分的性质求定积分
例 2 已知 ʃ10x3dx＝14，ʃ21x3dx＝145，ʃ21x2dx＝73，ʃ42x2dx＝536，求下列各式的值. (1)ʃ 20(3x3)dx； 解 ʃ 20(3x3)dx＝3ʃ 20x3dx
定积分的概念PPT课件
（3 ）
a
f ( x )dx
f ( x )dx
b a
f (x )dx
性质4： 性质5： 性质6：
a
a
b
f ( x )dx 0.
a
dx b a .
b
a
f ( x )dx f ( x )dx .
b
a
思考4：
r 0
2 xdx
2
？
r
2
1
0
1 x dx ？
i 1
b n
a
f ( i ) ，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
n
思考4：数学上，把
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
叫
做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分， 记作 即
a
b a
b
f (x )dx ，
n
f (x )dx
n
lim
i 1
b n
a
f( i)
b a
f (x )dx 其中
---积分号 a---积分下限 b---积分上限 区间[a，b] ---积分区间 函数f(x) ---被积函数 x---积分变量 f(x)dx---被积式
v＝v(t)
n
s
n
lim
i 1
b n
a
v( i )
O a
i
b t
思考3：一般地，如果函数f(x)在区间[a， b]上连续，用分点 a＝x0＜x1＜x2＜„＜xi＜„＜xn＝b将区 间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区 间[xi－1，xi](i＝1，2,„，n)上任取一
定积分定义PPT幻灯片
及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
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•利用定义计算定积分
例1
利用定积分定义计算
1
0
e
xdx
.
解: 取分点为 D x i
1 n
(i1, 2, , n1), 则 x i
i n
(i1, 2, , n).
在第i
个小区间上取右端点x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
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•利用定义计算定积分
例1
利用定积分定义计算
1
0
e
xdx
.
解: 取分点为 D x i
1 n
(i1, 2, , n1), 则 x i
i n
(i1, 2, , n).
在第i
个小区间上取右端点x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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x 二、定积分定义
❖定积分的定义
a b f ( x ) d l 0 i n 1 f ( i ) D i x i . x m 根 据 定 积 分 的 定 义 ,曲 边 梯 形 的 面 积 为 A a b f ( x ) d . x 变 速 直 线 运 动 的 路 程 为 S T T 1 2 v ( t ) d . t
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
n
S v ( i ) D t i ; i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
定积分的概念及性质课件
度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分概念、性质ppt课件
上例曲边图形的面积用定积分表示
S1x2d x lin m (n 1 )2 (n 1 )1
0
n 6 n 3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定：
a
f(x)d x0,
b
a
f(x)d x f(x)dx
b f (x)dx
b
g ( x)dx
a
a
推2 论 ：b
.
f(x)d
x
b
f（ x） dx,(ab)
a
a
因f(x)f(x)f(x)
.
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和最
小值m， 于是， 由性质5有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
几何意义也很明显
性质 7（积分中值若定函理 f(数 x)） 在[a： ,b]上连续，
S曲
lim n
n i 1
S i矩
lim
n
(n
1)( 2n 6n 2
1)
1 0.333 3
.
总结：求曲边梯形面积的步骤 v
引例1——曲边梯形的面积（演示） 引例2——变速直线运动的路程
设物体的运动速度 vvt
分割区间 作和
取近似值 取极限
T1
ti-1 i ti T2 t
（1）细分区间 [ T 1 ,T 2 ] [ T 1 ,t 1 ] U [ t 1 ,t2 ] U L U [ tn 1 ,T 2 ]
曲边梯形的面积，即：
n
S曲
.
lim
n i1
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
-定积分的概念-43页PPT资料
定积分符号：
b
n
af(x)dx| |lx|i | 0 m i1f(i)xi.
b —定积分号；a—积分下限；b—积分上限； a
f (x)dx—被积表达式； f (x)—被积函数；
dx中的x—积分变量；[a,b]—积分区. 间 ( 积分变量的取值范围)
关于定积分定义的几点说明
(1) 定积b分 f(x)dx是一个极 (具限 体值 的 ), 数 a 它与分 T及 法点 i的选择, 无 只关 与 f(x)及 区间 [a, b]有关 .
