期望、方差协方差

随机变量的数字特征

一、数学期望E（x)的性质：

性质一：常数C，E（C)=C;

性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；

性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）

二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²

性质一：C为常数，则D(C)=0；

性质二：X为随机变量，C为常数，则

D(CX)=C²D(X)

D(X±C)=D(X)

性质三：X，Y为相互独立随机变量

Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)

当X，Y不相互独立时：

D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);

关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？

证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得

COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}

=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)

=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]

=D(X)-D(Y)

三、常用函数期望与方差：

⑴（0-1）分布：

①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0

②数学期望：p

③方差：pq (q=1-p)

⑵二项分布B（n,p):

①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0

②数学期望：np

③方差：npq

⑶泊松分布π（λ）：

①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)

②数学期望：λ

③方差：λ

⑷均匀分布U（a,b):

①分布律：f(X)=1/(b-a), a

②数学期望：（a+b）/2

③方差：（b-a)²/12

⑸指数分布E（λ）：

①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;

②数学期望：1/λ

③方差：1/λ²

⑹正态分布N（μ，ρ²）

①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)), (-∞0)

②数学期望：μ

③方差：ρ²

四、切比雪夫不等式：

随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：

P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²

成立。

等价于： P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε²

推论：D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数，即

P{X=C}=1 ，C为常数。

其实，C=E(X)。

五、协方差Cov（X,Y）

性质一：Cov(X,Y)=Cov(Y,X);

性质二：Cov（aX,bY)=abCov(X,Y);

性质三：Cov（X1+X2，Y）=Cov（X1,Y）+Cov（X2,Y）；

性质四：X，Y相互独立，则Cov（X,Y）=0。

关于相关系数ρ：

若X,Y的协方差Cov（X,Y）存在，且D(X)>0,D(Y)>0,则

Ρ =Cov（X，Y）/(√D(X) *√D(Y))

性质一：|ρ|≤1；

性质二：|ρ|=1的充分必要条件，存在常数a,b使得

P{Y=aX+b}=1

①当X,Y相互独立时，Cov（X,Y）=0，若相关系数ρ存在，则，X,Y不相关；

②若X,Y不相关，则X,Y不一定相互独立。不相关是指X,Y 不存在线性关系，但他们之间可以存在其他某种函数关系，比如：Y=X²，因此，X,Y未必相互独立。