该过程告诉了 杂我 平们 面求 图复 形面 ，积 同时，也告知了 形平 面面 积图 的.定义
解决曲边梯形面想 积方 的法 思是： 分— 划 代— 替 求— 和 取极 . 限
通常人们把这 处类 理方 的法 问所 题的结 这种极限值， f(x)在 称区 为 [a,间 b函 ]上数 的定 . 积
二. 定积分的定义
得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.
y yf(x)
设 f(x)0, f(x ) C (a [ ,b ].)
O ax1
xi1 x i
b
x
第一步：分划 任意引入分点 称为区间的一个分法 T
a x 0 x 1 x i 1 x i x n 1 x n b , 将 [ a ,b ] 分 成 n 个[ x 小 i 1 ,x i]( i 1 区 ,2 , ,n )间 .
第七章 一元函数的积分
本章学习要求： ▪ 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. ▪ 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换
元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. ▪ 理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ▪ 熟悉牛顿—莱布尼兹公式. ▪ 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿—莱布尼兹公式计算广义积分。
定积分的概念ppt
Oa
y gx
b
b
a f (x)dx a g(x)dx
bx
用定积分表示下列图中阴影部分的面积
y
y 2x
针
y
y sin x
对
训
01 x
0 1 3
x
4
练
1
0 2xdx
3
4 sin xdx 1
例⒈利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值 0
注： n i3 13 23 33 n3 1 n2 (n 1)2
1、求曲边梯形面积和变速直线运动 路程的步骤是什么？ 2、求曲边梯形面积的公式是什么？ 3、求变速直线运动路程的公式是什么？
4、它们的共同特征是什么？
§1.5 定 积 分 －－§1.5.3定积分的概念
滨海中学 李鹏
n
i 1
f (i )x
n i 1
f
(i
)
b
n
a
如果当n∞时，上述和式无限接近某个常数，
i
析
积分下限
被 积
被 积
积 分
函
式
变
数
量
合作探究
（1）定积分的结果是一个 数值
（2）定积分的值只与被积函数和积分区 间有关，而与积分变量用什么字母表 示 无关 ， 即
b f (x)dx ＝
b
f (t)dt
a
a
如何用定积分表示抛物线 y x2 、
直线 x 1 和 x 轴所围成的曲边梯形
的面积。
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，
记作
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
第五章定积分的概念45页PPT
b
b
b
a f (x)dxa f(t)dt a f(u)du
（ 2 ） 定 义 中 区 间 的 分 法 和 i的 取 法 是 任 意 的 .
（ 3 ） 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 定 积 分 存 在 时 称 f(x )在 区 间 [ 期课程安排 作业问题 答疑时间 本期期中考试
定积分的概念
前一章我们从导数的逆运算引出了不定积 分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类 基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第 二类基本问题——定积分，它是微分（求局部量 ）的逆运算（微分的无限求和——求总量），然 后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领 域中有着极其广泛的应用。
y
yf(x)(f(x)0)、
yf(x)
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
重点 定积分的概念和性质，微积分基本公
式，定积分的换元法和分部积分法
难点 定义及换元法和分部法的运用
基本要求
①正确理解定积分的概念及其实际背景 ②记住定积分的性质并能正确地运用 ③掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，
并会用N-L公式计算定积分， ④能正确熟练地运用换元法和分部积分法
计 算定积分 ⑤正确理解两类广义积分概念，
量（总面积或总路程）
解决方法：
通过局部取近似（求微分），求和取极限 （微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限
第17讲定积分的概念 46页PPT文档
y yf(x)
h
1 h
1
h
xh
x
f(t)dt f(t)dt
a
a
o
xh
x
f(t)dt f(t)dt
a
a
(x)
a x b x
xh
1
xh
f(t)dt
hx
f ()
(xxh)
因为 f (x) [a , b]连续
(x)
lim (xh)(x)
即得曲边梯 形面积 A .
n
Alim 0 i1
f(i )xi
其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}
(λ→0 表示 [a,b] 被 无限分细 )
2.变速直线运动的路程
2019年10月20日“神州”火箭发射 和回收成功
列车在某时间间隔内行驶的路程
已知：速度 v=v ( t ) , 求在时 间区间 [ t0 ,T ] 内火箭上升的速
A
曲边梯形面积A
注3 : 定积分的几何意义
当 f (x) ≤0 时
b
a f(x)dxA
A
( A为面积 )
当 f (x) 符号不定时 , 例如
y
A1
a
oA2
y f(x) A3
A4
A5 bx
b
a
f (x)dx
=A1－A2＋A3－A4＋A5
A1
＋
A2＋A3
＋
A4＋A5
b a
f (x)dx
F(x) f(x)dxC
a
F(a)C
b
F(b)af(x)dxF(a)
b
a f(x)dx F(b)F(a)
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此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
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积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 变量用什么字母表示无关 , 即
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
dx lim i xi
2
n
y x2
0 i 1
lim
1 3
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n
o
i n
1x
内容小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限．
２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .
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莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为
y
y x2
取
则
f
(i )xi i2 xi
i 3 n
2
o
i n
1x
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注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
a x0 x1 x2 xn b ,
任取
总趋于确定的极限 I , 则称此极限 I 为函数
上的定积分, 记作 f ( x) d x
a b
在区间
即
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
b
n
o a x1
i xi 1 xi b x
0
i 1 n
2、被积函数,积分区间,积分变量； 3、介于曲线 y f ( x ) , x 轴 ,直线 x a , x b 之间 各部分面积的代数和； 4、 dx .
a b
1 3 二、 (b a 3 ) b a . 3 1 2 三、 (b a 2 ) . 2
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n 1 i 1 n i lim sin lim sin n n n i 1 n n n i 1
1 sin xdx. 0
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练习
一、填空题： 1、函数 f ( x ) 在 a , b 上的定积分是积分和的极限，
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
y i [ xi 1 , xi ] 在第 i 个窄曲边梯形上任取 2) 近似替代.
作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
y
y f ( x)
A
o
a
b x
曲边梯形面积
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2、
y
a
o
A
y f ( x)
b
x
曲边梯形面积的负值
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一般的，
y
A1 a
b
A3 A2 A4
A5
b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
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主讲：孙建波 山东信息职业技术学院基础部
第四章
积分及其应用
积分学
不定积分
定积分
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第五节
第四章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的几何意义
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一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
作业
P108 1；4
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微积分学创始人
牛顿(1642 – 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 并于1671 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他
si v( i )t i
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(i 1, 2,, n)
3) 求和.
4) 取极限 .
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似替代 , 求和 , 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同:
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特殊乘积和式的极限
二、定积分定义
任一种分法
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y
o
a
b
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四 （九个小矩形） b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
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观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
播放
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解决步骤 :
1) 分割.
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二、 利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两 直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的 面积 . 三、 利用定积分的定义计算积分 xdx ， ( a b ) .
a b
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练习题答案
一、1、 lim f ( i )x i ；
求和
取极限
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积零为整
取极限
精确值——定积分
思考
将和式极限：
1 2 ( n 1) lim sin sin sin n n n n n
表示成定积分.
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思考题解答
原式
1 2 ( n 1) n lim sin sin sin sin n n n n n n
即
b
a
f ( x )dx _________________ .
2 、 定 积 分 的 值 只 与 ______ 及 _______ 有 关 ， 而 与 _________的记法无关 . 3、定积分的几何意义是_______________________ . 4、区间 a , b 长度的定积分表示是_____________ .
0 i 1
n
n
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi b
i
x
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2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: 1) 分割. n 个小段 过的路程为 2) 近似代替. 得 将它分成 在每个小段上物体经
b
a
当 a b 时, a f ( x)dx 0 ．
定理 若函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续 ,则 f ( x)
a
在区间 [a, b] 上可积．
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可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
(证明略)
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三、定积分的几何意义:
1、
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得 o a x1
xi 1 xi b
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
i
x
3) 求和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
y
A lim Ai
a f ( x) d x a f (t ) d t a f (u ) d u
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b
b
b
注意： 在定积分 a 作如下规定：
b
f ( x)dx 的定义中, a 总是小于
b 的,为了今后使用方便,对于 a b 及 a b 的情况,特
当 a b 时, a
b
f ( x)dx f ( x)dx ．